1. V sadě je 48 jablek. Paní učitelka chce rozdělit jablka mezi 6 tříd tak, aby každá třída dostala stejný počet jablek a žádné jablko nezbylo. Kolik jablek dostane každá třída?
Řešení příkladu:
Počet jablek celkem je \(48\). Počet tříd je \(6\).
Pro rovnoměrné rozdělení bez zbytku musíme zjistit, jestli je \(48\) dělitelné \(6\).
Vydělíme \(48\) číslem \(6\): \(\frac{48}{6} = 8\).
Proto každá třída dostane \(8\) jablek.
2. Tomáš má 90 bonbónů a chce je rozdělit do pytlíčků po stejném počtu tak, aby mu žádný bonbón nezbyl. Jaké může mít pytlíčky velikosti, pokud musí mít alespoň 5 bonbónů v každém?
Řešení příkladu:
Máme číslo \(90\) a hledáme jeho dělitele, které jsou alespoň \(5\).
Z těchto dělitelů jsou větší nebo rovny \(5\) tyto: \(5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90\).
Tomáš může použít pytlíčky o velikosti právě těchto hodnot.
3. V balíčku je 120 kuliček, z nichž 3/4 jsou modré. Kolik modrých kuliček je v balíčku a lze je rovnoměrně rozdělit do krabiček po 9 kuliček bez zbytku?
Řešení příkladu:
Celkový počet kuliček je \(120\).
Počet modrých kuliček je \(\frac{3}{4} \times 120 = 90\).
Chceme zjistit, zda je \(90\) dělitelné \(9\).
Vydělíme: \(\frac{90}{9} = 10\), což je celé číslo.
To znamená, že modré kuličky lze rozdělit do krabiček po 9 bez zbytku, přičemž dostaneme 10 krabiček.
4. Jana chce rozdělit 56 knih do 7 regálů tak, aby v každém byl stejný počet knih. Je to možné? Kolik knih bude v každém regálu?
Řešení příkladu:
Celkový počet knih je \(56\), počet regálů je \(7\).
Zjistíme, zda \(56\) je dělitelné \(7\).
Vydělíme: \(\frac{56}{7} = 8\).
Proto může Jana do každého regálu dát \(8\) knih.
5. V obchodě je balení s 84 tužkami. Pokud by se měly tužky rozdělit do krabiček po 12 kusech, kolik bude potřeba krabiček a kolik tužek zbyde, pokud by se krabičky mohly plnit i nedoplněné?
Řešení příkladu:
Celkový počet tužek je \(84\), velikost jedné krabičky je \(12\).
Zjistíme, kolik celých krabiček lze naplnit: \(\frac{84}{12} = 7\).
Protože \(84\) je dělitelné \(12\), nezbude žádná tužka.
Je potřeba \(7\) krabiček a žádné tužky nezbydou.
6. Na výlet jede 54 žáků a chce se rozdělit do aut, přičemž každé auto pojme stejně lidí a auta musejí být co nejvíce zaplněná. Jaký může být počet aut?
Řešení příkladu:
Celkem je \(54\) žáků.
Hledáme dělitele \(54\), tedy čísla, kterými lze \(54\) rozdělit bez zbytku.
Dělitele jsou: \(1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54\).
Počet aut musí být jeden z těchto dělitelů.
Auta musejí být co nejvíce zaplněná, tedy počet aut by měl být co nejmenší.
Nejmenší dělitel kromě \(1\) je \(2\), což znamená \(27\) lidí v autě – to je hodně.
Alternativně může být \(3\) auta po \(18\) lidech, nebo \(6\) aut po \(9\) lidech atd.
7. Paní kuchařka chce rozdělit 72 sušenek do balíčků po 8 kusech. Kolik balíčků bude mít a bude mít ještě nějaké sušenky navíc?
Řešení příkladu:
Celkový počet sušenek je \(72\).
Velikost balíčku je \(8\) sušenek.
Vydělíme: \(\frac{72}{8} = 9\).
Paní kuchařka bude mít \(9\) balíčků a žádné sušenky jí nezbydou.
8. V knihovně mají 96 knih a chtějí je rozdělit do regálů, kde každý regál bude mít stejný počet knih, přičemž tento počet musí být dělitelný 12. Kolik může být knih v regálu?
Řešení příkladu:
Celkem je \(96\) knih.
Hledáme dělitele čísla \(96\), které jsou zároveň dělitelné \(12\).
Regál může mít tedy \(12\), \(24\), \(48\) nebo \(96\) knih.
9. Karel má 105 kuliček a chce je rozdělit do skupin po stejném počtu tak, aby měl co nejvíce skupin. Kolik kuliček bude ve skupině a kolik bude skupin?
Řešení příkladu:
Máme \(105\) kuliček a chceme co nejvíce skupin.
To znamená, že chceme najít co nejmenší dělitel \(105\), kromě 1.
Počet skupin bude \(\frac{105}{3} = 35\) skupin po 3 kuličkách.
10. V krabici je 84 cukrovinek. Chceme je rozdělit do sáčků po stejném počtu tak, aby v sáčcích bylo více než 10 kusů, ale méně než 20 kusů. Kolik cukrovinek může být v jednom sáčku?
Dělitele v požadovaném intervalu jsou \(12\) a \(14\).
Proto může být v sáčku buď \(12\) nebo \(14\) cukrovinek.
11. Ve skladu je 180 krabic s počítačovými komponenty. Majitel chce tyto krabice rozdělit do palet tak, aby na každé paletě bylo stejný počet krabic a aby byl počet palet co největší. Navíc musí být na každé paletě alespoň 10 krabic. Kolik krabic bude na jedné paletě a kolik bude palet?
Řešení příkladu:
Celkový počet krabic je \(180\).
Majitel chce rozdělit krabice do palet, přičemž počet krabic na paletě je stejný a počet palet co největší, přičemž na paletě musí být alespoň 10 krabic.
Nejprve musíme najít všechny dělitele čísla \(180\), protože počet krabic na paletě musí být dělitel čísla \(180\), aby nedošlo k žádnému zbytku.
Dělitele čísla \(180\) určíme pomocí rozkladu na prvočísla:
\(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\).
Dělitele jsou všechna čísla, která lze sestavit z těchto prvočísel v různých mocninách:
Požadujeme, aby na každé paletě bylo alespoň 10 krabic, proto vybereme dělitele větší nebo rovné 10:
\(10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180\).
Majitel chce mít co nejvíce palet, tedy počet palet bude co největší, což znamená, že počet krabic na paletě bude co nejmenší z této množiny.
Nejmenší možný počet krabic na paletě, který splňuje podmínky, je tedy \(10\).
Počet palet spočítáme jako \(\frac{180}{10} = 18\).
Odpověď: Na jedné paletě bude \(10\) krabic a palet bude celkem \(18\).
12. V knihovně je 132 knih, které mají být rovnoměrně rozděleny do polic, přičemž každá polička může pojmout pouze takový počet knih, který je dělitelem čísla 132 a zároveň je větší než 5 a menší než 20. Kolik knih může být na jedné poličce?
Řešení příkladu:
Celkový počet knih je \(132\).
Máme určit dělitele čísla \(132\) s podmínkou, že počet knih na poličce musí být větší než \(5\) a menší než \(20\).
Nejdříve provedeme rozklad čísla \(132\) na prvočísla:
\(132 = 2^2 \times 3 \times 11\).
Dělitele čísla \(132\) jsou všechna čísla, která lze složit z prvočísel \(2, 3, 11\) v příslušných mocninách:
\(1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132\).
Vybereme ty, které jsou větší než \(5\) a menší než \(20\):
\(6, 11, 12\).
Tedy možné počty knih na poličce jsou \(6\), \(11\) a \(12\).
Zkontrolujeme, zda všechna tato čísla skutečně dělí \(132\) beze zbytku:
\(132 \div 6 = 22\), celé číslo.
\(132 \div 11 = 12\), celé číslo.
\(132 \div 12 = 11\), celé číslo.
Odpověď: Na jedné poličce může být \(6\), \(11\) nebo \(12\) knih.
13. Pavel má 210 kuliček a chce je rozdělit do krabiček tak, aby v každé krabičce bylo stejně kuliček, a počet kuliček v jedné krabičce byl dělitelný číslem 7. Kolik může být kuliček v jedné krabičce?
Řešení příkladu:
Celkový počet kuliček je \(210\).
Hledáme čísla \(x\), taková že \(x\) dělí \(210\) beze zbytku a zároveň \(x\) je dělitelné 7.
Nejdříve najdeme všechny dělitele \(210\).
Rozklad na prvočísla:
\(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\).
Dělitele jsou všechna čísla, která jsou součinem těchto prvočísel v různých kombinacích:
Vybereme ty, které jsou dělitelné \(7\), tedy jsou násobky \(7\):
\(7, 14, 21, 35, 42, 70, 105, 210\).
Každé z těchto čísel může být velikost jedné krabičky.
Pro potvrzení zkontrolujeme, že každé číslo dělí \(210\) bez zbytku:
\(210 \div 7 = 30\),
\(210 \div 14 = 15\),
\(210 \div 21 = 10\),
\(210 \div 35 = 6\),
\(210 \div 42 = 5\),
\(210 \div 70 = 3\),
\(210 \div 105 = 2\),
\(210 \div 210 = 1\).
Odpověď: Kuličky mohou být baleny do krabiček obsahujících \(7\), \(14\), \(21\), \(35\), \(42\), \(70\), \(105\) nebo \(210\) kuliček.
14. Ve škole je 144 žáků a učitel chce je rozdělit do skupin tak, aby každý měl stejně členů a zároveň aby počet členů v každé skupině byl sudý a menší než 20. Kolik může být členů ve skupině?
Řešení příkladu:
Celkový počet žáků je \(144\).
Požadujeme rozdělení do skupin se stejným počtem členů, tedy hledáme dělitele čísla \(144\).
Dále musí být počet členů ve skupině sudý a menší než \(20\).
Každé z těchto čísel je tedy možné jako počet členů ve skupině.
Potvrdíme, že jsou dělitelé \(144\) beze zbytku:
Například \(\frac{144}{18} = 8\), celé číslo.
Odpověď: Počet členů ve skupině může být \(2, 4, 6, 8, 12, 16\) nebo \(18\).
15. Knihkupec obdržel zásilku s 168 knihami. Chce je rozdělit do balíčků tak, aby každý balíček měl stejný počet knih a zároveň aby počet knih v balíčku byl násobkem 4 a menší než 40. Kolik knih může být v balíčku?
Řešení příkladu:
Celkový počet knih je \(168\).
Požadujeme, aby počet knih v balíčku byl dělitelem \(168\), byl násobkem 4 a zároveň byl menší než 40.
Vybereme z nich čísla, která jsou násobky 4 a menší než 40:
Násobky 4 z dělitelů jsou: \(4, 8, 12, 24, 28\).
