1. Určete první tři členy aritmetické posloupnosti, pokud je první člen \( a_1 = 5 \) a diference \( d = 3 \).
Řešení:
První tři členy: \( a_1 = 5 \), \( a_2 = a_1 + d = 5 + 3 = 8 \), \( a_3 = a_2 + d = 8 + 3 = 11 \)
2. Určete součet prvních 10 členů aritmetické posloupnosti s prvním členem \( a_1 = 7 \) a diferencí \( d = 4 \).
Řešení:
Součet: \( S_{10} = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d) = \frac{10}{2} \cdot (2 \cdot 7 + (10-1) \cdot 4) = 5 \cdot (14 + 36) = 250 \)
3. Určete 15. člen aritmetické posloupnosti, pokud je \( a_1 = 3 \) a \( d = -2 \).
Řešení:
15. člen: \( a_{15} = a_1 + (n-1) \cdot d = 3 + (15-1) \cdot (-2) = 3 + 14 \cdot (-2) = 3 – 28 = -25 \)
4. Určete součet prvních 20 členů geometrické posloupnosti, pokud je první člen \( a_1 = 2 \) a kvocient \( q = 3 \).
Řešení:
Součet geometrické řady: \( S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = 2 \cdot \frac{1 – 3^{20}}{1 – 3} = 2 \cdot \frac{1 – 3^{20}}{-2} = (3^{20} – 1) \)
Přesná hodnota závisí na výpočtu \( 3^{20} \), což je přibližně \( 3^{20} \approx 3486784401 \).
5. Určete první tři členy geometrické posloupnosti, pokud je \( a_1 = 4 \) a \( q = 0.5 \).
Řešení:
První tři členy: \( a_1 = 4 \), \( a_2 = a_1 \cdot q = 4 \cdot 0.5 = 2 \), \( a_3 = a_2 \cdot q = 2 \cdot 0.5 = 1 \)
6. Určete součet prvních 5 členů geometrické posloupnosti, pokud je \( a_1 = 10 \) a \( q = 2 \).
Řešení:
Součet: \( S_5 = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = 10 \cdot \frac{1 – 2^5}{1 – 2} = 10 \cdot \frac{1 – 32}{-1} = 10 \cdot 31 = 310 \)
7. Určete \( 10. \) člen aritmetické posloupnosti, pokud je \( a_1 = -4 \) a \( d = 1.5 \).
Řešení:
10. člen: \( a_{10} = a_1 + (n-1) \cdot d = -4 + (10-1) \cdot 1.5 = -4 + 13.5 = 9.5 \)
8. Určete součet prvních 6 členů geometrické posloupnosti, pokud je \( a_1 = 1 \) a \( q = 2 \).
Řešení:
Součet: \( S_6 = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = 1 \cdot \frac{1 – 2^6}{1 – 2} = \frac{1 – 64}{-1} = 63 \)
9. Určete 8. člen aritmetické posloupnosti, pokud je \( a_1 = 10 \) a \( d = -3 \).
Řešení:
8. člen: \( a_8 = a_1 + (n-1) \cdot d = 10 + (8-1) \cdot (-3) = 10 + 7 \cdot (-3) = 10 – 21 = -11 \)
10. Určete součet prvních 4 členů geometrické posloupnosti, pokud je \( a_1 = 5 \) a \( q = 0.8 \).
Řešení:
Součet: \( S_4 = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = 5 \cdot \frac{1 – 0.8^4}{1 – 0.8} = 5 \cdot \frac{1 – 0.4096}{0.2} = 5 \cdot 2.9536 = 14.768 \)
11. Určete hodnotu \(a_8\) v aritmetické posloupnosti, pokud je první člen \(a_1 = -7\) a diference \(d = 5\).
Řešení:
8. člen: \(a_8 = a_1 + (n-1) \cdot d = -7 + (8-1) \cdot 5 = -7 + 35 = 28\)
12. Určete součet prvních 15 členů geometrické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 2\) a \(q = 0.6\).
Řešení:
Součet: \(S_{15} = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = 2 \cdot \frac{1 – 0.6^{15}}{1 – 0.6} \approx 2 \cdot \frac{1 – 0.0004701}{0.4} \approx 2 \cdot 2.493 \approx 4.986\)
13. Určete 10. člen geometrické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 3\) a \(q = 2\).
Řešení:
10. člen: \(a_{10} = a_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot 2^{10-1} = 3 \cdot 2^9 = 3 \cdot 512 = 1536\)
14. Určete součet prvních 12 členů aritmetické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 4\) a \(d = -3\).
Řešení:
Součet: \(S_{12} = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d) = \frac{12}{2} \cdot (2 \cdot 4 + (12-1) \cdot (-3)) = 6 \cdot (8 – 33) = 6 \cdot (-25) = -150\)
