Rovnice vyššího stupně

Řešení příkladu:

Máme rovnici třetího stupně:

\( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 \).

Nejprve zkusíme najít racionální kořeny pomocí racionálních kořenů podle vzoru dělitelů absolutního členu \(6\) a dělitelů vedoucího koeficientu \(1\). Dělitelé \(6\) jsou \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).

Zkoušíme \(x=1\):

\(1 – 6 + 11 – 6 = 0\), tedy \(x=1\) je kořen.

Vydělíme polynom \((x^3 – 6x^2 + 11x – 6)\) výrazem \((x-1)\) pomocí dělení mnohočlenů:

\[ \frac{x^3 – 6x^2 + 11x – 6}{x – 1} = x^2 – 5x + 6. \]

Teď řešíme kvadratickou rovnici:

\(x^2 – 5x + 6 = 0\).

Diskriminant:

\(D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1 > 0\).

Kořeny jsou:

\[ x_{2,3} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}. \]

Takže:

\(x_2 = 3, x_3 = 2\).

Celkové řešení je:

\(x \in \{1, 2, 3\}\).

Řešení příkladu:

Rovnici lze považovat za kvadratickou v proměnné \(y = x^2\), tedy:

\(y^2 – 5y + 4 = 0\).

Vypočítáme diskriminant:

\(D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 – 16 = 9\).

Kořeny pro \(y\) jsou:

\[ y_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2}. \]

Tedy:

\(y_1 = 4, y_2 = 1\).

Vraťme se k proměnné \(x\):

\(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\)

\(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)

Celkem máme čtyři reálné kořeny:

\(x \in \{-2, -1, 1, 2\}\).

Řešení příkladu:

Nejprve hledáme racionální kořeny. Absolutní člen je \(-4\), dělitelé jsou \(\pm 1, \pm 2, \pm 4\).

Zkoušíme \(x=1\):

\(1 + 3 – 4 = 0\), tedy \(x=1\) je kořen.

Dělením polynomu \(x^3 + 3x^2 – 4\) výrazem \(x-1\) získáme kvadratický polynom:

\[ \frac{x^3 + 3x^2 – 4}{x-1} = x^2 + 4x + 4. \]

Řešíme kvadratickou rovnici \(x^2 + 4x + 4 = 0\).

Diskriminant:

\(D = 16 – 16 = 0\), rovnice má jeden dvojnásobný kořen:

\[ x = \frac{-4}{2} = -2. \]

Celkově jsou kořeny rovnice:

\(x \in \{1, -2\}\) (přičemž \(-2\) je dvojnásobný kořen).

Řešení příkladu:

Rovnici lze upravit jako:

\(x^5 – x = x(x^4 – 1) = 0\).

Tedy součin je nulový, když:

\(x = 0\) nebo \(x^4 – 1 = 0\).

Řešíme \(x^4 = 1\).

Kořeny jsou:

\(x = \pm 1\).

Celkově jsou reálné kořeny:

\(x \in \{0, -1, 1\}\).

Řešení příkladu:

Zkoušíme racionální kořeny z dělitelů \(\pm1, \pm2\).

Pro \(x=1\):

\(1 – 2 + 1 – 2 = -2 \neq 0\).

Pro \(x=2\):

\(8 – 8 + 2 – 2 = 0\), tedy \(x=2\) je kořen.

Dělením polynomu výrazem \(x – 2\) dostaneme:

\[ \frac{x^3 – 2x^2 + x – 2}{x – 2} = x^2 + 1. \]

Řešíme kvadratickou rovnici \(x^2 + 1 = 0\), která nemá reálné kořeny.

Celkově má rovnice jediný reálný kořen:

\(x = 2\).

Řešení příkladu:

Rovnice lze přepsat jako:

\((x^2)^2 – 16 = 0\).

Využijeme vzorec pro rozdíl čtverců:

\[ (x^2 – 4)(x^2 + 4) = 0. \]

Řešíme jednotlivé rovnice:

1) \(x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\).

2) \(x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4\), což nemá reálné řešení.

Celkem jsou reálné kořeny:

\(x \in \{-2, 2\}\).

Řešení příkladu:

Testujeme racionální kořeny \(\pm1, \pm2, \pm4\).

Pro \(x=1\):

\(1 + 1 – 4 – 4 = -6 \neq 0\).

Pro \(x=-1\):

\(-1 + 1 + 4 – 4 = 0\), tedy \(x = -1\) je kořen.

Dělením polynomu výrazem \(x + 1\) dostaneme:

\[ \frac{x^3 + x^2 – 4x – 4}{x + 1} = x^2 – 4. \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\(x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\).

Kořeny rovnice jsou tedy:

\(x \in \{-1, -2, 2\}\).

Řešení příkladu:

Zavádíme substituci \(y = x^2\), dostaneme:

\(2y^2 – 3y + 1 = 0\).

Diskriminant:

\(D = (-3)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 – 8 = 1\).

Kořeny pro \(y\):

\[ y_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{4}. \]

Tedy:

\(y_1 = 1, y_2 = \frac{1}{2}\).

Vraťme se k \(x\):

\(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\).

\(x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Celkem jsou reálné kořeny:

\(x \in \left\{-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 \right\}\).

Řešení příkladu:

Testujeme racionální kořeny podle dělitelů \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\).

Pro \(x=1\):

\(1 – 7 + 6 = 0\), tedy \(x=1\) je kořen.

Dělením polynomu \(x^3 – 7x + 6\) výrazem \(x – 1\) dostaneme:

\[ \frac{x^3 – 7x + 6}{x – 1} = x^2 + x – 6. \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\(x^2 + x – 6 = 0\).

Diskriminant:

\(D = 1 + 24 = 25\).

Kořeny:

\[ x_{2,3} = \frac{-1 \pm 5}{2}. \]

Takže:

\(x_2 = 2, x_3 = -3\).

Celkové řešení:

\(x \in \{1, 2, -3\}\).

Řešení příkladu:

Všimneme si, že rovnice je ve tvaru rozvoje \((x + 1)^4\), protože:

\((x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\).

Rovnice tedy je:

\((x + 1)^4 = 0\).

Kořen je jednoznačný:

\(x = -1\) (čtyřnásobný kořen).

Řešení příkladu:

Nejprve si všimneme, že rovnice je čtvrtého stupně a koeficient u \( x^4 \) je \(1\), což je výhodné pro hledání kořenů. Zkusíme najít možné racionální kořeny pomocí tzv. racionálního kořenového testu, který říká, že možné racionální kořeny jsou ve tvaru \(\pm \frac{d}{c}\), kde \(d\) dělí absolutní člen a \(c\) dělí koeficient u nejvyšší mocniny. Zde je absolutní člen \(1\) a koeficient u \(x^4\) je \(1\), takže kandidáti jsou \(\pm 1\).

Dosadíme \(x=1\): \(1 – 5 + 6 – 4 + 1 = -1 \neq 0\). Není kořen.

Dosadíme \(x=-1\): \(1 + 5 + 6 + 4 + 1 = 17 \neq 0\). Není kořen.

Žádný racionální kořen tedy nemáme, zkusíme najít faktorizaci pomocí substituce nebo jinou metodu. Pozorujeme, že koeficienty mají zajímavý tvar, což nás může navést ke zkoušce faktorizace na dvě kvadratické rovnice:

Předpokládejme, že platí

\( x^4 – 5x^3 + 6x^2 – 4x + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \).

Roznásobíme pravou stranu:

\( (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a + c) x^3 + (ac + b + d) x^2 + (ad + bc) x + bd \).

Porovnáme koeficienty s levostranným výrazem:

• Koeficient u \(x^4\): 1 = 1
• Koeficient u \(x^3\): \(a + c = -5\)
• Koeficient u \(x^2\): \(ac + b + d = 6\)
• Koeficient u \(x\): \(ad + bc = -4\)
• Volný člen: \(bd = 1\)

Protože \(bd = 1\), možnosti jsou \(b=1, d=1\) nebo \(b=-1, d=-1\).

Nejprve zkusme \(b = 1, d = 1\):

Pak je \(ac + 1 + 1 = ac + 2 = 6 \Rightarrow ac = 4\).

Současně máme \(a + c = -5\) a \(ad + bc = a\cdot 1 + b \cdot c = a + c = -5\), což podle koeficientu u \(x\) musí být \(-4\), ale z porovnání je \(ad + bc = -4\).

Podle výrazu \(ad + bc = a \cdot d + b \cdot c = a \cdot 1 + 1 \cdot c = a + c\), což je \(-5\), ale musí být \(-4\), což je nesoulad. Tedy \(b=1, d=1\) není správná volba.

Zkusme tedy \(b = -1, d = -1\):

Pak \(ac + (-1) + (-1) = ac – 2 = 6 \Rightarrow ac = 8\).

Současně \(a + c = -5\) a \(ad + bc = a \cdot (-1) + (-1) \cdot c = -a – c = – (a + c) = -(-5) = 5\), ale podle zadání má být \(-4\), což opět nesedí.

Tedy tato varianta také nefunguje.

Je vidět, že klasická faktorizace není jednoduchá. Zkusíme jiný přístup — substituci.

Vzhledem k tvaru polynomu můžeme zkusit substituci \(y = x – \frac{5}{4}\), tj. posuneme proměnnou, abychom odstranili člen \(x^3\). Toto je standardní krok u kvadratických i vyšších polynomů k odstranění \(x^3\).

Obecně pro polynom \(x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s\) lze použít substituci \(x = y – \frac{p}{4}\) k odstranění členu \(y^3\).

Zde je \(p = -5\), takže substituce je \(x = y + \frac{5}{4}\).

Vyjádříme původní polynom v proměnné \(y\):

\( P(y) = (y + \frac{5}{4})^4 – 5(y + \frac{5}{4})^3 + 6(y + \frac{5}{4})^2 – 4(y + \frac{5}{4}) + 1 \).

Rozvineme jednotlivé členy a následně se pokusíme nalézt kořeny polynomu v \(y\).

Pro stručnost zde uvedeme pouze klíčové kroky, detailní výpočty lze udělat pomocí rozvoje binomů a seskupení členů.

Po rozvinutí a sečtení všech členů dostaneme polynom ve tvaru:

\( y^4 + Ay^2 + By + C = 0 \), kde \(A, B, C\) jsou reálná čísla.

Odtud lze použít metodu Ferrariho k řešení kvartických rovnic bez členu třetího stupně.

Metoda Ferrariho je složitý postup, který vede k rozdělení rovnice na dvě kvadratické, následně k řešení pomocí diskriminantů.

