Slovní úlohy s procenty

Řešení:

Nechť \( x \) je původní cena pulovru v Kč. Sleva je 20 %, takže cena po slevě je 80 % původní ceny.

Tedy platí: \( 0{,}8 \cdot x = 640 \)

Vyjádříme \( x \): \( x = \frac{640}{0{,}8} \Rightarrow x = 800 \)

Původní cena pulovru byla 800 Kč.

Řešení:

Nechť \( y \) je původní cena oběda v Kč. Zvýšení o 15 % znamená, že nová cena je 115 % původní ceny.

Tedy: \( 1{,}15 \cdot y = 92 \)

Vyjádříme \( y \): \( y = \frac{92}{1{,}15} \Rightarrow y = 80 \)

Cena oběda před zvýšením byla 80 Kč.

Řešení:

Poškozených jablek je \( 8\% \) z 250, tedy \( 0{,}08 \cdot 250 = 20 \) jablek.

Počet jablek v pořádku je \( 250 – 20 = 230 \).

V sadě je 230 jablek, která nejsou poškozená.

Řešení:

Nechť \( z \) je původní cena televize. Po snížení o 12 % je cena 88 % původní ceny:

\( 0{,}88 \cdot z = 14960 \)

Vyjádříme \( z \): \( z = \frac{14960}{0{,}88} \Rightarrow z = 17000 \)

Původní cena televize byla 17 000 Kč.

Řešení:

Prodáno bylo \( 25\% \) z 120, což je \( 0{,}25 \cdot 120 = 30 \) hrušek.

Zůstalo tedy \( 120 – 30 = 90 \) hrušek.

V sadě zůstalo 90 hrušek.

Řešení:

Nechť \( a \) je původní cena knihy. Po zvýšení o 18 % je cena 118 % původní ceny:

\( 1{,}18 \cdot a = 295 \)

Vyjádříme \( a \): \( a = \frac{295}{1{,}18} \Rightarrow a \approx 250 \)

Původní cena knihy byla přibližně 250 Kč.

Řešení:

Nechť \( b \) je původní cena bot. Sleva 30 % znamená, že zákazník platí 70 % ceny:

\( 0{,}7 \cdot b = 840 \)

Vyjádříme \( b \): \( b = \frac{840}{0{,}7} \Rightarrow b = 1200 \)

Původní cena bot byla 1200 Kč.

Řešení:

Nechť \( c \) je původní cena telefonu. Po snížení o 5 % je cena 95 % původní ceny:

\( 0{,}95 \cdot c = 9500 \)

Vyjádříme \( c \): \( c = \frac{9500}{0{,}95} \Rightarrow c = 10000 \)

Původní cena telefonu byla 10 000 Kč.

Řešení:

Počet žáků nosících brýle je \( 35\% \) z 28:

\( 0{,}35 \cdot 28 = 9{,}8 \)

Protože počet žáků musí být celé číslo, zaokrouhlíme na 10 žáků.

Ve třídě nosí brýle přibližně 10 žáků.

Řešení:

Nechť \( d \) je původní cena trička. Zvýšení o 25 % znamená cenu 125 % původní ceny:

\( 1{,}25 \cdot d = 250 \)

Vyjádříme \( d \): \( d = \frac{250}{1{,}25} \Rightarrow d = 200 \)

Původní cena trička byla 200 Kč.

Řešení:

Nechť \( T \) je původní cena Terčina kola a \( J \) je původní cena Jiřího kola.

Terka prodala kolo se slevou 15 %, což znamená, že cena po slevě je 85 % původní ceny:

\( 0{,}85 \times T = 850 \Rightarrow T = \frac{850}{0{,}85} = 1000 \)

Jiří prodal kolo se slevou 20 %, cena po slevě je 80 % původní ceny:

\( 0{,}8 \times J = 960 \Rightarrow J = \frac{960}{0{,}8} = 1200 \)

Původní cena Terčina kola byla 1000 Kč a původní cena Jiřího kola byla 1200 Kč.

Kontrola: Sleva Terčina kola je \( 0{,}15 \times 1000 = 150 \), cena po slevě \( 1000 – 150 = 850 \) Kč. Sleva Jiřího kola je \( 0{,}2 \times 1200 = 240 \), cena po slevě \( 1200 – 240 = 960 \) Kč. Odpovídá zadání.

Řešení:

Nechť \( B_T \) je původní cena Terčiny bundy a \( B_K \) původní cena Klářiny bundy.

Terčina bunda byla koupena se slevou 25 %, cena po slevě je tedy 75 % původní ceny:

\( 0{,}75 \times B_T = 1200 \Rightarrow B_T = \frac{1200}{0{,}75} = 1600 \)

Klářina bunda byla koupena se slevou 10 %, cena po slevě je 90 % původní ceny:

\( 0{,}9 \times B_K = 1440 \Rightarrow B_K = \frac{1440}{0{,}9} = 1600 \)

Původní ceny obou bund jsou stejné, 1600 Kč.

Odpověď: Obě bundy měly stejnou původní cenu, tedy žádná nebyla dražší.

Řešení:

Nechť \( U_p \) je částka, kterou Jiří spořil před zvýšením a \( U_n \) je částka po zvýšení.

Podle zadání platí, že po zvýšení spoří Jiří 16 % příjmu, což je:

\( 0{,}16 \times 28000 = 4480 \)

Částka spoření se zvýšila o 12 %, tedy:

\( U_n = U_p + 0{,}12 \times U_p = 1{,}12 \times U_p \)

Z rovnosti \( U_n = 4480 \) tedy:

\( 1{,}12 \times U_p = 4480 \Rightarrow U_p = \frac{4480}{1{,}12} = 4000 \)

Před zvýšením spořil Jiří 4000 Kč měsíčně, po zvýšení 4480 Kč.

Řešení:

Nechť \( V_T \) je Terčin původní vklad a \( V_K \) Klářin původní vklad, přičemž platí:

\( \frac{V_T}{V_K} = \frac{5}{3} \)

Nechť částka, kterou si rozdělily, je 8000 Kč, z toho Terka dostane navíc 10 % odměnu z celé částky:

Odměna Terky: \( 0{,}1 \times 8000 = 800 \)

Zbylá částka k rozdělení bez odměny je:

\( 8000 – 800 = 7200 \)

Podíl na rozdělení podle vkladů:

Celkový poměr je \( 5 + 3 = 8 \) dílů, takže jeden díl je \( \frac{7200}{8} = 900 \)

Terka dostane: \( 5 \times 900 = 4500 \) Kč + odměna 800 Kč = 5300 Kč

Klára dostane: \( 3 \times 900 = 2700 \) Kč

Celkem: \( 5300 + 2700 = 8000 \) Kč

Řešení:

Úrok za půl roku je polovina ročního úroku:

\( 0{,}06 \times \frac{1}{2} = 0{,}03 = 3 \% \)

Úrok z půjčené částky za půl roku je:

\( 0{,}03 \times 15000 = 450 \)

Celková částka k zaplacení po půl roce je tedy:

\( 15000 + 450 = 15450 \)

Jiří zaplatil již 8000 Kč, zbývá doplatit:

\( 15450 – 8000 = 7450 \)

Jiří musí ještě zaplatit 7450 Kč, aby půjčku splatil celou.

Řešení:

Nechť \( x \) je Terčin podíl a \( y \) Jiřího podíl. Platí:

\( x + y = 24000 \)

Terčin podíl je o 3000 Kč větší než Jiřího:

\( x = y + 3000 \)

Dosadíme do první rovnice:

\( y + 3000 + y = 24000 \Rightarrow 2y = 21000 \Rightarrow y = 10500 \)

Potom:

\( x = 10500 + 3000 = 13500 \)

Terka utratila 40 % svého podílu:

\( 0{,}4 \times 13500 = 5400 \)

Jiří utratil 30 % svého podílu:

\( 0{,}3 \times 10500 = 3150 \)

Terka utratila 5400 Kč, Jiří 3150 Kč.

Řešení:

Odměna před zdaněním je 5 % z 18000 Kč:

\( 0{,}05 \times 18000 = 900 \)

Daň z odměny je 15 % z 900 Kč:

\( 0{,}15 \times 900 = 135 \)

Po zaplacení daně Kláře zůstane:

\( 900 – 135 = 765 \)

Výpočet odpovídá zadané částce 765 Kč, odměna je správně.

Řešení:

Nechť původní cena je \( C \). Zvýšení o 8 % znamená, že nová cena je 108 % původní ceny:

\( 1{,}08 \times C = 432 \Rightarrow C = \frac{432}{1{,}08} = 400 \)

Původní cena byla tedy 400 Kč.

Kontrola: Zvýšení o 8 % z 400 Kč je \( 0{,}08 \times 400 = 32 \) Kč, nová cena \( 400 + 32 = 432 \) Kč.

Řešení:

Nechť částka, kterou zaplatil Jiří, je \( x \). Terka zaplatila o 20 % více, tedy \( 1{,}2 \times x \).

Celková částka je:

\( x + 1{,}2x = 2{,}4x = 2400 \Rightarrow x = \frac{2400}{2{,}4} = 1000 \)

Terka zaplatila:

\( 1{,}2 \times 1000 = 1200 \)

Jiří zaplatil 1000 Kč, Terka 1200 Kč.

Řešení:

Nechť \( P \) je původní cena šatů.

Po první slevě 18 % platila Klára:

\( 0{,}82 \times P = 3280 \Rightarrow P = \frac{3280}{0{,}82} \approx 4000 \)

Po druhé slevě 25 % by platila:

\( 0{,}75 \times 4000 = 3000 \)

Kdyby použila druhou slevu, zaplatila by 3000 Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme celkový zisk firmy jako \( Z = 1\,200\,000 \, \text{Kč} \).