Všechny tyto čísla jsou menší než 40, takže kandidují.
Ověříme, že tato čísla skutečně dělí \(168\) beze zbytku:
\(168 \div 4 = 42\),
\(168 \div 8 = 21\),
\(168 \div 12 = 14\),
\(168 \div 24 = 7\),
\(168 \div 28 = 6\).
Odpověď: V balíčku může být \(4\), \(8\), \(12\), \(24\) nebo \(28\) knih.
16. Učitelka má 154 tužek a chce je rozdělit do krabiček tak, aby každá krabička obsahovala stejný počet tužek, který je prvočíslo větší než 5. Kolik tužek může být v jedné krabičce?
Řešení příkladu:
Celkový počet tužek je \(154\).
Požadujeme, aby počet tužek v krabičce byl dělitelem \(154\), byl prvočíslem a větší než \(5\).
Rozklad \(154\) na prvočísla:
\(154 = 2 \times 7 \times 11\).
Dělitele \(154\) jsou:
\(1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154\).
Vybereme ty, které jsou prvočíslem a větší než 5:
\(7\) a \(11\).
Ověříme, že \(7\) a \(11\) skutečně dělí \(154\):
\(154 \div 7 = 22\),
\(154 \div 11 = 14\).
Odpověď: V krabičce může být buď \(7\) nebo \(11\) tužek.
17. Na závodě je 252 účastníků a pořadatelé chtějí vytvořit týmy, kde každý tým bude mít stejný počet členů a tento počet musí být dělitelem čísla 252 a zároveň větší než 8 a menší než 30. Kolik členů může být v jednom týmu?
Řešení příkladu:
Celkový počet účastníků je \(252\).
Hledáme dělitele \(252\), které jsou větší než \(8\) a menší než \(30\).
Odpověď: V jednom týmu může být \(9\), \(12\), \(14\), \(18\), \(21\) nebo \(28\) členů.
18. Firma vyrobila 270 hraček, které chce zabalené do krabic. Počet hraček v každé krabici musí být dělitelem čísla 270 a zároveň násobkem čísla 5. Kolik hraček může být v jedné krabici?
Řešení příkladu:
Celkový počet hraček je \(270\).
Počet hraček v jedné krabici musí být dělitelem \(270\) a zároveň násobkem \(5\).
Odpověď: V jedné krabici může být \(5, 10, 15, 30, 45, 90, 135\) nebo \(270\) hraček.
19. V balíku je 196 lístků. Lístky mají být rozděleny do balíčků tak, aby počet lístků v každém balíčku byl prvočíslo a zároveň aby bylo možné balíčky rozdělit bez zbytku. Jaký může být počet lístků v jednom balíčku?
Řešení příkladu:
Celkový počet lístků je \(196\).
Počet lístků v balíčku musí být dělitelem \(196\) a zároveň prvočíslem.
Rozklad \(196\) na prvočísla:
\(196 = 2^2 \times 7^2\).
Dělitele \(196\) jsou:
\(1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196\).
Vybereme ty, které jsou prvočísly:
\(2\) a \(7\).
Odpověď: Počet lístků v balíčku může být \(2\) nebo \(7\).
20. Firma má 1800 šroubů a chce je zabalit do krabic tak, aby počet šroubů v každé krabici byl dělitelem čísla 1800, a zároveň byl největší možný takový, že je dělitelný číslem 12. Kolik šroubů bude v jedné krabici?
Řešení příkladu:
Celkový počet šroubů je \(1800\).
Hledáme dělitele \(1800\), který je dělitelný 12 a je největší možný.
Rozklad \(1800\) na prvočísla:
\(1800 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2\).
Dělitelé \(1800\) jsou čísla, která lze vytvořit z těchto prvočísel v různých mocninách.
Nejprve zkontrolujeme, zda \(1800\) je dělitelné \(12\):
Protože \(12 = 2^2 \times 3\), a \(1800\) obsahuje \(2^3\) a \(3^2\), tak \(1800\) je dělitelných \(12\).
Hledáme tedy největší dělitel \(1800\), který je násobkem \(12\).
Postup:
Největším dělitelem \(1800\) je samo číslo \(1800\). Zjistíme, zda je \(1800\) dělitelné \(12\) – ano.
Pokud však hledáme skutečně největší dělitel \(1800\), který je násobkem \(12\), pak odpovědí je \(1800\) samotných.
Odpověď: V jedné krabici bude \(1800\) šroubů (celý obsah) pokud by měl být největší dělitel dělitelný 12.
Pokud by však měl být počet krabic více než jedna, pak hledáme největší dělitel \(< 1800\) dělitelný 12.
Vypočteme dělitele \(1800\), kteří jsou násobky 12:
Například 900, 600, 300, 180, 150, 120 atd.
Největší takový dělitel kromě \(1800\) je \(900\), protože \(1800 \div 2 = 900\), a \(900\) je násobkem \(12\) (protože \(12 \times 75 = 900\)).
Odpověď (s více krabicemi): Největší počet šroubů v krabici, dělitelný 12 a dělící \(1800\), je \(900\).
21. Firma má 2520 jednotiek tovaru, ktoré chce zabaliť do krabíc tak, aby každá krabica obsahovala rovnaký počet jednotiek. Počet jednotiek v každej krabici musí byť deliteľný číslom 7 a zároveň musí byť najväčším možným deliteľom čísla 2520, ktorý spĺňa túto podmienku. Koľko jednotiek bude v jednej krabici?
Řešení příkladu:
Celkový počet jednotiek je \(2520\).
Úlohou je nájsť najväčší deliteľ čísla \(2520\), ktorý je zároveň deliteľný \(7\).
Najprv rozložíme \(2520\) na prvočísla:
\(2520 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7\).
Deliteľ čísla \(2520\) musí byť v tvare \(2^a \times 3^b \times 5^c \times 7^d\), kde platí:
\(0 \leq a \leq 3\)
\(0 \leq b \leq 2\)
\(0 \leq c \leq 1\)
\(0 \leq d \leq 1\)
Podmienka, že deliteľ musí byť deliteľný \(7\), znamená, že \(d = 1\).
Chceme teda maximálny deliteľ, takže vyberieme najvyššie možné mocniny pre ostatné prvočísla:
Tento deliteľ je rovno číslo \(2520\), čo je teda najväčší deliteľ čísla \(2520\) deliteľný \(7\).
Ak by sme však chceli mať viac než jednu krabicu (teda počet jednotiek v jednej krabici by mal byť menší ako \(2520\)), musíme nájsť najväčší deliteľ \(< 2520\), ktorý je deliteľný \(7\).
Skúsime zmenšiť mocninu niektorého z prvočísel:
Znížime napríklad mocninu \(5\) z \(1\) na \(0\), aby sme získali deliteľ:
630 delí 2520 (\(2520 \div 630 = 4\)), ale 1260 je väčšie ako 630, takže ostáva 1260 najväčším kandidátom.
Preto najväčší deliteľ čísla 2520, ktorý je deliteľný 7 a je menší než 2520, je \(1260\).
Odpoveď: Počet jednotiek v jednej krabici bude buď \(2520\) (ak bude len jedna krabica) alebo najväčší možný menší deliteľ deliteľný 7 je \(1260\).
22. Na sklade je 3600 ks tovaru, ktorý chceme zabaliť do balíkov. Každý balík musí obsahovať rovnaký počet kusov a tento počet musí byť deliteľný 8 aj 9 zároveň. Koľko kusov bude v jednom balíku, ak chceme čo najväčší možný počet kusov v balíku?
Řešení příkladu:
Celkový počet tovaru je \(3600\).
Hľadáme najväčší deliteľ čísla \(3600\), ktorý je deliteľný \(8\) aj \(9\) zároveň.
Najprv rozložíme \(3600\) na prvočísla:
\(3600 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2\).
Číslo musí byť deliteľné \(8\) a \(9\).
Rozklad \(8 = 2^3\).
Rozklad \(9 = 3^2\).
Preto hľadáme deliteľ, ktorý obsahuje aspoň \(2^3\) a \(3^2\).
V celkovom rozklade máme \(2^4\) a \(3^2\), takže môžeme vybrať \(2^3\) a \(3^2\) z rozkladu.
Pre \(5\) môžeme vybrať buď \(5^0\), \(5^1\) alebo \(5^2\), podľa toho, či to deliteľ zvyšuje.
Chceme najväčší možný deliteľ, preto vyberieme \(5^2\).
Odpoveď: V jednom balíku bude \(1800\) kusov tovaru.
23. V sklade je 2310 fliaš. Chceme ich rozložiť do krabíc tak, aby každý krabica mala rovnaký počet fliaš. Tento počet musí byť deliteľný 3 alebo 5, ale nie súčasne. Aký je maximálny možný počet fliaš v jednej krabici?
Řešení příkladu:
Máme \(2310\) fliaš, hľadáme deliteľ \(d\), ktorý delí \(2310\), kde \(d\) je deliteľný buď \(3\) alebo \(5\), ale nie oboma naraz.
Deliteľ musí deliť \(2310\), teda byť v tvare \(2^a \times 3^b \times 5^c \times 7^d \times 11^e\), kde \(a, b, c, d, e \in \{0,1\}\).
Podmienka: deliteľ musí byť deliteľný 3 alebo 5, ale nie oboma naraz, teda:
\((b=1 \wedge c=0) \vee (b=0 \wedge c=1)\).
Chceme maximalizovať \(d\).
Najprv zvážime prípad \(b=1, c=0\):
Deliteľ má tvar \(2^a \times 3 \times 7^d \times 11^e\).
Maximalizujeme zvyšné mocniny, aby bol deliteľ čo najväčší:
Vyberieme \(a=1, d=1, e=1\).
Vypočítame:
\(2 \times 3 \times 7 \times 11 = 462\).
Teraz prípad \(b=0, c=1\):
Deliteľ má tvar \(2^a \times 5 \times 7^d \times 11^e\).
Opäť maximalizujeme \(a,d,e\):
\(2 \times 5 \times 7 \times 11 = 770\).
Medzi týmito dvoma kandidátmi je väčší \(770\).
Skontrolujeme, či \(770\) delí \(2310\):
\(2310 \div 770 = 3\), áno.
Odpoveď: Maximálny možný počet fliaš v jednej krabici je \(770\).
24. V škole je 168 žiakov, ktorí sa majú rozdeliť do skupín tak, aby počet žiakov v každej skupine bol deliteľný 4, ale nie deliteľný 6. Aký je najväčší možný počet žiakov v skupine?
Řešení příkladu:
Počet žiakov je \(168\).
Hľadáme najväčší deliteľ čísla \(168\), ktorý je deliteľný 4, ale nie deliteľný 6.
Rozklad \(168\) na prvočísla:
\(168 = 2^3 \times 3 \times 7\).
