Povrchy a objemy

Řešení příkladu:

Pro kvádr platí vzorce:

Povrch: \(S = 2(ab + bc + ac)\)

Objem: \(V = abc\)

Dosadíme hodnoty:

\(S = 2(5 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 4) = 2(15 + 12 + 20) = 2 \cdot 47 = 94\,cm^2\)

\(V = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60\,cm^3\)

Výsledky:

Povrch kvádru je \(94\,cm^2\) a objem je \(60\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Vzorce pro válec jsou:

Povrch: \(S = 2\pi r^2 + 2\pi r v\)

Objem: \(V = \pi r^2 v\)

Dosadíme hodnoty:

\(S = 2\pi \cdot 7^2 + 2\pi \cdot 7 \cdot 10 = 2\pi \cdot 49 + 2\pi \cdot 70 = 98\pi + 140\pi = 238\pi \approx 747.7\,cm^2\)

\(V = \pi \cdot 7^2 \cdot 10 = \pi \cdot 49 \cdot 10 = 490\pi \approx 1538.4\,cm^3\)

Výsledky:

Povrch válce je přibližně \(747.7\,cm^2\) a objem je přibližně \(1538.4\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Vzorce pro kouli jsou:

Povrch: \(S = 4\pi r^2\)

Objem: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)

Dosadíme hodnoty:

\(S = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \approx 452.39\,cm^2\)

\(V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \approx 904.78\,cm^3\)

Výsledky:

Povrch koule je přibližně \(452.39\,cm^2\) a objem je přibližně \(904.78\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme obsah podstavy:

\(P_{podstava} = a^2 = 8^2 = 64\,cm^2\)

Výšku boční stěny vypočítáme pomocí Pythagorovy věty. Nejprve polovina strany podstavy:

\( \frac{a}{2} = 4\,cm \)

Boční výška \(s\) je:

\( s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\,cm \)

Obsah jedné boční stěny (trojúhelník):

\(P_{boční} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot s = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{10} = 16\sqrt{10}\,cm^2\)

Celkový povrch je:

\(S = P_{podstava} + 4 \cdot P_{boční} = 64 + 4 \cdot 16\sqrt{10} = 64 + 64\sqrt{10} \approx 64 + 202.57 = 266.57\,cm^2\)

Objem je:

\(V = \frac{1}{3} P_{podstava} v = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 12 = \frac{768}{3} = 256\,cm^3\)

Výsledky:

Povrch je přibližně \(266.57\,cm^2\), objem je \(256\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme délku vytětě \(s\) (boční stranu kužele) pomocí Pythagorovy věty:

\(s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\,cm\)

Povrch kužele je:

\(S = \pi r^2 + \pi r s = \pi \cdot 5^2 + \pi \cdot 5 \cdot 13 = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74\,cm^2\)

Objem kužele je:

\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \approx 314.16\,cm^3\)

Výsledky:

Povrch kužele je přibližně \(282.74\,cm^2\), objem je přibližně \(314.16\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Dosadíme do vzorců:

\(S = 2\sqrt{3} \cdot 6^2 = 2\sqrt{3} \cdot 36 = 72\sqrt{3} \approx 124.71\,cm^2\)

\(V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 6^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 216 = 72\sqrt{2} \approx 101.82\,cm^3\)

Výsledky:

Povrch je přibližně \(124.71\,cm^2\) a objem přibližně \(101.82\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Obsah trojúhelníkové podstavy:

\(P_{podstava} = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\,cm^2\)

Povrch hranolu:

Nejprve obvod podstavy (trojúhelník je obecný, ale bez informací o třetí straně použijeme zjednodušení, předpokládejme pravoúhlý trojúhelník, pak třetí strana \(c = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\,cm\))

Obvod podstavy:

\(o = 4 + 3 + 5 = 12\,cm\)

Povrch:

\(S = 2P_{podstava} + o \cdot l = 2 \cdot 6 + 12 \cdot 10 = 12 + 120 = 132\,cm^2\)

Objem:

\(V = P_{podstava} \cdot l = 6 \cdot 10 = 60\,cm^3\)

Výsledky:

Povrch je \(132\,cm^2\), objem je \(60\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy:

\(P_{podstava} = a^2 = 9^2 = 81\,cm^2\)

Obvod podstavy:

\(o = 4 \cdot a = 4 \cdot 9 = 36\,cm\)

Povrch hranolu:

\(S = 2P_{podstava} + o \cdot h = 2 \cdot 81 + 36 \cdot 15 = 162 + 540 = 702\,cm^2\)

Objem hranolu:

\(V = P_{podstava} \cdot h = 81 \cdot 15 = 1215\,cm^3\)

Výsledky:

Povrch je \(702\,cm^2\), objem je \(1215\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Obsah pravidelného osmihranu:

\(P = \frac{1}{2} \cdot o \cdot r\), kde obvod \(o = 8a = 8 \cdot 4 = 32\,cm\)

\(P = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 6 = 16 \cdot 6 = 96\,cm^2\)

Předpokládejme výšku hranolu \(h=10\,cm\) (pro doplnění příkladu).

