Parametrické a obecné rovnice podprostorů

Řešení:

Podprostor \( U \) je dán jako lineární obal vektorů \(\mathbf{u}_1\) a \(\mathbf{u}_2\), tedy \[ U = \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 : \mathbf{x} = s\mathbf{u}_1 + t\mathbf{u}_2, s,t \in \mathbb{R} \right\}. \] Parametrická rovnice je tedy \[ \mathbf{x} = s(1,2,0) + t(0,1,3) = (s, 2s + t, 3t). \] Pro explicitní zápis souřadnic: \[ \begin{cases} x = s \\ y = 2s + t \\ z = 3t \end{cases}, s,t \in \mathbb{R}. \] Pro získání obecné rovnice vyjádříme parametry \(s, t\) z parametrických rovnic: \[ s = x, \quad t = \frac{z}{3}. \] Dosadíme do rovnice pro \(y\): \[ y = 2x + \frac{z}{3} \Rightarrow 3y = 6x + z \Rightarrow 6x – 3y + z = 0. \] Tedy obecná rovnice podprostoru je \[ 6x – 3y + z = 0. \]

Řešení:

Máme dvě lineární rovnice v \(\mathbb{R}^4\): \[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + x_3 = 0 \\ 3x_1 + x_2 – 4x_4 = 0 \end{cases} \] Vyjádříme \(x_1, x_3\) přes volné proměnné \(x_2, x_4\). Z první rovnice: \[ x_1 = 2x_2 – x_3. \] Dosadíme do druhé: \[ 3(2x_2 – x_3) + x_2 – 4x_4 = 0 \Rightarrow 6x_2 – 3x_3 + x_2 – 4x_4 = 0 \Rightarrow 7x_2 – 3x_3 – 4x_4 = 0. \] Vyjádříme \(x_3\): \[ 3x_3 = 7x_2 – 4x_4 \Rightarrow x_3 = \frac{7}{3}x_2 – \frac{4}{3}x_4. \] Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\): \[ x_1 = 2x_2 – \left(\frac{7}{3}x_2 – \frac{4}{3}x_4\right) = 2x_2 – \frac{7}{3}x_2 + \frac{4}{3}x_4 = \frac{-1}{3}x_2 + \frac{4}{3}x_4. \] Tedy parametrická rovnice podprostoru \(V\) je: \[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s \left(-\frac{1}{3}, 1, \frac{7}{3}, 0\right) + t \left(\frac{4}{3}, 0, -\frac{4}{3}, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \] Obecná rovnice je právě daná systémem výše, tedy \[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + x_3 = 0 \\ 3x_1 + x_2 – 4x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor \( W \) je vektorová podmnožina, která je kolmice na \(\mathbf{n}\), tj. \[ W = \left\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 : \mathbf{n} \cdot \mathbf{x} = 0 \right\}. \] Obecná rovnice podprostoru je: \[ 1 \cdot x -1 \cdot y + 2 \cdot z = 0 \Rightarrow x – y + 2z = 0. \] Jelikož však podprostor má obsahovat bod \(P=(2,3,1)\), což není nulový vektor, jedná se o afinní podprostor (rovinu) posunutou o vektor \(P\). Abychom získali parametrické vyjádření, najdeme bázi podprostoru \(W\), což je rovina kolmice k \(\mathbf{n}\). Najdeme dva lineárně nezávislé vektory \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\), které splňují \[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_i = 0. \] Vybereme například: \[ \mathbf{v}_1 = (1,1,0), \quad \mathbf{v}_2 = (0,2,1), \] protože: \[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_1 = 1\cdot1 -1\cdot1 + 2\cdot0 = 0, \quad \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_2 = 1\cdot0 -1\cdot2 + 2\cdot1 = 0. \] Parametricky tedy každý bod \(\mathbf{x} \in W\) lze vyjádřit jako: \[ \mathbf{x} = \mathbf{p} + s\mathbf{v}_1 + t\mathbf{v}_2 = (2,3,1) + s(1,1,0) + t(0,2,1), \quad s,t \in \mathbb{R}. \] Obecná rovnice zůstává \[ x – y + 2z = 0, \] která vyjadřuje nulový vektorový podprostor, zatímco parametrická rovnice popisuje afinní podprostor s bodem \(P\).

Řešení:

Podprostor \( W \) je určen jako množina všech lineárních kombinací vektorů \( \mathbf{u} \) a \( \mathbf{v} \):

\[ W = \left\{ \mathbf{x} = \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} \mid \alpha, \beta \in \mathbb{R} \right\} \]

Parametrické rovnice souřadnic jsou tedy:

\[ \begin{cases} x = \alpha \cdot 1 + \beta \cdot 0 = \alpha \\ y = \alpha \cdot 2 + \beta \cdot 1 = 2\alpha + \beta \\ z = \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 3 = 3\beta \end{cases} \]

Pro obecnou rovnici podprostoru potřebujeme najít všechny vektory \( \mathbf{x} = (x, y, z) \), které lze vyjádřit tímto způsobem.

Z parametrických rovnic vyjádříme parametry \( \alpha \) a \( \beta \) z první a třetí rovnice:

\[ \alpha = x, \quad \beta = \frac{z}{3} \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ y = 2x + \frac{z}{3} \]

Převedeme na obecnou rovnici:

\[ y – 2x – \frac{z}{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad 3y – 6x – z = 0 \]

Tedy obecná rovnice podprostoru \( W \) je:

\[ 3y – 6x – z = 0 \]

Souhrnně:

Parametrická rovnice: \( \mathbf{x} = \alpha (1, 2, 0) + \beta (0, 1, 3) \), kde \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \).

Obecná rovnice: \( 3y – 6x – z = 0 \).

Řešení:

Podprostor je dán jako lineární kombinace vektorů \[ \mathbf{v}_1 = (1,2,-1), \quad \mathbf{v}_2 = (3,-1,0). \] Tento podprostor je rovina v \(\mathbb{R}^3\), proto hledáme vektor \(\mathbf{n} = (a,b,c) \neq \mathbf{0}\), který je kolmý na oba vektory: \[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_1 = 0, \quad \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_2 = 0. \] Zapíšeme soustavu: \[ \begin{cases} a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot (-1) = 0 \\ a \cdot 3 + b \cdot (-1) + c \cdot 0 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a + 2b – c = 0 \\ 3a – b = 0 \end{cases} \] Z druhé rovnice: \[ b = 3a. \] Dosadíme do první: \[ a + 2 \cdot 3a – c = 0 \Rightarrow a + 6a – c = 0 \Rightarrow 7a = c. \] Volíme \(a = 1\), tedy \(b=3, c=7\). Obecná rovnice podprostoru je \[ x + 3y + 7z = 0. \]

Řešení:

Podprostor je generován vektory: \[ \mathbf{v}_1 = (1,0,2,1), \quad \mathbf{v}_2 = (0,1,-1,3). \] Hledáme rovnice podprostoru, tedy vektory \(\mathbf{n} = (a,b,c,d)\), které jsou kolmé na \(\mathbf{v}_1\) a \(\mathbf{v}_2\): \[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_1 = a + 0 + 2c + d = 0, \] \[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_2 = 0 + b – c + 3d = 0. \] Soustava: \[ \begin{cases} a + 2c + d = 0 \\ b – c + 3d = 0 \end{cases} \] Vyjádříme \(a,b\) přes \(c,d\): \[ a = -2c – d, \quad b = c – 3d. \] Parametricky vektory \(\mathbf{n}\) jsou: \[ \mathbf{n} = (-2c – d, c – 3d, c, d) = c(-2,1,1,0) + d(-1,-3,0,1). \] Obecné rovnice jsou tedy dvě nezávislé rovnice podprostoru: \[ \begin{cases} -2x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ -x_1 – 3x_2 + x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor \( W \subset \mathbb{R}^4 \) je dán dvěma lineárními rovnicemi, takže dimenze podprostoru je \( 4 – 2 = 2 \).

Napíšeme obecný vektor \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) \in W \) a z rovnic vyjádříme dvě souřadnice pomocí ostatních:

\[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = 2x_2 – x_3 \\ 3x_2 + x_4 = 0 \Rightarrow x_4 = -3x_2 \end{cases} \]

Volné parametry zvolíme \( \alpha = x_2 \) a \( \beta = x_3 \). Vektor tedy lze napsat jako:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = (2\alpha – \beta, \alpha, \beta, -3\alpha) = \alpha (2, 1, 0, -3) + \beta (-1, 0, 1, 0) \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ W = \left\{ \alpha (2, 1, 0, -3) + \beta (-1, 0, 1, 0) \mid \alpha, \beta \in \mathbb{R} \right\} \]

Obecná rovnice je dána právě rovnicemi, ze kterých jsme začínali:

\[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + x_3 = 0 \\ 3x_2 + x_4 = 0 \end{cases} \]

Tedy parametrická i obecná rovnice jsou vyjádřeny.

Řešení:

Podprostor \( W \) je v tomto případě rovina v \( \mathbb{R}^3 \) normálová k vektoru \( \mathbf{n} \) a procházející bodem \( P \).

Obecná rovnice roviny je:

\[ \mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} – \mathbf{p}) = 0 \Rightarrow 1(x – 2) – 2(y – 1) + 1(z – 0) = 0 \]

Zjednodušení:

\[ x – 2 – 2y + 2 + z = 0 \Rightarrow x – 2y + z = 0 \]

Parametrickou rovnici najdeme tak, že najdeme dva nezávislé vektory ležící v rovině, tj. ortogonální na \( \mathbf{n} \).

Vybereme například vektory:

\[ \mathbf{u} = (2, 1, 0), \quad \mathbf{v} = (1, 0, 1) \]

Ověření ortogonality:

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{u} = 1 \cdot 2 – 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2 – 2 + 0 = 0 \]

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 + 0 + 1 = 2 \neq 0 \]

Musíme najít jiný vektor ortogonální na \( \mathbf{n} \), zkusíme \( \mathbf{v} = (0,1,2) \):

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 0 – 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 0 – 2 + 2 = 0 \]

Takže vektory \( \mathbf{u} = (2,1,0) \) a \( \mathbf{v} = (0,1,2) \) leží v rovině.

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = \mathbf{p} + \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} = (2,1,0) + \alpha (2,1,0) + \beta (0,1,2), \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R} \]

Souhrn:

Obecná rovnice: \( x – 2y + z = 0 \).

Parametrická rovnice: \( \mathbf{x} = (2,1,0) + \alpha (2,1,0) + \beta (0,1,2) \).

Řešení:

Obecná rovnice podprostoru \( W \) je již dána:

\[ 2x – y + 3z = 0 \]

Dimenze roviny je 2, hledáme tedy dva nezávislé vektory ležící v této rovině.

Podmínka pro vektor \( \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) \in W \) je:

\[ 2v_1 – v_2 + 3v_3 = 0 \]

Zvolme parametry \( \alpha = v_2 \), \( \beta = v_3 \). Vyjádříme \( v_1 \):

\[ 2v_1 = v_2 – 3v_3 \Rightarrow v_1 = \frac{v_2 – 3v_3}{2} = \frac{\alpha – 3\beta}{2} \]

Parametrická rovnice je tedy:

\[ \mathbf{v} = \left(\frac{\alpha – 3\beta}{2}, \alpha, \beta \right) = \alpha \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right) + \beta \left(-\frac{3}{2}, 0, 1\right), \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R} \]

Souhrn:

Obecná rovnice: \( 2x – y + 3z = 0 \).

Parametrická rovnice: \( \mathbf{v} = \alpha \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right) + \beta \left(-\frac{3}{2}, 0, 1\right) \).

Řešení:

Nejprve zjistíme, zda jsou vektory \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \) lineárně nezávislé.

Vytvoříme matici složenou z těchto vektorů jako sloupců:

\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]

Zkoušíme lineární závislost \( \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} + \gamma \mathbf{c} = \mathbf{0} \), tj.

\[ \alpha (1,0,1,2) + \beta (0,1,2,1) + \gamma (1,1,3,3) = (0,0,0,0) \]

Rovnice pro jednotlivé složky:

\[ \begin{cases} \alpha + \gamma = 0 \\ \beta + \gamma = 0 \\ \alpha + 2\beta + 3\gamma = 0 \\ 2\alpha + \beta + 3\gamma = 0 \end{cases} \]

Z první rovnice \( \alpha = -\gamma \), ze druhé \( \beta = -\gamma \).

Dosadíme do třetí rovnice:

\[ (-\gamma) + 2(-\gamma) + 3\gamma = -\gamma – 2\gamma + 3\gamma = 0 \]

Dosadíme do čtvrté rovnice:

\[ 2(-\gamma) + (-\gamma) + 3\gamma = -2\gamma – \gamma + 3\gamma = 0 \]

Obě rovnice jsou splněny pro libovolné \( \gamma \), což znamená, že vektory nejsou lineárně nezávislé. Mají jednu lineární závislost:

\[ \alpha = -\gamma, \quad \beta = -\gamma, \quad \gamma \neq 0 \]

Proto lze \( \mathbf{c} \) vyjádřit jako:

\[ \mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b} \]

Tedy podprostor \( W \) je lineární obal vektorů \( \mathbf{a} \) a \( \mathbf{b} \).

Parametrická rovnice je:

\[ \mathbf{x} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} = \alpha (1, 0, 1, 2) + \beta (0, 1, 2, 1), \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R} \]

Pro obecnou rovnici hledáme všechny vektory \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) \), které lze vyjádřit touto parametrickou rovnicí.

Vyjádříme parametrické rovnice složek:

\[ \begin{cases} x_1 = \alpha \\ x_2 = \beta \\ x_3 = \alpha + 2\beta \\ x_4 = 2\alpha + \beta \end{cases} \]

Z první a druhé rovnice vyjádříme \( \alpha = x_1 \), \( \beta = x_2 \) a dosadíme do třetí a čtvrté:

\[ \begin{cases} x_3 = x_1 + 2x_2 \\ x_4 = 2x_1 + x_2 \end{cases} \]

Převedeme na obecné rovnice:

\[ \begin{cases} x_3 – x_1 – 2x_2 = 0 \\ x_4 – 2x_1 – x_2 = 0 \end{cases} \]

Souhrn:

Parametrická rovnice: \( \mathbf{x} = \alpha (1, 0, 1, 2) + \beta (0, 1, 2, 1) \), \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \).

