Slovní úlohy na nerovnice

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu trička jako \(x\) (v korunách) a počet prodaných kusů jako \(n\). Výnos před zvýšením ceny je tedy \(x \cdot n\).

Po zvýšení ceny o \(20\) Kč je nová cena \(x + 20\) a prodá se o \(5\) kusů méně, tedy \(n – 5\). Výnos po zvýšení ceny je \((x + 20)(n – 5)\).

Podmínka, že výnos zůstane stejný, je

\( x \cdot n = (x + 20)(n – 5) \)

Rozepíšeme pravou stranu:

\( x n = x n – 5 x + 20 n – 100 \)

Úprava rovnice:

\( x n – x n = -5 x + 20 n – 100 \Rightarrow 0 = -5 x + 20 n – 100 \)

Vyjádříme \(n\):

\( 5 x = 20 n – 100 \Rightarrow 20 n = 5 x + 100 \Rightarrow n = \frac{5 x + 100}{20} = \frac{x}{4} + 5 \)

Nyní chceme najít podmínku, aby byl výnos po zvýšení ceny vyšší než před tím, tedy

\( (x + 20)(n – 5) > x n \)

Dosadíme výraz pro \(n\):

\( (x + 20)\left(\frac{x}{4} + 5 – 5\right) > x \left(\frac{x}{4} + 5\right) \)

Zjednodušíme výraz uvnitř závorky:

\( \frac{x}{4} + 5 – 5 = \frac{x}{4} \)

Tedy nerovnice je:

\( (x + 20) \cdot \frac{x}{4} > x \left(\frac{x}{4} + 5\right) \)

Rozevřeme levou stranu:

\( \frac{x^2}{4} + \frac{20 x}{4} > \frac{x^2}{4} + 5 x \)

Zkrátíme pravou a levou stranu, odečteme \( \frac{x^2}{4} \) z obou stran:

\( \frac{20 x}{4} > 5 x \Rightarrow 5 x > 5 x \)

Tato nerovnice není nikdy pravdivá, protože je to \(5 x > 5 x\), tedy nikdy neplatí.

Zkusíme tedy přímo z původního zadání určit, kdy bude výnos větší než předchozí (ne rovný):

\( (x + 20)(n – 5) > x n \)

Dosadíme \( n = \frac{x}{4} + 5 \):

\( (x + 20)\left(\frac{x}{4}\right) > x \left(\frac{x}{4} + 5\right) \Rightarrow \frac{x^2}{4} + 5 x > \frac{x^2}{4} + 5 x \)

Rovnost. Pro vyšší výnos tedy musí být něco jiného než lineární závislost.

Pokud zavedeme, že počet prodaných kusů je \(n = m – k x\), kde \(m,k>0\), můžeme modelovat nerovnici obecněji.

Tento příklad ukazuje, že přesná rovnost nastane pro uvedené \(n\), ale chceme určit podmínku pro cenu \(x\), kdy bude výnos vyšší než původní výnos \(x n\).

Pro konkrétní \(n\) tedy hledáme řešení nerovnice:

\( (x + 20)(n – 5) > x n \Rightarrow (x + 20)(n – 5) – x n > 0 \)

To rozepíšeme:

\( x n – 5 x + 20 n – 100 – x n > 0 \Rightarrow -5 x + 20 n – 100 > 0 \Rightarrow 20 n > 5 x + 100 \)

Vyjádříme \(n\):

\( n > \frac{5 x + 100}{20} = \frac{x}{4} + 5 \)

To znamená, že pro danou cenu \(x\) musí počet prodaných kusů \(n\) překročit tuto hranici, aby byl výnos větší než původní.

Vyjádřeno jako nerovnice pro cenu, pokud máme \(n\) fixní, tak

\( x < 4 (n - 5) \)

Toto jsou podmínky, které musí být splněny, aby byl výnos po zvýšení ceny větší než předtím.

Řešení příkladu:

Označíme šířku obdélníku jako \(x\) cm. Délka je o \(3\) cm větší, tedy \(x + 3\) cm.

Obvod obdélníku je \( 2(x + (x + 3)) = 2(2x + 3) = 4x + 6 \).

Chceme, aby obvod byl menší než 30 cm, tedy nerovnice:

\( 4x + 6 < 30 \)

Odečteme 6 od obou stran:

\( 4x < 24 \)

Vydělíme obě strany 4:

\( x < 6 \)

Šířka musí být kladná, proto doplníme:

\( x > 0 \)

Výsledný interval je tedy:

\( 0 < x < 6 \)

Šířka obdélníku musí být mezi \(0\) a \(6\) cm, aby obvod byl menší než \(30\) cm.

Řešení příkladu:

Označíme počet let jako \(t\). Půjčená částka je \(10 000\) Kč, úrok \(5\) % ročně, úrok složený.

Výše dluhu po \(t\) letech je:

\( D(t) = 10000 \cdot (1 + 0{,}05)^t = 10000 \cdot 1{,}05^t \)

Chceme zjistit, za kolik let se dluh zdvojnásobí, tedy:

\( D(t) \geq 20000 \)

Nerovnice:

\( 10000 \cdot 1{,}05^t \geq 20000 \)

Obě strany vydělíme 10000:

\( 1{,}05^t \geq 2 \)

Logaritmováním:

\( t \cdot \log(1{,}05) \geq \log(2) \Rightarrow t \geq \frac{\log(2)}{\log(1{,}05)} \)

Hodnota:

\( t \geq \frac{0{,}3010}{0{,}0212} \approx 14{,}2 \)

Proto dluh zdvojnásobí za přibližně 15 let.

Petr chce splácet méně než \(1000\) Kč ročně, takže splátky nemohou překročit tuto hodnotu.

Pro \(t\) let tedy platí, že do doby zdvojnásobení musí být splátky menší než \(1000\) Kč. Tato část úlohy ale přímo nevede k nerovnici, protože výše dluhu závisí na \(t\) a splátkách, které nejsou specifikovány přesně.

Pro zachování nerovnice vztahující se k času platí tedy základní nerovnice:

\( t < 15 \)

Jinak dluh překročí dvojnásobek původní částky.

Řešení příkladu:

Máme nerovnici pro intenzitu světla \(I\):

\( I \leq \frac{100}{x + 10} \)

Chceme určit, kdy je intenzita větší než \(2\), tedy:

\( \frac{100}{x + 10} > 2 \)

Vynásobíme obě strany nerovnice výrazem \(x + 10\), přičemž musíme zjistit znaménko \(x + 10\).

Protože intenzita a výška musí být kladné, předpokládáme \(x + 10 > 0 \Rightarrow x > -10\).

Vynásobíme tedy bez změny znaménka:

\( 100 > 2(x + 10) \Rightarrow 100 > 2x + 20 \)

Odečteme \(20\):

\( 80 > 2x \)

Vydělíme \(2\):

\( 40 > x \Rightarrow x < 40 \)

Závěr: Intenzita světla je větší než 2 pro všechny výšky \(x\) takové, že

\( -10 < x < 40 \)

V praxi to znamená, že tělesná výška musí být menší než \(40\) cm (a zároveň větší než \(-10\), což je automatické, protože \(x\) je výška a kladná).

Řešení příkladu:

Máme nerovnici:

\( \frac{x-2}{x+3} < 1 \)

Podmínka definičního oboru: \(x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\).

Převedeme pravou stranu na společného jmenovatele:

\( \frac{x-2}{x+3} < \frac{x+3}{x+3} \)

Porovnáváme zlomky stejného jmenovatele, můžeme tedy psát nerovnici v čitatelích:

\( x – 2 < x + 3 \)

Odečteme \(x\) z obou stran:

\( -2 < 3 \)

Tato nerovnice je vždy pravdivá.

Musíme ale zkontrolovat znaménko jmenovatele, protože při násobení nerovnice jmenovatelem by se mohla znaménka změnit.

Rozdělíme tedy definiční obor na dvě části:

1) \(x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3\)

V tomto případě násobíme nerovnici kladným číslem, takže nerovnost zůstává stejná.

Podmínka je vždy splněna, tedy pro \(x > -3\) platí původní nerovnice.

2) \(x + 3 < 0 \Rightarrow x < -3\)

Při násobení jmenovatelem záporného znaménka se nerovnost obrátí:

\( x – 2 > x + 3 \)

Odečteme \(x\):

\( -2 > 3 \)

Tato nerovnost není pravdivá, takže pro \(x < -3\) nerovnice neplatí.

Závěr:

Množina řešení je všechna reálná čísla větší než \(-3\), tj.

\( x \in (-3, +\infty) \)

Řešení příkladu:

Máme vzorec:

\( y = 50 – 0{,}5 x \)

Podmínka, že cena \(y\) je alespoň \(30\) Kč, je:

\( y \geq 30 \)

Dosadíme:

\( 50 – 0{,}5 x \geq 30 \)

Odečteme \(50\) od obou stran:

\( -0{,}5 x \geq -20 \)

Vynásobíme obě strany \(-1\) a obrátíme nerovnici:

\( 0{,}5 x \leq 20 \)

Vydělíme \(0,5\):

\( x \leq 40 \)

Jelikož množství nemůže být záporné, doplníme podmínku:

\( x \geq 0 \)

Výsledná množina hodnot pro \(x\) je tedy:

\( 0 \leq x \leq 40 \)

Řešení:

Nejprve zapíšeme nerovnici, která vyjadřuje, že hladina má být menší než \( 7 \) metrů. Použijeme daný vzorec \( h = 10 – 0{,}3 t \):

\( 10 – 0{,}3 t < 7 \)

Dále odečteme \( 10 \) od obou stran, aby na levé straně zůstal jen člen s \( t \):

\( -0{,}3 t < -3 \)

Obě strany nerovnosti vynásobíme \( -1 \). Při násobení záporným číslem se ale musí obrátit znaménko nerovnosti:

\( 0{,}3 t > 3 \)

Nakonec obě strany vydělíme \( 0{,}3 \), abychom určili \( t \):

\( t > 10 \)

Z toho vyplývá, že hladina ve studni bude menší než \( 7 \) metrů po více než \( 10 \) hodinách.

