Percentil

Řešení příkladu 1:

Nejprve seřadíme data (což už jsou): \(12\), \(15\), \(20\), \(22\), \(25\), \(30\), \(35\), \(40\), \(45\), \(50\).

Počet datových hodnot \(n = 10\).

Percentil \(P_k\) značí hodnotu, pod kterou leží \(k\,\%\) dat.

Výpočet pozice percentilu v seřazeném souboru dat:

\(L = \frac{k}{100} \times (n + 1) = \frac{30}{100} \times (10 + 1) = 0{,}3 \times 11 = 3{,}3\)

Pozice \(3{,}3\) znamená, že \(30\). percentil leží mezi \(3\). a \(4\). hodnotou.

\(3\). hodnota je \(20\), \(4\). hodnota je \(22\).

Lineární interpolace mezi \(20\) a \(22\):

\(P_{30} = 20 + 0{,}3 \times (22 – 20) = 20 + 0{,}3 \times 2 = 20 + 0{,}6 = 20{,}6\)

Tedy \(30\). percentil je \(20{,}6\).

Řešení příkladu 2:

Seřadíme data, již jsou seřazena:

Počet hodnot \(n = 15\).

Výpočet pozice \(80\). percentilu:

\(L = \frac{80}{100} \times (15 + 1) = 0{,}8 \times 16 = 12{,}8\)

\(80\). percentil leží mezi \(12\). a \(13\). hodnotou.

\(12\). hodnota je \(85\), \(13\). hodnota je \(88\).

Interpolace:

\(P_{80} = 85 + 0{,}8 \times (88 – 85) = 85 + 0{,}8 \times 3 = 85 + 2{,}4 = 87{,}4\)

\(80\). percentil je tedy \(87{,}4\).

Řešení příkladu 3:

Data jsou již seřazena, počet \(n = 12\).

Medián je \(50\). percentil \(P_{50}\).

Výpočet pozice mediánu:

\(L_{50} = \frac{50}{100} \times (12 + 1) = 0{,}5 \times 13 = 6{,}5\)

Medián je mezi \(6\). a \(7\). hodnotou.

\(6\). hodnota: \(23\), \(7\). hodnota: \(25\).

Interpolace:

\(P_{50} = 23 + 0{,}5 \times (25 – 23) = 23 + 1 = 24\)

\(25\). percentil \(P_{25}\):

\(L_{25} = \frac{25}{100} \times 13 = 3{,}25\)

\(25\). percentil je mezi \(3\). a \(4\). hodnotou.

\(3\). hodnota: \(18\), \(4\). hodnota: \(20\).

Interpolace:

\(P_{25} = 18 + 0{,}25 \times (20 – 18) = 18 + 0{,}5 = 18{,}5\)

Výsledky: medián je \(24\) °C, \(25\). percentil je \(18{,}5\) °C.

Řešení příkladu 4:

Data jsou seřazena, počet \(n = 10\).

Výpočet pozice \(90\). percentilu:

\(L = \frac{90}{100} \times (10 + 1) = 0{,}9 \times 11 = 9{,}9\)

\(90\). percentil leží mezi \(9\). a \(10\). hodnotou.

\(9\). hodnota: \(35\), \(10\). hodnota: \(40\).

Interpolace:

\(P_{90} = 35 + 0{,}9 \times (40 – 35) = 35 + 4{,}5 = 39{,}5\)

Význam \(90\). percentilu: \(90\,\%\) balíčků je doručeno do \(39{,}5\) minut nebo dříve, zbylých \(10\,\%\) trvá déle.

Řešení příkladu 5:

Počet hodnot \(n = 8\).

Výpočet pozice \(40\). percentilu:

\(L = \frac{40}{100} \times (8 + 1) = 0{,}4 \times 9 = 3{,}6\)

\(40\). percentil je mezi \(3\). a \(4\). hodnotou.

\(3\). hodnota: \(60\), \(4\). hodnota: \(65\).

Interpolace:

\(P_{40} = 60 + 0{,}6 \times (65 – 60) = 60 + 3 = 63\)

\(40\). percentil je tedy \(63\).

Řešení příkladu 6:

Počet hodnot \(n = 20\).

Výpočet pozice \(95.\) percentilu:

\(L = \frac{95}{100} \times (20 + 1) = 0{,}95 \times 21 = 19{,}95\)

\(95.\) percentil je mezi \(19.\) a \(20.\) hodnotou.

\(19.\) hodnota: \(35\), \(20.\) hodnota: \(40\).

Interpolace:

\(P_{95} = 35 + 0{,}95 \times (40 – 35) = 35 + 4{,}75 = 39{,}75\)

\(95.\) percentil je tedy \(39,75\).

Řešení příkladu 7:

Počet hodnot \(n = 11\).

Výpočet pozice \(60.\) percentilu:

\(L = \frac{60}{100} \times (11 + 1) = 0{,}6 \times 12 = 7{,}2\)

\(60.\) percentil leží mezi \(7.\) a \(8.\) hodnotou.

\(7.\) hodnota: \(160\), \(8.\) hodnota: \(170\).

Interpolace:

\(P_{60} = 160 + 0{,}2 \times (170 – 160) = 160 + 2 = 162\)

Význam \(60.\) percentilu: \(60\,\%\) dat je menších nebo rovno \(162\), zbytek je větší než \(162\).

Řešení příkladu 8:

Počet hodnot \(n = 9\).

\(50.\) percentil (medián):

\(L_{50} = \frac{50}{100} \times (9 + 1) = 0{,}5 \times 10 = 5\)

Medián je \(5.\) hodnota v seřazeném seznamu, což je \(75\) km/h.

\(75.\) percentil:

\(L_{75} = \frac{75}{100} \times 10 = 7{,}5\)

\(75.\) percentil je mezi \(7.\) a \(8.\) hodnotou (\(85\) a \(90\)).

Interpolace:

\(P_{75} = 85 + 0{,}5 \times (90 – 85) = 85 + 2{,}5 = 87{,}5\)

Tedy \(50.\) percentil je \(75\) km/h a \(75.\) percentil je \(87,5\) km/h.

Řešení příkladu 9:

Počet hodnot \(n = 12\).

Výpočet pozice \(10.\) percentilu:

\(L = \frac{10}{100} \times (12 + 1) = 0{,}1 \times 13 = 1{,}3\)

\(10.\) percentil je mezi \(1.\) a \(2.\) hodnotou.

\(1.\) hodnota: \(3\), \(2.\) hodnota: \(5\).

Interpolace:

\(P_{10} = 3 + 0{,}3 \times (5 – 3) = 3 + 0{,}6 = 3{,}6\)

\(10.\) percentil je tedy \(3,6\).

Řešení příkladu 10:

Počet hodnot \(n = 7\).

Výpočet pozice \(85.\) percentilu:

\(L = \frac{85}{100} \times (7 + 1) = 0{,}85 \times 8 = 6{,}8\)

\(85.\) percentil je mezi \(6.\) a \(7.\) hodnotou.

\(6.\) hodnota: \(70\), \(7.\) hodnota: \(75\).

Interpolace:

\(P_{85} = 70 + 0{,}8 \times (75 – 70) = 70 + 4 = 74\)

\(85.\) percentil je tedy \(74\).

To znamená, že \(85\,\%\) studentů mělo známku \(74\) nebo nižší.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme, co znamená \(20.\) percentil. Pokud máme uspořádanou řadu hodnot vzestupně, pak \(20.\) percentil je hodnota, pod kterou leží \(20\,\%\) dat.

Máme \(n = 30\) studentů, takže počet studentů, kteří mají výšku nižší nebo rovnou \(20.\) percentilu, je:

\(p = 20\,\% = 0{,}20\)

Počet studentů pod \(20.\) percentilem tedy je \(n \times p = 30 \times 0{,}20 = 6\).

Tedy \(6\) studentů má výšku nižší než nebo rovnou \(155\) cm.

Percentil slouží k tomu, abychom mohli rozdělit data do procentních podílů a zjistit tak, jaká hodnota odpovídá určitému kvantilu populace. V našem případě \(20\,\%\) studentů je nižších nebo stejně vysokých jako \(155\) cm.

Řešení příkladu:

Interkvartilová šířka (\(IQR\)) se vypočítá jako rozdíl \(75.\) a \(25.\) percentilu, tedy

\(IQR = Q_3 – Q_1\)

Kde \(Q_1\) je \(25.\) percentil a \(Q_3\) je \(75.\) percentil.

Dosadíme hodnoty:

\(IQR = 22 – 12 = 10\ ^\circ C\)

Interkvartilová šířka nám říká, v jakém rozsahu leží prostředních \(50\,\%\) dat. Čím menší je \(IQR\), tím jsou data koncentrovanější kolem mediánu, naopak větší \(IQR\) značí větší rozptýlení dat ve střední části.

Řešení příkladu:

\(90.\) percentil znamená, že \(90\,\%\) hodnot je pod touto hranicí a \(10\,\%\) nad ní.

Počet obyvatel s příjmem vyšším než \(2000\,Kč\) je tedy:

\(10\,000 \times (1 – 0{,}90) = 10\,000 \times 0{,}10 = 1\,000\) obyvatel.

Tato informace umožňuje sociálním plánovačům identifikovat část populace s relativně vyššími příjmy, a tím lépe cílit podpůrné programy na nižší příjmové skupiny.

Řešení příkladu:

\(60.\) percentil znamená, že \(60\,\%\) dat je menších nebo rovných této hodnotě. Počet studentů je \(n = 40\), takže počet studentů s výsledkem \(\leq 75\) je:

\(40 \times 0{,}60 = 24\)

V některých situacích hodnota percentilu nemusí odpovídat přesně výsledku konkrétního studenta, protože percentily se obvykle určují interpolací mezi hodnotami v datové řadě, pokud je počet hodnot sudý nebo pokud přesný kvantil nesedí na hodnotě v souboru dat.

Řešení příkladu:

Počet domácností je \(100\).

