Slovní úlohy z ekonomie

Řešení příkladu:

Označme:

\(x\) … počet kusů výrobku \(A\)

\(y\) … počet kusů výrobku \(B\)

Omezení podle hodin práce: \(3x + 5y \leq 60\)

Omezení podle materiálu: \(4x + 2y \leq 40\)

Podmínky nezápornosti: \(x \geq 0,\, y \geq 0\)

Cílová funkce: \(Z = 100x + 120y \Rightarrow\) maximalizovat

Řešíme pomocí metody lineárního programování:

1) Vyjádříme rovnice omezení a zakreslíme je do roviny.

2) Najdeme průsečíky:

Rovnice: \(3x + 5y = 60\) a \(4x + 2y = 40\)

Vynásobme druhou rovnici dvěma: \(8x + 4y = 80\)

První rovnici nechme beze změny.

Řešíme soustavu:

\(3x + 5y = 60\)

\(8x + 4y = 80\)

Násobíme první rovnici \(4\): \(12x + 20y = 240\)

Druhou rovnici násobíme \(5\): \(40x + 20y = 400\)

Odečteme: \(28x = 160 \Rightarrow x = \frac{40}{7} \approx 5.71\)

Dosadíme do první rovnice: \(3 \cdot \frac{40}{7} + 5y = 60 \Rightarrow \frac{120}{7} + 5y = 60\)

\(5y = 60 – \frac{120}{7} = \frac{300 – 120}{7} = \frac{180}{7} \Rightarrow y = \frac{36}{7} \approx 5.14\)

Testujeme i rohové body přípustné oblasti:

\(x=0 \Rightarrow 5y \leq 60 \Rightarrow y \leq 12\), zároveň \(2y \leq 40 \Rightarrow y \leq 20 \Rightarrow y = 12\)

\(Z = 100 \cdot 0 + 120 \cdot 12 = 1440\)

\(y=0 \Rightarrow 3x \leq 60 \Rightarrow x \leq 20\), zároveň \(4x \leq 40 \Rightarrow x \leq 10 \Rightarrow x = 10\)

\(Z = 100 \cdot 10 + 120 \cdot 0 = 1000\)

Testujeme bod \(x=5,\, y=6 \Rightarrow 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6 = 15 + 30 = 45 \leq 60\), \(4 \cdot 5 + 2 \cdot 6 = 20 + 12 = 32 \leq 40\)

\(Z = 100 \cdot 5 + 120 \cdot 6 = 500 + 720 = 1220\)

Nejvyšší hodnota byla pro bod \(x=0,\, y=12 \Rightarrow Z = 1440\)

Odpověď: Firma má vyrobit \(0\) kusů výrobku \(A\) a \(12\) kusů výrobku \(B\).

Řešení příkladu:

Označme:

\(x\) … počet inzerátů v novinách

\(y\) … počet online reklam

Omezení rozpočtu: \(3000x + 2000y \leq 24000\)

Počet zákazníků: \(Z = 90x + 80y \Rightarrow\) maximalizovat

Najdeme hraniční bod:

\(3000x + 2000y = 24000 \Rightarrow 3x + 2y = 24\)

Vyzkoušíme rohové body:

\(x = 0 \Rightarrow 2y = 24 \Rightarrow y = 12 \Rightarrow Z = 80 \cdot 12 = 960\)

\(y = 0 \Rightarrow 3x = 24 \Rightarrow x = 8 \Rightarrow Z = 90 \cdot 8 = 720\)

\(x = 4,\, y = 6 \Rightarrow 3 \cdot 4 + 2 \cdot 6 = 12 + 12 = 24 \Rightarrow Z = 90 \cdot 4 + 80 \cdot 6 = 360 + 480 = 840\)

Nejlepší řešení je při \(x = 0,\, y = 12 \Rightarrow Z = 960\)

Odpověď: Má objednat \(0\) inzerátů v novinách a \(12\) online reklam.

Řešení příkladu:

Označme:

\(x\) … počet jednotek po \(500000\) Kč investovaných do projektu \(X\)

\(y\) … počet jednotek po \(300000\) Kč investovaných do projektu \(Y\)

Omezení: \(500000x + 300000y \leq 1000000\)

Výnos: \(Z = 0.1 \cdot 500000x + 0.12 \cdot 300000y = 50000x + 36000y \Rightarrow\) maximalizovat

Předělíme rovnici omezení: \(5x + 3y \leq 10\)

Cílová funkce: \(Z = 50000x + 36000y\)

Hraniční rovnice: \(5x + 3y = 10 \Rightarrow y = \frac{10 – 5x}{3}\)

Dosadíme pro různé hodnoty \(x\):

\(x = 0 \Rightarrow y = \frac{10}{3} \Rightarrow Z = 0 + 36000 \cdot \frac{10}{3} = 120000\)

\(x = 1 \Rightarrow y = \frac{5}{3} \Rightarrow Z = 50000 + 36000 \cdot \frac{5}{3} = 50000 + 60000 = 110000\)

\(x = 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow Z = 100000\)

Maximální výnos je při \(x = 0,\, y = \frac{10}{3} \Rightarrow\) investovat \(0\) Kč do \(X\) a \(1000000\) Kč do \(Y\)

Odpověď: Společnost má investovat \(0\) Kč do projektu \(X\) a \(1000000\) Kč do projektu \(Y\).

Řešení příkladu:

Příjmy: \(R(x) = x \cdot p(x) = x(500 – 2x) = 500x – 2x^2\)

Náklady: \(C(x) = 200x\)

Zisk: \(Z(x) = R(x) – C(x) = 500x – 2x^2 – 200x = 300x – 2x^2\)

Maximalizujeme kvadratickou funkci: \(Z(x) = -2x^2 + 300x\)

Maximum je v vrcholu paraboly: \(x = \frac{-b}{2a} = \frac{-300}{2 \cdot (-2)} = 75\)

Odpověď: Firma má prodat \(75\) kusů výrobku pro maximální zisk.

Řešení příkladu:

Označme:

\(x\) … investice do \(A\)

\(y\) … investice do \(B\)

\(z\) … investice do \(C\)

Omezení:

\(x + y + z = 1000000\)

\(x \leq 400000,\, y \leq 400000,\, z \leq 400000\)

Výnos: \(Z = 0.05x + 0.06y + 0.07z \Rightarrow\) maximalizovat

Největší výnos má aktivum \(C\), takže alokujeme \(400000\) Kč do \(C\)

Zbývá \(600000\) Kč. Aktivum \(B\) má vyšší výnos než \(A\), takže alokujeme \(400000\) Kč do \(B\) a zbytek \(200000\) Kč do \(A\)

\(Z = 0.05 \cdot 200000 + 0.06 \cdot 400000 + 0.07 \cdot 400000 = 10000 + 24000 + 28000 = 62000\)

Odpověď: \(200000\) Kč do \(A\), \(400000\) Kč do \(B\) a \(400000\) Kč do \(C\).

Řešení příkladu:

Příjem: \(R(q) = p q = (100 – 2q) q = 100q – 2q^2\).

Náklady: \(C(q) = 20q + 100\).

Zisk: \(Z(q) = R – C = 100q – 2q^2 – 20q – 100 = 80q – 2q^2 – 100\).

Maximum: \(Z'(q) = 80 – 4q \Rightarrow 80 – 4q = 0 \Rightarrow q = 20\).

Odpověď: firma má vyrábět \(20\) jednotek pro maximální zisk.

Řešení příkladu:

Budoucí hodnota: \(FV = PV \cdot (1 + r)^n\).

\(FV = 500000 \cdot (1 + 0.06)^5 = 500000 \cdot 1.3382256 = 669112.8\) Kč.

Odpověď: budoucí hodnota investice je přibližně \(669113\) Kč.

Řešení příkladu:

Rozpočtové omezení: \(120x + 80y = 2400\).

Podle teorie spotřebitele optimum nastává, když \(\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{p_x}{p_y}\).

\(\frac{0.5 x^{-0.5} y^{0.5}}{0.5 x^{0.5} y^{-0.5}} = \frac{120}{80} \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{120}{80} = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2} x\).

Dosadíme: \(120x + 80 \cdot \frac{3}{2} x = 2400 \Rightarrow 120x + 120x = 2400 \Rightarrow 240x = 2400 \Rightarrow x = 10 \Rightarrow y = 15\).

Odpověď: spotřebitel koupí \(10\) kusů \(A\) a \(15\) kusů \(B\).

Řešení příkladu:

Bod zvratu: \(\text{fixní náklady} = (\text{cena} – \text{variabilní náklady}) \cdot q \Rightarrow 50000 = (500 – 300) q = 200 q \Rightarrow q = \frac{50000}{200} = 250\).

Odpověď: firma musí prodat alespoň \(250\) jednotek.

Řešení příkladu:

Očekávaný výnos: \(0.6 \cdot 0.05 + 0.4 \cdot 0.07 = 0.03 + 0.028 = 0.058 \Rightarrow 5.8\%\).

Odpověď: očekávaný výnos portfolia je \(5.8\%\) ročně.

Řešení příkladu:

Příjem: \( R = 150 \cdot 800 = 120000 \).

Náklady: \( C = 30000 + 90 \cdot 800 = 30000 + 72000 = 102000 \).

Zisk: \( Z = 120000 – 102000 = 18000 \) Kč.

Odpověď: měsíční zisk je \(18000\) Kč.

Řešení příkladu:

Elasticita: \( E = \frac{\Delta Q}{\Delta P} \cdot \frac{P}{Q} \).

\( \Delta Q = -100 \), \( \Delta P = 20 \), \( P = 110 \), \( Q = 450 \).

\( E = \frac{-100}{20} \cdot \frac{110}{450} = -5 \cdot \frac{11}{45} = -\frac{55}{45} = -1.22 \).

Odpověď: elasticita je přibližně \(-1.22\) → poptávka je elastická.

Řešení příkladu:

Označíme \( x \) = počet kusů \(C\), \( y \) = počet kusů \(D\).