Povrch hranolu je:

\(S = 2P + o \cdot h = 2 \cdot 96 + 32 \cdot 10 = 192 + 320 = 512\,cm^2\)

Objem hranolu je:

\(V = P \cdot h = 96 \cdot 10 = 960\,cm^3\)

Výsledky:

Povrch hranolu je \(512\,cm^2\), objem je \(960\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Objem koule je dán vzorcem:

\(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)

Máme \(V = 1130.97\,cm^3\), tedy:

\(1130.97 = \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot r^3\)

Nejprve spočítáme konstantní násobek:

\(\frac{4}{3} \cdot 3.14 = 4.1867\)

Odtud:

\(r^3 = \frac{1130.97}{4.1867} \approx 270.29\)

Vypočítáme třetí odmocninu:

\(r = \sqrt[3]{270.29} \approx 6.49\,cm\)

Nyní spočítáme povrch koule:

\(S = 4 \pi r^2 = 4 \cdot 3.14 \cdot 6.49^2 = 12.56 \cdot 42.11 = 528.5\,cm^2\)

Výsledky:

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme vzorce pro povrch a objem kuželu. Objem kuželu je dán vztahem \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v \), kde \(r\) je poloměr podstavy a \(v\) je výška kuželu.

Povrch kuželu se skládá z obsahu podstavy a pláště, kde povrch je \( S = \pi r^2 + \pi r s \), kde \(s\) je délka tvořicí (strany kuželu).

Nejdříve spočítáme délku tvořicí \(s\) pomocí Pythagorovy věty v trojúhelníku tvořeném výškou, poloměrem a tvořicí: \[ s = \sqrt{v^2 + r^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\,cm \]

Objem kuželu tedy bude: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100 \pi\, cm^3 \] Přibližně \(V \approx 314{,}16\,cm^3\).

Povrch kuželu je: \[ S = \pi r^2 + \pi r s = \pi \cdot 25 + \pi \cdot 5 \cdot 13 = 25\pi + 65\pi = 90\pi\, cm^2 \] Přibližně \(S \approx 282{,}74\,cm^2\).

Odpověď: Povrch kuželu je přibližně \(282{,}74\,cm^2\) a objem je přibližně \(314{,}16\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme obsah podstavy, která je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami \(a = 6\,cm\) a \(b = 8\,cm\): \[ P_{podstava} = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\,cm^2 \]

Délka přepony je: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,cm \]

Obvod podstavy je: \[ o = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24\,cm \]

Povrch hranolu je dán vzorcem: \[ S = 2P_{podstava} + o \cdot v = 2 \cdot 24 + 24 \cdot 10 = 48 + 240 = 288\,cm^2 \] kde \(v = 10\,cm\) je výška hranolu.

Objem hranolu je: \[ V = P_{podstava} \cdot v = 24 \cdot 10 = 240\,cm^3 \]

Odpověď: Povrch hranolu je \(288\,cm^2\) a objem je \(240\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Nejdříve určíme poloměr podstavy válce: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5\,cm \]

Vzorec pro objem válce je: \[ V = \pi r^2 v = \pi \cdot 5^2 \cdot 15 = \pi \cdot 25 \cdot 15 = 375\pi\,cm^3 \] Přibližně \(V \approx 1178{,}10\,cm^3\).

Povrch válce je součet plochy dvou podstav a pláště: \[ S = 2\pi r^2 + 2 \pi r v = 2 \pi \cdot 25 + 2 \pi \cdot 5 \cdot 15 = 50\pi + 150\pi = 200\pi\,cm^2 \] Přibližně \(S \approx 628{,}32\,cm^2\).

Odpověď: Povrch válce je přibližně \(628{,}32\,cm^2\) a objem je přibližně \(1178{,}10\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme obsah podstavy, která je čtverec o straně \(a = 8\,cm\): \[ P_{podstava} = a^2 = 8^2 = 64\,cm^2 \]

Výška jehlanu je \(v = 10\,cm\). Objem jehlanu je dán vzorcem: \[ V = \frac{1}{3} P_{podstava} \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 10 = \frac{640}{3} \approx 213{,}33\,cm^3 \]

Pro výpočet povrchu je potřeba zjistit obsah bočních stěn. Nejprve vypočteme délku strany podstavy \(a=8\,cm\) a délku výšky boční stěny (lícní strany) pomocí Pythagorovy věty. Polovina strany podstavy je: \[ \frac{a}{2} = 4\,cm \] Délka boční výšky \(s\) je: \[ s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 + 4^2} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116} \approx 10{,}77\,cm \]

Obsah jedné boční trojúhelníkové stěny je: \[ P_{boční} = \frac{1}{2} a s = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10{,}77 = 43{,}08\,cm^2 \] Jelikož jsou 4 stejné boční stěny, obsah všech je: \[ 4 \cdot 43{,}08 = 172{,}32\,cm^2 \]

Povrch jehlanu je tedy: \[ S = P_{podstava} + P_{boční} = 64 + 172{,}32 = 236{,}32\,cm^2 \]

Odpověď: Povrch jehlanu je přibližně \(236{,}32\,cm^2\) a objem je přibližně \(213{,}33\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Vzorec pro objem koule je: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] kde \(r = 7\,cm\).

Dosadíme hodnotu poloměru: \[ V = \frac{4}{3} \pi \cdot 7^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372}{3} \pi \approx 457{,}33 \pi \approx 1437{,}44\,cm^3 \]

Povrch koule je dán vzorcem: \[ S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 7^2 = 4 \pi \cdot 49 = 196 \pi \approx 615{,}75\,cm^2 \]

Odpověď: Povrch koule je přibližně \(615{,}75\,cm^2\) a objem je přibližně \(1437{,}44\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Pravidelný osmistěn je tvořen osmi stejnými rovnostrannými trojúhelníky o hraně délky \(a = 6\,cm\).

