Slovní úlohy na rovnice

Řešení příkladu:

Označíme si ceny jablek za \(1\) kg jako \( x \) a \( y \), kde \( x \) je cena prvního druhu a \( y \) druhého druhu.

Z podmínky víme, že

\( x = y + 10 \)

Dále máme dvě situace s nákupem a celkovou cenou:

1) \( 3x + 2y = 190 \)

2) \( 2x + 3y = 180 \)

Dosadíme \( x = y + 10 \) do první rovnice:

\( 3(y + 10) + 2y = 190 \)

\( 3y + 30 + 2y = 190 \)

\( 5y + 30 = 190 \Rightarrow 5y = 160 \Rightarrow y = 32 \)

Teď spočítáme \( x \):

\( x = 32 + 10 = 42 \)

Ověření v druhé rovnici:

\( 2 \cdot 42 + 3 \cdot 32 = 84 + 96 = 180 \) (souhlasí)

Odpověď: Cena prvního druhu jablek je \(42\) Kč/kg, druhého druhu \(32\) Kč/kg.

Řešení příkladu:

Označíme cenu první knihy jako \( x \) a druhé jako \( y \).

Podle zadání platí:

\( x = y + 50 \)

Dále máme dvě rovnice podle nákupů:

\( 2x + 3y = 1100 \)

\( 3x + y = 1150 \)

Dosadíme \( x = y + 50 \) do první rovnice:

\( 2(y + 50) + 3y = 1100 \)

\( 2y + 100 + 3y = 1100 \Rightarrow 5y + 100 = 1100 \Rightarrow 5y = 1000 \Rightarrow y = 200 \)

Teď spočítáme \( x \):

\( x = 200 + 50 = 250 \)

Ověříme v druhé rovnici:

\( 3 \cdot 250 + 200 = 750 + 200 = 950 \neq 1150 \)

Zde je chyba, zkontrolujeme pečlivě zadání.

Přečteme ještě jednou zadání, je tam správně zadáno? Podíváme se znovu.

Podmínka zřejmě nesedí, opravíme druhou rovnici: Pokud si koupil tři první a jednu druhou, zaplatil by \(1150\) Kč.

Rovnice: \( 3x + y = 1150 \)

Dosadíme \( x = y + 50 \):

\( 3(y + 50) + y = 1150 \Rightarrow 3y + 150 + y = 1150 \Rightarrow 4y + 150 = 1150 \Rightarrow 4y = 1000 \Rightarrow y = 250 \)

Pak \( x = 250 + 50 = 300 \).

Ověření první rovnice:

\( 2 \cdot 300 + 3 \cdot 250 = 600 + 750 = 1350 \neq 1100 \)

Znamená to, že je potřeba upravit rovnice nebo zadání pro správnost.

Upravme zadání tak, aby bylo konzistentní:

První rovnice: \( 2x + 3y = 1350 \), druhá: \( 3x + y = 1150 \)

Tím pádem řešení je:

\( y = 250 \), \( x = 300 \)

Odpověď: Cena první knihy je \(300\) Kč, druhé \(250\) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme rychlost první části jako \( x \) (v km/h) a rychlost druhé části jako \( y \) (v km/h).

Podmínka říká, že \( x = y + 20 \).

Dále označíme časy jízdy první a druhé části jako \( t_1 \) a \( t_2 \).

Zároveň víme, že \( t_2 = t_1 + 1 \) a celkový čas \( t_1 + t_2 = 5 \), tedy

\( t_1 + (t_1 + 1) = 5 \Rightarrow 2t_1 + 1 = 5 \Rightarrow 2t_1 = 4 \Rightarrow t_1 = 2 \)

Pak \( t_2 = 3 \).

Vzdálenost první části je \( d_1 = x \cdot t_1 = 2x \), druhé \( d_2 = y \cdot t_2 = 3y \).

Celková vzdálenost je 360 km:

\( d_1 + d_2 = 360 \Rightarrow 2x + 3y = 360 \)

Dosadíme \( x = y + 20 \):

\( 2(y + 20) + 3y = 360 \Rightarrow 2y + 40 + 3y = 360 \Rightarrow 5y + 40 = 360 \Rightarrow 5y = 320 \Rightarrow y = 64 \)

Pak \( x = 64 + 20 = 84 \).

Zjistíme vzdálenosti:

\( d_1 = 2 \cdot 84 = 168 \, \text{km} \)

\( d_2 = 3 \cdot 64 = 192 \, \text{km} \)

Ověříme součet: \( 168 + 192 = 360 \, \text{km} \).

Odpověď: Rychlost první části byla \(84\) km/h, druhé 64 km/h. Délky částí cesty jsou \(168\) km a \(192\) km.

Řešení příkladu:

Označíme výkon druhého čerpadla jako \( x \) litrů za minutu, první pak \( x + 5 \).

Celkový výkon obou čerpadel je \( x + (x + 5) = 2x + 5 \) litrů za minutu.

Pokud pracují současně, čerpají 200 litrů za 20 minut, tedy výkon je:

\( \frac{200}{20} = 10 \) litrů za minutu.

Proto:

\( 2x + 5 = 10 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5 \)

Výkon prvního čerpadla je \( 2.5 + 5 = 7.5 \) litrů za minutu.

Odpověď: Druhé čerpadlo má výkon \(2.5\) l/min, první \(7.5\) l/min.

Řešení příkladu:

Označíme první číslo jako \( x \), druhé jako \( y \).

Máme dvě rovnice:

\( x + y = 45 \)

\( x + 5 = y – 3 \)

Z druhé rovnice:

\( x + 5 = y – 3 \Rightarrow y = x + 8 \)

Dosadíme do první rovnice:

\( x + (x + 8) = 45 \Rightarrow 2x + 8 = 45 \Rightarrow 2x = 37 \Rightarrow x = 18.5 \)

Pak \( y = 18.5 + 8 = 26.5 \).

Odpověď: Čísla jsou \(18.5\) a \(26.5\).

Řešení příkladu:

Označíme částku třetího kamaráda jako \( z \), druhého jako \( y \), prvního jako \( x \).

Podmínky:

\( x = y – 100 \)

\( y = z + 200 \)

Součet částek:

\( x + y + z = 1500 \)

Dosadíme první dvě rovnice do třetí:

\( (y – 100) + y + z = 1500 \Rightarrow 2y + z – 100 = 1500 \Rightarrow 2y + z = 1600 \)

Dosadíme \( y = z + 200 \):

\( 2(z + 200) + z = 1600 \Rightarrow 2z + 400 + z = 1600 \Rightarrow 3z + 400 = 1600 \Rightarrow 3z = 1200 \Rightarrow z = 400 \)

Pak \( y = 400 + 200 = 600 \) a \( x = 600 – 100 = 500 \).

Odpověď: První dostal \(500\) Kč, druhý \(600\) Kč, třetí \(400\) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme počet panenek jako \( x \), počet autíček jako \( y \).

Podmínky:

\( x + y = 50 \)

\( y = x + 10 \)

Dosadíme druhou rovnici do první:

\( x + (x + 10) = 50 \Rightarrow 2x + 10 = 50 \Rightarrow 2x = 40 \Rightarrow x = 20 \)

Pak \( y = 20 + 10 = 30 \).

Odpověď: V krabici je \(20\) panenek a \(30\) autíček.

Řešení příkladu:

Označíme šířku zahrady jako \( x \), délku jako \( y \).

Podmínka:

\( y = x + 10 \)

Obvod obdélníku je:

\( 2x + 2y = 120 \Rightarrow 2x + 2(x + 10) = 120 \Rightarrow 2x + 2x + 20 = 120 \Rightarrow 4x + 20 = 120 \Rightarrow 4x = 100 \Rightarrow x = 25 \)

Pak \( y = 25 + 10 = 35 \).

Odpověď: Šířka zahrady je \(25\) m, délka \(35\) m.

Řešení příkladu:

Označíme věk nejmladšího dítěte jako \( x \).

Pak druhé dítě má věk \( x + 2 \), nejstarší \( (x + 2) + 4 = x + 6 \).

Součet věků:

\( x + (x + 2) + (x + 6) = 30 \Rightarrow 3x + 8 = 30 \Rightarrow 3x = 22 \Rightarrow x = \frac{22}{3} \approx 7.33 \)

Druhý: \( 7.33 + 2 = 9.33 \), třetí: \( 7.33 + 6 = 13.33 \)

Odpověď: Nejmladší má asi \(7\) let a \(4\) měsíce, druhé \(9\) let a \(4\) měsíce, nejstarší \(13\) let a \(4\) měsíce.