Omezení 1 – pracovníci: \( 2x + 3y \leq 100 \)

Omezení 2 – hodiny: \( 16x + 18y \leq 120 \) ( \(120\) hodin denně)

Nezápornost: \( x \geq 0, y \geq 0 \)

Funkce zisku: \( Z = 150x + 180y \Rightarrow \) maximalizovat.

Najdeme průsečíky hranic:

(a) \( 2x + 3y = 100 \Rightarrow y = \frac{100 – 2x}{3} \)

(b) \( 16x + 18y = 120 \Rightarrow 8x + 9y = 60 \Rightarrow y = \frac{60 – 8x}{9} \)

Najdeme společné řešení (současný průsečík):

dosadíme \( y \) z (a) do (b): \( 8x + 9 \cdot \frac{100 – 2x}{3} = 60 \)

\( 8x + 3(100 – 2x) = 60 \Rightarrow 8x + 300 – 6x = 60 \Rightarrow 2x = -240 \Rightarrow x = -120 \) – neplatný, mimo oblast.

Testujeme rohové body:

1) \( x = 0 \Rightarrow 3y \leq 100 \Rightarrow y \leq 33.33\), zároveň \( y \leq \frac{60}{9} = 6.67\) ⇒ maximální \( y = 6.67 \)

zisk: \( Z = 180 \cdot 6.67 \approx 1200 \)

2) \( y = 0 \Rightarrow x \leq 50\) a zároveň \( x \leq \frac{60}{8} = 7.5 \Rightarrow x = 7.5 \)

zisk: \( Z = 150 \cdot 7.5 = 1125 \)

Nejlepší je bod 1) s \( x=0, y\approx 6.67\), zisk ≈ \(1200\) Kč.

Odpověď: vyrobit \(0\) kusů \(C\) a \(6\) kusů \(D\) denně (zaokrouhleno).

Řešení příkladu:

1) pevná cena: \( p=200 \Rightarrow D=400-200=200 \) zákazníků

tržby: \( R_1 = 200 \cdot 200 = 40000 \)

2) diskriminace: \(100\) zákazníků zaplatí \(150\) Kč ⇒ tržby z nich = \(150 \cdot 100 = 15000\)

zbytek zákazníků podle \( D(p)=400 – p \) → nastavíme \( p \) tak, že množství = poptávka; zvolíme \( p = 200 \) Kč: zbývá \(200\) zákazníků

zbytek tržeb = \(200 \cdot 200 = 40000\)

celkové tržby: \(15000 + 40000 = 55000\) Kč

diskriminace přináší více, tj. \(55000\) Kč oproti \(40000\) Kč.

Odpověď: diskriminační strategie je výhodnější.

Řešení příkladu:

Vzorec složeného úročení: \( A = P(1 + r)^t \)

\( P=2000000, r=0.08, t=3 \)

\( A = 2000000 \cdot (1.08)^3 \)

vypočteme: \( (1.08)^2 = 1.1664; (1.08)^3 = 1.259712 \)

\( A = 2000000 \cdot 1.259712 = 2519424 \) Kč

Odpověď: celkově bude k úhradě přibližně \(2519424\) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme \( x \) podíl do \( A \), \( 1-x \) podíl do \( B \).

Požadovaný výnos: \( x \cdot 0.08 + (1-x) \cdot 0.12 = 0.10 \)

\( 0.08x + 0.12 – 0.12x = 0.10 \Rightarrow -0.04x = -0.02 \Rightarrow x = 0.5 \)

Podíl \( A \) a \( B \) = \( 50 \,\% \) a \( 50 \,\% \)

Riziko portfolia (směrová směrodatná odchylka):

\( \sigma_p^2 = x^2 \cdot 0.10^2 + (1-x)^2 \cdot 0.20^2 + 2x(1-x) \cdot 0.10 \cdot 0.20 \cdot 0.2 \)

Dosadíme \( x = 0.5 \):

\( \sigma_p^2 = 0.25 \cdot 0.01 + 0.25 \cdot 0.04 + 2 \cdot 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.02 \cdot 0.2 \)

\( = 0.0025 + 0.01 + 0.002 = 0.0145 \Rightarrow \sigma_p = \sqrt{0.0145} \approx 0.1204 = 12.04\,\% \)

Odpověď: \( 50 \,\% \) do \( A \) a \( 50 \,\% \) do \( B \), očekávané riziko cca \( 12.04 \,\% \).

Řešení příkladu:

Označíme cenu \( p \).

Objem: \( Q = 1000 – 2p \).

Příjem: \( R(p) = p(1000 – 2p) = 1000p – 2p^2 \).

Náklady: \( C(p) = 50(1000 – 2p) + 100000 = 50000 – 100p + 100000 = 150000 – 100p \).

Zisk: \( Z(p) = R(p) – C(p) = 1000p – 2p^2 – 150000 + 100p = -2p^2 + 1100p – 150000 \).

Najdeme max z paraboly: \( p = \frac{-1100}{2 \cdot (-2)} = 275 \).

Cena \( 275 \,\text{Kč} \) překračuje množství \( Q = 1000 – 2 \cdot 275 = 450 \).

Zisk při \( 275 \,\text{Kč} \): \( Z = -2 \cdot 275^2 + 1100 \cdot 275 – 150000 = -2 \cdot 75625 + 302500 – 150000 = -151250 + 152500 = 1250 \,\text{Kč} \).

Odpověď: cena \( 275 \,\text{Kč} \) maximalizuje zisk.

Řešení příkladu:

\( \text{NPV} = -500000 + \sum_{t=1}^{4} \frac{200000}{(1+0.06)^t} \)

Vypočítáme jednotlivé faktory:

\( t = 1: \frac{200000}{1.06} = 188679 \), \( t = 2: \frac{200000}{1.1236} = 177986 \),

\( t = 3: \frac{200000}{1.1910} = 167767 \), \( t = 4: \frac{200000}{1.2625} = 158209 \).

Součet diskontovaných příjmů = \( 188679 + 177986 + 167767 + 158209 = 692641 \,\text{Kč} \).

\( \text{NPV} = 692641 – 500000 = 192641 \,\text{Kč} > 0 \Rightarrow \) projekt je výhodný.

Řešení příkladu:

Expres: \( 1000 \cdot 20 = 20000 \,\text{Kč} \).

Standard: \( 50 + 1000 \cdot 12 = 50 + 12000 = 12050 \,\text{Kč} \).

Standard je levnější.

Odpověď: zvolit standardní dopravu.

Řešení příkladu:

Maximalizujeme: \( Z = 300x + 400y + 500z \)

Omezení: \( x \leq 10 \), \( y \leq 8 \), \( z \leq 6 \), \( x+y+z \leq 20 \)

Jak maximalizovat? Zařaďme nejvýnosnější: \( H \), pak \( G \), pak \( F \).

Zvolíme \( z = 6 \), \( y = 8 \) ⇒ využito \( 14 \,\text{t} \), zbývá \( 6 \,\text{t} \) kapacity ⇒ \( x = 6 \).

Zisk: \( 6 \cdot 500 + 8 \cdot 400 + 6 \cdot 300 = 3000 + 3200 + 1800 = 8000 \,\text{Kč} \).

Odpověď: \( 6 \,\text{t} \) \( H \), \( 8 \,\text{t} \) \( G \), \( 6 \,\text{t} \) \( F \).

Řešení příkladu:

Má investovat \(I\) Kč.

Výnos: \(0.04I \geq 35\,000 \Rightarrow I \geq \frac{35\,000}{0.04} = 875\,000\ \text{Kč}\).

Nemůže dosáhnout cíle – nemá dost prostředků.

Odpověď: potřeboval by \(875\,000\) Kč, ale má jen \(800\,000\) Kč → výnos < \(35\,000\) Kč.

Řešení příkladu:

Poptávka: \(Q = 800 – 4p \Rightarrow p = \frac{800 – Q}{4}\).

Příjem: \(R(Q) = pQ = \frac{800Q – 4Q^2}{4} = 200Q – Q^2\).

Náklady: \(C(Q) = Q(50 + 0.1Q) = 50Q + 0.1Q^2\).

Zisk: \(Z(Q) = R – C = 200Q – Q^2 – 50Q – 0.1Q^2 = 150Q – 1.1Q^2\).

Najdeme maximum: \(Q = \frac{150}{2.2} \approx 68.18\).

Odpovídající cena: \(p = \frac{800 – 68.18}{4} = 183.05\ \text{Kč}\).

Odpověď: pro maximalizaci zisku má cena být přibližně \(183\) Kč.

Řešení příkladu:

Příjmy: \(R(q) = p \cdot q = (200 – 0.5q)q = 200q – 0.5q^2\).

Náklady: \(C(q) = q(80 + 0.1q) = 80q + 0.1q^2\).

Zisk: \(Z(q) = 200q – 0.5q^2 – 80q – 0.1q^2 = 120q – 0.6q^2\).

Funkce derivace: \(Z'(q) = 120 – 1.2q \Rightarrow 120 – 1.2q = 0 \Rightarrow q = 100\).

Odpověď: optimální množství je \(100\) jednotek.

Řešení příkladu:

Roční úrok \(5\) %, pololetní úrok \(r = \frac{0.05}{2} = 0.025\). Počet období: \(6\).

Anuita: \(A = \frac{P \cdot r}{1 – (1 + r)^{-n}} = \frac{1\,000\,000 \cdot 0.025}{1 – (1.025)^{-6}}\).

\((1.025)^{-6} \approx 0.8607 \Rightarrow 1 – 0.8607 = 0.1393\).

\(A = \frac{25\,000}{0.1393} \approx 179\,484\ \text{Kč}\).

Odpověď: každá pololetní splátka je přibližně \(179\,484\) Kč.

Řešení příkladu:

Rozpočtová linie: \(30x + 20y = 1\,200\).

Okrajové užitky: \(MU_x = 0.3x^{-0.7}y^{0.7},\ MU_y = 0.7x^{0.3}y^{-0.3}\).

Marginal rate of substitution: \(\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}\).

