Regresní koeficient

Řešení příkladu:

Označme si nezávislou proměnnou \( x \) jako délku reklamy a závislou proměnnou \( y \) jako počet zákazníků. Zadány jsou dvojice \((x_i, y_i)\). Potřebujeme určit směrnici regresní přímky, tedy regresní koeficient \( \beta_1 \), podle vzorce: \[ \beta_1 = \frac{n\sum x_i y_i – \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 – (\sum x_i)^2} \] Nejprve spočítáme jednotlivé součty: \[ \sum x_i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \] \[ \sum y_i = 12 + 15 + 19 + 22 + 27 = 95 \] \[ \sum x_i y_i = 1 \cdot 12 + 2 \cdot 15 + 3 \cdot 19 + 4 \cdot 22 + 5 \cdot 27 = 12 + 30 + 57 + 88 + 135 = 322 \] \[ \sum x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 \] Po dosazení do vzorce: \[ \beta_1 = \frac{5 \cdot 322 – 15 \cdot 95}{5 \cdot 55 – 15^2} = \frac{1610 – 1425}{275 – 225} = \frac{185}{50} = 3.7 \] Nyní dopočítáme absolutní člen \( \beta_0 \) ze vzorce: \[ \beta_0 = \bar{y} – \beta_1 \bar{x} \] \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{15}{5} = 3, \quad \bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{95}{5} = 19 \] \[ \beta_0 = 19 – 3.7 \cdot 3 = 19 – 11.1 = 7.9 \] Regresní přímka tedy je: \[ y = 7.9 + 3.7x \] Regresní koeficient je \( \beta_1 = 3.7 \), což znamená, že za každou další minutu reklamy přibude v průměru \(3.7\) nového zákazníka.

Řešení příkladu:

Vstupní data: počet let praxe \( x \) a plat \( y \). Máme šest dvojic \((x_i, y_i)\). Potřebujeme určit koeficient \( \beta_1 \) a následně \( \beta_0 \). Nejprve dopočítáme součty: \[ \sum x_i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \] \[ \sum y_i = 24000 + 26000 + 28000 + 31000 + 33000 + 35500 = 177500 \] \[ \sum x_i y_i = 1 \cdot 24000 + 2 \cdot 26000 + 3 \cdot 28000 + 4 \cdot 31000 + 5 \cdot 33000 + 6 \cdot 35500 \] \[ = 24000 + 52000 + 84000 + 124000 + 165000 + 213000 = 662000 \] \[ \sum x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 91 \] Dosadíme do vzorce: \[ \beta_1 = \frac{6 \cdot 662000 – 21 \cdot 177500}{6 \cdot 91 – 21^2} = \frac{3972000 – 3727500}{546 – 441} = \frac{244500}{105} \approx 2328.57 \] Aritmetické průměry: \[ \bar{x} = \frac{21}{6} = 3.5, \quad \bar{y} = \frac{177500}{6} \approx 29583.33 \] Absolutní člen: \[ \beta_0 = \bar{y} – \beta_1 \cdot \bar{x} = 29583.33 – 2328.57 \cdot 3.5 \approx 29583.33 – 8150 = 21433.33 \] Výsledná regresní rovnice: \[ y = 21433.33 + 2328.57x \] Regresní koeficient \( \beta_1 \approx 2328.57 \) znamená, že každý rok praxe přináší v průměru zvýšení platu o přibližně \(2328.57\) Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme, co znamená regresní koeficient. Jde o číslo, které vyjadřuje, o kolik se v průměru změní proměnná \( Y \), pokud se proměnná \( X \) zvýší o 1. Jinými slovy, ukazuje nám směr a velikost vztahu mezi těmito dvěma veličinami.

Regresní koeficient pro lineární regresi se značí obvykle jako \( b \) a vypočítává se podle vzorce:

\[ b = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum (x_i – \bar{x})^2} \]

Krok 1: Vypočítáme průměry proměnných \( X \) a \( Y \)

\[ \bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \]

\[ \bar{y} = \frac{45 + 50 + 54 + 60 + 65}{5} = \frac{274}{5} = 54.8 \]

Krok 2: Vytvoříme si pomocnou tabulku, abychom mohli jednoduše počítat s odchylkami:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & y_i & x_i – \bar{x} & y_i – \bar{y} & (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) & (x_i – \bar{x})^2 \\ \hline 1 & 45 & -2 & -9.8 & 19.6 & 4 \\ 2 & 50 & -1 & -4.8 & 4.8 & 1 \\ 3 & 54 & 0 & -0.8 & 0 & 0 \\ 4 & 60 & 1 & 5.2 & 5.2 & 1 \\ 5 & 65 & 2 & 10.2 & 20.4 & 4 \\ \hline \end{array} \]

Krok 3: Sečteme potřebné sloupce

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = 19.6 + 4.8 + 0 + 5.2 + 20.4 = 50 \]

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 \]

Krok 4: Dosadíme do vzorce

\[ b = \frac{50}{10} = 5 \]

Výsledný regresní koeficient je \( b = 5 \). To znamená, že za každou další hodinu samostudia se očekává zvýšení skóre v testu o přibližně \(5\) bodů.

Řešení příkladu:

Regresní koeficient vyjadřuje, o kolik se změní průměrná hodnota tržeb \( Y \), pokud se prodá o jeden balíček \( X \) více. Použijeme známý vzorec:

\[ b = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum (x_i – \bar{x})^2} \]

Krok 1: Vypočteme průměry \( \bar{x} \) a \( \bar{y} \):

\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]

\[ \bar{y} = \frac{5 + 9 + 12 + 15 + 20}{5} = \frac{61}{5} = 12.2 \]

Krok 2: Vytvoříme pomocnou tabulku:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & y_i & x_i – \bar{x} & y_i – \bar{y} & (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) & (x_i – \bar{x})^2 \\ \hline 2 & 5 & -4 & -7.2 & 28.8 & 16 \\ 4 & 9 & -2 & -3.2 & 6.4 & 4 \\ 6 & 12 & 0 & -0.2 & 0 & 0 \\ 8 & 15 & 2 & 2.8 & 5.6 & 4 \\ 10 & 20 & 4 & 7.8 & 31.2 & 16 \\ \hline \end{array} \]

Krok 3: Součty:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = 28.8 + 6.4 + 0 + 5.6 + 31.2 = 72 \]

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \]

Krok 4: Výpočet koeficientu:

\[ b = \frac{72}{40} = 1.8 \]

Regresní koeficient je \( b = 1.8 \), tedy každé prodané balení přináší v průměru zvýšení tržby o \(1.800\) Kč.

Řešení příkladu:

Krok 1: Vypočítáme průměrné hodnoty:

\[ \bar{x} = \frac{1.5 + 2.0 + 2.5 + 3.0 + 3.5}{5} = \frac{12.5}{5} = 2.5 \]

\[ \bar{y} = \frac{420 + 390 + 365 + 340 + 310}{5} = \frac{1825}{5} = 365 \]

Krok 2: Pomocná tabulka:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & y_i & x_i – \bar{x} & y_i – \bar{y} & (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) & (x_i – \bar{x})^2 \\ \hline 1.5 & 420 & -1.0 & 55 & -55 & 1.00 \\ 2.0 & 390 & -0.5 & 25 & -12.5 & 0.25 \\ 2.5 & 365 & 0.0 & 0 & 0 & 0.00 \\ 3.0 & 340 & 0.5 & -25 & -12.5 & 0.25 \\ 3.5 & 310 & 1.0 & -55 & -55 & 1.00 \\ \hline \end{array} \]

Krok 3: Součty:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = -55 – 12.5 + 0 – 12.5 – 55 = -135 \]

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = 1 + 0.25 + 0 + 0.25 + 1 = 2.5 \]

Krok 4: Výpočet:

\[ b = \frac{-135}{2.5} = -54 \]

Regresní koeficient je \( b = -54 \), což znamená, že každé zvýšení příjmu vody o 1 litr snižuje průměrnou koncentraci soli v moči o \(54\) mmol/l.

Řešení příkladu:

Krok 1: Průměry:

\[ \bar{x} = \frac{3 + 6 + 9 + 12 + 15}{5} = \frac{45}{5} = 9 \]

\[ \bar{y} = \frac{8 + 12 + 18 + 23 + 28}{5} = \frac{89}{5} = 17.8 \]

Krok 2: Tabulka:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & y_i & x_i – \bar{x} & y_i – \bar{y} & (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) & (x_i – \bar{x})^2 \\ \hline 3 & 8 & -6 & -9.8 & 58.8 & 36 \\ 6 & 12 & -3 & -5.8 & 17.4 & 9 \\ 9 & 18 & 0 & 0.2 & 0 & 0 \\ 12 & 23 & 3 & 5.2 & 15.6 & 9 \\ 15 & 28 & 6 & 10.2 & 61.2 & 36 \\ \hline \end{array} \]

Krok 3: Součty:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = 58.8 + 17.4 + 0 + 15.6 + 61.2 = 153 \]

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = 36 + 9 + 0 + 9 + 36 = 90 \]

Krok 4:

\[ b = \frac{153}{90} = 1.7 \]

Regresní koeficient je \( b = 1.7 \), tedy každá další reklama přivede v průměru \(1.7\) nového zákazníka.

Řešení příkladu:

Regresní koeficient zde ukáže, o kolik více kalorií se spálí v průměru při každém dalším cvičení.

Krok 1: Průměry:

\[ \bar{x} = \frac{0 + 1 + 2 + 3 + 4}{5} = 2 \]

\[ \bar{y} = \frac{800 + 1100 + 1400 + 1650 + 1900}{5} = \frac{6850}{5} = 1370 \]

Krok 2: Tabulka:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & y_i & x_i – \bar{x} & y_i – \bar{y} & (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) & (x_i – \bar{x})^2 \\ \hline 0 & 800 & -2 & -570 & 1140 & 4 \\ 1 & 1100 & -1 & -270 & 270 & 1 \\ 2 & 1400 & 0 & 30 & 0 & 0 \\ 3 & 1650 & 1 & 280 & 280 & 1 \\ 4 & 1900 & 2 & 530 & 1060 & 4 \\ \hline \end{array} \]

Krok 3:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = 1140 + 270 + 0 + 280 + 1060 = 2750 \]

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 \]

Krok 4:

\[ b = \frac{2750}{10} = 275 \]

Regresní koeficient je \( b = 275 \). To znamená, že za každé další cvičení týdně spálí člověk v průměru o \(275\) kalorií více.

Řešení příkladu:

Nejprve zapíšeme hodnoty proměnných \( X \) (hodiny studia) a \( Y \) (skóre testu):

\( X = \{2, 4, 3, 5, 1\} \), \( Y = \{65, 75, 70, 80, 60\} \).

Vypočítáme průměry \( \bar{X} \) a \( \bar{Y} \):

\[ \bar{X} = \frac{2 + 4 + 3 + 5 + 1}{5} = \frac{15}{5} = 3, \]

\[ \bar{Y} = \frac{65 + 75 + 70 + 80 + 60}{5} = \frac{350}{5} = 70. \]

Nyní spočítáme potřebné součty pro regresní koeficient \( b \):

\[ S_{XY} = \sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = (2-3)(65-70) + (4-3)(75-70) + (3-3)(70-70) + (5-3)(80-70) + (1-3)(60-70), \]

\[ S_{XY} = (-1)(-5) + (1)(5) + (0)(0) + (2)(10) + (-2)(-10) = 5 + 5 + 0 + 20 + 20 = 50, \]

\[ S_{XX} = \sum (X_i – \bar{X})^2 = (-1)^2 + 1^2 + 0^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 0 + 4 + 4 = 10. \]

Regresní koeficient \( b \) se vypočítá jako:

\[ b = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} = \frac{50}{10} = 5. \]

Interpretace: Koeficient \( b = 5 \) znamená, že s každou další hodinou studia se průměrné skóre testu zvyšuje o \(5\) bodů.

