Náhodný pokus a jev

Řešení:

Celkový počet kuliček je součet červených a modrých, tedy \( 5 + 7 = 12 \).

Počet příznivých výsledků, tedy červených kuliček, je \( 5 \).

Pravděpodobnost je podíl příznivých výsledků ku všem možným výsledkům:

\( P(\text{červená}) = \frac{5}{12} \)

Řešení:

Možné výsledky hodu kostkou jsou čísla \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \).

Sudá čísla jsou \( 2, 4, 6 \), tedy jsou tři příznivé výsledky.

Pravděpodobnost, že padne sudé číslo, je podíl příznivých výsledků ku všem možnostem:

\( P(\text{sudé}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Řešení:

V balíčku jsou \( 4 \) barvy, každá obsahuje \( 13 \) karet.

Počet srdcových karet je \( 13 \), protože každá barva obsahuje \( 13 \) karet.

Celkový počet karet je \( 52 \), protože balíček obsahuje \( 4 \times 13 = 52 \) karet.

Pravděpodobnost, že vytáhneme srdcovou kartu, je podíl počtu srdcových karet ku celkovému počtu karet:

\( P(\text{srdcová}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \)

Řešení:

Pravděpodobnost, že první kulička bude zelená, je:

\( P_1(\text{zelená}) = \frac{2}{5} \), protože v urně jsou \( 2 \) zelené kuličky a celkový počet kuliček je \( 5 \).

Jelikož kulička je vrácena zpět, pravděpodobnost druhé kuličky je stejná, tedy také \( \frac{2}{5} \).

Pravděpodobnost, že obě kuličky budou zelené, je součin těchto pravděpodobností:

\( P = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25} \)

Řešení:

Celkový počet žáků je \( 12 + 15 = 27 \).

Počet děvčat je \( 15 \).

Pravděpodobnost, že vybereme děvče, je podíl počtu děvčat ku celkovému počtu žáků:

\( P(\text{děvče}) = \frac{15}{27} = \frac{5}{9} \)

Řešení:

Počet všech možných výsledků při hodu dvěma kostkami je \( 6 \times 6 = 36 \), protože každá kostka má \( 6 \) stran a hodíme dvě.

Příznivé výsledky pro součet \( 7 \) jsou: \( (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \), tedy máme \( 6 \) možností.

Pravděpodobnost, že součet hodnot bude \( 7 \), je podíl příznivých výsledků ku celkovému počtu možných výsledků:

\( P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)

Řešení:

Čísla, která jsou dělitelná \( 3 \), jsou: \( 3, 6, 9 \), tedy máme \( 3 \) příznivá čísla.

Celkový počet kuliček je \( 10 \), protože máme kuličky s číslicemi od \( 1 \) do \( 10 \).

Pravděpodobnost, že vybereme kuličku s číslem dělitelné \( 3 \), je podíl počtu příznivých čísel ku celkovému počtu kuliček:

\( P = \frac{3}{10} \)

Řešení:

Nejdříve spočítáme pravděpodobnost, že nepadne ani jedna panna, tedy že padnou jen orli. Pravděpodobnost, že padne orol v prvním hodu, je \( \frac{1}{2} \), a že padne orol i ve druhém hodu, je opět \( \frac{1}{2} \). Tedy pravděpodobnost, že padnou pouze orli, je:

\( P(\text{jen orli}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)

Pravděpodobnost, že padne alespoň jedna panna, je doplněk této události. To znamená, že pravděpodobnost alespoň jedné panny je:

\( P = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)

Řešení:

Počet bílých kuliček je \( 8 \), počet černých kuliček je \( 4 \), a celkový počet kuliček je tedy \( 8 + 4 = 12 \).

Pravděpodobnost, že vybereme bílou nebo černou kuličku, je podíl počtu bílých a černých kuliček ku celkovému počtu kuliček:

\( P = \frac{8 + 4}{12} = \frac{12}{12} = 1 \)

To znamená, že událost, že vybereme bílou nebo černou kuličku, nastane vždy, a proto je pravděpodobnost rovna \( 1 \).

Řešení:

Pravděpodobnost, že první kulička bude modrá, je:

\( P_1(\text{modrá}) = \frac{6}{10} \), protože máme \( 6 \) modrých kuliček z celkových \( 10 \) kuliček.

Po vybrání modré kuličky zbývá v krabičce \( 5 \) modrých kuliček a celkový počet kuliček se sníží na \( 9 \).

Pravděpodobnost, že druhá kulička bude modrá, je:

\( P_2(\text{modrá}) = \frac{5}{9} \)

Pravděpodobnost, že obě kuličky budou modré, je součin těchto dvou pravděpodobností:

\( P = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \)

Řešení:

Počet červených kuliček je \( 3 \), modrých \( 5 \), a celkový počet kuliček v krabičce je \( 3 + 4 + 5 = 12 \).

Počet příznivých výsledků pro červenou nebo modrou kuličku je \( 3 + 5 = 8 \).

Pravděpodobnost, že vybereme buď červenou nebo modrou kuličku, je podíl příznivých výsledků ku celkovému počtu kuliček:

\( P = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)

Řešení:

Celkový počet možných výsledků při hodu dvěma kostkami je \( 6 \times 6 = 36 \), protože každá kostka má \( 6 \) stran a hodíme dvě.

Příznivé výsledky pro součet \( 4 \) jsou: \( (1, 3), (2, 2), (3, 1) \), tedy máme \( 3 \) možnosti.

Příznivé výsledky pro součet \( 5 \) jsou: \( (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) \), tedy máme \( 4 \) možnosti.

Celkový počet příznivých výsledků je \( 3 + 4 = 7 \).

Pravděpodobnost, že součet bude \( 4 \) nebo \( 5 \), je podíl příznivých výsledků ku celkovému počtu možných výsledků:

\( P = \frac{7}{36} \)

Řešení:

Mezi čísly \( 1 \) až \( 20 \) je stejný počet párných a nepárných čísel, protože mezi nimi jsou \( 10 \) nepárných čísel (např. \( 1, 3, 5, \ldots, 19 \)).

Pravděpodobnost, že vybereme žáka s nepárným číslem, je podíl nepárných čísel ku celkovému počtu žáků:

\( P = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \)

Řešení:

Čísla menší než \( 3 \) jsou \( 1 \) a \( 2 \), tedy \( 2 \) možnosti. Čísla větší než \( 5 \) je pouze \( 6 \), tedy \( 1 \) možnost.

Celkový počet příznivých výsledků je \( 2 + 1 = 3 \).

Celkový počet možných výsledků při hodu jednou kostkou je \( 6 \), protože kostka má \( 6 \) stran.

Pravděpodobnost, že padne číslo menší než \( 3 \) nebo větší než \( 5 \), je podíl příznivých výsledků ku celkovému počtu výsledků:

\( P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Řešení:

Pravděpodobnost, že první kulička bude bílá, je:

\( P_1(\text{bílá}) = \frac{7}{10} \), protože máme \( 7 \) bílých kuliček a celkový počet kuliček je \( 10 \).

Po vybrání první bílé kuličky zbývá \( 7 – 1 = 6 \) bílých kuliček a celkový počet kuliček je \( 9 \).

Pravděpodobnost, že druhá kulička bude bílá, je:

\( P_2(\text{bílá}) = \frac{6}{9} \)

Celková pravděpodobnost, že obě kuličky budou bílé, je součin těchto pravděpodobností:

\( P = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \)

Řešení:

Celkový počet možných výsledků při třech hodech mincí je \( 2^3 = 8 \), protože při každém hodu jsou dvě možnosti: panna (P) nebo orel (O).

Možnosti, kdy padne přesně jedna panna, jsou: \( \text{POO}, \text{OPO}, \text{OOP} \) (kde \( P \) označuje pannu a \( O \) orla). Těchto možností je \( 3 \).

Pravděpodobnost, že padne přesně jedna panna, je tedy podíl příznivých výsledků ku celkovému počtu výsledků:

\( P = \frac{3}{8} \)

Řešení:

Počet dívek je \( 40 – 18 = 22 \), protože z \( 40 \) žáků je \( 18 \) chlapců.

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný žák bude dívka, je podíl počtu dívek ku celkovému počtu žáků:

\( P = \frac{22}{40} = \frac{11}{20} \)

Řešení:

Celkový počet výsledků při hodu dvěma kostkami je \( 6 \times 6 = 36 \), protože každá kostka má \( 6 \) stran.

Pravděpodobnost, že žádná kostka nepadne na \( 6 \) (tedy obě kostky mají hodnoty z \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \)) je:

\( \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36} \)

Pravděpodobnost, že aspoň jedna kostka padne na \( 6 \), je doplněk k pravděpodobnosti, že žádná kostka nepadne na \( 6 \):

\( P = 1 – \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \)

Řešení:

Počet modrých a žlutých kuliček je \( 5 + 2 = 7 \).

Celkový počet kuliček v krabičce je \( 5 + 3 + 2 = 10 \).