\(\frac{0.3x^{-0.7}y^{0.7}}{0.7x^{0.3}y^{-0.3}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{0.3}{0.7} \cdot x^{-1}y^1 = \frac{3}{2}\).

\(\frac{3}{7} \cdot \frac{y}{x} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{7}{2} = 3.5\).

Dosadíme: \(30x + 20 \cdot 3.5x = 1\,200 \Rightarrow 30x + 70x = 1\,200 \Rightarrow 100x = 1\,200 \Rightarrow x = 12,\ y = 42\).

Odpověď: spotřebitel koupí \(12\) ks \(X\) a \(42\) ks \(Y\).

Řešení příkladu:

Zisk na \( A \): \( 300 – 150 = 150 \), na \( B \): \( 350 – 200 = 150 \) Kč.

Obě marže stejné, využijeme kapacitu: \( x + y = 2000 \).

Zisk: \( Z = 150(x + y) – 400000 = 150 \cdot 2000 – 400000 = 300000 – 400000 = -100000 \).

Projekt je nevýhodný i při plném využití.

Odpověď: nezahrnovat výrobu nebo přehodnotit cenu či náklady.

Řešení příkladu:

Nechť \( x \) je % do akcií, \( 1 – x \) do dluhopisů.

Očekávaný výnos: \( 0{,}10x + 0{,}06(1 – x) = 0{,}06 + 0{,}04x \).

Chceme: \( (0{,}06 + 0{,}04x) \cdot 500000 \ge 40000 \Rightarrow 30000 + 20000x \ge 40000 \Rightarrow 20000x \ge 10000 \Rightarrow x \ge 0{,}5 \).

Odpověď: alespoň \( 50\,\% \) v akciích.

Řešení příkladu:

Expres: \( 1500 \cdot 15 = 22500 \) Kč.

Standard: \( 200 + 1500 \cdot 8 = 200 + 12000 = 12200 \) Kč.

Odpověď: standardní doprava je výrazně levnější.

Řešení příkladu:

Rozpočet: \( 2x + y = 100 \).

Lagrangeova funkce: \( L = x + \ln y + \lambda (100 – 2x – y) \).

Derivace: \( L_x = 1 – 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \tfrac{1}{2} \).

\( L_y = \frac{1}{y} – \lambda = 0 \Rightarrow \frac{1}{y} = \tfrac{1}{2} \Rightarrow y = 2 \).

Dosadíme do rozpočtu: \( 2x + 2 = 100 \Rightarrow x = 49 \).

Odpověď: \( x = 49, y = 2 \).

Řešení příkladu:

Optimalizace, kde \( MB_1 = MB_2 = MB_3 \) v bodě rovnováhy:

\( 100 – 2x = 120 – 3y = 150 – 5z = \lambda \).

Z toho \( x = \frac{100 – \lambda}{2}, y = \frac{120 – \lambda}{3}, z = \frac{150 – \lambda}{5} \).

Rozpočtové omezení: \( x + y + z = 200 \).

Dosadíme a vyřešíme pro \( \lambda \). Výsledky: \( x = 40, y = 26{,}67, z = 13{,}33 \).

Odpověď: alokovat zhruba \( 40 \) na první, \( 26{,}7 \) na druhý a \( 13{,}3 \) na třetí.

Řešení příkladu:

CAPM: \( r = r_f + \beta(r_m – r_f). \)

\( r_f = 0{,}04,\; r_m – r_f = 0{,}12 – 0{,}04 = 0{,}08,\; \beta = 1{,}5. \)

\( r = 0{,}04 + 1{,}5 \cdot 0{,}08 = 0{,}04 + 0{,}12 = 0{,}16 = 16\%. \)

Odpověď: požadovaný výnos je \(16\%\).

Řešení příkladu:

Porovnáme celkové náklady: \( C_1 = 500000 + 50q,\; C_2 = 1000000 + 30q. \)

Moderní výhodnější, když \( C_2 \le C_1 \Rightarrow 1000000 + 30q \le 500000 + 50q \Rightarrow 500000 \le 20q \Rightarrow q \ge 25000. \)

Odpověď: moderní technologie se vyplatí od \(25000\) jednotek výše.

Řešení příkladu:

Celkové příjmy: \( R = 250 \cdot 600 = 150000. \)

Variabilní náklady na jednotku: \( v(600) = 70 + 0{,}01 \cdot 600 = 70 + 6 = 76. \)

Celkové variabilní náklady: \( VC = 76 \cdot 600 = 45600. \)

Celkové náklady: \( TC = 50000 + 45600 = 95600. \)

Zisk: \( Z = 150000 – 95600 = 54400\ \text{Kč}. \)

Odpověď: Zisk je \(54400\ \text{Kč}.\)

Řešení příkladu:

Počáteční cena: \( P(0) = 100 \cdot e^{0} = 100. \)

Cena po \(3\) letech: \( P(3) = 100 \cdot e^{0{,}15} \approx 100 \cdot 1{,}1618 = 116{,}18. \)

Procentuální změna: \( \dfrac{116{,}18 – 100}{100} \cdot 100 = 16{,}18\%. \)

Odpověď: Cena akcie vzrostla o přibližně \(16{,}18\%\) za \(3\) roky.

Řešení příkladu:

Každoroční příjem: \(60000\ \text{Kč}.\)

Investice: \(200000\ \text{Kč}.\)

Doba návratnosti: \( \dfrac{200000}{60000} = 3{,}333\ \text{roku}. \)

Odpověď: Investice se vrátí za přibližně \(3\) roky a \(4\) měsíce.

Řešení příkladu:

Reálná hodnota: \( V = 100000 \cdot (1 – 0{,}05)^4 = 100000 \cdot 0{,}8145 = 81450 \).

Odpověď: Reálná hodnota bude přibližně \(81\,450\) Kč.

Řešení příkladu:

Nechť \( x \) je množství jablek a \( y \) hrušek.

Rovnice: \( 30x + 40y = 1200 \).

Extrémní body:

Pokud \( x = 0 \Rightarrow y = \frac{1200}{40} = 30 \) kg.

Pokud \( y = 0 \Rightarrow x = \frac{1200}{30} = 40 \) kg.

Odpověď: Rozpočtové omezení je \( 30x + 40y = 1200 \), extrémní kombinace jsou \((0, 30)\) a \((40, 0)\).

Řešení příkladu:

Nechť \( x \) je počet \( A \) a \( y \) počet \( B \).

Omezení: \( x + y \leq 100 \), \( x \leq 60 \), \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \).

Zisk: \( Z = 40x + 50y \).

Vyzkoušíme krajní body:

1) \( x = 0, y = 100 \Rightarrow Z = 5000 \).

2) \( x = 60, y = 40 \Rightarrow Z = 40 \cdot 60 + 50 \cdot 40 = 2400 + 2000 = 4400 \).

3) \( x = 60, y = 0 \Rightarrow Z = 2400 \).

Odpověď: Nejvyšší zisk je \( 5000 \) Kč, pokud se vyrábí jen produkt \( B \).

Řešení příkladu:

Původní příjem: \( 200 \cdot 1000 = 200000 \).

Nový příjem: \( 220 \cdot 850 = 187000 \).

Příjmový efekt: \( 187000 – 200000 = -13000 \) Kč.

Odpověď: Příjmový efekt je záporný, firma tratila \( 13\,000 \) Kč.

Řešení příkladu:

Celkové náklady: \( C(200) = 100 \cdot 200 + 5000 = 20000 + 5000 = 25000 \).

Průměrné náklady: \( \frac{25000}{200} = 125 \) Kč.

Odpověď: Průměrné náklady na jednotku jsou \( 125 \) Kč.

Řešení příkladu:

Zisková funkce je kvadratická, maximum má v vrcholu paraboly: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{400}{2 \cdot (-0{,}5)} = 400 \).

Dosadíme: \( Z(400) = -0{,}5 \cdot 400^2 + 400 \cdot 400 – 20000 = -80000 + 160000 – 20000 = 60000 \).

Odpověď: Maximum je opravdu při \(400\) kusech, zisk je \(60\,000\) Kč.

Řešení příkladu:

Úročení složené: \( A = 300\,000 \cdot (1 + 0{,}04)^3 = 300\,000 \cdot 1{,}124864 = 337\,459{,}20 \).

Odpověď: Podnik zaplatí přibližně \(337\,459\) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme \( x \) jednotek na lince A a \( y \) jednotek na lince B.

Omezení: \( x \leq 400, \quad y \leq 300, \quad x + y \leq 600, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0 \).

Zisk: \( Z = 50x + 70y \Rightarrow \) maximalizovat.

Nejvýnosnější je linka B, proto naplníme nejprve \( y = 300 \), zbývá kapacita \(300\) pro A ⇒ \( x = 300 \).

Zisk: \( 50 \cdot 300 + 70 \cdot 300 = 15\,000 + 21\,000 = 36\,000 \) Kč.

Ověříme krajní body: pokud \( x = 400, y = 200 \Rightarrow Z = 20\,000 + 14\,000 = 34\,000 \) Kč (méně).

Odpověď: vyrobit \(300\) ks na lince A a \(300\) ks na lince B, zisk \(36\,000\) Kč.

Řešení příkladu:

Příjmy: \( R(q) = q(500 – 0{,}5q) = 500q – 0{,}5q^2 \).

Náklady: \( C(q) = 20\,000 + 100q \).

Zisk: \( Z(q) = 500q – 0{,}5q^2 – 100q – 20\,000 = 400q – 0{,}5q^2 – 20\,000 \).

Derivace: \( Z'(q) = 400 – q \Rightarrow 400 – q = 0 \Rightarrow q = 400 \).

Odpověď: optimální je \(400\) klientů.

Řešení příkladu:

Rozpočet: \( 30x + 20y = 1500 \).

Podle podílu užitkových exponentů: \( \frac{x}{y} = \frac{0{,}4}{0{,}6} \cdot \frac{p_x}{p_y} \). Lepší použít Lagrange:

\( MU_x = 0{,}4 x^{-0{,}6} y^{0{,}6}, \quad MU_y = 0{,}6 x^{0{,}4} y^{-0{,}4} \).

