1. V množině \(100\) studentů se zjistilo, že \(60\) studentů hraje na kytaru, \(45\) studentů hraje na piano a \(30\) studentů hraje na obě tyto nástroje. Kolik studentů nehraje ani na jeden z těchto nástrojů?
Řešení:
Označíme množinu studentů hrajících na kytaru jako \(K\), množinu studentů hrajících na piano jako \(P\).
Víme, že \(|K| = 60\), \(|P| = 45\), a \(|K \cap P| = 30\), celkový počet studentů je \(N = 100\).
Počet studentů, kteří nehraji ani na jeden nástroj, je tedy:
\[
N – |K \cup P| = 100 – 75 = 25
\]
Odpověď: \(25\) studentů nehraje ani na kytaru, ani na piano.
2. V průzkumu mezi \(150\) lidmi se zjistilo, že \(80\) lidí má rádo čokoládu, \(70\) má rádo vanilku a \(50\) má rádo oba tyto příchutě. Kolik lidí má rádo ani čokoládu, ani vanilku?
Řešení:
Označíme množinu lidí, kteří mají rádi čokoládu jako \(C\), a vanilku jako \(V\).
Máme \(|C| = 80\), \(|V| = 70\), a \(|C \cap V| = 50\), celkový počet lidí je \(N = 150\).
Počet lidí, kteří nemají rádi ani čokoládu, ani vanilku, je:
\[
N – |C \cup V| = 150 – 100 = 50
\]
Odpověď: \(50\) lidí nemá rádo ani čokoládu, ani vanilku.
3. V třídě \(40\) studentů se zjistilo, že \(25\) studentů má rádo matematiku, \(18\) studentů má rádo fyziku a \(10\) studentů má rádo oba předměty. Kolik studentů nemá rádo ani matematiku, ani fyziku?
Řešení:
Označíme množinu studentů, kteří mají rádi matematiku jako \(M\), a fyziku jako \(F\).
Víme, že \(|M| = 25\), \(|F| = 18\), a \(|M \cap F| = 10\), celkový počet studentů je \(N = 40\).
Počet studentů, kteří nemají rádi ani matematiku, ani fyziku, je:
\[
N – |M \cup F| = 40 – 33 = 7
\]
Odpověď: \(7\) studentů nemá rádo ani matematiku, ani fyziku.
4. V knihovně je \(200\) knih. \(120\) knih je o historii, \(90\) knih je o umění, \(60\) knih jsou o obou tématech. Kolik knih není ani o historii, ani o umění?
Řešení:
Označíme množinu knih o historii jako \(H\), množinu knih o umění jako \(U\).
Máme \(|H| = 120\), \(|U| = 90\), \(|H \cap U| = 60\), celkem knih \(N = 200\).
Knih, které nejsou ani o historii, ani o umění, je:
\[
N – |H \cup U| = 200 – 150 = 50
\]
Odpověď: \(50\) knih není ani o historii, ani o umění.
5. V anketě mezi \(120\) lidmi má rádo jablka \(70\) lidí, má rádo hrušky \(55\) lidí a \(30\) lidí má rádo oba druhy ovoce. Kolik lidí nemá rádo ani jablka, ani hrušky?
Řešení:
Označíme množinu lidí, kteří mají rádi jablka jako \(J\), a hrušky jako \(H\).
Máme \(|J| = 70\), \(|H| = 55\), \(|J \cap H| = 30\), celkový počet lidí \(N = 120\).
Lidí, kteří nemají rádi ani jablka, ani hrušky, je:
\[
N – |J \cup H| = 120 – 95 = 25
\]
Odpověď: \(25\) lidí nemá rádo ani jablka, ani hrušky.
6. V závodě pracuje \(250\) zaměstnanců. \(140\) z nich používá počítač A, \(120\) používá počítač B, \(80\) používá oba počítače. Kolik zaměstnanců nepoužívá žádný z těchto počítačů?
Řešení:
Označíme množinu zaměstnanců používajících počítač A jako \(A\), počítač B jako \(B\).
Počet zaměstnanců, kteří nepoužívají žádný z počítačů, je:
\[
N – |A \cup B| = 250 – 180 = 70
\]
Odpověď: \(70\) zaměstnanců nepoužívá žádný z těchto počítačů.
7. Ve sportovním klubu je \(90\) členů. \(60\) z nich hraje tenis, \(45\) hraje badminton a \(25\) hraje oba sporty. Kolik členů nehraje ani tenis, ani badminton?
Řešení:
Označíme množinu tenistů jako \(T\), badmintonistů jako \(B\).
Máme \(|T| = 60\), \(|B| = 45\), \(|T \cap B| = 25\), celkem členů \(N = 90\).
9. Ve škole je \(300\) žáků. \(180\) žáků chodí na plavecký kroužek, \(140\) na gymnastiku a \(90\) na oba kroužky. Kolik žáků nechodí na žádný z těchto kroužků?
Řešení:
Označíme množinu žáků na plaveckém kroužku jako \(P\), a gymnastiku jako \(G\).
Odpověď: \(70\) žáků nechodí na žádný z těchto kroužků.
10. V anketě mezi \(500\) lidmi mají rádi filmy \(350\) lidí, hudbu \(280\) lidí a \(210\) lidí má rádo oba tyto druhy zábavy. Kolik lidí nemá rádo ani filmy, ani hudbu?
Řešení:
Označíme množinu lidí, kteří mají rádi filmy jako \(F\), a hudbu jako \(H\).
Máme \(|F| = 350\), \(|H| = 280\), \(|F \cap H| = 210\), celkový počet lidí \(N = 500\).
Odpověď: \(80\) lidí nemá rádo ani filmy, ani hudbu.
11. V populaci \(100\) studentů je \(60\) studentů, kteří hrají fotbal, \(45\) studentů, kteří hrají basketbal, a \(30\) studentů, kteří hrají volejbal. Z toho \(25\) studentů hraje zároveň fotbal a basketbal, \(20\) hraje fotbal a volejbal, \(15\) hraje basketbal a volejbal a \(10\) hraje všechny tři sporty. Kolik studentů nehraje žádný ze zmíněných sportů?
Tedy \(15\) studentů nehraje žádný ze zmíněných sportů.
12. Ve třídě je \(40\) studentů. \(18\) umí anglicky, \(22\) umí německy a \(10\) studentů umí oba jazyky. Kolik studentů neumí ani anglicky, ani německy?
Tedy \(10\) studentů neumí ani anglicky, ani německy.
13. V knižnici je \(120\) knih. \(70\) knih je naučných, \(50\) knih je beletrie, \(20\) knih je zároveň naučných i beletrie. Kolik knih není ani naučných, ani beletrie?
Knih, které nejsou ani naučné ani beletrie, je tedy:
\[
120 – 100 = 20
\]
Tedy \(20\) knih není ani naučných, ani beletrie.
14. V souboru \(200\) lidí, \(120\) z nich má modré oči, \(90\) z nich má hnědé oči a \(50\) má zároveň modré i hnědé oči (například jednu a druhou barvu očí). Kolik lidí nemá ani modré, ani hnědé oči?
Řešení příkladu:
Označíme množiny: \(M\) – lidé s modrýma očima, \(H\) – lidé s hnědýma očima.
Celkem lidí: \(200\)
Podle principu inkluze a exkluze:
\[
|M \cup H| = |M| + |H| – |M \cap H|
\]
Dosadíme:
\[
|M \cup H| = 120 + 90 – 50 = 160
\]
Počet lidí, kteří nemají ani modré, ani hnědé oči:
\[
200 – 160 = 40
\]
Tedy \(40\) lidí nemá ani modré, ani hnědé oči.
15. V sadě je \(150\) květin. \(80\) z nich jsou růže, \(70\) jsou tulipány, a \(40\) květin je zároveň růží i tulipánem (hybridy). Kolik květin nejsou ani růže, ani tulipány?
Řešení příkladu:
Označíme množiny: \(R\) – růže, \(T\) – tulipány.
Celkový počet květin: \(150\)
Podle principu inkluze a exkluze platí:
\[
|R \cup T| = |R| + |T| – |R \cap T|
\]
Dosadíme:
\[
|R \cup T| = 80 + 70 – 40 = 110
\]
Počet květin, které nejsou ani růže, ani tulipány:
\[
150 – 110 = 40
\]
Tedy \(40\) květin nejsou ani růže, ani tulipány.
16. V místnosti je \(50\) lidí. \(30\) lidí má modré tričko, \(25\) má červené tričko, a \(10\) lidí má tričko modré i červené. Kolik lidí má tričko ani modré, ani červené?
Počet lidí, kteří nemají ani modré, ani červené tričko:
\[
50 – 45 = 5
\]
Tedy \(5\) lidí nemá ani modré, ani červené tričko.
17. V \(300\) lidech je \(200\), kteří mají mobilní telefon značky \(A\), \(150\), kteří mají telefon značky \(B\), a \(100\) lidí má oba typy telefonů. Kolik lidí nemá ani telefon značky \(A\), ani značky \(B\)?
Řešení příkladu:
Označíme množiny: \(A\) – majitelé telefonu značky \(A\), \(B\) – majitelé značky \(B\).
Celkový počet lidí: \(300\)
Podle principu inkluze a exkluze:
\[
|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B|
\]
Dosadíme:
\[
|A \cup B| = 200 + 150 – 100 = 250
\]
Počet lidí bez telefonů značky \(A\) ani \(B\):
\[
300 – 250 = 50
\]
Tedy \(50\) lidí nemá ani telefon značky \(A\), ani \(B\).
