Rekurentní vztahy

Řešení příkladu:

Máme rekurentní vztah \( a_{n+2} = 3a_{n+1} – 2a_n \) s počátečními podmínkami \( a_0 = 2 \), \( a_1 = 5 \).

Charakteristická rovnice je \( r^2 – 3r + 2 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici: \[ r = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}. \] Tedy kořeny jsou \( r_1 = 2 \) a \( r_2 = 1 \).

Obecné řešení je ve tvaru \[ a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 1^n = A \cdot 2^n + B. \]

Dosadíme počáteční podmínky: \[ a_0 = A + B = 2, \] \[ a_1 = 2A + B = 5. \]

Odečteme první rovnici od druhé: \[ (2A + B) – (A + B) = 5 – 2 \Rightarrow A = 3. \] Z první rovnice pak \[ 3 + B = 2 \Rightarrow B = -1. \]

Tedy obecný člen je \[ a_n = 3 \cdot 2^n – 1. \]

Řešení příkladu:

Posloupnost je dána počátečními členy \( b_0 = 1 \), \( b_1 = 1 \) a rekurencí \( b_n = b_{n-1} + 2b_{n-2} \) pro \( n \geq 2 \).

Vypočteme postupně členy:

• \( b_2 = b_1 + 2b_0 = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \)
• \( b_3 = b_2 + 2b_1 = 3 + 2 \cdot 1 = 5 \)

První čtyři členy jsou tedy \( b_0=1 \), \( b_1=1 \), \( b_2=3 \), \( b_3=5 \).

Řešení příkladu:

Máme vztah \[ c_{n+1} = \frac{1}{2} c_n + 3, \quad c_0 = 4. \] Jedná se o lineární nehomogenní rekurentní vztah prvního řádu.

Nejprve vyřešíme homogenní část \[ c_{n+1}^{(h)} = \frac{1}{2} c_n^{(h)}, \] jejíž obecné řešení je \[ c_n^{(h)} = A \left(\frac{1}{2}\right)^n, \] kde \( A \) je konstanta.

Poté najdeme partikulární řešení konstantní \[ c_n^{(p)} = C. \] Dosadíme do nehomogenní rovnice: \[ C = \frac{1}{2} C + 3 \Rightarrow C – \frac{1}{2} C = 3 \Rightarrow \frac{1}{2} C = 3 \Rightarrow C = 6. \]

Obecné řešení je tedy \[ c_n = A \left(\frac{1}{2}\right)^n + 6. \]

Dosadíme počáteční podmínku: \[ c_0 = A + 6 = 4 \Rightarrow A = -2. \]

Posloupnost je tedy \[ c_n = -2 \left(\frac{1}{2}\right)^n + 6. \]

Limita pro \( n \to \infty \) je \[ \lim_{n \to \infty} c_n = 6. \]

Řešení příkladu:

Charakteristická rovnice je \[ r^2 – 5r + 6 = 0. \] Faktorizujeme: \[ (r – 2)(r – 3) = 0, \] tedy kořeny jsou \( r_1 = 2 \) a \( r_2 = 3 \).

Obecné řešení má tvar \[ d_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n. \]

Dosadíme počáteční podmínky: \[ d_0 = A + B = 2, \] \[ d_1 = 2A + 3B = 7. \]

Z první rovnice vyjádříme \( A = 2 – B \) a dosadíme do druhé: \[ 2(2 – B) + 3B = 7 \Rightarrow 4 – 2B + 3B = 7 \Rightarrow B = 3. \] Z první rovnice: \[ A + 3 = 2 \Rightarrow A = -1. \]

Explicitní vzorec je tedy \[ d_n = -1 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n. \]

Řešení příkladu:

Rekurence říká: \[ e_{n+1} = \frac{n}{n+1} e_n. \] Rozepíšeme několik prvních členů: \[ e_2 = \frac{1}{2} e_1 = \frac{1}{2}, \] \[ e_3 = \frac{2}{3} e_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}, \] \[ e_4 = \frac{3}{4} e_3 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}. \]

Vidíme, že \[ e_n = \frac{1}{n}. \] Ověříme indukcí:
Pro \( n=1 \) platí \( e_1 = 1 \).
Předpokládejme \( e_n = \frac{1}{n} \).
Pak \[ e_{n+1} = \frac{n}{n+1} e_n = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1}. \] Tedy vzorec platí pro všechna \( n \).

Řešení příkladu:

Charakteristická rovnice: \[ r^2 – 4r + 4 = 0. \] Jedná se o rovnici s dvojnásobným kořenem \[ (r – 2)^2 = 0, \] takže \( r = 2 \) dvojnásobně.

Obecné řešení je ve tvaru \[ f_n = (A + Bn) 2^n. \]

Dosadíme počáteční podmínky: \[ f_0 = A = 1, \] \[ f_1 = (A + B) 2 = 4 \Rightarrow A + B = 2. \] Z první rovnice \( A = 1 \) a tedy \( B = 1 \).

Tedy explicitní vzorec je \[ f_n = (1 + n) 2^n. \]

Řešení příkladu:

Rekurence je nehomogenní: \[ g_n = g_{n-1} + g_{n-2} + 1. \] Nejprve vyřešíme homogenní rovnici \[ g_n^{(h)} = g_{n-1}^{(h)} + g_{n-2}^{(h)}, \] která je Fibonacciho posloupností.

Charakteristická rovnice: \[ r^2 – r – 1 = 0. \] Kořeny jsou \[ r_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \varphi, \quad r_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2} = \psi. \]

Obecné homogenní řešení je \[ g_n^{(h)} = A \varphi^n + B \psi^n. \]

Partikulární řešení hledáme jako konstantní \( g_n^{(p)} = C \): \[ C = C + C + 1 \Rightarrow C = -1. \]

Celkové řešení: \[ g_n = A \varphi^n + B \psi^n – 1. \]

Dosadíme počáteční podmínky: \[ g_0 = A + B – 1 = 0 \Rightarrow A + B = 1, \] \[ g_1 = A \varphi + B \psi – 1 = 1 \Rightarrow A \varphi + B \psi = 2. \]

Řešíme soustavu: \[ \begin{cases} A + B = 1, \\ A \varphi + B \psi = 2. \end{cases} \]

Z první rovnice \( B = 1 – A \), dosadíme do druhé: \[ A \varphi + (1 – A) \psi = 2 \Rightarrow A(\varphi – \psi) + \psi = 2. \] Protože \( \varphi – \psi = \sqrt{5} \), dostáváme \[ A \sqrt{5} + \psi = 2 \Rightarrow A = \frac{2 – \psi}{\sqrt{5}}. \] Z první rovnice \[ B = 1 – A = 1 – \frac{2 – \psi}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} – 2 + \psi}{\sqrt{5}}. \]

Tedy explicitní vzorec je \[ g_n = \frac{2 – \psi}{\sqrt{5}} \varphi^n + \frac{\sqrt{5} – 2 + \psi}{\sqrt{5}} \psi^n – 1. \]

Řešení příkladu:

Nejprve zapíšeme charakteristickou rovnici rekurence:

\(r^2 – 3r + 2 = 0\)

Vyřešíme kvadratickou rovnici:

\(r^2 – 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0 \Rightarrow r_1 = 1, r_2 = 2\)

Tedy obecné řešení má tvar:

\(a_n = A \cdot 1^n + B \cdot 2^n = A + B \cdot 2^n\)

Dosadíme počáteční podmínky:

\(a_0 = A + B = 2\)

\(a_1 = A + 2B = 5\)

Odečteme první rovnici od druhé:

\((A + 2B) – (A + B) = 5 – 2 \Rightarrow B = 3\)

Dosadíme zpět:

\(A + 3 = 2 \Rightarrow A = -1\)

Výsledné explicitní řešení je tedy:

\(a_n = -1 + 3 \cdot 2^n\)

Řešení příkladu:

Rekurence je nehomogenní lineární s konstantními koeficienty:

\(b_n – 4b_{n-1} + 4b_{n-2} = n\)

Nejprve vyřešíme homogenní rovnici:

\(b_n^{(h)} – 4b_{n-1}^{(h)} + 4b_{n-2}^{(h)} = 0\)

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 4r + 4 = 0 \Rightarrow (r-2)^2 = 0\)

Řešení homogenní rovnice je tedy:

\(b_n^{(h)} = (A + Bn) 2^n\)

Pro partikulární řešení použijeme tvar:

\(b_n^{(p)} = Cn + D\)

Dosadíme do rovnice:

\((Cn + D) – 4(C(n-1) + D) + 4(C(n-2) + D) = n\)

Po roznásobení:

\(Cn + D – 4Cn + 4C – 4D + 4Cn – 8C + 4D = n\)

Sjednotíme členy:

\((C n – 4 C n + 4 C n) + (D – 4D + 4D) + (4C – 8C) = n\)

\(C n + 0 + (-4C) = n\)

To znamená:

\(C n – 4 C = n\)

Porovnáme koeficienty:

Pro \(n\): \(C = 1\)

Pro konstantní člen: \(-4C = 0 \Rightarrow -4 \cdot 1 = 0\), což není pravda. Proto tvar partikulárního řešení není správný, použijeme proto tvar s vyšším stupněm, konkrétně:

\(b_n^{(p)} = En^2 + Fn + G\)

Dosadíme znovu:

\(En^2 + Fn + G – 4[E(n-1)^2 + F(n-1) + G] + 4[E(n-2)^2 + F(n-2) + G] = n\)

Po rozvinutí a sečtení získáme kvadratickou rovnici, kterou porovnáme s pravou stranou \(n\), čímž najdeme koeficienty \(E, F, G\).

Výsledkem je:

\(E = 0, F = -\frac{1}{2}, G = -1\)

Tedy partikulární řešení je:

\(b_n^{(p)} = -\frac{1}{2} n – 1\)

Celkové řešení je:

\(b_n = (A + Bn) 2^n – \frac{1}{2} n – 1\)

Dosadíme počáteční podmínky:

\(b_0 = A = 1\)

\(b_1 = (A + B) 2 – \frac{1}{2} \cdot 1 – 1 = 4\)

\(2 (1 + B) – \frac{1}{2} – 1 = 4\)

\(2 + 2B – 1.5 = 4 \Rightarrow 2B + 0.5 = 4 \Rightarrow 2B = 3.5 \Rightarrow B = \frac{7}{4}\)

Finální řešení:

\(b_n = (1 + \frac{7}{4} n) 2^n – \frac{1}{2} n – 1\)

Řešení příkladu:

Jedná se o nehomogenní rekurentní vztah prvního řádu:

\(c_n – c_{n-1} = 2^n\)

Homogenní rovnice je:

\(c_n^{(h)} – c_{n-1}^{(h)} = 0\)

Má řešení:

\(c_n^{(h)} = A\)

Partikulární řešení najdeme pomocí metody variace konstant nebo součtem pravé strany:

\(c_n = c_0 + \sum_{k=1}^n 2^k = 3 + \sum_{k=1}^n 2^k\)

Součet geometrické posloupnosti:

\(\sum_{k=1}^n 2^k = 2 \cdot \frac{2^n – 1}{2 – 1} = 2 (2^n – 1) = 2^{n+1} – 2\)

Tedy:

\(c_n = 3 + 2^{n+1} – 2 = 2^{n+1} + 1\)

Výsledné explicitní řešení je:

\(c_n = 2^{n+1} + 1\)

Řešení příkladu:

Rovnice je nehomogenní lineární rekurence druhého řádu:

\(d_n – 5d_{n-1} + 6d_{n-2} = 3^n\)

Charakteristická rovnice homogenní části:

\(r^2 – 5r + 6 = 0\)

\((r – 2)(r – 3) = 0 \Rightarrow r_1 = 2, r_2 = 3\)

Homogenní řešení:

\(d_n^{(h)} = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n\)

Pro partikulární řešení zvolíme tvar:

\(d_n^{(p)} = C n 3^n\)

Protože pravá strana je \(3^n\) a \(3\) je kořen charakteristické rovnice s násobností 1, proto zvolíme tvar s násobkem \(n\).

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(d_n^{(p)} – 5 d_{n-1}^{(p)} + 6 d_{n-2}^{(p)} = 3^n\)

\(C n 3^n – 5 C (n-1) 3^{n-1} + 6 C (n-2) 3^{n-2} = 3^n\)

Vynásobíme rovnici \(3^{n-2}\) na společného jmenovatele:

\(C n 3^n – 5 C (n-1) 3^{n-1} + 6 C (n-2) 3^{n-2} = 3^n\)

Rozdělíme členy podle mocnin:

\(C n 3^n – 5 C (n-1) 3^{n-1} + 6 C (n-2) 3^{n-2} = 3^n\)

Děleno \(3^{n-2}\):

\(C n 3^2 – 5 C (n-1) 3 + 6 C (n-2) = 3^2\)

\(9 C n – 15 C (n-1) + 6 C (n-2) = 9\)

Rozepíšeme:

\(9 C n – 15 C n + 15 C + 6 C n – 12 C = 9\)

\((9 C n – 15 C n + 6 C n) + (15 C – 12 C) = 9\)

\(0 + 3 C = 9\)

Tedy:

\(3 C = 9 \Rightarrow C = 3\)

Celkové řešení:

\(d_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n + 3 n 3^n\)

Dosadíme počáteční podmínky:

\(d_0 = A + B + 0 = 0\)

\(d_1 = 2 A + 3 B + 3 \cdot 1 \cdot 3 = 1\)

Z první rovnice:

\(A = -B\)

Z druhé rovnice:

\(2(-B) + 3 B + 9 = 1 \Rightarrow -2B + 3B = 1 – 9 \Rightarrow B = -8\)

Pak:

\(A = 8\)

Finální řešení:

\(d_n = 8 \cdot 2^n – 8 \cdot 3^n + 3 n 3^n\)

Řešení:

Jedná se o lineární rekurentní vztah prvního řádu s nehomogenní částí.

Nejprve řešíme homogenní rovnici: \(a_{n+1} = 2a_n\).

Charakteristická rovnice je \(r = 2\). Obecné řešení homogenní části je: \(a_n^{(h)} = C \cdot 2^{n-1}\).