Pro doplnění můžeme spočítat i průsečík s osou y \( a \), kde platí:

\[ a = \bar{Y} – b \bar{X} = 70 – 5 \times 3 = 70 – 15 = 55. \]

Regresní přímka je tedy rovnice:

\[ \hat{Y} = 55 + 5X, \]

což dále potvrzuje lineární vztah mezi studijními hodinami a výsledkem testu.

Řešení příkladu:

Nejprve si zapíšeme hodnoty \( X \) a \( Y \):

\( X = \{10, 12, 8, 15, 11, 9\} \), \( Y = \{50, 55, 45, 65, 53, 48\} \).

Vypočítáme průměry \( \bar{X} \) a \( \bar{Y} \):

\[ \bar{X} = \frac{10 + 12 + 8 + 15 + 11 + 9}{6} = \frac{65}{6} \approx 10{,}83, \]

\[ \bar{Y} = \frac{50 + 55 + 45 + 65 + 53 + 48}{6} = \frac{316}{6} \approx 52{,}67. \]

Vypočítáme součet \( S_{XY} \):

\[ S_{XY} = \sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = \]

\[ (10 – 10{,}83)(50 – 52{,}67) + (12 – 10{,}83)(55 – 52{,}67) + (8 – 10{,}83)(45 – 52{,}67) + \]

\[ (15 – 10{,}83)(65 – 52{,}67) + (11 – 10{,}83)(53 – 52{,}67) + (9 – 10{,}83)(48 – 52{,}67). \]

Po dosazení:

\[ (-0{,}83)(-2{,}67) + (1{,}17)(2{,}33) + (-2{,}83)(-7{,}67) + (4{,}17)(12{,}33) + (0{,}17)(0{,}33) + (-1{,}83)(-4{,}67) = \]

\[ 2{,}22 + 2{,}72 + 21{,}71 + 51{,}42 + 0{,}06 + 8{,}54 = 86{,}67. \]

Vypočítáme součet \( S_{XX} \):

\[ S_{XX} = \sum (X_i – \bar{X})^2 = \]

\[ (-0{,}83)^2 + (1{,}17)^2 + (-2{,}83)^2 + (4{,}17)^2 + (0{,}17)^2 + (-1{,}83)^2 = \]

\[ 0{,}69 + 1{,}37 + 8{,}01 + 17{,}39 + 0{,}03 + 3{,}35 = 30{,}84. \]

Regresní koeficient:

\[ b = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} = \frac{86{,}67}{30{,}84} \approx 2{,}81. \]

Interpretace: Koeficient \( b \approx 2{,}81 \) znamená, že každých \(1 000\) Kč navíc v reklamním rozpočtu přinese přibližně \(2,81\) nových zákazníků.

Pro doplnění vypočítáme průsečík s osou y \( a \):

\[ a = \bar{Y} – b \bar{X} = 52{,}67 – 2{,}81 \times 10{,}83 \approx 52{,}67 – 30{,}43 = 22{,}24. \]

Regresní přímka je tedy:

\[ \hat{Y} = 22{,}24 + 2{,}81X. \]

Tato rovnice ukazuje, jak lze předpovědět počet nových zákazníků na základě investice do reklamy.

Řešení příkladu:

Zadání obsahuje hodnoty \( X \) (hmotnost v tunách) a \( Y \) (spotřeba v litrech):

\( X = \{1{,}2, 1{,}5, 1{,}0, 1{,}8, 1{,}3\} \), \( Y = \{6{,}5, 7{,}8, 5{,}9, 8{,}5, 6{,}8\} \).

Nejprve spočítáme průměry:

\[ \bar{X} = \frac{1{,}2 + 1{,}5 + 1{,}0 + 1{,}8 + 1{,}3}{5} = \frac{6{,}8}{5} = 1{,}36, \]

\[ \bar{Y} = \frac{6{,}5 + 7{,}8 + 5{,}9 + 8{,}5 + 6{,}8}{5} = \frac{35{,}5}{5} = 7{,}1. \]

Vypočítáme součet \( S_{XY} \):

\[ S_{XY} = \sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = \]

\[ (1{,}2 – 1{,}36)(6{,}5 – 7{,}1) + (1{,}5 – 1{,}36)(7{,}8 – 7{,}1) + (1{,}0 – 1{,}36)(5{,}9 – 7{,}1) + \]

\[ (1{,}8 – 1{,}36)(8{,}5 – 7{,}1) + (1{,}3 – 1{,}36)(6{,}8 – 7{,}1). \]

Dosadíme a vypočítáme jednotlivé členy:

\[ (-0{,}16)(-0{,}6) + (0{,}14)(0{,}7) + (-0{,}36)(-1{,}2) + (0{,}44)(1{,}4) + (-0{,}06)(-0{,}3) = \]

\[ 0{,}096 + 0{,}098 + 0{,}432 + 0{,}616 + 0{,}018 = 1{,}26. \]

Součet \( S_{XX} \):

\[ S_{XX} = \sum (X_i – \bar{X})^2 = (-0{,}16)^2 + (0{,}14)^2 + (-0{,}36)^2 + (0{,}44)^2 + (-0{,}06)^2 = \]

\[ 0{,}0256 + 0{,}0196 + 0{,}1296 + 0{,}1936 + 0{,}0036 = 0{,}372. \]

Regresní koeficient:

\[ b = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} = \frac{1{,}26}{0{,}372} \approx 3{,}39. \]

Interpretace: Hodnota \( b \approx 3{,}39 \) znamená, že každá tuna navíc zvyšuje spotřebu paliva přibližně o \(3,39\) litrů na \(100\) km.

Průsečík s osou y \( a \) je:

\[ a = \bar{Y} – b \bar{X} = 7{,}1 – 3{,}39 \times 1{,}36 = 7{,}1 – 4{,}61 = 2{,}49. \]

Rovnice regresní přímky je tedy:

\[ \hat{Y} = 2{,}49 + 3{,}39 X. \]

Tato rovnice říká, že základní spotřeba pro velmi lehký vůz je asi \(2,49 l/100\) km, a spotřeba roste s hmotností vozu podle koeficientu.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme průměry obou proměnných: \( \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16}{8} = \frac{72}{8} = 9 \)
\( \bar{y} = \frac{50 + 55 + 60 + 65 + 70 + 75 + 80 + 85}{8} = \frac{540}{8} = 67{,}5 \)

Následně spočítáme kovarianci a rozptyly:
Kovariance \( \mathrm{cov}(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) \)
Rozptyl \( \mathrm{var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2 \), \( \mathrm{var}(y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i – \bar{y})^2 \)

Vypočteme jednotlivé členy:

• Pro \( x=2 \), \( x_i – \bar{x} = 2 – 9 = -7 \), pro \( y=50 \), \( y_i – \bar{y} = 50 – 67{,}5 = -17{,}5 \), součin: \( -7 \times -17{,}5 = 122{,}5 \)
• Pro \( x=4 \), \( -5 \), \( y=55 \), \( -12{,}5 \), součin: \( 62{,}5 \)
• Pro \( x=6 \), \( -3 \), \( y=60 \), \( -7{,}5 \), součin: \( 22{,}5 \)
• Pro \( x=8 \), \( -1 \), \( y=65 \), \( -2{,}5 \), součin: \( 2{,}5 \)
• Pro \( x=10 \), \( 1 \), \( y=70 \), \( 2{,}5 \), součin: \( 2{,}5 \)
• Pro \( x=12 \), \( 3 \), \( y=75 \), \( 7{,}5 \), součin: \( 22{,}5 \)
• Pro \( x=14 \), \( 5 \), \( y=80 \), \( 12{,}5 \), součin: \( 62{,}5 \)
• Pro \( x=16 \), \( 7 \), \( y=85 \), \( 17{,}5 \), součin: \( 122{,}5 \)

Součet součinů: \( 122{,}5 + 62{,}5 + 22{,}5 + 2{,}5 + 2{,}5 + 22{,}5 + 62{,}5 + 122{,}5 = 420 \)
Kovariance: \( \mathrm{cov}(x,y) = \frac{420}{8} = 52{,}5 \)

Rozptyl \( x \): součet čtverců odchylek \( = (-7)^2 + (-5)^2 + (-3)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 = 49 + 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 + 49 = 168 \)
\( \mathrm{var}(x) = \frac{168}{8} = 21 \)

Rozptyl \( y \): součet čtverců odchylek \( = (-17{,}5)^2 + (-12{,}5)^2 + (-7{,}5)^2 + (-2{,}5)^2 + 2{,}5^2 + 7{,}5^2 + 12{,}5^2 + 17{,}5^2 = 306{,}25 + 156{,}25 + 56{,}25 + 6{,}25 + 6{,}25 + 56{,}25 + 156{,}25 + 306{,}25 = 1044 \)
\( \mathrm{var}(y) = \frac{1044}{8} = 130{,}5 \)

Nakonec regresní koeficient (Pearsonův korelační koeficient): \[ r = \frac{\mathrm{cov}(x,y)}{\sqrt{\mathrm{var}(x)} \sqrt{\mathrm{var}(y)}} = \frac{52{,}5}{\sqrt{21} \times \sqrt{130{,}5}} = \frac{52{,}5}{4{,}583 \times 11{,}424} = \frac{52{,}5}{52{,}35} \approx 1{,}003 \] Vzhledem k zaokrouhlení můžeme konstatovat, že \( r \approx 1 \), což indikuje téměř dokonalou pozitivní lineární závislost mezi počtem hodin studia a výsledným skóre testu.

Řešení příkladu:

Spočítáme průměry: \[ \bar{x} = \frac{15 + 17 + 20 + 22 + 25 + 28 + 30}{7} = \frac{157}{7} = 22{,}43 \] \[ \bar{y} = \frac{300 + 280 + 250 + 230 + 200 + 180 + 160}{7} = \frac{1600}{7} = 228{,}57 \] Vypočítáme kovarianci a rozptyly: \\ Nejprve odchylky jednotlivých hodnot od průměru a jejich součiny:

• Pro \(x=15\), \(x_i – \bar{x} = -7{,}43\), pro \(y=300\), \(y_i – \bar{y} = 71{,}43\), součin: \(-7{,}43 \times 71{,}43 = -531{,}3\)
• Pro \(x=17\), \(-5{,}43\), \(y=280\), \(51{,}43\), součin: \(-279{,}26\)
• Pro \(x=20\), \(-2{,}43\), \(y=250\), \(21{,}43\), součin: \(-52{,}06\)
• Pro \(x=22\), \(-0{,}43\), \(y=230\), \(1{,}43\), součin: \(-0{,}62\)
• Pro \(x=25\), \(2{,}57\), \(y=200\), \(-28{,}57\), součin: \(-73{,}43\)
• Pro \(x=28\), \(5{,}57\), \(y=180\), \(-48{,}57\), součin: \(-270{,}56\)
• Pro \(x=30\), \(7{,}57\), \(y=160\), \(-68{,}57\), součin: \(-519{,}36\)

Součet součinů: \( -531{,}3 – 279{,}26 – 52{,}06 – 0{,}62 – 73{,}43 – 270{,}56 – 519{,}36 = -1726{,}59 \)
Kovariance: \( \mathrm{cov}(x,y) = \frac{-1726{,}59}{7} = -246{,}66 \)

Rozptyl \( x \): \[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = (-7{,}43)^2 + (-5{,}43)^2 + \dots + (7{,}57)^2 = 55{,}22 + 29{,}49 + 5{,}9 + 0{,}18 + 6{,}6 + 31{,}01 + 57{,}32 = 185{,}72 \] \( \mathrm{var}(x) = \frac{185{,}72}{7} = 26{,}53 \)
Rozptyl \( y \): \[ \sum (y_i – \bar{y})^2 = (71{,}43)^2 + (51{,}43)^2 + \dots + (-68{,}57)^2 = 5102{,}04 + 2645{,}18 + 459{,}1 + 2{,}05 + 816{,}33 + 2359{,}46 + 4701{,}32 = 16085{,}48 \] \( \mathrm{var}(y) = \frac{16085{,}48}{7} = 2297{,}93 \)

