Pyramida

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeňme vzorec pro objem jehlanu (tedy i pyramidy):

\( V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v \)

Kde \( S_p \) je obsah podstavy a \( v \) je výška pyramidy.

Podstava je čtverec, jehož strana má délku 6 cm, tedy:

\( S_p = 6 \cdot 6 = 36 \, \text{cm}^2 \)

Dosadíme do vzorce pro objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = \frac{360}{3} = 120 \, \text{cm}^3 \)

Výsledkem je:

\( \Rightarrow V = 120 \, \text{cm}^3 \)

Tedy objem této pyramidy je \( 120 \, \text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Podstava pyramidy je obecný trojúhelník se stranami \( a = 5 \, \text{cm}, b = 6 \, \text{cm}, c = 7 \, \text{cm} \).

Nejprve spočítáme obsah podstavy pomocí Heronova vzorce. Nejdříve spočítáme poloviční obvod:

\( s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \, \text{cm} \)

Poté dosadíme do Heronova vzorce:

\( S_p = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)} = \sqrt{9(9 – 5)(9 – 6)(9 – 7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \)

\( = \sqrt{216} \approx 14.7 \, \text{cm}^2 \)

Výška pyramidy je 9 cm, takže objem je:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 14.7 \cdot 9 = \frac{132.3}{3} \approx 44.1 \, \text{cm}^3 \)

\( \Rightarrow V \approx 44.1 \, \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme obsah obdélníkové podstavy:

\( S_p = a \cdot b = 8 \cdot 5 = 40 \, \text{cm}^2 \)

Výška pyramidy je \( v = 12 \, \text{cm} \), a dosadíme do vzorce pro objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 40 \cdot 12 = \frac{480}{3} = 160 \, \text{cm}^3 \)

\( \Rightarrow V = 160 \, \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Podstava je čtverec se stranou 10 cm:

\( S_p = 10 \cdot 10 = 100 \, \text{cm}^2 \)

Výška pyramidy je \( v = 15 \, \text{cm} \), tedy objem bude:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 15 = \frac{1500}{3} = 500 \, \text{cm}^3 \)

\( \Rightarrow V = 500 \, \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme obsah lichoběžníkové podstavy pomocí vzorce:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (6 + 10) \cdot 4 = \frac{16 \cdot 4}{2} = 32 \, \text{cm}^2 \)

Výška pyramidy je 9 cm, takže objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 9 = \frac{288}{3} = 96 \, \text{cm}^3 \)

\( \Rightarrow V = 96 \, \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Nejprve musíme zjistit obsah rovnostranného trojúhelníku. Pro rovnostranný trojúhelník platí vzorec pro obsah:

\( S_p = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \)

Kde \( a = 6 \, \text{cm} \), tedy:

\( S_p = \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9 \cdot \sqrt{3} \, \text{cm}^2 \)

Nyní spočítáme objem pomocí vzorce:

\( V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{3} \cdot 10 = \frac{90 \cdot \sqrt{3}}{3} = 30 \cdot \sqrt{3} \, \text{cm}^3 \)

Výsledek necháme ve tvaru s odmocninou:

\( \Rightarrow V = 30 \cdot \sqrt{3} \, \text{cm}^3 \approx 51.96 \, \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Začneme výpočtem obsahu podstavy pravidelného pětiúhelníku. Pro pravidelný n-úhelník se stranou \( a \) platí:

\( S_p = \frac{n \cdot a^2}{4} \cdot \cot\left(\frac{\pi}{n}\right) \)

Dosadíme \( n = 5, a = 6 \):

\( S_p = \frac{5 \cdot 6^2}{4} \cdot \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{180}{4} \cdot \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = 45 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \)

Využijeme přibližnou hodnotu \( \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx 0.7265 \), takže:

\( S_p \approx 45 \cdot 0.7265 \approx 32.6925 \, \text{cm}^2 \)

Každá boční stěna je rovnoramenný trojúhelník se základnou 6 cm a výškou 8 cm. Obsah jednoho trojúhelníku je:

\( S_{troj} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \, \text{cm}^2 \)

Je jich pět, takže celkový boční povrch je:

\( S_{boční} = 5 \cdot 24 = 120 \, \text{cm}^2 \)

Celkový povrch pyramidy je:

\( S = S_p + S_{boční} \approx 32.6925 + 120 = 152.6925 \, \text{cm}^2 \)

\( \Rightarrow S \approx 152.69 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Boční hrana pyramidy je přepona pravoúhlého trojúhelníku, kde jednou odvěsnou je polovina strany podstavy a druhou odvěsnou je výška pyramidy.

Polovina podstavy: \( \frac{4}{2} = 2 \, \text{cm} \)

Druhá odvěsna je výška pyramidy: \( 6 \, \text{cm} \)

Použijeme Pythagorovu větu:

\( s = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \, \text{cm} \)

\( \Rightarrow s = 2\sqrt{10} \, \text{cm} \approx 6.32 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Podstava je rovnoramenný trojúhelník s délkami 10 cm, 10 cm, 12 cm. Výšku na základnu 12 cm spočítáme pomocí Pythagorovy věty:

Základna: 12 cm, její polovina je 6 cm. Rameno má délku 10 cm. Výška je druhá odvěsna:

\( v = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm} \)

Obsah podstavy:

\( S_p = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \, \text{cm}^2 \)

Výška pyramidy: \( 10 \, \text{cm} \), tedy:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 10 = \frac{480}{3} = 160 \, \text{cm}^3 \)

\( \Rightarrow V = 160 \, \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Tato pyramida má podstavu ve tvaru kruhu, tedy jde o kužel. Pro kužel platí obdobný vzorec pro objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot v \)

Kde \( r = 3 \, \text{cm}, v = 7 \, \text{cm} \), dosadíme:

\( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 7 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 7 = \frac{63 \cdot \pi}{3} = 21 \cdot \pi \, \text{cm}^3 \)

\( \Rightarrow V = 21 \pi \, \text{cm}^3 \approx 65.97 \, \text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme vzorec pro objem pyramidy: \( V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v \), kde \( S_p \) je obsah podstavy a \( v \) je výška pyramidy.

Podstava je čtverec, takže její obsah je \( S_p = a^2 = 9^2 = 81 \, \text{cm}^2 \).

Dosadíme do vzorce pro objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 12 = \frac{972}{3} = 324 \, \text{cm}^3 \)

\( \Rightarrow \) Objem pyramidy je \( 324 \, \text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Podstava je rovnostranný trojúhelník, jehož obsah spočítáme podle vzorce \( S = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \).

Dosadíme: \( S = \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \)

Objem pyramidy vypočteme podle vzorce \( V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot v \):

\( V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 10 = 30\sqrt{3} \, \text{cm}^3 \approx 51{,}96 \, \text{cm}^3 \)

\( \Rightarrow \) Objem pyramidy je přibližně \( 51{,}96 \, \text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Podstava je čtverec, její obsah je \( S_p = 7^2 = 49 \, \text{cm}^2 \).

Boční stěny jsou čtyři shodné rovnoramenné trojúhelníky s výškou 13 cm a základnou 7 cm. Obsah jednoho je:

\( S_t = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 13 = \frac{91}{2} = 45{,}5 \, \text{cm}^2 \)

Čtyři stěny: \( S_{\text{boční}} = 4 \cdot 45{,}5 = 182 \, \text{cm}^2 \)

Povrch pyramidy: \( S = S_p + S_{\text{boční}} = 49 + 182 = 231 \, \text{cm}^2 \)

\( \Rightarrow \) Povrch pyramidy je \( 231 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Výška pyramidy tvoří s polovinou podstavné hrany a boční hranou pravoúhlý trojúhelník. Použijeme Pythagorovu větu.

\( a = 6 \Rightarrow \frac{a}{2} = 3 \, \text{cm}, \quad s = 10 \, \text{cm} \)

\( v^2 = s^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 100 – 9 = 91 \Rightarrow v = \sqrt{91} \approx 9{,}54 \, \text{cm} \)

\( \Rightarrow \) Výška pyramidy je přibližně \( 9{,}54 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Protože model nemá dno, počítáme pouze boční plochu. Ta se skládá ze čtyř stejných trojúhelníků.

Obsah jednoho trojúhelníku je \( S_t = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 20 \, \text{cm}^2 \)

Čtyři stěny: \( 4 \cdot 20 = 80 \, \text{cm}^2 \)

\( \Rightarrow \) Na model je třeba \( 80 \, \text{cm}^2 \) papíru.

Řešení příkladu:

Máme pyramídu so štvorcovou základňou, kde strana základne \( a = 10\,cm \), a výšku \( v = 15\,cm \). Bočná stena je rovnostranný trojuholník, teda jej všetky strany sú rovnaké. Naším cieľom je vypočítať povrch pyramídy.

1. Najskôr vypočítame obsah základne:

\( S_{z} = a^2 = 10^2 = 100\,cm^2 \)

2. Keďže bočná stena je rovnostranný trojuholník, jej všetky strany majú dĺžku 10 cm.

Obsah rovnostranného trojuholníka s dĺžkou strany \( a \) je daný vzorcom:

\( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \Rightarrow S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25\sqrt{3}\,cm^2 \)

3. Pyramída má 4 bočné steny, každá je rovnostranný trojuholník s obsahom \( 25\sqrt{3} \,cm^2 \).

Celkový obsah bočných stien je:

\( S_{b} = 4 \cdot 25\sqrt{3} = 100\sqrt{3}\,cm^2 \)

4. Povrch pyramídy je súčet obsahu základne a obsahu bočných stien:

\( S = S_{z} + S_{b} = 100 + 100\sqrt{3} \,cm^2 \)

5. Pre približné vyjadrenie:

\( \sqrt{3} \approx 1{,}732 \Rightarrow S \approx 100 + 100 \times 1{,}732 = 100 + 173{,}2 = 273{,}2\,cm^2 \)

Výsledok: Povrch pyramídy je približne \( 273{,}2\,cm^2 \).

Řešení příkladu:

1. Zadané hodnoty:

Strana základne \( a = 12\,cm \), výška pyramídy \( v = 9\,cm \).

2. Objem pyramídy vypočítame podľa vzorca pre objem pyramídy so štvorcovou základňou:

\( V = \frac{1}{3} S_z \cdot v \), kde \( S_z = a^2 \).

Dosadíme hodnoty:

\( S_z = 12^2 = 144\,cm^2 \)

\( V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 1296 = 432\,cm^3 \)

3. Výška bočnej steny je výška trojuholníka, ktorý tvorí bočná stena pyramídy.

Najskôr nájdeme polovičnú dĺžku strany základne (pomocou pravouhlého trojuholníka):

\( \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6\,cm \)

Výška bočnej steny je od vrcholu pyramídy k stredovej výške bočnej steny.

Pomocou Pytagorovej vety v pravouhlom trojuholníku vytvorenom výškou pyramídy a polovicou základne vypočítame výšku bočnej steny \( h_b \):

\( h_b = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} \)

\( \sqrt{117} \approx 10{,}82\,cm \)

Výsledok: Objem pyramídy je \( 432\,cm^3 \) a výška bočnej steny je približne \( 10{,}82\,cm \).

Řešení příkladu:

1. Strana základne: \( a = 8\,cm \), výška pyramídy: \( v = 12\,cm \).

2. Obsah základne:

\( S_z = a^2 = 8^2 = 64\,cm^2 \)

3. Bočná stena je rovnostranný trojuholník so stranou 8 cm.

Obsah rovnostranného trojuholníka:

\( S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3} \,cm^2 \)

4. Pyramída má 4 bočné steny, celkový obsah bočných stien je:

\( 4 \times 16\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \,cm^2 \)

5. Povrch pyramídy je súčet základne a bočných stien:

\( S = S_z + 64\sqrt{3} = 64 + 64\sqrt{3} \,cm^2 \)

6. Približná hodnota:

\( \sqrt{3} \approx 1{,}732 \Rightarrow S \approx 64 + 64 \times 1{,}732 = 64 + 110{,}85 = 174{,}85\,cm^2 \)

Výsledok: Celkový povrch pyramídy je približne \( 174{,}85\,cm^2 \).

Řešení příkladu:

1. Strana základne: \( a = 6\,cm \), obsah bočnej steny: \( S_b = 30\,cm^2 \).

2. Bočná stena je trojuholník so základňou \( a = 6\,cm \) a výškou \( h_b \) (výška bočnej steny).

Obsah trojuholníka vypočítame vzorcom:

\( S_b = \frac{1}{2} a h_b \Rightarrow 30 = \frac{1}{2} \times 6 \times h_b \Rightarrow 30 = 3 h_b \Rightarrow h_b = 10\,cm \)

3. Výška bočnej steny \( h_b \) je výška trojuholníka bočnej steny, pričom táto výška je vzdialenosť od vrcholu pyramídy k spodnej hrane.

4. Polovica základne \( \frac{a}{2} = 3\,cm \).

5. Pomocou Pytagorovej vety vypočítame výšku pyramídy \( v \):

V pravouhlom trojuholníku je výška bočnej steny prepona, polovičná strana základne a výška pyramídy sú odvesny:

\( h_b^2 = v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \Rightarrow 10^2 = v^2 + 3^2 \Rightarrow 100 = v^2 + 9 \Rightarrow v^2 = 91 \Rightarrow v = \sqrt{91} \approx 9{,}54\,cm \)

Výsledok: Výška pyramídy je približne \( 9{,}54\,cm \).

Řešení příkladu:

1. Obsah základne: \( S_z = 49\,cm^2 \), výška pyramídy \( v = 14\,cm \).

2. Dĺžka strany základne je:

\( a = \sqrt{S_z} = \sqrt{49} = 7\,cm \)

3. Bočná stena je rovnostranný trojuholník so stranou 7 cm.

4. Obsah rovnostranného trojuholníka so stranou \( a \) je:

\( S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 7^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 49 = \frac{49\sqrt{3}}{4} \approx 21{,}22\,cm^2 \)

Výsledok: Dĺžka strany základne je \( 7\,cm \) a obsah bočnej steny je približne \( 21{,}22\,cm^2 \).

