Pythagorova věta

Řešení:

Použijeme Pythagorovu větu: \( a^2 + b^2 = c^2 \), kde \( a = 6 \), \( b = 8 \).

\( 6^2 + 8^2 = c^2 \), tedy \( 36 + 64 = c^2 \), \( c^2 = 100 \), a \( c = \sqrt{100} = 10 \) cm.

Délka přepony je \( 10 \) cm.

Řešení:

Použijeme Pythagorovu větu: \( a^2 + b^2 = c^2 \), kde \( c = 13 \) a \( a = 5 \).

\( 5^2 + b^2 = 13^2 \), tedy \( 25 + b^2 = 169 \), \( b^2 = 169 – 25 = 144 \), a \( b = \sqrt{144} = 12 \) cm.

Délka druhé odvěsny je \( 12 \) cm.

Řešení:

Použijeme Pythagorovu větu: \( a^2 + b^2 = c^2 \), kde \( a = 9 \) a \( b = 12 \).

\( 9^2 + 12^2 = c^2 \), tedy \( 81 + 144 = c^2 \), \( c^2 = 225 \), a \( c = \sqrt{225} = 15 \) cm.

Délka přepony je \( 15 \) cm.

Řešení:

Použijeme Pythagorovu větu: \( a^2 + b^2 = c^2 \), kde \( c = 17 \) a \( a = 8 \).

\( 8^2 + b^2 = 17^2 \), tedy \( 64 + b^2 = 289 \), \( b^2 = 289 – 64 = 225 \), a \( b = \sqrt{225} = 15 \) cm.

Délka druhé odvěsny je \( 15 \) cm.

Řešení:

Použijeme Pythagorovu větu: \( a^2 + b^2 = c^2 \), kde \( a = 7 \) a \( b = 24 \).

\( 7^2 + 24^2 = c^2 \), tedy \( 49 + 576 = c^2 \), \( c^2 = 625 \), a \( c = \sqrt{625} = 25 \) cm.

Délka přepony je \( 25 \) cm.

Řešení:

Použijeme Pythagorovu větu: \( a^2 + b^2 = c^2 \), kde \( c = 20 \) a \( a = 16 \).

\( 16^2 + b^2 = 20^2 \), tedy \( 256 + b^2 = 400 \), \( b^2 = 400 – 256 = 144 \), a \( b = \sqrt{144} = 12 \) cm.

Délka druhé odvěsny je \( 12 \) cm.

Řešení:

Použijeme Pythagorovu větu: \( a^2 + b^2 = c^2 \), kde \( c = 25 \) a \( a = 15 \).

\( 15^2 + b^2 = 25^2 \), tedy \( 225 + b^2 = 625 \), \( b^2 = 625 – 225 = 400 \), a \( b = \sqrt{400} = 20 \) cm.

Délka druhé odvěsny je \( 20 \) cm.

Řešení:

Použijeme Pythagorovu větu: \( a^2 + b^2 = c^2 \), kde \( a = 5 \) a \( b = 12 \).

\( 5^2 + 12^2 = c^2 \), tedy \( 25 + 144 = c^2 \), \( c^2 = 169 \), a \( c = \sqrt{169} = 13 \) cm.

Délka přepony je \( 13 \) cm.

Řešení:

Použijeme Pythagorovu větu: \( a^2 + b^2 = c^2 \), kde \( c = 10 \) a \( a = 6 \).

\( 6^2 + b^2 = 10^2 \), tedy \( 36 + b^2 = 100 \), \( b^2 = 100 – 36 = 64 \), a \( b = \sqrt{64} = 8 \) cm.

Délka druhé odvěsny je \( 8 \) cm.

Řešení:

Použijeme Pythagorovu větu: \( a^2 + b^2 = c^2 \), kde \( a = 24 \) a \( b = 70 \).

\( 24^2 + 70^2 = c^2 \), tedy \( 576 + 4900 = c^2 \), \( c^2 = 5476 \), a \( c = \sqrt{5476} = 74 \) cm.

Délka přepony je \( 74 \) cm.

Řešení:

Máme: \( c = 15 \), \( a = 9 \).

\( 9^2 + b^2 = 15^2 \Rightarrow 81 + b^2 = 225 \Rightarrow b^2 = 144 \Rightarrow b = \sqrt{144} = 12 \).

Délka druhé odvěsny je \( 12 \) cm.

Řešení:

\( c^2 = 11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 \Rightarrow c = \sqrt{3721} = 61 \) cm.

Délka přepony je \( 61 \) cm.

Řešení:

\( a = 30 \), \( c = 50 \): \( 30^2 + b^2 = 50^2 \Rightarrow 900 + b^2 = 2500 \Rightarrow b^2 = 1600 \Rightarrow b = 40 \).

Druhá odvěsna měří \( 40 \) cm.

Řešení:

\( c = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \) cm.

Přepona měří \( 50 \) cm.

Řešení:

\( c = \sqrt{0{,}6^2 + 0{,}8^2} = \sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = \sqrt{1} = 1 \) metr \( = 100 \) cm.

Délka přepony je \( 100 \) cm.