18. V škole je \(120\) studentů. \(80\) studentů chodí na matematiku, \(60\) na fyziku a \(50\) studentů chodí na oba předměty. Kolik studentů nechodí ani na matematiku, ani na fyziku?
Řešení příkladu:
Označíme množiny: \(M\) – studenti na matematiku, \(F\) – studenti na fyziku.
Celkový počet studentů: \(120\)
Podle principu inkluze a exkluze:
\[
|M \cup F| = |M| + |F| – |M \cap F|
\]
Dosadíme:
\[
|M \cup F| = 80 + 60 – 50 = 90
\]
Počet studentů, kteří nechodí ani na matematiku, ani na fyziku:
\[
120 – 90 = 30
\]
Tedy \(30\) studentů nechodí ani na matematiku, ani na fyziku.
15. V sadě je \(150\) květin. \(80\) z nich jsou růže, \(70\) jsou tulipány, a \(40\) květin je zároveň růží i tulipánem (hybridy). Kolik květin nejsou ani růže, ani tulipány?
Řešení příkladu:
Označíme množiny: \(R\) – růže, \(T\) – tulipány.
Celkový počet květin: \(150\)
Podle principu inkluze a exkluze platí:
\[
|R \cup T| = |R| + |T| – |R \cap T|
\]
Dosadíme:
\[
|R \cup T| = 80 + 70 – 40 = 110
\]
Počet květin, které nejsou ani růže, ani tulipány:
\[
150 – 110 = 40
\]
Tedy \(40\) květin nejsou ani růže, ani tulipány.
16. V místnosti je \(50\) lidí. \(30\) lidí má modré tričko, \(25\) má červené tričko, a \(10\) lidí má tričko modré i červené. Kolik lidí má tričko ani modré, ani červené?
Počet lidí, kteří nemají ani modré, ani červené tričko:
\[
50 – 45 = 5
\]
Tedy \(5\) lidí nemá ani modré, ani červené tričko.
17. V \(300\) lidech je \(200\), kteří mají mobilní telefon značky \(A\), \(150\), kteří mají telefon značky \(B\), a \(100\) lidí má oba typy telefonů. Kolik lidí nemá ani telefon značky \(A\), ani značky \(B\)?
Řešení příkladu:
Označíme množiny: \(A\) – majitelé telefonu značky \(A\), \(B\) – majitelé značky \(B\).
Celkový počet lidí: \(300\)
Podle principu inkluze a exkluze:
\[
|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B|
\]
Dosadíme:
\[
|A \cup B| = 200 + 150 – 100 = 250
\]
Počet lidí bez telefonů značky \(A\) ani \(B\):
\[
300 – 250 = 50
\]
Tedy \(50\) lidí nemá ani telefon značky \(A\), ani \(B\).
18. V škole je \(120\) studentů. \(80\) studentů chodí na matematiku, \(60\) na fyziku a \(50\) studentů chodí na oba předměty. Kolik studentů nechodí ani na matematiku, ani na fyziku?
Řešení příkladu:
Označíme množiny: \(M\) – studenti na matematiku, \(F\) – studenti na fyziku.
Celkový počet studentů: \(120\)
Podle principu inkluze a exkluze:
\[
|M \cup F| = |M| + |F| – |M \cap F|
\]
Dosadíme:
\[
|M \cup F| = 80 + 60 – 50 = 90
\]
Počet studentů, kteří nechodí ani na matematiku, ani na fyziku:
\[
120 – 90 = 30
\]
Tedy \(30\) studentů nechodí ani na matematiku, ani na fyziku.
19. V městě je \(500\) obyvatel. \(350\) z nich vlastní auto, \(200\) vlastní motorku a \(150\) vlastní obojí. Kolik obyvatel nevlastní ani auto, ani motorku?
Počet obyvatel, kteří nevlastní ani auto, ani motorku:
\[
500 – 400 = 100
\]
Tedy \(100\) obyvatel nevlastní ani auto, ani motorku.
20. Ve třídě je \(45\) studentů. \(28\) studentů má psa, \(20\) má kočku a \(10\) má zároveň psa i kočku. Kolik studentů nemá ani psa, ani kočku?
Řešení příkladu:
Označíme množiny: \(P\) – studenti s psem, \(K\) – studenti s kočkou.
Celkový počet studentů: \(45\)
Podle principu inkluze a exkluze:
\[
|P \cup K| = |P| + |K| – |P \cap K|
\]
Dosadíme:
\[
|P \cup K| = 28 + 20 – 10 = 38
\]
Počet studentů bez psa a kočky:
\[
45 – 38 = 7
\]
Tedy \(7\) studentů nemá ani psa, ani kočku.
21. V databázi je \(300\) filmů. \(180\) je v angličtině, \(150\) v češtině a \(100\) filmů je dostupných v obou jazycích. Kolik filmů není dostupných ani v angličtině, ani v češtině?
Řešení příkladu:
Označíme: \(A\) – filmy v angličtině, \(C\) – filmy v češtině.
Filmy, které nejsou ani v angličtině, ani v češtině:
\[
300 – 230 = 70
\]
Tedy \(70\) filmů není dostupných ani v angličtině, ani v češtině.
22. Z \(400\) zaměstnanců firmy se \(250\) účastní školení o bezpečnosti, \(180\) o kvalitě a \(120\) o obojím. Kolik zaměstnanců neabsolvovalo žádné z těchto školení?
Řešení příkladu:
Označíme: \(B\) – bezpečnost, \(K\) – kvalita.
Celkem: \(400\)
\[
|B \cup K| = 250 + 180 – 120 = 310
\]
\[
400 – 310 = 90
\]
Tedy \(90\) zaměstnanců neabsolvovalo žádné z těchto školení.
23. V obchodě bylo prodáno \(600\) kusů zboží. \(320\) bylo z oddělení elektroniky, \(270\) z oddělení domácích potřeb a \(190\) z obou oddělení. Kolik položek nebylo prodáno z žádného z těchto dvou oddělení?
Řešení příkladu:
Označíme: \(E\) – elektronika, \(D\) – domácí potřeby.
\[
|E \cup D| = 320 + 270 – 190 = 400
\]
\[
600 – 400 = 200
\]
Tedy \(200\) položek nebylo prodáno z žádného z těchto dvou oddělení.
24. Z \(1000\) dotázaných lidí čte \(600\) noviny, \(500\) sleduje televizi a \(300\) dělá obojí. Kolik lidí nedělá ani jedno?
Řešení příkladu:
\[
|N \cup T| = 600 + 500 – 300 = 800
\]
\[
1000 – 800 = 200
\]
Tedy \(200\) lidí nedělá ani jedno.
25. Ve městě je \(900\) domácností. \(500\) má připojení k internetu, \(400\) k televizi, \(250\) mají obojí. Kolik domácností nemá ani jedno připojení?
Řešení příkladu:
\[
|I \cup T| = 500 + 400 – 250 = 650
\]
\[
900 – 650 = 250
\]
Tedy \(250\) domácností nemá ani internet, ani televizi.
26. Ve firmě je \(750\) zaměstnanců. \(420\) má přístup do systému \(A\), \(380\) do systému \(B\), \(250\) do obou. Kolik nemá přístup do žádného systému?
Řešení příkladu:
\[
|A \cup B| = 420 + 380 – 250 = 550
\]
\[
750 – 550 = 200
\]
Tedy \(200\) zaměstnanců nemá přístup do žádného systému.
27. V databázi je \(800\) knih. \(450\) je beletrie, \(400\) odborná literatura a \(300\) obojí. Kolik knih není zařazeno ani jako beletrie, ani jako odborná literatura?
Řešení příkladu:
\[
|B \cup O| = 450 + 400 – 300 = 550
\]
\[
800 – 550 = 250
\]
Tedy \(250\) knih není zařazeno ani jako beletrie, ani jako odborná literatura.
28. Z \(100\) studentů se \(70\) účastní kurzu angličtiny, \(60\) kurzu němčiny a \(50\) obou kurzů. Kolik studentů se neúčastní žádného z těchto kurzů?
Řešení příkladu:
\[
|A \cup N| = 70 + 60 – 50 = 80
\]
\[
100 – 80 = 20
\]
Tedy \(20\) studentů se neúčastní žádného kurzu.
29. Ve výzkumu odpovědělo \(600\) lidí. \(350\) užívá aplikaci \(X\), \(300\) aplikaci \(Y\), \(200\) obě. Kolik lidí nepoužívá ani jednu?
Řešení příkladu:
\[
|X \cup Y| = 350 + 300 – 200 = 450
\]
\[
600 – 450 = 150
\]
Tedy \(150\) lidí nepoužívá ani jednu aplikaci.
30. V anketě mezi \(1000\) lidmi \(600\) uvedlo, že sportují, \(550\) uvedlo, že se zdravě stravují a \(400\) dělají obojí. Kolik lidí ani nesportuje, ani se zdravě nestravuje?
Řešení příkladu:
\[
|S \cup Z| = 600 + 550 – 400 = 750
\]
\[
1000 – 750 = 250
\]
Tedy \(250\) lidí ani nesportuje, ani se zdravě nestravuje.