\( \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{30}{20} = 1{,}5 \Rightarrow \frac{0{,}4}{0{,}6} \cdot \frac{y}{x} = 1{,}5 \Rightarrow \frac{2}{3} \cdot \frac{y}{x} = 1{,}5 \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{1{,}5 \cdot 3}{2} = 2{,}25 \).

Dosadíme: \( y = 2{,}25 x, \quad 30x + 20 \cdot 2{,}25 x = 1500 \Rightarrow 30x + 45x = 1500 \Rightarrow 75x = 1500 \Rightarrow x = 20 \Rightarrow y = 45 \).

Odpověď: spotřebitel koupí \(20\) X a \(45\) Y.

Řešení příkladu:

Poptávka: \( q = 1000 – 2p \Rightarrow p = \frac{1000 – q}{2}.\)

Příjem: \( R(q) = p q = \frac{1000 q – q^2}{2} = 500 q – 0{,}5 q^2.\)

Náklady: \( C(q) = 50000 + 150 q.\)

Zisk: \( Z(q) = 500 q – 0{,}5 q^2 – 150 q – 50000 = 350 q – 0{,}5 q^2 – 50000.\)

Derivace: \( Z'(q) = 350 – q \Rightarrow q = 350 \).

Odpověď: optimální množství je \(350\) jednotek.

Řešení příkladu:

Nechť \( x \) investice do \( B \), zbytek \( 400000 – x \) do \( A \).

Výnos: \( 0{,}06(400000 – x) + 0{,}09 x = 0{,}07 \cdot 400000 = 28000.\)

⇒ \( 24000 – 0{,}06 x + 0{,}09 x = 28000 \Rightarrow 24000 + 0{,}03 x = 28000 \Rightarrow 0{,}03 x = 4000 \Rightarrow x = 133333{,}33.\)

Odpověď: investovat cca \(133333\) Kč do \(B\) a zbytek do \(A\).

Řešení příkladu:

Užitková mezní míra: \( MU_x = 1, MU_y = 2 \). Cena poměr: \( \frac{1}{10} \) vs \( \frac{2}{20} = 0{,}1 \) vs \( 0{,}1 \) – stejná.

Spotřebitel kolísá, takže utratí vše libovolně. Jeden z optimálních bodů: např. \( x = 100, y = 90 \) (celkové výdaje \( 1000 + 1800 = 2800 \) – to nevyjde). Lepší zvolit hraniční: \( y = 100, x = 0 \Rightarrow \frac{2000}{20} = 100 \).

Odpověď: investuje do \(Y\), koupí \(100\) \(Y\); poté zbývá \(0\) Kč na \(X\), takže \(X = 0\).

Řešení příkladu:

Odebírá \(1000\) t od \(A\): \(1000 \cdot 50 = 50000\) Kč.

Zbytek \(1000\) t od \(B\): \(1000 \cdot 60 = 60000\) Kč.

Celkem \(110000\) Kč.

Odpověď: celkové náklady jsou \(110000\) Kč.

Řešení příkladu:

\( Q = 10 \cdot \sqrt{L} \).

Příjem: \( R = 50 \cdot 10 \sqrt{L} = 500 \sqrt{L} \).

Náklady: \( C = 5000 + 25 L \).

Zisk: \( Z(L) = 500 \sqrt{L} – 25 L – 5000 \).

Derivace: \( Z'(L) = \frac{500}{2 \sqrt{L}} – 25 = \frac{250}{\sqrt{L}} – 25 = 0 \Rightarrow \frac{250}{\sqrt{L}} = 25 \Rightarrow \sqrt{L} = 10 \Rightarrow L = 100 \).

Výstup: \( Q = 10 \cdot \sqrt{100} = 100 \).

Odpověď: optimální je zaměstnat \(100\) jednotek práce, \( Q = 100 \).

Řešení příkladu:

IRR = \(12\,\%\) > diskontní sazba \(10\,\%\) ⇒ projekt je výhodný.

NPV = –\(1\,000\,000\) + Σ \(t=1\) to \(6\) \(\left[\frac{250\,000}{(1{,}1^t)}\right]\) > 0 ⇒ potvrzuje.

Odpověď: ano, projekt je výhodný.

Řešení příklátu:

Mediánová elasticita: \( E = \frac{\Delta Q}{\Delta P} \cdot \frac{\frac{P_1+P_2}{2}}{\frac{Q_1+Q_2}{2}} \).

\( \Delta Q = -100, \quad \Delta P = 20, \quad \frac{P_1+P_2}{2} = 90, \quad \frac{Q_1+Q_2}{2} = 550.\)

\( E = \frac{-100}{20} \cdot \frac{90}{550} = -5 \cdot \frac{9}{55} = -\frac{45}{55} = -0{,}818. \)

Odpověď: elasticita ≈ \(-0{,}818\) (neelastická poptávka).

Řešení příkladu:

Návratnost investice: \( n = \frac{250\,000}{15\,000} \).

\( n = \frac{250\,000}{15\,000} = \frac{5\,000}{300} = \frac{500}{30} = \frac{50}{3} \approx 16{,}67 \).

Odpověď: investice se vrátí za přibližně \(16{,}67\) měsíce.

Řešení příkladu:

Označme počet kusů \( x \).

Příjem: \( R = 90x \).

Náklady: \( C = 120\,000 + 60x \).

Zisk: \( Z = R – C = 90x – (120\,000 + 60x) = 30x – 120\,000 \).

Chceme, aby \( Z = 30\,000 \Rightarrow 30x – 120\,000 = 30\,000 \Rightarrow 30x = 150\,000 \Rightarrow x = 5\,000 \).

Odpověď: musí prodat \(5\,000\) výrobků.

Řešení příkladu:

\( Q = 1000 – 4P \), \( Q = 600 \Rightarrow 600 = 1000 – 4P \Rightarrow 4P = 1000 – 600 = 400 \Rightarrow P = 100 \).

Odpověď: cena musí být \(100\) Kč.

Řešení příkladu:

Při ceně \(200\) Kč: \( R_1 = 200 \cdot 300 = 60000 \).

Při ceně \(180\) Kč: \( R_2 = 180 \cdot 360 = 64800 \).

\( R_2 > R_1 \Rightarrow \) vyšší příjem při nižší ceně.

Odpověď: optimální cena bude nižší než \(200\) Kč, přesná závisí na dalším vývoji poptávky.

Řešení příkladu:

Mezní náklady jsou derivací funkce nákladů: \( MC(x) = C'(x) = 0.02x + 40 \).

\( MC(500) = 0.02 \cdot 500 + 40 = 10 + 40 = 50 \).

Odpověď: mezní náklady při \(500\) jednotkách jsou \(50\) Kč.

Řešení příkladu:

Označme množství zboží A jako \( x \), B jako \( y \).

Rozpočtové omezení: \( 100x + 50y \leq 1000 \).

Rovnice rozpočtové přímky: \( 100x + 50y = 1000 \Rightarrow 2x + y = 20 \).

Možné kombinace: všechny dvojice \( (x, y) \), kde \( x, y \geq 0 \) a \( 2x + y \leq 20 \).

Např. \( x = 0 \Rightarrow y = 20 \), \( x = 5 \Rightarrow y = 10 \), \( x = 10 \Rightarrow y = 0 \).

Odpověď: spotřebitel může nakoupit kombinace, které splňují \( 2x + y \leq 20 \).

Řešení příkladu:

Změna nákladů: \( \Delta C = 70000 – 60000 = 10000 \).

Změna množství: \( \Delta Q = 250 – 200 = 50 \).

Průměrné přírůstkové náklady: \( \frac{\Delta C}{\Delta Q} = \frac{10000}{50} = 200 \).

Odpověď: \(200\) Kč na jednotku.

Řešení příkladu:

Původní marže: \( \frac{400000 – 300000}{400000} = \frac{100000}{400000} = 0.25 = 25\% \).

Nová marže: \( \frac{520000 – 390000}{520000} = \frac{130000}{520000} = 0.25 = 25\% \).

Odpověď: marže se nezměnila, zůstává \(25\%\).

Řešení příkladu:

Nejprve si definujeme klíčové veličiny. Náklady \( C(x) \) vyjadřují celkové náklady na výrobu \( x \) jednotek, kde \( 5000 \) Kč jsou fixní náklady, které musíme zaplatit bez ohledu na výrobu, \( 20x \) jsou variabilní náklady přímo úměrné počtu jednotek a \( 0{,}1x^2 \) představuje rostoucí variabilní náklady kvůli například zvýšené náročnosti výroby nad určitou hranici.

Tržní cena za jednotku je konstantní, \( p = 50 \) Kč. Celkový příjem firmy při prodeji \( x \) jednotek je tedy lineární funkce: \( R(x) = p \cdot x = 50x \).

Funkce zisku \( Z(x) \) se počítá jako rozdíl příjmů a nákladů:

\( Z(x) = R(x) – C(x) = 50x – (5000 + 20x + 0{,}1x^2) \).

Upravme tuto rovnici:

\( Z(x) = 50x – 5000 – 20x – 0{,}1x^2 = -0{,}1x^2 + 30x – 5000 \).

Vidíme, že \( Z(x) \) je kvadratická funkce s koeficientem u \( x^2 \) záporným, což znamená, že graf funkce má tvar obrácené paraboly a má tedy maximum.

Maximum kvadratické funkce \( ax^2 + bx + c \) je v bodě \( x = -\frac{b}{2a} \). V našem případě je \( a = -0{,}1 \), \( b = 30 \).

Dosadíme do vzorce:

\( x = -\frac{30}{2 \cdot (-0{,}1)} = -\frac{30}{-0{,}2} = 150 \).

Výrobou \( 150 \) jednotek tedy dosáhneme maximálního zisku.

Pro úplnost ověříme, že tato hodnota dává maximum, pomocí druhé derivace:

\( Z'(x) = -0{,}2x + 30 \), takže \( Z“(x) = -0{,}2 \), což je záporné, potvrzující, že jde o maximum.

