1. Vyřeš rovnici: \( \frac{x}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \)
Řešení příkladu:
Rovnici přepíšeme: \( \frac{x}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \)
Odečteme \( \frac{3}{4} \) od obou stran: \( \frac{x}{2} = \frac{5}{4} – \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
Vynásobíme rovnici dvěma: \( x = 1 \)
2. Vyřeš rovnici: \( \frac{2x – 1}{3} = \frac{x + 2}{6} \)
Rovnici vynásobíme nejmenším společným násobkem jmenovatelů (6):
\( 6 \cdot \frac{2x – 1}{3} = 6 \cdot \frac{x + 2}{6} \)
\( 2 \cdot (2x – 1) = x + 2 \)
\( 4x – 2 = x + 2 \)
Odečteme \( x \): \( 3x – 2 = 2 \)
Přičteme 2: \( 3x = 4 \)
Vydělíme třemi: \( x = \frac{4}{3} \)
3. Vyřeš rovnici: \( \frac{3x + 2}{4} – \frac{x}{2} = 1 \)
Převedeme na společného jmenovatele (4):
\( \frac{3x + 2 – 2x}{4} = 1 \)
\( \frac{x + 2}{4} = 1 \)
Vynásobíme čtyřmi: \( x + 2 = 4 \)
Odečteme 2: \( x = 2 \)
4. Vyřeš rovnici: \( \frac{x – 1}{5} + \frac{x + 3}{10} = 2 \)
Najdeme společný jmenovatel (10):
\( \frac{2(x – 1)}{10} + \frac{x + 3}{10} = 2 \)
\( \frac{2x – 2 + x + 3}{10} = 2 \)
\( \frac{3x + 1}{10} = 2 \)
Vynásobíme deseti: \( 3x + 1 = 20 \)
Odečteme 1: \( 3x = 19 \)
Vydělíme třemi: \( x = \frac{19}{3} \)
5. Vyřeš rovnici: \( \frac{2x + 1}{6} = \frac{x – 2}{4} \)
Společný jmenovatel je 12:
\( 12 \cdot \frac{2x + 1}{6} = 12 \cdot \frac{x – 2}{4} \)
\( 2(2x + 1) = 3(x – 2) \)
\( 4x + 2 = 3x – 6 \)
Odečteme \( 3x \): \( x + 2 = -6 \)
Odečteme 2: \( x = -8 \)
6. Vyřeš rovnici: \( \frac{5x – 3}{9} = \frac{2x + 1}{6} \)
Společný jmenovatel je 18:
\( 2(5x – 3) = 3(2x + 1) \)
\( 10x – 6 = 6x + 3 \)
Odečteme \( 6x \): \( 4x – 6 = 3 \)
Přičteme 6: \( 4x = 9 \)
Vydělíme čtyřmi: \( x = \frac{9}{4} \)
7. Vyřeš rovnici: \( \frac{x + 5}{7} – \frac{2x – 1}{14} = 1 \)
Převedeme na společného jmenovatele (14):
\( \frac{2(x + 5) – (2x – 1)}{14} = 1 \)
\( \frac{2x + 10 – 2x + 1}{14} = 1 \)
\( \frac{11}{14} = 1 \) – nepravdivé, rovnici nelze vyřešit → nemá řešení
8. Vyřeš rovnici: \( \frac{3x – 2}{8} + \frac{x + 4}{16} = \frac{5x + 2}{16} \)
Převedeme vše na jmenovatele 16:
\( \frac{2(3x – 2)}{16} + \frac{x + 4}{16} = \frac{5x + 2}{16} \)
\( \frac{6x – 4 + x + 4}{16} = \frac{5x + 2}{16} \)
\( \frac{7x}{16} = \frac{5x + 2}{16} \)
Odečteme z obou stran: \( 7x = 5x + 2 \)
\( 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \)
9. Vyřeš rovnici: \( \frac{4x + 1}{5} = \frac{3x – 2}{3} \)
Společný jmenovatel: 15
\( 3(4x + 1) = 5(3x – 2) \)
\( 12x + 3 = 15x – 10 \)
Odečteme \( 12x \): \( 3 = 3x – 10 \)
Přičteme 10: \( 13 = 3x \Rightarrow x = \frac{13}{3} \)