Řešení příkladu:

1. Zadané hodnoty: \( a = 5\,cm \), \( v = 13\,cm \).

2. Polovica strany základne:

\( \frac{a}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5\,cm \)

3. Výška bočnej steny:

\( h_b = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 + 2{,}5^2} = \sqrt{169 + 6{,}25} = \sqrt{175{,}25} \approx 13{,}24\,cm \)

4. Obsah bočnej steny je obsah trojuholníka so základňou \( a = 5\,cm \) a výškou \( h_b \approx 13{,}24\,cm \):

\( S_b = \frac{1}{2} a h_b = \frac{1}{2} \times 5 \times 13{,}24 = 2{,}5 \times 13{,}24 = 33{,}1\,cm^2 \)

Výsledok: Obsah bočnej steny je približne \( 33{,}1\,cm^2 \).

Řešení příkladu:

Objem pyramidy se počítá podle vzorce:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v \), kde \(S_p\) je obsah podstavy a \(v\) je výška pyramidy.

Podstava je čtverec s délkou hrany 8 cm, tedy:

\( S_p = 8 \times 8 = 64 \text{ cm}^2 \)

Dosadíme do vzorce pro objem:

\( V = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 \)

\( V = \frac{1}{3} \times 768 = 256 \text{ cm}^3 \)

Objem pyramidy je tedy 256 cm³.

Řešení příkladu:

Obsah povrchu pyramidy je součet obsahu podstavy a obsahů všech bočních stěn.

Podstava je rovnostranný trojúhelník se stranou \(a=6\) cm.

Obsah podstavy spočítáme podle vzorce pro obsah rovnostranného trojúhelníku:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 \)

Výška pyramidy \(v = 10\) cm.

Nejprve spočítáme výšku boční stěny (trojúhelníku) tzv. stranu šikmou, kterou označíme \(h_s\).

Nejprve určíme výšku podstavy (trojúhelníka) \(h_p\):

\( h_p = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} \text{ cm} \)

Vypočteme délku strany šikmé \(h_s\) jako vzdálenost od vrcholu pyramidy k hraně podstavy:

\( h_s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{h_p}{3} \right)^2} = \sqrt{10^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{100 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 3} = \sqrt{103} \text{ cm} \)

Obsah jedné boční stěny je obsah trojúhelníku s délkou základny 6 cm a výškou \(h_s\):

\( S_b = \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{103} = 3 \sqrt{103} \text{ cm}^2 \)

Protože pyramid má tři boční stěny, celkový obsah bočních stěn je:

\( 3 \times 3 \sqrt{103} = 9 \sqrt{103} \text{ cm}^2 \)

Celkový obsah povrchu pyramidy je:

\( S = S_p + 9 \sqrt{103} = 9 \sqrt{3} + 9 \sqrt{103} \text{ cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Objem pyramidy se počítá podle vzorce:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v \)

Obsah podstavy \(S_p\) je obsah pravidelného šestiúhelníku, který se vypočte jako:

\( S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 \), kde \(a\) je délka hrany podstavy.

Dosadíme hodnotu \(a=6\) cm:

\( S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 36 = 54 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \)

Objem je znám \(V=432 \text{ cm}^3\), dosadíme do vzorce pro objem:

\( 432 = \frac{1}{3} \times 54 \sqrt{3} \times v \)

Vynásobíme obě strany rovnice třemi:

\( 1296 = 54 \sqrt{3} \times v \)

Vyjádříme výšku \(v\):

\( v = \frac{1296}{54 \sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \)

Racionalizujeme jmenovatel:

\( v = \frac{24 \sqrt{3}}{3} = 8 \sqrt{3} \text{ cm} \)

Výška pyramidy je tedy \(8 \sqrt{3}\) cm.

Řešení příkladu:

Objem pyramidy je:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v \)

Dosadíme známé hodnoty \(V=500\) a \(v=15\):

\( 500 = \frac{1}{3} S_p \times 15 \Rightarrow 500 = 5 S_p \Rightarrow S_p = \frac{500}{5} = 100 \text{ cm}^2 \)

Obsah podstavy \(S_p\) je obsah pravidelného pětiúhelníku se stranou \(a\). Vzorec pro obsah pravidelného pětiúhelníku je:

\( S_p = \frac{5 a^2}{4 \tan( \frac{\pi}{5} )} \)

Dosadíme \(S_p=100\) a vyjádříme \(a\):

\( 100 = \frac{5 a^2}{4 \tan(36^\circ)} \)

Vynásobíme obě strany rovnice \(4 \tan(36^\circ)\):

\( 100 \times 4 \tan(36^\circ) = 5 a^2 \Rightarrow 400 \tan(36^\circ) = 5 a^2 \)

Vyjádříme \(a^2\):

\( a^2 = \frac{400 \tan(36^\circ)}{5} = 80 \tan(36^\circ) \)

Hodnota \(\tan(36^\circ) \approx 0.7265\), tedy:

\( a^2 = 80 \times 0.7265 = 58.12 \Rightarrow a = \sqrt{58.12} \approx 7.62 \text{ cm} \)

Délka strany podstavy je přibližně 7.62 cm.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme obsah podstavy \(S_p\), která je čtverec s délkou hrany 10 cm:

\( S_p = 10 \times 10 = 100 \text{ cm}^2 \)

Povrch pyramidy \(S = 450 \text{ cm}^2\) je součet obsahu podstavy a obsahu čtyř bočních stěn.

Obsah všech bočních stěn tedy je:

\( S_b = S – S_p = 450 – 100 = 350 \text{ cm}^2 \)

Jedna boční stěna je trojúhelník s délkou základny 10 cm a výškou šikmou \(h_s\), kterou musíme zjistit.

Obsah jedné boční stěny:

\( S_{b1} = \frac{1}{2} \times 10 \times h_s = 5 h_s \)

Celkem je 4 bočních stěn, tedy:

\( 4 \times 5 h_s = 20 h_s = 350 \Rightarrow h_s = \frac{350}{20} = 17.5 \text{ cm} \)

Výška šikmá \(h_s\) je výška boční stěny (trojúhelníku).

Výška pyramidy \(v\) a půl délky strany podstavy tvoří pravoúhlý trojúhelník s přeponou \(h_s\):

\( v = \sqrt{h_s^2 – \left(\frac{10}{2}\right)^2} = \sqrt{17.5^2 – 5^2} = \sqrt{306.25 – 25} = \sqrt{281.25} \approx 16.77 \text{ cm} \)

Výška pyramidy je tedy přibližně 16.77 cm.

Řešení příkladu:

Objem pyramidy je:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v \)

Podstava je pravidelný pětiúhelník s délkou strany 4 cm.

Obsah podstavy spočítáme podle vzorce:

\( S_p = \frac{5 a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{5})} \)

Dosadíme \(a=4\) cm:

\( S_p = \frac{5 \times 16}{4 \tan(36^\circ)} = \frac{80}{4 \times 0.7265} = \frac{80}{2.906} \approx 27.53 \text{ cm}^2 \)

Dosadíme do vzorce pro objem:

\( V = \frac{1}{3} \times 27.53 \times 9 = 9 \times 9.18 = 82.65 \text{ cm}^3 \)

Objem pyramidy je přibližně 82.65 cm³.

Řešení příkladu:

Objem pyramidy je:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v \)

Podstava je rovnostranný trojúhelník o straně \(a\).

Obsah podstavy je:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)

Dosadíme do vzorce pro objem:

\( 96 = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times 8 \)

Zjednodušme výraz:

\( 96 = \frac{8}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a^2 \)

Vynásobíme rovnice třemi:

\( 288 = 2 \sqrt{3} a^2 \)

Vyjádříme \(a^2\):

\( a^2 = \frac{288}{2 \sqrt{3}} = \frac{144}{\sqrt{3}} \)

Racionalizujeme jmenovatel:

\( a^2 = \frac{144 \sqrt{3}}{3} = 48 \sqrt{3} \)

Délka hrany \(a = \sqrt{48 \sqrt{3}}\). Přibližně:

\( \sqrt{48 \times 1.732} = \sqrt{83.14} \approx 9.12 \text{ cm} \)

Délka hrany podstavy je přibližně 9.12 cm.

Řešení příkladu:

Máme pyramídu so štvorcovou podstavou, ktorej hrana je \( a = 12 \,\text{cm} \) a výška \( v = 10 \,\text{cm} \).

Najskôr vypočítame obsah podstavy \( S_p \):

\( S_p = a^2 = 12^2 = 144 \,\text{cm}^2 \).

Ďalej potrebujeme vypočítať obsah bočných stien. Keďže podstava je štvorec, pyramída má 4 rovnaké bočné trojuholníky. Výška každého bočného trojuholníka je tzv. bočná výška \( s \), ktorú získame pomocou Pytagorovej vety z pravouhlého trojuholníka, kde jedna odvesna je výška pyramidy \( v = 10 \,\text{cm} \) a druhá je polovica hrany podstavy \( \frac{a}{2} = 6 \,\text{cm} \).

Vypočítame bočnú výšku \( s \):

\( s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} \approx 11,66 \,\text{cm} \).

Obsah jednej bočnej steny (trojuholníka) je:

\( S_b = \frac{a \cdot s}{2} = \frac{12 \cdot 11,66}{2} = 6 \cdot 11,66 = 69,96 \,\text{cm}^2 \).

Povrch pyramidy \( S \) je súčet obsahu podstavy a obsahov všetkých bočných stien (4 bočné steny):

\( S = S_p + 4 \cdot S_b = 144 + 4 \cdot 69,96 = 144 + 279,84 = 423,84 \,\text{cm}^2 \).

Objem pyramidy \( V \) sa vypočíta podľa vzorca:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 10 = 480 \,\text{cm}^3 \).

Záver: Povrch pyramidy je približne \( 423,84 \,\text{cm}^2 \) a jej objem je \( 480 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Podstava je trojuholník so stranami \( a = 5 \,\text{cm} \), \( b = 6 \,\text{cm} \), \( c = 7 \,\text{cm} \). Výška pyramidy je \( v = 9 \,\text{cm} \).

Najskôr vypočítame obsah podstavy \( S_p \) pomocou Heronovho vzorca.

Polovičný obvod trojuholníka je:

\( s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 \,\text{cm} \).

Obsah podstavy je:

\( S_p = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)} = \sqrt{9(9 – 5)(9 – 6)(9 – 7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} \approx 14,7 \,\text{cm}^2 \).

Pre výpočet povrchu potrebujeme obsah bočných stien. Pyramída má tri bočné steny, každá je trojuholník, ktorého základňou je strana podstavy a výškou je bočná výška, ktorú musíme vypočítať.

Najskôr nájdeme výšky jednotlivých bočných stien.

Keďže výška pyramidy je kolmou výškou od vrcholu na podstavu, jej priesečník s podstavou je ortocentrum trojuholníka (v tomto prípade nevyužijeme jeho presnú polohu, ale pri výpočte bočných stien použijeme Pytagorovu vetu).

Výška bočnej steny nad stranou \( a \) sa vypočíta ako:

Najprv určíme dĺžku výšky na stranu \( a \) v podstave (vnútorný trojuholník).

Výška podstavy na stranu \( a \) je:

\( h_a = \frac{2S_p}{a} = \frac{2 \cdot 14,7}{5} = 5,88 \,\text{cm} \).

Bočná výška pri strane \( a \) je:

\( s_a = \sqrt{v^2 + h_a^2} = \sqrt{9^2 + 5,88^2} = \sqrt{81 + 34,58} = \sqrt{115,58} \approx 10,75 \,\text{cm} \).

Podobne pre stranu \( b = 6 \,\text{cm} \):

\( h_b = \frac{2S_p}{b} = \frac{2 \cdot 14,7}{6} = 4,9 \,\text{cm} \),

\( s_b = \sqrt{9^2 + 4,9^2} = \sqrt{81 + 24,01} = \sqrt{105,01} \approx 10,25 \,\text{cm} \).

Pre stranu \( c = 7 \,\text{cm} \):

\( h_c = \frac{2S_p}{c} = \frac{2 \cdot 14,7}{7} = 4,2 \,\text{cm} \),

\( s_c = \sqrt{9^2 + 4,2^2} = \sqrt{81 + 17,64} = \sqrt{98,64} \approx 9,93 \,\text{cm} \).

Obsah bočných stien sú:

\( S_{b1} = \frac{a \cdot s_a}{2} = \frac{5 \cdot 10,75}{2} = 26,88 \,\text{cm}^2 \),

\( S_{b2} = \frac{6 \cdot 10,25}{2} = 30,75 \,\text{cm}^2 \),

\( S_{b3} = \frac{7 \cdot 9,93}{2} = 34,76 \,\text{cm}^2 \).

Celkový povrch pyramidy:

\( S = S_p + S_{b1} + S_{b2} + S_{b3} = 14,7 + 26,88 + 30,75 + 34,76 = 107,09 \,\text{cm}^2 \).

Objem pyramidy:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 14,7 \cdot 9 = 44,1 \,\text{cm}^3 \).

Záver: Povrch pyramidy je približne \( 107,09 \,\text{cm}^2 \) a objem je \( 44,1 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Máme pravidelnou čtyřbokou pyramidu s hranou podstavy \( a = 8 \,\text{cm} \) a celkovým povrchem \( S = 200 \,\text{cm}^2 \). Chceme vypočítat výšku pyramidy \( v \).

Nejprve vypočítáme obsah podstavy, který je čtverec:

\( S_p = a^2 = 8^2 = 64 \,\text{cm}^2 \).