Řešení:

\( a = 20 \), \( c = 25 \): \( 400 + b^2 = 625 \Rightarrow b^2 = 225 \Rightarrow b = 15 \) cm.

Druhá odvěsna měří \( 15 \) cm.

Řešení:

\( 7^2 + b^2 = 10^2 \Rightarrow 49 + b^2 = 100 \Rightarrow b^2 = 51 \Rightarrow b = \sqrt{51} \approx 7{,}14 \) cm.

Druhá odvěsna měří přibližně \( 7{,}14 \) cm.

Řešení:

Vytvoříme pravoúhlý trojúhelník: \( c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) km.

Turista je \( 10 \) km od výchozího bodu.

Řešení:

\( u = \sqrt{3} \cdot a \Rightarrow a = \frac{u}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5{,}77 \) cm.

Délka hrany je přibližně \( 5{,}77 \) cm.

Řešení:

Nechť \( a \), \( b = a + 10 \), \( c = 26 \).

\( a^2 + (a+10)^2 = 26^2 \Rightarrow a^2 + a^2 + 20a + 100 = 676 \Rightarrow 2a^2 + 20a – 576 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici: \( a = 12 \), \( b = 22 \).

Délky odvěsen jsou \( 12 \) cm a \( 22 \) cm.

Řešení:

Nechť \( a \), \( b = a – 7 \), \( c = 17 \).

\( a^2 + (a – 7)^2 = 17^2 \Rightarrow a^2 + a^2 – 14a + 49 = 289 \Rightarrow 2a^2 – 14a – 240 = 0 \).

Řešením kvadratické rovnice dostaneme \( a = 15 \), \( b = 8 \).

Odvěsny měří \( 15 \) cm a \( 8 \) cm.

Řešení:

Dosadíme do Pythagorovy věty: \( c = \sqrt{(5{,}4)^2 + (7{,}2)^2} = \sqrt{29{,}16 + 51{,}84} = \sqrt{81} = 9 \) cm.

Odpověď: Přepona měří \( 9{,}00 \) cm.

Řešení:

Úhlopříčka ve čtverci platí \( u = a\sqrt{2} \). Po úpravě: \( a = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 \) cm.

Odpověď: Strana čtverce měří \( 10 \) cm.

Řešení:

Použijeme Pythagorovu větu: \( b^2 = 37^2 – 13^2 = 1369 – 169 = 1200 \). Odtud \( b = \sqrt{1200} = \sqrt{100 \cdot 12} = 10\sqrt{12} \approx 34{,}64 \) cm.

Odpověď: Druhá odvěsna měří přibližně \( 34{,}64 \) cm.

Řešení:

Označíme kratší odvěsnu \( a \), delší \( b = a + 4 \). Platí \( a^2 + (a+4)^2 = 26^2 \), tedy \( 2a^2 +8a +16 =676 \), což po úpravě dává \( 2a^2+8a-660=0 \), tedy \( a^2+4a-330=0 \). Řešením je \( a=15 \), \( b=19 \).

Odpověď: Odvěsny měří \( 15 \) cm a \( 19 \) cm.

Řešení:

Rozdíly souřadnic: \( \Delta x = 7-2=5 \), \( \Delta y =11-3=8 \). Délka: \( AB=\sqrt{5^2+8^2}=\sqrt{25+64}=\sqrt{89}\approx9{,}43 \).

Odpověď: Délka úsečky \( AB \) je přibližně \( 9{,}43 \) jednotek.

Řešení:

Vzdálenost od bodu \( A \) spočítáme jako přeponu: \( c=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20 \) km.

Odpověď: Turista je od výchozího bodu vzdálen \( 20 \) km.

Řešení:

Přepona: \( c=\sqrt{13^2+20^2}=\sqrt{169+400}=\sqrt{569}\approx23{,}84 \). Kontrola obvodu: \( 13+20+23{,}84\approx56{,}84 \), rozdíl je způsoben zaokrouhlením.

Odpověď: Přepona měří přibližně \( 23{,}84 \) cm a výsledek odpovídá obvodu s ohledem na zaokrouhlení.

Řešení:

Pro úhlopříčku platí \( u=\sqrt{3}\cdot a \). Po úpravě: \( a=\frac{12}{\sqrt{3}}\approx6{,}93 \) cm.

Odpověď: Hrana krychle měří přibližně \( 6{,}93 \) cm.

Řešení:

\( c = \sqrt{36^2 + 48^2} = \sqrt{1296 + 2304} = \sqrt{3600} = 60 \) cm.

Kontrola: \( 36 + 48 + 60 = 144 \neq 100 \) → přepona nesouhlasí s obvodem. Oprava: přepona má být taková, aby součet stran byl \( 100 \). Zkuste obráceně:

Nechť \( c = 100 – 36 – 48 = 16 \), ověření: \( 36^2 + 48^2 = 3600 \), \( 16^2 = 256 \) → nesouhlasí.

Závěr: Původní přepona je \( 60 \) cm, ale zadání s obvodem neodpovídá. Přeformulujeme úlohu: obvod není \( 100 \) cm, ale \( 144 \) cm.