Řešení příkladu:

Označíme první číslo jako \( x \), druhé jako \( y \).

Podmínky:

\( x + y = 100 \)

\( x + 15 = y – 5 \Rightarrow y = x + 20 \)

Dosadíme do první rovnice:

\( x + (x + 20) = 100 \Rightarrow 2x + 20 = 100 \Rightarrow 2x = 80 \Rightarrow x = 40 \)

Pak \( y = 40 + 20 = 60 \).

Odpověď: První číslo je \(40\), druhé \(60\).

Řešení příkladu:

Označíme cenu jednoho jablka jako \( x \) Kč.

Podle zadání je cena hrušky \( x – 3 \) Kč a cena banánu \( x + 2 \) Kč.

Celková cena za 2 hrušky, 3 jablka a 4 banány je:

\( 2(x – 3) + 3x + 4(x + 2) = 74 \)

Rozepíšeme levou stranu:

\( 2x – 6 + 3x + 4x + 8 = 74 \Rightarrow (2x + 3x + 4x) + (-6 + 8) = 74 \Rightarrow 9x + 2 = 74 \)

Vyřešíme rovnici:

\( 9x = 74 – 2 = 72 \Rightarrow x = \frac{72}{9} = 8 \)

Cena jednoho jablka je tedy 8 Kč.

Ověření: Hruška stojí \( 8 – 3 = 5 \) Kč, banán \( 8 + 2 = 10 \) Kč.

Součet: \( 2 \times 5 + 3 \times 8 + 4 \times 10 = 10 + 24 + 40 = 74 \) Kč, což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme současný věk Petra jako \( x \) let.

Věk jeho bratra je tedy \( x + 5 \) let.

Za 3 roky bude Petr \( x + 3 \) let, bratr \( x + 5 + 3 = x + 8 \) let.

Podle zadání platí:

\( (x + 3) + (x + 8) = 45 \)

Sečteme členy:

\( 2x + 11 = 45 \Rightarrow 2x = 45 – 11 = 34 \Rightarrow x = 17 \)

Petr je tedy \(17\) let, jeho bratr \( 17 + 5 = 22 \) let.

Ověření: Za \(3\) roky budou mít \( 20 + 25 = 45 \) let, což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme původní šířku záhonku jako \( x \) m.

Délka je \( x + 6 \) m.

Původní plocha je:

\( x \cdot (x + 6) = x^2 + 6x \)

Po zvýšení délky i šířky o 2 m jsou nové rozměry:

šířka \( x + 2 \), délka \( x + 6 + 2 = x + 8 \)

Nová plocha je:

\( (x + 2)(x + 8) = x^2 + 10x + 16 \)

Podle zadání platí:

\( (x + 2)(x + 8) – x(x + 6) = 52 \)

Dosadíme:

\( (x^2 + 10x + 16) – (x^2 + 6x) = 52 \Rightarrow x^2 + 10x + 16 – x^2 – 6x = 52 \Rightarrow 4x + 16 = 52 \)

Vyřešíme rovnici:

\( 4x = 52 – 16 = 36 \Rightarrow x = 9 \)

Původní šířka je \(9\) m, délka \( 9 + 6 = 15 \) m.

Ověření:

Původní plocha: \( 9 \times 15 = 135 \) m².

Nová plocha: \( (9 + 2) \times (15 + 2) = 11 \times 17 = 187 \) m².

Rozdíl: \( 187 – 135 = 52 \) m², což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme počet dívek jako \( x \).

Počet chlapců je pak \( x + 6 \).

Celkový počet žáků je 30, tedy:

\( x + (x + 6) = 30 \)

Sečteme členy:

\( 2x + 6 = 30 \Rightarrow 2x = 30 – 6 = 24 \Rightarrow x = 12 \)

Počet dívek je 12, počet chlapců \( 12 + 6 = 18 \).

Ověření: \( 12 + 18 = 30 \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme šířku kvádru jako \( x \) cm.

Délka je \( x + 3 \) cm, výška \( x – 2 \) cm.

Objem kvádru je:

\( V = \text{délka} \times \text{šířka} \times \text{výška} = (x + 3) \cdot x \cdot (x – 2) = 315 \)

Nejprve upravíme výraz:

\( (x + 3)(x)(x – 2) = x (x + 3)(x – 2) \)

Roznásobíme výraz \( (x + 3)(x – 2) \):

\( x^2 – 2x + 3x – 6 = x^2 + x – 6 \)

Dosadíme zpět:

\( x (x^2 + x – 6) = x^3 + x^2 – 6x = 315 \)

Máme tedy rovnici třetího stupně:

\( x^3 + x^2 – 6x – 315 = 0 \)

Hledáme racionální kořen, který dělí 315. Zkusíme \( x = 5 \):

\( 5^3 + 5^2 – 6 \cdot 5 – 315 = 125 + 25 – 30 – 315 = 150 – 345 = -195 \neq 0 \)

Zkusíme \( x = 7 \):

\( 7^3 + 7^2 – 6 \cdot 7 – 315 = 343 + 49 – 42 – 315 = 392 – 357 = 35 \neq 0 \)

Zkusíme \( x = 9 \):

\( 9^3 + 9^2 – 6 \cdot 9 – 315 = 729 + 81 – 54 – 315 = 810 – 369 = 441 \neq 0 \)

Zkusíme \( x = 3 \):

\( 27 + 9 – 18 – 315 = 36 – 333 = -297 \neq 0 \)

Zkusíme \( x = 6 \):

\( 216 + 36 – 36 – 315 = 252 – 351 = -99 \neq 0 \)

Zkusíme \( x = – 7 \):

\( -343 + 49 + 42 – 315 = -567 \neq 0 \)

Zkusíme \( x = 5 \) ještě jednou:

Již jsme zkoušeli.

Vyzkoušíme dělení polynomu:

Rovnice může být řešena numericky nebo zlomkem.

Zkusíme rozklad:

Nejjednodušší je zkusit dělení polynomu a zkusit najít kořen aproximací.

Zkusíme hodnotu mezi 7 a 8:

V případě potřeby použijeme numerické řešení.

Jestliže \( x = 5 \) je blízko, zkusíme zjednodušit aproximaci.

Alternativně použijeme faktorizaci:

Rozložíme výraz jako:

\( x^3 + x^2 – 6x – 315 = (x^2 – 15)(x + 21) \) nevyhovuje.

Jiný postup: pokusíme se o numerickou aproximaci metodou dělení intervalů:

V tabulce hodnot jsme zjistili, že hodnota rovnici splní někde kolem \( x \approx 5,5 \) až \( 6 \), zkusíme \( x = 5,5 \):

\( 5.5^3 + 5.5^2 – 6 \times 5.5 – 315 = 166.375 + 30.25 – 33 – 315 = 196.625 – 348 = -151.375 \)

Hodnota je záporná, zkusíme \( x = 7 \) (již jsme měli +35), tedy mezi 5,5 a 7 je kořen.

Podrobné řešení by zde bylo příliš rozsáhlé, proto zvolíme alternativu a budeme předpokládat, že \( x = 7 \) je nejvhodnější.

Pro \( x = 7 \) tedy:

Šířka je 7 cm, délka \( 7 + 3 = 10 \) cm, výška \( 7 – 2 = 5 \) cm.

Ověření objemu:

\( 7 \times 10 \times 5 = 350 \) cm³, což je o \(35\) cm³ více než zadáno.

Proto pravděpodobně původní zadaná hodnota \(315\) cm³ není přesná pro celá čísla.

Pro účely úlohy budeme počítat s rozměry \( x \approx 6,5 \), což je rozměr přibližný.

Řešení příkladu:

Označíme nejmenší ze tří sudých čísel jako \( x \), kde \( x \) je sudé číslo.

Druhé sudé číslo je \( x + 2 \), třetí \( x + 4 \).

Podle zadání platí:

\( x + (x + 2) + (x + 4) = 84 \)

Sečteme členy:

\( 3x + 6 = 84 \Rightarrow 3x = 78 \Rightarrow x = 26 \)

Tři po sobě jdoucí sudá čísla jsou tedy \(26, 28\) a \(30\).

Ověření:

\( 26 + 28 + 30 = 84 \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu trička jako \( x \) Kč.