Celkový povrch pyramidy je součet obsahu podstavy a obsahu čtyř bočních trojúhelníků:

\( S = S_p + 4 \cdot S_b \), kde \( S_b \) je obsah jedné boční stěny.

Obsah boční stěny je \( S_b = \frac{a \cdot s}{2} \), kde \( s \) je boční výška (slant height).

Odvodíme boční výšku \( s \) z výšky pyramidy \( v \) a poloviční délky hrany podstavy \( \frac{a}{2} = 4 \,\text{cm} \) pomocí Pythagorovy věty:

\( s = \sqrt{v^2 + 4^2} = \sqrt{v^2 + 16} \).

Dosadíme do rovnice pro povrch:

\( 200 = 64 + 4 \cdot \frac{8 \cdot s}{2} = 64 + 4 \cdot 4 \cdot s = 64 + 16 s \).

Odčteme 64 na levou stranu:

\( 200 – 64 = 16 s \Rightarrow 136 = 16 s \Rightarrow s = \frac{136}{16} = 8,5 \,\text{cm} \).

Máme tedy \( s = 8,5 \,\text{cm} \), což znamená:

\( 8,5 = \sqrt{v^2 + 16} \Rightarrow 8,5^2 = v^2 + 16 \Rightarrow 72,25 = v^2 + 16 \Rightarrow v^2 = 72,25 – 16 = 56,25 \Rightarrow v = \sqrt{56,25} = 7,5 \,\text{cm} \).

Závěr: Výška pyramidy je \( 7,5 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podstava je pravidelný šestiúhelník s hranou \( a = 4 \,\text{cm} \) a výškou pyramidy \( v = 9 \,\text{cm} \).

Obsah pravidelného šestiúhelníka lze vypočítat vzorcem:

\( S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 \).

Dosadíme hodnoty:

\( S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24 \sqrt{3} \approx 41,57 \,\text{cm}^2 \).

Pro výpočet povrchu potřebujeme obsah bočních stěn. Pyramida má 6 bočních trojúhelníků se základnou \( a = 4 \,\text{cm} \) a výškou boční stěny \( s \).

Boční výšku \( s \) vypočítáme pomocí Pythagorovy věty z výšky pyramidy \( v \) a apotemy podstavy \( r \), která je vzdálenost od středu podstavy k jejímu vrcholu.

Apotema pravidelného šestiúhelníka:

\( r = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} \approx 3,46 \,\text{cm} \).

Boční výška:

\( s = \sqrt{v^2 + r^2} = \sqrt{9^2 + 3,46^2} = \sqrt{81 + 11,97} = \sqrt{92,97} \approx 9,64 \,\text{cm} \).

Obsah jedné boční stěny:

\( S_b = \frac{a \cdot s}{2} = \frac{4 \cdot 9,64}{2} = 2 \cdot 9,64 = 19,28 \,\text{cm}^2 \).

Celkový obsah bočních stěn:

\( 6 \cdot 19,28 = 115,68 \,\text{cm}^2 \).

Povrch pyramidy:

\( S = S_p + \text{boční obsah} = 41,57 + 115,68 = 157,25 \,\text{cm}^2 \).

Objem pyramidy:

\( V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 41,57 \cdot 9 = 124,71 \,\text{cm}^3 \).

Závěr: Povrch pyramidy je přibližně \( 157,25 \,\text{cm}^2 \) a objem \( 124,71 \,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Objem pyramidy je dán vztahem \( V = \frac{1}{3} S_{p} v \), kde \( S_{p} \) je obsah podstavy a \( v \) je výška pyramidy. Podstava je čtverec o straně 8 cm, takže její obsah spočítáme jako:

\( S_{p} = 8 \times 8 = 64 \, \text{cm}^2 \)

Dosadíme do vzorce pro objem:

\( V = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = \frac{1}{3} \times 768 = 256 \, \text{cm}^3 \)

Tedy objem pyramidy je \( 256 \, \text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme obsah podstavy. Podstava je rovnostranný trojúhelník o straně 6 cm, jeho obsah je dán vzorcem:

\( S_{p} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \)

Pro povrch pyramidy potřebujeme také obsah všech bočních stěn. Boční stěny jsou trojúhelníky, jejichž základnou je strana podstavy (6 cm) a výškou je výška boční stěny (slant height).

Nejprve spočítáme výšku boční stěny. Vzhledem k tomu, že výška pyramidy je 9 cm a podstava je rovnostranný trojúhelník, výšku boční stěny spočítáme pomocí Pythagorovy věty. Nejprve určíme poloviční délku strany podstavy:

\( \frac{6}{2} = 3 \, \text{cm} \)

Výška boční stěny \( h_{b} \) je tedy:

\( h_{b} = \sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \, \text{cm} \)

Obsah jedné boční stěny je tedy:

\( S_{b} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{10} = 3 \times 3\sqrt{10} = 9\sqrt{10} \, \text{cm}^2 \)

Pyramida má 3 takové boční stěny, takže jejich celkový obsah je:

\( 3 \times 9\sqrt{10} = 27\sqrt{10} \, \text{cm}^2 \)

Celkový povrch pyramidy je součtem obsahu podstavy a obsahu bočních stěn:

\( S = 9\sqrt{3} + 27\sqrt{10} \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že boční hrana je úsečka spojující vrchol pyramidy s vrcholem podstavy. Výška je kolmice z vrcholu na podstavu. Úhel mezi výškou a boční hranou je 60°.

Vytvoříme pravoúhlý trojúhelník, kde výška \( v = 15 \, \text{cm} \) je jedna odvěsna, boční hrana \( l \) je přepona a polovina strany podstavy \( a/2 \) je druhá odvěsna.

Úhel mezi výškou a boční hranou je 60°, takže můžeme napsat:

\( \cos 60^\circ = \frac{v}{l} \Rightarrow l = \frac{v}{\cos 60^\circ} = \frac{15}{0.5} = 30 \, \text{cm} \)

Dále použijeme Pythagorovu větu v tomto pravoúhlém trojúhelníku:

\( l^2 = v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \Rightarrow \left(\frac{a}{2}\right)^2 = l^2 – v^2 = 30^2 – 15^2 = 900 – 225 = 675 \)

\( \frac{a}{2} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3} \Rightarrow a = 2 \times 15\sqrt{3} = 30\sqrt{3} \, \text{cm} \)

Tedy délka strany podstavy je \( 30\sqrt{3} \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podstava je pravidelný pětiúhelník o straně 10 cm. Nejprve spočítáme poloměr kružnice opsané podstavě (R), protože vrchol podstavy leží na kružnici opsané.

Poloměr opsané kružnice pravidelného pětiúhelníku o straně \( a \) je dán vzorcem:

\( R = \frac{a}{2 \sin (36^\circ)} \)

Dosadíme:

\( R = \frac{10}{2 \sin 36^\circ} = \frac{10}{2 \times 0.5878} = \frac{10}{1.1756} \approx 8.507 \, \text{cm} \)

Nyní vytvoříme pravoúhlý trojúhelník, jehož přeponou je boční hrana pyramidy \( l = 17 \, \text{cm} \), jednou odvěsnou poloměr kružnice opsané \( R \) a druhou odvěsnou výška pyramidy \( v \).

Podle Pythagorovy věty:

\( v = \sqrt{l^2 – R^2} = \sqrt{17^2 – 8.507^2} = \sqrt{289 – 72.36} = \sqrt{216.64} \approx 14.72 \, \text{cm} \)

Tedy výška pyramidy je přibližně \( 14.72 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Objem pyramidy je dán vztahem:

\( V = \frac{1}{3} S_p v \), kde \( S_p \) je obsah podstavy a \( v \) je výška pyramidy.

Dosadíme známé hodnoty:

\( 240 = \frac{1}{3} S_p \times 10 \Rightarrow 240 = \frac{10}{3} S_p \)

Vyjádříme obsah podstavy:

\( S_p = \frac{240 \times 3}{10} = 72 \, \text{cm}^2 \)

Tedy obsah podstavy je \( 72 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Podstava je pravidelný osmiúhelník o neznámé délce hrany \( a \). Délka boční hrany pyramidy je \( l = 25 \, \text{cm} \), výška pyramidy je \( v = 7 \, \text{cm} \).

Nejprve spočítáme poloměr kružnice opsané podstavě, který označíme jako \( R \), protože vrcholy podstavy leží na opsané kružnici.

Poloměr opsané kružnice pravidelného osmiúhelníku je dán vzorcem:

\( R = \frac{a}{2 \sin (22.5^\circ)} \)

Pravoúhlý trojúhelník vytvoříme z výšky pyramidy \( v \), poloměru opsané kružnice \( R \) a délky boční hrany \( l \) jako přepony:

\( l^2 = v^2 + R^2 \Rightarrow R = \sqrt{l^2 – v^2} = \sqrt{25^2 – 7^2} = \sqrt{625 – 49} = \sqrt{576} = 24 \, \text{cm} \)

Dosadíme do vzorce pro \( R \):

\( 24 = \frac{a}{2 \sin 22.5^\circ} \Rightarrow a = 24 \times 2 \times \sin 22.5^\circ = 48 \times 0.3827 = 18.37 \, \text{cm} \)

Tedy délka hrany podstavy je přibližně \( 18.37 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme obsah podstavy. Podstava je pravidelný šestiboký mnohoúhelník se stranou 5 cm.

Obsah pravidelného šestiúhelníku lze spočítat jako součet 6 rovnostranných trojúhelníků o straně 5 cm:

Obsah jednoho rovnostranného trojúhelníku je:

\( S_t = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 25 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \approx 10.825 \, \text{cm}^2 \)

Celkový obsah podstavy je:

\( S_p = 6 \times 10.825 = 64.95 \, \text{cm}^2 \)

Pro výpočet obsahu bočních stěn musíme zjistit jejich výšku. Boční hrana \( l = 13 \, \text{cm} \), výška pyramidy \( v = 12 \, \text{cm} \). Pomocí Pythagorovy věty vypočteme výšku boční stěny \( h_b \):

\( h_b = \sqrt{l^2 – v^2} = \sqrt{13^2 – 12^2} = \sqrt{169 – 144} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm} \)

Boční stěna je trojúhelník s základnou 5 cm a výškou 5 cm, jeho obsah je:

\( S_b = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 \, \text{cm}^2 \)

Pyramida má 6 bočních stěn, celkový obsah bočních stěn je:

\( 6 \times 12.5 = 75 \, \text{cm}^2 \)

Celkový povrch pyramidy je součtem podstavy a bočních stěn:

\( S = 64.95 + 75 = 139.95 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme obsah podstavy, což je pravidelný pětiúhelník o straně \( a = 7 \, \text{cm} \). Obsah pravidelného pětiúhelníku se vypočítá pomocí vzorce:

\( S_p = \frac{5 a^2}{4 \tan(36^\circ)} \)

Dosadíme hodnoty:

\( S_p = \frac{5 \times 7^2}{4 \tan 36^\circ} = \frac{5 \times 49}{4 \times 0.7265} = \frac{245}{2.906} \approx 84.27 \, \text{cm}^2 \)

Objem pyramidy je:

\( V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \times 84.27 \times 20 = 28.09 \times 20 = 561.8 \, \text{cm}^3 \)

Tedy objem pyramidy je přibližně \( 561.8 \, \text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že podstava je čtverec o straně \(a = 8\,cm\). Výška pyramidy je \(v = 10\,cm\).

Pro výpočet povrchu potřebujeme znát obsah podstavy a obsah všech bočních stěn.

Obsah podstavy je obsah čtverce:

\(S_p = a^2 = 8^2 = 64\,cm^2\).

Boční stěny jsou čtyři trojúhelníky, každý s podstavnou stranou 8 cm a výškou odpovídající výšce trojúhelníkové stěny (šířka stěny od podstavy ke vrcholu pyramidy).

Nejdříve vypočítáme délku strany stěny pyramidy (výšku trojúhelníkové stěny). Označíme ji jako \(h_s\).

U pravidelné čtyřboké pyramidy je vrchol přímo nad středem podstavy. Střed podstavy je střed čtverce, takže vzdálenost od středu podstavy k její straně je polovina strany:

\(r = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4\,cm\).

Výška trojúhelníkové stěny je délka úseku od středu hrany podstavy k vrcholu pyramidy, tedy přepona pravoúhlého trojúhelníka se základnou \(r\) a výškou \(v\):

\(h_s = \sqrt{v^2 + r^2} = \sqrt{10^2 + 4^2} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116} \approx 10{,}77\,cm\).

Obsah jedné boční stěny je obsah trojúhelníka:

\(S_b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10{,}77 = 4 \cdot 10{,}77 = 43{,}08\,cm^2\).

Celkový obsah bočních stěn je:

\(S_{boč} = 4 \cdot S_b = 4 \cdot 43{,}08 = 172{,}32\,cm^2\).

Povrch pyramidy je součet obsahu podstavy a bočních stěn:

\(S = S_p + S_{boč} = 64 + 172{,}32 = 236{,}32\,cm^2\).

Odpověď: Povrch pyramidy je přibližně \(236{,}32\,cm^2\) a délka strany trojúhelníkové stěny je přibližně \(10{,}77\,cm\).

Řešení příkladu:

Podstava je rovnostranný trojúhelník se stranou \(a = 6\,cm\).

Nejprve spočítáme obsah podstavy.

Výška rovnostranného trojúhelníka je:

\(h = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3}\,cm\).

Obsah podstavy je:

\(S_p = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\,cm^2\).

Výška pyramidy je \(v = 9\,cm\).

Objem pyramidy vypočítáme podle vzorce:

\(V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 9 = 27\sqrt{3}\,cm^3\).

Odpověď: Objem pyramidy je \(27\sqrt{3} \approx 46{,}76\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Podstava je čtverec o straně \(a = 10\,cm\), výška pyramidy je \(v = 12\,cm\).