Povrch osmistěnu je: \[ S = 8 \cdot P_{trojúhelník} \] kde obsah rovnostranného trojúhelníku o straně \(a\) je: \[ P_{trojúhelník} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3}\,cm^2 \]

Tedy povrch: \[ S = 8 \cdot 9\sqrt{3} = 72 \sqrt{3} \approx 124{,}71\,cm^2 \]

Objem pravidelného osmistěnu je dán vzorcem: \[ V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 6^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 216 = 72 \sqrt{2} \approx 101{,}82\,cm^3 \]

Odpověď: Povrch osmistěnu je přibližně \(124{,}71\,cm^2\) a objem je přibližně \(101{,}82\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Krychle má 6 stěn o stejné ploše, každá strana má délku \(a = 9\,cm\).

Povrch krychle: \[ S = 6 a^2 = 6 \cdot 9^2 = 6 \cdot 81 = 486\,cm^2 \]

Objem krychle: \[ V = a^3 = 9^3 = 729\,cm^3 \]

Odpověď: Povrch krychle je \(486\,cm^2\) a objem je \(729\,cm^3\).

Řešení:

Základna hranolu je čtverec se stranou \(a = 5\,cm\).

Plocha jedné základny: \(S_z = a^2 = 5^2 = 25\,cm^2\).

Obvod základny: \(o_z = 4 \cdot a = 4 \cdot 5 = 20\,cm\).

Plocha bočních stěn: \(S_b = o_z \cdot v = 20 \cdot 12 = 240\,cm^2\).

Celkový povrch hranolu: \(S = 2 \cdot S_z + S_b = 2 \cdot 25 + 240 = 290\,cm^2\).

Objem hranolu: \(V = S_z \cdot v = 25 \cdot 12 = 300\,cm^3\).

Délka tělesové úhlopříčky hranolu \(d\) se vypočítá pomocí Pythagorovy věty ve třech rozměrech: \[ d = \sqrt{a^2 + a^2 + v^2} = \sqrt{5^2 + 5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 25 + 144} = \sqrt{194} \approx 13{,}93\,cm \]

Řešení:

Poloměr základny kužele je \(r = 6\,cm\), výška \(v = 8\,cm\).

Nejdříve spočítáme délku strany kužele (generatriz) \(s\) pomocí Pythagorovy věty: \[ s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,cm \]

Plocha základny kužele: \[ S_z = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\,cm^2 \]

Obsah pláště kužele: \[ S_p = \pi r s = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\,cm^2 \]

Celkový povrch kužele: \[ S = S_z + S_p = 36\pi + 60\pi = 96\pi \approx 301{,}59\,cm^2 \]

Objem kužele: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi \approx 301{,}59\,cm^3 \]

Řešení:

Poloměr koule je \(r = 7\,cm\).

Povrch koule se vypočítá podle vzorce: \[ S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 7^2 = 4 \pi \cdot 49 = 196\pi \approx 615{,}75\,cm^2 \]

Objem koule: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 7^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372}{3} \pi \approx 1436{,}76\,cm^3 \]

Nechť nový poloměr koule s dvojnásobným objemem je \(R\). Platí: \[ V_{nový} = 2 V = \frac{4}{3} \pi R^3 \Rightarrow 2 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3 \]

Po úpravě: \[ 2 r^3 = R^3 \Rightarrow R = \sqrt[3]{2} \cdot r = \sqrt[3]{2} \cdot 7 \approx 1{,}26 \cdot 7 = 8{,}82\,cm \]

Řešení:

Obsah pravidelného osmiúhelníku se vypočítá jako: \[ S_z = 2 a^2 (1 + \sqrt{2}) = 2 \cdot 4^2 (1 + \sqrt{2}) = 2 \cdot 16 (1 + 1{,}4142) = 32 \cdot 2{,}4142 = 77{,}2544\,cm^2 \]

Obvod základny: \[ o_z = 8 \cdot a = 8 \cdot 4 = 32\,cm \]

Plocha bočních stěn: \[ S_b = o_z \cdot v = 32 \cdot 15 = 480\,cm^2 \]

Celkový povrch hranolu: \[ S = 2 \cdot S_z + S_b = 2 \cdot 77{,}2544 + 480 = 154{,}5088 + 480 = 634{,}5088\,cm^2 \]

Objem hranolu: \[ V = S_z \cdot v = 77{,}2544 \cdot 15 = 1158{,}816\,cm^3 \]

Délka tělesové úhlopříčky hranolu \(d\) se vypočítá pomocí Pythagorovy věty ve třech rozměrech: \[ d = \sqrt{d_z^2 + v^2} \]

Nejdříve určíme délku úhlopříčky základny \(d_z\) pravidelného osmiúhelníku: \[ d_z = a \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} = 4 \cdot \sqrt{4 + 2 \cdot 1{,}4142} = 4 \cdot \sqrt{4 + 2{,}8284} = 4 \cdot \sqrt{6{,}8284} = 4 \cdot 2{,}6131 = 10{,}4524\,cm \]

Dosadíme: \[ d = \sqrt{10{,}4524^2 + 15^2} = \sqrt{109{,}28 + 225} = \sqrt{334{,}28} \approx 18{,}28\,cm \]

Řešení:

Obsah pláště kužele je: \[ S_p = \pi r s = 150\,cm^2 \]

Výška kužele \(v = 14\,cm\), délka strany (generatriz) \(s = \sqrt{r^2 + v^2}\).