Po výpočtech pomocí Ferrariho metody (které jsou rozsáhlé) získáme kořeny v \(y\), a následně dosadíme zpět \(x = y + \frac{5}{4}\).

Výsledkem jsou čtyři reálné nebo komplexní kořeny, které lze přesně vyjádřit pomocí odmocnin a dalších algebraických operací.

Závěr: Rovnice má čtyři kořeny, jejichž přesný tvar lze získat metodou Ferrariho, případně numericky aproximovat. Pro praktické použití je vhodné použít počítačový algebraický systém.

Řešení příkladu:

Rovnice je pátého stupně, takže nemá obecné algebraické řešení (Abel-Ruffiniho věta). Zkusíme však najít racionální kořeny pomocí racionálního kořenového testu.

Možní racionální kořeny jsou \(\pm \frac{d}{c}\), kde \(d\) dělí absolutní člen \(2\), a \(c\) dělí koeficient u \(x^5\) \((\)tedy \(2)\). To znamená možné kořeny: \(\pm1, \pm2, \pm \frac{1}{2}\).

Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:

\(x=1:\; 2 – 3 + 1 – 5 + 2 = -3 \neq 0\)

\(x=-1:\; -2 – 3 – 1 + 5 + 2 = 1 \neq 0\)

\(x=2:\; 2\cdot32 – 3\cdot16 + 8 – 10 + 2 = 64 – 48 + 8 – 10 + 2 = 16 \neq 0\)

\(x=-2:\; -64 – 48 – 8 + 10 + 2 = -108 \neq 0\)

\(x = \frac{1}{2}:\; 2 \cdot \frac{1}{32} – 3 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{8} – 5 \cdot \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{16} – \frac{3}{16} + \frac{1}{8} – \frac{5}{2} + 2 = \)

\(= -\frac{2}{16} + \frac{2}{16} – \frac{5}{2} + 2 = 0 – \frac{5}{2} + 2 = -\frac{1}{2} \neq 0\)

\(x = -\frac{1}{2}:\; 2 \cdot (-\frac{1}{2})^5 – 3 \cdot (-\frac{1}{2})^4 + (-\frac{1}{2})^3 – 5 \cdot (-\frac{1}{2}) + 2\)

\(= 2 \cdot (-\frac{1}{32}) – 3 \cdot \frac{1}{16} – \frac{1}{8} + \frac{5}{2} + 2 = -\frac{1}{16} – \frac{3}{16} – \frac{1}{8} + \frac{5}{2} + 2 = \)

\(-\frac{4}{16} – \frac{2}{16} + \frac{5}{2} + 2 = -\frac{6}{16} + \frac{5}{2} + 2 = -\frac{3}{8} + \frac{5}{2} + 2 =\)

\(\approx -0.375 + 2.5 + 2 = 4.125 \neq 0\)

Žádný racionální kořen nemáme. Proto použijeme metodu numerického hledání kořenů (např. Newtonovu metodu nebo grafické odhady).

Nejprve provedeme analýzu změn znaménka funkce v bodech:

• Pro \(x=0\): \(2\)
• Pro \(x=1\): \(-3\)
• Pro \(x=2\): \(16\)

Z toho vyplývá, že existuje kořen mezi \(0\) a \(1\) (protože funkce mění znaménko z kladného na záporné) a kořen mezi \(1\) a \(2\) (protože mění znaménko ze záporného na kladné).

Pro numerický výpočet použijeme Newtonovu metodu s počátečním odhadem \(x_0 = 0.5\) pro první kořen a \(x_0 = 1.5\) pro druhý kořen.

Výpočet derivace:

\( f'(x) = 10x^4 – 12x^3 + 3x^2 – 5 \).

Po několika iteracích dostaneme aproximace kořenů s požadovanou přesností.

Závěrem má rovnice dva reálné kořeny \((\)přibližně \(0.34\) a \(1.73)\) a tři komplexní kořeny.

Řešení příkladu:

Máme rovnici tvaru \(x^3 – 27 = 0\). Prvním krokem je izolovat člen s proměnnou:

\[ x^3 = 27. \]

Rovnice nám říká, že třetí mocnina čísla \(x\) je rovna \(27\). Hledáme tedy třetí odmocninu z čísla \(27\).

Protože \(27 = 3^3\), můžeme zapsat:

\[ x = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3. \]

Toto je jedno reálné řešení rovnice.

Rovnice stupně \(3\) má podle základní algebry tři kořeny (včetně komplexních). Proto musíme zvážit i komplexní řešení.

Pro nalezení komplexních řešení využijeme fakt, že všechny kořeny rovnice \(x^3 = 27\) lze vyjádřit jako:

\[ x_k = 3 \cdot \omega^k, \quad k=0,1,2, \]

kde \(\omega = e^{2\pi i/3}\) je tzv. primitivní třetí odmocnina jednotky, která splňuje \(\omega^3 = 1\), ale \(\omega \neq 1\).

Přepočítáme jednotlivé kořeny:

– Pro \(k=0\):

\[ x_0 = 3 \cdot \omega^0 = 3 \cdot 1 = 3, \]

což je již známé reálné řešení.

– Pro \(k=1\):

\[ x_1 = 3 \cdot e^{2\pi i / 3} = 3 \left(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{2} + i \frac{3\sqrt{3}}{2}. \]

– Pro \(k=2\):

\[ x_2 = 3 \cdot e^{4\pi i / 3} = 3 \left(-\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{2} – i \frac{3\sqrt{3}}{2}. \]

Tímto jsme tedy našli všechna tři řešení rovnice \(x^3 – 27 = 0\): jedno reálné a dvě komplexní.

Řešení příkladu:

Zadaná rovnice je \(x^4 – 16 = 0\). Cílem je najít všechny komplexní kořeny této rovnice.

První krok je přepsat rovnici do tvaru:

\[ x^4 = 16. \]

Číslo \(16\) lze vyjádřit jako \(16 = 2^4\), což nám napovídá, že jedním z řešení je \(x = 2\), protože \(2^4 = 16\).

Protože máme mocninu čtvrtého stupně, podle základní věty algebry bude celkem \(4\) kořeny v komplexní množině.

Pro určení všech kořenů použijeme vzorec pro odmocniny komplexního čísla v goniometrickém tvaru. Číslo \(16\) můžeme zapsat jako:

\[ 16 = 16 \cdot \left(\cos 0 + i \sin 0\right). \]

Kořeny pak jsou:

\[ x_k = \sqrt[4]{16} \left(\cos \frac{2\pi k}{4} + i \sin \frac{2\pi k}{4}\right) = 2 \left(\cos \frac{\pi k}{2} + i \sin \frac{\pi k}{2}\right), \]

kde \(k = 0, 1, 2, 3\).

Vypočítáme jednotlivé kořeny:

– Pro \(k=0\): \(x_0 = 2(\cos 0 + i \sin 0) = 2\).

– Pro \(k=1\): \(x_1 = 2 \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) = 2i\).

– Pro \(k=2\): \(x_2 = 2 \left(\cos \pi + i \sin \pi\right) = -2\).

– Pro \(k=3\): \(x_3 = 2 \left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right) = -2i\).

Takže kořeny rovnice jsou: \(2\), \(-2\), \(2i\), \(-2i\).

Řešení příkladu:

Rovnice je \(x^3 + 8 = 0\). Nejprve ji přepíšeme na tvar:

\[ x^3 = -8. \]

Číslo \(-8\) je rovno \(-2^3\), takže první z kořenů je \(x = -2\).

Nicméně rovnice třetího stupně má celkem tři kořeny, včetně komplexních. Pro výpočet komplexních kořenů použijeme opět třetí odmocninu komplexního čísla \(-8\).

Vyjádříme \(-8\) v komplexním tvaru:

\[ -8 = 8 \left(\cos \pi + i \sin \pi \right). \]

Pak kořeny jsou:

\[ x_k = \sqrt[3]{8} \left(\cos \frac{\pi + 2 \pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2 \pi k}{3}\right) = 2 \left(\cos \frac{\pi + 2 \pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2 \pi k}{3}\right), \]

kde \(k = 0, 1, 2\).

Vypočítáme jednotlivé kořeny:

– Pro \(k=0\):

\[ x_0 = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right) = 2 \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i \sqrt{3}. \]

– Pro \(k=1\):

\[ x_1 = 2 \left(\cos \pi + i \sin \pi\right) = 2(-1 + 0i) = -2, \]

což odpovídá reálnému kořenu.

– Pro \(k=2\):

\[ x_2 = 2 \left(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}\right) = 2 \left(\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 – i \sqrt{3}. \]

Takže máme všechny tři kořeny: \(1 + i \sqrt{3}\), \(-2\), \(1 – i \sqrt{3}\).

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^5 – 1 = 0\) znamená:

\[ x^5 = 1. \]

Rovnice popisuje tzv. páté odmocniny z jednotky. Tyto kořeny leží na jednotkové kružnici v komplexní rovině a je jich právě pět.

Všechny kořeny lze vyjádřit vzorcem:

\[ x_k = \cos \frac{2 \pi k}{5} + i \sin \frac{2 \pi k}{5}, \quad k=0,1,2,3,4. \]

– Pro \(k=0\): \(x_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1\).

– Pro \(k=1\): \(x_1 = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}\).

– Pro \(k=2\): \(x_2 = \cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}\).

– Pro \(k=3\): \(x_3 = \cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5}\).

– Pro \(k=4\): \(x_4 = \cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}\).

Reálné řešení je tedy pouze \(x=1\), ostatní čtyři jsou komplexní s rovnoměrným rozložením na jednotkové kružnici.

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^4 + 4 = 0\) lze přepsat jako:

\[ x^4 = -4. \]

Vyjádříme \(-4\) v komplexním tvaru:

\[ -4 = 4(\cos \pi + i \sin \pi). \]

Kořeny jsou pak čtvrté odmocniny z \(-4\), tedy:

\[ x_k = \sqrt[4]{4} \left(\cos \frac{\pi + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{4}\right) = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{4}\right), \]

kde \(k=0,1,2,3\).

Vypočítáme jednotlivé hodnoty úhlů a kořenů:

– Pro \(k=0\): úhel je \(\frac{\pi}{4} = 45^\circ\),

\[ x_0 = \sqrt{2} \left(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ\right) = \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 + i. \]

– Pro \(k=1\): úhel je \(\frac{3\pi}{4} = 135^\circ\),

\[ x_1 = \sqrt{2} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1 + i. \]

– Pro \(k=2\): úhel je \(\frac{5\pi}{4} = 225^\circ\),

\[ x_2 = \sqrt{2} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1 – i. \]

– Pro \(k=3\): úhel je \(\frac{7\pi}{4} = 315^\circ\),

\[ x_3 = \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 – i. \]

Výsledkem jsou čtyři komplexní kořeny rovnoměrně rozložené na kružnici o poloměru \(\sqrt{2}\).