Řešení příkladu:

Máme dvě ceny:

\( p_1 = 100 – 2 x \)

\( p_2 = 80 + x \)

Chceme, aby cena varianty 1 byla vyšší než cena varianty 2:

\( 100 – 2 x > 80 + x \)

Odečteme \(80\) od obou stran:

\( 20 – 2 x > x \)

Odečteme \(x\):

\( 20 – 3 x > 0 \)

Převedeme na nerovnici pro \(x\):

\( -3 x > -20 \)

Vynásobíme \(-1\) a obrátíme nerovnici:

\( 3 x < 20 \)

Vydělíme \(3\):

\( x < \frac{20}{3} \approx 6{,}67 \)

Předpokládáme, že \(x \geq 0\) (počet výrobků nemůže být záporný).

Výsledný interval je tedy:

\( 0 \leq x < \frac{20}{3} \)

Řešení:

Nejprve si zapíšeme, kolik osob celkem pojede, když přijede \( x \) osob navíc: je to \( 50 + x \).

Cena za jednu osobu se sníží podle počtu osob navíc. Platí tedy, že cena za jednu osobu je:

\( 30 – 0{,}5 x \)

Chceme zjistit, pro jaké \( x \) bude tato cena stále větší než \( 25 \). Zapíšeme si proto nerovnici:

\( 30 – 0{,}5 x > 25 \)

Od obou stran odečteme \( 30 \), abychom na levé straně dostali pouze člen s \( x \):

\( -0{,}5 x > -5 \)

Nyní obě strany nerovnice vynásobíme číslem \( -1 \). Při násobení záporným číslem musíme změnit směr nerovnosti:

\( 0{,}5 x < 5 \)

Obě strany vydělíme \( 0{,}5 \), abychom dostali samotné \( x \):

\( x < 10 \)

Počet osob navíc nemůže být záporný, takže zároveň platí \( x \geq 0 \).

Výsledek tedy zapíšeme jako interval hodnot \( x \), pro které bude cena za osobu stále větší než \( 25 \) Kč:

\( 0 \leq x < 10 \)

Závěr: cena za osobu bude vyšší než \( 25 \) Kč, pokud počet osob navíc bude mezi \( 0 \) a \( 9 \) včetně.

Řešení příkladu:

Celková rychlost člunu proti proudu bez větru je:

\( v = v_c – v_r = 5 – 3 = 2 \) km/h

Vítr snižuje rychlost o \( v_w \) km/h, takže nová rychlost je:

\( v‘ = v – v_w = 2 – v_w \)

Chceme, aby \( v‘ > 1 \), tedy:

\( 2 – v_w > 1 \)

Odečteme \( 2 \):

\( -v_w > -1 \)

Vynásobíme \( -1 \) a obrátíme nerovnici:

\( v_w < 1 \)

Rychlost větru musí být menší než \( 1 \) km/h, aby člun měl proti proudu rychlost větší než \( 1 \) km/h.

Rychlost větru nemůže být záporná, tedy \( v_w \geq 0 \).

Výsledný interval je:

\( 0 \leq v_w < 1 \)

Řešení příkladu:

Máme vzorec pro cenu pronájmu:

\( C = 1500 + 200 x \)

Chceme, aby cena nepřekročila \( 5500 \) Kč, tedy:

\( 1500 + 200 x \leq 5500 \)

Odečteme \( 1500 \) od obou stran nerovnice:

\( 200 x \leq 4000 \)

Vydělíme obě strany \( 200 \):

\( x \leq 20 \)

Počet kilometrů musí být nezáporný, protože nemůžeme ujet záporný počet kilometrů:

\( x \geq 0 \)

Výsledná množina možných hodnot je:

\( 0 \leq x \leq 20 \)

Maximálně tedy lze ujet \( 20 \) kilometrů, aby cena nepřesáhla \( 5500 \) Kč.

Řešení příkladu:

Máme vzorec pro teplotu:

\( T = 25 – 0{,}4 t \)

Chceme určit čas \( t \), kdy teplota bude menší nebo rovna \( 15 \) °C:

\( 25 – 0{,}4 t \leq 15 \)

Odečteme \( 25 \) od obou stran:

\( -0{,}4 t \leq -10 \)

Vynásobíme obě strany \( -1 \) a obrátíme nerovnost:

\( 0{,}4 t \geq 10 \)

Vydělíme \( 0{,}4 \):

\( t \geq \frac{10}{0{,}4} = 25 \)

Čas nemůže být záporný, což je splněno.

Výsledkem je, že teplota bude menší nebo rovna \( 15 \) °C po minimálně \( 25 \) hodinách.

Řešení příkladu:

Pokud je počáteční množství vody \( V_0 \), pak množství vody po \( n \) dnech je:

\( V = V_0 \times (1 – 0{,}03)^n = V_0 \times 0{,}97^n \)

Chceme, aby množství vody bylo menší než polovina původního množství, tedy:

\( V < \frac{1}{2} V_0 \)

Dosadíme za \( V \):

\( V_0 \times 0{,}97^n < \frac{1}{2} V_0 \)

Obě strany vydělíme \( V_0 \) (předpokládáme \( V_0 > 0 \)):

\( 0{,}97^n < \frac{1}{2} \)

Abychom vyřešili nerovnici s exponentem, použijeme logaritmus:

\( \log(0{,}97^n) < \log \frac{1}{2} \)

Logaritmus mocniny přepíšeme:

\( n \log 0{,}97 < \log \frac{1}{2} \)

Hodnota \( \log 0{,}97 \) je záporná (protože \( 0{,}97 < 1 \)):

\( \log 0{,}97 < 0 \)

Proto při dělení touto hodnotou obrátíme nerovnost:

\( n > \frac{\log \frac{1}{2}}{\log 0{,}97} \)

Vypočítáme logaritmy (základ \( 10 \)):

\( \log \frac{1}{2} = \log 1 – \log 2 = 0 – 0{,}3010 = -0{,}3010 \)

\( \log 0{,}97 \approx -0{,}0130 \)

Dosadíme:

\( n > \frac{-0{,}3010}{-0{,}0130} \approx 23{,}15 \)

Čas \( n \) je počet celých dnů, proto:

\( n \geq 24 \)

Po \( 24 \) dnech bude množství vody menší než polovina původního objemu.

Řešení příkladu:

Celková mzda je:

\( M = 25000 + 0{,}05 x \)

Chceme zjistit, kdy bude mzda vyšší než \( 30000 \) Kč:

\( 25000 + 0{,}05 x > 30000 \)

Odečteme \( 25000 \):

\( 0{,}05 x > 5000 \)

Vydělíme \( 0{,}05 \):

\( x > \frac{5000}{0{,}05} = 100000 \)

Obrat je v tisících Kč, tedy:

\( x > 100000 \)

Celková mzda bude vyšší než \( 30000 \) Kč, pokud obrat přesáhne \( 100000 \) (tj. \( 100 \) milionů Kč).

Řešení příkladu:

Cena je:

\( p = 1200 – 10 x \)

Chceme, aby cena byla minimálně \( 800 \) Kč:

\( 1200 – 10 x \geq 800 \)

Odečteme \( 1200 \):

\( -10 x \geq -400 \)

Vynásobíme \( -1 \) a obrátíme nerovnost:

\( 10 x \leq 400 \)

Vydělíme \( 10 \):

\( x \leq 40 \)

Počet recenzí nemůže být záporný, tedy:

\( x \geq 0 \)

Maximálně tedy může mít majitel \( 40 \) negativních recenzí, aby cena byla alespoň \( 800 \) Kč.

Řešení příkladu:

Celkový výnos je:

\( V = n \times c = (500 – 20 c) \times c = 500 c – 20 c^2 \)

Chceme, aby:

\( 500 c – 20 c^2 > 4000 \)

Převedeme vše na jednu stranu:

\( -20 c^2 + 500 c – 4000 > 0 \)

Vydělíme nerovnici \( -1 \) a obrátíme znak:

\( 20 c^2 – 500 c + 4000 < 0 \)

Dostaneme kvadratickou nerovnici:

\( 20 c^2 – 500 c + 4000 < 0 \)

Vydělíme celou nerovnici \( 20 \):

\( c^2 – 25 c + 200 < 0 \)

Určíme kořeny kvadratické rovnice:

\( c^2 – 25 c + 200 = 0 \)

Diskriminant:

\( \Delta = (-25)^2 – 4 \times 1 \times 200 = 625 – 800 = -175 \)

Diskriminant je záporný, rovnice nemá reálné kořeny, což znamená, že kvadratická funkce nemění znaménko.

Protože koeficient u \( c^2 \) je kladný, parabola je otevřená nahoru a je vždy kladná, tedy:

\( c^2 – 25 c + 200 > 0 \) pro všechna \( c \) reálná.

To znamená, že nerovnice \( c^2 – 25 c + 200 < 0 \) nemá řešení.

Kontrola: možná chyba v zadání, zkusíme jiný přístup.

Vrchol paraboly je v \( c_v = \frac{25}{2} = 12{,}5 \).

Hodnota funkce ve vrcholu:

\( f(12{,}5) = (12{,}5)^2 – 25 \times 12{,}5 + 200 = 156{,}25 – 312{,}5 + 200 = 43{,}75 > 0 \)

Parabola je vždy nad nulou, nerovnice nemá řešení.

Znamená to, že výnos nemůže být nikdy větší než \( 4000 \) Kč s danou závislostí.

Zkontrolujeme původní nerovnici:

\( 500 c – 20 c^2 > 4000 \)

Pokusíme se graficky: pro \( c=10 \), \( V=5000-2000=3000<4000 \),

pro \( c=15 \), \( V=7500-4500=3000<4000 \).

Závěr: nerovnice není splněna pro žádné reálné \( c \).

Výnos tedy nikdy nepřekročí \( 4000 \) Kč.

Řešení příkladu:

Nechť \( c \) je nová cena. Zvýšení ceny je tedy \( c – 10 \).

Počet kusů \( n \) klesá o \( 5 \) na každé zvýšení ceny o \( 2 \) Kč, tedy klesá o \( \frac{5}{2} = 2{,}5 \) kusu za \( 1 \) Kč navýšení ceny.