31. V jazykové škole se vyučují tři jazyky: angličtina, němčina a francouzština. \(120\) studentů studuje angličtinu, \(100\) němčinu, \(90\) francouzštinu. \(40\) studentů studuje angličtinu i němčinu, \(30\) angličtinu i francouzštinu, \(20\) němčinu i francouzštinu. \(10\) studentů studuje všechny tři jazyky. Kolik studentů studuje alespoň jeden jazyk, pokud je v jazykové škole celkem \(200\) studentů? Kolik jich nestuduje žádný jazyk?
Celkový počet studentů je \(200\), takže počet studentů, kteří nestudují žádný jazyk:
\[
200 – 230 = -30
\]
To není možné, takže je někde chyba v zadání nebo ve výpočtu – ve skutečnosti to znamená, že některá čísla jsou zahrnuta vícekrát než odpovídá reálné situaci. Správně: pokud počet studentů je \(200\), pak maximální počet těch, kteří studují alespoň jeden jazyk, je \(200\). Ověříme výpočet.
Počet studentů, kteří studují alespoň jeden jazyk:
To znamená, že někteří studenti studují více jazyků, a jejich započítání v jednotlivých množinách způsobilo překročení počtu. Takové číslo studentů tedy reálně nemůže být. Musíme tedy přijmout, že počet studentů je alespoň \(230\).
32. V univerzitním kampusu je \(300\) studentů. \(180\) studentů má přístup do knihovny, \(150\) do laboratoře, \(120\) do tělocvičny. \(70\) studentů má přístup do knihovny i laboratoře, \(60\) do knihovny i tělocvičny, \(50\) do laboratoře i tělocvičny. \(30\) studentů má přístup do všech tří. Kolik studentů nemá přístup do žádného z těchto zařízení?
Tedy všichni studenti mají přístup alespoň do jednoho zařízení.
33. V databázi zákazníků je \(800\) osob. \(500\) nakoupilo zboží \(A\), \(400\) zboží \(B\), \(300\) zboží \(C\). \(200\) nakoupilo \(A\) i \(B\), \(150\) \(A\) i \(C\), \(100\) \(B\) i \(C\) a \(50\) všechna tři. Kolik zákazníků nenakoupilo žádné z těchto tří zboží?
34. Ve škole je \(250\) studentů. \(150\) z nich čte knihy, \(120\) sleduje dokumenty, \(100\) poslouchá podcasty. \(80\) studentů čte a sleduje dokumenty, \(60\) čte a poslouchá podcasty, \(50\) sleduje dokumenty a poslouchá podcasty. \(30\) studentů dělá všechno. Kolik studentů nedělá žádnou z těchto aktivit?
Odpověď: \(40\) studentů nedělá žádnou z těchto aktivit.
35. V IT firmě je \(500\) zaměstnanců. \(280\) ovládá Python, \(200\) JavaScript a \(150\) C++. \(100\) ovládá Python i JavaScript, \(70\) Python i C++, \(60\) JavaScript i C++, a \(30\) všechny tři. Kolik zaměstnanců ovládá alespoň jeden jazyk?
Odpověď: \(430\) zaměstnanců ovládá alespoň jeden jazyk.
36. Ve městě je \(1000\) lidí. \(600\) má Facebook, \(500\) má Instagram, \(400\) má Twitter. \(300\) má Facebook i Instagram, \(250\) má Facebook i Twitter, \(200\) má Instagram i Twitter a \(150\) mají všechny tři. Kolik lidí nemá žádnou z těchto sociálních sítí?
Odpověď: \(100\) lidí nemá žádnou ze tří sociálních sítí.
37. Na univerzitě je \(600\) studentů. \(320\) navštěvuje přednášky, \(280\) semináře, \(240\) laboratoře. \(180\) chodí na přednášky i semináře, \(160\) na přednášky i laboratoře, \(140\) na semináře i laboratoře a \(100\) na všechny tři. Kolik studentů nenavštěvuje žádnou formu výuky?
Odpověď: \(140\) studentů nenavštěvuje žádnou formu výuky.
38. V kulturním centru probíhá \(500\) registrací. \(300\) lidí se přihlásilo na koncert, \(250\) na divadlo, \(200\) na výstavu. \(180\) na koncert a divadlo, \(150\) na koncert a výstavu, \(130\) na divadlo a výstavu, \(100\) na všechny tři. Kolik lidí se přihlásilo alespoň na jednu akci?
Odpověď: \(390\) lidí se přihlásilo alespoň na jednu akci.
39. V redakci je \(400\) článků. \(250\) obsahuje grafy, \(220\) tabulky, \(180\) obrázky. \(140\) článků obsahuje grafy i tabulky, \(120\) grafy i obrázky, \(100\) tabulky i obrázky, a \(80\) všechny tři. Kolik článků neobsahuje žádný z těchto prvků?
Odpověď: \(30\) článků neobsahuje žádný z těchto prvků.
40. Ve sportovním klubu je \(700\) členů. \(400\) se věnuje plavání, \(350\) běhu a \(300\) cyklistice. \(220\) plavání a běhu, \(200\) plavání a cyklistice, \(180\) běhu a cyklistice, \(150\) všem třem sportům. Kolik členů se nevěnuje žádnému z těchto tří sportů?
Odpověď: \(100\) členů se nevěnuje žádnému ze tří sportů.
41. V databázi je \(1000\) článků. \(600\) obsahuje grafy (\(G\)), \(500\) tabulky (\(T\)), \(400\) obrázky (\(O\)), a \(300\) diagramy (\(D\)). \(350\) obsahuje grafy i tabulky, \(280\) grafy a obrázky, \(200\) grafy a diagramy, \(250\) tabulky a obrázky, \(180\) tabulky a diagramy, \(150\) obrázky a diagramy. \(120\) článků obsahuje grafy, tabulky a obrázky; \(100\) grafy, tabulky a diagramy; \(90\) grafy, obrázky a diagramy; \(80\) tabulky, obrázky a diagramy. \(50\) článků obsahuje všechny čtyři prvky. Kolik článků neobsahuje žádný z těchto prvků?
Použijeme princip inkluze a exkluze pro čtyři množiny:
\[
|G \cup T \cup O \cup D| = |G| + |T| + |O| + |D|
– (|G \cap T| + |G \cap O| + |G \cap D| + |T \cap O| + |T \cap D| + |O \cap D|)
+ (|G \cap T \cap O| + |G \cap T \cap D| + |G \cap O \cap D| + |T \cap O \cap D|)
– |G \cap T \cap O \cap D|
\]
Odpověď: \(270\) článků neobsahuje žádný z těchto prvků.
42. Ze \(1200\) studentů se \(700\) učí anglicky (\(A\)), \(600\) německy (\(N\)), \(500\) francouzsky (\(F\)), \(400\) španělsky (\(S\)). \(450\) anglicky a německy, \(350\) anglicky a francouzsky, \(300\) anglicky a španělsky, \(320\) německy a francouzsky, \(250\) německy a španělsky, \(230\) francouzsky a španělsky. \(200\) anglicky, německy a francouzsky; \(180\) anglicky, německy a španělsky; \(160\) anglicky, francouzsky a španělsky; \(140\) německy, francouzsky a španělsky. \(100\) studentů studuje všechny čtyři jazyky. Kolik studentů se neučí žádný z těchto jazyků?
Odpověď: \(320\) studentů se neučí žádný z těchto jazyků.
43. V knihovně je \(900\) knih. \(500\) je beletrie (\(B\)), \(450\) populárně-naučné (\(P\)), \(400\) odborné (\(O\)), \(300\) biografie (\(G\)). \(280\) knih je beletrie a populárně-naučné, \(250\) beletrie a odborné, \(200\) beletrie a biografie, \(220\) populárně-naučné a odborné, \(180\) populárně-naučné a biografie, \(170\) odborné a biografie. \(150\) knih patří mezi beletrii, populárně-naučnou a odbornou; \(130\) mezi beletrii, populárně-naučnou a biografie; \(110\) mezi beletrii, odborné a biografie; \(100\) mezi populárně-naučnou, odbornou a biografie. \(70\) knih spadá do všech čtyř kategorií. Kolik knih nepatří do žádné z těchto kategorií?
Odpověď: \(130\) knih nepatří do žádné z těchto kategorií.
44. V průzkumu mezi \( 1500 \) lidmi zjistili, že \( 800 \) sleduje zprávy (\( Z \)), \( 700 \) sport (\( S \)), \( 600 \) filmy (\( F \)), \( 500 \) seriály (\( R \)). \( 400 \) sleduje zprávy a sport, \( 350 \) zprávy a filmy, \( 300 \) zprávy a seriály, \( 320 \) sport a filmy, \( 270 \) sport a seriály, \( 250 \) filmy a seriály. \( 220 \) sleduje zprávy, sport a filmy; \( 200 \) zprávy, sport a seriály; \( 180 \) zprávy, filmy a seriály; \( 170 \) sport, filmy a seriály. \( 150 \) sleduje všechny čtyři. Kolik lidí nesleduje žádný z těchto typů pořadů?
Odpověď: \( 880 \) zákazníků nekupuje žádný z těchto čtyř druhů zboží.