Pravděpodobnost, že vybereme modrou nebo žlutou kuličku, je podíl příznivých výsledků ku celkovému počtu kuliček:

\( P = \frac{7}{10} \)

Řešení:

Čísla větší než \( 2 \) jsou: \( 3, 4, 5, 6 \).

Mezi těmito čísly jsou párná čísla \( 4 \) a \( 6 \) – tedy \( 2 \) možnosti.

Celkový počet možných výsledků při hodu jednou kostkou je \( 6 \), protože kostka má \( 6 \) stran.

Pravděpodobnost, že padne číslo větší než \( 2 \) a zároveň párné, je podíl příznivých výsledků ku celkovému počtu výsledků:

\( P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Řešení:

Celkový počet žáků ve třídě je \( 8 + 12 = 20 \).

Počet chlapců je \( 12 \), takže pravděpodobnost, že náhodně vybereme chlapce, je podíl počtu chlapců ku celkovému počtu žáků:

\( P = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \)

Řešení:

Čísla dělitelné \( 4 \) mezi \( 1 \) a \( 20 \) jsou: \( 4, 8, 12, 16, 20 \). Těchto čísel je \( 5 \).

Celkový počet čísel v množině je \( 20 \), takže pravděpodobnost, že náhodně vybereme číslo dělitelné \( 4 \), je:

\( P = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \)

Řešení:

Pro minci: pravděpodobnost, že padne panna, je \( \frac{1}{2} \).

Pro kostku: čísla větší než \( 4 \) jsou \( 5 \) a \( 6 \), což jsou \( 2 \) možnosti z \( 6 \) ⇒ pravděpodobnost je \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

Vzhledem k tomu, že mince a kostka jsou nezávislé, pravděpodobnost, že padne panna a číslo větší než \( 4 \), je součin pravděpodobností:

\( P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \)

Řešení:

Celkový počet kuliček v krabičce je \( 6 + 2 + 2 = 10 \).

Počet kuliček, které nejsou černé, je \( 2 + 2 = 4 \), tedy čtyři kuličky jsou buď bílé nebo červené.

Pravděpodobnost, že vybereme kuličku, která není černá, je podíl počtu nečerných kuliček ku celkovému počtu kuliček:

\( P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)

Řešení:

Pravděpodobnost, že na jedné kostce padne \( 1 \), je \( \frac{1}{6} \), protože kostka má \( 6 \) stran.

Pokud házíme třemi kostkami, pravděpodobnost, že na každé padne \( 1 \), je součin pravděpodobností pro každou kostku:

\( P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{216} \)

Řešení:

Slovo „PRAVDA“ obsahuje \( 6 \) písmen, a to konkrétně: \( \text{P}, \text{R}, \text{A}, \text{V}, \text{D}, \text{A} \).

Samohlásky ve slově jsou \( A \) a \( A \), tedy máme \( 2 \) samohlásky.

Celkový počet písmen je \( 6 \). Pravděpodobnost, že náhodně vybereme samohlásku, je tedy podíl počtu samohlásek ku celkovému počtu písmen:

\( P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Řešení:

Počet studentů, kteří nosí brýle, je \( 40 \), celkový počet studentů je \( 100 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme studenta, který nosí brýle, je podíl počtu studentů, kteří nosí brýle, ku celkovému počtu studentů:

\( P = \frac{40}{100} = \frac{2}{5} \)

Řešení:

Čísla, která jsou nepárná mezi \( 1 \) a \( 10 \), jsou \( 1, 3, 5, 7, 9 \). Těchto nepárných čísel je \( 5 \).

Celkový počet čísel v sadě je \( 10 \). Pravděpodobnost, že náhodně vybereme nepárné číslo, je podíl počtu nepárných čísel ku celkovému počtu čísel:

\( P = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

Řešení:

Pravděpodobnost, že první vybraný žák bude dívka, je \( \frac{10}{25} \).

Po prvním výběru zbývá \( 24 \) žáků, z nichž \( 9 \) jsou dívky. Pravděpodobnost, že druhý vybraný žák bude také dívka, je \( \frac{9}{24} \).

Pravděpodobnost, že oba vybraní žáci budou dívky, je součin těchto dvou pravděpodobností:

\( P = \frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24} = \frac{90}{600} = \frac{3}{20} \)

Řešení:

Celkový počet kuliček v pytli je \( 5 + 4 + 3 = 12 \).

Počet kuliček, které nejsou bílé, je \( 4 + 3 = 7 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme kuličku, která nebude bílá, je podíl počtu ne-bílých kuliček ku celkovému počtu kuliček:

\( P = \frac{7}{12} \)

Řešení:

V balíčku \( 32 \) karet jsou čtyři barvy: srdce, káro, kríž, pik. Každá barva obsahuje \( 8 \) karet.

Počet srdcových karet je tedy \( 8 \).

Celkový počet karet v balíčku je \( 32 \). Pravděpodobnost, že náhodně vybereme srdcovou kartu, je podíl počtu srdcových karet k celkovému počtu karet v balíčku:

\( P = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \)

Řešení:

Celkový počet kuliček je \( 10 + 5 + 5 = 20 \).

Počet modrých nebo červených kuliček je \( 5 + 5 = 10 \).

Pravděpodobnost, že vybereme modrou nebo červenou kuličku, je podíl počtu modrých nebo červených kuliček ku celkovému počtu kuliček:

\( P = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \)

Řešení:

Násobky \( 10 \) mezi \( 1 \) a \( 100 \) jsou: \( 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 \). Těchto násobků je \( 10 \).

Celkový počet čísel v množině je \( 100 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme číslo, které je násobkem \( 10 \), je podíl počtu násobků \( 10 \) ku celkovému počtu čísel:

\( P = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} \)

Řešení:

Možnosti, jak získat součet \( 7 \), jsou následující:

• (\( 1, 6 \))
• (\( 2, 5 \))
• (\( 3, 4 \))
• (\( 4, 3 \))
• (\( 5, 2 \))
• (\( 6, 1 \))

Existuje tedy \( 6 \) možností, jak hodit součet \( 7 \).

Celkový počet možných výsledků při hodu dvěma kockami je \( 6 \cdot 6 = 36 \), protože každá kocka má \( 6 \) stran.

Pravděpodobnost, že součet hodnot bude \( 7 \), je tedy podíl počtu možností, jak hodit \( 7 \), ku celkovému počtu možností:

\( P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)

Řešení:

Počet chlapců je \( 15 – 9 = 6 \), protože celkový počet žáků je \( 15 \) a počet dívek je \( 9 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme chlapce, je podíl počtu chlapců ku celkovému počtu žáků:

\( P = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \)

Řešení:

Na kostce jsou čísla \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \). Párné čísla jsou: \( 2, 4, 6 \), což jsou \( 3 \) možnosti.

Jednotka je číslo \( 1 \), což je \( 1 \) možnost.

Protože mezi párnými čísly a jednotkou není žádné překrytí, máme dohromady \( 4 \) možnosti: \( 1, 2, 4, 6 \).

Celkový počet možných výsledků na kostce je \( 6 \). Pravděpodobnost, že padne párné číslo nebo jednotka, je podíl počtu těchto možností ku celkovému počtu možností:

\( P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

Řešení:

Slovo „MATEMATIKA“ má \( 10 \) písmen.

Písmeno \( M \) se v tomto slově vyskytuje \( 2 \)-krát.

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme písmeno \( M \), je podíl počtu písmen \( M \) ku celkovému počtu písmen ve slově:

\( P = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)

Řešení:

Pravděpodobnost, že při jednom hodu padne šestka, je \( \frac{1}{6} \), protože na kostce je šest možností a jedna z nich je šestka.

Pro dva nezávislé hody (první a druhý hod) se pravděpodobnosti násobí:

\( P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \)

Řešení:

V každém balíčku jsou \( 4 \) esa.

Pravděpodobnost, že z prvního balíčku vybereme eso, je \( \frac{4}{32} \), protože balíček má \( 32 \) karet a \( 4 \) z nich jsou esa.

Podobně pravděpodobnost, že z druhého balíčku vybereme eso, je také \( \frac{4}{32} \).

Obě události jsou nezávislé, takže pravděpodobnost, že obě vybereme esa, je součin pravděpodobností:

\( P = \frac{4}{32} \cdot \frac{4}{32} = \frac{16}{1024} = \frac{1}{64} \)

Řešení:

Celkový počet kuliček je \( 6 + 4 + 2 = 12 \).

Počet bílých a černých kuliček je \( 6 + 4 = 10 \).

Pravděpodobnost, že vybereme bílou nebo černou kuličku, je podíl počtu bílých a černých kuliček ku celkovému počtu kuliček:

\( P = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \)

Řešení:

Čísla dělitelná \( 5 \) jsou: \( 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 \). Je jich tedy \( 10 \).

Celkový počet možností je \( 50 \), protože vybíráme číslo z množiny \( \{1, 2, \dots, 50\} \).

