Slovní úlohy o pohybu

Řešení příkladu:

Cesta je celkem 150 km, polovina je \( \frac{150}{2} = 75 \) km. První část cesty jede rychlostí 60 km/h, čas první části je \[ t_1 = \frac{75}{60} = 1{,}25 \text{ h}. \] Druhou polovinu jede rychlostí 90 km/h, čas druhé části je \[ t_2 = \frac{75}{90} = \frac{5}{6} \text{ h} \approx 0{,}8333 \text{ h}. \] Celkový čas cesty je \[ t = t_1 + t_2 = 1{,}25 + 0{,}8333 = 2{,}0833 \text{ h}. \] Pro lepší představu převedeme čas na hodiny a minuty: \[ 0{,}0833 \times 60 = 5 \text{ minut}. \] Cesta tedy trvala 2 hodiny a 5 minut.

Řešení příkladu:

Průměrná rychlost se vypočítá jako poměr celkové vzdálenosti a času: \[ v = \frac{15}{3} = 5 \text{ km/h}. \] Za 5 hodin ujde chodec vzdálenost \[ s = v \times t = 5 \times 5 = 25 \text{ km}. \] Průměrná rychlost byla 5 km/h a za 5 hodin by ušel 25 km.

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme 2 hodiny a 30 minut na hodiny: \[ 2 + \frac{30}{60} = 2{,}5 \text{ h}. \] Vzdálenost za tuto dobu je \[ s = v \times t = 20 \times 2{,}5 = 50 \text{ km}. \] Čas potřebný na 45 km je \[ t = \frac{s}{v} = \frac{45}{20} = 2{,}25 \text{ h} = 2 \text{ hodiny } 15 \text{ minut}. \]

Řešení příkladu:

Za první hodinu ujel autobus 50 km. Zbývající vzdálenost je \[ 180 – 50 = 130 \text{ km}. \] Čas na zbytek cesty je \[ t_2 = \frac{130}{60} \approx 2{,}1667 \text{ h}. \] Celkový čas je \[ t = 1 + 2{,}1667 = 3{,}1667 \text{ h} = 3 \text{ hodiny } 10 \text{ minut}. \]

Řešení příkladu:

Převedeme minuty na hodiny: \[ t_1 = \frac{30}{60} = 0{,}5 \text{ h}, \quad t_2 = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \text{ h}. \] Vzdálenost během pomalého běhu je \[ s_1 = v_1 \times t_1 = 8 \times 0{,}5 = 4 \text{ km}. \] Vzdálenost během rychlého běhu je \[ s_2 = 12 \times \frac{1}{3} = 4 \text{ km}. \] Celková vzdálenost je \[ s = s_1 + s_2 = 4 + 4 = 8 \text{ km}. \]

Řešení příkladu:

Rychlost lodě po proudu je \[ v_{po} = 15 + 3 = 18 \text{ km/h}. \] Vzdálenost, kterou ujede za 4 hodiny, je \[ s = v_{po} \times t = 18 \times 4 = 72 \text{ km}. \] Rychlost lodě proti proudu je \[ v_{proti} = 15 – 3 = 12 \text{ km/h}. \] Čas potřebný na vzdálenost 60 km proti proudu je \[ t = \frac{60}{12} = 5 \text{ hodin}. \]

Řešení příkladu:

Převedeme čas na hodiny: \[ t = 4 + \frac{30}{60} = 4{,}5 \text{ h}. \] Průměrná rychlost je \[ v = \frac{240}{4{,}5} = \frac{240}{4{,}5} = 53{,}33 \text{ km/h}. \] Vzdálenost za 3 hodiny je \[ s = v \times 3 = 53{,}33 \times 3 = 160 \text{ km}. \]

Řešení příkladu:

Celková vzdálenost je \[ s = 5 + 6 + 7 = 18 \text{ km}. \] Celkový čas je \[ t = 3 \text{ h}. \] Průměrná rychlost je \[ v = \frac{s}{t} = \frac{18}{3} = 6 \text{ km/h}. \]

Řešení příkladu:

Rychlost vlaku je \[ v = \frac{360}{3} = 120 \text{ km/h}. \] Čas na 480 km je \[ t = \frac{480}{120} = 4 \text{ hodiny}. \]

Řešení příkladu:

Převedeme 40 minut na hodiny: \[ t = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \text{ h}. \] Průměrná rychlost je \[ v = \frac{12}{\frac{2}{3}} = 12 \times \frac{3}{2} = 18 \text{ km/h}. \] Čas 1 hodina 30 minut převedeme na hodiny: \[ t_2 = 1 + \frac{30}{60} = 1{,}5 \text{ h}. \] Vzdálenost za tuto dobu je \[ s = v \times t_2 = 18 \times 1{,}5 = 27 \text{ km}. \]

Řešení příkladu:

Nejprve si definujeme proměnné. Označíme \( t \) jako dobu (v hodinách), kterou kolo jede, než dojede auto. Víme, že auto jede rychlostí 60 km/h a kolo 75 km/h. Auto má náskok 2 hodiny, během kterých ujede vzdálenost \( s_a = 60 \times 2 = 120 \) km.

Během času \( t \) ujede kolo vzdálenost \( s_k = 75 \times t \) km a auto ujede za celkový čas \( t + 2 \) hodin vzdálenost \( s_a + 60 \times t = 120 + 60t \) km.

Kolo dojede auto ve chvíli, kdy ujede stejnou vzdálenost od města:

\( 75 t = 120 + 60 t \)

Upravíme rovnici:

\( 75 t – 60 t = 120 \Rightarrow 15 t = 120 \Rightarrow t = \frac{120}{15} = 8 \)

To znamená, že kolo jede 8 hodin, než dojede auto. Vzdálenost od města v té chvíli je:

\( s = 75 \times 8 = 600 \) km.

Závěr: Kolo dojede auto za 8 hodin od svého odjezdu, což je 10 hodin po odjezdu auta (2 hodiny náskok + 8 hodin jízdy), a to ve vzdálenosti 600 km od města.

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme délku zbývající cesty jako \( s = 45 \) km. Vlak jede normálně rychlostí \( v = 90 \) km/h, ale má zpoždění \( \Delta t = 0{,}5 \) hodiny (30 minut) a musí dojet včas. Označíme si \( t \) jako čas, který by vlak normálně potřeboval k projetí této vzdálenosti bez zpoždění.

Čas při normální rychlosti:

\( t = \frac{s}{v} = \frac{45}{90} = 0{,}5 \) hodiny.

Vlak ale přijíždí o půl hodiny později, takže skutečný čas, který mu zbývá, aby dojel včas, je

\( t_{\text{skutečný}} = t – \Delta t = 0{,}5 – 0{,}5 = 0 \) hodin.

Tento výpočet by znamenal, že vlak by měl být okamžitě na místě, což není možné. Pravděpodobně je potřeba vyjádřit, jakou rychlostí musí jet od této chvíle, aby se zpoždění vyrovnalo.

Označíme \( v_{\text{nová}} \) jako rychlost, kterou vlak musí jet, aby dojel včas. Čas pro dojezd je tedy původní \( t \).

Protože vlak je zpožděn o \( \Delta t \), musí ujet vzdálenost \( s \) během času \( t – \Delta t \):

\( v_{\text{nová}} = \frac{s}{t – \Delta t} = \frac{45}{0{,}5 – 0{,}5} \).

Vidíme, že jmenovatel je 0, což značí, že vlak nemůže dojet včas, pokud již má zpoždění 30 minut a na překonání vzdálenosti 45 km zbývá pouze 30 minut.

Možná otázka je chybně formulovaná, proto ji upravíme: Vlak je zpožděný o 30 minut, ale musí dojet včas, takže musí zvýšit rychlost tak, aby ujede 45 km za méně než 30 minut.

Čas, který má vlak na ujetí 45 km, je tedy \( t‘ = t – \Delta t = 0{,}5 – 0{,}5 = 0 \), což není možné, takže musí vlak jet rychlostí větší než 90 km/h. Aby to zvládl, spočítáme, jakou rychlostí musí jet za zbytek cesty, jestliže zpoždění je 30 minut a původní čas byl 1 hodina.

Pokud je původní doba jízdy například 1 hodina, a vlak je 30 minut zpožděn, musí ujet 45 km za 30 minut:

\( v_{\text{nová}} = \frac{45}{0{,}5} = 90 \) km/h.

To znamená, že aby vlak dojel včas, musí jet rychlostí alespoň 90 km/h, což je původní rychlost, takže nemůže zpoždění vyrovnat tímto způsobem. Pokud chce vlak dojet včas i při zpoždění, musí jet rychleji než 90 km/h. Například při rychlosti 120 km/h:

Čas jízdy:

\( t = \frac{45}{120} = 0{,}375 \) hodiny = 22,5 minut.

Tímto způsobem vlak může dojet včas, i když je 30 minut zpožděný, protože zkrátí čas jízdy o 7,5 minuty oproti normálním 30 minutám.

Závěr: Vlak musí jet rychlostí větší než 90 km/h, například 120 km/h, aby vyrovnal zpoždění a dojel včas.

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme proměnné. Chodec jde rychlostí \( v_c = 5 \) km/h, běžec běží rychlostí \( v_b = 10 \) km/h. Chodec vyšel o hodinu dříve, takže má náskok \( t_n = 1 \) hodinu. V této době chodec ušel vzdálenost:

\( s_n = v_c \times t_n = 5 \times 1 = 5 \) km.

Označíme \( t \) jako dobu, za kterou běžec doběhne chodce od chvíle, kdy vyběhl.

Během této doby ujede běžec vzdálenost \( s_b = v_b \times t \), chodec ujede vzdálenost \( s_c = v_c \times t \).

Běžec doběhne chodce, když ujeli stejnou vzdálenost od místa, kde běžec začal, tj.:

\( s_b = s_n + s_c \)

Dosadíme:

\( 10 t = 5 + 5 t \Rightarrow 10 t – 5 t = 5 \Rightarrow 5 t = 5 \Rightarrow t = 1 \) hodina.

Celkový čas, kdy běžec doběhne chodce, je 1 hodina po jeho startu.

Chodec tedy za tuto dobu urazí vzdálenost:

\( s = s_n + s_c = 5 + 5 \times 1 = 10 \) km.

Závěr: Běžec doběhne chodce 1 hodinu po svém startu, tedy 2 hodiny po tom, co chodec vyšel, a to ve vzdálenosti 10 km od místa, kde chodec začal.

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme rychlosti:

– Rychlost lodě relativně k vodě \( v_l = 12 \) km/h.

– Rychlost proudu \( v_p = 3 \) km/h.

Plavba proti proudu znamená, že skutečná rychlost lodě vůči pevnině je:

\( v_{proti} = v_l – v_p = 12 – 3 = 9 \) km/h.

Plavba po proudu má rychlost:

\( v_{po} = v_l + v_p = 12 + 3 = 15 \) km/h.

Označíme délku cesty jako \( s \) km. Víme, že cesta zpět (proti proudu) trvá 1,5 hodiny:

\( t_{proti} = 1{,}5 \) hodiny.

Vzdálenost je stejná oběma směry, proto:

\( s = v_{proti} \times t_{proti} = 9 \times 1{,}5 = 13{,}5 \) km.

Čas plavby po proudu je:

\( t_{po} = \frac{s}{v_{po}} = \frac{13{,}5}{15} = 0{,}9 \) hodiny, což je 54 minut.