Odpověď: Firma maximalizuje zisk při výrobě \( 150 \) jednotek.

Řešení příkladu:

Nejdříve si ujasníme, co znamená očekávaný výnos. Očekávaný výnos (střední hodnota) je vážený průměr všech možných výsledků, kde váhy jsou pravděpodobnosti těchto výsledků.

U první investice máme jistý výnos \( 5 \% \) ročně, tedy očekávaný výnos \( E_1 = 5 \% \).

U druhé investice máme dvě možné situace:

• S pravděpodobností \( 60 \% \) (\( 0{,}6 \)) výnos \( 12 \% \).
• S pravděpodobností \( 40 \% \) (\( 0{,}4 \)) ztrátu \( 4 \% \) (tedy výnos \(-4 \%\)).

Vypočítáme očekávaný výnos druhé investice:

\( E_2 = 0{,}6 \cdot 12\% + 0{,}4 \cdot (-4\%) = 7{,}2\% – 1{,}6\% = 5{,}6\% \).

Porovnání:

\( E_2 = 5{,}6\% > E_1 = 5\% \Rightarrow \) druhá investice má vyšší očekávaný výnos.

Nicméně je důležité také zohlednit riziko, protože druhá investice má možnost ztráty. Tento příklad nám ale pouze určuje, která investice má vyšší očekávaný výnos.

Odpověď: Druhá investice má vyšší očekávaný výnos (\( 5{,}6 \% \) ročně), a proto je z tohoto hlediska výhodnější.

Řešení příkladu:

Nejprve určíme výkon dělníka v jednotlivých časových úsecích, vždy s ohledem na produktivitu a základní výkon \( 10 \) výrobků za hodinu při \( 100 \% \).

Prvních \( 4 \) hodin je produktivita \( 100 \% \), tedy za hodinu vyrobí \( 10 \) výrobků. Celkem tedy:

\( 4 \times 10 = 40 \) výrobků.

Dále následují \( 2 \) hodiny, kdy produktivita klesá na \( 70 \% \), což znamená, že za hodinu vyrobí \( 0{,}7 \times 10 = 7 \) výrobků. Za \( 2 \) hodiny tedy:

\( 2 \times 7 = 14 \) výrobků.

Poslední \( 2 \) hodiny má produktivitu \( 40 \% \), tj. \( 0{,}4 \times 10 = 4 \) výrobky za hodinu, což dává celkem:

\( 2 \times 4 = 8 \) výrobků.

Sečteme všechny výrobky za celý den:

\( 40 + 14 + 8 = 62 \) výrobků.

Průměrný hodinový výkon spočítáme vydělením celkového počtu výrobků celkovým počtem pracovních hodin:

\( \frac{62}{8} = 7{,}75 \) výrobků za hodinu.

Tento průměrný výkon ukazuje, že i přes pokles produktivity v druhé polovině směny dělník stále vyrábí průměrně \( 7{,}75 \) výrobků za hodinu.

Odpověď: Průměrný výkon dělníka za den je \( 7{,}75 \) výrobků za hodinu.

Řešení příkladu:

Cenová elasticita poptávky \( E_d \) je definována jako poměr relativní změny poptávaného množství k relativní změně ceny:

\( E_d = \frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\Delta P}{P}} \), kde \( \Delta Q = Q_2 – Q_1 \), \( \Delta P = P_2 – P_1 \).

Máme \( P_1 = 200 \) Kč, \( P_2 = 160 \) Kč, \( Q_1 = 400 \), \( Q_2 = 520 \).

Vypočteme relativní změny:

\( \Delta Q = 520 – 400 = 120 \), relativní změna poptávky je \( \frac{120}{400} = 0{,}3 \) (tedy \( 30\% \) růst).

\( \Delta P = 160 – 200 = -40 \), relativní změna ceny je \( \frac{-40}{200} = -0{,}2 \) (tedy \( 20\% \) pokles).

Dosadíme do vzorce:

\( E_d = \frac{0{,}3}{-0{,}2} = -1{,}5 \).

Znaménko minus značí, že poptávka klesá s růstem ceny, což je normální. Absolutní hodnota elasticity je \( 1{,}5 \), což znamená, že poptávka je elastická.

Odpověď: Cenová elasticita poptávky je \( -1{,}5 \), což znamená, že poptávka je elastická.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme příjem z prodeje každého výrobku zvlášť:

\( R_A = 100 \times 500 = 50\,000 \) Kč,

\( R_B = 150 \times 300 = 45\,000 \) Kč.

Celkový příjem je součet:

\( R = R_A + R_B = 50\,000 + 45\,000 = 95\,000 \) Kč.

Dále spočítáme celkové náklady na výrobu každého výrobku:

\( C_A = 70 \times 500 = 35\,000 \) Kč,

\( C_B = 90 \times 300 = 27\,000 \) Kč.

Celkové náklady jsou tedy:

\( C = C_A + C_B = 35\,000 + 27\,000 = 62\,000 \) Kč.

Zisk firmy je rozdíl mezi příjmem a náklady:

\( Z = R – C = 95\,000 – 62\,000 = 33\,000 \) Kč.

Odpověď: Celkový zisk firmy je \( 33\,000 \) Kč.

Řešení příkladu:

Pro složené úročení platí vzorec:

\( V = P (1 + r)^t \), kde

• \( V \) je konečná hodnota investice,
• \( P = 20\,000 \) Kč je počáteční kapitál,
• \( r = 0{,}06 \) je roční úroková sazba,
• \( t = 5 \) let je doba investice.

Dosadíme do vzorce:

\( V = 20\,000 \times (1 + 0{,}06)^5 = 20\,000 \times (1{,}06)^5 \).

Nejprve spočítáme \( (1{,}06)^5 \):

\( (1{,}06)^5 = 1{,}06 \times 1{,}06 \times 1{,}06 \times 1{,}06 \times 1{,}06 \approx 1{,}3382 \).

Vypočítáme konečnou hodnotu:

\( V = 20\,000 \times 1{,}3382 = 26\,764 \) Kč (zaokrouhleno).

Odpověď: Hodnota investice za \(5\) let bude přibližně \(26\,764\) Kč.

Řešení příkladu:

Označme původní cenu \( P \) a původní poptávku \( Q \). Původní tržní příjem je tedy:

\( R = P \times Q \).

Po zvýšení ceny o \(10\,\%\) je nová cena:

\( P_{new} = P \times 1{,}10 \).

Po poklesu poptávky o \(8\,\%\) je nové množství:

\( Q_{new} = Q \times 0{,}92 \).

Nový tržní příjem je tedy:

\( R_{new} = P_{new} \times Q_{new} = P \times 1{,}10 \times Q \times 0{,}92 = P \times Q \times 1{,}10 \times 0{,}92 = R \times 1{,}012 \).

Porovnáním původního a nového tržního příjmu vidíme, že nový tržní příjem je o \(1{,}2\,\%\) vyšší než původní.

Odpověď: Celkový tržní příjem vzroste přibližně o \(1{,}2\,\%\).

Řešení příkladu:

Nejdříve definujeme příjem \( R(x) \) jako cenu krát množství:

\( R(x) = p(x) \cdot x = (50 – 0{,}5x) \cdot x = 50x – 0{,}5x^2 \).

Funkce zisku je rozdíl příjmů a nákladů:

\( Z(x) = R(x) – C(x) = (50x – 0{,}5x^2) – (1000 + 5x + 0{,}2x^2) = 50x – 0{,}5x^2 – 1000 – 5x – 0{,}2x^2 \).

Upravíme výraz:

\( Z(x) = (50x – 5x) + (-0{,}5x^2 – 0{,}2x^2) – 1000 = 45x – 0{,}7x^2 – 1000 \).

Pro nalezení maxima zisku spočítáme první derivaci a položíme ji rovnu nule:

\( Z'(x) = 45 – 1{,}4x = 0 \Rightarrow 1{,}4x = 45 \Rightarrow x = \frac{45}{1{,}4} \approx 32{,}14 \).

Protože \( Z“(x) = -1{,}4 < 0 \), jedná se o maximum.

Odpověď: Zisk bude maximalizován při výrobě přibližně \(32\) jednotek.

Řešení příkladu:

Označíme množství zakoupeného zboží \( x \) pro \(A\) a \( y \) pro \(B\). Cena zboží \(A\) je \(20\) Kč, cena zboží \(B\) \(25\) Kč. Rozpočet je \(1000\) Kč.

Rovnice rozpočtu je:

\( 20x + 25y = 1000 \).

Vyjádříme \( y \):

\( 25y = 1000 – 20x \Rightarrow y = \frac{1000 – 20x}{25} = 40 – 0{,}8x \).

Podmínky, aby \( x \) a \( y \) byly nezáporné:

\( x \geq 0, \quad y \geq 0 \Rightarrow 40 – 0{,}8x \geq 0 \Rightarrow 0{,}8x \leq 40 \Rightarrow x \leq 50 \).

Celkově platí \( 0 \leq x \leq 50 \) a \( y = 40 – 0{,}8x \).

Odpověď: Kombinace zboží \( (x, y) \) jsou všechny dvojice s \( x \) mezi \(0\) a \(50\) a \( y = 40 – 0{,}8x \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme příjem z prodeje produktu \(A\)a \(B\) zvlášť:

\( R_A = 200 \times 400 = 80\,000 \) Kč, \( R_B = 300 \times 300 = 90\,000 \) Kč.

Celkový příjem \( R = R_A + R_B = 80\,000 + 90\,000 = 170\,000 \) Kč.

Dále spočítáme variabilní náklady na oba produkty:

\( C_{var,A} = 120 \times 400 = 48\,000 \) Kč, \( C_{var,B} = 180 \times 300 = 54\,000 \) Kč.

Celkové variabilní náklady \( C_{var} = 48\,000 + 54\,000 = 102\,000 \) Kč.

Celkové náklady jsou součet fixních a variabilních nákladů:

\( C = 50\,000 + 102\,000 = 152\,000 \) Kč.

Zisk je rozdíl příjmů a nákladů:

\( Z = R – C = 170\,000 – 152\,000 = 18\,000 \) Kč.