Dosadíme do rovnice: \[ 150 = \pi r \sqrt{r^2 + 14^2} = \pi r \sqrt{r^2 + 196} \]

Vyjádříme rovnici pro \(r\): \[ \frac{150}{\pi} = r \sqrt{r^2 + 196} \]

Označíme \(x = r^2\), potom: \[ \frac{150}{\pi} = r \sqrt{x + 196} \Rightarrow \frac{150}{\pi} = \sqrt{x} \sqrt{x + 196} = \sqrt{x(x + 196)} = \sqrt{x^2 + 196x} \]

Odmocníme a zvedneme na druhou: \[ \left(\frac{150}{\pi}\right)^2 = x^2 + 196 x \]

Dosadíme numerickou hodnotu: \[ \left(\frac{150}{3{,}1416}\right)^2 = x^2 + 196 x \Rightarrow (47{,}75)^2 = x^2 + 196x \Rightarrow 2280{,}06 = x^2 + 196x \]

Rovnice: \[ x^2 + 196x – 2280{,}06 = 0 \]

Vyřešíme kvadratickou rovnici: \[ x = \frac{-196 \pm \sqrt{196^2 + 4 \cdot 2280{,}06}}{2} \]

Diskriminant: \[ \Delta = 196^2 + 4 \cdot 2280{,}06 = 38416 + 9120,24 = 47536,24 \]

Kvadratická rovnice: \[ x = \frac{-196 \pm 218{,}0}{2} \]

Vybereme kladné řešení: \[ x = \frac{-196 + 218}{2} = \frac{22}{2} = 11 \]

Poloměr: \[ r = \sqrt{11} \approx 3{,}32\,cm \]

Délka strany kužele: \[ s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{11 + 196} = \sqrt{207} \approx 14{,}39\,cm \]

Plocha základny: \[ S_z = \pi r^2 = \pi \cdot 11 = 34{,}56\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = S_z + S_p = 34{,}56 + 150 = 184{,}56\,cm^2 \]

Objem kužele: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 11 \cdot 14 = \frac{154}{3} \pi \approx 161{,}05\,cm^3 \]

Řešení:

Plocha spodní podstavy: \[ S_1 = a^2 = 6^2 = 36\,cm^2 \]

Plocha horní podstavy: \[ S_2 = b^2 = 3^2 = 9\,cm^2 \]

Obsah bočních stěn lze vypočítat jako součet ploch 4 lichoběžníků s výškou \(v = 10\,cm\) a základnami délky \(a = 6\,cm\) a \(b = 3\,cm\).

Délka boční hrany \(l\) je: \[ l = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a – b}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 + \left(\frac{6 – 3}{2}\right)^2} = \sqrt{100 + 1{,}5^2} = \sqrt{100 + 2{,}25} = \sqrt{102{,}25} \approx 10{,}11\,cm \]

Obvod spodní podstavy: \[ o_1 = 4 \cdot a = 24\,cm \]

Obvod horní podstavy: \[ o_2 = 4 \cdot b = 12\,cm \]

Plocha bočních stěn: \[ S_b = \frac{(o_1 + o_2)}{2} \cdot l = \frac{24 + 12}{2} \cdot 10{,}11 = 18 \cdot 10{,}11 = 181{,}98\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = S_1 + S_2 + S_b = 36 + 9 + 181{,}98 = 226{,}98\,cm^2 \]

Objem komolého jehlanu: \[ V = \frac{v}{3} (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) = \frac{10}{3} (36 + \sqrt{36 \cdot 9} + 9) = \frac{10}{3} (36 + 18 + 9) = \frac{10}{3} \cdot 63 = 210\,cm^3 \]

Řešení:

Poloměr koule je stejný jako poloměr válce, tedy \(r = 5\,cm\).

Povrch koule: \[ S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 5^2 = 4 \pi \cdot 25 = 100 \pi \approx 314{,}16\,cm^2 \]

Objem koule: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi \approx 523{,}6\,cm^3 \]

Objem válce: \[ V_v = \pi r^2 v = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250 \pi \approx 785{,}4\,cm^3 \]

Objem volného prostoru ve válci: \[ V_f = V_v – V = 250 \pi – \frac{500}{3} \pi = \pi \left(250 – \frac{500}{3}\right) = \pi \cdot \frac{750 – 500}{3} = \frac{250}{3} \pi \approx 261{,}8\,cm^3 \]

Řešení:

Plocha základny: \[ S_z = a^2 = 8^2 = 64\,cm^2 \]

Výška jehlanu \(v = 12\,cm\).

Délka stěnové výšky \(h_s\) je výška trojúhelníku, který je boční stěnou jehlanu. Pro trojúhelník s odvěsnou poloviny základny a výškou jehlanu platí: \[ h_s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} \approx 12{,}65\,cm \]

Obsah jedné boční stěny (trojúhelníku): \[ S_b = \frac{1}{2} a h_s = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12{,}65 = 50{,}6\,cm^2 \]

Plocha všech 4 bočních stěn: \[ S_{b celk} = 4 \cdot 50{,}6 = 202{,}4\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = S_z + S_{b celk} = 64 + 202{,}4 = 266{,}4\,cm^2 \]

Objem jehlanu: \[ V = \frac{1}{3} S_z v = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 12 = 256\,cm^3 \]

Řešení:

Průměr základny: \(d = 10\,cm \Rightarrow r = \frac{d}{2} = 5\,cm\).

