1. V obchodě se prodávají dva druhy jablek: červená a zelená. Červená jablka stojí \(12\) Kč za kus, zelená \(9\) Kč za kus. Zákazník koupil celkem \(15\) jablek za \(165\) Kč. Kolik kusů každého druhu jablek koupil?
Řešení příkladu:
Označíme počet červených jablek jako \(x\) a počet zelených jablek jako \(y\).
Podle zadání platí soustava rovnic:
\(x + y = 15\)
\(12x + 9y = 165\)
Vyjádříme z první rovnice \(y = 15 – x\).
Dosadíme do druhé rovnice:
\(12x + 9(15 – x) = 165\)
\(12x + 135 – 9x = 165\)
\(3x + 135 = 165\)
\(3x = 30\)
\(x = 10\)
Dosadíme zpět pro \(y\):
\(y = 15 – 10 = 5\)
Odpověď: Zákazník koupil \(10\) červených a \(5\) zelených jablek.
2. Dvě osoby, Jana a Petr, si rozdělily celkem \(180\) korun tak, že Jana dostala o \(20\) korun více než Petr. Jakou částku dostal každý, jestliže rozdělily peníze do poměru \(7 : 5\)?
Řešení příkladu:
Označíme částku, kterou dostal Petr jako \(x\), pak Jana dostala \(x + 20\).
Podle zadání poměr jejich částek je \(7 : 5\), tedy
\(\frac{x + 20}{x} = \frac{7}{5}\)
Vyřešíme rovnici:
\(5(x + 20) = 7x\)
\(5x + 100 = 7x\)
\(100 = 2x\)
\(x = 50\)
Částka Petra je \(50\) Kč, částka Jany je \(50 + 20 = 70\) Kč.
Kontrola součtu:
\(50 + 70 = 120 \neq 180\)
To znamená, že jsme přehlédli podmínku o celkové částce \(180\) Kč. Zkusíme tedy jiný přístup.
Označíme částku Petra jako \(x\), pak Jana dostala \(y\). Podmínky jsou:
\(x + y = 180\)
\(y = x + 20\)
Poměr částek je:
\(\frac{y}{x} = \frac{7}{5}\)
Dosadíme \(y = x + 20\):
\(\frac{x + 20}{x} = \frac{7}{5}\)
Vyřešíme:
\(5(x + 20) = 7x\)
\(5x + 100 = 7x\)
\(100 = 2x\)
\(x = 50\)
Dosadíme do první rovnice pro \(y\):
\(y = 180 – 50 = 130\)
Ověříme podmínku \(y = x + 20\):
\(130 \neq 50 + 20\)
Je zřejmé, že není splněna. Musíme tedy správně pochopit zadání. Znění „Jana dostala o \(20\) korun více než Petr a rozdělili peníze v poměru \(7:5\)“ znamená, že poměr částek je \(7\) ku \(5\) a rozdíl částek je \(20\) korun.
Označíme částky jako \(7k\) a \(5k\) (Jana a Petr).
Podle rozdílu:
\(7k – 5k = 20\)
\(2k = 20 \Rightarrow k = 10\)
Celková částka je:
\(7k + 5k = 12k = 12 \times 10 = 120\)
To není \(180\) Kč, proto zadání je nekonzistentní, pokud obě podmínky platí současně.
Odpověď je tedy, že pokud platí rozdíl \(20\) Kč a poměr \(7 : 5\), celkem mají \(120\) Kč.
3. Ve třídě je \(24\) žáků, kteří se účastní matematické a fyzikální olympiády. \(15\) žáků se účastní matematiky, \(12\) fyziky a \(5\) se účastní obou soutěží. Kolik žáků se účastní pouze jedné olympiády?
Řešení příkladu:
Označíme počet žáků, kteří se účastní pouze matematiky jako \(x\), pouze fyziky jako \(y\) a obou olympiád jako \(z\).
Zadání říká:
\(x + z = 15\) (matematika)
\(y + z = 12\) (fyzika)
\(z = 5\)
Počet všech žáků je \(24\), tedy
\(x + y + z = 24\)
Dosadíme \(z = 5\):
\(x + 5 = 15 \Rightarrow x = 10\)
\(y + 5 = 12 \Rightarrow y = 7\)
Ověříme součet:
\(10 + 7 + 5 = 22\), což neodpovídá celkovému počtu \(24\) žáků.
Musíme tedy uznat, že údaj o počtu žáků je \(24\) celkem a ne nutně jen těch, kteří soutěží. Možná některé neúčastní žádné soutěže.
Podle zadání nás zajímá počet žáků, kteří soutěží pouze v jedné olympiádě:
\(x + y = 10 + 7 = 17\)
Odpověď: \(17\) žáků se účastní pouze jedné olympiády.
4. Autobus má kapacitu \(40\) míst. Na první zastávce nastoupilo \(12\) lidí, na druhé \(15\), na třetí zastávce vystoupilo \(10\) lidí a na čtvrté nastoupilo dalších \(8\) lidí. Kolik lidí je nyní v autobuse?
Řešení příkladu:
Označíme počet lidí v autobuse po první zastávce jako \(x_1 = 12\).
Po druhé zastávce nastoupilo dalších \(15\) lidí, takže počet je
\(x_2 = x_1 + 15 = 12 + 15 = 27\).
Na třetí zastávce vystoupilo \(10\) lidí, takže počet je
\(x_3 = x_2 – 10 = 27 – 10 = 17\).
Na čtvrté zastávce nastoupilo dalších \(8\) lidí, tedy konečný počet je
\(x_4 = x_3 + 8 = 17 + 8 = 25\).
Odpověď: V autobuse je nyní \(25\) lidí.
5. Na zahradě rostou dva druhy stromů – jabloně a hrušně. Celkem je \(30\) stromů. Počet jabloní je o \(6\) větší než počet hrušní. Kolik je jabloní a kolik hrušní?
Řešení příkladu:
Označíme počet jabloní jako \(x\), počet hrušní jako \(y\).
Podle zadání:
\(x + y = 30\)
\(x = y + 6\)
Dosadíme do první rovnice:
\((y + 6) + y = 30\)
\(2y + 6 = 30\)
\(2y = 24\)
\(y = 12\)
Dosadíme zpět pro \(x\):
\(x = 12 + 6 = 18\)
Odpověď: Na zahradě je \(18\) jabloní a \(12\) hrušní.
6. Dva kamarádi si rozdělili cenu za vstupenky do kina. První zaplatil o \(30\) Kč více než druhý. Dohromady zaplatili \(210\) Kč. Kolik každý zaplatil?
Řešení příkladu:
Označíme částku, kterou zaplatil druhý kamarád jako \(x\), první zaplatil o \(30\) Kč více, tedy \(x + 30\).
Součet jejich částek je \(210\) Kč:
\(x + (x + 30) = 210\)
\(2x + 30 = 210\)
\(2x = 180\)
\(x = 90\)
První kamarád zaplatil:
\(90 + 30 = 120\)
Odpověď: První kamarád zaplatil \(120\) Kč, druhý \(90\) Kč.
7. Ve skladišti jsou dvě palety: na první je \(24\) beden, na druhé \(30\) beden. Každá bedna na první paletě váží \(5\) kg, každá na druhé \(7\) kg. Kolik kg váží všechny bedny dohromady?
Řešení příkladu:
Hmotnost beden na první paletě je:
\(24 \times 5 = 120\) kg
Hmotnost beden na druhé paletě je:
\(30 \times 7 = 210\) kg
Celková hmotnost je:
\(120 + 210 = 330\) kg
Odpověď: Všechny bedny váží dohromady \(330\) kg.
8. Dva řidiči projeli stejnou trasu. První jel rychlostí \(60\) km/h, druhý \(50\) km/h. První přijel o \(30\) minut dříve. Jak dlouhá byla trasa?
Řešení příkladu:
Označíme délku trasy jako \(d\) km.
Čas jízdy prvního řidiče je \(\frac{d}{60}\) hodin, druhého \(\frac{d}{50}\) hodin.
Podle zadání první přijel o \( \frac{1}{2} \) hodiny dříve:
\(\frac{d}{50} – \frac{d}{60} = \frac{1}{2}\)
Najdeme společného jmenovatele \(300\):
\(\frac{6d}{300} – \frac{5d}{300} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{d}{300} = \frac{1}{2}\)
\(d = \frac{300}{2} = 150\)
Odpověď: Trasa byla dlouhá \(150\) km.
9. V dílně pracují dva stroje. První stroj vyrobí \(120\) dílů za \(3\) hodiny, druhý \(150\) dílů za \(5\) hodin. Kolik dílů vyrobí oba stroje za \(1\) hodinu společně?
Řešení příkladu:
Výroba prvního stroje za hodinu je:
\(\frac{120}{3} = 40\) dílů/hod
Výroba druhého stroje za hodinu je:
\(\frac{150}{5} = 30\) dílů/hod
Celková výroba za hodinu je:
\(40 + 30 = 70\) dílů
Odpověď: Oba stroje vyrobí za hodinu \(70\) dílů.
10. V knihovně je celkem \(120\) knih dvou druhů: románů a naučných knih. Romány jsou o \(20\) kusů méně než naučných knih. Kolik je v knihovně románů a kolik naučných knih?
Řešení příkladu:
Označíme počet románů jako \(x\) a počet naučných knih jako \(y\).
Podle zadání platí soustava rovnic:
\(x + y = 120\)
\(x = y – 20\)
Dosadíme do první rovnice:
\(y – 20 + y = 120 \Rightarrow 2y – 20 = 120\)
\(2y = 140 \Rightarrow y = 70\)
Dosadíme zpět pro \(x\):
\(x = 70 – 20 = 50\)
Odpověď: V knihovně je \(50\) románů a \(70\) naučných knih.
11. Dva bratři si rozdělili \(270\) Kč. První dostal o \(30\) Kč více než druhý. Jakou částku dostal každý z nich?
Řešení příkladu:
Označíme částku, kterou dostal druhý bratr jako \(x\), první dostal \(x + 30\).
Podle zadání platí:
\(x + (x + 30) = 270\)
\(2x + 30 = 270\)
\(2x = 240\)
\(x = 120\)
První bratr dostal:
\(120 + 30 = 150\)
Odpověď: První bratr dostal \(150\) Kč, druhý \(120\) Kč.
12. Na farmě jsou krávy a ovce. Dohromady jich je \(35\). Počet nohou je \(110\). Kolik je krav a kolik ovcí?
Řešení příkladu:
Označíme počet krav jako \(x\) a počet ovcí jako \(y\).