Pro partikulární řešení hledáme konstantu \(a_n^{(p)} = A\), dosadíme do rovnice:

\(A = 2A + 1 \Rightarrow A – 2A = 1 \Rightarrow -A = 1 \Rightarrow A = -1\).

Celkové řešení je tedy: \(a_n = C \cdot 2^{n-1} – 1\).

Dosadíme počáteční podmínku \(a_1 = 3\):

\(3 = C \cdot 2^{0} – 1 \Rightarrow 3 = C – 1 \Rightarrow C = 4\).

Explicitní vzorec je tedy:

\(\displaystyle a_n = 4 \cdot 2^{n-1} – 1\).

Řešení:

Výpočet členů postupně:

\(b_1 = 1\)

\(b_2 = b_1 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4\)

\(b_3 = b_2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10\)

\(b_4 = b_3 + 3 \cdot 3 = 10 + 9 = 19\)

\(b_5 = b_4 + 3 \cdot 4 = 19 + 12 = 31\)

\(b_6 = b_5 + 3 \cdot 5 = 31 + 15 = 46\)

Prvních šest členů je tedy \(1, 4, 10, 19, 31, 46\).

Řešení:

Jedná se o lineární nehomogenní rekurenci prvního řádu.

Homogenní rovnice: \(c_{n+1} = 3 c_n\), řešení je \(c_n^{(h)} = C \cdot 3^n\).

Partikulární řešení hledáme konstantní \(c_n^{(p)} = A\), dosadíme:

\(A = 3A + 4 \Rightarrow A – 3A = 4 \Rightarrow -2A = 4 \Rightarrow A = -2\).

Celkové řešení: \(c_n = C \cdot 3^n – 2\).

Dosadíme počáteční podmínku \(c_0 = 2\):

\(2 = C \cdot 3^0 – 2 \Rightarrow 2 = C – 2 \Rightarrow C = 4\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle c_n = 4 \cdot 3^n – 2\).

Řešení:

Jedná se o Fibonacciho typ rekurence, ale s jinými počátečními hodnotami.

Vypočítáme postupně:

\(d_3 = d_2 + d_1 = 7 + 5 = 12\)

\(d_4 = d_3 + d_2 = 12 + 7 = 19\)

\(d_5 = d_4 + d_3 = 19 + 12 = 31\)

Charakteristická rovnice je \(r^2 = r + 1\), tedy \(r^2 – r – 1 = 0\).

Kořeny: \(r_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), \(r_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}\).

Obecné řešení je:

\(d_n = A r_1^{n} + B r_2^{n}\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(d_1 = A r_1 + B r_2 = 5\)

\(d_2 = A r_1^2 + B r_2^2 = 7\).

Řešíme soustavu pro \(A\) a \(B\), odtud získáme explicitní vzorec.

Řešení:

Homogenní část: \(e_{n+1} = \frac{1}{2} e_n\), řešení: \(e_n^{(h)} = C \left(\frac{1}{2}\right)^n\).

Partikulární řešení konstantní \(e_n^{(p)} = A\):

\(A = \frac{1}{2} A + 3 \Rightarrow A – \frac{1}{2} A = 3 \Rightarrow \frac{1}{2} A = 3 \Rightarrow A = 6\).

Celkové řešení: \(e_n = C \left(\frac{1}{2}\right)^n + 6\).

Dosadíme \(e_0 = 1\):

\(1 = C \cdot 1 + 6 \Rightarrow C = -5\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle e_n = -5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n + 6\).

Řešení:

Výpočet členů:

\(f_2 = 3 \cdot 2 – 4 = 6 – 4 = 2\)

\(f_3 = 3 \cdot 2 – 4 = 2\)

\(f_4 = 3 \cdot 2 – 4 = 2\)

Vidíme, že \(f_n = 2\) pro všechna \(n\), což je konstantní řešení.

Explicitní vzorec: \(f_n = 2\).

Řešení:

Homogenní část: \(g_{n+1} = 5 g_n\), řešení \(g_n^{(h)} = C \cdot 5^{n-1}\).

Partikulární řešení \(g_n^{(p)} = A\), dosadíme:

\(A = 5A + 6 \Rightarrow A – 5A = 6 \Rightarrow -4A = 6 \Rightarrow A = -\frac{3}{2}\).

Celkové řešení: \(g_n = C \cdot 5^{n-1} – \frac{3}{2}\).

Dosadíme \(g_1 = 0\):

\(0 = C \cdot 5^{0} – \frac{3}{2} \Rightarrow 0 = C – \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{3}{2}\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle g_n = \frac{3}{2} \cdot 5^{n-1} – \frac{3}{2}\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 3r + 2 = 0\).

Kořeny: \(r_1 = 1\), \(r_2 = 2\).

Obecné řešení: \(h_n = A \cdot 1^{n} + B \cdot 2^{n} = A + B \cdot 2^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(h_1 = A + 2B = 1\)

\(h_2 = A + 4B = 4\).

Odčteme první od druhé: \( (A + 4B) – (A + 2B) = 4 – 1 \Rightarrow 2B = 3 \Rightarrow B = \frac{3}{2}\).

Dosadíme zpět do první rovnice: \(A + 2 \cdot \frac{3}{2} = 1 \Rightarrow A + 3 = 1 \Rightarrow A = -2\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle h_n = -2 + \frac{3}{2} \cdot 2^{n}\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 4r + 4 = 0\).

Kořen je dvojnásobný: \(r = 2\).

Obecné řešení: \(k_n = (A + Bn) \cdot 2^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(k_0 = (A + B \cdot 0) \cdot 2^{0} = A = 1\).

\(k_1 = (A + B \cdot 1) \cdot 2^{1} = 2 (A + B) = 3 \Rightarrow A + B = \frac{3}{2}\).

Z první rovnice víme, že \(A = 1\), tedy \(1 + B = \frac{3}{2} \Rightarrow B = \frac{1}{2}\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle k_n = (1 + \frac{1}{2} n) \cdot 2^{n}\).

Výpočet \(k_3\):

\(k_3 = (1 + \frac{1}{2} \cdot 3) \cdot 2^{3} = (1 + 1.5) \cdot 8 = 2.5 \cdot 8 = 20\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 3r + 2 = 0\).

Kořeny: \(r_1 = 1\), \(r_2 = 2\).

Obecné řešení: \(a_n = A \cdot 1^{n} + B \cdot 2^{n} = A + B \cdot 2^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(a_0 = A + B = 2\).

\(a_1 = A + 2B = 5\).

Odčteme první rovnici od druhé: \((A + 2B) – (A + B) = 5 – 2 \Rightarrow B = 3\).

Z první rovnice: \(A + 3 = 2 \Rightarrow A = -1\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle a_n = -1 + 3 \cdot 2^{n}\).

Výpočet \(a_3\):

\(a_3 = -1 + 3 \cdot 2^{3} = -1 + 3 \cdot 8 = -1 + 24 = 23\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 5r + 6 = 0\).

Kořeny: \(r_1 = 2\), \(r_2 = 3\).

Obecné řešení: \(b_n = A \cdot 2^{n} + B \cdot 3^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(b_0 = A + B = 1\).

\(b_1 = 2A + 3B = 4\).

První rovnice: \(A = 1 – B\).

Dosadíme do druhé:

\(2(1 – B) + 3B = 4 \Rightarrow 2 – 2B + 3B = 4 \Rightarrow 2 + B = 4 \Rightarrow B = 2\).

Z první rovnice: \(A = 1 – 2 = -1\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle b_n = -1 \cdot 2^{n} + 2 \cdot 3^{n}\).

Výpočet \(b_4\):

\(b_4 = -1 \cdot 2^{4} + 2 \cdot 3^{4} = -16 + 2 \cdot 81 = -16 + 162 = 146\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 6r + 9 = 0\).

Kořen dvojnásobný: \(r = 3\).

Obecné řešení: \(c_n = (A + B n) \cdot 3^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(c_0 = A = 0\).

\(c_1 = (A + B) \cdot 3 = 1 \Rightarrow 3B = 1 \Rightarrow B = \frac{1}{3}\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle c_n = \frac{n}{3} \cdot 3^{n} = n \cdot 3^{n-1}\).

Výpočet \(c_3\):

\(c_3 = 3 \cdot 3^{2} = 3 \cdot 9 = 27\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 7r + 10 = 0\).

Kořeny: \(r_1 = 5\), \(r_2 = 2\).

Obecné řešení: \(d_n = A \cdot 5^{n} + B \cdot 2^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(d_0 = A + B = 1\).

\(d_1 = 5A + 2B = 2\).

Z první rovnice: \(B = 1 – A\).

Dosadíme do druhé:

\(5A + 2(1 – A) = 2 \Rightarrow 5A + 2 – 2A = 2 \Rightarrow 3A + 2 = 2 \Rightarrow 3A = 0 \Rightarrow A = 0\).

Pak \(B = 1\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle d_n = 2^{n}\).

Výpočet \(d_2\):

\(d_2 = 2^{2} = 4\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 2r – 1 = 0\).

Kořeny: \(r = 1 \pm \sqrt{2}\).

Obecné řešení: \(e_n = A (1 + \sqrt{2})^{n} + B (1 – \sqrt{2})^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(e_0 = A + B = 4\).

\(e_1 = A (1 + \sqrt{2}) + B (1 – \sqrt{2}) = 8\).

Soustava pro \(A, B\):

\(A + B = 4\),

\(A (1 + \sqrt{2}) + B (1 – \sqrt{2}) = 8\).

Vyřešíme pro \(A\) a \(B\):

Od první rovnice: \(B = 4 – A\).

Dosadíme do druhé:

\(A (1 + \sqrt{2}) + (4 – A)(1 – \sqrt{2}) = 8\).

\(A (1 + \sqrt{2}) + 4 (1 – \sqrt{2}) – A (1 – \sqrt{2}) = 8\).

\(A [(1 + \sqrt{2}) – (1 – \sqrt{2})] + 4 (1 – \sqrt{2}) = 8\).

\(A (2 \sqrt{2}) + 4 – 4 \sqrt{2} = 8\).

\(2 \sqrt{2} A = 8 – 4 + 4 \sqrt{2} = 4 + 4 \sqrt{2}\).

\(A = \frac{4 + 4 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = \frac{4}{2 \sqrt{2}} + \frac{4 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} + 2 = \sqrt{2} + 2\).

Pak \(B = 4 – (\sqrt{2} + 2) = 2 – \sqrt{2}\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle e_n = (\sqrt{2} + 2) (1 + \sqrt{2})^{n} + (2 – \sqrt{2}) (1 – \sqrt{2})^{n}\).

Výpočet \(e_3\):

\(e_3 = (\sqrt{2} + 2)(1 + \sqrt{2})^{3} + (2 – \sqrt{2})(1 – \sqrt{2})^{3}\) (lze dopočítat numericky).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 5r + 6 = 0\).

Kořeny: \(r_1 = 2\), \(r_2 = 3\).

Obecné řešení: \(f_n = A \cdot 2^{n} + B \cdot 3^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(f_0 = A + B = 3\).

\(f_1 = 2A + 3B = 9\).

Z první rovnice: \(B = 3 – A\).

Dosadíme do druhé:

\(2A + 3(3 – A) = 9 \Rightarrow 2A + 9 – 3A = 9 \Rightarrow -A + 9 = 9 \Rightarrow A = 0\).

Pak \(B = 3\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle f_n = 3 \cdot 3^{n} = 3^{n+1}\).

Výpočet \(f_2\):

\(f_2 = 3^{3} = 27\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 2r – 1 = 0\).

Kořeny: \(r_1 = 1 + \sqrt{2}\), \(r_2 = 1 – \sqrt{2}\).

Obecné řešení: \(g_n = A (1 + \sqrt{2})^{n} + B (1 – \sqrt{2})^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(g_0 = A + B = 1\).

\(g_1 = A (1 + \sqrt{2}) + B (1 – \sqrt{2}) = 0\).

Z první rovnice: \(B = 1 – A\).

Dosadíme do druhé:

\(A (1 + \sqrt{2}) + (1 – A)(1 – \sqrt{2}) = 0\).

\(A (1 + \sqrt{2}) + 1 – \sqrt{2} – A + A \sqrt{2} = 0\).

\(A [(1 + \sqrt{2}) – 1 + \sqrt{2}] + 1 – \sqrt{2} = 0\).

\(A (2 \sqrt{2}) + 1 – \sqrt{2} = 0\).

\(2 \sqrt{2} A = \sqrt{2} – 1\).

\(A = \frac{\sqrt{2} – 1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} – \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{2} – \frac{1}{2 \sqrt{2}}\).

Pak \(B = 1 – A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{2}}\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle g_n = \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{2 \sqrt{2}}\right) (1 + \sqrt{2})^{n} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{2}}\right) (1 – \sqrt{2})^{n}\).

Výpočet \(g_3\):

\(g_3 =\) spočítáme dosazením do vzorce (numericky).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 3r + 2 = 0\).

Kořeny: \(r_1 = 1\), \(r_2 = 2\).

Obecné řešení: \(a_n = A \cdot 1^{n} + B \cdot 2^{n} = A + B \cdot 2^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(a_0 = A + B = 2\).

\(a_1 = A + 2B = 5\).

Odčteme první rovnici od druhé: \((A + 2B) – (A + B) = 5 – 2 \Rightarrow B = 3\).

Z první rovnice: \(A + 3 = 2 \Rightarrow A = -1\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle a_n = -1 + 3 \cdot 2^{n}\).

Výpočet \(a_4\):

\(a_4 = -1 + 3 \cdot 2^{4} = -1 + 3 \cdot 16 = -1 + 48 = 47\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 5r + 6 = 0\).

Kořeny: \(r_1 = 2\), \(r_2 = 3\).

Obecné řešení: \(b_n = A \cdot 2^{n} + B \cdot 3^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(b_0 = A + B = 1\).

\(b_1 = 2A + 3B = 4\).

Z první rovnice: \(A = 1 – B\).

Dosadíme do druhé:

\(2(1 – B) + 3B = 4 \Rightarrow 2 – 2B + 3B = 4 \Rightarrow 2 + B = 4 \Rightarrow B = 2\).

Potom \(A = 1 – 2 = -1\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle b_n = -1 \cdot 2^{n} + 2 \cdot 3^{n}\).

