Moivreova věta

Řešení příkladu 1:

Nejprve převedeme komplexní číslo \( z = 1 + i \) do goniometrického tvaru. Vypočítáme jeho absolutní hodnotu a argument:

\( r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)

\( \varphi = \arg z = \arctan \frac{1}{1} = \frac{\pi}{4} \)

Podle Moivreovy věty platí:

\( z^n = r^n \left( \cos n\varphi + i \sin n\varphi \right) \)

Dosadíme \( n = 8 \):

\( (1+i)^8 = (\sqrt{2})^8 \left( \cos 8 \cdot \frac{\pi}{4} + i \sin 8 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \)

\( (\sqrt{2})^8 = (2^{1/2})^8 = 2^{4} = 16 \)

\( 8 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi \)

Tedy:

\( (1+i)^8 = 16 \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = 16 (1 + 0i) = 16 \)

Výsledek je tedy \( 16 \).

Řešení příkladu 2:

Rovnici \( z^5 = 32 \) lze přepsat tak, že hledáme pět komplexních čísel \( z \), která mají pátou mocninu rovnu 32.

Napíšeme \( 32 \) v goniometrickém tvaru:

\( 32 = 32 \left( \cos 0 + i \sin 0 \right) \)

Podle Moivreovy věty platí pro páté kořeny:

\( z_k = \sqrt[5]{32} \left( \cos \frac{0 + 2k\pi}{5} + i \sin \frac{0 + 2k\pi}{5} \right), \quad k=0,1,2,3,4 \)

Výpočet modulů:

\( \sqrt[5]{32} = 2 \)

Vyjádříme jednotlivé kořeny:

\( z_k = 2 \left( \cos \frac{2k\pi}{5} + i \sin \frac{2k\pi}{5} \right) \)

Konkrétní hodnoty pro jednotlivé \( k \):

• \( k=0: z_0 = 2(\cos 0 + i \sin 0) = 2 \)
• \( k=1: z_1 = 2\left(\cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}\right) \)
• \( k=2: z_2 = 2\left(\cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}\right) \)
• \( k=3: z_3 = 2\left(\cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5}\right) \)
• \( k=4: z_4 = 2\left(\cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}\right) \)

Každý z těchto kořenů je jednoznačně definován a lze jej případně převést na algebraický tvar pomocí hodnot funkcí sinus a kosinus.

Řešení příkladu 3:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^5 = \cos 5\theta + i \sin 5\theta \)

Rozepíšeme levý člen pomocí binomické věty:

Vyjmenujeme jednotlivé členy:

\( = (\cos \theta)^5 + 5 (\cos \theta)^4 (i \sin \theta) + 10 (\cos \theta)^3 (i \sin \theta)^2 + 10 (\cos \theta)^2 (i \sin \theta)^3 + 5 (\cos \theta) (i \sin \theta)^4 + (i \sin \theta)^5 \)

Oddělíme reálnou a imaginární část:

Reálná část je součet členů s \( i^{2k} \) (tedy sudým exponentem):

\( \cos 5\theta = (\cos \theta)^5 – 10 (\cos \theta)^3 (\sin \theta)^2 + 5 \cos \theta (\sin \theta)^4 \)

Podrobně:

\( i^2 = -1, \quad i^4 = 1, \quad i^0 = 1 \)

Proto členy s \( i^{2k} \) mají střídavá znaménka podle parity:

Výsledek:

\( \cos 5\theta = \cos^5 \theta – 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta \)

Řešení příkladu 4:

Nejprve vyjádříme \( z = \sqrt{3} + i \) v goniometrickém tvaru:

\( r = |z| = \sqrt{ (\sqrt{3})^2 + 1^2 } = \sqrt{3 + 1} = 2 \)

\( \varphi = \arg z = \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \)

Podle Moivreovy věty:

\( z^{12} = r^{12} \left( \cos 12 \varphi + i \sin 12 \varphi \right) \)

\( r^{12} = 2^{12} = 4096 \)

\( 12 \varphi = 12 \cdot \frac{\pi}{6} = 2\pi \)

Dosadíme:

\( z^{12} = 4096 ( \cos 2\pi + i \sin 2\pi ) = 4096 (1 + 0i) = 4096 \)

Výsledek je tedy \( 4096 \).

Řešení příkladu 5:

Rovnici přepíšeme v goniometrickém tvaru pravé strany:

\( -16 = 16 ( \cos \pi + i \sin \pi ) \)

Hledáme čtyři kořeny tvaru:

\( z_k = \sqrt[4]{16} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right), \quad k=0,1,2,3 \)

\( \sqrt[4]{16} = 2 \)

Jednotlivé kořeny:

• \( k=0: z_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \)
• \( k=1: z_1 = 2 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \)
• \( k=2: z_2 = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) \)
• \( k=3: z_3 = 2 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) \)

Tyto kořeny lze také vyjádřit v algebraickém tvaru pomocí hodnot kosinu a sinu.

Řešení příkladu 6:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \cos 4\theta + i \sin 4\theta \)

Vyjmenujeme členy:

\( (\cos \theta)^4 + 4 (\cos \theta)^3 (i \sin \theta) + 6 (\cos \theta)^2 (i \sin \theta)^2 + 4 \cos \theta (i \sin \theta)^3 + (i \sin \theta)^4 \)

Imaginární část tvoří členy s lichým exponentem \( i \):

\( \sin 4\theta = 4 \cos^3 \theta \sin \theta – 4 \cos \theta \sin^3 \theta \)

Protože \( i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i \), znamená to, že členy s \( i^3 \) mají záporné znaménko v imaginární části.

Výsledná formule je tedy:

\( \sin 4\theta = 4 \cos^3 \theta \sin \theta – 4 \cos \theta \sin^3 \theta \)

Řešení příkladu 7:

Nejprve určíme modul a argument komplexního čísla \( z = -1 + i \sqrt{3} \):

\( r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \)

\( \varphi = \arg z = \arctan \frac{\sqrt{3}}{-1} \)

Zde musíme určit správný kvadrant: reálná část je záporná, imaginární kladná ⇒ 2. kvadrant.

\( \arctan \left(-\sqrt{3}\right) = -\frac{\pi}{3} \), proto správný argument je:

\( \varphi = \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \)

Podle Moivreovy věty platí:

\( z^6 = r^6 \left( \cos 6\varphi + i \sin 6\varphi \right) \)

\( r^6 = 2^6 = 64 \)

\( 6\varphi = 6 \cdot \frac{2\pi}{3} = 4\pi \)

Tedy:

\( z^6 = 64 \left( \cos 4\pi + i \sin 4\pi \right) = 64 (1 + 0i) = 64 \)

Výsledek je \( 64 \).

Řešení příkladu 8:

Hledáme všech šest komplexních čísel \( z_k \), že \( z_k^6 = 64 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \).

Modul výsledku je \( r^6 = 64 \Rightarrow r = \sqrt[6]{64} = 2 \).

Argument výsledku je \( \varphi = \frac{\pi}{3} \).

Podle Moivreovy věty platí pro kořeny:

\( z_k = r \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{6} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{6} \right), \quad k=0,1,2,3,4,5 \)

Dosadíme:

\( z_k = 2 \left( \cos \frac{\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{6} + i \sin \frac{\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{6} \right) \)

Konkrétní kořeny jsou:

• \( z_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi/3}{6} + i \sin \frac{\pi/3}{6} \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{18} + i \sin \frac{\pi}{18} \right) \)
• \( z_1 = 2 \left( \cos \frac{\pi/3 + 2\pi}{6} + i \sin \frac{\pi/3 + 2\pi}{6} \right) = 2 \left( \cos \frac{13\pi}{18} + i \sin \frac{13\pi}{18} \right) \)
• \( z_2 = 2 \left( \cos \frac{\pi/3 + 4\pi}{6} + i \sin \frac{\pi/3 + 4\pi}{6} \right) = 2 \left( \cos \frac{25\pi}{18} + i \sin \frac{25\pi}{18} \right) \)
• \( z_3 = 2 \left( \cos \frac{\pi/3 + 6\pi}{6} + i \sin \frac{\pi/3 + 6\pi}{6} \right) = 2 \left( \cos \frac{37\pi}{18} + i \sin \frac{37\pi}{18} \right) \)
• \( z_4 = 2 \left( \cos \frac{\pi/3 + 8\pi}{6} + i \sin \frac{\pi/3 + 8\pi}{6} \right) = 2 \left( \cos \frac{49\pi}{18} + i \sin \frac{49\pi}{18} \right) \)
• \( z_5 = 2 \left( \cos \frac{\pi/3 + 10\pi}{6} + i \sin \frac{\pi/3 + 10\pi}{6} \right) = 2 \left( \cos \frac{61\pi}{18} + i \sin \frac{61\pi}{18} \right) \)

Řešení příkladu 9:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^6 = \cos 6\theta + i \sin 6\theta \)

Rozepíšeme pomocí vzorce pro \(\cos n\theta\):

\( \cos 6\theta = 32 \cos^6 \theta – 48 \cos^4 \theta + 18 \cos^2 \theta – 1 \)

Tento vzorec lze odvodit pomocí vztahů mezi mocninami a pomocí binomických koeficientů v Moivreově větě, přičemž sinusové členy se vyruší.

Řešení příkladu 10:

Podle Moivreovy věty platí:

\( \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right)^{24} = \cos \left( 24 \cdot \frac{\pi}{12} \right) + i \sin \left( 24 \cdot \frac{\pi}{12} \right) \)

Vypočítáme argument:

\( 24 \cdot \frac{\pi}{12} = 2\pi \)

Tedy:

\( = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1 + 0i = 1 \)

Výsledek je \( 1 \).

Řešení příkladu 11:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^5 = \cos 5\theta + i \sin 5\theta \)

Rovnice tedy implikuje rovnost:

\( \cos 5\theta + i \sin 5\theta = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \)

Dvě komplexní čísla na jednotkové kružnici jsou rovna, pokud jejich argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 5\theta = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) zvolíme hodnoty \(k = 0, 1, 2, 3, 4\):

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{20} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi}{5} = \frac{9\pi}{20} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{20} + \frac{4\pi}{5} = \frac{17\pi}{20} \)
• \( \theta_3 = \frac{\pi}{20} + \frac{6\pi}{5} = \frac{25\pi}{20} = \frac{5\pi}{4} \)
• \( \theta_4 = \frac{\pi}{20} + \frac{8\pi}{5} = \frac{33\pi}{20} \)

To jsou všechna řešení na intervalu \(\langle 0, 2\pi \rangle\).