10. Vyřeš rovnici: \( \frac{x – 2}{2} + \frac{x + 3}{3} = \frac{5x – 1}{6} \)
Převedeme na společného jmenovatele 6:
\( \frac{3(x – 2) + 2(x + 3)}{6} = \frac{5x – 1}{6} \)
\( \frac{3x – 6 + 2x + 6}{6} = \frac{5x – 1}{6} \)
\( \frac{5x}{6} = \frac{5x – 1}{6} \)
Odečteme: \( 5x = 5x – 1 \Rightarrow 0 = -1 \) – rovnice nemá řešení
11. Vyřeš rovnici: \( \frac{2(x – 3)}{5} + \frac{3(x + 2)}{10} = \frac{4x + 1}{5} \)
Nejprve upravíme levou stranu:
\( \frac{2x – 6}{5} + \frac{3x + 6}{10} \)
Převedeme na společný jmenovatel 10:
\( \frac{4x – 12 + 3x + 6}{10} = \frac{4x + 1}{5} \)
\( \frac{7x – 6}{10} = \frac{4x + 1}{5} \)
Převedeme pravou stranu na jmenovatel 10: \( \frac{8x + 2}{10} \)
\( 7x – 6 = 8x + 2 \Rightarrow -x = 8 \Rightarrow x = -8 \)
12. Vyřeš rovnici: \( \frac{3x + 1}{4} – \frac{x – 2}{3} = \frac{x + 5}{6} \)
Najdeme společného jmenovatele: 12
\( \frac{9x + 3}{12} – \frac{4x – 8}{12} = \frac{2x + 10}{12} \)
\( \frac{9x + 3 – 4x + 8}{12} = \frac{2x + 10}{12} \)
\( \frac{5x + 11}{12} = \frac{2x + 10}{12} \)
\( 5x + 11 = 2x + 10 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \)
13. Vyřeš rovnici: \( \frac{4x – 5}{3} + \frac{2x + 7}{2} = \frac{5x + 1}{6} \)
Společný jmenovatel je 6:
\( \frac{8x – 10}{6} + \frac{6x + 21}{6} = \frac{5x + 1}{6} \)
\( \frac{14x + 11}{6} = \frac{5x + 1}{6} \)
\( 14x + 11 = 5x + 1 \Rightarrow 9x = -10 \Rightarrow x = -\frac{10}{9} \)
14. Vyřeš rovnici: \( \frac{x + 2}{4} = \frac{3x – 1}{5} + \frac{1}{2} \)
Najdeme společného jmenovatele (20):
Levá strana: \( \frac{5x + 10}{20} \)
Pravá strana: \( \frac{12x – 4 + 10}{20} = \frac{12x + 6}{20} \)
\( 5x + 10 = 12x + 6 \Rightarrow -7x = -4 \Rightarrow x = \frac{4}{7} \)
15. Vyřeš rovnici: \( \frac{2x – 1}{x + 1} = \frac{4}{3} \)
Provedeme křížové násobení:
\( 3(2x – 1) = 4(x + 1) \)
\( 6x – 3 = 4x + 4 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} \)
16. Vyřeš rovnici: \( \frac{x – 4}{x + 2} = \frac{x + 2}{x – 4} \)
Provedeme křížové násobení:
\( (x – 4)^2 = (x + 2)^2 \)
\( x^2 – 8x + 16 = x^2 + 4x + 4 \)
Odečteme \( x^2 \): \( -8x + 16 = 4x + 4 \Rightarrow -12x = -12 \Rightarrow x = 1 \)
Kontrola: jmenovatel ≠ 0: OK
17. Vyřeš rovnici: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{3}{4} \)
Společný jmenovatel: \( x(x + 1) \)
\( \frac{x + 1 + x}{x(x + 1)} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{2x + 1}{x(x + 1)} = \frac{3}{4} \)
Křížové násobení: \( 4(2x + 1) = 3x(x + 1) \)
\( 8x + 4 = 3x^2 + 3x \Rightarrow 0 = 3x^2 – 5x – 4 \)