Závěr: Plavba po proudu trvá 54 minut.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme původní rychlost cyklisty:

\( v = \frac{s}{t} = \frac{80}{4} = 20 \) km/h.

Nový čas je o 30 minut (0,5 hodiny) kratší:

\( t_{\text{nový}} = 4 – 0{,}5 = 3{,}5 \) hodiny.

Nová rychlost musí být:

\( v_{\text{nový}} = \frac{80}{3{,}5} = \frac{80}{3{,}5} = 22{,}857 \) km/h (zaokrouhleno).

Zvýšení rychlosti je tedy:

\( \Delta v = v_{\text{nový}} – v = 22{,}857 – 20 = 2{,}857 \) km/h.

Závěr: Cyklista musí zvýšit rychlost přibližně o 2,86 km/h, aby ujel vzdálenost za 3,5 hodiny místo 4 hodin.

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme polovinu vzdálenosti jako \( s_1 = s_2 = \frac{150}{2} = 75 \) km.

Čas první poloviny cesty je:

\( t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{75}{60} = 1{,}25 \) hodiny.

Čas druhé poloviny cesty je:

\( t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{75}{90} = \frac{5}{6} = 0{,}8333 \) hodiny.

Celkový čas cesty je:

\( t = t_1 + t_2 = 1{,}25 + 0{,}8333 = 2{,}0833 \) hodiny.

Průměrná rychlost je definována jako celková vzdálenost dělená celkovým časem:

\( v_{\text{průměrná}} = \frac{s}{t} = \frac{150}{2{,}0833} \approx 72 \) km/h.

Závěr: Průměrná rychlost autobusu za celou cestu je přibližně 72 km/h.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme čas, který každý potřebuje k ujetí vzdálenosti 30 km:

Pro chodce:

\( t_c = \frac{30}{4} = 7{,}5 \) hodin.

Pro běžce:

\( t_b = \frac{30}{12} = 2{,}5 \) hodin.

Rozdíl v časech je:

\( \Delta t = t_c – t_b = 7{,}5 – 2{,}5 = 5 \) hodin.

Závěr: Běžec dorazí první do místa B, a to o 5 hodin dříve než chodec.

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomme, že auto jede rychlostí 72 km/h a jelo 2 hodiny dříve než motocykl, takže na startu motocyklu má auto náskok v délce cesty:

vzdálenost = rychlost × čas = 72 km/h × 2 h = 144 km.

Motocykl se snaží tento náskok dohnat. Jeho rychlost je 90 km/h, tedy o 18 km/h větší než rychlost auta (90 – 72 = 18 km/h). To znamená, že motocykl každý časový úsek zmenší rozdíl mezi sebou a autem o 18 km.

Čas, za který motocykl dojede auto, vypočteme jako délku náskoku dělenou rozdílem rychlostí:

t = 144 km / 18 km/h = 8 hodin.

Motocykl tedy dojede auto 8 hodin po svém startu.

Doplňující úvaha: Pro ověření můžeme spočítat, jakou vzdálenost urazí auto za celkový čas (2 + 8 = 10 hodin):

Vzdálenost auta = 72 km/h × 10 h = 720 km.

Motocykl za 8 hodin ujede 90 km/h × 8 h = 720 km, což je stejné, potvrzuje to správnost výsledku.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme, jak daleko chodec došel za 2 hodiny před tím, než vyjel cyklista:

d = rychlost × čas = 5 km/h × 2 h = 10 km.

Zbývá mu tedy do cíle ještě 15 km – 10 km = 5 km.

Čas, za který chodec dorazí do místa B, je:

t_chodec = zbývající vzdálenost / rychlost = 5 km / 5 km/h = 1 hodina.

Chodec tedy dorazí do B za celkový čas 2 h + 1 h = 3 hodiny od svého startu.

Teď zjistíme, kdy cyklista dohoní chodce. Cyklisův náskok chodce je 10 km (to je vzdálenost, kterou chodec ušel za 2 hodiny).

Rychlost cyklisty je 20 km/h, chodec jde 5 km/h, takže relativní rychlost, kterou cyklista dohání chodce, je:

v_rel = 20 km/h – 5 km/h = 15 km/h.

Čas, za který cyklista dohoní chodce, je tedy:

t = náskok / v_rel = 10 km / 15 km/h = 2/3 hodiny = 40 minut.

Cyklista tedy chodec dohoní za 40 minut po svém startu, což je 2 hodiny + 40 minut = 2 hodiny 40 minut od startu chodce.

Protože chodec dojde do cíle za 3 hodiny, cyklista ho dohoní ještě před cílem.

Řešení příkladu:

Po 3 hodinách plavby první loď ušla vzdálenost:

d_1 = 30 km/h × 3 h = 90 km na sever.

Druhá loď ušla vzdálenost:

d_2 = 40 km/h × 3 h = 120 km na východ.

Vzdálenost mezi loděmi je potom úhlopříčkou pravoúhlého trojúhelníka, kde odvěsny jsou vzdálenosti lodí od přístavu:

d = √(d_1^2 + d_2^2) = √(90^2 + 120^2) km = √(8100 + 14400) km = √22500 km = 150 km.

Proto jsou lodě od sebe po 3 hodinách vzdálené 150 km.

Detailní vysvětlení: Používáme Pythagorovu větu, protože směr plavby je kolmý (sever a východ jsou na sebe kolmé). Výpočet vzdálenosti je tedy odvozen z geometrických principů.

Řešení příkladu:

Nejprve si stanovíme, co víme: první cyklista jede rychlostí \(18\ \text{km/h}\) a jede již 2 hodiny, než druhý vyjede. Za tyto 2 hodiny urazil vzdálenost

\(s = v \times t = 18 \times 2 = 36\, \text{km}\).

Druhý cyklista vyjíždí později rychlostí \(24\ \text{km/h}\) a má za úkol dohnat prvního. Proto je třeba určit, za jak dlouho tuto vzdálenost dožene.

Relativní rychlost, kterou druhý cyklista dohání prvního, je rozdíl jejich rychlostí:

\(v_{\text{rel}} = 24 – 18 = 6\ \text{km/h}\).

Čas \(t\), za který druhý cyklista dojede prvního, je vzdálenost, kterou má dohnat, dělená relativní rychlostí:

\(t = \frac{36}{6} = 6\ \text{hodin}\).

Tento čas je počítán od okamžiku, kdy druhý cyklista vyjel. Celkový čas jízdy prvního cyklisty do momentu setkání tedy bude

\(2 + 6 = 8\ \text{hodin}\).

Pro úplnost lze spočítat, jakou vzdálenost urazili oba cyklisté do chvíle setkání:

První cyklista: \(18 \times 8 = 144\ \text{km}\).

Druhý cyklista: \(24 \times 6 = 144\ \text{km}\).

To potvrzuje správnost výpočtu, oba urazili stejnou vzdálenost, tedy se setkali.

Řešení příkladu:

Nejprve definujeme veličiny a podmínky. Vzdálenost mezi městy A a B je \(150\, \text{km}\). První vlak vyjel z A rychlostí \(75\, \text{km/h}\) a jede směrem k B. Druhý vlak vyjel z B rychlostí \(90\, \text{km/h}\) směrem k A, ale až o 1 hodinu později.

Za tu hodinu první vlak urazí vzdálenost:

\(s_1 = 75 \times 1 = 75\, \text{km}\).

Tedy ve chvíli, kdy druhý vlak startuje, zbývá mezi nimi:

\(150 – 75 = 75\, \text{km}\).

Oba vlaky se přibližují rychlostí, která je součtem jejich rychlostí, protože jedou proti sobě:

\(v_{\text{rel}} = 75 + 90 = 165\, \text{km/h}\).

Čas \(t\), za který se setkají od okamžiku startu druhého vlaku, je vzdálenost dělená relativní rychlostí:

\(t = \frac{75}{165} = \frac{5}{11} \approx 0{,}4545\, \text{hodiny} \approx 27{,}27\, \text{minut}\).

Celkový čas od startu prvního vlaku do setkání je tedy

\(1 + \frac{5}{11} = \frac{16}{11} \approx 1{,}4545\, \text{hodiny} \approx 1\, \text{hodina} 27\, \text{minut}\).

Pro kontrolu spočítáme, jakou vzdálenost urazil první vlak:

\(75 \times \frac{16}{11} = \frac{1200}{11} \approx 109{,}09\, \text{km}\).

Druhý vlak ujede za \(5/11\) hodiny vzdálenost

\(90 \times \frac{5}{11} = \frac{450}{11} \approx 40{,}91\, \text{km}\).

Součet těchto vzdáleností je \(109{,}09 + 40{,}91 = 150\, \text{km}\), což potvrzuje správnost výsledku.

Řešení příkladu:

Běžec vyrazil o 0,5 hodiny dříve a za tu dobu uběhl vzdálenost

\(s = v \times t = 10 \times 0{,}5 = 5\, \text{km}\).

Cyklisova rychlost je 25 km/h, běžcova 10 km/h, takže rychlost, kterou cyklista dohání běžce, je

\(v_{\text{rel}} = 25 – 10 = 15\, \text{km/h}\).

Čas, za který cyklista dohoní běžce od svého startu, je

\(t = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\, \text{hodiny} = 20\, \text{minut}\).

Vzdálenost, kde se setkají, spočítáme jako vzdálenost, kterou cyklista urazí za tento čas:

\(s = v \times t = 25 \times \frac{1}{3} = \frac{25}{3} \approx 8{,}33\, \text{km}\).

Současně běžec uběhne za celkový čas \(0{,}5 + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833\, \text{hodiny}\) vzdálenost

\(10 \times \frac{5}{6} = \frac{50}{6} \approx 8{,}33\, \text{km}\), což potvrzuje správnost řešení.

Řešení příkladu:

Nejprve si určíme rychlost lodi vzhledem k pevnině. Po proudu je rychlost součtem rychlosti lodi a proudu:

\(v_{\text{po proudu}} = 12 + 3 = 15\, \text{km/h}\).

Proti proudu je rychlost rozdílem rychlosti lodi a proudu:

\(v_{\text{proti proudu}} = 12 – 3 = 9\, \text{km/h}\).

Čas potřebný k plavbě po proudu na vzdálenost 36 km je:

\(t_1 = \frac{36}{15} = 2{,}4\, \text{hodiny}\).

Čas potřebný k plavbě zpět proti proudu na stejnou vzdálenost je:

\(t_2 = \frac{36}{9} = 4\, \text{hodiny}\).

Celkový čas plavby tam i zpět je součtem obou časů:

\(t = t_1 + t_2 = 2{,}4 + 4 = 6{,}4\, \text{hodiny} = 6\, \text{hodin} 24\, \text{minut}\).

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme, jakou vzdálenost urazil autobus z A za 0,5 hodiny:

\(s = 60 \times 0{,}5 = 30\, \text{km}\).

Tedy, když autobus z B vyjíždí, je autobus z A vzdálený 30 km od A, tedy zbývá mu do B

\(120 – 30 = 90\, \text{km}\).

Oba autobusy se tedy přibližují rychlostí

\(60 + 80 = 140\, \text{km/h}\).

Čas od startu autobusu z B do setkání je

\(t = \frac{90}{140} = \frac{9}{14} \approx 0{,}643\, \text{hodiny} = 38{,}57\, \text{minut}\).

