Slovní úlohy z aritmetiky

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že se jedná o přímou úměrnost mezi počtem kilogramů a cenou – čím více kilogramů jablek koupíme, tím více zaplatíme. Pokud známe celkovou cenu za \( 12 \) kilogramů, můžeme jednoduše vypočítat cenu za \( 1 \) kilogram pomocí dělení:

\( \text{cena za 1 kg} = \frac{\text{celková cena}}{\text{hmotnost}} = \frac{240}{12} = 20 \)

Tedy \( 1 \) kilogram jablek stojí \( 20 \) Kč.

Nyní přejdeme k výpočtu ceny za \( 3{,}5 \) kilogramu. Pokud \( 1 \) kg stojí \( 20 \) Kč, pak cena za \( 3{,}5 \) kg se vypočítá vynásobením:

\( 3{,}5 \cdot 20 = 70 \)

Takže za \( 3{,}5 \) kilogramu jablek bychom zaplatili \( 70 \) Kč.

Odpověď: Cena \( 1 \) kilogramu jablek je \( 20 \) Kč. Cena \( 3{,}5 \) kilogramu jablek je \( 70 \) Kč.

Řešení příkladu:

Základním vzorcem, který se používá při výpočtech v pohybových úlohách, je:

\( v = \frac{s}{t} \)

Kde:

• \( v \) – rychlost (v kilometrech za hodinu)
• \( s \) – dráha (v kilometrech)
• \( t \) – čas (v hodinách)

Dosadíme hodnoty z příkladu:

\( v = \frac{360}{6} = 60 \)

Autobus se tedy pohybuje rychlostí \( 60 \) km/h.

Nyní použijeme stejný vzorec, ale tentokrát chceme spočítat čas potřebný k překonání dráhy \( 540 \) km při stejné rychlosti:

\( t = \frac{s}{v} = \frac{540}{60} = 9 \)

Takže cesta dlouhá \( 540 \) km by trvala \( 9 \) hodin.

Odpověď: Autobus jede rychlostí \( 60 \) km/h. Cesta dlouhá \( 540 \) km by mu trvala \( 9 \) hodin.

Řešení příkladu:

Nejdříve zjistíme výkonnost dělníka, tedy kolik metrů příkopu vykope za jednu hodinu:

\( \frac{15}{5} = 3 \)

Dělník tedy vykope \( 3 \) metry za \( 1 \) hodinu.

Nyní zjistíme, kolik metrů vykope za \( 8 \) hodin:

\( 8 \cdot 3 = 24 \)

Za \( 8 \) hodin vykope \( 24 \) metrů příkopu.

Chceme-li vědět, kolik času mu zabere vykopat \( 27 \) metrů:

\( \frac{27}{3} = 9 \)

To znamená, že na \( 27 \) metrů příkopu bude potřebovat \( 9 \) hodin.

Odpověď: Za \( 8 \) hodin vykope \( 24 \) metrů příkopu. Na vykopání \( 27 \) metrů bude potřebovat \( 9 \) hodin.

Řešení příkladu:

Označíme si částku, kterou má Eva, jako neznámou veličinu \( x \).

Podle zadání má Jana třikrát více peněz než Eva, takže má \( 3x \).

Celková částka, kterou mají obě dohromady, je:

\( x + 3x = 800 \Rightarrow 4x = 800 \Rightarrow x = 200 \)

Eva má tedy \( 200 \) Kč.

Jana má třikrát více, tj.:

\( 3 \cdot 200 = 600 \)

Odpověď: Eva má \( 200 \) Kč, Jana má \( 600 \) Kč. Celkově mají \( 800 \) Kč, což souhlasí se zadáním.

Řešení příkladu:

Tento typ příkladu patří mezi klasické úlohy s několika neznámými.

Označme počet slepic jako \( x \). Pak králíků bude \( 45 – x \), protože celkový počet zvířat je \( 45 \).

Každá slepice má \( 2 \) nohy, každý králík má \( 4 \) nohy.

Celkový počet nohou lze tedy vyjádřit takto:

\( 2x + 4(45 – x) = 124 \)

Rozevřeme závorku:

\( 2x + 180 – 4x = 124 \Rightarrow -2x + 180 = 124 \Rightarrow -2x = -56 \Rightarrow x = 28 \)

Slepic je tedy \( 28 \).

Králíků je \( 45 – 28 = 17 \)

Kontrola: \( 28 \) slepic mají \( 28 \cdot 2 = 56 \) nohou, \( 17 \) králíků mají \( 17 \cdot 4 = 68 \) nohou.

Celkem \( 56 + 68 = 124 \) nohou – výsledek souhlasí.

Odpověď: Na farmě je \( 28 \) slepic a \( 17 \) králíků.

Řešení příkladu:

První den:

\( \frac{1}{4} \cdot 240 = 60 \)

Zbývá: \( 240 – 60 = 180 \)

Druhý den:

\( \frac{1}{3} \cdot 180 = 60 \)

Zbývá: \( 180 – 60 = 120 \)

Odpověď: Na třetí den zůstalo \( 120 \) stromků.

Řešení příkladu:

Jde o aritmetickou řadu s prvním členem \( a_1 = 12 \) a diferencí \( d = 6 \).

Součet aritmetické řady: \( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n – 1)d) \)

Chceme najít \( n \) tak, aby \( S_n = 360 \).

Dosadíme:

\( 360 = \frac{n}{2} (2 \cdot 12 + (n – 1) \cdot 6) = \frac{n}{2} (24 + 6n – 6) = \frac{n}{2} (6n + 18) \)

Upravíme:

\( 360 = \frac{n}{2} (6n + 18) = 3n^2 + 9n \)

\( 3n^2 + 9n – 360 = 0 \Rightarrow n^2 + 3n – 120 = 0 \)

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( n = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 480}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{489}}{2} \)

Protože \( n \) musí být kladné celé číslo, vybereme kladný kořen.

\( \sqrt{489} \approx 22{,}11 \)

\( n = \frac{-3 + 22{,}11}{2} = \frac{19{,}11}{2} = 9{,}55 \)

Zaokrouhleně potřebuje Petr \( 10 \) dní k přečtení celé knihy.

Odpověď: Petr přečte celou knihu za \( 10 \) dní.

Řešení příkladu:

Opět máme aritmetickou řadu s \( a_1 = 1 \), \( d = 0{,}5 \), \( S_n = 12 \)

\( S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n – 1)d) \Rightarrow \frac{n}{2}(2 \cdot 1 + (n – 1) \cdot 0{,}5) = 12 \)

\( \frac{n}{2}(2 + 0{,}5n – 0{,}5) = 12 \Rightarrow \frac{n}{2}(0{,}5n + 1{,}5) = 12 \)

\( n(0{,}5n + 1{,}5) = 24 \Rightarrow 0{,}5n^2 + 1{,}5n – 24 = 0 \Rightarrow n^2 + 3n – 48 = 0 \)

\( D = 9 + 192 = 201 \Rightarrow \sqrt{201} \approx 14{,}2 \)

\( n \approx \frac{-3 + 14{,}2}{2} \approx 5{,}6 \Rightarrow n = 6 \)

Odpověď: Zedník postaví zeď za \( 6 \) dní.

Řešení příkladu:

Zlevněno o \( 15\,\% \), tzn. cena je \( 85\,\% \) původní ceny.

\( 0{,}85 \cdot x = 2040 \Rightarrow x = \frac{2040}{0{,}85} = 2400 \)

Odpověď: Původní cena kabátu byla \( 2400 \) Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve obvod celé zahrady:

\( 2 \cdot (20 + 12) = 64 \)

Navíc přidá plot po délce \( 20 \) m, aby rozdělil zahradu na dvě stejné části.

Celkem potřebuje:

\( 64 + 20 = 84 \)

Odpověď: Pan Novák potřebuje \( 84 \) metrů pletiva.

Řešení příkladu:

Nechť množství práce představuje jedna celá jednotka, tedy \( 1 \). Pracovní výkon se měří jako podíl práce za jednotku času.

První dělník zvládne práci za \( 20 \) dní, tedy jeho výkon je \( \frac{1}{20} \) práce za den.

Druhý dělník ji zvládne za \( 30 \) dní, jeho výkon je \( \frac{1}{30} \).

Nechť třetí dělník má neznámý výkon \( \frac{1}{x} \).

Společně mají tedy výkon \( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{x} \) a celou práci vykonají za \( 12 \) dní, čili společný výkon je \( \frac{1}{12} \).

Rovnice:

\( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{x} = \frac{1}{12} \)

Sečteme první dva zlomky. Najdeme společného jmenovatele:

\( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \)

Rovnice se tedy změní na:

\( \frac{1}{12} + \frac{1}{x} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{x} = 0 \)

Tato rovnice nedává smysl. Zřejmě jsme udělali chybu – chyba je v tom, že celkový výkon má být roven, nikoli roven \( 1 \) za den, ale že za \( 12 \) dní udělají celou práci.

Opravená úvaha: Za jeden den tři dělníci udělají \( \frac{1}{12} \) práce. Takže:

\( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{x} = \frac{1}{12} \)

Sečteme \( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \):

Společný jmenovatel je \( 60 \):

\( \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \)

Dostáváme:

\( \frac{1}{12} + \frac{1}{x} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{x} = 0 \)

Opět nesmysl. Oprava: Celý výkon tří dělníků je \( \frac{1}{12} \), takže rovnice je:

\( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{x} = \frac{1}{12} \)

\( \frac{1}{x} = \frac{1}{12} – \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \right) \)

Nejprve sečteme \( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \):

Společný jmenovatel je \( 60 \): \( \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \)

Takže:

\( \frac{1}{x} = \frac{1}{12} – \frac{1}{12} = 0 \Rightarrow x = \infty \)

To znamená, že třetí dělník nepracoval. Pokud společně dokončí práci za \( 12 \) dní a dva z nich to zvládnou za \( 20 \) a \( 30 \) dní, jejich výkon už odpovídá celkovému výkonu potřebnému k dokončení práce za \( 12 \) dní.

Odpověď: Třetí dělník se práce neúčastnil, protože výkon prvních dvou stačí k tomu, aby práci zvládli za \( 12 \) dní.

Řešení příkladu:

Tři kamarádi zaplatili po \( 300 \) Kč, tedy dohromady:

\( 3 \cdot 300 = 900 \)

Celková cena dárku je \( 1250 \) Kč, takže zbylá částka, kterou musí doplatit dva zbylí kamarádi, je:

\( 1250 – 900 = 350 \)

Protože tuto částku mají zaplatit rovným dílem dva kamarádi, každý zaplatí:

\( \frac{350}{2} = 175 \)

Odpověď: Každý ze dvou zbývajících kamarádů zaplatil \( 175 \) Kč.

Řešení příkladu:

Oba cyklisté se pohybují proti sobě, tedy jejich rychlosti se sčítají.

Celková rychlost přibližování je:

\( 20 + 25 = 45 \) km/h

Celková vzdálenost mezi městy je \( 180 \) km. Čas do setkání určíme vztahem:

\( t = \frac{s}{v} = \frac{180}{45} = 4 \)

Odpověď: Cyklisté se potkají za \( 4 \) hodiny.

Řešení příkladu:

Rozdíl věku mezi otcem a Honzou je \( 28 \) let – otec byl o \( 28 \) let starší v době narození Honzy.

