1. Najděte všechna reálná řešení reciproké rovnice \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = 1 \).
Řešení příkladu 1:
Máme rovnici \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = 1 \). Nejprve sjednotíme levý výraz na společného jmenovatele:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = \frac{x-2}{x(x-2)} + \frac{x}{x(x-2)} = \frac{(x-2) + x}{x(x-2)} = \frac{2x – 2}{x(x-2)} \).
Rovnice tedy je \( \frac{2x – 2}{x(x-2)} = 1 \).
Nyní vynásobíme obě strany rovnice výrazem \( x(x-2) \), přičemž upozorňujeme, že \( x \neq 0 \) a \( x \neq 2 \) (jmenovatel nesmí být nula):
\( 2x – 2 = x(x – 2) \Rightarrow 2x – 2 = x^2 – 2x \).
Upravíme na kvadratickou rovnici:
\( 0 = x^2 – 2x – 2x + 2 = x^2 – 4x + 2 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 4x + 2 = 0 \) pomocí diskriminantu \( D = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 – 8 = 8 \).
Kořeny jsou:
\( x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} \).
Zkontrolujeme, zda nevyhovují vyloučené hodnoty \( x=0 \) a \( x=2 \). Kořeny jsou \( 2 + \sqrt{2} \) a \( 2 – \sqrt{2} \), ani jeden není \(0\) nebo \(2\).
Tedy řešení jsou \( x = 2 + \sqrt{2} \) a \( x = 2 – \sqrt{2} \).
2. Vyřešte rovnice \( \frac{2}{x+1} – \frac{3}{x-1} = \frac{5}{x^2 – 1} \).
Řešení příkladu 2:
Nejprve si uvědomíme, že \( x^2 – 1 = (x+1)(x-1) \), takže jmenovatel na pravé straně můžeme rozepsat.
Rovnice je tedy:
\( \frac{2}{x+1} – \frac{3}{x-1} = \frac{5}{(x+1)(x-1)} \).
Vynásobíme celou rovnici výrazem \( (x+1)(x-1) \) (kde \( x \neq \pm 1 \)):
\( 2(x-1) – 3(x+1) = 5 \).
Roznásobíme:
\( 2x – 2 – 3x – 3 = 5 \Rightarrow -x – 5 = 5 \).
Upravíme na lineární rovnici:
\( -x = 10 \Rightarrow x = -10 \).
Zkontrolujeme, zda \( x = -10 \neq \pm 1 \), což platí.
Řešení je \( x = -10 \).
3. Určete množinu řešení rovnice \( \frac{1}{x} + \frac{1}{2x+1} = \frac{3}{x(2x+1)} \).
Řešení příkladu 3:
Rovnice je:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{2x+1} = \frac{3}{x(2x+1)} \).
Vynásobíme celou rovnici společným jmenovatelem \( x(2x+1) \) (kde \( x \neq 0 \) a \( 2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{2} \)):
\( (2x+1) + x = 3 \Rightarrow 2x + 1 + x = 3 \Rightarrow 3x + 1 = 3 \).
Upravíme:
\( 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \).
Kontrola vyloučených hodnot: \( \frac{2}{3} \neq 0 \) a \( \frac{2}{3} \neq -\frac{1}{2} \), takže řešení platí.
Množina řešení je \( \left\{ \frac{2}{3} \right\} \).
4. Vyřešte rovnici \( \frac{x+2}{x-1} = \frac{3x – 1}{x+2} \).
Řešení příkladu 4:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -2 \) kvůli nulám ve jmenovateli.
Rovnice je:
\( \frac{x+2}{x-1} = \frac{3x – 1}{x+2} \).
Vynásobíme křížem:
\( (x+2)^2 = (x-1)(3x – 1) \).
Rozepíšeme obě strany:
\( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \),
\( (x-1)(3x – 1) = 3x^2 – x – 3x + 1 = 3x^2 – 4x + 1 \).
Rovnice tedy:
\( x^2 + 4x + 4 = 3x^2 – 4x + 1 \).
Převedeme vše na jednu stranu:
\( 0 = 3x^2 – 4x + 1 – x^2 – 4x – 4 = 2x^2 – 8x – 3 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( 2x^2 – 8x – 3 = 0 \).
Diskriminant:
\( D = (-8)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 64 + 24 = 88 \).
Kořeny jsou:
\( x = \frac{8 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{22}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{22}}{2} \).
Kontrola vyloučených hodnot: Kořeny nejsou \(1\) ani \(-2\).
Tedy řešení jsou \( x = 2 + \frac{\sqrt{22}}{2} \) a \( x = 2 – \frac{\sqrt{22}}{2} \).
5. Najděte řešení rovnice \( \frac{2x}{x^2 – 1} = \frac{3}{x+1} – \frac{1}{x-1} \).
Řešení příkladu 5:
Uvědomíme si, že \( x^2 – 1 = (x+1)(x-1) \) a podmínky jsou \( x \neq \pm 1 \).
Rovnice je:
\( \frac{2x}{(x+1)(x-1)} = \frac{3}{x+1} – \frac{1}{x-1} \).
Vynásobíme celou rovnici \( (x+1)(x-1) \):
\( 2x = 3(x-1) – 1(x+1) = 3x – 3 – x – 1 = 2x – 4 \).
Upravíme:
\( 2x = 2x – 4 \Rightarrow 0 = -4 \).
Rovnice nemá žádné řešení.
6. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+3} = \frac{5x}{x^2 – 9} \).
Řešení příkladu 6:
Podmínky: \( x \neq 3 \), \( x \neq -3 \) kvůli jmenovatelům.
Rovnice je:
\( \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+3} = \frac{5x}{(x-3)(x+3)} \).
Vynásobíme celou rovnici \( (x-3)(x+3) \):
\( (x+3) + 2(x-3) = 5x \Rightarrow x + 3 + 2x – 6 = 5x \Rightarrow 3x – 3 = 5x \).
Upravíme:
\( -3 = 5x – 3x = 2x \Rightarrow x = -\frac{3}{2} \).
Kontrola vyloučených hodnot: \( -\frac{3}{2} \neq 3 \) ani \( -3 \).
Řešení je \( x = -\frac{3}{2} \).
7. Určete všechna reálná řešení rovnice \( \frac{4}{x+4} – \frac{2}{x-2} = \frac{6}{(x+4)(x-2)} \).
Řešení příkladu 7:
Podmínky: \( x \neq -4 \), \( x \neq 2 \).
Rovnice je:
\( \frac{4}{x+4} – \frac{2}{x-2} = \frac{6}{(x+4)(x-2)} \).
Vynásobíme \( (x+4)(x-2) \):
\( 4(x-2) – 2(x+4) = 6 \Rightarrow 4x – 8 – 2x – 8 = 6 \Rightarrow 2x – 16 = 6 \).
Upravíme:
\( 2x = 22 \Rightarrow x = 11 \).
Zkontrolujeme podmínky, \( 11 \neq -4 \) a \( 11 \neq 2 \), platí.
Řešení je \( x = 11 \).
8. Vyřešte rovnici \( \frac{x}{x+5} + \frac{2x}{x-1} = 3 \).
Řešení příkladu 8:
Podmínky: \( x \neq -5 \), \( x \neq 1 \).
Rovnici upravíme na společný jmenovatel \( (x+5)(x-1) \):
\( \frac{x(x-1)}{(x+5)(x-1)} + \frac{2x(x+5)}{(x-1)(x+5)} = 3 \Rightarrow \frac{x(x-1) + 2x(x+5)}{(x+5)(x-1)} = 3 \).
Roznásobíme čitatele:
\( x(x-1) + 2x(x+5) = x^2 – x + 2x^2 + 10x = 3x^2 + 9x \).
Rovnice tedy je:
\( \frac{3x^2 + 9x}{(x+5)(x-1)} = 3 \).
Vynásobíme obě strany jmenovatelem (s podmínkami):
\( 3x^2 + 9x = 3(x+5)(x-1) \Rightarrow 3x^2 + 9x = 3(x^2 + 4x -5) \Rightarrow 3x^2 + 9x = 3x^2 + 12x – 15 \).
Upravíme:
\( 3x^2 + 9x – 3x^2 – 12x + 15 = 0 \Rightarrow -3x + 15 = 0 \Rightarrow -3x = -15 \Rightarrow x = 5 \).
Zkontrolujeme podmínky: \( 5 \neq -5 \), \( 5 \neq 1 \).
Řešení je \( x = 5 \).
9. Vyřešte rovnici \( \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2} = \frac{5}{x^2 + x – 2} \).
Řešení příkladu 9:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -2 \).
Rozložíme jmenovatel na pravé straně: \( x^2 + x – 2 = (x-1)(x+2) \).
Rovnici upravíme na společný jmenovatel \( (x-1)(x+2) \):
\( \frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)} + \frac{3(x-1)}{(x+2)(x-1)} = \frac{5}{(x-1)(x+2)} \Rightarrow \frac{2(x+2) + 3(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{5}{(x-1)(x+2)} \).
Vynásobíme rovnice jmenovatelem:
\( 2(x+2) + 3(x-1) = 5 \Rightarrow 2x + 4 + 3x – 3 = 5 \Rightarrow 5x + 1 = 5 \).
Upravíme a vyřešíme:
\( 5x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{5} \).
Zkontrolujeme podmínky: \( \frac{4}{5} \neq 1 \), \( \frac{4}{5} \neq -2 \).
Řešením je \( x = \frac{4}{5} \).
10. Vyřešte rovnici \( \frac{x+1}{x^2 – 4} = \frac{3}{x-2} \).
Řešení příkladu 10:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -2 \).
Rozložíme jmenovatel v levé straně: \( x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \).
Rovnici upravíme na společný jmenovatel \( (x-2)(x+2) \):
\( \frac{x+1}{(x-2)(x+2)} = \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} \Rightarrow x+1 = 3(x+2) \).
Upravíme rovnost:
\( x + 1 = 3x + 6 \Rightarrow 1 – 6 = 3x – x \Rightarrow -5 = 2x \Rightarrow x = -\frac{5}{2} \).
Zkontrolujeme podmínky: \( -\frac{5}{2} \neq 2 \), \( -\frac{5}{2} \neq -2 \).
Řešením je \( x = -\frac{5}{2} \).
11. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x+3} + \frac{2}{x-3} = \frac{5x}{x^2 – 9} \).
Řešení příkladu 11:
Podmínky: \( x \neq -3 \), \( x \neq 3 \).
Rozložíme jmenovatel na pravé straně: \( x^2 – 9 = (x+3)(x-3) \).
Rovnici upravíme na společný jmenovatel \( (x+3)(x-3) \):
\( \frac{x-3}{(x+3)(x-3)} + \frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{5x}{(x+3)(x-3)} \Rightarrow \frac{x-3 + 2(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{5x}{(x+3)(x-3)} \).
Vynásobíme jmenovatelem:
\( x – 3 + 2x + 6 = 5x \Rightarrow 3x + 3 = 5x \Rightarrow 3 = 5x – 3x \Rightarrow 3 = 2x \Rightarrow x = \frac{3}{2} \).
Zkontrolujeme podmínky: \( \frac{3}{2} \neq -3 \), \( \frac{3}{2} \neq 3 \).
Řešením je \( x = \frac{3}{2} \).
12. Vyřešte rovnici \( \frac{4x}{x^2 – 1} – \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x-1} \).
Řešení příkladu 12:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \).
Rozložíme jmenovatel: \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Rovnici převedeme na společný jmenovatel \( (x-1)(x+1) \):
\( \frac{4x}{(x-1)(x+1)} – \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow \frac{4x – 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} \).
Vynásobíme jmenovatelem:
\( 4x – 2(x-1) = 3(x+1) \Rightarrow 4x – 2x + 2 = 3x + 3 \Rightarrow 2x + 2 = 3x + 3 \).
Upravíme:
\( 2x + 2 = 3x + 3 \Rightarrow 2 + (-3) = 3x – 2x \Rightarrow -1 = x \Rightarrow x = -1 \).
Zkontrolujeme podmínky: \( x \neq -1 \), což znamená, že \( x = -1 \) není řešením.
Žádné jiné řešení neexistuje.
Rovnice nemá řešení.
13. Vyřešte rovnici \( \frac{5}{x^2 – 4x + 3} = \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x-3} \).
Řešení příkladu 13:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq 3 \).
Rozložíme jmenovatel vlevo: \( x^2 – 4x + 3 = (x-1)(x-3) \).
Rovnici upravíme na společný jmenovatel \( (x-1)(x-3) \):
\( \frac{5}{(x-1)(x-3)} = \frac{2(x-3)}{(x-1)(x-3)} + \frac{3(x-1)}{(x-3)(x-1)} \Rightarrow 5 = 2(x-3) + 3(x-1) \).
Roznásobíme a upravíme:
\( 5 = 2x – 6 + 3x – 3 \Rightarrow 5 = 5x – 9 \Rightarrow 5x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{5} \).
Zkontrolujeme podmínky: \( \frac{14}{5} \neq 1 \), \( \frac{14}{5} \neq 3 \).
Řešením je \( x = \frac{14}{5} \).
14. Vyřešte rovnici \( \frac{2x}{x^2 + 2x – 3} – \frac{1}{x+3} = \frac{3}{x-1} \).
Řešení příkladu 14:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -3 \).
Rozložíme jmenovatel: \( x^2 + 2x – 3 = (x+3)(x-1) \).
Rovnici upravíme na společný jmenovatel \( (x+3)(x-1) \):
\( \frac{2x}{(x+3)(x-1)} – \frac{x-1}{(x+3)(x-1)} = \frac{3(x+3)}{(x-1)(x+3)} \Rightarrow \frac{2x – (x-1)}{(x+3)(x-1)} = \frac{3(x+3)}{(x+3)(x-1)} \).