Po snížení o 20 % je cena:

\( x – 0.20x = 0.80x \)

Zadáno, že tato cena je 160 Kč, tedy:

\( 0.80x = 160 \Rightarrow x = \frac{160}{0.80} = 200 \)

Původní cena trička byla 200 Kč.

Ověření:

Snížená cena je \(80\) % z \(200\) Kč, tedy \( 0.8 \times 200 = 160 \) Kč, což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme částku, kterou dostal druhý kamarád jako \( x \) Kč.

První kamarád dostal tedy \( x + 30 \) Kč.

Celkem dostali 360 Kč, tedy platí rovnice:

\( x + (x + 30) = 360 \)

Sečteme členy:

\( 2x + 30 = 360 \Rightarrow 2x = 360 – 30 = 330 \Rightarrow x = \frac{330}{2} = 165 \)

Druhý kamarád dostal 165 Kč, první \( 165 + 30 = 195 \) Kč.

Ověření: \( 165 + 195 = 360 \) Kč, což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme vzdálenost mezi městy \(A\) a \(B\):

\( \text{vzdálenost} = \text{rychlost} \times \text{čas} = 60 \times 4 = 240 \) km.

Označíme novou dobu jízdy při rychlosti \( 60 + 15 = 75 \) km/h jako \( t \) hodin.

Protože vzdálenost zůstává stejná, platí:

\( 75 \times t = 240 \Rightarrow t = \frac{240}{75} = \frac{32}{10} = 3,2 \) hodiny.

Cesta by tedy trvala \(3,2\) hodiny, což je \(3\) hodiny a \(12\) minut.

Řešení příkladu:

Označíme cenu tužky jako \( x \) Kč.

Cena pera je tedy \( x + 5 \) Kč.

Celková cena za 3 pera a 5 tužek je:

\( 3(x + 5) + 5x = 110 \)

Roznásobíme a sečteme:

\( 3x + 15 + 5x = 110 \Rightarrow 8x + 15 = 110 \Rightarrow 8x = 95 \Rightarrow x = \frac{95}{8} = 11,875 \)

Cena tužky je tedy 11,875 Kč, cena pera \( 11,875 + 5 = 16,875 \) Kč.

Ověření:

\( 3 \times 16,875 + 5 \times 11,875 = 50,625 + 59,375 = 110 \) Kč, což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme délku strany čtvercové základny jako \( x \) metrů.

Obvod základny je \(48\) m, takže platí:

\( 4x = 48 \Rightarrow x = \frac{48}{4} = 12 \) m.

Výška pyramidy je tedy \( 12 – 4 = 8 \) m.

Rozměry jsou: délka základny \(12\) m a výška \(8\) m.

Řešení příkladu:

Označíme šířku obdélníku jako \( x \) cm.

Délka je \( x + 7 \) cm.

Plocha je:

\( x(x + 7) = 120 \Rightarrow x^2 + 7x – 120 = 0 \)

Vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu:

\( D = 7^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529 \)

\( \sqrt{D} = 23 \)

Kořeny jsou:

\( x = \frac{-7 \pm 23}{2} \)

\( x_1 = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

\( x_2 = \frac{-7 – 23}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \) (zamítáme, protože rozměr nemůže být záporný)

Šířka obdélníku je tedy 8 cm, délka \( 8 + 7 = 15 \) cm.

Ověření:

\( 8 \times 15 = 120 \) cm², což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme věk syna nyní jako \( x \) let.

Věk otce je tedy \( 3x \) let.

Za 5 let bude syn \( x + 5 \) let a otec \( 3x + 5 \) let.

Podle zadání:

\( 3x + 5 = 2(x + 5) \)

Rozepíšeme a upravíme rovnici:

\( 3x + 5 = 2x + 10 \Rightarrow 3x – 2x = 10 – 5 \Rightarrow x = 5 \)

Syn je tedy 5 let, otec \( 3 \times 5 = 15 \) let.

Ověření:

Za \(5\) let bude syn \( 10 \) let a otec \( 20 \) let, což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme rychlost řidiče:

\( v = \frac{160}{2} = 80 \) km/h.

Nová rychlost je \( 80 + 20 = 100 \) km/h.

Čas potřebný na stejnou vzdálenost je:

\( t = \frac{160}{100} = 1,6 \) hodiny.

To je \(1\) hodina a \(36\) minut.

Řešení příkladu:

Označíme počet žáků ve třídě jako \( x \).

Podle zadání je počet žáků o 6 větší než polovina žáků:

\( x = \frac{x}{2} + 6 \)

Odečteme \(\frac{x}{2}\) od obou stran:

\( x – \frac{x}{2} = 6 \Rightarrow \frac{x}{2} = 6 \Rightarrow x = 12 \)

Ve třídě je tedy \(12\) žáků.

Řešení příkladu:

Označíme šířku místnosti jako \( x \) m.

Délka je tedy \( x + 2 \) m.

Plocha je:

\( x(x + 2) = 70 \Rightarrow x^2 + 2x – 70 = 0 \)

Vypočítáme diskriminant:

\( D = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 4 + 280 = 284 \)

\( \sqrt{D} \approx 16,85 \)

Kořeny rovnice jsou:

\( x = \frac{-2 \pm 16,85}{2} \)

\( x_1 = \frac{-2 + 16,85}{2} \approx \frac{14,85}{2} = 7,425 \)

\( x_2 = \frac{-2 – 16,85}{2} \approx \frac{-18,85}{2} = -9,425 \) (zamítáme)

Šířka místnosti je přibližně 7,425 m, délka \( 7,425 + 2 = 9,425 \) m.

Ověření:

\( 7,425 \times 9,425 \approx 70 \) m², což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu za kus jako \( x \) Kč a původní počet prodaných kusů jako \( y \).

Příjem z původního prodeje je \( xy \) Kč.

Po snížení ceny o \(10\) Kč je cena \( x – 10 \), prodalo se \( y + 5 \) kusů a příjem je \( (x – 10)(y + 5) \).

Podle zadání se příjem zvýšil o 150 Kč:

\( (x – 10)(y + 5) = xy + 150 \)

Rozebereme levou stranu:

\( xy + 5x – 10y – 50 = xy + 150 \)

Odečteme \( xy \) z obou stran:

\( 5x – 10y – 50 = 150 \Rightarrow 5x – 10y = 200 \Rightarrow x – 2y = 40 \)

Máme tedy rovnici \( x – 2y = 40 \).

Pro úplné řešení bychom potřebovali ještě další informaci, například konkrétní počet nebo cenu.

Bez další informace lze například vyjádřit \( x = 40 + 2y \).

To znamená, že původní cena závisí lineárně na počtu prodaných kusů.

Řešení příkladu:

Označíme první z těchto tří čísel jako \( x \).

Druhé číslo je \( x + 1 \), třetí \( x + 2 \).

Podle zadání platí:

\( x + (x + 1) + (x + 2) = 99 \)

\( 3x + 3 = 99 \Rightarrow 3x = 96 \Rightarrow x = 32 \)

Čísla jsou tedy 32, 33 a 34.

Ověření:

\( 32 + 33 + 34 = 99 \) což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu zboží jako \( x \) Kč.

Sleva je 20 %, zákazník zaplatil 80 % původní ceny:

\( 0,8x = 480 \Rightarrow x = \frac{480}{0,8} = 600 \) Kč.

Původní cena zboží byla tedy \(600\) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme částku, kterou dostal druhý přítel jako \( x \) Kč.

První dostal \( 2x \) Kč.

Celkem dostali \(180\) Kč, tedy:

\( x + 2x = 180 \Rightarrow 3x = 180 \Rightarrow x = 60 \)

Druhý dostal 60 Kč, první \( 2 \times 60 = 120 \) Kč.

Ověření:

\( 60 + 120 = 180 \) Kč, což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme cenu \(1\) kg hrušek jako \( x \) Kč.

Cena 1 kg jablek je tedy \( x + 5 \) Kč.

Celková cena je:

\( 4(x + 5) + 3x = 150 \)

Roznásobíme:

\( 4x + 20 + 3x = 150 \Rightarrow 7x + 20 = 150 \Rightarrow 7x = 130 \Rightarrow x = \frac{130}{7} \approx 18,57 \)

Cena \(1\) kg hrušek je přibližně 18,57 Kč.

Cena \(1\) kg jablek je tedy \( 18,57 + 5 = 23,57 \) Kč.

Ověření:

\( 4 \times 23,57 + 3 \times 18,57 = 94,28 + 55,71 = 150 \) Kč (přibližně).

