1. Řešte kvadratickou rovnici v komplexních číslech: \( z^2 + 2z + 5 = 0 \).
Řešení:
Rovnice má tvar \( z^2 + 2z + 5 = 0 \), kde \(z \in \mathbb{C}\).
Nejprve určíme diskriminant:
\[ D = b^2 – 4ac = (2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 – 20 = -16. \]
Protože \(D < 0\), kořeny jsou komplexní (reálná část a imaginární část).
Vypočteme kořeny pomocí vzorce:
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i. \]
Tedy řešení jsou:
\[ z_1 = -1 + 2i, \quad z_2 = -1 – 2i. \]
Ověření: dosadíme zpět do rovnice a ověříme, že platí.
2. Najděte všechna komplexní řešení rovnice \( 3z^2 – 6z + 10 = 0 \).
Řešení:
Rovnice je \(3z^2 – 6z + 10 = 0\).
Koeficienty: \(a=3\), \(b=-6\), \(c=10\).
Diskriminant:
\[ D = b^2 – 4ac = (-6)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 10 = 36 – 120 = -84. \]
Protože \(D < 0\), kořeny jsou komplexní.
Vzorec na kořeny:
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{-84}}{6} = \frac{6 \pm i\sqrt{84}}{6}. \]
Zjednodušení odmocniny:
\[ \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}. \]
Dosadíme zpět:
\[ z = \frac{6 \pm 2i\sqrt{21}}{6} = 1 \pm \frac{i\sqrt{21}}{3}. \]
Řešení jsou tedy:
\[ z_1 = 1 + \frac{i\sqrt{21}}{3}, \quad z_2 = 1 – \frac{i\sqrt{21}}{3}. \]
3. Vyřešte rovnici \( z^2 = -16 \) v \(\mathbb{C}\).
Řešení:
Rovnice je \(z^2 = -16\).
Hledáme komplexní čísla \(z\), která po umocnění na druhou dají \(-16\).
Zapíšeme \(-16\) v komplexním tvaru:
\[ -16 = 16(\cos \pi + i \sin \pi). \]
Kořeny \(n\)-té odmocniny jsou obecně:
\[ z_k = \sqrt{16} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{2} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{2} \right), \quad k=0,1. \]
Výpočet:
Pro \(k=0\):
\[ z_0 = 4 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 4(0 + i \cdot 1) = 4i. \]
Pro \(k=1\):
\[ z_1 = 4 \left( \cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2} \right) = 4(0 – i) = -4i. \]
Tedy kořeny jsou \(z_1 = 4i\) a \(z_2 = -4i\).
4. Najděte komplexní řešení rovnice \( z^2 – (3 – 4i)z + (7 + 24i) = 0 \).
Řešení:
Máme rovnici:
\[ z^2 – (3 – 4i)z + (7 + 24i) = 0. \]
Koeficienty:
\[ a=1, \quad b=-(3 – 4i) = -3 + 4i, \quad c=7 + 24i. \]
Diskriminant:
\[ D = b^2 – 4ac = (-3 + 4i)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (7 + 24i). \]
Vypočítáme \(b^2\):
\[ (-3 + 4i)^2 = (-3)^2 + 2 \cdot (-3) \cdot 4i + (4i)^2 = 9 – 24i -16 = -7 – 24i. \]
Vypočítáme \(4ac\):
\[ 4 \cdot 1 \cdot (7 + 24i) = 28 + 96i. \]
Diskriminant tedy:
\[ D = (-7 – 24i) – (28 + 96i) = -7 – 24i – 28 – 96i = -35 – 120i. \]
Nyní najdeme \(\sqrt{D}\). Označíme \(\sqrt{D} = x + yi\), kde \(x,y \in \mathbb{R}\).