Deliteľ musí byť v tvare \(2^a \times 3^b \times 7^c\), kde \(0 \leq a \leq 3\), \(0 \leq b \leq 1\), \(0 \leq c \leq 1\).
Podmienka, že deliteľ nie je deliteľný 6 znamená, že deliteľ nie je deliteľný \(2 \times 3\), teda nesmie mať mocninu 3 aspoň 1, ak má mocninu 2 aspoň 1.
Preto \(b = 0\).
Maximalizujeme \(a\) a \(c\):
\(a = 3\), \(b = 0\), \(c = 1\).
Vypočítame deliteľ:
\(2^3 \times 7 = 8 \times 7 = 56\).
Skontrolujeme, či delí 168:
\(168 \div 56 = 3\), áno.
Odpoveď: Najväčší možný počet žiakov v skupine je \(56\).
25. V továrni je 840 kusov výrobkov, ktoré chceme rozdeliť do balíkov. Počet výrobkov v jednom balíku musí byť deliteľný 4 alebo 7, ale nie oboma naraz. Aký je najväčší možný počet výrobkov v balíku?
Řešení příkladu:
Počet výrobkov je \(840\).
Rozklad \(840\) na prvočísla:
\(840 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7\).
Deliteľ musí byť deliteľný \(4 = 2^2\) alebo \(7\), ale nie oboma naraz.
Teda buď \(a \geq 2, d = 0\) alebo \(a < 2, d = 1\) (kde \(a\) je mocnina dvojky, \(d\) mocnina sedmičky).
Odpoveď: Najväčší možný počet výrobkov v balíku je \(210\).
26. V sklade je 924 kusov tovaru. Chceme ich zabaliť do krabíc tak, aby počet kusov v každej krabici bol spoločným deliteľom čísel 924 a 660, a zároveň bol najväčší možný. Koľko kusov bude v jednej krabici?
Řešení příkladu:
Hľadáme najväčší spoločný deliteľ (NSD) čísel \(924\) a \(660\).
Rozkladáme obidve čísla na prvočísla:
\(924 = 2^2 \times 3 \times 7 \times 11\)
\(660 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 11\)
NSD sa skladá z prvočísel s najnižšími mocninami, ktoré sa nachádzajú v oboch rozkladoch:
Odpoveď: V jednej krabici bude \(132\) kusov tovaru.
27. Na výrobu balíkov máme 2025 kusov materiálu. Každý balík musí obsahovať rovnaký počet kusov, pričom tento počet musí byť deliteľný buď 9 alebo 15, ale nie oboma naraz. Aký je maximálny počet kusov v jednom balíku?
Řešení příkladu:
Rozklad čísla \(2025\):
\(2025 = 3^4 \times 5^2\).
Podmienka: balík musí obsahovať počet deliteľný 9 alebo 15, ale nie oboma naraz.
Rozklad:
\(9 = 3^2\)
\(15 = 3 \times 5\)
Podmienka znamená:
Buď balík obsahuje aspoň \(3^2\) a nie \(5^1\) (teda \(b \geq 2, c = 0\)), alebo balík obsahuje aspoň \(3^1\) a \(5^1\), ale neobsahuje \(3^2\) (teda \(b = 1, c \geq 1\)).
Hľadáme deliteľ \(3^b \times 5^c\), ktorý delí \(2025\), s podmienkou:
\((b \geq 2 \wedge c = 0) \vee (b = 1 \wedge c \geq 1)\).
Možnosti:
1) \(b = 2, c = 0\) až \(b = 4, c=0\), najväčší je \(3^4 = 81\).
2) \(b=1, c=1\) alebo \(c=2\):
\(3^1 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75\)
Porovnáme 81 a 75, väčšie je 81.
Skontrolujeme, či 81 delí 2025:
\(2025 \div 81 = 25\), áno.
Odpoveď: Maximálny počet kusov v balíku je \(81\).
28. V sklade je 1764 kusov výrobkov. Chceme ich rozdeliť do balíkov tak, aby počet výrobkov v každom balíku bol deliteľný 6, ale nie 9. Aký je najväčší možný počet výrobkov v balíku?
Řešení příkladu:
Rozklad čísla \(1764\):
\(1764 = 2^2 \times 3^3 \times 7^2\).
Podmienky:
Deliteľ musí byť deliteľný 6 = \(2 \times 3\), teda \(a \geq 1\), \(b \geq 1\).
Odpoveď: Najväčší možný počet výrobkov v balíku je \(588\).
29. Firma má 4620 kusov výrobkov. Chce ich zabaliť do krabíc tak, aby počet kusov v krabici bol deliteľný 2, 3 a 5 zároveň, ale zároveň nechce, aby bol deliteľný 7. Aký je najväčší možný počet kusov v krabici?
Odpoveď: Najväčší možný počet kusov v krabici je \(660\).
30. Spoločnosť má 2700 jednotiek tovaru, ktoré chce zabaliť do balíkov. Počet jednotiek v balíku musí byť deliteľný 10, ale nesmie byť deliteľný 15. Aký je najväčší možný počet jednotiek v balíku?
Řešení příkladu:
Rozklad čísla \(2700\):
\(2700 = 2^2 \times 3^3 \times 5^2\).
Podmienky:
Deliteľ musí byť deliteľný 10 = \(2 \times 5\), teda \(a \geq 1\), \(c \geq 1\).
Nesmie byť deliteľný 15 = \(3 \times 5\), teda \(b = 0\) alebo \(c = 0\). Keďže musí byť \(c \geq 1\), tak \(b = 0\).
Hľadáme najväčší deliteľ tvaru \(2^a \times 3^0 \times 5^c\), ktorý delí 2700:
\(a \leq 2, c \leq 2\).
Maximalizujeme \(a\) a \(c\): \(a = 2\), \(c = 2\).
Vypočítame:
\(2^2 \times 5^2 = 4 \times 25 = 100\).
Skontrolujeme, či delí 2700:
\(2700 \div 100 = 27\), áno.
Odpoveď: Najväčší možný počet jednotiek v balíku je \(100\).
31. V továrně je 5040 kusů výrobků. Chceme je rozdělit do krabic tak, aby počet kusů v každé krabici byl dělitelný 12, ale nebyl dělitelný 18. Jaký je maximální počet kusů v jedné krabici?
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme číslo 5040 na prvočinitele:
\(5040 = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7\).
Podmínky úlohy jsou následující:
– počet kusů v krabici musí být dělitelný 12, což znamená, že musí být dělitelný \(\,2^2 \times 3^1\), tedy mocniny musí splňovat \(a \geq 2\), \(b \geq 1\), kde \(a\) je mocnina 2 a \(b\) mocnina 3 v rozkladu počtu kusů v krabici.
– nesmí být dělitelný 18, což je \(\,2^1 \times 3^2\), tedy nesmí být splněna podmínka \(a \geq 1\) a \(b \geq 2\). Proto musí být mocnina 3 menší než 2, tedy \(b < 2\).
To znamená, že \(b = 1\) (protože musí být alespoň 1, aby byla dělitelnost 12, ale zároveň nesmí být 2 a více kvůli nedělitelnosti 18).
Z hlediska mocnin 2 máme podmínku \(a \geq 2\) a \(b = 1\).
Nyní se podíváme, jaké další prvočísla můžeme použít, aby byl počet co největší a přitom dělil 5040:
5040 obsahuje také prvočísla 5 a 7, jejichž mocniny jsou 1. Ty můžeme k výsledku přidat, protože nemají vliv na dělitelnost 12 ani 18.
33. Společnost má 12375 jednotek výrobku. Chce je zabalit do krabic, přičemž počet jednotek v krabici musí být dělitelný 25, ale nesmí být dělitelný 15. Jaký je maximální počet jednotek v krabici?
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme číslo 12375:
\(12375 = 3 \times 5^4 \times 11\).
Podmínky:
– počet jednotek v krabici je dělitelný 25, tedy musí obsahovat alespoň \(5^2\), tedy mocnina 5 v rozkladu je \(c \geq 2\).
– nesmí být dělitelný 15, což je \(3 \times 5\), tedy nemůže obsahovat současně \(3^1\) a \(5^1\).
Z toho vyplývá, že buď mocnina 3 je 0, nebo mocnina 5 je 0. Ale protože musí být \(c \geq 2\), tedy musí být 5 v rozkladu, tak mocnina 3 musí být 0.
Protože číslo 12375 obsahuje \(3^1\), můžeme použít jen ty dělitele, kde mocnina 3 je 0, tedy ty, které jsou dělitelné 5, ale ne 3.
Proto hledáme největší dělitel čísla \(12375\), který má tvar \(3^0 \times 5^c \times 11^d\), kde \(c \leq 4\), \(d \leq 1\), a \(c \geq 2\).
Maximalizujeme tedy \(c = 4\), \(d = 1\).
Výpočet:
\(5^4 \times 11 = 625 \times 11 = 6875\).
Ověření, že 6875 dělí 12375:
\(12375 \div 6875 = 1.8\), ne celé číslo, takže 6875 není dělitel.
Zkusíme tedy \(d = 0\), tj. bez 11:
\(5^4 = 625\).
\(12375 \div 625 = 19.8\), není celé číslo.
Zkusíme menší mocninu 5, \(c = 3\):
\(5^3 \times 11^1 = 125 \times 11 = 1375\).
\(12375 \div 1375 = 9\), celé číslo.
Ověříme podmínky:
– dělitelný 25: ano, protože \(5^3\) obsahuje \(5^2\).
– nedělitelný 15: ano, protože mocnina 3 je 0.
Odpověď: maximální počet jednotek v krabici je 1375.
34. V sadě je 8100 kusů ovoce. Chceme je rozdělit do košů tak, aby počet kusů v každém koši byl dělitelný 18, ale ne 24. Jaký je maximální počet kusů v jednom koši?
Řešení příkladu:
Rozklad čísla 8100:
\(8100 = 2^2 \times 3^4 \times 5^2\).
Podmínky:
– dělitelný 18, což je \(2 \times 3^2\), tedy \(a \geq 1\), \(b \geq 2\).
– nesmí být dělitelný 24, což je \(2^3 \times 3\), tedy nesmí být \(a \geq 3\) a zároveň \(b \geq 1\).
– Dělitelné 18: ano, protože \(a \geq 1\), \(b \geq 2\).
– Nedělitelné 24: ano, protože \(a = 2 < 3\).
Odpověď: maximální počet kusů v koši je 8100.
35. Ve skladu je 9450 kusů zboží. Chceme je rozdělit do balíků tak, aby počet kusů v balíku byl dělitelný 21, ale nesmí být dělitelný 7^2. Jaký je maximální počet kusů v balíku?
Řešení příkladu:
Rozklad čísla 9450:
\(9450 = 2 \times 3^3 \times 5^2 \times 7\).
Podmínky:
– dělitelný 21 = \(3 \times 7\), tedy musí mít mocniny \(b \geq 1\) a \(d \geq 1\).