Počet prodaných kusů je:

\( n = 200 – 2{,}5 (c – 10) \)

Chceme, aby \( n \geq 150 \):

\( 200 – 2{,}5 (c – 10) \geq 150 \)

Odečteme \( 200 \):

\( -2{,}5 (c – 10) \geq -50 \)

Vynásobíme \( -1 \) a obrátíme nerovnost:

\( 2{,}5 (c – 10) \leq 50 \)

Vydělíme \( 2{,}5 \):

\( c – 10 \leq 20 \)

Sečteme \( 10 \):

\( c \leq 30 \)

Cena nemůže být nižší než \( 10 \) Kč (počáteční cena), tedy:

\( c \geq 10 \)

Výsledný interval je:

\( 10 \leq c \leq 30 \)

Prodej bude alespoň \( 150 \) kusů, pokud cena bude mezi \( 10 \) a \( 30 \) Kč včetně.

Řešení příkladu:

Máme vzorec:

\( M_n = 2000 – 50 n \)

Chceme, aby zásoba byla menší než \( 1000 \) kg:

\( 2000 – 50 n < 1000 \)

Odečteme \( 2000 \):

\( -50 n < -1000 \)

Vynásobíme \( -1 \) a obrátíme nerovnost:

\( 50 n > 1000 \)

Vydělíme \( 50 \):

\( n > 20 \)

Počet dnů je celé kladné číslo, tedy:

\( n \geq 21 \)

Po \( 21 \) dnech bude zásoba menší než \( 1000 \) kg.

Řešení příkladu:

Nechť šířka pozemku je \( x \) metrů.

Délka je o \( 10 \) m delší, tedy \( x + 10 \).

Obvod obdélníku je:

\( O = 2 (x + (x + 10)) = 2 (2x + 10) = 4x + 20 \)

Máme omezení oplocení maximálně \( 140 \) m:

\( 4x + 20 \leq 140 \)

Odečteme \( 20 \):

\( 4x \leq 120 \)

Vydělíme \( 4 \):

\( x \leq 30 \)

Šířka musí být kladná:

\( x > 0 \)

Maximální šířka je tedy \( 30 \) metrů.

Odpovídající délka je:

\( 30 + 10 = 40 \)

Rozměry pozemku jsou \( 30 \) m šířka a \( 40 \) m délka.

Řešení příkladu:

Máme vzorec pro množství:

\( Q = 1000 e^{-0{,}1 t} \)

Chceme, aby:

\( 1000 e^{-0{,}1 t} < 300 \)

Obě strany vydělíme \( 1000 \):

\( e^{-0{,}1 t} < 0{,}3 \)

Použijeme přirozený logaritmus:

\( \ln e^{-0{,}1 t} < \ln 0{,}3 \)

\( -0{,}1 t < \ln 0{,}3 \)

Hodnota \( \ln 0{,}3 \) je záporná (přibližně \( -1{,}2040 \)):

\( -0{,}1 t < -1{,}2040 \)

Vynásobíme \( -1 \) a obrátíme nerovnost:

\( 0{,}1 t > 1{,}2040 \)

Vydělíme \( 0{,}1 \):

\( t > 12{,}04 \)

Čas musí být nezáporný, což platí.

Množství chemikálie bude menší než \( 300 \) po více než \( 12{,}04 \) hodinách.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( C \).

Po snížení o \(20\) % je nová cena:

\( C_1 = C (1 – 0{,}20) = 0{,}8 C \)

Poté cena vzroste o \(25\) % oproti této snížené ceně:

\( C_2 = C_1 (1 + 0{,}25) = 0{,}8 C \times 1{,}25 = 1{,}0 C \)

Porovnání nové ceny \( C_2 \) s původní cenou \( C \):

\( C_2 = 1{,}0 C \Rightarrow \) cena se vrátila přesně na původní hodnotu.

Odpověď: Cena je nyní stejná jako původní, tedy změna je \(0\) %.

Řešení příkladu:

Máme vztah pro spotřebu:

\( S \leq 15 – 0{,}1 v \)

Chceme, aby spotřeba byla menší než \(12\) litrů:

\( S < 12 \)

Z dosavadní nerovnosti plyne:

\( 15 – 0{,}1 v < 12 \)

Odečteme \(15\):

\( -0{,}1 v < 12 - 15 \)

\( -0{,}1 v < -3 \)

Vynásobíme nerovnost \(-1\) a změníme směr nerovnosti:

\( 0{,}1 v > 3 \)

Vydělíme \(0{,}1\):

\( v > 30 \)

Rychlost musí být kladná, tedy platí \( v > 30 \) km/h.

Odpověď: Spotřeba bude menší než \(12\) litrů při rychlostech vyšších než \(30\) km/h.

Řešení příkladu:

Nechť počet nových zaměstnanců je \( x \).

Celková mzda současných zaměstnanců je:

\( 80 \times 27\,000 = 2\,160\,000 \) Kč

Celková mzda nových zaměstnanců je:

\( 20\,000 x \) Kč

Celkový počet zaměstnanců po přijetí bude \( 80 + x \).

Průměrná mzda po přijetí musí být alespoň \(25\,000\) Kč, tedy:

\( \frac{2\,160\,000 + 20\,000 x}{80 + x} \geq 25\,000 \)

Vynásobíme obě strany jmenovatelem \( 80 + x \) (kladné, protože \( x \geq 0 \)):

\( 2\,160\,000 + 20\,000 x \geq 25\,000 (80 + x) \)

Roznásobíme pravou stranu:

\( 2\,160\,000 + 20\,000 x \geq 2\,000\,000 + 25\,000 x \)

Převedeme všechny členy na jednu stranu:

\( 2\,160\,000 – 2\,000\,000 + 20\,000 x – 25\,000 x \geq 0 \)

\( 160\,000 – 5\,000 x \geq 0 \)

Převedeme nerovnost:

\( -5\,000 x \geq -160\,000 \)

Vynásobíme \(-1\) a změníme směr nerovnosti:

\( 5\,000 x \leq 160\,000 \)

Vydělíme \(5\,000\):

\( x \leq 32 \)

Maximální počet nových zaměstnanců je tedy \(32\).

Řešení příkladu:

Rovnice teploty je:

\( T = 25 – 3 t \)

Chceme, aby \( T < 10 \):

\( 25 – 3 t < 10 \)

Odečteme \( 25 \):

\( -3 t < 10 - 25 \)

\( -3 t < -15 \)

Vynásobíme nerovnost \( -1 \) a změníme směr nerovnosti:

\( 3 t > 15 \)

Vydělíme \( 3 \):

\( t > 5 \)

Teplota bude pod \( 10 \) °C po více než \( 5 \) hodinách.

Řešení příkladu:

Původní délka strany je \( 3 \) m, přidáváme délku \( x \), takže nová délka je \( 3 + x \).

Obsah nového čtverce je:

\( (3 + x)^2 < 64 \)

Rozepíšeme:

\( 9 + 6 x + x^2 < 64 \)

Odečteme \( 64 \):

\( x^2 + 6 x + 9 – 64 < 0 \)

\( x^2 + 6 x – 55 < 0 \)

Najdeme kořeny kvadratické rovnice \( x^2 + 6 x – 55 = 0 \):

Diskriminant:

\( \Delta = 6^2 – 4 \times 1 \times (-55) = 36 + 220 = 256 \)

Kořeny:

\( x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-6 \pm 16}{2} \)

\( x_1 = \frac{-6 – 16}{2} = \frac{-22}{2} = -11 \)

\( x_2 = \frac{-6 + 16}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Parabola směřuje nahoru (koeficient u \( x^2 \) je kladný), takže nerovnice \( < 0 \) platí mezi kořeny:

\( -11 < x < 5 \)

Protože délka musí být nezáporná, bereme:

\( 0 \leq x < 5 \)

Obsah čtverce bude menší než \( 64 \) m² pro \( x \) v intervalu od \( 0 \) do \( 5 \).

Řešení příkladu:

Máme spotřebu paliva:

\( S(d) = 6 + 0{,}5 d \)

Auto má nádrž o objemu \( 50 \) litrů, takže platí nerovnost:

\( S(d) \leq 50 \)

Dosadíme výraz:

\( 6 + 0{,}5 d \leq 50 \)

Odečteme \( 6 \):

\( 0{,}5 d \leq 44 \)

Vydělíme \( 0{,}5 \):

\( d \leq 88 \)

Maximální délka stoupání je tedy \( 88 \) km.

Řešení příkladu:

Máme nerovnice pro změnu teploty:

\( \frac{dT}{dt} \leq -2 T + 10 \)

Chceme najít interval, kdy \( \frac{dT}{dt} \geq -5 \).

Zkombinujeme obě nerovnosti:

\( -5 \leq \frac{dT}{dt} \leq -2 T + 10 \)

Z toho plyne:

\( -5 \leq -2 T + 10 \)

Odečteme \( 10 \):

\( -15 \leq -2 T \)

Vynásobíme \( -1 \) a změníme směr nerovnosti:

\( 15 \geq 2 T \)

Vydělíme \( 2 \):

\( 7{,}5 \geq T \)

Interval teplot, kdy se ochlazování zpomalí, je tedy:

\( T \leq 7{,}5 \)

Řešení příkladu:

Máme nerovnici pro částku:

\( P(t) \geq 1000 (1 + 0{,}05)^t = 1000 (1{,}05)^t \)

Chceme, aby:

\( P(t) > 1500 \)

Protože \( P(t) \geq 1000 (1{,}05)^t \), postačí vyřešit:

\( 1000 (1{,}05)^t > 1500 \)

Vydělíme \( 1000 \):

\( (1{,}05)^t > 1{,}5 \)

Použijeme logaritmus (přirozený nebo o základu \( 10 \)):

\( t \ln 1{,}05 > \ln 1{,}5 \)

Vydělíme \( \ln 1{,}05 > 0 \):

\( t > \frac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}05} \)

Po dosazení hodnot (přibližně \( \ln 1{,}5 \approx 0{,}4055 \), \( \ln 1{,}05 \approx 0{,}04879 \)):

\( t > \frac{0{,}4055}{0{,}04879} \approx 8{,}31 \)

Částka bude vyšší než \( 1500 \, \mathrm{Kč} \) po více než \( 8{,}31 \) letech.