Pravděpodobnost, že vybrané číslo bude dělitelné \( 5 \), je podíl počtu příznivých možností (čísla dělitelná \( 5 \)) a celkového počtu možností (všech čísel od \( 1 \) do \( 50 \)):

\( P = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \)

Řešení:

Čísla menší než \( 8 \) jsou: \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \), což jsou \( 7 \) možnosti.

Čísla větší než \( 15 \) jsou: \( 16, 17, 18, 19, 20 \), což jsou \( 5 \) možnosti.

Celkový počet příznivých možností je tedy \( 7 + 5 = 12 \).

Celkový počet možností je \( 20 \), protože máme \( 20 \) míčků.

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný míček bude mít číslo menší než \( 8 \) nebo větší než \( 15 \), je podíl příznivých možností ku celkovému počtu možností:

\( P = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \)

Řešení:

Počet žáků, kteří nemají brýle, je \( 12 – 3 = 9 \).

Celkový počet žáků je \( 12 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný žák nebude mít brýle, je podíl počtu žáků bez brýlí ku celkovému počtu žáků:

\( P = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)

Řešení:

Možnosti, kdy padnou dvě hlavy a jedna orel (označme H za hlavu a T za orla) jsou: \( \text{HTH}, \text{HHT}, \text{THH} \). To jsou \( 3 \) možnosti.

Celkový počet možností, jak může padnout výsledek při třech hodech mincí, je \( 2^3 = 8 \), protože pro každý hod jsou dvě možnosti: H nebo T.

Pravděpodobnost, že padnou právě dvě hlavy, je podíl příznivých možností (dvě hlavy) ku celkovému počtu možností (všechny možné výsledky hodů třemi mincemi):

\( P = \frac{3}{8} \)

Řešení:

Počet nevýherních obálek je \( 6 – 1 = 5 \).

Celkový počet obálek je \( 6 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme nevýherní obálku, je podíl počtu nevýherních obálek ku celkovému počtu obálek:

\( P = \frac{5}{6} \)

Řešení:

Pro výpočet použijeme doplňkovou pravděpodobnost, tedy spočítáme pravděpodobnost, že na žádné kostce nepadne \( 6 \), a tu odečteme od \( 1 \).

Pravděpodobnost, že na jedné kostce nepadne \( 6 \), je \( \frac{5}{6} \), protože na každé kostce je 6 možností a 5 z nich není \( 6 \).

Proto pravděpodobnost, že na obou kostkách nepadne \( 6 \), je \( \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36} \).

Pravděpodobnost, že na alespoň jedné kostce padne \( 6 \), je tedy doplňková pravděpodobnost:

\( P = 1 – \frac{25}{36} = \frac{36}{36} – \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \)

Řešení:

Celkový počet kuliček je \( 8 + 6 + 6 = 20 \).

Počet kuliček, které nejsou zelené, je \( 8 + 6 = 14 \), protože jsou to buď žluté, nebo modré kuličky.

Pravděpodobnost, že vybereme kuličku, která není zelená, je podíl počtu nezelených kuliček a celkového počtu kuliček:

\( P = \frac{14}{20} = \frac{7}{10} \)

Řešení:

Prvočísla menší než \( 20 \) jsou: \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 \). Je jich tedy \( 8 \).

Celkový počet čísel v intervalu \( 1 \) až \( 100 \) je \( 100 \).

Pravděpodobnost, že vybrané číslo bude prvočíslo menší než \( 20 \), je podíl počtu prvočísel menších než \( 20 \) a celkového počtu čísel v intervalu:

\( P = \frac{8}{100} = \frac{2}{25} \)

Řešení:

Celkový počet žáků je \( 10 + 5 = 15 \).

Počet dívek je \( 10 \), protože máme \( 10 \) dívek a \( 5 \) chlapců.

Pravděpodobnost, že vybraný žák bude dívka, je podíl počtu dívek a celkového počtu žáků:

\( P = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)

Řešení:

Počet písmen v abecedě je \( 26 \), protože česká abeceda obsahuje \( 26 \) písmen.

Počet samohlásek je \( 6 \), protože samohlásky jsou \( A, E, I, O, U, Y \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme samohlásku, je podíl počtu samohlásek a celkového počtu písmen v abecedě:

\( P = \frac{6}{26} = \frac{3}{13} \)

Řešení:

Počet čísel dělitelných 3: \( \left\lfloor \frac{100}{3} \right\rfloor = 33 \)

Počet čísel dělitelných 4: \( \left\lfloor \frac{100}{4} \right\rfloor = 25 \)

Počet čísel dělitelných 12 (společný násobek 3 a 4): \( \left\lfloor \frac{100}{12} \right\rfloor = 8 \)

Počet příznivých výsledků: \( 33 + 25 – 8 = 50 \)

Pravděpodobnost: \( P = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} \)

Ve výsledku tedy máme pravděpodobnost \( P = \frac{1}{2} \), což znamená, že polovina čísel je dělitelná 3 nebo 4.

Řešení:

Možnosti pro čísla větší než \(2\) a menší než \(6\): \( 3, 4, 5 \) → 3 případy.

Pravděpodobnost: \( P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost \( P = \frac{1}{2} \), což znamená, že polovina všech hodů padne do požadovaného rozsahu.

Řešení:

Počet všech kuliček: \( 10 + 5 + 5 = 20 \)

Počet nečervených kuliček: \( 5 + 5 = 10 \)

Pravděpodobnost, že kulička nebude červená: \( P = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \)

Ve výsledku máme pravděpodobnost \( P = \frac{1}{2} \), což znamená, že polovina kuliček není červená.

Řešení:

Počet žáků mimo zimu: \( 18 – 7 = 11 \)

Pravděpodobnost, že žák má narozeniny v jiném ročním období: \( P = \frac{11}{18} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost \( P = \frac{11}{18} \), což znamená, že většina žáků má narozeniny v jiném ročním období než v zimě.

Řešení:

Možné výsledky hodu dvěma mincemi: \( HH, HZ, ZH, ZZ \) → celkem 4 možnosti.

Počet příznivých výsledků (dvě různé strany): \( HZ, ZH \) → 2 možnosti.

Pravděpodobnost, že padnou dvě různé strany: \( P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost \( P = \frac{1}{2} \), což znamená, že polovina všech hodů skončí dvěma různými stranami.

Řešení:

Počet všech karet: \( 5 + 7 = 12 \)

Počet bílých karet: \( 7 \)

Pravděpodobnost, že vybereme bílou kartu: \( P = \frac{7}{12} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že náhodně vybereme bílou kartu, rovna \( P = \frac{7}{12} \), což znamená, že z 12 karet je 7 bílých.

Řešení:

Počet čísel v množině \( \{10, 11, \dots, 30\} \): \( 30 – 10 + 1 = 21 \)

Sudá čísla: \( 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 \)

Jedná se o aritmetický postup s diferencí \( 2 \), kde prvním členem je \( 10 \) a posledním \( 30 \).

Počet sudých čísel: \( \frac{30 – 10}{2} + 1 = 11 \)

Pravděpodobnost, že vybereme sudé číslo: \( P = \frac{11}{21} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme sudé číslo, rovna \( P = \frac{11}{21} \), což znamená, že z 21 čísel je 11 sudých.

Řešení:

Násobky \( 2 \): \( 2, 4, 6 \)

Násobky \( 3 \): \( 3, 6 \)

Společné násobky \( 2 \) a \( 3 \): \( 6 \)

Možné příznivé výsledky jsou \( 2, 3, 4, 6 \), celkem \( 4 \) čísla.

Pravděpodobnost, že padne číslo násobkem \( 2 \) nebo \( 3 \): \( P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že padne číslo násobkem \( 2 \) nebo \( 3 \), rovna \( P = \frac{2}{3} \), což znamená, že dvě třetiny možných hodů budou násobky \( 2 \) nebo \( 3 \).

Řešení:

Počet černých a ovocných čajů: \( 6 + 4 = 10 \)

Celkový počet čajů: \( 15 \)

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný čaj bude černý nebo ovocný: \( P = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že čaj bude černý nebo ovocný, rovna \( P = \frac{2}{3} \), což znamená, že z 15 čajů jsou 10 čajů černé nebo ovocné.

Řešení:

Čísla větší než \( 90 \): \( 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100 \)

Celkem \( 10 \) čísel.

Pravděpodobnost, že vybereme číslo větší než \( 90 \): \( P = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme číslo větší než \( 90 \), rovna \( P = \frac{1}{10} \), což znamená, že z \( 100 \) čísel je \( 10 \) čísel větších než \( 90 \).

Řešení:

Prvočísla mezi \( 1 \) a \( 50 \): \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 \)

Celkový počet prvočísel v tomto intervalu je \( 15 \).

Počet všech možných čísel: \( 50 \) (čísla od \( 1 \) do \( 50 \)).