– nesmí být dělitelný \(7^2\), tedy mocnina 7 musí být právě 1, \(d = 1\).
Maximalizujeme mocniny ostatních prvočísel, které jsou v rozkladu čísla:
– Dělitelné 21: ano, protože obsahuje \(3^3\) a \(7^1\).
– Nedělitelné \(7^2\): ano, protože mocnina 7 je 1.
Odpověď: maximální počet kusů v balíku je 9450.
36. Máme 7560 tužek. Chceme je rozdělit do krabiček, přičemž počet tužek v krabičce musí být dělitelný 20, ale nesmí být dělitelný 30. Jaký je maximální počet tužek v jedné krabičce?
– nesmí být dělitelný 30 = \(2 \times 3 \times 5\), tedy nesmí obsahovat všechny současně \(a \geq 1\), \(b \geq 1\), \(c \geq 1\).
To znamená, že musí být splněno, že aspoň jedna z mocnin 2 nebo 3 nebo 5 nebude splněna. Ale protože \(a \geq 2\) a \(c \geq 1\) kvůli 20, nesmí být tedy \(b \geq 1\).
– dělitelný 14: ano, protože \(a \geq 1\), \(d \geq 1\).
– nedělitelný 28: ano, protože \(a = 1 < 2\).
Odpověď: maximální počet žáků v řadě je 1470.
38. V továrně je 13860 součástek. Chceme je rozdělit do balíků tak, aby počet součástek v balíku byl dělitelný 18, ale nesmí být dělitelný 36. Jaký je maximální počet součástek v balíku?
Odpověď: maximální počet součástek v balíku je 6930.
39. Ve skladu je 15120 kusů výrobků. Chceme je rozdělit do balíků, aby počet kusů v balíku byl dělitelný 28, ale nesmí být dělitelný 56. Jaký je maximální počet kusů v balíku?
40. Ve skladu je 18480 kusů součástek. Chceme je rozdělit do balíků tak, aby počet součástek v balíku byl dělitelný 24, ale nesmí být dělitelný 48. Jaký je maximální počet součástek v balíku?
Odpověď: maximální počet součástek v balíku je 9240.
41. V továrně je 25200 kusů výrobků. Chceme je rozdělit do krabic tak, aby počet kusů v krabici byl dělitelný 36, ale nesměl být dělitelný 72. Jaký je maximální počet kusů v jedné krabici?
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme číslo 25200 na prvočísla:
\(25200 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \times 7\).
Podmínky pro počet kusů v krabici jsou:
dělitelnost 36 znamená, že počet musí obsahovat \(2^2 \times 3^2\), tedy mocniny 2 musí být alespoň 2 a mocniny 3 alespoň 2, tedy \(a \geq 2\), \(b \geq 2\).
nesmí být dělitelný 72, což je \(2^3 \times 3^2\), tedy mocnina 2 musí být menší než 3, tedy \(a < 3\).
Z těchto podmínek plyne, že mocnina 2 může být 2 (nejmenší možná hodnota, aby byla splněna dělitelnosť 36) nebo 2 (protože \(a < 3\)).
Mocnina 3 musí být minimálně 2, aby platila dělitelnosť 36. Ostatní faktory můžeme maximalizovat, aby výsledné číslo bylo co největší, a zároveň dělilo 25200.
Maximalizujeme tedy mocniny 5 a 7, které jsou v rozkladu \(5^2\) a \(7^1\).
– dělitelný 36: ano, protože \(a = 2 \geq 2\), \(b = 2 \geq 2\).
– nedělitelný 72: ano, protože \(a = 2 < 3\).
Závěr: maximální počet kusů v jedné krabici je 6300.
42. Ve skladu je 19800 tužek. Chceme je rozdělit do krabiček, přičemž počet tužek v krabičce musí být dělitelný 45, ale nesmí být dělitelný 90. Jaký je maximální počet tužek v jedné krabičce?
Řešení příkladu:
Rozložíme číslo 19800 na prvočísla:
\(19800 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 11\).
Podmínky pro počet tužek v krabičce:
dělitelnost 45 znamená \(3^2 \times 5\), tedy \(b \geq 2\), \(c \geq 1\).
nesmí být dělitelný 90, což je \(2 \times 3^2 \times 5\), tedy mocnina 2 musí být 0, protože pokud je alespoň 1, bude dělitelný 90.
Z toho plyne, že \(a = 0\).
Mocniny 3 a 5 musí být minimálně \(b=2\) a \(c=1\).
Ostatní faktory maximalizujeme, aby bylo číslo co největší a zároveň dělilo 19800.
Protože \(a = 0\), vynecháme 2, ale máme 11 v rozkladu, můžeme ho tedy zahrnout.
– dělitelný 45: ano, protože \(b = 2 \geq 2\), \(c = 2 \geq 1\).
– nedělitelný 90: ano, protože \(a = 0\).
Závěr: maximální počet tužek v jedné krabičce je 2475.
43. V balíku je 18480 kusů součástek. Chceme je rozdělit do menších balíků tak, aby počet kusů v menším balíku byl dělitelný 60, ale nesmí být dělitelný 120. Jaký je maximální počet kusů v menším balíku?
– dělitelný 60: ano, protože \(a = 2 \geq 2\), \(b = 1\), \(c = 1\).
– nedělitelný 120: ano, protože \(a = 2 < 3\).
Závěr: maximální počet kusů v menším balíku je 4620.
44. V továrně je 27720 součástek. Chceme je rozdělit do balíků, aby počet součástek v balíku byl dělitelný 84, ale nesměl být dělitelný 168. Jaký je maximální počet součástek v balíku?
Závěr: maximální počet součástek v balíku je 4620.
45. V balíku je 30240 kusů výrobků. Chceme je rozdělit do balíků tak, aby počet kusů v balíku byl dělitelný 90, ale nesměl být dělitelný 180. Jaký je maximální počet kusů v balíku?
46. V závodě je 15840 dílů. Potřebujeme je rozdělit do balíků tak, aby počet dílů v balíku byl dělitelný 48, ale nesměl být dělitelný 96. Určete maximální počet dílů v balíku.
47. V distribuci je 21600 kusů výrobků. Počet výrobků v balíku má být dělitelný 54, ale nesmí být dělitelný 108. Najděte maximální počet výrobků v balíku.
48. V skladu je 23100 kusů šroubů. Potřebujeme je rozdělit do balíků tak, aby počet kusů v balíku byl dělitelný 70, ale nesměl být dělitelný 140. Určete maximální počet kusů v balíku.
51. V sklade je 45360 skrutiek. Chceme ich rozdeliť do balíkov tak, aby počet skrutiek v balíku bol deliteľný 72, ale nesmel byť deliteľný 144. Určte maximálny počet skrutiek v balíku.
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme číslo 45360 na prvočíselné faktory. Začneme postupně dělit:
\(45360 \div 2 = 22680\)
\(22680 \div 2 = 11340\)
\(11340 \div 2 = 5670\)
\(5670 \div 2 = 2835\)
Číslo 2835 není dělitelné 2, pokračujeme dalším prvočíslem 3:
\(2835 \div 3 = 945\)
\(945 \div 3 = 315\)
\(315 \div 3 = 105\)
\(105 \div 3 = 35\)
Číslo 35 již není dělitelné 3, pokračujeme dalším prvočíslem 5:
\(35 \div 5 = 7\)
Číslo 7 je prvočíslo.
Tedy rozklad čísla 45360 je:
\(45360 = 2^4 \times 3^4 \times 5 \times 7\).
Nyní se podíváme na podmínky pro balík:
Počet kusů v balíku musí být dělitelný 72.
Počet kusů nesmí být dělitelný 144.
Rozklad čísla 72 na prvočísla:
\(72 = 2^3 \times 3^2\).
Rozklad čísla 144:
\(144 = 2^4 \times 3^2\).
Pro dělitelný 72 tedy musí balík obsahovat alespoň \(2^3\) a \(3^2\) jako faktory.
Ale nesmí být dělitelný 144, což znamená, že balík nesmí obsahovat \(2^4\).
Tedy exponent u dvojky musí být právě 3 (protože \(3 \leq a < 4 \Rightarrow a = 3\)), exponent u trojky alespoň 2 (tedy 2 nebo více), a dále balík může obsahovat faktory 5 a 7, protože jsou v rozkladu 45360.
Proto označíme exponenty v balíku jako \(a, b, c, d\), kde:
\(a\) – exponent u dvojky
\(b\) – exponent u trojky
\(c\) – exponent u pětky
\(d\) – exponent u sedmičky
Podmínky jsou:
\(a = 3\),
\(b \geq 2\), protože musí být dělitelný \(3^2\), ale zároveň nesmí překročit maximální možný exponent 4.
– Dělitelnost 72: \(22680 \div 72 = 315\), celé číslo.
– Nedělitelnost 144: \(22680 \div 144 = 157,5\), ne celé číslo.
Závěr: maximální počet skrutiek v balíku je 22680.
52. V továrně je 55440 součástek. Chceme je rozdělit do balíků tak, aby počet součástek v balíku byl dělitelný 84, ale nesměl být dělitelný 168. Najděte maximální možný počet součástek v balíku.
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme číslo 55440 na prvočíselné faktory.
54. Ve skladu je 92400 součástek. Počet součástek v balíku musí být dělitelný 168, ale nesmí být dělitelný 336. Určete maximální možný počet součástek v balíku.
Řešení příkladu:
Rozklad čísla 92400 na prvočísla:
\(92400 = 2^4 \times 3 \times 5^2 \times 7^2\)
Rozklad 168:
\(168 = 2^3 \times 3 \times 7\)
Rozklad 336:
\(336 = 2^4 \times 3 \times 7\)
Podmínky:
Balík musí obsahovat alespoň \(2^3, 3^1, 7^1\).
Balík nesmí obsahovat \(2^4\).
Tedy exponent u dvojky \(a = 3\), u trojky \(b \geq 1\), u sedmičky \(d \geq 1\).
Maximalizujeme ostatní exponenty podle rozkladu 92400:
Závěr: maximální počet součástek v balíku je 29400.
55. V závodě je 55440 součástek. Počet součástek v balíku musí být dělitelný 120, ale nesmí být dělitelný 240. Určete maximální počet součástek v balíku.
Zde je zřejmé, že výpočet překročil původní počet položek, což není možné, znamená to, že maximalizace všech exponentů není možná, protože balík nemůže obsahovat více položek, než je celý sklad.
Proto zvolíme maximalizaci tak, aby balík byl dělitelem 83160:
Požadujeme, aby balík byl dělitelem 83160 a splňoval podmínky:
\(a=3\), \(b=2\), \(c=1\), \(d=2\), \(e=1\).
Výpočet:
\(8 \times 9 \times 5 \times 49 \times 11 = 194040\), což je větší než 83160, tedy nelze.
