Pravdivostní tabulka

Řešení příkladu č. 1:

Máme formuli \(a \wedge \neg b\). Zde \(\wedge\) znamená logickou konjunkci (AND) a \(\neg\) negaci.

Tabulka pravdivostních hodnot:

Výsledkem je, že formule je pravdivá pouze, když \(a=1\) a \(b=0\).

Řešení příkladu č. 2:

Formule je \(\neg a \vee b\), kde \(\vee\) znamená logický disjunkci (OR) a \(\neg\) negaci.

Tabulka pravdivostních hodnot:

Z tabulky vyplývá, že formule je pravdivá ve všech případech kromě \(a=1, b=0\).

Řešení příkladu č. 3:

Formule je \((a \Rightarrow b) \wedge (b \Rightarrow a)\), kde \(\Rightarrow\) znamená implikaci a \(\wedge\) konjunkci.

Implikace platí, že \(p \Rightarrow q\) je nepravdivé pouze, když \(p=1\) a \(q=0\).

Tabulka pravdivostních hodnot:

Formule je tedy pravdivá, pokud mají \(a\) a \(b\) stejnou hodnotu.

Řešení příkladu č. 4:

Formule je \(\neg (a \wedge b) \vee (a \wedge \neg b)\). Zde negujeme konjunkci a zároveň máme disjunkci s jinou konjunkcí.

Tabulka pravdivostních hodnot:

Formule je pravdivá ve všech případech kromě situace, kdy \(a=1\) a \(b=1\).

Řešení příkladu č. 5:

Formule je \((a \vee b) \wedge \neg (a \wedge b)\), což odpovídá operaci XOR, tedy logické exkluzivní disjunkci.

Tabulka pravdivostních hodnot:

Formule je pravdivá, pokud právě jedno z \(a, b\) je pravdivé.

Řešení příkladu č. 6:

Formule je \(\neg a \wedge \neg b\), tedy konjunkce negací obou proměnných.

Tabulka pravdivostních hodnot:

Formule je pravdivá pouze pokud jsou obě proměnné nepravdivé.

Řešení příkladu č. 7:

Formule je \(\neg (a \vee \neg b)\), negace disjunkce mezi \(a\) a negací \(b\).

Tabulka pravdivostních hodnot:

Formule je pravdivá pouze v případě \(a=0\) a \(b=1\).

Řešení příkladu č. 8:

Formule \( (a \vee b) \wedge \neg(a \wedge b) \) znamená, že \(a\) nebo \(b\) je pravda, ale zároveň není pravda, že jsou oba pravdivé zároveň.

Symboly znamenají:

• \(\vee\) je logický OR (disjunkce)
• \(\wedge\) je logický AND (konjunkce)
• \(\neg\) je negace

Vytvoříme pravdivostní tabulku:

Z tabulky vidíme, že formule je pravdivá právě tehdy, když právě jedno z \(a\) a \(b\) je pravdivé, což odpovídá logickému exkluzivnímu OR (XOR).

Řešení příkladu č. 9:

Analyzujeme formuli \( \neg a \vee (b \wedge \neg b) \). Všimněme si, že výraz \(b \wedge \neg b\) je vždy nepravdivý (logicky nemožný), protože \(b\) nemůže být současně pravdivé i nepravdivé.

Symboly:

• \(\neg\) negace
• \(\wedge\) konjunkce (AND)
• \(\vee\) disjunkce (OR)

Pravdivostní tabulka:

Z toho vyplývá, že formule je pravdivá vždy, když \(a=0\), bez ohledu na hodnotu \(b\). Pokud \(a=1\), formule je nepravdivá.

Řešení příkladu č. 10:

Formule obsahuje implikace \(a \Rightarrow b\) a \(\neg b \Rightarrow \neg a\). Implikace \(p \Rightarrow q\) je nepravdivá pouze v případě, že \(p=1\) a \(q=0\), jinak je pravdivá.