Řešení příkladu 12:

Číslo \( -64 \) lze zapsat v goniometrickém tvaru jako:

\( -64 = 64(\cos \pi + i \sin \pi) \)

Podle Moivreovy věty platí pro šestou odmocninu \( z \):

\( z = \sqrt[6]{64} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{6} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{6} \right), \quad k=0,1,2,3,4,5 \)

Vypočítáme šestou odmocninu z \(64\):

\( \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2 \)

Vyjádříme jednotlivé kořeny:

• \( z_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \)
• \( z_1 = 2 \left( \cos \frac{\pi + 2\pi}{6} + i \sin \frac{\pi + 2\pi}{6} \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) \)
• \( z_2 = 2 \left( \cos \frac{\pi + 4\pi}{6} + i \sin \frac{\pi + 4\pi}{6} \right) = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) \)
• \( z_3 = 2 \left( \cos \frac{\pi + 6\pi}{6} + i \sin \frac{\pi + 6\pi}{6} \right) = 2 \left( \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \right) \)
• \( z_4 = 2 \left( \cos \frac{\pi + 8\pi}{6} + i \sin \frac{\pi + 8\pi}{6} \right) = 2 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) \)
• \( z_5 = 2 \left( \cos \frac{\pi + 10\pi}{6} + i \sin \frac{\pi + 10\pi}{6} \right) = 2 \left( \cos \frac{11\pi}{6} + i \sin \frac{11\pi}{6} \right) \)

Tedy všech šest řešení jsou tyto komplexní čísla na jednotkové kružnici vynásobená číslem 2.

Řešení příkladu 13:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^5 = \cos 5\theta + i \sin 5\theta \)

Rozepíšeme levou stranu pomocí jednotlivých členů binomického rozvoje (bez použití symbolu pro kombinační čísla):

• \( k = 0: (\cos \theta)^5 \)
• \( k = 1: 5 (\cos \theta)^4 (i \sin \theta) = 5i (\cos \theta)^4 \sin \theta \)
• \( k = 2: 10 (\cos \theta)^3 (i \sin \theta)^2 = 10 (\cos \theta)^3 (i^2) (\sin \theta)^2 = -10 (\cos \theta)^3 (\sin \theta)^2 \)
• \( k = 3: 10 (\cos \theta)^2 (i \sin \theta)^3 = 10 (\cos \theta)^2 (i^3) (\sin \theta)^3 = -10i (\cos \theta)^2 (\sin \theta)^3 \)
• \( k = 4: 5 \cos \theta (i \sin \theta)^4 = 5 \cos \theta (i^4) (\sin \theta)^4 = 5 \cos \theta (\sin \theta)^4 \)
• \( k = 5: (i \sin \theta)^5 = i^5 (\sin \theta)^5 = i (\sin \theta)^5 \)

Oddělíme reálnou a imaginární část:

Reálná část (pro \( \cos 5\theta \)):

\( \cos 5\theta = (\cos \theta)^5 – 10 (\cos \theta)^3 (\sin \theta)^2 + 5 \cos \theta (\sin \theta)^4 \)

Imaginární část (pro \( \sin 5\theta \)):

\( \sin 5\theta = 5 (\cos \theta)^4 \sin \theta – 10 (\cos \theta)^2 (\sin \theta)^3 + (\sin \theta)^5 \)

Řešení příkladu 14:

Nejprve zapíšeme pravou stranu v goniometrickém tvaru. Modul a argument čísla \(1 + i \sqrt{3}\) jsou:

\( r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \)

\( \varphi = \arctan \frac{\sqrt{3}}{1} = \frac{\pi}{3} \)

Tedy:

\( 1 + i \sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \)

Podle Moivreovy věty hledáme \( z = r_z \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \), kde platí:

\( z^4 = r_z^4 \left( \cos 4\theta + i \sin 4\theta \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \)

Porovnáním modulů a argumentů:

\( r_z^4 = 2 \Rightarrow r_z = \sqrt[4]{2} \)

\( 4\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k=0,1,2,3 \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \)

Řešení jsou:

• \( z_0 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right) \)
• \( z_1 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right) \)
• \( z_2 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{13\pi}{12} + i \sin \frac{13\pi}{12} \right) \)
• \( z_3 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{19\pi}{12} + i \sin \frac{19\pi}{12} \right) \)

Řešení příkladu 15:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \cos 4\theta + i \sin 4\theta \)

Rozepíšeme levou stranu pomocí vzorce pro mocninu součtu:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^4 = (\cos^2 \theta + 2i \cos \theta \sin \theta – \sin^2 \theta)^2 \)

Nebo přesněji pomocí binomického rozvoje (jen klíčové části):

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \cos^4 \theta + 4i \cos^3 \theta \sin \theta – 6 \cos^2 \theta \sin^2 \theta – 4i \cos \theta \sin^3 \theta + \sin^4 \theta \)

Reálná část \((cos 4θ)\) je:

\( \cos^4 \theta – 6 \cos^2 \theta \sin^2 \theta + \sin^4 \theta \)

Pomocí identit \(\sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta\) lze převést na funkci pouze \(\cos \theta\):

\( \cos 4\theta = \cos^4 \theta – 6 \cos^2 \theta (1 – \cos^2 \theta) + (1 – \cos^2 \theta)^2 \)

Po úpravě:

\( \cos 4\theta = 8 \cos^4 \theta – 8 \cos^2 \theta + 1 \)

Řešení příkladu 16:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^{10} = \cos 10\theta + i \sin 10\theta \)

Rovnice tedy implikuje:

\( \cos 10\theta + i \sin 10\theta = 1 + 0i = \cos 0 + i \sin 0 \)

Argumenty se musí rovnat modulo \(2k\pi\):

\( 10\theta = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{2k\pi}{10} = \frac{k\pi}{5} \)

Pro \( \theta \in \langle 0, 2\pi \rangle \) zvolíme \( k = 0,1,2,\dots,9 \):

• \( \theta_0 = 0 \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{5} \)
• \( \theta_2 = \frac{2\pi}{5} \)
• \( \theta_3 = \frac{3\pi}{5} \)
• \( \theta_4 = \frac{4\pi}{5} \)
• \( \theta_5 = \pi \)
• \( \theta_6 = \frac{6\pi}{5} \)
• \( \theta_7 = \frac{7\pi}{5} \)
• \( \theta_8 = \frac{8\pi}{5} \)
• \( \theta_9 = \frac{9\pi}{5} \)

Řešení příkladu 17:

Zapíšeme číslo \(-8i\) v goniometrickém tvaru:

Modul:

\( r = |-8i| = 8 \)

Argument:

\( \varphi = \arg(-8i) = -\frac{\pi}{2} \) nebo \( \frac{3\pi}{2} \) (volíme \( \frac{3\pi}{2} \))

Tedy:

\( -8i = 8 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) \)

Hledáme \( z = r_z (\cos \theta + i \sin \theta) \) tak, že:

\( z^3 = r_z^3 (\cos 3\theta + i \sin 3\theta) = 8 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) \)

Porovnáním:

\( r_z^3 = 8 \Rightarrow r_z = 2 \)

\( 3\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k=0,1,2 \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3} \)

Řešení jsou:

• \( z_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 2i \)
• \( z_1 = 2 \left( \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \right) \)
• \( z_2 = 2 \left( \cos \frac{11\pi}{6} + i \sin \frac{11\pi}{6} \right) \)

Řešení příkladu 18:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^6 = \cos 6\theta + i \sin 6\theta \)

Levá strana je rovna polynomu v \( \cos \theta \) a \( \sin \theta \), ale cílem je vyjádřit pouze pomocí \( \cos \theta \).

Využijeme Eulerovu formuli a vzorec pro \(\cos n\theta\) pomocí komplexních mocnin:

\( \cos 6\theta = \mathrm{Re} \left( (\cos \theta + i \sin \theta)^6 \right) \)

Známe z předchozích vzorců:

\( \cos 6\theta = 32 \cos^6 \theta – 48 \cos^4 \theta + 18 \cos^2 \theta – 1 \)

Odvození lze provést postupným použitím vzorců pro \(\cos 2\theta\) a \(\cos 3\theta\) a nahrazením \(\sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta\), což je delší proces, ale výsledek je uvedený výše.

Řešení příkladu 19:

Číslo je dáno v goniometrickém tvaru:

\( z = 32 (\cos 150^\circ + i \sin 150^\circ) \)

Modul je \( r = 32 \), argument je \( \varphi = 150^\circ = \frac{5\pi}{6} \).

Hledáme \( w = \sqrt[5]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{5} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{5} \right), k=0,\dots,4 \).

Vypočítáme pátou odmocninu modulu:

\( \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 \)

Argumenty jednotlivých kořenů:

• \( \theta_k = \frac{5\pi/6 + 2k\pi}{5} = \frac{5\pi + 12k\pi}{30} = \frac{\pi}{6} + \frac{12k\pi}{30} = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{5} \)

Tedy kořeny jsou:

• \( w_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \)
• \( w_1 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{5} + i \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{5} \right) \right) \)
• \( w_2 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{5} + i \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{5} \right) \right) \)
• \( w_3 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{5} + i \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{5} \right) \right) \)
• \( w_4 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{5} + i \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{5} \right) \right) \)

Řešení příkladu 20:

Nejprve zapíšeme \( 1 + i \) v goniometrickém tvaru:

Modul:

\( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)

Argument:

\( \varphi = \arctan \frac{1}{1} = \frac{\pi}{4} \)

Tedy:

\( 1 + i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \)

Podle Moivreovy věty platí:

\( (1 + i)^{12} = (\sqrt{2})^{12} \left( \cos 12 \cdot \frac{\pi}{4} + i \sin 12 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \)

Vypočítáme modul:

\( (\sqrt{2})^{12} = (2^{1/2})^{12} = 2^{6} = 64 \)

Argument:

\( 12 \cdot \frac{\pi}{4} = 3\pi \)

Proto:

Řešení příkladu 21:

Zapíšeme číslo na pravé straně rovnice v goniometrickém tvaru:

Modul: \( r = 16 \)

Argument: \( \varphi = \frac{\pi}{3} \)

Hledáme všechny komplexní kořeny \( z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta) \) tak, že platí:

\( z^4 = \rho^4 (\cos 4\theta + i \sin 4\theta) = 16 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \)

Porovnáním modulů a argumentů dostáváme:

\( \rho^4 = 16 \Rightarrow \rho = \sqrt[4]{16} = 2 \)

\( 4\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \{0,1,2,3\} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \)

Řešení jsou tedy:

• \( z_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right) \)
• \( z_1 = 2 \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right) \)
• \( z_2 = 2 \left( \cos \frac{13\pi}{12} + i \sin \frac{13\pi}{12} \right) \)
• \( z_3 = 2 \left( \cos \frac{19\pi}{12} + i \sin \frac{19\pi}{12} \right) \)

Řešení příkladu 22:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^5 = \cos 5\theta + i \sin 5\theta \)

Rozepíšeme levou stranu pomocí jednotlivých členů binomického rozvoje:

• \( (\cos \theta)^5 \)
• \( 5 (\cos \theta)^4 (i \sin \theta) = 5i \cos^4 \theta \sin \theta \)
• \( 10 (\cos \theta)^3 (i \sin \theta)^2 = -10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta \)
• \( 10 (\cos \theta)^2 (i \sin \theta)^3 = -10i \cos^2 \theta \sin^3 \theta \)
• \( 5 \cos \theta (i \sin \theta)^4 = 5 \cos \theta \sin^4 \theta \)
• \( (i \sin \theta)^5 = i \sin^5 \theta \)

Imaginární část obsahuje všechny členy s lichou mocninou \( i \):

\( \sin 5\theta = 5 \cos^4 \theta \sin \theta – 10 \cos^2 \theta \sin^3 \theta + \sin^5 \theta \)

Řešení příkladu 23:

Nejprve zapíšeme číslo \(-64\) v goniometrickém tvaru:

Modul: \( r = 64 \)

Argument: \( \varphi = \pi \) (protože \(-64 = 64 \cdot (\cos \pi + i \sin \pi)\))

Hledáme \( z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta) \), které splňuje:

\( z^6 = \rho^6 (\cos 6\theta + i \sin 6\theta) = 64 (\cos \pi + i \sin \pi) \)

Porovnáním:

\( \rho^6 = 64 \Rightarrow \rho = \sqrt[6]{64} = 2 \)

\( 6\theta = \pi + 2k\pi, \quad k=0,1,\dots,5 \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \)

Řešení jsou tedy:

• \( z_k = 2 \left( \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \right) \right), \quad k=0,\dots,5 \)

Řešení příkladu 24:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^7 = \cos 7\theta + i \sin 7\theta \)

Levá strana je polynom v \( \cos \theta \) a \( \sin \theta \), chceme však vyjádřit pouze pomocí \( \cos \theta \).

Pomocí vzorců a substituce \( \sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta \) a postupným rozepisováním dostaneme:

\( \cos 7\theta = 64 \cos^7 \theta – 112 \cos^5 \theta + 56 \cos^3 \theta – 7 \cos \theta \)

Řešení příkladu 25:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^8 = \cos 8\theta + i \sin 8\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 8\theta + i \sin 8\theta = 1 + 0i \Rightarrow \cos 8\theta = 1 \text{ a } \sin 8\theta = 0 \)

To platí, pokud:

\( 8\theta = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{k\pi}{4} \)

Pro \( \theta \in \langle 0, 2\pi \rangle \) zvolíme \( k = 0, 1, \ldots, 7 \).

Řešení:

• \( \theta_k = \frac{k\pi}{4}, \quad k=0,1,\dots,7 \)

Řešení příkladu 26:

Podle Moivreovy věty platí:

\( \left( \cos \frac{\pi}{10} + i \sin \frac{\pi}{10} \right)^{20} = \cos \left( 20 \cdot \frac{\pi}{10} \right) + i \sin \left( 20 \cdot \frac{\pi}{10} \right) \)

Vypočítáme argument:

\( 20 \cdot \frac{\pi}{10} = 2\pi \)

Proto:

\( \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1 + 0i = 1 \)

Řešení příkladu 27:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \cos 4\theta + i \sin 4\theta \)

Rozepíšeme levou stranu pomocí binomické věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \cos^4 \theta + 4 i \cos^3 \theta \sin \theta – 6 \cos^2 \theta \sin^2 \theta – 4 i \cos \theta \sin^3 \theta + \sin^4 \theta \)

Imaginární část odpovídá \( \sin 4\theta \):

\( \sin 4\theta = 4 \cos^3 \theta \sin \theta – 4 \cos \theta \sin^3 \theta \)

Řešení příkladu 28:

Podle Moivreovy věty platí:

\( z^3 = 3^3 \left( \cos (3 \cdot 30^\circ) + i \sin (3 \cdot 30^\circ) \right) = 27 \left( \cos 90^\circ + i \sin 90^\circ \right) \)

Proto:

\( z^3 = 27 (0 + i \cdot 1) = 27i \)

Řešení příkladu 29:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^{10} = \cos 10\theta + i \sin 10\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 10\theta + i \sin 10\theta = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \)

Dvě komplexní čísla na jednotkové kružnici jsou rovna, pokud jejich argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 10\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{5} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) zvolíme hodnoty \( k=0, 1, \ldots, 9 \).

Řešení příkladu 30:

Podle Moivreovy věty platí:

\( \left( \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8} \right)^{16} = \cos \left( 16 \cdot \frac{\pi}{8} \right) + i \sin \left( 16 \cdot \frac{\pi}{8} \right) \)

Vypočítáme argument:

\( 16 \cdot \frac{\pi}{8} = 2\pi \)

Proto:

\( \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1 + 0i = 1 \)

Řešení příkladu 31:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^7 = \cos 7\theta + i \sin 7\theta \)

Rovnice implikuje rovnost:

\( \cos 7\theta + i \sin 7\theta = \cos \frac{3\pi}{5} + i \sin \frac{3\pi}{5} \)

Dvě komplexní čísla na jednotkové kružnici jsou stejná, pokud jejich argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 7\theta = \frac{3\pi}{5} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{3\pi}{35} + \frac{2k\pi}{7} \)

Pro \( \theta \in \langle 0, 2\pi \rangle \) volíme \(k = 0,1, \ldots, 6\).

• \( \theta_0 = \frac{3\pi}{35} \)
• \( \theta_1 = \frac{3\pi}{35} + \frac{2\pi}{7} = \frac{13\pi}{35} \)
• \( \theta_2 = \frac{3\pi}{35} + \frac{4\pi}{7} = \frac{23\pi}{35} \)
• \( \theta_3 = \frac{3\pi}{35} + \frac{6\pi}{7} = \frac{33\pi}{35} \)
• \( \theta_4 = \frac{3\pi}{35} + \frac{8\pi}{7} = \frac{43\pi}{35} \)
• \( \theta_5 = \frac{3\pi}{35} + \frac{10\pi}{7} = \frac{53\pi}{35} \)
• \( \theta_6 = \frac{3\pi}{35} + \frac{12\pi}{7} = \frac{63\pi}{35} = \frac{9\pi}{5} \)

Řešení příkladu 32:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^6 = \cos 6\theta + i \sin 6\theta \)

Rozepíšeme levou stranu pomocí jednotlivých členů binomického rozvoje:

• \( (\cos \theta)^6 \)
• \( 6 (\cos \theta)^5 (i \sin \theta) = 6i \cos^5 \theta \sin \theta \)
• \( 15 (\cos \theta)^4 (i \sin \theta)^2 = -15 \cos^4 \theta \sin^2 \theta \)
• \( 20 (\cos \theta)^3 (i \sin \theta)^3 = -20i \cos^3 \theta \sin^3 \theta \)
• \( 15 (\cos \theta)^2 (i \sin \theta)^4 = 15 \cos^2 \theta \sin^4 \theta \)
• \( 6 \cos \theta (i \sin \theta)^5 = 6i \cos \theta \sin^5 \theta \)
• \( (i \sin \theta)^6 = – \sin^6 \theta \)

Imaginární část obsahuje členy s lichými mocninami \( i \):

\( \sin 6\theta = 6 \cos^5 \theta \sin \theta – 20 \cos^3 \theta \sin^3 \theta + 6 \cos \theta \sin^5 \theta \)

Řešení příkladu 33:

Číslo \(64 (\cos \pi + i \sin \pi)\) má modul \(r=64\) a argument \(\varphi = \pi\).

Hledáme komplexní čísla \(z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)\) tak, že \(z^6 = 64 (\cos \pi + i \sin \pi)\).

Porovnáním modulů a argumentů dostáváme:

\( \rho^6 = 64 \Rightarrow \rho = \sqrt[6]{64} = 2 \)

\( 6\theta = \pi + 2k\pi, \quad k=0,1,2,3,4,5 \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \)

Řešení jsou tedy:

• \( z_k = 2 \left( \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \right) \right), \quad k=0,\dots,5 \)

Řešení příkladu 34:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^8 = \cos 8\theta + i \sin 8\theta \)

Po rozložení na polynom v \(\cos \theta\) a \(\sin \theta\) a následné substituci \( \sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta \) dostáváme:

\( \cos 8\theta = 128 \cos^8 \theta – 256 \cos^6 \theta + 160 \cos^4 \theta – 32 \cos^2 \theta + 1 \)

Řešení příkladu 35:

Nejprve vyjádříme \(1+i\) v goniometrickém tvaru:

Modul: \( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)

Argument: \( \varphi = \arctan \frac{1}{1} = \frac{\pi}{4} \)

Podle Moivreovy věty platí:

\( (1+i)^{12} = r^{12} \left( \cos 12\varphi + i \sin 12\varphi \right) = (\sqrt{2})^{12} \left( \cos 3\pi + i \sin 3\pi \right) \)

Vypočítáme:

\( (\sqrt{2})^{12} = (2^{1/2})^{12} = 2^{6} = 64 \)

\( \cos 3\pi = \cos \pi = -1, \quad \sin 3\pi = \sin \pi = 0 \)

Výsledek:

\( (1+i)^{12} = 64 (-1 + 0 i) = -64 \)

Řešení příkladu 36:

Zapíšeme \(16i\) v goniometrickém tvaru:

Modul: \(r = 16\)

Argument: \(\varphi = \frac{\pi}{2}\), protože \(i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\)

Hledáme \(z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)\), pro která platí:

\( z^4 = 16i = 16 (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) \)

Porovnáním modulů:

\( \rho^4 = 16 \Rightarrow \rho = \sqrt[4]{16} = 2 \)

Porovnáním argumentů:

\( 4\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \)

Pro \(k=0,1,2,3\) dostáváme všechny čtyři řešení:

• \( z_k = 2 \left( \cos \left( \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \right) \right) \)

Řešení příkladu 37:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^5 = \cos 5\theta + i \sin 5\theta \)

Rozepíšeme levou stranu pomocí binomické věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^5 = \cos^5 \theta + 5 i \cos^4 \theta \sin \theta – 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta – 10 i \cos^2 \theta \sin^3 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta + i \sin^5 \theta \)

Imaginární část je tedy:

\( \sin 5\theta = 5 \cos^4 \theta \sin \theta – 10 \cos^2 \theta \sin^3 \theta + \sin^5 \theta \)

Řešení příkladu 38:

Podle Moivreovy věty platí:

\( \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)^{9} = \cos \left( 9 \cdot \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( 9 \cdot \frac{\pi}{3} \right) \)

Vypočítáme argument:

\( 9 \cdot \frac{\pi}{3} = 3\pi \)

Proto:

\( \cos 3\pi + i \sin 3\pi = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1 \)

Řešení příkladu 39:

Číslo \(-8\) zapíšeme v goniometrickém tvaru:

Modul: \(r = 8\)

Argument: \(\varphi = \pi\), protože \(-8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi)\)

Hledáme \(z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)\), které splňují:

\( z^3 = -8 = 8 (\cos \pi + i \sin \pi) \)

Porovnáním modulů:

\( \rho^3 = 8 \Rightarrow \rho = 2 \)

Porovnáním argumentů:

\( 3\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \)

Pro \(k=0,1,2\) jsou řešení:

• \( z_k = 2 \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \right) \right) \)

Řešení příkladu 40:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^7 = \cos 7\theta + i \sin 7\theta \)

Rozepíšeme levou stranu pomocí binomické věty a pak se zaměříme na reálnou část:

\( \cos 7\theta = \cos^7 \theta – 21 \cos^5 \theta \sin^2 \theta + 35 \cos^3 \theta \sin^4 \theta – 7 \cos \theta \sin^6 \theta \)

Řešení příkladu 41:

Zápis komplexního čísla \(-64\) v goniometrickém tvaru:

Modul: \(r = 64\)

Argument: \(\varphi = \pi\), protože \(-64 = 64(\cos \pi + i \sin \pi)\)

Hledáme \(z = \rho(\cos \theta + i \sin \theta)\), které splňuje:

\(z^6 = 64(\cos \pi + i \sin \pi)\)

Porovnáním modulů:

\(\rho^6 = 64 \Rightarrow \rho = \sqrt[6]{64} = 2\)

Porovnáním argumentů:

\(6\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Vyjádříme \(\theta\):

\(\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\)

Pro \(k = 0,1,2,3,4,5\) dostáváme všech 6 řešení:

• \(z_k = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\right) \right)\)

Řešení příkladu 42:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \cos 4\theta + i \sin 4\theta \)

Rozepíšeme levou stranu pomocí jednotlivých členů binomického rozvoje:

• \( (\cos \theta)^4 \)
• \( 4 (\cos \theta)^3 (i \sin \theta) = 4i \cos^3 \theta \sin \theta \)
• \( 6 (\cos \theta)^2 (i \sin \theta)^2 = -6 \cos^2 \theta \sin^2 \theta \)
• \( 4 \cos \theta (i \sin \theta)^3 = -4i \cos \theta \sin^3 \theta \)
• \( (i \sin \theta)^4 = \sin^4 \theta \)

Imaginární část odpovídá členům s lichými mocninami \( i \):

\( \sin 4\theta = 4 \cos^3 \theta \sin \theta – 4 \cos \theta \sin^3 \theta \)

Řešení příkladu 43:

Podle Moivreovy věty platí:

\(z = \left( \cos \frac{\pi}{5} + i \sin \frac{\pi}{5} \right)^8 = \cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}\)

Argument \(\frac{8\pi}{5}\) můžeme zapsat jako \( \frac{8\pi}{5} = \frac{8\pi}{5} – 2\pi = \frac{8\pi}{5} – \frac{10\pi}{5} = -\frac{2\pi}{5}\).

Tedy

\(z = \cos \left(-\frac{2\pi}{5}\right) + i \sin \left(-\frac{2\pi}{5}\right) = \cos \frac{2\pi}{5} – i \sin \frac{2\pi}{5}\)

Řešení příkladu 44:

Podle Moivreovy věty:

\((\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \cos 4\theta + i \sin 4\theta\)

Rovnice implikuje:

\(\cos 4\theta + i \sin 4\theta = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\)

Dvě komplexní čísla na jednotkové kružnici jsou rovna, pokud se jejich argumenty liší o \(2k\pi\):

\(4\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Vyjádříme \(\theta\):

\(\theta = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}\)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) vybíráme \(k = 0,1,2,3\):

• \(\theta_0 = \frac{3\pi}{8}\)
• \(\theta_1 = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{8}\)
• \(\theta_2 = \frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{11\pi}{8}\)
• \(\theta_3 = \frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi}{2} = \frac{15\pi}{8}\)

Řešení příkladu 45:

Převod na radiány: \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\)

Podle Moivreovy věty:

\((\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})^{12} = \cos (12 \cdot \frac{\pi}{6}) + i \sin (12 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos 2\pi + i \sin 2\pi\)

Protože \(\cos 2\pi = 1\) a \(\sin 2\pi = 0\), platí:

\((\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)^{12} = 1 + 0i = 1\)

Řešení příkladu 46:

Podle Moivreovy věty:

\((\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos 3\theta + i \sin 3\theta\)

Rozepíšeme levou stranu:

\((\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos^3 \theta + 3 i \cos^2 \theta \sin \theta – 3 \cos \theta \sin^2 \theta – i \sin^3 \theta\)

Reálná část je:

\(\cos 3\theta = \cos^3 \theta – 3 \cos \theta \sin^2 \theta\)

Řešení příkladu 47:

Číslo 32 zapíšeme v goniometrickém tvaru:

Modul: \(r = 32\)

Argument: \(\varphi = 0\), protože \(32 = 32(\cos 0 + i \sin 0)\)

Hledáme \(z = \rho(\cos \theta + i \sin \theta)\), které splňuje:

\(z^5 = 32 = 32(\cos 0 + i \sin 0)\)

Porovnáním modulů:

\(\rho^5 = 32 \Rightarrow \rho = 2\)

Porovnáním argumentů:

\(5\theta = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Vyjádříme \(\theta\):

\(\theta = \frac{2k\pi}{5}\)

Pro \(k = 0,1,2,3,4\) jsou řešení:

• \(z_k = 2(\cos \frac{2k\pi}{5} + i \sin \frac{2k\pi}{5})\)

Řešení příkladu 48:

Podle Moivreovy věty:

\((\cos \theta + i \sin \theta)^6 = \cos 6\theta + i \sin 6\theta\)

Rozepíšeme levou stranu a vybereme imaginární část:

\(\sin 6\theta = 6 \cos^5 \theta \sin \theta – 20 \cos^3 \theta \sin^3 \theta + 6 \cos \theta \sin^5 \theta\)

Řešení příkladu 49:

Zapišme číslo \(1 + i \sqrt{3}\) v goniometrickém tvaru:

Modul: \(r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)

Argument: \(\varphi = \arctan \frac{\sqrt{3}}{1} = \frac{\pi}{3}\)

Hledáme \(z = \rho(\cos \theta + i \sin \theta)\) splňující:

\(z^3 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})\)

Porovnáním modulů:

\(\rho^3 = 2 \Rightarrow \rho = \sqrt[3]{2}\)

Porovnáním argumentů:

\(3\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Vyjádříme \(\theta\):

\(\theta = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\)

Pro \(k=0,1,2\) jsou řešení:

• \(z_k = \sqrt[3]{2} \left( \cos \left(\frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\right) \right)\)

Řešení příkladu 50:

Podle Moivreovy věty:

\((\cos \theta + i \sin \theta)^5 = \cos 5\theta + i \sin 5\theta\)

Rozepíšeme levou stranu pomocí binomické věty a vybereme reálnou část:

\(\cos 5\theta = \cos^5 \theta – 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta\)

Řešení příkladu 51:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos 3\theta + i \sin 3\theta)^4 = \cos 12\theta + i \sin 12\theta \)

Rovnice tedy implikuje rovnost:

\( \cos 12\theta + i \sin 12\theta = \cos \frac{3\pi}{7} + i \sin \frac{3\pi}{7} \)

Dvě komplexní čísla na jednotkové kružnici jsou rovna, pokud jejich argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 12\theta = \frac{3\pi}{7} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{3\pi}{84} + \frac{k\pi}{6} = \frac{\pi}{28} + \frac{k\pi}{6} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) zvolíme hodnoty \(k\), které splňují:

\( 0 \le \frac{\pi}{28} + \frac{k\pi}{6} < 2\pi \)

\( \Rightarrow -\frac{1}{28} \le \frac{k}{6} < \frac{55}{28} \approx 1.964 \)

Tedy \(k = 0, 1\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{28} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{84} + \frac{14\pi}{84} = \frac{17\pi}{84} \)

Řešení jsou tedy \(\theta = \frac{\pi}{28}\) a \(\theta = \frac{17\pi}{84}\) v intervalu \(\langle 0, 2\pi \rangle\).

Řešení příkladu 52:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^6 = \cos 6\theta + i \sin 6\theta \)

Rovnice je tedy:

\( \cos 6\theta + i \sin 6\theta = -1 + 0i = \cos \pi + i \sin \pi \)

Argumenty se tedy rovnají modulo \(2k\pi\):

\( 6\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) vybíráme \(k\), aby:

\( 0 \le \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} < 2\pi \)

\( \Rightarrow -\frac{1}{2} \le k < \frac{11}{2} \)

Tedy \(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{6} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \)
• \( \theta_3 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \)
• \( \theta_4 = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \)
• \( \theta_5 = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} \)

To jsou všechna řešení.

Řešení příkladu 53:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)^3 = \cos 6\theta + i \sin 6\theta \)

Rovnice implikuje rovnost argumentů modulo \(2k\pi\):

\( 6\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{5\pi}{36} + \frac{k\pi}{3} \)

Omezení pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\):

\( 0 \le \frac{5\pi}{36} + \frac{k\pi}{3} < 2\pi \Rightarrow -\frac{5}{12} \le k < \frac{67}{12} \)

Vybereme \(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5\).

• \( \theta_0 = \frac{5\pi}{36} \)
• \( \theta_1 = \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi}{3} = \frac{17\pi}{36} \)
• \( \theta_2 = \frac{5\pi}{36} + \frac{2\pi}{3} = \frac{29\pi}{36} \)
• \( \theta_3 = \frac{5\pi}{36} + \pi = \frac{41\pi}{36} \)
• \( \theta_4 = \frac{5\pi}{36} + \frac{4\pi}{3} = \frac{53\pi}{36} \)
• \( \theta_5 = \frac{5\pi}{36} + \frac{5\pi}{3} = \frac{65\pi}{36} \)

Řešení příkladu 54:

Vpravo máme komplexní číslo na jednotkové kružnici s argumentem \(-\frac{\pi}{3}\), nebo také \(2\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\).

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^8 = \cos 8\theta + i \sin 8\theta \)

Rovnice implikuje rovnost argumentů modulo \(2k\pi\):

\( 8\theta = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{4} \)

Podmínka pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\):

\( 0 \le \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{4} < 2\pi \Rightarrow -\frac{5}{6} \le k < \frac{43}{6} \)

Vybereme \(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\).

• \( \theta_0 = \frac{5\pi}{24} \)
• \( \theta_1 = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{24} \)
• \( \theta_2 = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{17\pi}{24} \)
• \( \theta_3 = \frac{5\pi}{24} + \frac{3\pi}{4} = \frac{23\pi}{24} \)
• \( \theta_4 = \frac{5\pi}{24} + \pi = \frac{29\pi}{24} \)
• \( \theta_5 = \frac{5\pi}{24} + \frac{5\pi}{4} = \frac{35\pi}{24} \)
• \( \theta_6 = \frac{5\pi}{24} + \frac{3\pi}{2} = \frac{41\pi}{24} \)

Řešení příkladu 55:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})^{10} = \cos 5\theta + i \sin 5\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 5\theta + i \sin 5\theta = \cos \pi + i \sin \pi \)

Argumenty se rovnají modulo \(2k\pi\):

\( 5\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{5} + \frac{2k\pi}{5} \)

Podmínka \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) znamená:

\( 0 \le \frac{\pi}{5} + \frac{2k\pi}{5} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{2} \le k < \frac{9}{2} \)

Tedy \(k = 0, 1, 2, 3, 4\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{5} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi}{5} = \frac{3\pi}{5} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{5} + \frac{4\pi}{5} = \pi \)
• \( \theta_3 = \frac{\pi}{5} + \frac{6\pi}{5} = \frac{7\pi}{5} \)
• \( \theta_4 = \frac{\pi}{5} + \frac{8\pi}{5} = \frac{9\pi}{5} \)

Řešení příkladu 56:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 4\theta + i \sin 4\theta)^3 = \cos 12\theta + i \sin 12\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 12\theta + i \sin 12\theta = \cos 0 + i \sin 0 \)

Argumenty se rovnají modulo \(2k\pi\):

\( 12\theta = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{k\pi}{6} \)

Podmínka \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) znamená:

\( 0 \le \frac{k\pi}{6} < 2\pi \Rightarrow 0 \le k < 12 \)

Tedy \(k = 0, 1, 2, \ldots, 11\).

• \( \theta_k = \frac{k\pi}{6} \), kde \(k=0,1,\ldots,11\)

Řešení příkladu 57:

Komplexní číslo vpravo má argument \( -\frac{7\pi}{9} \), což lze také zapsat jako \( 2\pi – \frac{7\pi}{9} = \frac{11\pi}{9} \).

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^9 = \cos 9\theta + i \sin 9\theta \)

Rovnice implikuje rovnost argumentů modulo \(2k\pi\):

\( 9\theta = \frac{11\pi}{9} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{11\pi}{81} + \frac{2k\pi}{9} \)

Podmínka \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\):

\( 0 \le \frac{11\pi}{81} + \frac{2k\pi}{9} < 2\pi \Rightarrow -\frac{11}{18} \le k < \frac{71}{18} \)

Vybereme \(k = 0, 1, 2, \ldots, 3\).

• \( \theta_0 = \frac{11\pi}{81} \)
• \( \theta_1 = \frac{11\pi}{81} + \frac{2\pi}{9} = \frac{29\pi}{81} \)
• \( \theta_2 = \frac{11\pi}{81} + \frac{4\pi}{9} = \frac{47\pi}{81} \)
• \( \theta_3 = \frac{11\pi}{81} + \frac{6\pi}{9} = \frac{65\pi}{81} \)
• \( \theta_4 = \frac{11\pi}{81} + \frac{8\pi}{9} = \frac{83\pi}{81} \) (toto už je větší než \(2\pi\), vynecháme)

Řešení příkladu 58:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 5\theta + i \sin 5\theta)^2 = \cos 10\theta + i \sin 10\theta \)

Rovnice implikuje:

\( 10\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{5} \)

Podmínka \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\):

\( 0 \le \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{5} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{4} \le k < \frac{39}{4} \)

Vybereme \(k = 0, 1, 2, \ldots, 9\).

• \( \theta_k = \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{5} \), kde \(k=0,1,\ldots,9\)

Řešení příkladu 59:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 3\theta + i \sin 3\theta)^5 = \cos 15\theta + i \sin 15\theta \)

Rovnice implikuje:

\( 15\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{15} \)

Podmínka \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\):

\( 0 \le \frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{15} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{2} \le k < \frac{29}{2} \)

Vybereme \(k = 0, 1, 2, \ldots, 14\).

• \( \theta_k = \frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{15} \), kde \(k=0,1,\ldots,14\)

Řešení příkladu 60:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos 4\theta + i \sin 4\theta)^3 = \cos 12\theta + i \sin 12\theta \)

Rovnice tedy implikuje rovnost argumentů modulo \(2k\pi\):

\( 12\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{5\pi}{72} + \frac{k\pi}{6} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) určíme rozsah \(k\):

\( 0 \le \frac{5\pi}{72} + \frac{k\pi}{6} < 2\pi \Rightarrow -\frac{5}{12} \le k < \frac{131}{12} \)

Zvolíme \( k = 0, 1, 2, \ldots, 10 \).

• \( \theta_k = \frac{5\pi}{72} + \frac{k\pi}{6} \), kde \( k=0,1,\ldots,10 \)

To jsou všechna řešení na intervalu \(\langle 0, 2\pi \rangle\).

Řešení příkladu 61:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)^7 = \cos 14\theta + i \sin 14\theta \)

Rovnice implikuje:

\( 14\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{14} + \frac{k\pi}{7} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{\pi}{14} + \frac{k\pi}{7} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{2} \le k < \frac{27}{2} \)

Zvolíme \( k = 0,1,\ldots,13 \).

• \( \theta_k = \frac{\pi}{14} + \frac{k\pi}{7} \), kde \(k=0,1,\ldots,13\)

Řešení příkladu 62:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^8 = \cos 8\theta + i \sin 8\theta \)

Rovnice implikuje:

\( 8\theta = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{3\pi}{32} + \frac{k\pi}{4} \)

Hledáme \(\theta = m \frac{\pi}{12}\), tedy:

\( m \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{32} + \frac{k\pi}{4} \Rightarrow m = \frac{3}{32} \cdot 12 + k \cdot 3 = \frac{9}{8} + 3k \)

Protože \(m\) musí být celé číslo, zkoušíme hodnoty \(k\), kdy \( \frac{9}{8} + 3k \in \mathbb{Z} \):

Např. \(k=1 \Rightarrow m = \frac{9}{8} + 3 = \frac{9}{8} + \frac{24}{8} = \frac{33}{8}\) není celé číslo.

Pro \(k= -1\): \(m = \frac{9}{8} – 3 = \frac{9}{8} – \frac{24}{8} = -\frac{15}{8}\) není celé číslo.

Pro \(k= 3\): \(m = \frac{9}{8} + 9 = \frac{9}{8} + \frac{72}{8} = \frac{81}{8}\) není celé číslo.

Pro \(k=0\): \(m = \frac{9}{8}\) není celé číslo.

Z toho plyne, že žádné \(\theta\) násobek \(\frac{\pi}{12}\) nevyhovuje rovnici.

Tedy žádná řešení v požadované formě neexistují.

Řešení příkladu 63:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos 3\theta + i \sin 3\theta)^4 = \cos 12\theta + i \sin 12\theta \)

Rovnice implikuje:

\( 12\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{36} + \frac{k\pi}{6} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\):

\( 0 \le \frac{\pi}{36} + \frac{k\pi}{6} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{6} \le k < \frac{71}{6} \)

Zvolíme \(k=0,1,\ldots,11\).

• \( \theta_k = \frac{\pi}{36} + \frac{k\pi}{6} \)

Řešení příkladu 64:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 5\theta + i \sin 5\theta)^5 = \cos 25\theta + i \sin 25\theta \)

Rovnice implikuje:

\( 25\theta = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{7\pi}{100} + \frac{2k\pi}{25} \)

Omezíme \(\theta\) na interval \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\):

\( 0 \le \frac{7\pi}{100} + \frac{2k\pi}{25} \le \frac{\pi}{2} \Rightarrow -\frac{7}{8} \le k \le \frac{25}{4} – \frac{7}{8} = \frac{43}{8} \)

Zvolíme \(k = 0,1,2,3,4,5\) (celá čísla v tomto rozsahu splňují podmínku).

• \( \theta_k = \frac{7\pi}{100} + \frac{2k\pi}{25} \), kde \(k=0,1,\ldots,5\)

Řešení příkladu 65:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 6\theta + i \sin 6\theta)^2 = \cos 12\theta + i \sin 12\theta \)

Rovnice implikuje:

\( 12\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\):

\( 0 \le \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{2} \le k < \frac{23}{2} \)

Zvolíme \(k=0,1,\ldots,11\).

• \( \theta_k = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} \)

Řešení příkladu 66:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 7\theta + i \sin 7\theta)^3 = \cos 21\theta + i \sin 21\theta \)

Rovnice implikuje:

\( 21\theta = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{2k\pi}{21} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) zvolíme \(k = 0,1,\ldots,20\).

• \( \theta_k = \frac{2k\pi}{21} \)

Řešení příkladu 67:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 3\theta + i \sin 3\theta)^6 = \cos 18\theta + i \sin 18\theta \)

Rovnice implikuje:

\( 18\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{27} + \frac{k\pi}{9} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{\pi}{27} + \frac{k\pi}{9} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{3} \le k < \frac{53}{3} \)

Zvolíme \(k=0,1,\ldots,17\).

• \( \theta_k = \frac{\pi}{27} + \frac{k\pi}{9} \)

Řešení příkladu 68:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)^9 = \cos 18\theta + i \sin 18\theta \)

Rovnice implikuje:

\( 18\theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{2\pi}{27} + \frac{k\pi}{9} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\):

\( 0 \le \frac{2\pi}{27} + \frac{k\pi}{9} < 2\pi \Rightarrow -\frac{2}{3} \le k < \frac{52}{3} \)

Zvolíme \(k=0,1,\ldots,16\).

• \( \theta_k = \frac{2\pi}{27} + \frac{k\pi}{9} \)

Řešení příkladu 69:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos 3\theta + i \sin 3\theta)^4 = \cos (4 \cdot 3\theta) + i \sin (4 \cdot 3\theta) = \cos 12\theta + i \sin 12\theta \)

Rovnice tedy implikuje rovnost:

\( \cos 12\theta + i \sin 12\theta = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \)

Dvě komplexní čísla na jednotkové kružnici jsou rovna, pokud jejich argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 12\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{5\pi}{72} + \frac{k\pi}{6} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) zvolíme hodnoty \(k\) tak, aby byla \(\theta\) v intervalu:

\( 0 \le \frac{5\pi}{72} + \frac{k\pi}{6} < 2\pi \Rightarrow -\frac{5}{12} \le k < \frac{11}{1} \)

Platí tedy \(k = 0, 1, \ldots, 10\).