Lenka dostala 35 % z \( Z \), tedy

\[ L = 0{,}35 \times 1\,200\,000 = 420\,000 \, \text{Kč}. \]

Patrik dostal o 20 % méně než Lenka, což znamená, že dostal 80 % z Lenčiny částky, tedy

\[ P = 0{,}8 \times 420\,000 = 336\,000 \, \text{Kč}. \]

Radim dostal zbytek, tedy

\[ R = Z – (L + P) = 1\,200\,000 – (420\,000 + 336\,000) = 1\,200\,000 – 756\,000 = 444\,000 \, \text{Kč}. \]

Ověříme, že součet částek odpovídá celkovému zisku:

\[ L + P + R = 420\,000 + 336\,000 + 444\,000 = 1\,200\,000 = Z, \] což je správně.

Tedy Radim dostal 444 000 Kč.

Řešení příkladu:

Označíme celkovou částku jako \( C = 25\,000 \, \text{Kč} \).

Dominika zaplatila 40 % z \( C \), tedy

\[ D = 0{,}40 \times 25\,000 = 10\,000 \, \text{Kč}. \]

Šimon zaplatil o 10 % méně než Dominika, což znamená, že zaplatil 90 % Dominikiny částky:

\[ S = 0{,}90 \times 10\,000 = 9\,000 \, \text{Kč}. \]

Eliška zaplatila o 15 % více než Šimon, tedy 115 % Šimonovy částky:

\[ E = 1{,}15 \times 9\,000 = 10\,350 \, \text{Kč}. \]

Vojtěch zaplatil zbytek, takže

\[ V = C – (D + S + E) = 25\,000 – (10\,000 + 9\,000 + 10\,350) = 25\,000 – 29\,350 = -4\,350 \, \text{Kč}. \]

Toto znamená, že součet částek je vyšší než celková částka, což je nesmysl. Proto musíme zjistit, kde je chyba.

Skutečnost, že součet částek přesahuje celkovou částku, znamená, že procenta jsou v rozporu s celkovým rozpočtem. Proto je potřeba najít relativní částky tak, aby jejich součet byl 100 %.

Označíme Dominiku jako základ: \( D = d \), Šimona jako \( S = 0{,}9 d \), Elišku jako \( E = 1{,}15 \times 0{,}9 d = 1{,}035 d \).

Součet částek Dominiky, Šimona a Elišky je tedy

\[ d + 0{,}9 d + 1{,}035 d = (1 + 0{,}9 + 1{,}035) d = 2{,}935 d. \]

Protože celková částka je 25 000 Kč, a Vojtěch zaplatí zbytek, tedy

\[ V = 25\,000 – 2{,}935 d. \]

Vzhledem k tomu, že Dominika podle zadání zaplatila 40 % z celku, což je \( d = 0{,}40 \times 25\,000 = 10\,000 \), zjistili jsme, že součet 2,935 d je vyšší než 25 000, což je nekonzistentní.

To znamená, že zadání je nekonzistentní, pokud budeme držet Dominiku na 40 % z celku. Proto upravíme model tak, aby Dominika nebyla fixně 40 %, ale částky byly v poměru, který dané procenta vyjadřují, a součet všech byl 25 000 Kč.

Označíme Dominiku jako \( d \), pak:

\[ S = 0{,}9 d, \quad E = 1{,}15 \times S = 1{,}15 \times 0{,}9 d = 1{,}035 d, \quad V = C – (d + S + E) = 25\,000 – (d + 0{,}9 d + 1{,}035 d) = 25\,000 – 2{,}935 d. \]

Protože částky musí být nezáporné, a Vojtěch má zaplatit zbytek, je potřeba, aby \( V \geq 0 \), tedy

\[ 25\,000 – 2{,}935 d \geq 0 \Rightarrow d \leq \frac{25\,000}{2{,}935} \approx 8\,516{,}95. \]

Pokud tedy Dominika zaplatí maximálně cca 8 516,95 Kč, zbytek bude nezáporný.

Poměr částek Dominiky, Šimona a Elišky je tedy konstantní, z celkové částky 25 000 Kč je:

\[ d = x, \quad S = 0{,}9 x, \quad E = 1{,}035 x, \] kde \( x \leq 8\,516{,}95 \) Kč.

Součet těchto tří je

\[ 2{,}935 x. \]

Zbytek zaplatí Vojtěch:

\[ V = 25\,000 – 2{,}935 x. \]

Pokud tedy chceme, aby Dominika zaplatila 40 %, \( x = 10\,000 \) není možné, ale můžeme spočítat, kolik procent z celku Dominika skutečně zaplatí, pokud částky jsou v daných poměrech a součet je 25 000 Kč.

Celkový poměr všech čtyř je

\[ x + 0{,}9 x + 1{,}035 x + V = 25\,000, \] kde \( V = 25\,000 – 2{,}935 x \), což je konzistentní.

Procento Dominiky z celku je tedy

\[ \frac{x}{25\,000} \times 100 \%. \]

Zvolme například \( x = 6\,000 \), pak

\[ S = 0{,}9 \times 6\,000 = 5\,400, \quad E = 1{,}035 \times 6\,000 = 6\,210, \quad V = 25\,000 – (6\,000 + 5\,400 + 6\,210) = 7\,390. \]

Ověření součtu:

\[ 6\,000 + 5\,400 + 6\,210 + 7\,390 = 25\,000, \] což sedí.

Závěr: Vojtěch zaplatil 7 390 Kč, pokud je poměr částek uvedený výše a Dominika zaplatila 6 000 Kč.

Řešení příkladu:

Označíme celkový rozpočet jako \( R = 480\,000 \, \text{Kč} \).

Anna přispěla 25 % z \( R \), tedy

\[ A = 0{,}25 \times 480\,000 = 120\,000 \, \text{Kč}. \]

Boris přispěl o 10 % více než Anna, což znamená, že jeho částka byla 110 % Anna, tedy

\[ B = 1{,}10 \times A = 1{,}10 \times 120\,000 = 132\,000 \, \text{Kč}. \]

Cyril přispěl o 15 % méně než Boris, tedy

\[ C = 0{,}85 \times B = 0{,}85 \times 132\,000 = 112\,200 \, \text{Kč}. \]

Dana přispěla zbytek, tedy

\[ D = R – (A + B + C) = 480\,000 – (120\,000 + 132\,000 + 112\,200) = 480\,000 – 364\,200 = 115\,800 \, \text{Kč}. \]

Ověření správnosti:

\[ A + B + C + D = 120\,000 + 132\,000 + 112\,200 + 115\,800 = 480\,000 = R, \] což je v pořádku.

Tedy Dana přispěla 115 800 Kč.

Řešení příkladu:

Označíme výhru jako \( V = 90\,000 \, \text{Kč} \).

Označíme částku, kterou dostal Filip, jako \( F \).

Eva dostala o 25 % více než Filip, tedy

\[ E = 1{,}25 F. \]

Gabriel dostal o 10 000 Kč méně než Eva, tedy

\[ G = E – 10\,000 = 1{,}25 F – 10\,000. \]

Celková částka se rovná součtu částek:

\[ V = E + F + G = 1{,}25 F + F + (1{,}25 F – 10\,000) = (1{,}25 + 1 + 1{,}25) F – 10\,000 = 3{,}5 F – 10\,000. \]

Dosadíme za \( V \):

\[ 90\,000 = 3{,}5 F – 10\,000 \Rightarrow 3{,}5 F = 100\,000 \Rightarrow F = \frac{100\,000}{3{,}5} = 28\,571{,}43. \]

Nyní spočítáme částky Evy a Gabriela:

\[ E = 1{,}25 \times 28\,571{,}43 = 35\,714{,}29, \] \[ G = 35\,714{,}29 – 10\,000 = 25\,714{,}29. \]

Ověříme součet:

\[ E + F + G = 35\,714{,}29 + 28\,571{,}43 + 25\,714{,}29 = 90\,000,01, \] což je kvůli zaokrouhlení přijatelné.

Tedy Filip dostal přibližně 28 571,43 Kč, Eva 35 714,29 Kč a Gabriel 25 714,29 Kč.

Řešení příkladu:

Označíme částku, kterou dostal Ivan, jako \( I \).

Hana dostala dvakrát více než Ivan, tedy

\[ H = 2 I. \]

Jirka dostal o 10 000 Kč méně než Hana, tedy

\[ J = H – 10\,000 = 2 I – 10\,000. \]

Karel dostal zbytek, takže celková částka je

\[ 150\,000 = H + I + J + K = 2 I + I + (2 I – 10\,000) + K = 5 I – 10\,000 + K. \]

Protože \( K = 150\,000 – (5 I – 10\,000) = 160\,000 – 5 I \).

Částka \( K \) musí být nezáporná, tedy

\[ 160\,000 – 5 I \geq 0 \Rightarrow I \leq 32\,000. \]

Pokud chceme vyjádřit konkrétní hodnoty, musíme zvolit \( I \leq 32\,000 \). Například \( I = 30\,000 \).

Pak

\[ H = 2 \times 30\,000 = 60\,000, \] \[ J = 60\,000 – 10\,000 = 50\,000, \] \[ K = 150\,000 – (60\,000 + 30\,000 + 50\,000) = 150\,000 – 140\,000 = 10\,000. \]

Ověření:

\[ 60\,000 + 30\,000 + 50\,000 + 10\,000 = 150\,000, \] což sedí.