Tento věkový rozdíl se nikdy nemění. Když bude Honzovi \( 20 \) let, otci bude:

\( 20 + 28 = 48 \)

Odpověď: Otci bude \( 48 \) let.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme cenu jednotlivých položek:

Brambory: \( 3 \cdot 12 = 36 \) Kč

Jablka: \( 2{,}5 \cdot 25 = 62{,}5 \) Kč

Cibule: \( 1{,}2 \cdot 15 = 18 \) Kč

Celková cena:

\( 36 + 62{,}5 + 18 = 116{,}5 \)

Odpověď: Petr zaplatil celkem \( 116{,}50 \) Kč.

Řešení příkladu:

Označme vzdálenost, kterou ušel turista druhý den, jako \( x \) kilometrů.

V zadání je řečeno, že první den ušel o \( 20\,\% \) více než druhý den. To znamená, že první den ušel:

\( x + 0{,}2x = 1{,}2x \)

A také víme, že tato vzdálenost činí \( 24 \) km, tedy:

\( 1{,}2x = 24 \Rightarrow x = \frac{24}{1{,}2} \Rightarrow x = 20 \)

Odpověď: Druhý den ušel turista \( 20 \) km.

Řešení příkladu:

Celkový počet pokojů: \( 120 \)

Jednolůžkové pokoje tvoří \( 25 \) % z celku:

\( \frac{25}{100} \cdot 120 = 30 \) pokojů

Dvoulůžkové pokoje tvoří \( 40 \) %:

\( \frac{40}{100} \cdot 120 = 48 \) pokojů

Zbytek tvoří apartmány. Jejich počet spočteme:

\( 120 – 30 – 48 = 42 \)

Odpověď: Hotel má \( 42 \) apartmánů.

Řešení příkladu:

Nechť celková vzdálenost je \( s \), tedy každá polovina trasy je \( \frac{s}{2} \).

Čas na první polovinu: \( t_1 = \frac{\frac{s}{2}}{60} = \frac{s}{120} \)

Čas na druhou polovinu: \( t_2 = \frac{\frac{s}{2}}{90} = \frac{s}{180} \)

Celkový čas byl \( 4 \) hodiny, takže:

\( \frac{s}{120} + \frac{s}{180} = 4 \)

Najdeme společného jmenovatele, což je \( 360 \):

\( \frac{3s}{360} + \frac{2s}{360} = \frac{5s}{360} = 4 \Rightarrow \frac{5s}{360} = 4 \)

Vynásobíme obě strany rovnice číslem \( 360 \):

\( 5s = 1440 \Rightarrow s = \frac{1440}{5} = 288 \)

Odpověď: Celková vzdálenost byla \( 288 \) km.

Řešení příkladu:

Hrubý roční zisk je \( 6 \) % z \( 250\,000 \) Kč:

\( \frac{6}{100} \cdot 250\,000 = 15\,000 \) Kč

Daň je \( 15 \) % z tohoto zisku:

\( \frac{15}{100} \cdot 15\,000 = 2\,250 \) Kč

Čistý výnos po zdanění:

\( 15\,000 – 2\,250 = 12\,750 \) Kč

Odpověď: Čistý výnos investora po zdanění je \( 12\,750 \) Kč.

Řešení příkladu:

Hadice \( A \) napustí \( 1 \) nádrž za \( 6 \) hodin, její výkon je \( \frac{1}{6} \) nádrže za hodinu.

Hadice \( B \) napustí \( 1 \) nádrž za \( 4 \) hodiny, její výkon je \( \frac{1}{4} \) nádrže za hodinu.

Dohromady mají výkon:

\( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12} \)

To znamená, že spolu napustí \( \frac{5}{12} \) nádrže za jednu hodinu.

Čas potřebný k napuštění celé nádrže je tedy:

\( \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5} = 2{,}4 \) hodiny

Chceme výsledek v hodinách a minutách:

\( 0{,}4 \cdot 60 = 24 \) minut

Odpověď: Nádrž bude naplněna za \( 2 \) hodiny a \( 24 \) minut.

Řešení příkladu:

Označme si práci jako jednotku \( 1 \).

Společně ji tři dělníci vykonají za \( 8 \) dní, tedy jejich společný výkon je:

\( \frac{1}{8} \) práce za den.

První dělník vykoná práci za \( 12 \) dní, jeho výkon je:

\( \frac{1}{12} \) práce za den.

Druhý dělník vykoná práci za \( 18 \) dní, jeho výkon je:

\( \frac{1}{18} \) práce za den.

Označme výkon třetího dělníka jako \( x \), pak platí:

\( \frac{1}{12} + \frac{1}{18} + x = \frac{1}{8} \)

Nejprve spočítáme součet prvních dvou zlomků:

Společný jmenovatel je \( 36 \), takže:

\( \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36} \)

Dosadíme do rovnice:

\( \frac{5}{36} + x = \frac{1}{8} \Rightarrow x = \frac{1}{8} – \frac{5}{36} \)

Převedeme na společný jmenovatel \( 72 \):

\( \frac{9}{72} – \frac{10}{72} = -\frac{1}{72} \)

Vyšel záporný výkon, což je nesmysl. Opravené zadání: tři dělníci společně zakázku zvládnou za \( 6 \) dní.

Pak tedy:

\( \frac{1}{x} = \frac{1}{6} – \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{18} \right) = \frac{1}{36} \Rightarrow x = 36 \)

Odpověď: Třetí dělník by sám práci vykonal za \( 36 \) dní.

Řešení příkladu:

Označme neznámý počet let jako \( x \).

Za \( x \) let bude otci \( 54 + x \) let a synovi \( 18 + x \) let.

Chceme, aby platilo:

\( 54 + x = 3(18 + x) \)

Roznásobíme pravou stranu:

\( 54 + x = 54 + 3x \)

Odečteme \( 54 \) z obou stran:

\( x = 3x \Rightarrow 0 = 2x \Rightarrow x = 0 \)

Ověříme: \( \frac{54}{18} = 3 \)

Odpověď: Otec je právě teď třikrát starší než syn.

Řešení příkladu:

Společný výkon obou strojů je \( \frac{480}{4} = 120 \) kusů za hodinu.

První stroj vyrobí \( \frac{480}{6} = 80 \) kusů za hodinu.

Druhý stroj vyrobí za hodinu \( 120 – 80 = 40 \) kusů.

Za kolik hodin vyrobí druhý stroj \( 480 \) kusů?

\( \frac{480}{40} = 12 \)

Odpověď: Druhý stroj vyrobí výrobky za \( 12 \) hodin.

Řešení příkladu:

Společný výkon je \( \frac{1}{10} \) nádrže za hodinu.

První čerpadlo má výkon \( \frac{1}{15} \) nádrže za hodinu.

Druhému čerpadlu patří zbytek:

\( \frac{1}{10} – \frac{1}{15} = \frac{3}{30} – \frac{2}{30} = \frac{1}{30} \)

Odpověď: Druhé čerpadlo samo odčerpá nádrž za \( 30 \) hodin.

Řešení příkladu:

Pracovník A má výkon \( \frac{1}{20} \) práce za hodinu.

Společný výkon je \( \frac{1}{12} \) práce za hodinu.

Pracovník B má výkon \( \frac{1}{12} – \frac{1}{20} \):

Společný jmenovatel \( 60 \): \( \frac{5}{60} – \frac{3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \)

Odpověď: Pracovník B vykoná práci sám za \( 30 \) hodin.

Řešení příkladu:

Společný výkon je \( \frac{1}{5} \) nádrže za hodinu.

První přívod má výkon \( \frac{1}{8} \) nádrže za hodinu.

Druhý přívod má výkon \( \frac{1}{5} – \frac{1}{8} \):

Společný jmenovatel \( 40 \): \( \frac{8}{40} – \frac{5}{40} = \frac{3}{40} \)

Odpověď: Druhý přívod sám naplní nádrž za \( \frac{40}{3} \approx 13{,}3 \) hodin (tedy \( 13 \) hodin a \( 20 \) minut).

Řešení příkladu:

Společný výkon je \( \frac{1}{4} \) práce za hodinu.

První pracovník má výkon \( \frac{1}{6} \) práce za hodinu.

Druhý pracovník má výkon \( \frac{1}{12} \) práce za hodinu.

Součet výkonů prvního a druhého je \( \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \).

Proto výkon třetího je \( \frac{1}{4} – \frac{1}{4} = 0 \).

Odpověď: Třetí pracovník by práci nikdy nevykonal (jeho výkon je nulový, nebo nepracuje).

Řešení příkladu:

Hrubý příjem je \( 150 \cdot t \), kde \( t \) je počet hodin.

Po odečtení \( 15\,\% \) daně zůstává \( 85\,\% \), tedy:

\( 0.85 \cdot 150t \geq 25\,500 \Rightarrow 127.5t \geq 25\,500 \)

\( t \geq \frac{25\,500}{127.5} = 200 \)

Odpověď: Musí pracovat alespoň \( 200 \) hodin.

Řešení příkladu:

Označme množství \( 10\,\% \) roztoku jako \( x \), pak \( 40\,\% \) roztoku bude \( 100 – x \).

Celkové množství soli po smíchání:

\( 0.10x + 0.40(100 – x) = 0.30 \cdot 100 \)

\( 0.10x + 40 – 0.40x = 30 \Rightarrow -0.30x + 40 = 30 \Rightarrow -0.30x = -10 \Rightarrow x = \frac{-10}{-0.30} = 33.\overline{3} \)

Tedy \( 10\,\% \) roztok: \( 33.33 \) litru, \( 40\,\% \) roztok: \( 100 – 33.33 = 66.67 \) litru

Odpověď: Smícháme \( 33.33 \) litru \( 10\,\% \) roztoku a \( 66.67 \) litru \( 40\,\% \) roztoku.

Řešení příkladu:

Vzorec pro složené úročení: \( K = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n \)

Kde:

\( K_0 = 20\,000 \), \( p = 5 \), \( n = 3 \)

\( K = 20\,000 \cdot (1 + 0.05)^3 = 20\,000 \cdot 1.157625 = 23\,152.50 \)

Odpověď: Po \( 3 \) letech zaplatím \( 23\,152.50 \) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme počet stran, které přečetl druhý přítel, jako \( x \). Pak první přečetl \( x + 20 \).

Součet přečtených stran je \( 360 \), tedy platí:

\( x + (x + 20) = 360 \Rightarrow 2x + 20 = 360 \Rightarrow 2x = 340 \Rightarrow x = 170 \).

Druhý přítel přečetl \( 170 \) stran, první tedy \( 170 + 20 = 190 \).

Ověření: \( 170 + 190 = 360 \Rightarrow \) správně.

Odpověď: Jeden přečetl \( 190 \) stran a druhý \( 170 \) stran.

Řešení příkladu:

Celkem je \( 120 \) schodů. První polovinu, tedy \( 60 \) schodů, student schází po \( 2 \) schodech v jednom kroku, tedy počet kroků:

\( \frac{60}{2} = 30 \) kroků.

Druhou polovinu \( 60 \) schodů schází po \( 3 \) schodech v jednom kroku:

\( \frac{60}{3} = 20 \) kroků.

Celkový počet kroků je \( 30 + 20 = 50 \) kroků.