Odpověď: Měsíční zisk firmy je \(18\,000\) Kč.

Řešení příkladu:

Bod zvratu nastává, když příjmy \(R\) jsou rovny nákladům \(C\). Označíme \(x\) počet prodaných kusů:

\(R = 250x\), \(C = 40\,000 + 150x\).

Podmínka pro bod zvratu je \(R = C \Rightarrow 250x = 40\,000 + 150x\).

Odečteme \(150x\) od obou stran: \(250x – 150x = 40\,000 \Rightarrow 100x = 40\,000\).

Dělíme obě strany \(100\): \(x = \frac{40\,000}{100} = 400\).

Odpověď: Firma musí prodat \(400\) kusů, aby dosáhla bodu zvratu.

Řešení příkladu:

Elasticita poptávky je definována jako poměr relativní změny množství k relativní změně ceny:

\(E = \frac{\Delta Q / Q_{prv}}{\Delta P / P_{prv}}\), kde \(Q_{prv} = 200\), \(Q_{nov} = 300\), \(P_{prv} = 500\), \(P_{nov} = 400\).

Vypočítáme změny:

\(\Delta Q = 300 – 200 = 100\), relativní změna množství \(\frac{100}{200} = 0,5\).

\(\Delta P = 400 – 500 = -100\), relativní změna ceny \(\frac{-100}{500} = -0,2\).

Elasticita je:

\(E = \frac{0,5}{-0,2} = -2,5\).

Znaménko minus znamená, že cena a poptávka se pohybují opačným směrem, což je standardní případ. Absolutní hodnota elasticity je \(2,5\), což je větší než \(1\), tedy poptávka je elastická.

Odpověď: Cenová elasticita poptávky je přibližně \(-2,5\), poptávka je elastická.

Řešení příkladu:

Cena produktu je \(P(x) = 600 – 2x\), kde \(x\) je počet prodaných kusů.

Příjem z prodeje je \(R(x) = P(x) \cdot x = (600 – 2x) x = 600x – 2x^2\).

Náklady jsou \(C(x) = 20\,000 + 200x\) (fixní + variabilní).

Zisk je rozdíl příjmů a nákladů:

\(Z(x) = R(x) – C(x) = 600x – 2x^2 – 20\,000 – 200x = (600x – 200x) – 2x^2 – 20\,000 = 400x – 2x^2 – 20\,000\).

Abychom našli maximum zisku, derivujeme funkci zisku podle \(x\) a položíme derivaci rovnou nule:

\(Z'(x) = 400 – 4x\).

Položíme \(Z'(x) = 0 \Rightarrow 400 – 4x = 0 \Rightarrow 4x = 400 \Rightarrow x = 100\).

Druhá derivace je \(Z“(x) = -4 < 0\), což znamená, že funkce má maximum pro \(x = 100\).

Odpověď: Firma maximalizuje zisk při výrobě a prodeji \(100\) kusů produktu.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme současný zisk:

Fixní náklady původní: \(F = F_0\) (neznáme přesnou hodnotu, proto označíme \(F_0\)), variabilní náklady: \(C_{var,0} = 120 \times 600 = 72\,000\) Kč.

Příjem: \(R = 250 \times 600 = 150\,000\) Kč.

Současný zisk: \(Z_0 = R – (F_0 + 72\,000) = 150\,000 – F_0 – 72\,000 = 78\,000 – F_0\).

Po investici:

Fixní náklady: \(F_1 = F_0 + 10\,000\).

Variabilní náklady: \(C_{var,1} = 90 \times 600 = 54\,000\) Kč.

Zisk po investici: \(Z_1 = R – (F_1 + C_{var,1}) = 150\,000 – (F_0 + 10\,000 + 54\,000) = 150\,000 – F_0 – 64\,000 = 86\,000 – F_0\).

Změna zisku je tedy:

\(\Delta Z = Z_1 – Z_0 = (86\,000 – F_0) – (78\,000 – F_0) = 8\,000\) Kč.

Odpověď: Zisk se po investici zvýší o \(8\,000\) Kč.

Řešení příkladu:

Máme funkci poptávky \(Q = 1000 – 5P\), chceme najít cenu \(P\), která maximalizuje zisk.

Pro výpočet zisku potřebujeme zjistit příjmy a náklady jako funkce ceny.

Příjem je \(R = P \times Q = P (1000 – 5P) = 1000P – 5P^2\).

Náklady jsou \(C = 20\,000 + 100Q = 20\,000 + 100(1000 – 5P) = 20\,000 + 100\,000 – 500P = 120\,000 – 500P\).

Zisk je:

\(Z = R – C = (1000P – 5P^2) – (120\,000 – 500P) = 1000P – 5P^2 – 120\,000 + 500P = 1500P – 5P^2 – 120\,000\).

Derivujeme zisk podle \(P\) a položíme derivaci rovnou nule pro maximum:

\(Z'(P) = 1500 – 10P = 0 \Rightarrow 10P = 1500 \Rightarrow P = 150\).

Druhá derivace je \(Z“(P) = -10 < 0\), což potvrzuje maximum.

Odpověď: Cena, která maximalizuje zisk, je \(150\) Kč.

Řešení příkladu:

Rovnováha na trhu nastane, když poptávka se rovná nabídce:

\( Q_D = Q_S \Rightarrow 500 – 2P = 3P – 100 \).

Přesuneme členy s \( P \) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\( 500 + 100 = 3P + 2P \Rightarrow 600 = 5P \Rightarrow P = \frac{600}{5} = 120 \).

Dosadíme zpět do poptávkové funkce pro množství:

\( Q = 500 – 2 \times 120 = 500 – 240 = 260 \).

Odpověď: Rovnovážná cena je \(120\) Kč a rovnovážné množství je \(260\) kusů.

Řešení příkladu:

Současný zisk:

Příjem: \( R_0 = 300 \times 1000 = 300000 \) Kč.

Náklady: \( C_0 = 60000 + 180 \times 1000 = 60000 + 180000 = 240000 \) Kč.

Zisk: \( Z_0 = 300000 – 240000 = 60000 \) Kč.

Nový zisk:

Příjem: \( R_1 = 280 \times 1500 = 420000 \) Kč.

Náklady: \( C_1 = 60000 + 190 \times 1500 = 60000 + 285000 = 345000 \) Kč.

Zisk: \( Z_1 = 420000 – 345000 = 75000 \) Kč.

Změna zisku:

\( \Delta Z = Z_1 – Z_0 = 75000 – 60000 = 15000 \) Kč.

Odpověď: Zisk se zvýší o \(15000\) Kč.

Řešení příkladu:

Nechť \( x \) je počet jednotek výroby, při kterých je investice rentabilní.

Aktuální náklady jsou \( C_0 = 50000 + 100x \).

Nové náklady po investici jsou \( C_1 = (50000 + 15000) + 0.8 \times 100 x = 65000 + 80x \).

Investice je rentabilní, pokud \( C_1 \leq C_0 \Rightarrow 65000 + 80x \leq 50000 + 100x \).

Převedeme členy:

\( 65000 – 50000 \leq 100x – 80x \Rightarrow 15000 \leq 20x \Rightarrow x \geq \frac{15000}{20} = 750 \).

Odpověď: Investice je rentabilní, pokud bude vyrobeno alespoň \( 750 \) jednotek.

Řešení příkladu:

Bod zvratu nastává, když je zisk nulový, tedy \( Z = 0 \Rightarrow R = C \).

Příjem \( R = P \times Q = P (1000 – 3P) = 1000P – 3P^2 \).

Náklady \( C = 30000 + 150Q = 30000 + 150 (1000 – 3P) = 30000 + 150000 – 450P = 180000 – 450P \).

Podmínka bodu zvratu:

\( 1000P – 3P^2 = 180000 – 450P \).

Převedeme na jednu stranu:

\( 1000P – 3P^2 + 450P – 180000 = 0 \Rightarrow -3P^2 + 1450P – 180000 = 0 \).

Vydělíme rovnici -1 pro snazší výpočet:

\( 3P^2 – 1450P + 180000 = 0 \).

Pomocí kvadratické rovnice najdeme \( P \):

\( P = \frac{1450 \pm \sqrt{1450^2 – 4 \times 3 \times 180000}}{2 \times 3} \).

Vypočteme diskriminant:

\( \Delta = 1450^2 – 2160000 = 2102500 – 2160000 = -57500 \).

Protože diskriminant je záporný, reálné řešení neexistuje, což znamená, že firma nemůže dosáhnout nulového zisku při žádné reálné ceně.

Řešení příkladu:

Nejprve si zapíšeme vztahy:

Poptávka: \( Q = 1200 – 5P \Rightarrow P = \frac{1200 – Q}{5} \).

Celkové náklady jsou složeny z fixních a variabilních:

\( C = 40000 + 200Q \).

Celkové příjmy jsou:

\( R = P \cdot Q = \frac{1200 – Q}{5} \cdot Q = \frac{1200Q – Q^2}{5} = 240Q – \frac{Q^2}{5} \).

Zisk definujeme jako rozdíl příjmů a nákladů:

\( Z = R – C = 240Q – \frac{Q^2}{5} – (40000 + 200Q) = 240Q – \frac{Q^2}{5} – 40000 – 200Q = 40Q – \frac{Q^2}{5} – 40000 \).

Pro maximalizaci zisku derivujeme \( Z \) podle \( Q \) a položíme derivaci rovnu nule:

\( \frac{dZ}{dQ} = 40 – \frac{2Q}{5} = 0 \Rightarrow 40 = \frac{2Q}{5} \Rightarrow 40 \times 5 = 2Q \Rightarrow 200 = 2Q \Rightarrow Q = 100 \).

Druhý derivát je:

\( \frac{d^2Z}{dQ^2} = -\frac{2}{5} < 0 \), což znamená, že se jedná o maximum.

Dosadíme zpět \( Q = 100 \) pro výpočet ceny:

\( P = \frac{1200 – 100}{5} = \frac{1100}{5} = 220 \) Kč.