46. Ve škole je \( 800 \) studentů. \( 450 \) chodí na matematiku (\( M \)), \( 400 \) na fyziku (\( F \)), \( 350 \) na chemii (\( C \)) a \( 300 \) na informatiku (\( I \)). \( 250 \) studentů chodí na matematiku a fyziku, \( 200 \) na matematiku a chemii, \( 150 \) na matematiku a informatiku, \( 180 \) na fyziku a chemii, \( 140 \) na fyziku a informatiku, \( 130 \) na chemii a informatiku. \( 100 \) studentů navštěvuje matematiku, fyziku i chemii, \( 90 \) matematiku, fyziku i informatiku, \( 80 \) matematiku, chemii i informatiku, \( 70 \) fyziku, chemii i informatiku. \( 50 \) studentů chodí na všechny čtyři předměty. Kolik studentů nechodí na žádný z těchto předmětů?
Řešení:
Chceme zjistit, kolik studentů chodí alespoň na jeden z předmětů \( M \), \( F \), \( C \), \( I \). Použijeme princip inkluze a exkluze pro čtyři množiny, který říká:
Nyní spočítáme celkový počet studentů, kteří chodí na alespoň jeden předmět:
\[
1500 – 1050 + 340 – 50 = 740
\]
Protože je ve škole \( 800 \) studentů, ti, co nechodí na žádný předmět, jsou:
\[
800 – 740 = 60
\]
Odpověď: \( 60 \) studentů nechodí na žádný z těchto předmětů.
47. V jedné firmě pracuje \( 1200 \) zaměstnanců. \( 700 \) používá software \( A \), \( 650 \) software \( B \), \( 600 \) software \( C \) a \( 550 \) software \( D \). \( 400 \) používá \( A \) i \( B \), \( 350 \) \( A \) i \( C \), \( 300 \) \( A \) i \( D \), \( 320 \) \( B \) i \( C \), \( 270 \) \( B \) i \( D \), \( 250 \) \( C \) i \( D \). \( 200 \) používá \( A \), \( B \) i \( C \); \( 180 \) \( A \), \( B \) i \( D \); \( 160 \) \( A \), \( C \) i \( D \); \( 150 \) \( B \), \( C \) i \( D \). \( 100 \) používá všechny čtyři softwary. Kolik zaměstnanců nepoužívá žádný z těchto softwarů?
Počet zaměstnanců, kteří používají alespoň jeden software:
\[
2500 – 1890 + 690 – 100 = 1200
\]
Celkem je \( 1200 \) zaměstnanců, takže počet, kteří nepoužívají žádný software, je:
\[
1200 – 1200 = 0
\]
Odpověď: Všichni zaměstnanci používají alespoň jeden software.
48. Na univerzitě studuje \( 1000 \) studentů. \( 600 \) chodí na kurz angličtiny (\( A \)), \( 550 \) na kurz matematiky (\( M \)), \( 500 \) na kurz informatiky (\( I \)) a \( 450 \) na kurz fyziky (\( F \)). \( 350 \) studentů navštěvuje \( A \) i \( M \), \( 300 \) \( A \) i \( I \), \( 250 \) \( A \) i \( F \), \( 280 \) \( M \) i \( I \), \( 230 \) \( M \) i \( F \), \( 200 \) \( I \) i \( F \). \( 180 \) studentů chodí na \( A \), \( M \) i \( I \), \( 150 \) na \( A \), \( M \) i \( F \), \( 140 \) na \( A \), \( I \) i \( F \), \( 130 \) na \( M \), \( I \) i \( F \). \( 100 \) studentů navštěvuje všechny čtyři kurzy. Kolik studentů nechodí na žádný z těchto kurzů?
Řešení:
Opět použijeme princip inkluze a exkluze pro čtyři množiny \( A \), \( M \), \( I \), \( F \):
Počet studentů, kteří chodí na alespoň jeden kurz:
\[
2100 – 1610 + 600 – 100 = 990
\]
Celkový počet studentů je \( 1000 \), tudíž ti, co nechodí na žádný kurz, jsou:
\[
1000 – 990 = 10
\]
Odpověď: \( 10 \) studentů nechodí na žádný z uvedených kurzů.
49. V knihovně je \( 1500 \) knih. \( 900 \) jsou naučné (\( N \)), \( 800 \) beletrie (\( B \)), \( 700 \) historické (\( H \)) a \( 650 \) vědecké (\( V \)). \( 500 \) knih je naučných a beletrie, \( 450 \) naučných a historických, \( 400 \) naučných a vědeckých, \( 420 \) beletrie a historických, \( 380 \) beletrie a vědeckých, \( 350 \) historických a vědeckých. \( 300 \) knih je naučných, beletrie a historických, \( 280 \) naučných, beletrie a vědeckých, \( 260 \) naučných, historických a vědeckých, \( 240 \) beletrie, historických a vědeckých. \( 200 \) knih je ve všech čtyřech kategoriích. Kolik knih nepatří do žádné z těchto kategorií?
Řešení:
Podle principu inkluze a exkluze pro 4 množiny \( N \), \( B \), \( H \), \( V \) platí:
Celkový počet knih, které patří alespoň do jedné kategorie:
\[
3050 – 2500 + 1080 – 200 = 1430
\]
Protože celkem je \( 1500 \) knih, počet knih, které nepatří do žádné z těchto kategorií, je:
\[
1500 – 1430 = 70
\]
Odpověď: \( 70 \) knih nepatří do žádné z těchto kategorií.
50. V městě žije \( 5000 \) lidí. \( 3200 \) má chytrý telefon (\( S \)), \( 2800 \) má tablet (\( T \)), \( 2600 \) má notebook (\( N \)) a \( 2400 \) má stolní počítač (\( P \)). \( 1800 \) lidí má chytrý telefon a tablet, \( 1600 \) chytrý telefon a notebook, \( 1400 \) chytrý telefon a stolní počítač, \( 1500 \) tablet a notebook, \( 1300 \) tablet a stolní počítač, \( 1200 \) notebook a stolní počítač. \( 1000 \) lidí má chytrý telefon, tablet a notebook, \( 900 \) chytrý telefon, tablet a stolní počítač, \( 800 \) chytrý telefon, notebook a stolní počítač, \( 700 \) tablet, notebook a stolní počítač. \( 600 \) lidí má všechny čtyři zařízení. Kolik lidí nemá žádné z těchto zařízení?
Řešení:
Princip inkluze a exkluze nám pomůže spočítat počet lidí, kteří mají alespoň jedno zařízení:
Celkový počet lidí je \( 5000 \), takže počet lidí bez žádného zařízení je:
\[
5000 – 3000 = 2000
\]
Odpověď: \( 2000 \) lidí nemá žádné z těchto zařízení.
51. V knihovně je \(1200\) knih. \(700\) jsou detektivky (\(D\)), \(650\) romány (\(R\)), \(600\) historické (\(H\)) a \(550\) sci-fi (\(S\)). \(400\) knih jsou detektivky a romány, \(350\) detektivky a historické, \(300\) detektivky a sci-fi, \(320\) romány a historické, \(280\) romány a sci-fi, \(260\) historické a sci-fi. \(200\) knih je detektivek, románů i historických, \(180\) detektivek, románů i sci-fi, \(160\) detektivek, historických i sci-fi, \(140\) románů, historických i sci-fi. \(100\) knih je všech čtyř kategorií. Kolik knih nepatří do žádné z těchto kategorií?
Řešení:
Podle principu inkluze a exkluze platí pro 4 množiny \(D\), \(R\), \(H\), \(S\):
Počet knih, které patří alespoň do jedné kategorie:
\[
2500 – 1910 + 680 – 100 = 1170
\]
Celkem je \(1200\) knih, tedy knih, které nepatří do žádné z kategorií, je:
\[
1200 – 1170 = 30
\]
Odpověď: \(30\) knih nepatří do žádné z uvedených kategorií.
52. Ve firmě pracuje \(900\) zaměstnanců. \(600\) používá software \(X\), \(550\) software \(Y\), \(500\) software \(Z\) a \(450\) software \(W\). \(350\) zaměstnanců používá \(X\) i \(Y\), \(300\) \(X\) i \(Z\), \(250\) \(X\) i \(W\), \(280\) \(Y\) i \(Z\), \(230\) \(Y\) i \(W\), \(200\) \(Z\) i \(W\). \(180\) zaměstnanců používá \(X\), \(Y\) i \(Z\), \(150\) \(X\), \(Y\) i \(W\), \(140\) \(X\), \(Z\) i \(W\), \(130\) \(Y\), \(Z\) i \(W\). \(100\) zaměstnanců používá všechny čtyři softwary. Kolik zaměstnanců nepoužívá žádný z těchto softwarů?
Řešení:
Použijeme princip inkluze a exkluze pro množiny \(X\), \(Y\), \(Z\), \(W\):
Počet zaměstnanců používajících alespoň jeden software:
\[
2100 – 1610 + 600 – 100 = 990
\]
Celkem je \(900\) zaměstnanců, tedy počet, kteří nepoužívají žádný software, je:
\[
900 – 990 = -90
\]
Všimneme si, že tento výsledek je záporný, což znamená, že údaje jsou nesouladné, protože počet uživatelů softwarů přesahuje celkový počet zaměstnanců.
53. Na univerzitě studuje \( 1100 \) studentů. \( 700 \) chodí na kurz biologie (\( B \)), \( 650 \) na kurz chemie (\( C \)), \( 600 \) na kurz fyziky (\( F \)) a \( 550 \) na kurz matematiky (\( M \)). \( 400 \) studentů chodí na \( B \) i \( C \), \( 350 \) na \( B \) i \( F \), \( 300 \) na \( B \) i \( M \), \( 320 \) na \( C \) i \( F \), \( 280 \) na \( C \) i \( M \), \( 260 \) na \( F \) i \( M \). \( 200 \) studentů chodí na \( B \), \( C \) i \( F \), \( 180 \) na \( B \), \( C \) i \( M \), \( 160 \) na \( B \), \( F \) i \( M \), \( 140 \) na \( C \), \( F \) i \( M \). \( 120 \) studentů chodí na všechny čtyři kurzy. Kolik studentů nechodí na žádný z těchto kurzů?