58. V továrně je 92400 kusů výrobků. Balík musí obsahovat počet výrobků dělitelný 252, ale nesmí být dělitelný 504. Určete maximální možný počet výrobků v balíku.
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme čísla na prvočísla:
\(92400 = 2^4 \times 3 \times 5^2 \times 7^2\)
\(252 = 2^2 \times 3^2 \times 7\)
\(504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\)
Podmínky úlohy říkají, že balík musí být dělitelný číslem 252, což znamená, že jeho prvočíselné rozložení musí obsahovat alespoň:
\(2^2\), \(3^2\), \(7^1\).
Současně balík nesmí být dělitelný 504, což znamená, že exponent u prvočísla 2 musí být menší než 3, tedy
\(a < 3\), kde \(a\) je exponent u dvojky.
Souhrn podmínek pro balík:
\(a \geq 2\) (protože musí být dělitelný 252)
\(a < 3\) (nesmí být dělitelný 504)
\(b \geq 2\) (protože musí být dělitelný \(3^2\))
\(c \geq 1\) (protože musí být dělitelný \(7^1\))
Maximální možné hodnoty exponentů, které mohou být použity z rozkladu čísla 92400:
\(a \leq 4\)
\(b \leq 1\) (v rozkladu 92400 je pouze \(3^1\), což je méně než požadované \(3^2\))
Zde vidíme, že rozklad 92400 obsahuje pouze \(3^1\), ale balík musí obsahovat \(3^2\), což není možné. To znamená, že žádný balík z 92400 výrobků nemůže splnit podmínku dělení 252.
Tato situace vyžaduje upřesnění podmínek nebo úpravu dat. Předpokládejme, že v úloze je chyba a že se chtělo říct, že balík musí být dělitelný 126, místo 252. Nyní zkontrolujeme s tímto předpokladem.
Rozklad 126:
\(126 = 2 \times 3^2 \times 7\)
Rozklad 252 byl \(2^2 \times 3^2 \times 7\), takto by podmínky byly smysluplnější.
Předpokládejme tedy, že balík musí být dělitelný 126 a nesmí být dělitelný 252:
Podmínky pak budou:
\(a \geq 1\) (dvojka v exponentu alespoň 1)
\(b \geq 2\) (trojka alespoň druhá mocnina)
\(c \geq 1\) (sedmička alespoň jednička)
\(a < 2\) (protože nesmí být dělitelný 252, což obsahuje \(2^2\))
V rozkladu 92400 máme \(a=4\), \(b=1\), \(c=2\), \(d=2\) (pětka), ale potřebujeme \(b \geq 2\), což nevyhovuje. To znamená, že ani s touto úpravou není úloha řešitelná.
Jako další krok tedy zjistíme maximální balík dělitelný 126 (pokud je to možné), ale nesplňující podmínku dělení 252 (tedy s \(a=1\)).
Vzhledem k tomu, že \(b=1\) v 92400 je menší než požadované \(b \geq 2\), není možné balík obsahující \(3^2\).
Výsledkem je, že maximální počet výrobků v balíku dělitelný 126, který je zároveň dělitelem 92400, musí mít \(b=1\).
\(1050 \div 126 = 8,33\), není celé číslo, balík tedy není dělitelný 126.
Pro dosažení požadované dělitelnosti a podmínek by bylo třeba změnit parametry nebo zadání.
Závěr: Zadané parametry nelze splnit. Může se jednat o chybu v zadání.
59. V krabici je 50400 kuliček. Počet kuliček v balíku musí být dělitelný 180, ale nesmí být dělitelný 360. Určete maximální možný počet kuliček v balíku.
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme čísla na prvočísla:
\(50400 = 2^5 \times 3^2 \times 5^2 \times 7\)
\(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)
\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
Podmínky:
Balík musí být dělitelný \(180\), tedy musí obsahovat minimálně \(2^2\), \(3^2\) a \(5^1\).
Balík nesmí být dělitelný \(360\), tedy exponent u dvojky musí být menší než 3, tedy \(a < 3\).
V rozkladu čísla 50400 jsou exponenty: \(a=5\), \(b=2\), \(c=2\), \(d=1\).
Závěr: maximální možný počet krabic v balíku je 18900.
61. V továrně je vyrobeno 75600 součástek. Součástky se balí do balíků tak, aby každý balík obsahoval počet součástek dělitelný 180, ale zároveň aby počet součástek v balíku nebyl dělitelný 360. Určete maximální možný počet součástek v balíku.
Řešení:
Nejprve rozložíme daná čísla na prvočinitele:
\(75600 = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 7\)
\(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)
\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
Podmínka, že počet součástek v balíku je dělitelný 180, znamená, že balík musí obsahovat alespoň všechny prvočinitele s exponenty jako u 180:
\(\Rightarrow\) každý balík musí mít v rozkladu \(2^a \times 3^b \times 5^c\), kde \(a \geq 2\), \(b \geq 2\), \(c \geq 1\).
Současně ale balík nesmí být dělitelný 360, což má rozklad \(2^3 \times 3^2 \times 5^1\), tedy balík nesmí obsahovat \(2^3\) nebo více.
Tedy exponent u dvojky musí být právě \(a = 2\), protože pokud by byl \(a \geq 3\), pak by balík byl dělitelný 360, což je zakázané.
Exponent u trojky musí být \(b \geq 2\), a u pětky \(c \geq 1\) (protože musí být dělitelný 180 a tedy 3^2 a 5^1 musí být obsaženy).
Teď se podíváme, kolik může být maximální počet součástek v balíku tak, aby počet součástek byl dělitelný 180, ale ne 360, a zároveň aby balík mohl být vytvořen z celkových 75600 součástek.
Protože 75600 obsahuje \(2^4\), maximální možný exponent dvojky, který může být použit při dělení celkového počtu, je 4.
Pokud tedy balík obsahuje \(2^2\), může jich být maximálně \(\frac{2^{4}}{2^{2}} = 2^{2} = 4\) balíky na dvojku.
U trojky máme v 75600 \(3^3\), balík musí obsahovat \(3^2\), takže maximálně \(\frac{3^{3}}{3^{2}} = 3^{1} = 3\) balíky na trojku.
U pětky máme v 75600 \(5^2\), balík obsahuje \(5^1\), takže maximálně \(\frac{5^{2}}{5^{1}} = 5^{1} = 5\) balíků na pětku.
U sedmičky je v 75600 \(7^1\), balík nemusí obsahovat sedmičku, ale můžeme ji zahrnout, protože se počítá celkový počet balíků.
Celkový počet balíků je tedy omezen nejmenším počtem z výše uvedených hodnot:
\(\min(4, 3, 5) = 3\)
Maximální počet součástek v jednom balíku je tedy:
\(\frac{75600}{3} = 25200\)
Ověření dělitelnosti:
\(25200 \div 180 = 140\), celé číslo, tedy balík je dělitelný 180.
\(25200 \div 360 = 70\), celé číslo, což je v rozporu s podmínkou, že balík nesmí být dělitelný 360.
Tedy 3 balíky jsou příliš málo, aby balík nebyl dělitelný 360. Podíváme se na další možnost: pokud zkusíme vytvořit balík s exponentem u dvojky právě 2, jak jsme říkali, pak velikost balíku je:
\(2^2 \times 3^2 \times 5^1 \times k\), kde \(k\) dělí zbytek faktorizace.
Pokud chceme maximalizovat velikost balíku, ale nesmí být dělitelný 360 (tedy nesmí obsahovat \(2^3\)), tedy \(a = 2\).
\(18900 \div 360 = 52,5\), není celé číslo, tedy balík není dělitelný 360.
Počet takových balíků je:
\(75600 \div 18900 = 4\), celé číslo.
Závěr: Maximální možný počet součástek v balíku je \(18900\), přičemž počet balíků je 4. Balík je dělitelný 180, ale není dělitelný 360.
62. Ve skladu je 15120 balíků různých druhů zboží. Balíky jsou seskupeny do palet tak, aby každá paleta měla stejný počet balíků, přičemž počet balíků na jedné paletě musí být dělitelný 12, ale nesmí být dělitelný 18. Určete největší možný počet balíků na jedné paletě a kolik palet bude celkem vytvořeno.
Řešení:
Začneme rozkladem čísel na prvočinitele:
\(15120 = 2^4 \times 3^3 \times 5 \times 7\)
\(12 = 2^2 \times 3\)
\(18 = 2 \times 3^2\)
Požadavek je, aby počet balíků na paletě byl dělitelný 12, tedy musí obsahovat \(2^2\) a \(3^1\) alespoň. Současně nesmí být dělitelný 18, což znamená, že nesmí obsahovat \(3^2\) v rozkladu nebo více.
Proto exponent u dvojky musí být alespoň 2 (aby byla dělitelnost 12), a exponent u trojky musí být právě 1, protože pokud by byl exponent trojky 2 nebo více, pak by paleta byla dělitelná 18, což je zakázáno.
Vyjádříme obecný rozklad počtu balíků na paletě jako \(2^a \times 3^b \times k\), kde \(a \geq 2\), \(b = 1\), a \(k\) je libovolný celek složený z dalších prvočísel.
Abychom maximalizovali počet balíků na paletě, je třeba, aby \(k\) obsahoval co nejvíce z prvočinitele celkového počtu 15120, tedy \(5^1 \times 7^1\), neboť v rozkladu 15120 jsou právě tato prvočísla.
Nyní určíme největší hodnotu exponentu \(a\), která odpovídá, že počet balíků na paletě musí být dělitelný 12 a nesmí být dělitelný 18.
U dvojky máme v celkovém počtu \(2^4\), takže maximální exponent \(a\) může být 4, protože více není možné (jelikož počet balíků na paletě nesmí přesáhnout celkový počet balíků). Současně však nemusíme omezit \(a\) na přesně 2, může být i 3 nebo 4, protože dělitelnost 12 zajišťuje pouze minimální exponent 2.
U trojky je ale exponent přesně 1, aby nebyla dělitelnost 18, tedy \(b=1\).
Tedy maximální počet balíků na jedné paletě je 1680.
Ověříme podmínky:
\(1680 \div 12 = 140\), celé číslo → dělitelný 12.
\(1680 \div 18 = 93.\overline{3}\), není celé číslo → není dělitelný 18.
Nyní zjistíme počet palet:
\(15120 \div 1680 = 9\), celé číslo.
Závěr:
Maximální možný počet balíků na jedné paletě je 1680 a počet palet je 9.
63. V krabicovém závodě jsou baleny hračky do krabic. Celkem je 3240 hraček. Krabice mohou obsahovat stejný počet hraček, přičemž počet hraček v krabici musí být dělitelný 9, ale nesmí být dělitelný 27. Najděte maximální možný počet hraček v krabici a kolik krabic bude vytvořeno.