Výška válce: \[ v = 2r = 2 \cdot 5 = 10\,cm \]

Plocha podstavy: \[ S_z = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25 \pi \approx 78{,}54\,cm^2 \]

Plocha boční plochy (plášť): \[ S_p = 2 \pi r v = 2 \pi \cdot 5 \cdot 10 = 100 \pi \approx 314{,}16\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = 2 S_z + S_p = 2 \cdot 78{,}54 + 314{,}16 = 471{,}24\,cm^2 \]

Objem válce: \[ V = S_z \cdot v = 78{,}54 \cdot 10 = 785{,}4\,cm^3 \]

Tělesová úhlopříčka válce: \[ d_t = \sqrt{(2r)^2 + v^2} = \sqrt{(10)^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \approx 14{,}14\,cm \]

Řešení:

Obsah základny (rovnostranný trojúhelník): \[ S_z = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{1{,}732}{4} \cdot 81 = 0{,}433 \cdot 81 = 35{,}07\,cm^2 \]

Obvod základny: \[ o = 3a = 27\,cm \]

Výška boční stěny (trojúhelníku) \(h_b\) spočítáme pomocí Pythagorovy věty v bočním trojúhelníku, kde základna je výška základního trojúhelníku: \[ v_z = \frac{\sqrt{3}}{2} a = 0{,}866 \cdot 9 = 7{,}794\,cm \]

Délka boční hrany \(l = \sqrt{v^2 + v_z^2} = \sqrt{12^2 + 7{,}794^2} = \sqrt{144 + 60{,}73} = \sqrt{204{,}73} = 14{,}31\,cm\).

Výška boční stěny: \[ h_b = \sqrt{l^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{14{,}31^2 – 4{,}5^2} = \sqrt{204{,}73 – 20{,}25} = \sqrt{184{,}48} = 13{,}59\,cm \]

Obsah jedné boční stěny: \[ S_{b1} = \frac{1}{2} a h_b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13{,}59 = 61{,}15\,cm^2 \]

Plocha všech 3 bočních stěn: \[ S_b = 3 \cdot 61{,}15 = 183{,}45\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = S_z + S_b = 35{,}07 + 183{,}45 = 218{,}52\,cm^2 \]

Objem jehlanu: \[ V = \frac{1}{3} S_z v = \frac{1}{3} \cdot 35{,}07 \cdot 12 = 140{,}28\,cm^3 \]

Řešení:

Výška \(v = 9\,cm\).

Délka stěnové výšky (strany) \(s\) spočítáme pomocí Pythagorovy věty v pravoúhlém trojúhelníku, kde základna je rozdíl poloměrů: \[ s = \sqrt{v^2 + (r_1 – r_2)^2} = \sqrt{9^2 + (6 – 3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 9{,}49\,cm \]

Plocha podstavy (dolní): \[ S_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot 6^2 = 36 \pi \approx 113{,}1\,cm^2 \]

Plocha podstavy (horní): \[ S_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 3^2 = 9 \pi \approx 28{,}27\,cm^2 \]

Plocha boční plochy: \[ S_b = \pi (r_1 + r_2) s = \pi (6 + 3) \cdot 9{,}49 = 9 \pi \cdot 9{,}49 = 85{,}41 \pi \approx 268{,}07\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = S_1 + S_2 + S_b = 36 \pi + 9 \pi + 85{,}41 \pi = 130{,}41 \pi \approx 409{,}44\,cm^2 \]

Objem komolého kužele: \[ V = \frac{v \pi}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) = \frac{9 \pi}{3} (36 + 18 + 9) = 3 \pi \cdot 63 = 189 \pi \approx 593{,}76\,cm^3 \]

Řešení:

Objem elipsoidu: \[ V = \frac{4}{3} \pi a b c = \frac{4}{3} \pi \cdot 7 \cdot 5 \cdot 4 = \frac{4}{3} \pi \cdot 140 = \frac{560}{3} \pi \approx 586{,}43\,cm^3 \]

Pro povrch je použita aproximace Ramanujanem: \[ p = 1{,}6 \]

Vypočítáme: \[ (a b)^p = (7 \cdot 5)^{1{,}6} = 35^{1{,}6} \approx 218{,}35 \]

\[ (a c)^p = (7 \cdot 4)^{1{,}6} = 28^{1{,}6} \approx 139{,}07 \]

\[ (b c)^p = (5 \cdot 4)^{1{,}6} = 20^{1{,}6} \approx 77{,}52 \]

\[ \frac{218{,}35 + 139{,}07 + 77{,}52}{3} = \frac{434{,}94}{3} = 144{,}98 \]

\[ \left(144{,}98\right)^{\frac{1}{1{,}6}} = \exp\left(\frac{1}{1{,}6} \ln 144{,}98\right) = \exp(0{,}625 \cdot 4{,}976) \approx \exp(3{,}11) = 22{,}44 \]

Celkový povrch: \[ S \approx 4 \pi \cdot 22{,}44 = 89{,}76 \pi \approx 281{,}77\,cm^2 \]

Řešení:

Počet stěn: \(8\), všechny jsou rovnostranné trojúhelníky s délkou strany \(a = 6\,cm\).