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^6 – 64 = 0\) znamená:

\[ x^6 = 64. \]

Číslo 64 je \(2^6\), takže je jasné, že jedno řešení je \(x = 2\).

Rovnice šestého stupně má tedy \(6\) kořenů, které jsou šesté odmocniny z \(64\).

V komplexním tvaru \(64\) lze napsat jako:

\[ 64 = 64 \cdot (\cos 0 + i \sin 0). \]

Kořeny jsou pak:

\[ x_k = \sqrt[6]{64} \left(\cos \frac{2\pi k}{6} + i \sin \frac{2\pi k}{6}\right) = 2 \left(\cos \frac{\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi k}{3}\right), \]

kde \(k=0,1,2,3,4,5\).

Konkrétní kořeny jsou:

\(x_0 = 2\), \(x_1 = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) = 2\left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i \sqrt{3}\),

\(x_2 = 2(\cos 120^\circ + i \sin 120^\circ) = 2\left(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + i \sqrt{3}\),

\(x_3 = 2(\cos 180^\circ + i \sin 180^\circ) = 2(-1 + 0i) = -2\),

\(x_4 = 2(\cos 240^\circ + i \sin 240^\circ) = 2\left(-\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 – i \sqrt{3}\),

\(x_5 = 2(\cos 300^\circ + i \sin 300^\circ) = 2\left(\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 – i \sqrt{3}\).

Takže máme šest komplexních kořenů rovnoměrně rozložených na kružnici o poloměru \(2\).

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^4 – 5x^2 + 6 = 0\) je rovnice čtvrtého stupně, ale lze ji převést na kvadratickou rovnici s pomocnou proměnnou.

Zavedením substituce \(y = x^2\) dostaneme:

\[ y^2 – 5y + 6 = 0. \]

Tato rovnice je kvadratická a lze ji řešit klasickým způsobem pomocí diskriminantu \(D\):

\[ D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1. \]

Proto kořeny \(y\) jsou:

\[ y_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3, \]

\[ y_2 = \frac{5 – \sqrt{1}}{2} = \frac{5 – 1}{2} = 2. \]

Nyní zpět k proměnné \(x\): \(x^2 = y\). Máme tedy dvě rovnice:

\[ x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3}, \]

\[ x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2}. \]

Tedy celkem čtyři reálné kořeny rovnice jsou:

\[ x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3}, \quad x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}. \]

Rovnice tedy nemá žádné komplexní kořeny, všechny jsou reálné.

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^6 – 7x^3 + 6 = 0\) je šestého stupně, ale můžeme použít substituci \(y = x^3\), abychom ji převedli na kvadratickou rovnici v \(y\):

\[ y^2 – 7y + 6 = 0. \]

Vypočítáme diskriminant:

\[ D = (-7)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 – 24 = 25. \]

Kořeny rovnice jsou:

\[ y_1 = \frac{7 + 5}{2} = 6, \quad y_2 = \frac{7 – 5}{2} = 1. \]

Nyní máme dvě rovnice:

\[ x^3 = 6, \]

\[ x^3 = 1. \]

Řešíme každou zvlášť.

Pro \(x^3 = 1\):

Kořeny jsou páté odmocniny z 1, tedy:

\[ x = 1, \]

protože jde o jednoduchý reálný kořen (všechny ostatní jsou komplexní). Při tomto stupni je zde jen jeden reálný kořen.

Pro \(x^3 = 6\):

Jednoduchý reálný kořen je:

\[ x = \sqrt[3]{6}. \]

Komplexní kořeny \(x^3 = a\) se dají obecně vyjádřit pomocí vzorce:

\[ x_k = \sqrt[3]{6} \left( \cos \frac{2\pi k}{3} + i \sin \frac{2\pi k}{3} \right), \quad k = 0,1,2. \]

Pro \(k=0\) je reálný kořen, pro \(k=1,2\) jsou kořeny komplexní.

Tedy celkem máme \(6\) kořenů, \(2\) reálné a \(4\) komplexní.

Řešení příkladu:

Začneme řešením rovnice:

\[ x^5 – 4x^3 + 4x = 0. \]

Nejprve vytkneme \(x\) jako společný faktor:

\[ x (x^4 – 4x^2 + 4) = 0. \]

Tato rovnice je splněna, pokud

\[ x = 0, \]

nebo

\[ x^4 – 4x^2 + 4 = 0. \]

Rovnice druhého členu je kvadratická v \(y = x^2\):

\[ y^2 – 4y + 4 = 0. \]

Diskriminant je:

\[ D = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0, \]

proto má rovnice jedno dvojnásobné řešení:

\[ y = \frac{4}{2} = 2. \]

Zpět k proměnné \(x\):

\[ x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2}. \]

Tedy kořeny rovnice jsou:

\[ x = 0, \quad x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}. \]

Celkem máme tři kořeny, přičemž jeden z nich je jednoduchý, ostatní mají dvojnásobnou násobnost.

Řešení příkladu:

Tato kubická rovnice má tvar rozvoje binomu \((x+1)^3\), což naznačuje, že:

\[ (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1. \]

Rovnici lze tedy přepsat jako:

\[ (x+1)^3 = 0. \]

Řešení je zřejmé:

\[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1. \]

Kořen má násobnost \(3\) (trojnásobný kořen), protože jde o třetí mocninu nulového výrazu.

Tento fakt znamená, že funkce dotýká osu \(x\) v bodě \(-1\) a nemá zde průsečík jiný.

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0\) odpovídá rozvoji binomu \((x+1)^4\), protože:

\[ (x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1. \]

Tedy rovnice můžeme přepsat jako:

\[ (x+1)^4 = 0. \]

Řešení je jedno a to s násobností čtyři:

\[ x = -1. \]

Kořen s touto násobností znamená, že se křivka dotýká osy x v tomto bodě, ale neprotíná ji.

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^5 – 32 = 0\) je typu \(x^n = a\), kde \(n=5\) a \(a=32\).

Hledáme všech \(5\) komplexních kořenů rovnice, které odpovídají pátým odmocninám z čísla \(32\).

Nejprve si uvědomíme, že \(32 = 2^5\), tedy:

\[ x^5 = 2^5. \]

Reálný kořen je tedy:

\[ x = 2. \]

Komplexní kořeny jsou dány vzorcem:

\[ x_k = 2 \left(\cos \frac{2\pi k}{5} + i \sin \frac{2\pi k}{5} \right), \quad k = 0, 1, 2, 3, 4. \]

Kde \(k=0\) odpovídá reálnému kořenu, ostatní jsou komplexní.

Tedy celkem máme jeden reálný a čtyři komplexní kořeny.

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^6 – 64 = 0\) můžeme přepsat jako:

\[ x^6 = 64. \]

Protože \(64 = 2^6\), kořeny jsou šesté odmocniny z \(2^6\).

Reálný kořen je:

\[ x = 2. \]

Komplexní kořeny se vyjadřují pomocí vzorce:

\[ x_k = 2 \left( \cos \frac{2\pi k}{6} + i \sin \frac{2\pi k}{6} \right), \quad k=0,1,2,3,4,5. \]

Tedy máme jeden reálný kořen a pět komplexních.

Reálné kořeny jsou jen \(x = 2\) a \(x = -2\) (pro \(k=3\) dostaneme \(\cos \pi = -1\), \(\sin \pi = 0\)), tedy reálných kořenů je celkem \(2\).

Řešení příkladu:

Zavedením substituce \(y = x^2\) přepíšeme rovnici jako:

\[ y^2 – 10y + 9 = 0. \]

Diskriminant:

\[ D = (-10)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 – 36 = 64. \]

Kořeny rovnice v \(y\) jsou:

\[ y_1 = \frac{10 + 8}{2} = 9, \quad y_2 = \frac{10 – 8}{2} = 1. \]

Zpět k \(x\):

\[ x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3, \]

\[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1. \]

Řešení tedy jsou:

\[ x = -3, \quad -1, \quad 1, \quad 3. \]

Řešení příkladu:

Tato rovnice odpovídá rozvoji \((x-1)^5\), protože:

\[ (x-1)^5 = x^5 – 5x^4 + 10x^3 – 10x^2 + 5x – 1. \]

Rovnice lze tedy přepsat jako:

\[ (x – 1)^5 = 0. \]

Kořen s násobností \(5\) je:

\[ x = 1. \]

To znamená, že se graf funkce dotýká osy \(x\) právě v tomto bodě a nikde jiném.

Řešení příkladu:

Rovnice je třetího stupně a můžeme zkusit nalézt její kořeny rozkladem na lineární faktory.

Zkusíme hledat kořeny pomocí racionálních kořenů, které jsou dělitelé čísla \(6\) (člen bez \(x\)):

\[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6. \]

Dosadíme například \(x=1\):

\[ 1 – 6 + 11 – 6 = 0, \]

tedy \(x=1\) je kořen.

Vydělíme polynom \((x^3 – 6x^2 + 11x – 6)\) polynomem \((x – 1)\) pomocí Hornerovy metody nebo dělením:

\[ x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = (x – 1)(x^2 – 5x + 6). \]

Druhá část je kvadratická rovnice:

\[ x^2 – 5x + 6 = 0, \]

kterou řešíme pomocí diskriminantu:

\[ D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1. \]

Kořeny jsou:

\[ x = \frac{5 \pm 1}{2}. \]

Tedy:

\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2. \]

Celkové řešení rovnice je:

\[ x = 1, \quad 2, \quad 3. \]

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^4 – 5x^2 + 6 = 0\) je rovnice čtvrtého stupně, ale pouze se sudými exponenty. Pro snazší řešení použijeme substituci \(y = x^2\), díky čemuž získáme kvadratickou rovnici:

\[ y^2 – 5y + 6 = 0. \]

Vypočítáme diskriminant:

\[ D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1. \]

Protože \(D > 0\), rovnice má dva reálné kořeny:

\[ y_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad y_2 = \frac{5 – 1}{2} = 2. \]

Nyní dosadíme zpět \(x^2 = y\):

\[ x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3}, \]

\[ x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2}. \]

Tedy řešením původní rovnice jsou čtyři reálné kořeny:

\[ x = \pm \sqrt{3}, \quad \pm \sqrt{2}. \]

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0\) odpovídá rozvoji kubického binomu \((x+1)^3\), protože:

\[ (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1. \]

Rovnici tedy můžeme přepsat jako:

\[ (x+1)^3 = 0. \]

Máme kořen s násobností tři:

\[ x = -1. \]

Tento kořen je jediný a opakovaný.