Výpočet \(b_3\):

\(b_3 = -1 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 3^{3} = -8 + 2 \cdot 27 = -8 + 54 = 46\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 2r – 1 = 0\).

Kořeny: \(r = 1 \pm \sqrt{2}\).

Obecné řešení: \(c_n = A (1 + \sqrt{2})^{n} + B (1 – \sqrt{2})^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(c_0 = A + B = 0\).

\(c_1 = A (1 + \sqrt{2}) + B (1 – \sqrt{2}) = 1\).

Z první rovnice: \(B = -A\).

Dosadíme do druhé:

\(A (1 + \sqrt{2}) – A (1 – \sqrt{2}) = 1 \Rightarrow A (2 \sqrt{2}) = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2 \sqrt{2}}\).

Potom \(B = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle c_n = \frac{(1 + \sqrt{2})^{n} – (1 – \sqrt{2})^{n}}{2 \sqrt{2}}\).

Výpočet \(c_4\):

\(c_4 = \frac{(1 + \sqrt{2})^{4} – (1 – \sqrt{2})^{4}}{2 \sqrt{2}} = 12\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 5r + 6 = 0\).

Kořeny: \(r_1 = 2\), \(r_2 = 3\).

Obecné řešení: \(d_n = A \cdot 2^{n} + B \cdot 3^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(d_0 = A + B = 3\).

\(d_1 = 2A + 3B = 6\).

Z první rovnice: \(A = 3 – B\).

Dosadíme do druhé:

\(2(3 – B) + 3B = 6 \Rightarrow 6 – 2B + 3B = 6 \Rightarrow B = 0\).

Potom \(A = 3\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle d_n = 3 \cdot 2^{n}\).

Výpočet \(d_3\):

\(d_3 = 3 \cdot 2^{3} = 3 \cdot 8 = 24\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 6r + 9 = 0\).

Dvojnásobný kořen: \(r = 3\).

Obecné řešení: \(e_n = (A + B n) 3^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(e_0 = A = 1\).

\(e_1 = (A + B) 3 = 2 \Rightarrow (1 + B) 3 = 2 \Rightarrow 1 + B = \frac{2}{3} \Rightarrow B = -\frac{1}{3}\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle e_n = \left(1 – \frac{1}{3} n\right) 3^{n}\).

Výpočet \(e_3\):

\(e_3 = \left(1 – \frac{1}{3} \cdot 3 \right) 3^{3} = (1 – 1) \cdot 27 = 0\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 4r + 4 = 0\).

Dvojnásobný kořen: \(r = 2\).

Obecné řešení: \(f_n = (A + B n) 2^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(f_0 = A = 0\).

\(f_1 = (A + B) 2 = 1 \Rightarrow (0 + B) 2 = 1 \Rightarrow B = \frac{1}{2}\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle f_n = \frac{n}{2} 2^{n} = n 2^{n-1}\).

Výpočet \(f_4\):

\(f_4 = 4 \cdot 2^{3} = 4 \cdot 8 = 32\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 7r + 12 = 0\).

Kořeny: \(r_1 = 3\), \(r_2 = 4\).

Obecné řešení: \(g_n = A \cdot 3^{n} + B \cdot 4^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(g_0 = A + B = 1\).

\(g_1 = 3A + 4B = 3\).

Z první rovnice: \(A = 1 – B\).

Dosadíme do druhé:

\(3(1 – B) + 4B = 3 \Rightarrow 3 – 3B + 4B = 3 \Rightarrow B = 0\).

Potom \(A = 1\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle g_n = 3^{n}\).

Výpočet \(g_3\):

\(g_3 = 3^{3} = 27\).

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 6r + 9 = 0\).

Dvojnásobný kořen: \(r = 3\).

Obecné řešení: \(h_n = (A + B n) 3^{n}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(h_0 = A = 2\).

\(h_1 = (A + B) 3 = 5 \Rightarrow (2 + B) 3 = 5 \Rightarrow 2 + B = \frac{5}{3} \Rightarrow B = \frac{5}{3} – 2 = -\frac{1}{3}\).

Explicitní vzorec:

\(\displaystyle h_n = \left(2 – \frac{1}{3} n\right) 3^{n}\).

Výpočet \(h_3\):

\(h_3 = \left(2 – \frac{1}{3} \cdot 3\right) 3^{3} = (2 – 1) \cdot 27 = 27\).

Řešení:

Rekurentní vztah: \(a_n = 5a_{n-1} – 6a_{n-2}\).

Charakteristická rovnice je \(r^2 – 5r + 6 = 0\).

Najdeme kořeny:

\(r^2 – 5r + 6 = (r-2)(r-3) = 0 \Rightarrow r_1 = 2, r_2 = 3\).

Obecné řešení rekurence je tvaru:

\(a_n = A \cdot 2^{n} + B \cdot 3^{n}\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(a_0 = A + B = 2\).

\(a_1 = 2A + 3B = 7\).

Řešíme soustavu:

\(A + B = 2\),

\(2A + 3B = 7\).

Ze první rovnice: \(A = 2 – B\).

Dosadíme do druhé:

\(2(2 – B) + 3B = 7 \Rightarrow 4 – 2B + 3B = 7 \Rightarrow 4 + B = 7 \Rightarrow B = 3\).

Potom \(A = 2 – 3 = -1\).

Explicitní vzorec:

\(a_n = -1 \cdot 2^{n} + 3 \cdot 3^{n} = 3^{n+1} – 2^{n}\).

Výpočet \(a_4\):

\(a_4 = -1 \cdot 2^{4} + 3 \cdot 3^{4} = -16 + 3 \cdot 81 = -16 + 243 = 227\).

Řešení:

Charakteristická rovnice je:

\(r^3 – 3r^2 + 3r – 1 = 0\).

Tato rovnice lze rozepsat jako \((r-1)^3 = 0\).

Má jeden dvojnásobný kořen \(r = 1\) s násobností 3.

Obecné řešení má tvar:

\(b_n = (A + B n + C n^2) \cdot 1^{n} = A + B n + C n^2\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(b_0 = A = 1\).

\(b_1 = A + B + C = 3\).

\(b_2 = A + 2B + 4C = 6\).

Dosadíme \(A = 1\):

\(1 + B + C = 3 \Rightarrow B + C = 2\).

\(1 + 2B + 4C = 6 \Rightarrow 2B + 4C = 5\).

Vyřešíme soustavu:

Z první rovnice \(B = 2 – C\).

Dosadíme do druhé:

\(2(2 – C) + 4C = 5 \Rightarrow 4 – 2C + 4C = 5 \Rightarrow 4 + 2C = 5 \Rightarrow 2C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2}\).

Potom \(B = 2 – \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).

Výsledný explicitní vzorec:

\(b_n = 1 + \frac{3}{2}n + \frac{1}{2} n^2\).

Řešení:

Rekurence je nehomogenní lineární: \(c_n – 2c_{n-1} = n\).

Nejprve řešíme homogenní část: \(c_n^h = 2 c_{n-1}^h\), jejíž řešení je:

\(c_n^h = A \cdot 2^{n}\).

Pro partikulární řešení použijeme metodu variace parametrů nebo hledáme polynom druhého stupně, protože pravá strana je lineární v \(n\).

Zkusíme partikulární řešení ve tvaru \(c_n^p = \alpha n + \beta\).

Dosadíme do rovnice:

\(\alpha n + \beta – 2(\alpha (n-1) + \beta) = n\).

Rozepíšeme:

\(\alpha n + \beta – 2 \alpha n + 2 \alpha – 2 \beta = n\).

Sjednotíme:

\((\alpha n – 2 \alpha n) + (\beta + 2 \alpha – 2 \beta) = n \Rightarrow (-\alpha n) + (2 \alpha – \beta) = n\).

Porovnáním koeficientů:

U \(n\): \(-\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = -1\).

U konstant: \(2 \alpha – \beta = 0 \Rightarrow 2(-1) – \beta = 0 \Rightarrow -2 – \beta = 0 \Rightarrow \beta = -2\).

Partikulární řešení je:

\(c_n^p = -n – 2\).

Celkové řešení:

\(c_n = A \cdot 2^{n} – n – 2\).

Dosadíme počáteční podmínku \(c_0 = 0\):

\(A \cdot 2^{0} – 0 – 2 = 0 \Rightarrow A – 2 = 0 \Rightarrow A = 2\).

Konečný explicitní vzorec:

\(c_n = 2 \cdot 2^{n} – n – 2\).

Řešení:

Rekurence: \(d_n – d_{n-1} – 2 d_{n-2} = 1\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(d_n^h – d_{n-1}^h – 2 d_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – r – 2 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}\), tj.

\(r_1 = 2\), \(r_2 = -1\).

Obecné homogenní řešení:

\(d_n^h = A \cdot 2^{n} + B \cdot (-1)^{n}\).

Pro partikulární řešení zvolíme konstantu \(d_n^p = C\), protože pravá strana je konstantní 1.

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C – C – 2C = 1 \Rightarrow -2C = 1 \Rightarrow C = -\frac{1}{2}\).

Celkové řešení:

\(d_n = A \cdot 2^{n} + B \cdot (-1)^{n} – \frac{1}{2}\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(d_0 = A + B – \frac{1}{2} = 0\),

\(d_1 = 2A – B – \frac{1}{2} = 1\).

Ze první rovnice:

\(A + B = \frac{1}{2}\).

Ze druhé rovnice:

\(2A – B = \frac{3}{2}\).

Sčítáme obě rovnice:

\((A + B) + (2A – B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \Rightarrow 3A = 2 \Rightarrow A = \frac{2}{3}\).

Dosadíme \(A\) do první rovnice:

\(\frac{2}{3} + B = \frac{1}{2} \Rightarrow B = \frac{1}{2} – \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}\).

Konečný explicitní vzorec:

\(d_n = \frac{2}{3} \cdot 2^{n} – \frac{1}{6} \cdot (-1)^{n} – \frac{1}{2}\).

Řešení:

Rekurence lze přepsat jako:

\(a_n – 4a_{n-1} + 4a_{n-2} = n\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(a_n^h – 4a_{n-1}^h + 4a_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 4r + 4 = 0\).

Kořeny jsou dvojnásobné:

\(r = 2\).

Obecné homogenní řešení má tvar:

\(a_n^h = (A + Bn) 2^n\).

Pro partikulární řešení zkusíme tvar lineární funkce \(a_n^p = Cn + D\), protože pravá strana je lineární.

Dosadíme do rekurence:

\((Cn + D) – 4(C(n-1) + D) + 4(C(n-2) + D) = n\).

Rozepíšeme:

\(Cn + D – 4Cn + 4C – 4D + 4Cn – 8C + 4D = n\).

Sčítáme členy:

\(Cn + D – 4Cn + 4C – 4D + 4Cn – 8C + 4D = Cn + (D – 4D + 4D) + (4C – 8C) = Cn + D + (-4D + 4D) – 4C = Cn + D – 4C.\)

Celkem dostáváme:

\(Cn + D – 4C = n\).

Porovnáme koeficienty u \(n\) a konstantní členy:

\(C = 1\),

\(D – 4C = 0 \Rightarrow D – 4 = 0 \Rightarrow D = 4\).

Partikulární řešení je tedy:

\(a_n^p = n + 4\).

Celkové řešení je:

\(a_n = (A + Bn) 2^n + n + 4\).

Dosadíme počáteční podmínky:

Pro \(n=0\):

\(a_0 = A \cdot 2^0 + B \cdot 0 \cdot 2^0 + 0 + 4 = A + 4 = 2\), tedy \(A = -2\).

Pro \(n=1\):

\(a_1 = (A + B \cdot 1) 2^1 + 1 + 4 = 2(A + B) + 5 = 5\).

Dosadíme \(A = -2\):

\(2(-2 + B) + 5 = 5 \Rightarrow 2B – 4 + 5 = 5 \Rightarrow 2B + 1 = 5 \Rightarrow 2B = 4 \Rightarrow B = 2\).

Konečný explicitní vzorec:

\(a_n = (-2 + 2n) 2^n + n + 4\).

Řešení:

Rekurence:

\(b_n – 5b_{n-1} + 6b_{n-2} = 3^n\).

Nejprve homogenní část:

\(b_n^h – 5b_{n-1}^h + 6b_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 5r + 6 = 0\).

Kořeny:

\(r_1 = 2\), \(r_2 = 3\).

Obecné homogenní řešení:

\(b_n^h = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n\).

Partikulární řešení:

Předpokládáme tvar \(b_n^p = C n 3^n\), protože pravá strana je \(3^n\) a \(3\) je kořenem charakteristické rovnice.

Dosadíme do rekurence:

\(C n 3^n – 5 C (n-1) 3^{n-1} + 6 C (n-2) 3^{n-2} = 3^n\).

Dělíme všude \(3^{n-2}\):

\(9 C n – 15 C (n-1) + 6 C (n-2) = 9\).

Rozepíšeme:

\(9 C n – 15 C n + 15 C + 6 C n – 12 C = 9\).

Sjednotíme členy:

\((9C n – 15C n + 6C n) + (15C – 12C) = 9 \Rightarrow 0 \cdot n + 3C = 9\).

Proto \(3C = 9 \Rightarrow C = 3\).

Partikulární řešení:

\(b_n^p = 3 n 3^n\).

Celkové řešení:

\(b_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n + 3 n 3^n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(b_0 = A + B + 0 = 0 \Rightarrow A + B = 0\).

\(b_1 = 2A + 3B + 3 \cdot 1 \cdot 3 = 1 \Rightarrow 2A + 3B + 9 = 1 \Rightarrow 2A + 3B = -8\).

Z první rovnice \(A = -B\), dosadíme do druhé:

\(2(-B) + 3B = -8 \Rightarrow -2B + 3B = -8 \Rightarrow B = -8\).

Pak \(A = 8\).

Konečný explicitní vzorec:

\(b_n = 8 \cdot 2^n – 8 \cdot 3^n + 3 n 3^n\).

Řešení:

Rekurence je:

\(c_n – 2 c_{n-1} = 3^n\).

Homogenní část:

\(c_n^h – 2 c_{n-1}^h = 0\), charakteristická rovnice:

\(r – 2 = 0\), tedy \(r = 2\).

Homogenní řešení:

\(c_n^h = A 2^n\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(c_n^p = B 3^n\).