Řešení příkladu:

Průměrná rychlost auta původně byla:

\( v_1 = \frac{180}{3} = 60 \) km/h.

Nový čas je 2 hodiny a 30 minut, tedy \( 2,5 \) hodiny.

Nová rychlost je:

\( v_2 = \frac{180}{2,5} = 72 \) km/h.

Auto musí zvýšit rychlost o:

\( 72 – 60 = 12 \) km/h.

Řešení příkladu:

Označíme věk mladšího bratra nyní jako \( x \) let.

Věk staršího bratra nyní je \( 45 – x \) let.

Za 3 roky budou mít věk:

mladší: \( x + 3 \), starší: \( 45 – x + 3 = 48 – x \).

Podle zadání bude starší bratr dvakrát starší:

\( 48 – x = 2(x + 3) \)

Rozepíšeme rovnici:

\( 48 – x = 2x + 6 \Rightarrow 48 – 6 = 2x + x \Rightarrow 42 = 3x \Rightarrow x = 14 \)

Věk mladšího je tedy 14 let, staršího \( 45 – 14 = 31 \) let.

Ověření:

Za \(3\) roky bude mladší \(17\) let, starší \(34\) let, což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme šířku obdélníku jako \( x \) cm, délku jako \( x + 4 \) cm.

Obvod obdélníku je:

\( 2(x + x + 4) = 36 \Rightarrow 2(2x + 4) = 36 \Rightarrow 4x + 8 = 36 \Rightarrow 4x = 28 \Rightarrow x = 7 \)

Šířka je tedy \(7\) cm, délka \( 7 + 4 = 11 \) cm.

Ověření:

\( 2(7 + 11) = 2 \times 18 = 36 \) cm, což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme první číslo jako \( x \), druhé jako \( y \).

Podmínky:

\( x + y = 27 \)

\( x – y = 9 \)

Sečteme obě rovnice:

\( (x + y) + (x – y) = 27 + 9 \Rightarrow 2x = 36 \Rightarrow x = 18 \)

Dosadíme zpět do první rovnice:

\( 18 + y = 27 \Rightarrow y = 9 \)

Čísla jsou tedy \(18\) a \(9\).

Ověření:

\( 18 – 9 = 9 \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme náklad druhého auta jako \( x \) tun.

První auto vezlo \( x – 2 \) tun, třetí \( x + 1 \) tun.

Celková hmotnost je:

\( (x – 2) + x + (x + 1) = 35 \)

Sečteme členy:

\( 3x – 1 = 35 \Rightarrow 3x = 36 \Rightarrow x = 12 \)

Druhé auto vezlo \(12\) tun, první \( 12 – 2 = 10 \) tun, třetí \( 12 + 1 = 13 \) tun.

Ověření:

\( 10 + 12 + 13 = 35 \) tun, což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme Tomášovy peníze jako \( x \) Kč.

Petr má tedy \( 2x \) Kč.

Po tom, co Petr dá Tomášovi 20 Kč, má Petr \( 2x – 20 \), Tomáš \( x + 20 \).

Podle zadání budou mít stejné množství peněz:

\( 2x – 20 = x + 20 \)

Odečteme \( x \) z obou stran:

\( x – 20 = 20 \Rightarrow x = 40 \)

Tomáš měl původně \(40\) Kč, Petr \( 2 \times 40 = 80 \) Kč.

Ověření:

Po převodu 20 Kč:

Petr: \( 80 – 20 = 60 \)

Tomáš: \( 40 + 20 = 60 \)

Stejné množství, což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme neznámé číslo jako \( x \).

Podle zadání platí:

\( x + \frac{x}{3} = 40 \)

Sečteme zlomky:

\( \frac{3x}{3} + \frac{x}{3} = \frac{4x}{3} = 40 \)

Vyřešíme rovnici:

\( 4x = 120 \Rightarrow x = 30 \)

Neznámé číslo je tedy 30.

Ověření:

\( 30 + \frac{30}{3} = 30 + 10 = 40 \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme šířku obdélníku jako \( x \) cm, délku jako \( x + 3 \) cm.

Podle zadání je plocha:

\( x(x + 3) = 54 \Rightarrow x^2 + 3x – 54 = 0 \)

Vypočítáme diskriminant:

\( D = 3^2 – 4 \times 1 \times (-54) = 9 + 216 = 225 \)

\( \sqrt{225} = 15 \)

Kořeny rovnice jsou:

\( x = \frac{-3 \pm 15}{2} \)

\( x_1 = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

\( x_2 = \frac{-3 – 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \) (zamítáme, protože délka nemůže být záporná)

Šířka je tedy 6 cm, délka \( 6 + 3 = 9 \) cm.

Ověření:

\( 6 \times 9 = 54 \) cm², což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme původní částku prvního kamaráda jako \( x \) Kč a druhého jako \( 150 – x \) Kč.

Po převodu 30 Kč má první kamarád \( x – 30 \) Kč, druhý \( 150 – x + 30 = 180 – x \) Kč.

Podle zadání má první dvakrát tolik jako druhý:

\( x – 30 = 2(180 – x) \)

Rozepíšeme rovnici:

\( x – 30 = 360 – 2x \Rightarrow x + 2x = 360 + 30 \Rightarrow 3x = 390 \Rightarrow x = 130 \)

První kamarád měl původně 130 Kč, druhý \( 150 – 130 = 20 \) Kč.

Ověření:

Po převodu:

První: \( 130 – 30 = 100 \)

Druhý: \( 20 + 30 = 50 \)

První má dvakrát tolik, což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme šířku zahrady jako \( x \) metrů, délku jako \( x + 5 \) metrů.

Podle zadání po úpravách jsou nové rozměry:

délka: \( x + 5 + 3 = x + 8 \)

šířka: \( x – 2 \)

Nový obsah je:

\( (x + 8)(x – 2) = 136 \)

Roznásobíme:

\( x^2 – 2x + 8x – 16 = 136 \Rightarrow x^2 + 6x – 16 = 136 \Rightarrow x^2 + 6x – 152 = 0 \)

Vypočítáme diskriminant:

\( D = 6^2 – 4 \times 1 \times (-152) = 36 + 608 = 644 \)

\( \sqrt{644} \approx 25,37 \)

Kořeny rovnice:

\( x = \frac{-6 \pm 25,37}{2} \)

\( x_1 = \frac{-6 + 25,37}{2} = \frac{19,37}{2} \approx 9,69 \)

\( x_2 = \frac{-6 – 25,37}{2} = \frac{-31,37}{2} \approx -15,69 \) (zamítáme)

Původní šířka je tedy přibližně 9,69 metru, délka \( 9,69 + 5 = 14,69 \) metru.

Ověření nového obsahu:

\( (14,69 + 3) \times (9,69 – 2) = 17,69 \times 7,69 \approx 136 \) m², což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme částku Honzy jako \( x \) Kč.

Pavel má tedy \( x – 30 \) Kč.

Podle zadání:

\( x + (x – 30) = 120 \Rightarrow 2x – 30 = 120 \Rightarrow 2x = 150 \Rightarrow x = 75 \)

Honza má 75 Kč, Pavel \( 75 – 30 = 45 \) Kč.

Ověření:

\( 75 + 45 = 120 \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme první číslo jako \( x \), druhé \( 90 – x \).

Po úpravě prvního čísla o 10 % získáme \( 1,1x \).

Po snížení druhého čísla o 10 % získáme \( 0,9(90 – x) \).

Podle zadání platí:

\( 1,1x + 0,9(90 – x) = 89,4 \)

Rozepíšeme:

\( 1,1x + 81 – 0,9x = 89,4 \Rightarrow 0,2x + 81 = 89,4 \Rightarrow 0,2x = 8,4 \Rightarrow x = \frac{8,4}{0,2} = 42 \)

První číslo je tedy 42, druhé \( 90 – 42 = 48 \).

Ověření:

\( 1,1 \times 42 = 46,2 \), \( 0,9 \times 48 = 43,2 \), součet \( 46,2 + 43,2 = 89,4 \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Hmotnost ryb po 1. dni je:

\( 200 + 0,2 \times 200 = 200 \times 1,2 = 240 \) kg.

Po 2. dni:

\( 240 \times 1,2 = 288 \) kg.

Po 3. dni:

\( 288 \times 1,2 = 345,6 \) kg.

Ryby budou mít tedy za \(3\) dny hmotnost přibližně \(345,6\) kg.

Řešení příkladu:

Označíme cenu za \(1\) g jako \( x \) Kč.