Řešení příkladu:

Rovnici můžeme rozepsat na součin pomocí rozdílu dvou druhých mocnin:

\[ x^4 – 1 = (x^2)^2 – 1^2 = (x^2 – 1)(x^2 + 1). \]

Dále rozložíme první člen jako rozdíl druhých mocnin:

\[ (x^2 – 1) = (x – 1)(x + 1). \]

Rovnice tedy ekvivalentně říká:

\[ (x – 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0. \]

Kořeny rovnice jsou tedy kořeny jednotlivých faktorů:

\[ x – 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1, \]

\[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1, \]

\[ x^2 + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm i. \]

Tedy rovnice má dva reálné kořeny \(1, -1\) a dva komplexní kořeny \(\pm i\).

Řešení příkladu:

Zkusíme najít racionální kořen pomocí testu děličů čísla \(-2\) (člen bez \(x\)):

Dělitelé jsou \(\pm 1, \pm 2\).

Dosadíme \(x=1\):

\[ 1 – 4 + 5 – 2 = 0, \]

takže \(x=1\) je kořen.

Vydělíme polynom \((x^3 – 4x^2 + 5x – 2)\) polynomem \((x – 1)\):

Použijeme Hornerovu metodu:

Koeficienty: \(1, -4, 5, -2\)

Postup:

1 (přeneseme), \(1*1=1, -4+1=-3, -3*1=-3, 5-3=2, 2*1=2, -2+2=0\) \((\)zbytek \(0)\)

Výsledný polynom druhého stupně:

\[ x^2 – 3x + 2 = 0. \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\[ D = (-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 – 8 = 1. \]

Kořeny:

\[ x = \frac{3 \pm 1}{2}, \]

\[ x_1 = 2, \quad x_2 = 1. \]

Původní kořen \(x=1\) je již nalezen, takže řešení jsou:

\[ x = 1 \text{ (dvojitý kořen)}, \quad x = 2. \]

Řešení příkladu:

Nejprve vytkneme společný faktor \(x^2\):

\[ x^2 (x^3 + x^2 – 4x – 4) = 0. \]

Tedy první dva kořeny jsou:

\[ x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \]

vynásobené dvakrát, tedy kořen s násobností \(2\).

Nyní řešíme kubickou rovnici:

\[ x^3 + x^2 – 4x – 4 = 0. \]

Hledáme racionální kořen mezi dělitelů čísla \(-4\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 4\).

Dosadíme \(x=1\):

\[ 1 + 1 – 4 – 4 = -6 \neq 0, \]

Dosadíme \(x=-1\):

\[ -1 + 1 + 4 – 4 = 0, \]

takže \(x = -1\) je kořen.

Vydělíme kubickou rovnici polynomem \((x+1)\) pomocí Hornerovy metody:

Koeficienty: \(1, 1, -4, -4\)

Postup:

1 (přeneseme), \(1 * (-1) = -1, 1 -1 = 0, 0 * (-1) = 0, -4 + 0 = -4, -4 * (-1) = 4, -4 + 4 = 0\) \((\)zbytek \(0)\)

Výsledný kvadratický polynom:

\[ x^2 – 4 = 0. \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\[ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2. \]

Celkové řešení rovnice je tedy:

\[ x = 0 \text{ (dvojitý kořen)}, \quad x = -1, \quad x = 2, \quad x = -2. \]

Řešení příkladu:

Hledáme racionální kořeny mezi dělitelů čísla \(2\): \(\pm 1, \pm 2\).

Dosadíme \(x=1\):

\[ 1 – 3 + 2 = 0, \]

takže \(x=1\) je kořen.

Vydělíme polynom \((x^3 – 3x + 2)\) polynomem \((x – 1)\):

Koeficienty: \(1, 0, -3, 2\)

Postup Hornerovy metody:

1 (přeneseme), \(1*1=1, 0+1=1, 1*1=1, -3+1=-2, -2*1=-2, 2-2=0\)

Výsledný polynom druhého stupně:

\[ x^2 + x – 2 = 0. \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\[ D = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. \]

Kořeny jsou:

\[ x = \frac{-1 \pm 3}{2}. \]

Tedy:

\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -2. \]

Celkové řešení rovnice je:

\[ x = 1, \quad 1, \quad -2, \]

kde kořen \(x=1\) je dvojnásobný.

Řešení příkladu:

Opět použijeme substituci \(y = x^2\), dostáváme kvadratickou rovnici:

\[ y^2 – 10y + 9 = 0. \]

Vypočítáme diskriminant:

\[ D = (-10)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 – 36 = 64. \]

Kořeny \(y\) jsou:

\[ y = \frac{10 \pm 8}{2}. \]

Tedy:

\[ y_1 = 9, \quad y_2 = 1. \]

Nyní dosadíme zpět \(x^2 = y\):

\[ x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3, \]

\[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1. \]

Řešení jsou čtyři reálné kořeny:

\[ x = \pm 3, \quad \pm 1. \]

Řešení příkladu:

Nejprve vyzkoušíme racionální kořeny z dělitelů čísla \(1\): \(\pm 1\).

Dosadíme \(x=1\):

\[ 1 – 1 – 1 + 1 = 0, \]

takže \(x=1\) je kořen.

Vydělíme polynom \((x^5 – x^4 – x + 1)\) polynomem \((x – 1)\) pomocí Hornerovy metody.

Koeficienty: \(1, -1, 0, 0, -1, 1\)

Postup:

1 (přeneseme), \(1*1=1, -1+1=0, 0*1=0, 0+0=0, 0*1=0, -1+0=-1, -1*1=-1, 1-1=0\)

Výsledný polynom čtvrtého stupně:

\[ x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x -1 = x^4 – 1 = 0. \]

Řešíme tedy rovnici:

\[ x^4 – 1 = 0, \]

která byla řešena v příkladu \(31\).

Má kořeny:

\[ x = \pm 1, \quad \pm i. \]

Celkové řešení rovnice je:

\[ x = 1, \quad -1, \quad 1, \quad -1, \quad i, \quad -i, \]

přičemž kořen \(x=1\) má násobnost \(2\).

Řešení příkladu:

Hledáme racionální kořeny mezi dělitelů čísla \(6\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).

Dosadíme \(x=1\):

\[ 1 – 7 + 6 = 0, \]

takže \(x=1\) je kořen.

Vydělíme polynom \((x^3 – 7x + 6)\) polynomem \((x-1)\) pomocí Hornerovy metody:

Koeficienty: \(1, 0, -7, 6\)

Postup:

1 (přeneseme), \(1*1=1, 0+1=1, 1*1=1, -7+1=-6, -6*1=-6, 6-6=0\)

Výsledný polynom druhého stupně:

\[ x^2 + x – 6 = 0. \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\[ D = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25. \]

Kořeny jsou:

\[ x = \frac{-1 \pm 5}{2}. \]

Tedy:

\[ x_1 = 2, \quad x_2 = -3. \]

Celkové řešení rovnice je:

\[ x = 1, \quad 2, \quad -3. \]

Řešení příkladu:

Všimneme si, že rovnice je přesně rozvojem binomu \((x + 1)^4\), tedy:

\[ (x + 1)^4 = 0. \]

Máme tedy jeden kořen s násobností \(4\):

\[ x = -1. \]

Řešení příkladu:

Krok 1: Rozpoznání typu rovnice.

Rovnice \(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0\) připomíná **binomický rozvoj**. Porovnáme s rozvojem \((x+1)^4\):

\[ (x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \]

Krok 2: Přepsání rovnice.

Rovnici tedy můžeme napsat jako:

\[ (x + 1)^4 = 0 \]

Krok 3: Řešení.

Máme jediný kořen s násobností 4:

\[ x = -1 \]

Krok 4: Závěr.

Rovnice má tedy jediný kořen \(x = -1\) čtyřnásobný.

Řešení příkladu:

Rovnice je čtvrtého stupně, ale můžeme použít substituci \(y = x^2\), čímž dostaneme kvadratickou rovnici v \(y\):

\[ y^2 – 5y + 6 = 0. \]

Vypočítáme diskriminant:

\[ D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1. \]

Kořeny rovnice pro \(y\):

\[ y_1 = \frac{5 – 1}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3. \]

Nyní zpět k \(x\):

\[ x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}, \]

a také

\[ x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}. \]

Celkové řešení rovnice je tedy:

\[ x = \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3}. \]

Řešení příkladu:

Hledáme kořeny kubické rovnice. Nejprve zkusíme najít racionální kořeny pomocí pravidla o dělitelích konstanty \(6\):

Dělitelé: \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\).

Vyzkoušíme \(x=1\):

\[ 1 – 6 + 11 – 6 = 0, \]

takže \(x=1\) je kořen.

Polynom vydělíme \((x-1)\) pomocí Hornerovy metody nebo dělením polynomů:

\[ x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = (x – 1)(x^2 – 5x + 6). \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\[ x^2 – 5x + 6 = 0. \]

Diskriminant:

\[ D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1. \]

Kořeny:

\[ x = \frac{5 \pm 1}{2}. \]

Tedy

\[ x_1 = 3, \quad x_2 = 2. \]

Celkové řešení rovnice je:

\[ x = 1, 2, 3. \]

Řešení příkladu:

Rovnici lze přepsat jako:

\[ x^4 = 16. \]

Použijeme substituci \(y = x^2\), což vede k:

\[ y^2 = 16. \]

Kořeny v \(y\) jsou:

\[ y = \pm 4. \]

Protože \(y = x^2\), platí:

\[ x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2, \]

a

\[ x^2 = -4, \]

což nemá řešení v reálných číslech.

Celková reálná řešení jsou tedy:

\[ x = \pm 2. \]

Řešení příkladu:

Rovnice odpovídá rozvoji binomu \((x + 1)^3\):

\[ (x + 1)^3 = 0. \]

Jediný kořen je tedy:

\[ x = -1, \]

kořen s násobností \(3\).

Řešení příkladu:

Rovnici můžeme upravit jako:

\[ x(x^4 – 4x^2 + 1) = 0. \]

První kořen je tedy zřejmý:

\[ x = 0. \]

Nyní řešíme kvadratickou rovnici v \(y = x^2\):

\[ y^2 – 4y + 1 = 0. \]

Diskriminant:

\[ D = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 – 4 = 12. \]

Kořeny:

\[ y = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}. \]

Zpět k \(x\):

\[ x^2 = 2 + \sqrt{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{2 + \sqrt{3}}, \]

a

\[ x^2 = 2 – \sqrt{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{2 – \sqrt{3}}. \]

Celková řešení jsou tedy:

\[ x = 0, \pm \sqrt{2 + \sqrt{3}}, \pm \sqrt{2 – \sqrt{3}}. \]

Řešení příkladu:

Tato rovnice odpovídá hledání všech šestých kořenů jednotky v komplexních číslech.

Kořeny jsou dány vzorcem:

\[ x_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{6}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{6}\right), \quad k = 0,1,\ldots,5. \]

Tedy kořeny jsou:

\[ x_0 = 1, \quad x_1 = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}, \]

\[ x_3 = -1, \quad x_4 = -\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_5 = \frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Těchto šest kořenů tvoří pravidelný šestiúhelník na jednotkové kružnici v komplexní rovině.

Řešení příkladu:

Rovnici můžeme upravit vyjmutím společného faktoru \(x\):

\[ x(x^3 – 5x^2 + 8x – 4) = 0. \]

První kořen je tedy zřejmý:

\[ x = 0. \]

Nyní řešíme kubickou rovnici:

\[ x^3 – 5x^2 + 8x – 4 = 0. \]

Zkusíme najít racionální kořeny pomocí pravidla dělitelů konstanty \(4\):

Dělitelé: \(\pm1, \pm2, \pm4\).

Vyzkoušíme \(x=1\):

\[ 1 – 5 + 8 – 4 = 0, \]

takže \(x=1\) je kořen.

Polynom vydělíme \((x-1)\) pomocí Hornerovy metody:

\[ x^3 – 5x^2 + 8x – 4 = (x – 1)(x^2 – 4x + 4). \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\[ x^2 – 4x + 4 = 0. \]

Diskriminant je:

\[ D = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0, \]

proto je jeden dvojnásobný kořen:

\[ x = \frac{4}{2} = 2. \]

Celková řešení rovnice jsou tedy:

\[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2 \text{ (dvojnásobný kořen)}. \]

Řešení příkladu:

Vyjmeme společný faktor \(x^2\):

\[ x^2 (x^3 – x^2 – 4x + 4) = 0. \]

První kořen je tedy:

\[ x = 0, \]

a to s násobností \(2\).

Řešíme kubickou rovnici:

\[ x^3 – x^2 – 4x + 4 = 0. \]

Vyzkoušíme racionální kořeny – dělitele \(4\):

\(\pm1, \pm2, \pm4\).

Pro \(x=1\):

\[ 1 – 1 – 4 + 4 = 0, \]

proto \(x=1\) je kořen.

Polynom vydělíme \((x-1)\):

\[ x^3 – x^2 – 4x + 4 = (x-1)(x^2 – 4). \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\[ x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2. \]

Celková řešení jsou:

\[ x = 0 \text{ (dvojnásobný kořen)}, \quad x = 1, \quad x = 2, \quad x = -2. \]

Řešení příkladu:

Použijeme substituci \(y = x^2\), rovnice se změní na:

\[ y^2 – 10y + 9 = 0. \]

Diskriminant je:

\[ D = (-10)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 – 36 = 64. \]

Kořeny \(y\):

\[ y_1 = \frac{10 – 8}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9. \]

Zpět k \(x\):

\[ x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1, \]

a

\[ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3. \]

Celková řešení jsou tedy:

\[ x = \pm 1, \pm 3. \]

Řešení příkladu:

Vyzkoušíme racionální kořeny z dělitelů konstanty \(2\):

\(\pm1, \pm2\).

Pro \(x=1\):

\[ 1 + 2 – 1 – 2 = 0, \]

takže \(x=1\) je kořen.

Polynom vydělíme \((x-1)\) pomocí Hornerovy metody:

\[ x^3 + 2x^2 – x – 2 = (x – 1)(x^2 + 3x + 2). \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\[ x^2 + 3x + 2 = 0. \]

Diskriminant:

\[ D = 9 – 8 = 1. \]

Kořeny:

\[ x = \frac{-3 \pm 1}{2}. \]

Tedy

\[ x = -1, \quad x = -2. \]

Celkové řešení rovnice:

\[ x = 1, -1, -2. \]

Řešení příkladu:

Rovnice odpovídá hledání všech šestých kořenů čísla \(64\).

Převedeme na tvar:

\[ x^6 = 64 = 2^6. \]

Všechny šesté kořeny jsou komplexní čísla daná vzorcem:

\[ x_k = 2 \left(\cos\frac{2\pi k}{6} + i \sin\frac{2\pi k}{6}\right), \quad k=0,1,2,3,4,5. \]

Vyjmenujme je:

• \(x_0 = 2\)
• \(x_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2 \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3}\)
• \(x_2 = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + i \sqrt{3}\)
• \(x_3 = 2\left(\cos \pi + i \sin \pi\right) = -2\)
• \(x_4 = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 – i \sqrt{3}\)
• \(x_5 = 2\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 – i \sqrt{3}\)

Celkem tedy máme šest kořenů, čtyři komplexní a dva reálné (\(2\) a \(-2\)).

Řešení příkladu:

Tato rovnice je známý vzorec binomického rozvoje pro \((x+1)^4\):

\[ (x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1. \]

Rovnice tedy odpovídá:

\[ (x+1)^4 = 0. \]

Kořen je dvojnásobný, vlastně čtyřnásobný:

\[ x = -1. \]

Řešení příkladu:

Vyzkoušíme racionální kořeny \(\pm1, \pm2\):

Pro \(x=1\):

\[ 1 – 3 + 2 = 0, \]

takže \(x=1\) je kořen.

Vydělíme polynom \((x-1)\):

\[ x^3 – 3x + 2 = (x-1)(x^2 + x – 2). \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\[ x^2 + x – 2 = 0. \]

Diskriminant:

\[ D = 1 + 8 = 9. \]

Kořeny:

\[ x = \frac{-1 \pm 3}{2}. \]

Tedy

\[ x = 1, \quad x = -2. \]

Celková řešení rovnice:

\[ x = 1 \text{ (dvojnásobný kořen)}, \quad x = -2. \]

Řešení příkladu:

Hledáme páté kořeny jedničky, což jsou komplexní čísla na jednotkové kružnici:

\[ x_k = \cos\frac{2\pi k}{5} + i \sin\frac{2\pi k}{5}, \quad k=0,1,2,3,4. \]

Jsou to tedy:

• \(x_0 = 1\)
• \(x_1 = \cos\frac{2\pi}{5} + i \sin\frac{2\pi}{5}\)
• \(x_2 = \cos\frac{4\pi}{5} + i \sin\frac{4\pi}{5}\)
• \(x_3 = \cos\frac{6\pi}{5} + i \sin\frac{6\pi}{5}\)
• \(x_4 = \cos\frac{8\pi}{5} + i \sin\frac{8\pi}{5}\)

Řešení příkladu:

Rovnici můžeme považovat za kvadratickou rovnici ve tvaru \(y = x^2\), tedy:

\[ y^2 – 5y + 6 = 0. \]

Vypočítáme diskriminant:

\[ D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1. \]

Kořeny rovnice pro \(y\) jsou:

\[ y_1 = \frac{5 – \sqrt{1}}{2} = \frac{5 – 1}{2} = 2, \]

\[ y_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3. \]

Nyní zpětně dosadíme za \(y = x^2\) a řešíme dvě kvadratické rovnice:

1. Pro \(x^2 = 2\):

\[ x = \pm \sqrt{2}. \]

2. Pro \(x^2 = 3\):

\[ x = \pm \sqrt{3}. \]

Celková řešení rovnice jsou tedy

\[ x = \pm \sqrt{2}, \quad x = \pm \sqrt{3}. \]

Ověření: Dosadíme zpět do původní rovnice a ověříme, že platí.

Řešení příkladu:

Vyzkoušíme racionální kořeny \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\):

Pro \(x=1\):

\[ 1 – 7 + 6 = 0, \]

takže \(x=1\) je kořen.

Polynom vydělíme \((x-1)\):

\[ x^3 – 7x + 6 = (x-1)(x^2 + x – 6). \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\[ x^2 + x – 6 = 0. \]

Diskriminant:

\[ D = 1 + 24 = 25. \]

Kořeny:

\[ x = \frac{-1 \pm 5}{2}. \]

Tedy

\[ x = 2, \quad x = -3. \]

Celková řešení rovnice:

\[ x = 1, \quad x = 2, \quad x = -3. \]

Řešení příkladu:

Nejprve vytkneme společný člen \(x\):

\[ x(x^4 – 5x^2 + 4) = 0. \]

Tudíž jeden kořen je:

\[ x = 0. \]

Teď řešíme kvadratický výraz v \(y = x^2\):

\[ y^2 – 5y + 4 = 0. \]

Diskriminant je:

\[ D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 – 16 = 9. \]

Kořeny pro \(y\):

\[ y_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4, \quad y_2 = \frac{5 – 3}{2} = 1. \]

Zpět k \(x\):

\[ x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2, \]

\[ x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1. \]

Řešení jsou tedy:

\[ x = 0, \quad \pm 1, \quad \pm 2. \]

Řešení příkladu:

Použijeme substituci \(y = x^2\), dostáváme:

\[ y^3 – 7y^2 + 14y – 8 = 0. \]

Zkusíme racionální kořeny z dělitelů čísla \(8\): \(\pm1, \pm2, \pm4, \pm8\).

Dosazením zjistíme, že:

\(y=1\) není, \(y=2\):

\[ 8 – 28 + 28 – 8 = 0, \]

takže kořen je \(y=2\).

Polynom rozdělíme synteticky:

\[ y^3 – 7y^2 + 14y – 8 = (y – 2)(y^2 – 5y + 4). \]

Řešíme kvadratickou část:

\[ y^2 – 5y + 4 = 0 \]

Diskriminant:

\[ D = 25 – 16 = 9. \]

Kořeny:

\[ y = \frac{5 \pm 3}{2}, \quad y_1 = 4, \quad y_2 = 1. \]

Všechny výsledky: \(y = 2, 4, 1\).

Zpět k \(x\):

\[ x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}, \]

\[ x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2, \]

\[ x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1. \]

Celková řešení:

\[ x = \pm 1, \quad \pm \sqrt{2}, \quad \pm 2. \]

Řešení příkladu:

Vytkneme společného \(x\):

\[ x(x^3 – 2x^2 – x + 2) = 0. \]

Jeden kořen je tedy \(x = 0\).

Nyní kubická část:

\[ x^3 – 2x^2 – x + 2 = 0. \]

Vyzkoušíme racionální kořeny (dělitelé 2): \(x=1\):

\[ 1 – 2 – 1 + 2 = 0, \]

takže \(x = 1\) je kořen.

Rozložíme:

\[ x^3 – 2x^2 – x + 2 = (x – 1)(x^2 – x – 2). \]

Řešíme kvadratickou rovnici:

\[ x^2 – x – 2 = 0. \]

Diskriminant:

\[ D = 1 + 8 = 9. \]

Kořeny:

\[ x = \frac{1 \pm 3}{2}, \quad x_1 = 2, \quad x_2 = -1. \]

Celková řešení:

\[ x = 0, \quad 1, \quad 2, \quad -1. \]

Řešení příkladu:

Substituce \(y = x^2\) dává:

\[ y^3 – 9y^2 + 27y – 27 = 0. \]

Testujeme racionální kořeny (dělitels 27): \(y=3\):

\[ 27 – 81 + 81 – 27 = 0, \]

takže \(y = 3\) je kořen.

Rozložíme:

\[ (y – 3)(y^2 – 6y + 9) = 0. \]

Kvadratická část má dvojnásobný kořen:

\[ y = \frac{6}{2} = 3. \]

Takže \(y=3\) má násobnost \(3\).

Zpět:

\[ x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}. \]

Každý kořen vznikl téměř třikrát – ve skutečnosti ale dvě varianty: \(+\sqrt{3}, -\sqrt{3}\), každá s násobností.

Řešení příkladu:

Skupíme členy a vyjmeme \(x^2\):

\[ x^2(x^3 – x – x + 1) = x^2(x^3 – 2x + 1) = 0. \]

Máme dvojnásobný kořen \(x=0\).

Nyní řešíme:

\[ x^3 – 2x + 1 = 0. \]

Dosazením \(x=1\):

\[ 1 – 2 + 1 = 0, \]

získáme \(x=1\).

Rozkladem:

\[ x^3 – 2x + 1 = (x – 1)(x^2 + x – 1). \]

Kvadratikou řešíme:

\[ D = 1 + 4 = 5, \]

Kořeny:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}. \]

Řešení:

\[ x = 0 \text{(dvojnásobný)}, \quad 1, \quad \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}. \]

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^6 – 5x^3 + 4 = 0\) je rovnice šestého stupně, avšak obsahuje pouze mocniny \(x^6\) a \(x^3\), což nás vede ke vhodné substituci. Zavedeme substituci \(y = x^3\). Tím rovnici převedeme na kvadratickou rovnici v proměnné \(y\):

\(y^2 – 5y + 4 = 0\)

Spočítáme diskriminant:

\(D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 – 16 = 9\)

Rovnice má dva reálné kořeny:

\(y_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4\), \(y_2 = \frac{5 – 3}{2} = 1\)

Nyní se vrátíme k proměnné \(x\), tedy řešíme rovnice:

\(x^3 = 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{4}\)

\(x^3 = 1 \Rightarrow x = 1\) (pozn. rovnice \(x^3 = 1\) má komplexní kořeny, ale hledáme reálné, pokud není určeno jinak)

Celkově tedy reálná řešení jsou:

\(x = 1\), \(x = \sqrt[3]{4}\)

Řešení příkladu:

Tato rovnice je rovnice čtvrtého stupně, ale obsahuje pouze sudé mocniny. Vhodně zavedeme substituci \(y = x^2\), čímž převedeme rovnici na kvadratickou v \(y\):

\(y^2 – 8y + 7 = 0\)

Diskriminant:

\(D = (-8)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 – 28 = 36\)

Kořeny rovnice:

\(y_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7\), \(y_2 = \frac{8 – 6}{2} = 1\)

Nyní řešíme rovnice \(x^2 = 7\) a \(x^2 = 1\)

Získáváme čtyři řešení:

\(x = \pm \sqrt{7}\), \(x = \pm 1\)

Řešení příkladu:

Rovnice obsahuje pouze sudé mocniny, zavedeme substituci \(y = x^2\):

\(y^2 + 4y + 3 = 0\)

Diskriminant:

\(D = 16 – 12 = 4\)

Kořeny:

\(y = -1\), \(y = -3\)

Řešíme \(x^2 = -1\), \(x^2 = -3\)

Obě rovnice nemají řešení v množině reálných čísel. Rovnice tedy nemá žádné reálné řešení.

Řešení příkladu:

Tato rovnice je již rozfaktorizovaná. Položíme jednotlivé faktory rovny nule:

\(x^3 = 0 \Rightarrow x = 0\)

\((x – 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2\)

Řešením rovnice jsou tedy hodnoty:

\(x = 0\) (trojitý kořen), \(x = 2\) (dvojnásobný kořen)

Řešení příkladu:

Prvním krokem je vytknutí \(x\):

\(x(x^4 – 1) = 0\)

Řešíme:

\(x = 0\)

a rovnice \(x^4 – 1 = 0\)

Tu dále upravíme jako:

\(x^4 – 1 = (x^2 – 1)(x^2 + 1) = (x – 1)(x + 1)(x^2 + 1)\)

Řešení:

\(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -1\)

Rovnice \(x^2 + 1 = 0\) nemá reálné řešení.

Celkem tedy:

\(x = -1\), \(x = 0\), \(x = 1\)

Řešení příkladu:

Jedná se o rovnici čtvrtého stupně se všemi mocninami přítomnými. Zkusíme nejprve hledat racionální kořeny pomocí tzv. Racionální kořenové věty. Možné racionální kořeny jsou dělitele konstantního členu \(4\) a vedoucího koeficientu \(1\), tedy:

Možné hodnoty: \( \pm1, \pm2, \pm4 \)

Vyzkoušíme postupně:

Pro \(x = 1\): \(1 – 2 – 3 + 4 + 4 = 4 \neq 0\)

Pro \(x = -1\): \(1 + 2 – 3 – 4 + 4 = 0\), takže \(x = -1\) je kořen!

Provedeme dělení mnohočlenu \((x^4 – 2x^3 – 3x^2 + 4x + 4)\) polynomem \((x + 1)\) pomocí Hornerova schématu nebo klasického dělení.

Po dělení dostaneme: \(x^4 – 2x^3 – 3x^2 + 4x + 4 = (x + 1)(x^3 – 3x^2 + 0x + 4)\)

Nyní řešíme kubickou rovnici \(x^3 – 3x^2 + 4 = 0\). Opět použijeme racionální kořenovou větu. Možnosti: \( \pm1, \pm2, \pm4 \)

Pro \(x = 1\): \(1 – 3 + 4 = 2\), nevyhovuje.

Pro \(x = 2\): \(8 – 12 + 4 = 0\), takže \(x = 2\) je další kořen.

Dělíme tedy \(x^3 – 3x^2 + 4\) polynomem \((x – 2)\), získáme:

\(x^3 – 3x^2 + 4 = (x – 2)(x^2 – x – 2)\)

A nyní roznásobíme celý výraz:

\(x^4 – 2x^3 – 3x^2 + 4x + 4 = (x + 1)(x – 2)(x^2 – x – 2)\)

Poslední kvadratickou rovnici řešíme klasicky:

Diskriminant: \(D = (-1)^2 + 8 = 9\)

Kořeny: \(x = \frac{1 \pm 3}{2} \Rightarrow x = 2, x = -1\)

Celkové řešení: \(x = -1\) (dvojnásobně), \(x = 2\) (dvojnásobně)

Řešení příkladu:

Vzhledem k přítomnosti mocnin \(x^6\) a \(x^3\) použijeme substituci \(y = x^3\), čímž získáme:

\(y^2 – 9y + 8 = 0\)

Diskriminant: \(D = 81 – 32 = 49\)

Kořeny: \(y = \frac{9 \pm 7}{2} \Rightarrow y = 8, y = 1\)

Vracíme se k původní proměnné:

\(x^3 = 8 \Rightarrow x = 2\)

\(x^3 = 1 \Rightarrow x = 1\)

Celkem máme dvě reálná řešení: \(x = 1\), \(x = 2\)

Řešení příkladu:

Nejprve vytkneme nejnižší mocninu, která se opakuje, tedy \(x^2\):

\(x^2(x^3 + 2x^2 – x – 2) = 0\)

Máme tedy dva zřejmé kořeny: \(x = 0\) (dvojnásobně)

Zbylý faktor: \(x^3 + 2x^2 – x – 2\)

Racionální kořenová věta: možnosti \( \pm1, \pm2 \)

Pro \(x = 1\): \(1 + 2 – 1 – 2 = 0\), takže \(x = 1\) je kořen

Dělením získáme: \((x – 1)(x^2 + 3x + 2)\)

Rovnice se tedy rozpadá:

\(x^5 + 2x^4 – x^3 – 2x^2 = x^2(x – 1)(x + 1)(x + 2)\)

Celkem řešení:

\(x = 0\) (dvojnásobně), \(x = -2\), \(x = -1\), \(x = 1\)

Řešení příkladu:

Substituce \(y = x^2\) vede na rovnici:

\(y^3 – 4y + 3 = 0\)

Hledáme racionální kořeny: \( \pm1, \pm3 \)

Pro \(y = 1\): \(1 – 4 + 3 = 0\), takže \(y = 1\) je kořen

Dělení: \((y – 1)(y^2 + y – 3)\)

Kořeny kvadratické rovnice: \(y = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}\)

Nyní řešíme rovnici \(x^2 = y\), tedy:

\(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1\)

\(x^2 = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}\)

Zde jeden z kořenů je záporný (nemá reálné řešení), druhý kladný:

\(y = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} > 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{ \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} }\)

Celkem čtyři reálná řešení:

\(x = \pm1\), \(x = \pm \sqrt{ \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} }\)

Řešení příkladu:

Zavedeme substituci \(y = x^2\):

Rovnice přejde na \(y^2 – 10y + 25 = 0\)

Diskriminant: \(D = 100 – 100 = 0\)

Dvojitý kořen: \(y = 5\)

Nyní řešíme \(x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5}\)

Rovnice má tedy dvě reálná řešení (ale každé dvojnásobné):

\(x = \pm \sqrt{5}\)

Řešení příkladu:

Nejprve použijeme substituci \(y = x^2\), čímž získáme kvadratickou rovnici:

\(y^2 – 5y + 6 = 0\)

Diskriminant vypočítáme jako \(D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1\)

Kořeny této kvadratické rovnice jsou:

\(y = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\)

První kořen: \(y_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3\)

Druhý kořen: \(y_2 = \frac{5 – 1}{2} = 2\)

Nyní vracíme substituci zpět na proměnnou \(x\), tedy řešíme dvě kvadratické rovnice:

\(x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}\)

\(x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}\)

Celkem tedy získáváme čtyři reálná řešení:

\(x = \pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{2}\)

Tím jsme rovnici úspěšně vyřešili.

Řešení příkladu:

Nejprve zkusíme vytknout společný faktor. Vidíme, že všechny členy obsahují \(x^2\), takže vytkneme \(x^2\):

\(x^2(x^3 – x^2 – 4x + 4) = 0\)

Odtud máme první dvě řešení: \(x = 0\) s násobností \(2\).

Nyní se zaměříme na řešení kubické rovnice \(x^3 – x^2 – 4x + 4 = 0\).

Vyzkoušíme racionální kořeny podle kořenové věty. Možné kořeny jsou dělitele 4: \(\pm1, \pm2, \pm4\).

Zkoušíme \(x=1\): \(1 -1 -4 +4 = 0\), takže \(x=1\) je kořen.

Provedeme dělení polynomu \(x^3 – x^2 – 4x + 4\) polynomem \(x – 1\).

Výsledkem je kvadratický polynom: \(x^2 – 4\).

Řešíme tedy \(x^2 – 4 = 0\), což dává kořeny \(x = \pm 2\).

Celkem řešení rovnice jsou:

\(x = 0\) (dvojnásobný kořen), \(x = 1\), \(x = 2\), \(x = -2\).

Řešení příkladu:

Tento mnohočlen připomíná vzorec rozvoje \((a + b)^n\).

Ve skutečnosti se jedná o rozvoj Newtonovy binomické věty pro \((x + 1)^4\):

\((x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\)

Rovnice tedy je:

\((x + 1)^4 = 0\)

Kořen této rovnice je \(x = -1\) s násobností \(4\).

Tedy řešení je:

\(x = -1\) (čtyřnásobný kořen)

Řešení příkladu:

Využijeme substituci \(y = x^3\), tím získáme kvadratickou rovnici:

\(y^2 – 7y + 6 = 0\)

Diskriminant vypočteme:

\(D = (-7)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 – 24 = 25\)

Kořeny rovnice jsou:

\(y = \frac{7 \pm 5}{2}\)

První kořen: \(y_1 = \frac{7 + 5}{2} = 6\)

Druhý kořen: \(y_2 = \frac{7 – 5}{2} = 1\)

Nyní zpět k \(x\):

\(x^3 = 6\) – řešíme kubickou rovnici, kořen je \(x = \sqrt[3]{6}\)

\(x^3 = 1\) – řešení je \(x = 1\)

Rovnice tedy má dvě reálná řešení:

\(x = \sqrt[3]{6}, \quad x = 1\)

Řešení příkladu:

Tento mnohočlen odpovídá rozvoji Newtonovy binomické věty pro \((x – 1)^4\):

\((x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1\)

Rovnice je tedy:

\((x – 1)^4 = 0\)

Kořen je \(x = 1\) s násobností \(4\).

Tedy řešení je:

\(x = 1\) (čtyřnásobný kořen)

Řešení příkladu:

Pro řešení této rovnice použijeme substituci \(y = x^2\), což nám převede rovnici na kvadratickou:

\(y^2 – 8y + 16 = 0\)

Vypočítáme diskriminant \(D\):

\(D = (-8)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 – 64 = 0\)

Diskriminant je nula, takže rovnice má jeden dvojnásobný kořen:

\(y = \frac{8}{2} = 4\)

Nyní vrátíme substituci zpět:

\(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\)

Protože kořen \(y=4\) má násobnost \(2\), kořeny \(x = 2\) a \(x = -2\) jsou také dvojnásobné.

Řešení rovnice jsou tedy:

\(x = 2\) (dvojnásobný kořen), \(x = -2\) (dvojnásobný kořen)

Řešení příkladu:

Tato rovnice je ve tvaru \(x^n = a\), konkrétně \(x^5 = 32\).

Pro vyřešení této rovnice najdeme pátý odmocninu čísla \(32\).

Vzhledem k tomu, že \(32 = 2^5\), platí:

\(x = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2\)

Protože rovnice je pátého stupně, existuje celkem \(5\) kořenů v komplexní rovině, z nichž jeden je reálný (druhý nalezený níže jsou komplexní):

Obecné řešení lze vyjádřit pomocí komplexních kořenů jednotky:

\(x_k = 2 \cdot \text{cis}\left(\frac{2k\pi}{5}\right), \quad k=0,1,2,3,4\)

kde \(\text{cis}(\theta) = \cos \theta + i \sin \theta\).

Reálný kořen je pro \(k=0\), tedy \(x=2\).

Ostatní čtyři jsou komplexní kořeny rovnoměrně rozmístěné na kružnici v komplexní rovině.

Řešení příkladu:

Tato čtvrtá rovnice není okamžitě faktorizovatelná, proto vyzkoušíme hledání racionálních kořenů podle kořenové věty.

Možné kořeny jsou dělitele čísla 12: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\).

Vyzkoušíme hodnoty postupně:

Pro \(x=1\): \(1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0\) → \(1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0\), ano, tedy \(x=1\) je kořen.

Provedeme dělení polynomu \(x^4 + 2x^3 – 7x^2 – 8x + 12\) polynomem \(x – 1\) (metoda Hornerova schématu nebo dělení polynomů).

Výsledkem je třetí stupeň: \(x^3 + 3x^2 – 4x – 12\).

Opět hledáme kořeny této kubické rovnice.

Zkoušíme racionální kořeny \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \):

Pro \(x=2\): \(8 + 12 – 8 – 12 = 0\), ano, \(x=2\) je kořen.

Dělením \(x^3 + 3x^2 – 4x – 12\) polynomem \(x – 2\) dostaneme kvadratický polynom:

\(x^2 + 5x + 6\)

Řešíme kvadratickou rovnici:

\(x^2 + 5x + 6 = 0\)

Diskriminant:

\(D = 25 – 24 = 1\)

Kořeny:

\(x = \frac{-5 \pm 1}{2}\)

\(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\)

Celkově jsou tedy kořeny rovnice:

\(x = 1, 2, -2, -3\)

Řešení příkladu:

Rovnice je ve tvaru \(x^6 = 1\), tedy hledáme šesté kořeny jednotky.

Řešení lze zapsat jako:

\(x_k = \text{cis}\left(\frac{2k\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{k\pi}{3}\right), \quad k = 0, 1, \ldots, 5\)

Tyto kořeny jsou rovnoměrně rozloženy na jednotkové kružnici v komplexní rovině:

– \(x_0 = 1\)

– \(x_1 = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\)

– \(x_2 = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\)

– \(x_3 = -1\)

– \(x_4 = -\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\)

– \(x_5 = \frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Reálné kořeny jsou tedy \(x=1\) a \(x=-1\), ostatní jsou komplexní.

Řešení příkladu:

Hledáme kořeny kubické rovnice \(x^3 – 3x + 2 = 0\).

Nejprve zkusíme hledat racionální kořeny pomocí kořenové věty – dělitele konstantního členu \(2\):

\(\pm 1, \pm 2\)

Vyzkoušíme \(x=1\):

\(1 – 3 + 2 = 0\) → \(0\), takže \(x=1\) je kořen.

Provedeme dělení polynomu \(x^3 – 3x + 2\) polynomem \(x – 1\), např. Hornerovou metodou.

Výsledkem je kvadratický polynom:

\(x^2 + x – 2\)

Řešíme kvadratickou rovnici:

\(x^2 + x – 2 = 0\)

Diskriminant:

\(D = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\)

Kořeny:

\(x = \frac{-1 \pm 3}{2}\)

\(x_1 = 1\), \(x_2 = -2\)

Celkem tedy máme kořeny:

\(x = 1\) (dvojnásobný kořen, protože se vyskytuje už při dělení), \(x = -2\)

Ověření: Kořen \(x=1\) se vyskytuje jednou při dělení, proto není dvojnásobný, takže kořeny jsou:

\(x=1, x=1, x=-2\)

Jinými slovy, kořeny jsou \(x=1\) (jednásobný kořen) a \(x=-2\).

Řešení příkladu:

Rovnici převedeme pomocí substituce \(y = x^2\), čímž získáme kvadratickou rovnici:

\(y^2 – 5y + 6 = 0\)

Vypočítáme diskriminant:

\(D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1\)

Kořeny kvadratické rovnice jsou:

\(y_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3\), \(y_2 = \frac{5 – 1}{2} = 2\)

Nyní vrátíme substituci:

\(x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}\)

\(x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}\)

Řešením původní rovnice jsou tedy kořeny:

\(x = \pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{2}\)

Řešení příkladu:

Rovnice je kubická, pokusíme se ji rozložit pomocí vzorce na součin nebo najít kořen.

Vyzkoušíme racionální kořeny mezi dělitelů konstanty 8: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\).

Pro \(x = -2\) spočítáme hodnotu:

\((-2)^3 + 6(-2)^2 + 12(-2) + 8 = -8 + 24 – 24 + 8 = 0\)

Takže \(x = -2\) je kořen.

Vydělíme polynom výrazem \(x + 2\) (dělení polynomů):

\(x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)(x^2 + 4x + 4)\)

Kvadratická část je:

\(x^2 + 4x + 4 = 0\)

Diskriminant:

\(D = 4^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0\)

Kořen je tedy dvojnásobný:

\(x = \frac{-4}{2} = -2\)

Celkově jsou kořeny rovnice:

\(x = -2\) (trojnásobný kořen)

Řešení příkladu:

Rovnici můžeme upravit:

\(x^5 – x = x(x^4 – 1) = 0\)

Takže platí \(x = 0\) nebo \(x^4 – 1 = 0\).

Řešíme rovnici \(x^4 = 1\).

Kořeny rovnice \(x^4 = 1\) jsou čtvrté kořeny jednotky:

\(x = \pm 1, \pm i\)

Celkem tedy kořeny rovnice jsou:

\(x = 0, \pm 1, \pm i\)

Řešení příkladu:

Hledáme racionální kořeny mezi dělitelů \(6\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).

Vyzkoušíme hodnoty:

Pro \(x=1\): \(1 – 7 + 6 = 0\) → kořen.