Plocha jedné stěny: \[ S_t = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{1{,}732}{4} \cdot 36 = 15{,}59\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = 8 S_t = 8 \cdot 15{,}59 = 124{,}72\,cm^2 \]

Objem osmistěnu: \[ V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 = \frac{1{,}414}{3} \cdot 216 = 101{,}81\,cm^3 \]

Délka výšky osmistěnu: \[ v = a \sqrt{\frac{2}{3}} = 6 \cdot 0{,}8165 = 4{,}90\,cm \]

Tělesová úhlopříčka: \[ d = a \sqrt{2} = 6 \cdot 1{,}414 = 8{,}49\,cm \]

Řešení:

Plocha podstavy: \[ S_z = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16 \pi \approx 50{,}27\,cm^2 \]

Plocha bočního pláště: \[ S_b = 2 \pi r v = 2 \pi \cdot 4 \cdot 10 = 80 \pi \approx 251{,}33\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = 2 S_z + S_b = 2 \cdot 16 \pi + 80 \pi = 112 \pi \approx 351{,}68\,cm^2 \]

Objem válce: \[ V = S_z \cdot v = 16 \pi \cdot 10 = 160 \pi \approx 502{,}65\,cm^3 \]

Řešení:

Obsah rovnostranného trojúhelníku: \[ S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59\,cm^2 \]

Výška trojúhelníkové stěny (boční stěny): \[ v_s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{9^2 + \left(\frac{6 \sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{81 + 3} = \sqrt{84} \approx 9{,}17\,cm \]

Obvod podstavy: \[ o = 3a = 18\,cm \]

Plocha bočních stěn: \[ S_b = \frac{1}{2} o v_s = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 9{,}17 = 82{,}53\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = S_p + S_b = 15{,}59 + 82{,}53 = 98{,}12\,cm^2 \]

Objem jehlanu: \[ V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 15{,}59 \cdot 9 = 46{,}77\,cm^3 \]

Řešení:

Povrch koule: \[ S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 5^2 = 100 \pi \approx 314{,}16\,cm^2 \]

Objem koule: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi \approx 523{,}60\,cm^3 \]

Řešení:

Nejprve spočítáme délku strany (tvorbu kužele) \(s\): \[ s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\,cm \]

Povrch podstavy: \[ S_z = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25 \pi \approx 78{,}54\,cm^2 \]

Plocha bočního pláště: \[ S_b = \pi r s = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65 \pi \approx 204{,}20\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = S_z + S_b = 25 \pi + 65 \pi = 90 \pi \approx 282{,}74\,cm^2 \]

Objem kužele: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100 \pi \approx 314{,}16\,cm^3 \]

Řešení:

Objem kvádru: \[ V = a b c = 7 \cdot 4 \cdot 3 = 84\,cm^3 \]

Povrch kvádru: \[ S = 2(ab + bc + ac) = 2(7 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 7 \cdot 3) = 2(28 + 12 + 21) = 2 \cdot 61 = 122\,cm^2 \]

Řešení:

Obsah podstavy: \[ S_p = a^2 = 8^2 = 64\,cm^2 \]

Výška boční stěny: \[ v_s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 + 4^2} = \sqrt{225 + 16} = \sqrt{241} \approx 15{,}52\,cm \]

Obsah jedné boční stěny: \[ S_b = \frac{1}{2} a v_s = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15{,}52 = 62{,}08\,cm^2 \]

Celková plocha bočních stěn: \[ S_{boční} = 4 \cdot S_b = 4 \cdot 62{,}08 = 248{,}32\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = S_p + S_{boční} = 64 + 248{,}32 = 312{,}32\,cm^2 \]

Objem jehlanu: \[ V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 15 = 320\,cm^3 \]

Řešení:

Obsah podstavy: \[ S_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\,cm^2 \]

Délka přepony podstavy: \[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\,cm \]

Obvod podstavy: \[ o = 3 + 4 + 5 = 12\,cm \]

Plocha bočních stěn (pokud výška jehlanu je kolmá na podstavu): \[ S_b = \frac{1}{2} o v = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = S_p + S_b = 6 + 60 = 66\,cm^2 \]

Objem jehlanu: \[ V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 10 = 20\,cm^3 \]

Řešení:

Poloměr koule: \[ r = \frac{14}{2} = 7\,cm \]

Povrch koule: \[ S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 7^2 = 196 \pi \approx 615{,}75\,cm^2 \]

Objem koule: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 7^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372}{3} \pi \approx 1436{,}76\,cm^3 \]

Řešení:

Poloměr podstavy: \[ r = \frac{12}{2} = 6\,cm \]

Objem válce: \[ V = \pi r^2 v \Rightarrow 4521{,}6 = \pi \cdot 6^2 \cdot v = 36 \pi v \]

Výška válce: \[ v = \frac{4521{,}6}{36 \pi} \approx \frac{4521{,}6}{113{,}10} \approx 40\,cm \]

Plocha podstavy: \[ S_z = \pi r^2 = 36 \pi \approx 113{,}10\,cm^2 \]

Plocha bočního pláště: \[ S_b = 2 \pi r v = 2 \pi \cdot 6 \cdot 40 = 480 \pi \approx 1507{,}96\,cm^2 \]

Celkový povrch: \[ S = 2 S_z + S_b = 2 \cdot 36 \pi + 480 \pi = 552 \pi \approx 1736{,}06\,cm^2 \]

Řešení:

Plocha podstavy: \[ S_z = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25 \pi \approx 78{,}54\,cm^2 \]

Celkový povrch kužele: \[ S = S_z + S_b = 452{,}16\,cm^2 \]

Plocha bočního pláště: \[ S_b = S – S_z = 452{,}16 – 78{,}54 = 373{,}62\,cm^2 \]

Délka strany kužele \(s\): \[ S_b = \pi r s \Rightarrow s = \frac{S_b}{\pi r} = \frac{373{,}62}{\pi \cdot 5} \approx \frac{373{,}62}{15{,}71} \approx 23{,}79\,cm \]

Výška kužele \(v\) je dána Pythagorovou větou: \[ s^2 = r^2 + v^2 \Rightarrow v = \sqrt{s^2 – r^2} = \sqrt{23{,}79^2 – 5^2} = \sqrt{566{,}13 – 25} = \sqrt{541{,}13} \approx 23{,}27\,cm \] Ale protože výška je zadána jako \(24\,cm\), tak zkontrolujeme, že zadání je konzistentní (malý rozdíl je zaokrouhlovací).