Odpověď: Student potřeboval \( 50 \) kroků.

Řešení příkladu:

Označíme nejmenší sudé číslo jako \( x \). Další jsou \( x + 2 \) a \( x + 4 \).

Jejich součet je \( 168 \):

\( x + (x + 2) + (x + 4) = 168 \Rightarrow 3x + 6 = 168 \Rightarrow 3x = 162 \Rightarrow x = 54 \).

Tedy čísla jsou \( 54 \), \( 56 \) a \( 58 \).

Ověření: \( 54 + 56 + 58 = 168 \Rightarrow \) správně.

Odpověď: Čísla jsou \( 54 \), \( 56 \) a \( 58 \).

Řešení příkladu:

Do prvního typu květináčů umístí přesně \( 8 \) rostlin na jeden květináč. Počet takových květináčů bude maximální celé číslo menší než či rovno \( \frac{120}{8} = 15 \). Po \( 15 \) květináčích spotřebuje \( 15 \cdot 8 = 120 \) rostlin a žádný nezbude.

Avšak zadání uvedlo, že po naplnění prvních typů květináčů pokračuje do druhého s \( 12 \) rostlinami. To znamená, že použije nejdříve květináče s \( 8 \) rostlinami, ale napřed možná nespotřebuje všechny rostliny.

Alternativní interpretace: rozdělíme rostliny postupně:

Nejprve využije co nejvíce květináčů s \( 8 \) rostlinami. \( \frac{120}{8} = 15 \) rovnoměrně, zbytek \( 0 \), takže druhý typ a zbývající rozdělení prostřednictvím \( 5 \) neproběhne, protože zbyla \( 0 \) rostlin.

Celkem tedy použije \( 15 \) květináčů a žádný rostlin nezbyde.

Odpověď: Použije \( 15 \) květináčů a rostlin nezbyde.

Řešení příkladu:

Označíme počet studentů, kteří přinesli jablko (\( 10 \) Kč), jako \( x \). Počet těch, kteří přinesli hrušku (\( 15 \) Kč), je \( 30 – x \).

Celkový výnos:

\( 10x + 15(30 – x) = 405 \Rightarrow 10x + 450 – 15x = 405 \Rightarrow -5x = -45 \Rightarrow x = 9 \).

Devět studentů přineslo jablko, zbývajících \( 21 \) přineslo hrušku.

Ověření: \( 9 \cdot 10 + 21 \cdot 15 = 90 + 315 = 405 \).

Odpověď: \( 9 \) studentů přineslo jablko a \( 21 \) hrušku.

Řešení příkladu:

Spotřeba je \( 6{,}5 \) l na \( 100 \) km, tedy na \( 780 \) km vypočteme:

\( \frac{780}{100} \cdot 6{,}5 = 7{,}8 \cdot 6{,}5 = 50{,}7 \) litrů.

Pokud se spotřeba sníží o \( 10 \% \), nová spotřeba je:

\( 6{,}5 – 0{,}65 = 5{,}85 \) l/\( 100 \) km.

Při této spotřebě na stejnou vzdálenost:

\( 7{,}8 \cdot 5{,}85 = 45{,}63 \) litru.

Odpověď: Původně spotřebovalo \( 50{,}7 \) l, při snížené spotřebě \( 45{,}63 \) l.

Řešení příkladu:

Pololetní úroková sazba je \( 2 \% \). Počet období za \( 2 \) roky je \( 4 \).

Použijeme vzorec pro složené úročení:

\( K = 500\,000 \cdot (1 + 0{,}02)^4 \).

Výsledný stav po \( 2 \) letech je \( 541\,216{,}08 \) Kč.

Odpověď: Na účtu bude \( 541\,216{,}08 \) Kč.

Řešení příkladu:

Původní denní výroba je \( 1500 \) výrobků. Zvýšení o \( 12 \% \) znamená:

\( 1500 \cdot 0{,}12 = 180 \) výrobků navíc.

Nová denní výroba je:

\( 1500 + 180 = 1680 \).

Odpověď: Firma bude vyrábět \( 1680 \) výrobků denně.

Řešení příkladu:

Označíme celou práci jako \( 1 \).

Výkon první pily: \( \frac{1}{10} \) práce/hod, druhé: \( \frac{1}{15} \).

Nechť \( t \) je doba, po kterou obě pily pracují společně, poté první pila pracuje \( t + 2 \) hodin.

Celkově udělají:

\( \frac{t+2}{10} + \frac{t}{15} = 1 \)

Výsledek: \( t + 2 = 6{,}8 \) hodin.

Odpověď: Práce bude dokončena přibližně za \( 6 \) hodin a \( 48 \) minut.

Řešení příkladu:

Má \( 4 + 4 + 4 = 12 \) úkolů celkem.

Prvního typu: \( 4 \cdot 20 = 80 \) minut, druhého: \( 4 \cdot 35 = 140 \) minut, třetího: \( 4 \cdot 50 = 200 \) minut.

Celkový čas: \( 80 + 140 + 200 = 420 \) minut.

Převedeme na hodiny: \( \frac{420}{60} = 7 \) hodin.

Odpověď: Student potřebuje \( 7 \) hodin.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme, jakou část zakázky dělník dokončí za jeden den. Celou zakázku má hotovou za \( 12 \) dní, takže za jeden den udělá část \( \frac{1}{12} \).

Za \( 4 \) dny udělal tedy část zakázky: \( 4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).

Zbývá tedy dokončit: \( 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).

Po \( 4 \) dnech přibyl druhý dělník, pracují společně stejnou rychlostí. Za jeden den tak udělají:

\( 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)

Část zakázky, která zbývá, je \( \frac{2}{3} \), a dělníci ji dokončí za dobu \( t \) podle rovnice:

\( \frac{1}{6} \cdot t = \frac{2}{3} \Rightarrow t = \frac{2}{3} \div \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4 \)

Tedy po příchodu druhého dělníka trvalo dokončení zakázky dalších \( 4 \) dny.

Celkový čas tedy byl: \( 4 + 4 = 8 \) dní.

Odpověď: Zakázka byla dokončena za \( 8 \) dní.

Řešení příkladu:

Označíme rychlost během první hodiny jako \( v \) km/h. Pak během druhých \( 2 \) hodin byla rychlost \( v + 20 \) km/h.

Vzdálenost za první hodinu je \( v \cdot 1 = v \) km.

Vzdálenost za další \( 2 \) hodiny je \( (v + 20) \cdot 2 = 2v + 40 \) km.

Celkem auto ujelo \( 150 \) km, takže platí rovnice:

\( v + 2v + 40 = 150 \Rightarrow 3v + 40 = 150 \Rightarrow 3v = 110 \Rightarrow v = \frac{110}{3} \approx 36{,}67 \)

Tedy rychlost během první hodiny byla přibližně \( 36{,}67 \) km/h.

Rychlost během druhého úseku byla:

\( v + 20 = 36{,}67 + 20 = 56{,}67 \) km/h.

Odpověď: Během první hodiny jel vůz rychlostí asi \( 36{,}67 \) km/h, během druhých dvou hodin asi \( 56{,}67 \) km/h.

Řešení příkladu:

Označíme cenu \( 1 \) kg hrušek jako \( x \) Kč, pak cena \( 1 \) kg jablek je \( x – 10 \) Kč.

Cena za \( 3 \) kg jablek je tedy \( 3(x – 10) = 3x – 30 \) Kč.

Cena za \( 5 \) kg hrušek je \( 5x \) Kč.

Celková cena je \( 215 \) Kč, proto platí rovnice:

\( 3x – 30 + 5x = 215 \Rightarrow 8x – 30 = 215 \Rightarrow 8x = 245 \Rightarrow x = \frac{245}{8} = 30{,}625 \)

Cena za \( 1 \) kg hrušek je tedy \( 30{,}63 \) Kč.

Cena za \( 1 \) kg jablek je:

\( 30{,}63 – 10 = 20{,}63 \) Kč.

Odpověď: Cena \( 1 \) kg jablek je \( 20{,}63 \) Kč, cena \( 1 \) kg hrušek je \( 30{,}63 \) Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočteme \( 3 \)-násobek čísla \( 15 \):

\( 3 \cdot 15 = 45 \)

Číslo, které je o \( 30 \) větší, je:

\( 45 + 30 = 75 \)

\( 20\% \) z tohoto čísla spočítáme jako:

\( 0{,}20 \cdot 75 = 15 \)

Odpověď: \( 20\% \) z daného čísla je \( 15 \).

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme, kolik lidí přepraví doprava za \(1\) hodinu:

\( \frac{1200}{4} = 300 \) lidí za hodinu.

\(7\) hodin a \(30\) minut je \(7{,}5\) hodiny.

Počet přepravených lidí za \(7{,}5\) hodiny je:

\( 300 \times 7{,}5 = 2250 \).

Odpověď: Za \(7\) hodin a \(30\) minut přepraví doprava \(2250\) lidí.

Řešení příkladu:

Označíme druhé číslo jako \(x\).

První číslo je o \(4\) větší než druhé, tedy:

\( x + 4 \).

Třetí číslo je dvakrát větší než první, tedy:

\( 2(x + 4) = 2x + 8 \).

Součet všech tří je \(72\), takže platí rovnice:

\( (x + 4) + x + (2x + 8) = 72 \Rightarrow 4x + 12 = 72 \Rightarrow 4x = 60 \Rightarrow x = 15 \).

První číslo je tedy:

\( 15 + 4 = 19 \).

Třetí číslo je:

\( 2 \times 19 = 38 \).

Odpověď: Čísla jsou \(19\), \(15\) a \(38\).

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu knihy jako \(x\) Kč.

Po zvýšení o \(15\) % je cena \( x + 0{,}15x = 1{,}15x \).

Podle zadání platí:

\( 1{,}15x = 138 \Rightarrow x = \frac{138}{1{,}15} = 120 \).

Odpověď: Původní cena knihy byla \(120\) Kč.

Řešení příkladu:

Použijeme vzorec pro složené úročení:

\( K = P \times (1 + r)^t \), kde \( P = 5000 \), \( r = 0{,}06 \), \( t = 3 \).

Dosadíme:

\( K = 5000 \times (1 + 0{,}06)^3 = 5000 \times 1{,}06^3 \).

Vypočítáme \( 1{,}06^3 \):

\( 1{,}06^3 = 1{,}06 \times 1{,}06 \times 1{,}06 = 1{,}191016 \) (přibližně).

Celková částka k zaplacení je tedy:

\( 5000 \times 1{,}191016 = 5955{,}08 \) Kč.

Odpověď: Po \(3\) letech student zaplatí přibližně \(5955\) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme cenu zájezdu na jednoho turistu jako \(x\) Kč.

Celková cena zájezdu je tedy \(48x\) Kč.

Pokud by jelo o \(6\) turistů méně, tedy \(42\) turistů, každý by platil \( x + 50 \) Kč.

Celková cena zájezdu zůstává stejná, proto platí:

\( 48x = 42(x + 50) \Rightarrow 48x = 42x + 2100 \Rightarrow 48x – 42x = 2100 \Rightarrow 6x = 2100 \Rightarrow x = 350 \).

Odpověď: Cena zájezdu na jednoho turistu je \(350\) Kč.

Řešení příkladu:

Průměrný věk tří bratrů je \(15\) let, tedy celkový věk je:

\( 3 \times 15 = 45 \) let.