Řešení:
Podle principu inkluze a exkluze pro množiny \( B \), \( C \), \( F \), \( M \) platí:
Počet studentů, kteří chodí na alespoň jeden kurz:
\[
2500 – 1910 + 680 – 120 = 1150
\]
Celkový počet studentů je \( 1100 \), proto:
\[
1100 – 1150 = -50
\]
Výsledek je záporný, což naznačuje, že údaje jsou nekonzistentní.
54. V městě žije \( 4000 \) lidí. \( 2500 \) má řidičský průkaz (\( R \)), \( 2300 \) má pas (\( P \)), \( 2100 \) má občanský průkaz (\( O \)). \( 1900 \) lidí má \( R \) i \( P \), \( 1700 \) \( R \) i \( O \), \( 1600 \) \( P \) i \( O \). \( 1500 \) lidí má všechny tři doklady. Kolik lidí nemá žádný z těchto tří dokladů?
Řešení:
Podle principu inkluze a exkluze pro 3 množiny \( R \), \( P \), \( O \) platí:
Celkem je \( 4000 \) lidí, tedy těch, kteří nemají žádný doklad, je:
\[
4000 – 3200 = 800
\]
Odpověď: \( 800 \) lidí nemá žádný z uvedených dokladů.
55. Ve škole je \( 800 \) studentů. \( 450 \) chodí na kroužek matematiky (\( M \)), \( 400 \) na kroužek fyziky (\( F \)) a \( 350 \) na kroužek chemie (\( C \)). \( 300 \) studentů chodí na \( M \) i \( F \), \( 250 \) na \( M \) i \( C \), \( 200 \) na \( F \) i \( C \). \( 150 \) studentů chodí na všechny tři kroužky. Kolik studentů nechodí na žádný kroužek?
Řešení:
Použijeme princip inkluze a exkluze pro množiny \( M \), \( F \), \( C \):
Celkem je \( 800 \) studentů, tedy těch, kteří nechodí na žádný kroužek, je:
\[
800 – 600 = 200
\]
Odpověď: \( 200 \) studentů nechodí na žádný kroužek.
56. V závodě pracuje \( 500 \) zaměstnanců. \( 320 \) z nich používá ochranné rukavice (\( R \)), \( 280 \) používá helmu (\( H \)), \( 250 \) používá ochranné brýle (\( B \)). \( 200 \) zaměstnanců používá rukavice i helmu, \( 180 \) rukavice i brýle, \( 150 \) helmu i brýle. \( 120 \) zaměstnanců používá všechny tři ochranné pomůcky. Kolik zaměstnanců nepoužívá žádnou z těchto pomůcek?
Řešení:
Podle principu inkluze a exkluze pro tři množiny \( R \), \( H \), \( B \) platí:
Celkem je \( 500 \) zaměstnanců, tedy těch, kteří nepoužívají žádnou ochrannou pomůcku, je:
\[
500 – 440 = 60
\]
Odpověď: \( 60 \) zaměstnanců nepoužívá žádnou z uvedených pomůcek.
57. V malé škole je \( 200 \) studentů. \( 120 \) z nich hraje fotbal (\( F \)), \( 80 \) hraje basketbal (\( B \)) a \( 60 \) hraje volejbal (\( V \)). \( 50 \) studentů hraje fotbal i basketbal, \( 30 \) fotbal i volejbal, \( 20 \) basketbal i volejbal. \( 10 \) studentů hraje všechny tři sporty. Kolik studentů nehraje žádný ze zmíněných sportů?
Celkem je \( 200 \) studentů, tedy těch, kteří nehraji žádný ze sportů, je:
\[
200 – 170 = 30
\]
Odpověď: \( 30 \) studentů nehraje žádný ze zmíněných sportů.
58. V jednom městě má \( 1500 \) lidí auto (\( A \)), \( 1200 \) motorku (\( M \)) a \( 900 \) kolo (\( K \)). \( 800 \) lidí má auto i motorku, \( 600 \) auto i kolo a \( 500 \) motorku i kolo. \( 400 \) lidí má všechny tři dopravní prostředky. Kolik lidí nemá žádný z uvedených dopravních prostředků?
Celkem je však počet lidí v městě neznámý, pokud předpokládáme, že je jich právě \( 2500 \), pak:
Lidé, kteří nemají žádný z dopravních prostředků:
\[
2500 – 2100 = 400
\]
Odpověď: \( 400 \) lidí nemá žádný z uvedených dopravních prostředků.
59. Ve firmě pracuje \( 1000 \) zaměstnanců. \( 600 \) z nich má přístup k internetu (\( I \)), \( 550 \) používá firemní e-mail (\( E \)) a \( 500 \) používá firemní chat (\( C \)). \( 400 \) zaměstnanců používá internet i e-mail, \( 350 \) internet i chat a \( 300 \) e-mail i chat. \( 250 \) zaměstnanců používá všechny tři služby. Kolik zaměstnanců nepoužívá žádnou z těchto služeb?
Celkem je \( 1000 \) zaměstnanců, tedy těch, kteří nepoužívají žádnou službu, je:
\[
1000 – 850 = 150
\]
Odpověď: \( 150 \) zaměstnanců nepoužívá žádnou z uvedených služeb.
60. Ve škole je \( 400 \) studentů. \( 220 \) studentů se účastní školního divadla (\( D \)), \( 180 \) sportovních aktivit (\( S \)) a \( 150 \) hudebních kroužků (\( H \)). \( 100 \) studentů je v divadle i sportu, \( 80 \) v divadle i hudbě, \( 70 \) ve sportu i hudbě. \( 50 \) studentů je ve všech třech aktivitách. Kolik studentů se neúčastní žádné z těchto aktivit?
Celkem je \( 400 \) studentů, tedy těch, kteří se neúčastní žádné aktivity, je:
\[
400 – 350 = 50
\]
Odpověď: \( 50 \) studentů se neúčastní žádné z uvedených aktivit.
61. V knihovně je \( 1200 \) knih. \( 700 \) knih je o historii (\( H \)), \( 600 \) o přírodních vědách (\( P \)), \( 500 \) o literatuře (\( L \)). \( 400 \) knih je zároveň o historii i přírodních vědách, \( 350 \) o historii i literatuře, \( 300 \) o přírodních vědách i literatuře. \( 250 \) knih je o všech třech tématech. Kolik knih není zařazeno do žádné z těchto kategorií?
Řešení:
Použijeme princip inkluze a exkluze pro tři množiny \( H \), \( P \), \( L \):
Celkem je \( 1200 \) knih, tedy těch, které nejsou zařazeny do žádné z kategorií, je:
\[
1200 – 1000 = 200
\]
Odpověď: \( 200 \) knih není zařazeno do žádné z uvedených kategorií.
62. Ve sportovním centru je \( 900 \) návštěvníků. \( 550 \) se věnuje plavání (\( P \)), \( 500 \) běhu (\( B \)), \( 450 \) cyklistice (\( C \)). \( 350 \) návštěvníků plave i běhá, \( 300 \) plave i jezdí na kole, \( 250 \) běhá i jezdí na kole. \( 200 \) návštěvníků se věnuje všem třem sportům. Kolik návštěvníků se nevěnuje žádnému z těchto sportů?
Celkem je \( 900 \) návštěvníků, tedy těch, kteří se nevěnují žádnému ze sportů, je:
\[
900 – 800 = 100
\]
Odpověď: \( 100 \) návštěvníků se nevěnuje žádnému z uvedených sportů.
63. V univerzitním kampusu je \( 2500 \) studentů. \( 1400 \) používá Wi-Fi (\( W \)), \( 1200 \) knihovnu (\( K \)), \( 1100 \) jídelnu (\( J \)). \( 900 \) studentů používá Wi-Fi i knihovnu, \( 800 \) Wi-Fi i jídelnu, \( 700 \) knihovnu i jídelnu. \( 600 \) studentů používá všechny tři služby. Kolik studentů nepoužívá žádnou z těchto služeb?
Celkem je \( 2500 \) studentů, tedy těch, kteří nepoužívají žádnou službu, je:
\[
2500 – 1900 = 600
\]
Odpověď: \( 600 \) studentů nepoužívá žádnou z uvedených služeb.
64. Ve velké firmě je \( 1500 \) zaměstnanců. \( 900 \) z nich používá firemní počítač (\( P \)), \( 850 \) firemní telefon (\( T \)), \( 800 \) firemní e-mail (\( E \)). \( 600 \) zaměstnanců používá počítač i telefon, \( 550 \) počítač i e-mail, \( 500 \) telefon i e-mail. \( 400 \) zaměstnanců používá všechny tři služby. Kolik zaměstnanců nepoužívá žádnou z těchto služeb?
Celkem je \( 1500 \) zaměstnanců, tedy těch, kteří nepoužívají žádnou službu, je:
\[
1500 – 1300 = 200
\]
Odpověď: \( 200 \) zaměstnanců nepoužívá žádnou z uvedených služeb.