Korelační koeficient: \[ r = \frac{-246{,}66}{\sqrt{26{,}53} \times \sqrt{2297{,}93}} = \frac{-246{,}66}{5{,}15 \times 47{,}93} = \frac{-246{,}66}{246{,}87} \approx -1 \] Korelační koeficient blízko \(-1\) znamená téměř dokonalou negativní lineární závislost: s rostoucí teplotou klesá spotřeba elektřiny.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočteme průměrné hodnoty: \[ \bar{x} = \frac{20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70}{6} = \frac{270}{6} = 45 \] \[ \bar{y} = \frac{150 + 200 + 250 + 310 + 320 + 370}{6} = \frac{1600}{6} \approx 266{,}67 \] Nyní odchylky a jejich součiny:

• \( x_1 – \bar{x} = 20 – 45 = -25 \), \( y_1 – \bar{y} = 150 – 266{,}67 = -116{,}67 \), součin = \( 2916{,}75 \)
• \( -15 \), \( -66{,}67 \), součin = \( 1000{,}05 \)
• \( -5 \), \( -16{,}67 \), součin = \( 83{,}35 \)
• \( 5 \), \( 43{,}33 \), součin = \( 216{,}65 \)
• \( 15 \), \( 53{,}33 \), součin = \( 799{,}95 \)
• \( 25 \), \( 103{,}33 \), součin = \( 2583{,}25 \)

Součet součinů je: \[ 2916{,}75 + 1000{,}05 + 83{,}35 + 216{,}65 + 799{,}95 + 2583{,}25 = 7600 \] Kovariance: \[ \mathrm{cov}(x,y) = \frac{7600}{6} \approx 1266{,}67 \] Rozptyl \( x \): \[ (-25)^2 + (-15)^2 + (-5)^2 + 5^2 + 15^2 + 25^2 = 625 + 225 + 25 + 25 + 225 + 625 = 1750 \] \( \mathrm{var}(x) = \frac{1750}{6} \approx 291{,}67 \)
Rozptyl \( y \): \[ (-116{,}67)^2 + (-66{,}67)^2 + (-16{,}67)^2 + 43{,}33^2 + 53{,}33^2 + 103{,}33^2 \] \[ = 13611{,}11 + 4444{,}89 + 277{,}78 + 1877{,}78 + 2844{,}44 + 10677{,}78 = 34133{,}78 \] \( \mathrm{var}(y) = \frac{34133{,}78}{6} \approx 5688{,}96 \)

Korelační koeficient: \[ r = \frac{1266{,}67}{\sqrt{291{,}67} \times \sqrt{5688{,}96}} = \frac{1266{,}67}{17{,}08 \times 75{,}42} = \frac{1266{,}67}{1287{,}96} \approx 0{,}984 \] Koeficient blízko \(1\) znamená silnou pozitivní lineární závislost mezi délkou cvičení a spálenými kaloriemi.

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme jednotlivé hodnoty pro snadnější výpočty:

Výška \( x: 170, 165, 180, 175, 160 \)
Skóre \( y: 75, 70, 85, 78, 65 \)

Počet datových bodů \( n = 5 \).

Vypočítáme průměry:

\[ \bar{x} = \frac{170 + 165 + 180 + 175 + 160}{5} = \frac{850}{5} = 170 \]

\[ \bar{y} = \frac{75 + 70 + 85 + 78 + 65}{5} = \frac{373}{5} = 74.6 \]

Dále spočítáme potřebné součty:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (170-170)(75-74.6) + (165-170)(70-74.6) + (180-170)(85-74.6) + (175-170)(78-74.6) + (160-170)(65-74.6) \]

Vypočítáme jednotlivé členy:

\[ 0 \cdot 0.4 = 0 \]

\[ (-5) \cdot (-4.6) = 23 \]

\[ 10 \cdot 10.4 = 104 \]

\[ 5 \cdot 3.4 = 17 \]

\[ (-10) \cdot (-9.6) = 96 \]

Součet těchto hodnot je:

\[ 0 + 23 + 104 + 17 + 96 = 240 \]

Vypočítáme také součet druhých mocnin odchylek od průměru pro \( x \):

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = (170-170)^2 + (165-170)^2 + (180-170)^2 + (175-170)^2 + (160-170)^2 = 0 + 25 + 100 + 25 + 100 = 250 \]

Součet druhých mocnin odchylek od průměru pro \( y \):

\[ \sum (y_i – \bar{y})^2 = (75-74.6)^2 + (70-74.6)^2 + (85-74.6)^2 + (78-74.6)^2 + (65-74.6)^2 = 0.16 + 21.16 + 108.16 + 11.56 + 92.16 = 233.2 \]

Regresní koeficient \( r \) je dán vzorcem:

\[ r = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i – \bar{x})^2 \sum (y_i – \bar{y})^2}} = \frac{240}{\sqrt{250 \cdot 233.2}} = \frac{240}{\sqrt{58300}} = \frac{240}{241.47} \approx 0.994 \]

Hodnota regresního koeficientu \( r \approx 0.994 \) znamená velmi silnou pozitivní lineární závislost mezi výškou studentů a jejich skóre na matematickém testu. Jinými slovy, čím vyšší je student, tím lepší pravděpodobně dosahuje výsledky v testu.

Řešení příkladu:

Označíme si hodnoty:

\( x \): počet hodin studia \(= 2, 4, 6, 8, 10\)
\( y \): procentuální známka \(= 60, 70, 75, 85, 90\)

Počet dat \( n=5 \).

Průměry:

\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]

\[ \bar{y} = \frac{60 + 70 + 75 + 85 + 90}{5} = \frac{380}{5} = 76 \]

Součet součinů odchylek:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (2-6)(60-76) + (4-6)(70-76) + (6-6)(75-76) + (8-6)(85-76) + (10-6)(90-76) \]

Jednotlivé členy:

\[ (-4)(-16) = 64 \]

\[ (-2)(-6) = 12 \]

\[ 0 \cdot (-1) = 0 \]

\[ 2 \cdot 9 = 18 \]

\[ 4 \cdot 14 = 56 \]

Součet je:

\[ 64 + 12 + 0 + 18 + 56 = 150 \]

Součet druhých mocnin odchylek \( x \):

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \]

Součet druhých mocnin odchylek \( y \):

\[ \sum (y_i – \bar{y})^2 = (-16)^2 + (-6)^2 + (-1)^2 + 9^2 + 14^2 = 256 + 36 + 1 + 81 + 196 = 570 \]

Regresní koeficient:

\[ r = \frac{150}{\sqrt{40 \cdot 570}} = \frac{150}{\sqrt{22800}} = \frac{150}{151} \approx 0.993 \]

Hodnota \( r \approx 0.993 \) svědčí o velmi silné pozitivní lineární závislosti mezi počtem hodin studia a výslednými známkami. Vyšší počet hodin studia vede k lepším známkám.

Řešení příkladu:

Označíme:

\( x \): počet prodaných kusů = \(100\), \(200\), \(150\), \(250\), \(300\)
\( y \): tržby (tis. Kč) = \(150\), \(300\), \(225\), \(350\), \(400\)

\( n=5 \).

Průměry:

\[ \bar{x} = \frac{100 + 200 + 150 + 250 + 300}{5} = \frac{1000}{5} = 200 \]

\[ \bar{y} = \frac{150 + 300 + 225 + 350 + 400}{5} = \frac{1425}{5} = 285 \]

Součet součinů odchylek:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (100-200)(150-285) + (200-200)(300-285) + (150-200)(225-285) + (250-200)(350-285) + (300-200)(400-285) \]

Jednotlivé členy:

\[ (-100)(-135) = 13500 \]

\[ 0 \cdot 15 = 0 \]

\[ (-50)(-60) = 3000 \]

\[ 50 \cdot 65 = 3250 \]

\[ 100 \cdot 115 = 11500 \]

Součet:

\[ 13500 + 0 + 3000 + 3250 + 11500 = 31250 \]

Součet druhých mocnin odchylek \( x \):

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = (-100)^2 + 0^2 + (-50)^2 + 50^2 + 100^2 = 10000 + 0 + 2500 + 2500 + 10000 = 25000 \]

Součet druhých mocnin odchylek \( y \):

\[ \sum (y_i – \bar{y})^2 = (-135)^2 + 15^2 + (-60)^2 + 65^2 + 115^2 = 18225 + 225 + 3600 + 4225 + 13225 = 39300 \]

Regresní koeficient:

\[ r = \frac{31250}{\sqrt{25000 \cdot 39300}} = \frac{31250}{\sqrt{982500000}} = \frac{31250}{31345.4} \approx 0.997 \]

Hodnota \( r \approx 0.997 \) ukazuje velmi silnou pozitivní lineární závislost mezi počtem prodaných kusů a tržbami. To znamená, že čím více kusů prodáme, tím vyšší jsou tržby.

Řešení příkladu:

Označení hodnot:

\( x \): teplota (°C) = \(20\), \(25\), \(30\), \(35\), \(40\)
\( y \): rychlost reakce (mol/s) = \(0.5\), \(0.8\), \(1.2\), \(1.5\), \(1.8\)

\( n=5 \).

Průměry:

\[ \bar{x} = \frac{20 + 25 + 30 + 35 + 40}{5} = \frac{150}{5} = 30 \]

\[ \bar{y} = \frac{0.5 + 0.8 + 1.2 + 1.5 + 1.8}{5} = \frac{5.8}{5} = 1.16 \]

Součet součinů odchylek:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (20-30)(0.5-1.16) + (25-30)(0.8-1.16) + (30-30)(1.2-1.16) + (35-30)(1.5-1.16) + (40-30)(1.8-1.16) \]

Jednotlivé členy:

\[ (-10)(-0.66) = 6.6 \]

\[ (-5)(-0.36) = 1.8 \]

\[ 0 \cdot 0.04 = 0 \]

\[ 5 \cdot 0.34 = 1.7 \]

\[ 10 \cdot 0.64 = 6.4 \]

Součet:

\[ 6.6 + 1.8 + 0 + 1.7 + 6.4 = 16.5 \]

Součet druhých mocnin odchylek \( x \):

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = (-10)^2 + (-5)^2 + 0^2 + 5^2 + 10^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250 \]

Součet druhých mocnin odchylek \( y \):

\[ \sum (y_i – \bar{y})^2 = (-0.66)^2 + (-0.36)^2 + 0.04^2 + 0.34^2 + 0.64^2 = 0.4356 + 0.1296 + 0.0016 + 0.1156 + 0.4096 = 1.092 \]

Regresní koeficient:

\[ r = \frac{16.5}{\sqrt{250 \cdot 1.092}} = \frac{16.5}{\sqrt{273}} = \frac{16.5}{16.52} \approx 0.999 \]

Hodnota \( r \approx 0.999 \) naznačuje téměř dokonalou pozitivní lineární závislost mezi teplotou a rychlostí reakce, tedy s rostoucí teplotou se rychlost reakce zvyšuje prakticky lineárně.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme průměry obou proměnných:

\(\overline{X} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6\)

\(\overline{Y} = \frac{3 + 7 + 11 + 15 + 19}{5} = \frac{55}{5} = 11\)

Dále spočítáme součiny odchylek od průměru pro každou dvojici hodnot:

\[ \begin{aligned} (X_1 – \overline{X})(Y_1 – \overline{Y}) &= (2-6)(3-11) = (-4)(-8) = 32 \\ (X_2 – \overline{X})(Y_2 – \overline{Y}) &= (4-6)(7-11) = (-2)(-4) = 8 \\ (X_3 – \overline{X})(Y_3 – \overline{Y}) &= (6-6)(11-11) = 0 \\ (X_4 – \overline{X})(Y_4 – \overline{Y}) &= (8-6)(15-11) = 2 \cdot 4 = 8 \\ (X_5 – \overline{X})(Y_5 – \overline{Y}) &= (10-6)(19-11) = 4 \cdot 8 = 32 \\ \end{aligned} \]

Součet těchto hodnot je \(32 + 8 + 0 + 8 + 32 = 80\).