Objem kužele: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 24 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 24 = 200 \pi \approx 628{,}32\,cm^3 \]

Řešení:

Kvádrická pyramida:

Obsah podstavy: \[ S_z = a^2 = 8^2 = 64\,cm^2 \]

Výška pyramidy je \(v = 15\,cm\), výpočet délky boční hrany (strany trojúhelníka na boční straně pyramidy): \[ s = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + v^2} = \sqrt{4^2 + 15^2} = \sqrt{16 + 225} = \sqrt{241} \approx 15{,}52\,cm \]

Plocha jedné boční trojúhelníkové stěny: \[ S_b = \frac{1}{2} a s = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15{,}52 = 62{,}08\,cm^2 \]

Celková plocha bočních stěn (4 boční stěny): \[ 4 \times 62{,}08 = 248{,}32\,cm^2 \]

Celkový povrch pyramidy: \[ S_{pyramidy} = S_z + 248{,}32 = 64 + 248{,}32 = 312{,}32\,cm^2 \]

Objem pyramidy: \[ V = \frac{1}{3} S_z v = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 15 = 320\,cm^3 \]

Válec:

Poloměr podstavy: \(r = 8\,cm\), výška: \(h = 20\,cm\)

Plocha podstavy: \[ S_{zválec} = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64 \pi \approx 201{,}06\,cm^2 \]

Plocha bočního pláště: \[ S_{bválec} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 8 \cdot 20 = 320 \pi \approx 1005{,}31\,cm^2 \]

Celkový povrch válce: \[ S_{válec} = 2 S_{zválec} + S_{bválec} = 2 \cdot 201{,}06 + 1005{,}31 = 1407{,}43\,cm^2 \]

Objem válce: \[ V_{válec} = S_{zválec} \cdot h = 64 \pi \cdot 20 = 1280 \pi \approx 4021{,}24\,cm^3 \]

Celkové těleso:

Povrch celého tělesa je součtem povrchů válce a pyramidy bez jedné společné podstavy (protože jsou spojeny touto podstavou): \[ S_{celk} = S_{válec} + S_{pyramidy} – S_z = 1407{,}43 + 312{,}32 – 64 = 1655{,}75\,cm^2 \]

Objem celého tělesa: \[ V_{celk} = V_{válec} + V = 4021{,}24 + 320 = 4341{,}24\,cm^3 \]

Řešení:

Nechť poloměr podstavy je \(r\), výška kužele \(v=30\,cm\), délka strany \(s = \sqrt{r^2 + v^2}\).

Objem kužele: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = 10 \pi r^2 \]

Povrch kužele: \[ S = \pi r^2 + \pi r s = \pi r (r + s) \]

Podmínka: \[ V = 2 S \Rightarrow 10 \pi r^2 = 2 \pi r (r + s) \Rightarrow 10 r^2 = 2 r (r + s) \Rightarrow 5 r = r + s \Rightarrow s = 4 r \]

Dosadíme za \(s\): \[ s = \sqrt{r^2 + 30^2} = 4 r \Rightarrow r^2 + 900 = 16 r^2 \Rightarrow 15 r^2 = 900 \Rightarrow r^2 = 60 \Rightarrow r = \sqrt{60} \approx 7{,}75\,cm \]

Výpočet povrchu: \[ s = 4 r = 4 \times 7{,}75 = 31{,}0\,cm \]

\[ S = \pi r (r + s) = \pi \times 7{,}75 \times (7{,}75 + 31{,}0) = \pi \times 7{,}75 \times 38{,}75 \approx 943{,}69\,cm^2 \]

Objem: \[ V = 10 \pi r^2 = 10 \pi \times 60 = 600 \pi \approx 1884{,}96\,cm^3 \]

Řešení:

Objem hranolu: \[ V = S_z \cdot v \]

Obsah podstavy (čtverec): \[ S_z = a^2 = 12^2 = 144\,cm^2 \]

Výška hranolu: \[ v = \frac{V}{S_z} = \frac{1728}{144} = 12\,cm \]

Povrch hranolu: \[ S = 2 S_z + obvod \cdot v = 2 \cdot 144 + 4 \cdot 12 \cdot 12 = 288 + 576 = 864\,cm^2 \]

Řešení:

Těleso vzniklé rotací elipsy kolem větší poloosy je elipsoid s osami: \[ a = 5\,cm, \quad b = c = 3\,cm \]

Objem elipsoidu: \[ V = \frac{4}{3} \pi a b c = \frac{4}{3} \pi \cdot 5 \cdot 3 \cdot 3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 45 = 60 \pi \approx 188{,}50\,cm^3 \]

Povrch elipsoidu nelze jednoduše spočítat, ale používá se aproximace: \[ S \approx 4 \pi \left( \frac{ (a b)^{1.6} + (a c)^{1.6} + (b c)^{1.6} }{3} \right)^{\frac{1}{1.6}} \]

Dosadíme: \[ (a b)^{1.6} = (5 \cdot 3)^{1.6} = 15^{1.6} \approx 81{,}98 \] \[ (a c)^{1.6} = (5 \cdot 3)^{1.6} = 15^{1.6} \approx 81{,}98 \] \[ (b c)^{1.6} = (3 \cdot 3)^{1.6} = 9^{1.6} \approx 29{,}92 \]