Tedy řečníci dostali částky: Hana 60 000 Kč, Ivan 30 000 Kč, Jirka 50 000 Kč a Karel 10 000 Kč.

Řešení příkladu:

Označíme celkový grant jako \( G = 250\,000 \, \text{Kč} \).

První student dostal 30 % z \( G \), tedy

\[ S_1 = 0{,}30 \times 250\,000 = 75\,000. \]

Druhý student dostal o 25 % méně než první, tedy

\[ S_2 = (1 – 0{,}25) \times S_1 = 0{,}75 \times 75\,000 = 56\,250. \]

Třetí student dostal o 10 % více než druhý, tedy

\[ S_3 = 1{,}10 \times S_2 = 1{,}10 \times 56\,250 = 61\,875. \]

Čtvrtý student dostal o 5 % méně než třetí, tedy

\[ S_4 = (1 – 0{,}05) \times S_3 = 0{,}95 \times 61\,875 = 58\,781{,}25. \]

Pátý student dostal zbytek, tedy

\[ S_5 = G – (S_1 + S_2 + S_3 + S_4) = 250\,000 – (75\,000 + 56\,250 + 61\,875 + 58\,781{,}25). \]

Sčítáme příspěvky prvních čtyř:

\[ 75\,000 + 56\,250 + 61\,875 + 58\,781{,}25 = 251\,906{,}25. \]

Vidíme, že součet překročil celkový grant, což není možné. To znamená, že náš původní výpočet s těmito procenty není konzistentní a pravděpodobně je třeba upravit zadání nebo hledat částky přes soustavu rovnic.

Přistoupíme tedy k algebraickému řešení s proměnnou \( S_1 = x \), kde \( x = 0{,}30 \times 250\,000 = 75\,000 \) bylo původní odhad, nyní však zvolíme obecnou hodnotu:

\[ S_1 = x, \] \[ S_2 = 0{,}75 x, \] \[ S_3 = 1{,}10 \times S_2 = 1{,}10 \times 0{,}75 x = 0{,}825 x, \] \[ S_4 = 0{,}95 \times S_3 = 0{,}95 \times 0{,}825 x = 0{,}78375 x, \] \[ S_5 = 250\,000 – (S_1 + S_2 + S_3 + S_4) = 250\,000 – (x + 0{,}75 x + 0{,}825 x + 0{,}78375 x) = 250\,000 – 3{,}35875 x. \]

Víme, že podle zadání \( S_1 = 0{,}30 \times 250\,000 = 75\,000 \), ale při tomto rozdělení je pátý student v záporných hodnotách, což není možné. Z toho důvodu předpokládáme, že procentuální výpočty jsou relativní k prvnímu studentovi, ale celkový grant je pevný a vyjádříme \( x \) pomocí celkového součtu:

\[ S_5 \geq 0 \Rightarrow 250\,000 – 3{,}35875 x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{250\,000}{3{,}35875} \approx 74\,423{,}14. \]

Vybereme tedy \( x = 74\,423{,}14 \), pak:

\[ S_1 = 74\,423{,}14, \] \[ S_2 = 0{,}75 \times 74\,423{,}14 = 55\,817{,}35, \] \[ S_3 = 1{,}10 \times 55\,817{,}35 = 61\,399{,}08, \] \[ S_4 = 0{,}95 \times 61\,399{,}08 = 58\,329{,}13, \] \[ S_5 = 250\,000 – (74\,423{,}14 + 55\,817{,}35 + 61\,399{,}08 + 58\,329{,}13) = 250\,000 – 250\,000 = 0. \]

Tedy rozdělení odpovídá:

\[ S_1 \approx 74\,423{,}14, \quad S_2 \approx 55\,817{,}35, \quad S_3 \approx 61\,399{,}08, \quad S_4 \approx 58\,329{,}13, \quad S_5 = 0. \]

Výsledkem je, že pátý student bohužel nedostal žádnou částku, pokud chceme zachovat přesné procentuální vztahy, které zadání předpokládá.

Řešení příkladu:

Počáteční jistina je \( P = 120\,000 \, \text{Kč} \).

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}08 \) (8 %).

Úroky se připisují ročně a úročí se i úroky, tedy se jedná o složené úročení. Po dvou letech je tedy výsledná částka:

\[ A = P (1 + r)^n, \] kde \( n = 2 \) roky.

Dosadíme:

\[ A = 120\,000 \times (1 + 0{,}08)^2 = 120\,000 \times (1{,}08)^2 = 120\,000 \times 1{,}1664 = 139\,968. \]

Tedy Petr musí po dvou letech zaplatit 139 968 Kč, což zahrnuje jistinu i úroky.

Řešení příkladu:

Označíme částky na jednotlivých vkladech jako \( x \) (druhý vklad), \( 2x \) (první vklad) a \( 2x – 10\,000 \) (třetí vklad).

Celková částka je

\[ x + 2x + (2x – 10\,000) = 5x – 10\,000, \] která se rovná 200 000 Kč:

\[ 5x – 10\,000 = 200\,000 \Rightarrow 5x = 210\,000 \Rightarrow x = 42\,000. \]

Částky tedy jsou:

\[ \text{Druhý vklad} = x = 42\,000, \] \[ \text{První vklad} = 2x = 84\,000, \] \[ \text{Třetí vklad} = 2x – 10\,000 = 32\,000. \]

Úroky z jednotlivých vkladů po roce:

\[ \text{První: } 84\,000 \times 0{,}04 = 3\,360, \] \[ \text{Druhý: } 42\,000 \times 0{,}05 = 2\,100, \] \[ \text{Třetí: } 32\,000 \times 0{,}06 = 1\,920. \]

Součet úroků je:

\[ 3\,360 + 2\,100 + 1\,920 = 7\,380, \] což je méně než 11 000 Kč, tedy úroky nesedí s požadovaným součtem.

Zadání uvádí, že celkem získala 11 000 Kč na úrocích, proto musíme upravit řešení pomocí rovnic.

Nyní označíme druhý vklad jako \( x \), první jako \( 2x \), třetí jako \( y \). Víme, že

\[ x + 2x + y = 200\,000 \Rightarrow 3x + y = 200\,000, \] a také \[ 0{,}04 \times 2x + 0{,}05 \times x + 0{,}06 \times y = 11\,000. \]

Dále zadané, že třetí vklad je o 10 000 Kč menší než první, tedy

\[ y = 2x – 10\,000. \]

Dosadíme do první rovnice:

\[ 3x + 2x – 10\,000 = 200\,000 \Rightarrow 5x = 210\,000 \Rightarrow x = 42\,000, \] což jsme již zjistili.

Dosadíme do rovnice pro úroky:

\[ 0{,}04 \times 2 \times 42\,000 + 0{,}05 \times 42\,000 + 0{,}06 \times (2 \times 42\,000 – 10\,000) = ? \] \[ 0{,}08 \times 42\,000 + 2\,100 + 0{,}06 \times 74\,000 = 3\,360 + 2\,100 + 4\,440 = 9\,900, \] což je stále méně než 11 000 Kč.

Tento výsledek ukazuje, že daný vztah mezi vklady neodpovídá úrokům 11 000 Kč přesně, a proto upravíme rovnice znovu, tentokrát ponecháme \( y \) jako neznámou a nevyjadřujeme ho přes \( x \).

Dosadíme tedy do systému:

\[ 3x + y = 200\,000, \] \[ 0{,}08 x + 0{,}05 x + 0{,}06 y = 11\,000, \] \[ y = 2x – 10\,000. \]

Dosadíme \( y \) do první rovnice:

\[ 3x + 2x – 10\,000 = 200\,000 \Rightarrow 5x = 210\,000 \Rightarrow x = 42\,000. \]

Dosadíme \( x \) a \( y \) do rovnice pro úroky:

\[ 0{,}08 \times 2x + 0{,}05 x + 0{,}06 (2x – 10\,000) = 11\,000, \] \[ 0{,}16 x + 0{,}05 x + 0{,}12 x – 600 = 11\,000, \] \[ 0{,}33 x = 11\,600, \] \[ x = \frac{11\,600}{0{,}33} \approx 35\,151{,}52. \]

Dosadíme zpět:

\[ y = 2 \times 35\,151{,}52 – 10\,000 = 70\,303{,}04 – 10\,000 = 60\,303{,}04, \] \[ 3x + y = 3 \times 35\,151{,}52 + 60\,303{,}04 = 105\,454{,}56 + 60\,303{,}04 = 165\,757{,}6, \] což je méně než 200 000 Kč, tudíž zadání je zřejmě nekonzistentní bez dodatečných informací.

Pro přesné řešení by bylo potřeba upravit některé podmínky zadání, případně použít jiné přístupy k výpočtu.

Řešení příkladu:

Počáteční hodnota auta je \( V_0 = 300\,000 \, \text{Kč} \).

Každý rok se hodnota sníží o 20 %, což znamená, že po jednom roce zůstane

\[ V_1 = V_0 \times (1 – 0{,}20) = 300\,000 \times 0{,}80 = 240\,000. \]

Po druhém roce se hodnota znovu sníží o 20 %, tedy

\[ V_2 = V_1 \times 0{,}80 = 240\,000 \times 0{,}80 = 192\,000. \]

Hodnota auta po dvou letech je tedy 192 000 Kč.

Řešení příkladu:

Počáteční částka je \( P = 50\,000 \, \text{Kč} \).

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}03 \).

Počet let \( n = 5 \).