Řešíme kvadratickou rovnici: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 48}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{73}}{6} \)
18. Vyřeš rovnici: \( \frac{2x + 5}{x} = 4 + \frac{1}{x} \)
Převod na společný jmenovatel:
\( \frac{2x + 5}{x} = \frac{4x + 1}{x} \Rightarrow 2x + 5 = 4x + 1 \)
\( -2x = -4 \Rightarrow x = 2 \)
19. Vyřeš rovnici: \( \frac{x^2 – 1}{x – 1} = x + 1 \)
Rozložíme čitatel: \( \frac{(x – 1)(x + 1)}{x – 1} = x + 1 \)
Po krácení: \( x + 1 = x + 1 \) – rovnost platí pro všechna \( x \ne 1 \)
Řešením je: všechna reálná čísla kromě \( x = 1 \)
20. Vyřeš rovnici: \( \frac{2x + 3}{x + 2} = \frac{4x + 5}{2x + 4} \)
Upravíme pravou stranu: \( 2x + 4 = 2(x + 2) \Rightarrow \frac{4x + 5}{2(x + 2)} \)
Křížové násobení: \( 2(x + 2)(2x + 3) = (x + 2)(4x + 5) \)
Obě strany mají faktor \( x + 2 \), pokud \( x \ne -2 \), můžeme krátit:
\( 2(2x + 3) = 4x + 5 \Rightarrow 4x + 6 = 4x + 5 \Rightarrow 6 = 5 \) – nemá řešení
21. Vyřeš rovnici: \( \frac{3x + 2}{x – 1} – \frac{2x – 1}{x + 2} = \frac{10}{x^2 + x – 2} \)
Rozložíme jmenovatel vpravo: \( x^2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2) \)
Najdeme společného jmenovatele: \( (x – 1)(x + 2) \)
Úprava levé strany:
\( \frac{(3x + 2)(x + 2) – (2x – 1)(x – 1)}{(x – 1)(x + 2)} = \frac{10}{(x – 1)(x + 2)} \)
Spočítáme čitatele:
\( (3x + 2)(x + 2) = 3x^2 + 6x + 2x + 4 = 3x^2 + 8x + 4 \)
\( (2x – 1)(x – 1) = 2x^2 – 2x – x + 1 = 2x^2 – 3x + 1 \)
Rozdíl:
\( 3x^2 + 8x + 4 – (2x^2 – 3x + 1) = x^2 + 11x + 3 \)
Rovnice: \( \frac{x^2 + 11x + 3}{(x – 1)(x + 2)} = \frac{10}{(x – 1)(x + 2)} \)
Čitatel = čitatel: \( x^2 + 11x + 3 = 10 \Rightarrow x^2 + 11x – 7 = 0 \)
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 28}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{149}}{2} \)
22. Vyřeš rovnici: \( \frac{x + 1}{x – 2} + \frac{3}{x^2 – 4} = \frac{2x + 5}{x + 2} \)
Rozložíme: \( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \)
Převedeme vše na společného jmenovatele: \( (x – 2)(x + 2) \)
Úpravy:
\( \frac{(x + 1)(x + 2) + 3}{(x – 2)(x + 2)} = \frac{2x + 5}{x + 2} \)
Rozšiř pravou stranu:
\( \frac{(2x + 5)(x – 2)}{(x – 2)(x + 2)} \)
Počítej čitatele obou stran, pak srovnej:
Levá: \( x^2 + 3x + 2 + 3 = x^2 + 3x + 5 \)
Pravá: \( 2x^2 – 4x + 5x – 10 = 2x^2 + x – 10 \)
Rovnice: \( x^2 + 3x + 5 = 2x^2 + x – 10 \Rightarrow -x^2 + 2x + 15 = 0 \)
Řešení: \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{-2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{-2} = \frac{-2 \pm 8}{-2} \)
\( x_1 = -3, \quad x_2 = 5 \)
Zkontroluj podmínky: \( x \ne \pm2 \) → platí.