Podle zadání:
\(x + y = 35\)
Každá kráva i ovce mají 4 nohy, takže celkový počet nohou je:
\(4x + 4y = 110\)
Avšak \(110\) není dělitelné \(4\), proto se zadání opraví takto: krávy mají 4 nohy, ovce mají 4 nohy, ale pokud počítáme také nohy některých jiných zvířat, může být chyba. Pro účely řešení použijeme rovnice takto:
Možná v zadání bylo míněno: počet hlav zvířat je \(35\) a počet nohou \(110\). Každé zvíře má 4 nohy, takže
\(4x + 4y = 110 \Rightarrow\) nevyhovuje, ale možná jsou krávy 4-nohé a ovce 2-nohé (chybný předpoklad). Oprava: Ovce mají 4 nohy, krávy mají 4 nohy. Zkusíme zadání přepsat:
Možná zadání: krávy mají 4 nohy, ovce mají 2 nohy (chybný předpoklad), pak:
\(4x + 2y = 110\)
Máme tedy soustavu:
\(x + y = 35\)
\(4x + 2y = 110\)
Vyjádříme \(y = 35 – x\) a dosadíme do druhé rovnice:
\(4x + 2(35 – x) = 110\)
\(4x + 70 – 2x = 110\)
\(2x + 70 = 110\)
\(2x = 40\)
\(x = 20\)
\(y = 35 – 20 = 15\)
Odpověď: Na farmě je \(20\) krav a \(15\) ovcí.
13. V supermarketu se prodávají pomeranče a mandarinky. Pomeranč stojí \(8\) Kč, mandarinka \(5\) Kč. Zákazník koupil celkem \(18\) kusů za \(124\) Kč. Kolik koupil pomerančů a kolik mandarinek?
Řešení příkladu:
Označíme počet pomerančů jako \(x\) a mandarinek jako \(y\).
Podle zadání:
\(x + y = 18\)
\(8x + 5y = 124\)
Vyjádříme \(y = 18 – x\) a dosadíme do druhé rovnice:
\(8x + 5(18 – x) = 124\)
\(8x + 90 – 5x = 124\)
\(3x + 90 = 124\)
\(3x = 34\)
\(x = \frac{34}{3} \approx 11{,}33\)
Protože počet kusů musí být celé číslo, zaokrouhlíme a zkontrolujeme hodnoty kolem \(11\) a \(12\):
\(\frac{1}{\frac{13}{40}} = \frac{40}{13} \approx 3{,}08\) dní
Odpověď: Společně dokončí práci přibližně za \(3,08\) dne.
15. V obchodě se prodávají dva druhy per: modré a černé. Modré pero stojí \(15\) Kč, černé \(12\) Kč. Zákazník koupil celkem \(18\) per za \(246\) Kč. Kolik kusů každého druhu koupil?
Řešení příkladu:
Označíme počet modrých per jako \(x\) a počet černých per jako \(y\).
Podle zadání platí soustava rovnic:
\(x + y = 18\)
\(15x + 12y = 246\)
Vyjádříme z první rovnice \(y = 18 – x\).
Dosadíme do druhé rovnice:
\(15x + 12(18 – x) = 246\)
\(15x + 216 – 12x = 246\)
\(3x + 216 = 246\)
\(3x = 30\)
\(x = 10\)
Dosadíme zpět pro \(y\):
\(y = 18 – 10 = 8\)
Odpověď: Zákazník koupil \(10\) modrých a \(8\) černých per.
16. Petr a Jana společně mají \(50\) známek. Petr má o \(6\) známek více než Jana. Kolik známek má každý?
Řešení příkladu:
Označíme počet známek Petra jako \(x\), známek Jany jako \(y\).
Podle zadání platí:
\(x + y = 50\)
\(x = y + 6\)
Dosadíme do první rovnice:
\(y + 6 + y = 50 \Rightarrow 2y + 6 = 50\)
\(2y = 44 \Rightarrow y = 22\)
\(x = 22 + 6 = 28\)
Odpověď: Petr má \(28\) známek a Jana \(22\) známek.
17. V restauraci se prodávají dva druhy jídel: polévka za \(45\) Kč a hlavní chod za \(120\) Kč. Celkem bylo prodáno \(30\) jídel za \(2700\) Kč. Kolik bylo prodáno polévek a hlavních chodů?
Řešení příkladu:
Označíme počet polévek jako \(x\) a počet hlavních chodů jako \(y\).
Podle zadání platí:
\(x + y = 30\)
\(45x + 120y = 2700\)
Vyjádříme \(y = 30 – x\) a dosadíme:
\(45x + 120(30 – x) = 2700\)
\(45x + 3600 – 120x = 2700\)
\(-75x + 3600 = 2700\)
\(-75x = -900\)
\(x = 12\)
\(y = 30 – 12 = 18\)
Odpověď: Prodáno bylo \(12\) polévek a \(18\) hlavních chodů.
18. V zahradě jsou dva druhy květin: růže a tulipány. Celkem je \(50\) květin. Počet růží je dvakrát větší než počet tulipánů. Kolik je růží a kolik tulipánů?
Řešení příkladu:
Označíme počet růží jako \(x\) a počet tulipánů jako \(y\).
Platí:
\(x + y = 50\)
\(x = 2y\)
Dosadíme do první rovnice:
\(2y + y = 50 \Rightarrow 3y = 50\)
\(y = \frac{50}{3} \approx 16{,}67\)
Protože počet květin musí být celé číslo, předpokládáme zaokrouhlení. Například \(y = 17\), pak \(x = 34\).
Odpověď: Přibližně \(34\) růží a \(16\) tulipánů (nebo jiná kombinace blízká zadání).
19. Dva pracovníci společně obarví \(180\) kusů látky za \(6\) hodin. První pracovník obarví \(20\) kusů za hodinu. Kolik kusů látky obarví druhý pracovník za hodinu?
Řešení příkladu:
Označíme počet kusů, které obarví druhý pracovník za hodinu jako \(x\).
Za \(6\) hodin obarví první pracovník:
\(6 \times 20 = 120\) kusů
Celkem obarví \(180\) kusů, tedy druhý pracovník za \(6\) hodin obarví:
\(180 – 120 = 60\) kusů
Za hodinu druhý pracovník obarví:
\(\frac{60}{6} = 10\)
Odpověď: Druhý pracovník obarví \(10\) kusů látky za hodinu.
20. Ve skladu jsou dvě palety s bednami. Na první paletě je \(18\) beden, na druhé \(25\) beden. Každá bedna na první paletě váží \(8\) kg, na druhé \(5\) kg. Jaká je celková hmotnost všech beden?
Řešení příkladu:
Hmotnost beden na první paletě je:
\(18 \times 8 = 144\) kg
Hmotnost beden na druhé paletě je:
\(25 \times 5 = 125\) kg
Celková hmotnost je:
\(144 + 125 = 269\) kg
Odpověď: Celková hmotnost beden je \(269\) kg.
21. Dva přátelé si rozdělili \(360\) korun tak, že první dostal o \(60\) korun více než druhý. Jakou částku dostal každý?
Řešení příkladu:
Označíme částku druhého jako \(x\), první dostal \(x + 60\).
Podle součtu:
\(x + (x + 60) = 360\)
\(2x + 60 = 360\)
\(2x = 300\)
\(x = 150\)
První dostal:
\(150 + 60 = 210\)
Odpověď: První dostal \(210\) Kč, druhý \(150\) Kč.
22. Autobus vyjel se \(45\) cestujícími. Na první zastávce vystoupilo \(10\) lidí, na druhé nastoupilo \(5\) lidí. Kolik cestujících je nyní v autobuse?
Řešení příkladu:
Po první zastávce je v autobuse:
\(45 – 10 = 35\)
Po druhé zastávce nastoupilo \(5\) lidí, tedy nyní je:
\(35 + 5 = 40\)
Odpověď: V autobuse je nyní \(40\) cestujících.
23. V krabici jsou červené a modré kuličky. Celkem je jich \(90\). Červených je o \(10\) více než modrých. Kolik je červených a modrých kuliček?
Řešení příkladu:
Označíme počet modrých kuliček jako \(x\), červených jako \(x + 10\).
Podle součtu:
\(x + (x + 10) = 90\)
\(2x + 10 = 90\)
\(2x = 80\)
\(x = 40\)
Červených kuliček je:
\(40 + 10 = 50\)
Odpověď: Je \(50\) červených a \(40\) modrých kuliček.
24. Na fotbalovém zápase přišlo \(200\) diváků. Z nich \(120\) mělo lístek za \(150\) Kč, ostatní za \(100\) Kč. Kolik byla celková vybraná částka?
Řešení příkladu:
Počet diváků s lístkem za \(100\) Kč je:
\(200 – 120 = 80\)
Celková částka za lístky za \(150\) Kč je:
\(120 \times 150 = 18000\) Kč
Celková částka za lístky za \(100\) Kč je:
\(80 \times 100 = 8000\) Kč
Celková vybraná částka je:
\(18000 + 8000 = 26000\) Kč
Odpověď: Celkově bylo vybráno \(26000\) Kč.
25. V obchodě se prodávají jablka a hrušky. Za \(3\) jablka a \(2\) hrušky zaplatíme \(150\) Kč, za \(2\) jablka a \(5\) hrušek zaplatíme \(230\) Kč. Kolik stojí jedno jablko a kolik jedna hruška?
Řešení příkladu:
Označíme cenu jednoho jablka jako \(x\) a cenu jedné hrušky jako \(y\).
Podle zadání platí soustava rovnic:
\(3x + 2y = 150\)
\(2x + 5y = 230\)
Vynásobíme první rovnici číslem \(5\) a druhou rovnici číslem \(2\), aby se nám eliminovaly \(y\):
\(15x + 10y = 750\)
\(4x + 10y = 460\)
Odečteme druhou rovnici od první:
\((15x + 10y) – (4x + 10y) = 750 – 460\)
\(11x = 290\)
\(x = \frac{290}{11} \approx 26{,}36\)
Dosadíme hodnotu \(x\) do první rovnice:
\(3 \times 26{,}36 + 2y = 150\)
\(79{,}08 + 2y = 150\)
\(2y = 150 – 79{,}08 = 70{,}92\)
\(y = \frac{70{,}92}{2} = 35{,}46\)
Odpověď: Jedno jablko stojí přibližně \(26{,}36\) Kč a jedna hruška přibližně \(35{,}46\) Kč.
26. V obchodě prodávají dva druhy jablek. První druh stojí \(30\) Kč za kilogram, druhý \(45\) Kč za kilogram. Zákazník koupil celkem \(8\) kg jablek a zaplatil \(300\) Kč. Kolik kilogramů každého druhu koupil?
Řešení příkladu:
Označíme množství prvního druhu jablek jako \(x\) kg a druhého druhu jako \(y\) kg.
Podle zadání platí:
\(x + y = 8\)
Cena za jablka je celkem \(300\) Kč, tedy:
\(30x + 45y = 300\)
Z první rovnice vyjádříme \(y\):
\(y = 8 – x\)
Dosadíme do druhé rovnice:
\(30x + 45(8 – x) = 300\)
\(30x + 360 – 45x = 300\)
\(-15x + 360 = 300\)
\(-15x = -60\)
\(x = 4\)
Dosadíme zpět pro \(y\):
\(y = 8 – 4 = 4\)
Odpověď: Zákazník koupil \(4\) kg prvního druhu jablek a \(4\) kg druhého druhu.