Vynásobíme jmenovatelem:
\( 2x – x + 1 = 3(x+3) \Rightarrow x + 1 = 3x + 9 \Rightarrow 1 – 9 = 3x – x \Rightarrow -8 = 2x \Rightarrow x = -4 \).
Zkontrolujeme podmínky: \( -4 \neq 1 \), \( -4 \neq -3 \).
Řešením je \( x = -4 \).
15. Vyřešte rovnici \( \frac{3}{x^2 – 5x + 6} + \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x-3} \).
Řešení příkladu 15:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq 3 \).
Rozložíme jmenovatel vlevo: \( x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3) \).
Rovnici upravíme na společný jmenovatel \( (x-2)(x-3) \):
\( \frac{3}{(x-2)(x-3)} + \frac{x-3}{(x-2)(x-3)} = \frac{2(x-2)}{(x-3)(x-2)} \Rightarrow \frac{3 + x – 3}{(x-2)(x-3)} = \frac{2(x-2)}{(x-3)(x-2)} \).
Zjednodušíme čitatele vlevo:
\( \frac{x}{(x-2)(x-3)} = \frac{2(x-2)}{(x-3)(x-2)} \Rightarrow x = 2(x-2) \Rightarrow x = 2x – 4 \Rightarrow -x = -4 \Rightarrow x = 4 \).
Zkontrolujeme podmínky: \( 4 \neq 2 \), \( 4 \neq 3 \).
Řešením je \( x = 4 \).
16. Vyřešte rovnici \( \frac{x+2}{x^2 – x – 6} = \frac{2}{x-3} – \frac{1}{x+2} \).
Řešení příkladu 16:
Podmínky: \( x \neq 3 \), \( x \neq -2 \).
Rozložíme jmenovatel vlevo: \( x^2 – x – 6 = (x-3)(x+2) \).
Rovnici upravíme na společný jmenovatel \( (x-3)(x+2) \):
\( \frac{x+2}{(x-3)(x+2)} = \frac{2(x+2)}{(x-3)(x+2)} – \frac{x-3}{(x+2)(x-3)} \Rightarrow \frac{x+2}{(x-3)(x+2)} = \frac{2(x+2) – (x-3)}{(x-3)(x+2)} \).
Vynásobíme jmenovatelem:
\( x + 2 = 2(x+2) – (x – 3) \Rightarrow x + 2 = 2x + 4 – x + 3 \Rightarrow x + 2 = x + 7 \Rightarrow 2 = 7 \).
Neplatná rovnost znamená, že rovnice nemá řešení.
17. Vyřešte rovnici \( \frac{2x+1}{x-3} – \frac{x-4}{x+2} = 1 \).
Řešení příkladu 17:
Podmínky: \( x \neq 3 \), \( x \neq -2 \).
Najdeme společný jmenovatel \( (x-3)(x+2) \) a upravíme rovnici:
\( \frac{(2x+1)(x+2)}{(x-3)(x+2)} – \frac{(x-4)(x-3)}{(x+2)(x-3)} = 1 \Rightarrow \frac{(2x+1)(x+2) – (x-4)(x-3)}{(x-3)(x+2)} = 1 \).
Rozebereme čitatele:
\( (2x+1)(x+2) = 2x^2 + 4x + x + 2 = 2x^2 + 5x + 2 \).
\( (x-4)(x-3) = x^2 – 3x – 4x + 12 = x^2 – 7x + 12 \).
Dosadíme zpět:
\( \frac{2x^2 + 5x + 2 – (x^2 – 7x + 12)}{(x-3)(x+2)} = 1 \Rightarrow \frac{2x^2 + 5x + 2 – x^2 + 7x – 12}{(x-3)(x+2)} = 1 \Rightarrow \frac{x^2 + 12x – 10}{(x-3)(x+2)} = 1 \).
Vynásobíme obě strany jmenovatelem s podmínkami:
\( x^2 + 12x – 10 = (x-3)(x+2) = x^2 – x – 6 \).
Převedeme vše na jednu stranu:
\( x^2 + 12x – 10 – x^2 + x + 6 = 0 \Rightarrow 13x – 4 = 0 \Rightarrow 13x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{13} \).
Zkontrolujeme podmínky: \( \frac{4}{13} \neq 3 \), \( \frac{4}{13} \neq -2 \).
Řešení je \( x = \frac{4}{13} \).
18. Vyřešte rovnici \( \frac{3}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{5x}{x^2 – x – 2} \).
Řešení příkladu 18:
Podmínky: \( x \neq -1 \), \( x \neq 2 \), protože \( x^2 – x – 2 = (x+1)(x-2) \).
Vynásobíme rovnici společným jmenovatelem \( (x+1)(x-2) \):
\( 3(x-2) + 2(x+1) = 5x \Rightarrow 3x – 6 + 2x + 2 = 5x \Rightarrow 5x – 4 = 5x \).
Úprava:
\( 5x – 4 = 5x \Rightarrow -4 = 0 \), což je nepravda.
Rovnice nemá žádné řešení v definičním oboru.
19. Vyřešte rovnici \( \frac{x^2 – 1}{x+1} = \frac{2x}{x-1} \).
Řešení příkladu 19:
Podmínky: \( x \neq -1 \), \( x \neq 1 \).
Upravíme čitatele levé strany: \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Levostranný zlomek tedy je \( \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} \Rightarrow x-1 \) (pro \( x \neq -1 \)).
Rovnice se upraví na:
\( x-1 = \frac{2x}{x-1} \Rightarrow (x-1)^2 = 2x \Rightarrow x^2 – 2x + 1 = 2x \).
Převedeme na jednu stranu:
\( x^2 – 2x + 1 – 2x = 0 \Rightarrow x^2 – 4x + 1 = 0 \).
Vyřešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \).
Zkontrolujeme podmínky: \( 2 + \sqrt{3} \neq -1,1 \), \( 2 – \sqrt{3} \neq -1,1 \).
Řešení jsou \( x = 2 + \sqrt{3} \) a \( x = 2 – \sqrt{3} \).
20. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{4}{x^2 – 1} \).
Řešení příkladu 20:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \), protože \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Levý člen upravíme na společný jmenovatel \( (x-1)(x+1) \):
\( \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2 – 1} \).
Rovnice tedy je:
\( \frac{2x}{x^2 – 1} = \frac{4}{x^2 – 1} \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \).
Zkontrolujeme podmínky: \( 2 \neq \pm 1 \).
Řešení je \( x = 2 \).
21. Vyřešte rovnici \( \frac{x+2}{x-3} = \frac{3x – 1}{x+4} \).
Řešení příkladu 21:
Podmínky: \( x \neq 3 \), \( x \neq -4 \).
Vynásobíme křížem:
\( (x+2)(x+4) = (3x – 1)(x – 3) \).
Roznásobíme obě strany:
\( x^2 + 4x + 2x + 8 = 3x^2 – 9x – x + 3 \Rightarrow x^2 + 6x + 8 = 3x^2 – 10x + 3 \).
Převedeme vše na jednu stranu:
\( 0 = 3x^2 – 10x + 3 – x^2 – 6x – 8 \Rightarrow 0 = 2x^2 – 16x – 5 \).
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 40}}{4} = \frac{16 \pm \sqrt{296}}{4} \Rightarrow x = \frac{16 \pm 2\sqrt{74}}{4} = 4 \pm \frac{\sqrt{74}}{2} \).
Zkontrolujeme podmínky: \( 4 + \frac{\sqrt{74}}{2} \neq 3, -4 \), \( 4 – \frac{\sqrt{74}}{2} \neq 3, -4 \).
Řešení jsou \( x = 4 + \frac{\sqrt{74}}{2} \) a \( x = 4 – \frac{\sqrt{74}}{2} \).
22. Vyřešte rovnici \( \frac{2x}{x^2 – 4} + \frac{3}{x – 2} = \frac{5}{x + 2} \).
Řešení příkladu 22:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -2 \), protože \( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \).
Vynásobíme společným jmenovatelem \( (x-2)(x+2) \):
\( 2x + 3(x+2) = 5(x-2) \Rightarrow 2x + 3x + 6 = 5x – 10 \Rightarrow 5x + 6 = 5x – 10 \).
Úprava:
\( 5x + 6 = 5x – 10 \Rightarrow 6 = -10 \), což není pravda.
Rovnice nemá řešení v definičním oboru.
23. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{4}{x^2 + 2x} \).
Řešení příkladu 23:
Podmínky: \( x \neq 0 \), \( x \neq -2 \), protože \( x^2 + 2x = x(x+2) \).
Levý člen upravíme na společný jmenovatel \( x(x+2) \):
\( \frac{x+2}{x(x+2)} + \frac{x}{x(x+2)} = \frac{x+2 + x}{x(x+2)} = \frac{2x + 2}{x(x+2)} = \frac{2(x+1)}{x(x+2)} \).
Rovnice tedy je:
\( \frac{2(x+1)}{x(x+2)} = \frac{4}{x(x+2)} \Rightarrow 2(x+1) = 4 \Rightarrow x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1 \).
Zkontrolujeme podmínky: \( 1 \neq 0 \), \( 1 \neq -2 \).
Řešení je \( x = 1 \).
24. Vyřešte rovnici \( \frac{x+3}{x^2 + x – 6} = \frac{2}{x-2} \).
Řešení příkladu 24:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -3 \), protože \( x^2 + x – 6 = (x-2)(x+3) \).
Vynásobíme společným jmenovatelem \( (x-2)(x+3) \):
\( x+3 = 2(x+3) \Rightarrow x+3 = 2x + 6 \Rightarrow 0 = x + 3 \Rightarrow x = -3 \).
Zkontrolujeme podmínky: \( x = -3 \) je vyloučené, protože je jmenovatel.
Rovnice nemá řešení v definičním oboru.
25. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x-1} – \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x^2 – 1} \).
Řešení příkladu 25:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \), protože \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Vynásobíme společným jmenovatelem \( (x-1)(x+1) \):
\( (x+1) – 2(x-1) = 3 \Rightarrow x + 1 – 2x + 2 = 3 \Rightarrow -x + 3 = 3 \Rightarrow -x = 0 \Rightarrow x = 0 \).
Zkontrolujeme podmínky: \( 0 \neq 1 \), \( 0 \neq -1 \).
Řešení je \( x = 0 \).
26. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x-2} + \frac{2}{x+3} = \frac{5x+1}{x^2 + x – 6} \).
Řešení příkladu 26:
Nejprve stanovíme podmínky: jmenovatel nesmí být nula, tedy
\( x \neq 2 \), \( x \neq -3 \).
Uvědomíme si, že \( x^2 + x – 6 = (x-2)(x+3) \).
Rovnici přepíšeme se společným jmenovatelem:
\( \frac{1}{x-2} + \frac{2}{x+3} = \frac{5x+1}{(x-2)(x+3)} \Rightarrow \frac{(x+3)}{(x-2)(x+3)} + \frac{2(x-2)}{(x+3)(x-2)} = \frac{5x+1}{(x-2)(x+3)} \).
Sčítáme čitatele na levé straně:
\( \frac{x+3 + 2(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{5x+1}{(x-2)(x+3)} \Rightarrow \frac{x+3 + 2x – 4}{(x-2)(x+3)} = \frac{5x+1}{(x-2)(x+3)} \Rightarrow \frac{3x – 1}{(x-2)(x+3)} = \frac{5x+1}{(x-2)(x+3)} \).
Vynásobíme obě strany jmenovatelem:
\( 3x – 1 = 5x + 1 \Rightarrow 3x – 1 = 5x + 1 \).
Úpravou dostaneme:
\( 3x – 1 – 5x – 1 = 0 \Rightarrow -2x – 2 = 0 \Rightarrow -2x = 2 \Rightarrow x = -1 \).
Ověříme podmínky: \( x = -1 \neq 2 \), \( x = -1 \neq -3 \), tedy platí.
Řešením rovnice je \( x = -1 \).
27. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x-2} + \frac{3}{x+1} = \frac{4}{x^2 – x – 2} \).
Řešení příkladu 27:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -1 \).
Faktorizujeme jmenovatel pravé strany: \( x^2 – x – 2 = (x-2)(x+1) \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{1}{x-2} + \frac{3}{x+1} = \frac{4}{(x-2)(x+1)} \).
Vynásobíme celou rovnici společným jmenovatelem \( (x-2)(x+1) \):
\( (x+1) + 3(x-2) = 4 \Rightarrow x + 1 + 3x – 6 = 4 \Rightarrow 4x – 5 = 4 \).
Upravíme:
\( 4x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{4} \).
Podmínky jsou splněny, protože \( \frac{9}{4} \neq 2 \) a \( \frac{9}{4} \neq -1 \).
Řešení je \( x = \frac{9}{4} \).
28. Vyřešte rovnici \( \frac{2x+3}{x-1} – \frac{x}{x+2} = 1 \).
Řešení příkladu 28:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -2 \).
Společný jmenovatel je \( (x-1)(x+2) \).
Upravíme levou stranu na společný jmenovatel:
\( \frac{(2x+3)(x+2)}{(x-1)(x+2)} – \frac{x(x-1)}{(x+2)(x-1)} = \frac{(2x+3)(x+2) – x(x-1)}{(x-1)(x+2)} \Rightarrow \frac{(2x+3)(x+2) – x(x-1)}{(x-1)(x+2)} = 1 \).
Vynásobíme rovnost jmenovatelem (s podmínkami):
\( (2x+3)(x+2) – x(x-1) = (x-1)(x+2) \).