Dosadíme:

\(B 3^n – 2 B 3^{n-1} = 3^n \Rightarrow B 3^n – 2 B \frac{3^n}{3} = 3^n \Rightarrow 3^n (B – \frac{2B}{3}) = 3^n\).

Vyřešíme pro \(B\):

\(B – \frac{2B}{3} = 1 \Rightarrow \frac{3B – 2B}{3} = 1 \Rightarrow \frac{B}{3} = 1 \Rightarrow B = 3\).

Partikulární řešení:

\(c_n^p = 3 \cdot 3^n\).

Celkové řešení:

\(c_n = A 2^n + 3 \cdot 3^n\).

Dosadíme počáteční podmínku:

\(c_0 = A + 3 = 0 \Rightarrow A = -3\).

Konečný explicitní vzorec:

\(c_n = -3 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n\).

Řešení:

Rekurence:

\(d_n – d_{n-1} = 2^n + n\).

Jelikož jde o rekurenci prvního řádu, explicitní řešení je dáno součtem:

\(d_n = d_0 + \sum_{k=1}^n (2^k + k) = 1 + \sum_{k=1}^n 2^k + \sum_{k=1}^n k\).

Sumy známe:

\(\sum_{k=1}^n 2^k = 2^{n+1} – 2\).

\(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\).

Tedy:

\(d_n = 1 + (2^{n+1} – 2) + \frac{n(n+1)}{2} = 2^{n+1} – 1 + \frac{n(n+1)}{2}\).

Řešení:

Charakteristická rovnice je:

\(r^3 – 3 r^2 + 3 r – 1 = 0\).

Tato rovnice je rozložitelná jako \((r – 1)^3 = 0\), tedy má dvojnásobný kořen \(r=1\) s násobností 3.

Obecné řešení homogenního vztahu má tvar:

\(e_n = (A + B n + C n^2) \cdot 1^n = A + B n + C n^2\).

Dosadíme počáteční podmínky:

Pro \(n=0\): \(e_0 = A = 1\).

Pro \(n=1\): \(e_1 = A + B + C = 3\) \Rightarrow \(1 + B + C = 3 \Rightarrow B + C = 2\).

Pro \(n=2\): \(e_2 = A + 2B + 4C = 7\) \Rightarrow \(1 + 2B + 4C = 7 \Rightarrow 2B + 4C = 6\).

Řešíme soustavu:

\(B + C = 2\),

\(2B + 4C = 6\).

První rovnici vynásobíme 2:

\(2B + 2C = 4\).

Odečteme od druhé rovnice:

\((2B + 4C) – (2B + 2C) = 6 – 4 \Rightarrow 2C = 2 \Rightarrow C = 1\).

Z \(B + C = 2\) plyne \(B = 1\).

Konečné řešení:

\(e_n = 1 + n + n^2\).

Řešení:

Charakteristická rovnice je:

\(r^2 – 6 r + 9 = 0\).

Kořeny jsou dvojnásobné:

\(r = 3\).

Obecné řešení je tedy:

\(f_n = (A + B n) 3^n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

Pro \(n=0\): \(f_0 = A = 2\).

Pro \(n=1\): \(f_1 = (A + B) 3 = 12 \Rightarrow 3 (2 + B) = 12 \Rightarrow 2 + B = 4 \Rightarrow B = 2\).

Konečný explicitní vzorec:

\(f_n = (2 + 2n) 3^n\).

Řešení:

Nechť \(a_n – 4 a_{n-1} + 4 a_{n-2} = 3\).

Homogenní rovnice:

\(a_n^h – 4 a_{n-1}^h + 4 a_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 4 r + 4 = 0\).

Kořen dvojnásobný:

\(r = 2\).

Obecné homogenní řešení:

\(a_n^h = (A + B n) 2^{n}\).

Pro partikulární řešení zvolíme konstantu \(a_n^p = C\).

Dosadíme do rovnice:

\(C – 4 C + 4 C = 3 \Rightarrow C = 3\).

Celkové řešení:

\(a_n = (A + B n) 2^{n} + 3\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(a_0 = A + 3 = 2 \Rightarrow A = -1\).

\(a_1 = 2 (A + B) + 3 = 5 \Rightarrow 2 (-1 + B) + 3 = 5 \Rightarrow -2 + 2 B + 3 = 5 \Rightarrow 2 B + 1 = 5 \Rightarrow B = 2\).

Konečný explicitní vzorec:

\(a_n = (-1 + 2 n) 2^{n} + 3\).

Řešení:

Rekurence: \(b_n – 2 b_{n-1} – 3 b_{n-2} = -2\).

Homogenní rovnice:

\(b_n^h – 2 b_{n-1}^h – 3 b_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 2 r – 3 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\).

\(r_1 = 3\), \(r_2 = -1\).

Homogenní řešení:

\(b_n^h = A 3^n + B (-1)^n\).

Partikulární řešení zvolíme konstantní \(b_n^p = C\).

Dosadíme do rovnice:

\(C – 2 C – 3 C = -2 \Rightarrow -4 C = -2 \Rightarrow C = \frac{1}{2}\).

Celkové řešení:

\(b_n = A 3^n + B (-1)^n + \frac{1}{2}\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(b_0 = A + B + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow A + B = \frac{1}{2}\).

\(b_1 = 3 A – B + \frac{1}{2} = 4 \Rightarrow 3 A – B = \frac{7}{2}\).

Sčítáním:

\((A + B) + (3 A – B) = \frac{1}{2} + \frac{7}{2} \Rightarrow 4 A = 4 \Rightarrow A = 1\).

Z první rovnice:

\(1 + B = \frac{1}{2} \Rightarrow B = -\frac{1}{2}\).

Konečný explicitní vzorec:

\(b_n = 3^{n} – \frac{1}{2} (-1)^n + \frac{1}{2}\).

Řešení:

Rovnice: \(c_n – 5 c_{n-1} + 6 c_{n-2} = 4^n\).

Homogenní část:

\(c_n^h – 5 c_{n-1}^h + 6 c_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 5 r + 6 = 0\).

Kořeny:

\(r_1 = 3\), \(r_2 = 2\).

Obecné homogenní řešení:

\(c_n^h = A 3^n + B 2^n\).

Partikulární řešení vzhledem k pravé straně \(4^n\) zvolíme ve tvaru \(c_n^p = C 4^n\).

Dosadíme:

\(C 4^n – 5 C 4^{n-1} + 6 C 4^{n-2} = 4^n\).

Po vydělení \(4^{n-2}\):

\(16 C – 20 C + 6 C = 16\).

\(2 C = 16 \Rightarrow C = 8\).

Celkové řešení:

\(c_n = A 3^n + B 2^n + 8 \cdot 4^n\).

Dosadíme počáteční hodnoty:

\(c_0 = A + B + 8 = 0 \Rightarrow A + B = -8\).

\(c_1 = 3 A + 2 B + 32 = 1 \Rightarrow 3 A + 2 B = -31\).

Řešíme soustavu:

Z první: \(B = -8 – A\).

Dosadíme do druhé:

3 A + 2 (-8 – A) = -31 \Rightarrow 3 A – 16 – 2 A = -31 \Rightarrow A – 16 = -31 \Rightarrow A = -15.

Pak \(B = -8 – (-15) = 7\).

Konečný vzorec:

\(c_n = -15 \cdot 3^n + 7 \cdot 2^n + 8 \cdot 4^n\).

Řešení:

Rekurence: \(a_n – 3 a_{n-1} + 2 a_{n-2} = 4\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(a_n^h – 3 a_{n-1}^h + 2 a_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 3r + 2 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}\), tj.

\(r_1 = 2\), \(r_2 = 1\).

Obecné homogenní řešení:

\(a_n^h = A \cdot 2^{n} + B \cdot 1^{n} = A \cdot 2^{n} + B\).

Pro partikulární řešení zvolíme konstantu \(a_n^p = C\), protože pravá strana je konstantní 4.

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C – 3C + 2C = 4 \Rightarrow 0 = 4\), což neplatí, proto zvolíme lineární tvar \(a_n^p = Dn\).

Dosadíme \(a_n^p = Dn\):

\(Dn – 3D(n-1) + 2D(n-2) = 4\), tj.

\(Dn – 3Dn + 3D + 2Dn – 4D = 4\)

\((D n – 3 D n + 2 D n) + (3 D – 4 D) = 4\)

\(0 \cdot n – D = 4 \Rightarrow -D = 4 \Rightarrow D = -4\).

Partikulární řešení je tedy \(a_n^p = -4n\).

Celkové řešení:

\(a_n = A \cdot 2^{n} + B – 4n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(a_0 = A + B – 0 = 1\),

\(a_1 = 2A + B – 4 = 5\).

Ze první rovnice:

\(A + B = 1\).

Ze druhé rovnice:

\(2A + B = 9\).

Odečteme první od druhé:

\((2A + B) – (A + B) = 9 – 1 \Rightarrow A = 8\).

Dosadíme \(A\) do první rovnice:

\(8 + B = 1 \Rightarrow B = -7\).

Konečný explicitní vzorec:

\(a_n = 8 \cdot 2^{n} – 7 – 4n\).

Řešení:

Rekurence: \(b_n – 2 b_{n-1} – 3 b_{n-2} = n\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(b_n^h – 2 b_{n-1}^h – 3 b_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 2r – 3 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\), tj.

\(r_1 = 3\), \(r_2 = -1\).

Obecné homogenní řešení:

\(b_n^h = A \cdot 3^{n} + B \cdot (-1)^{n}\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(b_n^p = C n + D\), protože pravá strana je lineární \(n\).

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\((C n + D) – 2 (C (n-1) + D) – 3 (C (n-2) + D) = n\).

Rozepíšeme:

\(C n + D – 2C n + 2C – 2D – 3C n + 6C – 3D = n\).

Sjednotíme členy:

\((C n – 2C n – 3C n) + (D + 2C – 2D + 6C – 3D) = n\),

\(-4 C n + (D – 2D – 3D + 2C + 6C) = n\),

\(-4 C n + (-4 D + 8 C) = n\).

Porovnáváme koeficienty:

\(-4 C = 1 \Rightarrow C = -\frac{1}{4}\),

\(-4 D + 8 C = 0 \Rightarrow -4 D + 8 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = 0 \Rightarrow -4 D – 2 = 0 \Rightarrow D = -\frac{1}{2}\).

Partikulární řešení je \(b_n^p = -\frac{1}{4} n – \frac{1}{2}\).

Celkové řešení:

\(b_n = A \cdot 3^{n} + B \cdot (-1)^{n} – \frac{1}{4} n – \frac{1}{2}\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(b_0 = A + B – \frac{1}{2} = 2\),

\(b_1 = 3A – B – \frac{1}{4} – \frac{1}{2} = 3\).

Ze první rovnice:

\(A + B = \frac{5}{2}\).

Ze druhé rovnice:

\(3 A – B = 3 + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}\).

Sčítáme rovnice:

\((A + B) + (3 A – B) = \frac{5}{2} + \frac{15}{4} \Rightarrow 4 A = \frac{10}{4} + \frac{15}{4} = \frac{25}{4} \Rightarrow A = \frac{25}{16}\).

Dosadíme do první rovnice:

\(\frac{25}{16} + B = \frac{5}{2} \Rightarrow B = \frac{5}{2} – \frac{25}{16} = \frac{40}{16} – \frac{25}{16} = \frac{15}{16}\).

Konečný explicitní vzorec:

\(b_n = \frac{25}{16} \cdot 3^{n} + \frac{15}{16} \cdot (-1)^{n} – \frac{1}{4} n – \frac{1}{2}\).

Řešení:

Rekurence: \(c_n – 4 c_{n-1} + 4 c_{n-2} = 2^n\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(c_n^h – 4 c_{n-1}^h + 4 c_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 4r + 4 = 0\).

Kořeny:

\(r = 2\) dvojnásobný kořen.

Obecné homogenní řešení:

\(c_n^h = (A + B n) 2^{n}\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(c_n^p = C n 2^{n}\), protože pravá strana je \(2^n\) a kořen je dvojnásobný.

Dosadíme \(c_n^p = C n 2^{n}\) do rovnice:

Po dosazení a zjednodušení dostaneme:

\(C = \frac{1}{2}\).

Celkové řešení:

\(c_n = (A + B n) 2^{n} + \frac{1}{2} n 2^{n} = 2^{n} (A + B n + \frac{n}{2})\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(c_0 = A = 0\),

\(c_1 = 2 (0 + B \cdot 1 + \frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow 2 (B + \frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow B + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow B = 0\).

Konečný explicitní vzorec:

\(c_n = \frac{n}{2} 2^{n} = n 2^{n-1}\).

Řešení:

Rekurence: \(a_n – 3a_{n-1} + 2a_{n-2} = 4\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(a_n^h – 3a_{n-1}^h + 2a_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 3r + 2 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}\), tj.

\(r_1 = 2\), \(r_2 = 1\).

Obecné homogenní řešení:

\(a_n^h = A \cdot 2^{n} + B \cdot 1^{n} = A \cdot 2^{n} + B\).

Pro partikulární řešení zvolíme konstantu \(a_n^p = C\), protože pravá strana je konstantní 4.

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C – 3C + 2C = 4 \Rightarrow 0 = 4\), což není možné.

Tedy zvolíme partikulární řešení ve tvaru \(a_n^p = D \cdot n\).

Dosadíme:

\(D n – 3 D (n-1) + 2 D (n-2) = 4\).

Po úpravě:

\(D n – 3 D n + 3 D + 2 D n – 4 D = 4 \Rightarrow (D n – 3 D n + 2 D n) + (3 D – 4 D) = 4\).

\(0 \cdot n – D = 4 \Rightarrow -D = 4 \Rightarrow D = -4\).

Celkové řešení:

\(a_n = A \cdot 2^{n} + B – 4 n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(a_0 = A + B = 2\),

\(a_1 = 2A + B – 4 = 5\).

Z druhé rovnice:

\(2A + B = 9\).

Odečteme první od druhé:

\((2A + B) – (A + B) = 9 – 2 \Rightarrow A = 7\).

Dosadíme zpět:

\(7 + B = 2 \Rightarrow B = -5\).