Nejprve si připomeňme definice:

• \(a \Rightarrow b\) je nepravdivé pouze pokud \(a=1\) a \(b=0\)
• \(\neg b \Rightarrow \neg a\) je nepravdivé pouze pokud \(\neg b = 1\) a \(\neg a = 0\), což znamená \(b=0\) a \(a=1\)

V tomto případě jsou podmínky pro nepravdivost obou implikací totožné (obě jsou nepravdivé právě pokud \(a=1\) a \(b=0\)).

Vytvoříme tabulku:

Vidíme, že formule je nepravdivá pouze pokud \(a=1\) a \(b=0\), což potvrzuje logickou ekvivalenci implikací a kontrapozice.

Řešení příkladu č. 11:

Formule je \( \neg (a \vee \neg b) \), kde \(\vee\) je logická disjunkce (OR) a \(\neg\) je negace. Nejprve spočítáme hodnotu výrazu \(a \vee \neg b\) a poté jeho negaci.

Tabulka pravdivostních hodnot:

Z tabulky plyne, že formule je pravdivá pouze, když \(a=0\) a \(b=1\).

Řešení příkladu č. 12:

Formule \( (a \wedge b) \vee (\neg a \wedge \neg b) \) znamená, že oba jsou současně pravdiví, nebo oba současně nepravdiví. Tento výraz odpovídá logické rovnosti (ekvivalenci) mezi \(a\) a \(b\).

Tabulka pravdivostních hodnot:

Formule je tedy pravdivá, když \(a\) a \(b\) mají stejnou hodnotu (oba 0 nebo oba 1).

Řešení příkladu č. 13:

Implikace mají následující pravdivostní podmínky:

• \(a \Rightarrow \neg b\) je nepravdivé pouze pokud \(a=1\) a \(\neg b=0\), tj. \(a=1\), \(b=1\)
• \(b \Rightarrow a\) je nepravdivé pouze pokud \(b=1\) a \(a=0\)

Vyhodnotíme obě části a jejich konjunkci.

Formule je pravdivá pouze pro kombinace, kde buď \(a=0, b=0\) nebo \(a=1, b=0\).

Řešení příkladu č. 14:

První část \(a \vee \neg a\) je tautologie (vždy pravdivá), protože \(a\) je buď pravda, nebo nepravda.

Druhá část \(b \Rightarrow a\) je implikace, která je nepravdivá pouze pokud \(b=1\) a \(a=0\).

Vyhodnotíme celou formuli jako konjunkci těchto dvou částí:

Formule je tedy nepravdivá pouze pokud \(a=0\) a \(b=1\), jinak pravdivá.

Řešení příkladu č. 15:

Analyzujeme dvě části formule:

• \(\neg (a \wedge b)\) je negace konjunkce
• \(a \wedge \neg b\) je konjunkce \(a\) a negace \(b\)

Formule je disjunkcí těchto dvou částí.

Tabulka pravdivostních hodnot:

Formule je nepravdivá pouze pro \(a=1, b=1\), jinak pravdivá.

Řešení příkladu č. 16:

Formule \( (a \Rightarrow b) \wedge (b \Rightarrow a) \) vyjadřuje ekvivalenci \(a \leftrightarrow b\). Implikační část je nepravdivá pouze, když je předpoklad pravdivý a důsledek nepravdivý.

Formule je pravdivá právě tehdy, když \(a\) a \(b\) mají stejnou hodnotu.

Řešení příkladu č. 17:

Negace implikace \( \neg (a \Rightarrow b) \) je pravdivá právě když \(a=1\) a \(b=0\). Výraz \(b \wedge \neg a\) je pravdivý, když \(b=1\) a \(a=0\).

Formule je pravdivá, pokud \(a=0, b=1\) nebo \(a=1, b=0\).

Řešení příkladu č. 18:

Formule \( (a \vee b) \wedge \neg (a \wedge b) \) vyjadřuje exkluzivní OR (XOR), což znamená, že právě jedno z \(a\) nebo \(b\) je pravdivé.

Formule je pravdivá právě tehdy, když \(a\) a \(b\) mají rozdílné hodnoty.