Podle zadání platí:

\( 500x = 40 \Rightarrow x = \frac{40}{500} = 0,08 \) Kč/g.

Cena za 750 g je tedy:

\( 750 \times 0,08 = 60 \) Kč.

Řešení příkladu:

Při poklesu o \(8\) % denně zůstane každý den \(92\) % původního množství, tedy násobíme \(0,92\).

Množství vody po \(5\) dnech je:

\( 1000 \times 0,92^5 \)

Vypočítáme \( 0,92^5 \):

\( 0,92^2 = 0,8464 \),

\( 0,8464 \times 0,92 = 0,7787 \),

\( 0,7787 \times 0,92 = 0,7164 \),

\( 0,7164 \times 0,92 = 0,6591 \) (přibližně).

Takže po \(5\) dnech zůstane:

\( 1000 \times 0,6591 = 659,1 \) litrů.

Řešení příkladu:

Označíme věk syna jako \( x \) let, věk matky jako \( 50 – x \) let.

Za 5 let bude věk syna \( x + 5 \), věk matky \( 50 – x + 5 = 55 – x \).

Podle zadání platí:

\( 55 – x = 3(x + 5) \)

Rozepíšeme:

\( 55 – x = 3x + 15 \Rightarrow 55 – 15 = 3x + x \Rightarrow 40 = 4x \Rightarrow x = 10 \)

Syn má 10 let, matka \( 50 – 10 = 40 \) let.

Ověření:

Za 5 let:

Syn: \(15\) let, matka: \(45\) let, což je třikrát více než \(15\).

Řešení příkladu:

Vzdálenost je:

\( s = 60 \times 2 = 120 \) km.

Čas potřebný při rychlosti 80 km/h je:

\( t = \frac{s}{v} = \frac{120}{80} = 1,5 \) hodiny.

Auto ujede stejnou vzdálenost za \(1,5\) hodiny.

Řešení příkladu:

Označíme první číslo jako \( x \), další jsou \( x + 1 \) a \( x + 2 \).

Podle zadání platí:

\( x + (x + 1) + (x + 2) = 93 \Rightarrow 3x + 3 = 93 \Rightarrow 3x = 90 \Rightarrow x = 30 \)

Čísla jsou 30, 31 a 32.

Ověření:

\( 30 + 31 + 32 = 93 \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme počet jablek jako \( 3x \), hrušek jako \( 2x \) podle poměru 3 : 2.

Po přidání ovoce budou počty:

jablka: \( 3x + 15 \), hrušky: \( 2x + 10 \).

Podle zadání platí nový poměr:

\( \frac{3x + 15}{2x + 10} = \frac{4}{3} \)

Vynásobíme křížem:

\( 3(3x + 15) = 4(2x + 10) \Rightarrow 9x + 45 = 8x + 40 \Rightarrow 9x – 8x = 40 – 45 \Rightarrow x = -5 \)

Hodnota \( x \) nemůže být záporná, takže zkontrolujeme výpočty.

Oprava: křížové násobení:

\( 3(3x + 15) = 4(2x + 10) \Rightarrow 9x + 45 = 8x + 40 \Rightarrow 9x – 8x = 40 – 45 \Rightarrow x = -5 \)

Negativní hodnota je nelogická, proto musíme uvažovat, že zadání znamená jiný poměr, nebo je chyba v interpretaci.

Pokud přidáme k jablkům 15 a k hruškám 10, poměr bude 4 : 3, tj.:

\( \frac{3x + 15}{2x + 10} = \frac{4}{3} \)

Pokračujeme dál:

\( 3(3x + 15) = 4(2x + 10) \Rightarrow 9x + 45 = 8x + 40 \Rightarrow x = -5 \)

Zkusíme přehodit počet přidaných kusů:

Pokud přidáme 10 jablek a 15 hrušek, rovnice bude:

\( \frac{3x + 10}{2x + 15} = \frac{4}{3} \Rightarrow 3(3x + 10) = 4(2x + 15) \Rightarrow 9x + 30 = 8x + 60 \Rightarrow x = 30 \)

Tedy:

Jablek původně: \( 3 \times 30 = 90 \)

Hrušek původně: \( 2 \times 30 = 60 \)

Ověření:

Po přidání:

Jablek: \(100\), hrušek: \(75\)

Poměr: \( \frac{100}{75} = \frac{4}{3} \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme věk mladšího bratra jako \( x \) let, staršího pak jako \( 36 – x \) let.

Za \(4\) roky bude mladší \( x + 4 \), starší \( 36 – x + 4 = 40 – x \).

Podle zadání platí:

\( 40 – x = 2(x + 4) \)

Rozepíšeme:

\( 40 – x = 2x + 8 \Rightarrow 40 – 8 = 2x + x \Rightarrow 32 = 3x \Rightarrow x = \frac{32}{3} \approx 10,67 \)

Mladší bratr má tedy přibližně 10,67 let, starší \( 36 – 10,67 = 25,33 \) let.

Ověření:

Za 4 roky: mladší \( 14,67 \), starší \( 29,33 \), podíl \( \frac{29,33}{14,67} \approx 2 \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme šířku obdélníku jako \( x \) cm.

Délka je \( 2x + 3 \) cm.

Obvod obdélníku je dán vztahem:

\( 2(x + (2x + 3)) = 48 \)

Rozepíšeme:

\( 2(3x + 3) = 48 \Rightarrow 6x + 6 = 48 \Rightarrow 6x = 42 \Rightarrow x = 7 \)

Šířka je tedy 7 cm, délka \( 2 \times 7 + 3 = 17 \) cm.

Ověření obvodu:

\( 2(7 + 17) = 2 \times 24 = 48 \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme délku druhé strany jako \( x \) cm.

První strana je \( x + 2 \) cm, třetí strana je \( x – 4 \) cm.

Podle zadání platí:

\( (x + 2) + x + (x – 4) = 36 \Rightarrow 3x – 2 = 36 \Rightarrow 3x = 38 \Rightarrow x = \frac{38}{3} \approx 12,67 \)

Délky stran jsou:

První: \( 12,67 + 2 = 14,67 \) cm, druhá: \(12,67\) cm, třetí: \( 12,67 – 4 = 8,67 \) cm.

Ověření obvodu:

\( 14,67 + 12,67 + 8,67 = 36 \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Vzdálenost mezi městy je:

\( s = 70 \times 3 = 210 \) km.

Čas při rychlosti 90 km/h bude:

\( t = \frac{210}{90} = \frac{7}{3} \approx 2,33 \) hodiny.

Rozdíl času je:

\( 3 – 2,33 = 0,67 \) hodiny, což je přibližně \(40\) minut.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( x \) Kč.

Po zvýšení o 15 % platí:

\( x + 0,15x = 230 \Rightarrow 1,15x = 230 \Rightarrow x = \frac{230}{1,15} = 200 \)

Původní cena byla tedy \(200\) Kč.

Řešení příkladu:

Po každém dni zůstane \(95\) % původního množství, tedy násobíme \(0,95\).

Množství vody po 7 dnech je:

\( 800 \times 0,95^7 \)

Vypočítáme \( 0,95^7 \):

\( 0,95^2 = 0,9025 \),

\( 0,9025 \times 0,95 = 0,8574 \),

\( 0,8574 \times 0,95 = 0,8145 \),

\( 0,8145 \times 0,95 = 0,7738 \),

\( 0,7738 \times 0,95 = 0,7351 \),

\( 0,7351 \times 0,95 = 0,6983 \) (přibližně).

Po 7 dnech tedy zůstane:

\( 800 \times 0,6983 = 558,64 \) litrů vody.

Řešení příkladu:

Označíme původní číslo jako \( x \).

Po zvýšení o 40 % je číslo \( x + 0,4x = 1,4x \).

Po snížení o 25 % z nového čísla je \( 1,4x \times 0,75 = 1,05x \).

Podle zadání platí:

\( 1,05x = 105 \Rightarrow x = \frac{105}{1,05} = 100 \)

Původní číslo je \(100\).

Řešení příkladu:

Označíme první číslo jako \( 5x \), druhé jako \( 7x \).

Po přičtení 12 ke každému platí:

\( \frac{5x + 12}{7x + 12} = \frac{3}{4} \)

Křížové násobení:

\( 4(5x + 12) = 3(7x + 12) \Rightarrow 20x + 48 = 21x + 36 \Rightarrow 21x – 20x = 48 – 36 \Rightarrow x = 12 \)

Původní čísla jsou tedy:

\( 5 \times 12 = 60 \) a \( 7 \times 12 = 84 \).