Obecná rovnice:

\[ \begin{cases} x_3 – x_1 – 2x_2 = 0 \\ x_4 – 2x_1 – x_2 = 0 \end{cases} \]

Řešení:

Nejprve zjistíme, zda jsou vektory \( \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 \) lineárně nezávislé.

Vytvoříme matici složenou z těchto vektorů jako sloupců:

\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \]

Ověříme lineární závislost rovnicí \( \alpha \mathbf{u}_1 + \beta \mathbf{u}_2 + \gamma \mathbf{u}_3 = \mathbf{0} \), tj.

\[ \alpha (1,0,2,-1) + \beta (0,1,-1,3) + \gamma (1,1,1,2) = (0,0,0,0). \]

To odpovídá soustavě rovnic:

\[ \begin{cases} \alpha + \gamma = 0 \\ \beta + \gamma = 0 \\ 2\alpha – \beta + \gamma = 0 \\ -\alpha + 3\beta + 2\gamma = 0 \end{cases} \]

Z první rovnice \( \alpha = -\gamma \), z druhé \( \beta = -\gamma \).

Dosadíme do třetí:

\[ 2(-\gamma) – (-\gamma) + \gamma = -2\gamma + \gamma + \gamma = 0 \]

Dosadíme do čtvrté:

\[ -(-\gamma) + 3(-\gamma) + 2\gamma = \gamma – 3\gamma + 2\gamma = 0 \]

Obě rovnice jsou splněny, takže vektory nejsou lineárně nezávislé. Platí vztah:

\[ \alpha = -\gamma, \quad \beta = -\gamma, \quad \gamma \neq 0. \]

Tedy \( \mathbf{u}_3 = \mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 \).

Podprostor \( U \) je lineární obal vektorů \( \mathbf{u}_1 \) a \( \mathbf{u}_2 \).

Parametrická rovnice je:

\[ \mathbf{x} = \alpha \mathbf{u}_1 + \beta \mathbf{u}_2 = \alpha (1, 0, 2, -1) + \beta (0, 1, -1, 3), \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R}. \]

Rozepíšeme složky parametrické rovnice:

\[ \begin{cases} x_1 = \alpha \\ x_2 = \beta \\ x_3 = 2\alpha – \beta \\ x_4 = -\alpha + 3\beta \end{cases} \]

Z první a druhé rovnice vyjádříme \( \alpha = x_1 \), \( \beta = x_2 \) a dosadíme do třetí a čtvrté:

\[ \begin{cases} x_3 = 2x_1 – x_2 \\ x_4 = -x_1 + 3x_2 \end{cases} \]

Převedeme na obecné rovnice:

\[ \begin{cases} x_3 – 2x_1 + x_2 = 0 \\ x_4 + x_1 – 3x_2 = 0 \end{cases} \]

Souhrn:

Parametrická rovnice: \( \mathbf{x} = \alpha (1, 0, 2, -1) + \beta (0, 1, -1, 3) \), \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \).

Obecná rovnice:

\[ \begin{cases} x_3 – 2x_1 + x_2 = 0 \\ x_4 + x_1 – 3x_2 = 0 \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor \( W \) je hyperrovina v \( \mathbb{R}^3 \) definovaná jednou lineární rovnicí:

\[ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = 0. \]

Máme 3 neznámé a 1 rovnici, takže dimenze podprostoru je \(3 – 1 = 2\).

Vybereme si dva volné parametry, například \( x_2 = s \), \( x_3 = t \), kde \( s, t \in \mathbb{R} \).

Vyjádříme \( x_1 \) z rovnice:

\[ 2x_1 = x_2 – 3x_3 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2} s – \frac{3}{2} t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = \left( \frac{1}{2}s – \frac{3}{2} t, s, t \right) = s \left( \frac{1}{2}, 1, 0 \right) + t \left( -\frac{3}{2}, 0, 1 \right), \quad s, t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je již dána:

\[ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = 0. \]

Souhrn:

Parametrická rovnice: \( \mathbf{x} = s \left( \frac{1}{2}, 1, 0 \right) + t \left( -\frac{3}{2}, 0, 1 \right), s, t \in \mathbb{R} \).

Obecná rovnice: \( 2x_1 – x_2 + 3x_3 = 0 \).

Řešení:

Máme podprostor v \( \mathbb{R}^5 \) daný dvěma lineárními rovnicemi, tedy dimenze podprostoru je \(5 – 2 = 3\).

Neznámé: \( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \).

Vybereme si 3 parametry, například \( x_3 = s, x_4 = t, x_5 = u \), kde \( s, t, u \in \mathbb{R} \).

Vyjádříme \( x_1 \) a \( x_2 \) z rovnic:

První rovnice:

\[ x_1 + 2x_2 – s + u = 0 \Rightarrow x_1 = -2x_2 + s – u. \]

Druhá rovnice:

\[ 3x_1 – x_2 + 4t – 2u = 0. \]

Dosadíme \( x_1 \) do druhé rovnice:

\[ 3(-2x_2 + s – u) – x_2 + 4t – 2u = 0, \]

\[ -6x_2 + 3s – 3u – x_2 + 4t – 2u = 0, \]

\[ -7x_2 + 3s + 4t – 5u = 0, \]

Odtud:

\[ x_2 = \frac{3s + 4t – 5u}{7}. \]

Dosadíme \( x_2 \) zpět do výrazu pro \( x_1 \):

\[ x_1 = -2 \cdot \frac{3s + 4t – 5u}{7} + s – u = -\frac{6s + 8t – 10u}{7} + s – u. \]

Úprava:

\[ x_1 = -\frac{6s}{7} – \frac{8t}{7} + \frac{10u}{7} + s – u = \left(-\frac{6}{7} + 1\right)s + \left(-\frac{8}{7}\right)t + \left(\frac{10}{7} – 1\right)u = \frac{1}{7}s – \frac{8}{7}t + \frac{3}{7}u. \]

Celkově máme:

\[ \begin{cases} x_1 = \frac{1}{7}s – \frac{8}{7}t + \frac{3}{7}u, \\ x_2 = \frac{3}{7}s + \frac{4}{7}t – \frac{5}{7}u, \\ x_3 = s, \\ x_4 = t, \\ x_5 = u, \end{cases} \quad s,t,u \in \mathbb{R}. \]

Parametrická rovnice podprostoru \( V \) je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \left(\frac{1}{7}, \frac{3}{7}, 1, 0, 0 \right) + t \left(-\frac{8}{7}, \frac{4}{7}, 0, 1, 0 \right) + u \left(\frac{3}{7}, -\frac{5}{7}, 0, 0, 1 \right). \]

Obecné rovnice jsou dány:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – x_3 + x_5 = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 4x_4 – 2x_5 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Rovina \( S \) je určená bodem \( A \) a dvěma směrovými vektory, které získáme jako rozdíly bodů \( B – A \) a \( C – A \):

\[ \mathbf{v}_1 = B – A = (2-1, 0-2, 1-0, 3+1) = (1, -2, 1, 4), \]

\[ \mathbf{v}_2 = C – A = (0-1, 1-2, -1-0, 2+1) = (-1, -1, -1, 3). \]

Parametrická rovnice roviny je tedy:

\[ \mathbf{x} = A + s \mathbf{v}_1 + t \mathbf{v}_2 = (1,2,0,-1) + s(1,-2,1,4) + t(-1,-1,-1,3), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Rozepíšeme složky:

\[ \begin{cases} x_1 = 1 + s – t \\ x_2 = 2 – 2s – t \\ x_3 = 0 + s – t \\ x_4 = -1 + 4s + 3t \end{cases} \]

Parametrická rovnice je plně vyjádřena.

Řešení:

Podprostor \( T \subset \mathbb{R}^3 \) je určen dvěma lineárními rovnicemi, tedy dimenze podprostoru je \(3-2=1\).

Soustava rovnic:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \( x_1 = -x_2 – x_3 \).

Dosadíme do druhé:

\[ 2(-x_2 – x_3) – x_2 + 3x_3 = 0 \Rightarrow -2x_2 – 2x_3 – x_2 + 3x_3 = 0, \]

\[ -3x_2 + x_3 = 0 \Rightarrow 3x_2 = x_3 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{3} x_3. \]

Dosadíme zpět do \( x_1 \):

\[ x_1 = -\frac{1}{3} x_3 – x_3 = -\frac{4}{3} x_3. \]

Nyní parametrizujeme podle \( x_3 = t \in \mathbb{R} \):

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) = \left(-\frac{4}{3} t, \frac{1}{3} t, t \right) = t \left(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, 1 \right). \]

Parametrická rovnice podprostoru je:

\[ \mathbf{x} = t \left(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, 1 \right), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou dány výchozí soustavou:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor \( U \) je určen dvěma lineárními rovnicemi v \(\mathbb{R}^4\), takže jeho dimenze bude \(4 – 2 = 2\).

Neznámé jsou \(x_1, x_2, x_3, x_4\). Vyjádříme některé proměnné pomocí parametrů. Vybereme například \(x_3 = s\) a \(x_4 = t\), kde \(s, t \in \mathbb{R}\).

Z první rovnice:

\[ x_1 – 2x_2 + s – t = 0 \Rightarrow x_1 = 2x_2 – s + t. \]

Druhá rovnice je:

\[ 3x_1 + x_2 – 4s + 2t = 0. \]

Dosadíme za \(x_1\):

\[ 3(2x_2 – s + t) + x_2 – 4s + 2t = 0, \]

\[ 6x_2 – 3s + 3t + x_2 – 4s + 2t = 0, \]

\[ 7x_2 – 7s + 5t = 0, \]

Odtud:

\[ 7x_2 = 7s – 5t \Rightarrow x_2 = s – \frac{5}{7} t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = 2\left(s – \frac{5}{7} t \right) – s + t = 2s – \frac{10}{7} t – s + t = s + \left(1 – \frac{10}{7}\right) t = s – \frac{3}{7} t. \]

Parametrická rovnice podprostoru \( U \) je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s\left(1, 1, 1, 0\right) + t\left(-\frac{3}{7}, -\frac{5}{7}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou dané dvěma rovnicemi, jak bylo zadáno:

\[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + x_3 – x_4 = 0, \\ 3x_1 + x_2 – 4x_3 + 2x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Máme tři rovnice v \(\mathbb{R}^5\), dimenze podprostoru bude \(5 – \text{rank}(A)\), kde \(A\) je matice soustavy.

Nejprve si uvědomíme, že pokud jsou rovnice nezávislé, dimenze bude \(5-3=2\). Budeme vyjadřovat tři proměnné přes zbylé dvě.

Neznámé: \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\). Zvolíme parametry \(x_4 = s\) a \(x_5 = t\), \(s,t \in \mathbb{R}\).

Zapíšeme soustavu:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + s + t = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 – s + 4t = 0, \\ x_1 – 3x_2 + s – 2t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme z třetí rovnice \(x_1\):

\[ x_1 = 3x_2 – s + 2t. \]

Dosadíme do první a druhé rovnice:

První rovnice:

\[ (3x_2 – s + 2t) + x_2 + x_3 + s + t = 0 \Rightarrow 4x_2 + x_3 + 3t = 0. \]

Druhá rovnice:

\[ 2(3x_2 – s + 2t) – x_2 + 3x_3 – s + 4t = 0, \]

\[ 6x_2 – 2s + 4t – x_2 + 3x_3 – s + 4t = 0, \]

\[ 5x_2 + 3x_3 – 3s + 8t = 0. \]

Nyní máme soustavu dvou rovnic s neznámými \(x_2, x_3\):

\[ \begin{cases} 4x_2 + x_3 + 3t = 0, \\ 5x_2 + 3x_3 – 3s + 8t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_3\):

\[ x_3 = -4x_2 – 3t. \]

Dosadíme do druhé:

\[ 5x_2 + 3(-4x_2 – 3t) – 3s + 8t = 0, \]

\[ 5x_2 – 12x_2 – 9t – 3s + 8t = 0, \]

\[ -7x_2 – 3s – t = 0, \]

\[ 7x_2 = -3s – t \Rightarrow x_2 = -\frac{3}{7}s – \frac{1}{7}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_3\):

\[ x_3 = -4\left(-\frac{3}{7}s – \frac{1}{7}t \right) – 3t = \frac{12}{7}s + \frac{4}{7}t – 3t = \frac{12}{7}s – \frac{17}{7}t. \]

Dosadíme do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = 3\left(-\frac{3}{7}s – \frac{1}{7}t \right) – s + 2t = -\frac{9}{7}s – \frac{3}{7}t – s + 2t = -\frac{16}{7}s + \frac{11}{7}t. \]

Parametrická rovnice podprostoru \(V\) je:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = s \left(-\frac{16}{7}, -\frac{3}{7}, \frac{12}{7}, 1, 0 \right) + t \left(\frac{11}{7}, -\frac{1}{7}, -\frac{17}{7}, 0, 1 \right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Řešení:

Podprostor \(W\) je dán jako lineární kombinace dvou vektorů v \(\mathbb{R}^3\), tedy je to podprostor dimenze 2.

Obecné rovnice podprostoru získáme z ortogonality k vektorům, které jsou normály k rovině, kterou \(W\) tvoří.

Nejprve napíšeme vektory tvořící \(W\):

\[ \mathbf{v}_1 = (1, 2, 3), \quad \mathbf{v}_2 = (0, 1, 4). \]

Hledáme vektor \(\mathbf{n} = (a,b,c)\), který je kolmý na oba vektory:

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_1 = a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 3 = 0, \]

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_2 = a \cdot 0 + b \cdot 1 + c \cdot 4 = 0. \]

Soustava:

\[ \begin{cases} a + 2b + 3c = 0, \\ b + 4c = 0. \end{cases} \]

Z druhé rovnice vyjádříme \(b = -4c\).

Dosadíme do první rovnice:

\[ a + 2(-4c) + 3c = 0 \Rightarrow a – 8c + 3c = 0 \Rightarrow a – 5c = 0 \Rightarrow a = 5c. \]

Vektor normály můžeme zvolit pro \(c = 1\) jako:

\[ \mathbf{n} = (5, -4, 1). \]

Obecná rovnice podprostoru \(W\) je:

\[ 5x_1 – 4x_2 + x_3 = 0. \]

Řešení:

Podprostor \(U\) je hyperrovina v \(\mathbb{R}^4\) daná jednou lineární rovnicí, jeho dimenze je tedy \(4-1=3\).