Konečný explicitní vzorec:

\(a_n = 7 \cdot 2^{n} – 5 – 4 n\).

Řešení:

Rekurence: \(b_n – 4 b_{n-1} + 4 b_{n-2} = 3^n\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(b_n^h – 4 b_{n-1}^h + 4 b_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 4 r + 4 = 0\).

Kořeny (dvojité):

\(r_1 = r_2 = 2\).

Obecné homogenní řešení:

\(b_n^h = (A + B n) \cdot 2^{n}\).

Pro partikulární řešení volíme tvar \(b_n^p = C \cdot 3^{n}\), protože pravá strana je \(3^n\) a není kořenem charakteristické rovnice.

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C \cdot 3^n – 4 C \cdot 3^{n-1} + 4 C \cdot 3^{n-2} = 3^{n}\).

Vydělíme \(3^{n-2}\):

\(9 C – 12 C + 4 C = 9\).

\(1 C = 9 \Rightarrow C = 9\).

Celkové řešení:

\(b_n = (A + B n) 2^{n} + 9 \cdot 3^{n}\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(b_0 = A = 1\),

\(b_1 = 2 (A + B) + 27 = 4\).

Dosadíme \(A=1\):

\(2 (1 + B) + 27 = 4 \Rightarrow 2 + 2B + 27 = 4 \Rightarrow 2B = 4 – 29 = -25 \Rightarrow B = -\frac{25}{2}\).

Konečný explicitní vzorec:

\(b_n = \left(1 – \frac{25}{2} n\right) 2^{n} + 9 \cdot 3^{n}\).

Řešení:

Rekurence: \(c_n – 2 c_{n-1} + c_{n-2} = n\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(c_n^h – 2 c_{n-1}^h + c_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 2 r + 1 = 0\).

Kořeny (dvojité):

\(r_1 = r_2 = 1\).

Obecné homogenní řešení:

\(c_n^h = (A + B n) \cdot 1^{n} = A + B n\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(c_n^p = D n + E\), protože pravá strana je lineární funkce \(n\).

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\((D n + E) – 2 (D (n-1) + E) + (D (n-2) + E) = n\).

Po úpravě:

\(D n + E – 2 D n + 2 D – 2 E + D n – 2 D + E = n\).

\((D n – 2 D n + D n) + (E – 2 E + E) + (2 D – 2 D) = n\).

\(0 \cdot n + 0 + 0 = n\), což je \(0 = n\), tedy nesedí.

Zkusíme partikulární řešení vyššího řádu: \(c_n^p = F n^2 + G n + H\).

Dosadíme:

\(F n^2 + G n + H – 2(F (n-1)^2 + G (n-1) + H) + F (n-2)^2 + G (n-2) + H = n\).

Rozepíšeme a po úpravě získáme:

\(2 F = 1 \Rightarrow F = \frac{1}{2}\), \(G = -\frac{1}{2}\), \(H = 0\).

Celkové řešení:

\(c_n = A + B n + \frac{1}{2} n^{2} – \frac{1}{2} n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(c_0 = A = 0\),

\(c_1 = A + B + \frac{1}{2} – \frac{1}{2} = B = 1\).

Konečný explicitní vzorec:

\(c_n = n + \frac{1}{2} n^{2} – \frac{1}{2} n = \frac{n^{2} + n}{2}\).

Řešení:

Rekurence: \(a_n – 3a_{n-1} + 2a_{n-2} = 4\).

Řešíme homogenní rovnici:

\(a_n^h – 3a_{n-1}^h + 2a_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 3r + 2 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}\), tj.

\(r_1 = 2\), \(r_2 = 1\).

Obecné homogenní řešení:

\(a_n^h = A \cdot 2^n + B \cdot 1^n = A \cdot 2^n + B\).

Pro partikulární řešení zvolíme konstantu \(a_n^p = C\), protože pravá strana je konstantní 4.

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C – 3C + 2C = 4 \Rightarrow 0 = 4\), což není pravda, proto volíme lineární tvar \(a_n^p = D n\).

Dosadíme \(D n\) do rovnice:

\(D n – 3 D (n-1) + 2 D (n-2) = 4\).

Po úpravě:

\(D n – 3 D n + 3 D + 2 D n – 4 D = 4 \Rightarrow (D n – 3 D n + 2 D n) + (3 D – 4 D) = 4 \Rightarrow 0 n – D = 4\).

Odtud \( – D = 4 \Rightarrow D = -4\).

Partikulární řešení: \(a_n^p = -4 n\).

Celkové řešení:

\(a_n = A \cdot 2^n + B – 4 n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(a_0 = A + B = 2\),

\(a_1 = 2A + B – 4 = 5\).

Ze první rovnice: \(B = 2 – A\).

Dosadíme do druhé:

\(2A + 2 – A – 4 = 5 \Rightarrow A – 2 = 5 \Rightarrow A = 7\).

Dosadíme \(A\) do první rovnice:

\(7 + B = 2 \Rightarrow B = -5\).

Konečný explicitní vzorec:

\(a_n = 7 \cdot 2^n – 5 – 4 n\).

Řešení:

Rekurence: \(b_n – 2b_{n-1} – b_{n-2} = 3 n\).

Řešíme homogenní rovnici:

\(b_n^h – 2 b_{n-1}^h – b_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 2 r – 1 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\).

Obecné homogenní řešení:

\(b_n^h = A (1 + \sqrt{2})^n + B (1 – \sqrt{2})^n\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(b_n^p = C n + D\), protože pravá strana je lineární funkce \(3 n\).

Dosadíme do rovnice:

\((C n + D) – 2 (C (n-1) + D) – (C (n-2) + D) = 3 n\).

Po rozvinutí:

\(C n + D – 2 C n + 2 C – 2 D – C n + 2 C – D = 3 n\).

Sjednotíme členy:

\(C n – 2 C n – C n + D – 2 D – D + 2 C + 2 C = 3 n\), tedy

\(-2 C n + (D – 3 D) + 4 C = 3 n\),

což je

\(-2 C n – 2 D + 4 C = 3 n\).

Srovnáme koeficienty:

Pro \(n\): \(-2 C = 3 \Rightarrow C = -\frac{3}{2}\).

Pro konstanty: \(-2 D + 4 C = 0 \Rightarrow -2 D + 4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = 0 \Rightarrow -2 D – 6 = 0 \Rightarrow D = -3\).

Partikulární řešení:

\(b_n^p = -\frac{3}{2} n – 3\).

Celkové řešení:

\(b_n = A (1 + \sqrt{2})^n + B (1 – \sqrt{2})^n – \frac{3}{2} n – 3\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(b_0 = A + B – 3 = 1\),

\(b_1 = A (1 + \sqrt{2}) + B (1 – \sqrt{2}) – \frac{3}{2} – 3 = 3\).

Ze první rovnice:

\(A + B = 4\).

Z druhé rovnice:

\(A (1 + \sqrt{2}) + B (1 – \sqrt{2}) = 3 + \frac{3}{2} + 3 = \frac{15}{2}\).

Řešením soustavy lze najít \(A, B\).

Řešení:

Rekurence: \(c_n – 4 c_{n-1} + 4 c_{n-2} = 2^n\).

Řešíme homogenní rovnici:

\(c_n^h – 4 c_{n-1}^h + 4 c_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 4 r + 4 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 16}}{2} = 2\) (dvojitý kořen).

Obecné homogenní řešení:

\(c_n^h = (A + B n) 2^n\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(c_n^p = C n 2^n\), protože pravá strana je \(2^n\) a kořen je dvojnásobný.

Dosadíme do rovnice:

\((C n 2^n) – 4 (C (n-1) 2^{n-1}) + 4 (C (n-2) 2^{n-2}) = 2^n\).

Po úpravě a vydělení \(2^{n-2}\) získáme:

\(4 C n – 8 C (n-1) + 4 C (n-2) = 4\).

Po rozvinutí:

\(4 C n – 8 C n + 8 C + 4 C n – 8 C = 4\).

Sjednocení:

\((4 C n – 8 C n + 4 C n) + (8 C – 8 C) = 4 \Rightarrow 0 n + 0 = 4\), což není pravda.

Proto volíme partikulární řešení tvaru \(c_n^p = D n^2 2^n\).

Dosazení je složitější, ale po výpočtu dostaneme:

\(D = \frac{1}{2}\).

Partikulární řešení:

\(c_n^p = \frac{1}{2} n^2 2^n\).

Celkové řešení:

\(c_n = (A + B n) 2^n + \frac{1}{2} n^2 2^n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(c_0 = A = 0\),

\(c_1 = 2 (A + B) + \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot 2 = 1\).

Odtud:

\(2 B + 1 = 1 \Rightarrow B = 0\).

Konečný explicitní vzorec:

\(c_n = \frac{1}{2} n^2 2^n\).

Řešení:

Rekurence: \(a_n – 3a_{n-1} + 2a_{n-2} = 4\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(a_n^h – 3a_{n-1}^h + 2a_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 3r + 2 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}\), tj.

\(r_1 = 2\), \(r_2 = 1\).

Obecné homogenní řešení:

\(a_n^h = A \cdot 2^{n} + B \cdot 1^{n} = A \cdot 2^{n} + B\).

Pro partikulární řešení zvolíme konstantu \(a_n^p = C\), protože pravá strana je konstantní 4.

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C – 3C + 2C = 4 \Rightarrow 0 = 4\), což není možné.

Tedy partikulární řešení konstantní nefunguje. Zkusíme tvar \(a_n^p = D n\).

Dosadíme do rovnice:

\(D n – 3D (n-1) + 2D (n-2) = 4\), po úpravě:

\(D n – 3D n + 3D + 2D n – 4D = 4 \Rightarrow (D n – 3D n + 2D n) + (3D – 4D) = 4 \Rightarrow 0 n – D = 4 \Rightarrow -D = 4 \Rightarrow D = -4\).

Celkové řešení:

\(a_n = A \cdot 2^{n} + B – 4 n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(a_0 = A + B – 0 = 1\),

\(a_1 = 2 A + B – 4 = 5\).

Ze první rovnice:

\(A + B = 1\).

Ze druhé rovnice:

\(2A + B = 9\).

Odečteme první od druhé:

\(2A + B – (A + B) = 9 – 1 \Rightarrow A = 8\).

Dosadíme \(A\) do první rovnice:

\(8 + B = 1 \Rightarrow B = -7\).

Konečný explicitní vzorec:

\(a_n = 8 \cdot 2^{n} – 7 – 4 n\).

Řešení:

Rekurence: \(b_n – 4b_{n-1} + 4b_{n-2} = 3^n\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(b_n^h – 4b_{n-1}^h + 4b_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 4r + 4 = 0\).

Kořen:

\(r = \frac{4}{2} = 2\), dvojnásobný kořen.

Obecné homogenní řešení:

\(b_n^h = (A + B n) 2^{n}\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(b_n^p = C \cdot 3^{n}\), protože pravá strana je \(3^n\).

Dosadíme do rovnice:

\(C \cdot 3^{n} – 4 C \cdot 3^{n-1} + 4 C \cdot 3^{n-2} = 3^{n}\),

vydělíme \(3^{n-2}\):

\(9 C – 12 C + 4 C = 9\),

\(1 C = 9 \Rightarrow C = 9\).

Celkové řešení:

\(b_n = (A + B n) 2^{n} + 9 \cdot 3^{n}\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(b_0 = A + 0 + 9 = 0 \Rightarrow A + 9 = 0 \Rightarrow A = -9\),

\(b_1 = (A + B) 2 + 9 \cdot 3 = 2\).

Dosadíme \(A = -9\):

\((-9 + B) 2 + 27 = 2 \Rightarrow -18 + 2 B + 27 = 2 \Rightarrow 2 B + 9 = 2 \Rightarrow 2 B = -7 \Rightarrow B = -\frac{7}{2}\).

Konečný explicitní vzorec:

\(b_n = \left(-9 – \frac{7}{2} n\right) 2^{n} + 9 \cdot 3^{n}\).

Řešení:

Rekurence: \(c_n – 2c_{n-1} – c_{n-2} = (-1)^n\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(c_n^h – 2c_{n-1}^h – c_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 2r – 1 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\).

Obecné homogenní řešení:

\(c_n^h = A (1 + \sqrt{2})^{n} + B (1 – \sqrt{2})^{n}\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(c_n^p = C (-1)^n\), protože pravá strana je \((-1)^n\).

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C (-1)^n – 2 C (-1)^{n-1} – C (-1)^{n-2} = (-1)^n\),

vydělíme \((-1)^n\):

\(C – 2 C (-1)^{-1} – C (-1)^{-2} = 1 \Rightarrow C + 2 C – C = 1 \Rightarrow 2 C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2}\).

Celkové řešení:

\(c_n = A (1 + \sqrt{2})^{n} + B (1 – \sqrt{2})^{n} + \frac{1}{2} (-1)^n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(c_0 = A + B + \frac{1}{2} = 2\),

\(c_1 = A (1 + \sqrt{2}) + B (1 – \sqrt{2}) – \frac{1}{2} = 3\).

Ze první rovnice:

\(A + B = \frac{3}{2}\).

Dosadíme do druhé rovnice a vyřešíme soustavu (pomocí substituce nebo Cramerova pravidla):

Výsledkem je:

\(A = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}\), \(B = \frac{3 – 2 \sqrt{2}}{4}\).

Konečný explicitní vzorec:

\(c_n = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4} (1 + \sqrt{2})^{n} + \frac{3 – 2 \sqrt{2}}{4} (1 – \sqrt{2})^{n} + \frac{1}{2} (-1)^n\).

Řešení:

Rekurence: \(a_n – 3 a_{n-1} + 2 a_{n-2} = 4\).

Řešíme homogenní rovnici:

\(a_n^h – 3 a_{n-1}^h + 2 a_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 3r + 2 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}\), tj.

\(r_1 = 2\), \(r_2 = 1\).

Obecné homogenní řešení:

\(a_n^h = A \cdot 2^n + B \cdot 1^n = A \cdot 2^n + B\).

Pro partikulární řešení zvolíme konstantu \(a_n^p = C\), protože pravá strana je konstantní 4.

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C – 3C + 2C = 4 \Rightarrow 0 = 4\), což neplatí, proto hledáme partikulární řešení ve tvaru \(C n\).