Řešení příkladu:

Rovnice pro vlhkost je:

\( H(t) = 60 – 4 t \)

Chceme, aby:

\( H(t) > 40 \)

Dosadíme:

\( 60 – 4 t > 40 \)

Odečteme \( 60 \):

\( -4 t > 40 – 60 \)

\( -4 t > -20 \)

Vynásobíme \( -1 \) a změníme směr nerovnosti:

\( 4 t < 20 \)

Vydělíme \( 4 \):

\( t < 5 \)

Vlhkost bude vyšší než \( 40 \, \% \) po dobu kratší než \( 5 \) hodin.

Řešení příkladu:

Máme nerovnici:

\( 0{,}1\, T^2 – 2\, T + 15 \leq 0 \)

Vynásobíme obě strany \( 10 \) (kladné číslo, směr nerovnosti se nemění):

\( T^2 – 20\, T + 150 \leq 0 \)

Najdeme diskriminant kvadratické rovnice \( T^2 – 20\, T + 150 = 0 \):

\( \Delta = (-20)^2 – 4 \times 1 \times 150 = 400 – 600 = -200 \)

Protože \( \Delta < 0 \), kvadratická rovnice nemá reálné kořeny.

Parabola je orientovaná nahoru (koeficient u \( T^2 \) je kladný), tudíž výraz \( T^2 – 20\, T + 150 \) je vždy kladný pro všechna reálná \( T \).

To znamená, že nerovnice \( T^2 – 20\, T + 150 \leq 0 \) není splněna pro žádné reálné \( T \).

Odpověď: Nerovnice nemá řešení v reálných číslech, žádná teplota nevyhovuje.

Máme délku zahrady \( x \). Předpokládáme, že zahrada je obdélník s pevnou šířkou \( 10 \) m, protože jinak nejsou dostatečné údaje, nebo uvažujeme pouze délku (například oplocení jedné strany). Kdybychom oplocili jen jednu stranu, cena by byla:

\( 12\, x \leq 720 \)

Vydělíme obě strany \( 12 \):

\( x \leq \frac{720}{12} \)

\( x \leq 60 \)

Délka zahrady může být maximálně \( 60 \) metrů, aby se vešla do rozpočtu na oplocení.

Odpověď: \( x \in (0,\, 60] \).

Máme nerovnosť:

\( \frac{5x – 3}{2} > 3x + 1 \)

Vynásobíme obe strany \( 2 \) (kladné číslo, nerovnosť sa nemení):

\( 5x – 3 > 2 (3x + 1) \)

\( 5x – 3 > 6x + 2 \)

Odečítame \( 5x \) z oboch strán:

\( -3 > x + 2 \)

Odečítame \( 2 \):

\( -3 – 2 > x \)

\( -5 > x \)

Preto platí:

\( x < -5 \)

Objem je:

\( V = a b c = 2x (x + 3) 4 \leq 96 \)

Prevedieme nerovnosť:

\( 8x(x + 3) \leq 96 \)

Vydelíme obe strany \( 8 \):

\( x(x + 3) \leq 12 \)

Rozvineme ľavú stranu:

\( x^2 + 3x \leq 12 \)

Prevedieme všetko na jednu stranu:

\( x^2 + 3x – 12 \leq 0 \)

Vypočítame diskriminant kvadratickej rovnice \( x^2 + 3x – 12 = 0 \):

\( \Delta = 3^2 – 4 \times 1 \times (-12) = 9 + 48 = 57 \)

Korene sú:

\( x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{2} \)

Približne:

\( x_1 \approx \frac{-3 – 7{,}55}{2} = -5{,}275 \), \( x_2 \approx \frac{-3 + 7{,}55}{2} = 2{,}275 \)

Keďže kvadratická funkcia je smerom nahor, nerovnosť \( \leq 0 \) platí medzi koreňmi:

\( x \in \langle -5{,}275, 2{,}275 \rangle \)

Keďže dĺžka nesmie byť záporná, výsledný interval je:

\( x \in [0, 2{,}275] \)

Máme:

\( I(t) = 5000 (1{,}03)^t \)

Podmienka:

\( I(t) > 6000 \)

Dosadíme \( t = 5 \):

\( 5000 (1{,}03)^5 > 6000 \Rightarrow (1{,}03)^5 > \frac{6000}{5000} = 1{,}2 \)

Vypočítame hodnotu \( (1{,}03)^5 \):

\( (1{,}03)^5 \approx 1{,}159274 \)

Porovnáme:

\( 1{,}159274 \not> 1{,}2 \)

To znamená, že investícia za \( 5 \) rokov nedosiahne \( 6000 \) €.

Odpoveď: Podmienka nie je splnená.

Nech \( x \) je hmotnosť zmesi s \( 10 \) % soli, ktorú pridávame.

Obsah soli v pôvodnej zmesi:

\( 0{,}15 \times 20 = 3 \) kg

Obsah soli v pridanej zmesi:

\( 0{,}10 \times x = 0{,}1x \) kg

Celková hmotnosť výslednej zmesi:

\( 20 + x \)

Celkový obsah soli v novej zmesi:

\( 3 + 0{,}1x \)

Podmienka, že obsah soli v novej zmesi je najviac \( 12 \) %:

\( \frac{3 + 0{,}1x}{20 + x} \leq 0{,}12 \)

Vynásobíme obidve strany \( 20 + x \), ktoré je kladné (predpokladáme \( x \geq 0 \)):

\( 3 + 0{,}1x \leq 0{,}12(20 + x) \)

\( 3 + 0{,}1x \leq 2{,}4 + 0{,}12x \)

Odečítame \( 0{,}1x \) a \( 2{,}4 \):

\( 3 – 2{,}4 \leq 0{,}12x – 0{,}1x \)

\( 0{,}6 \leq 0{,}02x \)

Vydelíme \( 0{,}02 \):

\( \frac{0{,}6}{0{,}02} \leq x \Rightarrow 30 \leq x \)

Preto musíme pridať aspoň \( 30 \) kg zmesi s \( 10 \) % soli.

Zisk je rozdiel príjmov a nákladov:

\( Z(x) = P(x) – C(x) = 8x – (200 + 5x) = 8x – 200 – 5x = 3x – 200 \)

Podmienka zisku aspoň \( 600 \) €:

\( 3x – 200 \geq 600 \)

Pridáme \( 200 \) na obe strany:

\( 3x \geq 800 \)

Vydelíme \( 3 \):

\( x \geq \frac{800}{3} \approx 266{,}67 \)

Firma musí vyrobiť aspoň \( 267 \) kusov výrobkov denne.

Máme:

\( I = \frac{5000}{d^2} \)

Podmienka:

\( I \geq 50 \Rightarrow \frac{5000}{d^2} \geq 50 \)

Vynásobíme \( d^2 \) (kladné):

\( 5000 \geq 50 d^2 \)

Vydelíme \( 50 \):

\( 100 \geq d^2 \)

Odtiahneme druhú odmocninu:

\( |d| \leq 10 \)

Keďže vzdialenosť nemôže byť záporná:

\( d \in [0, 10] \)

Nech \( x \) je šírka pozemku, potom dĺžka je \( x + 10 \).

Obvod obdĺžnika je:

\( 2(x + x + 10) = 2(2x + 10) = 4x + 20 \)

Podmienka na obvod:

\( 4x + 20 \leq 100 \)

Odečítame \( 20 \):

\( 4x \leq 80 \)

Vydelíme \( 4 \):

\( x \leq 20 \)

Rozmery pozemku musia spĺňať:

\( x \in (0, 20] \), dĺžka \( x + 10 \in (10, 30] \)

Intenzita dažďa musí byť kladná:

\( 10 – t^2 > 0 \)

Prevedieme:

\( 10 > t^2 \Rightarrow t^2 < 10 \)

Odtiahneme druhú odmocninu:

\( |t| < \sqrt{10} \)

Keďže \( t \) je čas od začiatku dažďa, platí \( t \geq 0 \), teda:

\( t \in [0, \sqrt{10}) \approx [0, 3{,}16) \)

Podmienka je:

\( y \geq 20 \Rightarrow 50 – 2x \geq 20 \)

Odečítame \( 50 \):

\( -2x \geq 20 – 50 \Rightarrow -2x \geq -30 \)

Vynásobíme \(-1\) a zmeníme smer nerovnosti:

\( 2x \leq 30 \)

Vydelíme \( 2 \):

\( x \leq 15 \)

Preto množstvo pridaného rozpúšťadla musí byť najviac \( 15 \) gramov.

Máme nerovnosť:

\( 3x^2 + 2x + 5 \leq 50 \)

Prevedieme všetko na jednu stranu:

\( 3x^2 + 2x + 5 – 50 \leq 0 \Rightarrow 3x^2 + 2x – 45 \leq 0 \)

Vypočítame diskriminant kvadratickej rovnice \( 3x^2 + 2x – 45 = 0 \):

\( \Delta = 2^2 – 4 \times 3 \times (-45) = 4 + 540 = 544 \)

Korene sú:

\( x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{544}}{2 \times 3} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{34}}{6} \)

Približné hodnoty koreňov:

\( \sqrt{544} \approx 23{,}32 \Rightarrow x_1 = \frac{-2 – 23{,}32}{6} = -4{,}22, \quad x_2 = \frac{-2 + 23{,}32}{6} = 3{,}55 \)

Keďže \( 3x^2 + 2x – 45 \) je kvadratická funkcia so smernicou kladnou (\( 3 > 0 \)), nerovnosť \( \leq 0 \) platí medzi koreňmi:

\( x \in \langle -4{,}22, 3{,}55 \rangle \)

Počet zastávok musí byť nezáporné celé číslo, teda

\( x \in \{0, 1, 2, 3\} \)

Maximálny počet zastávok je teda \( 3 \), aby kapacita nebola prekročená.

Máme nerovnosť:

\( 4p + 3q \leq 120 \)

Dosadíme \( q = 20 \):

\( 4p + 3 \times 20 \leq 120 \Rightarrow 4p + 60 \leq 120 \)

Odečítame \( 60 \) z oboch strán:

\( 4p \leq 60 \)

Vydelíme \( 4 \):

\( p \leq 15 \)

Maximálne množstvo prísady \( p \) je \( 15 \) jednotiek.