Rozevřeme členy:
\( (2x+3)(x+2) = 2x^2 + 4x + 3x + 6 = 2x^2 + 7x + 6 \).
\( x(x-1) = x^2 – x \).
\( (x-1)(x+2) = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2 \).
Dosadíme zpět:
\( 2x^2 + 7x + 6 – (x^2 – x) = x^2 + x – 2 \Rightarrow 2x^2 + 7x + 6 – x^2 + x = x^2 + x – 2 \Rightarrow x^2 + 8x + 6 = x^2 + x – 2 \).
Odečteme \( x^2 \) na obou stranách:
\( 8x + 6 = x – 2 \Rightarrow 8x – x = -2 – 6 \Rightarrow 7x = -8 \Rightarrow x = -\frac{8}{7} \).
Podmínky jsou splněny, protože \( -\frac{8}{7} \neq 1 \), \( -\frac{8}{7} \neq -2 \).
Řešení je \( x = -\frac{8}{7} \).
29. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x} + \frac{2}{1-x} = \frac{3}{x(1-x)} \).
Řešení příkladu 29:
Podmínky: \( x \neq 0 \), \( x \neq 1 \).
Společný jmenovatel je \( x(1-x) \).
Upravíme levou stranu na společný jmenovatel:
\( \frac{1}{x} = \frac{1-x}{x(1-x)} \), \( \frac{2}{1-x} = \frac{2x}{x(1-x)} \).
Součet levé strany je:
\( \frac{1-x + 2x}{x(1-x)} = \frac{1 + x}{x(1-x)} \).
Rovnice je:
\( \frac{1 + x}{x(1-x)} = \frac{3}{x(1-x)} \Rightarrow 1 + x = 3 \Rightarrow x = 2 \).
Podmínky jsou splněny, protože \( 2 \neq 0 \), \( 2 \neq 1 \).
Řešení je \( x = 2 \).
30. Vyřešte rovnici \( \frac{x+1}{x-3} + \frac{4x-5}{3-x} = 2 \).
Řešení příkladu 30:
Podmínka: \( x \neq 3 \).
Všimneme si, že \( 3 – x = -(x-3) \).
Rovnice je:
\( \frac{x+1}{x-3} + \frac{4x-5}{-(x-3)} = 2 \Rightarrow \frac{x+1}{x-3} – \frac{4x-5}{x-3} = 2 \Rightarrow \frac{x+1 – (4x – 5)}{x-3} = 2 \).
Upravíme čitatel:
\( x + 1 – 4x + 5 = -3x + 6 \).
Rovnice tedy je:
\( \frac{-3x + 6}{x-3} = 2 \Rightarrow -3x + 6 = 2(x – 3) \Rightarrow -3x + 6 = 2x – 6 \).
Upravíme:
\( -3x – 2x = -6 – 6 \Rightarrow -5x = -12 \Rightarrow x = \frac{12}{5} \).
Podmínka je splněna.
Řešení je \( x = \frac{12}{5} \).
31. Vyřešte rovnici \( \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-4} = \frac{5x – 7}{x^2 – 3x -4} \).
Řešení příkladu 31:
Podmínky: \( x \neq -1 \), \( x \neq 4 \).
Faktorizujeme jmenovatel pravé strany: \( x^2 – 3x – 4 = (x+1)(x-4) \).
Rovnice je:
\( \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-4} = \frac{5x – 7}{(x+1)(x-4)} \).
Vynásobíme společným jmenovatelem \( (x+1)(x-4) \):
\( 2(x-4) + 3(x+1) = 5x – 7 \Rightarrow 2x – 8 + 3x + 3 = 5x – 7 \Rightarrow 5x – 5 = 5x – 7 \).
Upravíme:
\( 5x – 5 = 5x – 7 \Rightarrow -5 = -7 \), což není pravda.
Rovnice nemá řešení.
32. Vyřešte rovnici \( \frac{x^2 – 1}{x+2} – \frac{x+1}{x-1} = 1 \).
Řešení příkladu 32:
Podmínky: \( x \neq -2 \), \( x \neq 1 \).
Faktorizujeme čitatele prvního zlomku: \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Rovnice je:
\( \frac{(x-1)(x+1)}{x+2} – \frac{x+1}{x-1} = 1 \).
Společný jmenovatel je \( (x+2)(x-1) \).
Upravíme levou stranu na společný jmenovatel:
\( \frac{(x-1)(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)} – \frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+2)} = \frac{(x-1)^2(x+1) – (x+1)(x+2)}{(x+2)(x-1)} \).
Vyjmeme \( (x+1) \) v čitateli:
\( \frac{(x+1)((x-1)^2 – (x+2))}{(x+2)(x-1)} \).
Rozepíšeme a upravíme výraz v závorce:
\( (x-1)^2 – (x+2) = (x^2 – 2x +1) – x – 2 = x^2 – 3x -1 \).
Rovnice tedy je:
\( \frac{(x+1)(x^2 – 3x -1)}{(x+2)(x-1)} = 1 \Rightarrow (x+1)(x^2 – 3x -1) = (x+2)(x-1) \).
Rozevřeme obě strany:
Levá strana: \( (x+1)(x^2 – 3x -1) = x^3 – 3x^2 – x + x^2 – 3x -1 = x^3 – 2x^2 – 4x – 1 \).
Pravá strana: \( (x+2)(x-1) = x^2 – x + 2x – 2 = x^2 + x – 2 \).
Upravíme rovnici:
\( x^3 – 2x^2 – 4x – 1 = x^2 + x – 2 \Rightarrow x^3 – 2x^2 – 4x – 1 – x^2 – x + 2 = 0 \Rightarrow x^3 – 3x^2 – 5x + 1 = 0 \).
Hledáme kořeny rovnice \( x^3 – 3x^2 – 5x + 1 = 0 \).
Zkoušíme kořeny mezi děliteli čísla 1: \( \pm 1 \).
Pro \( x=1 \): \( 1 – 3 – 5 + 1 = -6 \neq 0 \).
Pro \( x = -1 \): \( -1 – 3 + 5 + 1 = 2 \neq 0 \).
Nemáme racionální kořen, použijeme Cardanovu formuli nebo numerické metody.
Numericky přibližně platí kořen \( x \approx 3.78 \).
Podmínky jsou splněny, protože \( 3.78 \neq -2 \), \( 3.78 \neq 1 \).
Řešení je přibližně \( x \approx 3.78 \).
33. Vyřešte rovnici \( \frac{2x+1}{x-4} – \frac{x-3}{x+2} = \frac{3x}{x^2 – 2x – 8} \).
Řešení příkladu 33:
Podmínky: \( x \neq 4 \), \( x \neq -2 \).
Upravíme jmenovatel \( x^2 – 2x – 8 = (x-4)(x+2) \).
Rovnici přepíšeme na společný jmenovatel:
\( \frac{(2x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)} – \frac{(x-3)(x-4)}{(x+2)(x-4)} = \frac{3x}{(x-4)(x+2)} \Rightarrow \frac{(2x+1)(x+2) – (x-3)(x-4)}{(x-4)(x+2)} = \frac{3x}{(x-4)(x+2)} \).
Sčítáme čitatele na levé straně:
\( (2x+1)(x+2) = 2x^2 + 4x + x + 2 = 2x^2 + 5x + 2 \).
\( (x-3)(x-4) = x^2 – 4x – 3x + 12 = x^2 – 7x + 12 \).
Čitatel tedy je:
\( 2x^2 + 5x + 2 – (x^2 – 7x + 12) = 2x^2 + 5x + 2 – x^2 + 7x – 12 = x^2 + 12x – 10 \).
Rovnice je:
\( \frac{x^2 + 12x – 10}{(x-4)(x+2)} = \frac{3x}{(x-4)(x+2)} \Rightarrow x^2 + 12x – 10 = 3x \).
Úprava:
\( x^2 + 12x – 10 – 3x = 0 \Rightarrow x^2 + 9x – 10 = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici:
Diskriminant \( D = 9^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 \).
\( x = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-9 \pm 11}{2} \).
Dva kořeny:
\( x_1 = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{-9 – 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \).
Kontrola podmínek: \( 1 \neq 4 \), \( 1 \neq -2 \), \( -10 \neq 4 \), \( -10 \neq -2 \).
Řešení jsou \( x = 1 \) a \( x = -10 \).
34. Vyřešte rovnici \( \frac{3x}{x+1} + \frac{4}{x-2} = \frac{5x + 6}{x^2 – x – 2} \).
Řešení příkladu 34:
Podmínky: \( x \neq -1 \), \( x \neq 2 \).
Rozložíme jmenovatel: \( x^2 – x – 2 = (x+1)(x-2) \).
Společný jmenovatel je \( (x+1)(x-2) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{3x(x-2)}{(x+1)(x-2)} + \frac{4(x+1)}{(x-2)(x+1)} = \frac{5x + 6}{(x+1)(x-2)} \Rightarrow \frac{3x(x-2) + 4(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{5x + 6}{(x+1)(x-2)} \).
Sčítáme čitatele:
\( 3x(x-2) + 4(x+1) = 3x^2 – 6x + 4x + 4 = 3x^2 – 2x + 4 \).
Rovnice je:
\( \frac{3x^2 – 2x + 4}{(x+1)(x-2)} = \frac{5x + 6}{(x+1)(x-2)} \Rightarrow 3x^2 – 2x + 4 = 5x + 6 \).
Úprava rovnice:
\( 3x^2 – 2x + 4 – 5x – 6 = 0 \Rightarrow 3x^2 – 7x – 2 = 0 \).
Diskriminant:
\( D = (-7)^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 49 + 24 = 73 \).
Kořeny:
\( x = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{6} \).
Podmínky jsou splněny, protože kořeny nejsou \( -1 \) ani \( 2 \).
Řešení jsou \( x = \frac{7 + \sqrt{73}}{6} \) a \( x = \frac{7 – \sqrt{73}}{6} \).
35. Vyřešte rovnici \( \frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = \frac{5x + 1}{x^2 + x} \).
Řešení příkladu 35:
Podmínky: \( x \neq 0 \), \( x \neq -1 \).
Jmenovatel: \( x^2 + x = x(x+1) \).
Společný jmenovatel je \( x(x+1) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{2(x+1)}{x(x+1)} + \frac{3x}{x(x+1)} = \frac{5x + 1}{x(x+1)} \Rightarrow \frac{2x + 2 + 3x}{x(x+1)} = \frac{5x + 1}{x(x+1)} \).
Sčítáme čitatele vlevo:
\( 2x + 2 + 3x = 5x + 2 \).
Rovnice je:
\( \frac{5x + 2}{x(x+1)} = \frac{5x + 1}{x(x+1)} \Rightarrow 5x + 2 = 5x + 1 \).
Úprava:
\( 5x + 2 – 5x – 1 = 0 \Rightarrow 1 = 0 \), což není pravda.
Rovnice nemá řešení.
36. Vyřešte rovnici \( \frac{x+2}{x-1} – \frac{x-3}{x+2} = \frac{5}{x^2 + x – 2} \).
Řešení příkladu 36:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -2 \).
Jmenovatel \( x^2 + x – 2 = (x-1)(x+2) \).
Společný jmenovatel je \( (x-1)(x+2) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{(x+2)(x+2)}{(x-1)(x+2)} – \frac{(x-3)(x-1)}{(x+2)(x-1)} = \frac{5}{(x-1)(x+2)} \Rightarrow \frac{(x+2)^2 – (x-3)(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{5}{(x-1)(x+2)} \).
Čitatel vlevo:
\( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \).
\( (x-3)(x-1) = x^2 – x – 3x + 3 = x^2 – 4x + 3 \).
Rozdíl:
\( x^2 + 4x + 4 – (x^2 – 4x + 3) = x^2 + 4x + 4 – x^2 + 4x – 3 = 8x + 1 \).
Rovnice je:
\( \frac{8x + 1}{(x-1)(x+2)} = \frac{5}{(x-1)(x+2)} \Rightarrow 8x + 1 = 5 \Rightarrow 8x = 4 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \).
Kontrola podmínek: \( \frac{1}{2} \neq 1 \), \( \frac{1}{2} \neq -2 \).
Řešení je \( x = \frac{1}{2} \).
37. Vyřešte rovnici \( \frac{4x – 1}{x + 3} + \frac{2x + 5}{x – 1} = \frac{6x + 8}{x^2 + 2x – 3} \).
Řešení příkladu 37:
Podmínky: \( x \neq -3 \), \( x \neq 1 \).
Jmenovatel \( x^2 + 2x – 3 = (x+3)(x-1) \).
Společný jmenovatel \( (x+3)(x-1) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{(4x – 1)(x-1)}{(x+3)(x-1)} + \frac{(2x + 5)(x+3)}{(x-1)(x+3)} = \frac{6x + 8}{(x+3)(x-1)} \Rightarrow \frac{(4x – 1)(x-1) + (2x + 5)(x+3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{6x + 8}{(x+3)(x-1)} \).
Roznásobíme čitatele:
\( (4x – 1)(x – 1) = 4x^2 – 4x – x + 1 = 4x^2 – 5x + 1 \).
\( (2x + 5)(x + 3) = 2x^2 + 6x + 5x + 15 = 2x^2 + 11x + 15 \).
Sčítáme:
\( 4x^2 – 5x + 1 + 2x^2 + 11x + 15 = 6x^2 + 6x + 16 \).
Rovnice je:
\( \frac{6x^2 + 6x + 16}{(x+3)(x-1)} = \frac{6x + 8}{(x+3)(x-1)} \Rightarrow 6x^2 + 6x + 16 = 6x + 8 \).