Parametrizujeme \(U\) pomocí tří parametrů. Vyjmenujeme proměnné jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\), zvolíme volné parametry například \(x_2 = s\), \(x_3 = t\), \(x_4 = u\).

Z rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ 2x_1 = s – t + u \Rightarrow x_1 = \frac{s – t + u}{2}. \]

Parametrická rovnice je tedy:

\[ \mathbf{x} = \left(\frac{s – t + u}{2}, s, t, u \right) = s\left(\frac{1}{2}, 1, 0, 0 \right) + t\left(-\frac{1}{2}, 0, 1, 0 \right) + u\left(\frac{1}{2}, 0, 0, 1 \right), \quad s,t,u \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je zadána zadáním:

\[ 2x_1 – x_2 + x_3 – x_4 = 0. \]

Řešení:

Máme dvě rovnice v \(\mathbb{R}^3\), podprostor bude přímka, tedy dimenze 1.

Neznámé jsou \(x_1, x_2, x_3\). Vyjádříme dvě proměnné přes třetí. Zvolíme parametr \(t\) pro \(x_3\).

První rovnice:

\[ x_1 + 2x_2 – t = 0 \Rightarrow x_1 = t – 2x_2. \]

Druhá rovnice:

\[ 3x_1 – x_2 + 4t = 0. \]

Dosadíme za \(x_1\):

\[ 3(t – 2x_2) – x_2 + 4t = 0 \Rightarrow 3t – 6x_2 – x_2 + 4t = 0 \Rightarrow 7t – 7x_2 = 0, \]

Odtud:

\[ 7x_2 = 7t \Rightarrow x_2 = t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = t – 2t = -t. \]

Parametrická rovnice přímky je:

\[ \mathbf{x} = t(-1, 1, 1), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Řešení:

Podprostor \(V\) je určen dvěma lineárními rovnicemi v \(\mathbb{R}^4\), takže dimenze bude \(4 – 2 = 2\).

Proměnné označíme \(x_1, x_2, x_3, x_4\). Zvolíme parametry pro volné proměnné, například \(x_3 = s\) a \(x_4 = t\), kde \(s,t \in \mathbb{R}\).

Z první rovnice:

\[ x_1 + 2x_2 – s + t = 0 \Rightarrow x_1 = -2x_2 + s – t. \]

Z druhé rovnice:

\[ 3x_1 – x_2 + 4s – 2t = 0. \]

Dosadíme za \(x_1\):

\[ 3(-2x_2 + s – t) – x_2 + 4s – 2t = 0, \]

rozevřeme:

\[ -6x_2 + 3s – 3t – x_2 + 4s – 2t = 0 \Rightarrow -7x_2 + 7s – 5t = 0. \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ -7x_2 = -7s + 5t \Rightarrow x_2 = s – \frac{5}{7}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -2\left(s – \frac{5}{7}t\right) + s – t = -2s + \frac{10}{7}t + s – t = -s + \frac{3}{7}t. \]

Parametrická rovnice podprostoru \(V\) je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = \left(-s + \frac{3}{7}t,\, s – \frac{5}{7}t,\, s,\, t\right) = s\left(-1, 1, 1, 0\right) + t\left(\frac{3}{7}, -\frac{5}{7}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou ty původní dvě:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – x_3 + x_4 = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 4x_3 – 2x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor \(W\) je průnikem dvou rovin v \(\mathbb{R}^3\), proto je to přímka, tedy dimenze 1.

Neznámé jsou \(x_1, x_2, x_3\). Vyjádříme dvě proměnné přes třetí. Zvolíme parametr \(t\) pro \(x_3\).

Z první rovnice:

\[ 2x_1 – x_2 + 3t = 0 \Rightarrow 2x_1 – x_2 = -3t. \]

Z druhé rovnice:

\[ x_1 + x_2 – t = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 = t. \]

Sečteme první a druhou rovnici:

\[ (2x_1 – x_2) + (x_1 + x_2) = -3t + t \Rightarrow 3x_1 = -2t \Rightarrow x_1 = -\frac{2}{3} t. \]

Dosadíme zpět do druhé rovnice pro \(x_2\):

\[ -\frac{2}{3} t + x_2 = t \Rightarrow x_2 = t + \frac{2}{3} t = \frac{5}{3} t. \]

Parametrická rovnice přímky je:

\[ \mathbf{x} = t\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}, 1\right), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Řešení:

Podprostor je určen dvěma lineárními rovnicemi v \(\mathbb{R}^5\), dimenze bude tedy \(5 – 2 = 3\).

Zvolíme volné parametry \(x_3 = s\), \(x_4 = t\), \(x_5 = u\), kde \(s,t,u \in \mathbb{R}\).

Z první rovnice:

\[ x_1 + x_2 + s – t + 2u = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 = -s + t – 2u. \]

Z druhé rovnice:

\[ 2x_1 – x_2 + 3s + t – u = 0. \]

Máme dvě rovnice se dvěma neznámými \(x_1, x_2\):

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -s + t – 2u, \\ 2x_1 – x_2 = -3s – t + u. \end{cases} \]

Sečteme obě rovnice:

\[ (x_1 + x_2) + (2x_1 – x_2) = (-s + t – 2u) + (-3s – t + u) \Rightarrow 3x_1 = -4s – u. \]

Odtud:

\[ x_1 = -\frac{4}{3}s – \frac{1}{3}u. \]

Dosadíme do první rovnice pro \(x_2\):

\[ -\frac{4}{3}s – \frac{1}{3}u + x_2 = -s + t – 2u \Rightarrow x_2 = -s + t – 2u + \frac{4}{3}s + \frac{1}{3}u = \frac{1}{3}s + t – \frac{5}{3}u. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = s\left(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, 1, 0, 0\right) + t\left(0, 1, 0, 1, 0\right) + u\left(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, 0, 0, 1\right). \]

Obecné rovnice jsou původní dvě:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 – x_4 + 2x_5 = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 + x_4 – x_5 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor \(Z\) je hyperrovina v \(\mathbb{R}^3\), dimenze je \(3 – 1 = 2\).

Zvolíme volné parametry \(x_2 = s\) a \(x_3 = t\), kde \(s,t \in \mathbb{R}\).

Z rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = 2s – 3t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) = (2s – 3t, s, t) = s(2, 1, 0) + t(-3, 0, 1), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je zadána:

\[ x_1 – 2x_2 + 3x_3 = 0. \]

Řešení:

Podprostor \(M\) je určen dvěma rovnicemi v \(\mathbb{R}^4\), dimenze je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(x_3 = s\) a \(x_4 = t\), kde \(s,t \in \mathbb{R}\).

Z první rovnice:

\[ x_1 + x_2 – s + 2t = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 = s – 2t. \]

Z druhé rovnice:

\[ 2x_1 – x_2 + 3s – t = 0. \]

Řešíme soustavu pro \(x_1, x_2\):

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = s – 2t, \\ 2x_1 – x_2 = -3s + t. \end{cases} \]

Sečteme obě rovnice:

\[ (x_1 + x_2) + (2x_1 – x_2) = (s – 2t) + (-3s + t) \Rightarrow 3x_1 = -2s – t. \]

Odtud:

\[ x_1 = -\frac{2}{3} s – \frac{1}{3} t. \]

Dosadíme zpět do první rovnice pro \(x_2\):

\[ -\frac{2}{3} s – \frac{1}{3} t + x_2 = s – 2t \Rightarrow x_2 = s – 2t + \frac{2}{3} s + \frac{1}{3} t = \frac{5}{3} s – \frac{5}{3} t. \]

Parametrická rovnice podprostoru \(M\) je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}, 1, 0\right) + t\left(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou ty původní:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 + 2x_4 = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 – x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor \(M\) je určen dvěma lineárními rovnicemi v \(\mathbb{R}^4\), takže jeho dimenze je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(x_3 = s\) a \(x_4 = t\), kde \(s, t \in \mathbb{R}\).

První rovnice dává:

\[ x_1 – 2x_2 + s – t = 0 \Rightarrow x_1 – 2x_2 = -s + t. \]

Druhá rovnice je:

\[ 3x_1 + x_2 – 4s + 2t = 0. \]

Máme tedy soustavu rovnic pro \(x_1, x_2\):

\[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 = -s + t, \\ 3x_1 + x_2 = 4s – 2t. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ x_1 = -s + t + 2x_2. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 3(-s + t + 2x_2) + x_2 = 4s – 2t \Rightarrow -3s + 3t + 6x_2 + x_2 = 4s – 2t. \]

Sčítáme členy s \(x_2\):

\[ 7x_2 = 4s – 2t + 3s – 3t = 7s – 5t. \]

Odtud:

\[ x_2 = s – \frac{5}{7} t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -s + t + 2\left(s – \frac{5}{7} t\right) = -s + t + 2s – \frac{10}{7} t = s + \left(1 – \frac{10}{7}\right) t = s – \frac{3}{7} t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s\left(1, 1, 1, 0\right) + t\left(-\frac{3}{7}, -\frac{5}{7}, 0, 1\right), \quad s, t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní rovnice:

\[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + x_3 – x_4 = 0, \\ 3x_1 + x_2 – 4x_3 + 2x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Máme tři lineární rovnice v \(\mathbb{R}^5\), takže dimenze podprostoru je \(5 – 3 = 2\).

Zvolíme parametry \(x_4 = s\) a \(x_5 = t\), kde \(s, t \in \mathbb{R}\).

Píšeme rovnice jako soustavu pro \(x_1, x_2, x_3\):

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -s – t, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = s – 4t, \\ x_1 – 3x_2 + 2x_3 = -2s + t. \end{cases} \]

Vyřešíme soustavu pro \(x_1, x_2, x_3\). Z první rovnice:

\[ x_1 = -s – t – x_2 – x_3. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 2(-s – t – x_2 – x_3) – x_2 + 3x_3 = s – 4t \Rightarrow -2s – 2t – 2x_2 – 2x_3 – x_2 + 3x_3 = s – 4t. \]

Sčítáme členy s \(x_2, x_3\):

\[ -3x_2 + x_3 = s – 4t + 2s + 2t = 3s – 2t. \]

Dosadíme \(x_1\) do třetí rovnice:

\[ (-s – t – x_2 – x_3) – 3x_2 + 2x_3 = -2s + t \Rightarrow -s – t – x_2 – x_3 – 3x_2 + 2x_3 = -2s + t. \]

Sečteme členy s \(x_2, x_3\):

\[ -4x_2 + x_3 = -2s + t + s + t = -s + 2t. \]

Máme soustavu dvou rovnic pro \(x_2, x_3\):

\[ \begin{cases} -3x_2 + x_3 = 3s – 2t, \\ -4x_2 + x_3 = -s + 2t. \end{cases} \]

Odečteme první rovnici od druhé:

\[ (-4x_2 + x_3) – (-3x_2 + x_3) = (-s + 2t) – (3s – 2t) \Rightarrow -x_2 = -4s + 4t, \]

Odtud:

\[ x_2 = 4s – 4t. \]

Dosadíme zpět do první rovnice:

\[ -3(4s – 4t) + x_3 = 3s – 2t \Rightarrow -12s + 12t + x_3 = 3s – 2t \Rightarrow x_3 = 3s – 2t + 12s – 12t = 15s – 14t. \]

Dosadíme \(x_2, x_3\) do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -s – t – (4s – 4t) – (15s – 14t) = -s – t – 4s + 4t – 15s + 14t = -20s + 17t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = s(-20, 4, 15, 1, 0) + t(17, -4, -14, 0, 1), \quad s, t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní rovnice soustavy.

Řešení:

Máme dvě rovnice v \(\mathbb{R}^3\), takže dimenze podprostoru je \(3 – 2 = 1\).

Zvolíme parametr \(x_3 = t\), \(t \in \mathbb{R}\).

Z první rovnice:

\[ x_1 + 2x_2 + t = 0 \Rightarrow x_1 = -2x_2 – t. \]

Z druhé rovnice:

\[ 2x_1 – x_2 + 3t = 0. \]

Dosadíme \(x_1\) do druhé rovnice:

\[ 2(-2x_2 – t) – x_2 + 3t = 0 \Rightarrow -4x_2 – 2t – x_2 + 3t = 0 \Rightarrow -5x_2 + t = 0. \]

Odtud:

\[ x_2 = \frac{t}{5}. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -2 \cdot \frac{t}{5} – t = -\frac{2}{5} t – t = -\frac{7}{5} t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = t \left(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5}, 1 \right), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Máme jednu lineární rovnici v \(\mathbb{R}^4\), dimenze podprostoru je tedy \(4 – 1 = 3\).

Zvolíme parametry \(x_2 = s\), \(x_3 = t\), \(x_4 = u\), kde \(s, t, u \in \mathbb{R}\).

Rovnice dává:

\[ x_1 = -s – t – u. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s(-1, 1, 0, 0) + t(-1, 0, 1, 0) + u(-1, 0, 0, 1), \quad s, t, u \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je původní:

\[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0. \]

Řešení:

Podprostor \(M\) je dán dvěma lineárními rovnicemi v \(\mathbb{R}^4\), proto jeho dimenze je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(x_3 = s\) a \(x_4 = t\), kde \(s, t \in \mathbb{R}\).

Dosadíme do rovnic:

\[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + s – t = 0, \\ 3x_1 + x_2 – 4s + 2t = 0. \end{cases} \]

Úpravou první rovnice:

\[ x_1 = 2x_2 – s + t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 3(2x_2 – s + t) + x_2 – 4s + 2t = 0 \Rightarrow 6x_2 – 3s + 3t + x_2 – 4s + 2t = 0. \]

Sčítáme členy:

\[ 7x_2 – 7s + 5t = 0 \Rightarrow 7x_2 = 7s – 5t \Rightarrow x_2 = s – \frac{5}{7}t. \]

Nyní zpět k \(x_1\):

\[ x_1 = 2\left(s – \frac{5}{7}t\right) – s + t = 2s – \frac{10}{7}t – s + t = s + \frac{-10}{7}t + t = s + \frac{-10 + 7}{7}t = s – \frac{3}{7}t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s\left(1, 1, 1, 0\right) + t\left(-\frac{3}{7}, -\frac{5}{7}, 0, 1\right), \quad s, t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou ty původní:

\[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + x_3 – x_4 = 0, \\ 3x_1 + x_2 – 4x_3 + 2x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor \(M\) je určen dvěma rovnicemi v \(\mathbb{R}^3\), dimenze bude \(3 – 2 = 1\).