Pro výpočet složeného úročení použijeme vzorec:

\[ A = P (1 + r)^n = 50\,000 \times (1 + 0{,}03)^5. \]

Vypočítáme:

\[ (1 + 0{,}03)^5 = 1{,}03^5. \]

Vypočítáme postupně mocninu:

\[ 1{,}03^2 = 1{,}0609, \] \[ 1{,}03^3 = 1{,}0609 \times 1{,}03 = 1{,}092727, \] \[ 1{,}03^4 = 1{,}092727 \times 1{,}03 = 1{,}125508, \] \[ 1{,}03^5 = 1{,}125508 \times 1{,}03 = 1{,}159274. \]

Dosadíme zpět:

\[ A = 50\,000 \times 1{,}159274 = 57\,963{,}7. \]

Po 5 letech bude hodnota investice přibližně 57 963,70 Kč.

Řešení příkladu:

Počáteční vklad je \( P_0 = 150\,000 \) Kč.

Měsíční příspěvek je \( M = 5\,000 \) Kč.

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}024 \).

Úroky se připisují měsíčně, takže měsíční úroková sazba je

\[ r_m = \frac{r}{12} = \frac{0{,}024}{12} = 0{,}002. \]

Počet měsíců je \( n = 3 \times 12 = 36 \).

Hodnota účtu po \( n \) měsících se spočítá jako součet současné hodnoty počátečního vkladu a hodnoty série měsíčních příspěvků zhodnocených úroky. Vzorec pro konečnou hodnotu je:

\[ A = P_0 (1 + r_m)^n + M \times \frac{(1 + r_m)^n – 1}{r_m}. \]

Nejprve spočítáme \( (1 + r_m)^n \):

\[ (1 + 0{,}002)^{36} = 1{,}002^{36}. \]

Pro výpočet použijeme přibližný postup:

\[ 1{,}002^{36} = e^{36 \ln(1{,}002)}. \]

Hodnota \(\ln(1{,}002)\) přibližně je 0,001998.

\[ 36 \times 0{,}001998 = 0{,}07193, \] \[ e^{0{,}07193} \approx 1{,}0747. \]

Tedy

\[ (1 + r_m)^n \approx 1{,}0747. \]

Dosadíme do vzorce:

\[ A = 150\,000 \times 1{,}0747 + 5\,000 \times \frac{1{,}0747 – 1}{0{,}002}. \]

Spočítáme jednotlivé části:

\[ 150\,000 \times 1{,}0747 = 161\,205, \] \[ 1{,}0747 – 1 = 0{,}0747, \] \[ \frac{0{,}0747}{0{,}002} = 37{,}35, \] \[ 5\,000 \times 37{,}35 = 186\,750. \]

Celková hodnota účtu po 3 letech je tedy

\[ A = 161\,205 + 186\,750 = 347\,955 \, \text{Kč}. \]

Řešení příkladu:

Počáteční částka: \( P = 200\,000 \) Kč.

Úroková sazba pro první tři roky je 7 % ročně, tedy \( r_1 = 0{,}07 \).

Pro druhé tříleté období se úrok sníží o 1 % na \( r_2 = 0{,}07 – 0{,}01 = 0{,}06 \).

Pro třetí období opět o 1 % méně, tedy \( r_3 = 0{,}06 – 0{,}01 = 0{,}05 \).

Investice roste složeným úročením, proto po prvních 3 letech bude hodnota

\[ P_1 = P (1 + r_1)^3 = 200\,000 \times (1{,}07)^3. \]

Vypočítáme \( (1{,}07)^3 \):

\[ (1{,}07)^3 = 1{,}07 \times 1{,}07 \times 1{,}07 = 1{,}225043. \]

Tedy

\[ P_1 = 200\,000 \times 1{,}225043 = 245\,008{,}6. \]

Po dalších třech letech se použije úrok \( r_2 = 0{,}06 \):

\[ P_2 = P_1 (1 + r_2)^3 = 245\,008{,}6 \times (1{,}06)^3. \]

Vypočítáme \( (1{,}06)^3 \):

\[ (1{,}06)^3 = 1{,}06 \times 1{,}06 \times 1{,}06 = 1{,}191016. \]

Tedy

\[ P_2 = 245\,008{,}6 \times 1{,}191016 = 291\,740{,}5. \]

Poslední tři roky se úrok sníží na \( r_3 = 0{,}05 \):

\[ P_3 = P_2 (1 + r_3)^3 = 291\,740{,}5 \times (1{,}05)^3. \]

Vypočítáme \( (1{,}05)^3 \):

\[ (1{,}05)^3 = 1{,}157625. \]

Tedy

\[ P_3 = 291\,740{,}5 \times 1{,}157625 = 337\,795{,}3. \]

Po 9 letech bude hodnota investice přibližně 337 795,30 Kč.

Řešení příkladu:

Počáteční dluh \( P = 500\,000 \) Kč.

Roční úroková sazba \( r = 0{,}05 \).

Měsíční úroková sazba je

\[ r_m = \frac{r}{12} = \frac{0{,}05}{12} = 0{,}0041667. \]

Doba splácení v měsících je

\[ n = 5 \times 12 = 60. \]

Měsíční anuitní splátku \( A \) vypočteme podle vzorce:

\[ A = P \times \frac{r_m (1 + r_m)^n}{(1 + r_m)^n – 1}. \]

Nejprve spočítáme \( (1 + r_m)^n \):

\[ (1 + 0{,}0041667)^{60} = 1{,}0041667^{60}. \]

Pomocí aproximace:

\[ 1{,}0041667^{60} = e^{60 \ln(1{,}0041667)}. \]

\(\ln(1{,}0041667) \approx 0{,}004158\),

\[ 60 \times 0{,}004158 = 0{,}2495, \] \[ e^{0{,}2495} \approx 1{,}283. \]

Dosadíme do vzorce:

\[ A = 500\,000 \times \frac{0{,}0041667 \times 1{,}283}{1{,}283 – 1} = 500\,000 \times \frac{0{,}005345}{0{,}283} = 500\,000 \times 0{,}01888 = 9\,440. \]

Měsíční splátka je tedy přibližně 9 440 Kč.

Řešení příkladu:

Počáteční vklad je \( P = 100\,000 \) Kč.

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}035 \).

Úroky se připisují pololetně, proto úroková sazba na jedno období je

\[ r_p = \frac{r}{2} = \frac{0{,}035}{2} = 0{,}0175. \]

Počet období je

\[ n = 4 \times 2 = 8. \]

Hodnota vkladu po 4 letech je:

\[ A = P (1 + r_p)^n = 100\,000 \times (1{,}0175)^8. \]

Vypočítáme \( (1{,}0175)^8 \):

\[ (1{,}0175)^8 = e^{8 \ln(1{,}0175)}. \]

Hodnota \(\ln(1{,}0175)\) je přibližně 0,01737.

\[ 8 \times 0{,}01737 = 0{,}139, \] \[ e^{0{,}139} \approx 1{,}149. \]

Tedy

\[ A = 100\,000 \times 1{,}149 = 114\,900. \]

Po 4 letech bude hodnota vkladu přibližně 114 900 Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme, kolik výrobků se prodalo. Prodáno bylo 37,5 % z 800 kusů, což znamená, že:

\( \text{prodáno} = \frac{37,5}{100} \times 800 = 0,375 \times 800 = 300 \)

Takže prodali jsme 300 výrobků.

Počet výrobků, které zůstaly ve skladu, bude:

\( \text{zůstalo} = 800 – 300 = 500 \)

Nyní spočítáme, jaký je procentuální podíl výrobků, které zůstaly, vzhledem k původnímu počtu výrobků:

\( \text{procento zůstalo} = \frac{500}{800} \times 100 = 0,625 \times 100 = 62,5\% \)

Výsledek: Ve skladu zůstalo 500 výrobků, což je 62,5 % původního počtu.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu výrobku jako \( x \) Kč.

Po snížení o 12 % zůstane cena \( 100\% – 12\% = 88\% \) původní ceny, tedy \( 0,88x \).

Dle zadání platí:

\( 0,88x = 1760 \)

Vypočítáme původní cenu \( x \):

\( x = \frac{1760}{0,88} = 2000 \)

Původní cena výrobku tedy byla 2000 Kč.

Pro ověření vypočítáme slevu v korunách:

\( \text{snížení} = 2000 – 1760 = 240 \) Kč

A procentuální sleva je:

\( \frac{240}{2000} \times 100 = 12\% \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Loňská spotřeba byla 2 400 000 litrů.

Spotřeba bude snížena o 15 %, takže letošní spotřeba bude 85 % loňské spotřeby.

Vypočítáme tedy:

\( \text{letos} = \frac{85}{100} \times 2\,400\,000 = 0,85 \times 2\,400\,000 = 2\,040\,000 \)

Město tedy letos spotřebuje 2 040 000 litrů vody.

Rozdíl v množství vody je:

\( 2\,400\,000 – 2\,040\,000 = 360\,000 \) litrů, což je přesně 15 % snížení.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( P \).

Po zdražení o 8 % je nová cena:

\( P_{1} = P + 0,08P = 1,08P \)

Poté se z této ceny poskytne sleva 10 %, takže konečná cena bude:

\( P_{2} = P_{1} – 0,10P_{1} = 0,90 \times P_{1} = 0,90 \times 1,08P = 0,972P \)

Konečná cena je tedy 97,2 % původní ceny, což znamená, že cena ve skutečnosti klesla.

Vypočítáme procentuální změnu oproti původní ceně:

\( \Delta = 97,2\% – 100\% = -2,8\% \)

Cena tedy klesla o 2,8 % oproti původní hodnotě.

Řešení příkladu:

Označíme počet obyvatel před rokem jako \( x \).