Hledáme délku hrany pyramidy, která vede od vrcholu pyramidy ke vrcholu podstavy. Označíme ji \(d\).

Vrchol je nad středem podstavy. Nejprve najdeme vzdálenost od středu podstavy k vrcholu podstavy. Podstava je čtverec, proto je vzdálenost od středu ke vrcholu dána polovinou délky úhlopříčky:

Úhlopříčka čtverce je:

\(u = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\,cm\).

Poloha vrcholu podstavy vůči středu je:

\(r = \frac{u}{2} = 5\sqrt{2}\,cm\).

Délku hrany pyramidy \(d\) můžeme spočítat jako přeponu pravoúhlého trojúhelníka, jehož odvěsny jsou výška pyramidy \(v = 12\,cm\) a vzdálenost \(r = 5\sqrt{2}\,cm\):

\(d = \sqrt{v^2 + r^2} = \sqrt{12^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{144 + 25 \cdot 2} = \sqrt{144 + 50} = \sqrt{194} \approx 13{,}93\,cm\).

Odpověď: Délka hrany pyramidy je přibližně \(13{,}93\,cm\).

Řešení příkladu:

Podstava je pravidelný pětiúhelník se stranou \(a = 6\,cm\).

Délka hrany pyramidy je \(d = 15\,cm\).

Výška pyramidy je vzdálenost od vrcholu pyramidy kolmo na rovinu podstavy. Označíme ji \(v\).

Nejprve spočítáme vzdálenost od středu podstavy k vrcholu podstavy. To je poloměr kružnice opsané pětiúhelníku, protože hrana pyramidy vede od vrcholu pyramidy k vrcholu podstavy.

Poloměr opsané kružnice pravidelného n-úhelníka se stranou \(a\) je:

\(R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}\), kde \(n = 5\).

Dosadíme:

\(R = \frac{6}{2 \sin(\frac{\pi}{5})} = \frac{6}{2 \sin 36^\circ} = \frac{6}{2 \cdot 0{,}5878} = \frac{6}{1{,}1756} \approx 5{,}1\,cm\).

Vytvoříme pravoúhlý trojúhelník, jehož přepona je délka hrany pyramidy \(d=15\,cm\), jedna odvěsna je poloměr \(R\), a druhá odvěsna je výška pyramidy \(v\).

Podle Pythagorovy věty platí:

\(d^2 = v^2 + R^2 \Rightarrow v = \sqrt{d^2 – R^2} = \sqrt{15^2 – 5{,}1^2} = \sqrt{225 – 26{,}01} = \sqrt{198{,}99} \approx 14{,}1\,cm\).

Odpověď: Výška pyramidy je přibližně \(14{,}1\,cm\).

Řešení příkladu:

Podstava je pravidelný šestiúhelník se stranou \(a=4\,cm\), výška pyramidy je \(v=9\,cm\).

Nejprve spočítáme obsah podstavy.

Obsah pravidelného šestiúhelníku je:

\(S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24 \sqrt{3} \approx 41{,}57\,cm^2\).

Pro výpočet povrchu pyramidy potřebujeme obsah všech bočních stěn. Boční stěny jsou šest trojúhelníků.

Nejprve určíme délku výšky boční stěny \(h_s\).

Poloměr opsané kružnice šestiúhelníku je délka strany \(a = 4\,cm\) (protože v pravidelném šestiúhelníku je poloměr opsané kružnice roven délce strany).

Výška boční stěny je přepona pravoúhlého trojúhelníka, kde jedna odvěsna je výška pyramidy \(v=9\,cm\) a druhá je poloměr opsané kružnice \(r=4\,cm\):

\(h_s = \sqrt{v^2 + r^2} = \sqrt{9^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97} \approx 9{,}85\,cm\).

Obsah jedné boční stěny je:

\(S_b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9{,}85 = 2 \cdot 9{,}85 = 19{,}7\,cm^2\).

Celkový obsah bočních stěn je:

\(S_{boč} = 6 \cdot S_b = 6 \cdot 19{,}7 = 118{,}2\,cm^2\).

Povrch pyramidy je:

\(S = S_p + S_{boč} = 41{,}57 + 118{,}2 = 159{,}77\,cm^2\).

Odpověď: Povrch pyramidy je přibližně \(159{,}77\,cm^2\).

Řešení příkladu:

Podstava je pravidelný pětiúhelník se stranou \(a = 8\,cm\), výška pyramidy \(v = 14\,cm\).

Nejprve spočítáme obsah podstavy.

Obsah pravidelného pětiúhelníku lze spočítat podle vzorce:

\(S_p = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}\), kde \(n=5\).

Dosadíme hodnoty:

\(S_p = \frac{5 \cdot 8^2}{4 \tan(36^\circ)} = \frac{5 \cdot 64}{4 \cdot 0{,}7265} = \frac{320}{2{,}906} \approx 110{,}08\,cm^2\).

Objem pyramidy je:

\(V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 110{,}08 \cdot 14 = \frac{1}{3} \cdot 1541{,}12 = 513{,}71\,cm^3\).

Odpověď: Objem pyramidy je přibližně \(513{,}71\,cm^3\).

Řešení příkladu:

Nech je dĺžka strany štvorca \(a = 12\) cm, výška pyramídy \(v = 15\) cm.
Plocha základne je \(P_z = a^2 = 12^2 = 144 \text{ cm}^2\).
Najprv vypočítame výšku bočnej steny, ktorá je rovnostranný trojuholník so stranou \(a = 12\) cm.
Výška rovnostranného trojuholníka so stranou \(a\) je \(h_t = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3} \text{ cm}\).
Potrebujeme overiť, či táto výška zodpovedá skutočnej bočnej výške pyramídy.
Polovica základnej strany je \( \frac{a}{2} = 6 \text{ cm}\).
Výška steny pyramídy je od vrcholu po hranu základne kolmý na túto hranu.
Výška bočnej steny \(h_b\) vypočítame pomocou Pytagorovej vety v pravouhlom trojuholníku, kde odvesny sú výška pyramídy \(v = 15\) cm a polovica základnej strany \(6\) cm:
\[ h_b = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 + 6^2} = \sqrt{225 + 36} = \sqrt{261} \approx 16{,}16 \text{ cm} \]
Preto bočné steny nie sú rovnostranné trojuholníky, ak by mali mať výšku \(6\sqrt{3} \approx 10{,}39\) cm.
Keďže úloha hovorí, že bočné steny sú rovnostranné trojuholníky, musíme nájsť správnu výšku pyramídy, ktorá zodpovedá tejto podmienke.
Výška pyramídy je vzdialenosť od vrcholu k základni kolmá na základňu.
Výška rovnostranného trojuholníka je tiež výškou steny pyramídy.
Z Pytagorovej vety v pravouhlom trojuholníku so stranami výška pyramídy \(v\), polovicou základnej strany \(6\) cm a výškou steny \(h_t = 6\sqrt{3}\) platí:
\[ h_t^2 = v^2 + 6^2 \Rightarrow v^2 = h_t^2 – 6^2 = (6\sqrt{3})^2 – 36 = 108 – 36 = 72 \Rightarrow v = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49 \text{ cm} \]
Preto výška pyramídy je \(v = 6\sqrt{2}\) cm.
Teraz vypočítame obsah jednej bočnej steny – rovnostranného trojuholníka so stranou 12 cm:
\[ P_b = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]
Pyramída má 4 bočné steny, teda celkový obsah bočných stien:
\[ P_{bočné} = 4 \cdot 36\sqrt{3} = 144\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]
Povrch pyramídy je súčet obsahu základne a bočných stien:
\[ P = P_z + P_{bočné} = 144 + 144\sqrt{3} \text{ cm}^2 \approx 144 + 249{,}47 = 393{,}47 \text{ cm}^2 \]

Řešení příkladu:

Dĺžka strany základne \(a = 10\) cm, výška pyramídy \(v = 12\) cm, šikmá výška bočnej steny \(s = 13\) cm.
Objem pyramídy je daný vzorcom:
\[ V = \frac{1}{3} P_z v \]
Kde plocha základne je
\[ P_z = a^2 = 10^2 = 100 \text{ cm}^2 \]
Preto
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400 \text{ cm}^3 \]
Pre výpočet povrchu potrebujeme obsah bočných stien.
Bočná stena je trojuholník s základňou \(a = 10\) cm a výškou rovnou šikmej výške steny \(s = 13\) cm.
Obsah jednej bočnej steny je:
\[ P_b = \frac{1}{2} a s = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 13 = 65 \text{ cm}^2 \]
Pyramída má 4 bočné steny, teda celkový obsah bočných stien:
\[ P_{bočné} = 4 \cdot 65 = 260 \text{ cm}^2 \]
Celkový povrch pyramídy je:
\[ P = P_z + P_{bočné} = 100 + 260 = 360 \text{ cm}^2 \]

Řešení příkladu:

Dĺžka strany základne je \(a = 8\) cm, výška pyramídy \(v = 9\) cm.
Najprv vypočítame polovicou stranu základne:
\[ \frac{a}{2} = 4 \text{ cm} \]
Šikmá výška bočnej steny \(s\) sa vypočíta ako dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka, kde odvesnami sú výška pyramídy \(v\) a polovica strany základne:
\[ s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{9^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97} \approx 9{,}85 \text{ cm} \]
Obsah základne je:
\[ P_z = a^2 = 8^2 = 64 \text{ cm}^2 \]
Obsah jednej bočnej steny (trojuholník) je:
\[ P_b = \frac{1}{2} a s = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9{,}85 = 39{,}4 \text{ cm}^2 \]
Celkový obsah bočných stien je:
\[ P_{bočné} = 4 \cdot 39{,}4 = 157{,}6 \text{ cm}^2 \]
Celkový povrch pyramídy:
\[ P = P_z + P_{bočné} = 64 + 157{,}6 = 221{,}6 \text{ cm}^2 \]

Řešení příkladu:

Obvod štvorcovej základne je \(o = 32\) cm.
Dĺžka strany štvorca je:
\[ a = \frac{o}{4} = \frac{32}{4} = 8 \text{ cm} \]
Výška pyramídy je \(v = 10\) cm.
Plocha základne je:
\[ P_z = a^2 = 8^2 = 64 \text{ cm}^2 \]
Najprv vypočítame šikmú výšku bočnej steny pyramídy.
Polovica strany základne je \( \frac{a}{2} = 4 \) cm.
Šikmá výška steny pyramídy je:
\[ s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 + 4^2} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116} \approx 10{,}77 \text{ cm} \]
Obsah jednej bočnej steny:
\[ P_b = \frac{1}{2} a s = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10{,}77 = 43{,}08 \text{ cm}^2 \]
Obsah všetkých štyroch bočných stien:
\[ P_{bočné} = 4 \cdot 43{,}08 = 172{,}32 \text{ cm}^2 \]
Povrch pyramídy:
\[ P = P_z + P_{bočné} = 64 + 172{,}32 = 236{,}32 \text{ cm}^2 \]
Objem pyramídy je:
\[ V = \frac{1}{3} P_z v = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 10 = \frac{640}{3} \approx 213{,}33 \text{ cm}^3 \]

Řešení příkladu:

Strana základne \(a = 6\) cm, bočná výška steny \(s = 10\) cm.
Výška pyramídy \(v\) je neznáma.
Polovica strany základne je \( \frac{a}{2} = 3 \) cm.
Pomocou Pytagorovej vety v pravouhlom trojuholníku s preponou \(s\), odvesnami \(v\) a 3 cm platí:
\[ s^2 = v^2 + 3^2 \Rightarrow v^2 = s^2 – 3^2 = 10^2 – 3^2 = 100 – 9 = 91 \Rightarrow v = \sqrt{91} \approx 9{,}54 \text{ cm} \]
Plocha základne:
\[ P_z = 6^2 = 36 \text{ cm}^2 \]
Obsah jednej bočnej steny:
\[ P_b = \frac{1}{2} a s = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30 \text{ cm}^2 \]
Celkový obsah bočných stien:
\[ P_{bočné} = 4 \cdot 30 = 120 \text{ cm}^2 \]
Povrch pyramídy:
\[ P = P_z + P_{bočné} = 36 + 120 = 156 \text{ cm}^2 \]

Řešení příkladu:

Dĺžka strany základne je \(a = 5\) cm, výška pyramídy \(v = 8\) cm.
Hrana pyramídy spája vrchol pyramídy s vrcholom základne.
Na výpočet použijeme Pytagorovu vetu v trojuholníku, kde odvesnou je výška pyramídy, druhou odvesnou vzdialenosť vrcholu základne od osi pyramídy a preponou je hľadaná hrana.
Vzdialenosť od stredu štvorca k jeho vrcholu je polovica uhlopriečky štvorca.
Uhlopriečka štvorca so stranou \(a\) je:
\[ d = a \sqrt{2} = 5 \sqrt{2} \approx 7{,}07 \text{ cm} \]
Polovica uhlopriečky:
\[ \frac{d}{2} = \frac{7{,}07}{2} = 3{,}535 \text{ cm} \]
Hrana \(h\) je prepona pravouhlého trojuholníka s odvesnami \(v=8\) cm a \(3{,}535\) cm:
\[ h = \sqrt{v^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 3{,}535^2} = \sqrt{64 + 12{,}5} = \sqrt{76{,}5} \approx 8{,}75 \text{ cm} \]

Řešení příkladu:

Máme pravidelnou čtyřbokou pyramidu, což znamená, že podstava je čtverec se stranou \( a = 6 \,\text{cm} \). Boční hrana má délku \( b = 5 \,\text{cm} \). Naším cílem je vypočítat výšku pyramidy \( v \).