Procento domácností mezi \(30.\) a \(80.\) percentilem je \(80\,\% – 30\,\% = 50\,\%\).

Počet domácností v tomto rozmezí je tedy:

\(100 \times 0{,}50 = 50\) domácností.

Tato informace nám říká, že polovina domácností má příjmy mezi \(18\,000\,Kč\) a \(35\,000\,Kč\), tedy v této střední části rozdělení příjmů.

Řešení příkladu:

\( 95. \) percentil znamená, že \( 95 \,\% \) rychlostí je pod touto hodnotou a \( 5 \,\% \) nad ní.

Počet aut jedoucích rychlostí vyšší než \( 130 \) km/h je:

\( 200 \times (1 – 0{,}95) = 200 \times 0{,}05 = 10 \) aut.

Percentil je důležitý, protože umožňuje identifikovat extrémní hodnoty v datech, které mohou představovat riziko (například nadměrné rychlosti, jež mohou způsobit nehody).

Řešení příkladu:

Pozice percentilu \( P_k \) ve vzorku s \( n \) hodnotami se určí vzorcem:

\( L = p \times (n + 1) \), kde \( p \) je desetinný tvar percentilu (např. \( 0{,}40 \) pro \( 40. \) percentil).

Dosadíme:

\( L = 0{,}40 \times (60 + 1) = 0{,}40 \times 61 = 24{,}4 \).

Pozice \( 24{,}4 \) znamená, že \( 40. \) percentil je mezi \( 24. \) a \( 25. \) prvkem. Konkrétně jde o hodnotu, která je \( 0{,}4 \) (40 %) vzdálena mezi \( 24. \) a \( 25. \) prvkem.

Pokud je \( 40. \) percentil \( 23 \), pak \( 23 \) odpovídá této interpolované hodnotě mezi \( 24. \) a \( 25. \) prvkem.

Řešení příkladu:

\( 10. \) percentil znamená, že \( 10 \,\% \) hodnot je menších nebo rovných \( 5 \), což je:

\( 0{,}10 \times 80 = 8 \) hodnot.

\( 50. \) percentil znamená, že \( 50 \,\% \) hodnot je menších nebo rovných \( 12 \), tedy

\( 0{,}50 \times 80 = 40 \) hodnot.

Počet hodnot mezi \( 5 \) a \( 12 \) je tedy rozdíl mezi \( 50. \) a \( 10. \) percentilem:

\( 40 – 8 = 32 \) hodnot.

Počet hodnot větších než \( 12 \) je:

\( 80 – 40 = 40 \) hodnot.

Řešení příkladu:

\( 85. \) percentil znamená, že \( 85 \,\% \) studentů získalo méně nebo rovno \( 90 \) bodům.

Počet studentů, kteří mají více než \( 90 \) bodů, je:

\( 70 \times (1 – 0{,}85) = 70 \times 0{,}15 = 10{,}5 \approx 11 \) studentů.

Percentily jsou vhodné k hodnocení rozložení, protože ukazují relativní postavení jednotlivých hodnot ve skupině a pomáhají identifikovat, kolik procent hodnot je pod danou hranicí.

Řešení příkladu:

\( 50. \) percentil znamená, že \( 50 \,\% \) hodnot je menších nebo rovno \( 100 \).

\( 90. \) percentil znamená, že \( 90 \,\% \) hodnot je menších nebo rovno \( 160 \).

Rozdíl mezi \( 90. \) a \( 50. \) percentilem je \( 40 \,\% \) hodnot, které leží mezi \( 100 \) a \( 160 \).

Počet hodnot mezi \( 100 \) a \( 160 \) je tedy:

\( 120 \times (0{,}90 – 0{,}50) = 120 \times 0{,}40 = 48 \) hodnot.

Tato informace pomáhá určit rozsah středních \( 40 \,\% \) dat, což je důležité například pro identifikaci běžných hodnot a extrémů v datech.

Řešení příkladu:

\( 70. \) percentil znamená, že \( 70\,\% \) hodnot je menších nebo rovných hodnotě \( 45 \).

Počet hodnot ve vzorku je \( 90 \).

Počet hodnot menších nebo rovných \( 45 \) je:

\( 0{,}70 \times 90 = 63 \)

Počet hodnot větších než \( 45 \) je tedy:

\( 90 – 63 = 27 \)

Percentily se určují tak, že hodnoty se nejprve uspořádají vzestupně, poté se vypočítá pozice percentilu pomocí vzorce

\( L = p \times (n + 1) \), kde \( p \) je desetinný zlomek percentilu a \( n \) je počet hodnot.

Pokud \( L \) není celé číslo, použije se interpolace mezi hodnotami na pozicích před a za číslem \( L \). Tím získáme přesnou hodnotu percentilu i v případě, že pozice není přímo přiřazena žádnému konkrétnímu prvku.

Řešení příkladu:

Interkvartilová šířka (IQR) je rozdíl \( 75. \) a \( 25. \) percentilu:

\( IQR = Q_3 – Q_1 = 6{,}0 – 4{,}5 = 1{,}5 \) mmol/l

IQR ukazuje rozsah, ve kterém leží prostředních \( 50\,\% \) hodnot, tedy jak je soubor koncentrován nebo rozptýlen ve své střední části.

Menší IQR znamená větší koncentraci hodnot kolem mediánu, větší IQR značí větší variabilitu hodnot.

Řešení příkladu:

\( 95. \) percentil znamená, že \( 95\,\% \) hodnot je menších nebo rovných \( 12{,}8 \) s.

Počet závodníků je \( 120 \).

Počet závodníků s lepším časem než \( 12{,}8 \) s je:

\( 120 \times (1 – 0{,}95) = 120 \times 0{,}05 = 6 \)

Percentil ve sportovní statistice slouží k určení, jak si závodník vede vzhledem k ostatním, například kolik procent závodníků bylo pomalejších.

Řešení příkladu:

Vzorec pro pozici percentilu je:

\( L = p \times (n + 1) \), kde \( p = 0{,}40 \), \( n = 200 \)

Dosadíme:

\( L = 0{,}40 \times 201 = 80{,}4 \)

Pozice není celé číslo, proto se hodnota percentilu určuje interpolací mezi \( 80. \) a \( 81. \) hodnotou uspořádaného vzorku.

Interpolace znamená, že hodnotu percentilu vypočteme jako vážený průměr těchto dvou hodnot, kde váha je zlomková část pozice \( (0{,}4) \). Pokud je \( 80. \) hodnota \( x_{80} \) a \( 81. \) hodnota \( x_{81} \), pak platí

\( P_{40} = x_{80} + 0{,}4 \times (x_{81} – x_{80}) \)

Řešení příkladu:

\( 85. \) percentil znamená, že \( 85\,\% \) pacientů má krevní tlak menší nebo roven \( 140 \) mmHg.

Počet pacientů je \( 75 \).

Počet pacientů s vyšším krevním tlakem než \( 140 \) mmHg je:

\( 75 \times (1 – 0{,}85) = 75 \times 0{,}15 = 11{,}25 \approx 11 \)

Tento údaj umožňuje identifikovat pacienty s vyšším rizikem hypertenze a cílit na ně speciální léčbu nebo preventivní opatření.

Řešení příkladu:

Pozice \(10.\) percentilu se vypočítá podle vzorce:

\( L = p \times (n + 1) \), kde \( p = 0{,}10 \), \( n = 150 \)

Dosadíme:

\( L = 0{,}10 \times 151 = 15{,}1 \)

Tedy \(10.\) percentil leží mezi \(15.\) a \(16.\) hodnotou uspořádaného vzorku.

Pod touto hodnotou je \(10 \%\) dat, což znamená, že přibližně \(15\) datových hodnot je menších nebo rovných \(3{,}1\).

Řešení příkladu:

Rozdíl mezi \(70.\) a \(30.\) percentilem je:

\( 70\% – 30\% = 40\% \)

Počet studentů mezi těmito percentily je tedy:

\( 100 \times 0{,}40 = 40 \)

Tato informace říká, že \(40 \%\) studentů má výsledky v rozmezí \(55\) až \(85\) bodů, což pomáhá pochopit rozložení a koncentraci výsledků kolem středních hodnot.

Řešení příkladu:

Rozsah mezi mediánem a \(90.\) percentilem je:

\( 18 – 10 = 8 \)

Tento rozsah ukazuje variabilitu horních \(40 \%\) dat, tedy jak moc jsou hodnoty od mediánu vyšší až do \(90.\) percentilu rozptýleny.

Řešení příkladu:

Procento hodnot mezi \(20.\) a \(80.\) percentilem je:

\( 80\% – 20\% = 60\% \)

Procento hodnot mimo tento interval je tedy:

\( 100\% – 60\% = 40\% \)

Tato informace ukazuje, kolik měření je extrémnějších, tedy nižších než \(22\,^\circ\mathrm{C}\) nebo vyšších než \(30\,^\circ\mathrm{C}\), což je důležité pro detekci odlehlých hodnot a kontroly kvality.

Řešení příkladu:

\(60.\) percentil určuje hodnotu, pod kterou leží \(60 \%\) hodnot.

Přidáním \(20\) nových hodnot, které jsou výrazně větší než \(75\), se celkový počet hodnot zvětší na \(100\).

Pořadí původní hodnoty \(75\) se posune, protože \(60 \%\) z \(100\) je \(60.\) pozice, zatímco předtím to bylo \(60 \%\) z \(80\) = \(48.\) pozice.

Nový \(60.\) percentil bude tedy hodnota na \(60.\) pozici, což je pravděpodobně větší hodnota než \(75\), protože došlo k přidání větších čísel na konec řady.

Tím pádem se hodnota \(60.\) percentilu zvýší, protože větší data posouvají percentil směrem nahoru.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeňme, co znamená percentil. \(85.\) percentil je hodnota, pod kterou leží \(85\,\%\) všech dat v souboru. To znamená, že \(85\,\%\) hodnot je menších nebo rovno hodnotě \(78\).

Tedy zbývajících \(15\,\%\) hodnot musí být větších než \(78\). V procentech tedy podíl hodnot větších než \(78\) je \(15\,\%\).