Po zvýšení o 4 % je současný počet obyvatel:

\( x + 0,04x = 1,04x \)

Dle zadání:

\( 1,04x = 52\,000 \)

Vyjádříme \( x \):

\( x = \frac{52\,000}{1,04} = 50\,000 \)

Počet obyvatel před rokem byl tedy 50 000.

Pro kontrolu: Zvýšení o 4 % z 50 000 je:

\( 0,04 \times 50\,000 = 2\,000 \)

Součet tedy je:

\( 50\,000 + 2\,000 = 52\,000 \), což odpovídá zadání.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( P \).

Po zlevnění o 20 % je cena:

\( P_{1} = P – 0,20P = 0,80P \)

Poté cena vzrostla o 25 % oproti této snížené ceně, tedy nová cena je:

\( P_{2} = P_{1} + 0,25P_{1} = 1,25 \times 0,80P = 1,00P \)

Konečná cena tedy je přesně \( P \), což znamená, že celková změna ceny oproti původní ceně je:

\( 100\% – 100\% = 0\% \)

Tedy po obou úpravách je cena zboží stejná jako původní cena.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( P \).

Nejprve cena vzroste o 15 %, tedy nová cena bude:

\( P_1 = P + 0,15P = 1,15P \)

Následně je tato cena snížena o 10 %, což znamená, že se od ní odečte 10 %:

\( P_2 = P_1 – 0,10 P_1 = 0,90 \times 1,15P = 1,035P \)

Konečná cena tedy představuje 103,5 % původní ceny, což znamená, že celkově cena vzrostla o 3,5 %.

Formálně tedy:

\( \text{změna} = 1,035P – P = 0,035P \)

a procentuálně:

\( \frac{0,035P}{P} \times 100 = 3,5\% \)

Odpověď: Cena výrobku se po obou úpravách zvýšila o 3,5 %.

Řešení příkladu:

Původní cenu označíme jako \( P \).

První sleva 30 % znamená, že cena po první slevě bude:

\( P_1 = P – 0,30 P = 0,70P \)

Druhá sleva 15 % se počítá z ceny \( P_1 \), takže po druhé slevě je cena:

\( P_2 = P_1 – 0,15 P_1 = 0,85 \times 0,70 P = 0,595 P \)

Výsledná cena je tedy 59,5 % původní ceny.

Pro úplnost vyjádříme to i procentuálně jako změnu ceny oproti původní:

\( 100\% – 59,5\% = 40,5\% \)

Tedy celková sleva činí 40,5 %.

To znamená, že výrobek je nyní o 40,5 % levnější než původně.

Řešení příkladu:

Označíme původní výrobní náklady jako \( N \).

Zvýšení nákladů o 18 % znamená navýšení o:

\( 0,18 N \)

Současně došlo ke snížení nákladů o 8 % z původních nákladů, což znamená úsporu:

\( 0,08 N \)

Celkové náklady po těchto změnách jsou tedy:

\( N + 0,18 N – 0,08 N = N + (0,18 – 0,08) N = 1,10 N \)

Celkové náklady vzrostly o 10 % oproti původní hodnotě.

Pro úplnost vyjádříme to procentuálně:

\( \frac{1,10 N – N}{N} \times 100 = 10\% \)

Výsledek: Celkové výrobní náklady se zvýšily o 10 %.

Řešení příkladu:

První sleva v množství 20 % znamená, že po první akci zůstalo:

\( 1200 – 0,20 \times 1200 = 1200 \times (1 – 0,20) = 1200 \times 0,80 = 960 \)

Druhá sleva 15 % se počítá z této nové hodnoty 960 kusů:

\( 960 – 0,15 \times 960 = 960 \times (1 – 0,15) = 960 \times 0,85 = 816 \)

Po obou slevách tedy zůstalo 816 kusů zboží.

Tento výpočet nám ukazuje, jak procentuální snížení postupně ovlivňuje množství, které se nepočítá z původního, ale z aktuálního stavu po první slevě.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( P \).

Po zvýšení o 20 % bude nová cena:

\( P_1 = P + 0,20 P = 1,20 P \)

Po snížení o 25 % z nové ceny bude konečná cena:

\( P_2 = P_1 – 0,25 P_1 = 0,75 \times 1,20 P = 0,90 P \)

Konečná cena představuje 90 % původní ceny, což znamená pokles ceny o 10 %.

Formálně:

\( \Delta = 0,90 P – P = -0,10 P \Rightarrow \frac{-0,10 P}{P} \times 100 = -10 \% \)

Výsledek: Cena výrobku se snížila o 10 % oproti původní ceně.

Řešení příkladu:

Označíme původní počet zaměstnanců jako \( Z \).

Po zvýšení o 7 %:

\( Z_1 = Z + 0,07 Z = 1,07 Z \)

Po snížení o 5 % z nového stavu:

\( Z_2 = Z_1 – 0,05 Z_1 = 0,95 \times 1,07 Z = 1,0165 Z \)

Konečný stav je 101,65 % původního počtu, což znamená zvýšení o 1,65 %.

Vyjádřeno procentuálně:

\( \frac{1,0165 Z – Z}{Z} \times 100 = 1,65 \% \)

Odpověď: Celkový počet zaměstnanců vzrostl o 1,65 % oproti původnímu stavu.

Řešení příkladu:

Označíme původní hodnotu investice jako \( I \).

Po zhodnocení o 12 % bude hodnota:

\( I_1 = I + 0,12 I = 1,12 I \)

Po ztrátě 10 % z aktuální hodnoty bude hodnota:

\( I_2 = I_1 – 0,10 I_1 = 0,90 \times 1,12 I = 1,008 I \)

Konečná hodnota je 100,8 % původní hodnoty, což znamená zvýšení o 0,8 %.

Procentuální změna:

\( \frac{1,008 I – I}{I} \times 100 = 0,8 \% \)

Výsledek: Investice vzrostla o 0,8 % oproti původní částce.

Řešení příkladu:

Původní cena je 1500 Kč.

Po první slevě 12 %:

\( C_1 = 1500 – 0,12 \times 1500 = 1500 \times (1 – 0,12) = 1500 \times 0,88 = 1320 \)

Po druhé slevě 8 % z nové ceny:

\( C_2 = 1320 – 0,08 \times 1320 = 1320 \times (1 – 0,08) = 1320 \times 0,92 = 1214,40 \)

Konečná cena zboží je tedy 1214,40 Kč.

Pro zajímavost můžeme vyjádřit celkovou slevu:

\( 1500 – 1214,40 = 285,60 \)

a procentuálně:

\( \frac{285,60}{1500} \times 100 = 19,04 \% \)

Celková sleva tedy přesáhla 19 % původní ceny.

Řešení příkladu:

Označíme původní daňovou sazbu jako \( D \).

Po zvýšení o 6 % bude nová sazba:

\( D_1 = D + 0,06 D = 1,06 D \)

Po snížení o 3 % z nové sazby bude konečná sazba:

\( D_2 = D_1 – 0,03 D_1 = 0,97 \times 1,06 D = 1,0282 D \)

Konečná sazba je tedy 102,82 % původní sazby, což znamená zvýšení o 2,82 %.

Vyjádřeno procentuálně:

\( \frac{1,0282 D – D}{D} \times 100 = 2,82 \% \)

Odpověď: Konečná změna daní je zvýšení o 2,82 % oproti původní sazbě.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( P \).

Po zvýšení o 25 % je nová cena:

\( P_1 = P + 0,25 P = 1,25 P \)

Dodatečná sleva 12 % znamená, že konečná cena je:

\( P_2 = P_1 – 0,12 P_1 = 0,88 \times 1,25 P = 1,10 P \)

Konečná cena je 110 % původní ceny, tedy cena vzrostla o 10 %.

Procentuální změna je:

\( \frac{1,10 P – P}{P} \times 100 = 10 \% \)

Výsledek: Konečná cena je o 10 % vyšší než původní cena.

Řešení příkladu:

Nejprve označíme původní cenu výrobku jako \( P \).

Zvýšení o 15 % znamená, že nová cena bude:

\( P_1 = P + 0,15 P = 1,15 P \)

Následně je cena snížena o 20 % z této nové ceny, tedy:

\( P_2 = P_1 – 0,20 P_1 = 0,80 \times 1,15 P = 0,92 P \)

Porovnáme-li konečnou cenu s původní, vidíme, že cena klesla na 92 % původní ceny, což znamená pokles o 8 %.

Pro úplnost vyjádříme procentuální změnu pomocí vzorce pro procentuální změnu:

\( \frac{P_2 – P}{P} \times 100 = \frac{0,92 P – P}{P} \times 100 = -0,08 \times 100 = -8 \% \)

Tedy původní cena se změnila o -8 %, což znamená, že cena výrobku po všech úpravách klesla o 8 % oproti původní hodnotě.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena zboží je \( C \).

První sleva 25 % znamená, že cena po první slevě je:

\( C_1 = C – 0,25 C = 0,75 C \)

Následná sleva 10 % z této snížené ceny znamená:

\( C_2 = C_1 – 0,10 C_1 = 0,90 \times 0,75 C = 0,675 C \)

Celková cena po obou slevách je tedy 67,5 % původní ceny.

Celková procentuální sleva je rozdíl mezi původní cenou a konečnou cenou v procentech:

\( \frac{C – C_2}{C} \times 100 = \frac{C – 0,675 C}{C} \times 100 = (1 – 0,675) \times 100 = 0,325 \times 100 = 32,5 \% \)

Tedy celková sleva je 32,5 % původní ceny zboží.