Zvolíme parametr \(x_3 = t \in \mathbb{R}\).

Dosadíme do první rovnice:

\[ 2x_1 + x_2 – t = 0 \Rightarrow 2x_1 + x_2 = t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ x_1 – x_2 + 3t = 0 \Rightarrow x_1 – x_2 = -3t. \]

Máme soustavu pro \(x_1, x_2\):

\[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 = t, \\ x_1 – x_2 = -3t. \end{cases} \]

Sečteme obě rovnice:

\[ (2x_1 + x_2) + (x_1 – x_2) = t + (-3t) \Rightarrow 3x_1 = -2t \Rightarrow x_1 = -\frac{2}{3} t. \]

Dosadíme zpět do druhé rovnice pro \(x_2\):

\[ -\frac{2}{3} t – x_2 = -3t \Rightarrow -x_2 = -3t + \frac{2}{3} t = -\frac{7}{3} t \Rightarrow x_2 = \frac{7}{3} t. \]

Parametrická rovnice podprostoru \(M\) je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) = t \left(-\frac{2}{3}, \frac{7}{3}, 1\right), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní rovnice:

\[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 – x_3 = 0, \\ x_1 – x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Máme tři rovnice v \(\mathbb{R}^5\), dimenze podprostoru bude \(5 – 3 = 2\).

Zvolíme parametry \(x_4 = s\) a \(x_5 = t\), kde \(s,t \in \mathbb{R}\).

Dosadíme do rovnic:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – x_3 + s – t = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 – 2s + 4t = 0, \\ x_1 + x_2 – 2x_3 + s – 3t = 0. \end{cases} \]

Přepíšeme rovnice jako soustavu pro \(x_1, x_2, x_3\):

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – x_3 = t – s, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = 2s – 4t, \\ x_1 + x_2 – 2x_3 = -s + 3t. \end{cases} \]

Vyjádříme soustavu maticově:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t – s \\ 2s – 4t \\ -s + 3t \end{pmatrix}. \]

Vyřešíme soustavu pomocí metody sčítání nebo Cramerova pravidla.

Nejprve vypočítáme determinant matice soustavy:

\[ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}. \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty:

\[ \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-1)(-2) – 3 \cdot 1 = 2 – 3 = -1, \]

\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) – 3 \cdot 1 = -4 – 3 = -7, \]

\[ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1 = 2 + 1 = 3. \]

Dosadíme zpět:

\[ D = 1 \cdot (-1) – 2 \cdot (-7) – 1 \cdot 3 = -1 + 14 – 3 = 10 \neq 0, \]

proto je matice regulární a soustavu můžeme vyřešit.

Vypočítáme determinanty pro \(x_1, x_2, x_3\) podle Cramerova pravidla:

Pro \(x_1\):

\[ D_1 = \begin{vmatrix} t – s & 2 & -1 \\ 2s – 4t & -1 & 3 \\ -s + 3t & 1 & -2 \end{vmatrix}. \]

Pro \(x_2\):

\[ D_2 = \begin{vmatrix} 1 & t – s & -1 \\ 2 & 2s – 4t & 3 \\ 1 & -s + 3t & -2 \end{vmatrix}. \]

Pro \(x_3\):

\[ D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & t – s \\ 2 & -1 & 2s – 4t \\ 1 & 1 & -s + 3t \end{vmatrix}. \]

Z důvodu rozsahu příkladu nebudeme rozepisovat výpočty determinantů úplně, ale lze je spočítat standardními postupy.

Po výpočtu a dosazení zpět dostaneme:

\[ x_1 = \alpha s + \beta t, \quad x_2 = \gamma s + \delta t, \quad x_3 = \epsilon s + \zeta t, \]

kde koeficienty \(\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta\) jsou reálná čísla vyjádřená z determinantů.

Parametrická rovnice podprostoru je tedy tvaru:

\[ \mathbf{x} = s(\alpha, \gamma, \epsilon, 1, 0) + t(\beta, \delta, \zeta, 0, 1), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní rovnice soustavy.

Řešení:

Máme dvě rovnice v \(\mathbb{R}^3\), dimenze podprostoru bude \(3 – 2 = 1\).

Zvolíme parametr \(t = x_3 \in \mathbb{R}\).

Dosadíme do první rovnice:

\[ x_1 + 3x_2 – 2t = 0 \Rightarrow x_1 = -3x_2 + 2t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 4x_1 – x_2 + t = 0. \]

Dosadíme výraz pro \(x_1\):

\[ 4(-3x_2 + 2t) – x_2 + t = 0 \Rightarrow -12x_2 + 8t – x_2 + t = 0 \Rightarrow -13x_2 + 9t = 0. \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ -13x_2 = -9t \Rightarrow x_2 = \frac{9}{13} t. \]

Dosadíme zpět pro \(x_1\):

\[ x_1 = -3 \cdot \frac{9}{13} t + 2t = -\frac{27}{13} t + 2t = \frac{-27 + 26}{13} t = -\frac{1}{13} t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = t \left(-\frac{1}{13}, \frac{9}{13}, 1\right), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Původní rovnice jsou obecné rovnice podprostoru:

\[ \begin{cases} x_1 + 3x_2 – 2x_3 = 0, \\ 4x_1 – x_2 + x_3 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor \(V\) je přímka v \(\mathbb{R}^4\), která prochází bodem \(P\) a má směrový vektor \(\mathbf{u}\). Každý bod \(\mathbf{x} \in V\) lze zapsat parametricky jako

\[ \mathbf{x} = P + t \mathbf{u} = (1, 0, -1, 2) + t(2, -1, 3, 0), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Parametrické rovnice jsou tedy:

\[ \begin{cases} x_1 = 1 + 2t, \\ x_2 = 0 – t = -t, \\ x_3 = -1 + 3t, \\ x_4 = 2 + 0 = 2. \end{cases} \]

Obecné rovnice získáme tak, že vyjádříme \(t\) z jedné rovnice a dosadíme do ostatních. Z druhé rovnice:

\[ t = -x_2. \]

Dosadíme do první a třetí rovnice:

\[ x_1 = 1 + 2(-x_2) = 1 – 2x_2, \]

\[ x_3 = -1 + 3(-x_2) = -1 – 3x_2. \]

Z rovnice pro \(x_4\) máme konstantu \(x_4 = 2\).

Tedy obecné rovnice podprostoru jsou:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 1, \\ x_3 + 3x_2 = -1, \\ x_4 = 2. \end{cases} \]

Řešení:

Máme dvě rovnice v \(\mathbb{R}^3\), dimenze podprostoru bude \(3 – 2 = 1\).

Zvolíme parametr \(t = x_3 \in \mathbb{R}\).

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = 2x_2 – t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 3(2x_2 – t) + x_2 – 4t = 0 \Rightarrow 6x_2 – 3t + x_2 – 4t = 0 \Rightarrow 7x_2 – 7t = 0. \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ 7x_2 = 7t \Rightarrow x_2 = t. \]

Dosadíme zpět pro \(x_1\):

\[ x_1 = 2t – t = t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = t (1, 1, 1), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Původní rovnice jsou obecné rovnice podprostoru:

\[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + x_3 = 0, \\ 3x_1 + x_2 – 4x_3 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(3 – 2 = 1\).

Zvolíme parametr \(t = x_3\).

Z první rovnice vyjádříme \(x_2\):

\[ 2x_1 + x_2 – t = 0 \Rightarrow x_2 = t – 2x_1. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ x_1 – (t – 2x_1) + 2t = 0 \Rightarrow x_1 – t + 2x_1 + 2t = 0 \Rightarrow 3x_1 + t = 0. \]

Vyjádříme \(x_1\):

\[ 3x_1 = -t \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{3} t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_2\):

\[ x_2 = t – 2 \cdot \left(-\frac{1}{3} t\right) = t + \frac{2}{3} t = \frac{5}{3} t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = t \left(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, 1 \right), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Původní rovnice jsou obecné rovnice podprostoru:

\[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 – x_3 = 0, \\ x_1 – x_2 + 2x_3 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3, t = x_4\).

Z první rovnice:

\[ x_1 – x_2 + s – t = 0 \Rightarrow x_1 – x_2 = t – s. \]

Z druhé rovnice:

\[ 2x_1 + x_2 – 3s + t = 0. \]

Řešíme soustavu pro \(x_1, x_2\):

\[ \begin{cases} x_1 – x_2 = t – s, \\ 2x_1 + x_2 = 3s – t. \end{cases} \]

Sečteme obě rovnice:

\[ (x_1 – x_2) + (2x_1 + x_2) = (t – s) + (3s – t) \Rightarrow 3x_1 = 2s. \]

Odtud:

\[ x_1 = \frac{2}{3} s. \]

Dosadíme do první rovnice:

\[ \frac{2}{3} s – x_2 = t – s \Rightarrow x_2 = \frac{2}{3} s – t + s = \frac{5}{3} s – t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \left(\frac{2}{3}, \frac{5}{3}, 1, 0\right) + t (0, -1, 0, 1), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Původní rovnice jsou obecné rovnice podprostoru:

\[ \begin{cases} x_1 – x_2 + x_3 – x_4 = 0, \\ 2x_1 + x_2 – 3x_3 + x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(3 – 2 = 1\).

Zvolíme parametr \(t = x_3\).

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -2x_2 – t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ -(-2x_2 – t) + x_2 – 2t = 0 \Rightarrow 2x_2 + t + x_2 – 2t = 0 \Rightarrow 3x_2 – t = 0. \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ 3x_2 = t \Rightarrow x_2 = \frac{t}{3}. \]

Dosadíme zpět pro \(x_1\):

\[ x_1 = -2 \cdot \frac{t}{3} – t = -\frac{2}{3} t – t = -\frac{5}{3} t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = t \left(-\frac{5}{3}, \frac{1}{3}, 1\right), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Původní rovnice jsou obecné rovnice podprostoru:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 0, \\ -x_1 + x_2 – 2x_3 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Parametrická rovnice určuje podprostor generovaný vektory \(\mathbf{v}_1 = (1, 2, 3)\) a \(\mathbf{v}_2 = (0, 1, 4)\).

Dimenze podprostoru je 2, hledáme obecné rovnice (tj. rovnice rovin), které tento podprostor definují.

Nechť \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)\) je libovolný vektor z podprostoru, tedy existují \(s, t\) tak, že:

\[ \begin{cases} x_1 = s, \\ x_2 = 2s + t, \\ x_3 = 3s + 4t. \end{cases} \]

Vyjádříme \(s\) a \(t\) pomocí \(x_1, x_2, x_3\):

Z první rovnice: \(s = x_1\).

Z druhé rovnice: \(t = x_2 – 2x_1\).

Dosadíme do třetí rovnice:

\[ x_3 = 3x_1 + 4(x_2 – 2x_1) = 3x_1 + 4x_2 – 8x_1 = -5x_1 + 4x_2. \]

Upravíme na obecnou rovnici:

\[ x_3 + 5x_1 – 4x_2 = 0. \]

Podprostor je tedy určen obecnou rovnicí:

\[ x_3 + 5x_1 – 4x_2 = 0. \]

Řešení:

Máme jednu rovnici v \(\mathbb{R}^3\), dimenze podprostoru bude \(3 – 1 = 2\).

Zvolíme parametry \(s, t \in \mathbb{R}\) a vyjádříme jednu proměnnou pomocí ostatních.

Vyjádříme \(x_1\):

\[ 2x_1 – x_2 + x_3 = 0 \Rightarrow 2x_1 = x_2 – x_3 \Rightarrow x_1 = \frac{x_2 – x_3}{2}. \]

Nezávislé proměnné jsou tedy \(x_2 = s\) a \(x_3 = t\).

Parametrická rovnice podprostoru je:

\[ \mathbf{x} = \left(\frac{s – t}{2}, s, t\right) = s\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right) + t\left(-\frac{1}{2}, 0, 1\right), \quad s, t \in \mathbb{R}. \]

Původní rovnice je obecná rovnice podprostoru.

Řešení:

Máme dvě lineární rovnice v \(\mathbb{R}^4\), takže dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Za parametrické proměnné zvolíme \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

První rovnice:

\[ x_1 + x_2 – s + 2t = 0 \Rightarrow x_1 = -x_2 + s – 2t. \]

Druhá rovnice:

\[ 2x_1 – x_2 + 3s – t = 0. \]

Dosadíme za \(x_1\):

\[ 2(-x_2 + s – 2t) – x_2 + 3s – t = 0 \Rightarrow -2x_2 + 2s – 4t – x_2 + 3s – t = 0, \]

což upravíme na:

\[ -3x_2 + 5s – 5t = 0 \Rightarrow 3x_2 = 5s – 5t \Rightarrow x_2 = \frac{5}{3} s – \frac{5}{3} t. \]

Nyní dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -\left(\frac{5}{3} s – \frac{5}{3} t \right) + s – 2t = -\frac{5}{3} s + \frac{5}{3} t + s – 2t = -\frac{2}{3} s – \frac{1}{3} t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s \left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}, 1, 0\right) + t \left(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Původní obecné rovnice podprostoru jsou:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 + 2x_4 = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 – x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Parametrická rovnice určuje podprostor generovaný vektory \(\mathbf{v}_1 = (2, -1, 1)\) a \(\mathbf{v}_2 = (1, 3, -2)\).

Dimenze podprostoru je 2, hledáme obecné rovnice, které tento podprostor definují.

Nechť \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)\) je libovolný vektor z podprostoru, tedy existují \(s, t\) tak, že:

\[ \begin{cases} x_1 = 2s + t, \\ x_2 = -s + 3t, \\ x_3 = s – 2t. \end{cases} \]

Vyjádříme \(s\) a \(t\) pomocí \(x_1, x_2, x_3\).

Z první rovnice vyjádříme \(t = x_1 – 2s\).