Řešení příkladu č. 19:

Formule je disjunkce negace \(a\) a konjunkce \(a\) a \(b\). Zkoumáme, kdy je tato disjunkce pravdivá.

Formule je nepravdivá pouze pokud \(a=1\) a \(b=0\).

Řešení příkladu č. 20:

Výraz \(b \vee \neg b\) je tautologie (vždy pravdivý). Tudíž \(a \wedge (b \vee \neg b) = a \wedge 1 = a\).

Formule se tedy zjednodušuje na \( a \Rightarrow a \), což je tautologie.

Formule je pravdivá pro všechny kombinace hodnot \(a, b\).

Řešení příkladu č. 21:

Formule \( (a \wedge \neg b) \vee (\neg a \wedge b) \) vyjadřuje exkluzivní OR (XOR) mezi \(a\) a \(b\), což znamená, že formule je pravdivá právě tehdy, když \(a\) a \(b\) mají opačné hodnoty.

Řešení příkladu č. 22:

Podle De Morganova zákona platí, že negace disjunkce je ekvivalentní konjunkci negací.

Formule je tautologií.

Řešení příkladu č. 23:

Pro implikaci \(p \Rightarrow q\) platí, že je nepravdivá jen když \(p=1\) a \(q=0\).

Formule je pravdivá pro všechny kombinace hodnot \(a, b\) kromě situace, kdy jsou obě implikace nepravdivé – což nenastává.

Řešení příkladu č. 24:

Formule vyjadřuje implikaci, kde předpoklad je negace konjunkce \(a \wedge \neg b\) a důsledek je disjunkce \(\neg a \vee b\).

Formule je tautologií, vždy pravdivá.

Řešení příkladu č. 25:

Implikace \(p \Rightarrow q\) je nepravdivá pouze tehdy, když \(p = 1\) a \(q = 0\). Zde je \(p = a \wedge b\), \(q = a \vee b\).

Formule je tautologií, vždy pravdivá.

Řešení příkladu č. 26:

Analyzujeme výraz \( (a \vee \neg b) \wedge (b \vee \neg a) \). Disjunkce \(a \vee \neg b\) je pravdivá, pokud alespoň jedno z \(a\) nebo \(\neg b\) je pravda. Podobně \(b \vee \neg a\) je pravdivá, pokud alespoň jedno z \(b\) nebo \(\neg a\) je pravda. Výsledná formule je pravdivá, pokud jsou pravdivé obě části.

Řešení příkladu č. 27:

Negace implikace \(a \Rightarrow b\) je pravdivá právě tehdy, když \(a\) je pravda a \(b\) nepravda, tedy \(a \wedge \neg b\). Formule je tedy tautologická ekvivalence.

Řešení příkladu č. 28:

Podle De Morganova zákona platí, že \( \neg (\neg a \vee \neg b) \) je ekvivalentní \( a \wedge b \). Proto je formule tautologií.

Řešení příkladu č. 29:

Formule reprezentuje exkluzivní OR (XOR) mezi \(a\) a \(b\): disjunkce bez konjunkce.

Řešení příkladu č. 30:

Podle De Morganova zákona platí, že negace disjunkce je konjunkce negací, tedy formule je tautologií.

Řešení příkladu č. 31:

Formule představuje ekvivalenci mezi \(a\) a \(b\), protože \(a \Rightarrow b\) a \(b \Rightarrow a\) dohromady znamenají \(a \Leftrightarrow b\).

Řešení příkladu č. 32:

Formule je disjunkce negace konjunkce \(a \wedge b\) a výrazu \(a \wedge \neg b\).

Řešení příkladu č. 33:

Implikace je pravdivá kromě případu, kdy je antecedent pravdivý a consequent nepravdivý. Zde je antecedent \(a \vee b\), consequent \(a \wedge b\).

Řešení příkladu č. 34:

Nejdříve vyhodnotíme vnitřní výraz \(b \vee \neg a\), poté konjunkci s \(a\), nakonec negaci celé konjunkce.