V absolutním vyjádření, pokud je celkový počet hodnot \(100\), je počet hodnot větších než \(78\) roven \(100 \times 0{,}15 = 15\).

Teď se podíváme, jak by se hodnota \(85.\) percentilu mohla změnit, pokud by se hodnoty v horní části dat změnily.

Představme si, že horních \(15\) hodnot, které jsou nyní větší než \(78\), zvýšíme, například přidáme extrémně vysoké hodnoty. Percentil je založen na pořadí hodnot v uspořádaném seznamu, nikoli přímo na velikosti hodnot. Takže pokud se změní jen velikost těchto hodnot, ale jejich pořadí zůstane stejné, hodnota \(85.\) percentilu (hodnota na \(85.\) pozici) se nezmění.

Pokud ale změníme počet hodnot nebo přidáme nové hodnoty, může se hodnota percentilu změnit, protože pozice percentilu závisí na počtu dat.

Stručně řečeno, hodnota \(85.\) percentilu závisí na pořadí dat, ne na jejich absolutních hodnotách. Zvýšení hodnot nad tímto percentilem nemá vliv na samotný percentil, pokud se nezmění počet dat nebo pořadí hodnot.

Řešení příkladu:

Rozsah mezi \(30.\) a \(70.\) percentilem lze vypočítat odečtením hodnot těchto percentilů:

\(20 – 12 = 8\).

Tento rozsah představuje interval, ve kterém leží prostředních \(40\,\%\) hodnot datového souboru, protože rozdíl mezi \(70.\) a \(30.\) percentilem je právě \(40\,\%\).

Interpretace tohoto intervalu je velmi důležitá pro pochopení variability dat v jejich střední části.

Malý rozsah naznačuje, že většina hodnot v této oblasti je velmi blízko u sebe, tedy data jsou koncentrovaná a mají nízkou variabilitu v tomto intervalu.

Naopak velký rozsah by znamenal, že hodnoty jsou rozptýlené více do šířky, což signalizuje vyšší rozptyl a různorodost v datech v tomto středním intervalu.

Tento rozsah se často používá jako míra variability, protože je méně citlivý na extrémní hodnoty než celkový rozsah dat.

Řešení příkladu:

\(50.\) percentil je medián, což je hodnota, která rozděluje data na dvě stejně velké části, tedy \(50\,\%\) hodnot je pod touto hodnotou a \(50\,\%\) nad ní.

Nejprve zjistíme pozici mediánu v původním souboru \(90\) hodnot. Medián se nachází mezi \(45.\) a \(46.\) hodnotou v seřazeném souboru.

Hodnota mediánu je tedy průměrem těchto dvou hodnot, což je \(100\).

Nyní odstraníme \(10\) nejmenších hodnot, tedy ty s nejnižšími hodnotami, což znamená, že zbyde \(80\) hodnot (\(90 – 10 = 80\)).

Medián v tomto novém souboru bude průměrem \(40.\) a \(41.\) hodnoty v seřazeném souboru, protože medián se vždy nachází uprostřed souboru.

Protože jsme odstranili nejmenší hodnoty, nová \(40.\) a \(41.\) hodnota budou alespoň tak velké jako původní \(50.\) percentil, případně větší.

To znamená, že hodnota mediánu se nezmenší a pravděpodobně se zvýší, protože jsme odstranili spodní část datového souboru.

Závěr je, že odstranění nejmenších hodnot způsobí posun mediánu směrem nahoru, protože se zmenší počet nízkých hodnot, což mění rozdělení dat směrem k vyšším hodnotám.

Řešení příkladu:

\(75.\) percentil znamená, že \(75\,\%\) studentů dosáhlo výsledku menšího nebo rovného \(90\) bodům.

Celkový počet studentů je \(120\).

Počet studentů, kteří mají méně než nebo právě \(90\) bodů, spočítáme jako:

\(0{,}75 \times 120 = 90\)

Tedy \(90\) studentů dosáhlo méně než nebo právě \(90\) bodů.

Percentil slouží jako kvantitativní měřítko relativní pozice jednotlivých výsledků v rámci celého souboru.

Když je výsledek studenta na \(75.\) percentilu, znamená to, že \(75\,\%\) ostatních studentů dosáhlo horšího nebo stejného výsledku, což je užitečné pro hodnocení relativního úspěchu v testu.

Je to důležitý nástroj, protože umožňuje srovnání výsledků různých studentů bez ohledu na rozdíly v obtížnosti testu nebo celkových výsledcích.

Řešení příkladu:

Délka intervalu mezi \(40.\) a \(90.\) percentilem se spočítá odečtením hodnot percentilů:

\(100 – 60 = 40\).

Tento interval pokrývá prostředních \(50\,\%\) dat v souboru, tedy data mezi \(40.\) a \(90.\) procentem hodnot.

Vysvětleme, co to znamená. Tento interval ukazuje variabilitu dat v horní polovině datového souboru.

Pokud je délka intervalu velká (v tomto případě \(40\)), znamená to, že data jsou v této části poměrně rozptýlená a hodnoty se mezi sebou značně liší.

Naopak, pokud by interval byl menší, například \(10\) nebo \(5\), znamenalo by to, že hodnoty jsou v této části koncentrované a rozdíly mezi nimi jsou malé.

Tento rozsah nám tedy dává představu o rozptýlení dat v horní polovině a pomáhá pochopit, jak jsou data rozložena mimo střed.

Pro úplnost je dobré uvést, že tento interval je robustnější než celkový rozsah, protože není ovlivněn extrémními hodnotami.

Řešení příkladu:

Interkvartilový rozsah (IQR) je rozdíl mezi \(75\). percentilem a \(25\). percentilem, což představuje středních \(50\) % dat.

Zadané percentily jsou \(20\). percentil = \(15\) a \(80\). percentil = \(65\).

Nejdříve vypočítáme rozdíl mezi \(20\). a \(80\). percentilem:

\(65 – 15 = 50\).

Interkvartilový rozsah není stejný jako rozdíl mezi \(20\). a \(80\). percentilem. IQR by se vypočítal, kdybychom měli hodnoty \(25\). a \(75\). percentilu.

Protože \(20\). a \(80\). percentil zahrnuje větší rozsah (\(60\) % dat), rozdíl mezi nimi je obecně větší než IQR, který zahrnuje pouze středních \(50\) % dat.

Interkvartilový rozsah je užitečný k měření variability v jádru dat, zatímco interval mezi \(20\). a \(80\). percentilem zachycuje širší oblast dat a může obsahovat větší rozptýlení.

Pokud bychom chtěli spočítat přesný IQR, potřebovali bychom hodnoty \(25\). a \(75\). percentilu, které by byly mezi \(20\). a \(80\). percentilem, ale přesné hodnoty nejsou v zadání.

Celkově je důležité rozlišovat, že různé intervaly percentilů slouží k různým účelům při analýze rozptýlení dat.

Řešení příkladu:

Původní soubor má \(200\) hodnot, \(60\). percentil leží na pozici \(0{,}60 \times 200 = 120\).

Tedy \(120\). hodnota v seřazeném seznamu je \(45\).

Po přidání \(50\) hodnot menších než \(30\) se počet hodnot zvýší na \(250\).

Nová pozice \(60\). percentilu bude \(0{,}60 \times 250 = 150\).

Protože jsme přidali \(50\) velmi malých hodnot, všechny tyto budou na začátku uspořádaného seznamu.

Nová hodnota na pozici \(150\) původně odpovídala hodnotě na pozici \(100\) v původním souboru (\(150 – 50 = 100\)), protože \(50\) menších hodnot posunulo pozice původních hodnot o \(50\) nahoru.

Tato hodnota je tedy pravděpodobně menší než \(45\), protože pozice \(100\) byla dříve pod \(60\). percentilem.

Z toho vyplývá, že hodnota \(60\). percentilu se sníží, protože se do souboru přidaly malé hodnoty, které posunou percentily směrem dolů.

Celkově tedy přidání hodnot menších než současný percentil posune percentil dolů, protože se zvětší počet hodnot menších než původní percentil.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme medián intervalu mezi \(25\). a \(75\). percentilem jako aritmetický průměr těchto hodnot:

\(\frac{10 + 40}{2} = 25\).

Tento medián intervalu je střední hodnota mezi dolním a horním kvartilem a představuje „střed“ rozptýlení v této části dat.

Význam tohoto mediánu spočívá v tom, že nám poskytuje informaci o tom, jak jsou data distribuována v centrální části rozdělení, kterou pokrývá interkvartilový rozsah.

Pokud je medián intervalu blízký mediánu celého souboru, znamená to, že data jsou relativně symetrická v této části.

Pokud by byl medián intervalu výrazně odlišný od celkového mediánu, naznačuje to asymetrii nebo zkreslení dat, což může být důležité pro statistickou analýzu a modelování.

Řešení příkladu:

\(10\). percentil rovná se \(5\) znamená, že \(10\) % datových hodnot je menších nebo rovno \(5\). To ukazuje, že spodních desetina dat je koncentrována nízko, tedy existuje část dat, která je poměrně malá.

Medián \(15\) znamená, že polovina dat je pod hodnotou \(15\) a polovina nad ní, což představuje střední hodnotu souboru.

Tato kombinace hodnot znamená, že data jsou rozprostřena mezi nízkými hodnotami (\(10\). percentil = \(5\)) a střední hodnotou \(15\).

Pokud by se medián zvýšil na hodnotu větší než \(25\), například na \(30\), znamenalo by to, že střední hodnota dat se posunula směrem vzhůru, což by indikovalo, že většina dat má vyšší hodnoty než původní medián \(15\).

Tím by se změnila interpretace rozložení, protože data by byla více nakloněna k vyšším hodnotám, mohlo by dojít ke zkreslení rozložení nebo změně vzorku populace.

Tato situace může nastat například v důsledku změny měřeného jevu, přidání nových hodnot nebo chyb v datech, a je důležité ji při analýze brát v úvahu.

Řešení příkladu:

Rozsah mezi \(95\). a \(5\). percentilem vypočítáme odečtením hodnot těchto percentilů:

\(120 – 30 = 90\).

Tento rozsah pokrývá \(90\) % všech dat, což znamená, že \(90\) % hodnot se nachází mezi \(30\) a \(120\).

Tento interval poskytuje velmi robustní informaci o rozptýlení většiny dat, protože nezahrnuje extrémní hodnoty, které leží pod \(5\). a nad \(95\). percentilem.

Analýza tohoto rozsahu je užitečná pro identifikaci a pochopení variability ve většině souboru, zároveň však umožňuje odhalit extrémní hodnoty, které mohou být buď chybami, odlehlými pozorováními, nebo významnými výjimkami.

Význam tohoto rozsahu spočívá v jeho schopnosti poskytovat statistiku, která není ovlivněna extrémy, čímž napomáhá spolehlivější interpretaci dat a lepšímu rozhodování.

Řešení příkladu:

Nejdříve určíme původní pozici \(70.\) percentilu v souboru s \(150\) hodnotami:

\( k = 0{,}70 \times 150 = 105 \).

Tedy \(105.\) hodnota v uspořádaném seznamu je \(55\).

Po přidání \(30\) hodnot mezi \(50\) a \(60\) bude nový soubor mít \(180\) hodnot.

Nová pozice \(70.\) percentilu bude:

\( k‘ = 0{,}70 \times 180 = 126 \).

Přidané hodnoty se nacházejí v intervalu mezi \(50\) a \(60\), což zahrnuje i původní hodnotu \(55\).

To znamená, že hodnota na pozici \(126\) bude pravděpodobně mezi \(50\) a \(60\), ale vzhledem k přidaným hodnotám se může posunout.

Posun pozice o \(21\) \((126 – 105 = 21)\) znamená, že nová \(70.\) percentilová hodnota odpovídá původní hodnotě na pozici \(105 – 21 = 84\), protože přidané hodnoty posunuly pořadí o \(21\) míst vpřed.

Pozice \(84\) byla původně menší než pozice \(105\), takže hodnota na pozici \(126\) bude pravděpodobně menší než \(55\), tedy se sníží.

Závěr: Přidání hodnot mezi \(50\) a \(60\), které obsahují i hodnotu \(55\), způsobí, že \(70.\) percentil se posune směrem dolů, protože více hodnot se vyskytuje pod původní percentilovou hodnotou.

Konkrétní numerické určení by vyžadovalo znalost hodnot na pozici \(84\), ale obecně platí, že hodnota \(70.\) percentilu klesne.

Řešení příkladu:

Rozsah mezi \(90.\) a \(10.\) percentilem spočítáme odečtením těchto hodnot:

\( 180 – 40 = 140 \).

Tento rozsah zahrnuje středních \(80 \%\) dat, což znamená, že většina hodnot leží v intervalu od \(40\) do \(180\).

Význam tohoto rozsahu spočívá v poskytnutí informace o variabilitě dat, aniž by byla ovlivněna extrémními hodnotami v dolních a horních \(10 \%\).

Na rozdíl od celkového rozsahu dat, který může být zkreslen extrémními hodnotami, tento rozsah představuje robustnější měřítko rozptýlení.

Využívá se často při analýze rozložení dat, aby bylo možné vyhodnotit, jak široce jsou hodnoty rozprostřeny v centrální části souboru dat.

Tato informace je důležitá například pro rozhodování ve statistických modelech, kde je nutné zohlednit stabilní rozptyl dat bez vlivu odlehlých hodnot.

Řešení příkladu:

Interkvartilový rozsah (IQR) je definován jako rozdíl mezi \(75.\) a \(25.\) percentilem:

\( IQR = 90 – 50 = 40 \).

IQR představuje šíři středu dat, kde je koncentrováno \(50 \%\) všech hodnot.

Tento rozsah je užitečný k posouzení variability bez vlivu extrémních hodnot, protože ignoruje spodních a horních \(25 \%\) dat.

Pokud je IQR velký, znamená to, že střední část dat je rozprostřena na širokém rozsahu hodnot, což značí větší rozptyl.

Naopak malý IQR ukazuje na menší variabilitu ve středních hodnotách, tedy data jsou více soustředěná.

Tato informace je důležitá při statistické analýze, například při identifikaci symetrie nebo šikmosti datového rozložení.

IQR také pomáhá odhalit odlehlé hodnoty, protože hodnoty mimo rozsah \( 25.\ \text{percentil} – 1{,}5 \times IQR \) a \( 75.\ \text{percentil} + 1{,}5 \times IQR \) mohou být považovány za extrémy.

Řešení příkladu:

Původní soubor má \(100\) hodnot, medián leží na pozici:

\( k = \frac{100+1}{2} = 50{,}5 \), tedy mezi \(50.\) a \(51.\) hodnotou.

Po přidání \(20\) hodnot menších než \(35\) se počet hodnot zvýší na \(120\).

Nová pozice mediánu je:

\( k‘ = \frac{120+1}{2} = 60{,}5 \), tedy mezi \(60.\) a \(61.\) hodnotou.

Přidané hodnoty jsou menší než \(35\), tedy budou na začátku uspořádaného seznamu.

Tím se posunou všechny původní hodnoty na pozicích \(1\) až \(100\) o \(20\) míst výše.

Nový medián bude odpovídat původní hodnotě na pozicích \( 60{,}5 – 20 = 40{,}5 \), tedy mezi \(40.\) a \(41.\) hodnotou původního souboru.

Pozice \(40.\) hodnoty je pod původním mediánem \(60\), proto nový medián bude menší než původní medián \(60\).

Závěr: Přidání menších hodnot způsobí snížení mediánu, protože více hodnot nyní leží pod původním mediánem.

Řešení příkladu:

Nejprve určíme pozici \(85.\) percentilu v původním souboru:

\( k = 0{,}85 \times 250 = 212{,}5 \), tedy mezi \(212.\) a \(213.\) hodnotou.

Po přidání \(50\) hodnot větších než \(130\) bude nový soubor mít \(300\) hodnot.

Nová pozice \(85.\) percentilu je:

\( k‘ = 0{,}85 \times 300 = 255 \).

Přidané hodnoty jsou všechny větší než \(130\), tedy jsou umístěny na konci souboru.

Pozice \(255\) v novém uspořádání je tedy \(45\) míst za původní pozicí \(210 – 213\).

Toto znamená, že \(85.\) percentil se posune na hodnotu, která je na vyšší pozici než předtím.

Protože přidané hodnoty jsou větší než původní \(85.\) percentil \(120\), jejich přidání způsobí posun \(85.\) percentilu směrem nahoru nebo alespoň zachování na stejné hodnotě, ale vzhledem k posunu pozice lze očekávat zvýšení.

Závěr: Hodnota \(85.\) percentilu se pravděpodobně zvýší.

Řešení příkladu:

Víme, že \(40.\) percentil je \(35\) a \(60.\) percentil je \(55\). Data mezi těmito percentily jsou rovnoměrně rozložena.

Rozdíl mezi \(60.\) a \(40.\) percentilem je \(20\) percentních bodů.

Hodnotový rozdíl mezi těmito percentily je:

\( 55 – 35 = 20 \).

\(50.\) percentil leží uprostřed mezi \(40.\) a \(60.\) percentilem, tedy ve vzdálenosti \(10\) percentních bodů od \(40.\) percentilu.

Podle rovnoměrného rozložení hodnot spočítáme hodnotu \(50.\) percentilu jako:

\( 35 + \frac{10}{20} \times 20 = 35 + 10 = 45 \).

Tedy \(50.\) percentil je \(45\).

Toto je příklad lineární interpolace mezi dvěma percentily za předpokladu rovnoměrného rozložení.

Řešení příkladu:

Označíme \( x \) jako percentilové pozice mezi \(20\,\%\) a \(80\,\%\) (tedy od \(0\) do \(60\)), a \( y \) jako hodnoty odpovídající těmto percentilům.

Zadání dává body:

\( x_1 = 0 \), \( y_1 = 25 \) (pro \(20.\) percentil),

\( x_2 = 60 \), \( y_2 = 95 \) (pro \(80.\) percentil).

Chceme najít \( a \) a \( b \) tak, aby \( y = a x^2 + b \) pro tyto body platilo:

\( y_1 = a \cdot 0^2 + b = b = 25 \)

\( y_2 = a \cdot 60^2 + 25 = 95 \Rightarrow a \cdot 3600 = 70 \Rightarrow a = \frac{70}{3600} = \frac{7}{360} \).

Hodnota \(50.\) percentilu je na pozici \( x = 30 \) (protože \(50\,\%\) je \(30\) percentních bodů od \(20\,\%\)).

Dosadíme do vzorce:

\( y = a x^2 + b = \frac{7}{360} \times 30^2 + 25 = \frac{7}{360} \times 900 + 25 = \frac{7 \times 900}{360} + 25 = \frac{6300}{360} + 25 = 17{,}5 + 25 = 42{,}5 \).

Tedy hodnota \(50.\) percentilu je \(42{,}5\).

Tento výpočet ukazuje, jak lze použít kvadratickou interpolaci pro odhad hodnot percentilů mezi známými body.

Řešení příkladu:

Symetrické rozložení kolem mediánu znamená, že medián leží uprostřed mezi \(10.\) a \(90.\) percentilem.

Vypočítáme medián jako průměr hodnot \(10.\) a \(90.\) percentilu:

\( \text{medián} = \frac{15 + 105}{2} = \frac{120}{2} = 60 \).

Tedy medián je \(60\).

Toto platí za předpokladu symetrie rozložení dat, kdy vzdálenosti mediánu od \(10.\) a \(90.\) percentilu jsou stejné.

Řešení příkladu:

Mezi \(5.\) a \(95.\) percentilem je interval \(90\) percentních bodů.

Hodnotový rozdíl je:

\( 140 – 20 = 120 \).

\(50.\) percentil je \(45\) percentních bodů od \(5.\) percentilu (protože \(50 – 5 = 45\)).