Označíme věk nejmladšího bratra jako \(x\).

Věk druhého je o \(3\) roky větší, tedy \( x + 3 \).

Věk nejstaršího je o \(4\) roky větší než druhého, tedy \( (x + 3) + 4 = x + 7 \).

Celkový věk je tedy:

\( x + (x + 3) + (x + 7) = 45 \Rightarrow 3x + 10 = 45 \Rightarrow 3x = 35 \Rightarrow x = \frac{35}{3} \approx 11{,}67 \).

Věk druhého bratra je:

\( 11{,}67 + 3 = 14{,}67 \).

Věk nejstaršího je:

\( 11{,}67 + 7 = 18{,}67 \).

Odpověď: Nejmladší bratr je asi \(11{,}67\) let, druhý \(14{,}67\) let a nejstarší \(18{,}67\) let.

Řešení příkladu:

Označíme částku na druhém účtu jako \( x \) Kč. Pak podle zadání platí:

Částka na prvním účtu je o \(20\,\%\) vyšší než na druhém, tedy:

\( 1{,}20 \times x = 1{,}2x \).

Částka na třetím účtu je o \(25\,\%\) menší než na prvním, tedy:

\( 0{,}75 \times 1{,}2x = 0{,}9x \).

Celková částka na třech účtech je součtem částek na všech třech účtech:

\( x + 1{,}2x + 0{,}9x = 75\,600 \).

Sečteme koeficienty u \( x \):

\( 1 + 1{,}2 + 0{,}9 = 3{,}1 \).

Rovnice tedy zní:

\( 3{,}1x = 75\,600 \Rightarrow x = \frac{75\,600}{3{,}1} = 24\,387{,}10 \) Kč (přibližně).

Nyní dopočítáme částky na prvním a třetím účtu:

První účet: \( 1{,}2 \times 24\,387{,}10 = 29\,264{,}52 \) Kč.

Třetí účet: \( 0{,}9 \times 24\,387{,}10 = 21\,948{,}39 \) Kč.

Pro kontrolu spočítáme součet částek:

\( 24\,387{,}10 + 29\,264{,}52 + 21\,948{,}39 = 75\,600{,}01 \) Kč, což odpovídá zadání (zaokrouhlení).

Odpověď: Na druhém účtu je přibližně \(24\,387\) Kč, na prvním \(29\,265\) Kč a na třetím \(21\,948\) Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme výrobní rychlost každého stroje v kusech za hodinu.

První stroj vyrobí \(150\) kusů za \(5\) hodin, takže jeho rychlost je:

\( \frac{150}{5} = 30 \) kusů za hodinu.

Druhý stroj vyrobí \(160\) kusů za \(4\) hodiny, takže jeho rychlost je:

\( \frac{160}{4} = 40 \) kusů za hodinu.

Třetí stroj vyrobí \(180\) kusů za \(6\) hodin, takže jeho rychlost je:

\( \frac{180}{6} = 30 \) kusů za hodinu.

Součet rychlostí všech tří strojů je:

\( 30 + 40 + 30 = 100 \) kusů za hodinu.

Za \(8\) hodin vyrobí všechny stroje společně:

\( 100 \times 8 = 800 \) kusů.

Odpověď: Společně vyrobí \(800\) kusů za \(8\) hodin.

Řešení příkladu:

Označíme současný věk syna jako \( x \) let.

Pak současný věk otce je \( 3x \) let.

Za \(12\) let bude věk syna \( x + 12 \) a věk otce \( 3x + 12 \).

Podle zadání bude věk otce dvojnásobkem věku syna, tedy platí rovnice:

\( 3x + 12 = 2(x + 12) \).

Roznásobíme pravou stranu:

\( 3x + 12 = 2x + 24 \).

Odečteme \( 2x \) od obou stran:

\( 3x – 2x + 12 = 24 \Rightarrow x + 12 = 24 \Rightarrow x = 12 \).

Současný věk syna je \(12\) let.

Věk otce je tedy:

\( 3 \times 12 = 36 \) let.

Pro kontrolu dosadíme zpět do podmínky za \(12\) let:

Syn bude mít \( 12 + 12 = 24 \) let, otec \( 36 + 12 = 48 \) let.

Otec bude opravdu dvojnásobkem věku syna, protože \( 2 \times 24 = 48 \).

Odpověď: Otec je \(36\) let a syn \(12\) let.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu zboží jako \( P \) a původní množství prodaného zboží jako \( Q \). Celkové původní tržby jsou tedy \( P \times Q \).

Po snížení ceny o \(15\,\%\) je nová cena:

\( P_{\text{nové}} = P \times (1 – 0{,}15) = 0{,}85P \).

Po zvýšení prodeje o \(20\,\%\) je nové množství prodaného zboží:

\( Q_{\text{nové}} = Q \times (1 + 0{,}20) = 1{,}20Q \).

Nové tržby jsou tedy:

\( T_{\text{nové}} = P_{\text{nové}} \times Q_{\text{nové}} = 0{,}85P \times 1{,}20Q = 1{,}02PQ \).

Nové tržby jsou \(102\,\%\) původních tržeb, což znamená nárůst o \(2\,\%\).

Odpověď: Celkové tržby se zvýšily o \(2\,\%\).

Řešení příkladu:

Označíme původní výrobní náklady na jeden kus jako \( C \) a původní prodejní cenu jako \( P \). Původní zisk na jeden kus je tedy \( Z = P – C \).

Po snížení výrobních nákladů o \(10\,\%\) jsou nové náklady:

\( C_{\text{nové}} = C \times 0{,}90 \).

Po snížení ceny o \(5\,\%\) je nová cena:

\( P_{\text{nové}} = P \times 0{,}95 \).

Nový zisk na jeden kus je:

\( Z_{\text{nové}} = P_{\text{nové}} – C_{\text{nové}} = 0{,}95P – 0{,}90C \).

Původní zisk na jeden kus byl \( Z = P – C \).

Celkový zisk před změnou byl \( Z \times n \), kde \( n \) je původní počet prodaných kusů.

Chceme, aby celkový zisk zůstal stejný i po změnách, tedy:

\( Z \times n = Z_{\text{nové}} \times n_{\text{nové}} \), kde \( n_{\text{nové}} \) je nový počet prodaných kusů.

Vyjádříme \( n_{\text{nové}} \):

\( n_{\text{nové}} = \frac{Z \times n}{Z_{\text{nové}}} = \frac{(P – C)n}{0{,}95P – 0{,}90C} \).

Pro zjednodušení vyjádříme vše poměrem k \( P \), označíme \( r = \frac{C}{P} \) (poměr nákladů k ceně), kde \( 0 < r < 1 \).

Potom:

\( Z = P – C = P(1 – r) \),

\( Z_{\text{nové}} = 0{,}95P – 0{,}90C = P(0{,}95 – 0{,}90r) \).

Nový počet prodaných kusů je tedy:

\( n_{\text{nové}} = \frac{P(1 – r) n}{P(0{,}95 – 0{,}90r)} = \frac{1 – r}{0{,}95 – 0{,}90r} n \).

Podíl nového a původního počtu kusů je:

\( \frac{n_{\text{nové}}}{n} = \frac{1 – r}{0{,}95 – 0{,}90r} \).

Pro konkrétní čísla je třeba znát hodnotu \( r \). Pro ilustraci uvažujme, že původní náklady tvořily \(60\,\%\) ceny, tedy \( r = 0{,}6 \).

Pak:

\( \frac{n_{\text{nové}}}{n} = \frac{1 – 0{,}6}{0{,}95 – 0{,}90 \times 0{,}6} = \frac{0{,}4}{0{,}95 – 0{,}54} = \frac{0{,}4}{0{,}41} \approx 0{,}9756 \).

To znamená, že by bylo potřeba prodávat asi \(97{,}56\,\%\) původního počtu kusů, tedy dokonce o něco méně.

Zadání však pravděpodobně očekává obecnou odpověď bez konkrétního \( r \), proto vyjádření závisí na poměru nákladů k ceně.

Odpověď: Počet prodaných kusů musí být zvýšen podle vztahu \( n_{\text{nové}} = \frac{1 – r}{0{,}95 – 0{,}90r} n \), kde \( r \) je poměr nákladů k původní ceně.

Řešení příkladu:

Označíme první číslo jako \( 5x \) a druhé jako \( 7x \), protože jsou v poměru \( 5 : 7 \).

Jejich součet je \( 5x + 7x = 12x \).

Jejich rozdíl je \( 7x – 5x = 2x \).

Podle zadání je součet o \( 36 \) větší než rozdíl, tedy platí rovnice:

\( 12x = 2x + 36 \).

Odečteme \( 2x \) od obou stran:

\( 12x – 2x = 36 \Rightarrow 10x = 36 \Rightarrow x = 3{,}6 \).

První číslo je tedy:

\( 5 \times 3{,}6 = 18 \).

Druhé číslo je:

\( 7 \times 3{,}6 = 25{,}2 \).

Odpověď: Čísla jsou \( 18 \) a \( 25{,}2 \).

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu výrobku jako \( P \) a původní počet prodaných kusů jako \( Q \). Celkové tržby jsou \( T = P \times Q \).

Po snížení ceny o \(12\,\%\) je nová cena:

\( P_{\text{nové}} = 0{,}88 P \).

Po zvýšení počtu prodaných kusů o \(18\,\%\) je nové množství:

\( Q_{\text{nové}} = 1{,}18 Q \).

Nové tržby jsou:

\( T_{\text{nové}} = P_{\text{nové}} \times Q_{\text{nové}} = 0{,}88 P \times 1{,}18 Q = 1{,}0384 PQ \).

Nové tržby jsou tedy přibližně \(103{,}84\,\%\) původních tržeb, což znamená nárůst o \(3{,}84\,\%\).

Odpověď: Celkové tržby se zvýšily o přibližně \(3{,}84\,\%\).

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme výkon jednoho zaměstnance za jednu hodinu.

Celkový výkon \(5\) zaměstnanců za \(8\) hodin je \(400\) kusů, tedy výkon jednoho zaměstnance za \(8\) hodin je:

\( \frac{400}{5} = 80 \) kusů za \(8\) hodin.

Výkon jednoho zaměstnance za \(1\) hodinu je:

\( \frac{80}{8} = 10 \) kusů za hodinu.

Výkon \(7\) zaměstnanců za \(10\) hodin bude:

\( 7 \times 10 \times 10 = 700 \) kusů.

Odpověď: \(7\) zaměstnanců vyrobí za \(10\) hodin \(700\) kusů.

Řešení příkladu:

Označíme původní počet kusů jako \( Q \) a původní průměrnou cenu jednoho kusu jako \( P \). Celková původní cena je \( T = P \times Q \).

Po zvýšení počtu kusů o \(30\,\%\) je nový počet kusů:

\( Q_{\text{nové}} = 1{,}30 Q \).

Po zvýšení celkové ceny o \(15\,\%\) je nová celková cena:

\( T_{\text{nové}} = 1{,}15 T = 1{,}15 P Q \).

Průměrná cena jednoho kusu po změně je:

\( P_{\text{nové}} = \frac{T_{\text{nové}}}{Q_{\text{nové}}} = \frac{1{,}15 P Q}{1{,}30 Q} = \frac{1{,}15}{1{,}30} P = 0{,}8846 P \).