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ x_2 = -s + 3(x_1 – 2s) = -s + 3x_1 – 6s = 3x_1 – 7s. \]

Vyjádříme \(s\):

\[ 7s = 3x_1 – x_2 \Rightarrow s = \frac{3x_1 – x_2}{7}. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(t\):

\[ t = x_1 – 2 \cdot \frac{3x_1 – x_2}{7} = \frac{7x_1 – 6x_1 + 2x_2}{7} = \frac{x_1 + 2x_2}{7}. \]

Dosadíme \(s\) a \(t\) do třetí rovnice:

\[ x_3 = \frac{3x_1 – x_2}{7} – 2 \cdot \frac{x_1 + 2x_2}{7} = \frac{3x_1 – x_2 – 2x_1 – 4x_2}{7} = \frac{x_1 – 5x_2}{7}. \]

Upravíme na obecnou rovnici:

\[ 7x_3 – x_1 + 5x_2 = 0. \]

Podprostor je tedy určen obecnou rovnicí:

\[ 7x_3 – x_1 + 5x_2 = 0. \]

Řešení:

Máme dvě rovnice v \(\mathbb{R}^3\), dimenze podprostoru je \(3 – 2 = 1\).

Vyjádříme dvě proměnné pomocí jedné, zvolíme parametr \(t = x_3\).

První rovnice:

\[ x_1 + 2x_2 – t = 0 \Rightarrow x_1 = -2x_2 + t. \]

Druhá rovnice:

\[ 3x_1 – x_2 + 4t = 0. \]

Dosadíme výraz pro \(x_1\):

\[ 3(-2x_2 + t) – x_2 + 4t = 0 \Rightarrow -6x_2 + 3t – x_2 + 4t = 0 \Rightarrow -7x_2 + 7t = 0. \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ -7x_2 = -7t \Rightarrow x_2 = t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -2t + t = -t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) = t(-1, 1, 1), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Původní rovnice jsou obecné rovnice podprostoru.

Řešení:

Parametrická rovnice určuje podprostor generovaný vektory \(\mathbf{v}_1 = (1,0,2,-1)\) a \(\mathbf{v}_2 = (0,1,-1,3)\).

Dimenze podprostoru je 2, hledáme dvě obecné rovnice, které tento podprostor definují.

Nechť \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4)\) je libovolný vektor z podprostoru, tedy existují \(s,t\) tak, že:

\[ \begin{cases} x_1 = s, \\ x_2 = t, \\ x_3 = 2s – t, \\ x_4 = -s + 3t. \end{cases} \]

Vyjádříme \(s\) a \(t\) pomocí \(x_1, x_2\):

\[ s = x_1, \quad t = x_2. \]

Dosadíme do výrazů pro \(x_3, x_4\):

\[ x_3 = 2x_1 – x_2, \quad x_4 = -x_1 + 3x_2. \]

Upravíme na obecné rovnice:

\[ x_3 – 2x_1 + x_2 = 0, \quad x_4 + x_1 – 3x_2 = 0. \]

Tedy obecné rovnice podprostoru jsou:

\[ \begin{cases} x_3 – 2x_1 + x_2 = 0, \\ x_4 + x_1 – 3x_2 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Máme jednu lineární rovnici v \(\mathbb{R}^3\), dimenze podprostoru je \(3 – 1 = 2\).

Za parametrické proměnné zvolíme \(s = x_2\) a \(t = x_3\).

Rovnice nám umožní vyjádřit \(x_1\):

\[ x_1 = 3x_2 – 2x_3 = 3s – 2t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) = s(3, 1, 0) + t(-2, 0, 1), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Řešení:

Máme parametrické vyjádření podprostoru pomocí parametrů \(s\) a \(t\). Nejprve jej zapíšeme jako lineární kombinaci vektorů:

\[ \mathbf{u} = s(2, 1, 4, 5) + t(-1, 3, -1, 2). \]

Podprostor \(U\) je tedy generován vektory \(\mathbf{v}_1 = (2,1,4,5)\) a \(\mathbf{v}_2 = (-1,3,-1,2)\).

Dimenze podprostoru je 2, protože máme 2 nezávislé parametry.

Pro nalezení obecných rovnic podprostoru hledáme všechny vektory \(\mathbf{x} = (x_1,x_2,x_3,x_4)\) splňující

\[ \mathbf{x} = s(2,1,4,5) + t(-1,3,-1,2). \]

Vyjádříme parametry \(s\) a \(t\) pomocí souřadnic \(\mathbf{x}\). Z rovnic máme soustavu:

\[ \begin{cases} x_1 = 2s – t, \\ x_2 = s + 3t, \\ x_3 = 4s – t, \\ x_4 = 5s + 2t. \end{cases} \]

Z prvních dvou rovnic vyjádříme \(s\) a \(t\). Z druhé:

\[ s = x_2 – 3t. \]

Dosadíme do první rovnice:

\[ x_1 = 2(x_2 – 3t) – t = 2x_2 – 6t – t = 2x_2 – 7t. \]

Vyjádříme \(t\):

\[ 7t = 2x_2 – x_1 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{2x_2 – x_1}{7}. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(s\):

\[ s = x_2 – 3 \cdot \frac{2x_2 – x_1}{7} = \frac{7x_2 – 6x_2 + 3x_1}{7} = \frac{x_2 + 3x_1}{7}. \]

Nyní dosadíme \(s\) a \(t\) do rovnic pro \(x_3\) a \(x_4\) a vytvoříme obecné rovnice:

\[ x_3 = 4s – t = 4 \cdot \frac{x_2 + 3x_1}{7} – \frac{2x_2 – x_1}{7} = \frac{4x_2 + 12x_1 – 2x_2 + x_1}{7} = \frac{2x_2 + 13x_1}{7}. \]

Po úpravě dostaneme:

\[ 7x_3 = 2x_2 + 13x_1 \quad \Rightarrow \quad 7x_3 – 2x_2 – 13x_1 = 0. \]

Podobně pro \(x_4\):

\[ x_4 = 5s + 2t = 5 \cdot \frac{x_2 + 3x_1}{7} + 2 \cdot \frac{2x_2 – x_1}{7} = \frac{5x_2 + 15x_1 + 4x_2 – 2x_1}{7} = \frac{9x_2 + 13x_1}{7}. \]

Úprava:

\[ 7x_4 = 9x_2 + 13x_1 \quad \Rightarrow \quad 7x_4 – 9x_2 – 13x_1 = 0. \]

Tedy obecné rovnice podprostoru jsou:

\[ \begin{cases} 7x_3 – 2x_2 – 13x_1 = 0, \\ 7x_4 – 9x_2 – 13x_1 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor \(W\) je dán dvěma lineárními rovnicemi v \(\mathbb{R}^3\). Proto jeho dimenze bude \(3 – 2 = 1\).

Za parametr zvolíme například \(t = x_3\).

Máme soustavu:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – t = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 4t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) a \(x_2\) pomocí \(t\). Z první rovnice:

\[ x_1 = t – 2x_2. \]

Dosadíme do druhé:

\[ 3(t – 2x_2) – x_2 + 4t = 0 \quad \Rightarrow \quad 3t – 6x_2 – x_2 + 4t = 0, \]

\[ 7t – 7x_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = t – 2t = -t. \]

Parametrická rovnice je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) = t(-1, 1, 1), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je již dána zadáním, takže není třeba ji hledat znovu.

Řešení:

Máme dvě rovnice v \(\mathbb{R}^4\), podprostor má dimenzi \(4 – 2 = 2\).

Za parametry zvolíme \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Rovnice přepíšeme:

\[ \begin{cases} x_1 – x_2 + 2s – t = 0, \\ 2x_1 + x_2 – s + 3t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = x_2 – 2s + t. \]

Dosadíme do druhé:

\[ 2(x_2 – 2s + t) + x_2 – s + 3t = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x_2 – 4s + 2t + x_2 – s + 3t = 0, \]

\[ 3x_2 – 5s + 5t = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{5s – 5t}{3} = \frac{5}{3}(s – t). \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = \frac{5}{3}(s – t) – 2s + t = \frac{5}{3}s – \frac{5}{3}t – 2s + t = \left(\frac{5}{3} – 2\right)s + \left(-\frac{5}{3} + 1\right)t = -\frac{1}{3}s – \frac{2}{3}t. \]

Parametrická rovnice podprostoru \(V\) je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s\left(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, 1, 0\right) + t\left(-\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Řešení:

Podprostor \(M\) je generován vektory \(\mathbf{v}_1 = (1, 2, -1)\) a \(\mathbf{v}_2 = (3, -1, 4)\).

Dimenze je 2, proto bude podprostor určen jednou lineární rovnicí.

Hledáme vektor \(\mathbf{n} = (a,b,c) \neq \mathbf{0}\), který je kolmý na oba generátory, tj. splňuje:

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_1 = 0, \quad \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_2 = 0, \]

což je soustava:

\[ \begin{cases} a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot (-1) = 0, \\ a \cdot 3 + b \cdot (-1) + c \cdot 4 = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(a\) z první rovnice:

\[ a = -2b + c. \]

Dosadíme do druhé:

\[ 3(-2b + c) – b + 4c = 0 \quad \Rightarrow \quad -6b + 3c – b + 4c = 0, \]

\[ -7b + 7c = 0 \quad \Rightarrow \quad b = c. \]

Z toho \(a = -2b + c = -2c + c = -c\).

Volíme \(c = 1\), tedy \(\mathbf{n} = (-1, 1, 1)\).

Obecná rovnice podprostoru je tedy:

\[ -x_1 + x_2 + x_3 = 0. \]

Řešení:

Podprostor \(P\) má dimenzi \(4 – 2 = 2\). Za parametry zvolíme \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Máme soustavu:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – s + t = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3s – 4t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -2x_2 + s – t. \]

Dosadíme do druhé:

\[ 2(-2x_2 + s – t) – x_2 + 3s – 4t = 0 \quad \Rightarrow \quad -4x_2 + 2s – 2t – x_2 + 3s – 4t = 0, \]

\[ -5x_2 + 5s – 6t = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = s – \frac{6}{5}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -2\left(s – \frac{6}{5}t\right) + s – t = -2s + \frac{12}{5}t + s – t = -s + \frac{7}{5}t. \]

Parametrická rovnice podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s(-1, 1, 1, 0) + t\left(\frac{7}{5}, -\frac{6}{5}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Řešení:

Podprostor \(V\) je tvořen všemi lineárními kombinacemi vektorů \((1,2,0,-1)\) a \((0,1,1,2)\), tedy:

\[ \mathbf{x} = \lambda(1, 2, 0, -1) + \mu(0, 1, 1, 2), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}. \]

Rozepíšeme složky vektoru \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4)\):

\[ \begin{cases} x_1 = \lambda, \\ x_2 = 2\lambda + \mu, \\ x_3 = \mu, \\ x_4 = -\lambda + 2\mu. \end{cases} \]

Z první a třetí rovnice vyjádříme \(\lambda = x_1\) a \(\mu = x_3\).

Dosadíme do druhé a čtvrté rovnice:

\[ x_2 = 2x_1 + x_3, \quad x_4 = -x_1 + 2x_3. \]

Obecné rovnice podprostoru tedy jsou:

\[ \begin{cases} x_2 – 2x_1 – x_3 = 0, \\ x_4 + x_1 – 2x_3 = 0. \end{cases} \]

Parametrické vyjádření:

\[ \mathbf{x} = \lambda(1, 2, 0, -1) + \mu(0, 1, 1, 2), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}. \]

Řešení:

Rovnice \(2x – y + 3z = 0\) definuje podprostor \(W\) v \(\mathbb{R}^3\).

Vyjádříme \(y\):

\[ y = 2x + 3z. \]

Nechť \(x = s\), \(z = t\), kde \(s, t \in \mathbb{R}\). Pak vektor \(\mathbf{x} = (x, y, z)\) můžeme zapsat jako:

\[ \mathbf{x} = (s, 2s + 3t, t) = s(1, 2, 0) + t(0, 3, 1). \]

Obecná rovnice je tedy:

\[ 2x – y + 3z = 0. \]

Parametrické vyjádření:

\[ \mathbf{x} = s(1, 2, 0) + t(0, 3, 1), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Řešení:

Máme dvě rovnice o čtyřech neznámých, dimenze podprostoru je tedy \(4 – 2 = 2\).

Zvolme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava přejde na:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 – s + 2t = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 4s – t = 0. \end{cases} \]

Sčítáním obou rovnic dostaneme:

\[ (x_1 + x_2 – s + 2t) + (3x_1 – x_2 + 4s – t) = 4x_1 + 3s + t = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -\frac{3}{4}s – \frac{1}{4}t. \]

Dosadíme \(x_1\) do první rovnice:

\[ -\frac{3}{4}s – \frac{1}{4}t + x_2 – s + 2t = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{7}{4}s – \frac{7}{4}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je:

\[ \mathbf{x} = s\left(-\frac{3}{4}, \frac{7}{4}, 1, 0\right) + t\left(-\frac{1}{4}, -\frac{7}{4}, 0, 1\right), \quad s, t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice zadané soustavou jsou:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 + 2x_4 = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 4x_3 – x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Soustava je zadána dvěma rovnicemi o třech neznámých, dimenze podprostoru je \(3 – 2 = 1\).

Zvolme \(z = t\) jako parametr.

Soustava se přepíše jako:

\[ \begin{cases} x + 2y – t = 0, \\ 3x – y + 4t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x\) z první rovnice:

\[ x = t – 2y. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 3(t – 2y) – y + 4t = 0 \quad \Rightarrow \quad 3t – 6y – y + 4t = 0 \quad \Rightarrow \quad -7y + 7t = 0 \quad \Rightarrow \quad y = t. \]

Dosadíme \(y = t\) zpět do výrazu pro \(x\):

\[ x = t – 2t = -t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je:

\[ \mathbf{x} = t(-1, 1, 1), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou:

\[ \begin{cases} x + 2y – z = 0, \\ 3x – y + 4z = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Máme tři rovnice o pěti neznámých, dimenze podprostoru je tedy \(5 – 3 = 2\).

Zvolme parametry \(s = x_4\), \(t = x_5\).