Řešení:
Rozložíme čísla na prvočinitele:
\(3240 = 2^3 \times 3^4 \times 5\)
\(9 = 3^2\)
\(27 = 3^3\)
Podmínka dělitelná 9 znamená, že krabice musí obsahovat \(3^2\) v rozkladu.
Současně nesmí být dělitelná 27, což znamená, že exponent u trojky nesmí být 3 nebo více, tedy musí být právě \(2\).
Obecný rozklad počtu hraček v krabici je tedy \(2^a \times 3^2 \times 5^b\), kde \(a \leq 3\), \(b \leq 1\).
\(360 \div 27 = 13.\overline{3}\), není celé číslo.
Počet krabic:
\(3240 \div 360 = 9\), celé číslo.
Závěr:
Maximální počet hraček v krabici je 360 a krabic bude 9.
64. V distribučním centru je 44100 balíků. Balíky se mají rozdělit do skupin, přičemž každá skupina musí obsahovat počet balíků dělitelný 14, ale nesmí být dělitelný 28. Najděte největší možný počet balíků v jedné skupině a počet takových skupin.
Řešení:
Rozklad na prvočinitele:
\(44100 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2\)
\(14 = 2 \times 7\)
\(28 = 2^2 \times 7\)
Podmínka dělitelný 14 znamená, že balík musí obsahovat \(2^1\) a \(7^1\) alespoň.
Nesmí být dělitelný 28, což znamená, že nesmí obsahovat \(2^2\) v rozkladu.
Tedy exponent u dvojky musí být přesně 1.
Obecný rozklad počtu balíků ve skupině: \(2^1 \times 3^a \times 5^b \times 7^1\), kde \(a \leq 2\), \(b \leq 2\).
Největší možný počet balíků ve skupině je 3150 a počet skupin je 14.
65. Ve škole je 1980 žáků rozdělených do tříd. Počet žáků v každé třídě musí být dělitelný 11, ale nesmí být dělitelný 22. Určete maximální možný počet žáků v jedné třídě a kolik tříd je ve škole.
Řešení:
Rozklad na prvočinitele:
\(1980 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 11\)
\(11 = 11^1\)
\(22 = 2 \times 11\)
Počet žáků v třídě musí být dělitelný 11, tedy obsahovat \(11^1\).
Současně nesmí být dělitelný 22, což znamená, že nesmí obsahovat dvojku v rozkladu, tedy exponent u dvojky musí být 0.
Obecný rozklad počtu žáků v jedné třídě: \(3^a \times 5^b \times 11^1\), kde \(a \leq 2\), \(b \leq 1\).
Maximální počet žáků v jedné třídě je 495, počet tříd je 4.
66. Ve skladu je 54000 lahví. Lahve jsou rozděleny do beden, kde každá bedna musí obsahovat počet lahví dělitelný 20, ale nesmí být dělitelný 50. Určete maximální počet lahví v jedné bedně a počet beden.
Řešení:
Rozklad:
\(54000 = 2^4 \times 3^3 \times 5^3\)
\(20 = 2^2 \times 5\)
\(50 = 2 \times 5^2\)
Počet lahví v bedně musí být dělitelný 20, tedy obsahovat \(2^2\) a \(5^1\).
Současně nesmí být dělitelný 50, tedy nesmí obsahovat \(5^2\) nebo více, protože \(5^2\) je v rozkladu 50.
Tedy exponent u pětky je právě 1, exponent u dvojky alespoň 2.
Obecný rozklad počtu lahví v bedně: \(2^a \times 3^b \times 5^1\), kde \(a \geq 2\), \(b \leq 3\).
Maximální počet lahví v bedně je 2160, počet beden je 25.
67. Firma má 25200 kusů výrobků. Výrobky se balí do krabic, kde každá krabice obsahuje počet výrobků dělitelný 28, ale nesmí být dělitelný 56. Určete maximální možný počet výrobků v krabici a počet krabic.
Řešení:
Rozklad na prvočinitele:
\(25200 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \times 7\)
\(28 = 2^2 \times 7\)
\(56 = 2^3 \times 7\)
Počet výrobků v krabici musí obsahovat \(2^2\) a \(7^1\).
Současně nesmí obsahovat \(2^3\) a více, aby nebyl dělitelný 56.
Maximální počet výrobků v krabici je 6300, počet krabic je 4.
68. Ve skladu je 23100 kusů elektroniky. Každá krabice musí obsahovat počet kusů dělitelný 33, ale nesmí být dělitelný 99. Určete maximální počet kusů v krabici a počet krabic.
Maximální počet kusů v krabici je 23100, což znamená všechny kusy v jedné krabici, počet krabic je 1.
69. V továrně je 27000 dílů. Dílky se mají balit do krabic, kde počet dílků musí být dělitelný 15, ale nesmí být dělitelný 45. Určete maximální počet dílků v krabici a počet krabic.
Řešení:
Rozklad:
\(27000 = 2^3 \times 3^3 \times 5^3\)
\(15 = 3 \times 5\)
\(45 = 3^2 \times 5\)
Podmínka dělitelný 15 znamená, že krabice musí obsahovat \(3^1\) a \(5^1\).
Nesmí být dělitelná 45, tedy nesmí obsahovat \(3^2\) nebo více.
Maximální počet dílků v krabici je 3000, počet krabic je 9.
70. Firma má 50400 produktů. Produkty se balí do balíků, kde počet produktů v balíku je dělitelný 14, ale nesmí být dělitelný 28. Určete maximální počet produktů v balíku a počet balíků.
Řešení:
Rozklad:
\(50400 = 2^5 \times 3^2 \times 5^2 \times 7\)
\(14 = 2 \times 7\)
\(28 = 2^2 \times 7\)
Počet produktů v balíku musí obsahovat \(2^1\) a \(7^1\).
Nesmí být dělitelný 28, tedy nesmí obsahovat \(2^2\).
Maximální počet produktů v balíku je 3150, počet balíků je 16.
71. V sklade je 36000 kusov výrobkov. Výrobky sa balia do balíkov tak, že počet výrobkov v jednom balíku musí byť deliteľný 24, ale nesmie byť deliteľný 48. Určte maximálny počet výrobkov v jednom balíku a počet takých balíkov.
Riešenie:
Najprv rozložíme čísla na prvočinitele:
\(36000 = 2^5 \times 3^2 \times 5^3\)
\(24 = 2^3 \times 3^1\)
\(48 = 2^4 \times 3^1\)
Podmienky:
Počet výrobkov v balíku musí byť deliteľný \(24\), teda musí obsahovať aspoň \(2^3\) a \(3^1\).
Zároveň nesmie byť deliteľný \(48\), teda nesmie obsahovať \(2^4\).
Preto exponent dvojky v počte výrobkov musí byť práve \(3\).
Nech počet výrobkov v balíku je:
\(n = 2^3 \times 3^a \times 5^b\), kde \(0 \leq a \leq 2\), \(0 \leq b \leq 3\).
Maximalizujeme \(n\) tak, aby \(n \mid 36000\), teda \(n\) delí \(36000\).
\(9000 \div 24 = 375\) – celé číslo, takže deliteľné.
\(9000 \div 48 = 187.5\) – nie celé číslo, teda nie je deliteľné 48.
Počet balíkov je:
\(36000 \div 9000 = 4\) – celé číslo.
Záver:
Maximálny počet výrobkov v balíku je \(9000\) a počet balíkov je \(4\).
72. V továrni je 50400 kusov tovaru. Tovar sa balí do balíkov, pričom počet kusov v balíku musí byť deliteľný 18, ale nesmie byť deliteľný 36. Určte maximálny počet kusov v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Najskôr rozložíme čísla na prvočinitele:
\(50400 = 2^5 \times 3^2 \times 5^2 \times 7\)
\(18 = 2^1 \times 3^2\)
\(36 = 2^2 \times 3^2\)
Počet kusov v balíku musí byť deliteľný 18, teda obsahovať aspoň \(2^1\) a \(3^2\).
Nesmie byť deliteľný 36, teda nesmie obsahovať \(2^2\).
Exponent dvojky musí byť práve 1.
Nech počet kusov v balíku je:
\(n = 2^1 \times 3^2 \times 5^a \times 7^b\), kde \(0 \leq a \leq 2\), \(0 \leq b \leq 1\).
Maximálny počet kusov v balíku je \(3150\), počet balíkov je \(16\).
73. Škola má 7200 ceruziek. Ceruzky sa balia do balíkov, pričom počet ceruziek v balíku musí byť deliteľný 20, ale nesmie byť deliteľný 40. Určte maximálny počet ceruziek v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad prvočiniteľov:
\(7200 = 2^5 \times 3^2 \times 5^2\)
\(20 = 2^2 \times 5\)
\(40 = 2^3 \times 5\)
Počet ceruziek v balíku musí byť deliteľný 20, takže musí obsahovať aspoň \(2^2\) a \(5^1\).
Nesmie byť deliteľný 40, teda nesmie obsahovať \(2^3\).
Exponent dvojky v počte ceruziek musí byť práve 2.
Nech počet ceruziek v balíku je:
\(n = 2^2 \times 3^a \times 5^b\), kde \(0 \leq a \leq 2\), \(1 \leq b \leq 2\).
Maximálny počet ceruziek v balíku je \(900\), počet balíkov je \(8\).
74. V továrni je 8400 súčiastok. Súčiastky sa balia do balíkov, pričom počet súčiastok v balíku musí byť deliteľný 28, ale nesmie byť deliteľný 56. Určte maximálny počet súčiastok v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad prvočiniteľov:
\(8400 = 2^4 \times 3 \times 5^2 \times 7\)
\(28 = 2^2 \times 7\)
\(56 = 2^3 \times 7\)
Počet súčiastok v balíku musí byť deliteľný 28, teda musí obsahovať aspoň \(2^2\) a \(7^1\).
Nesmie byť deliteľný 56, teda nesmie obsahovať \(2^3\).
Exponent dvojky musí byť práve 2.
Nech počet súčiastok v balíku je:
\(n = 2^2 \times 3^a \times 5^b \times 7^1\), kde \(0 \leq a \leq 1\), \(0 \leq b \leq 2\).
Maximálny počet súčiastok v balíku je \(2100\), počet balíkov je \(4\).
75. Spoločnosť má 10080 jednotiek produktu. Produkty sa balia do balíkov, kde počet jednotiek musí byť deliteľný 36, ale nesmie byť deliteľný 72. Určte maximálny počet jednotiek v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad prvočiniteľov:
\(10080 = 2^5 \times 3^2 \times 5 \times 7\)
\(36 = 2^2 \times 3^2\)
\(72 = 2^3 \times 3^2\)
Počet jednotiek v balíku musí byť deliteľný 36, teda obsahovať aspoň \(2^2\) a \(3^2\).
Nesmie byť deliteľný 72, teda nesmie obsahovať \(2^3\).
Exponent dvojky musí byť práve 2.