Celkový čas od startu autobusu z A do setkání je tedy

\(0{,}5 + \frac{9}{14} = \frac{7}{14} + \frac{9}{14} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7} \approx 1{,}143\, \text{hodiny} = 1\, \text{hodina} 8{,}57\, \text{minut}\).

Vzdálenost od města A, kde se setkají, spočítáme podle rychlosti a času autobusu z A:

\(s = 60 \times \frac{8}{7} = \frac{480}{7} \approx 68{,}57\, \text{km}\).

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme, jakou vzdálenost urazil chodec za 1 hodinu před výjezdem cyklisty:

\(s_1 = 5 \times 1 = 5\, \text{km}\).

Zbývající vzdálenost mezi chodcem a cyklistou je tedy

\(15 – 5 = 10\, \text{km}\).

Rychlost přibližování se k sobě je součtem rychlostí, protože se blíží opačnými směry:

\(v_{\text{rel}} = 5 + 20 = 25\, \text{km/h}\).

Čas do setkání od výjezdu cyklisty je

\(t = \frac{10}{25} = 0{,}4\, \text{hodiny} = 24\, \text{minut}\).

Celkový čas chůze chodce od startu do setkání je

\(1 + 0{,}4 = 1{,}4\, \text{hodiny} = 1\, \text{hodina} 24\, \text{minut}\).

Vzdálenost, kterou urazí chodec, je

\(5 \times 1{,}4 = 7\, \text{km}\).

Vzdálenost, kterou urazí cyklista, je

\(20 \times 0{,}4 = 8\, \text{km}\).

Součet vzdáleností \(7 + 8 = 15\, \text{km}\) odpovídá celkové vzdálenosti mezi místy A a B, což potvrzuje správnost řešení.

Řešení příkladu:

Auto ujede za 3 hodiny vzdálenost

\(s = 90 \times 3 = 270\, \text{km}\).

Motorka jede rychlostí 120 km/h, auto 90 km/h, takže relativní rychlost motorky vůči autu je

\(v_{\text{rel}} = 120 – 90 = 30\, \text{km/h}\).

Čas potřebný k dojetí auta motorkou je

\(t = \frac{270}{30} = 9\, \text{hodin}\) (počítáno od startu motorky).

Za tuto dobu auto ujede další vzdálenost

\(90 \times 9 = 810\, \text{km}\).

Celková vzdálenost, kterou auto ujede do dojetí motorkou, je

\(270 + 810 = 1080\, \text{km}\).

Motorka ujede za 9 hodin

\(120 \times 9 = 1080\, \text{km}\), což potvrzuje správnost výsledku.

Řešení příkladu:

První cyklista ujede za půl hodiny vzdálenost

\(s = 16 \times 0{,}5 = 8\, \text{km}\).

Mezi nimi tedy zbývá vzdálenost

\(48 – 8 = 40\, \text{km}\).

Relativní rychlost je součet rychlostí, protože jedou proti sobě:

\(v_{\text{rel}} = 16 + 20 = 36\, \text{km/h}\).

Čas od výjezdu druhého cyklisty do setkání je

\(t = \frac{40}{36} = \frac{10}{9} \approx 1{,}111\, \text{hodiny} = 1\, \text{hodina} 6{,}67\, \text{minut}\).

Celkový čas jízdy prvního cyklisty do setkání je

\(0{,}5 + \frac{10}{9} = \frac{9}{18} + \frac{20}{18} = \frac{29}{18} \approx 1{,}61\, \text{hodiny} = 1\, \text{hodina} 36{,}67\, \text{minut}\).

Vzdálenost, kterou ujede první cyklista, je

\(16 \times \frac{29}{18} = \frac{464}{18} \approx 25{,}78\, \text{km}\).

Vzdálenost, kterou ujede druhý cyklista, je

\(20 \times \frac{10}{9} = \frac{200}{90} \approx 22{,}22\, \text{km}\).

Součet vzdáleností \(25{,}78 + 22{,}22 = 48\, \text{km}\) odpovídá vzdálenosti mezi městy, což potvrzuje správnost řešení.

Řešení příkladu:

Vzhledem k tomu, že turisté jdou proti sobě, jejich rychlost přibližování je součtem rychlostí:

\(v_{\text{rel}} = 4 + 2 = 6\, \text{km/h}\).

Čas do setkání je vzdálenost mezi městy dělená rychlostí přibližování:

\(t = \frac{24}{6} = 4\, \text{hodiny}\).

Řešení příkladu:

Rychlost lodi proti proudu je rozdíl rychlosti lodi a proudu:

\(v_{\text{proti}} = 15 – 5 = 10\, \text{km/h}\).

Vzdálenost, kterou loď ujela proti proudu, je

\(s_{\text{proti}} = 10 \times 2 = 20\, \text{km}\).

Rychlost lodi po proudu je součet rychlosti lodi a proudu:

\(v_{\text{po}} = 15 + 5 = 20\, \text{km/h}\).

Vzdálenost, kterou loď ujela po proudu, je

\(s_{\text{po}} = 20 \times 3 = 60\, \text{km}\).

Celková vzdálenost, kterou loď ujela, je

\(s = 20 + 60 = 80\, \text{km}\).

Řešení příkladu:

Nejprve si definujeme proměnné. Označíme čas, který motorka jede, jako \( t \) (v hodinách). Auto už jelo 2 hodiny před tím, než vyjela motorka, takže celkový čas jízdy auta do okamžiku setkání bude \( t + 2 \) hodin.

Vzdálenost, kterou ujelo auto, je \( s_{\text{auto}} = 60 \times (t + 2) \).

Vzdálenost, kterou ujela motorka, je \( s_{\text{motorka}} = 90 \times t \).

Protože se setkají na stejném místě, platí rovnost vzdáleností:

\( 60(t + 2) = 90t \)

Rozepíšeme rovnici:

\( 60t + 120 = 90t \)

Úpravou získáme:

\( 120 = 90t – 60t = 30t \)

Odtud vypočítáme čas \( t \):

\( t = \frac{120}{30} = 4 \, \text{hodiny} \)

Motorka tedy jede 4 hodiny, než dojede auto. Celkový čas jízdy auta do setkání je

\( t + 2 = 4 + 2 = 6 \, \text{hodin} \).

Nyní vypočítáme vzdálenost od města, kde se setkají. Použijeme vzdálenost ujížděnou motorkou nebo autem (je stejná):

\( s = 90 \times 4 = 360 \, \text{km} \)

Nejprve shrneme postup řešení: nejdříve stanovíme neznámou proměnnou – čas jízdy motorky od okamžiku odjezdu. Poté vyjádříme vzdálenosti obou vozidel pomocí jejich rychlostí a časů. Rovností vzdáleností vytvoříme rovnici a vyřešíme ji. Nakonec dosadíme zpět a spočítáme konkrétní hodnoty.

Tento způsob řešení slovních úloh o pohybu je velmi častý a umožňuje vyřešit i složitější situace s různými časy a rychlostmi pohybujících se objektů.

Řešení příkladu:

Nejprve označíme celkovou délku cesty jako \( s \). Polovina cesty je tedy \( \frac{s}{2} \).

Čas potřebný k překonání první poloviny je:

\( t_1 = \frac{\frac{s}{2}}{4} = \frac{s}{8} \, \text{hodin} \).

Čas potřebný k překonání druhé poloviny je:

\( t_2 = \frac{\frac{s}{2}}{6} = \frac{s}{12} \, \text{hodin} \).

Celkový čas chůze je:

\( t = t_1 + t_2 = \frac{s}{8} + \frac{s}{12} = \frac{3s}{24} + \frac{2s}{24} = \frac{5s}{24} \, \text{hodin} \).

Průměrná rychlost je definována jako celková vzdálenost dělená celkovým časem:

\( v_{\text{prům}} = \frac{s}{t} = \frac{s}{\frac{5s}{24}} = \frac{24}{5} = 4,8 \, \text{km/h} \).

Průměrná rychlost tedy nebyla ani 4 km/h, ani 6 km/h, ale 4,8 km/h. Toto je důsledek toho, že průměrná rychlost při různých rychlostech na různých úsecích nelze jednoduše zprůměrovat aritmeticky, ale je potřeba použít definici průměrné rychlosti založenou na celkové ujeté vzdálenosti a celkovém času.

Tento přístup je velmi užitečný i v dalších podobných případech, kde se mění rychlost během cesty.

Řešení příkladu:

Označíme čas jízdy druhého cyklisty od okamžiku startu jako \( t \) (v hodinách). První cyklista už jel 1 hodinu, takže jeho čas jízdy je \( t + 1 \).

Vzdálenost, kterou ujede první cyklista, je:

\( s_1 = 20(t + 1) \).

Vzdálenost druhého cyklisty je:

\( s_2 = 24t \).

Druhý cyklista dojede prvního ve chvíli, kdy ujeli stejnou vzdálenost:

\( 20(t + 1) = 24t \).

Rozepíšeme rovnici:

\( 20t + 20 = 24t \Rightarrow 20 = 4t \Rightarrow t = 5 \, \text{hodin} \).

Druhý cyklista tedy jede 5 hodin, než dojede prvního.

Celková vzdálenost, kterou ujel druhý cyklista, je

\( s_2 = 24 \times 5 = 120 \, \text{km} \).

Celková vzdálenost prvního cyklisty je

\( s_1 = 20 \times (5 + 1) = 120 \, \text{km} \).

Tímto způsobem jsme pomocí rovnic dokázali určit čas a vzdálenost setkání.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme čas jízdy vlaku při rychlosti 90 km/h. Označíme tento čas jako \( t \):

\( t = \frac{120}{90} = \frac{4}{3} \, \text{hodiny} = 1\, \text{hodina} \, 20\, \text{minut} \).

Kdyby vlak jel o 20 km/h pomaleji, tedy rychlostí \( 90 – 20 = 70 \, \text{km/h} \), doba jízdy by se zvýšila.

Nový čas jízdy je:

\( t_{\text{nové}} = \frac{120}{70} = \frac{12}{7} \approx 1,714 \, \text{hodiny} \approx 1 \, \text{hodina} \, 43 \, \text{minut} \).

Rozdíl času jízdy je tedy:

\( \Delta t = t_{\text{nové}} – t = 1,714 – 1,333 = 0,381 \, \text{hodiny} \approx 23 \, \text{minut} \).

Tento výpočet ukazuje, jak rychlost ovlivňuje dobu jízdy, což je zásadní pro plánování dopravy.

Řešení příkladu:

Rychlost proudu řeky je \( v_{\text{proud}} = 3 \, \text{km/h} \).

Protože lodě jedou proti proudu, skutečná rychlost každé lodě je její rychlost minus rychlost proudu:

\( v_1 = 12 – 3 = 9 \, \text{km/h} \)

\( v_2 = 15 – 3 = 12 \, \text{km/h} \)

Vzdálenost, kterou každá loď ujede za 2 hodiny, je:

\( s_1 = 9 \times 2 = 18 \, \text{km} \)

\( s_2 = 12 \times 2 = 24 \, \text{km} \)

Tímto jsme zjistili efekt rychlosti proudu na skutečnou rychlost plavidel a vypočítali vzdálenosti, které za daný čas ujedou.

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme čas na hodiny. 50 minut je \( \frac{50}{60} = \frac{5}{6} \) hodiny.