Nyní spočítáme směrodatné odchylky pro \(X\) a \(Y\):

\[ \begin{aligned} s_X &= \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \overline{X})^2} = \sqrt{\frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0 + 2^2 + 4^2}{4}} = \sqrt{\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{4}} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.1623 \\ s_Y &= \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (Y_i – \overline{Y})^2} = \sqrt{\frac{(-8)^2 + (-4)^2 + 0 + 4^2 + 8^2}{4}} = \sqrt{\frac{64 + 16 + 0 + 16 + 64}{4}} = \sqrt{\frac{160}{4}} = \sqrt{40} \approx 6.3246 \\ \end{aligned} \]

Regresní koeficient \(r\) (Pearsonův korelační koeficient) se počítá jako:

\[ r = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i – \overline{X})(Y_i – \overline{Y})}{(n-1) s_X s_Y} = \frac{80}{4 \cdot 3.1623 \cdot 6.3246} = \frac{80}{80} = 1 \]

Hodnota regresního koeficientu \(r = 1\) znamená, že existuje perfektní pozitivní lineární závislost mezi \(X\) a \(Y\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme průměrné hodnoty obou proměnných:

\(\overline{X} = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5\)

\(\overline{Y} = \frac{10 + 8 + 6 + 4 + 2}{5} = \frac{30}{5} = 6\)

Spočítáme součiny odchylek od průměru pro každou dvojici:

\[ \begin{aligned} (1-5)(10-6) &= (-4)(4) = -16 \\ (3-5)(8-6) &= (-2)(2) = -4 \\ (5-5)(6-6) &= 0 \\ (7-5)(4-6) &= 2 \cdot (-2) = -4 \\ (9-5)(2-6) &= 4 \cdot (-4) = -16 \\ \end{aligned} \]

Součet je \(-16 – 4 + 0 – 4 – 16 = -40\).

Směrodatné odchylky:

\[ \begin{aligned} s_X &= \sqrt{\frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0 + 2^2 + 4^2}{4}} = \sqrt{\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.1623 \\ s_Y &= \sqrt{\frac{(4)^2 + 2^2 + 0 + (-2)^2 + (-4)^2}{4}} = \sqrt{\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.1623 \\ \end{aligned} \]

Regresní koeficient:

\[ r = \frac{-40}{4 \cdot 3.1623 \cdot 3.1623} = \frac{-40}{40} = -1 \]

Koeficient \(r = -1\) značí perfektní negativní lineární závislost mezi \(X\) a \(Y\).

Řešení příkladu:

Průměry:

\[ \overline{X} = \frac{160 + 165 + 170 + 175 + 180}{5} = \frac{850}{5} = 170 \]

\[ \overline{Y} = \frac{55 + 60 + 65 + 70 + 75}{5} = \frac{325}{5} = 65 \]

Součiny odchylek od průměru:

\[ \begin{aligned} (160 – 170)(55 – 65) &= (-10)(-10) = 100 \\ (165 – 170)(60 – 65) &= (-5)(-5) = 25 \\ (170 – 170)(65 – 65) &= 0 \\ (175 – 170)(70 – 65) &= 5 \cdot 5 = 25 \\ (180 – 170)(75 – 65) &= 10 \cdot 10 = 100 \\ \end{aligned} \]

Součet: \(100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250\).

Směrodatné odchylky:

\[ \begin{aligned} s_X &= \sqrt{\frac{(-10)^2 + (-5)^2 + 0 + 5^2 + 10^2}{4}} = \sqrt{\frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{4}} = \sqrt{62.5} \approx 7.9057 \\ s_Y &= \sqrt{\frac{(-10)^2 + (-5)^2 + 0 + 5^2 + 10^2}{4}} = \sqrt{62.5} \approx 7.9057 \\ \end{aligned} \]

Regresní koeficient:

\[ r = \frac{250}{4 \cdot 7.9057 \cdot 7.9057} = \frac{250}{250} = 1 \]

Koeficient \(r=1\) značí perfektní pozitivní lineární závislost mezi výškou a váhou.

Řešení příkladu:

Průměry:

\(\overline{X} = \frac{10 + 20 + 30 + 40 + 50}{5} = \frac{150}{5} = 30\)

\(\overline{Y} = \frac{15 + 30 + 25 + 40 + 35}{5} = \frac{145}{5} = 29\)

Součiny odchylek:

\[ \begin{aligned} (10 – 30)(15 – 29) &= (-20)(-14) = 280 \\ (20 – 30)(30 – 29) &= (-10)(1) = -10 \\ (30 – 30)(25 – 29) &= 0 \cdot (-4) = 0 \\ (40 – 30)(40 – 29) &= 10 \cdot 11 = 110 \\ (50 – 30)(35 – 29) &= 20 \cdot 6 = 120 \\ \end{aligned} \]

Součet je \(280 – 10 + 0 + 110 + 120 = 500\).

Směrodatné odchylky:

\[ \begin{aligned} s_X &= \sqrt{\frac{(-20)^2 + (-10)^2 + 0 + 10^2 + 20^2}{4}} = \sqrt{\frac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{4}} = \sqrt{\frac{1000}{4}} = \sqrt{250} \approx 15.8114 \\ s_Y &= \sqrt{\frac{(-14)^2 + 1^2 + (-4)^2 + 11^2 + 6^2}{4}} = \sqrt{\frac{196 + 1 + 16 + 121 + 36}{4}} = \sqrt{\frac{370}{4}} = \sqrt{92.5} \approx 9.618 \\ \end{aligned} \]

Regresní koeficient:

\[ r = \frac{500}{4 \cdot 15.8114 \cdot 9.618} = \frac{500}{608.39} \approx 0.822 \]

Hodnota \(r \approx 0.822\) ukazuje na silnou pozitivní korelaci mezi \(X\) a \(Y\), avšak není perfektní.

Řešení příkladu:

Nejprve si zapíšeme data do dvou seznamů: \( x = [2, 3, 5, 7, 9, 10] \) a \( y = [55, 60, 65, 70, 80, 85] \).

Pro výpočet regresního koeficientu použijeme vzorec pro Pearsonův korelační koeficient \( r \):

\[ r = \frac{n \sum xy – \sum x \sum y}{\sqrt{(n \sum x^2 – (\sum x)^2)(n \sum y^2 – (\sum y)^2)}} \]

Kde \( n = 6 \).

Nejprve spočítáme jednotlivé součty:

• \(\sum x = 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 10 = 36\)
• \(\sum y = 55 + 60 + 65 + 70 + 80 + 85 = 415\)
• \(\sum x^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 + 10^2 = 4 + 9 + 25 + 49 + 81 + 100 = 268\)
• \(\sum y^2 = 55^2 + 60^2 + 65^2 + 70^2 + 80^2 + 85^2 = 3025 + 3600 + 4225 + 4900 + 6400 + 7225 = 29375\)
• \(\sum xy = 2 \cdot 55 + 3 \cdot 60 + 5 \cdot 65 + 7 \cdot 70 + 9 \cdot 80 + 10 \cdot 85 = 110 + 180 + 325 + 490 + 720 + 850 = 2675\)

Nyní dosadíme do vzorce:

\[ r = \frac{6 \cdot 2675 – 36 \cdot 415}{\sqrt{(6 \cdot 268 – 36^2)(6 \cdot 29375 – 415^2)}} = \frac{16050 – 14940}{\sqrt{(1608 – 1296)(176250 – 172225)}} = \frac{1110}{\sqrt{312 \cdot 4025}} \]

\[ \sqrt{312 \cdot 4025} = \sqrt{1255800} \approx 1120.56 \]

Tedy:

\[ r \approx \frac{1110}{1120.56} \approx 0.99 \]

Regresní koeficient \( r \approx 0.99 \) znamená velmi silnou pozitivní korelaci mezi počtem hodin studia a dosaženými body.

Řešení příkladu:

Postupujeme podle vzorce pro Pearsonův korelační koeficient:

\[ r = \frac{n \sum xy – \sum x \sum y}{\sqrt{(n \sum x^2 – (\sum x)^2)(n \sum y^2 – (\sum y)^2)}} \]

Nejdříve spočítáme součty:

• \(\sum x = 1 + 4 + 6 + 8 + 10 = 29\)
• \(\sum y = 3 + 5 + 7 + 10 + 15 = 40\)
• \(\sum x^2 = 1 + 16 + 36 + 64 + 100 = 217\)
• \(\sum y^2 = 9 + 25 + 49 + 100 + 225 = 408\)
• \(\sum xy = 1 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + 8 \cdot 10 + 10 \cdot 15 = 3 + 20 + 42 + 80 + 150 = 295\)

Počet dat je \( n=5 \).

Dosadíme do vzorce:

\[ r = \frac{5 \cdot 295 – 29 \cdot 40}{\sqrt{(5 \cdot 217 – 29^2)(5 \cdot 408 – 40^2)}} = \frac{1475 – 1160}{\sqrt{(1085 – 841)(2040 – 1600)}} = \frac{315}{\sqrt{244 \cdot 440}} \]

\[ \sqrt{244 \cdot 440} = \sqrt{107360} \approx 327.76 \]

Tedy:

\[ r \approx \frac{315}{327.76} \approx 0.96 \]

Regresní koeficient \( r \approx 0.96 \) znamená silnou pozitivní korelaci mezi proměnnými, což indikuje, že jak se zvyšuje \( x \), zvyšuje se i \( y \).

Řešení příkladu:

Podle vzorce pro Pearsonův korelační koeficient:

\[ r = \frac{n \sum xy – \sum x \sum y}{\sqrt{(n \sum x^2 – (\sum x)^2)(n \sum y^2 – (\sum y)^2)}} \]

Nejprve spočítáme součty:

• \(\sum x = 12 + 15 + 20 + 22 + 25 + 30 = 124\)
• \(\sum y = 50 + 52 + 55 + 60 + 62 + 70 = 349\)
• \(\sum x^2 = 12^2 + 15^2 + 20^2 + 22^2 + 25^2 + 30^2 = 144 + 225 + 400 + 484 + 625 + 900 = 2778\)
• \(\sum y^2 = 50^2 + 52^2 + 55^2 + 60^2 + 62^2 + 70^2 = 2500 + 2704 + 3025 + 3600 + 3844 + 4900 = 20573\)
• \(\sum xy = 12 \cdot 50 + 15 \cdot 52 + 20 \cdot 55 + 22 \cdot 60 + 25 \cdot 62 + 30 \cdot 70 = 600 + 780 + 1100 + 1320 + 1550 + 2100 = 7450\)

Počet dat je \( n = 6 \).

Dosadíme do vzorce:

\[ r = \frac{6 \cdot 7450 – 124 \cdot 349}{\sqrt{(6 \cdot 2778 – 124^2)(6 \cdot 20573 – 349^2)}} = \frac{44700 – 43276}{\sqrt{(16668 – 15376)(123438 – 121801)}} = \frac{1424}{\sqrt{1292 \cdot 1637}} \]

\[ \sqrt{1292 \cdot 1637} = \sqrt{2114004} \approx 1454.3 \]

Tedy:

\[ r \approx \frac{1424}{1454.3} \approx 0.98 \]

Regresní koeficient \( r \approx 0.98 \) indikuje velmi silnou pozitivní korelaci mezi teplotou a spotřebou vody – s rostoucí teplotou roste i spotřeba vody.