65. V městském parku je \( 800 \) návštěvníků. \( 400 \) chodí běhat (\( B \)), \( 350 \) jezdí na kole (\( K \)), \( 300 \) chodí na procházky se psy (\( P \)). \( 200 \) návštěvníků chodí běhat i jezdit na kole, \( 180 \) běhá i venčí psy, \( 150 \) jezdí na kole i venčí psy. \( 120 \) návštěvníků dělá všechny tři aktivity. Kolik návštěvníků se neúčastní žádné z těchto aktivit?
Řešení:
Princip inkluze a exkluze nám říká, že počet prvků, které jsou v alespoň jedné z množin, je:
Celkem je \( 800 \) návštěvníků, tedy těch, kteří se neúčastní žádné aktivity, je:
\[
800 – 640 = 160
\]
Odpověď: \( 160 \) návštěvníků se neúčastní žádné z uvedených aktivit.
66. Ve škole je \( 1000 \) žáků. \( 600 \) žáků chodí na matematiku (\( M \)), \( 550 \) na fyziku (\( F \)), \( 500 \) na chemii (\( Ch \)). \( 400 \) žáků chodí na matematiku i fyziku, \( 350 \) na matematiku i chemii, \( 300 \) na fyziku i chemii. \( 250 \) žáků chodí na všechny tři předměty. Kolik žáků nechodí na žádný z těchto předmětů?
Celkem je \( 1000 \) žáků, tedy těch, kteří nechodí na žádný z předmětů, je:
\[
1000 – 850 = 150
\]
Odpověď: \( 150 \) žáků nechodí na žádný z těchto předmětů.
67. V obci je \(850\) obyvatel. \(450\) vlastní auto (\(A\)), \(400\) motorku (\(M\)), \(300\) jízdní kolo (\(K\)). \(250\) obyvatel vlastní auto i motorku, \(150\) auto i kolo, \(100\) motorku i kolo. \(50\) obyvatel vlastní všechny tři dopravní prostředky. Kolik obyvatel nevlastní žádný z těchto dopravních prostředků?
Celkem je \(850\) obyvatel, tedy těch, kteří nevlastní žádný dopravní prostředek, je:
\[
850 – 700 = 150
\]
Odpověď: \(150\) obyvatel nevlastní žádný z uvedených dopravních prostředků.
68. V knihovně je \(1800\) knih. \(900\) knih je o matematice (\(M\)), \(850\) o fyzice (\(F\)), \(700\) o informatice (\(I\)). \(600\) knih je zároveň o matematice i fyzice, \(500\) o matematice i informatice, \(400\) o fyzice i informatice. \(300\) knih je o všech třech tématech. Kolik knih není zařazeno do žádné z těchto kategorií?
Celkem je \(1800\) knih, tedy těch, které nejsou zařazeny do žádné kategorie, je:
\[
1800 – 1250 = 550
\]
Odpověď: \(550\) knih není zařazeno do žádné z uvedených kategorií.
69. Ve fitness centru je \(1200\) členů. \(700\) chodí cvičit jógu (\(J\)), \(650\) cvičí posilování (\(P\)), \(600\) plavou (\(Pl\)). \(450\) členů cvičí jógu i posilování, \(400\) jógu i plavání, \(350\) posilování i plavání. \(300\) členů cvičí všechny tři aktivity. Kolik členů nechodí na žádnou z těchto aktivit?
Celkem je \(1200\) členů, tedy těch, kteří nechodí na žádnou aktivitu, je:
\[
1200 – 1050 = 150
\]
Odpověď: \(150\) členů nechodí na žádnou z uvedených aktivit.
70. V městském parku je \(950\) návštěvníků. \(500\) chodí na procházky (\(P\)), \(450\) jezdí na kole (\(K\)), \(400\) běhají (\(B\)). \(300\) návštěvníků chodí na procházky i jezdí na kole, \(250\) chodí na procházky i běhají, \(200\) jezdí na kole i běhají. \(150\) návštěvníků dělá všechny tři aktivity. Kolik návštěvníků se neúčastní žádné z těchto aktivit?
Celkem je \(950\) návštěvníků, tedy těch, kteří se neúčastní žádné aktivity, je:
\[
950 – 750 = 200
\]
Odpověď: \(200\) návštěvníků se neúčastní žádné z uvedených aktivit.
71. V jednom městě žije \(1200\) obyvatel. \(700\) lidí mluví anglicky (\(A\)), \(650\) německy (\(N\)), \(600\) francouzsky (\(F\)). \(400\) lidí mluví anglicky i německy, \(350\) anglicky i francouzsky, \(300\) německy i francouzsky. \(200\) lidí mluví všechny tři jazyky. Kolik obyvatel nemluví žádným z těchto jazyků?
Řešení:
Použijeme princip inkluze a exkluze pro tři množiny:
Celkový počet obyvatel je \(1200\), proto těch, kteří nemluví žádným z těchto jazyků, je:
\[
1200 – 1100 = 100
\]
Odpověď: \(100\) obyvatel nemluví žádným z uvedených jazyků.
72. Ve škole je \(1500\) studentů. \(900\) studuje matematiku (\(M\)), \(850\) angličtinu (\(A\)), \(800\) informatiku (\(I\)). \(600\) studentů studuje matematiku a angličtinu, \(500\) matematiku a informatiku, \(450\) angličtinu a informatiku. \(350\) studentů studuje všechny tři předměty. Kolik studentů nestuduje žádný z těchto předmětů?
Celkem je \(1500\) studentů, takže těch, kteří nestudují žádný z těchto předmětů, je:
\[
1500 – 1350 = 150
\]
Odpověď: \(150\) studentů nestuduje žádný z uvedených předmětů.
73. V knihovně je \(2000\) knih. \(1200\) knih je v sekci beletrie (\(B\)), \(1000\) v naučné literatuře (\(N\)), \(900\) v dětské literatuře (\(D\)). \(700\) knih je v sekci beletrie i naučné literatury, \(600\) v beletrii i dětské literatuře, \(500\) v naučné i dětské literatuře. \(400\) knih je v všech třech sekcích. Kolik knih není zařazeno v žádné z těchto sekcí?
Celkový počet knih je \(2000\), tedy těch, které nejsou zařazeny v žádné sekci, je:
\[
2000 – 1700 = 300
\]
Odpověď: \(300\) knih není zařazeno v žádné z uvedených sekcí.
74. Ve sportovním klubu je \(1000\) členů. \(600\) se věnuje fotbalu (\(F\)), \(550\) basketbalu (\(B\)), \(500\) tenisu (\(T\)). \(350\) členů hraje fotbal i basketbal, \(300\) fotbal i tenis, \(250\) basketbal i tenis. \(200\) členů hraje všechny tři sporty. Kolik členů se nevěnuje žádnému z těchto sportů?
Celkem je \(1000\) členů, tedy těch, kteří se nevěnují žádnému z těchto sportů, je:
\[
1000 – 950 = 50
\]
Odpověď: \(50\) členů se nevěnuje žádnému z uvedených sportů.
75. V muzeu je \(1800\) návštěvníků. \(1000\) si prohlíží expozici umění (\(U\)), \(900\) historii (\(H\)), \(850\) přírodní vědy (\(P\)). \(700\) návštěvníků si prohlíží umění i historii, \(600\) umění i přírodní vědy, \(550\) historii i přírodní vědy. \(500\) návštěvníků si prohlíží všechny tři expozice. Kolik návštěvníků si neprohlédlo žádnou z těchto expozic?
Celkový počet návštěvníků je \(1800\), takže těch, kteří si neprohlédli žádnou expozici, je:
\[
1800 – 1400 = 400
\]
Odpověď: \(400\) návštěvníků si neprohlédlo žádnou z uvedených expozic.
76. Ve velké firmě pracuje \(1500\) zaměstnanců. \(900\) používá Windows (\(W\)), \(800\) používá MacOS (\(M\)), \(700\) používá Linux (\(L\)). \(600\) používá Windows i MacOS, \(500\) Windows i Linux, \(450\) MacOS i Linux. \(300\) používá všechny tři operační systémy. Kolik zaměstnanců nepoužívá žádný z těchto operačních systémů?
Celkový počet zaměstnanců je \(1500\), proto těch, kteří nepoužívají žádný z uvedených operačních systémů, je:
\[
1500 – 1150 = 350
\]
Odpověď: \(350\) zaměstnanců nepoužívá žádný z uvedených operačních systémů.
77. Ve městě žije \(2500\) obyvatel. \(1600\) čte noviny A (\(N1\)), \(1400\) čte noviny B (\(N2\)), \(1300\) čte noviny C (\(N3\)). \(1000\) čte noviny A i B, \(900\) čte noviny A i C, \(850\) čte noviny B i C. \(700\) čte všechny tři noviny. Kolik obyvatel nečte žádné z těchto novin?
Celkový počet obyvatel je \(2500\), proto těch, kteří nečtou žádné z uvedených novin, je:
\[
2500 – 2250 = 250
\]
Odpověď: \(250\) obyvatel nečte žádné z uvedených novin.
78. V rámci kurzu je \(800\) studentů. \(550\) navštěvuje předmět Matematika (\(M\)), \(520\) Fyziku (\(F\)), \(500\) Chemii (\(Ch\)). \(400\) studentů navštěvuje Matematiku i Fyziku, \(380\) Matematiku i Chemii, \(350\) Fyziku i Chemii. \(300\) studentů navštěvuje všechny tři předměty. Kolik studentů nechodí do žádného z těchto předmětů?