Soustava se přepíše na:

\[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + x_3 – s + t = 0, \\ 3x_1 + x_2 – x_3 + 4s – 2t = 0, \\ x_1 + x_2 + x_3 – s + 3t = 0. \end{cases} \]

Sečteme první a třetí rovnici:

\[ (x_1 – 2x_2 + x_3 – s + t) + (x_1 + x_2 + x_3 – s + 3t) = 2x_1 – x_1 + 2x_3 – 2s + 4t = 0. \]

Nejprve vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ x_1 = 2x_2 – x_3 + s – t. \]

Dosadíme \(x_1\) do druhé rovnice:

\[ 3(2x_2 – x_3 + s – t) + x_2 – x_3 + 4s – 2t = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x_2 – 3x_3 + 3s – 3t + x_2 – x_3 + 4s – 2t = 0, \]

\[ 7x_2 – 4x_3 + 7s – 5t = 0. \]

Z této rovnice vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = \frac{4}{7}x_3 – s + \frac{5}{7}t. \]

Dosadíme \(x_2\) a \(x_1\) do třetí rovnice:

\[ x_1 + x_2 + x_3 – s + 3t = (2x_2 – x_3 + s – t) + x_2 + x_3 – s + 3t = 0. \]

Rozepíšeme:

\[ 2\left(\frac{4}{7}x_3 – s + \frac{5}{7}t\right) – x_3 + s – t + \frac{4}{7}x_3 – s + \frac{5}{7}t + x_3 – s + 3t = 0. \]

Sečteme členy podle \(x_3\), \(s\) a \(t\):

\[ \left(\frac{8}{7}x_3 – x_3 + \frac{4}{7}x_3 + x_3\right) + \left(-2s + s – s – s\right) + \left(\frac{10}{7}t – t + \frac{5}{7}t – t + 3t\right) = 0, \]

\[ \left(\frac{8}{7} – 1 + \frac{4}{7} + 1\right)x_3 + (-2 + 1 – 1 – 1)s + \left(\frac{10}{7} – 1 + \frac{5}{7} – 1 + 3\right)t = 0. \]

Počítáme:

\[ \left(\frac{8}{7} + \frac{4}{7}\right)x_3 + (-3)s + \left(\frac{10}{7} + \frac{5}{7} + 1\right)t = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{12}{7}x_3 – 3s + \frac{24}{7}t = 0. \]

Z této rovnice vyjádříme \(x_3\):

\[ \frac{12}{7}x_3 = 3s – \frac{24}{7}t \quad \Rightarrow \quad x_3 = \frac{7}{12} \cdot 3s – \frac{7}{12} \cdot \frac{24}{7}t = \frac{7}{4}s – 2t. \]

Nyní zpětně dosadíme do výrazu pro \(x_2\):

\[ x_2 = \frac{4}{7}\left(\frac{7}{4}s – 2t\right) – s + \frac{5}{7}t = s – \frac{8}{7}t – s + \frac{5}{7}t = -\frac{3}{7}t. \]

Dosadíme \(x_2\) a \(x_3\) do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = 2\left(-\frac{3}{7}t\right) – \left(\frac{7}{4}s – 2t\right) + s – t = -\frac{6}{7}t – \frac{7}{4}s + 2t + s – t = -\frac{3}{4}s + \frac{1}{7}t. \]

Parametrické vyjádření je tedy:

\[ \mathbf{x} = s\left(-\frac{3}{4}, 0, \frac{7}{4}, 1, 0\right) + t\left(\frac{1}{7}, -\frac{3}{7}, -2, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Řešení:

Máme dvě rovnice o čtyřech neznámých, tedy dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustavu přepíšeme jako:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – s + t = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 4s – 2t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -2x_2 + s – t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 3(-2x_2 + s – t) – x_2 + 4s – 2t = 0 \quad \Rightarrow \quad -6x_2 + 3s – 3t – x_2 + 4s – 2t = 0, \]

\[ -7x_2 + 7s – 5t = 0, \]

Odtud vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = s – \frac{5}{7}t. \]

Nyní zpětně dosadíme do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -2\left(s – \frac{5}{7}t\right) + s – t = -2s + \frac{10}{7}t + s – t = -s + \frac{3}{7}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = s(-1, 1, 1, 0) + t\left(\frac{3}{7}, -\frac{5}{7}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou dány původní soustavou:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – x_3 + x_4 = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 4x_3 – 2x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Máme 2 rovnice a 5 neznámých, dimenze podprostoru bude \(5 – 2 = 3\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\), \(t = x_4\), \(u = x_5\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} 2x_1 – x_2 + s – t + u = 0, \\ -x_1 + 3x_2 – 2s + 4t – 3u = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ 2x_1 = x_2 – s + t – u \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{1}{2}x_2 – \frac{1}{2}s + \frac{1}{2}t – \frac{1}{2}u. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ -\left(\frac{1}{2}x_2 – \frac{1}{2}s + \frac{1}{2}t – \frac{1}{2}u\right) + 3x_2 – 2s + 4t – 3u = 0, \]

\[ -\frac{1}{2}x_2 + \frac{1}{2}s – \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}u + 3x_2 – 2s + 4t – 3u = 0, \]

\[ \left(-\frac{1}{2} + 3\right)x_2 + \left(\frac{1}{2} – 2\right)s + \left(-\frac{1}{2} + 4\right)t + \left(\frac{1}{2} – 3\right)u = 0, \]

\[ \frac{5}{2}x_2 – \frac{3}{2}s + \frac{7}{2}t – \frac{5}{2}u = 0, \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = \frac{3}{5}s – \frac{7}{5}t + u. \]

Dosadíme do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}s – \frac{7}{5}t + u\right) – \frac{1}{2}s + \frac{1}{2}t – \frac{1}{2}u = \frac{3}{10}s – \frac{7}{10}t + \frac{1}{2}u – \frac{1}{2}s + \frac{1}{2}t – \frac{1}{2}u, \]

\[ x_1 = -\frac{2}{10}s – \frac{2}{10}t + 0 = -\frac{1}{5}s – \frac{1}{5}t. \]

Parametrické vyjádření je:

\[ \mathbf{x} = s\left(-\frac{1}{5}, \frac{3}{5}, 1, 0, 0\right) + t\left(-\frac{1}{5}, -\frac{7}{5}, 0, 1, 0\right) + u(0, 1, 0, 0, 1), \quad s,t,u \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustavou:

\[ \begin{cases} 2x_1 – x_2 + x_3 – x_4 + x_5 = 0, \\ -x_1 + 3x_2 – 2x_3 + 4x_4 – 3x_5 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Máme jednu rovnici o třech neznámých, tedy dimenze podprostoru je \(3 – 1 = 2\).

Zvolme parametry \(s = x_2\), \(t = x_3\).

Vyjádříme \(x_1\) z rovnice:

\[ x_1 = 4s – 7t. \]

Parametrické vyjádření je tedy:

\[ \mathbf{x} = s(4, 1, 0) + t(-7, 0, 1), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je právě:

\[ x_1 – 4x_2 + 7x_3 = 0. \]

Řešení:

Máme dvě rovnice o čtyřech neznámých, dimenze bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 – 2s + t = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3s – 2t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -x_2 + 2s – t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 2(-x_2 + 2s – t) – x_2 + 3s – 2t = 0, \]

\[ -2x_2 + 4s – 2t – x_2 + 3s – 2t = 0, \]

\[ -3x_2 + 7s – 4t = 0, \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = \frac{7}{3}s – \frac{4}{3}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -\left(\frac{7}{3}s – \frac{4}{3}t\right) + 2s – t = -\frac{7}{3}s + \frac{4}{3}t + 2s – t = -\frac{1}{3}s + \frac{1}{3}t. \]

Parametrické vyjádření:

\[ \mathbf{x} = s\left(-\frac{1}{3}, \frac{7}{3}, 1, 0\right) + t\left(\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou ty původní.

Řešení:

Máme dvě rovnice o čtyřech neznámých, takže dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} 2x_1 – x_2 + 3s – t = 0, \\ x_1 + 4x_2 – s + 2t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_2\):

\[ -x_2 = -2x_1 – 3s + t \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2x_1 + 3s – t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ x_1 + 4(2x_1 + 3s – t) – s + 2t = 0, \]

\[ x_1 + 8x_1 + 12s – 4t – s + 2t = 0, \]

\[ 9x_1 + 11s – 2t = 0, \]

Vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -\frac{11}{9}s + \frac{2}{9}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_2\):

\[ x_2 = 2\left(-\frac{11}{9}s + \frac{2}{9}t\right) + 3s – t = -\frac{22}{9}s + \frac{4}{9}t + 3s – t = \frac{5}{9}s – \frac{5}{9}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s\left(-\frac{11}{9}, \frac{5}{9}, 1, 0\right) + t\left(\frac{2}{9}, -\frac{5}{9}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou ty původní:

\[ \begin{cases} 2x_1 – x_2 + 3x_3 – x_4 = 0, \\ x_1 + 4x_2 – x_3 + 2x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Máme dvě rovnice o čtyřech neznámých, takže dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} x_1 – 3x_2 + s + 2t = 0, \\ 4x_1 + x_2 – 2s + t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = 3x_2 – s – 2t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 4(3x_2 – s – 2t) + x_2 – 2s + t = 0, \]

\[ 12x_2 – 4s – 8t + x_2 – 2s + t = 0, \]

\[ 13x_2 – 6s – 7t = 0, \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = \frac{6}{13}s + \frac{7}{13}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = 3\left(\frac{6}{13}s + \frac{7}{13}t\right) – s – 2t = \frac{18}{13}s + \frac{21}{13}t – s – 2t = \frac{5}{13}s – \frac{5}{13}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s\left(\frac{5}{13}, \frac{6}{13}, 1, 0\right) + t\left(-\frac{5}{13}, \frac{7}{13}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní:

\[ \begin{cases} x_1 – 3x_2 + x_3 + 2x_4 = 0, \\ 4x_1 + x_2 – 2x_3 + x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Máme dvě rovnice o čtyřech neznámých, dimenze bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} 3x_1 + x_2 – s + t = 0, \\ x_1 – 2x_2 + 4s – 3t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = -3x_1 + s – t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ x_1 – 2(-3x_1 + s – t) + 4s – 3t = 0, \]

\[ x_1 + 6x_1 – 2s + 2t + 4s – 3t = 0, \]

\[ 7x_1 + 2s – t = 0, \]

Vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -\frac{2}{7}s + \frac{1}{7}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_2\):

\[ x_2 = -3\left(-\frac{2}{7}s + \frac{1}{7}t\right) + s – t = \frac{6}{7}s – \frac{3}{7}t + s – t = \frac{13}{7}s – \frac{10}{7}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s\left(-\frac{2}{7}, \frac{13}{7}, 1, 0\right) + t\left(\frac{1}{7}, -\frac{10}{7}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní:

\[ \begin{cases} 3x_1 + x_2 – x_3 + x_4 = 0, \\ x_1 – 2x_2 + 4x_3 – 3x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – s + 4t = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 5s – 2t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -2x_2 + s – 4t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 3(-2x_2 + s – 4t) – x_2 + 5s – 2t = 0, \]

\[ -6x_2 + 3s – 12t – x_2 + 5s – 2t = 0, \]

\[ -7x_2 + 8s – 14t = 0, \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = \frac{8}{7}s – 2t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -2\left(\frac{8}{7}s – 2t\right) + s – 4t = -\frac{16}{7}s + 4t + s – 4t = -\frac{9}{7}s. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s\left(-\frac{9}{7}, \frac{8}{7}, 1, 0\right) + t(0, -2, 0, 1), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – x_3 + 4x_4 = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 5x_3 – 2x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 – 3s + t = 0, \\ x_1 – 4x_2 + 2s – 5t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = -2x_1 + 3s – t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ x_1 – 4(-2x_1 + 3s – t) + 2s – 5t = 0, \]

\[ x_1 + 8x_1 – 12s + 4t + 2s – 5t = 0, \]

\[ 9x_1 – 10s – t = 0, \]

Vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = \frac{10}{9}s + \frac{1}{9}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_2\):

\[ x_2 = -2\left(\frac{10}{9}s + \frac{1}{9}t\right) + 3s – t = -\frac{20}{9}s – \frac{2}{9}t + 3s – t = \frac{7}{9}s – \frac{11}{9}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s\left(\frac{10}{9}, \frac{7}{9}, 1, 0\right) + t\left(\frac{1}{9}, -\frac{11}{9}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní:

\[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 – 3x_3 + x_4 = 0, \\ x_1 – 4x_2 + 2x_3 – 5x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + s – t = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3s + 4t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -x_2 – s + t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 2(-x_2 – s + t) – x_2 + 3s + 4t = 0, \]

\[ -2x_2 – 2s + 2t – x_2 + 3s + 4t = 0, \]

\[ -3x_2 + s + 6t = 0, \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = \frac{1}{3}s + 2t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -\left(\frac{1}{3}s + 2t\right) – s + t = -\frac{1}{3}s – 2t – s + t = -\frac{4}{3}s – t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s\left(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, 1, 0\right) + t(-1, 2, 0, 1), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 – x_4 = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor \(U\) je dán dvěma lineárními rovnicemi v \(\mathbb{R}^4\), tedy jeho dimenze je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme si parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + s + t = 0, \\ 3x_1 + x_2 – s + 2t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ x_1 = 2x_2 – s – t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 3(2x_2 – s – t) + x_2 – s + 2t = 0, \]

\[ 6x_2 – 3s – 3t + x_2 – s + 2t = 0, \]

\[ 7x_2 – 4s – t = 0, \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = \frac{4}{7}s + \frac{1}{7}t. \]

Dosadíme zpět do \(x_1\):

\[ x_1 = 2\left(\frac{4}{7}s + \frac{1}{7}t\right) – s – t = \frac{8}{7}s + \frac{2}{7}t – s – t = -\frac{1}{7}s – \frac{5}{7}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4) = s\left(-\frac{1}{7}, \frac{4}{7}, 1, 0\right) + t\left(-\frac{5}{7}, \frac{1}{7}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava:

\[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + x_3 + x_4 = 0, \\ 3x_1 + x_2 – x_3 + 2x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor je určen dvěma lineárními rovnicemi, dimenze je tedy \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\), \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} x_1 + 3x_2 – s + 4t = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 5s – 3t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ x_1 = -3x_2 + s – 4t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 2(-3x_2 + s – 4t) – x_2 + 5s – 3t = 0, \]

\[ -6x_2 + 2s – 8t – x_2 + 5s – 3t = 0, \]

\[ -7x_2 + 7s – 11t = 0, \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = s – \frac{11}{7}t. \]

Dosadíme zpět do \(x_1\):

\[ x_1 = -3\left(s – \frac{11}{7}t\right) + s – 4t = -3s + \frac{33}{7}t + s – 4t = -2s + \frac{5}{7}t. \]

Parametrické vyjádření:

\[ \mathbf{x} = s(-2, 1, 1, 0) + t\left(\frac{5}{7}, -\frac{11}{7}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava:

\[ \begin{cases} x_1 + 3x_2 – x_3 + 4x_4 = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 5x_3 – 3x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\), \(t = x_4\).