Řešení příkladu:

Budeme opět používat vzorec pro Pearsonův korelační koeficient:

\[ r = \frac{n \sum xy – \sum x \sum y}{\sqrt{(n \sum x^2 – (\sum x)^2)(n \sum y^2 – (\sum y)^2)}} \]

Spočítáme potřebné součty:

• \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35\)
• \(\sum y = 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 30\)
• \(\sum x^2 = 9 + 25 + 49 + 81 + 121 = 285\)
• \(\sum y^2 = 64 + 49 + 36 + 25 + 16 = 190\)
• \(\sum xy = 3 \cdot 8 + 5 \cdot 7 + 7 \cdot 6 + 9 \cdot 5 + 11 \cdot 4 = 24 + 35 + 42 + 45 + 44 = 190\)

Počet dat je \( n = 5 \).

Dosadíme do vzorce:

\[ r = \frac{5 \cdot 190 – 35 \cdot 30}{\sqrt{(5 \cdot 285 – 35^2)(5 \cdot 190 – 30^2)}} = \frac{950 – 1050}{\sqrt{(1425 – 1225)(950 – 900)}} = \frac{-100}{\sqrt{200 \cdot 50}} \]

\[ \sqrt{200 \cdot 50} = \sqrt{10000} = 100 \]

Tedy:

\[ r = \frac{-100}{100} = -1 \]

Regresní koeficient \( r = -1 \) znamená dokonalou negativní korelaci mezi proměnnými – když hodnota \( x \) roste, hodnota \( y \) přesně klesá.

Řešení příkladu:

Postupujeme podle vzorce pro Pearsonův korelační koeficient:

\[ r = \frac{n \sum xy – \sum x \sum y}{\sqrt{(n \sum x^2 – (\sum x)^2)(n \sum y^2 – (\sum y)^2)}} \]

Nejdříve spočítáme jednotlivé součty:

• \(\sum x = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30\)
• \(\sum y = 20 + 40 + 55 + 65 + 80 = 260\)
• \(\sum x^2 = 4 + 16 + 36 + 64 + 100 = 220\)
• \(\sum y^2 = 400 + 1600 + 3025 + 4225 + 6400 = 15650\)
• \(\sum xy = 2 \cdot 20 + 4 \cdot 40 + 6 \cdot 55 + 8 \cdot 65 + 10 \cdot 80 = 40 + 160 + 330 + 520 + 800 = 1850\)

Počet dat je \( n = 5 \).

Dosadíme do vzorce:

\[ r = \frac{5 \cdot 1850 – 30 \cdot 260}{\sqrt{(5 \cdot 220 – 30^2)(5 \cdot 15650 – 260^2)}} = \frac{9250 – 7800}{\sqrt{(1100 – 900)(78250 – 67600)}} = \frac{1450}{\sqrt{200 \cdot 10650}} \]

\[ \sqrt{200 \cdot 10650} = \sqrt{2130000} \approx 1460.96 \]

Tedy:

\[ r \approx \frac{1450}{1460.96} \approx 0.99 \]

Regresní koeficient \( r \approx 0.99 \) indikuje velmi silnou pozitivní korelaci mezi počtem hodin tréninku a dosaženými body, tedy čím více hodin tréninku, tím lepší výsledky v soutěži.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme, že regresní koeficient \(r\) (Pearsonův korelační koeficient) mezi dvěma veličinami \(X\) a \(Y\) se vypočítá podle vzorce: \[ r = \frac{ \sum (x_i – \overline{x})(y_i – \overline{y}) }{ \sqrt{\sum (x_i – \overline{x})^2 \cdot \sum (y_i – \overline{y})^2} } \] kde \(x_i, y_i\) jsou jednotlivé hodnoty proměnných, \(\overline{x}\) a \(\overline{y}\) jejich průměry.

Máme data:

Teplota \(X\) (°C)	20	22	25	27	30
Spotřeba \(Y\) (tis. porcí)	50	55	65	70	80

1) Spočítáme průměry: \[ \overline{x} = \frac{20 + 22 + 25 + 27 + 30}{5} = \frac{124}{5} = 24.8 \] \[ \overline{y} = \frac{50 + 55 + 65 + 70 + 80}{5} = \frac{320}{5} = 64 \]

2) Vypočítáme jednotlivé odchylky od průměru: \[ x_i – \overline{x} = \{20-24.8, 22-24.8, 25-24.8, 27-24.8, 30-24.8\} = \{-4.8, -2.8, 0.2, 2.2, 5.2\} \] \[ y_i – \overline{y} = \{50-64, 55-64, 65-64, 70-64, 80-64\} = \{-14, -9, 1, 6, 16\} \]

3) Vypočítáme součin odchylek a jejich druhé mocniny: \[ \sum (x_i – \overline{x})(y_i – \overline{y}) = (-4.8)(-14) + (-2.8)(-9) + 0.2 \cdot 1 + 2.2 \cdot 6 + 5.2 \cdot 16 \] \[ = 67.2 + 25.2 + 0.2 + 13.2 + 83.2 = 189 \] \[ \sum (x_i – \overline{x})^2 = (-4.8)^2 + (-2.8)^2 + 0.2^2 + 2.2^2 + 5.2^2 = 23.04 + 7.84 + 0.04 + 4.84 + 27.04 = 62.8 \] \[ \sum (y_i – \overline{y})^2 = (-14)^2 + (-9)^2 + 1^2 + 6^2 + 16^2 = 196 + 81 + 1 + 36 + 256 = 570 \]

4) Dosadíme do vzorce: \[ r = \frac{189}{\sqrt{62.8 \cdot 570}} = \frac{189}{\sqrt{3580}} = \frac{189}{59.83} \approx 3.16 \] Taková hodnota není možná, protože korelační koeficient musí být mezi -1 a 1. Proto zkontrolujeme výpočet.

Chyba je v součtu součinu odchylek. Přepočítáme přesně: \[ (-4.8)(-14) = 67.2, \quad (-2.8)(-9) = 25.2, \quad 0.2 \cdot 1 = 0.2, \quad 2.2 \cdot 6 = 13.2, \quad 5.2 \cdot 16 = 83.2 \] \[ \sum (x_i – \overline{x})(y_i – \overline{y}) = 67.2 + 25.2 + 0.2 + 13.2 + 83.2 = 189 \] Tady je vše správně, problém je v druhém součtu.

Zkusíme znovu spočítat druhý součet: \[ \sqrt{62.8 \cdot 570} = \sqrt{3580} \approx 59.83 \] Vše správně.

Chyba tedy byla v tom, že výpočet \(r\) má být: \[ r = \frac{189}{59.83} \approx 3.16 \] což není možné. To znamená, že jsme nesprávně zapsali vzorec pro korelaci. Správný vzorec je: \[ r = \frac{ \sum (x_i – \overline{x})(y_i – \overline{y}) }{ \sqrt{\sum (x_i – \overline{x})^2} \cdot \sqrt{\sum (y_i – \overline{y})^2} } \] což je: \[ r = \frac{189}{\sqrt{62.8} \cdot \sqrt{570}} = \frac{189}{7.93 \cdot 23.87} = \frac{189}{189.27} \approx 0.9986 \]

Tedy regresní koeficient je přibližně \(0.999\), což znamená téměř dokonalou kladnou lineární závislost mezi teplotou a spotřebou zmrzliny.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme průměry hodnot \(X\) a \(Y\): \[ \overline{x} = \frac{2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7}{6} = \frac{27}{6} = 4.5 \] \[ \overline{y} = \frac{55 + 60 + 65 + 70 + 72 + 80}{6} = \frac{402}{6} = 67 \]

Pak odchylky: \[ x_i – \overline{x} = \{-2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5\} \] \[ y_i – \overline{y} = \{-12, -7, -2, 3, 5, 13\} \]

Součin odchylek: \[ \sum (x_i – \overline{x})(y_i – \overline{y}) = (-2.5)(-12) + (-1.5)(-7) + (-0.5)(-2) + 0.5 \cdot 3 + 1.5 \cdot 5 + 2.5 \cdot 13 \] \[ = 30 + 10.5 + 1 + 1.5 + 7.5 + 32.5 = 82 \]

Součet čtverců odchylek: \[ \sum (x_i – \overline{x})^2 = (-2.5)^2 + (-1.5)^2 + (-0.5)^2 + 0.5^2 + 1.5^2 + 2.5^2 = 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 = 17.5 \] \[ \sum (y_i – \overline{y})^2 = (-12)^2 + (-7)^2 + (-2)^2 + 3^2 + 5^2 + 13^2 = 144 + 49 + 4 + 9 + 25 + 169 = 400

Dosadíme do vzorce: \[ r = \frac{82}{\sqrt{17.5 \cdot 400}} = \frac{82}{\sqrt{7000}} = \frac{82}{83.67} \approx 0.98 \]

Regresní koeficient je tedy přibližně \(0.98\), což znamená velmi silnou kladnou lineární závislost mezi počtem hodin studia a známkou.

Řešení příkladu:

Průměry: \[ \overline{x} = \frac{22 + 25 + 28 + 30 + 35}{5} = \frac{140}{5} = 28 \] \[ \overline{y} = \frac{150 + 160 + 170 + 175 + 180}{5} = \frac{835}{5} = 167 \]

Odchylky: \[ x_i – \overline{x} = \{-6, -3, 0, 2, 7\} \] \[ y_i – \overline{y} = \{-17, -7, 3, 8, 13\} \]

Součin odchylek: \[ \sum (x_i – \overline{x})(y_i – \overline{y}) = (-6)(-17) + (-3)(-7) + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 8 + 7 \cdot 13 = 102 + 21 + 0 + 16 + 91 = 230 \]

Součet čtverců odchylek: \[ \sum (x_i – \overline{x})^2 = 36 + 9 + 0 + 4 + 49 = 98 \] \[ \sum (y_i – \overline{y})^2 = 289 + 49 + 9 + 64 + 169 = 580

Dosazení: \[ r = \frac{230}{\sqrt{98 \cdot 580}} = \frac{230}{\sqrt{56840}} = \frac{230}{238.43} \approx 0.964 \]

Regresní koeficient tedy ukazuje na silnou pozitivní korelaci mezi věkem a produktivitou.

Řešení příkladu:

Průměry: \[ \overline{x} = \frac{50 + 60 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{350}{5} = 70 \] \[ \overline{y} = \frac{4.5 + 5.0 + 5.5 + 6.0 + 6.5}{5} = \frac{27.5}{5} = 5.5 \]

Odchylky: \[ x_i – \overline{x} = \{-20, -10, 0, 10, 20\} \] \[ y_i – \overline{y} = \{-1.0, -0.5, 0, 0.5, 1.0\} \]

Součin odchylek: \[ \sum (x_i – \overline{x})(y_i – \overline{y}) = (-20)(-1.0) + (-10)(-0.5) + 0 \cdot 0 + 10 \cdot 0.5 + 20 \cdot 1.0 = 20 + 5 + 0 + 5 + 20 = 50 \]

Součet čtverců odchylek: \[ \sum (x_i – \overline{x})^2 = 400 + 100 + 0 + 100 + 400 = 1000 \] \[ \sum (y_i – \overline{y})^2 = 1.0 + 0.25 + 0 + 0.25 + 1.0 = 2.5 \]

Dosazení: \[ r = \frac{50}{\sqrt{1000 \cdot 2.5}} = \frac{50}{\sqrt{2500}} = \frac{50}{50} = 1.0 \]

Regresní koeficient \(1.0\) znamená perfektní pozitivní lineární závislost mezi počtem ujetých kilometrů a spotřebou paliva.