Úprava:
\( 6x^2 + 6x + 16 – 6x – 8 = 0 \Rightarrow 6x^2 + 8 = 0 \Rightarrow 6x^2 = -8 \Rightarrow x^2 = -\frac{4}{3} \).
Žádné reálné řešení neexistuje.
38. Vyřešte rovnici \( \frac{x^2 + 1}{x-2} = \frac{2x + 3}{x+1} + \frac{3x – 2}{x^2 – x – 2} \).
Řešení příkladu 38:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -1 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – x – 2 = (x-2)(x+1) \).
Společný jmenovatel je \( (x-2)(x+1) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{(x^2 + 1)(x+1)}{(x-2)(x+1)} = \frac{(2x + 3)(x-2)}{(x+1)(x-2)} + \frac{3x – 2}{(x+1)(x-2)} \Rightarrow \frac{(x^2 + 1)(x+1)}{(x-2)(x+1)} = \frac{(2x + 3)(x-2) + 3x – 2}{(x-2)(x+1)} \).
Rovnici převedeme na tvar:
\( (x^2 + 1)(x+1) = (2x + 3)(x-2) + 3x – 2 \).
Roznásobíme:
\( (x^2 + 1)(x + 1) = x^3 + x^2 + x + 1 \).
\( (2x + 3)(x – 2) = 2x^2 – 4x + 3x – 6 = 2x^2 – x – 6 \).
Rovnice je:
\( x^3 + x^2 + x + 1 = 2x^2 – x – 6 + 3x – 2 \Rightarrow x^3 + x^2 + x + 1 = 2x^2 + 2x – 8 \).
Převedeme vše na levou stranu:
\( x^3 + x^2 + x + 1 – 2x^2 – 2x + 8 = 0 \Rightarrow x^3 – x^2 – x + 9 = 0 \).
Vyzkoušíme kořeny z děličů čísla 9: \( \pm1, \pm3, \pm9 \).
Pro \( x=1 \): \( 1 -1 -1 +9 = 8 \neq 0 \).
Pro \( x=3 \): \( 27 – 9 – 3 + 9 = 24 \neq 0 \).
Pro \( x=-1 \): \( -1 -1 +1 +9 = 8 \neq 0 \).
Pro \( x=-3 \): \( -27 – 9 + 3 + 9 = -24 \neq 0 \).
Pro \( x=9 \): \( 729 – 81 – 9 + 9 = 648 \neq 0 \).
Pro \( x=-9 \): \( -729 – 81 + 9 + 9 = -792 \neq 0 \).
Žádný racionální kořen není, použijeme Cardanovu formuli nebo numerické metody.
Vzhledem k zadání ponecháváme řešení implicitní.
Řešení jsou kořeny rovnice \( x^3 – x^2 – x + 9 = 0 \), které splňují podmínky \( x \neq 2 \), \( x \neq -1 \).
39. Vyřešte rovnici \( \frac{2x+3}{x-4} – \frac{x-1}{x+2} = \frac{7x-1}{x^2 – 2x – 8} \).
Řešení příkladu 39:
Podmínky: \( x \neq 4 \), \( x \neq -2 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – 2x – 8 = (x-4)(x+2) \).
Společný jmenovatel je \( (x-4)(x+2) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{(2x+3)(x+2)}{(x-4)(x+2)} – \frac{(x-1)(x-4)}{(x+2)(x-4)} = \frac{7x – 1}{(x-4)(x+2)} \Rightarrow \frac{(2x+3)(x+2) – (x-1)(x-4)}{(x-4)(x+2)} = \frac{7x – 1}{(x-4)(x+2)} \).
Roznásobíme čitatele:
\( (2x+3)(x+2) = 2x^2 + 4x + 3x + 6 = 2x^2 + 7x + 6 \).
\( (x-1)(x-4) = x^2 – 4x – x + 4 = x^2 – 5x + 4 \).
Rozdíl v čitateli:
\( 2x^2 + 7x + 6 – (x^2 – 5x + 4) = 2x^2 + 7x + 6 – x^2 + 5x – 4 = x^2 + 12x + 2 \).
Rovnice je:
\( \frac{x^2 + 12x + 2}{(x-4)(x+2)} = \frac{7x – 1}{(x-4)(x+2)} \Rightarrow x^2 + 12x + 2 = 7x – 1 \).
Upravíme:
\( x^2 + 12x + 2 – 7x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 + 5x + 3 = 0 \).
Diskriminant:
\( \Delta = 5^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 – 12 = 13 \).
Kořeny:
\( x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2} \).
Oba kořeny splňují podmínky \( x \neq 4 \), \( x \neq -2 \).
Řešení jsou \( x = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2} \), \( x = \frac{-5 – \sqrt{13}}{2} \).
40. Vyřešte rovnici \( \frac{3x}{x^2 – 1} + \frac{2}{x+1} = \frac{5}{x-1} \).
Řešení příkladu 40:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \).
Jmenovatel \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Společný jmenovatel je \( (x-1)(x+1) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{3x}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{5(x+1)}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow \frac{3x + 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{5(x+1)}{(x-1)(x+1)} \).
Upravíme čitatel vlevo:
\( 3x + 2(x – 1) = 3x + 2x – 2 = 5x – 2 \).
Rovnice je:
\( \frac{5x – 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{5(x+1)}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow 5x – 2 = 5x + 5 \).
Upravíme:
\( 5x – 2 – 5x – 5 = 0 \Rightarrow -7 = 0 \).
Rovnice nemá řešení.
41. Vyřešte rovnici \( \frac{x+4}{x^2 – 4x + 3} = \frac{2x – 1}{x – 1} – \frac{3}{x – 3} \).
Řešení příkladu 41:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq 3 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – 4x + 3 = (x-1)(x-3) \).
Společný jmenovatel je \( (x-1)(x-3) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{x+4}{(x-1)(x-3)} = \frac{(2x – 1)(x-3)}{(x-1)(x-3)} – \frac{3(x-1)}{(x-3)(x-1)} \Rightarrow \frac{x+4}{(x-1)(x-3)} = \frac{(2x – 1)(x-3) – 3(x-1)}{(x-1)(x-3)} \).
Roznásobíme čitatele na pravé straně:
\( (2x – 1)(x – 3) = 2x^2 – 6x – x + 3 = 2x^2 – 7x + 3 \).
\( 3(x – 1) = 3x – 3 \).
Čitatel na pravé straně je:
\( 2x^2 – 7x + 3 – 3x + 3 = 2x^2 – 10x + 6 \).
Rovnice je:
\( \frac{x+4}{(x-1)(x-3)} = \frac{2x^2 – 10x + 6}{(x-1)(x-3)} \Rightarrow x + 4 = 2x^2 – 10x + 6 \).
Převedeme na jednu stranu:
\( 0 = 2x^2 – 10x + 6 – x – 4 = 2x^2 – 11x + 2 \).
Diskriminant:
\( \Delta = (-11)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 2 = 121 – 16 = 105 \).
Kořeny:
\( x = \frac{11 \pm \sqrt{105}}{4} \).
Oba kořeny splňují podmínky.
Řešení jsou \( x = \frac{11 + \sqrt{105}}{4} \), \( x = \frac{11 – \sqrt{105}}{4} \).
42. Vyřešte rovnici \( \frac{x}{x+1} + \frac{3}{x-2} = \frac{5x – 1}{x^2 – x – 2} \).
Řešení příkladu 42:
Podmínky: \( x \neq -1 \), \( x \neq 2 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – x – 2 = (x+1)(x-2) \).
Společný jmenovatel je \( (x+1)(x-2) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{x(x-2)}{(x+1)(x-2)} + \frac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)} = \frac{5x – 1}{(x+1)(x-2)} \Rightarrow \frac{x(x-2) + 3(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{5x – 1}{(x+1)(x-2)} \).
Čitatel vlevo:
\( x(x-2) + 3(x+1) = x^2 – 2x + 3x + 3 = x^2 + x + 3 \).
Rovnice je:
\( \frac{x^2 + x + 3}{(x+1)(x-2)} = \frac{5x – 1}{(x+1)(x-2)} \Rightarrow x^2 + x + 3 = 5x – 1 \).
Převedeme na jednu stranu:
\( x^2 + x + 3 – 5x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 – 4x + 4 = 0 \).
Rovnice je:\)
\( (x – 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \).
Kontrola podmínky \( x \neq 2 \) znamená, že řešení nelze přijmout.
Rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel.
43. Vyřešte rovnici \( \frac{2x+1}{x^2 – 1} + \frac{3}{x-1} = \frac{5}{x+1} \).
Řešení příkladu 43:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Společný jmenovatel je \( (x-1)(x+1) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{2x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{5(x-1)}{(x+1)(x-1)} \Rightarrow \frac{2x+1 + 3(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{5(x-1)}{(x-1)(x+1)} \).
Sečteme v čitateli vlevo:
\( 2x + 1 + 3x + 3 = 5x + 4 \).
Rovnice je:
\( \frac{5x + 4}{(x-1)(x+1)} = \frac{5(x-1)}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow 5x + 4 = 5x – 5 \).
Upravíme:
\( 5x + 4 – 5x + 5 = 0 \Rightarrow 9 = 0 \).
Rovnice nemá řešení.
44. Vyřešte rovnici \( \frac{x+3}{x^2 + 2x} = \frac{2x}{x} – \frac{1}{x+2} \).
Řešení příkladu 44:
Podmínky: \( x \neq 0 \), \( x \neq -2 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 + 2x = x(x+2) \).
Společný jmenovatel je \( x(x+2) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{x+3}{x(x+2)} = \frac{2x(x+2)}{x(x+2)} – \frac{x}{x(x+2)} \Rightarrow \frac{x+3}{x(x+2)} = \frac{2x(x+2) – x}{x(x+2)} \).
Vypočteme čitatel vpravo:
\( 2x(x+2) – x = 2x^2 + 4x – x = 2x^2 + 3x \).
Rovnice je:
\( \frac{x+3}{x(x+2)} = \frac{2x^2 + 3x}{x(x+2)} \Rightarrow x + 3 = 2x^2 + 3x \).
Převedeme vše na jednu stranu:
\( 0 = 2x^2 + 3x – x – 3 = 2x^2 + 2x – 3 \).
Diskriminant:
\( \Delta = 2^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 4 + 24 = 28 \).
Kořeny:
\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2} \).
Oba kořeny splňují podmínky.
45. Vyřešte rovnici \( \frac{4}{x-3} – \frac{2x}{x^2 – 9} = \frac{1}{x+3} \).
Řešení příkladu 45:
Podmínky: \( x \neq 3 \), \( x \neq -3 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – 9 = (x-3)(x+3) \).
Společný jmenovatel je \( (x-3)(x+3) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{4(x+3)}{(x-3)(x+3)} – \frac{2x}{(x-3)(x+3)} = \frac{1(x-3)}{(x+3)(x-3)} \Rightarrow \frac{4(x+3) – 2x}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} \).
Roznásobíme čitatel vlevo:
\( 4x + 12 – 2x = 2x + 12 \).
Rovnice je:
\( \frac{2x + 12}{(x-3)(x+3)} = \frac{x – 3}{(x-3)(x+3)} \Rightarrow 2x + 12 = x – 3 \).
Upravíme:
\( 2x + 12 – x + 3 = 0 \Rightarrow x + 15 = 0 \Rightarrow x = -15 \).
Kořen splňuje podmínky.
46. Vyřešte rovnici \( \frac{3x-1}{x^2 – 5x + 6} = \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x-2} \).
Řešení příkladu 46:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq 3 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3) \).
Společný jmenovatel je \( (x-2)(x-3) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{3x-1}{(x-2)(x-3)} = \frac{x-2}{(x-3)(x-2)} + \frac{2(x-3)}{(x-2)(x-3)} \Rightarrow \frac{3x – 1}{(x-2)(x-3)} = \frac{x – 2 + 2x – 6}{(x-2)(x-3)} \).
Sečteme čitatele vpravo:
\( x – 2 + 2x – 6 = 3x – 8 \).
Rovnice je:
\( \frac{3x – 1}{(x-2)(x-3)} = \frac{3x – 8}{(x-2)(x-3)} \Rightarrow 3x – 1 = 3x – 8 \).
Upravíme:
\( 3x – 1 – 3x + 8 = 0 \Rightarrow 7 = 0 \).
Rovnice nemá řešení.
47. Vyřešte rovnici \( \frac{x+2}{x^2 – 4x + 3} + \frac{1}{x-1} = \frac{3}{x-3} \).
Řešení příkladu 47:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq 3 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – 4x + 3 = (x-1)(x-3) \).
Společný jmenovatel je \( (x-1)(x-3) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{x+2}{(x-1)(x-3)} + \frac{x-3}{(x-1)(x-3)} = \frac{3(x-1)}{(x-3)(x-1)} \Rightarrow \frac{x+2 + x – 3}{(x-1)(x-3)} = \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-3)} \).
Sečteme čitatele vlevo:
\( x + 2 + x – 3 = 2x – 1 \).
Rovnice je:
\( \frac{2x – 1}{(x-1)(x-3)} = \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-3)} \Rightarrow 2x – 1 = 3(x-1) \Rightarrow 2x – 1 = 3x – 3 \).
Upravíme:
\( 2x – 1 – 3x + 3 = 0 \Rightarrow -x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \).
Kořen splňuje podmínky.
48. Vyřešte rovnici \( \frac{5x}{x^2 – 4} = \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x+2} \).
Řešení příkladu 48:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -2 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \).
Společný jmenovatel je \( (x-2)(x+2) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{5x}{(x-2)(x+2)} = \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} \Rightarrow \frac{5x}{(x-2)(x+2)} = \frac{2(x+2) + 3(x-2)}{(x-2)(x+2)} \).