Podmienka je:

\( C(t) \leq 650 \)

Dosadíme výraz pre cenu:

\( 200 + 15t \leq 650 \)

Odečítame \( 200 \):

\( 15t \leq 450 \)

Vydelíme \( 15 \):

\( t \leq 30 \)

Auto môže byť prenajaté maximálne \( 30 \) hodín, aby zákazník neprekročil rozpočet.

Máme podmienku:

\( T(t) \geq 5 \)

Dosadíme výraz pre teplotu:

\( 20 – 3t \geq 5 \)

Odečítame \( 20 \):

\( -3t \geq -15 \)

Vynásobíme \(-1\) a zmeníme smer nerovnosti:

\( 3t \leq 15 \)

Vydelíme \( 3 \):

\( t \leq 5 \)

Časový interval je \( t \in [0, 5] \) hodín, počas ktorých teplota neklesne pod \( 5 \, ^\circ \mathrm{C} \).

Máme nerovnosť:

\( d^2 – 4d – 5 < 0 \)

Vypočítame korene kvadratickej rovnice \( d^2 – 4d – 5 = 0 \):

Diskriminant:

\( \Delta = (-4)^2 – 4 \times 1 \times (-5) = 16 + 20 = 36 \)

Korene:

\( d_1 = \frac{4 – 6}{2} = -1 \), \( d_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \)

Keďže kvadratická funkcia má smernicu kladnú, nerovnosť \( < 0 \) platí medzi koreňmi:

\( d \in (-1, 5) \)

Vzdialenosť nemôže byť záporná, teda výsledný interval je:

\( d \in (0, 5) \)

Podmienka na rozpočet je:

\( 8x + 12y \leq 1000 \)

Keďže množstvá nemôžu byť záporné:

\( x \geq 0, \quad y \geq 0 \)

Teraz vyjadríme napríklad \( y \) z nerovnice:

\( 12y \leq 1000 – 8x \Rightarrow y \leq \frac{1000 – 8x}{12} \)

Pre všetky nenegatívne \( x \), ktoré spĺňajú \( 1000 – 8x \geq 0 \), teda

\( x \leq 125 \)

platí

\( y \in \langle 0, \frac{1000 – 8x}{12} \rangle \)

Takže množiny všetkých dvojíc sú

\( x \in [0, 125], \quad y \in \left[0, \frac{1000 – 8x}{12}\right] \).

Podmienka:

\( V(t) \geq 50 \)

Dosadíme výraz pre množstvo vody:

\( 200 – 10t \geq 50 \)

Odečítame \( 200 \):

\( -10t \geq -150 \)

Vynásobíme \( -1 \) a zmeníme smer nerovnosti:

\( 10t \leq 150 \)

Vydelíme \( 10 \):

\( t \leq 15 \)

Maximálny čas odberu vody je \( 15 \) hodín.

Výška vkladu je \(P\). Po roku bude suma:

\(P + 0{,}05P = 1{,}05P\)

Podmienka:

\(1{,}05P \geq 10\,400\)

Vydelíme \(1{,}05\):

\(P \geq \frac{10\,400}{1{,}05} \approx 9\,904{,}76\)

Keďže chce vložiť najviac \(10\,000\,€\), táto podmienka je splnená pre

\(9\,904{,}76 \leq P \leq 10\,000\)

Maximálna suma, ktorú môže vložiť, je teda \(10\,000\,€\).

Počet balíkov \(n\) musí spĺňať:

\(0{,}25n \leq 4\)

Vydelíme \(0{,}25\):

\(n \leq \frac{4}{0{,}25} = 16\)

Maximálny počet balíkov je \(16\).

Podmienka:

\(C(x) \leq 1\,500\)

Dosadíme výraz:

\(500 + 20x \leq 1\,500\)

Odečítame \(500\):

\(20x \leq 1\,000\)

Vydelíme \(20\):

\(x \leq 50\)

Maximálny počet kusov je \(50\).

Výnos z predaja \(x\) kusov je:

\(P(x) = 50x\)

Náklady sú:

\(N(x) = 500 + 25x\)

Zisk \(Z(x)\) je rozdiel výnosov a nákladov:

\(Z(x) = P(x) – N(x) = 50x – (500 + 25x) = 50x – 500 – 25x = 25x – 500\)

Podmienka na kladný zisk je:

\(25x – 500 > 0\)

Pridáme \(500\) na obe strany:

\(25x > 500\)

Vydelíme \(25\):

\(x > 20\)

Firma bude mať kladný zisk, ak vyrobí viac než \(20\) kusov.

Nech šírka obdĺžnika je \(x\,\mathrm{cm}\), potom dĺžka je \(x + 3\,\mathrm{cm}\).

Obvod obdĺžnika je:

\(O = 2(x + (x + 3)) = 2(2x + 3) = 4x + 6\)

Podmienka je:

\(4x + 6 \leq 30\)

Odečítame \(6\):

\(4x \leq 24\)

Vydelíme \(4\):

\(x \leq 6\)

Šírka musí byť kladná, teda \(x > 0\).

Interval možných hodnôt šírky je \(x \in (0, 6]\) cm.

Máme nerovnosť:

\(S(x) < 7\)

Dosadíme výraz:

\(0{,}1x + 2 < 7\)

Odečítame \(2\):

\(0{,}1x < 5\)

Vydelíme \(0{,}1\):

\(x < 50\)

Množstvo roztoku musí byť nezáporné:

\(x \geq 0\)

Výsledný interval je \(x \in [0, 50)\) litrov.

Počet balíkov označíme \(n\).

Celková hmotnosť je \(25n\,\mathrm{kg}\).

Podmienka kapacity:

\(25n \leq 1000\)

Vydelíme \(25\):

\(n \leq 40\)

Maximálny počet balíkov je \(40\).

Obvod obdĺžnika je:

\(O = 2(x + 2x + 5) = 2(3x + 5) = 6x + 10\)

Podmienka na dĺžku pletiva:

\(6x + 10 \leq 70\)

Odečítame \(10\):

\(6x \leq 60\)

Vydelíme \(6\):

\(x \leq 10\)

Strana \(x\) musí byť kladná:

\(x > 0\)

Možné hodnoty \(x \in (0, 10]\).

Podmienka:

\(n(p) \geq 400\)

Dosadíme výraz:

\(1000 – 20p \geq 400\)

Odečítame \(1000\):

\(-20p \geq -600\)

Vynásobíme \(-1\) a zmeníme smer nerovnosti:

\(20p \leq 600\)

Vydelíme \(20\):

\(p \leq 30\)

Maximálna cena je \(30\,€\).

Podmienka:

\(r(t) \geq 5\)

Dosadíme výraz:

\(15 – 0{,}5t \geq 5\)

Odečítame \(15\):

\(-0{,}5t \geq -10\)

Vynásobíme \(-1\) a zmeníme smer nerovnosti:

\(0{,}5t \leq 10\)

Vydelíme \(0{,}5\):

\(t \leq 20\)

Čas musí byť nezáporný:

\(t \geq 0\)

Interval je \(t \in [0, 20]\) hodín.

Obvod štvorca je:

\(O = 4x\)

Podmienka:

\(4x \leq 40\)

Vydelíme \(4\):

\(x \leq 10\)

Strana musí byť kladná:

\(x > 0\)

Možné hodnoty sú \(x \in (0, 10]\) cm.

Podmienka:

\(P(x) > N(x)\)

Dosadíme výrazy:

\(200x > 150x + 5000\)

Odečítame \(150x\):

\(50x > 5000\)

Vydelíme \(50\):

\(x > 100\)

Podnik musí predať viac ako \(100\) kusov, aby mal príjem väčší ako náklady.

Podmienka:

\(10000 \cdot (1 + 0{,}04)^t \geq 12000\)

Vydelíme \(10000\):

\((1{,}04)^t \geq 1{,}2\)

Použijeme logaritmus pri základe \(1{,}04\):

\(t \geq \log_{1{,}04}(1{,}2)\)

Prepočítame pomocou prirodzeného logaritmu:

\(t \geq \frac{\ln 1{,}2}{\ln 1{,}04} \approx \frac{0{,}1823}{0{,}0392} \approx 4{,}65\)

Investor dosiahne hodnotu investície aspoň \(12000\,€\) po približne \(5\) rokoch.

Podmienka je:

\(V(t) > 800\)

Dosadíme výraz:

\(1000 – 15t + 0{,}5t^2 > 800\)

Odečítame \(800\):

\(1000 – 15t + 0{,}5t^2 – 800 > 0\)

\(200 – 15t + 0{,}5t^2 > 0\)

Upravíme na štandardný tvar kvadratickej nerovnice:

\(0{,}5t^2 – 15t + 200 > 0\)

Vynásobíme obe strany \(2\), aby sme sa zbavili desatinných čísel:

\(t^2 – 30t + 400 > 0\)

Vypočítame diskriminant:

\(\Delta = (-30)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 400 = 900 – 1600 = -700\)

Pretože \(\Delta < 0\), kvadratická funkcia nemá reálne korene.

Koeficient pri \(t^2\) je kladný, teda parabola je otvorená nahor a vždy kladná.

To znamená, že nerovnosť platí pre všetky reálne hodnoty \(t\).

Avšak fyzikálne má zmysel len \(t \geq 0\).

Výsledok je \(t \in [0, +\infty)\).

Výnos z predaja:

\(P(x) = C(x) \cdot x = (80 – 0{,}3x)x = 80x – 0{,}3x^2\)

Zisk je:

\(Z(x) = P(x) – N(x) = 80x – 0{,}3x^2 – (30x + 200) = 80x – 0{,}3x^2 – 30x – 200 = 50x – 0{,}3x^2 – 200\)

Podmienka na kladný zisk:

\(50x – 0{,}3x^2 – 200 > 0\)

Upravíme:

\(-0{,}3x^2 + 50x – 200 > 0\)

Vynásobíme \(-1\) a zmeníme smer nerovnosti:

\(0{,}3x^2 – 50x + 200 < 0\)

Vypočítame diskriminant:

\(\Delta = (-50)^2 – 4 \cdot 0{,}3 \cdot 200 = 2500 – 240 = 2260\)

Koreň diskriminantu:

\(\sqrt{2260} \approx 47{,}54\)

Korene kvadratickej rovnice sú:

\(x_{1,2} = \frac{50 \pm 47{,}54}{2 \cdot 0{,}3} = \frac{50 \pm 47{,}54}{0{,}6}\)

\(x_1 = \frac{50 – 47{,}54}{0{,}6} \approx \frac{2{,}46}{0{,}6} \approx 4{,}1\)

\(x_2 = \frac{50 + 47{,}54}{0{,}6} \approx \frac{97{,}54}{0{,}6} \approx 162{,}57\)

Keďže koeficient pri \(x^2\) je kladný, nerovnosť platí pre \(x\) medzi koreňmi:

\(4{,}1 < x < 162{,}57\)

Preto zisk je kladný pre \(x \in (4{,}1, 162{,}57)\).