Řešení příkladu č. 35:

Formule vyjadřuje exkluzivní OR (XOR) mezi \(a\) a \(b\), pravdivá je, pokud právě jeden z nich je pravdivý.

Řešení příkladu č. 36:

Formule je pravdivá, pokud jsou \(a\) a \(b\) shodné hodnoty (oba 1 nebo oba 0). Jde o ekvivalenci mezi \(a\) a \(b\).

Řešení příkladu č. 37:

Nejdříve určíme hodnoty \(a \vee b\) a \(a \vee \neg b\), poté negaci prvního a konjunkci obou částí.

Řešení příkladu č. 38:

Impikace \(a \Rightarrow b\) je nepravdivá pouze pokud \(a=1\) a \(b=0\). Výraz \(b \wedge \neg a\) je pravdivý, když \(b=1\) a \(a=0\).

Řešení příkladu č. 39:

Implikace \( \neg a \Rightarrow (a \vee b) \) je nepravdivá pouze pokud \( \neg a = 1 \) a \( a \vee b = 0 \).

Řešení příkladu č. 40:

Analyzujeme obě části: \(b \Rightarrow a\) je nepravdivé pouze, když \(b=1\) a \(a=0\). \(a \Rightarrow b\) je nepravdivé pouze když \(a=1\) a \(b=0\).

Řešení příkladu č. 41:

Výraz je pravdivý, pokud je \(a = 1\), nebo pokud je \(a = 0\) a zároveň \(b = 1\).

Řešení příkladu č. 42:

Formule je nepravdivá pouze tehdy, pokud jsou obě implikace nepravdivé. To však není nikdy, vždy je alespoň jedna pravdivá.

Řešení příkladu č. 43:

Formule bude nepravdivá pouze pokud obě části jsou nepravdivé současně.

Řešení příkladu č. 44:

Analyzujeme implikaci a disjunkci, pak jejich konjunkci.

Řešení příkladu č. 45:

Nejprve vyhodnotíme \(a \vee b\), pak \(\neg a\), jejich konjunkci a nakonec negaci celého výrazu.

Řešení příkladu č. 46:

Řešení příkladu č. 47:

Řešení příkladu č. 48:

Řešení příkladu č. 49:

Řešení příkladu č. 50:

Řešení příkladu č. 51:

Řešení příkladu č. 52:

Řešení příkladu č. 53:

Řešení příkladu č. 54:

Řešení příkladu č. 55:

Řešení příkladu č. 56:

Řešení příkladu č. 57:

Řešení příkladu č. 58:

Řešení příkladu č. 59:

Řešení příkladu č. 60:

Řešení příkladu č. 61:

Řešení příkladu č. 62:

Řešení příkladu č. 63:

Řešení příkladu č. 64:

Řešení příkladu č. 65:

Řešení příkladu č. 66:

Řešení příkladu č. 67:

Řešení příkladu č. 68:

Řešení příkladu č. 69:

Řešení příkladu č. 70:

Řešení příkladu č. 71:

Řešení příkladu č. 72:

Řešení příkladu č. 73:

Řešení příkladu č. 74:

Řešení příkladu č. 75:

Řešení příkladu č. 76:

Řešení příkladu č. 77:

Řešení příkladu č. 78:

Řešení příkladu č. 79:

Řešení příkladu č. 80:

Řešení příkladu č. 81:

Řešení příkladu č. 82:

Řešení příkladu č. 83:

Řešení příkladu č. 84:

Řešení příkladu č. 85:

Řešení příkladu č. 86:

Řešení příkladu č. 87:

Řešení příkladu č. 88:

Řešení příkladu č. 89:

Řešení příkladu č. 90:

Řešení příkladu č. 91:

Řešení příkladu č. 92:

Řešení příkladu č. 93:

Řešení příkladu č. 94:

Řešení příkladu č. 95:

Řešení příkladu č. 96:

Řešení příkladu č. 97:

Řešení příkladu č. 98:

Řešení příkladu č. 99:

Řešení příkladu č. 100: