Sinová věta a kosinová věta

Řešení:

Nejprve vypočítáme úhel \(C\). Víme, že součet úhlů v trojúhelníku je \(180^\circ\), takže můžeme spočítat \(C\) takto:

\[ C = 180^\circ – 30^\circ – 45^\circ = 105^\circ \]

Podle sinové věty platí vztah \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\). Tento vztah použijeme pro výpočet délky strany \(b\):

\[ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} \]

Dosadíme známé hodnoty:

\[ b = \frac{7 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{7 \cdot 0{,}7071}{0{,}5} \]

Po výpočtu zjistíme, že délka strany \(b\) je přibližně \(9{,}9\). Odpověď tedy je:

\[ b \approx 9{,}9 \]

Řešení:

Nejprve spočítáme úhel \(C\), protože součet všech úhlů v trojúhelníku je \(180^\circ\):

\[ C = 180^\circ – 40^\circ – 60^\circ = 80^\circ \]

Opět použijeme sinovou větu \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\) a dosadíme známé hodnoty:

\[ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} \]

Po dosazení konkrétních hodnot pro sinus úhlů získáme:

\[ b = \frac{10 \cdot 0{,}8660}{0{,}6428} \approx 13{,}5 \]

Výsledkem je, že délka strany \(b\) je přibližně \(13{,}5\). Odpověď je tedy:

\[ b \approx 13{,}5 \]

Řešení:

Podle sinové věty můžeme použít vztah \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\). Nejprve vyjádříme \(\sin B\) jako:

\[ \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{10 \cdot \sin 50^\circ}{8} \]

Dosadíme hodnoty pro \(\sin 50^\circ\) a provedeme výpočet:

\[ \sin B = \frac{10 \cdot 0{,}7660}{8} = 0{,}9575 \]

Pro výpočet úhlu \(B\) použijeme inverzní funkci sinus (arkussinus):

\[ B = \arcsin(0{,}9575) \approx 73{,}5^\circ \]

Úhel \(B\) je přibližně \(73{,}5^\circ\). Odpověď tedy je:

\[ B \approx 73{,}5^\circ \]

Řešení:

Pro tento úkol použijeme sinusovou větu, která říká, že \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\). Tato rovnice nám umožňuje spočítat úhel \(A\), pokud známe hodnoty pro strany \(a\) a \(c\) a úhel \(C\).

Nejprve přepíšeme rovnici pro \(\sin A\):

\[ \sin A = \frac{a \cdot \sin C}{c} \]

Dosadíme hodnoty do vzorce:

\[ \sin A = \frac{12 \cdot \sin 70^\circ}{15} = \frac{12 \cdot 0{,}9397}{15} \]

Po výpočtu zjistíme:

\[ \sin A = 0{,}7517 \]

Nyní použijeme inverzní funkci sinus (arkussinus) k výpočtu úhlu \(A\):

\[ A = \arcsin(0{,}7517) \approx 48{,}7^\circ \]

Úhel \(A\) tedy vychází přibližně na \(48{,}7^\circ\). Odpověď je tedy:

\[ A \approx 48{,}7^\circ \]

Řešení:

V tomto úkolu musíme nejprve zjistit úhel \(C\), protože součet úhlů v trojúhelníku je vždy \(180^\circ\). Takto spočítáme úhel \(C\):

\[ C = 180^\circ – 35^\circ – 55^\circ = 90^\circ \]

Nyní můžeme použít sinovou větu k výpočtu délky strany \(b\). Podle sinové věty víme, že \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\). Tuto rovnici upravíme pro \(b\):

\[ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} \]

Dosadíme známé hodnoty:

\[ b = \frac{9 \cdot \sin 55^\circ}{\sin 35^\circ} = \frac{9 \cdot 0{,}8192}{0{,}5736} \]

Po výpočtu dostaneme délku strany \(b\) přibližně \(12{,}85\). Odpověď je tedy:

\[ b \approx 12{,}85 \]

Řešení:

Pro tento úkol opět použijeme sinovou větu, která říká, že \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\). Tato věta nám pomůže vypočítat hodnotu pro \(\sin B\), pokud známe hodnoty pro strany \(a\), \(b\) a úhel \(A\).

Nejprve vyjádříme \(\sin B\) podle známých hodnot:

\[ \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ \sin B = \frac{18 \cdot \sin 65^\circ}{14} = \frac{18 \cdot 0{,}9063}{14} = 1{,}164 \]

Všimneme si, že hodnota \(\sin B = 1{,}164\) je větší než \(1\), což není možné, protože hodnota sinusového funkce se musí pohybovat mezi \(0\) a \(1\). To znamená, že v tomto případě buď máme chybu v zadání, nebo tento trojúhelník neexistuje. Mohlo by jít o neexistující trojúhelník, protože některé vstupní hodnoty mohou být nesprávné.

Řešení:

Nejprve zjistíme úhel \(A\) pomocí součtu úhlů v trojúhelníku, protože součet všech úhlů v trojúhelníku je vždy \(180^\circ\). Spočítáme tedy úhel \(A\):

\[ A = 180^\circ – 40^\circ – 65^\circ = 75^\circ \]

Nyní použijeme sinovou větu, která říká, že \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\). Tuto rovnici upravíme pro \(a\):

\[ a = \frac{\sin A \cdot b}{\sin B} \]

Dosadíme hodnoty do rovnice:

\[ a = \frac{\sin 75^\circ \cdot 10}{\sin 40^\circ} = \frac{0{,}9659 \cdot 10}{0{,}6428} \]

Po výpočtu dostaneme:

\[ a \approx 15{,}0 \]

Odpověď je tedy: strana \(a\) je přibližně \(15{,}0\).

Řešení:

Nejprve spočítáme úhel \(C\), protože součet úhlů v trojúhelníku musí být rovný \(180^\circ\). Takto vypočítáme \(C\):

\[ C = 180^\circ – 50^\circ – 60^\circ = 70^\circ \]

Nyní použijeme sinovou větu k výpočtu délky strany \(b\). Podle sinové věty víme, že \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\). Tuto rovnici upravíme pro \(b\):

\[ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} \]

Dosadíme hodnoty do rovnice:

\[ b = \frac{11 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{11 \cdot 0{,}8660}{0{,}7660} \]

Po výpočtu zjistíme, že:

\[ b \approx 12{,}44 \]

Odpověď je tedy: délka strany \(b\) je přibližně \(12{,}44\).

Řešení:

Pro tento úkol použijeme sinovou větu, která nám říká, že \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\). Pomocí této věty můžeme vypočítat hodnotu pro \(\sin A\), pokud známe hodnoty pro strany \(a\), \(c\) a úhel \(C\).

Nejprve upravíme rovnici pro \(\sin A\):

\[ \sin A = \frac{a \cdot \sin C}{c} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ \sin A = \frac{9 \cdot \sin 80^\circ}{13} = \frac{9 \cdot 0{,}9848}{13} = 0{,}6819 \]

Po výpočtu zjistíme, že:

\[ \sin A = 0{,}6819 \]

Nyní použijeme inverzní funkci sinus (arkussinus) k výpočtu úhlu \(A\):

\[ A = \arcsin(0{,}6819) \approx 43{,}0^\circ \]

Odpověď je tedy: úhel \(A\) je přibližně \(43{,}0^\circ\).

Řešení:

Nejprve spočítáme úhel \(C\), protože součet všech úhlů v trojúhelníku musí být \(180^\circ\). Tedy:

\[ C = 180^\circ – 70^\circ – 50^\circ = 60^\circ \]

Nyní použijeme sinovou větu, která nám říká, že \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\). Tuto rovnici upravíme pro \(a\):

\[ a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B} \]

Dosadíme známé hodnoty:

\[ a = \frac{10 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{10 \cdot 0{,}9397}{0{,}7660} \]

Po výpočtu zjistíme, že:

\[ a \approx 12{,}27 \]

Odpověď je tedy: délka strany \(a\) je přibližně \(12{,}27\).

Řešení:

Nejprve zjistíme úhel \(A\), který spočítáme podle součtu úhlů v trojúhelníku. Součet všech úhlů v trojúhelníku je \(180^\circ\), a tedy:

\[ A = 180^\circ – 50^\circ – 70^\circ = 60^\circ \]

Poté použijeme sinovou větu. Podle sinové věty víme, že \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\). Využijeme tuto větu k výpočtu délky strany \(b\). Rozebereme rovnici pro \(b\):

\[ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} \]

Dosadíme známé hodnoty:

\[ b = \frac{9 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{9 \cdot 0{,}7660}{0{,}8660} \]

Po výpočtu dostaneme:

\[ b \approx 7{,}96 \]

Odpověď je tedy: délka strany \(b\) je přibližně \(7{,}96\).

Řešení:

Nejprve spočítáme úhel \(C\) podle součtu úhlů v trojúhelníku:

\[ C = 180^\circ – 40^\circ – 70^\circ = 70^\circ \]

Teď použijeme sinovou větu pro výpočet strany \(b\). Podle sinové věty víme, že \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\), a tedy:

\[ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ b = \frac{10 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{10 \cdot 0{,}9397}{0{,}6428} \approx 14{,}62 \]

Poté použijeme opět sinovou větu pro výpočet strany \(c\):

\[ c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 14{,}62 \]

Obvod trojúhelníku spočítáme sečtením všech stran:

\[ \text{Obvod} = a + b + c = 10 + 14{,}62 + 14{,}62 = 39{,}24 \]

Odpověď je tedy: obvod trojúhelníku je přibližně \(39{,}24\).

Řešení:

Nejprve spočítáme úhel \(A\). Součet všech úhlů v trojúhelníku je \(180^\circ\), takže:

\[ A = 180^\circ – 30^\circ – 80^\circ = 70^\circ \]

Teď použijeme sinovou větu, podle které platí \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\). Úprava této rovnice pro \(b\) vypadá takto:

\[ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} \]

Dosadíme známé hodnoty:

\[ b = \frac{12 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 70^\circ} = \frac{12 \cdot 0{,}5}{0{,}9397} \]

Po výpočtu zjistíme:

\[ b \approx 6{,}39 \]

Odpověď: Délka strany \(b\) je přibližně \(6{,}39\) jednotek.

Řešení:

Nejprve spočítáme \(\sin B\) podle sinové věty, která říká, že \(\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}\). Tedy:

\[ \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{15 \cdot \sin 40^\circ}{8} = \frac{15 \cdot 0{,}6428}{8} = 1{,}204 \]

Hodnota \(\sin B\) je větší než 1, což není možné, protože \(\sin\) funkce nemůže být větší než 1. To znamená, že tento trojúhelník neexistuje, protože zadání obsahuje neplatné hodnoty.

Odpověď: Tento trojúhelník neexistuje, protože hodnota \(\sin B > 1\).

Řešení:

Nejprve spočítáme úhel \(C\), protože součet všech úhlů v trojúhelníku je \(180^\circ\):

\[ C = 180^\circ – 65^\circ – 50^\circ = 65^\circ \]

Teď použijeme sinovou větu pro výpočet strany \(a\). Podle sinové věty platí \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\), a tedy:

\[ a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{10 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 65^\circ} = 10 \]

Strana \(a\) je tedy rovná 10 jednotkám.

Poté spočítáme stranu \(b\) pomocí sinové věty: \(\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\), a tedy:

\[ b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{10 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 65^\circ} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ b = \frac{10 \cdot 0{,}7660}{0{,}9063} \approx 8{,}46 \]

Odpověď: Délky stran jsou \(a = 10\) a \(b \approx 8{,}46\).

Řešení:

Nejprve spočítáme úhel \(A\) pomocí součtu všech úhlů v trojúhelníku, který je vždy \(180^\circ\). Takže:

\[ A = 180^\circ – 45^\circ – 55^\circ = 80^\circ \]

Teď použijeme sinovou větu k výpočtu stran \(b\) a \(c\). Podle sinové věty platí, že:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Nejprve spočítáme stranu \(b\) pomocí vzorce pro \(b\):

\[ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{20 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 80^\circ} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ b = \frac{20 \cdot 0{,}7071}{0{,}9848} \approx 14{,}37 \]

Strana \(b\) je tedy přibližně \(14{,}37\) jednotek.

Podobně spočítáme stranu \(c\):

\[ c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{20 \cdot \sin 55^\circ}{\sin 80^\circ} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ c = \frac{20 \cdot 0{,}8192}{0{,}9848} \approx 16{,}63 \]

Strana \(c\) je tedy přibližně \(16{,}63\) jednotek.

Odpověď: Délky stran \(b\) a \(c\) jsou přibližně \(14{,}37\) a \(16{,}63\) jednotek.

Řešení:

Začneme výpočtem úhlu \(B\) pomocí sinové věty. Z této věty víme, že:

\[ \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{14 \cdot \sin 40^\circ}{9} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ \sin B = \frac{14 \cdot 0{,}6428}{9} = 1{,}000 \]

Protože \(\sin B = 1\), úhel \(B\) je roven \(90^\circ\), protože \(\sin 90^\circ = 1\).

Pokud je úhel \(B = 90^\circ\), pak můžeme spočítat úhel \(C\) jako:

\[ C = 180^\circ – 40^\circ – 90^\circ = 50^\circ \]

Nyní použijeme sinovou větu k výpočtu délky strany \(c\). Podle sinové věty platí:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]

Úprava pro \(c\) vypadá takto:

\[ c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{9 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 40^\circ} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ c = \frac{9 \cdot 0{,}7660}{0{,}6428} \approx 10{,}73 \]

Odpověď: Úhel \(B\) je \(90^\circ\) a délka strany \(c\) je přibližně \(10{,}73\) jednotek.

Řešení:

Nejprve spočítáme úhel \(A\) pomocí součtu všech úhlů v trojúhelníku:

\[ A = 180^\circ – 35^\circ – 85^\circ = 60^\circ \]

Teď použijeme sinovou větu k výpočtu strany \(a\). Podle sinové věty víme, že:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]

Úprava pro \(a\) vypadá takto:

\[ a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{11 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 35^\circ} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ a = \frac{11 \cdot 0{,}8660}{0{,}574} \approx 16{,}60 \]

Strana \(a\) je tedy přibližně \(16{,}60\) jednotek.

Odpověď: Délka strany \(a\) je přibližně \(16{,}60\) jednotek a úhel \(A\) je \(60^\circ\).

Řešení:

Nejprve se pokusíme vypočítat úhel \(A\) pomocí sinové věty. Podle sinové věty víme, že:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]

Použijeme hodnoty, které máme k dispozici, a vzorec upravíme pro \(\sin A\):

\[ \sin A = \frac{a \cdot \sin B}{b} = \frac{13 \cdot \sin 80^\circ}{7} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ \sin A = \frac{13 \cdot 0{,}9848}{7} \approx 1{,}83 \]

Hodnota \(\sin A \approx 1{,}83\) je však vyšší než maximální možná hodnota pro sinus, která je \(1\). To znamená, že tento výpočet je matematicky neplatný a zadání úhlu \(B = 80^\circ\) pro tento trojúhelník je nesprávné. Takový trojúhelník neexistuje.

Odpověď: Zadání není možné, protože výsledek \(\sin A > 1\), což není matematicky platné.

Řešení:

Pokud bychom chtěli použít sinovou větu pro výpočet úhlu \(C\), použijeme vztah mezi stranami a úhly:

\[ \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \]

Po úpravě pro \(\sin C\) dostaneme:

\[ \sin C = \frac{c \cdot \sin A}{a} = \frac{24 \cdot \sin 55^\circ}{18} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ \sin C = \frac{24 \cdot 0{,}8192}{18} \approx 1{,}09 \]

Stejně jako v předchozím případě, hodnota \(\sin C \approx 1{,}09\) je vyšší než maximální možná hodnota pro sinus, což znamená, že takový úhel neexistuje. Tento výpočet je také neplatný, protože \(\sin C\) nemůže být větší než \(1\).

Odpověď: Zadání není možné, protože výsledek \(\sin C > 1\), což není matematicky platné.

Řešení:

Nejprve spočítáme úhel \(C = 55^\circ\).

Podle sinové věty: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\).

Neznámé úhly \(A, B\) splňují \(A + B + C = 180^\circ\).

Z poměru: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \frac{15}{\sin A} = \frac{20}{\sin B}\).

Proto: \(\sin B = \frac{20 \sin A}{15} = \frac{4}{3} \sin A\).

Součet úhlů: \(A + B = 125^\circ\).

Dosadíme \(B = 125^\circ – A\).

Máme: \(\sin(125^\circ – A) = \frac{4}{3} \sin A\).

Tento vztah vyřešíme numericky (např. přibližným odhadem):

Po výpočtu získáme \(A \approx 42^\circ\) a \(B \approx 83^\circ\).

Pak \(c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{15 \cdot \sin 55^\circ}{\sin 42^\circ} = \frac{15 \cdot 0{,}8192}{0{,}6691} \approx 18{,}36\).

Řešení:

Podle sinové věty:

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\).

Vypočteme \(a\):

Úhel \(A=100^\circ\), \(\sin A = 0{,}9848\).

Poměr: \(\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin 100^\circ}\) – potřebujeme najít \(B\) nebo \(C\).

Úhly \(B\) a \(C\) platí \(B + C = 80^\circ\).

Vyjádříme \(\sin B\) a \(\sin C\) z poměrů stran:

\(\sin B = \frac{b \sin A}{a}\), \(\sin C = \frac{c \sin A}{a}\).

Pomocí kosinové věty spočteme \(a\):

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A = 8^2 + 13^2 – 2 \cdot 8 \cdot 13 \cdot \cos 100^\circ\).

\(a^2 = 64 + 169 – 208 \cdot (-0{,}1736) = 233 + 36{,}13 = 269{,}13\).

\(a = \sqrt{269{,}13} \approx 16{,}4\).

Pak \(\sin B = \frac{8 \cdot 0{,}9848}{16{,}4} = 0{,}48\), tedy \(B \approx 28{,}7^\circ\).

Úhel \(C = 80^\circ – 28{,}7^\circ = 51{,}3^\circ\).

Řešení:

Nejprve vypočítáme úhel \(C\) pomocí součtu vnitřních úhlů trojúhelníku, který je vždy rovný \(180^\circ\):

\[ C = 180^\circ – 45^\circ – 55^\circ = 80^\circ \]

Teď použijeme sinovou větu k výpočtu stran \(b\) a \(c\). Sinová věta nám říká:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Začneme výpočtem strany \(b\) pomocí sinové věty:

\[ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{12 \cdot \sin 55^\circ}{\sin 45^\circ} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ b = \frac{12 \cdot 0{,}8192}{0{,}7071} \approx 13{,}9 \]

Takže délka strany \(b\) je přibližně \(13{,}9\).

Nyní spočítáme délku strany \(c\):

\[ c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{12 \cdot \sin 80^\circ}{\sin 45^\circ} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ c = \frac{12 \cdot 0{,}9848}{0{,}7071} \approx 16{,}7 \]

Takže délka strany \(c\) je přibližně \(16{,}7\).

Obvod trojúhelníku získáme součtem všech tří stran:

\[ \text{Obvod} = 12 + 13{,}9 + 16{,}7 = 42{,}6 \]

Odpověď: Obvod trojúhelníku je přibližně \(42{,}6\).

Řešení:

Pro výpočet délky strany \(c\) použijeme kosinovou větu. Kosinová věta je:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]

Dosadíme hodnoty, které máme k dispozici:

\[ c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 110^\circ \]

Nejprve spočítáme jednotlivé části:

\[ c^2 = 49 + 100 – 140 \cdot (-0{,}3420) = 149 + 47{,}88 = 196{,}88 \]

Po dokončení výpočtu zjistíme, že:

\[ c = \sqrt{196{,}88} \approx 14{,}03 \]

Takže délka strany \(c\) je přibližně \(14{,}03\).

Teď spočítáme úhel \(A\) pomocí sinové věty:

\[ \sin A = \frac{a \cdot \sin C}{c} = \frac{7 \cdot \sin 110^\circ}{14{,}03} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ \sin A = \frac{7 \cdot 0{,}9397}{14{,}03} = 0{,}468 \]

Proto \(\sin A = 0{,}468\), což znamená, že úhel \(A\) je přibližně \(28^\circ\).

Nakonec spočítáme úhel \(B\) z toho, že součet všech úhlů v trojúhelníku je \(180^\circ\):

\[ B = 180^\circ – 110^\circ – 28^\circ = 42^\circ \]

Odpověď: Úhel \(A\) je přibližně \(28^\circ\), úhel \(B\) je přibližně \(42^\circ\) a délka strany \(c\) je přibližně \(14{,}03\).

Řešení:

Nejprve zjistíme úhel \(C\) pomocí součtu vnitřních úhlů trojúhelníku, který je vždy roven \(180^\circ\):

\[ C = 180^\circ – 35^\circ – 65^\circ = 80^\circ \]

Teď použijeme sinovou větu, která nám říká, že poměry stran a jejich protějších sinusů jsou stejné pro všechny strany trojúhelníku:

\[ \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]

Začneme výpočtem strany \(a\) pomocí sinové věty:

\[ a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{14 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 65^\circ} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ a = \frac{14 \cdot 0{,}574}{0{,}9063} \approx 8{,}87 \]

Takže délka strany \(a\) je přibližně \(8{,}87\).

Nyní spočítáme délku strany \(c\):

\[ c = \frac{b \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{14 \cdot \sin 80^\circ}{\sin 65^\circ} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ c = \frac{14 \cdot 0{,}9848}{0{,}9063} \approx 15{,}21 \]

Takže délka strany \(c\) je přibližně \(15{,}21\).

Obvod trojúhelníku získáme součtem všech tří stran:

\[ \text{Obvod} = 14 + 8{,}87 + 15{,}21 = 38{,}08 \]

Odpověď: Obvod trojúhelníku je přibližně \(38{,}08\).

Řešení:

Nejprve spočítáme úhel \(B\) pomocí součtu vnitřních úhlů trojúhelníku:

\[ B = 180^\circ – 60^\circ – 45^\circ = 75^\circ \]

Teď použijeme sinovou větu:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} \]

Začneme výpočtem strany \(c\):

\[ c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{25 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ c = \frac{25 \cdot 0{,}7071}{0{,}8660} \approx 20{,}4 \]

Takže délka strany \(c\) je přibližně \(20{,}4\).

Nyní spočítáme délku strany \(b\):

\[ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{25 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \]

Dosadíme hodnoty sinusů:

\[ b = \frac{25 \cdot 0{,}9659}{0{,}8660} \approx 27{,}9 \]

Takže délka strany \(b\) je přibližně \(27{,}9\).

Odpověď: Délka strany \(c\) je přibližně \(20{,}4\), úhel \(B\) je přibližně \(75^\circ\) a délka strany \(b\) je přibližně \(27{,}9\).

Řešení:

Podle sinové věty: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\).

Neznáme \(A\) a \(C\), ale \(A + B + C = 180^\circ\).

Z poměru stran: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\).

Zvolíme \(k = \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\).

Úhel \(B=40^\circ\), tedy \(\sin B = 0{,}6428\).

Stranu \(b = k \sin B\).

Pomocí zkoušení nebo numericky řešíme systém, např. \(A = 60^\circ\), \(C=80^\circ\) je přibližné řešení.

Délka \(b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{9 \cdot 0{,}6428}{0{,}8660} \approx 6{,}68\).

Řešení:

Nejprve víme, že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy roven \(180^\circ\). To znamená, že úhly \(A\), \(B\) a \(C\) splňují vztah:

\[ A + B + C = 180^\circ \]

Pokud je znám úhel \(B = 50^\circ\), můžeme vyjádřit úhel \(C\) pomocí úhlu \(A\):

\[ C = 180^\circ – A – 50^\circ \]

Dalším krokem je použití sinové věty, která říká, že poměr délky strany a jejího protilehlého sinusu je konstantní pro všechny strany trojúhelníku. Sinová věta vypadá takto:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Protože máme známy úhel \(B\) a délku stran \(a\) a \(c\), použijeme tuto větu k výpočtu neznámých. Začneme výpočtem úhlu \(A\), pro který použijeme vztah mezi stranami \(a\), \(c\) a úhlem \(B\):

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \sin A = \frac{a \sin C}{c} \]

Pro výpočet \(\sin C\) potřebujeme znát úhel \(A\). Tento problém lze vyřešit iterativně nebo pomocí numerických metod, jako je například metoda Newtonovy aproximace. Pokud bychom použili numerický výpočet, dostali bychom hodnoty pro \(\sin A\) a následně pro \(\sin C\). Pro přehlednost zde pouze ukážeme postup:

Pokud byste měli nástroj pro numerické výpočty nebo odhady, můžete spočítat hodnotu \(\sin A\) a \(\sin C\) a poté vyřešit trojúhelník.

Poté bychom použili sinovou větu k výpočtu strany \(b\):

\[ b = \frac{a \sin B}{\sin A} \]

Kde \(a = 11\), \(B = 50^\circ\) a \(\sin A\) je vypočteno numericky. Po získání hodnoty \(\sin A\) spočítáme \(b\).

Takto získáme všechny neznámé hodnoty ve trojúhelníku. V závěru bychom získali hodnoty pro úhly \(A\), \(C\) a délku strany \(b\), což je výsledek celého výpočtu.

Řešení:

Podle sinové věty: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\).

Úhly platí \(A + B + C = 180^\circ\), tedy \(A + C = 110^\circ\).

Z poměru stran: \(\frac{18}{\sin A} = \frac{22}{\sin C}\), tedy \(\sin C = \frac{22 \sin A}{18} = \frac{11}{9} \sin A\).

Dosadíme \(C = 110^\circ – A\) do rovnice \(\sin(110^\circ – A) = \frac{11}{9} \sin A\).

Řešíme numericky a získáme \(A \approx 47^\circ\), \(C \approx 63^\circ\).

Délka \(b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{18 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 47^\circ} = \frac{18 \cdot 0{,}9397}{0{,}7314} \approx 23{,}1\).

Řešení:

Nejprve si spočítáme úhel \(C\). Víme, že součet všech úhlů v trojúhelníku je \(180^\circ\). Proto pro úhel \(C\) platí:

\[ C = 180^\circ – A – B = 180^\circ – 70^\circ – 40^\circ = 70^\circ \]

Úhel \(C\) tedy vychází na \(70^\circ\).

Dalším krokem je použití sinové věty, která říká, že poměr délky strany a jejího protilehlého sinusu je stejný pro všechny strany trojúhelníku. Sinová věta je vyjádřena takto:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

V našem případě známe délku strany \(b = 20\) a úhly \(A = 70^\circ\) a \(B = 40^\circ\), což nám umožňuje použít sinovou větu pro výpočet stran \(a\) a \(c\). Nejprve použijeme sinovou větu k výpočtu strany \(a\):

\[ a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{20 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{20 \cdot 0.9397}{0.6428} \approx 29.26 \]

Po dosazení hodnot do vzorce zjistíme, že délka strany \(a\) je přibližně \(29.26\).

Stejný postup použijeme pro výpočet strany \(c\), protože podle sinové věty je:

\[ c = \frac{b \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{20 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{20 \cdot 0.9397}{0.6428} \approx 29.26 \]

Výsledek ukazuje, že délka strany \(c\) je také přibližně \(29.26\).

Na závěr spočítáme obvod trojúhelníku, který je součtem všech tří stran:

\[ \text{Obvod} = a + b + c = 29.26 + 20 + 29.26 = 78.52 \]

Obvod trojúhelníku je tedy přibližně \(78.52\).

Řešení:

Pro výpočet délky strany \(c\) použijeme kosinovou větu, která je obecně vyjádřena takto:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \]

V tomto případě máme \(a = 7\), \(b = 5\) a \(\gamma = 60^\circ\). Dosadíme tyto hodnoty do kosinové věty:

\[ c^2 = 7^2 + 5^2 – 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 49 + 25 – 70 \cdot 0,5 = 74 – 35 = 39 \]

Nyní spočítáme délku strany \(c\) tím, že sebereme druhou odmocninu z hodnoty \(39\):

\[ c = \sqrt{39} \approx 6,24 \]

Délka strany \(c\) je tedy přibližně \(6,24\).

Řešení:

Pro výpočet úhlu \(\gamma\) mezi stranami \(a\) a \(b\) opět použijeme kosinovou větu. Kosinová věta je vyjádřena takto:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \]

Chceme však vypočítat úhel \(\gamma\), takže budeme potřebovat vyjádřit \(\cos \gamma\). To provedeme pomocí úpravy kosinové věty:

\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \]

Dosadíme známé hodnoty \(a = 10\), \(b = 8\) a \(c = 6\) do vzorce:

\[ \cos \gamma = \frac{10^2 + 8^2 – 6^2}{2 \cdot 10 \cdot 8} = \frac{100 + 64 – 36}{160} = \frac{128}{160} = 0,8 \]

Poté použijeme inverzní funkci kosinu (funkci \(\arccos\)) k výpočtu úhlu \(\gamma\):

\[ \gamma = \arccos(0,8) \approx 36,87^\circ \]

Úhel \(\gamma\) je tedy přibližně \(36,87^\circ\).

Řešení:

Pro výpočet délky strany \(c\) použijeme opět kosinovou větu. Kosinová věta je ve tvaru:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \]

V tomto případě známe hodnoty \(a = 9\), \(b = 12\) a \(\gamma = 120^\circ\). Dosadíme tyto hodnoty do kosinové věty:

\[ c^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos 120^\circ = 81 + 144 – 216 \cdot (-0,5) = 225 + 108 = 333 \]

Nyní spočítáme délku strany \(c\) tím, že vezmeme druhou odmocninu z hodnoty \(333\):

\[ c = \sqrt{333} \approx 18,25 \]

Délka strany \(c\) je tedy přibližně \(18,25\).

Řešení:

Pro výpočet úhlu \(\gamma\) použijeme kosinovou větu, která nám umožňuje vypočítat úhel v trojúhelníku, pokud známe délky všech tří stran. Kosinová věta je vyjádřena následujícím vzorcem:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \]

V tomto případě máme \(a = 5\), \(b = 7\) a \(c = 9\), a chceme vypočítat \(\gamma\), což je úhel naproti straně \(c\). Nejdříve upravíme vzorec tak, aby \(\cos \gamma\) bylo na jedné straně rovnice:

\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \]

Dosadíme známé hodnoty do této úpravy:

\[ \cos \gamma = \frac{5^2 + 7^2 – 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 – 81}{70} = \frac{-7}{70} = -0,1 \]

Nyní, abychom zjistili hodnotu úhlu \(\gamma\), použijeme inverzní funkci kosinu (arccos), která nám vrátí úhel, jehož kosinus je roven \( -0,1 \):

\[ \gamma = \arccos(-0,1) \approx 95,74^\circ \]

Tedy úhel \(\gamma\) v tomto trojúhelníku je přibližně \(95,74^\circ\).

Řešení:

V tomto případě opět použijeme kosinovou větu, protože máme dvě strany trojúhelníku a úhel mezi nimi. Kosinová věta vypadá následovně:

\[ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta \]

Máme \(a = 8\), \(c = 6\) a \(\beta = 45^\circ\). Dosadíme tyto hodnoty do kosinové věty:

\[ b^2 = 8^2 + 6^2 – 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ = 64 + 36 – 96 \cdot 0,7071 = 100 – 67,88 = 32,12 \]

Poté spočítáme délku strany \(b\) tím, že vezmeme druhou odmocninu z hodnoty \(32,12\):

\[ b = \sqrt{32,12} \approx 5,67 \]

Tedy délka strany \(b\) je přibližně \(5,67\).

Řešení:

Opět použijeme kosinovou větu k výpočtu úhlu \(\gamma\), který je naproti straně \(c\). Kosinová věta je následující:

\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \]

V tomto případě máme \(a = 13\), \(b = 14\) a \(c = 15\). Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\[ \cos \gamma = \frac{13^2 + 14^2 – 15^2}{2 \cdot 13 \cdot 14} = \frac{169 + 196 – 225}{364} = \frac{140}{364} \approx 0,3846 \]

Pro získání úhlu \(\gamma\) použijeme inverzní funkci kosinu (arccos):

\[ \gamma = \arccos(0,3846) \approx 67,4^\circ \]

Úhel \(\gamma\) v tomto trojúhelníku je tedy přibližně \(67,4^\circ\).

Řešení:

Pro výpočet délky strany \(c\) použijeme kosinovou větu, která je obecně vyjádřena takto:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \]

V tomto případě máme \(a = 10\), \(b = 9\) a \(\gamma = 75^\circ\), takže dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\[ c^2 = 10^2 + 9^2 – 2 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cos 75^\circ = 100 + 81 – 180 \cdot \cos 75^\circ \]

Nejprve vypočteme hodnotu \(\cos 75^\circ\), která je přibližně \(0,2588\):

\[ c^2 = 181 – 180 \cdot 0,2588 = 181 – 46,58 = 134,42 \]

Pro výpočet délky strany \(c\) vezmeme druhou odmocninu z hodnoty \(134,42\):

\[ c = \sqrt{134,42} \approx 11,6 \]

Tedy délka strany \(c\) je přibližně \(11,6\).

Řešení:

Pro výpočet úhlu \(\gamma\) opět použijeme kosinovou větu, která je následující:

\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \]

Dosadíme známé hodnoty \(a = 6\), \(b = 7\) a \(c = 8\) do této úpravy kosinové věty:

\[ \cos \gamma = \frac{6^2 + 7^2 – 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 – 64}{84} = \frac{21}{84} = 0,25 \]

Nyní, abychom našli hodnotu úhlu \(\gamma\), použijeme inverzní funkci kosinu, tedy \(\arccos\):

\[ \gamma = \arccos(0,25) \approx 75,52^\circ \]

Úhel \(\gamma\) je tedy přibližně \(75,52^\circ\).

Řešení:

V tomto případě, protože máme pravý trojúhelník, můžeme využít Pythagorovu větu, která je speciálním případem kosinové věty pro úhel \(90^\circ\). Vzorec je tedy:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos 90^\circ \]

Víme, že \(\cos 90^\circ = 0\), takže vzorec se zjednoduší na:

\[ c^2 = a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \]

Pro výpočet délky strany \(c\) vezmeme druhou odmocninu z \(41\):

\[ c = \sqrt{41} \approx 6,4 \]

Délka strany \(c\) je tedy přibližně \(6,4\).

Řešení:

Pro výpočet délky strany \(c\) použijeme kosinovou větu. Kosinová věta říká, že pro libovolný trojúhelník platí následující vztah:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \]

V tomto případě máme dány strany \(a = 15\), \(b = 20\) a úhel \(\gamma = 120^\circ\). Nejprve dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\[ c^2 = 15^2 + 20^2 – 2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot \cos 120^\circ \]

Víme, že \(\cos 120^\circ = -0,5\), což je klíčové pro správný výpočet. Nyní dosadíme tuto hodnotu:

\[ c^2 = 225 + 400 – 600 \cdot (-0,5) = 225 + 400 + 300 \]

Po sečtení získáme:

\[ c^2 = 625 + 300 = 925 \]

Pro získání délky strany \(c\) vezmeme druhou odmocninu z \(925\):

\[ c = \sqrt{925} \approx 30,41 \]

Tedy délka strany \(c\) je přibližně \(30,41\).

Řešení:

Kosinová věta říká:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \)

Dosadíme hodnoty:
\( c^2 = 10^2 + 14^2 – 2 \cdot 10 \cdot 14 \cdot \cos 120^\circ = 100 + 196 – 280 \cdot \cos 120^\circ \)

Protože \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), máme:
\( c^2 = 296 – 280 \cdot (-\frac{1}{2}) = 296 + 140 = 436 \)

Odtud:
\( c = \sqrt{436} \approx 20{,}88\,cm \)

Řešení:

Kosinová věta:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \)

Vyjádříme \(\cos \gamma\):
\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} = \frac{9^2 + 12^2 – 15^2}{2 \cdot 9 \cdot 12} = \frac{81 + 144 – 225}{216} = \frac{0}{216} = 0 \]

Tedy:
\( \gamma = \arccos(0) = 90^\circ \)

Úhel \(\gamma\) je pravý úhel.

Řešení:

Kosinová věta:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \)

Dosadíme hodnoty:
\( c^2 = 7^2 + 9^2 – 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos 60^\circ = 49 + 81 – 126 \cdot 0{,}5 = 130 – 63 = 67 \)

Odtud:
\( c = \sqrt{67} \approx 8{,}19\,cm \)

Řešení:

Kosinová věta:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \)

Vyjádříme \(\cos \gamma\):
\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} = \frac{64 + 36 – 100}{2 \cdot 8 \cdot 6} = \frac{0}{96} = 0 \]

Odtud:
\( \gamma = \arccos(0) = 90^\circ \)

Úhel \(\gamma\) je pravý úhel.

Řešení:

Kosinová věta:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \)

Dosadíme hodnoty:
\( c^2 = 13^2 + 14^2 – 2 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \cos 110^\circ = 169 + 196 – 364 \cdot \cos 110^\circ \)

Vypočítáme \(\cos 110^\circ \approx -0{,}3420\):
\( c^2 = 365 + 124{,}49 = 489{,}49 \)

Odtud:
\( c = \sqrt{489{,}49} \approx 22{,}12\,cm \)

Řešení:

Kosinová věta:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \)

Vyjádříme \(\cos \gamma\):
\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} = \frac{25 + 49 – 64}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} \approx 0{,}1429 \]

Odtud:
\( \gamma = \arccos(0{,}1429) \approx 81{,}79^\circ \)

Řešení:

Kosinová věta:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \)

Dosadíme hodnoty:
\( 18^2 = 11^2 + 15^2 – 2 \cdot 11 \cdot 15 \cdot \cos \gamma \)

\( 324 = 121 + 225 – 330 \cos \gamma \)

\( 324 = 346 – 330 \cos \gamma \Rightarrow 330 \cos \gamma = 346 – 324 = 22 \)

\( \cos \gamma = \frac{22}{330} = \frac{1}{15} \approx 0{,}0667 \)

\( \gamma = \arccos(0{,}0667) \approx 86{,}17^\circ \)

Řešení:

Pro výpočet délky strany \(c\) v tomto rovnoramenném trojúhelníku použijeme kosinovou větu. Kosinová věta pro libovolný trojúhelník říká:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \]

V tomto případě máme dány strany \(a = 9 \, \text{cm}\), \(b = 9 \, \text{cm}\) a úhel \(\gamma = 45^\circ\). Protože strany \(a\) a \(b\) jsou stejné, jde o rovnoramenný trojúhelník, což zjednodušuje výpočet. Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\[ c^2 = 9^2 + 9^2 – 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot \cos 45^\circ \]

Nejprve vypočteme jednotlivé členy:

\[ 9^2 = 81 \quad \text{a} \quad 2 \cdot 9 \cdot 9 = 162 \]

Víme, že \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7071\). Dosadíme tuto hodnotu do výrazu:

\[ c^2 = 81 + 81 – 162 \cdot 0,7071 \]

Vypočítáme násobení:

\[ 162 \cdot 0,7071 \approx 114,55 \]

Takže dostaneme:

\[ c^2 = 162 – 114,55 = 47,45 \]

Pro získání délky strany \(c\) vezmeme druhou odmocninu z \(47,45\):

\[ c = \sqrt{47,45} \approx 6,89 \, \text{cm} \]

Výsledek je tedy, že délka strany \(c\) je přibližně \(6,89 \, \text{cm}\).

Řešení:

Kosinová věta:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \)

Vyjádříme \(\cos \gamma\):
\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} = \frac{36 + 100 – 64}{2 \cdot 6 \cdot 10} = \frac{72}{120} = 0{,}6 \]

\( \gamma = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13^\circ \)

Řešení:

Kosinová věta:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \)

Dosadíme hodnoty:
\( c^2 = 144 + 256 – 2 \cdot 12 \cdot 16 \cdot \cos 75^\circ = 400 – 384 \cdot 0{,}2588 = 400 – 99{,}23 = 300{,}77 \)

\( c = \sqrt{300{,}77} \approx 17{,}35\,cm \)

Řešení:

Nejdříve použijeme kosinovou větu pro výpočet strany \(c\):

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 15^2 + 20^2 – 2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot \cos 135^\circ \]

Vypočítáme hodnoty:
\(15^2 = 225\), \(20^2 = 400\), \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}7071\)

\[ c^2 = 225 + 400 – 2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot (-0{,}7071) = 625 + 424{,}26 = 1049{,}26 \]

Odtud:

\(c = \sqrt{1049{,}26} \approx 32{,}40\,\text{cm}\)

Nyní spočítáme úhel \(\alpha\) naproti straně \(a\) pomocí kosinové věty:

\[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha \quad \Rightarrow \quad \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \]

Dosadíme:

\[ \cos \alpha = \frac{20^2 + 32{,}4^2 – 15^2}{2 \cdot 20 \cdot 32{,}4} = \frac{400 + 1049{,}26 – 225}{1296} = \frac{1224{,}26}{1296} \approx 0{,}9446 \]

Úhel \(\alpha\):

\[ \alpha = \arccos(0{,}9446) \approx 19{,}36^\circ \]

Úhel \(\beta\) spočítáme ze součtu úhlů trojúhelníku:

\[ \beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 19{,}36^\circ – 135^\circ = 25{,}64^\circ \]

Řešení:

Nejdříve vyjádříme délku strany \(c\) pomocí kosinové věty, ale protože neznáme úhel \(\gamma\), musíme použít vztah mezi úhly a stranami.

Známé jsou: \(a = 18\,cm\), \(b = 24\,cm\), \(\beta = 80^\circ\).

Kosinovou větu použijeme pro výpočet strany \(c\) až po zjištění úhlu \(\gamma\), proto začneme hledáním úhlu \(\alpha\).

Součet úhlů: \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).

Poměr stran a kosinusové věty pro \(\beta\):

\[ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta \]

Z této rovnice vyjádříme \(c^2\):

\[ c^2 = b^2 – a^2 + 2ac \cos \beta \]

Tento příklad vyžaduje řešit pomocí kosinové věty postupně. Využijeme i sinusovou větu pro snazší řešení.

Nejprve vyjádříme úhel \(\alpha\) podle kosinové věty:

\[ \cos \beta = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} \]

Protože neznáme \(c\), začneme sinusovou větou:

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \]

Dosadíme známé hodnoty a vyjádříme \(\sin \alpha\):

\[ \sin \alpha = \frac{a}{b} \sin \beta = \frac{18}{24} \sin 80^\circ = 0{,}75 \cdot 0{,}9848 = 0{,}7386 \]

\(\alpha = \arcsin(0{,}7386) \approx 47{,}64^\circ\).

Nyní spočítáme \(\gamma\):

\[ \gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 47{,}64^\circ – 80^\circ = 52{,}36^\circ \]

Stranu \(c\) spočítáme sinusovou větou:

\[ c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha} = \frac{18 \cdot \sin 52{,}36^\circ}{\sin 47{,}64^\circ} = \frac{18 \cdot 0{,}7923}{0{,}7386} = \frac{14{,}26}{0{,}7386} \approx 19{,}31\,cm \]

Obvod trojúhelníku je:

\[ O = a + b + c = 18 + 24 + 19{,}31 = 61{,}31\,cm \]

Řešení:

Nejprve spočítáme úhel \(\gamma\):

\[ \gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 40^\circ – 65^\circ = 75^\circ \]

Pomocí sinusové věty spočítáme strany \(b\) a \(c\):

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \]

Vyjádříme \(b\):

\[ b = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha} = \frac{10 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{10 \cdot 0{,}9063}{0{,}6428} = 14{,}10\,cm \]

Vyjádříme \(c\):

\[ c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha} = \frac{10 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{10 \cdot 0{,}9659}{0{,}6428} = 15{,}03\,cm \]

Řešení:

Pomocí kosinové věty spočítáme úhel \(\gamma\) naproti straně \(c\):

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \quad \Rightarrow \quad \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \]

\[ \cos \gamma = \frac{14^2 + 22^2 – 18^2}{2 \cdot 14 \cdot 22} = \frac{196 + 484 – 324}{616} = \frac{356}{616} \approx 0{,}5779 \]

\[ \gamma = \arccos(0{,}5779) \approx 54{,}71^\circ \]

Úhel \(\alpha\) spočítáme stejným způsobem, naproti straně \(a\):

\[ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{22^2 + 18^2 – 14^2}{2 \cdot 22 \cdot 18} = \frac{484 + 324 – 196}{792} = \frac{612}{792} \approx 0{,}7727 \]

\[ \alpha = \arccos(0{,}7727) \approx 39{,}33^\circ \]

Úhel \(\beta\) spočítáme jako doplněk do 180°:

\[ \beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 39{,}33^\circ – 54{,}71^\circ = 85{,}96^\circ \]

Řešení:

Nejdříve spočítáme úhel \(\gamma\) naproti straně \(c\) pomocí kosinové věty:

\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} = \frac{81 + 225 – 144}{2 \cdot 9 \cdot 15} = \frac{162}{270} = 0{,}6 \]

\[ \gamma = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13^\circ \]

Obsah trojúhelníku spočítáme vzorcem:

\[ S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 15 \cdot \sin 53{,}13^\circ = 67{,}5 \cdot 0{,}7997 \approx 54{,}0\,cm^2 \]

Řešení:

Nejdříve použijeme kosinovou větu pro výpočet úhlu \(\gamma\):

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \quad \Rightarrow \quad \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \]

\[ \cos \gamma = \frac{400 + 625 – 900}{2 \cdot 20 \cdot 25} = \frac{125}{1000} = 0{,}125 \]

\[ \gamma = \arccos(0{,}125) \approx 82{,}82^\circ \]

Obsah trojúhelníku spočítáme vzorcem:

\[ S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 25 \cdot \sin 82{,}82^\circ = 250 \cdot 0{,}9903 = 247{,}58\,\text{cm}^2 \]

Řešení:

Nejdříve vypočítáme úhel \(\gamma\):

\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} = \frac{169 + 196 – 225}{2 \cdot 13 \cdot 14} = \frac{140}{364} \approx 0{,}3846 \]

\[ \gamma = \arccos(0{,}3846) \approx 67{,}37^\circ \]

Úhel \(\alpha\):

\[ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{196 + 225 – 169}{2 \cdot 14 \cdot 15} = \frac{252}{420} = 0{,}6 \]

\[ \alpha = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13^\circ \]

Úhel \(\beta\):

\[ \beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 53{,}13^\circ – 67{,}37^\circ = 59{,}5^\circ \]

Obvod trojúhelníku:

\[ O = a + b + c = 13 + 14 + 15 = 42\,cm \]

Řešení:

Nejdříve spočítáme úhel \(\gamma\):

\[ \gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 30^\circ – 45^\circ = 105^\circ \]

Pomocí sinusové věty spočítáme délky stran \(a\) a \(b\):

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \]

Vyjádříme \(a\):

\[ a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{10 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{10 \cdot 0{,}5}{0{,}9659} \approx 5{,}18\,cm \]

Vyjádříme \(b\):

\[ b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{10 \cdot 0{,}7071}{0{,}9659} \approx 7{,}32\,cm \]

Obvod trojúhelníku:

\[ O = a + b + c = 5{,}18 + 7{,}32 + 10 = 22{,}5\,cm \]

Řešení:

Pomocí kosinové věty vypočítáme délku strany \(c\):

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos 120^\circ \]

\[ c^2 = 64 + 225 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot (-0{,}5) = 289 + 120 = 409 \]

\[ c = \sqrt{409} \approx 20{,}22\,cm \]

Obsah trojúhelníku spočítáme vzorcem:

\[ S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \cdot \sin 120^\circ = 60 \cdot 0{,}8660 = 51{,}96\,cm^2 \]

Řešení:

Nejprve použijeme kosinovou větu pro výpočet délky strany \(c\):

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \beta = 10^2 + 7^2 – 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos 40^\circ \]

\[ c^2 = 100 + 49 – 140 \cdot 0{,}7660 = 149 – 107{,}24 = 41{,}76 \]

\[ c = \sqrt{41{,}76} \approx 6{,}46\,cm \]

Nyní spočítáme úhel \(\gamma\) pomocí kosinové věty:

\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} = \frac{100 + 41{,}76 – 49}{2 \cdot 10 \cdot 6{,}46} = \frac{92{,}76}{129{,}2} \approx 0{,}718 \]

\[ \gamma = \arccos(0{,}718) \approx 44^\circ \]

Řešení:

Nejprve spočítáme stranu \(c\) pomocí kosínové věty:

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos 70^\circ\).

\(c^2 = 81 + 144 – 216 \cdot 0{,}3420 = 225 – 73{,}87 = 151{,}13\).

\(c = \sqrt{151{,}13} \approx 12{,}29\).

Nyní použijeme sínovou větu k výpočtu úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{9 \cdot \sin 70^\circ}{12{,}29} = \frac{9 \cdot 0{,}9397}{12{,}29} = 0{,}688\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}688 \approx 43{,}43^\circ\).

Úhel \(\beta\) vypočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 43{,}43^\circ – 70^\circ = 66{,}57^\circ\).

Řešení:

Pomocí sínové věty vyjádříme stranu \(b\):

\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow \sin \gamma = \frac{c \sin \alpha}{a} = \frac{14 \cdot \sin 50^\circ}{10} = \frac{14 \cdot 0{,}7660}{10} = 1{,}072\).

Protože \(\sin \gamma > 1\), úhel \(\gamma\) není možný, zkusíme spočítat úhel \(\beta\) pomocí kosínové věty.

Kosínová věta pro úhel \(\beta\):

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta\), ale \(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma\), takže nejprve spočítáme \(b\).

Kosínová věta pro stranu \(b\):

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta\), ale bez úhlu \(\beta\) nelze, proto použijeme kosínovou větu na \(\beta\) jako:

\(\cos \beta = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}\), ale zatím neznáme \(b\).

Alternativně použijeme kosínovou větu pro úhel \(\gamma\):

\(\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}\), opět neznáme \(b\).

Využijeme tedy kosínovou větu na výpočet strany \(b\) z úhlu \(\alpha\) a stran \(a, c\):

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \alpha = 10^2 + 14^2 – 2 \cdot 10 \cdot 14 \cdot \cos 50^\circ\).

\(b^2 = 100 + 196 – 280 \cdot 0{,}6428 = 296 – 179{,}98 = 116{,}02\).

\(b = \sqrt{116{,}02} \approx 10{,}77\).

Nyní můžeme spočítat úhly \(\beta\) a \(\gamma\) pomocí sínové věty:

\(\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{10{,}77 \cdot \sin 50^\circ}{10} = \frac{10{,}77 \cdot 0{,}7660}{10} = 0{,}824\).

\(\beta = \arcsin 0{,}824 \approx 55{,}92^\circ\).

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 50^\circ – 55{,}92^\circ = 74{,}08^\circ\).

Řešení:

Nejprve spočítáme úhel \(\alpha\) pomocí sínové věty:

\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{7 \cdot \sin 40^\circ}{9} = \frac{7 \cdot 0{,}6428}{9} = 0{,}499\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}499 \approx 29{,}87^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 29{,}87^\circ – 40^\circ = 110{,}13^\circ\).

Pomocí kosínové věty spočítáme stranu \(c\):

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 7^2 + 9^2 – 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos 110{,}13^\circ\).

\(c^2 = 49 + 81 – 126 \cdot (-0{,}342) = 130 + 43{,}09 = 173{,}09\).

\(c = \sqrt{173{,}09} \approx 13{,}16\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme úhel \(\gamma\):

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 35^\circ – 65^\circ = 80^\circ\).

Pomocí sínové věty spočítáme stranu \(a\):

\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{15 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 80^\circ} = \frac{15 \cdot 0{,}574}{0{,}985} = 8{,}75\).

Podobně spočítáme stranu \(b\):

\(b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{15 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 80^\circ} = \frac{15 \cdot 0{,}906}{0{,}985} = 13{,}79\).

Řešení:

Spočítáme stranu \(c\) pomocí kosínové věty:

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 11^2 + 13^2 – 2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \cos 120^\circ\).

\(c^2 = 121 + 169 – 286 \cdot (-0{,}5) = 290 + 143 = 433\).

\(c = \sqrt{433} \approx 20{,}81\).

Pomocí sínové věty spočítáme úhel \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{11 \cdot \sin 120^\circ}{20{,}81} = \frac{11 \cdot 0{,}8660}{20{,}81} = 0{,}458\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}458 \approx 27{,}32^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 27{,}32^\circ – 120^\circ = 32{,}68^\circ\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme stranu \(c\) pomocí kosínové věty:

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos 95^\circ\).

\(c^2 = 64 + 225 – 240 \cdot \cos 95^\circ\).

\(\cos 95^\circ \approx -0{,}0872\), tedy:

\(c^2 = 289 + 20{,}93 = 309{,}93\).

\(c = \sqrt{309{,}93} \approx 17{,}61\).

Nyní použijeme sínovou větu k výpočtu úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{8 \cdot \sin 95^\circ}{17{,}61}\).

\(\sin 95^\circ \approx 0{,}9962\), tedy \(\sin \alpha = \frac{8 \cdot 0{,}9962}{17{,}61} = 0{,}4527\).

\(\alpha = \arcsin(0{,}4527) \approx 26{,}91^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 26{,}91^\circ – 95^\circ = 58{,}09^\circ\).

Řešení:

Použijeme kosínovou větu pro výpočet strany \(a\):

Nejdříve spočítáme úhel \(\beta\) pomocí sínové věty:

\(\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha}\), ale zatím neznáme \(a\), proto nejprve spočítáme \(a\) kosínovou větou.

Úhel \(\alpha\) je proti straně \(a\), strany \(b\) a \(c\) jsou sousední.

Kosínová věta pro stranu \(a\) je:

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha = 11^2 + 13^2 – 2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \cos 40^\circ\).

\(a^2 = 121 + 169 – 286 \cdot 0{,}7660 = 290 – 219{,}08 = 70{,}92\).

\(a = \sqrt{70{,}92} \approx 8{,}42\).

Nyní použijeme sínovou větu pro výpočet \(\beta\):

\(\frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \alpha}{a} \Rightarrow \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{11 \cdot \sin 40^\circ}{8{,}42} = \frac{11 \cdot 0{,}6428}{8{,}42} = 0{,}840\).

\(\beta = \arcsin 0{,}840 \approx 57{,}13^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 40^\circ – 57{,}13^\circ = 82{,}87^\circ\).

Řešení:

Použijeme kosínovou větu k výpočtu strany \(b\):

Protože úhel \(\beta\) je proti straně \(b\), platí:

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 14^2 + 9^2 – 2 \cdot 14 \cdot 9 \cdot \cos 55^\circ\).

\(b^2 = 196 + 81 – 252 \cdot 0{,}5736 = 277 – 144{,}54 = 132{,}46\).

\(b = \sqrt{132{,}46} \approx 11{,}51\).

Nyní použijeme sínovou větu k výpočtu úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{14 \cdot \sin 55^\circ}{11{,}51} = \frac{14 \cdot 0{,}8192}{11{,}51} = 0{,}996\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}996 \approx 85{,}80^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 85{,}80^\circ – 55^\circ = 39{,}20^\circ\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme úhel \(\gamma\):

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 45^\circ – 75^\circ = 60^\circ\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet strany \(b\):

\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \Rightarrow b = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha} = \frac{10 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}\).

\(\sin 75^\circ \approx 0{,}9659\), \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}7071\).

\(b = \frac{10 \cdot 0{,}9659}{0{,}7071} = 13{,}65\).

Podobně pro stranu \(c\):

\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha} = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}\).

\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660\).

\(c = \frac{10 \cdot 0{,}8660}{0{,}7071} = 12{,}24\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme stranu \(c\) pomocí kosínové věty:

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 12^2 + 10^2 – 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ\).

\(c^2 = 144 + 100 – 240 \cdot (-0{,}5) = 244 + 120 = 364\).

\(c = \sqrt{364} \approx 19{,}08\).

Nyní použijeme sínovou větu pro výpočet úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{12 \cdot \sin 120^\circ}{19{,}08}\).

\(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = 0{,}8660\), tedy \(\sin \alpha = \frac{12 \cdot 0{,}8660}{19{,}08} = 0{,}5445\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}5445 \approx 33{,}02^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 33{,}02^\circ – 120^\circ = 26{,}98^\circ\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme stranu \(c\) pomocí kosínové věty:

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 9^2 + 14^2 – 2 \cdot 9 \cdot 14 \cdot \cos 110^\circ\).

\(c^2 = 81 + 196 – 252 \cdot \cos 110^\circ\).

\(\cos 110^\circ \approx -0{,}3420\), tedy:

\(c^2 = 277 + 86{,}18 = 363{,}18\).

\(c = \sqrt{363{,}18} \approx 19{,}06\).

Nyní použijeme sínovou větu k výpočtu úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{9 \cdot \sin 110^\circ}{19{,}06}\).

\(\sin 110^\circ \approx 0{,}9397\), tedy \(\sin \alpha = \frac{9 \cdot 0{,}9397}{19{,}06} = 0{,}444\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}444 \approx 26{,}39^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 26{,}39^\circ – 110^\circ = 43{,}61^\circ\).

Řešení:

Strana \(b\) je proti úhlu \(\beta\), proto použijeme kosínovou větu:

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 13^2 + 7^2 – 2 \cdot 13 \cdot 7 \cdot \cos 50^\circ\).

\(b^2 = 169 + 49 – 182 \cdot 0{,}6428 = 218 – 116{,}95 = 101{,}05\).

\(b = \sqrt{101{,}05} \approx 10{,}05\).

Pomocí sínové věty spočítáme úhel \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{13 \cdot \sin 50^\circ}{10{,}05} = \frac{13 \cdot 0{,}7660}{10{,}05} = 0{,}991\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}991 \approx 82{,}54^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 82{,}54^\circ – 50^\circ = 47{,}46^\circ\).

Řešení:

Použijeme kosínovou větu k výpočtu strany \(a\):

Protože \(\alpha\) je proti straně \(a\), platí:

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha = 16^2 + 9^2 – 2 \cdot 16 \cdot 9 \cdot \cos 65^\circ\).

\(a^2 = 256 + 81 – 288 \cdot 0{,}4226 = 337 – 121{,}63 = 215{,}37\).

\(a = \sqrt{215{,}37} \approx 14{,}68\).

Pomocí sínové věty spočítáme úhel \(\beta\):

\(\frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \alpha}{a} \Rightarrow \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{16 \cdot \sin 65^\circ}{14{,}68} = \frac{16 \cdot 0{,}9063}{14{,}68} = 0{,}988\).

\(\beta = \arcsin 0{,}988 \approx 81{,}83^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 65^\circ – 81{,}83^\circ = 33{,}17^\circ\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme úhel \(\alpha\):

\(\alpha = 180^\circ – \beta – \gamma = 180^\circ – 40^\circ – 75^\circ = 65^\circ\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet strany \(a\):

\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{11 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 75^\circ}\).

\(\sin 65^\circ \approx 0{,}9063\), \(\sin 75^\circ \approx 0{,}9659\).

\(a = \frac{11 \cdot 0{,}9063}{0{,}9659} = 10{,}32\).

Podobně pro stranu \(b\):

\(\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{11 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 75^\circ}\).

\(\sin 40^\circ \approx 0{,}6428\).

\(b = \frac{11 \cdot 0{,}6428}{0{,}9659} = 7{,}32\).

Řešení:

Použijeme kosínovou větu pro výpočet strany \(b\):

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 10^2 + 17^2 – 2 \cdot 10 \cdot 17 \cdot \cos 80^\circ\).

\(b^2 = 100 + 289 – 340 \cdot 0{,}1736 = 389 – 59{,}02 = 329{,}98\).

\(b = \sqrt{329{,}98} \approx 18{,}16\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{10 \cdot \sin 80^\circ}{18{,}16}\).

\(\sin 80^\circ \approx 0{,}9848\), tedy \(\sin \alpha = \frac{10 \cdot 0{,}9848}{18{,}16} = 0{,}542\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}542 \approx 32{,}83^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 32{,}83^\circ – 80^\circ = 67{,}17^\circ\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme stranu \(c\) pomocí kosínové věty:

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 12^2 + 15^2 – 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \cos 120^\circ\).

\(c^2 = 144 + 225 – 360 \cdot (-0{,}5) = 369 + 180 = 549\).

\(c = \sqrt{549} \approx 23{,}43\).

Nyní použijeme sínovou větu k výpočtu úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{12 \cdot \sin 120^\circ}{23{,}43}\).

\(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = 0{,}8660\), tedy \(\sin \alpha = \frac{12 \cdot 0{,}8660}{23{,}43} = 0{,}443\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}443 \approx 26{,}34^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 26{,}34^\circ – 120^\circ = 33{,}66^\circ\).

Řešení:

Nejprve spočítáme stranu \(b\) pomocí kosínové věty:

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 11^2 + 14^2 – 2 \cdot 11 \cdot 14 \cdot \cos 40^\circ\).

\(b^2 = 121 + 196 – 308 \cdot 0{,}7660 = 317 – 235{,}93 = 81{,}07\).

\(b = \sqrt{81{,}07} \approx 9{,}00\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{11 \cdot \sin 40^\circ}{9{,}00} = \frac{11 \cdot 0{,}6428}{9{,}00} = 0{,}786\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}786 \approx 51{,}90^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 51{,}90^\circ – 40^\circ = 88{,}10^\circ\).

Řešení:

Vypočítáme stranu \(c\) pomocí kosínové věty:

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 20^2 + 13^2 – 2 \cdot 20 \cdot 13 \cdot \cos 95^\circ\).

\(c^2 = 400 + 169 – 520 \cdot \cos 95^\circ\).

\(\cos 95^\circ \approx -0{,}0872\), tedy:

\(c^2 = 569 + 45{,}34 = 614{,}34\).

\(c = \sqrt{614{,}34} \approx 24{,}79\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{20 \cdot \sin 95^\circ}{24{,}79}\).

\(\sin 95^\circ \approx 0{,}9962\), tedy \(\sin \alpha = \frac{20 \cdot 0{,}9962}{24{,}79} = 0{,}804\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}804 \approx 53{,}51^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 53{,}51^\circ – 95^\circ = 31{,}49^\circ\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme úhel \(\gamma\):

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 45^\circ – 60^\circ = 75^\circ\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet strany \(b\):

\(\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha} \Rightarrow b = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha} = \frac{18 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}\).

\(\sin 60^\circ = 0{,}8660\), \(\sin 45^\circ = 0{,}7071\), tedy

\(b = \frac{18 \cdot 0{,}8660}{0{,}7071} = 22{,}04\).

Podobně pro stranu \(c\):

\(\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{a}{\sin \alpha} \Rightarrow c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha} = \frac{18 \cdot \sin 75^\circ}{0{,}7071}\).

\(\sin 75^\circ = 0{,}9659\), tedy

\(c = \frac{18 \cdot 0{,}9659}{0{,}7071} = 24{,}57\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme stranu \(a\) pomocí kosínové věty:

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha = 9^2 + 16^2 – 2 \cdot 9 \cdot 16 \cdot \cos 50^\circ\).

\(a^2 = 81 + 256 – 288 \cdot 0{,}6428 = 337 – 184{,}99 = 152{,}01\).

\(a = \sqrt{152{,}01} \approx 12{,}33\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet úhlu \(\beta\):

\(\frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \alpha}{a} \Rightarrow \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{9 \cdot \sin 50^\circ}{12{,}33}\).

\(\sin 50^\circ \approx 0{,}7660\), tedy \(\sin \beta = \frac{9 \cdot 0{,}7660}{12{,}33} = 0{,}559\).

\(\beta = \arcsin 0{,}559 \approx 34{,}01^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 50^\circ – 34{,}01^\circ = 95{,}99^\circ\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme stranu \(b\) pomocí kosínové věty:

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 13^2 + 17^2 – 2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot \cos 55^\circ\).

\(b^2 = 169 + 289 – 442 \cdot 0{,}5736 = 458 – 253{,}93 = 204{,}07\).

\(b = \sqrt{204{,}07} \approx 14{,}29\).

Použijeme sínovou větu k výpočtu úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{13 \cdot \sin 55^\circ}{14{,}29}\).

\(\sin 55^\circ \approx 0{,}8192\), tedy \(\sin \alpha = \frac{13 \cdot 0{,}8192}{14{,}29} = 0{,}745\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}745 \approx 48{,}07^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 48{,}07^\circ – 55^\circ = 76{,}93^\circ\).

Řešení:

Vypočítáme stranu \(a\) pomocí kosínové věty:

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha = 10^2 + 14^2 – 2 \cdot 10 \cdot 14 \cdot \cos 70^\circ\).

\(a^2 = 100 + 196 – 280 \cdot 0{,}3420 = 296 – 95{,}76 = 200{,}24\).

\(a = \sqrt{200{,}24} \approx 14{,}15\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet úhlu \(\beta\):

\(\frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \alpha}{a} \Rightarrow \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{10 \cdot \sin 70^\circ}{14{,}15}\).

\(\sin 70^\circ \approx 0{,}9397\), tedy \(\sin \beta = \frac{10 \cdot 0{,}9397}{14{,}15} = 0{,}664\).

\(\beta = \arcsin 0{,}664 \approx 41{,}57^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 70^\circ – 41{,}57^\circ = 68{,}43^\circ\).

Řešení:

Spočítáme úhel \(\gamma\):

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 38^\circ – 47^\circ = 95^\circ\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet strany \(a\):

\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{22 \cdot \sin 38^\circ}{\sin 95^\circ}\).

\(\sin 38^\circ \approx 0{,}6157\), \(\sin 95^\circ \approx 0{,}9962\), tedy

\(a = \frac{22 \cdot 0{,}6157}{0{,}9962} = 13{,}60\).

Pro stranu \(b\):

\(\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{22 \cdot \sin 47^\circ}{0{,}9962}\).

\(\sin 47^\circ \approx 0{,}7314\), tedy

\(b = \frac{22 \cdot 0{,}7314}{0{,}9962} = 16{,}15\).

Řešení:

Spočítáme stranu \(c\) pomocí kosínové věty:

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 7^2 + 11^2 – 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cos 110^\circ\).

\(c^2 = 49 + 121 – 154 \cdot \cos 110^\circ\).

\(\cos 110^\circ \approx -0{,}3420\), tedy

\(c^2 = 170 + 52{,}67 = 222{,}67\).

\(c = \sqrt{222{,}67} \approx 14{,}91\).

Použijeme sínovou větu k výpočtu úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{7 \cdot \sin 110^\circ}{14{,}91}\).

\(\sin 110^\circ \approx 0{,}9397\), tedy \(\sin \alpha = \frac{7 \cdot 0{,}9397}{14{,}91} = 0{,}441\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}441 \approx 26{,}18^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 26{,}18^\circ – 110^\circ = 43{,}82^\circ\).

Řešení:

Nejprve spočítáme stranu \(b\) pomocí kosínové věty:

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 15^2 + 20^2 – 2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot \cos 60^\circ\).

\(b^2 = 225 + 400 – 600 \cdot 0{,}5 = 625 – 300 = 325\).

\(b = \sqrt{325} \approx 18{,}03\).

Použijeme sínovou větu k výpočtu úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{15 \cdot \sin 60^\circ}{18{,}03}\).

\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660\), tedy

\(\sin \alpha = \frac{15 \cdot 0{,}8660}{18{,}03} = 0{,}720\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}720 \approx 46^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 46^\circ – 60^\circ = 74^\circ\).

Řešení:

Spočítáme stranu \(c\) pomocí kosínové věty:

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 12^2 + 16^2 – 2 \cdot 12 \cdot 16 \cdot \cos 100^\circ\).

\(c^2 = 144 + 256 – 384 \cdot (-0{,}1736) = 400 + 66{,}66 = 466{,}66\).

\(c = \sqrt{466{,}66} \approx 21{,}61\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{12 \cdot \sin 100^\circ}{21{,}61}\).

\(\sin 100^\circ \approx 0{,}9848\), tedy \(\sin \alpha = \frac{12 \cdot 0{,}9848}{21{,}61} = 0{,}547\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}547 \approx 33{,}21^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 33{,}21^\circ – 100^\circ = 46{,}79^\circ\).

Řešení:

Stranu \(a\) spočítáme podle kosínové věty:

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha = 9^2 + 15^2 – 2 \cdot 9 \cdot 15 \cdot \cos 40^\circ\).

\(a^2 = 81 + 225 – 270 \cdot 0{,}7660 = 306 – 206{,}82 = 99{,}18\).

\(a = \sqrt{99{,}18} \approx 9{,}96\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet úhlu \(\beta\):

\(\frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \alpha}{a} \Rightarrow \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{9 \cdot \sin 40^\circ}{9{,}96}\).

\(\sin 40^\circ \approx 0{,}6428\), tedy \(\sin \beta = \frac{9 \cdot 0{,}6428}{9{,}96} = 0{,}581\).

\(\beta = \arcsin 0{,}581 \approx 35{,}50^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 40^\circ – 35{,}50^\circ = 104{,}50^\circ\).

Řešení:

Spočítáme úhel \(\alpha\):

\(\alpha = 180^\circ – \beta – \gamma = 180^\circ – 52^\circ – 62^\circ = 66^\circ\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet strany \(b\):

\(\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha} \Rightarrow b = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha} = \frac{25 \cdot \sin 52^\circ}{\sin 66^\circ}\).

\(\sin 52^\circ \approx 0{,}7880\), \(\sin 66^\circ \approx 0{,}9135\), tedy

\(b = \frac{25 \cdot 0{,}7880}{0{,}9135} = 21{,}54\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet strany \(c\):

\(\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{a}{\sin \alpha} \Rightarrow c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha} = \frac{25 \cdot \sin 62^\circ}{\sin 66^\circ}\).

\(\sin 62^\circ \approx 0{,}8829\), tedy

\(c = \frac{25 \cdot 0{,}8829}{0{,}9135} = 24{,}16\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme stranu \(b\) podle kosínové věty:

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 18^2 + 22^2 – 2 \cdot 18 \cdot 22 \cdot \cos 70^\circ\).

\(b^2 = 324 + 484 – 792 \cdot 0{,}3420 = 808 – 270{,}86 = 537{,}14\).

\(b = \sqrt{537{,}14} \approx 23{,}18\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{18 \cdot \sin 70^\circ}{23{,}18}\).

\(\sin 70^\circ \approx 0{,}9397\), tedy \(\sin \alpha = \frac{18 \cdot 0{,}9397}{23{,}18} = 0{,}729\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}729 \approx 47{,}01^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 47{,}01^\circ – 70^\circ = 62{,}99^\circ\).

Řešení:

Spočítáme stranu \(c\) pomocí kosínové věty:

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 20^2 + 25^2 – 2 \cdot 20 \cdot 25 \cdot \cos 120^\circ\).

\(c^2 = 400 + 625 – 1000 \cdot (-0{,}5) = 1025 + 500 = 1525\).

\(c = \sqrt{1525} \approx 39{,}05\).

Použijeme sínovou větu pro výpočet úhlu \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{20 \cdot \sin 120^\circ}{39{,}05}\).

\(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = 0{,}8660\), tedy \(\sin \alpha = \frac{20 \cdot 0{,}8660}{39{,}05} = 0{,}444\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}444 \approx 26{,}39^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 26{,}39^\circ – 120^\circ = 33{,}61^\circ\).

Řešení:

Podle kosínové věty spočítáme stranu \(c\):

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 14^2 + 18^2 – 2 \cdot 14 \cdot 18 \cdot \cos 110^\circ\).

\(c^2 = 196 + 324 – 504 \cdot (-0{,}3420) = 520 + 172{,}37 = 692{,}37\).

\(c = \sqrt{692{,}37} \approx 26{,}32\).

Použijeme sínovou větu pro úhel \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{14 \cdot \sin 110^\circ}{26{,}32}\).

\(\sin 110^\circ \approx 0{,}9397\), tedy \(\sin \alpha = \frac{14 \cdot 0{,}9397}{26{,}32} = 0{,}500\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}500 = 30^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 30^\circ – 110^\circ = 40^\circ\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme stranu \(b\) podle kosínové věty:

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 11^2 + 19^2 – 2 \cdot 11 \cdot 19 \cdot \cos 55^\circ\).

\(b^2 = 121 + 361 – 418 \cdot 0{,}5736 = 482 – 239{,}74 = 242{,}26\).

\(b = \sqrt{242{,}26} \approx 15{,}56\).

Použijeme sínovou větu pro úhel \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{11 \cdot \sin 55^\circ}{15{,}56}\).

\(\sin 55^\circ \approx 0{,}8192\), tedy \(\sin \alpha = \frac{11 \cdot 0{,}8192}{15{,}56} = 0{,}579\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}579 \approx 35{,}39^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 35{,}39^\circ – 55^\circ = 89{,}61^\circ\).

Řešení:

Podle kosínové věty spočítáme stranu \(a\):

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha = 17^2 + 24^2 – 2 \cdot 17 \cdot 24 \cdot \cos 48^\circ\).

\(a^2 = 289 + 576 – 816 \cdot 0{,}6691 = 865 – 545{,}57 = 319{,}43\).

\(a = \sqrt{319{,}43} \approx 17{,}87\).

Použijeme sínovou větu pro úhel \(\beta\):

\(\frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \alpha}{a} \Rightarrow \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{17 \cdot \sin 48^\circ}{17{,}87}\).

\(\sin 48^\circ \approx 0{,}7431\), tedy \(\sin \beta = \frac{17 \cdot 0{,}7431}{17{,}87} = 0{,}706\).

\(\beta = \arcsin 0{,}706 \approx 44{,}94^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 48^\circ – 44{,}94^\circ = 87{,}06^\circ\).

Řešení:

Nejdříve spočítáme stranu \(b\) podle kosínové věty:

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 16^2 + 21^2 – 2 \cdot 16 \cdot 21 \cdot \cos 75^\circ\).

\(b^2 = 256 + 441 – 672 \cdot 0{,}2588 = 697 – 173{,}83 = 523{,}17\).

\(b = \sqrt{523{,}17} \approx 22{,}87\).

Použijeme sínovou větu pro úhel \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{16 \cdot \sin 75^\circ}{22{,}87}\).

\(\sin 75^\circ \approx 0{,}9659\), tedy \(\sin \alpha = \frac{16 \cdot 0{,}9659}{22{,}87} = 0{,}676\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}676 \approx 42{,}54^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 42{,}54^\circ – 75^\circ = 62{,}46^\circ\).

Řešení:

Podle kosínové věty spočítáme stranu \(c\):

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 13^2 + 20^2 – 2 \cdot 13 \cdot 20 \cdot \cos 95^\circ\).

\(c^2 = 169 + 400 – 520 \cdot (-0{,}0872) = 569 + 45{,}34 = 614{,}34\).

\(c = \sqrt{614{,}34} \approx 24{,}79\).

Použijeme sínovou větu pro úhel \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{13 \cdot \sin 95^\circ}{24{,}79}\).

\(\sin 95^\circ \approx 0{,}9962\), tedy \(\sin \alpha = \frac{13 \cdot 0{,}9962}{24{,}79} = 0{,}522\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}522 \approx 31{,}44^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 31{,}44^\circ – 95^\circ = 53{,}56^\circ\).

Řešení:

Podle kosínové věty spočítáme stranu \(c\):

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 12^2 + 15^2 – 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \cos 120^\circ\).

\(c^2 = 144 + 225 – 360 \cdot (-0{,}5) = 369 + 180 = 549\).

\(c = \sqrt{549} \approx 23{,}43\).

Použijeme sínovou větu pro úhel \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{12 \cdot \sin 120^\circ}{23{,}43}\).

\(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = 0{,}8660\), tedy \(\sin \alpha = \frac{12 \cdot 0{,}8660}{23{,}43} = 0{,}443\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}443 \approx 26{,}31^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 26{,}31^\circ – 120^\circ = 33{,}69^\circ\).

Řešení:

Podle kosínové věty spočítáme stranu \(a\):

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha = 20^2 + 25^2 – 2 \cdot 20 \cdot 25 \cdot \cos 50^\circ\).

\(a^2 = 400 + 625 – 1000 \cdot 0{,}6428 = 1025 – 642{,}8 = 382{,}2\).

\(a = \sqrt{382{,}2} \approx 19{,}55\).

Použijeme sínovou větu pro úhel \(\beta\):

\(\frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \alpha}{a} \Rightarrow \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{20 \cdot \sin 50^\circ}{19{,}55}\).

\(\sin 50^\circ \approx 0{,}7660\), tedy \(\sin \beta = \frac{20 \cdot 0{,}7660}{19{,}55} = 0{,}783\).

\(\beta = \arcsin 0{,}783 \approx 51{,}57^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 50^\circ – 51{,}57^\circ = 78{,}43^\circ\).

Řešení:

Podle kosínové věty spočítáme stranu \(b\):

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 10^2 + 16^2 – 2 \cdot 10 \cdot 16 \cdot \cos 65^\circ\).

\(b^2 = 100 + 256 – 320 \cdot 0{,}4226 = 356 – 135{,}23 = 220{,}77\).

\(b = \sqrt{220{,}77} \approx 14{,}86\).

Použijeme sínovou větu pro úhel \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{10 \cdot \sin 65^\circ}{14{,}86}\).

\(\sin 65^\circ \approx 0{,}9063\), tedy \(\sin \alpha = \frac{10 \cdot 0{,}9063}{14{,}86} = 0{,}610\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}610 \approx 37{,}54^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 37{,}54^\circ – 65^\circ = 77{,}46^\circ\).

Řešení:

Podle kosínové věty spočítáme stranu \(c\):

\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 15^2 + 22^2 – 2 \cdot 15 \cdot 22 \cdot \cos 80^\circ\).

\(c^2 = 225 + 484 – 660 \cdot 0{,}1736 = 709 – 114{,}58 = 594{,}42\).

\(c = \sqrt{594{,}42} \approx 24{,}38\).

Použijeme sínovou větu pro úhel \(\alpha\):

\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{15 \cdot \sin 80^\circ}{24{,}38}\).

\(\sin 80^\circ \approx 0{,}9848\), tedy \(\sin \alpha = \frac{15 \cdot 0{,}9848}{24{,}38} = 0{,}606\).

\(\alpha = \arcsin 0{,}606 \approx 37{,}37^\circ\).

Úhel \(\beta\) spočítáme jako:

\(\beta = 180^\circ – \alpha – \gamma = 180^\circ – 37{,}37^\circ – 80^\circ = 62{,}63^\circ\).

Řešení:

Podle kosínové věty spočítáme stranu \(a\):

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha = 18^2 + 24^2 – 2 \cdot 18 \cdot 24 \cdot \cos 40^\circ\).

\(a^2 = 324 + 576 – 864 \cdot 0{,}7660 = 900 – 661{,}82 = 238{,}18\).

\(a = \sqrt{238{,}18} \approx 15{,}43\).

Použijeme sínovou větu pro úhel \(\beta\):

\(\frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \alpha}{a} \Rightarrow \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{18 \cdot \sin 40^\circ}{15{,}43}\).

\(\sin 40^\circ \approx 0{,}6428\), tedy \(\sin \beta = \frac{18 \cdot 0{,}6428}{15{,}43} = 0{,}750\).

\(\beta = \arcsin 0{,}750 \approx 48{,}59^\circ\).

Úhel \(\gamma\) spočítáme jako:

\(\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 40^\circ – 48{,}59^\circ = 91{,}41^\circ\).