Sečteme čitatele vpravo:
\( 2(x+2) + 3(x-2) = 2x + 4 + 3x – 6 = 5x – 2 \).
Rovnice je:
\( \frac{5x}{(x-2)(x+2)} = \frac{5x – 2}{(x-2)(x+2)} \Rightarrow 5x = 5x – 2 \Rightarrow 0 = -2 \).
Rovnice nemá řešení.
49. Vyřešte rovnici \( \frac{x-1}{x^2 – x – 6} = \frac{1}{x-3} – \frac{1}{x+2} \).
Řešení příkladu 49:
Podmínky: \( x \neq 3 \), \( x \neq -2 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – x – 6 = (x-3)(x+2) \).
Společný jmenovatel je \( (x-3)(x+2) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{x-1}{(x-3)(x+2)} = \frac{x+2}{(x-3)(x+2)} – \frac{x-3}{(x+2)(x-3)} \Rightarrow \frac{x-1}{(x-3)(x+2)} = \frac{x+2 – (x-3)}{(x-3)(x+2)} \).
Upravíme čitatele vpravo:
\( x+2 – x + 3 = 5 \).
Rovnice je:
\( \frac{x-1}{(x-3)(x+2)} = \frac{5}{(x-3)(x+2)} \Rightarrow x – 1 = 5 \Rightarrow x = 6 \).
Kořen splňuje podmínky.
50. Vyřešte rovnici \( \frac{2x+5}{x^2 + x – 6} + \frac{3}{x-2} = \frac{4}{x+3} \).
Řešení příkladu 50:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -3 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 + x – 6 = (x-2)(x+3) \).
Společný jmenovatel je \( (x-2)(x+3) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{2x+5}{(x-2)(x+3)} + \frac{3(x+3)}{(x-2)(x+3)} = \frac{4(x-2)}{(x+3)(x-2)} \Rightarrow \frac{2x+5 + 3(x+3)}{(x-2)(x+3)} = \frac{4(x-2)}{(x-2)(x+3)} \).
Sečteme čitatel vlevo:
\( 2x + 5 + 3x + 9 = 5x + 14 \).
Rovnice je:
\( \frac{5x + 14}{(x-2)(x+3)} = \frac{4x – 8}{(x-2)(x+3)} \Rightarrow 5x + 14 = 4x – 8 \Rightarrow 5x + 14 – 4x + 8 = 0 \Rightarrow x + 22 = 0 \Rightarrow x = -22 \).
Kořen splňuje podmínky.
51. Vyřešte rovnici \( \frac{x}{x^2 – 4x + 3} + \frac{2}{x-1} = \frac{3}{x-3} \).
Řešení příkladu 51:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq 3 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – 4x + 3 = (x-1)(x-3) \).
Společný jmenovatel je \( (x-1)(x-3) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{x}{(x-1)(x-3)} + \frac{2(x-3)}{(x-1)(x-3)} = \frac{3(x-1)}{(x-3)(x-1)} \Rightarrow \frac{x + 2(x-3)}{(x-1)(x-3)} = \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-3)} \).
Sečteme čitatel vlevo:
\( x + 2x – 6 = 3x – 6 \).
Rovnice je:
\( \frac{3x – 6}{(x-1)(x-3)} = \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-3)} \Rightarrow 3x – 6 = 3x – 3 \).
Upravíme:
\( 3x – 6 – 3x + 3 = 0 \Rightarrow -3 = 0 \).
Rovnice nemá řešení.
52. Vyřešte rovnici \( \frac{2x – 3}{x^2 – x – 6} = \frac{1}{x-3} + \frac{4}{x+2} \).
Řešení příkladu 52:
Podmínky: \( x \neq 3 \), \( x \neq -2 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – x – 6 = (x-3)(x+2) \).
Společný jmenovatel je \( (x-3)(x+2) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{2x – 3}{(x-3)(x+2)} = \frac{x+2}{(x-3)(x+2)} + \frac{4(x-3)}{(x+2)(x-3)} \Rightarrow \frac{2x – 3}{(x-3)(x+2)} = \frac{x + 2 + 4x – 12}{(x-3)(x+2)} \).
Sečteme čitatele vpravo:
\( x + 2 + 4x – 12 = 5x – 10 \).
Rovnice je:
\( \frac{2x – 3}{(x-3)(x+2)} = \frac{5x – 10}{(x-3)(x+2)} \Rightarrow 2x – 3 = 5x – 10 \Rightarrow 2x – 3 – 5x + 10 = 0 \Rightarrow -3x + 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3} \).
Kořen splňuje podmínky.
53. Vyřešte rovnici \( \frac{2x+1}{x-4} + \frac{3x-5}{x+2} = 1 \).
Řešení příkladu 53:
Podmínky: \( x \neq 4 \), \( x \neq -2 \).
Společný jmenovatel je \( (x-4)(x+2) \).
Rovnici přepíšeme:
\( \frac{(2x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)} + \frac{(3x-5)(x-4)}{(x+2)(x-4)} = \frac{(x-4)(x+2)}{(x-4)(x+2)} \Rightarrow \frac{(2x+1)(x+2) + (3x-5)(x-4)}{(x-4)(x+2)} = 1 \).
Rozevřeme čitatele:
\( (2x+1)(x+2) = 2x^2 + 4x + x + 2 = 2x^2 + 5x + 2 \),
\( (3x-5)(x-4) = 3x^2 – 12x – 5x + 20 = 3x^2 – 17x + 20 \).
Sečteme:
\( 2x^2 + 5x + 2 + 3x^2 – 17x + 20 = 5x^2 – 12x + 22 \).
Rovnice je:
\( \frac{5x^2 – 12x + 22}{(x-4)(x+2)} = 1 \Rightarrow 5x^2 – 12x + 22 = (x-4)(x+2) = x^2 – 2x – 8 \).
Převedeme na jednu stranu:
\( 5x^2 – 12x + 22 – x^2 + 2x + 8 = 0 \Rightarrow 4x^2 – 10x + 30 = 0 \).
Dělíme rovnicí 2 pro zjednodušení:
\( 2x^2 – 5x + 15 = 0 \).
Diskriminant:
\( D = (-5)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 15 = 25 – 120 = -95 < 0 \).
Protože \( D < 0 \), rovnice nemá reálné řešení.
54. Vyřešte rovnici \( \frac{x-3}{x+1} – \frac{2x+5}{x-2} = \frac{7}{x^2 – x – 2} \).
Řešení příkladu 54:
Podmínky: \( x \neq -1 \), \( x \neq 2 \).
Rozložíme jmenovatel vpravo: \( x^2 – x – 2 = (x+1)(x-2) \).
Společný jmenovatel všech zlomků je \( (x+1)(x-2) \).
Upravíme levou stranu:
\( \frac{(x-3)(x-2)}{(x+1)(x-2)} – \frac{(2x+5)(x+1)}{(x-2)(x+1)} = \frac{7}{(x+1)(x-2)} \Rightarrow \frac{(x-3)(x-2) – (2x+5)(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{7}{(x+1)(x-2)} \).
Rozevřeme čitatele:
\( (x-3)(x-2) = x^2 – 2x – 3x + 6 = x^2 – 5x + 6 \),
\( (2x+5)(x+1) = 2x^2 + 2x + 5x + 5 = 2x^2 + 7x + 5 \).
Dosadíme do rovnice:
\( \frac{x^2 – 5x + 6 – (2x^2 + 7x + 5)}{(x+1)(x-2)} = \frac{7}{(x+1)(x-2)} \Rightarrow \frac{x^2 – 5x + 6 – 2x^2 – 7x – 5}{(x+1)(x-2)} = \frac{7}{(x+1)(x-2)} \).
Upravíme čitatel:
\( x^2 – 5x + 6 – 2x^2 – 7x – 5 = -x^2 – 12x + 1 \).
Rovnice je:
\( \frac{-x^2 – 12x + 1}{(x+1)(x-2)} = \frac{7}{(x+1)(x-2)} \Rightarrow -x^2 – 12x + 1 = 7 \Rightarrow -x^2 – 12x + 1 – 7 = 0 \Rightarrow -x^2 – 12x – 6 = 0 \).
Vynásobíme rovnicí -1:
\( x^2 + 12x + 6 = 0 \).
Diskriminant:
\( D = 12^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 144 – 24 = 120 \).
Kořeny:
\( x = \frac{-12 \pm \sqrt{120}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{30}}{2} = -6 \pm \sqrt{30} \).
Kořeny nesmí být vyloučeny podmínkami, což nejsou.
Řešení je \( x = -6 + \sqrt{30} \) a \( x = -6 – \sqrt{30} \).
55. Vyřešte rovnici \( \frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-1} = \frac{9}{x^2 + 2x – 3} \).
Řešení příkladu 55:
Podmínky: \( x \neq -3 \), \( x \neq 1 \).
Rozložíme jmenovatel vpravo: \( x^2 + 2x – 3 = (x+3)(x-1) \).
Společný jmenovatel je \( (x+3)(x-1) \).
Rovnici upravíme na společný jmenovatel:
\( \frac{4(x-1)}{(x+3)(x-1)} + \frac{5(x+3)}{(x-1)(x+3)} = \frac{9}{(x+3)(x-1)} \Rightarrow \frac{4(x-1) + 5(x+3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{9}{(x+3)(x-1)} \).
Roznásobíme čitatele:
\( 4(x-1) + 5(x+3) = 4x – 4 + 5x + 15 = 9x + 11 \).
Rovnice je:
\( \frac{9x + 11}{(x+3)(x-1)} = \frac{9}{(x+3)(x-1)} \Rightarrow 9x + 11 = 9 \Rightarrow 9x + 11 – 9 = 0 \Rightarrow 9x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{9} \).
Podmínky jsou splněny.
Řešení je \( x = -\frac{2}{9} \).
56. Vyřešte rovnici \( \frac{x^2 – 1}{x+1} = \frac{2x+3}{x-2} + 1 \).
Řešení příkladu 56:
Podmínky: \( x \neq -1 \), \( x \neq 2 \).
Vlevo lze zjednodušit výraz:
\( \frac{x^2 – 1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x – 1 \) (pro \( x \neq -1 \)).
Rovnice je tedy:
\( x – 1 = \frac{2x+3}{x-2} + 1 \Rightarrow x – 1 – 1 = \frac{2x+3}{x-2} \Rightarrow x – 2 = \frac{2x+3}{x-2} \).
Vynásobíme obě strany \( x-2 \) (podmínky):
\( (x-2)^2 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 – 4x + 4 = 2x + 3 \).
Převedeme všechny členy na jednu stranu:
\( x^2 – 4x + 4 – 2x – 3 = 0 \Rightarrow x^2 – 6x + 1 = 0 \).
Diskriminant:
\( D = (-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 – 4 = 32 \).
Kořeny:
\( x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2} \).
Podmínky splněny.
Řešení: \( x = 3 + 2\sqrt{2} \) a \( x = 3 – 2\sqrt{2} \).
57. Vyřešte rovnici \( \frac{x+2}{x^2 – 4} + \frac{3}{x-2} = \frac{1}{x+2} \).
Řešení příkladu 57:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -2 \).
Rozložíme jmenovatel: \( x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \).
Společný jmenovatel: \( (x-2)(x+2) \).
Přepíšeme levou stranu:
\( \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} + \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{1(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-2)(x+2)} \) – pozor, pravá strana má jmenovatel \( x+2 \), vynásobíme ji tedy společným jmenovatelem na levé straně i pravé.
Pro lepší přehled přepíšeme rovně:
\( \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} + \frac{3}{x-2} = \frac{1}{x+2} \).
Vynásobíme celou rovnici společným jmenovatelem \( (x-2)(x+2) \):
\( (x+2) + 3(x+2) = (x-2) \Rightarrow x + 2 + 3x + 6 = x – 2 \Rightarrow 4x + 8 = x – 2 \).
Úprava:
\( 4x + 8 – x + 2 = 0 \Rightarrow 3x + 10 = 0 \Rightarrow 3x = -10 \Rightarrow x = -\frac{10}{3} \).
Podmínky nejsou porušeny.
Řešení je \( x = -\frac{10}{3} \).
58. Vyřešte rovnici \( \frac{2x}{x^2 – 1} = \frac{3}{x+1} – \frac{1}{x-1} \).
Řešení příkladu 58:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \).
Rozložíme jmenovatel vlevo: \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Společný jmenovatel všech zlomků je \( (x-1)(x+1) \).
Upravíme pravou stranu na společný jmenovatel:
\( \frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} – \frac{1(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3(x-1) – (x+1)}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow \frac{3x – 3 – x – 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x – 4}{(x-1)(x+1)} \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{2x}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x – 4}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow 2x = 2x – 4 \Rightarrow 0 = -4 \).
Rovnice nemá řešení, protože tato rovnost je nepravdivá.
Žádné řešení.
59. Vyřešte rovnici \( \frac{3x + 2}{x-5} + \frac{4x – 1}{5 – x} = 7 \).
Řešení příkladu 59:
Podmínka: \( x \neq 5 \).
Všimneme si, že \( 5 – x = -(x-5) \).
Rovnice je:
\( \frac{3x + 2}{x-5} + \frac{4x – 1}{5 – x} = \frac{3x + 2}{x-5} – \frac{4x – 1}{x-5} = \frac{3x + 2 – (4x – 1)}{x-5} = \frac{3x + 2 – 4x + 1}{x-5} = \frac{-x + 3}{x-5} \).
Tedy rovnice zní:
\( \frac{-x + 3}{x-5} = 7 \Rightarrow -x + 3 = 7(x-5) \Rightarrow -x + 3 = 7x – 35 \).