Zvolíme tedy \(a_n^p = C n\).

Dosadíme:

\(C n – 3 C (n-1) + 2 C (n-2) = 4\).

Úprava:

\(C n – 3 C n + 3 C + 2 C n – 4 C = 4\).

\((C n – 3 C n + 2 C n) + (3 C – 4 C) = 4\).

\(0 \cdot n – C = 4 \Rightarrow -C = 4 \Rightarrow C = -4\).

Celkové řešení:

\(a_n = A \cdot 2^n + B – 4 n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(a_0 = A + B = 1\),

\(a_1 = 2 A + B – 4 = 5\).

Ze první rovnice:

\(B = 1 – A\).

Dosadíme do druhé rovnice:

\(2A + (1 – A) – 4 = 5 \Rightarrow A – 3 = 5 \Rightarrow A = 8\).

Pak:

\(B = 1 – 8 = -7\).

Konečný explicitní vzorec:

\(a_n = 8 \cdot 2^n – 7 – 4 n\).

Řešení:

Rekurence: \(b_n – 2 b_{n-1} – b_{n-2} = 3^n\).

Řešíme homogenní rovnici:

\(b_n^h – 2 b_{n-1}^h – b_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 2 r – 1 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\).

Obecné homogenní řešení:

\(b_n^h = A (1 + \sqrt{2})^n + B (1 – \sqrt{2})^n\).

Pro partikulární řešení volíme tvar \(b_n^p = C \cdot 3^n\).

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C 3^n – 2 C 3^{n-1} – C 3^{n-2} = 3^n\).

Dělíme obě strany \(3^{n-2}\):

\(9C – 6C – C = 9\), tedy

\(2 C = 9 \Rightarrow C = \frac{9}{2}\).

Celkové řešení:

\(b_n = A (1 + \sqrt{2})^n + B (1 – \sqrt{2})^n + \frac{9}{2} \cdot 3^n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(b_0 = A + B + \frac{9}{2} = 0 \Rightarrow A + B = -\frac{9}{2}\).

\(b_1 = A(1 + \sqrt{2}) + B(1 – \sqrt{2}) + \frac{27}{2} = 1\).

Řešíme soustavu:

\(A + B = -\frac{9}{2}\),

\(A(1 + \sqrt{2}) + B(1 – \sqrt{2}) = 1 – \frac{27}{2} = -\frac{25}{2}\).

Vyřešení soustavy vede k hodnotám \(A\) a \(B\).

Řešení:

Rekurence: \(c_n – 4 c_{n-1} + 4 c_{n-2} = n\).

Řešíme homogenní rovnici:

\(c_n^h – 4 c_{n-1}^h + 4 c_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 4 r + 4 = 0\).

Kořeny:

\(r = 2\) dvojnásobný kořen.

Obecné homogenní řešení:

\(c_n^h = (A + B n) 2^n\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(c_n^p = C n + D\), protože pravá strana je lineární funkce \(n\).

Dosadíme do rovnice:

\((C n + D) – 4 (C (n-1) + D) + 4 (C (n-2) + D) = n\).

Po úpravě získáme soustavu pro \(C\) a \(D\).

Řešením je \(C = 1\), \(D = 4\).

Celkové řešení:

\(c_n = (A + B n) 2^n + n + 4\).

Dosadíme počáteční podmínky pro nalezení \(A\) a \(B\).

Řešení:

Rekurence: \(e_n – 5 e_{n-1} + 6 e_{n-2} = 2^n\).

Řešíme homogenní rovnici:

\(e_n^h – 5 e_{n-1}^h + 6 e_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 5 r + 6 = 0\).

Kořeny:

\(r_1 = 2\), \(r_2 = 3\).

Obecné homogenní řešení:

\(e_n^h = A 2^n + B 3^n\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(e_n^p = C n 2^n\), protože \(2^n\) je řešením homogenní rovnice.

Dosadíme do rovnice, najdeme \(C\).

Celkové řešení je ve tvaru \(e_n = A 2^n + B 3^n + C n 2^n\).

Dosadíme počáteční podmínky pro určení \(A\) a \(B\).

Řešení:

Rekurence: \(a_n – 3 a_{n-1} + 2 a_{n-2} = 4\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(a_n^h – 3 a_{n-1}^h + 2 a_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 3r + 2 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}\), tj.

\(r_1 = 2\), \(r_2 = 1\).

Obecné homogenní řešení:

\(a_n^h = A \cdot 2^{n} + B \cdot 1^{n} = A \cdot 2^{n} + B\).

Pro partikulární řešení zvolíme konstantu \(a_n^p = C\), protože pravá strana je konstantní 4.

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C – 3C + 2C = 4 \Rightarrow 0 = 4\).

To není možné, proto zvolíme partikulární řešení ve tvaru \(a_n^p = D n\).

Dosadíme do rovnice:

\(D n – 3 D (n-1) + 2 D (n-2) = 4\).

Po úpravě dostaneme:

\(D n – 3 D n + 3 D + 2 D n – 4 D = 4 \Rightarrow (D n – 3 D n + 2 D n) + (3 D – 4 D) = 4\).

\( (0) n + (-D) = 4 \Rightarrow -D = 4 \Rightarrow D = -4\).

Celkové řešení:

\(a_n = A \cdot 2^{n} + B – 4 n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(a_0 = A + B = 1\),

\(a_1 = 2A + B – 4 = 3\).

Ze první rovnice:

\(A + B = 1\).

Ze druhé rovnice:

\(2A + B = 7\).

Odečteme první od druhé:

\((2A + B) – (A + B) = 7 – 1 \Rightarrow A = 6\).

Dosadíme \(A\) do první rovnice:

\(6 + B = 1 \Rightarrow B = -5\).

Konečný explicitní vzorec:

\(a_n = 6 \cdot 2^{n} – 5 – 4 n\).

Řešení:

Rekurence: \(b_n – 4 b_{n-1} + 4 b_{n-2} = 3^{n}\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(b_n^h – 4 b_{n-1}^h + 4 b_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 4 r + 4 = 0\).

Kořen dvojnásobný:

\(r = 2\).

Obecné homogenní řešení:

\(b_n^h = (A + B n) 2^{n}\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(b_n^p = C \cdot 3^{n}\), protože pravá strana je \(3^n\).

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C 3^{n} – 4 C 3^{n-1} + 4 C 3^{n-2} = 3^{n}\).

Dělíme rovnicí \(3^{n-2}\):

\(9 C – 12 C + 4 C = 9\).

\( (9 – 12 + 4) C = 9 \Rightarrow 1 C = 9 \Rightarrow C = 9\).

Celkové řešení:

\(b_n = (A + B n) 2^{n} + 9 \cdot 3^{n}\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(b_0 = A + 0 + 9 = 0 \Rightarrow A + 9 = 0 \Rightarrow A = -9\),

\(b_1 = (A + B) 2 + 27 = 2 (A + B) + 27 = 2(-9 + B) + 27 = 2B + 9 = 2\).

Rovnice pro \(B\):

\(2 B + 9 = 2 \Rightarrow 2 B = -7 \Rightarrow B = -\frac{7}{2}\).

Konečný explicitní vzorec:

\(b_n = \left(-9 – \frac{7}{2} n \right) 2^{n} + 9 \cdot 3^{n}\).

Řešení:

Rekurence: \(c_n – 5 c_{n-1} + 6 c_{n-2} = n\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(c_n^h – 5 c_{n-1}^h + 6 c_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 5 r + 6 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\), tj.

\(r_1 = 3\), \(r_2 = 2\).

Obecné homogenní řešení:

\(c_n^h = A \cdot 3^{n} + B \cdot 2^{n}\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(c_n^p = D n + E\), protože pravá strana je lineární.

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\((D n + E) – 5 (D (n-1) + E) + 6 (D (n-2) + E) = n\).

Po úpravě:

\(D n + E – 5 D n + 5 D – 5 E + 6 D n – 12 D + 6 E = n\).

Sečteme koeficienty:

\((D – 5 D + 6 D) n + (E + 5 D – 5 E – 12 D + 6 E) = n\).

\(2 D n + (-4 E – 7 D) = n\).

Srovnáme koeficienty:

Pro \(n\): \(2 D = 1 \Rightarrow D = \frac{1}{2}\).

Pro konstantu: \(-4 E – 7 D = 0 \Rightarrow -4 E = 7 D = \frac{7}{2} \Rightarrow E = -\frac{7}{8}\).

Celkové řešení:

\(c_n = A \cdot 3^{n} + B \cdot 2^{n} + \frac{1}{2} n – \frac{7}{8}\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(c_0 = A + B – \frac{7}{8} = 2\),

\(c_1 = 3 A + 2 B + \frac{1}{2} – \frac{7}{8} = 7\).

První rovnice:

\(A + B = 2 + \frac{7}{8} = \frac{23}{8}\).

Druhá rovnice:

\(3 A + 2 B = 7 – \frac{1}{2} + \frac{7}{8} = \frac{57}{8}\).

Řešíme soustavu:

\(A + B = \frac{23}{8}\),

\(3 A + 2 B = \frac{57}{8}\).

Vynásobíme první rovnice dvěma:

\(2 A + 2 B = \frac{46}{8}\).

Odečteme od druhé rovnice:

\((3 A + 2 B) – (2 A + 2 B) = \frac{57}{8} – \frac{46}{8} \Rightarrow A = \frac{11}{8}\).

Dosadíme \(A\) do první rovnice:

\(\frac{11}{8} + B = \frac{23}{8} \Rightarrow B = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\).

Konečný explicitní vzorec:

\(c_n = \frac{11}{8} \cdot 3^{n} + \frac{3}{2} \cdot 2^{n} + \frac{1}{2} n – \frac{7}{8}\).

Řešení:

Rekurence: \(a_n – 3a_{n-1} + 2a_{n-2} = 4\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(a_n^h – 3a_{n-1}^h + 2a_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 3r + 2 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}\), tj.

\(r_1 = 2\), \(r_2 = 1\).

Obecné homogenní řešení:

\(a_n^h = A \cdot 2^{n} + B \cdot 1^{n} = A \cdot 2^{n} + B\).

Pro partikulární řešení zvolíme konstantu \(a_n^p = C\), protože pravá strana je konstantní 4.

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C – 3C + 2C = 4 \Rightarrow 0 = 4\), což není možné, proto volíme partikulární řešení ve tvaru \(C \cdot n\).

Zvolme \(a_n^p = Cn\), dosadíme:

\(Cn – 3C(n-1) + 2C(n-2) = 4\).

Úprava:

\(Cn – 3Cn + 3C + 2Cn – 4C = 4 \Rightarrow (C n – 3C n + 2C n) + (3C – 4C) = 4 \Rightarrow 0 \cdot n – C = 4 \Rightarrow -C = 4 \Rightarrow C = -4\).

Celkové řešení:

\(a_n = A \cdot 2^{n} + B – 4 n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(a_0 = A + B = 2\),

\(a_1 = 2A + B – 4 = 5\).

Ze druhé rovnice:

\(2A + B = 9\).

Dosadíme z první: \(B = 2 – A\),

\(2A + 2 – A = 9 \Rightarrow A + 2 = 9 \Rightarrow A = 7\).

Potom \(B = 2 – 7 = -5\).

Konečný explicitní vzorec:

\(a_n = 7 \cdot 2^{n} – 5 – 4 n\).

Řešení:

Rekurence: \(b_n – 4b_{n-1} + 4b_{n-2} = n\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(b_n^h – 4b_{n-1}^h + 4b_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 4r + 4 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 16}}{2} = \frac{4}{2} = 2\) (dvojitý kořen).

Obecné homogenní řešení:

\(b_n^h = (A + B n) \cdot 2^{n}\).

Pro partikulární řešení zvolíme tvar \(b_n^p = C n + D\), protože pravá strana je \(n\).

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\((C n + D) – 4 (C (n-1) + D) + 4 (C (n-2) + D) = n\).

Úprava:

\(C n + D – 4C n + 4C – 4D + 4C n – 8C + 4D = n\).

Sčítáme členy:

\(C n – 4C n + 4C n + D – 4D + 4D + 4C – 8C = n\).

\(C n + (D – 4D + 4D) + (4C – 8C) = n \Rightarrow C n + D – 4D + 4D – 4C = n\).

Úprava konstantních členů:

\(C n + D – 4D + 4D – 4C = C n + D – 4C\).

Porovnáme koeficienty:

\(C n + D – 4C = n\).

Pro členy s \(n\): \(C = 1\).

Pro konstanty: \(D – 4C = 0 \Rightarrow D = 4\).

Celkové řešení:

\(b_n = (A + B n) 2^{n} + n + 4\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(b_0 = A = 1\),

\(b_1 = 2 (A + B) + 1 + 4 = 3\).

\(2 (1 + B) + 5 = 3 \Rightarrow 2 + 2 B + 5 = 3 \Rightarrow 2 B + 7 = 3 \Rightarrow 2 B = -4 \Rightarrow B = -2\).

Konečný explicitní vzorec:

\(b_n = (1 – 2 n) 2^{n} + n + 4\).

Řešení:

Rekurence: \(c_n – 2 c_{n-1} – 3 c_{n-2} = 2^n\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(c_n^h – 2 c_{n-1}^h – 3 c_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 2 r – 3 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\), tj.

\(r_1 = 3\), \(r_2 = -1\).

Obecné homogenní řešení:

\(c_n^h = A \cdot 3^{n} + B \cdot (-1)^{n}\).

Pro partikulární řešení vzhledem k pravé straně \(2^n\) zvolíme tvar \(c_n^p = C \cdot 2^{n}\).

Dosadíme do rovnice:

\(C \cdot 2^{n} – 2 C \cdot 2^{n-1} – 3 C \cdot 2^{n-2} = 2^{n}\).

Vydělíme \(2^{n-2}\):

\(4C – 2 \cdot 2 C – 3 C = 4\).

\(4C – 4C – 3C = 4 \Rightarrow -3C = 4 \Rightarrow C = -\frac{4}{3}\).

Celkové řešení:

\(c_n = A \cdot 3^{n} + B \cdot (-1)^{n} – \frac{4}{3} \cdot 2^{n}\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(c_0 = A + B – \frac{4}{3} = 0\),

\(c_1 = 3A – B – \frac{8}{3} = 1\).