Za předpokladu lineárního rozdělení dat vypočítáme hodnotu \(50.\) percentilu:

\( 20 + \frac{45}{90} \times 120 = 20 + \frac{1}{2} \times 120 = 20 + 60 = 80 \).

Tedy \(50.\) percentil má hodnotu \(80\).

Tento postup je příkladem lineární interpolace mezi dvěma známými percentily.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme interkvartilový rozsah (IQR):

\( IQR = 110 – 50 = 60 \).

Podle zadání platí, že směrodatná odchylka se přibližně rovná \( \frac{IQR}{1{,}35} \).

Spočítáme tedy:

\( \sigma \approx \frac{60}{1{,}35} \approx 44{,}44 \).

Tato metoda používá robustní odhad variability dat, který není citlivý na extrémní hodnoty, protože IQR zachycuje rozmezí mezi \(25.\) a \(75.\) percentilem.

Výsledek: odhad směrodatné odchylky je přibližně \(44{,}44\).

Řešení příkladu:

Rozdíl mezi percentily je \(70 – 30 = 40\) procentních bodů, rozdíl mezi hodnotami je \(90 – 40 = 50\).

Hledáme hodnotu \(55.\) percentilu, což je o \(55 – 30 = 25\) procentních bodů vzdálené od \(30.\) percentilu.

Použijeme lineární interpolaci:

\( \text{hodnota}_{55} = 40 + \frac{25}{40} \times 50 \).

Vypočítáme podíl: \(\frac{25}{40} = 0{,}625\).

Vynásobíme rozdílem hodnot: \(0{,}625 \times 50 = 31{,}25\).

Přičteme k hodnotě \(30.\) percentilu: \(40 + 31{,}25 = 71{,}25\).

Hodnota \(55.\) percentilu je tedy přibližně \(71{,}25\).

Řešení příkladu:

Rozdíl mezi percentily je \(85 – 15 = 70\) procentních bodů, rozdíl hodnot je \(78 – 22 = 56\).

Medián je \(50.\) percentil, což je o \(50 – 15 = 35\) procentních bodů od \(15.\) percentilu.

Použijeme lineární interpolaci:

\( \text{hodnota}_{50} = 22 + \frac{35}{70} \times 56 = 22 + 0{,}5 \times 56 = 22 + 28 = 50 \).

Odhad mediánu je tedy \(50\).

Řešení:

Rozdíl mezi percentily je \(90 – 40 = 50\) procentních bodů, rozdíl hodnot je \(70 – 10 = 60\).

Hodnota \(75.\) percentilu je o \(75 – 40 = 35\) procentních bodů od \(40.\) percentilu.

Lineární interpolace:

\( 10 + \frac{35}{50} \times 60 = 10 + 0{,}7 \times 60 = 10 + 42 = 52 \).

Hodnota \(75.\) percentilu je tedy \(52\).

Řešení:

Označíme \( x=0 \) pro \(20.\) percentil (hodnota \(30\)) a \( x=40 \) pro \(60.\) percentil (hodnota \(90\)).

Platí:

\( y(0) = c \cdot e^{k \cdot 0} = c = 30 \).

\( y(40) = 30 \cdot e^{40k} = 90 \Rightarrow e^{40k} = \frac{90}{30} = 3 \Rightarrow 40k = \ln 3 \Rightarrow k = \frac{\ln 3}{40} \).

Hledáme \( y(20) \) (hodnotu \(40.\) percentilu, protože \(40 – 20 = 20\) procentních bodů od \(20.\) percentilu):

\( y(20) = 30 \cdot e^{20k} = 30 \cdot e^{20 \times \frac{\ln 3}{40}} = 30 \cdot e^{\frac{\ln 3}{2}} = 30 \cdot \sqrt{3} \approx 30 \times 1{,}732 = 51{,}96 \).

Hodnota \(40.\) percentilu je přibližně \(51{,}96\).

Řešení:

Rozdíl mezi percentily je \(75 – 25 = 50\) procentních bodů, rozdíl hodnot je \(92 – 48 = 44\).

Hodnota \(60.\) percentilu je o \(60 – 25 = 35\) procentních bodů od \(25.\) percentilu.

Lineární interpolace:

\( 48 + \frac{35}{50} \times 44 = 48 + 0{,}7 \times 44 = 48 + 30{,}8 = 78{,}8 \).

Hodnota \(60.\) percentilu je tedy přibližně \(78{,}8\).

Řešení:

Interval mezi percentily je \(90 – 10 = 80\) procentních bodů, rozdíl hodnot je \(48 – 12 = 36\).

\(75.\) percentil je vzdálený \(75 – 10 = 65\) procentních bodů od \(10.\) percentilu.

Lineární interpolace:

\( 12 + \frac{65}{80} \times 36 = 12 + 0{,}8125 \times 36 = 12 + 29{,}25 = 41{,}25 \).

Hodnota \(75.\) percentilu je tedy přibližně \(41{,}25\).

Řešení:

Rozdíl mezi percentily je \(85 – 35 = 50\), rozdíl hodnot je \(85 – 25 = 60\).

Hodnota \(65.\) percentilu je vzdálená \(65 – 35 = 30\) procentních bodů od \(35.\) percentilu.

Lineární interpolace:

\( 25 + \frac{30}{50} \times 60 = 25 + 0{,}6 \times 60 = 25 + 36 = 61 \).

Hodnota \(65.\) percentilu je \(61\).

Řešení:

Rozdíl mezi percentily je \(90 – 50 = 40\), rozdíl hodnot je \(160 – 100 = 60\).

\(70.\) percentil je vzdálený \(70 – 50 = 20\) procentních bodů od \(50.\) percentilu.

Lineární interpolace:

\( 100 + \frac{20}{40} \times 60 = 100 + 0{,}5 \times 60 = 100 + 30 = 130 \).

Hodnota \(70.\) percentilu je tedy \(130\).

Řešení:

Nastavíme \(x=0\) pro \(5.\) percentil (hodnota \(8\)), \(x=70\) pro \(75.\) percentil (hodnota \(44\)).

Podle vzorce \( y = a \cdot b^x \) platí:

\( y(0) = a \cdot b^0 = a = 8 \).

\( y(70) = 8 \cdot b^{70} = 44 \Rightarrow b^{70} = \frac{44}{8} = 5{,}5 \Rightarrow \ln b^{70} = \ln 5{,}5 \Rightarrow 70 \ln b = \ln 5{,}5 \Rightarrow \ln b = \frac{\ln 5{,}5}{70} \).

Hledáme hodnotu \( y(45) \) (\(50.\) percentil je vzdálený \(50 – 5 = 45\) procentních bodů od \(5.\) percentilu):

\( y(45) = 8 \cdot b^{45} = 8 \cdot e^{45 \ln b} = 8 \cdot e^{45 \times \frac{\ln 5{,}5}{70}} = 8 \cdot e^{\frac{45}{70} \ln 5{,}5} = 8 \cdot (5{,}5)^{\frac{45}{70}} \).

Vypočítáme exponent:

\( \frac{45}{70} = 0{,}642857 \).

\( (5{,}5)^{0{,}642857} = e^{0{,}642857 \times \ln 5{,}5} \approx e^{0{,}642857 \times 1{,}704748} = e^{1{,}095} \approx 2{,}99 \).

Celkově tedy:

\( y(45) \approx 8 \times 2{,}99 = 23{,}92 \).

Hodnota \(50.\) percentilu je přibližně \(23{,}92\).

Řešení:

Rozdíl mezi percentily je \(50 – 10 = 40\), rozdíl hodnot je \(35 – 15 = 20\).

Hodnota \(30.\) percentilu je vzdálená \(30 – 10 = 20\) procentních bodů od \(10.\) percentilu.

Lineární interpolace:

\( 15 + \frac{20}{40} \times 20 = 15 + 0{,}5 \times 20 = 15 + 10 = 25 \).

Hodnota \(30.\) percentilu je \(25\).

Řešení příkladu:

Označíme \( x = 0 \) pro \(20.\) percentil s hodnotou \(50\) a \( x = 60 \) pro \(80.\) percentil s hodnotou \(130\). Hledáme hodnotu \(50.\) percentilu, což odpovídá \( x = 30 \) (protože \(50\) je o \(30\) procentních bodů více než \(20\)).

Máme tři neznámé \(a, b, c\) a potřebujeme tři rovnice. Pro první použijeme hodnotu na \(x=0\):

\( y(0) = c = 50 \)

Dále známe hodnotu na \(x=60\):

\( y(60) = a \cdot 60^2 + b \cdot 60 + c = 130 \)

Pro třetí rovnici předpokládáme, že první derivace v bodě \(x=0\) je nulová (místní minimum):

\( y'(x) = 2ax + b \Rightarrow y'(0) = b = 0 \)

Dosadíme \(b = 0\) a \(c = 50\) do rovnice pro \(x=60\):

\( a \cdot 3600 + 50 = 130 \Rightarrow a \cdot 3600 = 80 \Rightarrow a = \frac{80}{3600} = \frac{2}{90} \approx 0{,}02222 \)

Vypočítáme hodnotu pro \(x=30\):

\( y(30) = 0{,}02222 \times 30^2 + 0 \times 30 + 50 = 0{,}02222 \times 900 + 50 = 20 + 50 = 70 \)

Hodnota \(50.\) percentilu je tedy přibližně \(70\).

Řešení příkladu:

Nastavíme \( x=0 \) pro \(10.\) percentil s hodnotou \(15\) a \( x=50 \) pro \(60.\) percentil s hodnotou \(45\).

Rovnice:

\( y(0) = A \ln(1) + B = B = 15 \)

\( y(50) = A \ln(51) + 15 = 45 \Rightarrow A \ln(51) = 30 \Rightarrow A = \frac{30}{\ln 51} \)

Vypočítáme \( \ln 51 \approx 3{,}9318 \), takže \( A \approx \frac{30}{3{,}9318} = 7{,}63 \).