Platí:
\[ (x + yi)^2 = x^2 – y^2 + 2xyi = -35 – 120i. \]
Porovnáním reálných a imaginárních částí:
\[ \begin{cases} x^2 – y^2 = -35, \\ 2xy = -120. \end{cases} \]
Z druhé rovnice:
\[ xy = -60 \quad \text{tedy} \quad y = -\frac{60}{x}. \]
Dosadíme do první rovnice:
\[ x^2 – \left(-\frac{60}{x}\right)^2 = -35 \quad \text{tedy} \quad x^2 – \frac{3600}{x^2} = -35. \]
Vynásobíme rovnice \(x^2\):
\[ x^4 + 35x^2 – 3600 = 0. \]
Upravíme substituci \(t = x^2\):
\[ t^2 + 35t – 3600 = 0. \]
Vypočteme diskriminant:
\[ \Delta = 35^2 + 4 \cdot 3600 = 1225 + 14400 = 15625. \]
Kořeny \(t\):
\[ t = \frac{-35 \pm \sqrt{15625}}{2} = \frac{-35 \pm 125}{2}. \]
Vybereme kladný kořen:
\[ t = \frac{-35 + 125}{2} = \frac{90}{2} = 45. \]
Z toho plyne:
\[ x = \pm \sqrt{45} = \pm 3\sqrt{5}. \]
Pro \(x = 3\sqrt{5}\), spočítáme \(y\):
\[ y = -\frac{60}{3\sqrt{5}} = -\frac{20}{\sqrt{5}} = -20 \frac{\sqrt{5}}{5} = -4\sqrt{5}. \]
Tedy:
\[ \sqrt{D} = 3\sqrt{5} – 4\sqrt{5} i. \]
Kořeny rovnice jsou:
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 – 4i \pm (3\sqrt{5} – 4\sqrt{5} i)}{2}. \]
První kořen:
\[ z_1 = \frac{3 – 4i + 3\sqrt{5} – 4\sqrt{5} i}{2} = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2} – i \frac{4 + 4\sqrt{5}}{2} = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2} – i (2 + 2\sqrt{5}). \]
Druhý kořen:
\[ z_2 = \frac{3 – 4i – 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} i}{2} = \frac{3 – 3\sqrt{5}}{2} – i \frac{4 – 4\sqrt{5}}{2} = \frac{3 – 3\sqrt{5}}{2} – i (2 – 2\sqrt{5}). \]
5. Řešte kvadratickou rovnici \( z^2 + (1 + i)z + i = 0 \).
Řešení:
Koeficienty:
\[ a = 1, \quad b = 1 + i, \quad c = i. \]
Diskriminant:
\[ D = b^2 – 4ac = (1 + i)^2 – 4 \cdot 1 \cdot i. \]
Vypočteme \(b^2\):
\[ (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i. \]
Dosadíme:
\[ D = 2i – 4i = -2i. \]
Najdeme \(\sqrt{D} = \sqrt{-2i}\).
Zapišme \( -2i \) v goniometrickém tvaru:
\[ -2i = 2 (\cos(-\pi/2) + i \sin(-\pi/2)). \]
Kořeny druhé odmocniny jsou:
\[ \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{-\pi/2 + 2k\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{-\pi/2 + 2k\pi}{2}\right) \right), \quad k=0,1. \]
Pro \(k=0\):
\[ \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) = \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 – i. \]
Pro \(k=1\):
\[ \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) \right) = 1 + i. \]
Tedy \(\sqrt{D} = \pm (1 – i)\).
Kořeny rovnice jsou:
\[ z = \frac{-(1+i) \pm (1 – i)}{2}. \]
První kořen:
\[ z_1 = \frac{-(1+i) + (1 – i)}{2} = \frac{0 – 2i}{2} = -i. \]
Druhý kořen:
\[ z_2 = \frac{-(1+i) – (1 – i)}{2} = \frac{-1 – i – 1 + i}{2} = \frac{-2}{2} = -1. \]
6. Řešte kvadratickou rovnici v množině komplexních čísel: \( 3x^2 – 5x + 2 = 0 \)
Řešení:
Máme kvadratickou rovnici \( 3x^2 – 5x + 2 = 0 \), koeficienty jsou:
\( a=3, \quad b=-5, \quad c=2 \)
Vypočítáme diskriminant:
\( D = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 – 24 = 1 \)
Diskriminant je kladný, tedy rovnice má dva reálné kořeny, které jsou zároveň kořeny komplexní množiny.
Kořeny spočítáme pomocí vzorce:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{6} \]
První kořen:
\( x_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1 \)
Druhý kořen:
\( x_2 = \frac{5 – 1}{6} = \frac{2}{3} \)
Odpověď: \( x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{2}{3} \)
7. Řešte kvadratickou rovnici v množině komplexních čísel: \( x^2 + 4x + 5 = 0 \)
Řešení:
Koeficienty jsou:
\( a=1, \quad b=4, \quad c=5 \)
Diskriminant:
\( D = b^2 – 4ac = 16 – 20 = -4 \)
Diskriminant je záporný, proto kořeny budou komplexní čísla.