První rovnice:

\(A + B = \frac{4}{3}\).

Druhá rovnice:

\(3A – B = \frac{11}{3}\).

Sčítáme obě rovnice:

\(4A = 5 \Rightarrow A = \frac{5}{4}\).

Dosadíme do první rovnice:

\(\frac{5}{4} + B = \frac{4}{3} \Rightarrow B = \frac{4}{3} – \frac{5}{4} = \frac{16}{12} – \frac{15}{12} = \frac{1}{12}\).

Konečný explicitní vzorec:

\(c_n = \frac{5}{4} \cdot 3^{n} + \frac{1}{12} \cdot (-1)^{n} – \frac{4}{3} \cdot 2^{n}\).

Řešení:

Rekurence: \(a_n – 3a_{n-1} + 2a_{n-2} = 4\).

Řešíme homogenní rovnici:

\(a_n^h – 3a_{n-1}^h + 2a_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 3r + 2 = 0\).

Kořeny:

\(r = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}\), tj.

\(r_1 = 2\), \(r_2 = 1\).

Obecné homogenní řešení:

\(a_n^h = A \cdot 2^{n} + B \cdot 1^{n} = A \cdot 2^{n} + B\).

Pro partikulární řešení zvolíme konstantu \(a_n^p = C\), protože pravá strana je konstantní 4.

Dosadíme do rovnice:

\(C – 3C + 2C = 4 \Rightarrow 0 = 4\), což je nesmysl, tedy musíme zkusit tvar \(a_n^p = D \cdot n\).

Dosadíme \(a_n^p = Dn\):

\(D n – 3 D (n-1) + 2 D (n-2) = 4\).

Po úpravě:

\(D n – 3D n + 3D + 2D n – 4D = 4 \Rightarrow (D n – 3 D n + 2 D n) + (3D – 4D) = 4\).

\(0 \cdot n – D = 4 \Rightarrow -D = 4 \Rightarrow D = -4\).

Partikulární řešení: \(a_n^p = -4 n\).

Celkové řešení:

\(a_n = A \cdot 2^{n} + B – 4 n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(a_0 = A + B – 0 = 2\),

\(a_1 = 2A + B – 4 = 5\).

První rovnice: \(A + B = 2\).

Druhá rovnice: \(2A + B = 9\).

Odečteme první od druhé:

\(2A + B – (A + B) = 9 – 2 \Rightarrow A = 7\).

Dosadíme \(A\) do první rovnice:

\(7 + B = 2 \Rightarrow B = -5\).

Konečný explicitní vzorec:

\(a_n = 7 \cdot 2^{n} – 5 – 4 n\).

Řešení:

Rekurence: \(b_n – 4 b_{n-1} + 4 b_{n-2} = 3^n\).

Homogenní rovnice:

\(b_n^h – 4 b_{n-1}^h + 4 b_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 4r + 4 = 0\).

Kořen s násobností 2:

\(r = 2\).

Obecné homogenní řešení:

\(b_n^h = (A + B n) 2^{n}\).

Pro partikulární řešení zkusíme tvar \(b_n^p = C \cdot 3^{n}\), protože pravá strana je \(3^n\).

Dosadíme do rovnice:

\(C 3^{n} – 4 C 3^{n-1} + 4 C 3^{n-2} = 3^{n}\).

Vydělíme \(3^{n-2}\):

\(9 C – 12 C + 4 C = 9\).

\(1 C = 9\), tedy \(C = 9\).

Partikulární řešení:

\(b_n^p = 9 \cdot 3^{n}\).

Celkové řešení:

\(b_n = (A + B n) 2^{n} + 9 \cdot 3^{n}\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(b_0 = A + 0 + 9 = 1 \Rightarrow A + 9 = 1 \Rightarrow A = -8\).

\(b_1 = (A + B) 2 + 27 = 7 \Rightarrow 2 (A + B) + 27 = 7\).

Dosadíme \(A\):

\(2 (-8 + B) + 27 = 7 \Rightarrow -16 + 2B + 27 = 7 \Rightarrow 2B + 11 = 7 \Rightarrow 2B = -4 \Rightarrow B = -2\).

Konečný explicitní vzorec:

\(b_n = (-8 – 2 n) 2^{n} + 9 \cdot 3^{n}\).

Řešení:

Rekurence: \(c_n – 5 c_{n-1} + 6 c_{n-2} = 2^n\).

Homogenní rovnice:

\(c_n^h – 5 c_{n-1}^h + 6 c_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 5 r + 6 = 0\).

Kořeny:

\(r_1 = 2\), \(r_2 = 3\).

Obecné homogenní řešení:

\(c_n^h = A 2^{n} + B 3^{n}\).

Partikulární řešení zkusíme ve tvaru \(c_n^p = C n 2^{n}\), protože \(2^n\) je kořen homogenní rovnice.

Dosadíme do rovnice a najdeme \(C\):

(Postup je standardní, vynecháme detailní rozklad kvůli délce.)

Výsledek: \(C = 1\).

Celkové řešení:

\(c_n = A 2^{n} + B 3^{n} + n 2^{n}\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(c_0 = A + B + 0 = 0\),

\(c_1 = 2 A + 3 B + 2 = 3\).

První rovnice: \(A + B = 0\).

Druhá rovnice: \(2 A + 3 B = 1\).

Z první vyjádříme \(A = -B\), dosadíme:

\(2(-B) + 3 B = 1 \Rightarrow -2 B + 3 B = 1 \Rightarrow B = 1\).

Pak \(A = -1\).

Konečný explicitní vzorec:

\(c_n = – 2^{n} + 3^{n} + n 2^{n}\).

Řešení:

Rekurence: \(x_n – 2 x_{n-1} – x_{n-2} = (-1)^n\).

Homogenní rovnice:

\(x_n^h – 2 x_{n-1}^h – x_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 2 r – 1 = 0\).

Kořeny:

\(r = 1 \pm \sqrt{2}\).

Obecné homogenní řešení:

\(x_n^h = A (1 + \sqrt{2})^{n} + B (1 – \sqrt{2})^{n}\).

Pro pravou stranu ve tvaru \( (-1)^n = (-1)^n \) zkusíme partikulární řešení \(x_n^p = C (-1)^n\).

Dosadíme do rovnice:

\(C (-1)^n – 2 C (-1)^{n-1} – C (-1)^{n-2} = (-1)^n\).

Úprava:

\(C (-1)^n + 2 C (-1)^n – C (-1)^n = (-1)^n \Rightarrow 2 C (-1)^n = (-1)^n\).

\(2 C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2}\).

Celkové řešení:

\(x_n = A (1 + \sqrt{2})^{n} + B (1 – \sqrt{2})^{n} + \frac{1}{2} (-1)^n\).

Dosadíme počáteční podmínky:

\(x_0 = A + B + \frac{1}{2} = 1\),

\(x_1 = A (1 + \sqrt{2}) + B (1 – \sqrt{2}) – \frac{1}{2} = 0\).

Řešení soustavy pro \(A\), \(B\) je standardní.

Řešení:

Rekurence: \(r_n – 4r_{n-1} + 4r_{n-2} = 2^n\).

Nejprve řešíme homogenní rovnici:

\(r_n^h – 4r_{n-1}^h + 4r_{n-2}^h = 0\).

Charakteristická rovnice:

\(r^2 – 4r + 4 = 0\).

Kořen (dvojnásobný):

\(r = 2\).

Obecné homogenní řešení:

\(r_n^h = A \cdot 2^n + B \cdot n \cdot 2^n\).

Partikulární řešení zvolíme jako \(r_n^p = C \cdot 2^n\), protože pravá strana je \(2^n\), které není řešením homogenní rovnice.

Dosadíme do nehomogenní rovnice:

\(C \cdot 2^n – 4C \cdot 2^{n-1} + 4C \cdot 2^{n-2} = 2^n\).

Úprava:

\(2^n(C – 2C + C) = 2^n \Rightarrow 0 = 2^n\) → spor.

Zkusíme tvar \(r_n^p = Cn \cdot 2^n\).

Dosazení a úprava ukáže \(C = \frac{1}{2}\).

Celkové řešení:

\(r_n = A \cdot 2^n + Bn \cdot 2^n + \frac{1}{2}n \cdot 2^n = (A + Bn + \frac{n}{2})2^n\).

Dosadíme podmínky:

\(r_0 = A = 1\),

\(r_1 = (1 + B + \frac{1}{2}) \cdot 2 = 6 \Rightarrow B = \frac{3}{2}\).

Konečný vzorec:

\(r_n = \left(1 + \frac{3}{2}n + \frac{n}{2} \right) \cdot 2^n = (1 + 2n) \cdot 2^n\).

Řešení:

Homogenní část: \(s_n – 5s_{n-1} + 6s_{n-2} = 0\).

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 5r + 6 = 0\).

Kořeny: \(r = 2\), \(r = 3\).

Obecné řešení: \(s_n^h = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n\).

Partikulární řešení: \(s_n^p = C\), protože pravá strana je konstanta.

Dosazení: \(C – 5C + 6C = 3 \Rightarrow 2C = 3 \Rightarrow C = \frac{3}{2}\).

Celkové řešení: \(s_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n + \frac{3}{2}\).

Podmínky:

\(s_0 = A + B + \frac{3}{2} = 2\),

\(s_1 = 2A + 3B + \frac{3}{2} = 8\).

Řešení soustavy:

\(A + B = \frac{1}{2}\),

\(2A + 3B = \frac{13}{2}\).

Odečtením: \(2A + 3B – 2(A + B) = \frac{13}{2} – 1 \Rightarrow B = \frac{5}{2}\), \(A = -2\).

Výsledek: \(s_n = -2 \cdot 2^n + \frac{5}{2} \cdot 3^n + \frac{3}{2}\).

Řešení:

Tato rekurence je lineární nehomogenní 1. řádu.

Homogenní část: \(t_n^h = A \cdot 3^n\).

Partikulární řešení zkusíme ve tvaru \(t_n^p = B \cdot 2^n\).

Dosazení: \(B \cdot 2^n = 3B \cdot 2^{n-1} + 2^n \Rightarrow B = \frac{3}{2}B + 1\).

\(\Rightarrow B – \frac{3}{2}B = 1 \Rightarrow -\frac{1}{2}B = 1 \Rightarrow B = -2\).

Celkové řešení: \(t_n = A \cdot 3^n – 2 \cdot 2^n\).

Dosazení \(t_0 = A – 2 = 1 \Rightarrow A = 3\).

Výsledek: \(t_n = 3 \cdot 3^n – 2 \cdot 2^n\).

Řešení:

Jedná se o lineární rekurenci 1. řádu s nehomogenním členem \(3n\).

Nejprve řešíme homogenní část: \(u_n^h = A \cdot 2^n\).

Partikulární řešení zkusíme ve tvaru \(u_n^p = an + b\).

Dosadíme do rekurence:

\(an + b = 2(a(n – 1) + b) + 3n\)

\(an + b = 2a(n – 1) + 2b + 3n = 2an – 2a + 2b + 3n\)

Srovnáním obou stran:

Levá: \(an + b\), Pravá: \(2an + 3n + 2b – 2a\)

Srovnáme koeficienty:

\(a = 2a + 3 \Rightarrow -a = 3 \Rightarrow a = -3\)

\(b = 2b – 2a \Rightarrow b = 2b + 6 \Rightarrow -b = 6 \Rightarrow b = -6\)

Partikulární řešení: \(u_n^p = -3n – 6\)

Obecné řešení: \(u_n = A \cdot 2^n – 3n – 6\)

Dosadíme počáteční podmínku: \(u_0 = A – 0 – 6 = 0 \Rightarrow A = 6\)

Výsledný vzorec: \(u_n = 6 \cdot 2^n – 3n – 6\)

Řešení:

Jedná se o lineární homogenní rekurenci 2. řádu:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – r – 2 = 0\)

Kořeny: \(r = 2\), \(r = -1\)

Obecné řešení: \(v_n = A \cdot 2^n + B \cdot (-1)^n\)

Dosadíme podmínky:

\(v_0 = A + B = 2\)

\(v_1 = 2A – B = 5\)

Řešíme soustavu:

Z první: \(B = 2 – A\)

Druhá: \(2A – (2 – A) = 5 \Rightarrow 2A – 2 + A = 5 \Rightarrow 3A = 7 \Rightarrow A = \frac{7}{3}\)

\(B = 2 – \frac{7}{3} = -\frac{1}{3}\)

Výsledek: \(v_n = \frac{7}{3} \cdot 2^n – \frac{1}{3} \cdot (-1)^n\)

Řešení:

Homogenní rovnice: \(r^2 – 4r + 4 = 0\), kořen \(r = 2\) dvojnásobný

Homogenní řešení: \(a_n^h = A \cdot 2^n + Bn \cdot 2^n\)

Partikulární: \(a_n^p = Cn + D\)

Dosadíme do rovnice a porovnáme koeficienty → výsledkem je \(C = 1\), \(D = 2\)

Celkové řešení: \(a_n = A \cdot 2^n + Bn \cdot 2^n + n + 2\)

Dosadíme podmínky a vyřešíme soustavu → dostaneme \(A = -2\), \(B = 0\)

Výsledek: \(a_n = -2 \cdot 2^n + n + 2\)

Řešení:

Nejprve homogenní rovnice: \(r^2 – 2r – 3 = 0 \Rightarrow r = 3, -1\)

Obecné homogenní řešení: \(b_n^h = A \cdot 3^n + B \cdot (-1)^n\)

Nehomogenní člen je také \((-1)^n\), což je součást homogenního řešení → partikulární řešení zvolíme jako \(Cn \cdot (-1)^n\)

Dosazením zjistíme \(C = \frac{1}{2}\)

Celkové řešení: \(b_n = A \cdot 3^n + B \cdot (-1)^n + \frac{1}{2}n \cdot (-1)^n\)

Dosazením podmínek \(b_0 = A + B = 0\), \(b_1 = 3A – B – \frac{1}{2} = 1\)

Řešením dostaneme \(A = \frac{3}{8}, B = -\frac{3}{8}\)

Výsledný vzorec: \(b_n = \frac{3}{8} \cdot 3^n – \frac{3}{8} \cdot (-1)^n + \frac{1}{2}n \cdot (-1)^n\)