Podmienka:

\(T(t) > 30\)

Dosadíme vzťah:

\(90 e^{-0{,}1t} > 30\)

Vydelíme \(90\):

\(e^{-0{,}1t} > \frac{30}{90} = \frac{1}{3}\)

Použijeme prirodzený logaritmus:

\(\ln e^{-0{,}1t} > \ln \frac{1}{3}\)

\(-0{,}1t > \ln \frac{1}{3} = -\ln 3\)

Vynásobíme \(-1\) a zmeníme smer nerovnosti:

\(0{,}1t < \ln 3\)

Vydelíme \(0{,}1\):

\(t < \frac{\ln 3}{0{,}1} \approx \frac{1{,}0986}{0{,}1} = 10{,}986\)

Najväčšia hodnota \(t\) je približne \(10{,}99\) hodín.

Vieme, že:

\(x = y\)

\(z = 2x\)

Podmienka na rozmery:

\(x + y + z \leq 30 \Rightarrow x + x + 2x \leq 30 \Rightarrow 4x \leq 30\)

Odtiaľ:

\(x \leq \frac{30}{4} = 7{,}5\)

Objem:

\(V = xyz = x \cdot x \cdot 2x = 2x^3\)

Podmienka na objem:

\(2x^3 > 1000\)

Vydelíme \(2\):

\(x^3 > 500\)

Vypočítame tretiu odmocninu:

\(x > \sqrt[3]{500} \approx 7{,}937\)

Pre splnenie oboch podmienok musí platiť:

\(x \leq 7{,}5\) a zároveň \(x > 7{,}937\)

Taká hodnota \(x\) neexistuje.

Preto nie je možné mať objem väčší ako \(1000\) pri daných podmienkach.

Podmienka na počet kusov:

\(x \geq 200\)

Podmienka na cenu:

\(p(x) = 150 – 0{,}5x \geq 50\)

Odečítame \(150\):

\(-0{,}5x \geq 50 – 150 = -100\)

Vynásobíme \(-1\) a zmeníme smer nerovnosti:

\(0{,}5x \leq 100\)

Vydelíme \(0{,}5\):

\(x \leq 200\)

Pre splnenie oboch podmienok musí platiť:

\(x \geq 200\) a zároveň \(x \leq 200\)

Výsledok je \(x = 200\).

Len pri predaji \(200\) kusov cena zostane minimálne \(50\) €.

Podmienka:

\(I(d) \geq 40\)

Dosadíme vzorec:

\(\frac{1000}{(d+1)^2} \geq 40\)

Vynásobíme obe strany \((d+1)^2\):

\(1000 \geq 40 (d+1)^2\)

Vydelíme \(40\):

\(25 \geq (d+1)^2\)

Vyberieme odmocninu:

\(-5 \leq d + 1 \leq 5\)

Odečítame \(1\):

\(-6 \leq d \leq 4\)

Vzdialenosť nemôže byť záporná, teda:

\(d \in [0, 4]\)

Podmienka:

\(5 – 0{,}1t > 3\)

Odečítame \(5\):

\(-0{,}1t > -2\)

Vynásobíme \(-1\) a zmeníme smer nerovnosti:

\(0{,}1t < 2\)

Vydelíme \(0,1\):

\(t < 20\)

Úroková miera je vyššia ako \(3\) % pre všetky roky \(t < 20\).

Keďže \(t \geq 0\), výsledný interval je \(t \in [0, 20)\).

Podmienka:

\(\frac{120}{v} + 0{,}1v < 3\)

Vynásobíme obe strany \(v\) (predpokladáme \(v > 0\)):

\(120 + 0{,}1v^2 < 3v\)

Upravíme:

\(0{,}1v^2 – 3v + 120 < 0\)

Vynásobíme \(10\):

\(v^2 – 30v + 1200 < 0\)

Vypočítame diskriminant:

\(\Delta = (-30)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1200 = 900 – 4800 = -3900\)

Keďže \(\Delta < 0\), kvadratická funkcia nemá reálne korene.

Koeficient pri \(v^2\) je kladný, parabola je otvorená nahor a vždy kladná, teda výraz je vždy väčší ako \(0\).

To znamená, že neexistuje rýchlosť \(v\), pre ktorú platí nerovnosť.

Výsledok: žiadne také \(v\) neexistuje.

Podmienka pre obsah:

\(xy \geq 5\)

Podmienka pre rozmery:

\(2x + 3y \leq 12\)

Máme \(y \geq 1\), takže z nerovnosti vyjadríme \(y\):

\(3y \leq 12 – 2x \Rightarrow y \leq \frac{12 – 2x}{3}\)

Zároveň \(y \geq 1\), teda

\(1 \leq y \leq \frac{12 – 2x}{3}\)

Obsah:

\(xy \geq 5 \Rightarrow y \geq \frac{5}{x}\)

Pre splnenie všetkých podmienok musí platiť:

\(\frac{5}{x} \leq y \leq \frac{12 – 2x}{3}\)

Musí existovať \(y\), ktoré spĺňa:

\(\frac{5}{x} \leq \frac{12 – 2x}{3}\)

Vynásobíme \(3\):

\(\frac{15}{x} \leq 12 – 2x\)

Presunieme všetko na jednu stranu:

\(12 – 2x – \frac{15}{x} \geq 0\)

Vynásobíme \(x > 0\) (predpokladáme kladné rozmery):

\(12x – 2x^2 – 15 \geq 0\)

Upravíme:

\(-2x^2 + 12x – 15 \geq 0\)

Vynásobíme \(-1\) a zmeníme smer nerovnosti:

\(2x^2 – 12x + 15 \leq 0\)

Vypočítame diskriminant:

\(\Delta = (-12)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 15 = 144 – 120 = 24\)

Korene:

\(x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{12 \pm 4{,}899}{4}\)

\(x_1 = \frac{12 – 4{,}899}{4} = 1{,}775\)

\(x_2 = \frac{12 + 4{,}899}{4} = 4{,}225\)

Nerovnosť platí pre \(x \in [1{,}775, 4{,}225]\).

Zostáva skontrolovať podmienku \(y \geq 1\), teda

\(1 \leq \frac{12 – 2x}{3} \Rightarrow 3 \leq 12 – 2x \Rightarrow 2x \leq 9 \Rightarrow x \leq 4{,}5\)

Výsledok je interval:

\(x \in [1{,}775, 4{,}225]\).

Podmienka:

\(v(t) \geq 0\)

Dosadíme:

\(5 – 0{,}2t \geq 0\)

Odečítame \(5\):

\(-0{,}2t \geq -5\)

Vynásobíme \(-1\) a zmeníme smer nerovnosti:

\(0{,}2t \leq 5\)

Vydelíme \(0,2\):

\(t \leq 25\)

Keďže čas je nezáporný, výsledný interval je \(t \in [0, 25]\).

Máme nerovnice:

\(4x + 6y \leq 240\)

\(5x + 8y \geq 200\)

\(x \geq 0, \quad y \geq 0\)

Z nerovnice nákladů vyjádříme \(y\):

\(6y \leq 240 – 4x \Rightarrow y \leq 40 – \frac{2}{3}x\)

Z nerovnice zisku vyjádříme \(y\):

\(8y \geq 200 – 5x \Rightarrow y \geq \frac{200 – 5x}{8}\)

Aby existovalo řešení, musí platit

\(\frac{200 – 5x}{8} \leq 40 – \frac{2}{3}x\)

Vynásobíme obě strany \(24\):

\(3(200 – 5x) \leq 24 \cdot 40 – 24 \cdot \frac{2}{3}x \Rightarrow 600 – 15x \leq 960 – 16x\)

Přesuneme členy:

\(600 – 15x \leq 960 – 16x \Rightarrow 600 – 15x + 16x \leq 960 \Rightarrow 600 + x \leq 960 \Rightarrow x \leq 360\)

Protože \(x \geq 0\), máme interval \(0 \leq x \leq 360\).

Pro dané \(x\) platí:

\(\frac{200 – 5x}{8} \leq y \leq 40 – \frac{2}{3}x\)

Tedy množina řešení je všechny dvojice \((x, y)\) splňující výše uvedené podmínky.

Podmínky:

\(x + y \leq 30\)

\(y \geq x + 5\)

\(x \geq 0, \quad y \geq 0\)

Dosadíme podmínku z druhé nerovnice do první:

\(x + y \leq 30 \quad \Rightarrow \quad x + (x + 5) \leq 30 \Rightarrow 2x + 5 \leq 30 \Rightarrow 2x \leq 25 \Rightarrow x \leq 12{,}5\)

Protože \(x \geq 0\), platí \(0 \leq x \leq 12{,}5\).

Pro \(x\) v tomto intervalu musí platit \(y \geq x + 5\) a zároveň \(y \leq 30 – x\).

Aby existovalo řešení, musí platit

\(x + 5 \leq 30 – x \Rightarrow 2x \leq 25 \Rightarrow x \leq 12{,}5\)

Celkové řešení je tedy množina dvojic \((x, y)\), kde \(0 \leq x \leq 12{,}5\) a \(x + 5 \leq y \leq 30 – x\).

Podmínka:

\(|v – 15| < 10\)

To znamená

\(-10 < v - 15 < 10\)

Přičteme \(15\) ke všem částem:

\(5 < v < 25\)

Bezpečný interval rychlosti je tedy \(v \in (5, 25)\).

Ovšem zadání říká, že bezpečný vítr je od \(10\) do \(25\) km/h, proto výsledný interval je průnik intervalů

\((5, 25) \cap [10, 25] = [10, 25)\).