Průměrná cena jednoho kusu se tedy snížila na \(88{,}46\,\%\) původní ceny, což znamená pokles o \(11{,}54\,\%\).

Odpověď: Průměrná cena jednoho kusu se snížila o přibližně \(11{,}54\,\%\).

Řešení příkladu:

Označíme částku investovanou do prvního projektu jako \( x \) Kč. Investice do druhého projektu bude tedy \( 1\,000\,000 – x \) Kč.

Zisk z prvního projektu je \( 12\% \) z \( x \), tedy:

\( 0{,}12 x \).

Zisk z druhého projektu je \( 8\% \) z investice do druhého projektu, tedy:

\( 0{,}08 (1\,000\,000 – x) = 80\,000 – 0{,}08 x \).

Celkový zisk je součet zisků obou projektů:

\( 0{,}12 x + 80\,000 – 0{,}08 x = 104\,000 \).

Sjednotíme členy s \( x \):

\( (0{,}12 – 0{,}08) x + 80\,000 = 104\,000 \Rightarrow 0{,}04 x + 80\,000 = 104\,000 \).

Odečteme \( 80\,000 \) od obou stran:

\( 0{,}04 x = 24\,000 \Rightarrow x = \frac{24\,000}{0{,}04} = 600\,000 \) Kč.

Do prvního projektu bylo investováno \( 600\,000 \) Kč, do druhého:

\( 1\,000\,000 – 600\,000 = 400\,000 \) Kč.

Pro kontrolu spočítáme zisk z obou částí:

První projekt: \( 0{,}12 \times 600\,000 = 72\,000 \) Kč.

Druhý projekt: \( 0{,}08 \times 400\,000 = 32\,000 \) Kč.

Celkový zisk: \( 72\,000 + 32\,000 = 104\,000 \) Kč, což odpovídá zadání.

Odpověď: Do prvního projektu bylo investováno \( 600\,000 \) Kč a do druhého \( 400\,000 \) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu výrobku jako \( P \).

Po zvýšení ceny o \( 20\% \) bude nová cena:

\( P_1 = P + 0{,}20 P = 1{,}20 P \).

Následně dojde ke snížení této nové ceny o \( 25\% \), tedy:

\( P_2 = P_1 – 0{,}25 P_1 = 0{,}75 P_1 = 0{,}75 \times 1{,}20 P = 0{,}90 P \).

To znamená, že výsledná cena \( P_2 \) je \( 90\% \) původní ceny \( P \).

Změna ceny v procentech je:

\( \frac{P_2 – P}{P} \times 100\% = \frac{0{,}90 P – P}{P} \times 100\% = (0{,}90 – 1) \times 100\% = -10\% \).

Výsledkem je, že původní cena výrobku se snížila o \( 10\% \).

Podrobněji lze chápat, že i když došlo ke zvýšení o \( 20\% \) a následnému snížení o \( 25\% \), tyto procentní změny nejsou symetrické, protože druhá změna se počítá z jiné (vyšší) hodnoty. Celý proces je násobení původní ceny dvěma faktory:

\( 1{,}20 \) (zvýšení o \( 20\% \)) a \( 0{,}75 \) (snížení o \( 25\% \)), jejichž součin je \( 1{,}20 \times 0{,}75 = 0{,}90 \).

Tedy celkový efekt je snížení ceny na \( 90\% \) původní hodnoty, což odpovídá poklesu o \( 10\% \).

Řešení příkladu:

Označíme věk prvního kamaráda jako \( 3x \) a věk druhého jako \( 5x \), kde \( x \) je společný násobek.

Celkový věk je tedy:

\( 3x + 5x = 8x \).

Celková výhra, kterou mají rozdělit, je \( 1800 \) Kč.

Podle poměru věků budou rozdělovat výhru ve stejném poměru, tedy:

První kamarád dostane:

\( \frac{3x}{8x} \times 1800 = \frac{3}{8} \times 1800 = 675 \) Kč.

Druhý kamarád dostane:

\( \frac{5x}{8x} \times 1800 = \frac{5}{8} \times 1800 = 1125 \) Kč.

Pro kontrolu součet částek:

\( 675 + 1125 = 1800 \) Kč, což odpovídá celkové výhře.

Detailněji lze říci, že poměr věků nám dává přímo poměr částek, protože výhra je rozdělena právě podle tohoto poměru. Zároveň je důležité si uvědomit, že hodnota \( x \) v poměru se v konečném výpočtu ruší, protože se vždy používá poměr (zlomky).

Řešení příkladu:

Označíme vzdálenost k cíli jako \( d \) km.

Čas jízdy při původní rychlosti \( 60 \) km/h je:

\( t = \frac{d}{60} \) hodin.

Čas jízdy po zrychlení o \( 15 \) km/h, tedy rychlostí \( 75 \) km/h, je:

\( t‘ = \frac{d}{75} \) hodin.

Podle zadání je rozdíl časů:

\( t – t‘ = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) hodiny.

Dosadíme:

\( \frac{d}{60} – \frac{d}{75} = \frac{1}{3} \).

Sjednotíme levý člen:

\( d \left( \frac{1}{60} – \frac{1}{75} \right) = \frac{1}{3} \).

Najdeme společný jmenovatel \( 300 \):

\( \frac{1}{60} = \frac{5}{300}, \quad \frac{1}{75} = \frac{4}{300} \Rightarrow \frac{5}{300} – \frac{4}{300} = \frac{1}{300} \).

Tedy:

\( d \times \frac{1}{300} = \frac{1}{3} \Rightarrow d = \frac{1}{3} \times 300 = 100 \) km.

Odpověď: Cíl je vzdálen \( 100 \) km.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu zboží jako \( P \).

Po slevě \( 30 \, \% \) je cena:

\( P_{\text{sleva}} = P – 0{,}30 P = 0{,}70 P \).

Na tuto cenu se přičítá DPH \( 15 \, \% \):

\( P_{\text{DPH}} = P_{\text{sleva}} + 0{,}15 P_{\text{sleva}} = 1{,}15 \times 0{,}70 P = 0{,}805 P \).

Výsledná cena je tedy \( 80{,}5 \, \% \) původní ceny.

To znamená, že zákazník zaplatí o \( 19{,}5 \, \% \) méně než původní cenu.

Podrobněji lze chápat, že sleva a DPH nejsou navzájem zaměnitelné operace, protože DPH se počítá z již zlevněné ceny, a proto výsledná cena není jednoduchým součtem slevy a daně, ale výsledkem násobení slevového faktoru a faktoru daně.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme, kolik kusů vyrobí tři stroje za jednu hodinu:

\( \frac{450}{5} = 90 \) kusů za hodinu.

Výkon jednoho stroje za jednu hodinu je tedy:

\( \frac{90}{3} = 30 \) kusů za hodinu.

Výkon jednoho stroje za \( 8 \) hodin bude:

\( 30 \times 8 = 240 \) kusů.

Podrobněji lze vyjádřit, že výroba je přímo úměrná počtu strojů a času, pokud se produktivita nemění. Proto jsme nejdříve zjistili výkon všech tří strojů za hodinu, pak výkon jednoho stroje a nakonec vynásobili výkonem odpovídajícím časovému úseku \( 8 \) hodin.

Řešení příkladu:

Označíme první číslo jako \( 7x \) a druhé číslo jako \( 9x \), kde \( x \) je společný násobek.

Podle zadání platí:

\( 7x + 9x = 128 \Rightarrow 16x = 128 \).

Vydělíme obě strany rovnice \( 16 \):

\( x = \frac{128}{16} = 8 \).

První číslo je tedy:

\( 7 \times 8 = 56 \).

Druhé číslo je:

\( 9 \times 8 = 72 \).

Součet čísel je:

\( 56 + 72 = 128 \), což odpovídá zadání.

Podrobněji lze říci, že poměr čísel vyjadřuje relativní velikost mezi nimi a společný násobek \( x \) určuje jejich skutečné hodnoty, které uspokojují podmínku součtu.

Řešení příkladu:

Označíme původní číslo jako \( x \).

Podle zadání platí, že po zvýšení o \( 40 \, \% \) je číslo \( 350 \), tedy:

\( x + 0{,}40 x = 350 \Rightarrow 1{,}40 x = 350 \).

Vydělíme obě strany rovnice \( 1{,}40 \):

\( x = \frac{350}{1{,}40} = 250 \).

Původní číslo bylo \( 250 \).

Podrobněji lze vysvětlit, že zvýšení čísla o \( 40 \, \% \) znamená vynásobit původní hodnotu faktorem \( 1{,}40 \), což vede k rovnosti \( 1{,}40 x = 350 \), ze které se snadno dopočítá \( x \).

Řešení příkladu:

Označíme délku celé trati jako \( 2d \), kde \( d \) je délka poloviny trati.

Čas uběhnutý na první polovině je:

\( t_1 = \frac{d}{12} \) hodin.

Čas uběhnutý na druhé polovině je:

\( t_2 = \frac{d}{18} \) hodin.

Celkový čas je tedy:

\( t = t_1 + t_2 = \frac{d}{12} + \frac{d}{18} \).

Najdeme společného jmenovatele \( 36 \):

\( t = \frac{3d}{36} + \frac{2d}{36} = \frac{5d}{36} \) hodin.

Průměrná rychlost je definována jako celková dráha dělená celkovým časem:

\( v_{\text{prům}} = \frac{2d}{t} = \frac{2d}{\frac{5d}{36}} = 2d \times \frac{36}{5d} = \frac{72}{5} = 14{,}4 \, \text{km/h} \).

Tedy průměrná rychlost na celé trase byla \( 14{,}4 \, \text{km/h} \).

Podrobněji lze vysvětlit, že průměrná rychlost není aritmetickým průměrem rychlostí, protože ubíháme různý čas při různých rychlostech, a proto použijeme harmonický průměr vážený délkou tratě.

Řešení příkladu:

Označíme současný věk syna jako \( x \) let.

Věk matky je tedy \( 3x \) let.

Za \( 10 \) let bude věk syna \( x + 10 \) a věk matky \( 3x + 10 \).

Podle zadání platí:

\( 3x + 10 = 2(x + 10) + 15 \).

Rozepíšeme pravou stranu:

\( 3x + 10 = 2x + 20 + 15 \Rightarrow 3x + 10 = 2x + 35 \).

Odečteme \( 2x \) z obou stran:

\( 3x – 2x + 10 = 35 \Rightarrow x + 10 = 35 \Rightarrow x = 25 \).

Věk syna je tedy \( 25 \) let, věk matky je:

\( 3 \times 25 = 75 \) let.

Kontrola:

Za \( 10 \) let bude syn \( 35 \) let, matka \( 85 \) let.

Dvojnásobek věku syna plus \( 15 \) je \( 2 \times 35 + 15 = 70 + 15 = 85 \), což odpovídá věku matky.

Podrobněji lze říci, že úloha využívá lineární rovnice a popisuje vztah věků v čase, přičemž změny věku jsou lineární a lze je snadno vyjádřit algebraicky.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu knihy jako \( P \).

Po zvýšení o \( 12\,\% \) je nová cena:

\( P_{\text{nová}} = P + 0{,}12 P = 1{,}12 P \).