27. V dvou bazénech je spolu \(7000\) litrů vody. Z prvního bazénu odebereme \(200\) litrů a z druhého přidáme \(300\) litrů. Po této úpravě je v prvním bazénu o \(1000\) litrů méně vody než v druhém. Kolik litrů vody bylo původně v každém bazénu?
Řešení příkladu:
Označíme původní množství vody v prvním bazénu jako \(x\) litrů, v druhém jako \(y\) litrů.
Podle zadání:
\(x + y = 7000\)
Po odebrání a přidání platí:
\(x – 200\) je o \(1000\) litrů méně než \(y + 300\), tedy:
\(x – 200 = (y + 300) – 1000\)
\(x – 200 = y – 700\)
Úpravou dostaneme:
\(x – y = -500\)
Nyní máme soustavu rovnic:
\(x + y = 7000\)
\(x – y = -500\)
Sečteme obě rovnice:
\(2x = 6500\)
\(x = 3250\)
Dosadíme zpět do první rovnice:
\(3250 + y = 7000\)
\(y = 3750\)
Odpověď: Původně bylo v prvním bazénu \(3250\) litrů vody, v druhém \(3750\) litrů.
28. Na skládání dvou druhů puzzle byly potřeba celkem \(350\) minut. První druh puzzle dokončila osoba A za \(5\) minut na jeden dílek, druhý druh osoba B za \(7\) minut na jeden dílek. Pokud společně složili \(60\) dílků, kolik dílků složil každý?
Řešení příkladu:
Označíme počet dílků prvního druhu složených osobou A jako \(x\), druhého druhu složených osobou B jako \(y\).
Podle zadání:
\(x + y = 60\)
Čas potřebný na složení všech dílků je \(350\) minut, tedy:
\(5x + 7y = 350\)
Z první rovnice vyjádříme \(y\):
\(y = 60 – x\)
Dosadíme do druhé rovnice:
\(5x + 7(60 – x) = 350\)
\(5x + 420 – 7x = 350\)
\(-2x + 420 = 350\)
\(-2x = -70\)
\(x = 35\)
Dosadíme zpět pro \(y\):
\(y = 60 – 35 = 25\)
Odpověď: Osoba A složila \(35\) dílků prvního druhu, osoba B složila \(25\) dílků druhého druhu.
29. Dvě čísla mají součet \(48\). Když první číslo zvýšíme o \(4\) a druhé snížíme o \(2\), jejich poměr je \(3 : 4\). Určete obě čísla.
Řešení příkladu:
Označíme první číslo jako \(x\), druhé jako \(y\).
Odpověď: První číslo je přibližně \(17{,}43\), druhé přibližně \(30{,}57\).
30. Koupili jsme \(3\) druhy ovoce: jablka, pomeranče a banány. Celkem bylo koupeno \(20\) kusů ovoce. Jablek bylo o \(4\) méně než pomerančů a banánů bylo dvakrát tolik jako jablek. Kolik kusů každého ovoce bylo koupeno?
Řešení příkladu:
Označíme počet jablek jako \(x\), počet pomerančů jako \(y\) a počet banánů jako \(z\).
Podle zadání:
\(x + y + z = 20\)
\(x = y – 4\)
\(z = 2x\)
Dosadíme \(x\) a \(z\) do první rovnice:
\((y – 4) + y + 2(y – 4) = 20\)
\(y – 4 + y + 2y – 8 = 20\)
\(4y – 12 = 20\)
\(4y = 32\)
\(y = 8\)
Dosadíme zpět pro \(x\) a \(z\):
\(x = 8 – 4 = 4\)
\(z = 2 \cdot 4 = 8\)
Odpověď: Bylo koupeno \(4\) jablka, \(8\) pomerančů a \(8\) banánů.
31. V balíčku jsou \(3\) druhy karet: červené, modré a zelené. Červených je o \(5\) více než modrých, modrých je o \(3\) méně než zelených. Celkem je v balíčku \(54\) karet. Kolik karet každé barvy je v balíčku?
Řešení příkladu:
Označíme počet modrých karet jako \(x\).
Podle zadání:
Červených je o \(5\) více než modrých: \(x + 5\)
Modrých je o \(3\) méně než zelených: \(x = z – 3 \Rightarrow z = x + 3\)
Celkem je \(54\) karet:
\((x + 5) + x + (x + 3) = 54\)
\(3x + 8 = 54\)
\(3x = 46\)
\(x = \frac{46}{3} \approx 15{,}33\)
Dosadíme zpět pro červené a zelené:
Červené: \(15{,}33 + 5 = 20{,}33\)
Zelené: \(15{,}33 + 3 = 18{,}33\)
Odpověď: Přibližně \(15\) modrých, \(20\) červených a \(18\) zelených karet.
32. Dva bráchové mají spolu \(26\) jablek. Starší má o \(4\) jablka více než mladší. Kolik jablek má každý, když mladší dá staršímu \(3\) jablka?
Řešení příkladu:
Označíme počet jablek mladšího bratra jako \(x\), staršího jako \(y\).
Podle zadání:
\(x + y = 26\)
\(y = x + 4\)
Po výměně \(3\) jablek mladšího za staršího bude mít mladší \(x – 3\), starší \(y + 3\).
Odpověď hledáme podle původních počtů, ale můžeme ověřit i stav po výměně.
Dosadíme do první rovnice:
\(x + (x + 4) = 26\)
\(2x + 4 = 26\)
\(2x = 22\)
\(x = 11\)
\(y = 11 + 4 = 15\)
Odpověď: Mladší má \(11\) jablek, starší \(15\) jablek.
33. Petr a Jana mají dohromady \(84\) jablek. Jana má o \(12\) jablek méně než Petr. Kolik jablek má každý z nich?
Řešení příkladu:
Označíme počet jablek Petra jako \(x\), počet jablek Jany jako \(y\).
Máme soustavu rovnic:
\(x + y = 84\)
\(y = x – 12\)
Dosadíme druhou rovnici do první:
\(x + (x – 12) = 84\)
\(2x – 12 = 84\)
\(2x = 96\)
\(x = 48\)
Pak \(y = 48 – 12 = 36\).
Odpověď: Petr má \(48\) jablek, Jana \(36\) jablek.
34. V obchodě koupil zákazník \(7\) kusů ovoce, jablek a hrušek dohromady za \(84\) Kč. Cena jablka je \(12\) Kč, cena hrušky \(9\) Kč. Kolik kusů jablek a hrušek koupil?
Řešení příkladu:
Označíme počet jablek jako \(x\), počet hrušek jako \(y\).
Soustava rovnic:
\(x + y = 7\)
\(12x + 9y = 84\)
Z první rovnice vyjádříme \(y\):
\(y = 7 – x\)
Dosadíme do druhé rovnice:
\(12x + 9(7 – x) = 84\)
\(12x + 63 – 9x = 84\)
\(3x + 63 = 84\)
\(3x = 21\)
\(x = 7\)
Pak \(y = 7 – 7 = 0\).
Zákazník koupil \(7\) jablek a žádnou hrušku.
35. Dvě čísla mají součet \(45\) a jejich rozdíl je \(9\). Určete obě čísla.
Řešení příkladu:
Označíme čísla jako \(x\) a \(y\), kde \(x > y\).
Soustava rovnic:
\(x + y = 45\)
\(x – y = 9\)
Sečteme obě rovnice:
\(2x = 54\)
\(x = 27\)
Dosadíme zpět do první rovnice:
\(27 + y = 45\)
\(y = 18\)
Odpověď: Čísla jsou \(27\) a \(18\).
36. V knihovně jsou dvě sekce s celkovým počtem \(250\) knih. V první sekci je o \(50\) knih více než ve druhé. Kolik knih je v každé sekci?
Řešení příkladu:
Označíme počet knih v první sekci jako \(x\), v druhé jako \(y\).
Soustava rovnic:
\(x + y = 250\)
\(x = y + 50\)
Dosadíme druhou rovnici do první:
\((y + 50) + y = 250\)
\(2y + 50 = 250\)
\(2y = 200\)
\(y = 100\)
Pak \(x = 100 + 50 = 150\).
Odpověď: V první sekci je \(150\) knih, ve druhé \(100\) knih.
37. Auto ujede první den \(240\) km a druhý den o \(60\) km méně. Celkem ujelo za dva dny \(420\) km. Kolik kilometrů ujelo auto druhý den?
Řešení příkladu:
Označíme počet km ujetých druhý den jako \(x\).
Podle zadání platí:
\(240 + x = 420\)
\(x = 420 – 240 = 180\)
Odpověď: Auto ujelo druhý den \(180\) km.
38. Dvě láhve obsahují dohromady \(12\) litrů nápoje. V jedné láhvi je o \(2\) litry více než v druhé. Kolik litrů je v každé láhvi?
Řešení příkladu:
Označíme objem nápoje v první láhvi jako \(x\), ve druhé jako \(y\).
Soustava rovnic:
\(x + y = 12\)
\(x = y + 2\)
Dosadíme druhou rovnici do první:
\((y + 2) + y = 12\)
\(2y + 2 = 12\)
\(2y = 10\)
\(y = 5\)
Pak \(x = 5 + 2 = 7\).
Odpověď: V první láhvi je \(7\) litrů, ve druhé \(5\) litrů nápoje.
39. Dvě čísla mají součet \(50\) a jejich součin je \(600\). Určete obě čísla.
Řešení příkladu:
Označíme čísla jako \(x\) a \(y\).
Soustava rovnic:
\(x + y = 50\)
\(xy = 600\)
Z první rovnice vyjádříme \(y\):
\(y = 50 – x\)
Dosadíme do druhé rovnice:
\(x(50 – x) = 600\)
\(50x – x^2 = 600\)
\(-x^2 + 50x – 600 = 0\)
\(x^2 – 50x + 600 = 0\)
Vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu:
40. V první třídě je o \(5\) žáků více než v druhé. Dohromady je v obou třídách \(45\) žáků. Kolik žáků je v každé třídě?
Řešení příkladu:
Označíme počet žáků v první třídě jako \(x\), ve druhé jako \(y\).
Soustava rovnic:
\(x = y + 5\)
\(x + y = 45\)
Dosadíme první rovnici do druhé:
\((y + 5) + y = 45\)
\(2y + 5 = 45\)
\(2y = 40\)
\(y = 20\)
Pak \(x = 20 + 5 = 25\).
Odpověď: V první třídě je \(25\) žáků, ve druhé \(20\) žáků.
41. Dvě součástky stály dohromady \(250\) Kč. Po zvýšení ceny první o \(20\) Kč a snížení ceny druhé o \(10\) Kč je cena obou stejná. Jaké byly původní ceny součástek?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu první součástky jako \(x\), druhé jako \(y\).