• \( \theta_0 = \frac{5\pi}{72} \)
• \( \theta_1 = \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi}{6} = \frac{17\pi}{72} \)
• \( \theta_2 = \frac{5\pi}{72} + \frac{2\pi}{6} = \frac{29\pi}{72} \)
• \( \theta_3 = \frac{5\pi}{72} + \frac{3\pi}{6} = \frac{41\pi}{72} \)
• \( \theta_4 = \frac{5\pi}{72} + \frac{4\pi}{6} = \frac{53\pi}{72} \)
• \( \theta_5 = \frac{5\pi}{72} + \frac{5\pi}{6} = \frac{65\pi}{72} \)
• \( \theta_6 = \frac{5\pi}{72} + \pi = \frac{77\pi}{72} \)
• \( \theta_7 = \frac{5\pi}{72} + \frac{7\pi}{6} = \frac{89\pi}{72} \)
• \( \theta_8 = \frac{5\pi}{72} + \frac{8\pi}{6} = \frac{101\pi}{72} \)
• \( \theta_9 = \frac{5\pi}{72} + \frac{9\pi}{6} = \frac{113\pi}{72} \)
• \( \theta_{10} = \frac{5\pi}{72} + \frac{10\pi}{6} = \frac{125\pi}{72} \)

To jsou všechna řešení na intervalu \(\langle 0, 2\pi \rangle\).

Řešení příkladu 70:

Rovnici můžeme přepsat pomocí Moivreovy věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^7 = \cos 7\theta + i \sin 7\theta \)

Na pravé straně je \(\cos \frac{3\pi}{10} – i \sin \frac{3\pi}{10}\), což je komplexní číslo s argumentem \(-\frac{3\pi}{10}\) (respektive \(2\pi – \frac{3\pi}{10} = \frac{17\pi}{10}\)).

Rovnost na jednotkové kružnici tedy implikuje:

\( 7\theta = -\frac{3\pi}{10} + 2k\pi \quad \text{nebo} \quad 7\theta = \frac{17\pi}{10} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Oba případy však dávají stejná řešení v rámci \(2\pi\) periody, proto stačí zvážit:

\( 7\theta = \frac{17\pi}{10} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{17\pi}{70} + \frac{2k\pi}{7} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) určíme vhodná \(k\):

\( 0 \le \frac{17\pi}{70} + \frac{2k\pi}{7} < 2\pi \Rightarrow -\frac{17}{20} \le k < \frac{63}{20} \)

Volíme tedy \(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\).

• \( \theta_0 = \frac{17\pi}{70} \)
• \( \theta_1 = \frac{17\pi}{70} + \frac{2\pi}{7} = \frac{37\pi}{70} \)
• \( \theta_2 = \frac{17\pi}{70} + \frac{4\pi}{7} = \frac{57\pi}{70} \)
• \( \theta_3 = \frac{17\pi}{70} + \frac{6\pi}{7} = \frac{77\pi}{70} \)
• \( \theta_4 = \frac{17\pi}{70} + \frac{8\pi}{7} = \frac{97\pi}{70} \)
• \( \theta_5 = \frac{17\pi}{70} + \frac{10\pi}{7} = \frac{117\pi}{70} \)
• \( \theta_6 = \frac{17\pi}{70} + \frac{12\pi}{7} = \frac{137\pi}{70} \)

Tato množina obsahuje všechna řešení rovnice na daném intervalu.

Řešení příkladu 71:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)^6 = \cos (12\theta) + i \sin (12\theta) \)

Rovnice tedy implikuje rovnost:

\( \cos 12\theta + i \sin 12\theta = \cos \pi + i \sin \pi \)

Dvě komplexní čísla na jednotkové kružnici jsou rovna, pokud jejich argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 12\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) volíme \(k\), aby byla \(\theta\) v intervalu:

\( 0 \le \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{2} \le k < 11 \)

Volíme tedy \(k = 0, 1, \ldots, 10\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{12} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{6} = \frac{5\pi}{12} \)
• \( \theta_3 = \frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{6} = \frac{7\pi}{12} \)
• \( \theta_4 = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} \)
• \( \theta_5 = \frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{6} = \frac{11\pi}{12} \)
• \( \theta_6 = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} \)
• \( \theta_7 = \frac{\pi}{12} + \frac{7\pi}{6} = \frac{15\pi}{12} = \frac{5\pi}{4} \)
• \( \theta_8 = \frac{\pi}{12} + \frac{8\pi}{6} = \frac{17\pi}{12} \)
• \( \theta_9 = \frac{\pi}{12} + \frac{9\pi}{6} = \frac{19\pi}{12} \)
• \( \theta_{10} = \frac{\pi}{12} + \frac{10\pi}{6} = \frac{21\pi}{12} = \frac{7\pi}{4} \)

To jsou všechna řešení na intervalu \(\langle 0, 2\pi \rangle\).

Řešení příkladu 72:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^8 = \cos 8\theta + i \sin 8\theta \)

Na pravé straně máme komplexní číslo s argumentem \(-\frac{\pi}{3}\), což je ekvivalentní argumentu \(2\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\).

Rovnost implikuje:

\( 8\theta = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{4} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) určíme rozsah \(k\):

\( 0 \le \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{4} < 2\pi \Rightarrow -\frac{5}{6} \le k < \frac{43}{6} \)

Volíme \(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).

• \( \theta_0 = \frac{5\pi}{24} \)
• \( \theta_1 = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{24} \)
• \( \theta_2 = \frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi}{4} = \frac{17\pi}{24} \)
• \( \theta_3 = \frac{5\pi}{24} + \frac{3\pi}{4} = \frac{23\pi}{24} \)
• \( \theta_4 = \frac{5\pi}{24} + \pi = \frac{29\pi}{24} \)
• \( \theta_5 = \frac{5\pi}{24} + \frac{5\pi}{4} = \frac{35\pi}{24} \)
• \( \theta_6 = \frac{5\pi}{24} + \frac{6\pi}{4} = \frac{41\pi}{24} \)
• \( \theta_7 = \frac{5\pi}{24} + \frac{7\pi}{4} = \frac{47\pi}{24} \)

To jsou všechna řešení v daném intervalu.

Řešení příkladu 73:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 4\theta + i \sin 4\theta)^3 = \cos 12\theta + i \sin 12\theta \)

Rovnost implikuje:

\( 12\theta = \frac{7\pi}{8} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{7\pi}{96} + \frac{k\pi}{6} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) určíme \(k\):

\( 0 \le \frac{7\pi}{96} + \frac{k\pi}{6} < 2\pi \Rightarrow -\frac{7}{16} \le k < \frac{93}{16} \)

Volíme \(k = 0, 1, \ldots, 5\).

• \( \theta_0 = \frac{7\pi}{96} \)
• \( \theta_1 = \frac{7\pi}{96} + \frac{\pi}{6} = \frac{23\pi}{96} \)
• \( \theta_2 = \frac{7\pi}{96} + \frac{2\pi}{6} = \frac{39\pi}{96} = \frac{13\pi}{32} \)
• \( \theta_3 = \frac{7\pi}{96} + \frac{3\pi}{6} = \frac{55\pi}{96} \)
• \( \theta_4 = \frac{7\pi}{96} + \frac{4\pi}{6} = \frac{71\pi}{96} \)
• \( \theta_5 = \frac{7\pi}{96} + \frac{5\pi}{6} = \frac{87\pi}{96} \)

To jsou všechna řešení v intervalu.

Řešení příkladu 74:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^{10} = \cos 10\theta + i \sin 10\theta \)

Pravá strana \( -1 = \cos \pi + i \sin \pi \).

Rovnost implikuje:

\( 10\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) určíme \(k\):

\( 0 \le \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{2} \le k < \frac{19}{2} \)

Volíme \(k = 0, 1, \ldots, 9\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{10} \)
• \( \theta_1 = \frac{3\pi}{10} \)
• \( \theta_2 = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} \)
• \( \theta_3 = \frac{7\pi}{10} \)
• \( \theta_4 = \frac{9\pi}{10} \)
• \( \theta_5 = \frac{11\pi}{10} \)
• \( \theta_6 = \frac{13\pi}{10} \)
• \( \theta_7 = \frac{15\pi}{10} = \frac{3\pi}{2} \)
• \( \theta_8 = \frac{17\pi}{10} \)
• \( \theta_9 = \frac{19\pi}{10} \)

To jsou všechna řešení.

Řešení příkladu 75:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 3\theta + i \sin 3\theta)^4 = \cos 12\theta + i \sin 12\theta \)

Na pravé straně máme:

\( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \)

Rovnost implikuje:

\( 12\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{6} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) určíme rozsah \(k\):

\( 0 \le \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{6} < 2\pi \Rightarrow -\frac{3}{4} \le k < \frac{23}{4} \)

Volíme \(k = 0, 1, 2, 3\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{8} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{24} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{6} = \frac{13\pi}{24} \)
• \( \theta_3 = \frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{6} = \frac{19\pi}{24} \)

To jsou všechna řešení na intervalu.

Řešení příkladu 76:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^7 = \cos 7\theta + i \sin 7\theta \)

Argument na pravé straně je \(-\frac{2\pi}{7}\), což je ekvivalentní \(2\pi – \frac{2\pi}{7} = \frac{12\pi}{7}\).

Rovnost implikuje:

\( 7\theta = \frac{12\pi}{7} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{12\pi}{49} + \frac{2k\pi}{7} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) volíme \(k\), aby \(\theta < 2\pi\):

\( \frac{12\pi}{49} + \frac{2k\pi}{7} < 2\pi \Rightarrow k < \frac{67}{14} \approx 4,79 \)

Volíme \(k=0,1,2,3,4\).

• \( \theta_0 = \frac{12\pi}{49} \)
• \( \theta_1 = \frac{12\pi}{49} + \frac{2\pi}{7} = \frac{26\pi}{49} \)
• \( \theta_2 = \frac{12\pi}{49} + \frac{4\pi}{7} = \frac{40\pi}{49} \)
• \( \theta_3 = \frac{12\pi}{49} + \frac{6\pi}{7} = \frac{54\pi}{49} \)
• \( \theta_4 = \frac{12\pi}{49} + \frac{8\pi}{7} = \frac{68\pi}{49} \)

To jsou všechna řešení.

Řešení příkladu 77:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 5\theta + i \sin 5\theta)^2 = \cos 10\theta + i \sin 10\theta \)

Rovnost implikuje:

\( 10\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{60} + \frac{k\pi}{5} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) volíme \(k\) tak, aby platilo:

\( 0 \le \frac{\pi}{60} + \frac{k\pi}{5} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{12} \le k < \frac{59}{12} \)

Volíme \(k = 0, 1, \ldots, 4\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{60} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{60} + \frac{\pi}{5} = \frac{13\pi}{60} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{60} + \frac{2\pi}{5} = \frac{25\pi}{60} = \frac{5\pi}{12} \)
• \( \theta_3 = \frac{\pi}{60} + \frac{3\pi}{5} = \frac{37\pi}{60} \)
• \( \theta_4 = \frac{\pi}{60} + \frac{4\pi}{5} = \frac{49\pi}{60} \)

To jsou všechna řešení.

Řešení příkladu 78:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 6\theta + i \sin 6\theta)^5 = \cos 30\theta + i \sin 30\theta \)

Na pravé straně je \(1 = \cos 0 + i \sin 0\).