Průměrná rychlost je vzdálenost dělená časem:

\( v = \frac{10}{\frac{5}{6}} = 10 \times \frac{6}{5} = 12 \, \text{km/h} \).

Tento výpočet je základní pro stanovení rychlosti na základě času a vzdálenosti.

Řešení příkladu:

Označíme \( t \) jako čas (v hodinách), za který motocykl dojede auto od svého startu.

Auto vyjelo o 2 hodiny dříve a jede rychlostí 60 km/h, tedy za \( t + 2 \) hodin ujede vzdálenost \( s_{\text{auto}} = 60(t + 2) \) km.

Motocykl jede rychlostí 90 km/h a za čas \( t \) ujede vzdálenost \( s_{\text{motocykl}} = 90t \) km.

Protože motocykl dojede auto, vzdálenosti jsou stejné:

\( 90t = 60(t + 2) \)

Rozepíšeme rovnici:

\( 90t = 60t + 120 \)

\( 90t – 60t = 120 \Rightarrow 30t = 120 \Rightarrow t = \frac{120}{30} = 4 \) hodiny.

Motocykl tedy dojede auto za 4 hodiny od svého startu.

Vzdálenost, kde se potkají, spočítáme dosazením do vzorce pro motocykl:

\( s = 90 \cdot 4 = 360 \) km od města.

Auto jelo celkem \( 4 + 2 = 6 \) hodin, takže ujelo vzdálenost \( 60 \cdot 6 = 360 \) km, což souhlasí.

Odpověď: Motocykl dojede auto za 4 hodiny od svého startu, na vzdálenosti 360 km od města.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme vzdálenost, kterou každá loď urazí za 3 hodiny.

Loď plující na sever ujede \( s_1 = 20 \cdot 3 = 60 \) km.

Loď plující na východ ujede \( s_2 = 15 \cdot 3 = 45 \) km.

Protože plují kolmo na sebe, vzdálenost mezi nimi lze vypočítat pomocí Pythagorovy věty:

\( d = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} = \sqrt{60^2 + 45^2} = \sqrt{3600 + 2025} = \sqrt{5625} = 75 \) km.

Tedy po 3 hodinách budou lodě od sebe vzdáleny 75 km.

Tento výpočet vychází z předpokladu pohybu po přímkách kolmo na sebe bez změny rychlosti.

Řešení příkladu:

Nejprve určíme, jakou vzdálenost ušel chodec před startem cyklisty:

\( s_0 = 5 \times 1{,}5 = 7{,}5 \) km.

Označíme \( t \) čas (v hodinách), který cyklista jede od svého startu do dojetí chodce.

Za tuto dobu ujede cyklista vzdálenost \( s_{\text{cyklista}} = 15 t \) km.

Chodec za stejný čas ujede vzdálenost \( s_{\text{chodec}} = 5 t \) km.

Protože chodec měl náskok 7,5 km, vzdálenost cyklisty při dojetí je o tuto hodnotu větší než vzdálenost chodce:

\( s_{\text{cyklista}} = s_{\text{chodec}} + 7{,}5 \)

Dosadíme:

\( 15 t = 5 t + 7{,}5 \Rightarrow 15 t – 5 t = 7{,}5 \Rightarrow 10 t = 7{,}5 \Rightarrow t = 0{,}75 \) hodiny (45 minut).

Cyklista dojede chodce za 45 minut od svého startu.

Vzdálenost od domova, kde se setkají, spočítáme dosazením do vzorce pro cyklistu:

\( s = 15 \times 0{,}75 = 11{,}25 \) km.

Chodec tedy půjde celkem \( 1{,}5 + 0{,}75 = 2{,}25 \) hodiny, což odpovídá vzdálenosti \( 5 \times 2{,}25 = 11{,}25 \) km, což potvrzuje správnost výpočtu.

Odpověď: Cyklista dojede chodce za 45 minut od svého startu ve vzdálenosti 11,25 km od domova.

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme \( t \) čas (v hodinách), za který druhý vlak dojede první vlak od svého startu.

První vlak jel již 0,5 hodiny, než druhý vyjel, takže jeho celkový čas jízdy při setkání bude \( t + 0{,}5 \) hodin.

Vzdálenost, kterou ujede první vlak do místa setkání, je:

\( s_1 = 80(t + 0{,}5) \) km.

Druhý vlak ujede za čas \( t \) vzdálenost:

\( s_2 = 120 t \) km.

Protože se setkají na stejné vzdálenosti od města A, platí:

\( 80(t + 0{,}5) = 120 t \)

Rozepíšeme rovnici:

\( 80 t + 40 = 120 t \Rightarrow 120 t – 80 t = 40 \Rightarrow 40 t = 40 \Rightarrow t = 1 \) hodina.

Druhý vlak tedy dojede první vlak za 1 hodinu od svého startu.

Vzdálenost od města A, kde se setkají, spočítáme dosazením:

\( s = 120 \times 1 = 120 \) km.

První vlak jel \( 1 + 0,5 = 1{,}5 \) hodiny a ujede vzdálenost \( 80 \times 1{,}5 = 120 \) km, což potvrzuje správnost.

Odpověď: Druhý vlak dojede první za 1 hodinu od svého startu, ve vzdálenosti 120 km od města A.

Řešení příkladu:

Nejprve si ujasníme, co je neznámé a jaká data máme k dispozici:

• Rychlost auta: \( v_a = 70 \) km/h
• Čas startu auta: \( t = 0 \)
• Čas startu motocyklu: o 3 hodiny později, tedy v \( t = 3 \) hodiny
• Rychlost motocyklu: \( v_m = 90 \) km/h
• Hledáme: čas \( t_m \) od startu motocyklu, kdy motocykl dojede auto, a vzdálenost \( s \) od města, kde se setkají.

Označíme \( t_m \) jako dobu jízdy motocyklu od jeho startu do okamžiku dojetí auta.

Za tuto dobu ujede motocykl vzdálenost:

\( s_m = v_m \cdot t_m = 90 t_m \)

Auto za tuto dobu ujelo o 3 hodiny déle, tedy celkem \( t_m + 3 \) hodin. Vzdálenost auta je tedy:

\( s_a = v_a \cdot (t_m + 3) = 70 (t_m + 3) \)

Protože motocykl auto dojede, musí být vzdálenosti stejné, tedy

\( s_m = s_a \Rightarrow 90 t_m = 70 (t_m + 3) \)

Otevřeme závorku a upravíme rovnici:

\( 90 t_m = 70 t_m + 210 \Rightarrow 90 t_m – 70 t_m = 210 \Rightarrow 20 t_m = 210 \Rightarrow t_m = \frac{210}{20} = 10,5 \) hodin.

Tedy motocykl pojede 10,5 hodiny, než dojede auto.

Vzdálenost setkání vypočítáme dosazením do vzorce pro motocykl:

\( s = 90 \cdot 10,5 = 945 \) km.

Pro kontrolu spočítáme vzdálenost auta:

\( s_a = 70 \cdot (10,5 + 3) = 70 \cdot 13,5 = 945 \) km.

Výsledek souhlasí.

Celkové shrnutí: Motocykl dojede auto za 10,5 hodiny od svého startu ve vzdálenosti 945 km od města.

Tento příklad ukazuje klasickou situaci, kdy jeden objekt má náskok v čase a druhý ho dojíždí vyšší rychlostí. Rovnice vyjadřuje rovnost ujetých vzdáleností v okamžiku setkání. Výpočet ověřujeme dosazením zpět.

Řešení příkladu:

Nejprve si stanovíme veličiny:

• Rychlost chodce: \( v_c = 4 \) km/h
• Start chodce: \( t = 0 \)
• Start kamaráda na kole: o 2 hodiny později, tedy \( t = 2 \)
• Rychlost kamaráda: \( v_k = 16 \) km/h
• Hledáme: čas \( t_k \) od startu kamaráda, kdy dojede chodce, a vzdálenost \( s \) od domova.

Chodec za 2 hodiny ujde vzdálenost:

\( s_0 = v_c \cdot 2 = 8 \) km.

Označíme \( t_k \) jako dobu jízdy kamaráda od jeho startu do dojetí chodce.

Během této doby ujede kamarád vzdálenost:

\( s_k = v_k \cdot t_k = 16 t_k \)

Chodec za stejný čas ujde vzdálenost:

\( s_c = v_c \cdot t_k = 4 t_k \)

Protože chodec měl náskok 8 km, vzdálenost kamaráda je o tuto hodnotu větší než vzdálenost chodce v okamžiku setkání:

\( s_k = s_c + 8 \Rightarrow 16 t_k = 4 t_k + 8 \)

Upravíme rovnici:

\( 16 t_k – 4 t_k = 8 \Rightarrow 12 t_k = 8 \Rightarrow t_k = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \) hodiny, tedy 40 minut.

Kamarád tedy dojede chodce za 40 minut od svého startu.

Vzdálenost setkání spočítáme dosazením do vzorce pro kamaráda:

\( s = 16 \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67 \) km.

Pro kontrolu spočítáme vzdálenost chodce od startu v tomto okamžiku:

Chodec šel celkem \( 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \) hodin.

Vzdálenost: \( 4 \times \frac{8}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67 \) km, což odpovídá.

Výsledek je konzistentní a odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Nejprve si vysvětlíme, co znamenají rychlosti:

• Rychlost lodě proti proudu \( v_{proti} = 15 \) km/h
• Rychlost lodě po proudu \( v_{po} = 25 \) km/h
• Čas plavby proti proudu \( t_{proti} = 3 \) hodiny
• Hledáme: čas \( t_{po} \) plavby po proudu na stejnou vzdálenost

Vzdálenost, kterou loď urazila proti proudu, spočítáme jako:

\( s = v_{proti} \cdot t_{proti} = 15 \times 3 = 45 \) km.

Protože vzdálenost je stejná i po proudu, platí:

\( s = v_{po} \cdot t_{po} \Rightarrow 45 = 25 \cdot t_{po} \Rightarrow t_{po} = \frac{45}{25} = 1{,}8 \) hodiny, tedy 1 hodina a 48 minut.

Výsledek znamená, že cesta po proudu je kratší než proti proudu, protože loď má větší rychlost díky proudu.

V tomto příkladu jsme využili základní vztah mezi rychlostí, časem a vzdáleností a přepočet času pomocí poměru rychlostí.

Řešení příkladu:

Označíme celkovou délku trati jako \( S \). První a druhá polovina tedy mají délku \( \frac{S}{2} \).

Rychlost na první polovině: \( v_1 = 12 \) km/h, na druhé polovině \( v_2 = 8 \) km/h.

Čas běžce na první polovině:

\( t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{v_1} = \frac{S}{2 \cdot 12} = \frac{S}{24} \) hodin.

Čas běžce na druhé polovině:

\( t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{S}{2 \cdot 8} = \frac{S}{16} \) hodin.

Celkový čas běhu je tedy:

\( t = t_1 + t_2 = \frac{S}{24} + \frac{S}{16} = S \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{16}\right) \)

Pro výpočet společného jmenovatele:

\( \frac{1}{24} + \frac{1}{16} = \frac{2}{48} + \frac{3}{48} = \frac{5}{48} \)

Celkový čas:

\( t = S \cdot \frac{5}{48} \) hodin.

Průměrná rychlost je definována jako celková dráha dělená celkovým časem:

\( v_{prům} = \frac{S}{t} = \frac{S}{S \cdot \frac{5}{48}} = \frac{1}{\frac{5}{48}} = \frac{48}{5} = 9,6 \) km/h.