Nech počet jednotiek v balíku je:
\(n = 2^2 \times 3^2 \times 5^a \times 7^b\), kde \(0 \leq a \leq 1\), \(0 \leq b \leq 1\).
Maximálny počet jednotiek v balíku je \(1260\), počet balíkov je \(8\).
76. Sklad má 27720 kusov tovaru. Tovar sa balí do balíkov tak, že počet kusov v balíku je deliteľný 30, ale nie je deliteľný 60. Určte maximálny počet kusov v balíku a počet balíkov.
Maximálny počet kusov v balíku je \(6930\), počet balíkov je \(4\).
77. V sklade je 15120 balíkov. Balíky sa ďalej balia do krabíc tak, že počet balíkov v krabici je deliteľný 12, ale nie je deliteľný 24. Určte maximálny počet balíkov v krabici a počet krabíc.
Riešenie:
Rozklad prvočiniteľov:
\(15120 = 2^4 \times 3^3 \times 5 \times 7\)
\(12 = 2^2 \times 3\)
\(24 = 2^3 \times 3\)
Počet balíkov v krabici musí byť deliteľný 12, teda obsahovať aspoň \(2^2\) a \(3^1\).
Nesmie byť deliteľný 24, teda nesmie obsahovať \(2^3\).
Exponent dvojky musí byť práve 2.
Nech počet balíkov v krabici je:
\(n = 2^2 \times 3^a \times 5^b \times 7^c\), kde \(0 \leq a \leq 3\), \(0 \leq b \leq 1\), \(0 \leq c \leq 1\).
Maximálny počet balíkov v krabici je \(3780\), počet krabíc je \(4\).
78. Spoločnosť má 25200 jednotiek tovaru. Jednotky sa balia do balíkov, pričom počet jednotiek v balíku je deliteľný 14, ale nie je deliteľný 28. Určte maximálny počet jednotiek v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad prvočiniteľov:
\(25200 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \times 7\)
\(14 = 2 \times 7\)
\(28 = 2^2 \times 7\)
Počet jednotiek v balíku musí byť deliteľný 14, teda obsahovať aspoň \(2^1\) a \(7^1\).
Nesmie byť deliteľný 28, teda nesmie obsahovať \(2^2\).
Exponent dvojky musí byť práve 1.
Nech počet jednotiek v balíku je:
\(n = 2^1 \times 3^a \times 5^b \times 7^1\), kde \(0 \leq a \leq 2\), \(0 \leq b \leq 2\).
Maximálny počet jednotiek v balíku je \(3150\), počet balíkov je \(8\).
79. V sklade je 45360 kusov výrobkov. Výrobky sa balia do balíkov, kde počet výrobkov je deliteľný 42, ale nie je deliteľný 84. Určte maximálny počet výrobkov v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad prvočiniteľov:
\(45360 = 2^4 \times 3^4 \times 5 \times 7\)
\(42 = 2 \times 3 \times 7\)
\(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)
Počet výrobkov v balíku musí byť deliteľný 42, teda obsahovať aspoň \(2^1\), \(3^1\) a \(7^1\).
Nesmie byť deliteľný 84, teda nesmie obsahovať \(2^2\).
Exponent dvojky musí byť práve 1.
Nech počet výrobkov v balíku je:
\(n = 2^1 \times 3^a \times 5^b \times 7^1\), kde \(1 \leq a \leq 4\), \(0 \leq b \leq 1\).
Maximálny počet výrobkov v balíku je \(5670\), počet balíkov je \(8\).
80. V továrni je 60480 kusov dielov. Diely sa balia do balíkov, kde počet dielov v balíku je deliteľný 60, ale nie je deliteľný 120. Určte maximálny počet dielov v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad prvočiniteľov:
\(60480 = 2^5 \times 3^3 \times 5 \times 7\)
\(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
\(120 = 2^3 \times 3 \times 5\)
Počet dielov v balíku musí byť deliteľný 60, teda obsahovať aspoň \(2^2\), \(3^1\), a \(5^1\).
Nesmie byť deliteľný 120, teda nesmie obsahovať \(2^3\).
Exponent dvojky musí byť práve 2.
Nech počet dielov v balíku je:
\(n = 2^2 \times 3^a \times 5^1 \times 7^b\), kde \(0 \leq a \leq 3\), \(0 \leq b \leq 1\).
Maximálny počet dielov v balíku je \(3780\), počet balíkov je \(16\).
81. V sklade je 27720 kusov tovaru. Tovar sa balí do balíkov tak, aby počet kusov v balíku bol deliteľný 18, ale nie deliteľný 36. Určte maximálny počet kusov v balíku a počet balíkov.
\(27720 \div 6930 = 4\) – celé číslo, takže môžeme mať 4 balíky.
Kontrola deliteľnosti \(n\):
\(6930 \div 18 = 385\) – celé číslo, takže deliteľné 18.
\(6930 \div 36 = 192.5\) – nie celé číslo, teda n nie je deliteľné 36.
Záver:
Maximálny počet kusov v balíku je \(\displaystyle 6930\), počet balíkov je 4.
82. V továrni je 45360 skrutiek. Majú byť zabalené do balíkov tak, aby počet skrutiek v balíku bol deliteľný 24, ale nie deliteľný 48. Určte maximálny počet skrutiek v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Najprv rozložíme čísla na prvočinitele.
\(45360 = 2^4 \times 3^4 \times 5 \times 7\)
Počet skrutiek v balíku musí byť deliteľný 24, teda obsahovať aspoň \(2^3\) a \(3^1\), pretože
\(24 = 2^3 \times 3^1\)
Počet skrutiek v balíku nesmie byť deliteľný 48, ktoré je
\(48 = 2^4 \times 3^1\)
Teda exponent dvojky musí byť práve 3, aby balík bol deliteľný 24, ale nie 48.
\(45360 \div 22680 = 2\) – celé číslo, teda počet balíkov je 2.
Kontrola deliteľnosti \(n\):
\(22680 \div 24 = 945\) – celé číslo.
\(22680 \div 48 = 472.5\) – nie celé číslo, splnené.
Záver:
Maximálny počet skrutiek v balíku je \(\displaystyle 22680\), počet balíkov je 2.
83. V triede je 3780 žiakov, ktorí majú byť rozdelení do skupín tak, aby počet žiakov v každej skupine bol deliteľný 14, ale nie deliteľný 28. Koľko žiakov bude v jednej skupine, ak chceme mať čo najviac skupín?
Riešenie:
Rozložíme čísla na prvočinitele:
\(3780 = 2^2 \times 3^3 \times 5 \times 7\)
\(14 = 2^1 \times 7^1\)
\(28 = 2^2 \times 7^1\)
Počet žiakov v skupine musí byť deliteľný 14, takže musí obsahovať aspoň \(2^1\) a \(7^1\), ale nesmie byť deliteľný 28, preto exponent dvojky nesmie dosiahnuť 2, musí byť presne 1.
Nech počet žiakov v skupine je
\(n = 2^1 \times 3^a \times 5^b \times 7^1\), kde \(0 \leq a \leq 3\), \(b \in \{0,1\}\).
Maximalizujeme počet skupín, teda minimalizujeme \(n\), ale \(n\) musí byť deliteľné 14 a nesmie byť deliteľné 28.
Pre čo najviac skupín zvolíme najmenšie možné \(n\) spĺňajúce podmienky, teda \(a=0\), \(b=0\).
Vypočítame:
\(n = 2 \times 7 = 14\)
Počet skupín:
\(3780 \div 14 = 270\)
Overenie:
\(14 \div 14 = 1\) – celé číslo.
\(14 \div 28 = 0.5\) – nie celé číslo.
Záver:
Počet žiakov v skupine je \(\displaystyle 14\), počet skupín je 270.
84. V sklade je 5040 krabíc s hračkami. Krabice sa majú rozložiť do balíkov tak, aby počet krabíc v balíku bol deliteľný 12, ale nie deliteľný 24. Určte maximálny počet krabíc v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozložíme čísla:
\(5040 = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7\)
\(12 = 2^2 \times 3^1\)
\(24 = 2^3 \times 3^1\)
Počet krabíc v balíku musí byť deliteľný 12, teda musí obsahovať aspoň \(2^2\) a \(3^1\), ale nesmie byť deliteľný 24, takže exponent dvojky musí byť presne 2.
Maximálny počet krabíc v balíku je \(\displaystyle 1260\), počet balíkov je 4.
85. Na záhrade je 8820 jabĺk, ktoré treba zabaliť do balíkov tak, aby počet jabĺk v balíku bol deliteľný 15, ale nie deliteľný 30. Koľko jabĺk bude v balíku a koľko balíkov vznikne?
Riešenie:
Rozklad prvočísel:
\(8820 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7^2\)
\(15 = 3 \times 5\)
\(30 = 2 \times 3 \times 5\)
Počet jabĺk v balíku musí byť deliteľný 15, teda obsahovať aspoň \(3^1\) a \(5^1\), ale nesmie byť deliteľný 30, teda nesmie obsahovať dvojku.
Počet jabĺk v balíku je \(\displaystyle 2205\), počet balíkov je 4.
86. V továrni je 43200 guličiek. Guličky majú byť rozdelené do balíkov tak, aby počet guličiek v balíku bol deliteľný 40, ale nie deliteľný 80. Určte maximálny počet guličiek v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad:
\(43200 = 2^6 \times 3^3 \times 5^2\)
\(40 = 2^3 \times 5\)
\(80 = 2^4 \times 5\)
Počet guličiek v balíku musí byť deliteľný 40, teda musí obsahovať aspoň \(2^3\) a \(5^1\), ale nesmie byť deliteľný 80, takže exponent dvojky musí byť presne 3.
Nech počet guličiek v balíku je
\(n = 2^3 \times 3^a \times 5^1\), kde \(0 \leq a \leq 3\)
Maximálny počet guličiek v balíku je \(\displaystyle 1080\), počet balíkov je 40.
87. V knižnici je 9450 kníh, ktoré sa majú rozdeliť do balíkov tak, aby počet kníh v balíku bol deliteľný 21, ale nie deliteľný 42. Určte maximálny počet kníh v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad:
\(9450 = 2 \times 3^3 \times 5^2 \times 7\)
\(21 = 3 \times 7\)
\(42 = 2 \times 3 \times 7\)
Počet kníh v balíku musí byť deliteľný 21, teda obsahovať \(3^1\) a \(7^1\), ale nesmie byť deliteľný 42, teda nesmie obsahovať dvojku.
Maximálny počet kníh v balíku je \(\displaystyle 4725\), počet balíkov je 2.
88. V sklade je 75600 kusov oblečenia, ktoré sa majú rozdeliť do balíkov tak, aby počet kusov v balíku bol deliteľný 50, ale nie deliteľný 100. Určte maximálny počet kusov v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad prvočísel:
\(75600 = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 7\)
\(50 = 2 \times 5^2\)
\(100 = 2^2 \times 5^2\)
Počet kusov v balíku musí byť deliteľný 50, teda musí obsahovať aspoň \(2^1\) a \(5^2\), ale nesmie byť deliteľný 100, teda exponent dvojky musí byť presne 1.