Nejprve si nakreslíme kolmici z vrcholu pyramidy na rovinu podstavy, která se protíná v jejím středu, protože je pyramida pravidelná. Střed podstavy označíme jako \( O \). Výška \( v \) je kolmice z vrcholu \( V \) na bod \( O \).

Podstava je čtverec, jehož úhlopříčka je \( d = a \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \,\text{cm} \). Střed podstavy \( O \) je středem úhlopříčky, takže vzdálenost od středu podstavy k vrcholu podstavy je polovina úhlopříčky:

\[ r = \frac{d}{2} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2} \,\text{cm} \]

Teď zvažme pravoúhlý trojúhelník \( VAB \), kde \( V \) je vrchol pyramidy, \( A \) je vrchol podstavy a \( B \) je projektovaný bod vrcholu na základnu podstavy přímo pod \( V \). Vzdálenost \( VB \) je boční hrana pyramidy, \( VA \) je výška boční stěny, ale ta nás přímo nezajímá.

Abychom našli výšku pyramidy \( v = VO \), uvažujme pravoúhlý trojúhelník \( VOB \), kde \( OB = r = 3 \sqrt{2} \) a \( VB = b = 5 \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\[ VB^2 = VO^2 + OB^2 \Rightarrow 5^2 = v^2 + (3 \sqrt{2})^2 \]

\[ 25 = v^2 + 9 \cdot 2 = v^2 + 18 \]

\[ v^2 = 25 – 18 = 7 \]

\[ v = \sqrt{7} \approx 2{,}6458\,\text{cm} \]

Výška pyramidy je tedy přibližně \( 2{,}65 \,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podstava je pravidelný šestiúhelník se stranou \( a = 4\,\text{cm} \). Výška pyramidy je \( v = 9\,\text{cm} \). Boční hrana má délku \( b = 10\,\text{cm} \). Máme vypočítat povrch pyramidy.

Nejdříve spočítáme obsah podstavy, což je pravidelný šestiúhelník. Obsah pravidelného šestiúhelníku je dán vzorcem:

\[ S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 \]

Dosadíme \( a = 4 \):

\[ S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24 \sqrt{3} \approx 41{,}57\,\text{cm}^2 \]

Potřebujeme nyní spočítat obsah bočních stěn. Pyramida má 6 bočních stěn, každá je trojúhelník se základnou 4 cm a výškou kolmice z vrcholu na hranu podstavy, kterou označíme jako \( h_s \).

Nejprve vypočítáme výšku boční stěny \( h_s \) z pravoúhlého trojúhelníku s boční hranou 10 cm a výškou pyramidy 9 cm:

\[ h_s = \sqrt{b^2 – v^2} = \sqrt{10^2 – 9^2} = \sqrt{100 – 81} = \sqrt{19} \approx 4{,}36\,\text{cm} \]

Obsah jedné boční stěny je:

\[ S_b = \frac{1}{2} a h_s = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4{,}36 = 8{,}72\,\text{cm}^2 \]

Povrch bočních stěn je 6-násobek této plochy:

\[ S_{boční} = 6 \times 8{,}72 = 52{,}32\,\text{cm}^2 \]

Celkový povrch pyramidy je součtem obsahu podstavy a obsahu bočních stěn:

\[ S = S_p + S_{boční} = 41{,}57 + 52{,}32 = 93{,}89\,\text{cm}^2 \]

Povrch pyramidy je tedy přibližně \( 93{,}9\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Podstava je pravidelný pětiúhelník se stranou \( a = 7\,\text{cm} \). Výška pyramidy je \( v = 15\,\text{cm} \). Chceme spočítat objem pyramidy.

Objem pyramidy vypočteme jako:

\[ V = \frac{1}{3} S_p v \]

Nejdříve musíme spočítat obsah podstavy \( S_p \). Obsah pravidelného pětiúhelníku je dán vzorcem:

\[ S_p = \frac{5 a^2}{4 \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} \]

Vypočteme hodnotu \( \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \):

\[ \frac{\pi}{5} = 36^\circ, \quad \tan 36^\circ \approx 0{,}7265 \]

Dosadíme do vzorce:

\[ S_p = \frac{5 \cdot 7^2}{4 \cdot 0{,}7265} = \frac{5 \cdot 49}{2{,}906} = \frac{245}{2{,}906} \approx 84{,}27\,\text{cm}^2 \]

Objem pyramidy je tedy:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 84{,}27 \cdot 15 = 28{,}09 \cdot 15 = 421{,}35\,\text{cm}^3 \]

Objem pyramidy je přibližně \( 421{,}35\,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Máme pravidelnou šestiúhelnou pyramidu s výškou \( v = 12\,\text{cm} \) a boční hranou \( b = 13\,\text{cm} \). Potřebujeme určit délku hrany podstavy \( a \) a ověřit výšku pyramidy.

V pravoúhlém trojúhelníku vytvořeném vrcholem pyramidy \( V \), středem podstavy \( O \) a vrcholem podstavy \( A \) platí Pythagorova věta:

\[ b^2 = v^2 + r^2, \]

kde \( r \) je vzdálenost středu podstavy k vrcholu podstavy, tedy polovina úhlopříčky pravidelného šestiúhelníku.

Nejprve spočítáme \( r \):

\[ r = \sqrt{b^2 – v^2} = \sqrt{13^2 – 12^2} = \sqrt{169 – 144} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm} \]

U pravidelného šestiúhelníku platí, že vzdálenost středu podstavy k vrcholu je rovna délce hrany podstavy, tedy \( r = a \). Tedy:

\[ a = 5\,\text{cm} \]

Výška pyramidy byla zadána jako 12 cm, což odpovídá výpočtu. Výška pyramidy je tedy \( 12\,\text{cm} \) a délka hrany podstavy je \( 5\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podstava je čtverec o straně \( a = 8\,\text{cm} \). Výška pyramidy je \( v = 10\,\text{cm} \).

Objem pyramidy spočítáme podle vzorce:

\[ V = \frac{1}{3} S_p v \]

Obsah podstavy je:

\[ S_p = a^2 = 8^2 = 64\,\text{cm}^2 \]

Objem je tedy:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 10 = \frac{640}{3} \approx 213{,}33\,\text{cm}^3 \]

Objem pyramidy je přibližně \( 213{,}33\,\text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Podstava je čtverec o hraně \( a = 10\,\text{cm} \), výška pyramidy je \( v = 12\,\text{cm} \). Potřebujeme spočítat délku boční hrany \( b \).

Nejdříve vypočítáme vzdálenost středu podstavy k vrcholu podstavy \( r \). Podstava je čtverec, proto:

\[ r = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \approx 7{,}071\,\text{cm} \]

V pravoúhlém trojúhelníku \( VOB \) (V vrchol pyramidy, O střed podstavy, B vrchol podstavy) platí:

\[ b^2 = v^2 + r^2 = 12^2 + (5 \sqrt{2})^2 = 144 + 50 = 194 \]

\[ b = \sqrt{194} \approx 13{,}928\,\text{cm} \]

Délka boční hrany je přibližně \( 13{,}93\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že podstava je čtverec o hraně 8 cm, tedy plocha podstavy \(S_p = a^2 = 8^2 = 64\,\text{cm}^2\).

Výška pyramidy je \(v = 15\,\text{cm}\).

Objem pyramidy spočítáme podle vzorce pro objem pyramidy:

\(V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \times 64 \times 15 = \frac{960}{3} = 320\,\text{cm}^3\).

Pro výpočet povrchu musíme znát obsah bočních stěn.

Boční stěna je rovnostranný trojúhelník se základnou 8 cm a výškou 10 cm.

Obsah jedné boční stěny je:

\(S_b = \frac{1}{2} \times a \times v_b = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40\,\text{cm}^2\).

Povrch pyramidy je součet plochy podstavy a čtyř bočních stěn:

\(S = S_p + 4 S_b = 64 + 4 \times 40 = 64 + 160 = 224\,\text{cm}^2\).

Výsledkem je povrch pyramidy 224 cm² a objem 320 cm³.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme obsah podstavy, která je pravidelný šestiúhelník s délkou strany \(a = 6\,\text{cm}\).

Vzorec pro obsah pravidelného šestiúhelníku je:

\(S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 36 = 54 \sqrt{3}\,\text{cm}^2\).

Objem pyramidy je dán vzorcem:

\(V = \frac{1}{3} S_p v\), kde \(v\) je výška pyramidy.

Dosadíme a vyřešíme rovnici pro \(v\):

\(432 = \frac{1}{3} \times 54 \sqrt{3} \times v \Rightarrow 432 = 18 \sqrt{3} \times v \Rightarrow v = \frac{432}{18 \sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8 \sqrt{3}\,\text{cm}\).

Tedy výška pyramidy je \(8 \sqrt{3} \approx 13,856\,\text{cm}\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme obsah podstavy pomocí vzorce pro obsah pravidelného mnohoúhelníku:

\(S_p = \frac{1}{2} \times obvod \times apotéma\).

Obvod pětiúhelníku je \(5 \times 5 = 25\,\text{cm}\).

Obsah podstavy je tedy:

\(S_p = \frac{1}{2} \times 25 \times 3,44 = 12,5 \times 3,44 = 43\,\text{cm}^2\).

Objem pyramidy je:

\(V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \times 43 \times 12 = \frac{516}{3} = 172\,\text{cm}^3\).

Pro povrch potřebujeme znát obsah bočních stěn.

Výška boční stěny (apoféma pyramidy) není dána, musíme ji vypočítat.

Apotéma podstavy je \(a_p = 3,44\,\text{cm}\), polovina hrany podstavy je \( \frac{5}{2} = 2,5\,\text{cm}\), výška pyramidy \(v = 12\,\text{cm}\).

Výška boční stěny \(v_b\) je přepona pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami \(v\) a \(a_p\):

\(v_b = \sqrt{v^2 + a_p^2} = \sqrt{12^2 + 3,44^2} = \sqrt{144 + 11,83} = \sqrt{155,83} \approx 12,49\,\text{cm}\).

Obsah jedné boční stěny je:

\(S_b = \frac{1}{2} \times a \times v_b = \frac{1}{2} \times 5 \times 12,49 = 2,5 \times 12,49 = 31,22\,\text{cm}^2\).

Povrch je součet obsahu podstavy a pěti bočních stěn:

\(S = S_p + 5 S_b = 43 + 5 \times 31,22 = 43 + 156,1 = 199,1\,\text{cm}^2\).

Výsledkem je povrch přibližně 199,1 cm² a objem 172 cm³.

Řešení příkladu:

Obsah podstavy vypočítáme jako obsah pravidelného osmiúhelníku pomocí vzorce:

\(S_p = \frac{1}{2} \times obvod \times apotéma\).

Obvod je \(8 \times 7 = 56\,\text{cm}\), apotéma je \(8,5\,\text{cm}\).

Obsah podstavy je:

\(S_p = \frac{1}{2} \times 56 \times 8,5 = 28 \times 8,5 = 238\,\text{cm}^2\).

Objem pyramidy je:

\(V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \times 238 \times 20 = \frac{4760}{3} \approx 1586,67\,\text{cm}^3\).

Výška boční stěny je:

\(v_b = \sqrt{v^2 + a_p^2} = \sqrt{20^2 + 8,5^2} = \sqrt{400 + 72,25} = \sqrt{472,25} \approx 21,73\,\text{cm}\).

Obsah jedné boční stěny je:

\(S_b = \frac{1}{2} \times a \times v_b = \frac{1}{2} \times 7 \times 21,73 = 3,5 \times 21,73 = 76,06\,\text{cm}^2\).

Povrch pyramidy je:

\(S = S_p + 8 S_b = 238 + 8 \times 76,06 = 238 + 608,48 = 846,48\,\text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

Obsah podstavy pravidelného desetiúhelníku spočítáme podle vzorce:

\(S_p = \frac{1}{2} \times obvod \times apotéma\).

Obvod je \(10 \times 4 = 40\,\text{cm}\).

Obsah podstavy je:

\(S_p = \frac{1}{2} \times 40 \times 6,18 = 20 \times 6,18 = 123,6\,\text{cm}^2\).

Objem pyramidy je:

\(V = \frac{1}{3} S_p v \Rightarrow 640 = \frac{1}{3} \times 123,6 \times v \Rightarrow 640 = 41,2 v \Rightarrow v = \frac{640}{41,2} \approx 15,53\,\text{cm}\).

Výška pyramidy je tedy přibližně 15,53 cm.

Řešení příkladu:

Podstava je čtverec o straně \( a = 6 \, m \), takže její obsah spočítáme jako \( S_p = a^2 = 6^2 = 36 \, m^2 \).

Výška pyramidy je \( v = 10 \, m \). Objem pyramidy se vypočítá podle vzorce \( V = \frac{1}{3} S_p v \), tedy \( V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = 120 \, m^3 \).

Tedy objem pyramidy je \( 120 \, m^3 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme obsah trojúhelníkové podstavy pomocí Heronova vzorce.

Poloviční obvod je \( s = \frac{5 + 7 + 8}{2} = 10 \, m \).

Obsah podstavy je \[ S_p = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)} = \sqrt{10(10 – 5)(10 – 7)(10 – 8)} = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17,32 \, m^2. \]

Výška pyramidy je \( v = 12 \, m \). Objem je tedy \[ V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 12 = 40 \sqrt{3} \approx 69,28 \, m^3. \]

Objem pyramidy je přibližně \( 69,28 \, m^3 \).

Řešení příkladu:

Podstava je obdélník o stranách \( a = 4 \, m \) a \( b = 9 \, m \), jejíž obsah je \( S_p = a \cdot b = 4 \cdot 9 = 36 \, m^2 \).

Povrch pyramidy je součet obsahu podstavy a obsahu všech bočních stěn. Boční stěny jsou čtyři trojúhelníky, přičemž dvě mají základnu 4 m a výšku stěny 17 m, druhé dvě mají základnu 9 m a výšku stěny 17 m.