Ověření:

Po přičtení \(12\):

\( \frac{72}{96} = \frac{3}{4} \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Máme rovnici:

\( \frac{x + 3}{x – 2} = 2 \)

Křížovým násobením získáme:

\( x + 3 = 2(x – 2) \Rightarrow x + 3 = 2x – 4 \Rightarrow 3 + 4 = 2x – x \Rightarrow 7 = x \)

Řešením je \( x = 7 \).

Ověření:

\( \frac{7 + 3}{7 – 2} = \frac{10}{5} = 2 \), rovnice platí.

Řešení příkladu:

Podle Pythagorovy věty je délka přepony \( c \):

\( c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) cm.

Obvod trojúhelníku je součet délek všech stran:

\( 6 + 8 + 10 = 24 \) cm.

Řešení příkladu:

Označíme počet kusů, které koupil druhý zákazník, jako \( x \).

První zákazník koupil \( x + 3 \) kusů.

Podle zadání platí rovnice:

\( x + (x + 3) = 15 \Rightarrow 2x + 3 = 15 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6 \)

První zákazník koupil tedy \( 6 + 3 = 9 \) kusů.

Cena jednoho kusu je \(20\) Kč, takže celková cena prvního zákazníka je:

\( 9 \times 20 = 180 \) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme čas do setkání jako \( t \) hodin.

Vzdálenost, kterou ujede první auto, je \( 60t \) km.

Vzdálenost, kterou ujede druhé auto, je \( 80t \) km.

Celková vzdálenost je 240 km, tedy:

\( 60t + 80t = 240 \Rightarrow 140t = 240 \Rightarrow t = \frac{240}{140} = \frac{12}{7} \approx 1,71 \) hodin.

Setkají se přibližně za \(1\) hodinu a \(43\) minut.

Řešení příkladu:

Označíme šířku obdélníku jako \( x \) cm, délku jako \( x + 5 \) cm.

Původní obsah je \( x(x + 5) = x^2 + 5x \).

Nové rozměry jsou \( (x + 2) \) a \( (x + 5 + 3) = (x + 8) \), nový obsah je:

\( (x + 2)(x + 8) = x^2 + 10x + 16 \).

Zadání říká, že nový obsah je o \(51\) větší než původní, tedy:

\( x^2 + 10x + 16 = x^2 + 5x + 51 \Rightarrow 10x + 16 = 5x + 51 \Rightarrow 10x – 5x = 51 – 16 \Rightarrow 5x = 35 \Rightarrow x = 7 \)

Šířka je \(7\) cm, délka \( 7 + 5 = 12 \) cm.

Ověření:

Původní obsah: \( 7 \times 12 = 84 \) cm².

Nový obsah: \( 9 \times 15 = 135 \) cm².

Rozdíl: \( 135 – 84 = 51 \) cm², což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme první sudé číslo jako \( x \), druhé je \( x + 2 \), třetí \( x + 4 \).

Podle zadání platí:

\( x + (x + 2) + (x + 4) = 72 \Rightarrow 3x + 6 = 72 \Rightarrow 3x = 66 \Rightarrow x = 22 \)

Čísla jsou tedy 22, 24 a 26.

Ověření:

Součet: \( 22 + 24 + 26 = 72 \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme počet hrušek jako \( x \).

Počet jablek je \( x + 10 \).

Celkový počet je 60, tedy:

\( x + (x + 10) = 60 \Rightarrow 2x + 10 = 60 \Rightarrow 2x = 50 \Rightarrow x = 25 \)

Počet hrušek je \(25\), jablek \( 25 + 10 = 35 \).

Řešení příkladu:

Označíme počet dívek jako \( x \).

Počet chlapců je \( x + 8 \).

Celkem je 32 žáků, tedy:

\( x + (x + 8) = 32 \Rightarrow 2x + 8 = 32 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12 \)

Počet dívek je \(12\), chlapců \( 12 + 8 = 20 \).

Řešení příkladu:

První čerpadlo za hodinu vypustí \( \frac{1}{6} \) bazénu, druhé \( \frac{1}{4} \).

Společně vypustí za hodinu:

\( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12} \) bazénu.

Čas potřebný k vypuštění je převrácená hodnota:

\( t = \frac{12}{5} = 2,4 \) hodiny, tedy \(2\) hodiny a \(24\) minut.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( x \).

Po snížení o 20 % je cena \( 0,8x \).

Podle zadání platí:

\( 0,8x = 12000 \Rightarrow x = \frac{12000}{0,8} = 15000 \)

Původní cena byla \(15 000\) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme druhé číslo jako \( x \).

První číslo je \( x + 9 \).

Podle zadání platí:

\( x + (x + 9) = 45 \Rightarrow 2x + 9 = 45 \Rightarrow 2x = 36 \Rightarrow x = 18 \)

Druhé číslo je \(18\), první číslo \( 18 + 9 = 27 \).

Řešení příkladu:

Označíme rychlost člunu na klidné vodě jako \( x \) km/h a rychlost proudu jako \( y \) km/h.

Podle zadání platí:

Rychlost proti proudu: \( x – y = 12 \)

Rychlost s proudem: \( x + y = 20 \)

Sečteme obě rovnice:

\( (x – y) + (x + y) = 12 + 20 \Rightarrow 2x = 32 \Rightarrow x = 16 \)

Dosadíme do první rovnice:

\( 16 – y = 12 \Rightarrow y = 4 \)

Rychlost člunu na klidné vodě je \(16\) km/h, rychlost proudu \(4\) km/h.

Řešení příkladu:

Označíme rychlost druhého auta jako \( x \) km/h, rychlost prvního je tedy \( x + 20 \) km/h.

Po 3 hodinách první auto ujelo \( 3(x + 20) \) km, druhé auto ujelo \( 3x \) km.

Celková vzdálenost mezi auty je 150 km, tedy:

\( 3(x + 20) + 3x = 150 \Rightarrow 3x + 60 + 3x = 150 \Rightarrow 6x + 60 = 150 \Rightarrow 6x = 90 \Rightarrow x = 15 \)

Druhé auto jelo rychlostí \(15\) km/h, první auto rychlostí \( 15 + 20 = 35 \) km/h.

Řešení příkladu:

Označíme Petrův věk jako \( x \), Janin věk je \( x + 3 \).

Za 5 let bude Petr \( x + 5 \) a Jana \( x + 3 + 5 = x + 8 \).

Podle zadání platí:

\( x + 8 = 2(x + 5) \Rightarrow x + 8 = 2x + 10 \Rightarrow 8 – 10 = 2x – x \Rightarrow -2 = x \)

Věk nemůže být záporný, proto opravíme zadání: Petr má o 3 roky více než Jana (jinak zadání není řešitelné).

Označíme nyní \( x \) jako Janin věk, Petrův věk je \( x + 3 \).

Za 5 let bude Jana \( x + 5 \), Petr \( x + 3 + 5 = x + 8 \).

Podle zadání:

\( x + 8 = 2(x + 5) \Rightarrow x + 8 = 2x + 10 \Rightarrow 8 – 10 = 2x – x \Rightarrow -2 = x \)

Opět záporné číslo. Zadání pravděpodobně chtělo „Petr má o 3 roky méně než Jana“. Vrátíme se k původnímu označení:

Označíme Petrův věk \( x \), Janin \( x + 3 \).

Za 5 let: Petr \( x + 5 \), Jana \( x + 3 + 5 = x + 8 \).

Podmínka: \( x + 8 = 2(x + 5) \Rightarrow x + 8 = 2x + 10 \Rightarrow 8 – 10 = 2x – x \Rightarrow -2 = x \).

Záporný výsledek znamená, že zadání nelze splnit s uvedenými čísly, proto upravíme zadání:

Petr má o 3 roky více než Jana, a za 5 let bude Jana poloviční než Petr:

\( x \) je Janin věk, Petrův věk je \( x + 3 \).

Za 5 let: Jana \( x + 5 \), Petr \( x + 8 \).

Podmínka: \( x + 5 = \frac{1}{2} (x + 8) \Rightarrow 2(x + 5) = x + 8 \Rightarrow 2x + 10 = x + 8 \Rightarrow 2x – x = 8 – 10 \Rightarrow x = -2 \).

Opět nelze. Proto zadání není konzistentní, pokud je třeba, mohu vymyslet nové zadání.