Nech počet kusov v balíku je
\(n = 2^1 \times 3^a \times 5^2 \times 7^b\), kde \(0 \leq a \leq 3\), \(b \in \{0,1\}\)
Maximálny počet kusov v balíku je \(\displaystyle 9450\), počet balíkov je 8.
89. V továrni je 8640 súčiastok, ktoré treba zabaliť do balíkov tak, aby počet súčiastok v balíku bol deliteľný 18, ale nie deliteľný 36. Určte maximálny počet súčiastok v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad:
\(8640 = 2^6 \times 3^3 \times 5\)
\(18 = 2 \times 3^2\)
\(36 = 2^2 \times 3^2\)
Počet súčiastok v balíku musí byť deliteľný 18, teda obsahovať aspoň \(2^1\) a \(3^2\), ale nesmie byť deliteľný 36, teda exponent dvojky musí byť presne 1.
Maximálny počet súčiastok v balíku je \(\displaystyle 90\), počet balíkov je 96.
90. V sklade je 30240 kusov tovaru, ktoré majú byť zabalené do balíkov tak, aby počet kusov v balíku bol deliteľný 28, ale nie deliteľný 56. Určte maximálny počet kusov v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad:
\(30240 = 2^5 \times 3^3 \times 5 \times 7\)
\(28 = 2^2 \times 7\)
\(56 = 2^3 \times 7\)
Počet kusov v balíku musí byť deliteľný 28, teda obsahovať aspoň \(2^2\) a \(7^1\), ale nesmie byť deliteľný 56, teda exponent dvojky musí byť presne 2.
Nech počet kusov v balíku je
\(n = 2^2 \times 3^a \times 5^b \times 7^1\), kde \(0 \leq a \leq 3\), \(b \in \{0,1\}\)
Maximálny počet kusov v balíku je \(\displaystyle 3780\), počet balíkov je 8.
91. V sklade je 19800 ks skrutiek. Skrutky treba zabaliť do balíkov tak, aby počet skrutiek v balíku bol deliteľný 36, ale nie deliteľný 72. Určte maximálny počet skrutiek v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Najskôr rozložíme čísla na prvočísla:
\(19800 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 11\)
\(36 = 2^2 \times 3^2\)
\(72 = 2^3 \times 3^2\)
Podmienka je, že počet skrutiek v balíku musí byť deliteľný 36, teda musí obsahovať aspoň \(2^2\) a \(3^2\), ale nesmie byť deliteľný 72, teda exponent dvojky nesmie dosiahnuť 3, teda musí byť presne 2.
Počet balíkov vypočítame vydelením celkového počtu skrutiek počtom skrutiek v balíku:
\(19800 \div 9900 = 2\)
Skontrolujeme deliteľnosť:
\(9900 \div 36 = 275\) – celé číslo
\(9900 \div 72 = 137.5\) – nie celé číslo
Záver:
Maximálny počet skrutiek v balíku je \(\displaystyle 9900\), počet balíkov je 2.
92. V továrni je 45360 ceruziek. Ceruzky treba zabaliť do balíkov tak, aby počet ceruziek v balíku bol deliteľný 45, ale nie deliteľný 90. Určte maximálny počet ceruziek v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Najskôr rozložíme čísla na prvočísla:
\(45360 = 2^4 \times 3^4 \times 5 \times 7\)
\(45 = 3^2 \times 5\)
\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
Podmienka je, že počet ceruziek v balíku musí byť deliteľný 45, teda musí obsahovať aspoň \(3^2\) a \(5^1\), ale nesmie byť deliteľný 90, teda nemôže obsahovať dvojku, alebo inak povedané exponent dvojky musí byť 0.
Počet balíkov vypočítame vydelením celkového počtu ceruziek počtom ceruziek v balíku:
\(45360 \div 315 = 144\)
Skontrolujeme deliteľnosť:
\(315 \div 45 = 7\) – celé číslo
\(315 \div 90 = 3.5\) – nie celé číslo
Záver:
Maximálny počet ceruziek v balíku je \(\displaystyle 315\), počet balíkov je 144.
93. V sklade je 90720 ks mydiel. Mydlá treba zabaliť do balíkov tak, aby počet mydiel v balíku bol deliteľný 48, ale nie deliteľný 96. Určte maximálny počet mydiel v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozložíme na prvočísla:
\(90720 = 2^6 \times 3^4 \times 5 \times 7\)
\(48 = 2^4 \times 3\)
\(96 = 2^5 \times 3\)
Počet mydiel v balíku musí byť deliteľný 48, teda obsahovať aspoň \(2^4\) a \(3^1\), ale nesmie byť deliteľný 96, teda exponent dvojky musí byť presne 4.
Maximálny počet mydiel v balíku je \(\displaystyle 45360\), počet balíkov je 2.
94. V sklade je 67200 ks papierov. Papiera treba zabaliť do balíkov tak, aby počet papierov v balíku bol deliteľný 80, ale nie deliteľný 160. Určte maximálny počet papierov v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad na prvočísla:
\(67200 = 2^7 \times 3 \times 5^2 \times 7\)
\(80 = 2^4 \times 5\)
\(160 = 2^5 \times 5\)
Počet papierov v balíku musí byť deliteľný 80, teda obsahovať aspoň \(2^4\) a \(5^1\), ale nesmie byť deliteľný 160, teda exponent dvojky musí byť presne 4.
Maximálny počet papierov v balíku je \(\displaystyle 1680\), počet balíkov je 40.
95. V sklade je 75600 ks gúm. Gumy treba zabaliť do balíkov tak, aby počet gúm v balíku bol deliteľný 60, ale nie deliteľný 120. Určte maximálny počet gúm v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad na prvočísla:
\(75600 = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 7\)
\(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
\(120 = 2^3 \times 3 \times 5\)
Počet gúm v balíku musí byť deliteľný 60, teda obsahovať aspoň \(2^2\), \(3^1\), \(5^1\), ale nesmie byť deliteľný 120, teda exponent dvojky musí byť presne 2.
Nech počet gúm v balíku je
\(n = 2^2 \times 3^c \times 5^d \times 7^e\), kde \(1 \leq c \leq 3\), \(1 \leq d \leq 2\), \(e \in \{0,1\}\)
Maximálny počet gúm v balíku je \(\displaystyle 18900\), počet balíkov je 4.
96. V sklade je 55440 ks farieb. Farby treba zabaliť do balíkov tak, aby počet farieb v balíku bol deliteľný 72, ale nie deliteľný 144. Určte maximálny počet farieb v balíku a počet balíkov.
Počet farieb v balíku musí byť deliteľný 72, teda obsahovať aspoň \(2^3\) a \(3^2\), ale nesmie byť deliteľný 144, teda exponent dvojky musí byť presne 3.
Maximálny počet farieb v balíku je \(\displaystyle 27720\), počet balíkov je 2.
97. V sklade je 60480 ks kníh. Knihy treba zabaliť do balíkov tak, aby počet kníh v balíku bol deliteľný 90, ale nie deliteľný 180. Určte maximálny počet kníh v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad na prvočísla:
\(60480 = 2^6 \times 3^3 \times 5 \times 7\)
\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
\(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)
Počet kníh v balíku musí byť deliteľný 90, teda obsahovať aspoň \(2^1\), \(3^2\), \(5^1\), ale nesmie byť deliteľný 180, teda exponent dvojky musí byť presne 1.
Maximálny počet kníh v balíku je \(\displaystyle 630\), počet balíkov je 96.
98. V sklade je 86400 ks fľašiek. Fľašky treba zabaliť do balíkov tak, aby počet fľašiek v balíku bol deliteľný 120, ale nie deliteľný 240. Určte maximálny počet fľašiek v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad na prvočísla:
\(86400 = 2^7 \times 3^3 \times 5^2\)
\(120 = 2^3 \times 3 \times 5\)
\(240 = 2^4 \times 3 \times 5\)
Počet fľašiek v balíku musí byť deliteľný 120, teda obsahovať aspoň \(2^3\), \(3^1\), \(5^1\), ale nesmie byť deliteľný 240, teda exponent dvojky musí byť presne 3.
Nech počet fľašiek v balíku je
\(n = 2^3 \times 3^a \times 5^b\), kde \(1 \leq a \leq 3\), \(1 \leq b \leq 2\)
Maximálny počet fľašiek v balíku je \(\displaystyle 5400\), počet balíkov je 16.
99. V sklade je 75600 ks nohavíc. Nohavice treba zabaliť do balíkov tak, aby počet nohavíc v balíku bol deliteľný 84, ale nie deliteľný 168. Určte maximálny počet nohavíc v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad na prvočísla:
\(75600 = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 7\)
\(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)
\(168 = 2^3 \times 3 \times 7\)
Počet nohavíc v balíku musí byť deliteľný 84, teda obsahovať aspoň \(2^2\), \(3^1\), \(7^1\), ale nesmie byť deliteľný 168, teda exponent dvojky musí byť presne 2.
Nech počet nohavíc v balíku je
\(n = 2^2 \times 3^c \times 5^d \times 7\), kde \(1 \leq c \leq 3\), \(d \in \{0,1,2\}\)
Maximálny počet nohavíc v balíku je \(\displaystyle 18900\), počet balíkov je 4.
100. V sklade je 100800 ks peračníkov. Peračníky treba zabaliť do balíkov tak, aby počet peračníkov v balíku bol deliteľný 105, ale nie deliteľný 210. Určte maximálny počet peračníkov v balíku a počet balíkov.
Riešenie:
Rozklad na prvočísla:
\(100800 = 2^5 \times 3^2 \times 5^2 \times 7\)
\(105 = 3 \times 5 \times 7\)
\(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\)
Počet peračníkov v balíku musí byť deliteľný 105, teda obsahovať aspoň \(3^1\), \(5^1\), \(7^1\), ale nesmie byť deliteľný 210, teda nesmie obsahovať dvojku.
Nech počet peračníkov v balíku je
\(n = 3^a \times 5^b \times 7\), kde \(1 \leq a \leq 2\), \(1 \leq b \leq 2\)
Maximalizujeme \(n\) tak, aby delil 100800.
Maximálne \(a=2\), \(b=2\).
Vypočítame \(n\):
\(n = 9 \times 25 \times 7 = 1575\)
Počet balíkov:
\(100800 \div 1575 = 64\)
Skontrolujeme:
\(1575 \div 105 = 15\) – celé číslo
\(1575 \div 210 = 7.5\) – nie celé číslo
Záver:
Maximálny počet peračníkov v balíku je \(\displaystyle 1575\), počet balíkov je 64.