Hledáme hodnotu pro \( x=30 \) (jelikož \(40.\) percentil je o \(30\) procentních bodů od \(10.\) percentilu):

\( y(30) = 7{,}63 \cdot \ln(31) + 15 \)

Vypočítáme \( \ln(31) \approx 3{,}433987 \), tedy

\( y(30) \approx 7{,}63 \times 3{,}434 + 15 = 26{,}19 + 15 = 41{,}19 \).

Hodnota \(40.\) percentilu je přibližně \(41{,}19\).

Řešení příkladu:

Nastavíme \( x=0 \) pro \(30.\) percentil s hodnotou \(20\) a \( x=60 \) pro \(90.\) percentil s hodnotou \(80\).

Rovnice pro \( x=0 \):

\( y(0) = k \cdot 2^{m \cdot 0} = k = 20 \).

Rovnice pro \( x=60 \):

\( y(60) = 20 \cdot 2^{60m} = 80 \Rightarrow 2^{60m} = \frac{80}{20} = 4 \Rightarrow 2^{60m} = 2^2 \Rightarrow 60m = 2 \Rightarrow m = \frac{1}{30} \).

Hledáme hodnotu pro \( x=30 \):

\( y(30) = 20 \cdot 2^{30 \times \frac{1}{30}} = 20 \cdot 2^1 = 20 \times 2 = 40 \).

Hodnota \(60.\) percentilu je tedy \(40\).

Řešení příkladu:

Rozdíl mezi percentily je \(85 – 15 = 70\), rozdíl hodnot je \(35 – 5 = 30\).

Hodnota \(70.\) percentilu je o \(70 – 15 = 55\) procentních bodů od \(15.\) percentilu.

Lineární interpolace:

\( 5 + \frac{55}{70} \times 30 = 5 + 0{,}7857 \times 30 = 5 + 23{,}57 = 28{,}57 \).

Hodnota \(70.\) percentilu je tedy přibližně \(28{,}57\).

Počet hodnot menších než \(70.\) percentil je \(0{,}7 \times 120 = 84\).

Řešení příkladu:

Máme 4 neznámé \(a,b,c,d\) a 4 rovnice:

\( y(0) = d = 12 \)

\( y(50) = a \cdot 50^3 + b \cdot 50^2 + c \cdot 50 + 12 = 48 \)

\( y'(x) = 3 a x^2 + 2 b x + c \)

\( y'(0) = c = 0 \)

\( y'(50) = 3 a \cdot 50^2 + 2 b \cdot 50 + 0 = 0 \)

Z rovnic víme, že \(c=0\) a \(d=12\).

Druhá rovnice:

\( 125000 a + 2500 b + 0 + 12 = 48 \Rightarrow 125000 a + 2500 b = 36 \)

Čtvrtá rovnice:

\( 3 a \cdot 2500 + 100 b = 0 \Rightarrow 7500 a + 100 b = 0 \Rightarrow 75 a + b = 0 \Rightarrow b = -75 a \)

Dosadíme do druhé rovnice:

\( 125000 a + 2500 (-75 a) = 36 \Rightarrow 125000 a – 187500 a = 36 \Rightarrow -62500 a = 36 \Rightarrow a = -\frac{36}{62500} = -0{,}000576 \)

\( b = -75 \times (-0{,}000576) = 0{,}0432 \)

Hledáme hodnotu \(y(20)\) (60. percentil je o 20 procentních bodů od 40.):

\( y(20) = a \cdot 20^3 + b \cdot 20^2 + 0 + 12 = -0{,}000576 \times 8000 + 0{,}0432 \times 400 + 12 \)

\( = -4{,}608 + 17{,}28 + 12 = 24{,}672 \)

Hodnota 60. percentilu je přibližně 24,67.

Řešení příkladu:

Symetrie kolem mediánu znamená, že medián je uprostřed mezi \(25.\) a \(75.\) percentilem, tedy

medián \(= \frac{10 + 30}{2} = 20\).

Rozdíl mezi percentily je \(75 – 25 = 50\), rozdíl hodnot je \(30 – 10 = 20\).

Hodnota \(40.\) percentilu je o \(40 – 25 = 15\) procentních bodů od \(25.\) percentilu.

Lineární interpolace:

\(10 + \frac{15}{50} \times 20 = 10 + 0{,}3 \times 20 = 10 + 6 = 16\).

Hodnota \(40.\) percentilu je tedy \(16\).

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme hodnotu na \(50.\) percentilu, která je \(25\) (dána).

Hodnoty mezi \(50.\) a \(95.\) percentilem odpovídají \(x=0\) (\(50.\) percentile) a \(x=45\) (\(95.\) percentile).

Hodnota na \(95.\) percentilu je \(46\):

\(y(0) = M e^{0} = M = 25\)

\(y(45) = 25 e^{45 n} = 46 \Rightarrow e^{45 n} = \frac{46}{25} = 1{,}84 \Rightarrow 45 n = \ln 1{,}84 \Rightarrow n = \frac{\ln 1{,}84}{45}\)

\(\ln 1{,}84 \approx 0{,}610 \Rightarrow n = \frac{0{,}610}{45} = 0{,}01356\)

Hledáme hodnotu \(75.\) percentilu, kde \(x=25\) procentních bodů od \(50.\) percentilu:

\(y(25) = 25 e^{25 \times 0{,}01356} = 25 e^{0{,}339} \approx 25 \times 1{,}404 = 35{,}1\).

Hodnota \(75.\) percentilu je přibližně \(35{,}1\).

Řešení příkladu:

Rozdíl mezi percentily je \(99 – 1 = 98\), rozdíl hodnot je \(90 – 10 = 80\).

Hodnota \(25.\) percentilu je o \(25 – 1 = 24\) procentních bodů od \(1.\) percentilu.

Lineární interpolace:

\(10 + \frac{24}{98} \times 80 = 10 + 0{,}2449 \times 80 = 10 + 19{,}59 = 29{,}59\).

Počet hodnot menších než \(25.\) percentil je \(0{,}25 \times 500 = 125\).

Řešení příkladu:

Rozdíl mezi percentily je \(90 – 60 = 30\), rozdíl hodnot je \(80 – 55 = 25\).

Hodnota \(75.\) percentilu je o \(75 – 60 = 15\) procentních bodů od \(60.\) percentilu.

Lineární interpolace:

\(55 + \frac{15}{30} \times 25 = 55 + 0{,}5 \times 25 = 55 + 12{,}5 = 67{,}5\).

Počet hodnot menších než \(75.\) percentil je \(0{,}75 \times 250 = 187{,}5 \approx 188\).

Řešení příkladu:

Nejprve si upravíme proměnnou \(x\) tak, aby \(x=0\) odpovídalo \(10.\) percentilu a \(x=60\) odpovídalo \(70.\) percentilu.

Máme 3 neznámé \(a,b,c\) a 3 rovnice:

\(y(0) = c = 15\) (hodnota \(10.\) percentilu)

\(y(60) = a \cdot 60^2 + b \cdot 60 + c = 65\)

Navíc použijeme střední bod mezi percentily, tj. \(40.\) percentil, který budeme počítat:

Nejdříve najdeme \(a\) a \(b\) z první a druhé rovnice. Z první rovnice víme, že \(c = 15\).

Druhá rovnice:

\(3600 a + 60 b + 15 = 65 \Rightarrow 3600 a + 60 b = 50\)

Použijeme ještě třetí rovnici pro \(x=40\):

\(y(40) = a \cdot 40^2 + b \cdot 40 + 15\)

Pro nyní budeme počítat hodnotu \(y(40)\) po vyřešení soustavy.

Pro vyřešení soustavy použijeme substituci. Z rovnice \(3600 a + 60 b = 50\) vyjádříme \(b\):

\(b = \frac{50 – 3600 a}{60} = \frac{50}{60} – 60 a = \frac{5}{6} – 60 a\)

Dosadíme do výrazu pro \(y(40)\):

\(y(40) = a \cdot 1600 + \left(\frac{5}{6} – 60 a\right) \cdot 40 + 15 = 1600 a + \frac{200}{6} – 2400 a + 15 = -800 a + \frac{200}{6} + 15\)

Pro další krok musíme určit \(a\). Zvolme hodnotu \(a\) tak, aby byla parabola smysluplná. Pokud bychom chtěli například minimalizovat hodnotu mezi percentily, \(a\) by měl být kladný. Pro výpočet použijeme vhodnou hodnotu \(a = 0{,}01\) (příklad pro ilustraci).

Pak:

\(y(40) = -800 \times 0{,}01 + \frac{200}{6} + 15 = -8 + 33{,}33 + 15 = 40{,}33\)

Hodnota \(50.\) percentilu je přibližně \(40{,}33\).

Řešení příkladu:

Nejprve definujeme proměnnou \( x \) tak, aby \( x = 0 \) odpovídalo \( 20. \) percentilu a \( x = 60 \) odpovídalo \( 80. \) percentilu. Percentil \( 50 \) tedy odpovídá \( x = 50 – 20 = 30 \).

Máme funkci \( y = a x^3 + b x^2 + c x + d \) s neznámými \( a, b, c, d \). Z dostupných dat máme hodnoty:

\( y(0) = d = 15 \) (hodnota \( 20. \) percentilu)

\( y(60) = a \cdot 60^3 + b \cdot 60^2 + c \cdot 60 + d = 55 \)

Předpokládáme hladký růst dat, tedy derivace na krajích je nulová:

\( y'(0) = 0 \Rightarrow c = 0 \)

\( y'(60) = 3 a \cdot 60^2 + 2 b \cdot 60 = 10800 a + 120 b = 0 \)

Soustava rovnic:

\( 1) \quad d = 15 \)

\( 2) \quad 216000 a + 3600 b + 15 = 55 \Rightarrow 216000 a + 3600 b = 40 \)

\( 3) \quad c = 0 \)

\( 4) \quad 10800 a + 120 b = 0 \Rightarrow b = -90 a \)

Dosazením \( b = -90 a \) do rovnice \( 2) \):

\( 216000 a + 3600 (-90 a) = -108000 a = 40 \Rightarrow a = -\frac{1}{2700} \)

\( b = -90 \cdot \left( -\frac{1}{2700} \right) = \frac{1}{30} \)

Pro \( x = 30 \):

\( y(30) = -\frac{1}{2700} \cdot 27000 + \frac{1}{30} \cdot 900 + 15 = -10 + 30 + 15 = 35 \)

Hodnota \( 50. \) percentilu je tedy \( 35 \).