Průměrná rychlost běžce na celé trati byla tedy 9,6 km/h.

Tento příklad ilustruje důležitost rozlišení průměrné rychlosti při různých rychlostech na částech trati a ukazuje, že průměrná rychlost není aritmetickým průměrem rychlostí jednotlivých částí.

Řešení příkladu:

Nejprve určujeme časy pro obě části trasy:

První část: \( s_1 = 120 \) km, \( v_1 = 80 \) km/h, čas \( t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{120}{80} = 1{,}5 \) hodiny.

Druhá část: \( s_2 = 180 \) km, \( v_2 = 90 \) km/h, čas \( t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{180}{90} = 2 \) hodiny.

Celková vzdálenost je:

\( s = s_1 + s_2 = 120 + 180 = 300 \) km.

Celkový čas jízdy je:

\( t = t_1 + t_2 = 1{,}5 + 2 = 3{,}5 \) hodiny.

Průměrná rychlost je celková vzdálenost dělená celkovým časem:

\( v_{prům} = \frac{s}{t} = \frac{300}{3{,}5} = \frac{300}{3{,}5} \approx 85{,}71 \) km/h.

Průměrná rychlost vlaku je tedy přibližně 85,71 km/h.

Tento příklad ukazuje, že průměrná rychlost není průměrem rychlostí na jednotlivých úsecích, ale závisí na poměru vzdáleností a času.

Řešení příkladu:

Nejdříve si převedeme čas náskoku chodce na hodiny:

10 minut = \(\frac{10}{60} = \frac{1}{6}\) hodiny.

Chodec za tento čas urazí vzdálenost:

\( s_0 = v_c \times \frac{1}{6} = 5 \times \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \) km.

Označíme \( t \) dobu běžce od chvíle startu běžce do dojetí chodce.

Běžec ujede vzdálenost:

\( s_b = v_b \cdot t = 12 t \)

Chodec ujde vzdálenost:

\( s_c = s_0 + v_c \cdot t = \frac{5}{6} + 5 t \)

Protože běžec dohoní chodce, vzdálenosti musí být stejné:

\( 12 t = \frac{5}{6} + 5 t \Rightarrow 12 t – 5 t = \frac{5}{6} \Rightarrow 7 t = \frac{5}{6} \Rightarrow t = \frac{5}{42} \) hodiny.

To je přibližně 0,119 hodiny neboli asi 7 minut a 8 sekund.

Celkový čas, který běžec potřebuje, aby dohnal chodce, je tedy přibližně 7 minut od svého startu.

Tento příklad ukazuje řešení situace, kdy má jeden účastník časový náskok, který musí být při výpočtu zohledněn.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme, jakou vzdálenost auto ujelo během první hodiny:

\( s_1 = v_1 \cdot t_1 = 60 \times 1 = 60 \) km.

Celková vzdálenost výletu je 210 km, tedy zbývá ujet:

\( s_2 = 210 – 60 = 150 \) km.

Doba zastávky je 0,5 hodiny, kterou musíme připočítat k celkovému času.

Čas jízdy druhou rychlostí:

\( t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{150}{80} = 1{,}875 \) hodiny.

Celkový čas výletu je tedy:

\( t = t_1 + t_{zastávka} + t_2 = 1 + 0{,}5 + 1{,}875 = 3{,}375 \) hodiny.

Průměrná rychlost je celková vzdálenost dělená celkovým časem:

\( v_{prům} = \frac{210}{3{,}375} \approx 62{,}22 \) km/h.

Výsledkem je, že průměrná rychlost auta během výletu byla přibližně 62,22 km/h, což je méně než vyšší rychlost po zastávce díky počáteční pomalejší jízdě a zastávce.

Výpočet zdůrazňuje nutnost započítat i přestávky do celkového času při určení průměrné rychlosti.

Řešení příkladu:

Celková vzdálenost je 180 km, proto každá polovina je \( \frac{180}{2} = 90 \) km.

Čas na první polovinu:

\( t_1 = \frac{90}{90} = 1 \) hodina.

Čas na druhou polovinu:

\( t_2 = \frac{90}{60} = 1{,}5 \) hodiny.

Celkový čas:

\( t = t_1 + t_2 = 1 + 1{,}5 = 2{,}5 \) hodiny.

Tento příklad ilustruje, že průměrná rychlost není aritmetickým průměrem rychlostí, ale závisí na čase stráveném na jednotlivých úsecích cesty.

Řešení příkladu:

Rychlost lodě proti proudu je:

\( v_{proti} = v_{loď} – v_{proud} = 15 – 5 = 10 \) km/h.

Rychlost lodě po proudu je:

\( v_{po} = v_{loď} + v_{proud} = 15 + 5 = 20 \) km/h.

Čas plavby proti proudu:

\( t_{proti} = \frac{30}{10} = 3 \) hodiny.

Čas plavby po proudu:

\( t_{po} = \frac{30}{20} = 1{,}5 \) hodiny.

Celkový čas plavby je tedy 4,5 hodiny.

Tento příklad demonstruje vliv proudu na rychlost plavidla a výpočet času plavby v různých směrech.

Řešení příkladu:

Označíme vzdálenost do kopce i z kopce jako \( S \).

Čas jízdy do kopce:

\( t_1 = \frac{S}{10} \) hodin.

Čas jízdy z kopce:

\( t_2 = \frac{S}{20} \) hodin.

Celková vzdálenost je \( 2 S \), celkový čas je:

\( t = t_1 + t_2 = \frac{S}{10} + \frac{S}{20} = \frac{2S}{20} + \frac{S}{20} = \frac{3S}{20} \) hodin.

Průměrná rychlost je:

\( v_{prům} = \frac{2 S}{t} = \frac{2 S}{\frac{3 S}{20}} = \frac{2 S \times 20}{3 S} = \frac{40}{3} \approx 13{,}33 \) km/h.

Tento příklad ukazuje, jak průměrná rychlost závisí na čase stráveném jízdou různými rychlostmi, kdy nelze použít jednoduchý aritmetický průměr.

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že celková vzdálenost mezi městy A a B je 180 km, takže polovina této vzdálenosti je \( \frac{180}{2} = 90 \) km.

První polovinu cesty urazil automobil rychlostí 60 km/h, druhou polovinu rychlostí 45 km/h. Nyní vypočítáme čas potřebný na každou polovinu cesty.

Čas na první polovinu cesty: \( t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{90}{60} = 1{,}5 \) hodiny.

Čas na druhou polovinu cesty: \( t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{90}{45} = 2 \) hodiny.

Celkový čas jízdy je tedy: \( t = t_1 + t_2 = 1{,}5 + 2 = 3{,}5 \) hodiny.

Průměrná rychlost je definována jako celková vzdálenost dělená celkovým časem:

\( v_{prům} = \frac{s}{t} = \frac{180}{3{,}5} \approx 51{,}43 \) km/h.

Odpověď: Průměrná rychlost automobilu za celou cestu byla přibližně 51,43 km/h.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme časy na jednotlivé části trasy. První část 24 km rychlostí 12 km/h:

\( t_1 = \frac{24}{12} = 2 \) hodiny.

Druhá část 36 km rychlostí 18 km/h:

\( t_2 = \frac{36}{18} = 2 \) hodiny.

Celková vzdálenost je \( s = 24 + 36 = 60 \) km.

Celkový čas jízdy je \( t = t_1 + t_2 = 2 + 2 = 4 \) hodiny.

Průměrná rychlost je tedy:

\( v_{prům} = \frac{60}{4} = 15 \) km/h.

Odpověď: Průměrná rychlost cyklisty na celé trase byla 15 km/h.

Řešení příkladu:

Vlaky se pohybují proti sobě, takže jejich relativní rychlost je součet jejich rychlostí:

\( v_{rel} = 80 + 70 = 150 \) km/h.

Vzdálenost mezi stanicemi je 300 km.

Čas do setkání je vzdálenost dělená relativní rychlostí:

\( t = \frac{300}{150} = 2 \) hodiny.

Odpověď: Vlaky se setkají za 2 hodiny.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme délku celé trasy. Označíme celkovou délku jako \( s \), pak polovina trasy je \( \frac{s}{2} \).

Běžec uběhl první polovinu za 12 minut, tj. za \( \frac{12}{60} = 0{,}2 \) hodiny rychlostí 15 km/h, takže délka poloviny je:

\( \frac{s}{2} = v \times t = 15 \times 0{,}2 = 3 \) km.

Celá trasa tedy měří:

\( s = 2 \times 3 = 6 \) km.

Celkový čas je 25 minut = \( \frac{25}{60} = 0{,}4167 \) hodiny.

Čas na druhou polovinu je:

\( t_2 = 0{,}4167 – 0{,}2 = 0{,}2167 \) hodiny.

Rychlost na druhou polovinu vypočítáme podle vzorce:

\( v_2 = \frac{\frac{s}{2}}{t_2} = \frac{3}{0{,}2167} \approx 13{,}85 \) km/h.

Odpověď: Běžec musel běžet druhou polovinu rychlostí přibližně 13,85 km/h, aby dokončil závod za 25 minut.

Řešení příkladu:

Označíme rychlost lodě v klidné vodě jako \( v \) a rychlost proudu jako \( u \).

Rychlost lodě proti proudu je pak \( v – u = 10 \) km/h, a po proudu \( v + u = 14 \) km/h.

Sčítáním rovnic získáme:

\( (v – u) + (v + u) = 10 + 14 \Rightarrow 2v = 24 \Rightarrow v = 12 \) km/h.

Dosadíme zpět pro rychlost proudu:

\( 12 – u = 10 \Rightarrow u = 2 \) km/h.

Odpověď: Rychlost lodě v klidné vodě je 12 km/h, rychlost proudu je 2 km/h.

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme čas na hodiny. 1 hodina a 15 minut je \( 1 + \frac{15}{60} = 1{,}25 \) hodiny.

Průměrná rychlost v km/h je:

\( v = \frac{6}{1{,}25} = 4{,}8 \) km/h.

Pro převod na metry za sekundu použijeme vztah:

\( 1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} = \frac{5}{18} \) m/s.

Tedy:

\( v = 4{,}8 \times \frac{5}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33 \) m/s.

Odpověď: Průměrná rychlost chodce byla přibližně 1,33 m/s.

Řešení příkladu:

Převedeme čas na hodiny: 3 hodiny 20 minut je \( 3 + \frac{20}{60} = 3{,}3333 \) hodiny.

Průměrná rychlost v km/h je:

\( v = \frac{240}{3{,}3333} \approx 72 \) km/h.

Pro převod na m/s použijeme převodní koeficient \( \frac{5}{18} \):

\( v = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \) m/s.

Odpověď: Průměrná rychlost auta byla 72 km/h, což je 20 m/s.

Řešení příkladu:

Čas na prvních 15 km je:

\( t_1 = \frac{15}{20} = 0{,}75 \) hodiny.

Čas na druhých 30 km je:

\( t_2 = \frac{30}{30} = 1 \) hodina.

Celkový čas jízdy je:

\( t = t_1 + t_2 = 0{,}75 + 1 = 1{,}75 \) hodiny.

Odpověď: Cyklista jel celkem 1 hodinu a 45 minut.

Řešení příkladu:

Čas jízdy vypočítáme jako:

\( t = \frac{360}{90} = 4 \) hodiny.