Řešení příkladu:

Nejprve si shrneme potřebná data a vypočítáme průměry:

\( n = 6 \)

\( \sum X = 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 10 = 36 \)

\( \sum Y = 65 + 70 + 75 + 80 + 85 + 90 = 465 \)

Průměry: \( \bar{X} = \frac{36}{6} = 6 \), \( \bar{Y} = \frac{465}{6} = 77.5 \)

Dále spočítáme součty pro výpočet covariance a rozptylů:

\( \sum XY = 2 \cdot 65 + 3 \cdot 70 + 5 \cdot 75 + 7 \cdot 80 + 9 \cdot 85 + 10 \cdot 90 = 130 + 210 + 375 + 560 + 765 + 900 = 2940 \)

\( \sum X^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 + 10^2 = 4 + 9 + 25 + 49 + 81 + 100 = 268 \)

\( \sum Y^2 = 65^2 + 70^2 + 75^2 + 80^2 + 85^2 + 90^2 = 4225 + 4900 + 5625 + 6400 + 7225 + 8100 = 36475 \)

Vzorec pro Pearsonův korelační koeficient je:

\[ r = \frac{n \sum XY – \sum X \sum Y}{\sqrt{\left(n \sum X^2 – (\sum X)^2\right)\left(n \sum Y^2 – (\sum Y)^2\right)}} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ r = \frac{6 \cdot 2940 – 36 \cdot 465}{\sqrt{(6 \cdot 268 – 36^2)(6 \cdot 36475 – 465^2)}} = \frac{17640 – 16740}{\sqrt{(1608 – 1296)(218850 – 216225)}} = \frac{900}{\sqrt{312 \cdot 2625}} \]

Vypočítáme jmenovatele:

\( 312 \cdot 2625 = 819000 \)

\( \sqrt{819000} \approx 905.53 \)

Takže

\( r = \frac{900}{905.53} \approx 0.994 \)

Tedy regresní koeficient je přibližně \(0.994\), což znamená velmi silnou kladnou korelaci mezi počtem hodin studia a dosaženými body.

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme základní součty:

\( n = 5 \)

\( \sum X = 10 + 12 + 15 + 18 + 20 = 75 \)

\( \sum Y = 200 + 240 + 300 + 360 + 400 = 1500 \)

Průměry:

\( \bar{X} = \frac{75}{5} = 15 \), \( \bar{Y} = \frac{1500}{5} = 300 \)

Součty pro výpočet covariance a rozptylů:

\( \sum XY = 10 \cdot 200 + 12 \cdot 240 + 15 \cdot 300 + 18 \cdot 360 + 20 \cdot 400 = 2000 + 2880 + 4500 + 6480 + 8000 = 23860 \)

\( \sum X^2 = 10^2 + 12^2 + 15^2 + 18^2 + 20^2 = 100 + 144 + 225 + 324 + 400 = 1193 \)

\( \sum Y^2 = 200^2 + 240^2 + 300^2 + 360^2 + 400^2 = 40000 + 57600 + 90000 + 129600 + 160000 = 477200 \)

Dosadíme do vzorce pro Pearsonův koeficient:

\[ r = \frac{n \sum XY – \sum X \sum Y}{\sqrt{\left(n \sum X^2 – (\sum X)^2\right)\left(n \sum Y^2 – (\sum Y)^2\right)}} \]

\[ r = \frac{5 \cdot 23860 – 75 \cdot 1500}{\sqrt{(5 \cdot 1193 – 75^2)(5 \cdot 477200 – 1500^2)}} = \frac{119300 – 112500}{\sqrt{(5965 – 5625)(2386000 – 2250000)}} = \frac{6800}{\sqrt{340 \cdot 136000}} \]

\( 340 \cdot 136000 = 46240000 \)

\( \sqrt{46240000} \approx 6800 \)

Takže

\( r = \frac{6800}{6800} = 1 \)

Korelace je přesně \(1\), což značí dokonalou lineární závislost mezi délkou a hmotností ryb v daných datech.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme průměry obou proměnných: \[ \bar{X} = \frac{160 + 165 + 170 + 175 + 180}{5} = \frac{850}{5} = 170, \quad \bar{Y} = \frac{55 + 60 + 65 + 70 + 75}{5} = \frac{325}{5} = 65. \]

Dále spočítáme směrodatné odchylky: \[ s_X = \sqrt{\frac{\sum (X_i – \bar{X})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{(160-170)^2 + \ldots + (180-170)^2}{4}}, \] tedy \[ s_X = \sqrt{\frac{(-10)^2 + (-5)^2 + 0^2 + 5^2 + 10^2}{4}} = \sqrt{\frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{4}} = \sqrt{\frac{250}{4}} = \sqrt{62.5} \approx 7.906. \]

Podobně pro \(Y\): \[ s_Y = \sqrt{\frac{(55-65)^2 + \ldots + (75-65)^2}{4}} = \sqrt{\frac{(-10)^2 + (-5)^2 + 0^2 + 5^2 + 10^2}{4}} = \sqrt{62.5} \approx 7.906. \]

Nyní spočítáme kovarianci: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \frac{\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{n-1} = \frac{(-10)(-10) + (-5)(-5) + 0 \cdot 0 + 5 \cdot 5 + 10 \cdot 10}{4} = \frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{4} = 62.5. \]

Regresní koeficient \(r\) je definován jako \[ r = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{s_X s_Y} = \frac{62.5}{7.906 \times 7.906} = \frac{62.5}{62.5} = 1. \]

Hodnota \(r=1\) značí perfektní pozitivní lineární závislost mezi výškou a váhou v tomto datasetu, tedy jak roste výška, roste i váha přesně lineárně.

Řešení příkladu:

Průměry: \[ \bar{X} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6, \quad \bar{Y} = \frac{50 + 55 + 65 + 70 + 85}{5} = 65. \]

Směrodatné odchylky: \[ s_X = \sqrt{\frac{(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2}{4}} = \sqrt{\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.162, \] \[ s_Y = \sqrt{\frac{(50-65)^2 + (55-65)^2 + (65-65)^2 + (70-65)^2 + (85-65)^2}{4}} = \sqrt{\frac{225 + 100 + 0 + 25 + 400}{4}} = \sqrt{187.5} \approx 13.693. \]

Kovariance: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \frac{(2-6)(50-65) + (4-6)(55-65) + (6-6)(65-65) + (8-6)(70-65) + (10-6)(85-65)}{4} \] \[ = \frac{(-4)(-15) + (-2)(-10) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 20}{4} = \frac{60 + 20 + 0 + 10 + 80}{4} = \frac{170}{4} = 42.5. \]

Regresní koeficient: \[ r = \frac{42.5}{3.162 \times 13.693} \approx \frac{42.5}{43.29} \approx 0.982. \]

Hodnota \(r \approx 0.982\) znamená velmi silnou pozitivní lineární závislost mezi počtem hodin studia a výsledky testu.

Řešení příkladu:

Průměry: \[ \bar{X} = \frac{10 + 12 + 15 + 18 + 20}{5} = 15, \quad \bar{Y} = \frac{200 + 190 + 170 + 150 + 140}{5} = 170. \]

Směrodatné odchylky: \[ s_X = \sqrt{\frac{(10-15)^2 + (12-15)^2 + (15-15)^2 + (18-15)^2 + (20-15)^2}{4}} = \sqrt{\frac{25 + 9 + 0 + 9 + 25}{4}} = \sqrt{17} \approx 4.123, \] \[ s_Y = \sqrt{\frac{(200-170)^2 + (190-170)^2 + (170-170)^2 + (150-170)^2 + (140-170)^2}{4}} = \sqrt{\frac{900 + 400 + 0 + 400 + 900}{4}} = \sqrt{650} \approx 25.495. \]

Kovariance: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \frac{(10-15)(200-170) + (12-15)(190-170) + (15-15)(170-170) + (18-15)(150-170) + (20-15)(140-170)}{4} \] \[ = \frac{(-5)(30) + (-3)(20) + 0 \cdot 0 + 3 \cdot (-20) + 5 \cdot (-30)}{4} = \frac{-150 – 60 + 0 – 60 – 150}{4} = \frac{-420}{4} = -105. \]

Regresní koeficient: \[ r = \frac{-105}{4.123 \times 25.495} = \frac{-105}{105.0} = -1. \]

Hodnota \(r = -1\) značí perfektní negativní lineární závislost: jak teplota roste, spotřeba energie klesá přesně lineárně.

Řešení příkladu:

Průměry: \[ \bar{X} = \frac{30 + 40 + 50 + 60 + 70}{5} = 50, \quad \bar{Y} = \frac{300 + 420 + 500 + 620 + 700}{5} = 508. \]

Směrodatné odchylky: \[ s_X = \sqrt{\frac{(30-50)^2 + (40-50)^2 + (50-50)^2 + (60-50)^2 + (70-50)^2}{4}} = \sqrt{\frac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{4}} = \sqrt{250} \approx 15.811, \] \[ s_Y = \sqrt{\frac{(300-508)^2 + (420-508)^2 + (500-508)^2 + (620-508)^2 + (700-508)^2}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{43264 + 7744 + 64 + 12544 + 36864}{4}} = \sqrt{\frac{102480}{4}} = \sqrt{25620} \approx 160.03. \]

Kovariance: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \frac{(30-50)(300-508) + (40-50)(420-508) + (50-50)(500-508) + (60-50)(620-508) + (70-50)(700-508)}{4} \] \[ = \frac{(-20)(-208) + (-10)(-88) + 0 \cdot (-8) + 10 \cdot 112 + 20 \cdot 192}{4} = \frac{4160 + 880 + 0 + 1120 + 3840}{4} = \frac{10000}{4} = 2500. \]

Regresní koeficient: \[ r = \frac{2500}{15.811 \times 160.03} \approx \frac{2500}{2529.1} \approx 0.988. \]

Hodnota \(r \approx 0.988\) značí velmi silnou pozitivní lineární závislost mezi počtem prodaných kusů a výnosy.

Řešení příkladu:

Průměry: \[ \bar{X} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3, \quad \bar{Y} = \frac{3 + 6 + 9 + 12 + 15}{5} = 9. \]

Směrodatné odchylky: \[ s_X = \sqrt{\frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{4}} = \sqrt{\frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{4}} = \sqrt{2.5} \approx 1.581, \] \[ s_Y = \sqrt{\frac{(3-9)^2 + (6-9)^2 + (9-9)^2 + (12-9)^2 + (15-9)^2}{4}} = \sqrt{\frac{36 + 9 + 0 + 9 + 36}{4}} = \sqrt{22.5} \approx 4.743. \]

Kovariance: \[ \mathrm{cov}(X,Y) = \frac{(1-3)(3-9) + (2-3)(6-9) + (3-3)(9-9) + (4-3)(12-9) + (5-3)(15-9)}{4} \] \[ = \frac{(-2)(-6) + (-1)(-3) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 6}{4} = \frac{12 + 3 + 0 + 3 + 12}{4} = \frac{30}{4} = 7.5. \]

Regresní koeficient: \[ r = \frac{7.5}{1.581 \times 4.743} = \frac{7.5}{7.5} = 1. \]

Hodnota \(r=1\) ukazuje perfektní pozitivní lineární závislost mezi délkou stínu a výškou stromu, což odpovídá přímo úměrnému vztahu.