Vyjádříme kořeny pomocí vzorce:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i \]
Odpověď: \( x_1 = -2 + i, \quad x_2 = -2 – i \)
8. Řešte kvadratickou rovnici v množině komplexních čísel: \( 2x^2 + 7x = 0 \)
Řešení:
Převedeme rovnici na tvar:
\( 2x^2 + 7x = 0 \)
Vytkneme \( x \):
\( x (2x + 7) = 0 \)
Rovnice je splněna pokud:
\( x = 0 \quad \text{nebo} \quad 2x + 7 = 0 \)
Vyřešíme druhou rovnici:
\( 2x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} \)
Odpověď: \( x = 0, \quad x = -\frac{7}{2} \)
9. Řešte kvadratickou rovnici v množině komplexních čísel: \( x^2 – 6x + 9 = 0 \)
Řešení:
Koeficienty:
\( a=1, \quad b=-6, \quad c=9 \)
Diskriminant:
\( D = b^2 – 4ac = 36 – 36 = 0 \)
Diskriminant nulový znamená jeden dvojnásobný kořen:
\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3 \]
Odpověď: \( x = 3 \) (dvojnásobný kořen)
10. Řešte kvadratickou rovnici v množině komplexních čísel: \( 5x^2 + 2x – 3 = 0 \)
Řešení:
Koeficienty:
\( a=5, \quad b=2, \quad c=-3 \)
Diskriminant:
\( D = 2^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 \)
Diskriminant kladný – dva reálné kořeny (jsou zároveň komplexní):
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{10} \]
První kořen:
\( x_1 = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
Druhý kořen:
\( x_2 = \frac{-2 – 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \)
Odpověď: \( x_1 = \frac{3}{5}, \quad x_2 = -1 \)
11. Řešte kvadratickou rovnici v množině komplexních čísel: \( x^2 + 2x + 10 = 0 \)
Řešení:
Koeficienty jsou:
\( a=1, \quad b=2, \quad c=10 \)
Vypočítáme diskriminant:
\( D = b^2 – 4ac = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 – 40 = -36 \)
Diskriminant je záporný, kořeny tedy budou komplexní čísla.
Vyjádříme kořeny pomocí vzorce:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-2 \pm 6i}{2} = -1 \pm 3i \]
Odpověď: \( x_1 = -1 + 3i, \quad x_2 = -1 – 3i \)
12. Řešte kvadratickou rovnici v množině komplexních čísel: \( 4x^2 – 4x + 5 = 0 \)
Řešení:
Koeficienty:
\( a=4, \quad b=-4, \quad c=5 \)
Diskriminant:
\( D = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4 \cdot 4 \cdot 5 = 16 – 80 = -64 \)
Protože je diskriminant záporný, kořeny budou komplexní.
Kořeny spočítáme podle vzorce:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{-64}}{8} = \frac{4 \pm 8i}{8} = \frac{1}{2} \pm i \]
Odpověď: \( x_1 = \frac{1}{2} + i, \quad x_2 = \frac{1}{2} – i \)
13. Řešte kvadratickou rovnici v množině komplexních čísel: \( x^2 – 4x + 8 = 0 \)
Řešení:
Koeficienty:
\( a=1, \quad b=-4, \quad c=8 \)
Diskriminant:
\( D = b^2 – 4ac = 16 – 32 = -16 \)
Protože je diskriminant záporný, kořeny jsou komplexní čísla.
Vypočítáme kořeny:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{4 \pm 4i}{2} = 2 \pm 2i \]
Odpověď: \( x_1 = 2 + 2i, \quad x_2 = 2 – 2i \)
14. Řešte kvadratickou rovnici v množině komplexních čísel: \( 9x^2 + 6x + 10 = 0 \)
Řešení:
Koeficienty:
\( a=9, \quad b=6, \quad c=10 \)
Diskriminant:
\( D = b^2 – 4ac = 36 – 360 = -324 \)
Protože je diskriminant záporný, kořeny budou komplexní čísla.
Kořeny spočítáme:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{-324}}{18} = \frac{-6 \pm 18i}{18} = -\frac{1}{3} \pm i \]
Odpověď: \( x_1 = -\frac{1}{3} + i, \quad x_2 = -\frac{1}{3} – i \)
15. Řešte kvadratickou rovnici v množině komplexních čísel: \( x^2 + x + 1 = 0 \)
Řešení:
Koeficienty jsou:
\( a=1, \quad b=1, \quad c=1 \)
Diskriminant:
\( D = b^2 – 4ac = 1 – 4 = -3 \)
Protože diskriminant je záporný, kořeny budou komplexní.
Kořeny spočítáme pomocí vzorce:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \]
Odpověď: \( x_1 = \frac{-1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad x_2 = \frac{-1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i \)