Odpověď: Cesta trvala 4 hodiny.

Řešení příkladu:

Nejprve si rozdělíme cestu na dvě části podle rychlosti:

1. část – jízda rychlostí 72 km/h po dobu 2 hodin.

2. část – zbytek cesty s rychlostí 36 km/h.

Vzdálenost ujetá v první části spočítáme jako:

\( s_1 = v_1 \times t_1 = 72 \times 2 = 144 \) km.

Celková doba cesty byla 5 hodin, z toho první 2 hodiny už máme, takže zbývá:

\( t_2 = 5 – 2 = 3 \) hodiny.

Vzdálenost ujetá druhou rychlostí bude:

\( s_2 = v_2 \times t_2 = 36 \times 3 = 108 \) km.

Celková vzdálenost tedy je:

\( s = s_1 + s_2 = 144 + 108 = 252 \) km.

Úloha uvádí, že celková vzdálenost mezi městy je 288 km, což je více než vypočtených 252 km. Znamená to, že jsme něco přehlédli. Přepočítejme si, co znamená celková cesta a jaké jsou podmínky.

Možná doba 5 hodin je celková doba jízdy včetně poruchy, ale auto jelo pomaleji jen část cesty. Aby byla vzdálenost 288 km, upravíme neznámé hodnoty.

Označme si dobu jízdy rychlostí 36 km/h jako \( t_2 \). Pak:

\( s_1 = 72 \times 2 = 144 \) km,

\( s_2 = 36 \times t_2 \),

celková doba \( t_1 + t_2 = 2 + t_2 = 5 \Rightarrow t_2 = 3 \) hodiny.

Celková vzdálenost je:

\( s = s_1 + s_2 = 144 + 36 \times 3 = 144 + 108 = 252 \) km, což není 288 km.

Proto je třeba předpokládat, že auto jelo rychlostí 72 km/h méně než 2 hodiny.

Označíme dobu jízdy rychlostí 72 km/h jako \( t_1 \), dobu pomalejší jízdy jako \( t_2 \).

Platí:

\( t_1 + t_2 = 5 \),

\( 72 t_1 + 36 t_2 = 288 \).

Dosadíme \( t_2 = 5 – t_1 \) do druhé rovnice:

\( 72 t_1 + 36 (5 – t_1) = 288 \)

\( 72 t_1 + 180 – 36 t_1 = 288 \)

\( 36 t_1 = 288 – 180 = 108 \Rightarrow t_1 = \frac{108}{36} = 3 \) hodiny.

Pak:

\( t_2 = 5 – 3 = 2 \) hodiny.

Vzdálenost ujetá rychlejší rychlostí je:

\( s_1 = 72 \times 3 = 216 \) km,

pomalejší rychlostí:

\( s_2 = 36 \times 2 = 72 \) km.

Celková vzdálenost:

\( s = 216 + 72 = 288 \) km.

Odpověď: Auto jelo 3 hodiny rychlostí 72 km/h, což je 216 km, a 2 hodiny rychlostí 36 km/h, což je 72 km.

Řešení příkladu:

Situace je klasický příklad pohybu dvou těles proti sobě. Celková vzdálenost mezi nimi je 10 km a oba běžci se pohybují k sobě, takže jejich relativní rychlost je součtem rychlostí obou běžců:

\( v_{\text{rel}} = v_1 + v_2 = 4 + 6 = 10 \) km/h.

Čas do setkání spočítáme jako podíl vzdálenosti a relativní rychlosti:

\( t = \frac{s}{v_{\text{rel}}} = \frac{10}{10} = 1 \) hodinu.

Abychom čas vyjádřili v minutách, vynásobíme hodinový čas 60:

\( t = 1 \times 60 = 60 \) minut.

Odpověď: Běžci se setkají za 60 minut.

Řešení příkladu:

Nejprve si vyjasníme pojmy:

Jízda proti proudu má rychlost \( v_{\text{proti}} = 8 \) km/h,

jízda po proudu \( v_{\text{po}} = 12 \) km/h.

Vzdálenost mezi přístavy je 40 km.

Čas jízdy proti proudu vypočítáme podle vzorce:

\( t_{\text{proti}} = \frac{s}{v_{\text{proti}}} = \frac{40}{8} = 5 \) hodin.

Čas jízdy po proudu:

\( t_{\text{po}} = \frac{s}{v_{\text{po}}} = \frac{40}{12} \approx 3{,}33 \) hodiny.

Celkový čas cesty tam a zpět je součet těchto časů:

\( t_{\text{celkem}} = t_{\text{proti}} + t_{\text{po}} = 5 + 3{,}33 = 8{,}33 \) hodin,

což je 8 hodin a 20 minut.

Odpověď: Cesta tam a zpět trvá přibližně 8 hodin a 20 minut.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme původní rychlost chodce:

\( v_1 = \frac{s}{t_1} = \frac{15}{3} = 5 \) km/h.

Požadovaná rychlost pro ujetí stejné vzdálenosti za 2 hodiny je:

\( v_2 = \frac{s}{t_2} = \frac{15}{2} = 7{,}5 \) km/h.

O kolik musí chodec zrychlit, spočítáme jako rozdíl rychlostí:

\( \Delta v = v_2 – v_1 = 7{,}5 – 5 = 2{,}5 \) km/h.

Odpověď: Chodec musí zrychlit o 2,5 km/h.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme vzdálenost, kterou cyklista ujede před pauzou:

\( s_1 = v \times t = 20 \times 1{,}5 = 30 \) km.

Zbývající vzdálenost je:

\( s_2 = 60 – 30 = 30 \) km.

Celkový čas cesty má být 4 hodiny, z toho 1,5 hodiny jízdy před pauzou a 0,5 hodiny pauzy, tedy čas na dojetí zbývajících 30 km je:

\( t_2 = 4 – 1{,}5 – 0{,}5 = 2 \) hodiny.

Průměrná rychlost na druhou část cesty musí být:

\( v_2 = \frac{s_2}{t_2} = \frac{30}{2} = 15 \) km/h.

Odpověď: Aby cyklista dorazil včas, musí jet po pauze rychlostí alespoň 15 km/h.

Řešení příkladu:

Nejprve si převeďme zpoždění druhého auta na hodiny:

\( t_{\text{start}} = 20 \text{ minut} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) hodiny.

Druhé auto ujelo za tuto dobu vzdálenost:

\( s = v_2 \times t_{\text{start}} = 75 \times \frac{1}{3} = 25 \) km.

První auto se musí přiblížit na tuto vzdálenost 25 km při relativní rychlosti:

\( v_{\text{rel}} = v_1 – v_2 = 90 – 75 = 15 \) km/h.

Čas, za který první auto dojede druhé, je:

\( t = \frac{s}{v_{\text{rel}}} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3} = 1{,}67 \) hodiny, což je 1 hodina a 40 minut.

Odpověď: První auto dojede druhé za 1 hodinu a 40 minut od svého startu.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme vzdálenost, kterou turista urazil po rovině:

\( s = v_1 \times t_1 = 5 \times 3 = 15 \) km.

Cesta zpět je stejná vzdálenost, ale rychlostí 6 km/h, tedy čas zpáteční cesty:

\( t_2 = \frac{s}{v_2} = \frac{15}{6} = 2{,}5 \) hodiny.

Odpověď: Cesta zpět bude trvat 2 hodiny a 30 minut.

Řešení příkladu:

Celková vzdálenost je 180 km, takže každá polovina je 90 km.

Čas na první polovinu cesty je:

\( t_1 = \frac{90}{90} = 1 \) hodina.

Čas na druhou polovinu cesty je:

\( t_2 = \frac{90}{60} = 1{,}5 \) hodiny.

Celkový čas cesty je:

\( t = t_1 + t_2 = 1 + 1{,}5 = 2{,}5 \) hodiny.

Průměrná rychlost je celková vzdálenost dělená celkovým časem:

\( v_{\text{prům}} = \frac{180}{2{,}5} = 72 \) km/h.

Odpověď: Průměrná rychlost vlaku za celou cestu je 72 km/h.

Řešení příkladu:

Nejprve si stanovme proměnnou \( t \) jako dobu (v hodinách), která uplyne od okamžiku, kdy oba cyklisté vyrazili z města A.

Rychlost prvního cyklisty je \( v_1 = 18 \, \text{km/h} \), rychlost druhého \( v_2 = 22 \, \text{km/h} \).

Vzdálenost, kterou první cyklista ujede za čas \( t \), je \( s_1 = v_1 t = 18t \) km.

Vzdálenost, kterou ujede druhý cyklista, je \( s_2 = v_2 t = 22t \) km.

Protože oba vyrazili ze stejného místa stejným směrem, vzdálenost mezi nimi je rozdíl ujetých vzdáleností:

\( |s_2 – s_1| = 22t – 18t = 4t \) km.

Podle zadání chceme, aby tato vzdálenost byla 40 km, tedy:

\( 4t = 40 \Rightarrow t = \frac{40}{4} = 10 \) hodin.

Odpověď: Po 10 hodinách bude vzdálenost mezi cyklisty 40 km.

Řešení příkladu:

Nechť \( t \) je čas (v hodinách), za který se obě auta setkají.

Obě auta jedou proti sobě, proto jejich rychlosti se sčítají. Celková vzdálenost je \( s = 234 \) km.

Rychlost prvního auta je \( v_1 = 72 \, \text{km/h} \), druhého \( v_2 = 54 \, \text{km/h} \).

Součet rychlostí: \( v_1 + v_2 = 72 + 54 = 126 \, \text{km/h} \).

Vzdálenost, kterou společně za čas \( t \) ujedou, je \( 126t \).

Auta se setkají ve chvíli, kdy společně urazí vzdálenost 234 km, tedy:

\( 126t = 234 \Rightarrow t = \frac{234}{126} = \frac{39}{21} = \frac{13}{7} \approx 1{,}857 \) hodiny.

Pro přehlednost převedeme desetinné číslo na minuty:

\( 0{,}857 \times 60 \approx 51,4 \) minut.

Odpověď: Auta se setkají přibližně za 1 hodinu a 51 minut.

Řešení příkladu:

Nejprve je potřeba převést čas, kdy druhý běžec vyběhl, do hodin:

\( 10 \text{ minut} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \text{ hodiny} \).

První běžec tedy běžel s rychlostí \( v_1 = 12 \) km/h už \( \frac{1}{6} \) hodiny před tím, než druhý začal běžet.

Ušel vzdálenost \( s = v_1 \times \frac{1}{6} = 12 \times \frac{1}{6} = 2 \) km.

Druhý běžec běží rychlostí \( v_2 = 15 \) km/h a snaží se dohnat prvního, který běží rychlostí 12 km/h.

Relativní rychlost druhého běžce vůči prvnímu je tedy \( v_r = v_2 – v_1 = 15 – 12 = 3 \) km/h.

Doba, za kterou druhý běžec dohoní prvního, je vzdálenost, kterou má dohnat, dělená relativní rychlostí:

\( t = \frac{s}{v_r} = \frac{2}{3} \) hodiny.

Převedeme na minuty: \( \frac{2}{3} \times 60 = 40 \) minut.

Odpověď: Druhý běžec dohoní prvního za 40 minut od svého startu.

Řešení příkladu:

Označíme \( t \) dobu (v hodinách), kterou druhý vlak jede od svého odjezdu, než dojede první vlak.