Po slevě \( 10\,\% \) zaplatil zákazník částku:

\( P_{\text{platba}} = P_{\text{nová}} – 0{,}10 P_{\text{nová}} = 0{,}90 \times 1{,}12 P = 1{,}008 P \).

Podle zadání zákazník zaplatil \( 178{,}20 \) Kč, tedy:

\( 1{,}008 P = 178{,}20 \Rightarrow P = \frac{178{,}20}{1{,}008} \approx 176{,}79 \) Kč.

Původní cena knihy byla přibližně \( 176{,}79 \) Kč.

Podrobněji lze zdůraznit, že postupujeme ve správném pořadí úprav ceny: nejprve zvýšení ceny, pak sleva, přičemž sleva se počítá z již zvýšené ceny. Výsledná částka je tedy procentuálním násobkem původní ceny, ze které lze jednoduše dopočítat původní hodnotu.

Řešení příkladu:

Označíme cenu jednoho kusu výrobku jako \( x \) Kč a pevnou částku za dopravu jako \( d \) Kč.

Podle zadání platí dvě rovnice:

1) Při koupi tří kusů celková cena je \( 480 \) Kč, tedy

\( 3x + d = 480 \).

2) Při koupi pěti kusů celková cena je \( 760 \) Kč, tedy

\( 5x + d = 760 \).

Pro nalezení hodnot \( x \) a \( d \) odečteme první rovnici od druhé:

\( (5x + d) – (3x + d) = 760 – 480 \Rightarrow 5x – 3x = 280 \Rightarrow 2x = 280 \Rightarrow x = 140 \).

Dosadíme hodnotu \( x = 140 \) zpět do první rovnice:

\( 3 \times 140 + d = 480 \Rightarrow 420 + d = 480 \Rightarrow d = 480 – 420 = 60 \).

Výsledky interpretujeme takto: cena jednoho kusu výrobku je \( 140 \) Kč a pevná částka za dopravu je \( 60 \) Kč.

Podrobněji lze uvést, že pevná částka \( d \) znamená, že za dopravu zaplatíme stejnou sumu bez ohledu na počet kusů, a proto jsme vytvořili dvě lineární rovnice se dvěma neznámými, které jsme řešili metodou odečítání.

Tento postup je standardní v aritmetice při řešení úloh, kde celková cena se skládá z části závislé na počtu položek a části pevné, nezávislé na počtu.

Řešení příkladu:

Celková hodnota dědictví je \( 300\,000 \) Kč.

První bratr dostal částku:

\( A_1 = \frac{2}{5} \times 300\,000 = 120\,000 \) Kč.

Druhý bratr dostal o \( 20\,000 \) Kč méně než první, tedy:

\( A_2 = 120\,000 – 20\,000 = 100\,000 \) Kč.

Třetí bratr dostane zbytek dědictví, tedy:

\( A_3 = 300\,000 – (A_1 + A_2) = 300\,000 – (120\,000 + 100\,000) = 80\,000 \) Kč.

Podrobněji lze říci, že úloha využívá procentuální (zlomkové) rozdělení částky, dále pak lineární odečítání částky mezi jednotlivými částmi a nakonec výpočet zbytku jako rozdíl celku a součtu již rozdělených částek.

Celý postup lze chápat jako kombinaci jednoduchých aritmetických operací a zlomků, přičemž výsledek potvrzuje, že součet všech částí odpovídá celkové hodnotě dědictví, což je základní podmínka správného rozdělení.

Řešení příkladu:

Označíme délku první části cesty jako \( x \) km.

Délka druhé části je o \( 30 \) km delší, tedy \( x + 30 \) km.

Rychlost na první části je \( 60 \) km/h, na druhé části \( 80 \) km/h.

Čas jízdy na první části je:

\( t_1 = \frac{x}{60} \) hodin.

Čas jízdy na druhé části je:

\( t_2 = \frac{x + 30}{80} \) hodin.

Celkový čas je \( 4 \) hodiny, tedy platí rovnice:

\( t_1 + t_2 = 4 \Rightarrow \frac{x}{60} + \frac{x + 30}{80} = 4 \).

Najdeme společný jmenovatel a vyřešíme rovnici:

\( \frac{4x}{240} + \frac{3(x + 30)}{240} = 4 \Rightarrow \frac{4x + 3x + 90}{240} = 4 \Rightarrow \frac{7x + 90}{240} = 4 \).

Vynásobíme obě strany 240:

\( 7x + 90 = 960 \Rightarrow 7x = 870 \Rightarrow x = \frac{870}{7} \approx 124{,}29 \) km.

Délka druhé části je:

\( x + 30 \approx 124{,}29 + 30 = 154{,}29 \) km.

Závěr: první část cesty byla přibližně \( 124{,}29 \) km dlouhá, druhá část \( 154{,}29 \) km.

Detailně řečeno, úloha vyžaduje vyjádření do rovnice s neznámou \( x \), použití základních vzorců pro výpočet času na dané vzdálenosti a následné řešení lineární rovnice.

Řešení příkladu:

Označíme měsíční úrokovou sazbu jako \( r \) (v desetinném tvaru).

Počáteční stav na účtu je \( S_0 = 100\,000 \) Kč.

Každý měsíc se nejprve připíše úrok a poté se odebere výběr \( 5\,000 \) Kč.

Po prvním měsíci je stav:

\( S_1 = S_0 (1 + r) – 5\,000 \).

Po druhém měsíci:

\( S_2 = S_1 (1 + r) – 5\,000 = \left[ S_0 (1 + r) – 5\,000 \right] (1 + r) – 5\,000 \).

Obecně po \( n \) měsících platí rekurence:

\( S_n = S_{n-1} (1 + r) – 5\,000 \).

Tuto rekurenci lze řešit jako lineární nerovnici, neboji jako geometrickou řadu:

Výraz pro \( S_n \) je:

\( S_n = S_0 (1 + r)^n – 5\,000 \times \frac{(1 + r)^n – 1}{r} \).

Dosadíme \( n = 12 \) a \( S_{12} = 20\,000 \):

\( 20\,000 = 100\,000 (1 + r)^{12} – 5\,000 \times \frac{(1 + r)^{12} – 1}{r} \).

Tato rovnice se řeší numericky, protože není jednoduchá analytická forma pro \( r \).

Pro lepší pochopení lze uvést, že se jedná o běžnou úlohu z finanční matematiky – výpočet úrokové sazby při pravidelných výběrech z účtu, přičemž úroky se připisují měsíčně.

Pro přibližný výpočet můžeme použít numerické metody, například zkoušení hodnot \( r \) v okolí \( 0{,}01 \) (1 % měsíčně).

Zkoušením zjistíme, že měsíční úroková sazba je přibližně \( 0{,}005 \), tedy 0,5 % měsíčně.

Podrobně lze vysvětlit, že tato úloha demonstruje složené úročení s pravidelným výběrem a zahrnuje porozumění fungování finančních toků v čase.

Řešení příkladu:

Označíme původní množství vody jako \( V_0 \) (například v litrech).

Každý den se množství vody zmenší o 5 %, tedy zůstane 95 % předchozího množství.

Po jednom dni je množství:

\( V_1 = V_0 \times 0{,}95 \).

Po dvou dnech:

\( V_2 = V_1 \times 0{,}95 = V_0 \times 0{,}95^2 \).

Obecně po \( n \) dnech platí:

\( V_n = V_0 \times 0{,}95^n \).

Pro \( n = 20 \) máme:

\( V_{20} = V_0 \times 0{,}95^{20} \).

Vypočteme hodnotu \( 0{,}95^{20} \):

\( 0{,}95^{20} \approx 0{,}3585 \).

To znamená, že po \(20\) dnech zůstane přibližně \(35,85 %\) původního množství vody.

Podrobněji lze říci, že tento příklad ilustruje exponenciální pokles, který je typický pro procesy s procentuální ztrátou v pravidelných intervalech.

Procentuální ztráta se každý den počítá z aktuálního množství, což vede k multiplikativnímu efektu a rychlému snižování objemu.

Takové modely se používají v biologii, chemii, financích a dalších oborech, kde dochází k postupnému úbytku hodnot.

Řešení příkladu:

Nejprve si vyjádříme počet hřebíků v druhé krabici. V první je \( 120 \) hřebíků, druhá obsahuje o 30 % více, tedy:

\( 120 + 0{,}30 \times 120 = 120 \times 1{,}30 = 156 \) hřebíků.

Celkový počet hřebíků ve sklade je tedy:

\( 120 + 156 = 276 \) hřebíků.

Bylo použito \( 150 \) hřebíků z obou krabic dohromady. Označíme počet použitých hřebíků z první krabice jako \( x \), potom z druhé bude \( 150 – x \).

Počet hřebíků, které zůstanou v první krabici, je tedy \( 120 – x \), a v druhé krabici \( 156 – (150 – x) = 156 – 150 + x = 6 + x \).

Počet hřebíků v krabicích po použití by měl být nezáporný, tedy:

\( 120 – x \geq 0 \Rightarrow x \leq 120 \),

\( 6 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -6 \) (což je vždy pravda, protože \( x \geq 0 \) z definice).

Jelikož \( x \) je počet použitých hřebíků z první krabice, logicky platí \( 0 \leq x \leq 120 \).

Nemáme další informace o rozdělení použitého množství, proto lze řešit problém více způsoby, například předpokládat rovnoměrné použití podle poměru počtu hřebíků, nebo jiný princip.

Pokud předpokládáme, že se použilo hřebíků z obou krabic v poměru počtu hřebíků, pak:

\( \frac{x}{150 – x} = \frac{120}{156} = \frac{10}{13} \).

Z této rovnice vyjádříme \( x \):

\( 13x = 10 (150 – x) \Rightarrow 13x = 1500 – 10x \Rightarrow 23x = 1500 \Rightarrow x = \frac{1500}{23} \approx 65{,}22 \).

Počet hřebíků z první krabice po použití je tedy:

\( 120 – 65{,}22 = 54{,}78 \).

Počet hřebíků z druhé krabice po použití je:

\( 156 – (150 – 65{,}22) = 156 – 84{,}78 = 71{,}22 \).

Výsledek:

V první krabici zůstalo přibližně \( 54{,}78 \) hřebíků a ve druhé přibližně \( 71{,}22 \) hřebíků.

Řešení příkladu:

Celková plocha je \(240\) m².

První den natřel \(\frac{1}{4}\) plochy, tedy:

\(\frac{1}{4} \times 240 = 60\) m².

Druhý den natřel zbytek plochy, což je:

\(240 – 60 = 180\) m².

První den pracoval \(6\) hodin, průměrná rychlost byla:

\(v_1 = \frac{60}{6} = 10\) m²/hod.

Druhý den pracoval \(8\) hodin, průměrná rychlost byla:

\(v_2 = \frac{180}{8} = 22{,}5\) m²/hod.

Podrobnější rozbor:

Je zřejmé, že druhý den pracoval rychleji než první den – konkrétně více než dvojnásobnou rychlostí. Můžeme se zamyslet nad možnými důvody – třeba se zlepšil, nebo byla plocha druhého dne jednodušší k natření.

Úloha nám umožňuje naučit se počítat průměrné rychlosti na základě podílu práce a času, což je užitečné v řadě praktických situací, kde je nutné posoudit efektivitu práce.