Řešení příkladu:

Označíme počáteční vklad jako \( V \).

První rok s úrokem 8 % znamená výnos:

\( V_1 = V \times 0,08 = 0,08 V \)

Po prvním roce klient vybírá úroky, takže počáteční vklad pro druhý rok zůstává \( V \).

Druhý rok je úrok 10 %, tedy výnos druhého roku je:

\( V_2 = V \times 0,10 = 0,10 V \)

Celkový výnos za dva roky při této situaci je:

\( V_{\text{celkem}} = V_1 + V_2 = 0,08 V + 0,10 V = 0,18 V \)

Nyní porovnáme s výnosem, kdy by úrok byl stále 8 % složený ročně bez vybírání úroků:

Konečná částka by byla:

\( V‘ = V \times (1 + 0,08)^2 = V \times 1,1664 \)

Celkový výnos za dva roky je tedy:

\( V‘ – V = 0,1664 V \)

Nyní vypočítáme rozdíl mezi výnosem s proměnným úrokem a složeným úrokem při 8 %:

\( \Delta = V_{\text{celkem}} – 0,1664 V = 0,18 V – 0,1664 V = 0,0136 V \)

Relativně k původnímu vkladu je tedy rozdíl:

\( \frac{0,0136 V}{V} \times 100 = 1,36 \% \)

Závěr: Celkový výnos za dva roky při proměnné úrokové sazbě je o 1,36 % vyšší než při konstantním složeném úroku 8 %.

Řešení příkladu:

Původní cenu označíme jako \( P \).

Po zvýšení o 30 %:

\( P_1 = P + 0,30 P = 1,30 P \)

Následné snížení o 15 % znamená, že nová cena je:

\( P_2 = P_1 – 0,15 P_1 = 0,85 \times 1,30 P = 1,105 P \)

Porovnáním konečné ceny s původní cenou zjistíme, že cena vzrostla na 110,5 % původní ceny, tedy zvýšila se o 10,5 %.

Výpočet procentuální změny:

\( \frac{P_2 – P}{P} \times 100 = \frac{1,105 P – P}{P} \times 100 = 0,105 \times 100 = 10,5 \% \)

Závěr: Cena produktu se oproti původní hodnotě zvýšila o 10,5 % i přes následné snížení.

Řešení příkladu:

Označíme původní investici jako \( I \).

Po zhodnocení o 18 % je hodnota investice:

\( I_1 = I + 0,18 I = 1,18 I \)

Následné snížení o 12 % znamená:

\( I_2 = I_1 – 0,12 I_1 = 0,88 \times 1,18 I = 1,0384 I \)

Konečná hodnota je 103,84 % původní investice.

Procentuální změna oproti původní částce je tedy:

\( \frac{I_2 – I}{I} \times 100 = \frac{1,0384 I – I}{I} \times 100 = 0,0384 \times 100 = 3,84 \% \)

Závěr: Investice vzrostla oproti původní hodnotě o 3,84 % i přes následné snížení.

Řešení příkladu:

Původní cena je \( C \).

Po snížení o 10 %:

\( C_1 = C – 0,10 C = 0,90 C \)

Poté navýšení o 12 % znamená:

\( C_2 = C_1 + 0,12 C_1 = 1,12 \times 0,90 C = 1,008 C \)

Konečná cena je tedy 100,8 % původní ceny, tedy mírně vyšší o 0,8 %.

Procentuální změna je:

\( \frac{C_2 – C}{C} \times 100 = \frac{1,008 C – C}{C} \times 100 = 0,008 \times 100 = 0,8 \% \)

Závěr: Cena zboží se oproti původní ceně zvýšila o 0,8 %.

Řešení příkladu:

Původní cena je \( P \).

Po první slevě 18 %:

\( P_1 = P – 0,18 P = 0,82 P \)

Další sleva 7 % z této snížené ceny:

\( P_2 = P_1 – 0,07 P_1 = 0,93 \times 0,82 P = 0,7626 P \)

Konečná cena je tedy 76,26 % původní ceny.

Procentuální sleva je:

\( \frac{P – P_2}{P} \times 100 = (1 – 0,7626) \times 100 = 0,2374 \times 100 = 23,74 \% \)

Závěr: Celková sleva je 23,74 % původní ceny.

Řešení příkladu:

Původní cena je \( C \).

Po zvýšení o 20 % je cena:

\( C_1 = C + 0,20 C = 1,20 C \)

Hledáme, o kolik procent \( x \) je třeba cenu snížit, aby:

\( C_2 = C_1 – x \cdot C_1 = C \)

Vyjádříme \( x \):

\( C = (1 – x) \times 1,20 C \Rightarrow 1 = 1,20 (1 – x) \Rightarrow \frac{1}{1,20} = 1 – x \Rightarrow x = 1 – \frac{1}{1,20} \)

\( x = 1 – \frac{1}{1,20} = 1 – 0,8333 = 0,1667 \)

Vyjádříme v procentech:

\( x \times 100 = 16,67 \% \)

Závěr: Cena musí být snížena o 16,67 %, aby se vrátila na původní hodnotu.

Řešení příkladu:

Nechť počáteční hodnota investice je \( I \).

Po růstu o 25 % je hodnota:

\( I_1 = I + 0,25 I = 1,25 I \)

Hledáme pokles \( y \), aby:

\( I_2 = I_1 – y \cdot I_1 = I \)

Vyjádříme \( y \):

\( I = (1 – y) \times 1,25 I \Rightarrow 1 = 1,25 (1 – y) \Rightarrow \frac{1}{1,25} = 1 – y \Rightarrow y = 1 – \frac{1}{1,25} \)

\( y = 1 – 0,8 = 0,2 \)

V procentech:

\( y \times 100 = 20 \% \)

Závěr: Aby se hodnota investice vrátila na původní úroveň, musí následovat pokles o 20 %.

Řešení příkladu:

Původní cena označíme jako \( C \).

Po první slevě 5 % je cena:

\( C_1 = C – 0,05 C = 0,95 C \)

Po druhé slevě 10 % je cena:

\( C_2 = C_1 – 0,10 C_1 = 0,90 \times 0,95 C = 0,855 C \)

Konečná cena je 85,5 % původní ceny.

Celková sleva je tedy:

\( \frac{C – C_2}{C} \times 100 = (1 – 0,855) \times 100 = 0,145 \times 100 = 14,5 \% \)

Závěr: Celková sleva z původní ceny je 14,5 %.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena zboží je \( C \).

Po zvýšení o 15 % je nová cena:

\( C_1 = C + 0,15 C = 1,15 C \)

Následně byla cena snížena o 10 % z této nové hodnoty:

\( C_2 = C_1 – 0,10 C_1 = 0,90 \times 1,15 C = 1,035 C \)

Konečná cena je tedy 103,5 % původní ceny.

Pro výpočet konečného procentuálního zvýšení oproti původní ceně použijeme vzorec:

\( \frac{C_2 – C}{C} \times 100 = (1,035 – 1) \times 100 = 0,035 \times 100 = 3,5 \% \)

Závěr: Konečná cena je o 3,5 % vyšší než původní cena.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena výrobku je \( P \).

Po slevě 25 % je cena:

\( P_1 = P – 0,25 P = 0,75 P \)

Tato nová cena představuje 75 % původní ceny.

Nyní se tato snížená cena zvýší o 20 %:

\( P_2 = P_1 + 0,20 P_1 = 1,20 \times 0,75 P = 0,90 P \)

Konečná cena je tedy 90 % původní ceny.

Závěr: Po zlevnění o 25 % a následném zvýšení o 20 % je cena o 10 % nižší než původní.

Řešení příkladu:

Nechť původní příjem města byl \( I \) (v milionech Kč).

Po zvýšení daní o 12 % se příjem zvýšil o 180 milionů Kč, tedy:

\( 0,12 I = 180 \)

Vyjádříme \( I \):

\( I = \frac{180}{0,12} = 1500 \)

Původní příjem města byl tedy 1500 milionů Kč.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena je \( C \).

Po první slevě 18 % je cena:

\( C_1 = C – 0,18 C = 0,82 C \)

Po druhé slevě 15 % z nové ceny je cena:

\( C_2 = C_1 – 0,15 C_1 = 0,85 \times 0,82 C = 0,697 C \)

Konečná cena je 69,7 % původní ceny.

Celková sleva je tedy:

\( \frac{C – C_2}{C} \times 100 = (1 – 0,697) \times 100 = 0,303 \times 100 = 30,3 \% \)

Závěr: Celková sleva oproti původní ceně je 30,3 %.

Řešení příkladu:

Nechť původní počet obyvatel je \( N \).

Po prvním roce je počet obyvatel:

\( N_1 = N + 0,04 N = 1,04 N \)

Nechť druhý rok se počet obyvatel zvýší o \( x \) %:

\( N_2 = N_1 + \frac{x}{100} N_1 = \left(1 + \frac{x}{100}\right) N_1 = \left(1 + \frac{x}{100}\right) 1,04 N \)

Celkový nárůst za dva roky má být 8,16 %, tedy:

\( N_2 = N + 0,0816 N = 1,0816 N \)

Z rovnosti dostáváme:

\( \left(1 + \frac{x}{100}\right) 1,04 N = 1,0816 N \Rightarrow 1 + \frac{x}{100} = \frac{1,0816}{1,04} \Rightarrow 1 + \frac{x}{100} = 1,04 \)

Odečteme 1:

\( \frac{x}{100} = 0,04 \Rightarrow x = 4 \)

Závěr: Počet obyvatel musí další rok vzrůst opět o 4 %.