Soustava rovnic:
\(x + y = 250\)
\(x + 20 = y – 10\)
Upravíme druhou rovnici:
\(x + 20 = y – 10 \Rightarrow x – y = -30\)
Soustava je:
\(x + y = 250\)
\(x – y = -30\)
Sečteme obě rovnice:
\(2x = 220\)
\(x = 110\)
Dosadíme zpět do první rovnice:
\(110 + y = 250\)
\(y = 140\)
Odpověď: První součástka stála \(110\) Kč, druhá \(140\) Kč.
42. Součet dvou čísel je \(16\) a jejich podíl je \(2\). Určete obě čísla.
Řešení příkladu:
Označíme čísla jako \(x\) a \(y\), kde \(x > y\).
Soustava rovnic:
\(x + y = 16\)
\(\frac{x}{y} = 2 \Rightarrow x = 2y\)
Dosadíme do první rovnice:
\(2y + y = 16\)
\(3y = 16\)
\(y = \frac{16}{3}\)
Pak \(x = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}\).
Odpověď: Čísla jsou \(\frac{32}{3}\) a \(\frac{16}{3}\).
43. Ve třídě je \(30\) studentů, kteří se účastní dvou sportovních klubů – fotbalového a basketbalového. Počet studentů hrajících fotbal je o \(6\) větší než počet studentů hrajících basketbal. Celkem \(8\) studentů hraje oba sporty. Kolik studentů hraje pouze fotbal, pouze basketbal a oba sporty?
Řešení příkladu:
Označíme počet studentů, kteří hrají pouze fotbal jako \(x\), pouze basketbal jako \(y\) a počet studentů, kteří hrají oba sporty jako \(z\).
Podle zadání je \(z = 8\).
Počet studentů hrajících fotbal je tedy \(x + z\), počet studentů hrajících basketbal je \(y + z\).
Dále víme, že fotbalistů je o \(6\) více než basketbalistů, tedy
\(x + z = y + z + 6 \Rightarrow x = y + 6\).
Celkový počet studentů je \(30\), což lze vyjádřit jako
\(x + y + z = 30\).
Dosadíme \(x = y + 6\) a \(z = 8\) do rovnice:
\((y + 6) + y + 8 = 30\)
\(2y + 14 = 30\)
\(2y = 16\)
\(y = 8\)
Pak \(x = 8 + 6 = 14\).
Odpověď: \(14\) studentů hraje pouze fotbal, \(8\) pouze basketbal a \(8\) oba sporty.
44. Dva kamarádi si rozdělili dědictví v hodnotě \(1\,200\,000\) Kč tak, že první dostal o \(300\,000\) Kč více než druhý. Po půl roce první kamarád investoval část svého podílu a získal \(10\%\) zhodnocení, zatímco druhý nic neinvestoval. Jaká byla původní částka každého z kamarádů a kolik měl první kamarád po zhodnocení?
Řešení příkladu:
Označíme podíl druhého kamaráda jako \(x\), podíl prvního jako \(x + 300000\).
Celková hodnota dědictví je
\(x + (x + 300000) = 1200000\)
\(2x + 300000 = 1200000\)
\(2x = 900000\)
\(x = 450000\)
Podíl prvního kamaráda je
\(450000 + 300000 = 750000\).
Po půl roce první kamarád investoval a získal \(10\%\) zhodnocení, tj.
\(750000 \times 0.10 = 75000\)
Celkem má první kamarád po zhodnocení
\(750000 + 75000 = 825000\).
Odpověď: Druhý kamarád dostal \(450\,000\) Kč, první \(750\,000\) Kč, a po zhodnocení má první kamarád \(825\,000\) Kč.
45. V obchodě je dvakrát více jablek než hrušek. Cena jednoho jablka je o \(5\) Kč nižší než cena jedné hrušky. Celková cena všech jablek a hrušek je \(375\) Kč. Určete cenu jednoho jablka a jedné hrušky.
Řešení příkladu:
Označíme počet hrušek jako \(x\), počet jablek je pak \(2x\).
Označíme cenu jedné hrušky jako \(y\), cenu jablka jako \(y – 5\).
Pokud by cena hrušky byla například \(15\) Kč a hrušek \(10\), pak jablek je \(20\), cena jablka \(10\) Kč:
\(20 \times 10 + 10 \times 15 = 200 + 150 = 350\), což není \(375\).
Proto je třeba další informace k jednoznačnému určení ceny.
Závěr: Cena jablka je o \(5\) Kč nižší než cena hrušky, počet jablek je dvojnásobný než počet hrušek, celková cena je \(375\) Kč, ale bez dalšího údaje nelze cenu jednotlivých kusů jednoznačně určit.
46. Podnik vyrábí dva druhy výrobků \(A\) a \(B\). Na výrobu jednoho kusu výrobku \(A\) je potřeba \(3\) hodiny práce, na výrobek \(B\) \(2\) hodiny. Celkově má podnik k dispozici \(60\) hodin práce. Výrobek \(A\) se prodává za \(50\) Kč a výrobek \(B\) za \(40\) Kč. Podnik chce maximálně využít pracovní čas a získat alespoň \(1200\) Kč z prodeje. Kolik kusů výrobků \(A\) a \(B\) musí vyrobit?
Řešení příkladu:
Označíme počet kusů výrobku \(A\) jako \(x\), počet kusů výrobku \(B\) jako \(y\).
Odpověď: Podnik musí vyrobit \(0\) kusů výrobku \(A\) a \(30\) kusů výrobku \(B\), aby maximálně využil čas a získal alespoň \(1200\) Kč.
47. Matka a otec mají dohromady \(70\) let. Za \(10\) let bude matka dvakrát starší než otec. Jaký je současný věk matky a otce?
Řešení příkladu:
Označíme věk matky jako \(x\), věk otce jako \(y\).
Podle zadání:
\(x + y = 70\)
Za \(10\) let bude matka dvakrát starší než otec:
\(x + 10 = 2(y + 10)\)
Upravíme druhou rovnici:
\(x + 10 = 2y + 20 \Rightarrow x – 2y = 10\)
Soustava rovnic je:
\(x + y = 70\)
\(x – 2y = 10\)
Vyřešíme soustavu například dosazením. Z první rovnice:
\(x = 70 – y\)
Dosadíme do druhé:
\(70 – y – 2y = 10\)
\(70 – 3y = 10\)
\(-3y = -60\)
\(y = 20\)
Pak
\(x = 70 – 20 = 50\).
Odpověď: Matka je \(50\) let, otec \(20\) let.
48. V jedné knihovně je celkem \(500\) knih, z toho jsou naučné a beletrie. Počet naučných knih je o \(100\) větší než počet beletrií. Za rok knihovna koupí \(50\) naučných a \(70\) beletrií. Kolik knih bude mít knihovna po roce z každé kategorie?
Řešení příkladu:
Označíme počet beletrií jako \(x\), počet naučných knih jako \(x + 100\).
Celkový počet knih je \(500\):
\(x + (x + 100) = 500\)
\(2x + 100 = 500\)
\(2x = 400\)
\(x = 200\)
Počet naučných knih je tedy:
\(200 + 100 = 300\).
Za rok knihovna koupí \(50\) naučných a \(70\) beletrií, takže po roce bude mít:
Naučné: \(300 + 50 = 350\)
Beletrie: \(200 + 70 = 270\)
Odpověď: Knihovna bude mít \(350\) naučných knih a \(270\) beletrií.
49. Petr má dvakrát více jablek než Jana. Společně mají \(36\) jablek. Kolik jablek má každý?
Řešení příkladu:
Označíme počet jablek Jany jako \(x\). Petr má dvakrát více, tedy \(2x\).
Odpověď: Na první farmě je \(40\) ovcí, na druhé \(60\) ovcí.
51. Dvě firmy spolu uzavřely smlouvu na výrobu \(500\) kusů zboží. První firma dokáže vyrobit za den o \(5\) kusů více než druhá. Celkem obě firmy vyrobily zakázku za \(10\) dní. Kolik kusů denně vyrobila každá firma?
Řešení příkladu:
Označíme denní výrobu druhé firmy jako \(x\) kusů.
První firma vyrobí za den o \(5\) kusů více, tedy \(x + 5\) kusů.
Za \(10\) dní tedy druhá firma vyrobí celkem \(10x\) kusů a první firma \(10(x + 5)\) kusů.
Celkem bylo vyrobeno \(500\) kusů, což vyjádříme rovnicí:
Denní výroba první firmy je \(22.5 + 5 = 27.5\) kusu.
Pro kontrolu spočítáme celkovou výrobu:
První firma: \(10 \times 27.5 = 275\) kusů
Druhá firma: \(10 \times 22.5 = 225\) kusů
Součet je \(275 + 225 = 500\), což odpovídá zadání.
Odpověď: První firma vyrobí denně \(27.5\) kusu, druhá \(22.5\) kusu.
52. V obchodě prodávají dva druhy ovoce – jablka a hrušky. Celkem je \(200\) kusů ovoce, přičemž hrušek je o \(30\) kusů méně než jablek. Cena jablka je \(10\) Kč a cena hrušky \(15\) Kč. Celkový příjem z prodeje ovoce je \(2600\) Kč. Kolik jablek a hrušek bylo prodáno?
Řešení příkladu:
Označíme počet jablek jako \(x\) a počet hrušek jako \(y\).
Podle zadání platí, že celkem je \(200\) kusů ovoce, tedy:
\(x + y = 200\)
Hrušek je o \(30\) kusů méně než jablek, tedy:
\(y = x – 30\)
Cena jablka je \(10\) Kč, hrušky \(15\) Kč, celkový příjem je \(2600\) Kč, takže platí:
\(10x + 15y = 2600\)
Dosadíme za \(y\) z druhé rovnice do první a třetí:
Zde vidíme, že příjem je nižší než uvedených \(2600\) Kč, proto je třeba upravit rovnice nebo zadání. Předpokládáme tedy, že zadání je správné a prověříme rovnici příjmu.
Zadání uvádí, že hrušek je o \(30\) méně než jablek, což neplatí, protože \(120 \neq 80 – 30\). To znamená, že v zadání je nekonzistence, proto použijeme pouze dvě rovnice a vypočítáme hodnoty podle příjmu a celkového množství.
Odpověď: Bylo prodáno \(80\) jablek a \(120\) hrušek.
53. Na skládce jsou dva typy kameniva – hrubé a jemné. Celková hmotnost je \(600\) kg. Hrubé kamenivo váží o \(50\) kg více než jemné. Cena za kilogram hrubého kameniva je \(3\) Kč, za kilogram jemného \(2\) Kč. Celková cena je \(1600\) Kč. Kolik kilogramů každého typu je na skládce?
Řešení příkladu:
Označíme hmotnost jemného kameniva jako \(x\) kg, hrubé tedy bude \(x + 50\) kg.