Za tuto dobu první vlak jede \( t + 0,5 \) hodiny (protože vyjel půl hodiny dříve).

Ujetá vzdálenost prvního vlaku je \( s_1 = 90 (t + 0,5) \) km.

Ujetá vzdálenost druhého vlaku je \( s_2 = 120 t \) km.

Druhý vlak dojede první, pokud obě vzdálenosti jsou stejné:

\( 120 t = 90 (t + 0,5) \)

Roznásobíme pravou stranu:

\( 120 t = 90 t + 45 \)

Odečteme \( 90 t \) z obou stran:

\( 120 t – 90 t = 45 \Rightarrow 30 t = 45 \)

Vyřešíme pro \( t \):

\( t = \frac{45}{30} = 1,5 \) hodiny.

Odpověď: Druhý vlak dojede první vlak za 1,5 hodiny od svého odjezdu.

Řešení příkladu:

Rychlost lodě po proudu je součet rychlosti lodě a rychlosti proudu:

\( v_{po} = 30 + 5 = 35 \, \text{km/h} \).

Rychlost lodě proti proudu je rozdíl rychlosti lodě a proudu:

\( v_{proti} = 30 – 5 = 25 \, \text{km/h} \).

Délka jedné cesty je \( s = 75 \) km.

Čas po proudu:

\( t_{po} = \frac{s}{v_{po}} = \frac{75}{35} = \frac{15}{7} \approx 2,14 \) hodiny.

Čas proti proudu:

\( t_{proti} = \frac{s}{v_{proti}} = \frac{75}{25} = 3 \) hodiny.

Celkový čas cesty tam i zpět je:

\( t = t_{po} + t_{proti} = \frac{15}{7} + 3 = \frac{15}{7} + \frac{21}{7} = \frac{36}{7} \approx 5,14 \) hodiny.

Odpověď: Loď stráví na cestě tam a zpět přibližně 5 hodin a 8 minut.

Řešení příkladu:

Označíme \( t \) dobu, po kterou obě osoby kráčí, než se setkají v místě křížení.

První osoba urazí vzdálenost \( s_1 = 5t \), druhá \( s_2 = 3t \).

Protože se pohybují proti sobě, jejich společná ujetá vzdálenost je součtem těchto vzdáleností.

Součet délek jejich cest je \( 4 + 6 = 10 \) km.

Proto musí platit rovnice:

\( 5t + 3t = 10 \Rightarrow 8t = 10 \Rightarrow t = \frac{10}{8} = 1{,}25 \) hodiny.

Odpověď: Osoby se setkají po 1 hodině a 15 minutách.

Řešení příkladu:

Nechť \( t \) je doba v hodinách od výjezdu, kdy motocykl bude 18 km před autem.

Vzdálenost auta za čas \( t \) je \( s_a = 72t \), motocyklu \( s_m = 90t \).

Podmínka, že motocykl je 18 km před autem, znamená:

\( s_m – s_a = 18 \Rightarrow 90t – 72t = 18 \Rightarrow 18t = 18 \Rightarrow t = 1 \) hodina.

Odpověď: Motocykl bude 18 km před autem po 1 hodině jízdy.

Řešení příkladu:

První chodec šel rychlostí 4 km/h a ušel za 1 hodinu vzdálenost 4 km.

Druhý vyjel na kole rychlostí 12 km/h a má dohnat prvního, který je již 4 km před ním.

Relativní rychlost kola vůči chodci je \( 12 – 4 = 8 \) km/h.

Doba potřebná k dojetí je vzdálenost rozdílu dělená relativní rychlostí:

\( t = \frac{4}{8} = 0,5 \) hodiny, tj. 30 minut.

Odpověď: Druhý chodec dojede prvního za půl hodiny od svého startu.

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že auto má náskok 2 hodiny, během kterých ujelo vzdálenost

\( s = v \cdot t = 72 \text{ km/h} \times 2 \text{ h} = 144 \text{ km} \).

Motocykl jede rychlostí 90 km/h a snaží se dojet auto, které jede rychlostí 72 km/h. Relativní rychlost motocyklu vůči autu je

\( v_r = 90 – 72 = 18 \text{ km/h} \).

Čas, za který motocykl dojede auto, je délka náskoku dělená relativní rychlostí:

\( t = \frac{s}{v_r} = \frac{144}{18} = 8 \text{ hodin} \).

To znamená, že od chvíle, kdy motocykl vyjel, uběhne 8 hodin, než dojede auto.

Celkový čas od vyjetí auta je tedy \( 2 + 8 = 10 \) hodin.

Řešení příkladu:

Označíme čas od chvíle, kdy první chodec vyšel z A, jako \( t \) hodin. Druhý chodec vyrazil o hodinu později, tedy v čase \( t-1 \) hodin.

Vzdálenost, kterou první chodec urazil do doby setkání, je

\( s_1 = 5t \) km, a vzdálenost druhého chodce od města B je

\( s_2 = 6(t-1) \) km.

Protože se setkají na cestě mezi městy A a B, součet jejich ujetých vzdáleností musí být 33 km:

\( s_1 + s_2 = 33 \Rightarrow 5t + 6(t-1) = 33 \).

Rozepíšeme rovnici:

\( 5t + 6t – 6 = 33 \Rightarrow 11t = 39 \Rightarrow t = \frac{39}{11} \approx 3,545 \text{ h} \).

Druhý chodec vyrazil o hodinu později, takže čas od jeho výjezdu do setkání je \( t-1 \approx 2,545 \) hodiny.

Odpověď: Setkají se přibližně za 3 hodiny a 33 minut od odchodu prvního chodce.

Řešení příkladu:

Protože vlaky jedou proti sobě, jejich vzdálenosti se sčítají rychlostmi. Rychlost jejich přibližování je součtem jejich rychlostí:

\( v_s = 80 + 70 = 150 \text{ km/h} \).

Čas do setkání je vzdálenost dělená rychlostí přibližování:

\( t = \frac{450}{150} = 3 \text{ hodiny} \).

Vlaky se tedy setkají po 3 hodinách od svého výjezdu.

Pro kontrolu lze dopočítat vzdálenost, kterou každý vlak urazí do setkání:

Vlak z C do D ujede \( 80 \times 3 = 240 \text{ km} \), vlak z D do C ujede \( 70 \times 3 = 210 \text{ km} \), jejich součet je \( 240 + 210 = 450 \text{ km} \).

Řešení příkladu:

První cyklista jel o půl hodiny déle než druhý, označíme čas jízdy druhého cyklisty jako \( t \) hodin, první tedy jel \( t + 0{,}5 \) hodin.

Vzdálenost, kterou ujel první cyklista, je

\( s_1 = 15 (t + 0{,}5) \), a druhý cyklista urazil

\( s_2 = 20 t \).

Protože druhý dohnal prvního, platí \( s_1 = s_2 \), tedy

\( 15 (t + 0{,}5) = 20 t \Rightarrow 15 t + 7{,}5 = 20 t \Rightarrow 7{,}5 = 5 t \Rightarrow t = 1{,}5 \text{ hodiny} \).

První cyklista jel tedy \( t + 0{,}5 = 2 \) hodiny.

Řešení příkladu:

Rychlost první lodě je \( v_1 = 20 \text{ km/h} \), druhá je rychlejší o 5 km/h, tedy

\( v_2 = 25 \text{ km/h} \).

Protože lodě jedou proti sobě, jejich relativní rychlost je součtem jejich rychlostí:

\( v_r = v_1 + v_2 = 20 + 25 = 45 \text{ km/h} \).

Čas do setkání je vzdálenost dělená relativní rychlostí:

\( t = \frac{90}{45} = 2 \text{ hodiny} \).

Loďe se setkají za 2 hodiny.

Řešení příkladu:

Označíme čas od odjezdu prvního autobusu jako \( t \) hodin. Druhý autobus vyjíždí o půl hodiny později, tedy v čase \( t – 0{,}5 \) hodin.

Vzdálenost, kterou ujede první autobus, je

\( s_1 = 60 t \), a vzdálenost, kterou ujede druhý autobus, je

\( s_2 = 90 (t – 0{,}5) \).

Protože se potkají mezi městy, platí

\( s_1 + s_2 = 180 \Rightarrow 60 t + 90 (t – 0{,}5) = 180 \).

Rozepíšeme:

\( 60 t + 90 t – 45 = 180 \Rightarrow 150 t = 225 \Rightarrow t = \frac{225}{150} = 1{,}5 \text{ hodiny} \).

Druhá autobus jel tedy \( 1{,}5 – 0{,}5 = 1 \) hodinu.

Odpověď: Autobusy se potkají za 1,5 hodiny od odjezdu prvního autobusu.

Řešení příkladu:

Protože se chodec a cyklista přibližují jeden k druhému, jejich relativní rychlost je součet rychlostí:

\( v_r = 4 + 16 = 20 \text{ km/h} \).

Čas do setkání je vzdálenost dělená relativní rychlostí:

\( t = \frac{28}{20} = 1{,}4 \text{ hodiny} = 1 \text{ hodina } 24 \text{ minut} \).

Řešení příkladu:

Protože jedou proti sobě, vzdálenost mezi místy je součtem vzdáleností, které urazí za daný čas:

\( s = (50 + 70) \times 2 = 120 \times 2 = 240 \text{ km} \).

Vzdálenost mezi jejich výchozími místy je 240 km.

Řešení příkladu:

Převod vzdálenosti na metry: \( 1,2 \text{ km} = 1200 \text{ m} \).

Relativní rychlost běžců je

\( v_r = 4 + 5 = 9 \text{ m/s} \).

Čas do setkání je vzdálenost dělená relativní rychlostí:

\( t = \frac{1200}{9} \approx 133,33 \text{ s} \approx 2 \text{ minuty } 13 \text{ sekund} \).

Řešení příkladu:

Označíme čas od odjezdu prvního autobusu jako \( t \) hodin. Druhý autobus vyjel o 0,5 hodiny později, tedy \( t – 0{,}5 \) hodin.

První autobus ujel vzdálenost \( s_1 = 60 t \), druhý autobus \( s_2 = 90 (t – 0{,}5) \).

Protože jedou proti sobě, jejich vzdálenosti se sečtou na celkovou vzdálenost:

\( s_1 + s_2 = 210 \Rightarrow 60 t + 90 (t – 0{,}5) = 210 \).

Rozepíšeme:

\( 60 t + 90 t – 45 = 210 \Rightarrow 150 t = 255 \Rightarrow t = \frac{255}{150} = 1{,}7 \text{ hodiny} \approx 1 \text{ hodina } 42 \text{ minut} \).

Autobusy se setkají za přibližně 1 hodinu a 42 minut od odjezdu prvního autobusu.

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme proměnné a údaje z úlohy:

• Rychlost prvního auta \( v_1 = 72 \, \mathrm{km/h} \)
• Rychlost druhého auta \( v_2 = 90 \, \mathrm{km/h} \)
• Časový náskok prvního auta \( t_0 = 1{,}5 \, \mathrm{h} \)
• Čas od okamžiku, kdy druhé auto vyjede, označíme jako \( t \) (v hodinách)

První auto již ujelo vzdálenost:

Po čase \( t \) od startu druhého auta bude vzdálenost prvního auta od města:

Vzdálenost druhého auta od města po čase \( t \) je:

Druhé auto dojede první, pokud vzdálenosti budou stejné, tedy:

Upravíme rovnici:

Čas \( t = 6 \) hodin je doba, po kterou druhé auto jede, než dojede první. Celkový čas jízdy prvního auta od jeho startu je:

Vzdálenost od města v okamžiku setkání je:

Závěr: Druhé auto dojede první po 6 hodinách jízdy, tedy 7,5 hodin po startu prvního auta, ve vzdálenosti 540 km od města.