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme data jako páry \((x_i, y_i)\), kde \(x_i\) je počet hodin učení a \(y_i\) skóre testu:

\((3, 50), (5, 65), (2, 45), (7, 80), (4, 60), (6, 75)\)

Vypočítáme průměry obou veličin:

\[ \bar{x} = \frac{3 + 5 + 2 + 7 + 4 + 6}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5 \]

\[ \bar{y} = \frac{50 + 65 + 45 + 80 + 60 + 75}{6} = \frac{375}{6} = 62{,}5 \]

Teď spočítáme jednotlivé součiny odchylek od průměru pro \(x\) a \(y\):

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (3 – 4{,}5)(50 – 62{,}5) + (5 – 4{,}5)(65 – 62{,}5) + \dots + (6 – 4{,}5)(75 – 62{,}5) \]

Po dosazení:

\[ = (-1{,}5)(-12{,}5) + (0{,}5)(2{,}5) + (-2{,}5)(-17{,}5) + (2{,}5)(17{,}5) + (-0{,}5)(-2{,}5) + (1{,}5)(12{,}5) \]

\[ = 18{,}75 + 1{,}25 + 43{,}75 + 43{,}75 + 1{,}25 + 18{,}75 = 127{,}5 \]

Dále spočítáme sumu druhých mocnin odchylek:

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = (-1{,}5)^2 + 0{,}5^2 + (-2{,}5)^2 + 2{,}5^2 + (-0{,}5)^2 + 1{,}5^2 = 2{,}25 + 0{,}25 + 6{,}25 + 6{,}25 + 0{,}25 + 2{,}25 = 17{,}5 \]

\[ \sum (y_i – \bar{y})^2 = (-12{,}5)^2 + 2{,}5^2 + (-17{,}5)^2 + 17{,}5^2 + (-2{,}5)^2 + 12{,}5^2 = 156{,}25 + 6{,}25 + 306{,}25 + 306{,}25 + 6{,}25 + 156{,}25 = 937{,}5 \]

Regresní koeficient (Pearsonův korelační koeficient) se vypočte podle vzorce:

\[ r = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i – \bar{x})^2 \sum (y_i – \bar{y})^2}} = \frac{127{,}5}{\sqrt{17{,}5 \times 937{,}5}} = \frac{127{,}5}{\sqrt{16406{,}25}} = \frac{127{,}5}{128{,}11} \approx 0{,}995 \]

Hodnota \(r \approx 0{,}995\) znamená velmi silnou kladnou lineární závislost mezi počtem hodin učení a skóre testu.

Řešení příkladu:

Označíme data jako \((x_i, y_i)\): teplota \(x_i\), spotřeba energie \(y_i\): \((15, 300)\), \((20, 250)\), \((10, 350)\), \((25, 200)\), \((5, 400)\).

Nejprve spočítáme průměry:

\[ \bar{x} = \frac{15 + 20 + 10 + 25 + 5}{5} = \frac{75}{5} = 15 \]

\[ \bar{y} = \frac{300 + 250 + 350 + 200 + 400}{5} = \frac{1500}{5} = 300 \]

Sčítáme součiny odchylek:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (15-15)(300-300) + (20-15)(250-300) + (10-15)(350-300) + (25-15)(200-300) + (5-15)(400-300) \]

\[ = 0 \times 0 + 5 \times (-50) + (-5) \times 50 + 10 \times (-100) + (-10) \times 100 = 0 – 250 – 250 – 1000 – 1000 = -2500 \]

Sčítáme druhé mocniny odchylek:

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = 0^2 + 5^2 + (-5)^2 + 10^2 + (-10)^2 = 0 + 25 + 25 + 100 + 100 = 250 \]

\[ \sum (y_i – \bar{y})^2 = 0^2 + (-50)^2 + 50^2 + (-100)^2 + 100^2 = 0 + 2500 + 2500 + 10000 + 10000 = 25000 \]

Regresní koeficient vypočteme:

\[ r = \frac{-2500}{\sqrt{250 \times 25000}} = \frac{-2500}{\sqrt{6{,}250{,}000}} = \frac{-2500}{2500} = -1 \]

Regresní koeficient \(r = -1\) znamená dokonalou lineární zápornou korelaci – s rostoucí teplotou spotřeba energie klesá lineárně.

Řešení příkladu:

Označíme \((x_i, y_i)\): hodiny cvičení \(x_i\), úroveň stresu \(y_i\).

Průměry:

\[ \bar{x} = \frac{1+3+2+5+4+6+7}{7} = \frac{28}{7} = 4 \]

\[ \bar{y} = \frac{9+7+8+4+5+3+2}{7} = \frac{38}{7} \approx 5{,}43 \]

Součet součinů odchylek:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (1-4)(9-5{,}43) + (3-4)(7-5{,}43) + \dots + (7-4)(2-5{,}43) \]

Dosadíme a vypočteme:

\[ = (-3)(3{,}57) + (-1)(1{,}57) + (-2)(2{,}57) + (1)(-1{,}43) + (0)(-0{,}43) + (2)(-2{,}43) + (3)(-3{,}43) \]

\[ = -10{,}71 -1{,}57 -5{,}14 -1{,}43 + 0 -4{,}86 -10{,}29 = -34{,}0 \]

Součet druhých mocniny odchylek:

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 + 1^2 + 0^2 + 2^2 + 3^2 = 9 + 1 + 4 + 1 + 0 + 4 + 9 = 28 \]

\[ \sum (y_i – \bar{y})^2 = (3{,}57)^2 + (1{,}57)^2 + (2{,}57)^2 + (-1{,}43)^2 + (-0{,}43)^2 + (-2{,}43)^2 + (-3{,}43)^2 \]

\[ = 12{,}75 + 2{,}46 + 6{,}60 + 2{,}04 + 0{,}18 + 5{,}90 + 11{,}76 = 41{,}69 \]

Regresní koeficient:

\[ r = \frac{-34{,}0}{\sqrt{28 \times 41{,}69}} = \frac{-34{,}0}{\sqrt{1167{,}32}} = \frac{-34{,}0}{34{,}17} \approx -0{,}995 \]

Koeficient \(r \approx -0{,}995\) ukazuje velmi silnou negativní lineární korelaci mezi cvičením a stresem, tedy více cvičení znamená nižší stres.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeňme, že regresní koeficient (označovaný také jako koeficient determinace nebo Pearsonův korelační koeficient) měří sílu a směr lineární závislosti mezi dvěma proměnnými. Výpočet zahrnuje výpočet průměrů, rozptylů a kovariance.

Nejprve vypočteme průměrné hodnoty: \[ \bar{X} = \frac{2+4+6+8+10+12}{6} = \frac{42}{6} = 7 \] \[ \bar{Y} = \frac{55+60+65+70+75+80}{6} = \frac{405}{6} = 67.5 \]

Dále vypočteme rozptyly obou proměnných a kovarianci: \[ \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 = \frac{1}{6}[(2-7)^2 + (4-7)^2 + (6-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2 + (12-7)^2] \] \[ = \frac{1}{6}[25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25] = \frac{70}{6} \approx 11.67 \]

\[ \mathrm{Var}(Y) = \frac{1}{6}[(55 – 67.5)^2 + (60 – 67.5)^2 + (65 – 67.5)^2 + (70 – 67.5)^2 + (75 – 67.5)^2 + (80 – 67.5)^2] \] \[ = \frac{1}{6}[156.25 + 56.25 + 6.25 + 6.25 + 56.25 + 156.25] = \frac{437.5}{6} \approx 72.92 \]

Kovariance je: \[ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = \frac{1}{6}[(2-7)(55-67.5) + \ldots + (12-7)(80-67.5)] \] Vypočteme jednotlivé členy: \[ (2-7)(55-67.5) = (-5)(-12.5) = 62.5 \] \[ (4-7)(60-67.5) = (-3)(-7.5) = 22.5 \] \[ (6-7)(65-67.5) = (-1)(-2.5) = 2.5 \] \[ (8-7)(70-67.5) = 1 \times 2.5 = 2.5 \] \[ (10-7)(75-67.5) = 3 \times 7.5 = 22.5 \] \[ (12-7)(80-67.5) = 5 \times 12.5 = 62.5 \] Celkem: \[ \sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = 62.5 + 22.5 + 2.5 + 2.5 + 22.5 + 62.5 = 175 \] \[ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{175}{6} \approx 29.17 \]

Regresní koeficient \(r\) je dán vztahem: \[ r = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)} \sqrt{\mathrm{Var}(Y)}} = \frac{29.17}{\sqrt{11.67} \times \sqrt{72.92}} \] \[ \sqrt{11.67} \approx 3.42, \quad \sqrt{72.92} \approx 8.54 \] \[ r \approx \frac{29.17}{3.42 \times 8.54} = \frac{29.17}{29.21} \approx 0.9986 \]

Tento regresní koeficient je velmi blízký \(1\), což znamená téměř dokonalou pozitivní lineární závislost mezi počtem hodin studia a dosaženými body v testu. Jinými slovy, čím více student studuje, tím vyšší body dosahuje, a vztah mezi těmito dvěma veličinami je téměř lineární.

Řešení příkladu:

Prvním krokem je výpočet průměrů: \[ \bar{X} = \frac{15 + 18 + 20 + 22 + 25 + 28}{6} = \frac{128}{6} \approx 21.33 \] \[ \bar{Y} = \frac{120 + 150 + 160 + 180 + 200 + 220}{6} = \frac{1030}{6} \approx 171.67 \]

Výpočet rozptylu \(X\): \[ \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{6} \sum (X_i – \bar{X})^2 = \frac{1}{6}[(15 – 21.33)^2 + (18 – 21.33)^2 + \ldots + (28 – 21.33)^2] \] \[ = \frac{1}{6}[40.11 + 11.11 + 1.78 + 0.45 + 12.44 + 44.44] = \frac{110.33}{6} \approx 18.39 \]

Výpočet rozptylu \(Y\): \[ \mathrm{Var}(Y) = \frac{1}{6}[(120 – 171.67)^2 + (150 – 171.67)^2 + \ldots + (220 – 171.67)^2] \] \[ = \frac{1}{6}[2694.44 + 469.44 + 136.11 + 8.89 + 802.78 + 2352.78] = \frac{6364.44}{6} \approx 1060.74 \]

Kovariance: \[ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{1}{6} \sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) \] Vypočítáme jednotlivé členy: \[ (15 – 21.33)(120 – 171.67) = (-6.33)(-51.67) = 327.11 \] \[ (18 – 21.33)(150 – 171.67) = (-3.33)(-21.67) = 72.22 \] \[ (20 – 21.33)(160 – 171.67) = (-1.33)(-11.67) = 15.53 \] \[ (22 – 21.33)(180 – 171.67) = 0.67 \times 8.33 = 5.58 \] \[ (25 – 21.33)(200 – 171.67) = 3.67 \times 28.33 = 103.97 \] \[ (28 – 21.33)(220 – 171.67) = 6.67 \times 48.33 = 322.33 \] Celkem: \[ \sum = 327.11 + 72.22 + 15.53 + 5.58 + 103.97 + 322.33 = 846.74 \] \[ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{846.74}{6} \approx 141.12 \]

Výpočet regresního koeficientu: \[ r = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)} \sqrt{\mathrm{Var}(Y)}} = \frac{141.12}{\sqrt{18.39} \times \sqrt{1060.74}} \] \[ \sqrt{18.39} \approx 4.29, \quad \sqrt{1060.74} \approx 32.56 \] \[ r = \frac{141.12}{4.29 \times 32.56} = \frac{141.12}{139.65} \approx 1.01 \] Hodnota \(1.01\) mírně překračuje maximální možnou hodnotu korelačního koeficientu, což je pravděpodobně způsobeno zaokrouhlováním v mezi krocích. Správně by tedy mělo platit \[ r \approx 1 \] což znamená téměř dokonalou pozitivní lineární závislost.

Interpretace: S rostoucí teplotou vzduchu roste i prodej zmrzliny velmi silně lineárním způsobem. Korelační koeficient blízký jedné potvrzuje, že teplota je velmi silným prediktorem prodeje zmrzliny.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme průměry obou proměnných:

\[ \bar{X} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \]

\[ \bar{Y} = \frac{2 + 3 + 5 + 4 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4 \]

Dále spočítáme kovarianci a rozptyl \(X\):

\[ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 (X_i – 3)(Y_i – 4) \]

Vypočteme jednotlivé členy:

• \((1-3)(2-4) = (-2)(-2) = 4\)
• \((2-3)(3-4) = (-1)(-1) = 1\)
• \((3-3)(5-4) = (0)(1) = 0\)
• \((4-3)(4-4) = (1)(0) = 0\)
• \((5-3)(6-4) = (2)(2) = 4\)

Součet je \(4 + 1 + 0 + 0 + 4 = 9\).

\[ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{9}{5} = 1{,}8 \]

Rozptyl \(X\) spočítáme jako:

\[ \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 (X_i – \bar{X})^2 \]

• \((1-3)^2 = 4\)
• \((2-3)^2 = 1\)
• \((3-3)^2 = 0\)
• \((4-3)^2 = 1\)
• \((5-3)^2 = 4\)

Součet je \(4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10\).

\[ \mathrm{Var}(X) = \frac{10}{5} = 2 \]

Regresní koeficient \(b\) je dán vztahem:

\[ b = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\mathrm{Var}(X)} = \frac{1{,}8}{2} = 0{,}9 \]

Tím jsme spočítali směrnici regresní přímky.