Podmínky:

\(p(x) \geq 70\)

\(x \geq 60\)

Dosadíme do ceny:

\(100 – 0{,}5x \geq 70 \Rightarrow -0{,}5x \geq -30 \Rightarrow x \leq 60\)

Máme současně \(x \geq 60\) a \(x \leq 60\), tedy

\(x = 60\)

Takže produkt bude za cenu alespoň \(70\) Kč pouze při výrobě přesně \(60\) kusů.

Označíme šířku \(x\), délku \(x + 3\).

Obvod je \(O = 2(x + (x + 3)) = 2(2x + 3) = 4x + 6\).

Podmínka pro obvod:

\(4x + 6 \leq 30 \Rightarrow 4x \leq 24 \Rightarrow x \leq 6\).

Šířka musí být nezáporná, tedy \(x \geq 0\).

Možné rozměry jsou tedy všechny \((x, x + 3)\), kde \(0 \leq x \leq 6\).

Podmínka:

\(T(h) \geq 5\)

Dosadíme:

\(20 – 0{,}0065h \geq 5\)

\(-0{,}0065h \geq -15\)

Vynásobíme \(-1\) a změníme směr nerovnosti:

\(0{,}0065h \leq 15\)

\(h \leq \frac{15}{0{,}0065} = 2307{,}69\)

Proto teplota neklesne pod \(5\) °C pro výšky \(h \in [0, 2307{,}69]\).

Podmínky:

\(x \cdot w \leq 100\)

\(2 \leq w \leq 5\)

\(x \geq 0\)

Pro danou váhu \(w\) platí:

\(x \leq \frac{100}{w}\)

Protože \(w\) je mezi \(2\) a \(5\), minimální maximální počet balíků je při \(w = 5\): \(x \leq 20\), a při \(w = 2\): \(x \leq 50\).

Množina řešení je tedy všechny dvojice \((x, w)\), kde \(x \geq 0\), \(2 \leq w \leq 5\) a \(x \leq \frac{100}{w}\).

Podmínka:

\(c(t) < 20\)

Dosadíme:

\(100 e^{-0{,}3 t} < 20\)

Vydělíme \(100\):

\(e^{-0{,}3 t} < 0{,}2\)

Logaritmujeme (přirozený logaritmus):

\(-0{,}3 t < \ln 0{,}2\)

\(t > \frac{-\ln 0{,}2}{0{,}3}\)

Vypočítáme hodnotu:

\(\ln 0{,}2 \approx -1{,}6094\)

\(t > \frac{1{,}6094}{0{,}3} \approx 5{,}3647\)

Takže koncentrace klesne pod \(20\) % po přibližně \(5{,}36\) hodinách.

Podmínky:

\(x \geq 50\)

\(y \geq 70\)

\(x + y \leq 200\)

Vyjádříme \(y\) z poslední nerovnice:

\(y \leq 200 – x\)

Protože \(y \geq 70\), musí platit

\(70 \leq y \leq 200 – x\)

Pro existenci řešení musí být

\(70 \leq 200 – x \Rightarrow x \leq 130\)

Celkově tedy \(50 \leq x \leq 130\) a \(70 \leq y \leq 200 – x\).

Podmínky:

\(x \geq 20\)

\(y \geq 10\)

\(x + y \leq 50\)

Vyjádříme \(y\):

\(y \leq 50 – x\)

Současně \(y \geq 10\), proto

\(10 \leq y \leq 50 – x\)

Pro existenci řešení musí platit

\(10 \leq 50 – x \Rightarrow x \leq 40\)

Celkově \(20 \leq x \leq 40\) a \(10 \leq y \leq 50 – x\).

Podmínky úlohy:

\(x \geq 20\)

\(y \geq 10\)

Celkový počet pneumatik:

\(4x + 6y \leq 150\)

Máme tedy soustavu nerovnic:

\(x \geq 20\)

\(y \geq 10\)

\(4x + 6y \leq 150\)

Vyjádříme \(y\) z třetí nerovnice:

\(6y \leq 150 – 4x \Rightarrow y \leq \frac{150 – 4x}{6} = 25 – \frac{2}{3}x\)

Množina řešení musí splňovat

\(y \geq 10\) a zároveň \(y \leq 25 – \frac{2}{3}x\)

Aby existovalo řešení, musí platit:

\(10 \leq 25 – \frac{2}{3}x \Rightarrow \frac{2}{3}x \leq 15 \Rightarrow x \leq \frac{15 \cdot 3}{2} = 22{,}5\)

Současně \(x \geq 20\), tedy

\(20 \leq x \leq 22{,}5\)

Množina řešení jsou všechny dvojice \((x,y)\), kde \(20 \leq x \leq 22{,}5\) a \(10 \leq y \leq 25 – \frac{2}{3}x\).

Označíme počet malých sklenic \(x\), počet velkých \(y\).

Podmínky:

\(2x + 3y \leq 120\) (časová omezení)

\(x \geq 15\)

\(x + y \geq 40\)

\(x \geq 0, \quad y \geq 0\)

Vyjádříme \(y\) z poslední nerovnice:

\(y \geq 40 – x\)

Z první nerovnice vyjádříme \(y\):

\(3y \leq 120 – 2x \Rightarrow y \leq 40 – \frac{2}{3}x\)

Množina řešení musí splňovat

\(40 – x \leq y \leq 40 – \frac{2}{3}x\)

Aby tato nerovnost měla smysl, musí platit

\(40 – x \leq 40 – \frac{2}{3}x \Rightarrow -x \leq – \frac{2}{3}x \Rightarrow -x + \frac{2}{3}x \leq 0 \Rightarrow -\frac{1}{3}x \leq 0 \Rightarrow x \geq 0\)

To je splněno, navíc máme \(x \geq 15\).

Současně \(y \geq 0\) a protože \(y \geq 40 – x\), je nutné

\(40 – x \geq 0 \Rightarrow x \leq 40\)

Celkový interval pro \(x\) je tedy \(15 \leq x \leq 40\).

Pro dané \(x\) platí

\(40 – x \leq y \leq 40 – \frac{2}{3}x\)

Proto množina řešení je všechny dvojice \((x, y)\) s \(x \in [15, 40]\) a \(y\) splňující tuto nerovnici.

Označíme počet zákusků A jako \(x\), počet zákusků B jako \(y\).

Podmínky:

\(0{,}15x + 0{,}2y \leq 24\)

\(x \geq 50\)

\(y \geq 40\)

Převedeme první nerovnici na gramy:

\(150x + 200y \leq 24000\)

Vyjádříme \(y\):

\(200y \leq 24000 – 150x \Rightarrow y \leq 120 – \frac{3}{4}x\)

Množina řešení musí splnit

\(y \geq 40\) a zároveň \(y \leq 120 – \frac{3}{4}x\)

Aby existovalo řešení, musí platit:

\(40 \leq 120 – \frac{3}{4}x \Rightarrow \frac{3}{4}x \leq 80 \Rightarrow x \leq \frac{80 \cdot 4}{3} = 106{,}67\)

Souběžně \(x \geq 50\), tedy \(50 \leq x \leq 106{,}67\).

Množina řešení je všechny \((x,y)\) splňující tyto nerovnice.

Podmínky:

\(x + y \leq 500\)

\(x \geq 150\)

\(y \geq 100\)

\(y \geq 0{,}8x\)

Současně \(x \geq 0\), \(y \geq 0\).

Z nerovnic:

\(y \geq \max(100, 0{,}8x)\)

Vyjádříme z první nerovnice \(y\):

\(y \leq 500 – x\)

Aby existovalo řešení, musí platit:

\(\max(100, 0{,}8x) \leq 500 – x\)

Nejprve porovnáme:

1) Pokud \(100 \geq 0{,}8x\), pak \(100 \leq 500 – x \Rightarrow x \leq 400\)

2) Pokud \(0{,}8x > 100\), tj. \(x > 125\), pak \(0{,}8x \leq 500 – x \Rightarrow 1{,}8x \leq 500 \Rightarrow x \leq \frac{500}{1{,}8} \approx 277{,}78\)

Spojení podmínek na \(x\):

\(150 \leq x \leq 277{,}78\)

A pro \(y\):

\(y \geq 0{,}8x\) a \(y \geq 100\), tedy \(y \geq \max(100, 0{,}8x)\)

Současně \(y \leq 500 – x\).

Množina řešení jsou všechny \((x,y)\) splňující tyto nerovnice.

Podmínky:

\(30x + 45y \leq 1500\)

\(x \geq 20\)

\(y \geq 20\)

Vyjádříme \(y\):

\(45y \leq 1500 – 30x \Rightarrow y \leq \frac{1500 – 30x}{45} = \frac{1500}{45} – \frac{30}{45}x = 33{,}33 – \frac{2}{3}x\)

Současně \(y \geq 20\)

Podmínka existence řešení:

\(20 \leq 33{,}33 – \frac{2}{3}x \Rightarrow \frac{2}{3}x \leq 13{,}33 \Rightarrow x \leq \frac{13{,}33 \cdot 3}{2} = 20\)

Tedy \(x \leq 20\) a zároveň \(x \geq 20\), proto \(x = 20\).

Pro \(x=20\):

\(y \leq 33{,}33 – \frac{2}{3} \cdot 20 = 33{,}33 – 13{,}33 = 20\)

Současně \(y \geq 20\), tedy \(y = 20\).

Množina řešení je jediný bod \((20, 20)\).

Označíme počet techniků \(x\) a administrativních zaměstnanců \(y\).

Každý technik odpracuje týdně \(5 \cdot 5 = 25\) hodin, každý administrativní \(3 \cdot 5 = 15\) hodin.

Podmínky:

\(25x \geq 50 \Rightarrow x \geq 2\)

\(15y \geq 30 \Rightarrow y \geq 2\)

Celkově musí být \(x \geq 2\), \(y \geq 2\).

Není dána horní hranice, takže množina řešení je

\(\{(x,y) \in \mathbb{N}^2 \mid x \geq 2, y \geq 2\}\).

Označíme počet hodin na předmět A jako \(x\), na předmět B jako \(y\).