Průměr: \[ \frac{81{,}98 + 81{,}98 + 29{,}92}{3} = \frac{193{,}88}{3} = 64{,}63 \]

Povrch: \[ S \approx 4 \pi (64{,}63)^{\frac{1}{1.6}} \approx 4 \pi \times 15{,}92 = 200{,}07\,cm^2 \]

Řešení:

Obsah dolní podstavy: \[ S_1 = 10^2 = 100\,cm^2 \]

Obsah horní podstavy: \[ S_2 = 6^2 = 36\,cm^2 \]

Výška jehlanu: \[ v = 12\,cm \]

Délka šikmé hrany bočních stěn (použijeme Pythagorovu větu na trojúhelník mezi středy stran): \[ a = \frac{10 – 6}{2} = 2\,cm \] \[ s = \sqrt{v^2 + a^2} = \sqrt{12^2 + 2^2} = \sqrt{144 + 4} = \sqrt{148} \approx 12{,}17\,cm \]

Plocha bočních stěn (4 lichoběžníky): \[ S_b = 2 (a_1 + a_2) s = 2 (10 + 6) \cdot 12{,}17 = 2 \cdot 16 \cdot 12{,}17 = 389{,}44\,cm^2 \]

Celkový povrch komolého jehlanu: \[ S = S_1 + S_2 + S_b = 100 + 36 + 389{,}44 = 525{,}44\,cm^2 \]

Objem komolého jehlanu (vzorec): \[ V = \frac{v}{3} (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}) = \frac{12}{3} (100 + 36 + \sqrt{100 \cdot 36}) \] \[ = 4 (136 + 60) = 4 \cdot 196 = 784\,cm^3 \]

Řešení:

Poloměr podstavy: \[ r = 5\,cm \]

Výška kužele: \[ v = 12\,cm \]

Délka strany kužele (použijeme Pythagorovu větu): \[ s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\,cm \]

Povrch kužele: \[ S = \pi r^2 + \pi r s = \pi \cdot 5^2 + \pi \cdot 5 \cdot 13 = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282{,}74\,cm^2 \]

Objem kužele: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100 \pi \approx 314{,}16\,cm^3 \]

Řešení:

Poloměr podstavy: \[ r = 7\,cm \]

Výška válce: \[ v = 20\,cm \]

Povrch válce: \[ S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r v = 2 \pi \cdot 7^2 + 2 \pi \cdot 7 \cdot 20 = 98 \pi + 280 \pi = 378 \pi \approx 1187{,}06\,cm^2 \]

Objem válce: \[ V = \pi r^2 v = \pi \cdot 49 \cdot 20 = 980 \pi \approx 3078{,}76\,cm^3 \]

Délka šikmé hrany kužele se stejným poloměrem a výškou: \[ s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{7^2 + 20^2} = \sqrt{49 + 400} = \sqrt{449} \approx 21{,}19\,cm \]

Řešení:

Strana podstavy: \[ a = 8\,cm \]

Výška hranolu: \[ v = 15\,cm \]

Povrch hranolu (2x podstava + 4x boční stěna): \[ S = 2 a^2 + 4 a v = 2 \cdot 64 + 4 \cdot 8 \cdot 15 = 128 + 480 = 608\,cm^2 \]

Objem hranolu: \[ V = a^2 v = 64 \cdot 15 = 960\,cm^3 \]

Délka úhlopříčky hranolu (použijeme trojrozměrný Pythagorův vztah): \[ d = \sqrt{a^2 + a^2 + v^2} = \sqrt{8^2 + 8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 64 + 225} = \sqrt{353} \approx 18{,}79\,cm \]

Řešení:

Počet stran osmiúhelníku: \(n = 8\)

Obvod podstavy: \[ o = 64\,cm \Rightarrow a = \frac{o}{n} = \frac{64}{8} = 8\,cm \]

Apotéma podstavy: \[ r = 5\,cm \]

Obsah podstavy: \[ S_p = \frac{o \cdot r}{2} = \frac{64 \cdot 5}{2} = 160\,cm^2 \]

Výška hranolu: \[ v = 12\,cm \]

Objem hranolu: \[ V = S_p \cdot v = 160 \cdot 12 = 1920\,cm^3 \]

Boční povrch hranolu: \[ S_b = o \cdot v = 64 \cdot 12 = 768\,cm^2 \]

Celkový povrch hranolu: \[ S = 2 S_p + S_b = 2 \cdot 160 + 768 = 1088\,cm^2 \]

Řešení:

Spodní poloměr: \[ r_1 = 8\,cm \]

Horní poloměr: \[ r_2 = 3\,cm \]

Výška kužele: \[ v = 10\,cm \]

Délka šikmé strany komolého kužele: \[ s = \sqrt{v^2 + (r_1 – r_2)^2} = \sqrt{10^2 + (8 – 3)^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5} \approx 11{,}18\,cm \]

Povrch komolého kužele: \[ S = \pi (r_1^2 + r_2^2) + \pi (r_1 + r_2) s = \pi (64 + 9) + \pi (8 + 3) \cdot 11{,}18 \] \[ = 73\pi + 11 \pi \cdot 11{,}18 = 73\pi + 122{,}98 \pi = 195{,}98 \pi \approx 615{,}78\,cm^2 \]

Objem komolého kužele: \[ V = \frac{\pi v}{3} (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) = \frac{\pi \cdot 10}{3} (64 + 9 + 24) = \frac{10 \pi}{3} \cdot 97 = \frac{970 \pi}{3} \approx 1015{,}36\,cm^3 \]