Celková průměrná rychlost přes oba dny je:

\(v = \frac{60 + 180}{6 + 8} = \frac{240}{14} \approx 17{,}14\) m²/hod.

Toto číslo představuje celkový průměr, ale je důležité si uvědomit, že rychlosti jednotlivých dnů se lišily.

Řešení příkladu:

Označíme vzdálenost mezi městy jako \(d\) km.

První rychlost je \(v_1 = 80\) km/h, doba jízdy \(t_1 = 3\) hodiny.

Dle vzorce pro vzdálenost platí:

\(d = v_1 \times t_1 = 80 \times 3 = 240\) km.

Druhá rychlost je zvýšená o \(10\) km/h, tedy \(v_2 = 90\) km/h.

Doba jízdy při této rychlosti je \(t_2 = 2\) hodiny a \(30\) minut, což je \(2{,}5\) hodiny.

Zkontrolujeme, zda vzdálenost při druhé rychlosti odpovídá prvnímu výpočtu:

\(d_2 = v_2 \times t_2 = 90 \times 2{,}5 = 225\) km.

Zde vidíme, že výsledné vzdálenosti nejsou stejné, což je v rozporu s předpokladem stejné vzdálenosti. To znamená, že zadání může být interpretováno, že se zvýšení rychlosti o \(10\) km/h a snížení času souvisí s tou samou vzdáleností.

Pokud tedy chceme přesně určit vzdálenost, použijeme obecné označení:

\(d = v_1 \times t_1 = (v_2) \times t_2\)

Dosadíme \(v_2 = v_1 + 10\), tedy:

\(v_1 \times t_1 = (v_1 + 10) \times t_2 \Rightarrow 80 \times 3 = (80 + 10) \times 2{,}5 \Rightarrow 240 = 90 \times 2{,}5 = 225\), což je rozpor.

Rozdíl \(15\) km znamená, že vzdálenost nemůže být konstantní, pokud jsou údaje správné.

Pokud však budeme hledat vzdálenost a rychlost obecně, postupujeme takto:

Označíme \(d\) jako vzdálenost, pak:

\(d = 80 \times 3 = 240\) km,

\(d = 90 \times 2{,}5 = 225\) km.

Čas se tedy nezkrátil o \(30\) minut, ale o \(3 – 2{,}5 = 0{,}5\) hodiny, což je přesně \(30\) minut, jak uvedeno v zadání. Pro správnou vzdálenost by tedy měla být rychlost zvýšena tak, aby platilo:

\(80 \times 3 = (80 + x) \times 2{,}5 \Rightarrow 240 = (80 + x) \times 2{,}5 \Rightarrow 80 + x = \frac{240}{2{,}5} = 96 \Rightarrow x = 16\) km/h.

To znamená, že správné zvýšení rychlosti je o \(16\) km/h, ne o \(10\) km/h, aby se vzdálenost shodovala a čas jízdy se zkrátil o \(30\) minut.

Závěr: Vzdálenost mezi městy je \(240\) km, zvýšení rychlosti pro dosažení kratšího času \(2{,}5\) hodiny musí být \(16\) km/h a ne \(10\) km/h, jak bylo původně uvedeno. Pokud by rychlost byla zvýšena pouze o \(10\) km/h, pak by doba jízdy musela být delší než \(2{,}5\) hodiny, aby platila stejná vzdálenost.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu zboží jako \(C\) Kč.

Sleva \(15\,\%\) znamená, že zákazník zaplatí \(85\,\%\) původní ceny, tedy:

\(0{,}85 \times C = 2550\).

Pro výpočet původní ceny vydělíme obě strany rovnice \(0{,}85\):

\(C = \frac{2550}{0{,}85} \approx 3000\) Kč.

Výše slevy je rozdíl mezi původní cenou a cenou po slevě:

\(S = C – 2550 = 3000 – 2550 = 450\) Kč.

Podrobnější výklad:

Sleva znamená snížení ceny o procento z původní ceny. Procenta se přepočítávají na desetinná čísla (\(15\,\% = 0{,}15\)), aby se mohly použít v rovnicích.

Základní vztah tedy zní: cena po slevě = původní cena minus sleva, což lze vyjádřit jako:

\(\text{cena po slevě} = (1 – \text{sleva}) \times \text{původní cena}\).

V našem případě sleva byla \(15\,\%\), tedy cena po slevě je \(85\,\%\) původní ceny, což je důvod použití koeficientu \(0{,}85\).

Počítání přesně ukazuje, že původní cena byla \(3000\) Kč a zákazník ušetřil \(450\) Kč díky slevě.

Řešení příkladu:

Označíme počet učebnic prvního druhu jako \(x\), druhého druhu jako \(y\).

Podle zadání platí:

\(x + y = 18\).

Cena za všechny učebnice je:

\(120x + 180y \leq 2400\).

Vyjádříme \(y\) z první rovnice:

\(y = 18 – x\).

Dosadíme do nerovnice ceny:

\(120x + 180(18 – x) \leq 2400 \Rightarrow 120x + 3240 – 180x \leq 2400 \Rightarrow -60x + 3240 \leq 2400\).

Upravíme:

\(-60x \leq 2400 – 3240 \Rightarrow -60x \leq -840 \Rightarrow x \geq \frac{840}{60} = 14\).

Počet učebnic prvního druhu musí být alespoň \(14\), aby cena nepřekročila rozpočet.

Z podmínky \(x + y = 18\) dostaneme:

\(y = 18 – x \leq 18 – 14 = 4\).

Pro maximalizaci utracených peněz je vhodné zvolit nejmenší možný počet učebnic prvního druhu, protože druhý druh je dražší, ale zároveň musí být \(x \geq 14\).

Zkontrolujeme hodnotu pro \(x = 14\), \(y = 4\):

Cena bude:

\(120 \times 14 + 180 \times 4 = 1680 + 720 = 2400\) Kč.

Tímto způsobem student utratí celý svůj rozpočet.

Závěr: Student koupí \(14\) učebnic prvního druhu a \(4\) učebnice druhého druhu, utratí přesně \(2400\) Kč a koupí dohromady \(18\) učebnic.

Řešení příkladu:

Označíme počet strojů prvního typu jako \(x\) a počet strojů druhého typu jako \(y\).

Podle zadání platí, že dohromady je strojů \(8\):

\(x + y = 8\).

Výrobní kapacita prvního typu stroje je \(50\) kusů za hodinu, druhý typ vyrobí o \(30\) kusů více, tedy:

Výroba druhého typu stroje za hodinu je \(50 + 30 = 80\) kusů.

Celková výroba za hodinu při použití \(x\) strojů prvního typu a \(y\) strojů druhého typu je:

\(50x + 80y\).

Pokud denní výroba má být minimálně \(3600\) kusů, musíme znát délku pracovní doby. Předpokládejme, že továrna pracuje \(8\) hodin denně.

Celková denní výroba je tedy:

\(8 \times (50x + 80y) \geq 3600\).

Rozdělíme rovnici:

\(400x + 640y \geq 3600\).

Nyní použijeme první rovnici pro vyjádření \(y\):

\(y = 8 – x\).

Dosadíme do nerovnice:

\(400x + 640(8 – x) \geq 3600 \Rightarrow 400x + 5120 – 640x \geq 3600 \Rightarrow -240x + 5120 \geq 3600\).

Upravíme:

\(-240x \geq 3600 – 5120 \Rightarrow -240x \geq -1520 \Rightarrow x \leq \frac{1520}{240} = 6{,}33\).

Protože počet strojů musí být celé číslo, musí být \(x \leq 6\).

Současně \(x \geq 0\) a \(y = 8 – x \geq 0 \Rightarrow x \leq 8\).

Pro splnění podmínky stačí vybrat \(x \leq 6\), tedy počet strojů prvního typu může být \(0\) až \(6\).

Pro maximalizaci počtu druhého typu strojů, které jsou výkonnější, zvolíme \(x = 6\), což dává:

\(y = 8 – 6 = 2\).

Ověříme celkovou denní výrobu:

\(8 \times (50 \times 6 + 80 \times 2) = 8 \times (300 + 160) = 8 \times 460 = 3680 \geq 3600\), což splňuje požadavek.

Závěr: Továrna musí použít \(6\) strojů prvního typu a \(2\) stroje druhého typu, aby denní výroba byla minimálně \(3600\) kusů.

Řešení příkladu:

Označíme věk syna nyní jako \(s\) let, věk otce jako \(o\) let.

Podle zadání víme, že otec je o \(30\) let starší než syn:

\(o = s + 30\).

Za \(5\) let bude synovi \(s + 5\) let a otci \(o + 5\) let.

Tehdy bude otec třikrát starší než syn, tedy platí:

\(o + 5 = 3(s + 5)\).

Dosadíme za \(o\):

\(s + 30 + 5 = 3(s + 5)\).

Upravíme rovnici:

\(s + 35 = 3s + 15\).

\(35 – 15 = 3s – s \Rightarrow 20 = 2s \Rightarrow s = 10\).

Věk otce je:

\(o = 10 + 30 = 40\).

Závěr: Synovi je nyní \(10\) let a otci \(40\) let.

Řešení příkladu:

Označíme množství přidané vody jako \( x \) litrů.

V původním roztoku o objemu \(20\) litrů je \(15\,\%\) soli, tedy množství soli je:

\( 0{,}15 \times 20 = 3 \) litry soli.

Po přidání \( x \) litrů vody se objem roztoku zvětší na \( 20 + x \) litrů, množství soli zůstane stejné (\(3\) litry).

Nová koncentrace soli má být \(10\,\%\), tedy:

\( \frac{3}{20 + x} = 0{,}10 \Rightarrow 3 = 0{,}10 (20 + x) \Rightarrow 3 = 2 + 0{,}10x \).

Upravíme rovnici:

\( 3 – 2 = 0{,}10x \Rightarrow 1 = 0{,}10x \Rightarrow x = \frac{1}{0{,}10} = 10 \) litrů.

Závěr: Do roztoku je potřeba přidat \(10\) litrů čisté vody, aby koncentrace klesla na \(10\,\%\).

Řešení příkladu:

Označíme vzdálenost mezi městy jako \( d \) km.

Čas jízdy z \( A \) do \( B \) je:

\( t_1 = \frac{d}{60} \) hodin.

Čas jízdy zpět z \( B \) do \( A \) je:

\( t_2 = \frac{d}{40} \) hodin.

Celková doba cesty je:

\( t = t_1 + t_2 = \frac{d}{60} + \frac{d}{40} = d \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{40}\right) \).

Sečteme zlomky:

\( \frac{1}{60} + \frac{1}{40} = \frac{2}{120} + \frac{3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24} \).

Celkový čas je tedy:

\( t = d \times \frac{1}{24} = \frac{d}{24} \) hodin.

Celková vzdálenost tam i zpět je:

\( s = 2d \) km.

Průměrná rychlost je definována jako celková vzdálenost dělená celkovým časem:

\( v = \frac{s}{t} = \frac{2d}{\frac{d}{24}} = 2d \times \frac{24}{d} = 48 \) km/h.

Závěr: Průměrná rychlost autobusu za celou cestu je \(48\, \text{km/h}\).

Řešení příkladu:

Označíme výhru druhého přítele jako \( x \) Kč.

Podle zadání první přítel dostal o \(200\, \text{Kč}\) více než druhý, tedy:

\( x + 200 \) Kč.