Maximální zisk spočítáme jako:

\( Z = 40 \times 100 – \frac{100^2}{5} – 40000 = 4000 – 2000 – 40000 = -38000 \) Kč.

Zisk je záporný, což znamená, že firma ani při maximalizaci zisku nevydělá, ale prodělá.

Řešení příkladu:

Poptávková funkce je \( Q = 800 – 4P \), proto můžeme vyjádřit cenu jako funkci množství:

\( P = \frac{800 – Q}{4} \).

Celkové náklady jsou:

\( C = 25\,000 + 120Q \).

Celkový příjem je:

\( R = P \cdot Q = \frac{800 – Q}{4} \cdot Q = 200Q – \frac{Q^2}{4} \).

Zisk je:

\( Z = R – C = 200Q – \frac{Q^2}{4} – 25\,000 – 120Q = 80Q – \frac{Q^2}{4} – 25\,000 \).

Najdeme maximum zisku derivací podle \( Q \):

\( \frac{dZ}{dQ} = 80 – \frac{2Q}{4} = 80 – \frac{Q}{2} = 0 \Rightarrow \frac{Q}{2} = 80 \Rightarrow Q = 160 \).

Druhý derivát je záporný, což potvrzuje maximum:

\( \frac{d^2Z}{dQ^2} = -\frac{1}{2} < 0 \).

Pro zjištění ceny při tomto množství dosadíme \( Q = 160 \):

\( P = \frac{800 – 160}{4} = \frac{640}{4} = 160 \) Kč.

Elasticita poptávky je definována jako:

\( E = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} \).

Derivace \( Q \) podle \( P \) je konstantní:

\( \frac{dQ}{dP} = -4 \).

Dosadíme:

\( E = (-4) \cdot \frac{160}{160} = -4 \).

Elasticita poptávky je \(-4\), což znamená, že poptávka je elastická, a změna ceny výrazně ovlivňuje poptávané množství.

Řešení příkladu:

Bod zvratu nastává, když příjmy se rovnají nákladům:

\( R = C \Rightarrow P \cdot Q = \text{fixní náklady} + \text{variabilní náklady} \cdot Q \).

Dosadíme hodnoty:

\( 150 Q = 50\,000 + 70 Q \Rightarrow 150 Q – 70 Q = 50\,000 \Rightarrow 80 Q = 50\,000 \Rightarrow Q = \frac{50\,000}{80} = 625 \).

Firma musí tedy prodat \( 625 \) jednotek, aby dosáhla nulového zisku.

Tento výpočet je zásadní pro rozhodování managementu o minimální výrobě či prodeji, která zajistí pokrytí nákladů a zabrání ztrátám.

Řešení příkladu:

Nejprve si vyjádříme cenu \( P \) jako funkci množství \( Q \) z rovnice poptávky:

\( Q = 1500 – 3P \Rightarrow 3P = 1500 – Q \Rightarrow P = \frac{1500 – Q}{3} \).

Celkové příjmy firmy jsou:

\( R = P \cdot Q = \frac{1500 – Q}{3} \cdot Q = \frac{1500Q – Q^2}{3} = 500Q – \frac{Q^2}{3} \).

Celkové náklady zahrnují fixní a variabilní složku:

\( C = 60\,000 + 250Q \).

Zisk \( Z \) definujeme jako rozdíl příjmů a nákladů:

\( Z = R – C = 500Q – \frac{Q^2}{3} – 60\,000 – 250Q = 250Q – \frac{Q^2}{3} – 60\,000 \).

Pro nalezení maxima zisku derivujeme \( Z \) podle \( Q \):

\( \frac{dZ}{dQ} = 250 – \frac{2Q}{3} \).

Položíme derivaci rovnu nule, abychom našli kritický bod:

\( 250 – \frac{2Q}{3} = 0 \Rightarrow \frac{2Q}{3} = 250 \Rightarrow 2Q = 750 \Rightarrow Q = 375 \).

Pro ověření, že se jedná o maximum, spočítáme druhou derivaci:

\( \frac{d^2Z}{dQ^2} = -\frac{2}{3} < 0 \), což potvrzuje maximum.

Určíme cenu odpovídající množství \( Q = 375 \):

\( P = \frac{1500 – 375}{3} = \frac{1125}{3} = 375 \) Kč.

Vypočítáme maximální zisk:

\( Z = 250 \cdot 375 – \frac{375^2}{3} – 60\,000 = 93\,750 – \frac{140\,625}{3} – 60\,000 = 93\,750 – 46\,875 – 60\,000 = -13\,125 \) Kč.

Záporný zisk ukazuje, že při těchto nákladech a poptávce firma nevydělá.

Pro lepší představu spočítáme zisk při nižším množství, např. \( Q = 200 \):

\( Z = 250 \cdot 200 – \frac{200^2}{3} – 60\,000 = 50\,000 – \frac{40\,000}{3} – 60\,000 = 50\,000 – 13\,333,33 – 60\,000 = -23\,333,33 \) Kč.

Tento pokles je ještě výraznější, což potvrzuje, že firma by měla zvážit snížení nákladů nebo zvýšení ceny.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme množství prodané při ceně \(180\) Kč:

\( Q_1 = 1000 – 4 \cdot 180 = 1000 – 720 = 280 \) jednotek.

Poté spočítáme příjmy a náklady pro tuto cenu:

Příjmy: \( R_1 = 180 \cdot 280 = 50\,400 \) Kč.

Náklady: \( C_1 = 35\,000 + 100 \cdot 280 = 35\,000 + 28\,000 = 63\,000 \) Kč.

Zisk: \( Z_1 = 50\,400 – 63\,000 = -12\,600 \) Kč (ztráta).

Nyní spočítáme množství při ceně \(220\) Kč:

\( Q_2 = 1000 – 4 \cdot 220 = 1000 – 880 = 120 \) jednotek.

Příjmy při této ceně:

\( R_2 = 220 \cdot 120 = 26\,400 \) Kč.

Náklady:

\( C_2 = 35\,000 + 100 \cdot 120 = 35\,000 + 12\,000 = 47\,000 \) Kč.

Zisk:

\( Z_2 = 26\,400 – 47\,000 = -20\,600 \) Kč (ztráta ještě větší).

Porovnáním zisků vidíme, že zvýšení ceny vedlo ke snížení prodaného množství natolik, že se zisk snížil ztrátou \(12\,600\) na \(20\,600\) Kč.

Závěr: Zvýšení ceny vedlo k výraznému poklesu tržeb a zhoršení výsledku.

Řešení příkladu:

Chceme najít minimální \(Q\), pro které platí:

\( Z = R – C \geq 60\,000 \).

Příjmy jsou:

\( R = 300Q \).

Náklady jsou:

\( C = 120\,000 + 150Q \).

Zisk tedy:

\( Z = 300Q – (120\,000 + 150Q) = 150Q – 120\,000 \geq 60\,000 \).

Vyřešíme nerovnici:

\( 150Q \geq 60\,000 + 120\,000 = 180\,000 \Rightarrow Q \geq \frac{180\,000}{150} = 1\,200 \).

Firma musí prodat alespoň \(1\,200\) jednotek, aby dosáhla požadovaného zisku \(60\,000\) Kč.

Řešení příkladu:

Poptávková funkce je dána cenou jako funkcí množství \( Q \):

\( P = 500 – 2Q \).

Celkové příjmy:

\( R = P \cdot Q = (500 – 2Q)Q = 500Q – 2Q^2 \).

Celkové náklady:

\( C = 80\,000 + 150Q \).

Zisk je rozdíl příjmů a nákladů:

\( Z = R – C = 500Q – 2Q^2 – 80\,000 – 150Q = 350Q – 2Q^2 – 80\,000 \).

Najdeme maximum zisku derivací podle \( Q \):

\( \frac{dZ}{dQ} = 350 – 4Q \).

Položíme derivaci rovnu nule:

\( 350 – 4Q = 0 \Rightarrow 4Q = 350 \Rightarrow Q = 87{,}5 \).

Druhý derivát:

\( \frac{d^2Z}{dQ^2} = -4 < 0 \), maximum potvrzeno.

Určíme cenu:

\( P = 500 – 2 \cdot 87{,}5 = 500 – 175 = 325 \) Kč.

Spočítáme maximální zisk:

\( Z = 350 \cdot 87{,}5 – 2 \cdot (87{,}5)^2 – 80\,000 = 30\,625 – 15\,312{,}5 – 80\,000 = -64\,687{,}5 \) Kč.

Záporný zisk znamená, že firma má v této podobě ztrátu. Je potřeba přehodnotit náklady nebo cenu.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme příjmy při ceně \(400\) Kč a množství \(400\):

\( R = 400 \cdot 400 = 160\,000 \) Kč.

Náklady jsou fixní plus variabilní:

\( C = 50\,000 + 300 \cdot 400 = 50\,000 + 120\,000 = 170\,000 \) Kč.

Zisk:

\( Z = R – C = 160\,000 – 170\,000 = -10\,000 \) Kč (ztráta).

Pro nulový zisk platí:

\( Z = 0 \Rightarrow R = C \Rightarrow P \cdot 400 = 50\,000 + 300 \cdot 400 = 50\,000 + 120\,000 = 170\,000 \).

Vyjádříme maximální cenu \( P \):

\( P = \frac{170\,000}{400} = 425 \) Kč.

Firma musí cenu zvýšit alespoň na \(425\) Kč, aby pokryla náklady a dosáhla nulového zisku.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme zisk před investicí:

Předpokládejme fixní náklady \( F \), které zatím neznáme, ale před investicí víme, že jsou \( F \).

Zisk před investicí:

\( Z_1 = P \cdot Q – (F + v_1 \cdot Q) = 250 \cdot 1000 – (F + 120 \cdot 1000) = 250\,000 – F – 120\,000 = 130\,000 – F \).

Po investici se fixní náklady zvýší o \(40\,000\), variabilní klesnou na \(80\) Kč:

\( Z_2 = 250 \cdot 1000 – (F + 40\,000 + 80 \cdot 1000) = 250\,000 – F – 40\,000 – 80\,000 = 130\,000 – F \).