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme prvočíslo, je dána poměrem počtu prvočísel k celkovému počtu čísel:

\( P = \frac{15}{50} = \frac{3}{10} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme prvočíslo, rovna \( P = \frac{3}{10} \), což znamená, že z \( 50 \) čísel je \( 15 \) prvočísel.

Řešení:

Počet kuliček, které nejsou zelené, je součet červených a modrých kuliček: \( 4 + 3 = 7 \)

Celkový počet kuliček v krabici je \( 4 + 3 + 5 = 12 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme kuličku, která není zelená, je dána poměrem počtu nezelených kuliček k celkovému počtu kuliček:

\( P = \frac{7}{12} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme kuličku, která není zelená, rovna \( P = \frac{7}{12} \), což znamená, že z \( 12 \) kuliček je \( 7 \) nezelených.

Řešení:

Čísla dělitelné \( 2 \) jsou: \( 2, 4, 6 \)

Čísla dělitelné \( 5 \) jsou: \( 5 \)

Problém se týká čísel, která jsou dělitelná buď \( 2 \), nebo \( 5 \). Násobky \( 2 \) a \( 5 \) jsou: \( 2, 4, 5, 6 \), celkem \( 4 \) příznivé výsledky.

Celkový počet možných výsledků při hodu kostkou je \( 6 \) (čísla \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \)).

Pravděpodobnost, že padne číslo dělitelné \( 2 \) nebo \( 5 \), je dána poměrem počtu příznivých výsledků k počtu možných výsledků:

\( P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že padne číslo dělitelné \( 2 \) nebo \( 5 \), rovna \( P = \frac{2}{3} \), což znamená, že dvě třetiny hodů kostkou budou násobky \( 2 \) nebo \( 5 \).

Řešení:

Samohlásky v české abecedě jsou: \( a, e, i, o, u \), celkem \( 5 \) samohlásek.

Celkový počet písmen v abecedě je \( 26 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme samohlásku, je dána poměrem počtu samohlásek k celkovému počtu písmen v abecedě:

\( P = \frac{5}{26} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme samohlásku, rovna \( P = \frac{5}{26} \), což znamená, že z \( 26 \) písmen abecedy je \( 5 \) samohlásek.

Řešení:

Počet chlapců v třídě je \( 20 – 8 = 12 \) (protože je \( 8 \) dívek).

Celkový počet žáků v třídě je \( 20 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný žák bude chlapec, je dána poměrem počtu chlapců k celkovému počtu žáků:

\( P = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme chlapce, rovna \( P = \frac{3}{5} \), což znamená, že ze \( 20 \) žáků je \( 12 \) chlapců.

Řešení:

Možnosti výsledků při hodu třemi mincemi jsou následující: \( HHH, HHZ, HZH, ZHH, HZZ, ZHZ, ZZH, ZZZ \). Celkový počet možných výsledků je tedy \( 8 \), protože pro každou minci máme dvě možnosti (hlava nebo orel).

Chceme zjistit pravděpodobnost, že padnou přesně dvě hlavy. Tedy musíme spočítat, kolik výsledků obsahuje přesně dvě hlavy. Z výše uvedených možností jsou to tyto: \( HHZ, HZH, ZHH \). Celkový počet příznivých výsledků je tedy \( 3 \).

Pravděpodobnost, že padnou přesně dvě hlavy, je tedy dána poměrem příznivých výsledků k celkovému počtu možností:

\( P = \frac{3}{8} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že padnou dvě hlavy, rovna \( P = \frac{3}{8} \), což znamená, že ze \( 8 \) možností jsou \( 3 \) příznivé výsledky.

Řešení:

Celkový počet karet v balíku je \( 40 \), z toho \( 10 \) jsou černé karty. Karty, které nejsou černé, jsou tedy ty, které nejsou černé, což spočítáme jako: \( 40 – 10 = 30 \) karet.

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme kartu, která není černá, je dána poměrem počtu karet, které nejsou černé, k celkovému počtu karet v balíku:

\( P = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme kartu, která není černá, rovna \( P = \frac{3}{4} \), což znamená, že ze \( 40 \) karet je \( 30 \) karet, které nejsou černé.

Řešení:

Dvojciferná čísla jsou čísla od \( 10 \) do \( 99 \), tedy celkem \( 90 \) čísel.

Nejmenší dvojciferné číslo, které je dělitelné \( 7 \), je \( 14 \), a největší dvojciferné číslo dělitelné \( 7 \) je \( 98 \).

Počet dvojciferných čísel dělitelných \( 7 \) spočítáme pomocí vzorce: \[ \frac{98 – 14}{7} + 1 = 13 \] Tedy existuje \( 13 \) dvojciferných čísel, která jsou dělitelná \( 7 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme číslo dělitelné \( 7 \), je dána poměrem počtu dvojciferných čísel dělitelných \( 7 \) k celkovému počtu dvojciferných čísel:

\( P = \frac{13}{90} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme číslo dělitelné \( 7 \), rovna \( P = \frac{13}{90} \), což znamená, že z \( 90 \) dvojciferných čísel je \( 13 \) dělitelné \( 7 \).

Řešení:

Možnosti pro součet \( 7 \) při hodu dvěma kostkami jsou následující: \( (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \). Celkový počet příznivých výsledků je tedy \( 6 \).

Celkový počet možností při hodu dvěma kostkami je \( 6 \times 6 = 36 \), protože pro každou kostku máme \( 6 \) možností (čísla od \( 1 \) do \( 6 \)).

Pravděpodobnost, že součet padne \( 7 \), je dána poměrem příznivých výsledků k celkovému počtu možností:

\( P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že součet hodu dvou kostek bude \( 7 \), rovna \( P = \frac{1}{6} \), což znamená, že z \( 36 \) možných výsledků je \( 6 \) příznivých pro součet \( 7 \).

Řešení:

Celkový počet dětí ve třídě je \( 12 + 18 = 30 \).

Počet dívek ve třídě je \( 12 \), takže pravděpodobnost, že náhodně vybrané dítě bude dívka, je dána poměrem počtu dívek k celkovému počtu dětí:

\( P = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme dívku, rovna \( P = \frac{2}{5} \), což znamená, že z \( 30 \) dětí je \( 12 \) dívek.

Řešení:

Možné výsledky při hodu dvěma mincemi jsou následující: \( HH, HT, TH, TT \). Celkový počet možných výsledků je tedy \( 4 \), protože každá mince může padnout buď na hlavu, nebo orel.

Chceme zjistit pravděpodobnost, že padne alespoň jedna hlava. To znamená, že musíme vyloučit případ, kdy nepadne žádná hlava (tedy \( TT \)).

Počet příznivých výsledků je tedy \( HH, HT, TH \), což jsou \( 3 \) výsledky.

Pravděpodobnost, že padne alespoň jedna hlava, je dána poměrem příznivých výsledků k celkovému počtu možných výsledků:

\( P = \frac{3}{4} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna hlava, rovna \( P = \frac{3}{4} \), což znamená, že ze \( 4 \) možných výsledků jsou \( 3 \) příznivé pro alespoň jednu hlavu.

Řešení:

Počet násobků čísla \( 3 \) v množině \( \{1, 2, \dots, 30\} \) je \( 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 \), což je celkem \( 10 \) čísel.

Počet násobků čísla \( 4 \) je \( 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 \), což je celkem \( 7 \) čísel.

Počet společných násobků \( 3 \) a \( 4 \), tedy násobků čísla \( 12 \), je \( 12, 24 \), což jsou \( 2 \) čísla.

Počet příznivých výsledků je tedy dán součtem násobků \( 3 \) a \( 4 \) a odečtením společných násobků \( 12 \):

\( 10 + 7 – 2 = 15 \)

Celkový počet možností je \( 30 \), protože vybíráme z množiny \( \{1, 2, \dots, 30\} \).

Pravděpodobnost, že vybereme číslo, které je násobkem \( 3 \) nebo \( 4 \), je dána poměrem příznivých výsledků k celkovému počtu možností:

\( P = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme číslo, které je násobkem \( 3 \) nebo \( 4 \), rovna \( P = \frac{1}{2} \), což znamená, že z \( 30 \) čísel je \( 15 \) příznivých.

Řešení:

Počet násobků čísla \( 5 \) v množině \( \{1, 2, \dots, 25\} \) je \( 5, 10, 15, 20, 25 \), což je celkem \( 5 \) čísel.

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme číslo dělitelné \( 5 \), je dána poměrem počtu násobků čísla \( 5 \) k celkovému počtu lístků v osudí:

\( P = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme číslo dělitelné \( 5 \), rovna \( P = \frac{1}{5} \), což znamená, že z \( 25 \) lístků je \( 5 \) násobků čísla \( 5 \).

Řešení:

Celkový počet kuliček v pytlíku je \( 6 + 3 + 1 = 10 \).

Počet bílých kuliček je \( 6 \), takže pravděpodobnost, že vybereme bílou kuličku, je dána poměrem počtu bílých kuliček k celkovému počtu kuliček:

\( P = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme bílou kuličku, rovna \( P = \frac{3}{5} \), což znamená, že z \( 10 \) kuliček je \( 6 \) bílých.