Převedeme členy:
\( -x – 7x = -35 – 3 \Rightarrow -8x = -38 \Rightarrow x = \frac{38}{8} = \frac{19}{4} \).
Podmínka splněna.
Řešení: \( x = \frac{19}{4} \).
60. Vyřešte rovnici \( \frac{2x+3}{x^2 + x – 6} = \frac{1}{x-2} – \frac{1}{x+3} \).
Řešení příkladu 60:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -3 \).
Rozložíme jmenovatel vlevo: \( x^2 + x – 6 = (x+3)(x-2) \).
Pravá strana na společný jmenovatel \( (x-2)(x+3) \):
\( \frac{1(x+3)}{(x-2)(x+3)} – \frac{1(x-2)}{(x+3)(x-2)} = \frac{x+3 – (x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{x + 3 – x + 2}{(x-2)(x+3)} = \frac{5}{(x-2)(x+3)} \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{2x + 3}{(x+3)(x-2)} = \frac{5}{(x-2)(x+3)} \Rightarrow 2x + 3 = 5 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \).
Podmínky nejsou porušeny.
Řešení je \( x = 1 \).
61. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x-1} \).
Řešení příkladu 61:
Podmínky: \( x \neq 0 \), \( x \neq -1 \), \( x \neq 1 \).
Společný jmenovatel je \( x(x+1)(x-1) \).
Upravíme levou stranu:
\( \frac{(x+1)(x-1)}{x(x+1)(x-1)} + \frac{x(x-1)}{(x+1)x(x-1)} = \frac{(x+1)(x-1) + x(x-1)}{x(x+1)(x-1)} \).
Vypočteme čitatele:
\( (x+1)(x-1) = x^2 – 1 \),
\( x(x-1) = x^2 – x \),
Součet je \( x^2 – 1 + x^2 – x = 2x^2 – x – 1 \).
Rovnice je:
\( \frac{2x^2 – x – 1}{x(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x-1} \Rightarrow \frac{2x^2 – x – 1}{x(x+1)(x-1)} = \frac{1 \cdot x(x+1)}{x(x+1)(x-1)} \Rightarrow 2x^2 – x – 1 = x(x+1) \).
Rozepíšeme pravou stranu:
\( 2x^2 – x – 1 = x^2 + x \Rightarrow 2x^2 – x – 1 – x^2 – x = 0 \Rightarrow x^2 – 2x – 1 = 0 \).
Diskriminant:
\( D = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \).
Kořeny:
\( x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \).
Podmínky splněny.
Řešení: \( x = 1 + \sqrt{2} \) a \( x = 1 – \sqrt{2} \).
62. Vyřešte rovnici \( \frac{x}{x-3} + \frac{3}{x+2} = 1 \).
Řešení příkladu 62:
Podmínky: \( x \neq 3 \), \( x \neq -2 \).
Společný jmenovatel je \( (x-3)(x+2) \).
Upravíme levou stranu na společný jmenovatel:
\( \frac{x(x+2)}{(x-3)(x+2)} + \frac{3(x-3)}{(x+2)(x-3)} = \frac{x(x+2) + 3(x-3)}{(x-3)(x+2)} \Rightarrow \frac{x^2 + 2x + 3x – 9}{(x-3)(x+2)} = \frac{x^2 + 5x – 9}{(x-3)(x+2)} \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{x^2 + 5x – 9}{(x-3)(x+2)} = 1 \Rightarrow x^2 + 5x – 9 = (x-3)(x+2) \Rightarrow x^2 + 5x – 9 = x^2 – x – 6 \).
Upravíme:
\( x^2 + 5x – 9 – x^2 + x + 6 = 0 \Rightarrow 6x – 3 = 0 \Rightarrow 6x = 3 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \).
Podmínky nejsou porušeny.
Řešení je \( x = \frac{1}{2} \).
63. Vyřešte rovnici \( \frac{2x + 3}{x-2} – \frac{4x – 1}{x+3} = 1 \).
Řešení příkladu 63:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -3 \).
Najdeme společný jmenovatel \( (x-2)(x+3) \).
Upravíme levou stranu:
\( \frac{(2x+3)(x+3)}{(x-2)(x+3)} – \frac{(4x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)} = \frac{(2x+3)(x+3) – (4x-1)(x-2)}{(x-2)(x+3)} \Rightarrow \)
Rozepíšeme čitatele:
\( (2x+3)(x+3) = 2x^2 + 6x + 3x + 9 = 2x^2 + 9x + 9 \)
\( (4x-1)(x-2) = 4x^2 – 8x – x + 2 = 4x^2 – 9x + 2 \)
Čitatel rovnice je tedy:
\( 2x^2 + 9x + 9 – (4x^2 – 9x + 2) = 2x^2 + 9x + 9 – 4x^2 + 9x – 2 = -2x^2 + 18x + 7 \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{-2x^2 + 18x + 7}{(x-2)(x+3)} = 1 \Rightarrow -2x^2 + 18x + 7 = (x-2)(x+3) \Rightarrow -2x^2 + 18x + 7 = x^2 + x – 6 \).
Převedeme vše na jednu stranu:
\( -2x^2 + 18x + 7 – x^2 – x + 6 = 0 \Rightarrow -3x^2 + 17x + 13 = 0 \).
Diskriminant:
\( D = 17^2 – 4 \cdot (-3) \cdot 13 = 289 + 156 = 445 \).
Kořeny jsou:
\( x = \frac{-17 \pm \sqrt{445}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-17 \pm \sqrt{445}}{-6} = \frac{17 \mp \sqrt{445}}{6} \).
Zkontrolujeme, že žádný kořen není roven 2 nebo -3.
Řešení: \( x = \frac{17 – \sqrt{445}}{6} \) a \( x = \frac{17 + \sqrt{445}}{6} \).
64. Vyřešte rovnici \( \frac{x+1}{x^2 – 4} + \frac{2}{x+2} = \frac{3}{x-2} \).
Řešení příkladu 64:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -2 \).
Všimneme si, že \( x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \).
Rovnici zapíšeme se společným jmenovatelem \( (x-2)(x+2) \):
\( \frac{x+1}{(x-2)(x+2)} + \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} \Rightarrow \)
\( \frac{x+1 + 2(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} \Rightarrow \frac{x+1 + 2x – 4}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x + 6}{(x-2)(x+2)} \).
Sečteme čitatel vlevo:
\( \frac{3x – 3}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x + 6}{(x-2)(x+2)} \Rightarrow 3x – 3 = 3x + 6 \Rightarrow -3 = 6 \), což není pravda.
Proto rovnice nemá řešení za podmínky, že \( x \neq \pm 2 \).
Zkontrolujeme případné porušení podmínek.
Žádné řešení.
65. Vyřešte rovnici \( \frac{3x}{x^2 – 1} = \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+1} \).
Řešení příkladu 65:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \).
Všimneme si, že \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Vyjádříme pravou stranu se společným jmenovatelem \( (x-1)(x+1) \):
\( \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{1(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x + 2 + x – 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x + 1}{(x-1)(x+1)} \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{3x}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x + 1}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow 3x = 3x + 1 \Rightarrow 0 = 1 \).
Rovnice nemá řešení za podmínek.
66. Vyřešte rovnici \( \frac{x+2}{x-3} + \frac{5}{3-x} = 4 \).
Řešení příkladu 66:
Podmínka: \( x \neq 3 \).
Všimneme si, že \( 3 – x = -(x-3) \), tedy \( \frac{5}{3-x} = -\frac{5}{x-3} \).
Rovnice je:
\( \frac{x+2}{x-3} – \frac{5}{x-3} = 4 \Rightarrow \frac{x+2 – 5}{x-3} = 4 \Rightarrow \frac{x – 3}{x-3} = 4 \).
Pokud \( x \neq 3 \), pak \( \frac{x-3}{x-3} = 1 \).
Tedy \( 1 = 4 \), což není pravda.
Rovnice nemá řešení.
67. Vyřešte rovnici \( \frac{2x – 1}{x+1} + \frac{x + 3}{1 – x} = 0 \).
Řešení příkladu 67:
Podmínky: \( x \neq -1 \), \( x \neq 1 \).
Všimneme si, že \( 1 – x = -(x-1) \), tedy
\( \frac{x+3}{1 – x} = -\frac{x+3}{x-1} \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{2x – 1}{x+1} – \frac{x+3}{x-1} = 0 \Rightarrow \frac{2x – 1}{x+1} = \frac{x+3}{x-1} \).
Vynásobíme křížem:
\( (2x – 1)(x-1) = (x+3)(x+1) \).
Roznásobíme:
\( 2x^2 – 2x – x + 1 = x^2 + x + 3x + 3 \Rightarrow 2x^2 – 3x + 1 = x^2 + 4x + 3 \).
Převedeme vše na levou stranu:
\( 2x^2 – 3x + 1 – x^2 – 4x – 3 = 0 \Rightarrow x^2 – 7x – 2 = 0 \).
Diskriminant:
\( D = (-7)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 49 + 8 = 57 \).
Kořeny:
\( x = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{2} \).
Podmínky nejsou porušeny.
Řešení: \( x = \frac{7 + \sqrt{57}}{2} \), \( x = \frac{7 – \sqrt{57}}{2} \).
68. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{3}{x^2 + x} \).
Řešení příkladu 68:
Podmínky: \( x \neq 0 \), \( x \neq -1 \).
Všimneme si, že \( x^2 + x = x(x+1) \).
Rovnice je:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{3}{x(x+1)} \).
Sečteme levou stranu na společný jmenovatel \( x(x+1) \):
\( \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)} = \frac{3}{x(x+1)} \Rightarrow \frac{x+1 + x}{x(x+1)} = \frac{3}{x(x+1)} \Rightarrow \frac{2x + 1}{x(x+1)} = \frac{3}{x(x+1)} \).
Vynásobíme rovnost jmenovatelem \( x(x+1) \):
\( 2x + 1 = 3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \).
Podmínky nejsou porušeny.
Řešení je \( x = 1 \).
69. Vyřešte rovnici \( \frac{x+4}{x^2 + 2x} = \frac{3}{x} – \frac{1}{x+2} \).
Řešení příkladu 69:
Podmínky: \( x \neq 0 \), \( x \neq -2 \).
Všimneme si, že \( x^2 + 2x = x(x+2) \).
Pravou stranu upravíme na společný jmenovatel \( x(x+2) \):
\( \frac{3(x+2)}{x(x+2)} – \frac{1 \cdot x}{x(x+2)} = \frac{3x + 6 – x}{x(x+2)} = \frac{2x + 6}{x(x+2)} \).
Rovnice je:
\( \frac{x+4}{x(x+2)} = \frac{2x + 6}{x(x+2)} \Rightarrow x + 4 = 2x + 6 \Rightarrow 4 – 6 = 2x – x \Rightarrow -2 = x \).
Zkontrolujeme podmínky: \( x = -2 \) není povolená hodnota.
Rovnice nemá řešení.
70. Vyřešte rovnici \( \frac{5}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{7x}{x^2 – 1} \).
Řešení příkladu 70:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \).
Všimneme si, že \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Upravíme levou stranu na společný jmenovatel \( (x-1)(x+1) \):
\( \frac{5(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{5x + 5 + 2x – 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{7x + 3}{(x-1)(x+1)} \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{7x + 3}{(x-1)(x+1)} = \frac{7x}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow 7x + 3 = 7x \Rightarrow 3 = 0 \).
Rovnice nemá řešení.
71. Vyřešte rovnici \( \frac{2x}{x-3} – \frac{3x}{x+2} = 5 \).
Řešení příkladu 71:
Podmínky: \( x \neq 3 \), \( x \neq -2 \).
Společný jmenovatel je \( (x-3)(x+2) \), převedeme na společný jmenovatel:
\( \frac{2x(x+2)}{(x-3)(x+2)} – \frac{3x(x-3)}{(x+2)(x-3)} = 5 \Rightarrow \frac{2x(x+2) – 3x(x-3)}{(x-3)(x+2)} = 5 \).
Vypočítáme čitatele:
\( 2x^2 + 4x – 3x^2 + 9x = -x^2 + 13x \).
Rovnice tedy je:
\( \frac{-x^2 + 13x}{(x-3)(x+2)} = 5 \).
Vynásobíme obě strany jmenovatelem (s podmínkami):
\( -x^2 + 13x = 5(x^2 – x – 6) \Rightarrow -x^2 + 13x = 5x^2 – 5x – 30 \).
Převedeme všechny členy na jednu stranu:
\( -x^2 + 13x – 5x^2 + 5x + 30 = 0 \Rightarrow -6x^2 + 18x + 30 = 0 \Rightarrow 6x^2 – 18x – 30 = 0 \).
Dělíme rovnicí 6:
\( x^2 – 3x – 5 = 0 \).
Diskriminant:
\( \Delta = (-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29 \).
Kořeny:
\( x = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2} \).
Podmínky splněny, protože ani jedna hodnota není 3 nebo -2.
Řešení je \( x = \frac{3 + \sqrt{29}}{2} \) a \( x = \frac{3 – \sqrt{29}}{2} \).
72. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{2x}{x^2 -1} \).
Řešení příkladu 72:
Podmínky: \( x \neq \pm 1 \).
Rovnice je:
\( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \).
Sečteme levou stranu na společný jmenovatel:
\( \frac{x-1 + x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \Rightarrow \frac{2x}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \).
Rovnost platí pro všechny \( x \neq \pm 1 \), tedy řešením je množina všech reálných čísel kromě \( \{ -1, 1 \} \).