Obsah bočních stěn je tedy \[ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 17 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 17 = 2 \cdot 34 + 2 \cdot 76,5 = 68 + 153 = 221 \, m^2. \]

Celkový povrch je \[ S = S_p + 221 = 36 + 221 = 257 \, m^2. \]

Řešení příkladu:

Podstava je pravidelný šestiúhelník o straně \( a = 3 \, m \). Jeho obsah spočítáme podle vzorce \[ S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 3^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 9 = \frac{27 \sqrt{3}}{2} \approx 23,38 \, m^2. \]

Objem pyramidy je \[ V = \frac{1}{3} S_p v \Rightarrow v = \frac{3V}{S_p} = \frac{3 \cdot 54}{23,38} \approx \frac{162}{23,38} \approx 6,93 \, m. \]

Výška pyramidy je přibližně \( 6,93 \, m \).

Řešení příkladu:

Nechť délka strany podstavy je \( a \). Podstava je čtverec, takže \[ S_p = a^2. \]

Výška pyramidy je \( v = 8 \, m \). Nejprve spočítáme délku strany boční stěny – stěny jsou rovnostranné trojúhelníky s výškou boční stěny \( h \).

Výška boční stěny je délka od vrcholu pyramidy k polovině strany podstavy. V pravoúhlém trojúhelníku platí \[ h = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{64 + \frac{a^2}{4}}. \]

Obsah jedné boční stěny je \[ S_b = \frac{1}{2} a h = \frac{a}{2} \sqrt{64 + \frac{a^2}{4}}. \]

Celkový povrch je \[ S = S_p + 4 S_b = a^2 + 4 \cdot \frac{a}{2} \sqrt{64 + \frac{a^2}{4}} = a^2 + 2a \sqrt{64 + \frac{a^2}{4}} = 200. \]

Rovnice je tedy \[ a^2 + 2a \sqrt{64 + \frac{a^2}{4}} = 200. \]

Tuto rovnici řešíme numericky. Zkoušíme přibližné hodnoty:

Pro \( a = 8 \): \[ 64 + 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{64 + \frac{64}{4}} = 64 + 16 \cdot \sqrt{64 + 16} = 64 + 16 \cdot \sqrt{80} \approx 64 + 16 \cdot 8,944 = 64 + 143,1 = 207,1 > 200. \]

Pro \( a = 7,5 \): \[ 56,25 + 15 \cdot \sqrt{64 + \frac{56,25}{4}} = 56,25 + 15 \cdot \sqrt{64 + 14,06} = 56,25 + 15 \cdot \sqrt{78,06} \approx 56,25 + 15 \cdot 8,84 = 56,25 + 132,6 = 188,85 < 200. \]

Hodnota \( a \) je tedy mezi 7,5 a 8 m. Numericky aproximujeme \( a \approx 7,7 \, m \).

Řešení příkladu:

V pravidelné šestiboké pyramidě jsou všechny hrany od vrcholu k vrcholům podstavy stejně dlouhé. Označíme délku hrany jako \( s \).

Výška pyramidy je \( v = 9 \, m \). Poloměr kružnice opsané pravidelnému šestiúhelníku o straně \( a = 5 \) je roven délce této strany, tedy \( R = 5 \, m \).

Pravý trojúhelník vznikne spojením vrcholu pyramidy, středu podstavy a vrcholu podstavy. Odvěsny jsou výška \( v = 9 \) a poloměr \( R = 5 \).

Délka hrany je přepona tohoto trojúhelníku: \[ s = \sqrt{v^2 + R^2} = \sqrt{9^2 + 5^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{106} \approx 10,30 \, m. \]

Řešení příkladu:

Obsah pravidelného osmiúhelníku lze spočítat podle vzorce \[ S_p = 2 a^2 (1 + \sqrt{2}) = 2 \cdot 2^2 (1 + \sqrt{2}) = 8 (1 + \sqrt{2}) \approx 8 \cdot 2,414 = 19,31 \, m^2. \]

Objem pyramidy je \[ V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 19,31 \cdot 7 \approx \frac{1}{3} \cdot 135,17 = 45,06 \, m^3. \]

Řešení příkladu:

Podstava je čtverec se stranou \( a = 10 \, m \). Výška pyramidy je \( v = 6 \, m \). Výška boční stěny je \( h = 8 \, m \).

Délka hrany boční stěny je délka strany trojúhelníku, kde výška je 8 m a polovina hrany podstavy je 5 m.

V pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami 8 m a 5 m délka hrany boční stěny \( s \) je \[ s = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} \approx 9,43 \, m. \]

Řešení příkladu:

Objem pyramidy je \[ V = \frac{1}{3} S_p v \Rightarrow S_p = \frac{3V}{v} = \frac{3 \cdot 100}{12} = 25 \, m^2. \]

Obsah podstavy je tedy \( 25 \, m^2 \).

Řešení příkladu:

Délka hrany podstavy je \( a = 12 \, m \). Výška pyramidy \( v = 14 \, m \), výška boční stěny je \( h = 10 \, m \).

Polovina hrany podstavy je \( \frac{a}{2} = 6 \, m \).

Délka boční hrany je přepona pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 14 m a 6 m: \[ s = \sqrt{14^2 + 6^2} = \sqrt{196 + 36} = \sqrt{232} \approx 15,23 \, m. \]

Řešení příkladu:

Máme pravidelnú štvorcovú pyramídu, teda podstava je štvorec so stranou \( a = 8 \,\text{cm} \). Výška pyramídy je \( v = 12 \,\text{cm} \).

Objem pyramídy sa vypočíta podľa vzorca:

\[ V = \frac{1}{3} S_p v, \]

kde \( S_p \) je obsah podstavy.

Najskôr vypočítame obsah štvorcovej podstavy:

\[ S_p = a^2 = 8^2 = 64 \,\text{cm}^2. \]

Dosadíme do vzorca pre objem:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 768 = 256 \,\text{cm}^3. \]

Objem pyramídy je teda \( 256 \,\text{cm}^3 \).

Celý postup:

1. Identifikovali sme typ pyramídy – pravidelná štvorcová pyramída.

2. Zistili sme dĺžku podstavnej hrany a výšku.

3. Vypočítali sme obsah štvorcovej podstavy.

4. Použili sme základný vzorec pre objem pyramídy.

5. Dosadili sme hodnoty a vypočítali výsledok.

Týmto sme získali finálnu odpoveď.

Řešení příkladu:

Pyramída má trojuholníkovú podstavu so stranou \( a = 6\,\text{cm} \). Výška steny (apolóna) je \( m = 10\,\text{cm} \).

Cieľom je vypočítať povrch pyramídy, teda súčet obsahu podstavy a všetkých bočných stien.

1. Obsah trojuholníkovej podstavy:

Podstava je rovnostranný trojuholník, preto môžeme použiť vzorec:

\[ S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \,\text{cm}^2. \]

2. Obsah jednej bočnej steny:

Bočné steny sú rovnostranné trojuholníky s základňou \( a = 6 \) cm a výškou \( m = 10 \) cm (apolóna).

Obsah jednej bočnej steny je:

\[ S_b = \frac{1}{2} a m = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30 \,\text{cm}^2. \]

3. Povrch pyramídy je teda:

\[ S = S_p + 3 S_b = 9\sqrt{3} + 3 \cdot 30 = 9\sqrt{3} + 90 \,\text{cm}^2. \]

Pre približnú hodnotu vypočítame \( \sqrt{3} \approx 1,732 \):

\[ 9 \times 1,732 = 15,588, \]

teda

\[ S \approx 15,588 + 90 = 105,588 \,\text{cm}^2. \]

Celý postup detailne:

– Najprv sme určili, že podstava je rovnostranný trojuholník, a vypočítali sme jej obsah pomocou vzorca pre obsah rovnostranného trojuholníka.

– Potom sme si uvedomili, že bočné steny sú trojuholníky so základňou podstavnej hrany a výškou rovnou apolóne (výške steny pyramídy).

– Vypočítali sme obsah jednej takejto bočnej steny a vynásobili ich počtom strán podstavy (3).

– Nakoniec sme sčítali obsah podstavy a obsah všetkých bočných stien, čím sme získali celkový povrch pyramídy.

Řešení příkladu:

Máme pravidelnú päťuholníkovú pyramídu, kde hrana podstavy \( a = 4\,\text{cm} \) a objem pyramídy je \( V = 60\,\text{cm}^3 \).

Cieľom je nájsť výšku pyramídy \( v \).

Objem pyramídy vypočítame podľa vzorca:

\[ V = \frac{1}{3} S_p v, \]

kde \( S_p \) je obsah päťuholníkovej podstavy.

Najskôr musíme vypočítať obsah pravidelného päťuholníka so stranou \( a \).

Vzorec na obsah pravidelného n-uholníka so stranou \( a \) je:

\[ S_p = \frac{n a^2}{4 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}, \]

pretože \( n = 5 \), máme:

\[ S_p = \frac{5 \cdot 4^2}{4 \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} = \frac{5 \cdot 16}{4 \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} = \frac{80}{4 \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} = \frac{20}{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}. \]

Vypočítame hodnotu \( \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \):

\[ \frac{\pi}{5} = 36^\circ, \]

\[ \tan 36^\circ \approx 0,7265, \]

teda

\[ S_p = \frac{20}{0,7265} \approx 27,53\,\text{cm}^2. \]

Dosadíme do vzorca pre objem:

\[ 60 = \frac{1}{3} \cdot 27,53 \cdot v \Rightarrow 60 = 9,177 \cdot v. \]

Vypočítame výšku \( v \):

\[ v = \frac{60}{9,177} \approx 6,54\,\text{cm}. \]

Záver: Výška pyramídy je približne \( 6,54 \) cm.

Postup detailne:

1. Určili sme vzorec na obsah pravidelného päťuholníka podľa počtu strán a dĺžky hrany.

2. Vypočítali sme tangens uhla, ktorý je vnútorný uhol pravidelného päťuholníka, potrebný na výpočet obsahu.

3. Vypočítali sme obsah podstavy.

4. Použili sme vzorec pre objem pyramídy, dosadili známe hodnoty a vyriešili rovnicu pre výšku pyramídy.

5. Výsledok sme zaokrúhlili na dve desatinné miesta.

Řešení příkladu:

Máme pravidelnú štvorcovú pyramídu, výšku \( v = 15\,\text{cm} \) a dĺžku bočnej hrany \( s = 17\,\text{cm} \). Potrebujeme vypočítať povrch pyramídy.

Najskôr si označíme dĺžku hrany podstavy ako \( a \). Túto dĺžku zatiaľ nepoznáme a budeme ju musieť vypočítať.

Bočná hrana je úsečka od vrcholu pyramídy k vrcholu podstavy. Výška pyramídy je kolmý úsek od vrcholu pyramídy na podstavu.

Pre pravidelnú štvorcovú pyramídu platí, že výška, polovičná dĺžka hrany podstavy a bočná hrana tvoria pravouhlý trojuholník.

Značíme polovicu hrany podstavy ako \( \frac{a}{2} \).

Trojuholník s uhlami je pravouhlý, preto platí Pytagorova veta:

\[ s^2 = v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2. \]

Dosadíme známe hodnoty \( s = 17 \), \( v = 15 \):

\[ 17^2 = 15^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \Rightarrow 289 = 225 + \frac{a^2}{4}. \]

Vyriešime pre \( a^2 \):

\[ \frac{a^2}{4} = 289 – 225 = 64 \Rightarrow a^2 = 256 \Rightarrow a = 16\,\text{cm}. \]

Máme teda dĺžku hrany podstavy \( a = 16\,\text{cm} \).

Ďalej vypočítame obsah podstavy:

\[ S_p = a^2 = 16^2 = 256\,\text{cm}^2. \]

Teraz potrebujeme obsah bočnej steny. Najskôr vypočítame apolónu \( m \) – výšku bočnej steny.

Pre pravidelnú štvorcovú pyramídu je apolóna výška trojuholníka tvorenej bočnou stenou, ktorú vypočítame z Pytagorovej vety:

V pravouhlom trojuholníku tvorenom apolónou, polovicou hrany podstavy a bočnou hranou platí:

\[ m^2 = s^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 17^2 – 8^2 = 289 – 64 = 225. \]

Teda

\[ m = \sqrt{225} = 15\,\text{cm}. \]

Obsah jednej bočnej steny je:

\[ S_b = \frac{1}{2} a m = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120\,\text{cm}^2. \]

Povrch pyramídy je súčet obsahu podstavy a 4 bočných stien:

\[ S = S_p + 4 S_b = 256 + 4 \cdot 120 = 256 + 480 = 736\,\text{cm}^2. \]

Záver: Povrch pyramídy je \( 736\,\text{cm}^2 \).

Postup detailne:

– Najskôr sme využili Pytagorovu vetu na výpočet hrany podstavy z bočnej hrany a výšky pyramídy.

– Následne sme vypočítali obsah podstavy.

– Potom sme určili apolónu, teda výšku bočnej steny, opäť pomocou Pytagorovej vety.

– Vypočítali sme obsah jednej bočnej steny.

– Nakoniec sme spočítali povrch ako súčet podstavy a všetkých bočných stien.

Řešení příkladu:

Nejprve si zapíšeme základní údaje:

Strana podstavy: \( a = 8 \, \text{cm} \)

Výška pyramidy: \( v = 15 \, \text{cm} \)

Výška boční stěny: \( v_b = 17 \, \text{cm} \)

Objem pravidelné čtyřboké pyramidy spočítáme podle vzorce:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v, \]

kde \( S_p \) je obsah podstavy.

Protože podstava je čtverec o straně 8 cm, platí:

\[ S_p = a^2 = 8^2 = 64 \, \text{cm}^2. \]

Dosadíme do vzorce pro objem:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 15 = \frac{1}{3} \cdot 960 = 320 \, \text{cm}^3. \]

Objem pyramidy je tedy 320 cm³.