Tento výpočet jasně ukazuje, jak pracovat s pohybem s časovým náskokem a vyjadřovat vzájemné vztahy mezi vzdálenostmi a časy obou vozidel.

Řešení příkladu:

Nejprve si přepočítáme časový rozdíl startů na hodiny:

Označíme čas od startu cyklisty jako \( t \) v hodinách. Cyklista urazí vzdálenost:

Běžec vyrazil později o 0,25 hodiny, tedy běžel pouze čas \( t – 0{,}25 \) hodin (platí pro \( t \geq 0{,}25 \)) a urazil vzdálenost:

Dojití nastane, když obě vzdálenosti budou stejné:

Otevřeme závorky a upravíme rovnici:

Převedeme všechny členy s \( t \) na jednu stranu:

Závěr: Běžec dojede cyklistu 1,5 hodiny po startu cyklisty. Běžec tedy běžel čas:

Tento výpočet ilustruje, jak řešit pohyb s rozdílným časem startu a různé rychlosti.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme, jakou vzdálenost vlak ujede za první hodinu:

Zbývající vzdálenost je:

Po technické závadě vlak pokračuje v jízdě stále rychlostí 80 km/h. Čas potřebný k dojetí zbývající vzdálenosti je:

Celkový čas jízdy (bez započtení zastávky) je tedy:

Celkový čas cesty včetně zastávky 30 minut (0,5 h) je:

Závěr: Celá cesta od stanice A do B trvá 3,5 hodiny včetně 30 minutové přestávky.

Tento příklad ukazuje, jak správně uvažovat o časech jízdy i přestávkách při výpočtu celkové doby cesty.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme vzdálenost, kterou cyklista ujede za 1,5 hodiny:

Tuto vzdálenost ujde chodec za 4 hodiny. Rychlost chodce je tedy:

Závěr: Rychlost chodce je 6,75 km/h.

Příklad ukazuje, jak přepočítat vzdálenosti a rychlosti mezi různými pohyby s různými časy.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme, jakou vzdálenost autobus ujede během první hodiny:

Celková vzdálenost je 150 km, tedy zbývající vzdálenost je:

Čas zbývající na tuto vzdálenost je celkový čas minus první hodina:

Rychlost autobusu na zbytku cesty je:

Závěr: Autobus jel zbytek cesty rychlostí 55 km/h.

Příklad demonstruje, jak pracovat s úseky cesty s různými rychlostmi a časy.

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme proměnné:

• Rychlost první lodě \( v_1 = 30 \, \mathrm{km/h} \)
• Rychlost druhé lodě \( v_2 = 30 + 12 = 42 \, \mathrm{km/h} \)
• Časový náskok první lodě \( t_0 = 1 \, \mathrm{h} \)

Vzdálenost první lodě po čase \( t \) (od startu druhé lodě) je:

Druhá loď urazí vzdálenost:

Dojeti nastane, když:

Vzdálenost od přístavu je:

Závěr: Druhá loď dojede první po 2,5 hodinách od svého startu, ve vzdálenosti 105 km od přístavu.

Řešení příkladu:

Časový náskok chodce přepočteme na hodiny:

Vzdálenost, kterou chodec ujde za tento čas, je:

Čas, který běžec potřebuje k dohnání chodce, označíme jako \( t \) (v hodinách) od svého startu.

Vzdálenost, kterou chodec urazí během času běžce \( t \), je:

Vzdálenost, kterou běžec urazí během času \( t \), je:

Dojití nastane, pokud \( s_b = s_c \):

Závěr: Běžec dohoní chodce za 5 minut od svého startu, tedy celkově 15 minut po startu chodce.

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že celková vzdálenost mezi městy je 180 km. Auto jelo rychlostí 72 km/h po dobu 1,5 hodiny, takže ujeto vzdálenost za tuto dobu spočítáme jako:

\( s_1 = v_1 \cdot t_1 = 72 \text{ km/h} \cdot 1{,}5 \text{ h} = 108 \text{ km} \)

Tato vzdálenost byla ujeta autem před rozbitím. Zbývající vzdálenost do druhého města je:

\( s_2 = 180 \text{ km} – 108 \text{ km} = 72 \text{ km} \)

Řidič pokračuje pěšky rychlostí 5 km/h. Čas potřebný na ujití této vzdálenosti pěšky vypočítáme ze vzorce:

\( t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{72 \text{ km}}{5 \text{ km/h}} = 14{,}4 \text{ h} \)

Celkový čas cesty je součtem času jízdy autem a času chůze:

\( t_{celkem} = t_1 + t_2 = 1{,}5 \text{ h} + 14{,}4 \text{ h} = 15{,}9 \text{ h} \)

Tedy řidič dorazí do druhého města za přibližně 15 hodin a 54 minut.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme, jaký čas měl vlak původně na ujetí zbývající vzdálenosti 180 km:

\( t_{původní} = 2 \text{ h} \)

Vlak se však zastavil na 12 minut, což je \( \frac{12}{60} = 0{,}2 \) hodiny, a tím se mu prodloužil čas o tuto dobu.

Nový dostupný čas pro ujetí 180 km je:

\( t_{nový} = t_{původní} – 0{,}2 = 2 – 0{,}2 = 1{,}8 \text{ h} \)

Vlak musí tedy zvýšit rychlost, aby tuto vzdálenost zvládl za 1,8 hodiny. Novou rychlost vypočítáme:

\( v = \frac{s}{t} = \frac{180 \text{ km}}{1{,}8 \text{ h}} = 100 \text{ km/h} \)

Tedy vlak musí jet rychlostí 100 km/h, aby stihl plánovaný čas příjezdu navzdory zastávce.

Řešení příkladu:

Celková vzdálenost z bodu A do bodu C je součet vzdáleností:

\( s = 48 \text{ km} + 24 \text{ km} = 72 \text{ km} \)

Čas potřebný na první část trasy (A do B):

\( t_1 = \frac{48 \text{ km}}{16 \text{ km/h}} = 3 \text{ h} \)

Čas na druhou část trasy (B do C):

\( t_2 = \frac{24 \text{ km}}{12 \text{ km/h}} = 2 \text{ h} \)

Celkový čas cesty:

\( t = t_1 + t_2 = 3 \text{ h} + 2 \text{ h} = 5 \text{ h} \)

Průměrná rychlost je pak celková vzdálenost dělená celkovým časem:

\( v_{prům} = \frac{s}{t} = \frac{72 \text{ km}}{5 \text{ h}} = 14{,}4 \text{ km/h} \)

Tedy průměrná rychlost cyklisty na celé trase je 14,4 km/h.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme, jak daleko došel chodec za 2 hodiny:

\( s_1 = v_1 \cdot t_1 = 4 \text{ km/h} \cdot 2 \text{ h} = 8 \text{ km} \)

Chodec tedy došel 8 km směrem k městu, poté se otočil a šel zpět domů.

Délka zpáteční cesty je také 8 km. Celková doba chůze byla 6 hodin, z toho 2 hodiny na cestě tam, takže na zpáteční cestu měl:

\( t_2 = 6 \text{ h} – 2 \text{ h} = 4 \text{ h} \)

Rychlost na zpáteční cestě spočítáme jako:

\( v_2 = \frac{s_2}{t_2} = \frac{8 \text{ km}}{4 \text{ h}} = 2 \text{ km/h} \)

Chodec šel zpět tedy rychlostí 2 km/h, což může odpovídat například únavě nebo zhoršenému terénu.

Řešení příkladu:

První loď pluje proti proudu, takže její skutečná rychlost vůči břehu je:

\( v_1 = 30 \text{ km/h} – 6 \text{ km/h} = 24 \text{ km/h} \)

Druhá loď také pluje proti proudu, takže její rychlost vůči břehu je:

\( v_2 = 24 \text{ km/h} – 6 \text{ km/h} = 18 \text{ km/h} \)

Protože lodě vyplouvají ze stejného přístavu současně a plují opačným směrem (proti proudu obě, ale můžeme předpokládat, že jedna pluje směrem „ven“ a druhá „zpět“, tedy od sebe), jejich vzdálenost od sebe se zvyšuje rychlostí součtu jejich rychlostí:

\( v_{rel} = v_1 + v_2 = 24 + 18 = 42 \text{ km/h} \)

Čas potřebný k tomu, aby se vzdálenost mezi nimi zvětšila na 108 km, je:

\( t = \frac{s}{v_{rel}} = \frac{108 \text{ km}}{42 \text{ km/h}} = \frac{108}{42} = 2{,}5714 \text{ h} \)

To je přibližně 2 hodiny a 34 minut.

Řešení příkladu:

Nechť celková vzdálenost závodu je \( s \). První polovinu tedy závodník uběhne vzdálenost \( \frac{s}{2} \) rychlostí 12 km/h a druhou polovinu vzdálenost \( \frac{s}{2} \) rychlostí 8 km/h.

Čas na první polovinu:

\( t_1 = \frac{\frac{s}{2}}{12} = \frac{s}{24} \)

Čas na druhou polovinu:

\( t_2 = \frac{\frac{s}{2}}{8} = \frac{s}{16} \)

Celkový čas závodu je:

\( t = t_1 + t_2 = \frac{s}{24} + \frac{s}{16} = \frac{2s}{48} + \frac{3s}{48} = \frac{5s}{48} \)

Průměrná rychlost je celková vzdálenost dělená celkovým časem:

\( v_{prům} = \frac{s}{t} = \frac{s}{\frac{5s}{48}} = \frac{48}{5} = 9{,}6 \text{ km/h} \)

Tedy průměrná rychlost závodníka je 9,6 km/h.

Řešení příkladu:

Čas na cestu do práce:

\( t_1 = \frac{15 \text{ km}}{18 \text{ km/h}} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6} \text{ h} = 50 \text{ minut} \)

Čas na zpáteční cestu:

\( t_2 = \frac{15 \text{ km}}{12 \text{ km/h}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \text{ h} = 1 \text{ hodina a 15 minut} \)

Celkový čas cesty tam i zpět je:

\( t = t_1 + t_2 = \frac{5}{6} + \frac{5}{4} = \frac{10}{12} + \frac{15}{12} = \frac{25}{12} \text{ h} \approx 2{,}08 \text{ h} \)

To znamená přibližně 2 hodiny a 5 minut.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme vzdálenost ujetou první částí cesty:

\( s_1 = v_1 \cdot t_1 = 80 \text{ km/h} \cdot 3 \text{ h} = 240 \text{ km} \)

Poté vlak zvýšil rychlost o 20 km/h, tedy nová rychlost je:

\( v_2 = 80 + 20 = 100 \text{ km/h} \)

Druhá část trati byla ujeta za 2 hodiny, takže vzdálenost druhé části je:

\( s_2 = v_2 \cdot t_2 = 100 \text{ km/h} \cdot 2 \text{ h} = 200 \text{ km} \)

Celková vzdálenost je součtem obou částí:

\( s = s_1 + s_2 = 240 \text{ km} + 200 \text{ km} = 440 \text{ km} \)

Vlak tedy ujel celkem 440 km.