Podmínky:

\(x \geq 12\)

\(y \geq 8\)

\(x + y \leq 25\)

Vyjádříme \(y\) z poslední nerovnice:

\(y \leq 25 – x\)

Současně \(y \geq 8\)

Pro existenci řešení musí platit

\(8 \leq 25 – x \Rightarrow x \leq 17\)

Současně \(12 \leq x \leq 17\)

Množina řešení je všechny dvojice \((x,y)\), kde \(12 \leq x \leq 17\) a \(8 \leq y \leq 25 – x\).

Označíme počet vyrobených kusů firmou A jako \(x\), firmou B jako \(y\).

Podmínky:

\(x \leq 400\)

\(y \leq 300\)

\(x + y \leq 600\)

\(x \geq 0\), \(y \geq 0\)

Nerovnice představují omezení kapacit.

Množina řešení je všechny dvojice \((x,y)\), kde \(0 \leq x \leq 400\), \(0 \leq y \leq 300\) a \(x + y \leq 600\).

Označíme prodané kusy výrobku A jako \(x\), výrobku B jako \(y\).

Podmínky:

\(x \geq 30\)

\(y \geq 20\)

\(50x + 70y \leq 3500\)

Vyjádříme \(y\):

\(70y \leq 3500 – 50x \Rightarrow y \leq 50 – \frac{5}{7}x\)

Současně \(y \geq 20\)

Podmínka existence řešení:

\(20 \leq 50 – \frac{5}{7}x \Rightarrow \frac{5}{7}x \leq 30 \Rightarrow x \leq \frac{30 \cdot 7}{5} = 42\)

Současně \(x \geq 30\), tedy \(30 \leq x \leq 42\)

Množina řešení je všechny \((x,y)\) splňující nerovnice.

Označíme počet modelů A jako \(x\), počet modelů B jako \(y\).

Podmínky:

\(10x + 15y \leq 300\)

\(x \geq 10\)

\(y \geq 5\)

Vyjádříme \(y\):

\(15y \leq 300 – 10x \Rightarrow y \leq 20 – \frac{2}{3}x\)

Současně \(y \geq 5\)

Podmínka existence řešení:

\(5 \leq 20 – \frac{2}{3}x \Rightarrow \frac{2}{3}x \leq 15 \Rightarrow x \leq \frac{15 \cdot 3}{2} = 22{,}5\)

Současně \(x \geq 10\), tedy \(10 \leq x \leq 22{,}5\)

Množina řešení je všechny \((x,y)\), kde \(x\) je mezi \(10\) a \(22{,}5\) a \(y\) mezi \(5\) a \(20 – \frac{2}{3}x\).

Označíme plochu plodiny A jako \(x\) (v hektarech) a plochu plodiny B jako \(y\).

Podmínka práce:

\(3x + 4y \leq 100\)

Předpokládáme, že \(x \geq 0\), \(y \geq 0\).

Vyjádříme \(y\):

\(4y \leq 100 – 3x \Rightarrow y \leq \frac{100 – 3x}{4}\)

Podmínka existence řešení je \(y \geq 0\), tedy:

\(\frac{100 – 3x}{4} \geq 0 \Rightarrow 100 – 3x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{100}{3} \approx 33{,}33\)

Současně \(x \geq 0\).

Množina řešení je:

\(0 \leq x \leq 33{,}33\)

\(0 \leq y \leq \frac{100 – 3x}{4}\)

Označíme částku přidělenou na projekt A jako \(x\), na projekt B jako \(y\).

Podmínky:

\(x + y \leq 50000\)

\(x \geq 20000\)

\(y \geq 15000\)

Vyjádříme \(y\):

\(y \leq 50000 – x\)

Podmínka existence řešení:

\(15000 \leq 50000 – x \Rightarrow x \leq 35000\)

Současně \(20000 \leq x \leq 35000\)

Množina řešení:

\(x \in [20000, 35000]\)

\(y \in [15000, 50000 – x]\)

Označíme počet spotřebičů A jako \(x\), počet spotřebičů B jako \(y\).

Podmínky:

\(1200x + 1500y \leq 18000\)

\(x \geq 5\)

\(y \geq 3\)

Vyjádříme \(y\):

\(1500y \leq 18000 – 1200x \Rightarrow y \leq 12 – 0{,}8x\)

Současně \(y \geq 3\)

Podmínka existence řešení:

\(3 \leq 12 – 0{,}8x \Rightarrow 0{,}8x \leq 9 \Rightarrow x \leq \frac{9}{0{,}8} = 11{,}25\)

Současně \(x \geq 5\), tedy \(5 \leq x \leq 11{,}25\)

Množina řešení je všechny \((x,y)\), kde \(x\) je mezi \(5\) a \(11{,}25\) a \(y\) mezi \(3\) a \(12 – 0{,}8x\).

Označíme čas věnovaný kurzu A jako \(x\) (v hodinách), kurzu B jako \(y\).

Podmínky:

\(x + y \leq 40\)

\(x \geq 4\)

\(y \geq 6\)

Vyjádříme \(y\):

\(y \leq 40 – x\)

Podmínka existence řešení:

\(6 \leq 40 – x \Rightarrow x \leq 34\)

Současně \(x \geq 4\), tedy \(4 \leq x \leq 34\)

Množina řešení je všechny \((x,y)\), kde \(x\) je mezi \(4\) a \(34\) a \(y\) mezi \(6\) a \(40 – x\).

Označíme počet krabic A jako \(x\), počet krabic B jako \(y\).

Podmínky:

\(2x + 3y \leq 150\)

\(x \geq 20\)

\(y \geq 15\)

Vyjádříme \(y\):

\(3y \leq 150 – 2x \Rightarrow y \leq 50 – \frac{2}{3}x\)

Současně \(y \geq 15\)

Podmínka existence řešení:

\(15 \leq 50 – \frac{2}{3}x \Rightarrow \frac{2}{3}x \leq 35 \Rightarrow x \leq \frac{35 \cdot 3}{2} = 52{,}5\)

Současně \(x \geq 20\), tedy \(20 \leq x \leq 52{,}5\)

Množina řešení je všechny \((x,y)\), kde \(x\) je mezi \(20\) a \(52{,}5\) a \(y\) mezi \(15\) a \(50 – \frac{2}{3}x\).

Označíme počet menu A jako \(x\), počet menu B jako \(y\).

Podmínky:

\(5x + 7y \leq 200\)

\(x \geq 20\)

\(y \geq 15\)

Vyjádříme \(y\):

\(7y \leq 200 – 5x \Rightarrow y \leq \frac{200 – 5x}{7}\)

Současně \(y \geq 15\)

Podmínka existence řešení:

\(15 \leq \frac{200 – 5x}{7} \Rightarrow 105 \leq 200 – 5x \Rightarrow 5x \leq 95 \Rightarrow x \leq 19\)

Současně \(x \geq 20\)

Nemáme žádné \(x\), které splňuje obě podmínky, tedy řešení neexistuje.

Tato nerovnice tedy nemá řešení při daných podmínkách.

Označíme počet zařízení typu A jako \(x\), typ B jako \(y\).

Podmínky:

\(8x + 12y \leq 960\)

\(x \geq 50\)

\(y \geq 40\)

Vyjádříme \(y\):

\(12y \leq 960 – 8x \Rightarrow y \leq 80 – \frac{2}{3}x\)

Současně \(y \geq 40\)

Podmínka existence řešení:

\(40 \leq 80 – \frac{2}{3}x \Rightarrow \frac{2}{3}x \leq 40 \Rightarrow x \leq \frac{40 \cdot 3}{2} = 60\)

Současně \(x \geq 50\), tedy \(50 \leq x \leq 60\)

Množina řešení je všechny \((x,y)\), kde \(x\) je mezi \(50\) a \(60\) a \(y\) mezi \(40\) a \(80 – \frac{2}{3}x\).

Označíme počet variant A jako \(x\), počet variant B jako \(y\).

Podmínky:

\(7x + 9y \leq 630\)

\(x \geq 40\)

\(y \geq 30\)

Vyjádříme \(y\):

\(9y \leq 630 – 7x \Rightarrow y \leq 70 – \frac{7}{9}x\)

Současně \(y \geq 30\)

Podmínka existence řešení:

\(30 \leq 70 – \frac{7}{9}x \Rightarrow \frac{7}{9}x \leq 40 \Rightarrow x \leq \frac{40 \cdot 9}{7} \approx 51{,}43\)

Současně \(x \geq 40\), tedy \(40 \leq x \leq 51{,}43\)

Množina řešení je všechny \((x,y)\), kde \(x\) je mezi \(40\) a \(51{,}43\) a \(y\) mezi \(30\) a \(70 – \frac{7}{9}x\).

Označíme počet stromů A jako \(x\), počet stromů B jako \(y\).

Podmínky:

\(5x + 8y \leq 240\)

\(x \geq 20\)

\(y \geq 15\)

Vyjádříme \(y\):

\(8y \leq 240 – 5x \Rightarrow y \leq 30 – \frac{5}{8}x\)

Současně \(y \geq 15\)

Podmínka existence řešení:

\(15 \leq 30 – \frac{5}{8}x \Rightarrow \frac{5}{8}x \leq 15 \Rightarrow x \leq \frac{15 \cdot 8}{5} = 24\)

Současně \(x \geq 20\), tedy \(20 \leq x \leq 24\)

Množina řešení je všechny \((x,y)\), kde \(x\) je mezi \(20\) a \(24\) a \(y\) mezi \(15\) a \(30 – \frac{5}{8}x\).

Označíme počet kusů zboží A jako \(x\), počet kusů zboží B jako \(y\).

Podmínky:

\(10x + 15y \leq 300\)

\(x \geq 10\)

\(y \geq 8\)

Vyjádříme \(y\):

\(15y \leq 300 – 10x \Rightarrow y \leq 20 – \frac{2}{3}x\)

Současně \(y \geq 8\)

Podmínka existence řešení:

\(8 \leq 20 – \frac{2}{3}x \Rightarrow \frac{2}{3}x \leq 12 \Rightarrow x \leq \frac{12 \cdot 3}{2} = 18\)

Současně \(x \geq 10\), tedy \(10 \leq x \leq 18\)

Množina řešení je všechny \((x,y)\), kde \(x\) je mezi \(10\) a \(18\) a \(y\) mezi \(8\) a \(20 – \frac{2}{3}x\).