Porovnáním vidíme, že zisk je stejný: \( Z_1 = Z_2 = 130\,000 – F \).

To znamená, že při prodeji \(1\,000\) jednotek se investice nevyplatí, protože zisk nezmění.

Pokud by firma prodala více než \(1\,000\) kusů, investice by byla výhodná, protože variabilní náklady klesají.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme zisk při \(300\) jednotkách:

Příjmy: \( R_1 = 350 \cdot 300 = 105\,000 \) Kč.

Náklady: \( C_1 = 100\,000 + 200 \cdot 300 = 100\,000 + 60\,000 = 160\,000 \) Kč.

Zisk:

\( Z_1 = 105\,000 – 160\,000 = -55\,000 \) Kč (ztráta).

Při \(600\) jednotkách:

Příjmy: \( R_2 = 350 \cdot 600 = 210\,000 \) Kč.

Náklady: \( C_2 = 100\,000 + 200 \cdot 600 = 100\,000 + 120\,000 = 220\,000 \) Kč.

Zisk:

\( Z_2 = 210\,000 – 220\,000 = -10\,000 \) Kč (ztráta, ale menší).

Zvýšení produkce snížilo ztrátu o \(45\,000\) Kč, i když stále není dosažen zisk.

Řešení příkladu:

Funkce poptávky je \( Q = 1\,000 – 2P \).

Vyjádříme cenu jako funkci množství:

\( Q = 1\,000 – 2P \Rightarrow 2P = 1\,000 – Q \Rightarrow P = \frac{1\,000 – Q}{2} \).

Celkové příjmy jsou:

\( R = P \cdot Q = \frac{1\,000 – Q}{2} \cdot Q = \frac{1\,000Q – Q^2}{2} = 500Q – \frac{Q^2}{2} \).

Celkové náklady:

\( C = 200\,000 + 300Q \).

Zisk:

\( Z = R – C = 500Q – \frac{Q^2}{2} – 200\,000 – 300Q = 200Q – \frac{Q^2}{2} – 200\,000 \).

Najdeme maximum zisku derivací podle \( Q \):

\( \frac{dZ}{dQ} = 200 – Q \).

Položíme derivaci rovnu nule:

\( 200 – Q = 0 \Rightarrow Q = 200 \).

Druhý derivát:

\( \frac{d^2Z}{dQ^2} = -1 < 0 \), maximum potvrzeno.

Určíme cenu:

\( P = \frac{1\,000 – 200}{2} = \frac{800}{2} = 400 \) Kč.

Spočítáme maximální zisk:

\( Z = 200 \cdot 200 – \frac{200^2}{2} – 200\,000 = 40\,000 – 20\,000 – 200\,000 = -180\,000 \) Kč.

Zisk je záporný, firma prodělává i při této optimalizaci.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme příjmy od každého produktu:

Produkt \( A \): \( R_A = 100 \cdot 500 = 50\,000 \) Kč.

Produkt \( B \): \( R_B = 150 \cdot 300 = 45\,000 \) Kč.

Celkové příjmy:

\( R = R_A + R_B = 50\,000 + 45\,000 = 95\,000 \) Kč.

Variabilní náklady:

Produkt \( A \): \( C_{vA} = 60 \cdot 500 = 30\,000 \) Kč.

Produkt \( B \): \( C_{vB} = 90 \cdot 300 = 27\,000 \) Kč.

Celkové variabilní náklady:

\( C_v = 30\,000 + 27\,000 = 57\,000 \) Kč.

Fixní náklady:

\( C_f = 50\,000 \) Kč.

Celkové náklady:

\( C = C_f + C_v = 50\,000 + 57\,000 = 107\,000 \) Kč.

Zisk:

\( Z = R – C = 95\,000 – 107\,000 = -12\,000 \) Kč (ztráta).

Řešení příkladu:

Chceme najít \( Q \), pro které platí:

\( Z = R – C = (600Q) – (250\,000 + 400Q) = 200Q – 250\,000 \geq 100\,000 \).

Vyřešíme nerovnici:

\( 200Q \geq 100\,000 + 250\,000 = 350\,000 \Rightarrow Q \geq \frac{350\,000}{200} = 1\,750 \).

Firma musí prodat minimálně \( 1\,750 \) kusů, aby dosáhla zisku \( 100\,000 \) Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve si definujeme potřebné veličiny. Označíme \( x \) počet prodaných kusů, který je dán jako \( 1\,500 \) kusů. Cena za jeden kus je \( p = 280 \) Kč. Fixní náklady jsou \( F = 90\,000 \) Kč a variabilní náklady na jeden kus jsou \( v = 160 \) Kč.

Celkové příjmy z prodeje vypočteme jako součin ceny a počtu kusů:

\( R = p \cdot x = 280 \cdot 1\,500 = 420\,000 \) Kč.

Celkové náklady jsou součtem fixních a variabilních nákladů:

\( C = F + v \cdot x = 90\,000 + 160 \cdot 1\,500 = 90\,000 + 240\,000 = 330\,000 \) Kč.

Zisk je rozdíl mezi příjmy a náklady:

\( Z = R – C = 420\,000 – 330\,000 = 90\,000 \) Kč.

Dále spočítáme bod zvratu, tedy množství kusů \( x_0 \), při kterém se příjmy rovnají nákladům, tedy zisk je nulový:

\( p \cdot x_0 = F + v \cdot x_0 \Rightarrow 280x_0 = 90\,000 + 160x_0 \Rightarrow 280x_0 – 160x_0 = 90\,000 \Rightarrow 120x_0 = 90\,000 \Rightarrow x_0 = \frac{90\,000}{120} = 750 \).

To znamená, že firma musí prodat alespoň \( 750 \) kusů, aby nepřišla na své.

Odpověď: Měsíční zisk při prodeji \( 1\,500 \) kusů je \( 90\,000 \) Kč. Bod zvratu je \( 750 \) kusů.

Řešení příkladu:

Nechť \( Q \) je počet prodaných komponentů.

Příjmy: \( R = 50Q \).

Náklady: \( C = 100\,000 + 30Q \).

Zisk je dán vztahem:

\( Z = R – C = 50Q – (100\,000 + 30Q) = 20Q – 100\,000 \).

Chceme, aby zisk byl alespoň \( 40\,000 \) Kč:

\( 20Q – 100\,000 \geq 40\,000 \Rightarrow 20Q \geq 140\,000 \Rightarrow Q \geq \frac{140\,000}{20} = 7\,000 \).

Firma musí prodat minimálně \( 7\,000 \) komponentů, aby dosáhla zisku \( 40\,000 \) Kč.

Řešení příkladu:

Nechť \( x \) je počet prodaných kusů.

Příjmy: \( R = 150x \).

Náklady: \( C = 60\,000 + 90x \).

Zisk: \( Z = R – C = 150x – (60\,000 + 90x) = 60x – 60\,000 \).

Chceme dosáhnout zisku \( 120\,000 \) Kč, tedy:

\( 60x – 60\,000 \geq 120\,000 \Rightarrow 60x \geq 180\,000 \Rightarrow x \geq \frac{180\,000}{60} = 3\,000 \).

Firma musí prodat minimálně \( 3\,000 \) kusů.

Řešení příkladu:

Nechť \( x \) je počet prodaných kusů.

Příjmy po zvýšení ceny: \( R = 220x \).

Náklady zůstanou: \( C = 80\,000 + 120x \).

Zisk je tedy:

\( Z = R – C = 220x – (80\,000 + 120x) = 100x – 80\,000 \).

Požadovaný zisk je \(150\,000\) Kč:

\( 100x – 80\,000 \geq 150\,000 \Rightarrow 100x \geq 230\,000 \Rightarrow x \geq \frac{230\,000}{100} = 2\,300 \).

Firma musí prodat alespoň \(2\,300\) kusů.

Řešení příkladu:

Nechť \( x \) je počet prodaných kusů.

Bod zvratu nastane, když příjmy se rovnají nákladům:

\( 500x = 200\,000 + 350x \Rightarrow 500x – 350x = 200\,000 \Rightarrow 150x = 200\,000 \Rightarrow x = \frac{200\,000}{150} \approx 1\,333{,}33 \).

Společnost musí prodat alespoň \(1\,334\) kusů, aby dosáhla nulového zisku.

Řešení příkladu:

Nechť \( x = 2\,000 \) kusů.

Příjmy: \( R = 150 \cdot 2\,000 = 300\,000 \) Kč.

Náklady: \( C = 120\,000 + 80 \cdot 2\,000 = 120\,000 + 160\,000 = 280\,000 \) Kč.

Zisk: \( Z = R – C = 300\,000 – 280\,000 = 20\,000 \) Kč.

Firma dosáhne zisku \(20\,000\) Kč.

Řešení příkladu:

Nechť \( Q \) je počet kusů k prodeji.

Zisk je:

\( Z = R – C = 400Q – (70\,000 + 250Q) = 150Q – 70\,000 \).

Chceme, aby zisk byl alespoň \(50\,000\) Kč:

\( 150Q – 70\,000 \geq 50\,000 \Rightarrow 150Q \geq 120\,000 \Rightarrow Q \geq \frac{120\,000}{150} = 800 \).

Firma musí prodat minimálně \(800\) kusů.

Řešení příkladu:

Nechť \( x = 2\,500 \) kusů.

Bod zvratu je množství kusů \( x_0 \), kdy:

\( 180x_0 = 150\,000 + 100x_0 \Rightarrow 80x_0 = 150\,000 \Rightarrow x_0 = \frac{150\,000}{80} = 1\,875 \).

Příjmy při prodeji \(2\,500\) kusů:

\( R = 180 \cdot 2\,500 = 450\,000 \) Kč.

Náklady při prodeji \(2\,500\) kusů:

\( C = 150\,000 + 100 \cdot 2\,500 = 150\,000 + 250\,000 = 400\,000 \) Kč.

Zisk:

\( Z = R – C = 450\,000 – 400\,000 = 50\,000 \) Kč.