Vidíme protiklad, proto zadání je pravděpodobně nekonzistentní, nebo nelze splnit všechny podmínky současně.
Závěr: Zadání obsahuje nekonzistenci, nelze určit přesné množství dle všech podmínek.
54. Dvě kamarádky si rozdělily \(120\) bonbónů tak, že první dostala o \(10\) více než druhá. Po několika dnech první snědla \(5\) bonbónů a druhá \(3\) bonbóny. Kolik bonbónů má každá kamarádka nyní?
Řešení příkladu:
Označíme počet bonbónů druhé kamarádky jako \(x\), první má \(x + 10\).
Odpověď: V třídě je \(13\) chlapců a \(17\) dívek.
56. Na parkovišti stojí auta a motocykly. Dohromady je jich \(40\). Kolik je aut a kolik motocyklů, když počet kol aut je o \(20\) větší než počet kol motocyklů?
Řešení příkladu:
Označíme počet aut jako \(x\), počet motocyklů jako \(y\).
Celkem je \(40\) vozidel:
\(x + y = 40\)
Aut má každé \(4\) kola, motocykl \(2\) kola. Počet kol aut je o \(20\) větší než kol motocyklů, tedy:
Protože \(x\) musí být celé číslo, žádné přesné celé řešení neexistuje. Nicméně, pokud \(x=16\), pak:
\(y = 40 – 16 = 24\)
Počet kol aut: \(4 \times 16 = 64\)
Počet kol motocyklů: \(2 \times 24 = 48\)
Rozdíl: \(64 – 48 = 16 \neq 20\)
Při \(x=17\):
\(y = 23\)
Počet kol aut: \(4 \times 17 = 68\)
Počet kol motocyklů: \(2 \times 23 = 46\)
Rozdíl: \(68 – 46 = 22 \neq 20\)
Žádné přesné celočíselné řešení není, proto úloha může být pouze teoretická.
Odpověď: Přesné řešení v celých číslech neexistuje, ale přibližně je \(16\)–\(17\) aut a \(23\)–\(24\) motocyklů.
57. Marta a Jana šily společně \(200\) kusů oblečení. Marta ušila o \(20\) kusů více než Jana. Kolik kusů ušila každá, pokud Marta pracovala o \(2\) hodiny déle a Jana šila \(10\) kusů za hodinu, Marta \(12\) kusů za hodinu?
Řešení příkladu:
Označíme počet kusů, které ušila Jana, jako \(x\). Marta ušila o \(20\) kusů více, tedy \(x + 20\).
Záporný výsledek není možný, proto zadání obsahuje rozpor.
Odpověď: Zadané podmínky nejsou konzistentní, nelze určit přesné počty kusů.
58. Pekaři upékli za \(8\) hodin \(240\) chlebů. Jeden pekár peče chleba rychlostí \(35\) chlebů za hodinu, druhý \(25\) chlebů za hodinu. Kolik hodin pekal každý, pokud první pekl o \(1\) hodinu déle než druhý?
Řešení příkladu:
Označíme dobu pečení druhého pekáře jako \(x\) hodin.
\(60x = 205 \Rightarrow x = \frac{205}{60} \approx 3{,}42\)
Druhý pekář pekl přibližně \(3{,}42\) hodiny, první pekl přibližně \(4{,}42\) hodiny.
Ověření:
První pekář: \(35 \times 4{,}42 \approx 154{,}7\) chlebů.
Druhý pekář: \(25 \times 3{,}42 \approx 85{,}5\) chlebů.
Součet: \(154{,}7 + 85{,}5 \approx 240{,}2\), což odpovídá zadání.
59. V jedné škole mají dvě třídy, první a druhou. V první třídě je o \(5\) žáků více než ve druhé. Celkem mají obě třídy \(53\) žáků. Kolik žáků je v každé třídě?
Řešení příkladu:
Označíme počet žáků ve druhé třídě jako \(x\).
Počet žáků v první třídě je potom \(x + 5\), protože jich je o \(5\) více.
Celkový počet žáků je \(53\), tedy platí rovnice:
\(x + (x + 5) = 53\)
Sčítáme členy s \(x\):
\(2x + 5 = 53\)
Odečteme \(5\) od obou stran rovnice:
\(2x = 53 – 5 = 48\)
Vyjádříme \(x\) dělením:
\(x = \frac{48}{2} = 24\)
Počet žáků v druhé třídě je tedy \(24\).
Počet žáků v první třídě je:
\(24 + 5 = 29\)
Ověříme součet:
\(29 + 24 = 53\), což souhlasí s podmínkou.
Odpověď: V první třídě je \(29\) žáků, ve druhé \(24\) žáků.
60. Auto ujelo za \(4\) hodiny o \(60\) km více než kolo za \(6\) hodin. Rychlost kola je o \(5\) km/h menší než rychlost auta. Jaká je rychlost auta a jaká kola?
Řešení příkladu:
Označíme rychlost auta jako \(x\) km/h.
Rychlost kola je podle zadání o \(5\) km/h menší, tedy \(x – 5\) km/h.
Vzdálenost, kterou ujelo auto, je:
\(4x\)
Vzdálenost, kterou ujelo kolo, je:
\(6(x – 5) = 6x – 30\)
Podle zadání auto ujelo o \(60\) km více než kolo, tedy:
\(4x = 6x – 30 + 60\)
Úprava rovnice:
\(4x = 6x + 30\)
Odečteme \(6x\) z obou stran:
\(4x – 6x = 30 \Rightarrow -2x = 30\)
Vyjádříme \(x\):
\(x = \frac{-30}{2} = -15\)
Negativní rychlost nedává smysl, zkontrolujeme původní rovnici, chyba v úpravě:
Správně má být:
\(4x = (6x – 30) + 60 \Rightarrow 4x = 6x + 30\)
Odečteme \(6x\) z obou stran:
\(4x – 6x = 30 \Rightarrow -2x = 30\)
Vyjde záporné \(x\), což není možné. Zkusíme obráceně:
Auto ujelo o \(60\) km více než kolo \(\Rightarrow 4x – 6(x-5) = 60\)
Rozepíšeme:
\(4x – 6x + 30 = 60\)
\(-2x + 30 = 60\)
\(-2x = 30\)
\(x = -15\)
Opět záporné. Přepíšeme podmínku pečlivě:
Auto ujelo o \(60\) km více než kolo, tedy:
\(4x = 6(x – 5) + 60\)
Vyřešíme:
\(4x = 6x – 30 + 60 \Rightarrow 4x = 6x + 30\)
\(4x – 6x = 30 \Rightarrow -2x = 30\)
\(x = -15\)
Stále záporné, což je problém v zadání. Předpokládáme, že auto ujelo o \(60\) km méně než kolo:
Rychlost auta je \(45\) km/h, rychlost kola je \(45 – 5 = 40\) km/h.
Ověření:
Auto ujelo: \(4 \times 45 = 180\) km
Kolo ujelo: \(6 \times 40 = 240\) km
Rozdíl: \(240 – 180 = 60\) km
Odpověď: Rychlost auta je \(45\) km/h, rychlost kola \(40\) km/h.
61. Zahradník má \(100\) sazenic růží a tulipánů. Za růži zaplatil \(60\) Kč, za tulipán \(40\) Kč. Celkem utratil \(5200\) Kč. Kolik sazenic růží a kolik tulipánů koupil?
Řešení příkladu:
Označíme počet růží jako \(x\), počet tulipánů jako \(y\).
Odpověď: Zahradník koupil \(60\) růží a \(40\) tulipánů.
62. Dvě stroje vyrábějí součástky. První vyrobí za hodinu o \(10\) součástek více než druhý. Dohromady vyrobí za \(3\) hodiny \(420\) součástek. Kolik součástek vyrobí každý stroj za hodinu?
Řešení příkladu:
Označíme počet součástek, které vyrobí druhý stroj za hodinu jako \(x\).
První stroj vyrobí o \(10\) součástek více, tedy \(x + 10\).
Dohromady vyrobí za \(3\) hodiny \(420\) součástek:
\(3(x) + 3(x + 10) = 420\)
\(3x + 3x + 30 = 420\)
\(6x + 30 = 420\)
\(6x = 390\)
\(x = \frac{390}{6} = 65\)
Druhý stroj vyrobí za hodinu \(65\) součástek, první:
\(65 + 10 = 75\)
Ověření:
Celkem za \(3\) hodiny: \(3 \times 65 + 3 \times 75 = 195 + 225 = 420\)
Odpověď: Druhý stroj vyrábí \(65\) součástek za hodinu, první \(75\).
63. V restauraci se podávají dvě jídla, A a B. Jídlo A stojí \(150\) Kč, jídlo B \(200\) Kč. Za den bylo prodáno celkem \(80\) jídel a tržba byla \(13000\) Kč. Kolik jídel každého druhu bylo prodáno?
Řešení příkladu:
Označíme počet jídel A jako \(x\), jídel B jako \(y\).
Odpověď: Prodáno bylo \(60\) jídel A a \(20\) jídel B.
64. V lese rostou dvě druhy stromů, duby a borovice. Dubů je o \(120\) více než borovic. Celkový počet stromů je \(520\). Kolik je dubů a kolik borovic?
Řešení příkladu:
Označíme počet borovic jako \(x\), počet dubů bude \(x + 120\).
Celkový počet stromů je \(520\):
\(x + (x + 120) = 520\)
\(2x + 120 = 520\)
\(2x = 520 – 120 = 400\)
\(x = \frac{400}{2} = 200\)
Počet borovic je \(200\), dubů je:
\(200 + 120 = 320\)
Ověření součtu:
\(320 + 200 = 520\)
Odpověď: V lese je \(320\) dubů a \(200\) borovic.
65. Ve skladu jsou dva druhy krabic, malé a velké. Malé váží \(3\) kg, velké \(7\) kg. Celkem je \(50\) krabic a jejich hmotnost je \(230\) kg. Kolik je malých a kolik velkých krabic?
Řešení příkladu:
Označíme počet malých krabic jako \(x\), počet velkých jako \(y\).
Celkem je \(50\) krabic:
\(x + y = 50\)
Celková hmotnost je \(230\) kg:
\(3x + 7y = 230\)
Vyjádříme \(y\) z první rovnice:
\(y = 50 – x\)
Dosadíme do druhé rovnice:
\(3x + 7(50 – x) = 230\)
\(3x + 350 – 7x = 230\)
\(-4x + 350 = 230\)
\(-4x = 230 – 350 = -120\)
\(x = \frac{120}{4} = 30\)
Počet malých krabic je \(30\), velkých:
\(50 – 30 = 20\)
Ověření hmotnosti:
\(3 \times 30 + 7 \times 20 = 90 + 140 = 230\)
Odpověď: Ve skladu je \(30\) malých a \(20\) velkých krabic.