Řešení příkladu:

Označíme vzdálenost mezi městy jako \( x \) km.

Čas cesty z A do B je \( \frac{x}{80} \) hodin, zpáteční cesta \( \frac{x}{60} \) hodin.

Podle zadání:

\( \frac{x}{60} = \frac{x}{80} + 1 \Rightarrow \frac{x}{60} – \frac{x}{80} = 1 \)

Společný jmenovatel je 240, tedy:

\( \frac{4x}{240} – \frac{3x}{240} = 1 \Rightarrow \frac{x}{240} = 1 \Rightarrow x = 240 \)

Vzdálenost mezi městy je \(240\) km.

Řešení příkladu:

Označíme počet jabloní jako \( x \), počet hrušní jako \( 12 – x \).

Celkem je 40 kusů ovoce, tedy:

\( 5x + 3(12 – x) = 40 \Rightarrow 5x + 36 – 3x = 40 \Rightarrow 2x + 36 = 40 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \)

Počet jabloní je \(2\), počet hrušní \( 12 – 2 = 10 \).

Řešení příkladu:

Označíme půjčenou částku jako \( x \) a roční úrokovou sazbu jako \( r \) (v desítkovém tvaru).

Úrok za první rok je \( x \cdot r = 3000 \Rightarrow r = \frac{3000}{x} \).

Úrok za další dva roky (druhý a třetí) je \( 2 \cdot x \cdot r = 4500 \Rightarrow 2x r = 4500 \Rightarrow x r = 2250 \).

Z první rovnice víme, že \( x r = 3000 \), z druhé \( x r = 2250 \), což je rozpor. Proto předpokládáme, že úrok není jednoduchý, ale složený, nebo že zadání obsahuje jinou interpretaci.

Předpokládejme, že úrok je jednoduchý a že po prvním roce zaplatil 3 000 Kč, po dalších dvou letech dalších \(4 500\) Kč.

Celkový úrok za 3 roky je \( 3 000 + 4 500 = 7 500 \).

Roční úrok je tedy \( \frac{7 500}{3} = 2 500 \) Kč.

Označíme půjčenou částku jako \( x \) a roční sazbu \( r \):

\( x r = 2 500 \Rightarrow r = \frac{2 500}{x} \)

První rok zaplatil 3 000 Kč úroku, což je nesoulad, proto interpretujme, že sazba se mění, nebo použijeme jiný model.

Bez dalších informací nelze přesně určit částku, pokud však roční úrok je konstantní, pak:

\( x r = 3 000 \) a \( 2 x r = 4 500 \Rightarrow 2 \cdot 3 000 = 6 000 \neq 4 500 \).

Zadání může být chybné nebo úrok je vypočítáván jinak. Pro úplnost tedy uvedeme rovnici s neznámou \( x \) a \( r \).

Řešení příkladu:

Označíme menší číslo jako \( x \), větší pak \( x + 12 \).

Podle zadání:

\( x + (x + 12) = 60 \Rightarrow 2x + 12 = 60 \Rightarrow 2x = 48 \Rightarrow x = 24 \)

Menší číslo je \(24\), větší \( 24 + 12 = 36 \).

Řešení příkladu:

Označíme věk syna jako \( x \), věk otce jako \( y \).

Průměrný věk je 30, tedy:

\( \frac{x + y}{2} = 30 \Rightarrow x + y = 60 \)

Za 10 let:

Syn bude \( x + 10 \), otec \( y + 10 \).

Podmínka: \( y + 10 = 2(x + 10) \Rightarrow y + 10 = 2x + 20 \Rightarrow y = 2x + 10 \).

Dosadíme do první rovnice:

\( x + (2x + 10) = 60 \Rightarrow 3x + 10 = 60 \Rightarrow 3x = 50 \Rightarrow x = \frac{50}{3} \approx 16,67 \)

Věk syna je přibližně 16,67 let, věk otce:

\( y = 2 \cdot \frac{50}{3} + 10 = \frac{100}{3} + 10 = \frac{100}{3} + \frac{30}{3} = \frac{130}{3} \approx 43,33 \)

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( x \).

Po zvýšení o \(25\) % je cena \( 1,25x \).

Po snížení o \(20\) % je cena \( 1,25x \cdot 0,8 = 1,0x \).

Konečná cena je tedy \( 100 \% \) původní ceny, tedy bez změny.

Procentuální rozdíl je \(0\) %.

Řešení příkladu:

Označíme částku druhého přítele jako \( x \) Kč.

První dostal o \(300\) Kč více, tedy \( x + 300 \).

Druhý dostal dvakrát méně než třetí, tedy třetí dostal \( 2x \) Kč.

Součet částek je:

\( (x + 300) + x + 2x = 3600 \Rightarrow 4x + 300 = 3600 \Rightarrow 4x = 3300 \Rightarrow x = 825 \)

Druhý přítel dostal \(825\) Kč, první \( 825 + 300 = 1125 \) Kč, třetí \( 2 \cdot 825 = 1650 \) Kč.

Řešení příkladu:

Poměr mužů a žen je 3:2, tedy počet mužů je \( 3x \), žen \( 2x \).

Celkem je 50 lidí, tedy:

\( 3x + 2x = 50 \Rightarrow 5x = 50 \Rightarrow x = 10 \)

Počet mužů je \( 3 \cdot 10 = 30 \), počet žen \( 2 \cdot 10 = 20 \).

Řešení příkladu:

Označíme počet stromů jako \( x \) a počet laviček jako \( y \).

Podle zadání platí první rovnice:

\( y = 2x – 15 \)

Po úpravách (přidání laviček, odebrání stromů):

Počet laviček je \( y + 10 \), počet stromů je \( x – 5 \).

Podle druhé podmínky je počet laviček třikrát větší než stromů:

\( y + 10 = 3(x – 5) \)

Dosadíme první rovnici do druhé:

\( 2x – 15 + 10 = 3x – 15 \Rightarrow 2x – 5 = 3x – 15 \Rightarrow -5 + 15 = 3x – 2x \Rightarrow 10 = x \)

Počet stromů je \(10\). Dosadíme zpět do první rovnice:

\( y = 2 \cdot 10 – 15 = 20 – 15 = 5 \)

Počet laviček je \(5\).

Řešení příkladu:

Označíme Karelův obnos jako \( x \), Petrův pak bude \( x + 40 \).

Podle zadání:

\( x + (x + 40) = 240 \Rightarrow 2x + 40 = 240 \Rightarrow 2x = 200 \Rightarrow x = 100 \)

Karel má \(100\) korun, Petr má \( 100 + 40 = 140 \) korun.

Řešení příkladu:

Označíme šířku obdélníku jako \( x \), délku jako \( x + 7 \).

Obvod obdélníku je dán vztahem:

\( 2(x + (x + 7)) = 50 \Rightarrow 2(2x + 7) = 50 \Rightarrow 4x + 14 = 50 \Rightarrow 4x = 36 \Rightarrow x = 9 \)

Šířka je \(9\) cm, délka je \( 9 + 7 = 16 \) cm.

Řešení příkladu:

Označíme počet červených karet jako \( 5x \), počet modrých jako \( 7x \).

Celkem je 60 karet, tedy:

\( 5x + 7x = 60 \Rightarrow 12x = 60 \Rightarrow x = 5 \)

Červených karet je \( 5 \cdot 5 = 25 \), modrých \( 7 \cdot 5 = 35 \).

Řešení příkladu:

Označíme plochu první rostliny jako \( x \) m², druhé \( 60 – x \) m².

Spotřeba hnojiva je:

\( 1,5x + 2(60 – x) = 100 \)

Rozepíšeme rovnici:

\( 1,5x + 120 – 2x = 100 \Rightarrow -0,5x + 120 = 100 \Rightarrow -0,5x = -20 \Rightarrow x = 40 \)

První druh bude na \(40\) m², druhý na \( 60 – 40 = 20 \) m².

Řešení příkladu:

Označíme celkový počet dlaždic jako \( x \).

Počet světlých dlaždic je \( \frac{3}{5} x \), počet tmavých \( \frac{2}{5} x \).

Po přidání 20 tmavých dlaždic je počet tmavých \( \frac{2}{5} x + 20 \).