Řešení příkladu:

Nechť počáteční vklad je \( V \).

Po prvním roce s úrokovou sazbou 6 % je hodnota vkladu:

\( V_1 = V + 0,06 V = 1,06 V \)

Po druhém roce se úroky počítají z původního vkladu, tedy z \( V \) (jednoduché úročení):

\( V_2 = V_1 + 0,06 V = 1,06 V + 0,06 V = 1,12 V \)

Celkový výnos je tedy:

\( \frac{V_2 – V}{V} \times 100 = (1,12 – 1) \times 100 = 0,12 \times 100 = 12 \% \)

Závěr: Celkový výnos po dvou letech je 12 % při jednoduchém úročení.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena akcie je \( A \).

Po poklesu o 30 % je cena:

\( A_1 = A – 0,30 A = 0,70 A \)

Označíme \( x \) procentní nárůst, který je potřeba k návratu na původní cenu, tedy:

\( A = A_1 + \frac{x}{100} A_1 = (1 + \frac{x}{100}) \times 0,70 A \)

Z rovnosti:

\( A = (1 + \frac{x}{100}) \times 0,70 A \Rightarrow 1 = 0,70 \left(1 + \frac{x}{100}\right) \)

Vyjádříme \( x \):

\( \frac{1}{0,70} = 1 + \frac{x}{100} \Rightarrow \frac{1}{0,70} – 1 = \frac{x}{100} \Rightarrow \frac{1}{0,70} – 1 = \frac{x}{100} \)

\( \frac{1}{0,70} = 1,42857 \Rightarrow 1,42857 – 1 = 0,42857 \Rightarrow \frac{x}{100} = 0,42857 \Rightarrow x = 42,857 \)

Závěr: Cena musí vzrůst přibližně o 42,86 %, aby se vrátila na původní hodnotu.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena je \( P \).

Po zvýšení o 8 % je cena:

\( P_1 = P + 0,08 P = 1,08 P \)

Poté se cena snížila o 5 %:

\( P_2 = P_1 – 0,05 P_1 = 0,95 \times 1,08 P = 1,026 P \)

Konečná cena je 102,6 % původní ceny.

Pro výpočet procentuální změny oproti původní ceně:

\( \frac{P_2 – P}{P} \times 100 = (1,026 – 1) \times 100 = 0,026 \times 100 = 2,6 \% \)

Závěr: Konečná cena je o 2,6 % vyšší než původní cena.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena výrobku je \( C \). Cena byla snížena o 15 %, takže nová cena je

\[ C_{1} = C – 0{,}15C = 0{,}85C \]

Následně se tato snížená cena zvýšila o 20 %, což znamená, že nová cena je

\[ C_{2} = C_{1} + 0{,}20C_{1} = 1{,}20 \times 0{,}85C = 1{,}02C \]

Tato cena \( C_{2} \) představuje cenu po druhé změně. Porovnáme-li ji s původní cenou \( C \), zjistíme, že

\[ C_{2} = 1{,}02C \Rightarrow \text{cena se zvýšila o } 2\,\% \]

Tedy i přes první snížení a následné zvýšení je výsledná cena o 2 % vyšší než původní cena.

Řešení příkladu:

Nechť plat před zvýšením byl \( P \) Kč. Po zvýšení o 12 % plat činí

\[ P \times 1{,}12 = 8960 \]

Pro nalezení původního platu vydělíme obě strany rovnice číslem 1,12:

\[ P = \frac{8960}{1{,}12} = 8000 \]

Plat před zvýšením tedy činil 8000 Kč.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena automobilu je \( C \). Po prvním roce klesla o 18 %, takže nová cena je

\[ C_1 = C – 0{,}18C = 0{,}82C \]

Během druhého roku cena opět klesla o 12 % z ceny \( C_1 \), tedy

\[ C_2 = C_1 – 0{,}12C_1 = 0{,}88C_1 = 0{,}88 \times 0{,}82C = 0{,}7216C \]

Celkové procentuální snížení ceny po dvou letech spočítáme jako rozdíl původní ceny a ceny po dvou letech, vyjádřený v procentech původní ceny:

\[ \text{procentuální snížení} = \frac{C – C_2}{C} \times 100\,\% = (1 – 0{,}7216) \times 100\,\% = 27{,}84\,\% \]

Celkové snížení ceny automobilu po dvou letech je tedy 27,84 %.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena výrobku je \( C = 1500 \) Kč.

Po zvýšení o 8 % je nová cena

\[ C_1 = 1500 + 0{,}08 \times 1500 = 1500 \times 1{,}08 = 1620 \]

Po následném snížení o 10 % je cena

\[ C_2 = 1620 – 0{,}10 \times 1620 = 1620 \times 0{,}90 = 1458 \]

Výsledná cena výrobku je tedy 1458 Kč.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena je \( C \). Po zvýšení o 25 % je cena

\[ C_1 = C \times 1{,}25 \]

Po snížení o 20 % se cena změní na

\[ C_2 = C_1 \times 0{,}80 = 1{,}25C \times 0{,}80 = 1{,}00C \]

Tedy výsledná cena je stejná jako původní, což znamená, že cena se změnila o 0 %.

Řešení příkladu:

Nechť cena bez daně je \( C \). Po přičtení 15 % DPH je cena

\[ C \times 1{,}15 = 1150 \]

Pro nalezení ceny bez daně vydělíme obě strany rovnice 1,15:

\[ C = \frac{1150}{1{,}15} = 1000 \]

Cena bez daně byla tedy 1000 Kč.

Řešení příkladu:

Nechť původní počet obyvatel je \( P \).

Po prvním roce se počet zvýšil o 5 %:

\[ P_1 = P \times 1{,}05 \]

Po druhém roce se počet zvýšil o dalších 3 % z nové hodnoty \( P_1 \):

\[ P_2 = P_1 \times 1{,}03 = P \times 1{,}05 \times 1{,}03 = P \times 1{,}0815 \]

Celkové zvýšení počtu obyvatel je tedy

\[ 1{,}0815 – 1 = 0{,}0815 = 8{,}15\,\% \]

Počet obyvatel se zvýšil celkem o 8,15 % za dva roky.

Řešení příkladu:

Nechť původní hodnota investice je \( V \).

Po prvním roce pokles o 30 % znamená

\[ V_1 = V \times (1 – 0{,}30) = 0{,}70 V \]

Po druhém roce růst o 20 % znamená

\[ V_2 = V_1 \times 1{,}20 = 0{,}70 V \times 1{,}20 = 0{,}84 V \]

Celková změna je

\[ \frac{V_2 – V}{V} = 0{,}84 – 1 = -0{,}16 = -16\,\% \]

Celkově tedy hodnota investice klesla o 16 % po dvou letech.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena je \( C \).

Po zlevnění o 25 %:

\[ C_1 = C \times 0{,}75 \]

Po přidání 15% přirážky k ceně \( C_1 \):

\[ C_2 = C_1 \times 1{,}15 = 0{,}75 C \times 1{,}15 = 0{,}8625 C \]

Výsledná cena je tedy 86,25 % původní ceny.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena je \( C \).

Po zvýšení o 18 %:

\[ C \times 1{,}18 = 3540 \]

Pro nalezení původní ceny vydělíme obě strany rovnice 1,18:

\[ C = \frac{3540}{1{,}18} = 3000 \]

Původní cena výrobku byla 3000 Kč.

Řešení příkladu:

Nechť nákupní cena je \( N = 8000 \) Kč.

Prodejní cena se zvýšila o 12 %:

\[ P = N \times 1{,}12 = 8000 \times 1{,}12 = 8960 \]

Po zlevnění o 10 % z prodejní ceny je cena

\[ P_1 = P \times 0{,}90 = 8960 \times 0{,}90 = 8064 \]

Celkový zisk nebo ztráta je rozdíl mezi cenou po zlevnění a nákupní cenou:

\[ Z = P_1 – N = 8064 – 8000 = 64 \]

Procentuální zisk je

\[ \frac{64}{8000} \times 100\,\% = 0{,}8\,\% \]

Po zlevnění je cena 8064 Kč a obchodník má stále zisk 0,8 % oproti nákupní ceně.

Řešení příkladu:

Nechť původní cena je \( C \). Po snížení o 40 %:

\[ C \times 0{,}60 = 900 \]

Pro nalezení původní ceny vydělíme obě strany rovnice 0,60:

\[ C = \frac{900}{0{,}60} = 1500 \]

Nyní spočítáme, o kolik procent je původní cena vyšší než snížená cena:

\[ \frac{C – 900}{900} \times 100\,\% = \frac{1500 – 900}{900} \times 100\,\% = \frac{600}{900} \times 100\,\% = 66{,}67\,\% \]

Původní cena je tedy o 66,67 % vyšší než snížená cena.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme cenu po slevě 15 % z původní ceny 480 Kč. Sleva znamená, že cena se sníží o 15 % z původní ceny, tedy:

\( \text{sleva} = 480 \times \frac{15}{100} = 480 \times 0{,}15 = 72 \, \text{Kč} \)

Po slevě je tedy nová cena:

\( 480 – 72 = 408 \, \text{Kč} \)

Nyní cena stoupla o 10 %, což znamená, že se zvýšila o 10 % ze slevové ceny 408 Kč:

\( \text{nárůst} = 408 \times \frac{10}{100} = 408 \times 0{,}10 = 40{,}8 \, \text{Kč} \)

Výsledná cena po zvýšení tedy je:

\( 408 + 40{,}8 = 448{,}8 \, \text{Kč} \)

Tedy výsledná cena zboží po slevě a následném zvýšení je 448,80 Kč.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( P \).