Řešení příkladu:

Nejprve si všimneme, že \(25.\) percentil je hodnota na pozici \(0{,}25 \times 120 = 30\). \(75.\) percentil je na pozici \(0{,}75 \times 120 = 90\). Medián (\(50.\) percentil) je tedy na pozici \(0{,}5 \times 120 = 60\).

Mezi \(25.\) a \(75.\) percentilem se pozice pohybuje od \(30\) do \(90\), medián je uprostřed, tedy na pozici \(60\), což je přesně uprostřed mezi \(30\) a \(90\).

Lineární interpolace mezi hodnotami \(40\) (\(25.\) percentil) a \(70\) (\(75.\) percentil) pro pozici \(60\):

\( y = y_1 + \frac{(x – x_1)}{(x_2 – x_1)} (y_2 – y_1) \), kde \(x_1 = 30\), \(y_1 = 40\), \(x_2 = 90\), \(y_2 = 70\), \(x = 60\).

Dosadíme:

\( y = 40 + \frac{(60 – 30)}{(90 – 30)} (70 – 40) = 40 + \frac{30}{60} \times 30 = 40 + 0{,}5 \times 30 = 40 + 15 = 55 \)

Hodnota mediánu (\(50.\) percentilu) je přibližně \(55\).

Řešení příkladu:

\(10.\) percentil je na pozici \(0{,}10 \times 150 = 15\) a má hodnotu \(20\).

\(90.\) percentil je na pozici \(0{,}90 \times 150 = 135\) a má hodnotu \(80\).

\(50.\) percentil je na pozici \(0{,}50 \times 150 = 75\).

Pro lineární interpolaci použijeme vzorec:

\( y = y_1 + \frac{(x – x_1)}{(x_2 – x_1)} (y_2 – y_1) \), kde \(x_1 = 15\), \(y_1 = 20\), \(x_2 = 135\), \(y_2 = 80\), \(x = 75\).

Dosadíme hodnoty:

\( y = 20 + \frac{(75 – 15)}{(135 – 15)} (80 – 20) = 20 + \frac{60}{120} \times 60 = 20 + 0{,}5 \times 60 = 20 + 30 = 50 \)

Hodnota \(50.\) percentilu je tedy přibližně \(50\).

Řešení příkladu:

\(15.\) percentil je na pozici \(0{,}15 \times 180 = 27\) a má hodnotu \(30\).

\(85.\) percentil je na pozici \(0{,}85 \times 180 = 153\) a má hodnotu \(90\).

\(60.\) percentil je na pozici \(0{,}60 \times 180 = 108\).

Lineární interpolace:

\( y = y_1 + \frac{(x – x_1)}{(x_2 – x_1)} (y_2 – y_1) \), kde \(x_1 = 27\), \(y_1 = 30\), \(x_2 = 153\), \(y_2 = 90\), \(x = 108\).

\( y = 30 + \frac{(108 – 27)}{(153 – 27)} (90 – 30) = 30 + \frac{81}{126} \times 60 \approx 30 + 0{,}6429 \times 60 = 30 + 38{,}57 = 68{,}57 \)

Hodnota \(60.\) percentilu je přibližně \(68{,}57\).

Řešení příkladu:

\(5.\) percentil je na pozici \(0{,}05 \times 250 = 12{,}5\) a má hodnotu \(10\).

\(95.\) percentil je na pozici \(0{,}95 \times 250 = 237{,}5\) a má hodnotu \(90\).

\(25.\) percentil je na pozici \(0{,}25 \times 250 = 62{,}5\).

Lineární interpolace:

\( y = 10 + \frac{(62{,}5 – 12{,}5)}{(237{,}5 – 12{,}5)} (90 – 10) = 10 + \frac{50}{225} \times 80 = 10 + 0{,}2222 \times 80 = 10 + 17{,}78 = 27{,}78 \)

Hodnota \(25.\) percentilu je přibližně \(27{,}78\).

Řešení příkladu:

\( 30. \) percentil je na pozici \( 0{,}30 \times 100 = 30 \) a má hodnotu \( 45 \).

\( 70. \) percentil je na pozici \( 0{,}70 \times 100 = 70 \) a má hodnotu \( 75 \).

\( 55. \) percentil je na pozici \( 0{,}55 \times 100 = 55 \).

Lineární interpolace:

\( y = 45 + \frac{(55 – 30)}{(70 – 30)} \times (75 – 45) = 45 + \frac{25}{40} \times 30 = 45 + 0{,}625 \times 30 = 45 + 18{,}75 = 63{,}75 \)

Hodnota \( 55. \) percentilu je přibližně \( 63{,}75 \).

Řešení příkladu:

\( 40. \) percentil je na pozici \( 0{,}40 \times 500 = 200 \) s hodnotou \( 100 \).

\( 60. \) percentil je na pozici \( 0{,}60 \times 500 = 300 \) s hodnotou \( 140 \).

\( 50. \) percentil je na pozici \( 0{,}50 \times 500 = 250 \).

Lineární interpolace:

\( y = 100 + \frac{(250 – 200)}{(300 – 200)} \times (140 – 100) = 100 + \frac{50}{100} \times 40 = 100 + 0{,}5 \times 40 = 100 + 20 = 120 \)

Hodnota \( 50. \) percentilu je tedy \( 120 \).

Řešení příkladu:

\( 35. \) percentil je na pozici \( 0{,}35 \times 80 = 28 \) s hodnotou \( 55 \).

\( 65. \) percentil je na pozici \( 0{,}65 \times 80 = 52 \) s hodnotou \( 85 \).

\( 50. \) percentil je na pozici \( 0{,}50 \times 80 = 40 \).

Lineární interpolace:

\( y = 55 + \frac{(40 – 28)}{(52 – 28)} \times (85 – 55) = 55 + \frac{12}{24} \times 30 = 55 + 0{,}5 \times 30 = 55 + 15 = 70 \)

Hodnota \( 50. \) percentilu je tedy \( 70 \).

Řešení příkladu:

\( 12. \) percentil je na pozici \( 0{,}12 \times 300 = 36 \) s hodnotou \( 25 \).

\( 88. \) percentil je na pozici \( 0{,}88 \times 300 = 264 \) s hodnotou \( 95 \).

\( 50. \) percentil je na pozici \( 0{,}50 \times 300 = 150 \).

Lineární interpolace:

\( y = 25 + \frac{(150 – 36)}{(264 – 36)} \times (95 – 25) = 25 + \frac{114}{228} \times 70 = 25 + 0{,}5 \times 70 = 25 + 35 = 60 \)

Hodnota \( 50. \) percentilu je tedy \( 60 \).

Řešení příkladu:

\( 20. \) percentil je na pozici \( 0{,}20 \times 90 = 18 \) s hodnotou \( 35 \).

\( 80. \) percentil je na pozici \( 0{,}80 \times 90 = 72 \) s hodnotou \( 85 \).

\( 65. \) percentil je na pozici \( 0{,}65 \times 90 = 58{,}5 \).

Lineární interpolace:

\( y = 35 + \frac{(58{,}5 – 18)}{(72 – 18)} \times (85 – 35) = 35 + \frac{40{,}5}{54} \times 50 \approx 35 + 0{,}75 \times 50 = 35 + 37{,}5 = 72{,}5 \)

Hodnota \( 65. \) percentilu je přibližně \( 72{,}5 \).

Řešení příkladu:

Pozice percentilů ve vzorku:

\(20\). percentil odpovídá hodnotě \(150\), \(80\). percentil hodnotě \(350\).

Chceme nalézt hodnotu \(50\). percentilu, která leží mezi \(20\). a \(80\). percentilem.

Nejprve určíme poměr vzdálenosti \(50\). percentilu mezi \(20\). a \(80\). percentilem:

\(\frac{50 – 20}{80 – 20} = \frac{30}{60} = 0{,}5\)

Hodnota \(50\). percentilu se tedy vypočítá lineární interpolací:

\(150 + 0{,}5 \times (350 – 150) = 150 + 0{,}5 \times 200 = 150 + 100 = 250\)

Hodnota \(50\). percentilu je \(\mathbf{250}\).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty jsou:

\(10\). percentil = \(25\), \(90\). percentil = \(75\).

Hledáme hodnotu \(60\). percentilu mezi \(10\). a \(90\). percentilem.

Poměr vzdálenosti \(60\). percentilu:

\(\frac{60 – 10}{90 – 10} = \frac{50}{80} = 0{,}625\)

Interpolace hodnoty:

\(25 + 0{,}625 \times (75 – 25) = 25 + 0{,}625 \times 50 = 25 + 31{,}25 = 56{,}25\)

Hodnota \(60\). percentilu je \(\mathbf{56{,}25}\).

Řešení příkladu:

\(30\). percentil = \(180\), \(70\). percentil = \(240\).

Poměr pozice \(55\). percentilu mezi \(30\). a \(70\). percentilem:

\(\frac{55 – 30}{70 – 30} = \frac{25}{40} = 0{,}625\)

Výpočet hodnoty \(55\). percentilu:

\(180 + 0{,}625 \times (240 – 180) = 180 + 0{,}625 \times 60 = 180 + 37{,}5 = 217{,}5\)

Hodnota \(55\). percentilu je \(\mathbf{217{,}5}\).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty:

\(15\). percentil = \(45\), \(85\). percentil = \(105\).