Třetí přítel dostal o \(400\, \text{Kč}\) méně než první, tedy:

\( (x + 200) – 400 = x – 200 \) Kč.

Součet všech tří částek je \(6000\) Kč:

\( x + (x + 200) + (x – 200) = 6000 \).

Sečteme členy:

\( x + x + 200 + x – 200 = 6000 \Rightarrow 3x = 6000 \Rightarrow x = \frac{6000}{3} = 2000 \) Kč.

Výpočtem částek pro první a třetího přítele:

První přítel: \( 2000 + 200 = 2200 \) Kč,

Třetí přítel: \( 2000 – 200 = 1800 \) Kč.

Závěr: Druhý přítel dostal \(2000\, \text{Kč}\), první \(2200\, \text{Kč}\) a třetí \(1800\, \text{Kč}\).

Řešení příkladu:

Označíme obě čísla jako \( x \) a \( y \), kde \( \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \) a \( x + y = 90 \).

Z poměru vyjádříme \( x \) jako:

\( x = \frac{2}{3} y \).

Dosadíme do rovnice součtu:

\( \frac{2}{3} y + y = 90 \Rightarrow \frac{2}{3} y + \frac{3}{3} y = 90 \Rightarrow \frac{5}{3} y = 90 \).

Vynásobíme rovnost 3:

\( 5y = 270 \Rightarrow y = \frac{270}{5} = 54 \).

Dosadíme zpět pro \( x \):

\( x = \frac{2}{3} \times 54 = 36 \).

Závěr: Obě čísla jsou \(36\) a \(54\).

Řešení příkladu:

Označíme aktuální počet kusů vyrobených jedním zaměstnancem za den jako \( x \).

Pokud by každý zaměstnanec vyrobil o \(3\) kusy více, počet kusů by byl \( x + 3 \).

Celkový nárůst výroby je \(45\) kusů, což znamená:

\( 15 \times (x + 3) – 15 \times x = 45 \Rightarrow 15x + 45 – 15x = 45 \Rightarrow 45 = 45 \).

Tato rovnost je vždy pravdivá, ale nezjišťuje aktuální hodnotu \( x \).

Pro zjištění \( x \) použijeme jiný přístup: aktuální celková výroba je \( 15x \), po zvýšení je \( 15(x + 3) \), tedy nárůst je skutečně \(45\) kusů.

Podle zadání \( 15 \times 3 = 45 \), což je v souladu.

Tato informace však nestačí pro určení aktuálního počtu kusů, protože není zadána celková výroba.

Pokud chceme určit hodnotu \( x \), musí být zadána ještě jedna informace.

Pokud ale předpokládáme, že potřebujeme odpovědět pouze na otázku, kolik kusů nyní zaměstnanec vyrobí, a tato informace není dána, nelze přesně určit hodnotu.

Závěr: Úloha nemá dostatek informací pro určení aktuální výroby na zaměstnance. Známý je pouze nárůst o \(3\) kusy, který zvýšil celkovou výrobu o \(45\) kusů.

Řešení příkladu:

Označíme celkovou délku cesty jako \( d \).

Polovina cesty je \( \frac{d}{2} \).

Čas na první polovinu cesty je:

\( t_1 = \frac{\frac{d}{2}}{72} = \frac{d}{144} \) hodin.

Čas na druhou polovinu cesty je:

\( t_2 = \frac{\frac{d}{2}}{48} = \frac{d}{96} \) hodin.

Celkový čas je:

\( t = t_1 + t_2 = \frac{d}{144} + \frac{d}{96} \).

Sečteme zlomky:

\( \frac{d}{144} + \frac{d}{96} = d \left(\frac{1}{144} + \frac{1}{96}\right) \).

Nejmenší společný jmenovatel je \(288\):

\( \frac{1}{144} = \frac{2}{288} \), \( \frac{1}{96} = \frac{3}{288} \), tedy

\( \frac{2}{288} + \frac{3}{288} = \frac{5}{288} \).

Celkový čas je:

\( t = d \times \frac{5}{288} = \frac{5d}{288} \) hodin.

Průměrná rychlost je celková vzdálenost dělená celkovým časem:

\( v = \frac{d}{t} = \frac{d}{\frac{5d}{288}} = d \times \frac{288}{5d} = \frac{288}{5} = 57{,}6 \) km/h.

Závěr: Průměrná rychlost auta za celou cestu je \(57{,}6\, \text{km/h}\).

Řešení příkladu:

Označíme množství ryb, které ulovil přítel, jako \(x\) kg.

Podle zadání:

\(120 = x – 20 \Rightarrow x = 120 + 20 = 140\) kg.

Závěr: Přítel rybáře ulovil \(140\) kg ryb.

Řešení příkladu:

Výše půjčené částky je \(1200\) Kč.

Úrok za jeden rok je \(5 \%\) z půjčené částky:

\( \text{úrok} = 0{,}05 \times 1200 = 60 \) Kč.

Celková částka k zaplacení je součet půjčené částky a úroku:

\( 1200 + 60 = 1260 \) Kč.

Závěr: Student musí po jednom roce zaplatit \(1260\) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu zboží jako \(x\) Kč.

Sleva \(15 \%\) znamená, že zákazník zaplatil \(85 \%\) původní ceny, tedy

\( 0{,}85 \times x = 850 \).

Abychom našli původní cenu, vyjádříme \(x\):

\( x = \frac{850}{0{,}85} \Rightarrow x = 1000 \) Kč.

Pro kontrolu spočítáme, kolik je \(15 \%\) z \(1000\) Kč:

\( 0{,}15 \times 1000 = 150 \) Kč.

Po odečtení slevy:

\( 1000 – 150 = 850 \) Kč, což odpovídá zaplacené částce.

Závěr: Původní cena zboží byla \(1000\) Kč.

Řešení příkladu:

Nejdříve vypočítáme rychlost automobilu \(v\) v km/h:

\( v = \frac{360}{4{,}5} = 80 \) km/h.

Rychlost je konstantní, takže za \(7\) hodin urazí vzdálenost \(s\):

\( s = v \times t = 80 \times 7 = 560 \) km.

Závěr: Automobil ujede za \(7\) hodin \(560\) km.

Řešení příkladu:

Označíme počet jablek Marie jako \(m\), počet jablek Petra jako \(p\).

Podle zadání platí:

\( p = 2m \) (Petr má dvakrát více jablek než Marie).

Po prodeji jablek budou počty:

Marie: \( m – 3 \), Petr: \( p – 7 \).

Podle zadání po prodeji platí:

\( p – 7 = (m – 3) + 5 \Rightarrow p – 7 = m + 2 \).

Dosadíme \( p = 2m \):

\( 2m – 7 = m + 2 \Rightarrow 2m – m = 2 + 7 \Rightarrow m = 9 \).

Dosadíme zpět pro \( p \):

\( p = 2 \times 9 = 18 \).

Závěr: Marie má \(9\) jablek, Petr má \(18\) jablek.

Řešení příkladu:

Nejdříve vypočítáme objem vody, který se má vypustit:

\( \frac{3}{4} \times 960 = 720 \) litrů.

Rychlost vypouštění je \(12\) litrů za minutu, tedy čas \(t\) v minutách je:

\( t = \frac{720}{12} = 60 \) minut.

Závěr: Vypuštění \( \frac{3}{4} \) nádrže trvá \(60\) minut.

Řešení příkladu:

Označíme původní délku obdélníku jako \(a\) a původní šířku jako \(b\).

Původní obsah je:

\( S = a \times b \).

Po zvýšení délky o \(20 \%\) je nová délka:

\( a‘ = a \times 1{,}20 \).

Po zvýšení šířky o \(30 \%\) je nová šířka:

\( b‘ = b \times 1{,}30 \).

Nový obsah je tedy:

\( S‘ = a‘ \times b‘ = (1{,}20 a) \times (1{,}30 b) = 1{,}20 \times 1{,}30 \times a b = 1{,}56 \times S \).

Procentuální zvýšení obsahu je:

\( (1{,}56 – 1) \times 100\% = 0{,}56 \times 100\% = 56\% \).

Závěr: Obsah obdélníku se zvýšil o \(56 \%\).

Řešení příkladu:

Označíme částky kamarádů jako \(x\) (první), \(y\) (druhý) a \(z\) (třetí).

Podle zadání platí:

\(x = y + 20\),

\(y = z – 10\).

Celkem mají \(240\) Kč, tedy:

\(x + y + z = 240\).

Dosadíme první dvě rovnice do třetí:

\((y + 20) + y + z = 240 \Rightarrow 2y + 20 + z = 240\).

Dosadíme \(y = z – 10\):

\(2(z – 10) + 20 + z = 240 \Rightarrow 2z – 20 + 20 + z = 240 \Rightarrow 3z = 240 \Rightarrow z = 80\).

Vypočítáme \(y\):

\(y = 80 – 10 = 70\).

Vypočítáme \(x\):

\(x = 70 + 20 = 90\).

Závěr: První kamarád má \(90\) Kč, druhý \(70\) Kč a třetí \(80\) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme dvě čísla jako \(x\) a \(y\), přičemž \(x > y\).

Podle zadání platí:

\(x + y = 48\),

\(x – y = 12\).

Sečteme obě rovnice:

\((x + y) + (x – y) = 48 + 12 \Rightarrow 2x = 60 \Rightarrow x = 30\).

Dosadíme do první rovnice:

\(30 + y = 48 \Rightarrow y = 18\).

Závěr: Čísla jsou \(30\) a \(18\).

Řešení příkladu:

Označíme počet nově zasazených stromů jako \(x\).

Počet stromů se zvýšil o \(25 \%\), tedy celkový počet stromů po podzimu je:

\(40 + x = 40 \times 1{,}25 = 50\).

Vypočítáme počet nových stromů:

\(x = 50 – 40 = 10\).

Závěr: Nově bylo zasazeno \(10\) stromů.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \(100 \%\) (pro snazší výpočet).

Po první slevě \(10 \%\) zůstane cena:

\(100\% – 10\% = 90\%\).

Po druhé slevě \(5 \%\) z aktuální ceny \(90 \%\) bude nová cena:

\(90\% – 5\% \times 90\% = 90\% \times 0{,}95 = 85{,}5\%\).

Celková sleva oproti původní ceně je:

\(100\% – 85{,}5\% = 14{,}5\%\).

Závěr: Celková sleva je \(14{,}5 \%\).

Řešení příkladu:

Cyklista jede první polovinu cesty, tedy \( \frac{90}{2} = 45 \) km rychlostí \(18\) km/h.

Čas potřebný na první polovinu:

\( t_1 = \frac{45}{18} = 2{,}5 \) hodiny.

Druhou polovinu cesty ujede rychlostí \(30\) km/h.

Čas potřebný na druhou polovinu:

\( t_2 = \frac{45}{30} = 1{,}5 \) hodiny.

Celkový čas jízdy je:

\( t = t_1 + t_2 = 2{,}5 + 1{,}5 = 4 \) hodiny.

Celková vzdálenost je \(90\) km.

Průměrná rychlost je celková vzdálenost dělená celkovým časem:

\( v = \frac{90}{4} = 22{,}5 \) km/h.

Závěr: Průměrná rychlost cyklisty za celou cestu je \(22{,}5\) km/h.