73. Vyřešte rovnici \( \frac{3x}{2x-1} + \frac{4}{1-2x} = 5 \).
Řešení příkladu 73:
Podmínka: \( x \neq \frac{1}{2} \).
Upravíme druhý zlomek:
\( \frac{4}{1-2x} = \frac{4}{-(2x-1)} = -\frac{4}{2x-1} \).
Rovnice tedy je:
\( \frac{3x}{2x-1} – \frac{4}{2x-1} = 5 \Rightarrow \frac{3x – 4}{2x-1} = 5 \).
Vynásobíme obě strany jmenovatelem:
\( 3x – 4 = 5(2x – 1) \Rightarrow 3x – 4 = 10x – 5 \).
Úprava rovnice:
\( 3x – 4 – 10x + 5 = 0 \Rightarrow -7x + 1 = 0 \Rightarrow 7x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{7} \).
Podmínka splněna.
Řešení je \( x = \frac{1}{7} \).
74. Vyřešte rovnici \( \frac{x+2}{x^2 -4} = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} \).
Řešení příkladu 74:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -2 \).
Všimneme si, že \( x^2 -4 = (x-2)(x+2) \).
Pravá strana rovnice je:
\( \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) + (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x}{(x-2)(x+2)} \).
Levá strana je:
\( \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x-2} \).
Rovnice tedy zní:
\( \frac{1}{x-2} = \frac{2x}{(x-2)(x+2)} \Rightarrow \frac{1}{x-2} = \frac{2x}{(x-2)(x+2)} \).
Vynásobíme obě strany \( (x-2)(x+2) \) (s podmínkami):
\( (x+2) = 2x \Rightarrow x + 2 = 2x \Rightarrow 2 = 2x – x = x \).
Zkontrolujeme podmínky: \( x = 2 \) není možné, jelikož \( x \neq 2 \).
Řešení neexistuje.
75. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x(x+1)} \).
Řešení příkladu 75:
Podmínky: \( x \neq 0 \), \( x \neq -1 \).
Levá strana rovnice je:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) + x}{x(x+1)} = \frac{2x + 1}{x(x+1)} \).
Rovnice tedy zní:
\( \frac{2x + 1}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} \Rightarrow 2x + 1 = 1 \).
Úprava rovnice:
\( 2x + 1 = 1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \).
Podmínka není splněna, protože \( x \neq 0 \).
Řešení neexistuje.
76. Vyřešte rovnici \( \frac{x}{x^2 + x – 6} = \frac{1}{x-2} \).
Řešení příkladu 76:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -3 \).
Všimneme si, že \( x^2 + x – 6 = (x+3)(x-2) \).
Rovnice je:
\( \frac{x}{(x+3)(x-2)} = \frac{1}{x-2} \Rightarrow \frac{x}{(x+3)(x-2)} = \frac{1}{x-2} \).
Vynásobíme rovnice \( (x+3)(x-2) \) (s podmínkami):
\( x = (x+3) \Rightarrow x = x + 3 \Rightarrow 0 = 3 \).
Rovnice nemá řešení.
77. Vyřešte rovnici \( \frac{2x + 1}{x – 1} = \frac{3x – 2}{x + 2} \).
Řešení příkladu 77:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -2 \).
Vynásobíme obě strany jmenovateli:
\( (2x + 1)(x + 2) = (3x – 2)(x – 1) \).
Roznásobíme:
\( 2x^2 + 4x + x + 2 = 3x^2 – 3x – 2x + 2 \Rightarrow 2x^2 + 5x + 2 = 3x^2 – 5x + 2 \).
Převedeme vše na jednu stranu:
\( 2x^2 + 5x + 2 – 3x^2 + 5x – 2 = 0 \Rightarrow -x^2 + 10x = 0 \Rightarrow x^2 – 10x = 0 \).
Vytkneme:
\( x(x – 10) = 0 \Rightarrow x = 0 \) nebo \( x = 10 \).
Podmínky splněny.
Řešení je \( x = 0 \) a \( x = 10 \).
78. Vyřešte rovnici \( \frac{4}{x^2 – 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{3}{x – 1} \).
Řešení příkladu 78:
Podmínky: \( x \neq \pm 1 \).
Všimneme si, že \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Převedeme levou stranu na společný jmenovatel \( (x-1)(x+1) \):
\( \frac{4}{(x-1)(x+1)} + \frac{1(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{4 + x – 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x + 3}{(x-1)(x+1)} \).
Pravá strana je \( \frac{3}{x-1} = \frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} \).
Rovnice tedy je:
\( \frac{x + 3}{(x-1)(x+1)} = \frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow x + 3 = 3(x + 1) \).
Úprava rovnice:
\( x + 3 = 3x + 3 \Rightarrow 3 = 3x + 3 – x \Rightarrow 3 = 2x + 3 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \).
Podmínky splněny.
Řešení je \( x = 0 \).
79. Vyřešte rovnici \( \frac{2x+1}{x-3} – \frac{x-4}{x+2} = 1 \).
Řešení příkladu 79:
Podmínky: \( x \neq 3 \), \( x \neq -2 \).
Najdeme společný jmenovatel \( (x-3)(x+2) \):
\( \frac{(2x+1)(x+2)}{(x-3)(x+2)} – \frac{(x-4)(x-3)}{(x+2)(x-3)} = \frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+2)} \Rightarrow \frac{(2x+1)(x+2) – (x-4)(x-3)}{(x-3)(x+2)} = 1 \).
Roznásobíme čitatele:
\( (2x+1)(x+2) = 2x^2 + 4x + x + 2 = 2x^2 + 5x + 2 \).
\( (x-4)(x-3) = x^2 – 3x – 4x + 12 = x^2 – 7x + 12 \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{2x^2 + 5x + 2 – (x^2 – 7x + 12)}{(x-3)(x+2)} = 1 \Rightarrow \frac{2x^2 + 5x + 2 – x^2 + 7x – 12}{(x-3)(x+2)} = 1 \Rightarrow \frac{x^2 + 12x – 10}{(x-3)(x+2)} = 1 \).
Vynásobíme obě strany jmenovatelem:
\( x^2 + 12x – 10 = (x-3)(x+2) \Rightarrow x^2 + 12x – 10 = x^2 – 3x + 2x – 6 \Rightarrow x^2 + 12x – 10 = x^2 – x – 6 \).
Úprava:
\( x^2 + 12x – 10 – x^2 + x + 6 = 0 \Rightarrow 13x – 4 = 0 \Rightarrow 13x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{13} \).
Zkontrolujeme podmínky: \( \frac{4}{13} \neq 3 \), \( \frac{4}{13} \neq -2 \).
Řešení je \( x = \frac{4}{13} \).
80. Vyřešte rovnici \( \frac{3}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{5x}{x^2 – x – 2} \).
Řešení příkladu 80:
Podmínky: \( x \neq -1 \), \( x \neq 2 \).
Jmenovatel na pravé straně rozložíme: \( x^2 – x – 2 = (x+1)(x-2) \).
Rovnice tedy je:
\( \frac{3}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{5x}{(x+1)(x-2)} \).
Najdeme společný jmenovatel \( (x+1)(x-2) \):
\( \frac{3(x-2)}{(x+1)(x-2)} + \frac{2(x+1)}{(x-2)(x+1)} = \frac{5x}{(x+1)(x-2)} \Rightarrow \frac{3(x-2) + 2(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{5x}{(x+1)(x-2)} \).
Vynásobíme obě strany společným jmenovatelem:
\( 3(x-2) + 2(x+1) = 5x \Rightarrow 3x – 6 + 2x + 2 = 5x \Rightarrow 5x – 4 = 5x \).
Úprava:
\( 5x – 4 = 5x \Rightarrow -4 = 0 \) je nepravda, tedy žádné řešení neexistuje.
Řešení je prázdná množina.
81. Vyřešte rovnici \( \frac{x}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2x}{x^2 – 1} \).
Řešení příkladu 81:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \).
Jmenovatel v pravé straně je \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Upravíme levou stranu na společný jmenovatel:
\( \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{1(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow \frac{x(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)} \).
Vyjádříme čitatele na levé straně:
\( x(x+1) + (x-1) = x^2 + x + x – 1 = x^2 + 2x – 1 \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{x^2 + 2x – 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow x^2 + 2x – 1 = 2x \).
Úprava rovnice:
\( x^2 + 2x – 1 – 2x = 0 \Rightarrow x^2 – 1 = 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ nebo } x = -1 \).
Zkontrolujeme podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \), tedy oba kořeny jsou vyloučeny.
Řešení je prázdná množina.
82. Vyřešte rovnici \( \frac{2x}{x^2 – 4} = \frac{1}{x-2} + \frac{3}{x+2} \).
Řešení příkladu 82:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -2 \).
Jmenovatel vlevo je \( x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \).
Upravíme pravou stranu na společný jmenovatel \( (x-2)(x+2) \):
\( \frac{1(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+2 + 3x – 6}{(x-2)(x+2)} = \frac{4x – 4}{(x-2)(x+2)} \).
Rovnice je:
\( \frac{2x}{(x-2)(x+2)} = \frac{4x – 4}{(x-2)(x+2)} \Rightarrow 2x = 4x – 4 \Rightarrow 2x – 4x = -4 \Rightarrow -2x = -4 \Rightarrow x = 2 \).
Zkontrolujeme podmínky: \( x \neq 2 \) je podmínka, ale \( x=2 \) řešením není přípustné.
Řešení je prázdná množina.
83. Vyřešte rovnici \( \frac{x+1}{x^2 – x} = \frac{2}{x} \).
Řešení příkladu 83:
Podmínky: \( x \neq 0 \), \( x \neq 1 \).
Jmenovatel vlevo je \( x^2 – x = x(x-1) \).
Rovnice je:
\( \frac{x+1}{x(x-1)} = \frac{2}{x} \Rightarrow \frac{x+1}{x(x-1)} – \frac{2}{x} = 0 \Rightarrow \frac{x+1}{x(x-1)} – \frac{2(x-1)}{x(x-1)} = 0 \Rightarrow \frac{x+1 – 2(x-1)}{x(x-1)} = 0 \).
Čitatel upravíme:
\( x+1 – 2x + 2 = -x + 3 \).
Rovnice je:
\( \frac{-x + 3}{x(x-1)} = 0 \Rightarrow -x + 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \).
Zkontrolujeme podmínky: \( 3 \neq 0 \), \( 3 \neq 1 \).
Řešení je \( x = 3 \).
84. Vyřešte rovnici \( \frac{4}{x+3} – \frac{1}{x-3} = \frac{5x}{x^2 – 9} \).
Řešení příkladu 84:
Podmínky: \( x \neq -3 \), \( x \neq 3 \).
Jmenovatel v pravé straně: \( x^2 – 9 = (x+3)(x-3) \).
Upravíme levou stranu na společný jmenovatel:
\( \frac{4(x-3)}{(x+3)(x-3)} – \frac{1(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{4x – 12 – x – 3}{(x+3)(x-3)} = \frac{3x – 15}{(x+3)(x-3)} \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{3x – 15}{(x+3)(x-3)} = \frac{5x}{(x+3)(x-3)} \Rightarrow 3x – 15 = 5x \Rightarrow 3x – 5x = 15 \Rightarrow -2x = 15 \Rightarrow x = -\frac{15}{2} \).
Zkontrolujeme podmínky: \( -\frac{15}{2} \neq -3 \), \( -\frac{15}{2} \neq 3 \).
Řešení je \( x = -\frac{15}{2} \).
85. Vyřešte rovnici \( \frac{x-2}{x^2 + x – 6} = \frac{1}{x-2} \).
Řešení příkladu 85:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -3 \).
Rozložíme jmenovatel vlevo: \( x^2 + x – 6 = (x+3)(x-2) \).
Rovnice je:
\( \frac{x-2}{(x+3)(x-2)} = \frac{1}{x-2} \Rightarrow \frac{x-2}{(x+3)(x-2)} – \frac{1}{x-2} = 0 \Rightarrow \frac{x-2}{(x+3)(x-2)} – \frac{(x+3)}{(x+3)(x-2)} = 0 \Rightarrow \frac{x-2 – (x+3)}{(x+3)(x-2)} = 0 \).
Čitatel:
\( x – 2 – x – 3 = -5 \).
Rovnice je:
\( \frac{-5}{(x+3)(x-2)} = 0 \).
To není nikdy pravda, proto není žádné řešení.
Řešení je prázdná množina.
86. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x-2} + \frac{3}{x+1} = \frac{4}{x^2 – x – 2} \).
Řešení příkladu 86:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -1 \).
Rozložíme jmenovatel pravé strany: \( x^2 – x – 2 = (x-2)(x+1) \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{1}{x-2} + \frac{3}{x+1} = \frac{4}{(x-2)(x+1)} \).
Vynásobíme celou rovnici jmenovatelem \( (x-2)(x+1) \) (s podmínkami):
\( (x+1) + 3(x-2) = 4 \Rightarrow x + 1 + 3x – 6 = 4 \Rightarrow 4x – 5 = 4 \).
Upravíme na tvar:
\( 4x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{4} \).
Zkontrolujeme podmínky: \( \frac{9}{4} \neq 2 \), \( \frac{9}{4} \neq -1 \).
Řešení je \( x = \frac{9}{4} \).
87. Vyřešte rovnici \( \frac{x+1}{x} + \frac{x-1}{x+2} = 2 \).
Řešení příkladu 87:
Podmínky: \( x \neq 0 \), \( x \neq -2 \).
Najdeme společný jmenovatel \( x(x+2) \):
\( \frac{(x+1)(x+2)}{x(x+2)} + \frac{x(x-1)}{x(x+2)} = 2 \Rightarrow \frac{(x+1)(x+2) + x(x-1)}{x(x+2)} = 2 \).