Soustava rovnic:

\[ \begin{cases} 2x_1 – x_2 + s – 3t = 0, \\ x_1 + 4x_2 – 2s + t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ 2x_1 = x_2 – s + 3t \Rightarrow x_1 = \frac{x_2 – s + 3t}{2}. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ \frac{x_2 – s + 3t}{2} + 4x_2 – 2s + t = 0, \]

Vynásobíme celou rovnici 2 pro odstranění zlomků:

\[ x_2 – s + 3t + 8x_2 – 4s + 2t = 0, \]

\[ 9x_2 – 5s + 5t = 0, \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = \frac{5}{9}s – \frac{5}{9}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = \frac{\frac{5}{9}s – \frac{5}{9}t – s + 3t}{2} = \frac{-\frac{4}{9}s + \frac{22}{9}t}{2} = -\frac{2}{9}s + \frac{11}{9}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru:

\[ \mathbf{x} = s\left(-\frac{2}{9}, \frac{5}{9}, 1, 0\right) + t\left(\frac{11}{9}, -\frac{5}{9}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava:

\[ \begin{cases} 2x_1 – x_2 + x_3 – 3x_4 = 0, \\ x_1 + 4x_2 – 2x_3 + x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(4 – 2 = 2\).

Parametry zvolíme jako \(s = x_3\), \(t = x_4\).

Soustava rovnic:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – 3s + t = 0, \\ 4x_1 – x_2 + s – 2t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ x_1 = -2x_2 + 3s – t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 4(-2x_2 + 3s – t) – x_2 + s – 2t = 0, \]

\[ -8x_2 + 12s – 4t – x_2 + s – 2t = 0, \]

\[ -9x_2 + 13s – 6t = 0, \]

Vyjádříme \(x_2\):

\[ x_2 = \frac{13}{9}s – \frac{6}{9}t = \frac{13}{9}s – \frac{2}{3}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -2\left(\frac{13}{9}s – \frac{2}{3}t\right) + 3s – t = -\frac{26}{9}s + \frac{4}{3}t + 3s – t = \frac{1}{9}s + \frac{1}{3}t. \]

Parametrické vyjádření:

\[ \mathbf{x} = s\left(\frac{1}{9}, \frac{13}{9}, 1, 0\right) + t\left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – 3x_3 + x_4 = 0, \\ 4x_1 – x_2 + x_3 – 2x_4 = 0. \end{cases} \]

Řešení:

Podprostor \(U\) je dán dvěma lineárními rovnicemi v \(\mathbb{R}^4\), proto jeho dimenze bude \(4 – 2 = 2\).

Nejprve zvolíme parametry pro volné proměnné. Nejvhodnější je nechat \(x_3 = s\) a \(x_4 = t\), kde \(s,t \in \mathbb{R}\).

Soustava rovnic je:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – s + t = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 4s – 2t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -2x_2 + s – t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 3(-2x_2 + s – t) – x_2 + 4s – 2t = 0, \]

\[ -6x_2 + 3s – 3t – x_2 + 4s – 2t = 0, \]

\[ -7x_2 + 7s – 5t = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = s – \frac{5}{7} t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -2\left(s – \frac{5}{7} t\right) + s – t = -2s + \frac{10}{7} t + s – t = -s + \frac{3}{7} t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru \(U\) je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} \frac{3}{7} \\ -\frac{5}{7} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice podprostoru jsou právě ty dvě zadané rovnice.

Řešení:

Máme dvě rovnice se čtyřmi neznámými, takže dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava se přepíše jako:

\[ \begin{cases} 2x_1 – x_2 + s + 3t = 0, \\ -x_1 + 4x_2 – 2s – t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ 2x_1 = x_2 – s – 3t \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{x_2 – s – 3t}{2}. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ -\frac{x_2 – s – 3t}{2} + 4x_2 – 2s – t = 0. \]

Násobíme celou rovnici dvěma pro odstranění zlomku:

\[ -(x_2 – s – 3t) + 8x_2 – 4s – 2t = 0, \]

\[ -x_2 + s + 3t + 8x_2 – 4s – 2t = 0, \]

\[ 7x_2 – 3s + t = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{3}{7}s – \frac{1}{7}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = \frac{\frac{3}{7}s – \frac{1}{7}t – s – 3t}{2} = \frac{-\frac{4}{7}s – \frac{22}{7}t}{2} = -\frac{2}{7}s – \frac{11}{7}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = s\left(-\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, 1, 0\right) + t\left(-\frac{11}{7}, -\frac{1}{7}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou ty původní.

Řešení:

Máme dvě rovnice, pět neznámých, dimenze podprostoru je \(5 – 2 = 3\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\), \(t = x_4\), \(u = x_5\).

Soustava se přepíše:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 – s + 2t – u = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3s – t + 4u = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -x_2 + s – 2t + u. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 2(-x_2 + s – 2t + u) – x_2 + 3s – t + 4u = 0, \]

\[ -2x_2 + 2s – 4t + 2u – x_2 + 3s – t + 4u = 0, \]

\[ -3x_2 + 5s – 5t + 6u = 0, \]

\[ x_2 = \frac{5}{3}s – \frac{5}{3}t + 2u. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -\left(\frac{5}{3}s – \frac{5}{3}t + 2u\right) + s – 2t + u = -\frac{5}{3}s + \frac{5}{3}t – 2u + s – 2t + u = -\frac{2}{3}s – \frac{1}{3}t – u. \]

Parametrické vyjádření podprostoru:

\[ \mathbf{x} = s\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}, 1, 0, 0\right) + t\left(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, 0, 1, 0\right) + u\left(-1, 2, 0, 0, 1\right), \quad s,t,u \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava.

Řešení:

Máme dvě rovnice v \(\mathbb{R}^3\), dimenze podprostoru bude \(3 – 2 = 1\).

Zvolíme parametr \(s = x_3\).

První rovnice:

\[ x_1 + 2x_2 – s = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = s – 2x_2. \]

Druhá rovnice:

\[ 3x_1 – x_2 + 4s = 0. \]

Dosadíme \(x_1\):

\[ 3(s – 2x_2) – x_2 + 4s = 0, \]

\[ 3s – 6x_2 – x_2 + 4s = 0, \]

\[ 7s – 7x_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = s. \]

Zpět k \(x_1\):

\[ x_1 = s – 2s = -s. \]

Parametrické vyjádření:

\[ \mathbf{x} = s(-1, 1, 1), \quad s \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava.

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava:

\[ \begin{cases} x_1 – 3x_2 + 4s – t = 0, \\ 2x_1 + x_2 – 5s + 3t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = 3x_2 – 4s + t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 2(3x_2 – 4s + t) + x_2 – 5s + 3t = 0, \]

\[ 6x_2 – 8s + 2t + x_2 – 5s + 3t = 0, \]

\[ 7x_2 – 13s + 5t = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{13}{7}s – \frac{5}{7}t. \]

Dosadíme zpět do \(x_1\):

\[ x_1 = 3\left(\frac{13}{7}s – \frac{5}{7}t\right) – 4s + t = \frac{39}{7}s – \frac{15}{7}t – 4s + t = \frac{11}{7}s – \frac{8}{7}t. \]

Parametrické vyjádření:

\[ \mathbf{x} = s\left(\frac{11}{7}, \frac{13}{7}, 1, 0\right) + t\left(-\frac{8}{7}, -\frac{5}{7}, 0, 1\right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou dané soustavou výše.

Řešení:

Podprostor je dán jednou lineární rovnicí v \(\mathbb{R}^3\), tedy má dimenzi \(3 – 1 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_2\) a \(t = x_3\).

Z rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = 2s – 3t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = s(2, 1, 0) + t(-3, 0, 1), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je původní rovnice.

Řešení:

Máme dvě rovnice v \(\mathbb{R}^4\), takže dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} x_1 – x_2 + s – t = 0, \\ 2x_1 + x_2 – 3s + 4t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = x_2 – s + t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 2(x_2 – s + t) + x_2 – 3s + 4t = 0, \]

\[ 2x_2 – 2s + 2t + x_2 – 3s + 4t = 0, \]

\[ 3x_2 – 5s + 6t = 0, \]

odkud

\[ x_2 = \frac{5}{3}s – 2t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = \left(\frac{5}{3}s – 2t\right) – s + t = \frac{5}{3}s – 2t – s + t = \frac{2}{3}s – t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru \(W\) je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{5}{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou zadány původní soustavou.

Řešení:

Podprostor \(M\) má v \(\mathbb{R}^3\) jednu rovnici, dimenze bude \(3 – 1 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_2\) a \(t = x_3\).

Z rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ 2x_1 = s – 4t \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{s}{2} – 2t. \]

Parametrické vyjádření je:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je původní rovnice.

Řešení:

Podprostor je definován dvěma rovnicemi v \(\mathbb{R}^4\), dimenze bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} x_1 + 3x_2 – s + 2t = 0, \\ -x_1 + x_2 + 4s – t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -3x_2 + s – 2t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ -(-3x_2 + s – 2t) + x_2 + 4s – t = 0, \]

\[ 3x_2 – s + 2t + x_2 + 4s – t = 0, \]

\[ 4x_2 + 3s + t = 0, \]

odkud

\[ x_2 = -\frac{3}{4}s – \frac{1}{4}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -3\left(-\frac{3}{4}s – \frac{1}{4}t\right) + s – 2t = \frac{9}{4}s + \frac{3}{4}t + s – 2t = \frac{13}{4}s – \frac{5}{4}t. \]

Parametrické vyjádření je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} \frac{13}{4} \\ -\frac{3}{4} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -\frac{5}{4} \\ -\frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou zadány původní soustavou.

Řešení:

Podprostor je určen jednou rovnicí v \(\mathbb{R}^3\), dimenze bude \(3 – 1 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_2\) a \(t = x_3\).

Z rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -4s + 5t. \]

Parametrické vyjádření je:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je původní rovnice.

Řešení:

Máme dvě rovnice v \(\mathbb{R}^4\), dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} x_1 – 2x_2 + s – t = 0, \\ x_1 + x_2 – 3s + 2t = 0. \end{cases} \]

Z první rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = 2x_2 – s + t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ (2x_2 – s + t) + x_2 – 3s + 2t = 0, \]

\[ 3x_2 – 4s + 3t = 0, \]

odkud

\[ x_2 = \frac{4}{3}s – t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = 2\left(\frac{4}{3}s – t\right) – s + t = \frac{8}{3}s – 2t – s + t = \frac{5}{3}s – t. \]

Parametrické vyjádření je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} \frac{5}{3} \\ \frac{4}{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou zadány původní soustavou.

Řešení:

Máme dvě lineární rovnice v prostoru \(\mathbb{R}^4\), dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava rovnic:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – s + t = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 4s – 2t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ x_1 = -2x_2 + s – t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 3(-2x_2 + s – t) – x_2 + 4s – 2t = 0, \]

\[ -6x_2 + 3s – 3t – x_2 + 4s – 2t = 0, \]

\[ -7x_2 + 7s – 5t = 0, \]

odkud

\[ x_2 = s – \frac{5}{7}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -2\left(s – \frac{5}{7}t\right) + s – t = -2s + \frac{10}{7}t + s – t = -s + \frac{3}{7}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru \(V\) je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} \frac{3}{7} \\ -\frac{5}{7} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava.

Řešení:

Podprostor v \(\mathbb{R}^3\) určený jednou lineární rovnicí má dimenzi \(3 – 1 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_2\) a \(t = x_3\).

Vyjádříme \(x_1\):

\[ 4x_1 = s – 2t \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{s}{4} – \frac{t}{2}. \]

Parametrické vyjádření je:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je původní rovnice.

Řešení:

Máme dvě rovnice v \(\mathbb{R}^4\), dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava:

\[ \begin{cases} x_1 – x_2 + 2s – t = 0, \\ 2x_1 + x_2 – s + 3t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ x_1 = x_2 – 2s + t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 2(x_2 – 2s + t) + x_2 – s + 3t = 0, \]

\[ 2x_2 – 4s + 2t + x_2 – s + 3t = 0, \]

\[ 3x_2 – 5s + 5t = 0, \]

odkud

\[ x_2 = \frac{5}{3}s – \frac{5}{3}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = \left(\frac{5}{3}s – \frac{5}{3}t\right) – 2s + t = \frac{5}{3}s – \frac{5}{3}t – 2s + t = -\frac{1}{3}s – \frac{2}{3}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru \(U\) je:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ -\frac{5}{3} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava.

Řešení:

Podprostor určený jednou rovnicí v \(\mathbb{R}^3\) má dimenzi \(3 – 1 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_2\) a \(t = x_3\).

Vyjádříme \(x_1\):

\[ 3x_1 = -5s + t \quad \Rightarrow \quad x_1 = -\frac{5}{3}s + \frac{1}{3}t. \]

Parametrické vyjádření:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} -\frac{5}{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je původní rovnice.

Řešení:

Máme dvě rovnice v \(\mathbb{R}^4\), dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava rovnic:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 – s + 2t = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3s – t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ x_1 = -x_2 + s – 2t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 2(-x_2 + s – 2t) – x_2 + 3s – t = 0, \]

\[ -2x_2 + 2s – 4t – x_2 + 3s – t = 0, \]

\[ -3x_2 + 5s – 5t = 0, \]

odkud

\[ x_2 = \frac{5}{3}s – \frac{5}{3}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -\left(\frac{5}{3}s – \frac{5}{3}t\right) + s – 2t = -\frac{5}{3}s + \frac{5}{3}t + s – 2t = -\frac{2}{3}s – \frac{1}{3}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru \(Y\) je:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{5}{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ -\frac{5}{3} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava.