Řešení:

Měsíce, které mají \( 31 \) dní, jsou: leden, březen, květen, červenec, srpen, říjen, prosinec, což jsou \( 7 \) měsíce.

Celkový počet měsíců v roce je \( 12 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme měsíc, který má \( 31 \) dní, je dána poměrem počtu měsíců s \( 31 \) dny k celkovému počtu měsíců v roce:

\( P = \frac{7}{12} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme měsíc, který má \( 31 \) dní, rovna \( P = \frac{7}{12} \), což znamená, že ze \( 12 \) měsíců je \( 7 \) měsíců, které mají \( 31 \) dní.

Řešení:

Celkový počet žáků ve škole je \( 120 \), z toho \( 72 \) žáků má brýle. To znamená, že počet žáků, kteří brýle nemají, je roven:

\( 120 – 72 = 48 \)

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný žák brýle nemá, je dána poměrem počtu žáků, kteří brýle nemají, k celkovému počtu žáků ve škole:

\( P = \frac{48}{120} = \frac{2}{5} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že náhodně vybraný žák brýle nemá, rovna \( P = \frac{2}{5} \), což znamená, že z \( 120 \) žáků má \( 48 \) žáků brýle a zbytek je bez brýlí.

Řešení:

Dvojciferná čísla jsou všechna čísla od \( 10 \) do \( 99 \), tedy všechna čísla mezi \( 10 \) a \( 99 \), včetně. Počet dvojciferných čísel je tedy roven:

\( 99 – 10 + 1 = 90 \)

Celkový počet čísel, která můžeme vybrat, je \( 100 \), protože vybíráme číslo od \( 1 \) do \( 100 \).

Pravděpodobnost, že vybereme dvojciferné číslo, je tedy dána poměrem počtu dvojciferných čísel k celkovému počtu možností:

\( P = \frac{90}{100} = \frac{9}{10} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme dvojciferné číslo, rovna \( P = \frac{9}{10} \), což znamená, že z \( 100 \) čísel je \( 90 \) dvojciferných.

Řešení:

Kostka má šest stran, na kterých jsou čísla od \( 1 \) do \( 6 \). Chceme zjistit pravděpodobnost, že padne číslo menší než \( 5 \). Čísla menší než \( 5 \) jsou: \( 1, 2, 3, 4 \).

Počet příznivých výsledků je tedy \( 4 \), protože jsou čtyři čísla, která jsou menší než \( 5 \).

Celkový počet možných výsledků je \( 6 \), protože kostka má šest stran.

Pravděpodobnost, že padne číslo menší než \( 5 \), je dána poměrem počtu příznivých výsledků k celkovému počtu možných výsledků:

\( P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že padne číslo menší než \( 5 \), rovna \( P = \frac{2}{3} \), což znamená, že ze šesti možných výsledků jsou čtyři příznivé.

Řešení:

V balíčku \( 52 \) karet je \( 13 \) srdcových karet, protože každý z \( 4 \) symbolů (srdce, káry, piky a kříže) má \( 13 \) karet.

Celkový počet karet v balíčku je \( 52 \), protože balíček obsahuje všechny karty od \( 2 \) do \( 10 \), spojené s obrázkovými kartami (J, Q, K) a esem.

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme srdcovou kartu, je dána poměrem počtu srdcových karet k celkovému počtu karet:

\( P = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že náhodně vybereme srdcovou kartu, rovna \( P = \frac{1}{4} \), což znamená, že z \( 52 \) karet je \( 13 \) srdcových.

Řešení:

V množině čísel od \( 1 \) do \( 25 \) jsou nepárná čísla: \( 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 \). To znamená, že existuje \( 13 \) nepárných čísel.

Celkový počet čísel je \( 25 \), protože máme všechna čísla od \( 1 \) do \( 25 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybereme nepárné číslo, je dána poměrem počtu nepárných čísel k celkovému počtu čísel:

\( P = \frac{13}{25} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme nepárné číslo, rovna \( P = \frac{13}{25} \), což znamená, že z \( 25 \) čísel je \( 13 \) nepárných.

Řešení:

Celkový počet kuliček v krabici je součet bílých, černých a červených kuliček:

\( 5 + 3 + 2 = 10 \) kuliček

Počet kuliček, které nejsou černé, je součet bílých a červených kuliček:

\( 5 + 2 = 7 \) kuliček

Pravděpodobnost, že náhodně vytáhneme kuličku, která není černá, je dána poměrem počtu kuliček, které nejsou černé, k celkovému počtu kuliček:

\( P = \frac{7}{10} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vytáhneme kuličku, která nebude černá, rovna \( P = \frac{7}{10} \), což znamená, že z \( 10 \) kuliček je \( 7 \) kuliček, které nejsou černé.

Řešení:

Možné výsledky při hodu dvěma mincemi jsou: HH, HT, TH, TT, což znamená, že existují \( 4 \) možnosti.

Výsledky, které obsahují alespoň jednu hlavu, jsou: HH, HT, TH, což jsou \( 3 \) možnosti.

Pravděpodobnost, že padne alespoň jedna hlava, je dána poměrem počtu příznivých výsledků k celkovému počtu možností:

\( P = \frac{3}{4} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna hlava, rovna \( P = \frac{3}{4} \), což znamená, že ze \( 4 \) možných výsledků jsou \( 3 \) příznivé.

Řešení:

Čísla, která jsou dělitelná \( 6 \), jsou: \( 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 \), což znamená, že existuje \( 8 \) příznivých čísel.

Celkový počet možností je \( 50 \), protože vybíráme číslo od \( 1 \) do \( 50 \).

Pravděpodobnost, že vybereme číslo dělitelné \( 6 \), je dána poměrem počtu příznivých čísel k celkovému počtu možností:

\( P = \frac{8}{50} = \frac{4}{25} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme číslo dělitelné \( 6 \), rovna \( P = \frac{4}{25} \), což znamená, že z \( 50 \) čísel je \( 8 \) dělitelných \( 6 \).

Řešení:

První výběr: Pravděpodobnost, že vybereme dívku, je \( \frac{10}{16} \), protože ve třídě je \( 10 \) dívek z \( 16 \) žáků.

Druhý výběr: Po prvním výběru zůstane \( 9 \) dívek a \( 15 \) žáků celkem, takže pravděpodobnost, že vybereme dívku, je \( \frac{9}{15} \).

Třetí výběr: Po druhém výběru zůstane \( 8 \) dívek a \( 14 \) žáků celkem, takže pravděpodobnost, že vybereme dívku, je \( \frac{8}{14} \).

Celková pravděpodobnost, že všichni vybraní žáci budou dívky, je součin těchto tří pravděpodobností:

\( P = \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} \cdot \frac{8}{14} = \frac{720}{3360} = \frac{1}{4.67} \approx 0.214 \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že všichni tři vybraní žáci budou dívky, rovna přibližně \( 0.214 \), což znamená, že z \( 16 \) žáků je \( 10 \) dívek a je nepravděpodobné, že budou vybrány všechny tři dívky.

Řešení:

Čísla větší než \( 7 \) jsou: \( 8, 9, 10, 11, 12 \), což znamená, že existuje \( 5 \) takových čísel.

Párná čísla jsou: \( 2, 4, 6, 8, 10, 12 \), což znamená, že existuje \( 6 \) párných čísel.

Společná čísla mezi těmito dvěma množinami jsou: \( 8, 10, 12 \), což jsou \( 3 \) čísla.

Počet příznivých výsledků je součet čísel větších než \( 7 \) a párných čísel, minus čísla, která jsou v obou množinách:

\( 5 + 6 – 3 = 8 \)

Celkový počet možností je \( 12 \), protože vybíráme jednu kartu z \( 12 \) karet.

Pravděpodobnost, že náhodně vybraná karta bude mít číslo větší než \( 7 \) nebo párné, je dána poměrem počtu příznivých výsledků k celkovému počtu možností:

\( P = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)

Ve výsledku je pravděpodobnost, že vybereme kartu s číslem větším než \( 7 \) nebo párným, rovna \( P = \frac{2}{3} \), což znamená, že z \( 12 \) karet je \( 8 \) příznivých výsledků.

Řešení:

Počet všech možných výsledků pro každý hod je \( 3 \), protože kostka má \( 3 \) čísla. Celkový počet možností pro tři hody je tedy:

\( 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \)

Počet uspořádaných trojic s různými čísly je počet permutací tří různých čísel. To se dá spočítat jako \( 3! \) (faktoriál z \( 3 \)):

\( 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \)

Pravděpodobnost, že padnou tři různá čísla, je tedy poměr počtu příznivých výsledků k celkovému počtu možných výsledků:

\( P = \frac{6}{27} = \frac{2}{9} \)

Výsledná pravděpodobnost je \( P = \frac{2}{9} \), což znamená, že z \( 27 \) možností, je \( 6 \) možností, kde padnou tři různá čísla.