Rovnost implikuje:

\( 30\theta = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{k\pi}{15} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) volíme \(k\), aby:

\( 0 \le \frac{k\pi}{15} < 2\pi \Rightarrow 0 \le k < 30 \)

Volíme \(k = 0, 1, \ldots, 29\).

To je 30 řešení rovnoměrně rozmístěných na intervalu.

Řešení příkladu 79:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos 3\theta + i \sin 3\theta \)

Rovnost implikuje:

\( 3\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) volíme \(k\):

\( 0 \le \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{4} \le k < \frac{5}{4} \)

Volíme \(k = 0, 1\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{6} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \)

To jsou všechna řešení.

Řešení příkladu 80:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)^7 = \cos 14\theta + i \sin 14\theta \)

Rovnost implikuje:

\( 14\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{5\pi}{84} + \frac{k\pi}{7} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) určíme \(k\):

\( 0 \le \frac{5\pi}{84} + \frac{k\pi}{7} < 2\pi \Rightarrow -\frac{5}{12} \le k < \frac{143}{12} \)

Volíme \(k = 0, 1, \ldots, 11\).

• \( \theta_0 = \frac{5\pi}{84} \)
• \( \theta_1 = \frac{5\pi}{84} + \frac{\pi}{7} = \frac{17\pi}{84} \)
• \( \theta_2 = \frac{5\pi}{84} + \frac{2\pi}{7} = \frac{29\pi}{84} \)
• \( \theta_3 = \frac{5\pi}{84} + \frac{3\pi}{7} = \frac{41\pi}{84} \)
• \( \theta_4 = \frac{5\pi}{84} + \frac{4\pi}{7} = \frac{53\pi}{84} \)
• \( \theta_5 = \frac{5\pi}{84} + \frac{5\pi}{7} = \frac{65\pi}{84} \)
• \( \theta_6 = \frac{5\pi}{84} + \frac{6\pi}{7} = \frac{77\pi}{84} \)
• \( \theta_7 = \frac{5\pi}{84} + \frac{7\pi}{7} = \frac{89\pi}{84} \)
• \( \theta_8 = \frac{5\pi}{84} + \frac{8\pi}{7} = \frac{101\pi}{84} \)
• \( \theta_9 = \frac{5\pi}{84} + \frac{9\pi}{7} = \frac{113\pi}{84} \)
• \( \theta_{10} = \frac{5\pi}{84} + \frac{10\pi}{7} = \frac{125\pi}{84} \)
• \( \theta_{11} = \frac{5\pi}{84} + \frac{11\pi}{7} = \frac{137\pi}{84} \)

To jsou všechna řešení na intervalu.

Řešení příkladu 81:

Nejprve využijeme Moivreovu větu na levé straně:

\( (\cos 3\theta + i \sin 3\theta)^4 = \cos 12\theta + i \sin 12\theta \)

Rovnice tedy implikuje:

\( \cos 12\theta + i \sin 12\theta = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \)

Dvě komplexní čísla na jednotkové kružnici jsou stejná, pokud jejich argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 12\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{6} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) najdeme hodnoty \(k\), tak aby:

\( 0 \le \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{6} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{3} \le k < \frac{35}{3} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, \ldots, 11\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{18} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{9} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{18} \)
• \( \theta_3 = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{2} = \frac{10\pi}{18} = \frac{5\pi}{9} \)
• \( \theta_4 = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{13\pi}{18} \)
• \( \theta_5 = \frac{\pi}{18} + \frac{5\pi}{6} = \frac{17\pi}{18} \)
• \( \theta_6 = \frac{\pi}{18} + \pi = \frac{19\pi}{18} \)
• \( \theta_7 = \frac{\pi}{18} + \frac{7\pi}{6} = \frac{23\pi}{18} \)
• \( \theta_8 = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{29\pi}{18} \)
• \( \theta_9 = \frac{\pi}{18} + \frac{3\pi}{2} = \frac{34\pi}{18} = \frac{17\pi}{9} \)
• \( \theta_{10} = \frac{\pi}{18} + \frac{5\pi}{3} = \frac{37\pi}{18} \)
• \( \theta_{11} = \frac{\pi}{18} + \frac{11\pi}{6} = \frac{41\pi}{18} \)

Tímto máme všechna řešení na intervalu \(\langle 0, 2\pi \rangle\).

Řešení příkladu 82:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^{10} = \cos 10\theta + i \sin 10\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 10\theta + i \sin 10\theta = \cos \frac{3\pi}{5} + i \sin \frac{3\pi}{5} \)

Argumenty se tedy liší o \(2k\pi\):

\( 10\theta = \frac{3\pi}{5} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{3\pi}{50} + \frac{k\pi}{5} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) zvolíme \(k\) tak, aby:

\( 0 \le \frac{3\pi}{50} + \frac{k\pi}{5} < 2\pi \Rightarrow -\frac{3}{10} \le k < \frac{47}{10} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, \ldots, 4\).

• \( \theta_0 = \frac{3\pi}{50} \)
• \( \theta_1 = \frac{3\pi}{50} + \frac{\pi}{5} = \frac{13\pi}{50} \)
• \( \theta_2 = \frac{3\pi}{50} + \frac{2\pi}{5} = \frac{23\pi}{50} \)
• \( \theta_3 = \frac{3\pi}{50} + \frac{3\pi}{5} = \frac{33\pi}{50} \)
• \( \theta_4 = \frac{3\pi}{50} + \frac{4\pi}{5} = \frac{43\pi}{50} \)

To jsou všechna řešení na \(\langle 0, 2\pi \rangle\).

Řešení příkladu 83:

Pomocí Moivreovy věty:

\( (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)^3 = \cos 6\theta + i \sin 6\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 6\theta + i \sin 6\theta = \cos \pi + i \sin \pi \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 6\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{2} \le k < \frac{11}{2} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{6} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \)
• \( \theta_3 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \)
• \( \theta_4 = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \)
• \( \theta_5 = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} \)

Tím máme všechna řešení na intervalu.

Řešení příkladu 84:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^7 = \cos 7\theta + i \sin 7\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 7\theta + i \sin 7\theta = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 7\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{14} + \frac{2k\pi}{7} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{\pi}{14} + \frac{2k\pi}{7} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{4} \le k < \frac{13}{4} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, 2, 3\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{14} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi}{7} = \frac{5\pi}{14} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{14} + \frac{4\pi}{7} = \frac{9\pi}{14} \)
• \( \theta_3 = \frac{\pi}{14} + \frac{6\pi}{7} = \frac{13\pi}{14} \)

Tato řešení jsou na intervalu \(\langle 0, 2\pi \rangle\).

Řešení příkladu 85:

Pomocí Moivreovy věty:

\( (\cos 5\theta + i \sin 5\theta)^2 = \cos 10\theta + i \sin 10\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 10\theta + i \sin 10\theta = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 10\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{5} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{5} < 2\pi \Rightarrow -\frac{5}{12} \le k < \frac{23}{12} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, 2\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{12} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{5} = \frac{17\pi}{60} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{5} = \frac{29\pi}{60} \)

To jsou všechna řešení na daném intervalu.

Řešení příkladu 86:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^9 = \cos 9\theta + i \sin 9\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 9\theta + i \sin 9\theta = \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 9\theta = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{7\pi}{54} + \frac{2k\pi}{9} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{7\pi}{54} + \frac{2k\pi}{9} < 2\pi \Rightarrow -\frac{7}{12} \le k < \frac{47}{12} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, \ldots, 3\).

• \( \theta_0 = \frac{7\pi}{54} \)
• \( \theta_1 = \frac{7\pi}{54} + \frac{2\pi}{9} = \frac{19\pi}{54} \)
• \( \theta_2 = \frac{7\pi}{54} + \frac{4\pi}{9} = \frac{31\pi}{54} \)
• \( \theta_3 = \frac{7\pi}{54} + \frac{6\pi}{9} = \frac{43\pi}{54} \)

Tím máme všechna řešení.

Řešení příkladu 87:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 4\theta + i \sin 4\theta)^5 = \cos 20\theta + i \sin 20\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 20\theta + i \sin 20\theta = \cos \pi + i \sin \pi \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 20\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{10} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{10} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{2} \le k < \frac{39}{2} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, 2, \ldots, 19\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{20} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi}{10} = \frac{3\pi}{20} \)
• \( \ldots \)
• \( \theta_{19} = \frac{\pi}{20} + \frac{19\pi}{10} = \frac{39\pi}{20} \)

Tato řešení pokrývají celý interval.

Řešení příkladu 88:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^8 = \cos 8\theta + i \sin 8\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 8\theta + i \sin 8\theta = \cos \pi + i \sin \pi \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 8\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{2} \le k < \frac{15}{2} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{8} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{8} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{8} \)
• \( \ldots \)
• \( \theta_7 = \frac{\pi}{8} + \frac{7\pi}{4} = \frac{15\pi}{8} \)

Tato řešení jsou kompletní.

Řešení příkladu 89:

Pomocí Moivreovy věty:

\( (\cos 3\theta + i \sin 3\theta)^6 = \cos 18\theta + i \sin 18\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 18\theta + i \sin 18\theta = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 18\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{54} + \frac{k\pi}{9} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{\pi}{54} + \frac{k\pi}{9} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{6} \le k < \frac{17}{6} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{54} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{54} + \frac{\pi}{9} = \frac{7\pi}{54} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{54} + \frac{2\pi}{9} = \frac{13\pi}{54} \)
• \( \ldots \)
• \( \theta_{10} = \frac{\pi}{54} + \frac{10\pi}{9} = \frac{61\pi}{54} \)

Takto máme všechna řešení.

Řešení příkladu 90:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 6\theta + i \sin 6\theta)^3 = \cos 18\theta + i \sin 18\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 18\theta + i \sin 18\theta = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5} \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 18\theta = \frac{2\pi}{5} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{45} + \frac{k\pi}{9} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{\pi}{45} + \frac{k\pi}{9} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{5} \le k < \frac{43}{5} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, 2, \ldots, 8\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{45} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{45} + \frac{\pi}{9} = \frac{6\pi}{45} = \frac{2\pi}{15} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{45} + \frac{2\pi}{9} = \frac{11\pi}{45} \)
• \( \ldots \)
• \( \theta_8 = \frac{\pi}{45} + \frac{8\pi}{9} = \frac{41\pi}{45} \)

Tato řešení jsou kompletní na daném intervalu.

Řešení příkladu 91:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)^7 = \cos 14\theta + i \sin 14\theta \)

Rovnice implikuje rovnost:

\( \cos 14\theta + i \sin 14\theta = \cos \frac{3\pi}{5} + i \sin \frac{3\pi}{5} \)

Dvě komplexní čísla na jednotkové kružnici jsou rovna, pokud jejich argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 14\theta = \frac{3\pi}{5} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{3\pi}{70} + \frac{k\pi}{7} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{3\pi}{70} + \frac{k\pi}{7} < 2\pi \Rightarrow -\frac{3}{10} \le k < \frac{67}{10} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, 2, \ldots, 6\).