Po zvýšení o 20 % se cena změní na:

\( P \times (1 + \frac{20}{100}) = P \times 1{,}20 \)

Potom cena klesne o 25 %, tedy nová cena je:

\( P \times 1{,}20 \times (1 – \frac{25}{100}) = P \times 1{,}20 \times 0{,}75 = P \times 0{,}9 \)

To znamená, že výsledná cena je 90 % původní ceny.

Tedy i přes zvýšení a snížení cena skončila pod původní hodnotou na 90 % původní ceny.

Řešení příkladu:

Označíme počáteční počet obyvatel jako \( N \).

Po zvýšení o 3 % je počet obyvatel:

\( N \times 1{,}03 \)

Po snížení o 5 % v roce 2024 je počet obyvatel:

\( N \times 1{,}03 \times 0{,}95 = N \times 0{,}9785 \)

To znamená, že celkový procentní změna je:

\( 0{,}9785 \times 100\% = 97{,}85\% \)

Tedy za oba roky se počet obyvatel snížil o:

\( 100\% – 97{,}85\% = 2{,}15\% \)

Celkově tedy počet obyvatel klesl o 2,15 % oproti původnímu stavu před rokem 2023.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( C \).

Po snížení o 12 % je cena:

\( C \times (1 – \frac{12}{100}) = C \times 0{,}88 \)

Po zvýšení o 15 % z této snížené ceny je cena:

\( C \times 0{,}88 \times (1 + \frac{15}{100}) = C \times 0{,}88 \times 1{,}15 = C \times 1{,}012 \)

To znamená, že výsledná cena je 101,2 % původní ceny, tedy mírně vyšší než původní cena.

Procentuální změna je:

\( (1{,}012 – 1) \times 100\% = 1{,}2\% \)

Tedy výsledná cena je o 1,2 % vyšší než původní cena.

Řešení příkladu:

Původní počet studentů je 25.

Zvýšení o 8 % znamená, že počet studentů se zvýší o:

\( 25 \times \frac{8}{100} = 25 \times 0{,}08 = 2 \, \text{studenti} \)

Nový počet studentů je tedy:

\( 25 + 2 = 27 \)

Tedy ve třídě je nyní 27 studentů, což znamená nárůst o 2 studenty.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu akcií jako \( A \).

Po poklesu o 30 % je nová cena:

\( A \times (1 – \frac{30}{100}) = A \times 0{,}7 \)

Po následném růstu o 50 % je cena:

\( A \times 0{,}7 \times (1 + \frac{50}{100}) = A \times 0{,}7 \times 1{,}5 = A \times 1{,}05 \)

Tedy výsledná cena je 105 % původní ceny, což znamená, že cena akcií je vyšší než původní o 5 %.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( C = 20\,000 \, \text{Kč} \).

Po první slevě o 18 % je cena:

\( 20\,000 \times (1 – \frac{18}{100}) = 20\,000 \times 0{,}82 = 16\,400 \, \text{Kč} \)

Poté je cena zlevněna o dalších 7 % z této snížené ceny:

\( 16\,400 \times (1 – \frac{7}{100}) = 16\,400 \times 0{,}93 = 15\,252 \, \text{Kč} \)

Konečná cena notebooku je tedy 15 252 Kč.

Řešení příkladu:

Původní počet hlasů byl 40 000.

Zvýšení o 25 % znamená, že počet hlasů vzrostl o:

\( 40\,000 \times \frac{25}{100} = 40\,000 \times 0{,}25 = 10\,000 \)

Nový počet hlasů je tedy:

\( 40\,000 + 10\,000 = 50\,000 \)

Počet hlasů se zvýšil o 10 000 oproti minulému kolu.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( P \).

Víme, že sleva 10 % odpovídá částce 450 Kč, tedy:

\( P \times \frac{10}{100} = 450 \Rightarrow P \times 0{,}1 = 450 \Rightarrow P = \frac{450}{0{,}1} = 4500 \)

Původní cena zboží byla tedy 4500 Kč.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( C = 1250 \, \text{Kč} \).

Po zvýšení o 12 % je nová cena:

\( 1250 \times (1 + \frac{12}{100}) = 1250 \times 1{,}12 = 1400 \, \text{Kč} \)

Poté je cena snížena o 8 %:

\( 1400 \times (1 – \frac{8}{100}) = 1400 \times 0{,}92 = 1288 \, \text{Kč} \)

Výsledná cena je tedy 1288 Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve je potřeba určit cenu výrobku po první slevě 25 % z původní ceny 1200 Kč. Výpočet slevy:

\( 25\% = \frac{25}{100} = 0{,}25 \)

Výše slevy v korunách je tedy:

\( 1200 \times 0{,}25 = 300 \)

Cena po první slevě je tedy:

\( 1200 – 300 = 900 \, \text{Kč} \)

Nyní byla cena navýšena o 10 %, což znamená, že k ceně 900 Kč přidáme 10 % z 900 Kč:

\( 10\% = \frac{10}{100} = 0{,}10 \)

Výše navýšení je:

\( 900 \times 0{,}10 = 90 \)

Konečná cena výrobku je tedy:

\( 900 + 90 = 990 \, \text{Kč} \)

Odpověď: Konečná cena výrobku po dvou změnách je 990 Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme počet obyvatel po prvním roce, kdy došlo k nárůstu o 12 %.

Nárůst o 12 % znamená, že nová hodnota je původní hodnota zvýšená o 12 % původní hodnoty:

\( \text{nový počet} = 85\,000 + 0{,}12 \times 85\,000 = 85\,000 \times (1 + 0{,}12) = 85\,000 \times 1{,}12 = 95\,200 \)

Po prvním roce je tedy počet obyvatel 95 200.

Nyní došlo k poklesu o 8 %. Výpočet poklesu:

\( 8\% = 0{,}08 \)

Počet obyvatel po druhém roce bude:

\( 95\,200 \times (1 – 0{,}08) = 95\,200 \times 0{,}92 = 87\,584 \)

Odpověď: Po druhém roce bude počet obyvatel 87 584.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( x \).

Nejprve byla cena snížena o 15 %, tedy nová cena po první slevě je:

\( x \times (1 – 0{,}15) = x \times 0{,}85 \)

Poté byla z této nové ceny cena ještě snížena o 10 %, takže konečná cena je:

\( x \times 0{,}85 \times (1 – 0{,}10) = x \times 0{,}85 \times 0{,}90 = x \times 0{,}765 \)

Podle zadání konečná cena je 3825 Kč, tedy platí rovnice:

\( x \times 0{,}765 = 3825 \)

Pro nalezení \( x \) vydělíme obě strany rovnice číslem 0,765:

\( x = \frac{3825}{0{,}765} \Rightarrow x \approx 5000 \)

Původní cena zboží byla tedy 5000 Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme cenu po zvýšení o 18 %:

\( 18\% = 0{,}18 \)

\( 1500 \times (1 + 0{,}18) = 1500 \times 1{,}18 = 1770 \)

Poté byla cena snížena o 15 %:

\( 15\% = 0{,}15 \)

\( 1770 \times (1 – 0{,}15) = 1770 \times 0{,}85 = 1504{,}5 \)

Konečná cena výrobku je tedy 1504,5 Kč.

Řešení příkladu:

Původní plat označíme jako 25 000 Kč.

První zvýšení o 12 % znamená nový plat:

\( 25\,000 \times (1 + 0{,}12) = 25\,000 \times 1{,}12 = 28\,000 \)

Druhé zvýšení o 8 % znamená:

\( 28\,000 \times (1 + 0{,}08) = 28\,000 \times 1{,}08 = 30\,240 \)

Plat po druhém zvýšení je tedy 30 240 Kč.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( x \).

Zvýšení o 20 % znamená:

\( x \times (1 + 0{,}20) = 1{,}20x \)

Podle zadání je tato nová cena 360 Kč, tedy:

\( 1{,}20x = 360 \Rightarrow x = \frac{360}{1{,}20} = 300 \)

Původní cena byla 300 Kč.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( x \).

Po snížení o 30 % je nová cena:

\( x \times (1 – 0{,}30) = 0{,}70x \)

Po zvýšení o 20 % je cena:

\( 0{,}70x \times (1 + 0{,}20) = 0{,}70x \times 1{,}20 = 0{,}84x \)

Konečná cena je 224 Kč, tedy platí:

\( 0{,}84x = 224 \Rightarrow x = \frac{224}{0{,}84} = 266{,}67 \)

Původní cena knihy byla přibližně 266,67 Kč.

Řešení příkladu:

Označíme původní náklady jako \( x \).

Zvýšení o 15 % znamená:

\( x \times (1 + 0{,}15) = 1{,}15x \)

Podle zadání je tato nová hodnota 2875 Kč, tedy:

\( 1{,}15x = 2875 \Rightarrow x = \frac{2875}{1{,}15} = 2500 \)

Původní náklady byly 2500 Kč.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( x \).

Pokles o 40 % znamená, že sleva je 40 % z původní ceny:

\( 0{,}40x = 4800 \)

Vypočítáme \( x \):

\( x = \frac{4800}{0{,}40} = 12\,000 \)

Původní cena zařízení byla 12 000 Kč.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \( x \).

Sleva 25 % znamená, že nová cena je 75 % původní ceny:

\( x \times (1 – 0{,}25) = 0{,}75x \)

Podle zadání je tato nová cena 1800 Kč, tedy:

\( 0{,}75x = 1800 \Rightarrow x = \frac{1800}{0{,}75} = 2400 \)

Původní cena před slevou byla 2400 Kč.