66. Dva kamarádi si rozdělili částku \(9000\) Kč tak, že první dostal o \(2000\) Kč více než druhý. Kolik dostal každý?
Řešení příkladu:
Označíme částku druhého jako \(x\), první dostal \(x + 2000\).
Celková částka je \(9000\) Kč:
\(x + (x + 2000) = 9000\)
\(2x + 2000 = 9000\)
\(2x = 9000 – 2000 = 7000\)
\(x = \frac{7000}{2} = 3500\)
První dostal:
\(3500 + 2000 = 5500\)
Odpověď: První dostal \(5500\) Kč, druhý \(3500\) Kč.
67. V továrně pracují dva pracovníci. První vyrobí za hodinu o \(3\) kusy více než druhý. Dohromady za \(5\) hodin vyrobí \(130\) kusů. Kolik kusů vyrobí každý z nich za hodinu?
Řešení příkladu:
Nejprve si definujeme proměnné:
Označíme počet kusů, které vyrobí druhý pracovník za hodinu, jako \(x\).
Podle zadání první pracovník vyrobí o \(3\) kusy více, tedy \(x + 3\) kusů za hodinu.
Za \(5\) hodin druhý pracovník vyrobí celkem \(5x\) kusů.
První pracovník za \(5\) hodin vyrobí \(5(x + 3) = 5x + 15\) kusů.
Dohromady vyrobí za \(5\) hodin:
\(5x + (5x + 15) = 130\)
Sečteme členy stejného typu:
\(10x + 15 = 130\)
Odečteme \(15\) od obou stran rovnice:
\(10x = 115\)
Vydělíme obě strany \(10\):
\(x = 11{,}5\)
To znamená, že druhý pracovník vyrobí \(11{,}5\) kusu za hodinu.
Odpověď: Druhý pracovník vyrobí \(11{,}5\) kusu za hodinu, první pracovník \(14{,}5\) kusu za hodinu.
68. Autobus a vlak vyjedou současně z města A do města B vzdáleného \(360\) km. Autobus jede o \(15\) km/h rychleji než vlak. Vlak přijede do města B o \(1\) hodinu později než autobus. Jaká je rychlost autobusu a vlaku?
Řešení příkladu:
Nechť rychlost vlaku je \(x\) km/h.
Potom rychlost autobusu je \(x + 15\) km/h.
Čas jízdy vlaku je \(\frac{360}{x}\) hodin, čas jízdy autobusu je \(\frac{360}{x + 15}\) hodin.
Podle zadání vlak přijede o \(1\) hodinu později než autobus, tedy:
\(\frac{360}{x} = \frac{360}{x + 15} + 1\)
Vyjádříme rovnici:
\(\frac{360}{x} – \frac{360}{x + 15} = 1\)
Provedeme společného jmenovatele:
\(\frac{360(x + 15) – 360x}{x(x + 15)} = 1\)
Zjednodušíme čitatele:
\(\frac{360x + 5400 – 360x}{x(x + 15)} = 1\)
\(\frac{5400}{x(x + 15)} = 1\)
Odečteme obě strany rovnice:
\(5400 = x(x + 15)\)
Rozepíšeme pravou stranu:
\(5400 = x^2 + 15x\)
Přesuneme všechny členy na jednu stranu:
\(x^2 + 15x – 5400 = 0\)
Vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu:
Rozdíl je \(5{,}42 – 4{,}42 = 1\) hodina, což souhlasí se zadáním.
Odpověď: Rychlost vlaku je přibližně \(66{,}37\) km/h, rychlost autobusu \(81{,}37\) km/h.
69. Dva investoři vložili dohromady \(100000\) Kč do dvou různých investic. První investice přináší roční výnos \(6\%\), druhá \(8\%\). Celkový roční výnos z obou investic byl \(7200\) Kč. Kolik peněz bylo investováno v každé investici?
Řešení příkladu:
Označíme částku první investice jako \(x\), částka druhé investice bude \(100000 – x\).
Celkový výnos je součet výnosů z obou investic:
\(0{,}06x + 0{,}08(100000 – x) = 7200\)
Rozepíšeme závorku:
\(0{,}06x + 8000 – 0{,}08x = 7200\)
Sjednotíme členy s \(x\):
\(-0{,}02x + 8000 = 7200\)
Odečteme \(8000\) od obou stran:
\(-0{,}02x = -800\)
Vydělíme \(-0{,}02\):
\(x = \frac{-800}{-0{,}02} = 40000\)
První investice byla \(40000\) Kč, druhá:
\(100000 – 40000 = 60000\) Kč.
Odpověď: Do první investice bylo vloženo \(40000\) Kč, do druhé \(60000\) Kč.
70. V rodině jsou dvě děti, jejichž věk se nyní liší o \(4\) roky. Za \(6\) let bude starší dítě dvakrát starší než mladší dítě. Kolik je každému dítěti nyní?
Řešení příkladu:
Nechť věk mladšího dítěte nyní je \(x\) let.
Věk staršího dítěte je tedy \(x + 4\) let.
Za \(6\) let bude věk mladšího dítěte \(x + 6\) a staršího dítěte \(x + 4 + 6 = x + 10\).
Podle zadání bude starší dítě dvakrát starší než mladší:
\(x + 10 = 2(x + 6)\)
Rozepíšeme pravou stranu:
\(x + 10 = 2x + 12\)
Přesuneme všechny členy na jednu stranu:
\(x + 10 – 2x – 12 = 0 \Rightarrow -x – 2 = 0\)
\(-x = 2\)
\(x = -2\)
Výsledek je záporný, což není možné pro věk dítěte. To znamená, že jsme nesprávně interpretovali zadání nebo je v zadání chyba.
Zkontrolujeme interpretaci zadání znovu.
Možná že „bude dvakrát starší“ znamená, že starší bude dvakrát starší než mladší, tedy:
\(x + 10 = 2(x + 6)\) — což je to, co jsme použili.
Protože výsledek vychází záporný, zkusíme obrátit, že mladší je o \(4\) roky starší (možná zaměnění věků):
Označíme věk staršího dítěte jako \(x\), mladší je pak \(x – 4\).
Za \(6\) let:
Starší bude \(x + 6\), mladší \(x – 4 + 6 = x + 2\).
Podmínka:
\(x + 6 = 2(x + 2)\)
Rozepíšeme:
\(x + 6 = 2x + 4\)
Přesuneme:
\(x + 6 – 2x – 4 = 0 \Rightarrow -x + 2 = 0\)
\(-x = -2\)
\(x = 2\)
Současný věk staršího dítěte je \(2\) roky.
Věk mladšího dítěte je:
\(2 – 4 = -2\) let, což není možné.
Zdá se, že věkový rozdíl nelze dodržet, pokud zadání není upřesněno.
Předpokládáme, že věkový rozdíl je \(4\) roky a že starší dítě bude dvakrát starší za \(6\) let, tedy původní rovnice platí, ale s opačným znaménkem:
Zadání je standardní, použijeme původní rovnice a zkusíme je vyřešit bez záporného výsledku:
Protože výsledkem je záporný věk, upravíme zadání: rozdíl věků je \(4\) roky, za \(6\) let bude starší dítě dvakrát starší než mladší.
Definujeme proměnné:
\(x\) — věk mladšího dítěte nyní.
\(x + 4\) — věk staršího dítěte nyní.
Podmínka za \(6\) let:
\(x + 10 = 2(x + 6)\) – Tato rovnice dává záporný výsledek, což není možné.
Jedině pokud věkový rozdíl není \(4\), ale jiný, nebo bude podmínka jiná.
Zadání je neřešitelné v daném znění, proto navrhneme nový úkol.
71. Dvě čísla mají součet \(48\) a jejich rozdíl je \(8\). Najděte obě čísla a zjistěte jejich součin.
Řešení příkladu:
Označíme první číslo jako \(x\), druhé jako \(y\).
Podle zadání platí:
\(x + y = 48\)
\(x – y = 8\)
Sčítáme obě rovnice:
\(x + y + x – y = 48 + 8 \Rightarrow 2x = 56\)
\(x = 28\)
Dosadíme zpět do první rovnice:
\(28 + y = 48 \Rightarrow y = 20\)
Součin je:
\(28 \cdot 20 = 560\)
Odpověď: Čísla jsou \(28\) a \(20\), jejich součin je \(560\).
72. V obchodě prodávají dva druhy ovoce. Poměr cen je \(3:5\). Pokud koupíme \(7\) kusů prvního druhu a \(5\) kusů druhého druhu, zaplatíme \(190\) Kč. Kolik stojí jeden kus každého druhu?
Řešení příkladu:
Označíme cenu jednoho kusu prvního druhu jako \(3x\), cenu jednoho kusu druhého druhu jako \(5x\).
Cena za \(7\) kusů prvního druhu je \(7 \cdot 3x = 21x\).
Cena za \(5\) kusů druhého druhu je \(5 \cdot 5x = 25x\).
Odpověď: Jeden kus prvního druhu stojí přibližně \(12{,}39\) Kč, jeden kus druhého druhu přibližně \(20{,}65\) Kč.
73. Součet délek dvou stran obdélníku je \(30\) cm. Pokud zvýšíme jednu stranu o \(3\) cm a druhou snížíme o \(2\) cm, obsah se nezmění. Najděte délky stran obdélníku.
Řešení příkladu:
Označíme délky stran obdélníku jako \(x\) a \(y\).
Podle zadání:
\(x + y = 30\)
Obsah původního obdélníku je \(S = xy\).
Po úpravě stran je obsah stejný, tedy:
\((x + 3)(y – 2) = xy\)
Rozepíšeme levou stranu:
\(xy – 2x + 3y – 6 = xy\)
Odstraníme \(xy\) na obou stranách:
\(-2x + 3y – 6 = 0\)
Přidáme \(6\) na pravou stranu:
\(-2x + 3y = 6\)
Dosadíme \(y = 30 – x\) z první rovnice:
\(-2x + 3(30 – x) = 6\)
\(-2x + 90 – 3x = 6\)
\(-5x + 90 = 6\)
\(-5x = 6 – 90 = -84\)
\(x = \frac{84}{5} = 16{,}8\)
Vypočítáme \(y\):
\(y = 30 – 16{,}8 = 13{,}2\)
Odpověď: Délky stran jsou \(16{,}8\) cm a \(13{,}2\) cm.
74. Auto ujede vzdálenost mezi dvěma městy za \(3\) hodiny. Kdyby jelo o \(10\) km/h rychleji, ujelo by stejnou vzdálenost za \(2{,}5\) hodiny. Jaká je původní rychlost auta?
Řešení příkladu:
Označíme původní rychlost auta jako \(v\) (km/h).
Vzdálenost mezi městy je \(s = 3v\).
Kdyby auto jelo o \(10\) km/h rychleji, rychlost by byla \(v + 10\) km/h.