Celkem je \(800\) studentů, tedy těch, kteří nechodí do žádného z těchto předmětů, je:
\[
800 – 740 = 60
\]
Odpověď: \(60\) studentů nechodí do žádného z uvedených předmětů.
79. V divadelním spolku je \(600\) členů. \(400\) hraje hlavní roli (\(H\)), \(350\) hraje vedlejší roli (\(V\)), \(300\) se věnuje režii (\(R\)). \(250\) členů hraje hlavní i vedlejší roli, \(220\) hlavní roli i režii, \(200\) vedlejší roli i režii. \(150\) členů se věnuje všem třem činnostem. Kolik členů se žádné z těchto rolí nebo režie nevěnuje?
Celkový počet členů je \(600\), proto těch, kteří se nevěnují žádné z rolí nebo režii, je:
\[
600 – 530 = 70
\]
Odpověď: \(70\) členů se nevěnuje žádné z uvedených činností.
80. V knihovně je \(2200\) návštěvníků. \(1300\) si půjčuje romány (\(R\)), \(1100\) si půjčuje detektivky (\(D\)), \(900\) si půjčuje naučnou literaturu (\(N\)). \(800\) návštěvníků si půjčuje romány i detektivky, \(700\) romány i naučnou literaturu, \(600\) detektivky i naučnou literaturu. \(500\) si půjčuje všechny tři typy knih. Kolik návštěvníků si nepůjčuje žádnou z těchto kategorií?
Celkový počet návštěvníků je \(2200\), proto těch, kteří si nepůjčují žádnou z uvedených kategorií, je:
\[
2200 – 1700 = 500
\]
Odpověď: \(500\) návštěvníků si nepůjčuje žádnou z těchto kategorií.
81. Ve městě žije \(1800\) lidí. \(1100\) sleduje televizi A (\(A\)), \(900\) televizi B (\(B\)), \(850\) televizi C (\(C\)). \(700\) sleduje televizi A i B, \(600\) A i C, \(550\) B i C. \(400\) sleduje všechny tři televize. Kolik lidí nesleduje žádnou z těchto televizí?
Řešení:
Použijeme princip inkluze a exkluze pro tři množiny:
Celkový počet lidí je \(1800\), proto těch, kteří nesledují žádnou z uvedených televizí, je:
\[
1800 – 1400 = 400
\]
Odpověď: \(400\) lidí nesleduje žádnou z těchto televizí.
82. V knihovně si půjčuje knihy \(1000\) čtenářů. \(600\) čte beletrii (\(B\)), \(550\) naučnou literaturu (\(N\)), \(500\) poezii (\(P\)). \(350\) čte beletrii i naučnou literaturu, \(300\) beletrii i poezii, \(250\) naučnou literaturu i poezii. \(150\) čte všechny tři žánry. Kolik čtenářů si nečte žádný z těchto tří žánrů?
Celkový počet čtenářů je \(1000\), proto těch, kteří si nečtou žádný z těchto žánrů, je:
\[
1000 – 900 = 100
\]
Odpověď: \(100\) čtenářů si nečte žádný z těchto tří žánrů.
83. Na univerzitě je \(1200\) studentů. \(800\) studuje matematiku (\(M\)), \(750\) fyziku (\(F\)), \(700\) informatiku (\(I\)), \(650\) chemii (\(Ch\)). \(600\) studentů studuje matematiku a fyziku, \(550\) matematiku a informatiku, \(500\) matematiku a chemii, \(480\) fyziku a informatiku, \(450\) fyziku a chemii, \(400\) informatiku a chemii. \(350\) studentů studuje všechny čtyři předměty. Kolik studentů nestuduje žádný z těchto předmětů?
Řešení:
Teď pracujeme se čtyřmi množinami, proto použijeme rozšířený princip inkluze a exkluze:
\[
|M \cup F \cup I \cup Ch| = \sum |jednotlivé| – \sum |dvojice| + \sum |trojice| – |M \cap F \cap I \cap Ch|
\]
Nejdříve sečteme počty studentů v jednotlivých množinách:
\[
800 + 750 + 700 + 650 = 2900
\]
Sečteme počty studentů v dvojicích:
\[
600 + 550 + 500 + 480 + 450 + 400 = 2980
\]
Počet studentů ve všech čtyřech předmětech je \(350\), ale chybí nám počet studentů ve všech trojicích — ty nejsou uvedeny, proto předpokládáme, že nejsou k dispozici (pro složitost úlohy je nebudeme započítávat, nebo předpokládáme, že trojice mají počet \(0\)).
Proto spočítáme podle základního vzorce bez trojic:
\[
|M \cup F \cup I \cup Ch| \approx 2900 – 2980 + 0 – 350 = -430
\]
Tento výsledek je záporný, což je nemožné — chybí nám informace o trojicích, bez nich nelze přesně vypočítat. Pro správný výpočet jsou nutné údaje o trojicích. Bez nich není úloha řešitelná přesně.
Pokud tedy máme k dispozici také počty studentů ve všech trojicích, je třeba je doplnit pro úplné řešení. Pro ilustraci však lze říci, že bez těchto údajů úloha není řešitelná.
84. V obci je \(950\) obyvatel. \(600\) umí anglicky (\(A\)), \(550\) německy (\(N\)), \(400\) francouzsky (\(F\)), \(350\) španělsky (\(Š\)). \(300\) obyvatel umí anglicky i německy, \(250\) anglicky i francouzsky, \(200\) anglicky i španělsky, \(220\) německy i francouzsky, \(180\) německy i španělsky, \(150\) francouzsky i španělsky. \(100\) obyvatel umí všechny čtyři jazyky. Kolik obyvatel neumí žádný z těchto jazyků?
Řešení:
Použijeme princip inkluze a exkluze pro čtyři množiny:
\[
|A \cup N \cup F \cup Š| = \sum |jednotlivé| – \sum |dvojice| + \sum |trojice| – |A \cap N \cap F \cap Š|
\]
Nejprve sečteme jednotlivé množiny:
\[
600 + 550 + 400 + 350 = 1900
\]
Dvojice:
\[
300 + 250 + 200 + 220 + 180 + 150 = 1300
\]
Nemáme údaje o trojicích, proto předpokládáme, že jsou \(0\).
Spočítáme sjednocení:
\[
1900 – 1300 + 0 – 100 = 500
\]
Celkový počet obyvatel je \(950\), proto těch, kteří neumí žádný z těchto jazyků, je:
\[
950 – 500 = 450
\]
Odpověď: \(450\) obyvatel neumí žádný z těchto jazyků.
85. Ve škole je \(1300\) žáků. \(750\) hraje fotbal (\(F\)), \(700\) hraje basketbal (\(B\)), \(650\) hraje volejbal (\(V\)), \(600\) hraje tenis (\(T\)). \(400\) hraje fotbal i basketbal, \(350\) fotbal i volejbal, \(300\) fotbal i tenis, \(320\) basketbal i volejbal, \(280\) basketbal i tenis, \(260\) volejbal i tenis. \(200\) žáků hraje všechny čtyři sporty. Kolik žáků nehraje žádný z těchto sportů?
Řešení:
Použijeme princip inkluze a exkluze pro čtyři množiny:
\[
|F \cup B \cup V \cup T| = \sum |jednotlivé| – \sum |dvojice| + \sum |trojice| – |F \cap B \cap V \cap T|
\]
Sečteme jednotlivé množiny:
\[
750 + 700 + 650 + 600 = 2700
\]
Dvojice:
\[
400 + 350 + 300 + 320 + 280 + 260 = 1910
\]
Nemáme údaje o trojicích, proto předpokládáme, že jsou \(0\).
Spočítáme sjednocení:
\[
2700 – 1910 + 0 – 200 = 590
\]
Celkový počet žáků je \(1300\), proto těch, kteří nehraje žádný z těchto sportů, je:
\[
1300 – 590 = 710
\]
Odpověď: \(710\) žáků nehraje žádný z těchto sportů.
86. V anketě mezi \( 1500 \) lidmi zjistili, že \( 900 \) má chytrý telefon (\( S \)), \( 850 \) má tablet (\( T \)), \( 800 \) má notebook (\( N \)). \( 600 \) lidí má chytrý telefon i tablet, \( 550 \) chytrý telefon i notebook, \( 500 \) tablet i notebook. \( 400 \) lidí má všechna tři zařízení. Kolik lidí nemá žádné z těchto zařízení?
Řešení:
Použijeme princip inkluze a exkluze pro tři množiny:
Celkový počet lidí je \( 1500 \), proto těch, kteří nemají žádné zařízení, je:
\[
1500 – 1300 = 200
\]
Odpověď: \( 200 \) lidí nemá žádné z těchto zařízení.
87. Ve škole je \( 1000 \) studentů. \( 700 \) studuje angličtinu (\( A \)), \( 650 \) studuje němčinu (\( N \)), \( 600 \) studuje francouzštinu (\( F \)). \( 500 \) studentů studuje angličtinu i němčinu, \( 400 \) angličtinu i francouzštinu, \( 350 \) němčinu i francouzštinu. \( 300 \) studentů studuje všechny tři jazyky. Kolik studentů nestuduje žádný z těchto jazyků?
Celkový počet studentů je \( 1000 \), takže těch, kteří nestudují žádný jazyk, je:
\[
1000 – 1000 = 0
\]
Odpověď: Všichni studenti studují alespoň jeden z těchto jazyků.