Rozepíšeme čitatele:
\( (x+1)(x+2) + x(x-1) = (x^2 + 3x + 2) + (x^2 – x) = 2x^2 + 2x + 2 \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{2x^2 + 2x + 2}{x(x+2)} = 2 \).
Vynásobíme obě strany jmenovatelem (s podmínkami):
\( 2x^2 + 2x + 2 = 2x(x+2) \Rightarrow 2x^2 + 2x + 2 = 2x^2 + 4x \).
Upravíme:
\( 2x^2 + 2x + 2 – 2x^2 – 4x = 0 \Rightarrow -2x + 2 = 0 \Rightarrow -2x = -2 \Rightarrow x = 1 \).
Zkontrolujeme podmínky: \( 1 \neq 0 \), \( 1 \neq -2 \).
Řešení je \( x = 1 \).
88. Vyřešte rovnici \( \frac{2x}{x^2 – 4} + \frac{3}{x-2} = \frac{5}{x+2} \).
Řešení příkladu 88:
Podmínky: \( x \neq 2 \), \( x \neq -2 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \).
Rovnice je:
\( \frac{2x}{(x-2)(x+2)} + \frac{3}{x-2} = \frac{5}{x+2} \).
Najdeme společný jmenovatel \( (x-2)(x+2) \) a upravíme na společný jmenovatel:
\( \frac{2x}{(x-2)(x+2)} + \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{5(x-2)}{(x+2)(x-2)} \Rightarrow \frac{2x + 3x + 6}{(x-2)(x+2)} = \frac{5x – 10}{(x-2)(x+2)} \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{5x + 6}{(x-2)(x+2)} = \frac{5x – 10}{(x-2)(x+2)} \Rightarrow 5x + 6 = 5x – 10 \).
Upravíme:
\( 5x + 6 = 5x – 10 \Rightarrow 6 = -10 \), což je nesmysl.
Rovnice nemá řešení.
89. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x+1} – \frac{2}{x-3} = \frac{x}{x^2 – 2x – 3} \).
Řešení příkladu 89:
Podmínky: \( x \neq -1 \), \( x \neq 3 \).
Rozložíme jmenovatel pravé strany: \( x^2 – 2x – 3 = (x+1)(x-3) \).
Rovnice je:
\( \frac{1}{x+1} – \frac{2}{x-3} = \frac{x}{(x+1)(x-3)} \).
Vynásobíme jmenovatelem \( (x+1)(x-3) \) (s podmínkami):
\( (x-3) – 2(x+1) = x \Rightarrow x – 3 – 2x – 2 = x \Rightarrow -x – 5 = x \).
Upravíme:
\( -x – 5 = x \Rightarrow -5 = 2x \Rightarrow x = -\frac{5}{2} \).
Zkontrolujeme podmínky: \( -\frac{5}{2} \neq -1 \), \( -\frac{5}{2} \neq 3 \).
Řešení je \( x = -\frac{5}{2} \).
90. Vyřešte rovnici \( \frac{x^2}{x-1} + \frac{2x}{1-x} = 3 \).
Řešení příkladu 90:
Podmínky: \( x \neq 1 \).
Upravíme druhý zlomek, protože \( 1 – x = -(x-1) \):
\( \frac{x^2}{x-1} + \frac{2x}{1-x} = \frac{x^2}{x-1} – \frac{2x}{x-1} = \frac{x^2 – 2x}{x-1} \).
Rovnice je tedy:
\( \frac{x^2 – 2x}{x-1} = 3 \).
Vynásobíme obě strany jmenovatelem (s podmínkou):
\( x^2 – 2x = 3(x-1) \Rightarrow x^2 – 2x = 3x – 3 \).
Upravíme:
\( x^2 – 2x – 3x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 – 5x + 3 = 0 \).
Vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu:
\( D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 – 12 = 13 \).
Kořeny jsou:
\( x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2} \).
Zkontrolujeme podmínku, oba kořeny nejsou rovny 1, takže platí oba.
Řešení jsou \( x = \frac{5 + \sqrt{13}}{2} \), \( x = \frac{5 – \sqrt{13}}{2} \).
91. Vyřešte rovnici \( \frac{3x}{x+4} – \frac{2x}{4 – x} = 1 \).
Řešení příkladu 91:
Podmínky: \( x \neq -4 \), \( x \neq 4 \).
Upravíme druhý zlomek, protože \( 4 – x = -(x – 4) \):
\( \frac{3x}{x+4} – \frac{2x}{4 – x} = \frac{3x}{x+4} + \frac{2x}{x – 4} \).
Najdeme společný jmenovatel \( (x+4)(x-4) = x^2 – 16 \):
\( \frac{3x(x-4)}{x^2 – 16} + \frac{2x(x+4)}{x^2 – 16} = 1 \Rightarrow \frac{3x^2 – 12x + 2x^2 + 8x}{x^2 – 16} = 1 \).
Sečteme čitatele:
\( 3x^2 – 12x + 2x^2 + 8x = 5x^2 – 4x \).
Rovnice je:
\( \frac{5x^2 – 4x}{x^2 – 16} = 1 \).
Vynásobíme obě strany jmenovatelem (s podmínkami):
\( 5x^2 – 4x = x^2 – 16 \Rightarrow 5x^2 – 4x – x^2 + 16 = 0 \Rightarrow 4x^2 – 4x + 16 = 0 \).
Upravíme:
\( 4x^2 – 4x + 16 = 0 \Rightarrow x^2 – x + 4 = 0 \).
Diskriminant je:
\( D = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 – 16 = -15 < 0 \).
Rovnice nemá reálné řešení.
92. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x^2 – 1} + \frac{2}{x-1} = \frac{3}{x+1} \).
Řešení příkladu 92:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \).
Rozložíme jmenovatel \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Rovnice je:
\( \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{2}{x-1} = \frac{3}{x+1} \).
Najdeme společný jmenovatel \( (x-1)(x+1) \):
\( \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} \Rightarrow \frac{1 + 2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} \).
Rovnice je tedy:
\( 1 + 2(x+1) = 3(x-1) \Rightarrow 1 + 2x + 2 = 3x – 3 \Rightarrow 2x + 3 = 3x – 3 \).
Upravíme:
\( 3 + 3 = 3x – 2x \Rightarrow 6 = x \).
Zkontrolujeme podmínky: \( 6 \neq 1 \), \( 6 \neq -1 \).
Řešení je \( x = 6 \).
93. Vyřešte rovnici \( \frac{x+3}{x-1} + \frac{2x-1}{1-x} = 0 \).
Řešení příkladu 93:
Podmínka: \( x \neq 1 \).
Upravíme druhý zlomek, protože \( 1 – x = -(x-1) \):
\( \frac{x+3}{x-1} + \frac{2x – 1}{1-x} = \frac{x+3}{x-1} – \frac{2x – 1}{x-1} = \frac{x+3 – (2x – 1)}{x-1} = \frac{x + 3 – 2x + 1}{x-1} = \frac{-x + 4}{x-1} \).
Rovnice je:
\( \frac{-x + 4}{x-1} = 0 \Rightarrow -x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \).
Zkontrolujeme podmínku: \( 4 \neq 1 \).
Řešení je \( x = 4 \).
94. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x-1} \).
Řešení příkladu 94:
Podmínky: \( x \neq 0 \), \( x \neq -1 \), \( x \neq 1 \).
Společný jmenovatel je \( x(x+1)(x-1) \).
Vynásobíme celou rovnici společným jmenovatelem:
\( (x+1)(x-1) + 2x(x-1) = 3x(x+1) \).
Rozepíšeme jednotlivé výrazy:
\( (x+1)(x-1) = x^2 – 1 \), \( 2x(x-1) = 2x^2 – 2x \), \( 3x(x+1) = 3x^2 + 3x \).
Dosadíme do rovnice:
\( x^2 – 1 + 2x^2 – 2x = 3x^2 + 3x \Rightarrow 3x^2 – 2x – 1 = 3x^2 + 3x \).
Upravíme na tvar:
\( 3x^2 – 2x – 1 – 3x^2 – 3x = 0 \Rightarrow -5x – 1 = 0 \Rightarrow -5x = 1 \Rightarrow x = -\frac{1}{5} \).
Zkontrolujeme podmínky, \( x = -\frac{1}{5} \neq 0, -1, 1 \).
Řešením je \( x = -\frac{1}{5} \).
95. Vyřešte rovnici \( \frac{2x}{x^2-1} – \frac{3}{x+1} = \frac{1}{x-1} \).
Řešení příkladu 95:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \).
Jmenovatel \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \).
Společný jmenovatel je \( (x-1)(x+1) \).
Převedeme všechny výrazy na společný jmenovatel:
\( \frac{2x}{(x-1)(x+1)} – \frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x+1)}{(x-1)(x+1)} \).
Zapíšeme rovnici:
\( 2x – 3(x-1) = x+1 \Rightarrow 2x – 3x + 3 = x + 1 \Rightarrow -x + 3 = x + 1 \).
Upravíme:
\( -x + 3 – x – 1 = 0 \Rightarrow -2x + 2 = 0 \Rightarrow -2x = -2 \Rightarrow x = 1 \).
Ověříme podmínky: \( x = 1 \) není přípustné, protože jmenovatel by byl nulový.
Rovnice nemá řešení.
96. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x-2} + \frac{4}{2-x} = 5 \).
Řešení příkladu 96:
Podmínky: \( x \neq 2 \).
Všimneme si, že \( 2 – x = -(x-2) \), tedy:
\( \frac{1}{x-2} + \frac{4}{-(x-2)} = 5 \Rightarrow \frac{1}{x-2} – \frac{4}{x-2} = 5 \Rightarrow \frac{1 – 4}{x-2} = 5 \Rightarrow \frac{-3}{x-2} = 5 \).
Vynásobíme rovnicí \( x-2 \):
\( -3 = 5(x-2) \Rightarrow -3 = 5x – 10 \Rightarrow 5x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{5} \).
Podmínky jsou splněny.
Řešením je \( x = \frac{7}{5} \).
97. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x^2 – 1} = \frac{2}{x-1} \).
Řešení příkladu 97:
Podmínky: \( x \neq -1 \), \( x \neq 1 \).
Rozložíme \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Společný jmenovatel je \( (x+1)(x-1) \).
Převedeme na společný jmenovatel:
\( \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow \frac{x-1+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} \Rightarrow \frac{x}{(x+1)(x-1)} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} \).
Vynásobíme rovnicí \( (x+1)(x-1) \):
\( x = 2(x+1) \Rightarrow x = 2x + 2 \Rightarrow x – 2x = 2 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2 \).
Podmínky jsou splněny.
Řešení je \( x = -2 \).
98. Vyřešte rovnici \( \frac{x+3}{x-1} – \frac{x-1}{x+3} = \frac{8}{x^2 + 2x – 3} \).
Řešení příkladu 98:
Podmínky: \( x \neq 1 \), \( x \neq -3 \).
Rozložíme jmenovatel vpravo: \( x^2 + 2x – 3 = (x-1)(x+3) \).
Společný jmenovatel je \( (x-1)(x+3) \).
Převedeme všechny výrazy na společný jmenovatel:
\( \frac{(x+3)^2}{(x-1)(x+3)} – \frac{(x-1)^2}{(x+3)(x-1)} = \frac{8}{(x-1)(x+3)} \Rightarrow \frac{(x+3)^2 – (x-1)^2}{(x-1)(x+3)} = \frac{8}{(x-1)(x+3)} \).
Protože mají stejné jmenovatele, platí:
\( (x+3)^2 – (x-1)^2 = 8 \).
Rozepíšeme druhé mocniny:
\( (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \), \( (x-1)^2 = x^2 – 2x + 1 \).
Dosadíme a upravíme:
\( x^2 + 6x + 9 – (x^2 – 2x + 1) = 8 \Rightarrow x^2 + 6x + 9 – x^2 + 2x – 1 = 8 \Rightarrow 8x + 8 = 8 \).
Upravíme:
\( 8x + 8 – 8 = 0 \Rightarrow 8x = 0 \Rightarrow x = 0 \).
Podmínky jsou splněny.
Řešení je \( x = 0 \).
99. Vyřešte rovnici \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{4}{x^2 + 2x} \).
Řešení příkladu 99:
Podmínky: \( x \neq 0 \), \( x \neq -2 \).
Všimneme si, že \( x^2 + 2x = x(x+2) \).
Společný jmenovatel je \( x(x+2) \).
Převedeme všechny výrazy na společný jmenovatel:
\( \frac{x+2}{x(x+2)} + \frac{x}{x(x+2)} = \frac{4}{x(x+2)} \Rightarrow \frac{x+2 + x}{x(x+2)} = \frac{4}{x(x+2)} \Rightarrow \frac{2x + 2}{x(x+2)} = \frac{4}{x(x+2)} \).
Protože mají stejné jmenovatele, platí:
\( 2x + 2 = 4 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \).
Podmínky jsou splněny.
Řešení je \( x = 1 \).
100. Vyřešte rovnici \( \frac{x}{x-3} + \frac{3}{3-x} = 0 \).
Řešení příkladu 100:
Podmínky: \( x \neq 3 \).
Všimneme si, že \( 3 – x = -(x – 3) \), tedy:
\( \frac{x}{x-3} + \frac{3}{-(x-3)} = 0 \Rightarrow \frac{x}{x-3} – \frac{3}{x-3} = 0 \Rightarrow \frac{x-3}{x-3} = 0 \Rightarrow 1 = 0 \).
Tato rovnice nemá řešení.