Řešení:

Jedná se o rekurenci typu: nový člen = předchozí + n²

Taková rekurence má řešení: \(c_n = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Zkontrolujeme: \(c_0 = 0\), \(c_1 = 1\), \(c_2 = 1 + 4 = 5\), \(c_3 = 5 + 9 = 14\), což odpovídá vzorci

Výsledek: \(c_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Řešení:

Homogenní rekurence druhého řádu: \(u_n = 5u_{n-1} – 6u_{n-2}\)

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 5r + 6 = 0\)

Kořeny: \(r_1 = 2\), \(r_2 = 3\)

Obecné řešení: \(u_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n\)

Dosazení podmínek:

\(u_0 = A + B = 1\)

\(u_1 = 2A + 3B = 4\)

Řešíme soustavu:

Odečteme: \(2A + 3B – 2(A + B) = 4 – 2 \cdot 1 = 2 \Rightarrow B = 2\)

Pak \(A = 1 – B = -1\)

Výsledný vzorec: \(u_n = -1 \cdot 2^n + 2 \cdot 3^n\)

Řešení:

Toto je lineární rekurence prvního řádu s nehomogenním členem:

Homogenní část: \(v_n^h = A \cdot 2^n\)

Partikulární řešení: konstantní – zkusíme \(v_n^p = c\)

Dosazení: \(c = 2c + 1 \Rightarrow -c = 1 \Rightarrow c = -1\)

Obecné řešení: \(v_n = A \cdot 2^n – 1\)

Dosazení: \(v_0 = A – 1 = 0 \Rightarrow A = 1\)

Výsledek: \(v_n = 2^n – 1\)

Řešení:

Jedná se o Fibonacciho typ rekurence:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – r – 1 = 0\)

Kořeny: \(r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} = \varphi, \psi\)

Obecné řešení: \(a_n = A \cdot \varphi^n + B \cdot \psi^n\)

Kde \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), \(\psi = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}\)

Dosadíme počáteční podmínky a řešíme soustavu (nebo použijeme standardní vzorec):

Výsledný explicitní vzorec:

\[ a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ (3 – \varphi) \cdot \varphi^n + (\varphi – 2) \cdot \psi^n \right] \]

(Možno upravit do tvaru pomocí konkrétních čísel.)

Řešení:

Lineární rekurence prvního řádu s konstantním nehomogenním členem:

Homogenní: \(b_n^h = A \cdot 3^n\)

Partikulární řešení: \(b_n^p = c\)

Dosazení: \(c = 3c + 4 \Rightarrow -2c = 4 \Rightarrow c = -2\)

Celkové řešení: \(b_n = A \cdot 3^n – 2\)

Dosadíme počáteční podmínku: \(b_0 = A – 2 = 2 \Rightarrow A = 4\)

Výsledný vzorec: \(b_n = 4 \cdot 3^n – 2\)

Řešení:

Rozpoznáme, že \(2n + 1 = (n+1)^2 – n^2\), tedy rozdíl čtverců → jde o sumu lichých čísel.

Rekurence tedy generuje čtverce:

\(c_1 = 0 + 3 = 3\), \(c_2 = 3 + 5 = 8\), \(c_3 = 8 + 7 = 15\), \(c_4 = 15 + 9 = 24\), atd.

Najdeme vzorec pomocí sumace: \(\sum_{k=1}^n (2k + 1) = n(n + 2)\)

Zkontrolujeme: \(c_1 = 1 \cdot 3 = 3\), \(c_2 = 2 \cdot 4 = 8\), \(c_3 = 3 \cdot 5 = 15\), atd.

Výsledek: \(c_n = n(n + 2)\)

Řešení:

Jedná se o lineární nehomogenní rekurenci druhého řádu.

Homogenní část: \(u_n^h = 2u_{n-1}^h – u_{n-2}^h\)

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 2r + 1 = 0\)

Kořen: \(r = 1\) dvojnásobný

Obecné řešení homogenní části: \(u_n^h = A \cdot 1^n + B \cdot n \cdot 1^n = A + Bn\)

Partikulární řešení zkusíme ve tvaru \(u_n^p = C \cdot 3^n\)

Dosazení do rekurence:

\(C \cdot 3^n = 2C \cdot 3^{n-1} – C \cdot 3^{n-2} + 3^n\)

Obě strany dělené \(3^{n-2}\):

\(C \cdot 9 = 2C \cdot 3 – C + 9\)

\(9C = 6C – C + 9 \Rightarrow 4C = 9 \Rightarrow C = \frac{9}{4}\)

Celkové řešení: \(u_n = A + Bn + \frac{9}{4} \cdot 3^n\)

Dosadíme počáteční podmínky:

\(u_0 = A + 0 + \frac{9}{4} = 0 \Rightarrow A = -\frac{9}{4}\)

\(u_1 = -\frac{9}{4} + B + \frac{27}{4} = 2 \Rightarrow B = 2 – \frac{18}{4} = -\frac{1}{2}\)

Výsledný vzorec: \(u_n = -\frac{9}{4} – \frac{1}{2}n + \frac{9}{4} \cdot 3^n\)

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 4r + 4 = 0 \Rightarrow (r – 2)^2 = 0\)

Dvojnásobný kořen: \(r = 2\)

Obecné řešení: \(a_n = A \cdot 2^n + B \cdot n \cdot 2^n\)

Dosadíme počáteční podmínky:

\(a_0 = A = 2\)

\(a_1 = 2A + 2B = 8 \Rightarrow 4 + 2B = 8 \Rightarrow B = 2\)

Výsledný vzorec: \(a_n = 2 \cdot 2^n + 2n \cdot 2^n = 2^{n+1} (1 + n)\)

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 7r + 10 = 0\)

Kořeny: \(r_1 = 5\), \(r_2 = 2\)

Obecné řešení: \(x_n = A \cdot 5^n + B \cdot 2^n\)

Dosazení počátečních podmínek:

\(x_0 = A + B = 3\)

\(x_1 = 5A + 2B = 17\)

Řešíme soustavu:

Odečtení: \(5A + 2B – 5(A + B) = 17 – 15 = 2 \Rightarrow -3B = 2 \Rightarrow B = -\frac{2}{3}\)

Pak \(A = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}\)

Výsledek: \(x_n = \frac{11}{3} \cdot 5^n – \frac{2}{3} \cdot 2^n\)

Řešení:

Jde o lineární rekurenci s rostoucím členem závislým na \(n\).

Rozepíšeme několik prvních členů:

\(y_1 = 0 + 6 = 6\)

\(y_2 = 6 + 12 = 18\)

\(y_3 = 18 + 18 = 36\), atd.

Všimneme si: \(y_n = \sum_{k=1}^n 6k = 6 \cdot \sum_{k=1}^n k = 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 3n(n+1)\)

Výsledný vzorec: \(y_n = 3n(n+1)\)

Řešení:

Toto je klasická Fibonacciho posloupnost.

Charakteristická rovnice: \(r^2 – r – 1 = 0\)

Kořeny: \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), \(\psi = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}\)

Obecné řešení: \(z_n = A \cdot \varphi^n + B \cdot \psi^n\)

Dosazení podmínek:

\(z_0 = A + B = 1\)

\(z_1 = A\varphi + B\psi = 1\)

Řešením dostáváme:

\(A = \frac{1}{\sqrt{5}},\quad B = -\frac{1}{\sqrt{5}}\)

Výsledný vzorec: \(z_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^n – \psi^n \right)\)

Řešení:

Jedná se o lineární nehomogenní rekurenci 1. řádu.

Nejprve řešíme homogenní část: \(a_n^h = 3a_{n-1}^h \Rightarrow a_n^h = A \cdot 3^n\)

Hledáme partikulární řešení nehomogenní části \(a_n^p = C \cdot 2^n\)

Dosazení: \(C \cdot 2^n = 3C \cdot 2^{n-1} + 2^n\)

Děleno \(2^n\): \(C = \frac{3C}{2} + 1\)

Rovnice: \(C – \frac{3C}{2} = 1 \Rightarrow -\frac{C}{2} = 1 \Rightarrow C = -2\)

Celkové řešení: \(a_n = A \cdot 3^n – 2 \cdot 2^n\)

Dosadíme počáteční podmínku \(a_0 = A – 2 = 1 \Rightarrow A = 3\)

Výsledný vzorec: \(a_n = 3 \cdot 3^n – 2 \cdot 2^n\)

Řešení:

Homogenní část: \(x_n^h = 4x_{n-1}^h – 5x_{n-2}^h\)

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 4r + 5 = 0\)

Diskriminant: \(D = 16 – 20 = -4\)

Komplexní kořeny: \(r = 2 \pm i\)

Obecné řešení homogenní části:

\(x_n^h = R \cdot (2 + i)^n + S \cdot (2 – i)^n\)

Přepíšeme pomocí reálné části: \(x_n^h = A \cdot (2)^n \cdot \cos(n\theta) + B \cdot (2)^n \cdot \sin(n\theta)\), kde \(\theta = \arg(2 + i) = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)\)

Nehomogenní část: Pravá strana je konstanta \(2\), takže zkusíme \(x_n^p = C\)

Dosadíme: \(C = 4C – 5C + 2 \Rightarrow 0 = -C + 2 \Rightarrow C = 2\)

Celkové řešení: \(x_n = x_n^h + 2\)

Finální řešení je tedy lineární kombinace oscilující části a konstanty.

Řešení:

Jedná se o rekurenci s periodickou pravou stranou. Rozepíšeme několik členů:

\(u_0 = 0\)

\(u_1 = u_0 + (-1)^1 = 0 – 1 = -1\)

\(u_2 = -1 + 1 = 0\)

\(u_3 = 0 – 1 = -1\)

\(u_4 = -1 + 1 = 0\)

Vzor: \(u_n = \begin{cases} 0, & \text{pokud } n \text{ sudé} \\ -1, & \text{pokud } n \text{ liché} \end{cases}\)

Výsledný vzorec: \(u_n = -\frac{1 – (-1)^n}{2}\)

Řešení:

Charakteristická rovnice: \(r^2 – 2r – 3 = 0\)

Kořeny: \(r = 3,\quad r = -1\)

Obecné řešení: \(s_n = A \cdot 3^n + B \cdot (-1)^n\)

Dosadíme počáteční podmínky:

\(s_0 = A + B = 1\)

\(s_1 = 3A – B = 2\)

Sčítáme: \(A + B = 1\), \(3A – B = 2\)

Sečtením: \(4A = 3 \Rightarrow A = \frac{3}{4} \Rightarrow B = \frac{1}{4}\)

Výsledný vzorec: \(s_n = \frac{3}{4} \cdot 3^n + \frac{1}{4} \cdot (-1)^n\)

Řešení:

Toto je lineární nehomogenní rekurence 1. řádu.

Homogenní část: \(v_n^h = (-2)^n \cdot A\)

Partikulární řešení zkusíme jako konstantu: \(v_n^p = C\)

Dosazení: \(C = -2C + 5 \Rightarrow 3C = 5 \Rightarrow C = \frac{5}{3}\)

Obecné řešení: \(v_n = A \cdot (-2)^n + \frac{5}{3}\)

Dosazení \(v_0 = A + \frac{5}{3} = 4 \Rightarrow A = \frac{7}{3}\)

Výsledný vzorec: \(v_n = \frac{7}{3} \cdot (-2)^n + \frac{5}{3}\)

Řešení:

Charakteristická rovnice: \( r^2 – 6r + 9 = 0 \Rightarrow (r – 3)^2 = 0 \)

Dvojnásobný kořen: \( r = 3 \)

Obecné řešení: \( a_n = (A + Bn) \cdot 3^n \)

Dosadíme podmínky:

\( a_0 = (A + 0) \cdot 1 = A = 2 \)

\( a_1 = (A + B) \cdot 3 = 6 \Rightarrow (2 + B) \cdot 3 = 6 \Rightarrow B = 0 \)

Výsledný vzorec: \( a_n = 2 \cdot 3^n \)

Řešení:

Rozepíšeme několik členů:

\( b_0 = 0 \)

\( b_1 = b_0 + 1 = 1 \)

\( b_2 = 1 + 2 = 3 \)

\( b_3 = 3 + 3 = 6 \)

\( b_4 = 6 + 4 = 10 \)

Vidíme, že \( b_n = \frac{n(n+1)}{2} \) (součet prvních \( n \) přirozených čísel)

Ověříme indukcí:

Základ: \( b_0 = 0 \), vzorec: \( \frac{0 \cdot 1}{2} = 0 \)

Předpoklad: \( b_k = \frac{k(k+1)}{2} \)

Pak: \( b_{k+1} = b_k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \)

Vzorec je správně: \( b_n = \frac{n(n+1)}{2} \)

Řešení:

Nejprve řešíme homogenní část: \( x_n^h = 2x_{n-1}^h + 3x_{n-2}^h \)

Charakteristická rovnice: \( r^2 – 2r – 3 = 0 \Rightarrow r = 3, r = -1 \)

Obecné řešení homogenní části: \( x_n^h = A \cdot 3^n + B \cdot (-1)^n \)

Nehomogenní část: zkusíme partikulární řešení \( x_n^p = C \)

Dosazení: \( C = 2C + 3C + 1 \Rightarrow C = 5C + 1 \Rightarrow -4C = 1 \Rightarrow C = -\frac{1}{4} \)

Celkové řešení: \( x_n = A \cdot 3^n + B \cdot (-1)^n – \frac{1}{4} \)

Dosadíme počáteční podmínky:

\( x_0 = A + B – \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow A + B = \frac{1}{4} \)

\( x_1 = 3A – B – \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow 3A – B = \frac{5}{4} \)

Řešíme soustavu:

Ze 1. rovnice: \( B = \frac{1}{4} – A \)

Dosadíme do druhé: \( 3A – (\frac{1}{4} – A) = \frac{5}{4} \Rightarrow 4A – \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \Rightarrow 4A = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow A = \frac{3}{8} \)

\( B = \frac{1}{4} – \frac{3}{8} = -\frac{1}{8} \)

Výsledné řešení: \( x_n = \frac{3}{8} \cdot 3^n – \frac{1}{8} \cdot (-1)^n – \frac{1}{4} \)