Řešení:

Písmena v nápisu „PRAVDA“ jsou: \( P, R, A, V, D, A \), což je \( 6 \) písmen.

Samohlásky v tomto nápisu jsou \( A \), které se vyskytují dvakrát (dvě \( A \)).

Počet kombinací dvou samohlásek z \( 2 \) samohlásek je \( 1 \) (pouze \( A, A \)).

Celkový počet možných dvojic písmen, které můžeme vybrat z \( 6 \) písmen, je dáno kombinacemi:

\( \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \)

Pravděpodobnost, že obě vybraná písmena budou samohlásky, je tedy poměr počtu příznivých výsledků k celkovému počtu možností:

\( P = \frac{1}{15} \)

Výsledná pravděpodobnost je \( P = \frac{1}{15} \), což znamená, že z \( 15 \) možných dvojic písmen je pouze \( 1 \), kde budou obě písmena samohlásky.

Řešení:

Počet všech možných výsledků při hodu čtyřmi mincemi je \( 2^4 \), protože každý hod má dvě možnosti (hlava nebo orel):

\( 2^4 = 16 \)

Počet kombinací, kdy padnou přesně dvě hlavy, je počet způsobů, jak vybrat \( 2 \) pozice pro hlavy z \( 4 \) pozic. To lze spočítat jako kombinace \( \binom{4}{2} \):

\( \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \)

Pravděpodobnost, že padnou přesně dvě hlavy, je tedy poměr počtu příznivých výsledků k celkovému počtu možností:

\( P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \)

Výsledná pravděpodobnost je \( P = \frac{3}{8} \), což znamená, že z \( 16 \) možných výsledků je \( 6 \), kde padnou přesně dvě hlavy.

Řešení:

Počet výherných karet je \( 5 \), a tedy počet nevýherných karet je \( 20 – 5 = 15 \).

Pravděpodobnost, že vytáhneme nevýhernou kartu, je poměr počtu nevýherných karet k celkovému počtu karet:

\( P = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \)

Výsledná pravděpodobnost je \( P = \frac{3}{4} \), což znamená, že z \( 20 \) karet je \( 15 \) nevýherných.

Řešení:

Počet všech trojciferných čísel je \( 999 – 100 + 1 = 900 \), protože trojciferné číslo musí ležet v intervalu od \( 100 \) do \( 999 \).

První cifra: Může být jakékoliv číslo od \( 1 \) do \( 9 \), což dává \( 9 \) možností.

Druhá cifra: Musí být jiná než první, takže existuje \( 9 \) možností (včetně \( 0 \)).

Třetí cifra: Musí být jiná než první a druhá, takže existuje \( 8 \) možností.

Počet trojciferných čísel, kde jsou všechny cifry různé, je tedy:

\( 9 \cdot 9 \cdot 8 = 648 \)

Pravděpodobnost, že náhodně vybrané trojciferné číslo bude mít všechny cifry různé, je poměr počtu příznivých výsledků k celkovému počtu možných čísel:

\( P = \frac{648}{900} = \frac{18}{25} \)

Výsledná pravděpodobnost je \( P = \frac{18}{25} \), což znamená, že z \( 900 \) trojciferných čísel je \( 648 \), která mají všechny cifry různé.

Řešení:

Prvočísla mezi \( 1 \) a \( 10 \) jsou \( 2, 3, 5, 7 \). To znamená, že máme \( 4 \) prvočísla.

Celkový počet kuliček je \( 10 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný kuličkový číslo bude prvočíslo, je tedy:

\( P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)

Řešení:

První cifra čtyřciferného čísla může být jakékoliv číslo od \( 1 \) do \( 9 \) (bez \( 0 \)).

Sudá čísla mezi \( 1 \) a \( 9 \) jsou \( 2, 4, 6, 8 \), což nám dává \( 4 \) sudé cifry.

Nepárné čísla mezi \( 1 \) a \( 9 \) jsou \( 1, 3, 5, 7, 9 \), což znamená \( 5 \) nepárných možností.

Pravděpodobnost, že první cifra bude nepárná, je tedy:

\( P = \frac{5}{9} \)

Řešení:

Možnosti hodů jsou \( 6 \times 6 = 36 \), protože každá kostka má \( 6 \) možností.

Kombinace, které dávají součet \( 7 \), jsou: \( (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \). To znamená, že existuje \( 6 \) možností, jak získat součet \( 7 \).

Pravděpodobnost, že součet bude \( 7 \), je tedy:

\( P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)

Řešení:

Čísla dělitelná \( 4 \) mezi \( 1 \) a \( 18 \) jsou \( 4, 8, 12, 16 \). To znamená, že máme \( 4 \) čísla dělitelná \( 4 \).

Čísla dělitelná \( 5 \) mezi \( 1 \) a \( 18 \) jsou \( 5, 10, 15 \). To znamená, že máme \( 3 \) čísla dělitelná \( 5 \).

Společná čísla dělitelná \( 4 \) a \( 5 \) neexistují, protože \( \text{LCM}(4, 5) = 20 \), což je větší než \( 18 \).

Počet příznivých výsledků je \( 4 + 3 = 7 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný žák bude mít číslo dělitelné \( 4 \) nebo \( 5 \), je tedy:

\( P = \frac{7}{18} \)

Řešení:

Slovo „STATISTIKA“ má \( 10 \) písmen, ale některá se opakují. Počet písmen je následující:

• S se vyskytuje \( 2 \)krát
• T se vyskytuje \( 3 \)krát
• I se vyskytuje \( 2 \)krát
• A se vyskytuje \( 1 \)krát
• K se vyskytuje \( 1 \)krát

Počet různých písmen je tedy \( 5 \) (S, T, I, A, K).

Počet různých trojic písmen, které můžeme vytvořit, je \( 5 \times 4 \times 3 = 60 \).

Počet všech možných trojic písmen je dán výpočtem počtu kombinací z \( 10 \) písmen, což je:

\( \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120 \), protože se jedná o kombinace bez opakování.

Pravděpodobnost, že všechna tři písmena budou různá, je tedy:

\( P = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} \)

Řešení:

Možnosti hodu třemi mincemi: \( 2^3 = 8 \), protože každá mince může padnout buď na hlavu (\( H \)) nebo na pannu (\( T \)).

Pro přesně dvě stejné strany máme následující kombinace: \( HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT \). Celkem \( 6 \) možností.

Avšak z těchto možností musíme vyloučit případy, kde padnou všechny stejné strany, což jsou \( HHH \) a \( TTT \).

Takže přesně dvě stejné strany se vyskytují ve \( 6 \) případech: \( HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT \).

Pravděpodobnost, že padnou právě dvě stejné strany, je tedy:

\( P = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)

Řešení:

Čísla dělitelné \( 2 \) mezi \( 1 \) a \( 20 \) jsou \( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 \), což znamená \( 10 \) čísel.

Čísla dělitelné \( 3 \) mezi \( 1 \) a \( 20 \) jsou \( 3, 6, 9, 12, 15, 18 \), což znamená \( 6 \) čísel.

Společná čísla, která jsou dělitelná jak \( 2 \), tak \( 3 \) (tedy dělitelná \( 6 \)), jsou \( 6, 12, 18 \), což jsou \( 3 \) čísla.

Počet čísel dělitelné \( 2 \) nebo \( 3 \) je tedy \( 10 + 6 – 3 = 13 \).

Počet čísel, která nejsou dělitelná ani \( 2 \), ani \( 3 \), je \( 20 – 13 = 7 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybrané číslo nebude dělitelné ani \( 2 \), ani \( 3 \), je:

\( P = \frac{7}{20} \)

Řešení:

Počet všech možných výsledků při čtyřech hodech kostkou je \( 6^4 = 1296 \), protože pro každý hod máme \( 6 \) možností (čísla od \( 1 \) do \( 6 \)).

Počet výběrů, kdy každé číslo bude jiné, je \( 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 \), protože pro první hod máme \( 6 \) možností, pro druhý \( 5 \), pro třetí \( 4 \), a pro čtvrtý \( 3 \).

Pravděpodobnost, že každé číslo bude jiné, je tedy:

\( P = \frac{360}{1296} = \frac{5}{18} \)

Řešení:

Počet červených karet v balíčku je \( 16 \).

Pravděpodobnost, že první karta bude červená, je \( \frac{16}{32} = \frac{1}{2} \).

Po vytažení první červené karty zůstane \( 15 \) červených karet, takže pravděpodobnost, že druhá karta bude také červená, je \( \frac{15}{31} \).

Celková pravděpodobnost, že obě karty budou červené, je tedy:

\( P = \frac{16}{32} \cdot \frac{15}{31} = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{31} = \frac{15}{62} \)

Řešení:

Celkový počet kuliček v osudí je \( 6 + 4 + 5 = 15 \).