• \( \theta_0 = \frac{3\pi}{70} \)
• \( \theta_1 = \frac{3\pi}{70} + \frac{\pi}{7} = \frac{13\pi}{70} \)
• \( \theta_2 = \frac{3\pi}{70} + \frac{2\pi}{7} = \frac{23\pi}{70} \)
• \( \theta_3 = \frac{3\pi}{70} + \frac{3\pi}{7} = \frac{33\pi}{70} \)
• \( \theta_4 = \frac{3\pi}{70} + \frac{4\pi}{7} = \frac{43\pi}{70} \)
• \( \theta_5 = \frac{3\pi}{70} + \frac{5\pi}{7} = \frac{53\pi}{70} \)
• \( \theta_6 = \frac{3\pi}{70} + \frac{6\pi}{7} = \frac{63\pi}{70} \)

To jsou všechna řešení na intervalu \(\langle 0, 2\pi \rangle\).

Řešení příkladu 92:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos 3\theta + i \sin 3\theta)^4 = \cos 12\theta + i \sin 12\theta \)

Rovnice implikuje rovnost:

\( \cos 12\theta + i \sin 12\theta = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 12\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{5\pi}{72} + \frac{k\pi}{6} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{5\pi}{72} + \frac{k\pi}{6} < 2\pi \Rightarrow -\frac{5}{12} \le k < \frac{23}{12} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, 2, 3\).

• \( \theta_0 = \frac{5\pi}{72} \)
• \( \theta_1 = \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi}{6} = \frac{17\pi}{72} \)
• \( \theta_2 = \frac{5\pi}{72} + \frac{2\pi}{6} = \frac{29\pi}{72} \)
• \( \theta_3 = \frac{5\pi}{72} + \frac{3\pi}{6} = \frac{41\pi}{72} \)

To jsou všechna řešení v daném intervalu.

Řešení příkladu 93:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos (5\theta + \frac{\pi}{4}) + i \sin (5\theta + \frac{\pi}{4}))^3 = \cos (3(5\theta + \frac{\pi}{4})) + i \sin (3(5\theta + \frac{\pi}{4})) \)

Rovnice implikuje:

\( \cos (15\theta + \frac{3\pi}{4}) + i \sin (15\theta + \frac{3\pi}{4}) = \cos \pi + i \sin \pi \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 15\theta + \frac{3\pi}{4} = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( 15\theta = \pi – \frac{3\pi}{4} + 2k\pi = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{60} + \frac{2k\pi}{15} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{\pi}{60} + \frac{2k\pi}{15} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{8} \le k < \frac{29}{8} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, \ldots, 3\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{60} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{60} + \frac{2\pi}{15} = \frac{9\pi}{60} = \frac{3\pi}{20} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{60} + \frac{4\pi}{15} = \frac{17\pi}{60} \)
• \( \theta_3 = \frac{\pi}{60} + \frac{6\pi}{15} = \frac{25\pi}{60} = \frac{5\pi}{12} \)

To jsou všechna řešení na intervalu.

Řešení příkladu 94:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^{12} = \cos 12\theta + i \sin 12\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 12\theta + i \sin 12\theta = \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 12\theta = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{7\pi}{72} + \frac{k\pi}{6} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\):

\( 0 \le \frac{7\pi}{72} + \frac{k\pi}{6} < 2\pi \Rightarrow -\frac{7}{12} \le k < \frac{23}{12} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, 2, 3\).

• \( \theta_0 = \frac{7\pi}{72} \)
• \( \theta_1 = \frac{7\pi}{72} + \frac{\pi}{6} = \frac{19\pi}{72} \)
• \( \theta_2 = \frac{7\pi}{72} + \frac{2\pi}{6} = \frac{31\pi}{72} \)
• \( \theta_3 = \frac{7\pi}{72} + \frac{3\pi}{6} = \frac{43\pi}{72} \)

To jsou všechna řešení v intervalu.

Řešení příkladu 95:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos(4\theta – \frac{\pi}{3}) + i \sin(4\theta – \frac{\pi}{3}))^5 = \cos 5(4\theta – \frac{\pi}{3}) + i \sin 5(4\theta – \frac{\pi}{3}) \)

Rovnice implikuje:

\( \cos (20\theta – \frac{5\pi}{3}) + i \sin (20\theta – \frac{5\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 20\theta – \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( 20\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{3} + 2k\pi = \frac{13\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{13\pi}{120} + \frac{k\pi}{10} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\):

\( 0 \le \frac{13\pi}{120} + \frac{k\pi}{10} < 2\pi \Rightarrow -\frac{13}{12} \le k < \frac{107}{12} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, \ldots, 10\).

• \( \theta_0 = \frac{13\pi}{120} \)
• \( \theta_1 = \frac{13\pi}{120} + \frac{\pi}{10} = \frac{25\pi}{120} = \frac{5\pi}{24} \)
• \( \theta_2 = \frac{37\pi}{120} \)
• \( \theta_3 = \frac{49\pi}{120} \)
• \( \theta_4 = \frac{61\pi}{120} \)
• \( \theta_5 = \frac{73\pi}{120} \)
• \( \theta_6 = \frac{85\pi}{120} \)
• \( \theta_7 = \frac{97\pi}{120} \)
• \( \theta_8 = \frac{109\pi}{120} \)
• \( \theta_9 = \frac{121\pi}{120} \)
• \( \theta_{10} = \frac{133\pi}{120} \)

Řešení příkladu 96:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos \theta + i \sin \theta)^8 = \cos 8\theta + i \sin 8\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 8\theta + i \sin 8\theta = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 8\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{4} \)

Pro \(\theta < \pi\):

\( \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{4} < \pi \Rightarrow k < \frac{11}{3} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, 2, 3\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{12} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3} \)
• \( \theta_2 = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{4} = \frac{7\pi}{12} \)
• \( \theta_3 = \frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{4} = \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6} \)

Řešení příkladu 97:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)^9 = \cos 18\theta + i \sin 18\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 18\theta + i \sin 18\theta = \cos \pi + i \sin \pi \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 18\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{9} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, \pi \rangle\) platí:

\( 0 \le \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{9} \le \pi \Rightarrow -\frac{1}{2} \le k \le 8 \)

Zvolíme \(k = 0, 1, \ldots, 8\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{18} \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{9} = \frac{3\pi}{18} = \frac{\pi}{6} \)
• \( \theta_2 = \frac{5\pi}{18} \)
• \( \theta_3 = \frac{7\pi}{18} \)
• \( \theta_4 = \frac{9\pi}{18} = \frac{\pi}{2} \)
• \( \theta_5 = \frac{11\pi}{18} \)
• \( \theta_6 = \frac{13\pi}{18} \)
• \( \theta_7 = \frac{15\pi}{18} = \frac{5\pi}{6} \)
• \( \theta_8 = \frac{17\pi}{18} \)

Řešení příkladu 98:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos (3\theta + \frac{\pi}{6}) + i \sin (3\theta + \frac{\pi}{6}))^2 = \cos 2(3\theta + \frac{\pi}{6}) + i \sin 2(3\theta + \frac{\pi}{6}) \)

Rovnice tedy implikuje:

\( \cos (6\theta + \frac{\pi}{3}) + i \sin (6\theta + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 6\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( 6\theta = 2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{k\pi}{3} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\) zvolíme \(k = 0, 1, \ldots, 5\):

• \( \theta_0 = 0 \)
• \( \theta_1 = \frac{\pi}{3} \)
• \( \theta_2 = \frac{2\pi}{3} \)
• \( \theta_3 = \pi \)
• \( \theta_4 = \frac{4\pi}{3} \)
• \( \theta_5 = \frac{5\pi}{3} \)

Řešení příkladu 99:

Podle Moivreovy věty:

\( (\cos(\theta – \frac{\pi}{4}) + i \sin(\theta – \frac{\pi}{4}))^{10} = \cos 10(\theta – \frac{\pi}{4}) + i \sin 10(\theta – \frac{\pi}{4}) \)

Rovnice implikuje:

\( \cos (10\theta – \frac{10\pi}{4}) + i \sin (10\theta – \frac{10\pi}{4}) = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 10\theta – \frac{5\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( 10\theta = 4\pi + 2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{4\pi}{10} + \frac{k\pi}{5} = \frac{2\pi}{5} + \frac{k\pi}{5} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\):

\( 0 \le \frac{2\pi}{5} + \frac{k\pi}{5} < 2\pi \Rightarrow -2 \le k < 8 \)

Zvolíme \(k = 0, 1, \ldots, 7\).

• \( \theta_0 = \frac{2\pi}{5} \)
• \( \theta_1 = \frac{3\pi}{5} \)
• \( \theta_2 = \frac{4\pi}{5} \)
• \( \theta_3 = \pi \)
• \( \theta_4 = \frac{6\pi}{5} \)
• \( \theta_5 = \frac{7\pi}{5} \)
• \( \theta_6 = \frac{8\pi}{5} \)
• \( \theta_7 = \frac{9\pi}{5} \)

Řešení příkladu 100:

Podle Moivreovy věty platí:

\( (\cos(5\theta) + i \sin(5\theta))^3 = \cos 15\theta + i \sin 15\theta \)

Rovnice implikuje:

\( \cos 15\theta + i \sin 15\theta = \cos \pi + i \sin \pi \)

Argumenty se liší o \(2k\pi\):

\( 15\theta = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Vyjádříme \(\theta\):

\( \theta = \frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{15} \)

Pro \(\theta \in \langle 0, 2\pi \rangle\):

\( 0 \le \frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{15} < 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{2} \le k < \frac{29}{2} \)

Zvolíme \(k = 0, 1, \ldots, 14\).

• \( \theta_0 = \frac{\pi}{15} \)
• \( \theta_1 = \frac{3\pi}{15} = \frac{\pi}{5} \)
• \( \theta_2 = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3} \)
• \( \theta_3 = \frac{7\pi}{15} \)
• \( \theta_4 = \frac{9\pi}{15} = \frac{3\pi}{5} \)
• \( \theta_5 = \frac{11\pi}{15} \)
• \( \theta_6 = \frac{13\pi}{15} \)
• \( \theta_7 = \frac{15\pi}{15} = \pi \)
• \( \theta_8 = \frac{17\pi}{15} \)
• \( \theta_9 = \frac{19\pi}{15} \)
• \( \theta_{10} = \frac{21\pi}{15} \)
• \( \theta_{11} = \frac{23\pi}{15} \)
• \( \theta_{12} = \frac{25\pi}{15} \)
• \( \theta_{13} = \frac{27\pi}{15} \)
• \( \theta_{14} = \frac{29\pi}{15} \)