88. V komunitním centru se zúčastnilo \( 1200 \) lidí. \( 700 \) navštívilo přednášku o zdraví (\( Z \)), \( 650 \) přednášku o finanční gramotnosti (\( F \)), \( 600 \) přednášku o osobním rozvoji (\( O \)). \( 400 \) lidí navštívilo přednášky o zdraví i finanční gramotnosti, \( 350 \) o zdraví i osobním rozvoji, \( 300 \) o finanční gramotnosti i osobním rozvoji. \( 200 \) lidí navštívilo všechny tři přednášky. Kolik lidí nenavštívilo žádnou přednášku?
Celkový počet lidí je \( 1200 \), proto těch, kteří nenavštívili žádnou přednášku, je:
\[
1200 – 1100 = 100
\]
Odpověď: \( 100 \) lidí nenavštívilo žádnou z těchto přednášek.
89. V jedné firmě pracuje \( 900 \) zaměstnanců. \( 550 \) používá software \( A \), \( 500 \) software \( B \), \( 450 \) software \( C \). \( 300 \) zaměstnanců používá software \( A \) i \( B \), \( 280 \) \( A \) i \( C \), \( 260 \) \( B \) i \( C \). \( 150 \) zaměstnanců používá všechny tři softwary. Kolik zaměstnanců nepoužívá žádný z těchto softwarů?
Celkový počet zaměstnanců je \( 900 \), proto těch, kteří nepoužívají žádný software, je:
\[
900 – 810 = 90
\]
Odpověď: \( 90 \) zaměstnanců nepoužívá žádný z uvedených softwarů.
90. V turnaji je \( 1400 \) hráčů. \( 900 \) hraje šachy (\( Š \)), \( 850 \) hraje stolní tenis (\( S \)), \( 800 \) hraje karty (\( K \)). \( 600 \) hráčů hraje šachy i stolní tenis, \( 550 \) šachy i karty, \( 500 \) stolní tenis i karty. \( 400 \) hráčů hraje všechny tři hry. Kolik hráčů nehraje žádnou z těchto her?
Celkový počet hráčů je \( 1400 \), proto těch, kteří nehrají žádnou z těchto her, je:
\[
1400 – 1300 = 100
\]
Odpověď: \( 100 \) hráčů nehraje žádnou z uvedených her.
91. Ve městě žije \( 1800 \) lidí. \( 1100 \) vlastní auto (\( A \)), \( 900 \) vlastní motocykl (\( M \)), \( 750 \) vlastní kolo (\( K \)). \( 600 \) vlastní auto i motocykl, \( 500 \) auto i kolo, \( 400 \) motocykl i kolo. \( 300 \) vlastní všechny tři dopravní prostředky. Kolik lidí nevlastní žádný z těchto dopravních prostředků?
Řešení:
Použijeme princip inkluze a exkluze pro tři množiny:
Celkový počet lidí je \( 1800 \), proto těch, kteří nevlastní žádný z těchto dopravních prostředků, je:
\[
1800 – 1550 = 250
\]
Odpověď: \( 250 \) lidí nevlastní žádný z uvedených dopravních prostředků.
92. V literárním klubu je \( 1200 \) členů. \( 800 \) čte romány (\( R \)), \( 700 \) čte poezii (\( P \)), \( 600 \) čte drama (\( D \)). \( 450 \) čte romány i poezii, \( 350 \) romány i drama, \( 300 \) poezii i drama. \( 250 \) čte všechny tři žánry. Kolik členů nečte žádný z těchto literárních žánrů?
Celkový počet členů klubu je \( 1200 \), což je méně než počet lidí, kteří čtou alespoň jeden žánr. To znamená, že data nejsou reálná a nelze spočítat počet těch, kteří nečtou žádný žánr.
Odpověď: Zadání je nekonzistentní, počet členů, kteří čtou žánry, je vyšší než celkový počet členů klubu.
93. V konferenčním sále bylo \( 1000 \) účastníků. \( 650 \) poslouchalo přednášku o marketingu (\( M \)), \( 600 \) o financích (\( F \)), \( 550 \) o technologiích (\( T \)). \( 400 \) poslouchalo marketing i finance, \( 350 \) marketing i technologie, \( 300 \) finance i technologie. \( 250 \) poslouchalo všechny tři přednášky. Kolik účastníků neposlouchalo žádnou z těchto přednášek?
Celkový počet účastníků je \( 1000 \), takže počet těch, kteří neposlouchali žádnou přednášku, je:
\[
1000 – 1000 = 0
\]
Odpověď: Všichni účastníci poslouchali alespoň jednu z přednášek.
94. V knižním klubu je \( 1300 \) členů. \( 900 \) čte detektivky (\( D \)), \( 850 \) čte sci-fi (\( S \)), \( 800 \) čte historické romány (\( H \)). \( 600 \) čte detektivky i sci-fi, \( 550 \) detektivky i historické romány, \( 500 \) sci-fi i historické romány. \( 400 \) čte všechny tři žánry. Kolik členů nečte žádný z těchto žánrů?
Celkový počet členů je \( 1300 \), takže těch, kteří nečtou žádný z těchto žánrů, je:
\[
1300 – 1300 = 0
\]
Odpověď: Všichni členové klubu čtou alespoň jeden z uvedených žánrů.
95. V univerzitní knihovně bylo zapůjčeno \( 1100 \) knih. \( 700 \) knih bylo žánru román (\( R \)), \( 650 \) naučné literatury (\( N \)), \( 600 \) poezie (\( P \)), \( 550 \) románů a naučné literatury, \( 500 \) románů a poezie, \( 450 \) naučné literatury a poezie. \( 400 \) knih bylo zapůjčeno ze všech tří žánrů. Kolik knih nebylo zapůjčeno?
Řešení:
Zde pracujeme s třemi množinami: román (\( R \)), naučná literatura (\( N \)) a poezie (\( P \)).
Celkem bylo zapůjčeno \( 1100 \) knih, tedy knih, které nebyly zapůjčeny, je:
\[
1100 – 850 = 250
\]
Odpověď: \( 250 \) knih nebylo zapůjčeno.
96. Ve škole je \( 900 \) žáků. \( 550 \) chodí na sportovní kroužek (\( S \)), \( 500 \) na hudební kroužek (\( H \)), \( 450 \) na výtvarný kroužek (\( V \)). \( 300 \) žáků chodí na sportovní i hudební kroužek, \( 250 \) na sportovní i výtvarný, \( 200 \) na hudební i výtvarný. \( 150 \) chodí na všechny tři kroužky. Kolik žáků nechodí na žádný kroužek?
Řešení:
Použijeme princip inkluze a exkluze pro tři množiny:
Celkový počet žáků je \( 900 \), tedy těch, kteří nechodí na žádný kroužek, je:
\[
900 – 900 = 0
\]
Odpověď: Všichni žáci chodí alespoň do jednoho kroužku.
97. V kině sledovalo film \( 800 \) lidí. \( 450 \) vidělo verzi s dabingem (\( D \)), \( 400 \) verzi s titulky (\( T \)), \( 350 \) vidělo 3D verzi (\( 3D \)). \( 250 \) vidělo dabing i titulky, \( 200 \) dabing i 3D, \( 180 \) titulky i 3D. \( 150 \) vidělo všechny tři verze. Kolik lidí vidělo alespoň jednu verzi filmu?
Odpověď: \( 720 \) lidí vidělo alespoň jednu verzi filmu.
98. Ve fitness centru je \( 1000 \) členů. \( 700 \) chodí na posilovnu (\( P \)), \( 650 \) na jógu (\( J \)), \( 600 \) na plavání (\( Pl \)). \( 500 \) chodí na posilovnu i jógu, \( 450 \) na posilovnu i plavání, \( 400 \) na jógu i plavání. \( 350 \) chodí na všechny tři aktivity. Kolik členů nechodí na žádnou z těchto aktivit?
Celkový počet členů je \( 1000 \), tedy těch, kteří nechodí na žádnou z aktivit, je:
\[
1000 – 950 = 50
\]
Odpověď: \( 50 \) členů nechodí na žádnou z uvedených aktivit.
99. V místní knihovně si vypůjčilo knihy \( 1200 \) lidí. \( 800 \) si vypůjčilo romány (\( R \)), \( 750 \) naučnou literaturu (\( N \)), \( 700 \) poezii (\( P \)). \( 500 \) si vypůjčilo romány i naučnou literaturu, \( 450 \) romány i poezii, \( 400 \) naučnou literaturu i poezii. \( 350 \) si vypůjčilo všechny tři žánry. Kolik lidí si nevypůjčilo žádnou z těchto kategorií knih?
Celkový počet lidí je \( 1200 \), což je méně než počet lidí, kteří si vypůjčili alespoň jednu kategorii knih. To znamená, že zadání je nekonzistentní.
Odpověď: Zadání není konzistentní, nelze určit počet těch, kteří si nevypůjčili žádnou kategorii.
100. Ve fotbalovém klubu je \( 850 \) hráčů. \( 600 \) hraje za první tým (\( T1 \)), \( 550 \) za druhý tým (\( T2 \)), \( 500 \) za juniory (\( J \)). \( 400 \) hraje v \( T1 \) i \( T2 \), \( 350 \) v \( T1 \) i juniorech, \( 300 \) v \( T2 \) i juniorech. \( 250 \) hraje ve všech třech týmech. Kolik hráčů nehraje v žádném z těchto týmů?