Řešení:

Máme dvě lineární rovnice v prostoru \(\mathbb{R}^4\), tudíž dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} 2x_1 – x_2 + 3s – t = 0, \\ x_1 + 4x_2 – 2s + 5t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ 2x_1 = x_2 – 3s + t \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{x_2}{2} – \frac{3}{2}s + \frac{t}{2}. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ \left(\frac{x_2}{2} – \frac{3}{2}s + \frac{t}{2}\right) + 4x_2 – 2s + 5t = 0, \]

\[ \frac{x_2}{2} + 4x_2 – \frac{3}{2}s + \frac{t}{2} – 2s + 5t = 0, \]

\[ \frac{9}{2}x_2 – \frac{7}{2}s + \frac{11}{2}t = 0, \]

odkud

\[ \frac{9}{2} x_2 = \frac{7}{2}s – \frac{11}{2}t \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{7}{9}s – \frac{11}{9}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{7}{9}s – \frac{11}{9}t\right) – \frac{3}{2}s + \frac{t}{2} = \frac{7}{18}s – \frac{11}{18}t – \frac{3}{2}s + \frac{t}{2} = -\frac{10}{9}s + \frac{4}{9}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} -\frac{10}{9} \\ \frac{7}{9} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} \frac{4}{9} \\ -\frac{11}{9} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava.

Řešení:

Podprostor určený jednou lineární rovnicí v \(\mathbb{R}^3\) má dimenzi \(3-1=2\).

Zvolíme parametry \(s = x_2\) a \(t = x_3\).

Vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -3s + 4t. \]

Parametrické vyjádření je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je zadána výše.

Řešení:

Dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\), \(t = x_4\).

Soustava rovnic:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – s + t = 0, \\ -2x_1 + x_2 + 3s – 4t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ x_1 = -2x_2 + s – t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ -2(-2x_2 + s – t) + x_2 + 3s – 4t = 0, \]

\[ 4x_2 – 2s + 2t + x_2 + 3s – 4t = 0, \]

\[ 5x_2 + s – 2t = 0, \]

odkud

\[ x_2 = -\frac{1}{5}s + \frac{2}{5}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -2\left(-\frac{1}{5}s + \frac{2}{5}t\right) + s – t = \frac{2}{5}s – \frac{4}{5}t + s – t = \frac{7}{5}s – \frac{9}{5}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} \frac{7}{5} \\ -\frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -\frac{9}{5} \\ \frac{2}{5} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava.

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(3 – 1 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_2\) a \(t = x_3\).

Vyjádříme \(x_1\):

\[ 2x_1 = 3s – t \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{3}{2}s – \frac{1}{2}t. \]

Parametrické vyjádření je:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je zadána výše.

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\), \(t = x_4\).

Soustava rovnic:

\[ \begin{cases} x_1 – x_2 + s – t = 0, \\ 3x_1 + x_2 – 5s + 7t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ x_1 = x_2 – s + t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 3(x_2 – s + t) + x_2 – 5s + 7t = 0, \]

\[ 3x_2 – 3s + 3t + x_2 – 5s + 7t = 0, \]

\[ 4x_2 – 8s + 10t = 0, \]

odkud

\[ 4x_2 = 8s – 10t \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2s – \frac{5}{2}t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = \left(2s – \frac{5}{2}t\right) – s + t = s – \frac{3}{2}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou původní soustava.

Řešení:

Máme dvě lineární rovnice v prostoru \(\mathbb{R}^4\), takže dimenze podprostoru bude \(4 – 2 = 2\).

Pro vyjádření parametrických rovnic zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – s + 4t = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 5s – 2t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ x_1 = -2x_2 + s – 4t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 3(-2x_2 + s – 4t) – x_2 + 5s – 2t = 0, \]

\[ -6x_2 + 3s – 12t – x_2 + 5s – 2t = 0, \]

\[ -7x_2 + 8s – 14t = 0, \]

odkud

\[ 7x_2 = 8s – 14t \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{8}{7}s – 2t. \]

Dosadíme zpět do výrazu pro \(x_1\):

\[ x_1 = -2\left(\frac{8}{7}s – 2t\right) + s – 4t = -\frac{16}{7}s + 4t + s – 4t = -\frac{9}{7}s. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} -\frac{9}{7} \\ \frac{8}{7} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou zadány v zadání.

Řešení:

Jedna lineární rovnice v \(\mathbb{R}^3\) znamená, že podprostor má dimenzi \(3 – 1 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_2\) a \(t = x_3\).

Vyjádříme \(x_1\):

\[ 4x_1 = s – 2t \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{s}{4} – \frac{t}{2}. \]

Parametrické vyjádření je:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je dána výše.

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} x_1 – s + 2t = 0, \\ 2x_1 + x_2 – 3s + t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1\) z první rovnice:

\[ x_1 = s – 2t. \]

Dosadíme do druhé rovnice:

\[ 2(s – 2t) + x_2 – 3s + t = 0, \]

\[ 2s – 4t + x_2 – 3s + t = 0, \]

\[ x_2 – s – 3t = 0, \]

odkud

\[ x_2 = s + 3t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou zadány v zadání.

Řešení:

Dimenze podprostoru je \(3 – 1 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_2\) a \(t = x_3\).

Vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = 4s – 7t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -7 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je zadaná výše.

Řešení:

Máme 3 rovnice v \(\mathbb{R}^5\), dimenze podprostoru je tedy \(5 – 3 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_4\) a \(t = x_5\).

Soustava rovnic je:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 + 2s – t = 0, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 – s + 4t = 0, \\ x_1 + 3x_2 – 4x_3 + 5s – 2t = 0. \end{cases} \]

Vyjádříme \(x_1, x_2, x_3\) z této soustavy. Označíme neznámé jako vektor \(\mathbf{y} = (x_1, x_2, x_3)^T\) a parametrickou část jako \(\mathbf{p} = (s, t)^T\).

Přepíšeme soustavu ve tvaru:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 = -2s + t, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = s – 4t, \\ x_1 + 3x_2 – 4x_3 = -5s + 2t. \end{cases} \]

Matice soustavy je

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2s + t \\ s – 4t \\ -5s + 2t \end{pmatrix}. \]

Řešíme \(A \mathbf{y} = \mathbf{b}\).

Pomocí Gaussovy eliminace (podrobné výpočty):

1) Z první rovnice vyjádříme \(x_1 = -x_2 + x_3 – 2s + t\).

Dosadíme do druhé a třetí:

Druhá:

\[ 2(-x_2 + x_3 – 2s + t) – x_2 + 3x_3 = s – 4t, \]

\[ -2x_2 + 2x_3 – 4s + 2t – x_2 + 3x_3 = s – 4t, \]

\[ -3x_2 + 5x_3 – 4s + 2t = s – 4t, \]

\[ -3x_2 + 5x_3 = 5s – 6t, \]

Třetí:

\[ (-x_2 + x_3 – 2s + t) + 3x_2 – 4x_3 = -5s + 2t, \]

\[ -x_2 + x_3 – 2s + t + 3x_2 – 4x_3 = -5s + 2t, \]

\[ 2x_2 – 3x_3 – 2s + t = -5s + 2t, \]

\[ 2x_2 – 3x_3 = -3s + t. \]

Máme novou soustavu dvou rovnic o dvou neznámých \(x_2, x_3\):

\[ \begin{cases} -3x_2 + 5x_3 = 5s – 6t, \\ 2x_2 – 3x_3 = -3s + t. \end{cases} \]

Vynásobíme první rovnici 2 a druhou 3, abychom eliminovali \(x_2\):

\[ \begin{cases} -6x_2 + 10x_3 = 10s – 12t, \\ 6x_2 – 9x_3 = -9s + 3t. \end{cases} \]

Sečteme rovnice:

\[ 0x_2 + (10 – 9)x_3 = 10s – 12t – 9s + 3t, \]

\[ x_3 = s – 9t. \]

Dosadíme zpět do druhé rovnice původní dvojice:

\[ 2x_2 – 3(s – 9t) = -3s + t, \]

\[ 2x_2 – 3s + 27t = -3s + t, \]

\[ 2x_2 = -3s + t + 3s – 27t = -26t, \]

\[ x_2 = -13t. \]

Vyjádříme \(x_1\):

\[ x_1 = -x_2 + x_3 – 2s + t = -(-13t) + (s – 9t) – 2s + t = 13t + s – 9t – 2s + t = (s – 2s) + (13t – 9t + t) = -s + 5t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5 \\ -13 \\ -9 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou zadány v zadání.

Řešení:

Máme dvě lineární rovnice v \(\mathbb{R}^4\), tedy podprostor bude mít dimenzi \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustava je:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 – s + t = 0, \\ 3x_1 – x_2 + 4s – 2t = 0. \end{cases} \]

Přeuspořádáme:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = s – t, \\ 3x_1 – x_2 = -4s + 2t. \end{cases} \]

Neznámé jsou \(x_1, x_2\). Označíme:

\[ \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s – t \\ -4s + 2t \end{pmatrix}. \]

Matice je regulární, spočítáme inverzi:

Determinant:

\[ \det = 1 \cdot (-1) – 3 \cdot 2 = -1 – 6 = -7 \neq 0. \]

Inverzní matice:

\[ \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & -\frac{1}{7} \end{pmatrix}. \]

Vyjádříme \(x_1, x_2\):

\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & -\frac{1}{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s – t \\ -4s + 2t \end{pmatrix}. \]

Vypočítáme jednotlivé složky:

\[ x_1 = \frac{1}{7}(s – t) + \frac{2}{7}(-4s + 2t) = \frac{1}{7}s – \frac{1}{7}t – \frac{8}{7}s + \frac{4}{7}t = -\frac{7}{7}s + \frac{3}{7}t = -s + \frac{3}{7}t, \]

\[ x_2 = \frac{3}{7}(s – t) – \frac{1}{7}(-4s + 2t) = \frac{3}{7}s – \frac{3}{7}t + \frac{4}{7}s – \frac{2}{7}t = \frac{7}{7}s – \frac{5}{7}t = s – \frac{5}{7}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} \frac{3}{7} \\ -\frac{5}{7} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou zadané původními rovnicemi v zadání.

Řešení:

Jedna rovnice v \(\mathbb{R}^3\) znamená, že dimenze podprostoru je \(3 – 1 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_2\), \(t = x_3\).

Z rovnice vyjádříme \(x_1\):

\[ 2x_1 – s + t = 0 \Rightarrow 2x_1 = s – t \Rightarrow x_1 = \frac{s – t}{2}. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Obecná rovnice je ta zadaná: \(2x_1 – x_2 + x_3 = 0\).

Řešení:

Máme dvě rovnice v \(\mathbb{R}^4\), tedy dimenze podprostoru je \(4 – 2 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_3\) a \(t = x_4\).

Soustavu přepíšeme:

\[ \begin{cases} x_1 – x_2 = -s + t, \\ 2x_1 + x_2 = 3s – 4t. \end{cases} \]

Sčítáme rovnice pro eliminaci \(x_2\):

\[ (x_1 – x_2) + (2x_1 + x_2) = (-s + t) + (3s – 4t) \Rightarrow 3x_1 = 2s – 3t, \]

odkud

\[ x_1 = \frac{2s – 3t}{3}. \]

Dosadíme do první rovnice:

\[ \frac{2s – 3t}{3} – x_2 = -s + t \Rightarrow -x_2 = -s + t – \frac{2s – 3t}{3} = -s + t – \frac{2s}{3} + \frac{3t}{3} = -s + t – \frac{2s}{3} + t, \]

\[ -x_2 = -\frac{3s}{3} – \frac{2s}{3} + 2t = -\frac{5s}{3} + 2t \Rightarrow x_2 = \frac{5s}{3} – 2t. \]

Parametrické vyjádření je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{5}{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou zadány v zadání.

Řešení:

Máme 3 rovnice v \(\mathbb{R}^5\), tedy dimenze podprostoru je \(5 – 3 = 2\).

Zvolíme parametry \(s = x_4\), \(t = x_5\).

Soustavu přepíšeme na tvar:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -s – t, \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = s – 4t, \\ -x_1 + 4x_2 – x_3 = -2s + 3t. \end{cases} \]

Zapisujeme do maticového tvaru \(A \mathbf{y} = \mathbf{b}\), kde \(\mathbf{y} = (x_1, x_2, x_3)^T\), \(\mathbf{b} = (-s – t, s – 4t, -2s + 3t)^T\),

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & -1 \end{pmatrix}. \]

Řešíme soustavu pomocí Gaussovy eliminace nebo inverze matice.

Po výpočtu dostaneme:

\[ x_1 = -\frac{2}{7}s – \frac{1}{7}t, \quad x_2 = -\frac{1}{7}s + \frac{3}{7}t, \quad x_3 = -\frac{4}{7}s – \frac{6}{7}t. \]

Parametrické vyjádření podprostoru je tedy:

\[ \mathbf{x} = s \begin{pmatrix} -\frac{2}{7} \\ -\frac{1}{7} \\ -\frac{4}{7} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -\frac{1}{7} \\ \frac{3}{7} \\ -\frac{6}{7} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R}. \]

Obecné rovnice jsou zadány v zadání.

Řešení:

Podprostor \( U \) je tvořen všemi lineárními kombinacemi vektorů \( u_1 \) a \( u_2 \), tedy \[ U = \{ s u_1 + t u_2 \mid s,t \in \mathbb{R} \}. \] Parametricky tedy platí: \[ \begin{cases} x_1 = s, \\ x_2 = 2s + t, \\ x_3 = 3t, \\ x_4 = -s + 2t, \end{cases} \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Pro nalezení obecných rovnic vyjádříme parametry \( s \) a \( t \) pomocí \( x_1 \) a \( x_3 \): \[ s = x_1, \quad t = \frac{x_3}{3}. \] Dosadíme do rovnic pro \( x_2 \) a \( x_4 \): \[ x_2 = 2x_1 + \frac{x_3}{3}, \quad x_4 = -x_1 + 2 \cdot \frac{x_3}{3} = -x_1 + \frac{2x_3}{3}. \] Přesuneme všechny členy na jednu stranu a získáme dvě lineární rovnice: \[ x_2 – 2x_1 – \frac{x_3}{3} = 0, \quad x_4 + x_1 – \frac{2x_3}{3} = 0. \]

Vynásobíme první rovnici 3 a druhou 3 pro odstranění zlomků: \[ 3x_2 – 6x_1 – x_3 = 0, \quad 3x_4 + 3x_1 – 2x_3 = 0. \] Tedy obecné rovnice podprostoru jsou: \[ \begin{cases} -6x_1 + 3x_2 – x_3 = 0, \\ 3x_1 + 0x_2 – 2x_3 + 3x_4 = 0. \end{cases} \]