Řešení příkladu:

Průměry obou proměnných spočítáme jako:

\[ \bar{X} = \frac{0+1+2+3+4}{5} = \frac{10}{5} = 2 \]

\[ \bar{Y} = \frac{1+3+2+5+7}{5} = \frac{18}{5} = 3{,}6 \]

Kovariance \(X,Y\):

\[ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 (X_i – 2)(Y_i – 3{,}6) \]

• \((0-2)(1-3{,}6) = (-2)(-2{,}6) = 5{,}2\)
• \((1-2)(3-3{,}6) = (-1)(-0{,}6) = 0{,}6\)
• \((2-2)(2-3{,}6) = (0)(-1{,}6) = 0\)
• \((3-2)(5-3{,}6) = (1)(1{,}4) = 1{,}4\)
• \((4-2)(7-3{,}6) = (2)(3{,}4) = 6{,}8\)

Součet je \(5{,}2 + 0{,}6 + 0 + 1{,}4 + 6{,}8 = 14\).

\[ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{14}{5} = 2{,}8 \]

Rozptyl \(X\):

\[ \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 (X_i – 2)^2 \]

• \((0-2)^2 = 4\)
• \((1-2)^2 = 1\)
• \((2-2)^2 = 0\)
• \((3-2)^2 = 1\)
• \((4-2)^2 = 4\)

Součet je \(4+1+0+1+4 = 10\).

\[ \mathrm{Var}(X) = \frac{10}{5} = 2 \]

Regresní koeficient:

\[ b = \frac{2{,}8}{2} = 1{,}4 \]

Tedy regresní přímka má směrnici \(1,4\).

Řešení příkladu:

Nejdříve vypočteme průměry:

\[ \bar{X} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]

\[ \bar{Y} = \frac{3 + 7 + 11 + 15 + 19}{5} = \frac{55}{5} = 11 \]

Potom spočítáme kovarianci:

\[ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{1}{5} \sum (X_i – 6)(Y_i – 11) \]

• \((2-6)(3-11) = (-4)(-8) = 32\)
• \((4-6)(7-11) = (-2)(-4) = 8\)
• \((6-6)(11-11) = 0\)
• \((8-6)(15-11) = (2)(4) = 8\)
• \((10-6)(19-11) = (4)(8) = 32\)

Součet je \(32 + 8 + 0 + 8 + 32 = 80\).

\[ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{80}{5} = 16 \]

Rozptyl \(X\):

\[ \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{5} \sum (X_i – 6)^2 \]

• \((2-6)^2 = 16\)
• \((4-6)^2 = 4\)
• \((6-6)^2 = 0\)
• \((8-6)^2 = 4\)
• \((10-6)^2 = 16\)

Součet je \(16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40\).

\[ \mathrm{Var}(X) = \frac{40}{5} = 8 \]

Regresní koeficient tedy bude:

\[ b = \frac{16}{8} = 2 \]

Výsledkem je směrnice regresní přímky rovná \(2\).

Řešení příkladu:

Průměry spočítáme:

\[ \bar{X} = \frac{3 + 5 + 7 + 9 + 11}{5} = \frac{35}{5} = 7 \]

\[ \bar{Y} = \frac{4 + 6 + 8 + 10 + 12}{5} = \frac{40}{5} = 8 \]

Kovariance:

\[ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{1}{5} \sum (X_i – 7)(Y_i – 8) \]

• \((3-7)(4-8) = (-4)(-4) = 16\)
• \((5-7)(6-8) = (-2)(-2) = 4\)
• \((7-7)(8-8) = 0\)
• \((9-7)(10-8) = (2)(2) = 4\)
• \((11-7)(12-8) = (4)(4) = 16\)

Součet je \(16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40\).

\[ \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{40}{5} = 8 \]

Rozptyl \(X\):

\[ \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{5} \sum (X_i – 7)^2 \]

• \((3-7)^2 = 16\)
• \((5-7)^2 = 4\)
• \((7-7)^2 = 0\)
• \((9-7)^2 = 4\)
• \((11-7)^2 = 16\)

Součet je \(16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40\).

\[ \mathrm{Var}(X) = \frac{40}{5} = 8 \]

Regresní koeficient je:

\[ b = \frac{8}{8} = 1 \]

Tedy přímka má směrnici \(1\).

Řešení příkladu:

Máme data: \((x_i, y_i) = (2, 3), (3, 5), (5, 7), (7, 10), (8, 12), (10, 15)\) pro \(i = 1, \ldots, 6\).

Nejprve spočítáme průměry:

\[ \bar{x} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 8 + 10}{6} = \frac{35}{6} \approx 5{,}8333, \quad \bar{y} = \frac{3 + 5 + 7 + 10 + 12 + 15}{6} = \frac{52}{6} \approx 8{,}6667. \]

Dále vypočítáme kovarianci \(s_{xy}\) a směrodatné odchylky \(s_x\), \(s_y\):

\[ s_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}), \quad s_x = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2}, \quad s_y = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (y_i – \bar{y})^2}. \]

Vypočítáme jednotlivé rozdíly a jejich součiny:

\(x_i\)	\(y_i\)	\(x_i – \bar{x}\)	\(y_i – \bar{y}\)	\((x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})\)	\((x_i – \bar{x})^2\)	\((y_i – \bar{y})^2\)
2	3	-3{,}8333	-5{,}6667	21{,}7222	14{,}6944	32{,}1111
3	5	-2{,}8333	-3{,}6667	10{,}3889	8{,}0278	13{,}4444
5	7	-0{,}8333	-1{,}6667	1{,}3889	0{,}6944	2{,}7778
7	10	1{,}1667	1{,}3333	1{,}5556	1{,}3611	1{,}7778
8	12	2{,}1667	3{,}3333	7{,}2222	4{,}6944	11{,}1111
10	15	4{,}1667	6{,}3333	26{,}3889	17{,}3611	40{,}1111

Sečteme sloupce:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = 68{,}6667, \quad \sum (x_i – \bar{x})^2 = 46{,}8333, \quad \sum (y_i – \bar{y})^2 = 101{,}3333. \]

Počet dat \(n = 6\), tedy:

\[ s_{xy} = \frac{68{,}6667}{5} = 13{,}7333, \quad s_x = \sqrt{\frac{46{,}8333}{5}} = \sqrt{9{,}3667} \approx 3{,}0605, \quad s_y = \sqrt{\frac{101{,}3333}{5}} = \sqrt{20{,}2667} \approx 4{,}5019. \]

Regresní koeficient \(r\) spočítáme jako:

\[ r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{13{,}7333}{3{,}0605 \times 4{,}5019} \approx \frac{13{,}7333}{13{,}7852} \approx 0{,}9962. \]

Interpretace: Hodnota \(r \approx 0{,}9962\) značí velmi silnou pozitivní lineární závislost mezi počtem hodin studia a známkou z testu, tedy čím více student studoval, tím lepší známku (vyšší hodnotu) dosáhl.

Řešení příkladu:

Data: \((1, 50), (2, 55), (3, 60), (4, 65), (5, 80)\), počet dat \(n = 5\).

Nejprve průměry:

\[ \bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3, \quad \bar{y} = \frac{50 + 55 + 60 + 65 + 80}{5} = \frac{310}{5} = 62. \]

Vypočítáme rozdíly:

\(x_i\)	\(y_i\)	\(x_i – \bar{x}\)	\(y_i – \bar{y}\)	\((x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})\)	\((x_i – \bar{x})^2\)	\((y_i – \bar{y})^2\)
1	50	-2	-12	24	4	144
2	55	-1	-7	7	1	49
3	60	0	-2	0	0	4
4	65	1	3	3	1	9
5	80	2	18	36	4	324

Sčítáme:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = 24 + 7 + 0 + 3 + 36 = 70, \quad \sum (x_i – \bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10, \quad \sum (y_i – \bar{y})^2 = 144 + 49 + 4 + 9 + 324 = 530. \]

Výpočty směrodatných odchylek a kovariance:

\[ s_{xy} = \frac{70}{4} = 17{,}5, \quad s_x = \sqrt{\frac{10}{4}} = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}5811, \quad s_y = \sqrt{\frac{530}{4}} = \sqrt{132{,}5} \approx 11{,}5129. \]

Regresní koeficient:

\[ r = \frac{17{,}5}{1{,}5811 \times 11{,}5129} = \frac{17{,}5}{18{,}209} \approx 0{,}9613. \]

Interpretace: Regresní koeficient \(r \approx 0{,}9613\) ukazuje na velmi silnou pozitivní lineární závislost mezi počtem prodaných produktů a výnosem, což znamená, že výnosy rostou s počtem prodaných produktů.

Řešení příkladu:

Data: \((5, 50), (7, 65), (8, 72), (10, 80), (12, 95), (15, 110)\), počet dat \(n = 6\).

Průměry:

\[ \bar{x} = \frac{5 + 7 + 8 + 10 + 12 + 15}{6} = \frac{57}{6} = 9{,}5, \quad \bar{y} = \frac{50 + 65 + 72 + 80 + 95 + 110}{6} = \frac{472}{6} \approx 78{,}6667. \]

Tabulka rozdílů:

\(x_i\)	\(y_i\)	\(x_i – \bar{x}\)	\(y_i – \bar{y}\)	\((x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})\)	\((x_i – \bar{x})^2\)	\((y_i – \bar{y})^2\)
5	50	-4{,}5	-28{,}6667	129{,}0001	20{,}25	822{,}7778
7	65	-2{,}5	-13{,}6667	34{,}1667	6{,}25	186{,}7778
8	72	-1{,}5	-6{,}6667	10{,}0001	2{,}25	44{,}4444
10	80	0{,}5	1{,}3333	0{,}6667	0{,}25	1{,}7778
12	95	2{,}5	16{,}3333	40{,}8333	6{,}25	266{,}7778
15	110	5{,}5	31{,}3333	172{,}3331	30{,}25	981{,}7778

Sčítáme:

\[ \sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = 129{,}0001 + 34{,}1667 + 10{,}0001 + 0{,}6667 + 40{,}8333 + 172{,}3331 = 386{,}9999, \]

\[ \sum (x_i – \bar{x})^2 = 20{,}25 + 6{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 + 6{,}25 + 30{,}25 = 65{,}5, \quad \sum (y_i – \bar{y})^2 = 822{,}7778 + 186{,}7778 + 44{,}4444 + 1{,}7778 + 266{,}7778 + 981{,}7778 = 2304{,}3334. \]

Výpočty směrodatných odchylek a kovariance:

\[ s_{xy} = \frac{386{,}9999}{5} = 77{,}4, \quad s_x = \sqrt{\frac{65{,}5}{5}} = \sqrt{13{,}1} \approx 3{,}6206, \quad s_y = \sqrt{\frac{2304{,}3334}{5}} = \sqrt{460{,}8667} \approx 21{,}4677. \]

Regresní koeficient:

\[ r = \frac{77{,}4}{3{,}6206 \times 21{,}4677} = \frac{77{,}4}{77{,}697} \approx 0{,}9957. \]

Interpretace: Regresní koeficient \(r \approx 0{,}9957\) znamená velmi silnou pozitivní lineární závislost mezi investicí do reklamy a počtem nových zákazníků.