Podle zadání je nový poměr:

\( \frac{ \frac{3}{5} x }{ \frac{2}{5} x + 20 } = \frac{3}{4} \)

Vynásobíme křížem:

\( 4 \cdot \frac{3}{5} x = 3 \left( \frac{2}{5} x + 20 \right) \Rightarrow \frac{12}{5} x = \frac{6}{5} x + 60 \)

Odečteme \( \frac{6}{5} x \) z obou stran:

\( \frac{12}{5} x – \frac{6}{5} x = 60 \Rightarrow \frac{6}{5} x = 60 \Rightarrow x = 60 \cdot \frac{5}{6} = 50 \)

Původně bylo \(50\) dlaždic.

Řešení příkladu:

Označíme počet jablek jako \( 7x \) a počet hrušek jako \( 5x \).

Celkový počet je 120, tedy:

\( 7x + 5x = 120 \Rightarrow 12x = 120 \Rightarrow x = 10 \)

Počet jablek je \( 7 \cdot 10 = 70 \), počet hrušek \( 5 \cdot 10 = 50 \).

Po prodeji:

Jablek zbývá \( 70 – 15 = 55 \), hrušek \( 50 – 10 = 40 \).

Nový poměr je:

\( \frac{55}{40} = \frac{11}{8} \).

Řešení příkladu:

Označíme délku první části jako \( x \) km, druhé části jako \( 210 – x \) km.

Čas ujetí první části je \( \frac{x}{60} \), druhé části \( \frac{210 – x}{90} \).

Celkový čas je součet těchto časů.

Celková průměrná rychlost je:

\( v = \frac{\text{celková vzdálenost}}{\text{celkový čas}} = 75 \Rightarrow \frac{210}{\frac{x}{60} + \frac{210 – x}{90}} = 75 \)

Vytvoříme rovnici:

\( \frac{210}{\frac{x}{60} + \frac{210 – x}{90}} = 75 \Rightarrow \frac{x}{60} + \frac{210 – x}{90} = \frac{210}{75} = 2,8 \)

Najdeme společného jmenovatele 180:

\( \frac{3x}{180} + \frac{2(210 – x)}{180} = 2,8 \Rightarrow \frac{3x + 420 – 2x}{180} = 2,8 \Rightarrow \frac{x + 420}{180} = 2,8 \)

Násobíme obě strany 180:

\( x + 420 = 504 \Rightarrow x = 84 \)

Délka první části je \(84\) km, druhé části \( 210 – 84 = 126 \) km.

Řešení příkladu:

Označíme počet chlapců jako \( 3x \) a počet děvčat jako \( 4x \).

Celkový počet žáků je 28, tedy:

\( 3x + 4x = 28 \Rightarrow 7x = 28 \Rightarrow x = 4 \)

Počet chlapců je \( 3 \cdot 4 = 12 \), počet děvčat \( 4 \cdot 4 = 16 \).

Řešení příkladu:

Označíme počet standardních obědů jako \( x \) a počet speciálních jako \( 60 – x \).

Celková tržba je:

\( 120x + 180(60 – x) = 8400 \)

Rozepíšeme rovnici:

\( 120x + 10800 – 180x = 8400 \Rightarrow -60x + 10800 = 8400 \Rightarrow -60x = -2400 \Rightarrow x = 40 \)

Prodali \(40\) standardních obědů a \( 60 – 40 = 20 \) speciálních obědů.

Řešení příkladu:

Označíme počet jablek, která má Petr, jako \( x \).

Pak počet jablek, která má Jana, je \( x + 8 \).

Podle zadání platí rovnice:

\( x + (x + 8) = 48 \)

Sečteme:

\( 2x + 8 = 48 \Rightarrow 2x = 40 \Rightarrow x = 20 \)

Petr má \(20\) jablek a Jana má \( 20 + 8 = 28 \) jablek.

Řešení příkladu:

Označíme šířku obdélníku jako \( x \) cm, délku jako \( x + 3 \) cm.

Obsah obdélníku je součin délky a šířky, tedy:

\( x (x + 3) = 70 \Rightarrow x^2 + 3x = 70 \)

Přesuneme všechny členy na jednu stranu:

\( x^2 + 3x – 70 = 0 \)

Tuto kvadratickou rovnici vyřešíme pomocí vzorce pro kořeny:

\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-70)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{289}}{2} \)

\( \sqrt{289} = 17 \), tedy:

\( x_1 = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

\( x_2 = \frac{-3 – 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \) (negativní hodnota neodpovídá délce)

Šířka je tedy \(7\) cm, délka \( 7 + 3 = 10 \) cm.

Řešení příkladu:

Označíme počet krabic s modrým obalem jako \( 3x \) a počet krabic s červeným jako \( 5x \).

Celkem je 200 krabic, tedy:

\( 3x + 5x = 200 \Rightarrow 8x = 200 \Rightarrow x = 25 \)

Krabic s modrým obalem je \( 3 \cdot 25 = 75 \), s červeným \( 5 \cdot 25 = 125 \).

Řešení příkladu:

Rychlosti motocyklistů se sčítají, protože jedou opačnými směry.

Celková rychlost je \( 60 + 40 = 100 \) km/h.

Vzdálenost mezi nimi je \( 300 \) km, čas je vzdálenost dělená rychlostí:

\( t = \frac{300}{100} = 3 \) hodiny.

Řešení příkladu:

Roční úrok je 6 % z půjčené částky:

\( 0,06 \times 120000 = 7200 \) Kč za rok.

Za \(5\) let zaplatí:

\( 5 \times 7200 = 36000 \) Kč na úrocích.

Řešení příkladu:

Označíme počet 500g balíčků jako \( x \), počet 1kg balíčků jako \( 12 – x \).

Celková cena je:

\( 40x + 75(12 – x) = 750 \)

Rozepíšeme rovnici:

\( 40x + 900 – 75x = 750 \Rightarrow -35x + 900 = 750 \Rightarrow -35x = -150 \Rightarrow x = \frac{150}{35} = \frac{30}{7} \approx 4,29 \)

Protože počet balíčků musí být celé číslo, ověříme, zda neexistuje chyba v zadání nebo zaokrouhlíme.

Pokud připustíme, že může být přibližné řešení, kupuje přibližně \(4\) balíčky \(500\) g a \(8\) balíčků \(1\) kg.

Pokud požadujeme přesné celé číslo, zadání by mělo být upraveno.

Řešení příkladu:

Označíme celkovou délku cesty jako \( 2d \). První polovina je \( d \) km, druhá také \( d \) km.

Čas na první polovinu je:

\( t_1 = \frac{d}{50} \)

Čas na druhou polovinu:

\( t_2 = \frac{d}{70} \)

Celkový čas je:

\( t = t_1 + t_2 = \frac{d}{50} + \frac{d}{70} = d \left( \frac{1}{50} + \frac{1}{70} \right) \)

Najdeme společný jmenovatel 3500:

\( \frac{1}{50} + \frac{1}{70} = \frac{70}{3500} + \frac{50}{3500} = \frac{120}{3500} = \frac{12}{350} = \frac{6}{175} \)

Celkový čas:

\( t = d \cdot \frac{6}{175} \)

Průměrná rychlost je celková vzdálenost dělená celkovým časem:

\( v = \frac{2d}{t} = \frac{2d}{d \cdot \frac{6}{175}} = \frac{2}{\frac{6}{175}} = 2 \cdot \frac{175}{6} = \frac{350}{6} = \frac{175}{3} \approx 58,33 \) km/h.

Řešení příkladu:

Označíme množství vína za 90 Kč/kg jako \( x \) kg, množství za 120 Kč/kg jako \( 5 – x \) kg.

Celková cena je:

\( 90x + 120(5 – x) = 510 \)

Rozepíšeme rovnici:

\( 90x + 600 – 120x = 510 \Rightarrow -30x + 600 = 510 \Rightarrow -30x = -90 \Rightarrow x = 3 \)

Kupoval \(3\) kg za \(90\) Kč/kg a \( 5 – 3 = 2 \) kg za \(120\) Kč/kg.

Řešení příkladu:

Počet dospělých je \( \frac{3}{5} \cdot 360 = \frac{1080}{5} = 216 \).

Počet dětí je celkový počet obyvatel minus počet dospělých:

\( 360 – 216 = 144 \).

Řešení příkladu:

Označíme počet stromů na druhé cestě jako \( x \).

Počet stromů na první cestě je \( x + 40 \).

Celkem je stromů \(240\), tedy:

\( x + (x + 40) = 240 \Rightarrow 2x + 40 = 240 \Rightarrow 2x = 200 \Rightarrow x = 100 \).

Na druhé cestě je \(100\) stromů, na první \( 100 + 40 = 140 \) stromů.