Počet dvojic stejné barvy:

• Pro zelené kuličky: \( \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \)
• Pro modré kuličky: \( \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \)
• Pro červené kuličky: \( \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \)

Celkový počet dvojic stejné barvy je \( 15 + 6 + 10 = 31 \).

Počet všech možných dvojic je \( \frac{15 \cdot 14}{2} = 105 \), což je počet všech kombinací \( 2 \) kuliček z \( 15 \) bez ohledu na barvu.

Počet dvojic, kde jsou kuličky různých barev, je \( 105 – 31 = 74 \).

Pravděpodobnost, že vybrané kuličky budou různé barvy, je tedy:

\( P = \frac{74}{105} \)

Řešení:

Celkový počet 3-členných skupin: \( \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220 \)

Skupiny bez dívek = pouze chlapci (5 chlapců, vybíráme 3): \( \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \)

Počet skupin s alespoň jednou dívkou = \( 220 – 10 = 210 \)

Řešení:

Počet všech možných 5-karet: \( \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \)

Počet způsobů vybrat přesně 2 esa: \( \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \)

Počet způsobů vybrat zbylé 3 karty z neesových: \( \frac{48 \cdot 47 \cdot 46}{3 \cdot 2 \cdot 1} \)

Pravděpodobnost: \( P = \frac{\left( \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \right) \cdot \left( \frac{48 \cdot 47 \cdot 46}{3 \cdot 2 \cdot 1} \right)}{\frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \)

Řešení:

Celkový počet výsledků: \( 2^3 = 8 \)

Počet výsledků bez hlav (pouze ocasy): \( 1 \)

Pravděpodobnost alespoň jedné hlavy: \( 1 – \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \)

Řešení:

Výběr 4 knih z 6 bez pořadí je kombinace: \( \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \)

Řešení:

Celkový počet výběrů 3 kuliček ze \( 14 \): \( \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 364 \)

Počet výběrů 3 modrých kuliček: \( \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \)

Pravděpodobnost: \( P = \frac{56}{364} = \frac{14}{91} \approx 0.1538 \)

Řešení:

Celkový počet možných kombinací je dán kombinatorickým vzorcem pro výběr \( 6 \) čísel z \( 49 \), což je:

Počet kombinací: \( \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13,983,816 \)

Vyhrát znamená uhodnout všechna čísla správně, takže pravděpodobnost je:

Pravděpodobnost: \( \frac{1}{13,983,816} \)

Řešení:

Slovo „MAMA“ má \( 4 \) písmena, z toho \( 2 \) písmena \( M \) se opakují a \( 2 \) písmena \( A \) se opakují.

Počet uspořádání tohoto slova je dán vzorcem pro uspořádání písmen s opakováním:

Počet uspořádání: \( \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6 \)

Řešení:

Výběr předsedy: máme \( 15 \) možností, protože máme \( 15 \) žáků.

Výběr tajemníka: pro tuto pozici máme \( 14 \) možností, protože tajemník nemůže být stejný jako předseda.

Celkový počet možností pro výběr předsedy a tajemníka je tedy: \( 15 \times 14 = 210 \)

Řešení:

Celkový počet možných výsledků při hodu dvěma kostkami je \( 6 \times 6 = 36 \), protože každá kostka má \( 6 \) stran.

Počet způsobů, jak dosáhnout součtu \( 7 \), je následující:

Možnosti: \( (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \) → tedy \( 6 \) možností.

Pravděpodobnost: \( P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)

Řešení:

Vybíráme \( 2 \) trička s pořadím, což znamená, že použijeme variace bez opakování:

Počet variací je: \( V_2^{10} = 10 \times 9 = 90 \)

Řešení:

Vyberáme \( 5 \) žáků z \( 20 \) bez ohledu na pořadí, tedy se jedná o kombinace. Počet kombinací je dán vzorcem pro výběr \( 5 \) žáků z \( 20 \):

Počet kombinací: \( \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15,504 \)

Řešení:

Nejprve vybereme \( 3 \) knihy z \( 10 \) (kombinace), což lze vypočítat podle vzorce pro kombinace bez ohledu na pořadí:

Počet kombinací: \( \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \)

Poté je uspořádáme (permutace \( 3 \) prvků), což je jednoduše \( 3! = 6 \):

Počet permutací: \( 3! = 6 \)

Celkový počet uspořádání je tedy: \( 120 \times 6 = 720 \)

Řešení:

Možné výsledky při hodu dvěma mincemi jsou: \( \text{HH}, \text{HT}, \text{TH}, \text{TT} \) (4 možnosti).

Z toho stejné jsou \( \text{HH} \) a \( \text{TT} \), tedy \( 2 \) možnosti.

Pravděpodobnost, že obě padnou stejné, je tedy: \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Řešení:

Celkový počet kuliček v sáčku je \( 3 + 4 + 5 = 12 \) kuliček.

Počet zelených nebo modrých kuliček je \( 4 + 5 = 9 \) kuliček.

Pravděpodobnost, že vybereme zelenou nebo modrou kuličku, je tedy: \( \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)

Řešení:

Vyberáme \( 4 \) číslice z \( 10 \), přičemž záleží na pořadí a číslice se nesmí opakovat. Použijeme vzorec pro variace bez opakování:

Počet variací je: \( V_4^{10} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 \)

Řešení:

Počet možných výsledků pro \( 3 \) nejlepší běžce (pořadí záleží) je dán permutacemi:

Počet permutací: \( P_3^8 = 8 \times 7 \times 6 = 336 \)

Řešení:

Možná rozdělení s více dívkami než chlapci v \( 4 \)-členné skupině jsou:

• 3 dívky + 1 chlapec
• 4 dívky + 0 chlapců

Počet výběrů pro \( 3 \) dívky a \( 1 \) chlapce:

Počet kombinací pro \( 3 \) dívky z \( 10 \) je: \( \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \)

Počet kombinací pro \( 1 \) chlapce z \( 12 \) je: \( \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 1 \cdot 1} = 12 \)

Počet výběrů pro \( 3 \) dívky a \( 1 \) chlapce: \( 120 \times 12 = 1440 \)

Počet výběrů pro \( 4 \) dívky z \( 10 \): \( \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \)

Celkem: \( 1440 + 210 = 1650 \)

Řešení:

Maximální součet při třech hodech je \( 18 \) (\( 6 + 6 + 6 \)).

Pro součet alespoň \( 15 \) jsou možné součty \( 15, 16, 17, 18 \).

Počet kombinací pro tyto součty:

• Součet \( 15 \): \( 10 \) možností
• Součet \( 16 \): \( 6 \) možností
• Součet \( 17 \): \( 3 \) možnosti
• Součet \( 18 \): \( 1 \) možnost

Celkový počet možností: \( 10 + 6 + 3 + 1 = 20 \)

Celkový počet výsledků: \( 6^3 = 216 \)

Pravděpodobnost: \( \frac{20}{216} = \frac{5}{54} \approx 0.0926 \)

Řešení:

Celkový počet výběrů \( 3 \) tužek z \( 12 \) je: \( \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220 \)

Výběry bez červené (tedy pouze modré): \( \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \)

Pravděpodobnost alespoň jedné červené tužky: \( 1 – \frac{35}{220} = \frac{185}{220} = \frac{37}{44} \approx 0.8409 \)

Řešení:

Pro každou z \( 5 \) pozic máme \( 10 \) možností (číslice \( 0 \) až \( 9 \)) a opakování je povoleno.

Počet kódů: \( 10^5 = 100,000 \)

Řešení:

Nejprve vybíráme předsedu. Máme \( 15 \) možností, protože je \( 15 \) studentů.

Po výběru předsedy zůstává \( 14 \) studentů, mezi kterými vybíráme zástupce.

Počet možností je tedy \( 15 \times 14 = 210 \).

Řešení:

Počet uspořádání \( 6 \) různých knih je dán permutacemi. Permutace \( n \) prvků se počítají jako \( n! \), kde \( n \) je počet prvků.

V našem případě je počet permutací \( 6! \), což znamená:

\( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)

Řešení:

Možné kombinace, které dávají součet \( 7 \), jsou:

• (\( 1,6 \))
• (\( 2,5 \))
• (\( 3,4 \))
• (\( 4,3 \))
• (\( 5,2 \))
• (\( 6,1 \))

Celkový počet možných výsledků při dvou hodech kostkami je \( 6 \times 6 = 36 \), protože každá kostka má \( 6 \) stran.

Pravděpodobnost, že součet bude \( 7 \), je počet příznivých výsledků dělený celkovým počtem možných výsledků:

Pravděpodobnost: \( \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)

Řešení:

Počet způsobů, jak vybrat \( 5 \) hráčů z \( 12 \), je dán kombinacemi. Počet kombinací se počítá podle vzorce:

\( \binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792 \)

Řešení:

Nejprve vybíráme \( 2 \) chlapce z \( 10 \). Počet kombinací pro výběr \( 2 \) chlapců je:

\( \binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \)

Dále vybíráme \( 2 \) dívky z \( 8 \). Počet kombinací pro výběr \( 2 \) dívek je:

\( \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \)

Celkový počet možností je tedy součinem počtů výběrů chlapců a dívek:

Počet způsobů: \( 45 \times 28 = 1260 \)

Řešení:

Celkový počet možných výsledků při hodu třemi mincemi je \( 2^3 = 8 \), protože každá mince může padnout buď na hlavu, nebo na rub.