Nyní spočítáme obsah povrchu pyramidy. Povrch se skládá z obsahu podstavy a obsahu čtyř bočních trojúhelníků.

Obsah podstavy už známe, je to 64 cm².

Obsah jedné boční stěny (trojúhelníku) spočítáme jako:

\[ S_b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot v_b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 17 = 4 \cdot 17 = 68 \, \text{cm}^2. \]

Obsah všech čtyř bočních stěn je tedy:

\[ 4 \cdot S_b = 4 \cdot 68 = 272 \, \text{cm}^2. \]

Celkový povrch pyramidy je součet obsahu podstavy a bočních stěn:

\[ S = S_p + 4 \cdot S_b = 64 + 272 = 336 \, \text{cm}^2. \]

Výsledkem je:

Objem pyramidy \( V = 320 \, \text{cm}^3 \)

Obsah povrchu pyramidy \( S = 336 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Zapíšeme základní údaje:

Strana podstavy: \( a = 6 \, \text{cm} \)

Výška pyramidy: \( v = 10 \, \text{cm} \)

Podstava je pravidelný šestiúhelník. Jeho obsah vypočítáme podle vzorce:

\[ S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2, \]

dosadíme:

\[ S_p = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 6^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 54 \sqrt{3} \, \text{cm}^2. \]

Objem pyramidy je:

\[ V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 54 \sqrt{3} \cdot 10 = 180 \sqrt{3} \, \text{cm}^3. \]

Nyní spočítáme výšku boční stěny \( v_b \). Nejprve určíme apotému podstavy \( r \), která je výškou pravidelného šestiúhelníku:

\[ r = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} \, \text{cm}. \]

Boční stěna je rovnostranný trojúhelník, jehož výška je dána vztahem (Pythagorova věta v pravoúhlém trojúhelníku vytvořeném výškou pyramidy a apotémou):

\[ v_b = \sqrt{v^2 + r^2} = \sqrt{10^2 + (3 \sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 27} = \sqrt{127} \approx 11{,}27 \, \text{cm}. \]

Závěr:

Objem pyramidy je \( V = 180 \sqrt{3} \approx 311{,}77 \, \text{cm}^3 \).

Výška boční stěny je přibližně \( v_b \approx 11{,}27 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme obsah trojúhelníkové podstavy pomocí Heronova vzorce.

Polovina obvodu:

\[ s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \, \text{cm}. \]

Obsah podstavy:

\[ S_p = \sqrt{s (s – a)(s – b)(s – c)} = \sqrt{9 (9 – 5)(9 – 6)(9 – 7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6 \sqrt{6} \, \text{cm}^2. \]

Objem pyramidy je:

\[ V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 6 \sqrt{6} \cdot 9 = 18 \sqrt{6} \, \text{cm}^3. \]

Boční stěna je rovnostranný trojúhelník se stranou 7 cm, takže její výška je:

\[ v_b = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 7 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 7 = \frac{7 \sqrt{3}}{2} \approx 6{,}06 \, \text{cm}. \]

Výška boční stěny je tedy přibližně 6,06 cm.

Závěr:

Objem pyramidy je \( 18 \sqrt{6} \approx 44{,}09 \, \text{cm}^3 \).

Výška boční stěny je přibližně \( 6{,}06 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Rozměry podstavy jsou:

\[ a = 10 \, \text{cm}, \quad b = 6 \, \text{cm}. \]

Délka úhlopříčky podstavy \( d \) je podle Pythagorovy věty:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} \approx 11{,}66 \, \text{cm}. \]

Obsah podstavy je:

\[ S_p = a \cdot b = 10 \cdot 6 = 60 \, \text{cm}^2. \]

Objem pyramidy vypočteme vzorcem:

\[ V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot 12 = 240 \, \text{cm}^3. \]

Závěr:

Délka úhlopříčky podstavy je přibližně \( 11{,}66 \, \text{cm} \).

Objem pyramidy je \( 240 \, \text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Strana podstavy: \( a = 7 \, \text{cm} \)

Výška pyramidy: \( v = 20 \, \text{cm} \)

Výška boční stěny: \( v_b = 25 \, \text{cm} \)

Obsah pravidelného pětiúhelníku spočítáme podle vzorce:

\[ S_p = \frac{5}{4} a^2 \cot \frac{\pi}{5}. \]

Nejprve spočítáme hodnotu \(\cot \frac{\pi}{5}\). Úhel \(\frac{\pi}{5} = 36^\circ\), pro který platí:

\[ \cot 36^\circ = \frac{1}{\tan 36^\circ} \approx \frac{1}{0{,}7265} \approx 1{,}3764. \]

Dosadíme do vzorce pro obsah:

\[ S_p = \frac{5}{4} \cdot 7^2 \cdot 1{,}3764 = \frac{5}{4} \cdot 49 \cdot 1{,}3764 = 1{,}25 \cdot 49 \cdot 1{,}3764 \approx 84{,}2 \, \text{cm}^2. \]

Obsah podstavy je přibližně 84,2 cm².

Povrch pyramidy se skládá z podstavy a 5 bočních trojúhelníků.

Obsah jedné boční stěny:

\[ S_b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot v_b = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 25 = 3{,}5 \cdot 25 = 87{,}5 \, \text{cm}^2. \]

Celkový obsah bočních stěn:

\[ 5 \cdot S_b = 5 \cdot 87{,}5 = 437{,}5 \, \text{cm}^2. \]

Povrch pyramidy je tedy:

\[ S = S_p + 5 \cdot S_b = 84{,}2 + 437{,}5 = 521{,}7 \, \text{cm}^2. \]

Závěr: Povrch pyramidy je přibližně 521,7 cm².

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme obsah podstavy, což je rovnostranný trojúhelník se stranou \(a = 8\,cm\). Obsah rovnostranného trojúhelníku lze vypočítat podle vzorce

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Dosadíme hodnotu \(a = 8\):

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16 \sqrt{3}\, cm^2 \]

Objem pyramidy se počítá jako:

\[ V = \frac{1}{3} S v \]

kde \(v = 12\,cm\) je výška pyramidy. Dosadíme:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 16 \sqrt{3} \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 192 \sqrt{3} = 64 \sqrt{3}\, cm^3 \]

Tedy objem pyramidy je \(64 \sqrt{3}\, cm^3\), což je přibližně \(110.85\, cm^3\).

Řešení příkladu:

Délka úhlopříčky čtverce s délkou strany \(a=10\,cm\) se vypočítá pomocí Pythagorovy věty:

\[ d = a \sqrt{2} = 10 \sqrt{2}\, cm \]

Objem pyramidy s čtvercovou podstavou je:

\[ V = \frac{1}{3} S v \]

Obsah podstavy je:

\[ S = a^2 = 10^2 = 100\, cm^2 \]

Dosadíme do vzorce pro objem, kde \(v=15\,cm\):

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 15 = \frac{1500}{3} = 500\, cm^3 \]

Délka úhlopříčky podstavy je tedy \(10 \sqrt{2} \approx 14.14\, cm\) a objem pyramidy je \(500\, cm^3\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme obsah podstavy, která je pravoúhlý trojúhelník se stranami 9 cm a 12 cm (odvěsny):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\, cm^2 \]

Objem pyramidy je dán vzorcem:

\[ V = \frac{1}{3} S v \]

Dosadíme známé hodnoty \(V = 972\, cm^3\) a \(v = 18\, cm\):

\[ 972 = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 18 \]

Ověříme pravdivost:

\[ \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 18 = 18 \cdot 18 = 324 \]

To neodpovídá 972, takže zde je chyba ve výpočtu. Zkontrolujeme znovu.

Vyjádříme správně obsah podstavy ze známého objemu a výšky:

\[ V = \frac{1}{3} S v \Rightarrow S = \frac{3V}{v} = \frac{3 \cdot 972}{18} = \frac{2916}{18} = 162\, cm^2 \]

To znamená, že obsah podstavy je 162 cm², ale podle odvěsen 9 cm a 12 cm je obsah 54 cm². Podstata tedy není pravoúhlý trojúhelník s těmito odvěsnami nebo výška není kolmice na tuto podstavu. Zadání může být, že výška pyramidy není kolmá na podstavu, ale na její rovinu, což ale není v zadání.

Předpokládejme, že výška pyramidy je správná, objem a odvěsny podstavy také, a úkol je vypočítat přeponu pravoúhlého trojúhelníku.

Protože obsah by měl být 54, ale podle výšky a objemu by měl být 162, vyřešíme přeponu a zkontrolujeme.

Délku přepony \(c\) vypočítáme podle Pythagorovy věty:

\[ c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\, cm \]

Délka přepony je 15 cm.

Závěr: Délka přepony podstavy je 15 cm.

Řešení příkladu:

Pravidelný šestiúhelník lze rozdělit na 6 rovnostranných trojúhelníků o straně \(a = 6\,cm\).

Obsah jednoho rovnostranného trojúhelníku je:

\[ S_t = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9 \sqrt{3}\, cm^2 \]

Celkový obsah podstavy je tedy:

\[ S = 6 \cdot S_t = 6 \cdot 9 \sqrt{3} = 54 \sqrt{3}\, cm^2 \]

Objem pyramidy je:

\[ V = \frac{1}{3} S v = \frac{1}{3} \cdot 54 \sqrt{3} \cdot 10 = 180 \sqrt{3}\, cm^3 \]

Tedy objem pyramidy je \(180 \sqrt{3}\, cm^3\), což je přibližně \(311.77\, cm^3\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme délky stran podstavy. Podstava je pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník s odvěsnami \(a = b = 7\,cm\).

Délka přepony \(c\) je podle Pythagorovy věty:

\[ c = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7 \sqrt{2}\, cm \]

Obsah podstavy je:

\[ S_p = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 7 = \frac{49}{2} = 24.5\, cm^2 \]

Povrch pyramidy je součtem obsahu podstavy a obsahů všech bočních stěn.

Každá boční stěna je trojúhelník s jednou stranou podstavy jako základnou a výškou, která je výškou této boční stěny.

Obsahy bočních stěn vypočítáme jednotlivě.

První boční stěna (odvěsna 7 cm, výška 10 cm):

\[ S_1 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 10 = 35\, cm^2 \]

Druhá boční stěna (druhá odvěsna 7 cm, výška 10 cm):

\[ S_2 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 10 = 35\, cm^2 \]

Třetí boční stěna (přepona \(7 \sqrt{2}\, cm\), výška 9 cm):

\[ S_3 = \frac{1}{2} \cdot 7 \sqrt{2} \cdot 9 = \frac{63 \sqrt{2}}{2} \approx 44.55\, cm^2 \]

Celkový povrch pyramidy je tedy:

\[ S = S_p + S_1 + S_2 + S_3 = 24.5 + 35 + 35 + 44.55 = 139.05\, cm^2 \]

Tedy povrch pyramidy je přibližně \(139.05\, cm^2\).

Řešení příkladu:

Podstava je čtverec se stranou \(a = 16\,cm\). Boční stěna je rovnostranný trojúhelník, jehož jedna hrana je strana podstavy a dvě další jsou hrany bočních stěn, které jsou shodné.

Výška pyramidy je kolmice z vrcholu na podstavu o délce \(v = 20\,cm\).

Nejprve určíme vzdálenost vrcholu podstavy od středu podstavy, což je polovina délky úhlopříčky podstavy.

Úhlopříčka čtverce je:

\[ d = a \sqrt{2} = 16 \sqrt{2}\, cm \]

Poloha středu podstavy je tedy vzdálená \(r = \frac{d}{2} = 8 \sqrt{2}\, cm\).

Hrana boční stěny je vzdálenost vrcholu pyramidy k vrcholu podstavy. Tvoří pravý trojúhelník s výškou pyramidy a vzdáleností \(r\) v rovině podstavy.

Délku hrany boční stěny označíme \(l\). Pak platí:

\[ l = \sqrt{v^2 + r^2} = \sqrt{20^2 + (8 \sqrt{2})^2} = \sqrt{400 + 64 \cdot 2} = \sqrt{400 + 128} = \sqrt{528} \]

Upravíme odmocninu:

\[ \sqrt{528} = \sqrt{16 \cdot 33} = 4 \sqrt{33} \approx 22.91\, cm \]

Tedy délka hrany boční stěny je přibližně \(22.91\, cm\).

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme obsah základny. Základna je čtverec o hraně 12 cm, takže obsah základny je \( S = 12^2 = 144 \, \mathrm{cm}^2 \).

Objem pyramidy se počítá podle vzorce \( V = \frac{1}{3} S v \), kde \( v \) je výška pyramidy.

Dosadíme hodnoty: \( V = \frac{1}{3} \times 144 \times 9 = 432 \, \mathrm{cm}^3 \).

Pro povrch musíme spočítat obsah bočních stěn. Boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky, tedy všechny strany mají délku 12 cm.

Výška rovnostranného trojúhelníku o straně \( a = 12 \) je \( h_t = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6 \sqrt{3} \, \mathrm{cm} \).

Obsah jednoho bočního trojúhelníku je \( S_b = \frac{1}{2} \times 12 \times 6 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3} \, \mathrm{cm}^2 \).

Pyramid má 4 boční stěny, takže celkový obsah bočních stěn je \( 4 \times 36 \sqrt{3} = 144 \sqrt{3} \, \mathrm{cm}^2 \).

Celkový povrch pyramidy je součet obsahu základny a bočních stěn: \( S_{celk} = 144 + 144 \sqrt{3} \, \mathrm{cm}^2 \).

Výsledek tedy je:

Objem pyramidy: \( 432 \, \mathrm{cm}^3 \)

Povrch pyramidy: \( 144 + 144 \sqrt{3} \, \mathrm{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Základna je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 5 cm a 12 cm, přepona tedy bude \( c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \mathrm{cm} \).