Čas jízdy by byl \(2{,}5\) hodiny, tedy vzdálenost je:
\(s = (v + 10) \cdot 2{,}5\)
Protože vzdálenost je stejná, platí:
\(3v = 2{,}5(v + 10)\)
Rozepíšeme pravou stranu:
\(3v = 2{,}5v + 25\)
Přesuneme členy s \(v\) na levou stranu:
\(3v – 2{,}5v = 25\)
\(0{,}5v = 25\)
\(v = \frac{25}{0{,}5} = 50\)
Odpověď: Původní rychlost auta byla \(50\) km/h.
75. Součet tří po sobě jdoucích celých čísel je \(75\). Najděte tato čísla.
Řešení příkladu:
Označíme nejmenší z těchto čísel jako \(x\).
Další čísla jsou \(x + 1\) a \(x + 2\).
Podle zadání platí:
\(x + (x + 1) + (x + 2) = 75\)
\(3x + 3 = 75\)
\(3x = 72\)
\(x = 24\)
Čísla jsou tedy \(24\), \(25\) a \(26\).
Odpověď: Tři po sobě jdoucí čísla jsou \(24\), \(25\) a \(26\).
76. V obchodě prodávají dva druhy kávy. Cena jednoho kilogramu prvního druhu je o \(20\) Kč nižší než cena druhého druhu. Pokud bychom koupili \(3\) kg prvního druhu a \(2\) kg druhého druhu, zaplatili bychom \(340\) Kč. Kolik stojí jeden kilogram každého druhu kávy?
Řešení příkladu:
Označíme cenu jednoho kilogramu druhého druhu kávy jako \(x\) Kč.
Podle zadání je cena prvního druhu o \(20\) Kč nižší, tedy \(x – 20\) Kč za kilogram.
Celková cena za \(3\) kg prvního druhu a \(2\) kg druhého druhu je:
\(3(x – 20) + 2x = 340\)
Roznásobíme závorku:
\(3x – 60 + 2x = 340\)
Sčítáme členy s \(x\):
\(5x – 60 = 340\)
Přičteme \(60\) na obě strany rovnice:
\(5x = 400\)
Vydělíme obě strany pěti:
\(x = 80\)
Cena druhého druhu kávy je \(80\) Kč/kg.
Cena prvního druhu kávy je tedy:
\(80 – 20 = 60\)
Odpověď: Cena prvního druhu je \(60\) Kč/kg, druhého druhu \(80\) Kč/kg.
77. Dvě čísla mají součet \(45\) a jejich rozdíl je \(9\). Najděte tato čísla a vypočítejte jejich podíl (větší číslo děleno menším).
Řešení příkladu:
Označíme menší číslo jako \(x\), větší číslo je pak \(x + 9\).
Podle zadání platí:
\(x + (x + 9) = 45\)
Sečteme členy:
\(2x + 9 = 45\)
Odečteme \(9\) od obou stran:
\(2x = 36\)
Vydělíme \(2\):
\(x = 18\)
Větší číslo je:
\(18 + 9 = 27\)
Podíl většího čísla ku menšímu je:
\(\frac{27}{18} = 1,5\)
Odpověď: Čísla jsou \(18\) a \(27\), jejich podíl je \(1,5\).
78. V parku jsou dvě fontány. První fontána naplní bazén za \(6\) hodin, druhá za \(4\) hodiny. Jak dlouho bude trvat naplnění bazénu, když obě fontány pracují současně?
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, jaký díl bazénu naplní každá fontána za jednu hodinu.
První fontána naplní za hodinu \(\frac{1}{6}\) bazénu.
Druhá fontána naplní za hodinu \(\frac{1}{4}\) bazénu.
Když pracují současně, jejich společná rychlost naplnění je:
Odpověď: Bazén se naplní za \(2\) hodiny a \(24\) minut, když pracují obě fontány současně.
79. Součet věků dvou sourozenců je \(28\) let. Před \(4\) lety byl věk staršího sourozence třikrát větší než věk mladšího. Jaké jsou nyní jejich věky?
Řešení příkladu:
Označíme věk mladšího sourozence nyní jako \(x\) let.
Věk staršího sourozence je tedy \(28 – x\) let, protože jejich věky dohromady dávají \(28\).
Před \(4\) lety byl věk mladšího sourozence \(x – 4\) let a staršího \(28 – x – 4 = 24 – x\) let.
Podle zadání platí, že věk staršího byl třikrát větší než věk mladšího:
\(24 – x = 3(x – 4)\)
Roznásobíme pravou stranu:
\(24 – x = 3x – 12\)
Přesuneme všechny členy s \(x\) na jednu stranu:
\(24 + 12 = 3x + x\)
\(36 = 4x\)
Vydělíme obě strany čtyřmi:
\(x = 9\)
Věk mladšího sourozence je \(9\) let.
Věk staršího sourozence je:
\(28 – 9 = 19\) let.
Odpověď: Mladší sourozenec je \(9\) let, starší \(19\) let.
80. V automobilu jsou dvě nádrže. První se naplní za \(5\) hodin, druhá za \(3\) hodiny. Když se obě nádrže plní současně, za kolik hodin budou naplněny obě nádrže, pokud naplnění začne současně?
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, jakou část nádrže naplní každá za hodinu:
První nádrž: \(\frac{1}{5}\) za hodinu.
Druhá nádrž: \(\frac{1}{3}\) za hodinu.
První nádrž bude naplněna za \(5\) hodin, druhá za \(3\) hodiny, proto první plní rychlostí \(\frac{1}{5}\), druhá \(\frac{1}{3}\).
Naplnění začíná současně, každá nádrž se plní samostatně svým tempem.
Otázka zní: za jak dlouho budou obě nádrže naplněné, tedy za jak dlouho bude naplněna ta pomalejší a ta rychlejší? To znamená, že se musíme podívat na čas, kdy bude naplněna nádrž, která se naplňuje déle.
Čas naplnění první nádrže je \(5\) hodin, druhé \(3\) hodiny.
Protože naplnění probíhá současně, celkový čas je \(\max(5, 3) = 5\) hodin.
Odpověď: Obě nádrže budou naplněny za \(5\) hodin, protože pomalejší nádrž určuje celkový čas.
81. Dva dělníci pracují na opravě silnice. První dělník dokončí práci za \(8\) hodin, druhý za \(12\) hodin. Jak dlouho budou potřebovat, pokud budou pracovat společně?
Řešení příkladu:
První dělník vykoná za hodinu \(\frac{1}{8}\) práce.
Druhý dělník vykoná za hodinu \(\frac{1}{12}\) práce.
Odpověď: Společná práce obou dělníků trvá \(4\) hodiny a \(48\) minut.
82. Součet věků dvou lidí je \(65\) let. Za \(5\) let bude věk prvního dvakrát větší než věk druhého. Jaký je současný věk obou lidí?
Řešení příkladu:
Označíme věk prvního člověka jako \(x\) a věk druhého jako \(65 – x\).
Za \(5\) let bude věk prvního \(x + 5\) a věk druhého \(65 – x + 5 = 70 – x\).
Podle zadání platí:
\(x + 5 = 2(70 – x)\)
Roznásobíme pravou stranu:
\(x + 5 = 140 – 2x\)
Přesuneme členy s \(x\) na jednu stranu:
\(x + 2x = 140 – 5\)
\(3x = 135\)
Vydělíme třemi:
\(x = 45\)
Věk druhého člověka je:
\(65 – 45 = 20\)
Odpověď: První člověk je \(45\) let, druhý \(20\) let.
83. Dva cyklisté vyjeli ze stejného místa ve stejnou dobu, každý jiným směrem. První cyklista jede rychlostí \(15\) km/h, druhý \(10\) km/h. Po kolika hodinách budou od sebe vzdáleni \(125\) km?
Řešení příkladu:
Předpokládáme, že cyklisté jedou přímo od sebe.
Jejich rychlost vzdálení se sčítá:
\(15 + 10 = 25\) km/h.
Vzdálenost je \(125\) km, proto čas \(t\) určíme jako:
\(t = \frac{125}{25} = 5\) hodin.
Odpověď: Po \(5\) hodinách budou od sebe cyklisté vzdáleni \(125\) km.
84. V obchodě se prodávají dvě druhy ovoce. Cena \(1\) kg jablek a \(1\) kg hrušek je dohromady \(70\) Kč. Pokud koupíme \(3\) kg jablek a \(2\) kg hrušek, zaplatíme \(170\) Kč. Kolik stojí kilogram jablek a kolik kilogram hrušek?
Řešení příkladu:
Označíme cenu \(1\) kg jablek jako \(x\) Kč a cenu \(1\) kg hrušek jako \(y\) Kč.
Podle první informace platí:
\(x + y = 70\)
Podle druhé informace platí:
\(3x + 2y = 170\)
Z první rovnice vyjádříme \(y\):
\(y = 70 – x\)
Dosadíme do druhé rovnice:
\(3x + 2(70 – x) = 170\)
\(3x + 140 – 2x = 170\)
\(x + 140 = 170\)
\(x = 30\)
Dosadíme zpět do \(y = 70 – x\):
\(y = 70 – 30 = 40\)
Odpověď: Cena jablek je \(30\) Kč/kg, cena hrušek \(40\) Kč/kg.
85. V bazénu jsou dva odtoky. První dokáže bazén vypustit za \(10\) hodin, druhý za \(15\) hodin. Jak dlouho bude trvat, než bazén vypustí oba odtoky současně?
Řešení příkladu:
Určíme, jakou část bazénu vypustí každý odtok za jednu hodinu:
První odtok vypustí za hodinu \(\frac{1}{10}\) bazénu.
Druhý odtok vypustí za hodinu \(\frac{1}{15}\) bazénu.
Celý bazén je \((1)\), proto čas potřebný k vypuštění je inverzní hodnota společné rychlosti:
\(t = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6\) hodin.
Odpověď: Bazén vypustí oba odtoky současně za \(6\) hodin.
86. Dva kamarádi mají dohromady \(90\) Kč. První má o \(10\) Kč více než druhý. Kolik má každý z nich peněz?
Řešení příkladu:
Označíme částku prvního kamaráda jako \(x\) Kč.
Částka druhého kamaráda je tedy \(x – 10\) Kč.
Podle zadání platí:
\(x + (x – 10) = 90\)
\(2x – 10 = 90\)
\(2x = 100\)
\(x = 50\)
Druhý kamarád má:
\(50 – 10 = 40\) Kč.
Odpověď: První kamarád má \(50\) Kč, druhý \(40\) Kč.
87. V zahradě jsou dva druhy stromů – jabloně a hrušně. Celkem je tam \(60\) stromů. Počtem jabloní je o \(12\) více než hrušní. Kolik je tam jabloní a kolik hrušní?
Řešení příkladu:
Označíme počet hrušní jako \(y\).
Počet jabloní je tedy \(y + 12\).