Počet výsledků, ve kterých padnou právě dvě hlavy, můžeme zjistit výběrem dvou hlav z celkových tří hodů. Tento počet lze spočítat pomocí kombinace. Počet kombinací, jak vybrat dvě hlavy ze tří hodů, je:

\( \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \)

Pravděpodobnost, že při hodu třemi mincemi padnou právě dvě hlavy, je tedy:

Pravděpodobnost: \( \frac{3}{8} \)

Řešení:

Slovo „LEVEL“ má \( 5 \) písmen: \( L, E, V, E, L \). Písmena \( L \) a \( E \) se opakují dvakrát.

Počet různých uspořádání těchto písmen spočítáme pomocí vzorce pro permutace s opakováním:

\( \frac{5!}{2! \times 2!} \)

Nejdříve spočítáme faktoriály: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \), \( 2! = 2 \times 1 = 2 \).

Počet různých uspořádání je tedy:

\( \frac{120}{2 \times 2} = \frac{120}{4} = 30 \)

Řešení:

Celkový počet způsobů, jak vybrat \( 3 \) kuličky z \( 10 \) (celkový počet kuliček v urně), je dán kombinacemi:

\( \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \)

Počet způsobů, jak vybrat \( 3 \) bílé kuličky z \( 4 \), je také dán kombinacemi:

\( \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4 \)

Pravděpodobnost, že všechny vybrané kuličky budou bílé, je tedy:

Pravděpodobnost: \( \frac{4}{120} = \frac{1}{30} \)

Řešení:

První číslice může být libovolné číslo mezi \( 1 \) a \( 9 \) (protože trojice nesmí začínat nulou), což nám dává \( 9 \) možností.

Druhá číslice může být libovolné číslo z \( 9 \) zbývajících číslic, včetně \( 0 \), což nám dává \( 9 \) možností.

Třetí číslice může být libovolné číslo z \( 8 \) zbývajících číslic, což nám dává \( 8 \) možností.

Počet možných trojic je tedy:

\( 9 \times 9 \times 8 = 648 \)

Řešení:

Počet srdcových karet je \( 13 \), protože v balíčku jsou \( 4 \) barvy, a každá barva má \( 13 \) karet.

Počet es v balíčku je \( 4 \), jedno z nich je srdcové eso, aby se nepočítalo dvakrát.

Celkový počet příznivých karet je tedy:

\( 13 + 4 – 1 = 16 \)

Pravděpodobnost, že při náhodném výběru bude karta srdcová nebo eso, je:

Pravděpodobnost: \( \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \)

Řešení:

Celkový počet kuliček v krabici je \( 5 + 3 + 2 = 10 \) kuliček.

Počet kuliček, které nejsou černé, je \( 5 + 2 = 7 \), protože máme \( 5 \) bílé a \( 2 \) červené kuličky.

Pravděpodobnost, že vytáhneme kuličku, která není černá, je tedy:

\( P = \frac{7}{10} \)

Řešení:

Možnosti, které mohou při hodu padnout: \( HH, HT, TH, TT \). Celkem tedy máme \( 4 \) možnosti.

Výsledky, ve kterých padne alespoň jedna hlava, jsou: \( HH, HT, TH \), což znamená \( 3 \) možnosti.

Pravděpodobnost, že padne alespoň jedna hlava, je tedy:

\( P = \frac{3}{4} \)

Řešení:

Čísla dělitelné \( 6 \) mezi \( 1 \) a \( 50 \) jsou: \( 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 \). Celkem máme \( 8 \) čísel, která jsou dělitelná \( 6 \).

Celkový počet možností je \( 50 \), protože v klobouku je \( 50 \) kartiček.

Pravděpodobnost, že číslo bude dělitelné \( 6 \), je tedy:

\( P = \frac{8}{50} = \frac{4}{25} \)

Řešení:

První výběr: Pravděpodobnost, že první vybraný žák bude dívka, je \( \frac{10}{16} \), protože máme \( 10 \) dívek a \( 16 \) žáků celkem.

Druhý výběr: Po prvním výběru máme \( 9 \) dívek a \( 15 \) žáků celkem, takže pravděpodobnost, že druhý vybraný žák bude dívka, je \( \frac{9}{15} \).

Třetí výběr: Po druhém výběru máme \( 8 \) dívek a \( 14 \) žáků celkem, takže pravděpodobnost, že třetí vybraný žák bude dívka, je \( \frac{8}{14} \).

Celková pravděpodobnost, že všichni vybraní žáci budou dívky, je součin těchto pravděpodobností:

\( P = \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} \cdot \frac{8}{14} \)

Po vynásobení dostaneme:

\( P = \frac{10 \times 9 \times 8}{16 \times 15 \times 14} = \frac{720}{3360} = \frac{1}{4.67} \approx 0.214 \)

Řešení:

Čísla větší než \( 7 \) jsou: \( 8, 9, 10, 11, 12 \), což jsou \( 5 \) čísla.

Párná čísla mezi \( 1 \) a \( 12 \) jsou: \( 2, 4, 6, 8, 10, 12 \), což je \( 6 \) čísel.

Společná čísla, která jsou větší než \( 7 \) a zároveň párná, jsou: \( 8, 10, 12 \), což jsou \( 3 \) čísla.

Počet příznivých výsledků je tedy: \( 5 + 6 – 3 = 8 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybraná karta bude mít číslo větší než \( 7 \) nebo bude párná, je tedy:

\( P = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)

Řešení:

Počet všech možných výsledků při třech hodech je \( 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \), protože každé hodu kostky může padnout jedno z \( 3 \) čísel (1, 2, nebo 3).

Počet uspořádaných trojic, kde všechna čísla budou různá, je \( 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \), protože máme tři různá čísla, která se musí uspořádat do všech tří pozic.

Pravděpodobnost, že ve třech hodech padnou tři různá čísla, je tedy:

\( P = \frac{6}{27} = \frac{2}{9} \)

Řešení:

Písmena v nápisu jsou: \( P, R, A, V, D, A \), tedy celkem \( 6 \) písmen.

Samohlásky jsou \( A \) a \( A \), což znamená, že máme \( 2 \) samohlásky (písmena \( A \) se vyskytují dvakrát).

Počet kombinací dvou samohlásek z \( 2 \) je \( 1 \) kombinace, která obsahuje oba písmena \( A \): \( (A, A) \).

Počet všech dvojic písmen z \( 6 \) písmen je vypočítán jako počet kombinací dvou písmen z \( 6 \), což je \( \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \).

Pravděpodobnost, že obě vybraná písmena budou samohlásky, je tedy:

\( P = \frac{1}{15} \)

Řešení:

Počet všech možných výsledků při čtyřech hodech mincí je \( 2^4 = 16 \), protože pro každý hod může padnout buď hlava (H), nebo orel (O), tedy celkem \( 16 \) možností.

Počet možností, při kterých padnou přesně dvě hlavy, je určen tím, že musíme vybrat dvě pozice pro hlavy z celkových čtyř pozic. To je stejné, jako kdybychom vybírali \( 2 \) pozice z \( 4 \) celkových, což znamená, že pro každou z těchto pozic, kde bude hlava, zbývající dvě pozice budou orly. Počet těchto možností je \( 4 \cdot 3 / 2 = 6 \), což odpovídá počtu způsobů, jak můžeme uspořádat 2 hlavy a 2 orly.

Pravděpodobnost, že při čtyřech hodech padnou přesně dvě hlavy, je tedy:

\( P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \)

Řešení:

Počet výherních karet je \( 5 \), a tedy počet nevyherních karet je \( 20 – 5 = 15 \).

Pravděpodobnost, že vybereme nevyherní kartu, je tedy:

\( P = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \)

Řešení:

Počet trojciferných čísel je \( 900 \), protože čísla začínají od \( 100 \) do \( 999 \), tedy celkem \( 900 \) čísel.

První cifra musí být v rozsahu od \( 1 \) do \( 9 \), takže máme \( 9 \) možností pro první cifru.

Druhá cifra nesmí být stejná jako první, takže máme \( 9 \) možností pro druhou cifru (cifry od \( 0 \) do \( 9 \), kromě první cifry).

Třetí cifra musí být různá od předchozích dvou, tedy máme \( 8 \) možností pro třetí cifru.

Počet čísel, kde všechny cifry jsou různé, je tedy: \( 9 \cdot 9 \cdot 8 = 648 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybrané trojciferné číslo bude mít všechny různé cifry, je tedy:

\( P = \frac{648}{900} = \frac{18}{25} \)