Obsah základny spočítáme jako \( S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \, \mathrm{cm}^2 \).

Výška pyramidy je 10 cm, takže objem je \( V = \frac{1}{3} \times 30 \times 10 = 100 \, \mathrm{cm}^3 \).

Délka hrany spojující vrchol pyramidy s pravým úhlem základny je vzdálenost mezi bodem na základně a vrcholem pyramidy. Protože výška je kolmá k základně, vytvoříme pravoúhlý trojúhelník, kde jedna odvěsna je výška 10 cm a druhá je vzdálenost od pravého úhlu k ose výšky.

Vzhledem k tomu, že výška pyramidy je kolmá k základně, vzdálenost od pravého úhlu k kolmici je 0, tedy délka této hrany je rovna výšce pyramidy, tedy 10 cm.

Povrch pyramidy spočítáme jako součet obsahu základny a obsahů bočních stěn. Boční stěny jsou trojúhelníky, jejichž základnou jsou strany základny a výškou délky hran vedoucích od vrcholu pyramidy k příslušným vrcholům základny.

Pro přesný výpočet bočních ploch spočítáme délky hran spojujících vrchol pyramidy s vrcholy základny. Vrchol pyramidy je kolmý nad základnou, proto délky hran odpovídají vzdálenosti mezi vrcholem základny a bodem přímo nad základnou ve výšce 10 cm.

Délky hran jsou:

– K vrcholu s odvěsnou 5 cm: \( \sqrt{10^2 + 0^2} = 10 \, \mathrm{cm} \)

– K vrcholu s odvěsnou 12 cm: \( \sqrt{10^2 + 0^2} = 10 \, \mathrm{cm} \)

– K vrcholu s přeponou 13 cm: \( \sqrt{10^2 + 0^2} = 10 \, \mathrm{cm} \)

Všechny boční stěny mají tedy stejnou výšku 10 cm a základny 5 cm, 12 cm a 13 cm.

Obsahy bočních stěn jsou:

\( S_1 = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25 \, \mathrm{cm}^2 \)

\( S_2 = \frac{1}{2} \times 12 \times 10 = 60 \, \mathrm{cm}^2 \)

\( S_3 = \frac{1}{2} \times 13 \times 10 = 65 \, \mathrm{cm}^2 \)

Celkový povrch je tedy \( S = 30 + 25 + 60 + 65 = 180 \, \mathrm{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme obsah šestiúhelníkové základny. Pravidelný šestiúhelník o straně \( a = 8 \, \mathrm{cm} \) má obsah:

\( S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 64 = 96 \sqrt{3} \, \mathrm{cm}^2 \).

Objem pyramidy spočítáme podle vzorce \( V = \frac{1}{3} S v = \frac{1}{3} \times 96 \sqrt{3} \times 15 = 480 \sqrt{3} \, \mathrm{cm}^3 \).

Pro povrch pyramidy musíme spočítat obsah bočních stěn. Boční stěny jsou trojúhelníky s jednou stranou 8 cm (strana základny) a výškou odpovídající délce hrany pyramidy.

Nejdříve určíme délku hrany pyramidy. Výška pyramidy je kolmice na základnu, takže délka hrany odpovídá délce úseku spojujícího vrchol pyramidy s vrcholem základny.

Poloměr opsané kružnice kolem pravidelného šestiúhelníku je roven délce jeho strany, tedy 8 cm. Výška pyramidy je 15 cm.

Délka hrany je tedy \( l = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \, \mathrm{cm} \).

Obsah jedné boční stěny je \( S_b = \frac{1}{2} \times 8 \times 17 = 68 \, \mathrm{cm}^2 \).

Pyramida má 6 bočních stěn, takže celkový obsah bočních stěn je \( 6 \times 68 = 408 \, \mathrm{cm}^2 \).

Celkový povrch pyramidy je součet základny a bočních stěn: \( S_{celk} = 96 \sqrt{3} + 408 \, \mathrm{cm}^2 \).

Výsledky:

Objem pyramidy: \( 480 \sqrt{3} \, \mathrm{cm}^3 \)

Povrch pyramidy: \( 96 \sqrt{3} + 408 \, \mathrm{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Základna je čtverec o straně 10 cm, obsah základny je \( S = 10^2 = 100 \, \mathrm{cm}^2 \).

Délka hrany pyramidy je 13 cm, což je délka strany trojúhelníkové boční stěny pyramidy.

Výška pyramidy je kolmice spuštěná z vrcholu pyramidy na základnu, kterou určíme pomocí pravoúhlého trojúhelníku, kde přepona je hrana pyramidy, jedna odvěsna je polovina strany základny a druhá odvěsna je výška pyramidy.

Polovina strany základny je \( \frac{10}{2} = 5 \, \mathrm{cm} \).

Z pravoúhlého trojúhelníku platí: \( 13^2 = 5^2 + v^2 \Rightarrow 169 = 25 + v^2 \Rightarrow v^2 = 144 \Rightarrow v = 12 \, \mathrm{cm} \).

Výška pyramidy je tedy 12 cm.

Obsah jedné boční stěny je trojúhelník se stranou 10 cm a výškou 13 cm, ale musíme určit výšku boční stěny, která je odlišná od výšky pyramidy. Výška boční stěny odpovídá výšce trojúhelníka s délkou základny 10 cm a stranou 13 cm.

Výšku boční stěny \( h_b \) spočítáme podle Pythagorovy věty:

Výška boční stěny je výška trojúhelníka se stranami 10 cm (základna) a dvěma shodnými stranami 13 cm.

Vypočteme pomocí Heronova vzorce nebo přímo výšku z pravoúhlého trojúhelníku, kde polovina základny je 5 cm a přepona je 13 cm:

\( h_b = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12 \, \mathrm{cm} \).

Obsah jedné boční stěny je \( S_b = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \, \mathrm{cm}^2 \).

Pyramida má 4 boční stěny, celkový obsah bočních stěn je \( 4 \times 60 = 240 \, \mathrm{cm}^2 \).

Celkový povrch pyramidy je \( 100 + 240 = 340 \, \mathrm{cm}^2 \).

Výsledky:

Výška pyramidy: 12 cm

Povrch pyramidy: 340 cm²

Řešení příkladu:

Základna je trojúhelník se stranami 7 cm, 24 cm a 25 cm. Ověříme, zda je pravoúhlý:

\( 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 \), tedy ano, trojúhelník je pravoúhlý s přeponou 25 cm.

Obsah základny je \( S = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84 \, \mathrm{cm}^2 \).

Objem pyramidy je \( V = \frac{1}{3} \times 84 \times 18 = 504 \, \mathrm{cm}^3 \).

Délku hrany spojující vrchol pyramidy s vrcholem základny u strany 7 cm určíme pomocí pravoúhlého trojúhelníku, kde jedna odvěsna je výška pyramidy (18 cm) a druhá je vzdálenost vrcholu základny od kolmice, což je nulové, protože výška je kolmá na základnu.

Tedy délka hrany je rovna výšce pyramidy, tedy 18 cm.

Výsledky:

Objem pyramidy: 504 cm³

Délka hrany spojující vrchol pyramidy s vrcholem základny (strana 7 cm): 18 cm

Řešení příkladu:

Objem pyramidy \( V \) se vypočítá podle vzorce pro objem pyramidy s pravidelnou podstavou:

\( V = \frac{1}{3} \times S_p \times v \), kde \( S_p \) je obsah podstavy a \( v \) je výška pyramidy.

Podstava je čtverec o straně 12 cm, tedy její obsah je:

\( S_p = 12 \times 12 = 144 \, \text{cm}^2 \).

Výška pyramidy je \( v = 15 \, \text{cm} \).

Dosadíme do vzorce:

\( V = \frac{1}{3} \times 144 \times 15 = \frac{1}{3} \times 2160 = 720 \, \text{cm}^3 \).

Tedy objem pyramidy je \( 720 \, \text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Objem pyramidy je dán vzorcem:

\( V = \frac{1}{3} \times S_p \times v \), kde \( S_p \) je obsah podstavy a \( v \) výška pyramidy.

Podstava je rovnostranný trojúhelník se stranou 10 cm. Obsah rovnostranného trojúhelníku je:

\( S_p = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 = 25\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \).

Objem je 200 cm³, tedy:

\( 200 = \frac{1}{3} \times 25\sqrt{3} \times v \Rightarrow v = \frac{200 \times 3}{25\sqrt{3}} = \frac{600}{25\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \).

Racionalizujeme jmenovatel:

\( v = \frac{24}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \approx 13,856 \, \text{cm} \).

Výška pyramidy je přibližně 13,856 cm.

Řešení příkladu:

Povrch pyramidy je součet obsahu podstavy a obsahů všech bočních stěn.

Podstava je pravidelný pětiúhelník o straně 6 cm. Obsah pravidelného pětiúhelníku je:

\( S_p = \frac{5}{4} a^2 \cot \frac{\pi}{5} \).

Vypočteme hodnotu:

Nejprve \(\cot \frac{\pi}{5} = \cot 36^\circ \approx 1,37638.\)

\( S_p = \frac{5}{4} \times 6^2 \times 1,37638 = \frac{5}{4} \times 36 \times 1,37638 = 45 \times 1,37638 = 61,9371 \, \text{cm}^2 \).

Boční stěna je trojúhelník s podstavnou stranou 6 cm a výškou stěny 10 cm.

Obsah jedné boční stěny je:

\( S_b = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 = 30 \, \text{cm}^2 \).

Pět bočních stěn má celkový obsah:

\( 5 \times 30 = 150 \, \text{cm}^2 \).

Povrch pyramidy je:

\( S = S_p + 5 \times S_b = 61,9371 + 150 = 211,9371 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Podstava je pravidelný šestiúhelník s délkou strany \( a = 8 \, \text{cm} \).

Nejprve vypočítáme poloměr kružnice opsané podstavě, který je vzdáleností vrcholu podstavy k jejímu středu:

\( R = a = 8 \, \text{cm} \) (pro pravidelný šestiúhelník platí, že poloměr opsané kružnice je rovný délce strany).

Výška pyramidy je \( v = 12 \, \text{cm} \).

Boční stěna je trojúhelník, jehož výška kolmý k podstavě je \( h_b \) (to chceme zjistit), a je tvořen spojnicí vrcholu pyramidy s jednou stranou podstavy.

Podstavná délka (polovina strany podstavy) je \( \frac{a}{2} = 4 \, \text{cm} \).

Výška boční stěny je přepona pravoúhlého trojúhelníku, kde jedna odvěsna je výška pyramidy \( v \), druhá odvěsna je vzdálenost od středu podstavy k polovině strany (tzv. apotéma podstavy).

Apotéma pravidelného šestiúhelníku je:

\( a_p = a \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6,928 \, \text{cm} \).

Výška boční stěny je tedy:

\( h_b = \sqrt{v^2 + a_p^2} = \sqrt{12^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 16 \times 3} = \sqrt{144 + 48} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \approx 13,856 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Boční plocha pyramidy je součet obsahů čtyř bočních trojúhelníků.

Každá boční stěna je trojúhelník se základnou 10 cm (strana podstavy) a výškou boční stěny 13 cm.

Obsah jednoho bočního trojúhelníku je:

\( S_b = \frac{1}{2} \times a \times h_b = \frac{1}{2} \times 10 \times 13 = 65 \, \text{cm}^2 \).

Bočních stěn je 4, celkový obsah boční plochy je tedy:

\( S_{\text{boční}} = 4 \times 65 = 260 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Vytvoříme pravoúhlý trojúhelník, kde jedna odvěsna je výška pyramidy \( v = 9 \, \text{cm} \), druhá odvěsna je apotéma podstavy \( a_p \) (výška pravidelného pětiúhelníku), přepona je výška boční stěny \( h_b = 13 \, \text{cm} \).

Z Pythagorovy věty platí:

\( h_b^2 = v^2 + a_p^2 \Rightarrow a_p = \sqrt{h_b^2 – v^2} = \sqrt{13^2 – 9^2} = \sqrt{169 – 81} = \sqrt{88} \approx 9,38 \, \text{cm} \).

Apotéma pravidelného pětiúhelníku je vztažena k délce strany \( a \) podle vzorce:

\( a_p = \frac{a}{2 \tan \frac{\pi}{5}} \).

Proto:

\( 9,38 = \frac{a}{2 \tan 36^\circ} \Rightarrow a = 9,38 \times 2 \tan 36^\circ \).

Hodnota \( \tan 36^\circ \approx 0,7265 \), tedy:

\( a = 9,38 \times 2 \times 0,7265 = 9,38 \times 1,453 = 13,62 \, \text{cm} \).

Délka strany podstavy je přibližně 13,62 cm.

Řešení příkladu:

Úhel mezi výškou pyramidy \( v = 10 \, \text{cm} \) a výškou boční stěny \( h_b = 12 \, \text{cm} \) označíme \( \alpha \).

Výška boční stěny je přepona v pravoúhlém trojúhelníku, kde jedna odvěsna je výška pyramidy a druhá vzdálenost apotémy podstavy (kolmá vzdálenost k boční stěně).

Apotéma pravidelného šestiúhelníku je:

\( a_p = a \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4,33 \, \text{cm} \).

Úhel \( \alpha \) mezi výškou pyramidy a výškou boční stěny vypočítáme jako úhel u vrcholu pyramidy v tomto pravoúhlém trojúhelníku, kde platí:

\( \cos \alpha = \frac{\text{přilehlá odvěsna}}{\text{přepona}} = \frac{v}{h_b} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0,8333 \).

Úhel \( \alpha = \arccos 0,8333 \approx 33,56^\circ \).

Tedy úhel mezi výškou pyramidy a výškou boční stěny je přibližně \( 33,56^\circ \).