Podle zadání platí:
\(y + (y + 12) = 60\)
\(2y + 12 = 60\)
\(2y = 48\)
\(y = 24\)
Počet jabloní je:
\(24 + 12 = 36\)
Odpověď: V zahradě je \(36\) jabloní a \(24\) hrušní.
88. Auto ujede cestu za \(5\) hodin. Kdyby jelo o \(10\) km/h rychleji, ujelo by ji za \(4\) hodiny. Jaká je délka této cesty?
Řešení příkladu:
Označíme rychlost auta jako \(v\) km/h.
Délka cesty je \(s = 5v\).
Při rychlosti o \(10\) km/h vyšší je rychlost \(v + 10\) km/h a doba jízdy \(4\) hodiny:
\(s = 4(v + 10)\)
Proto platí rovnice:
\(5v = 4(v + 10)\)
\(5v = 4v + 40\)
\(5v – 4v = 40\)
\(v = 40\)
Délka cesty je tedy:
\(s = 5 \cdot 40 = 200\) km.
Odpověď: Délka cesty je \(200\) km.
89. Vypočítejte délku základny rovnoramenného trojúhelníku, pokud jeho obvod je \(48\) cm a ramena jsou dlouhá \(15\) cm.
Řešení příkladu:
Označíme délku základny jako \(b\) cm.
Obvod je součet všech stran:
\(b + 2 \cdot 15 = 48\)
\(b + 30 = 48\)
\(b = 48 – 30 = 18\)
Odpověď: Délka základny je \(18\) cm.
90. Dva stroje vyrábějí stejný počet výrobků. První stroj pracuje \(6\) hodin a druhý \(4\) hodiny. Pokud by druhý stroj pracoval \(2\) hodiny déle, vyráběli by oba stejně dlouho. Jak dlouho by měl první stroj pracovat, aby vyrobil dvakrát tolik výrobků jako druhý za \(4\) hodiny?
Řešení příkladu:
Označíme rychlost výroby prvního stroje jako \(v_1\) výrobků za hodinu a druhého jako \(v_2\).
Podle zadání první stroj za \(6\) hodin vyrobí \(6v_1\), druhý za \(4\) hodiny \(4v_2\), přičemž oba vyrobí stejný počet výrobků:
\(6v_1 = 4v_2\)
Druhý stroj, kdyby pracoval o \(2\) hodiny déle (tedy \(6\) hodin), vyráběl by stejně dlouho jako první stroj.
Chceme najít dobu \(t\), po kterou by první stroj musel pracovat, aby vyrobil dvakrát tolik výrobků jako druhý stroj za \(4\) hodiny:
\(t v_1 = 2 \cdot 4 v_2 = 8 v_2\)
Ze vztahu \(6v_1 = 4v_2\) vyjádříme \(v_2\):
\(v_2 = \frac{6}{4} v_1 = \frac{3}{2} v_1\)
Dosadíme do rovnice pro \(t\):
\(t v_1 = 8 \cdot \frac{3}{2} v_1 = 12 v_1\)
Vydělíme obě strany \(v_1\):
\(t = 12\)
Odpověď: První stroj musí pracovat \(12\) hodin, aby vyrobil dvakrát tolik výrobků jako druhý za \(4\) hodiny.
91. Dva přátelé si rozdělili částku \(540\) Kč tak, že první dostal o \(80\) Kč více než druhý. Kolik dostal každý?
Řešení příkladu:
Označíme částku druhého přítele jako \(x\) Kč.
První přítel dostal o \(80\) Kč více, tedy \(x + 80\) Kč.
Podle zadání platí součet částek:
\(x + (x + 80) = 540\)
\(2x + 80 = 540\)
Odečteme \(80\) od obou stran:
\(2x = 460\)
Vydělíme \(2\):
\(x = 230\)
První přítel dostal:
\(230 + 80 = 310\) Kč.
Odpověď: První přítel dostal \(310\) Kč, druhý \(230\) Kč.
92. V balíku jsou bankovky o hodnotě \(50\) Kč a \(100\) Kč. Celkem je tam \(40\) bankovek a jejich hodnota je \(3100\) Kč. Kolik je bankovek každého druhu?
Řešení příkladu:
Označíme počet bankovek o \(50\) Kč jako \(x\), a počet bankovek o \(100\) Kč jako \(y\).
Podle počtu bankovek:
\(x + y = 40\)
Podle hodnoty bankovek:
\(50x + 100y = 3100\)
Z první rovnice vyjádříme \(y\):
\(y = 40 – x\)
Dosadíme do rovnice pro hodnotu:
\(50x + 100(40 – x) = 3100\)
\(50x + 4000 – 100x = 3100\)
\(-50x + 4000 = 3100\)
\(-50x = 3100 – 4000 = -900\)
\(x = \frac{-900}{-50} = 18\)
Počet bankovek o \(100\) Kč je:
\(y = 40 – 18 = 22\)
Odpověď: Je \(18\) bankovek o \(50\) Kč a \(22\) bankovek o \(100\) Kč.
93. Auto ujede určitou vzdálenost za \(4\) hodiny. Kdyby jelo o \(10\) km/h rychleji, ujelo by ji za \(3\) hodiny. Jaká je tato vzdálenost?
Řešení příkladu:
Označíme rychlost auta jako \(v\) km/h.
Délka cesty je \(s = 4v\).
Kdyby auto jelo o \(10\) km/h rychleji, tedy rychlostí \(v + 10\), ujelo by cestu za \(3\) hodiny:
\(s = 3(v + 10)\)
Rovnice pro délku cesty:
\(4v = 3(v + 10)\)
Roznásobíme pravou stranu:
\(4v = 3v + 30\)
Odečteme \(3v\) od obou stran:
\(v = 30\)
Délka cesty je tedy:
\(s = 4 \cdot 30 = 120\) km.
Odpověď: Vzdálenost je \(120\) km.
94. Dva stroje pracují společně a vyrobí \(180\) kusů za \(6\) hodin. První stroj pracuje rychlostí \(20\) kusů za hodinu. Jakou rychlostí pracuje druhý stroj?
Řešení příkladu:
Rychlost prvního stroje je \(20\) kusů/hod.
Za \(6\) hodin vyrobí první stroj:
\(20 \times 6 = 120\) kusů.
Celkem oba stroje vyrobí \(180\) kusů za \(6\) hodin, takže druhý stroj vyrobí za \(6\) hodin:
\(180 – 120 = 60\) kusů.
Rychlost druhého stroje je tedy:
\(\frac{60}{6} = 10\) kusů za hodinu.
Odpověď: Druhý stroj pracuje rychlostí \(10\) kusů za hodinu.
95. Dva cyklisté vyjeli ze dvou měst vzdálených \(150\) km a jedou proti sobě. První jede rychlostí \(25\) km/h, druhý \(20\) km/h. Za jak dlouho se setkají?
Řešení příkladu:
Celková vzdálenost mezi městy je \(150\) km.
Cyklisté jedou proti sobě, proto se jejich rychlosti sčítají:
Odpověď: Cyklisté se setkají za přibližně \(3\) hodiny a \(20\) minut.
96. V obchodě koupíme \(4\) kg jablek a \(3\) kg hrušek za \(230\) Kč. Cena \(1\) kg jablek je o \(10\) Kč vyšší než cena \(1\) kg hrušek. Kolik stojí kilogram jablek a kolik kilogram hrušek?
Řešení příkladu:
Označíme cenu \(1\) kg hrušek jako \(x\) Kč, cena jablek je \(x + 10\) Kč.
Podle ceny za celkové množství platí:
\(4(x + 10) + 3x = 230\)
Roznásobíme:
\(4x + 40 + 3x = 230\)
\(7x + 40 = 230\)
Odečteme \(40\) od obou stran:
\(7x = 190\)
Vydělíme \(7\):
\(x = \frac{190}{7} \approx 27{,}14\) Kč.
Cena jablek je:
\(27{,}14 + 10 = 37{,}14\) Kč/kg.
Odpověď: Hrušky stojí přibližně \(27{,}14\) Kč/kg, jablka \(37{,}14\) Kč/kg.
97. Zaměstnanec dostal za práci \(4500\) Kč, což je o \(15\,\%\) více než předchozí měsíc. Kolik vydělal před měsícem?
Řešení příkladu:
Označíme výdělek před měsícem jako \(x\) Kč.
Podle zadání:
\(x + 0{,}15x = 4500\)
\(1{,}15x = 4500\)
Vydělíme \(1{,}15\):
\(x = \frac{4500}{1{,}15} \approx 3913{,}04\) Kč.
Odpověď: Před měsícem zaměstnanec vydělal přibližně \(3913\) Kč.
98. Tři pracovníci společně dokončí práci za \(8\) hodin. První sám by ji dokončil za \(24\) hodin, druhý za \(12\) hodin. Za jak dlouho by práci dokončil třetí pracovník sám?
Řešení příkladu:
První pracovník odvede za hodinu \(\frac{1}{24}\) práce.
Druhý pracovník odvede za hodinu \(\frac{1}{12}\) práce.
Tři společně odvedou za hodinu \(\frac{1}{8}\) práce.
Označíme rychlost třetího pracovníka jako \(\frac{1}{t}\) práce za hodinu, kde \(t\) je doba v hodinách, za kterou by práci dokončil sám.
Což znamená \(\frac{1}{t} = 0\), což není možné — znamená to, že třetí pracovník práci nedělá, nebo je chyba v zadání.
Opravme zadání na: Dva pracovníci společně dokončí práci za \(8\) hodin (první \(24\), druhý \(12\)), zjistěme čas třetího pokud společně dají práci za \(6\) hodin.
Pro původní zadání předpokládáme kratší společný čas, například \(6\) hodin.
Nové zadání: Tři pracovníci společně dokončí práci za \(6\) hodin.
Odpověď: Třetí pracovník by práci dokončil za \(24\) hodin.
99. Z obdélníku s obvodem \(48\) cm se sníží délka o \(2\) cm a šířka o \(3\) cm. O kolik se změní obsah obdélníku, jestliže původní délka byla \(14\) cm?
Řešení příkladu:
Označíme délku \(a = 14\) cm a šířku \(b\) cm.
Obvod obdélníku je:
\(2(a + b) = 48\)
\(a + b = 24\)
Dosadíme \(a = 14\):
\(14 + b = 24 \Rightarrow b = 10\) cm.
Původní obsah je:
\(S_1 = a \times b = 14 \times 10 = 140\) cm².
Po snížení rozměrů je délka \(14 – 2 = 12\) cm, šířka \(10 – 3 = 7\) cm.
Nový obsah je:
\(S_2 = 12 \times 7 = 84\) cm².
Změna obsahu je:
\(140 – 84 = 56\) cm².
Odpověď: Obsah se zmenšil o \(56\) cm².
100. Cenu výrobku sníží o \(20\) %, poté ji zvýší o \(30\) %. O kolik procent je cena po těchto změnách vyšší nebo nižší než původní cena?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu jako \(100\) % (například \(100\) Kč).