15. Určete 6. člen geometrické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 10\) a \(q = 0.25\).
Řešení:
6. člen: \(a_6 = a_1 \cdot q^{n-1} = 10 \cdot 0.25^{6-1} = 10 \cdot 0.25^5 = 10 \cdot 0.0009765625 = 0.009765625\)
16. Určete součet prvních 8 členů geometrické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 5\) a \(q = 3\).
Řešení:
Součet: \(S_8 = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = 5 \cdot \frac{1 – 3^8}{1 – 3} = 5 \cdot \frac{1 – 6561}{-2} = 5 \cdot 3280 = 16400\)
17. Určete první tři členy aritmetické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 15\) a \(d = -4\).
Řešení:
První tři členy: \(a_1 = 15\), \(a_2 = a_1 + d = 15 – 4 = 11\), \(a_3 = a_2 + d = 11 – 4 = 7\)
18. Určete součet prvních 6 členů geometrické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 3\) a \(q = 1.5\).
Řešení:
Součet: \(S_6 = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = 3 \cdot \frac{1 – 1.5^6}{1 – 1.5} = 3 \cdot \frac{1 – 11.390625}{-0.5} = 3 \cdot 20.78125 = 62.34375\)
19. Určete 12. člen aritmetické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 10\) a \(d = 0.2\).
Řešení:
12. člen: \(a_{12} = a_1 + (n-1) \cdot d = 10 + (12-1) \cdot 0.2 = 10 + 2.2 = 12.2\)
20. Určete součet prvních 7 členů geometrické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 1\) a \(q = 4\).
Řešení:
Součet: \(S_7 = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = 1 \cdot \frac{1 – 4^7}{1 – 4} = \frac{1 – 16384}{-3} = 5461\)
21. Určete součet prvních 20 členů geometrické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 2\) a \(q = 0.8\).
Řešení:
Součet: \(S_{20} = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = 2 \cdot \frac{1 – 0.8^{20}}{1 – 0.8} \approx 2 \cdot \frac{1 – 0.011529}{0.2} = 2 \cdot 4.942 \approx 9.884\)
22. Určete 12. člen aritmetické posloupnosti, pokud je \(a_1 = -5\) a \(d = 1.5\).
Řešení:
12. člen: \(a_{12} = a_1 + (n-1) \cdot d = -5 + (12-1) \cdot 1.5 = -5 + 16.5 = 11.5\)
23. Určete součet prvních 8 členů geometrické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 5\) a \(q = 3\).
Řešení:
Součet: \(S_8 = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = 5 \cdot \frac{1 – 3^8}{1 – 3} = 5 \cdot \frac{1 – 6561}{-2} = 5 \cdot 3280 = 16400\)
24. Určete 7. člen geometrické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 10\) a \(q = 0.5\).
Řešení:
7. člen: \(a_7 = a_1 \cdot q^{n-1} = 10 \cdot 0.5^{7-1} = 10 \cdot 0.5^6 = 10 \cdot 0.015625 = 0.15625\)
25. Určete součet prvních 10 členů aritmetické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 3\) a \(d = -0.8\).
Řešení:
Součet: \(S_{10} = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d) = \frac{10}{2} \cdot (2 \cdot 3 + (10-1) \cdot (-0.8)) = 5 \cdot (6 – 7.2) = 5 \cdot (-1.2) = -6\)
26. Určete 15. člen geometrické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 4\) a \(q = 2\).
Řešení:
15. člen: \(a_{15} = a_1 \cdot q^{n-1} = 4 \cdot 2^{15-1} = 4 \cdot 2^{14} = 4 \cdot 16384 = 65536\)
27. Určete součet prvních 5 členů geometrické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 1\) a \(q = -2\).
Řešení:
Součet: \(S_5 = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = 1 \cdot \frac{1 – (-2)^5}{1 – (-2)} = 1 \cdot \frac{1 – (-32)}{3} = \frac{33}{3} = 11\)
28. Určete 9. člen aritmetické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 7\) a \(d = 2.5\).
Řešení:
9. člen: \(a_9 = a_1 + (n-1) \cdot d = 7 + (9-1) \cdot 2.5 = 7 + 20 = 27\)
29. Určete součet prvních 6 členů geometrické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 3\) a \(q = -1\).
Řešení:
Součet: \(S_6 = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = 3 \cdot \frac{1 – (-1)^6}{1 – (-1)} = 3 \cdot \frac{1 – 1}{2} = 0\)
30. Určete součet prvních 4 členů aritmetické posloupnosti, pokud je \(a_1 = 10\) a \(d = -3\).
Řešení:
Součet: \(S_4 = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d) = \frac{4}{2} \cdot (2 \cdot 10 + (4-1) \cdot (-3)) = 2 \cdot (20 – 9) = 2 \cdot 11 = 22\)