Provedeme dělení polynomu \(x^3 – 7x + 6\) polynomem \(x – 1\):

Výsledkem je kvadratický polynom:

\(x^2 + x – 6\)

Řešíme kvadratickou rovnici:

\(x^2 + x – 6 = 0\)

Diskriminant:

\(D = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\)

Kořeny:

\(x = \frac{-1 \pm 5}{2}\)

\(x_1 = 2\), \(x_2 = -3\)

Celkové řešení rovnice:

\(x = 1, 2, -3\)

Řešení příkladu:

Všimneme si, že levá strana je rozvojem binomu \((x + 1)^4\):

\((x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\)

Rovnice tedy zjednodušuje na:

\((x + 1)^4 = 0\)

Řešení je jediný kořen s násobností čtyři:

\(x = -1\)

Řešení příkladu:

Tato rovnice je čtvrtého stupně a obsahuje pouze sudé mocniny, což nás vede k použití substituce \(y = x^2\). Pak dostaneme kvadratickou rovnici:

\(y^2 – 10y + 9 = 0\)

Nejprve vypočítáme diskriminant \(D\):

\(D = (-10)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 – 36 = 64\)

Kořeny kvadratické rovnice jsou:

\(y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9\)

\(y_2 = \frac{10 – \sqrt{64}}{2} = \frac{10 – 8}{2} = 1\)

Nyní vracíme substituci \(y = x^2\):

\(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\)

\(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)

Tedy kompletní řešení původní rovnice je:

\(x = \pm 3, \pm 1\)

Řešení příkladu:

Nejprve se pokusíme najít racionální kořeny pomocí testování dělitelů konstanty \(12\), tedy \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \).

Pro \(x = 2\) spočítáme hodnotu polynomu:

\(2^3 – 3 \cdot 2^2 – 4 \cdot 2 + 12 = 8 – 12 – 8 + 12 = 0\)

Takže \(x = 2\) je kořen.

Vydělíme polynom výrazem \(x – 2\) pomocí dělení polynomů:

\(x^3 – 3x^2 – 4x + 12 = (x – 2)(x^2 – x – 6)\)

Řešíme kvadratickou rovnici \(x^2 – x – 6 = 0\).

Diskriminant:

\(D = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\)

Kořeny kvadratické rovnice jsou:

\(x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}\)

Tedy:

\(x_1 = 3\), \(x_2 = -2\)

Celkové řešení rovnice je:

\(x = 2, 3, -2\)

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^5 – 32 = 0\) je rovnicí pátého stupně, kterou můžeme upravit na tvar:

\(x^5 = 32\)

Hledáme páté kořeny čísla \(32\). V komplexních číslech má rovnice \(x^n = a\) \(n\) kořenů, zde tedy \(5\) kořenů.

Nejprve nalezneme hlavní reálný kořen:

\(x = \sqrt[5]{32} = 2\)

Pro komplexní kořeny použijeme vzorec pro \(n\)-té kořeny komplexního čísla v trigonometrické formě.

Číslo 32 v komplexní formě: \(32(\cos 0 + i \sin 0)\).

Obecné kořeny jsou:

\(x_k = \sqrt[5]{32} \left( \cos \frac{2k\pi}{5} + i \sin \frac{2k\pi}{5} \right), \quad k = 0,1,2,3,4\)

Tedy pět kořenů:

\(x_0 = 2\)

\(x_1 = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5} \right)\)

\(x_2 = 2 \left( \cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5} \right)\)

\(x_3 = 2 \left( \cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5} \right)\)

\(x_4 = 2 \left( \cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5} \right)\)

Řešení příkladu:

Rovnici se pokusíme rozložit pomocí grupování:

\(x^4 + 2x^3 – x – 2 = (x^4 + 2x^3) + (-x – 2)\)

Vytkneme společné faktory z každé skupiny:

\(x^3(x + 2) – 1(x + 2) = (x^3 – 1)(x + 2)\)

Nyní máme součin dvou výrazů, který se rovná nule:

\((x^3 – 1)(x + 2) = 0\)

Řešíme obě rovnice zvlášť:

\(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)

\(x^3 – 1 = 0 \Rightarrow x^3 = 1\)

Rovnice \(x^3 = 1\) má tři kořeny:

\(x = 1\),

a dva komplexní kořeny (komplexní třetí kořeny jednotky):

\(x = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(x = -\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Celkové řešení:

\(x = -2, 1, -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Řešení příkladu:

Zkusíme najít racionální kořeny pomocí dělitelů konstantního členu \(1\), tedy \( \pm 1 \).

Pro \(x = 1\):

\(1^5 – 1^4 – 1 + 1 = 1 – 1 – 1 + 1 = 0\)

Tedy \(x=1\) je kořen.

Vydělíme polynom výrazem \(x – 1\) pomocí dělení polynomů nebo Hornerova schématu:

Po dělení dostaneme:

\(x^5 – x^4 – x + 1 = (x – 1)(x^4 – 1)\)

Rovnice \(x^4 – 1 = 0\) se řeší jako:

\(x^4 = 1\)

Kořeny jsou čtvrté kořeny z jedničky:

\(x = \pm 1, \pm i\)

Celkové řešení rovnice je tedy:

\(x = 1, -1, i, -i\)

Řešení příkladu:

Rovnice je čtvrtého stupně s pouze sudými mocninami, takže použijeme substituci \(y = x^2\):

\(y^2 – 5y + 4 = 0\)

Vypočítáme diskriminant:

\(D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 – 16 = 9\)

Kořeny kvadratické rovnice:

\(y_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4\), \(y_2 = \frac{5 – 3}{2} = 1\)

Vrátíme substituci \(y = x^2\):

\(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\)

\(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)

Řešení rovnice jsou tedy \(x = \pm 2, \pm 1\).

Řešení příkladu:

Zkusíme najít racionální kořeny mezi dělitelkami konstanty \(6\): \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).

Vyzkoušíme \(x=1\):

\(1 – 6 + 11 – 6 = 0\), tedy \(x=1\) je kořen.

Dělením polynomu výrazem \(x-1\) dostaneme kvadratický polynom:

\(x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = (x – 1)(x^2 – 5x + 6)\)

Řešíme kvadratickou rovnici \(x^2 – 5x + 6 = 0\):

Diskriminant:

\(D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1\)

Kořeny:

\(x = \frac{5 \pm 1}{2}\)

Jsou tedy \(x=3\) a \(x=2\).

Celkové řešení je \(x = 1, 2, 3\).

Řešení příkladu:

Rovnici můžeme upravit vyjmutím společného faktoru:

\(x(x^4 – 1) = 0\)

Rovnice je splněna, když je \(x = 0\) nebo když platí:

\(x^4 – 1 = 0 \Rightarrow x^4 = 1\)

Řešíme čtvrtou mocninu jednotky, která má čtyři komplexní kořeny:

\(x = 1, -1, i, -i\)

Celkové řešení je tedy:

\(x = 0, \pm 1, \pm i\)

Řešení příkladu:

Tento polynom je identický s rozvojem \((x+1)^4\):

\((x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\)

Rovnice tedy lze napsat jako:

\((x + 1)^4 = 0\)

Kořen s násobností 4 je \(x = -1\).

Řešení je tedy jedno: \(x = -1\) s násobností \(4\).

Řešení příkladu:

Vyjmeme společný faktor \(x^2\):

\(x^2(x^3 – 2x^2 – x + 2) = 0\)

Rovnice je splněna, když platí \(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\) (dvojitý kořen).

Řešíme kubickou rovnici:

\(x^3 – 2x^2 – x + 2 = 0\)

Testujeme racionální kořeny z dělitelů \(2\): \( \pm 1, \pm 2\).

Pro \(x=1\):

\(1 – 2 – 1 + 2 = 0\), kořen nalezen.

Dělením polynomu výrazem \(x – 1\) dostaneme:

\(x^3 – 2x^2 – x + 2 = (x – 1)(x^2 – x – 2)\)

Řešíme kvadratickou rovnici \(x^2 – x – 2 = 0\):

Diskriminant:

\(D = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\)

Kořeny:

\(x = \frac{1 \pm 3}{2}\)

Tedy \(x = 2\) a \(x = -1\).

Celkové řešení rovnice je:

\(x = 0 \,(\text{dvojitý kořen}), 1, 2, -1\)

Řešení příkladu:

Tato rovnice připomíná rozvoj \((x – 1)^4\) nebo \((x – a)^4\), zkusme to ověřit.

Rozvinutí \((x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1\), což neodpovídá naší rovnici.

Zkusíme substituci \(y = x – 2\):

Vyjádříme původní výraz pomocí \(y\):

Po úpravě dostaneme, že rovnice je symetrická a lze ji rozložit na součin dvou kvadratických polynomů.

Rozklad na součin:

\(x^4 – 8x^3 + 18x^2 – 8x + 1 = (x^2 – 4x + 1)^2\)

Rovnice tedy odpovídá:

\((x^2 – 4x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x^2 – 4x + 1 = 0\)

Vyřešíme kvadratickou rovnici:

Diskriminant:

\(D = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 – 4 = 12\)

Kořeny:

\(x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\)

Řešení je tedy dvojitý kořen \(x = 2 + \sqrt{3}\) a dvojitý kořen \(x = 2 – \sqrt{3}\).

Řešení příkladu:

Rovnici můžeme upravit seskupením:

\((x^5 + x^4) – (x + 1) = 0\)

Vyjmeme společné faktory:

\(x^4(x + 1) – 1(x + 1) = 0\)

Získáme:

\((x + 1)(x^4 – 1) = 0\)

Řešíme jednotlivé faktory:

1) \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)

2) \(x^4 – 1 = 0 \Rightarrow x^4 = 1\)

Čtvrtá mocnina rovna jedné má kořeny:

\(x = \pm 1, \pm i\)

Celkové řešení rovnice je:

\(x = -1, 1, -1, i, -i\)

Protože \(x = -1\) se opakuje, je to dvojnásobný kořen.

Řešení příkladu:

Tento polynom je rozvojem \((x – 1)^3\):

\((x – 1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1\)

Rovnice tedy je:

\((x – 1)^3 = 0\)

Řešení je jedno: \(x = 1\) s násobností \(3\).

Řešení příkladu:

Rovnici můžeme napsat jako:

\((x^2)^2 – 1^2 = 0\)

Což je rozdíl dvou čtverců, rozložíme:

\((x^2 – 1)(x^2 + 1) = 0\)

Řešíme jednotlivé rovnice:

1) \(x^2 – 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\)

2) \(x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x = \pm i\)

Celkem jsou kořeny:

\(x = \pm 1, \pm i\)

Řešení příkladu:

Rovnice lze napsat jako:

\(x^5 = 32\)

Pravá strana je \(32 = 2^5\), proto hledáme páté odmocniny z \(32\).

Reálný kořen je:

\(x = 2\)

Komplexní páté kořeny jednotky jsou:

\(x = 2 \cdot \left(\cos\frac{2k\pi}{5} + i \sin\frac{2k\pi}{5}\right)\), kde \(k = 0, 1, 2, 3, 4\)

Celkem tedy pět kořenů: jeden reálný a čtyři komplexní.