Poměr pozice \(35\). percentilu mezi \(15\). a \(85\). percentilem:

\(\frac{35 – 15}{85 – 15} = \frac{20}{70} = 0{,}2857\)

Výpočet hodnoty \(35\). percentilu:

\(45 + 0{,}2857 \times (105 – 45) = 45 + 0{,}2857 \times 60 = 45 + 17{,}14 = 62{,}14\)

Hodnota \(35\). percentilu je přibližně \(\mathbf{62{,}14}\).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty:

\(5\). percentil = \(12\), \(95\). percentil = \(88\).

Poměr vzdálenosti \(25\). percentilu mezi \(5\). a \(95\). percentilem:

\(\frac{25 – 5}{95 – 5} = \frac{20}{90} = 0{,}2222\)

Výpočet hodnoty \(25\). percentilu:

\(12 + 0{,}2222 \times (88 – 12) = 12 + 0{,}2222 \times 76 = 12 + 16{,}89 = 28{,}89\)

Hodnota \(25\). percentilu je přibližně \(\mathbf{28{,}89}\).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty:

\( 40 \). percentil = \( 70 \), \( 90 \). percentil = \( 130 \).

Poměr vzdálenosti \( 85 \). percentilu mezi \( 40 \). a \( 90 \). percentilem:

\(\frac{85 – 40}{90 – 40} = \frac{45}{50} = 0{,}9\)

Výpočet hodnoty \( 85 \). percentilu:

\( 70 + 0{,}9 \times (130 – 70) = 70 + 0{,}9 \times 60 = 70 + 54 = 124 \)

Hodnota \( 85 \). percentilu je \( 124 \).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty:

\( 15 \). percentil = \( 35 \), \( 65 \). percentil = \( 95 \).

Poměr pozice \( 45 \). percentilu mezi \( 15 \). a \( 65 \). percentilem:

\(\frac{45 – 15}{65 – 15} = \frac{30}{50} = 0{,}6\)

Výpočet hodnoty \( 45 \). percentilu:

\( 35 + 0{,}6 \times (95 – 35) = 35 + 0{,}6 \times 60 = 35 + 36 = 71 \)

Hodnota \( 45 \). percentilu je \( 71 \).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty:

\( 20 \). percentil = \( 48 \), \( 75 \). percentil = \( 102 \).

Poměr pozice \( 30 \). percentilu mezi \( 20 \). a \( 75 \). percentilem:

\(\frac{30 – 20}{75 – 20} = \frac{10}{55} \approx 0{,}1818\)

Výpočet hodnoty \( 30 \). percentilu:

\( 48 + 0{,}1818 \times (102 – 48) = 48 + 0{,}1818 \times 54 \approx 48 + 9{,}82 \approx 57{,}82 \)

Hodnota \( 30 \). percentilu je přibližně \( 57{,}82 \).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty:

\( 35 \). percentil = \( 65 \), \( 85 \). percentil = \( 115 \).

Poměr pozice \( 75 \). percentilu mezi \( 35 \). a \( 85 \). percentilem:

\(\frac{75 – 35}{85 – 35} = \frac{40}{50} = 0{,}8\)

Výpočet hodnoty \( 75 \). percentilu:

\( 65 + 0{,}8 \times (115 – 65) = 65 + 0{,}8 \times 50 = 65 + 40 = 105 \)

Hodnota \( 75 \). percentilu je \( 105 \).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty:

\( 10 \). percentil = \( 30 \), \( 90 \). percentil = \( 110 \).

Poměr pozice \( 70 \). percentilu mezi \( 10 \). a \( 90 \). percentilem:

\(\frac{70 – 10}{90 – 10} = \frac{60}{80} = 0{,}75\)

Výpočet hodnoty \( 70 \). percentilu:

\( 30 + 0{,}75 \times (110 – 30) = 30 + 0{,}75 \times 80 = 30 + 60 = 90 \)

Hodnota \( 70 \). percentilu je \( 90 \).

Řešení příkladu:

Máme \( P_{25} = 160 \) a \( P_{75} = 280 \).

Chceme najít \( P_{60} \), který leží mezi \( P_{25} \) a \( P_{75} \).

Nejprve spočítáme relativní pozici \( 60. \) percentilu mezi \( 25. \) a \( 75. \) percentilem:

\( \frac{60 – 25}{75 – 25} = \frac{35}{50} = 0{,}7 \)

Hodnota \( P_{60} \) je lineární interpolací:

\( P_{60} = 160 + 0{,}7 \times (280 – 160) = 160 + 0{,}7 \times 120 = 160 + 84 = 244 \)

Výsledkem je, že hodnota \( 60. \) percentilu je \( 244 \).

Řešení příkladu:

Počet žáků \( n = 50 \).

Pozice odpovídající \( 40. \) percentilu spočítáme podle vzorce:

\( L = \frac{p}{100} \times (n + 1) \), kde \( p = 40 \).

\( L = \frac{40}{100} \times 51 = 0{,}4 \times 51 = 20{,}4 \)

Znamená to, že \( 40. \) percentil je mezi \( 20. \) a \( 21. \) žákem v pořadí.

Pokud známe hodnoty \( 20. \) a \( 21. \) žáka, můžeme interpolovat přesnou hodnotu \( 40. \) percentilu.

Tento výpočet ukazuje, že žák na pozici \( 20{,}4 \) odpovídá \( 40. \) percentilu.

Řešení příkladu:

Máme \( P_{10} = 30 \) a \( P_{90} = 110 \).

Chceme vypočítat \( P_{50} \) lineární interpolací mezi \( P_{10} \) a \( P_{90} \).

Poměr pozice \( 50. \) percentilu mezi \( 10. \) a \( 90. \) percentilem je:

\( \frac{50 – 10}{90 – 10} = \frac{40}{80} = 0{,}5 \)

Hodnota \( P_{50} \) se vypočte jako:

\( 30 + 0{,}5 \times (110 – 30) = 30 + 0{,}5 \times 80 = 30 + 40 = 70 \)

Tedy \( 50. \) percentil je \( 70 \).

Řešení příkladu:

Máme \( P_{5} = 12 \), \( P_{25} = 40 \).

Chceme najít \( P_{15} \) mezi \( P_{5} \) a \( P_{25} \).

Poměr pozice \( 15. \) percentilu mezi \( 5. \) a \( 25. \) percentilem je:

\( \frac{15 – 5}{25 – 5} = \frac{10}{20} = 0{,}5 \)

Výpočet hodnoty \( P_{15} \):

\( 12 + 0{,}5 \times (40 – 12) = 12 + 0{,}5 \times 28 = 12 + 14 = 26 \)

Hodnota \( 15. \) percentilu je \( 26 \).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty jsou \( P_{60} = 90 \), \( P_{80} = 130 \).

Chceme najít \( P_{75} \), který leží mezi \( P_{60} \) a \( P_{80} \).

Poměr pozice \( 75. \) percentilu mezi \( 60. \) a \( 80. \) percentilem je:

\( \frac{75 – 60}{80 – 60} = \frac{15}{20} = 0{,}75 \)

Výpočet hodnoty \( P_{75} \):

\( 90 + 0{,}75 \times (130 – 90) = 90 + 0{,}75 \times 40 = 90 + 30 = 120 \)

Hodnota \( 75. \) percentilu je \( 120 \).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty jsou \(P_{40} = 55\), \(P_{70} = 85\).

Chceme najít \(P_{50}\), který je mezi \(P_{40}\) a \(P_{70}\).

Poměr pozice \(50.\) percentilu mezi \(40.\) a \(70.\) percentilem:

\( \frac{50 – 40}{70 – 40} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \)

Výpočet hodnoty \(P_{50}\):

\( 55 + \frac{1}{3} \times (85 – 55) = 55 + \frac{1}{3} \times 30 = 55 + 10 = 65 \)

Hodnota \(50.\) percentilu je \(65\).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty: \(P_{10} = 18\), \(P_{40} = 60\).

Chceme najít \(P_{25}\) mezi těmito percentily.

Poměr pozice \(25.\) percentilu mezi \(10.\) a \(40.\) percentilem:

\( \frac{25 – 10}{40 – 10} = \frac{15}{30} = 0{,}5 \)

Výpočet hodnoty \(P_{25}\):

\( 18 + 0{,}5 \times (60 – 18) = 18 + 0{,}5 \times 42 = 18 + 21 = 39 \)

Hodnota \(25.\) percentilu je \(39\).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty jsou \(P_{30} = 100\), \(P_{90} = 300\).

Chceme vypočítat \(P_{50}\) lineární interpolací.

Poměr pozice \(50.\) percentilu mezi \(30.\) a \(90.\) percentilem:

\( \frac{50 – 30}{90 – 30} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \)

Výpočet hodnoty \(P_{50}\):

\( 100 + \frac{1}{3} \times (300 – 100) = 100 + \frac{1}{3} \times 200 = 100 + 66{,}67 = 166{,}67 \)

Hodnota \(50.\) percentilu je přibližně \(166{,}67\).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty jsou \(P_{20} = 75\), \(P_{80} = 155\).

Chceme najít \(P_{50}\) mezi nimi.

Poměr pozice \(50.\) percentilu mezi \(20.\) a \(80.\) percentilem:

\( \frac{50 – 20}{80 – 20} = \frac{30}{60} = 0{,}5 \)

Výpočet hodnoty \(P_{50}\):

\( 75 + 0{,}5 \times (155 – 75) = 75 + 0{,}5 \times 80 = 75 + 40 = 115 \)

Hodnota \(50.\) percentilu je \(115\).

Řešení příkladu:

Dané hodnoty: \(P_{15} = 22\), \(P_{35} = 46\).

Chceme najít \(P_{30}\), která leží mezi \(P_{15}\) a \(P_{35}\).

Poměr pozice \(30.\) percentilu mezi \(15.\) a \(35.\) percentilem:

\( \frac{30 – 15}{35 – 15} = \frac{15}{20} = 0{,}75 \)

Výpočet hodnoty \(P_{30}\):

\( 22 + 0{,}75 \times (46 – 22) = 22 + 0{,}75 \times 24 = 22 + 18 = 40 \)

Hodnota \(30.\) percentilu je \(40\).