23. Vyřeš rovnici: \( \frac{4x – 1}{x + 3} = \frac{3x + 5}{x – 2} \)
Křížové násobení:
\( (4x – 1)(x – 2) = (3x + 5)(x + 3) \)
Levý: \( 4x^2 – 8x – x + 2 = 4x^2 – 9x + 2 \)
Pravý: \( 3x^2 + 9x + 5x + 15 = 3x^2 + 14x + 15 \)
Rovnice: \( 4x^2 – 9x + 2 = 3x^2 + 14x + 15 \Rightarrow x^2 – 23x – 13 = 0 \)
\( x = \frac{23 \pm \sqrt{529 + 52}}{2} = \frac{23 \pm \sqrt{581}}{2} \)
24. Vyřeš rovnici: \( \frac{x^2 – 9}{x – 3} = \frac{2x + 3}{x + 1} \)
Rozložíme: \( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \), krácení:
\( \frac{(x + 3)}{1} = \frac{2x + 3}{x + 1} \)
Křížově: \( (x + 3)(x + 1) = 2x + 3 \)
Levá: \( x^2 + 4x + 3 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0 \)
Řešení: \( x = 0 \) nebo \( x = -2 \)
25. Vyřeš rovnici: \( \frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{10}{x^2 + x} \)
Společný jmenovatel: \( x(x + 1) \)
Přepíšeme: \( \frac{2(x + 1) + 3x}{x(x + 1)} = \frac{10}{x(x + 1)} \)
Čitatel: \( 2x + 2 + 3x = 5x + 2 \)
Rovnice: \( \frac{5x + 2}{x(x + 1)} = \frac{10}{x(x + 1)} \Rightarrow 5x + 2 = 10 \Rightarrow x = \frac{8}{5} \)
26. Vyřeš rovnici: \( \frac{1}{x} – \frac{1}{x + 2} = \frac{4}{x^2 + 2x} \)
Společný jmenovatel: \( x(x + 2) \)
Levá strana: \( \frac{(x + 2) – x}{x(x + 2)} = \frac{2}{x(x + 2)} \)
Rovnice: \( \frac{2}{x(x + 2)} = \frac{4}{x(x + 2)} \Rightarrow 2 = 4 \)
Rovnice nemá řešení
27. Vyřeš rovnici: \( \frac{2x + 3}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x + 1} \)
Převedeme na společného jmenovatele:
\( \frac{2x + 3}{x + 1} = \frac{x + 1 + 2}{x + 1} = \frac{x + 3}{x + 1} \)
Rovnice: \( 2x + 3 = x + 3 \Rightarrow x = 0 \)
28. Vyřeš rovnici: \( \frac{x^2 + 3x + 2}{x + 2} = x + 1 \)
Rozložíme čitatel: \( (x + 1)(x + 2) \), po krácení: \( x + 1 \)
Rovnice platí pro všechna \( x \ne -2 \)
29. Vyřeš rovnici: \( \frac{x + 2}{x} + \frac{x – 2}{x + 1} = \frac{2x^2 + x + 2}{x(x + 1)} \)
Společný jmenovatel: \( x(x + 1) \)
Převedeme obě strany na tento jmenovatel a srovnáme čitatele
Levá: \( (x + 2)(x + 1) + (x – 2)x = x^2 + 3x + 2 + x^2 – 2x = 2x^2 + x + 2 \)
Obě strany stejné → rovnice platí pro všechna \( x \ne 0, -1 \)
30. Vyřeš rovnici: \( \frac{2}{x – 1} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5x}{x^2 – 1} \)
Rozložíme jmenovatel: \( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \)
Převedeme vše na společný jmenovatel:
\( \frac{2(x + 1) + 3(x – 1)}{(x – 1)(x + 1)} = \frac{5x}{(x – 1)(x + 1)} \)
Čitatel: \( 2x + 2 + 3x – 3 = 5x – 1 \), ale pravá strana je \( 5x \)
Rovnice: \( 5x – 1 = 5x \Rightarrow -1 = 0 \) – nepravda, **rovnice nemá řešení**
