1. Zjednodušte výraz:
\[ \frac{\frac{1}{x} + \frac{2}{y}}{\frac{3}{x} – \frac{1}{y}} \]Řešení příkladu:
Čitatel: \( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{y + 2x}{xy} \)
Jmenovatel: \( \frac{3}{x} – \frac{1}{y} = \frac{3y – x}{xy} \)
Dosadíme:
\[
\frac{\frac{y + 2x}{xy}}{\frac{3y – x}{xy}} = \frac{y + 2x}{3y – x}
\]
Výsledek je \( \frac{y + 2x}{3y – x} \).
2. Vypočítejte:
\[ \frac{1 – \frac{2}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \]Řešení příkladu:
Upravíme obě části na společného jmenovatele:
Čitatel: \( 1 – \frac{2}{x} = \frac{x – 2}{x} \)
Jmenovatel: \( 1 + \frac{3}{x} = \frac{x + 3}{x} \)
Celý výraz:
\[
\frac{\frac{x – 2}{x}}{\frac{x + 3}{x}} = \frac{x – 2}{x + 3}
\]
Výsledek je \( \frac{x – 2}{x + 3} \).
3. Zjednodušte:
\[ \frac{\frac{x + 1}{x – 1}}{\frac{x^2 – 1}{x^2 + x}} \]Řešení příkladu:
Rozložíme výrazy:
\( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \)
\( x^2 + x = x(x + 1) \)
Dosadíme:
\[
\frac{\frac{x + 1}{x – 1}}{\frac{(x – 1)(x + 1)}{x(x + 1)}} \Rightarrow \frac{x + 1}{x – 1} \cdot \frac{x(x + 1)}{(x – 1)(x + 1)} = \frac{x(x + 1)}{(x – 1)^2}
\]
Výsledek je \( \frac{x(x + 1)}{(x – 1)^2} \).
4. Zjednodušte:
\[ \frac{\frac{4x}{x + 2} – \frac{2x}{x – 2}}{\frac{8x}{x^2 – 4}} \]Řešení příkladu:
Spodní zlomek má jmenovatel \( x^2 – 4 = (x + 2)(x – 2) \)
Najdeme společného jmenovatele v čitateli:
\[
\frac{4x(x – 2) – 2x(x + 2)}{(x + 2)(x – 2)} = \frac{(4x^2 – 8x – 2x^2 – 4x)}{(x + 2)(x – 2)} = \frac{2x^2 – 12x}{(x + 2)(x – 2)}
\]
Celý zlomek:
\[
\frac{\frac{2x^2 – 12x}{(x + 2)(x – 2)}}{\frac{8x}{(x + 2)(x – 2)}} = \frac{2x^2 – 12x}{8x} = \frac{2x(x – 6)}{8x} = \frac{x – 6}{4}
\]
Výsledek je \( \frac{x – 6}{4} \).
5. Vypočítejte:
\[ \frac{\frac{x^2 – 9}{x + 3}}{\frac{x^2 – x – 6}{x – 2}} \]Řešení příkladu:
Rozložíme výrazy:
\( x^2 – 9 = (x + 3)(x – 3) \)
\( x^2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) \)
Dosadíme:
\[
\frac{\frac{(x + 3)(x – 3)}{x + 3}}{\frac{(x – 3)(x + 2)}{x – 2}} \Rightarrow \frac{x – 3}{1} \cdot \frac{x – 2}{(x – 3)(x + 2)} = \frac{x – 2}{x + 2}
\]
Výsledek je \( \frac{x – 2}{x + 2} \).
6. Zjednodušte:
\[ \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 – \frac{1}{x}} \]Řešení příkladu:
Čitatel: \( 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x} \)
Jmenovatel: \( 1 – \frac{1}{x} = \frac{x – 1}{x} \)
Výraz:
\[
\frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{x – 1}{x}} = \frac{x + 1}{x – 1}
\]
Výsledek je \( \frac{x + 1}{x – 1} \).
7. Zjednodušte výraz:
\[ \frac{\frac{3x + 6}{x^2 – 4} + \frac{x}{x – 2}}{\frac{2}{x + 2}} \]Řešení příkladu:
Rozložíme: \( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \), čitatel prvního zlomku je \( 3x + 6 = 3(x + 2) \)
První zlomek: \( \frac{3(x + 2)}{(x – 2)(x + 2)} \)
Druhý zlomek upravíme na společného jmenovatele:
\[
\frac{x(x + 2)}{(x – 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 2x}{(x – 2)(x + 2)}
\]
Sečteme čitatele:
\[
\frac{3(x + 2) + x^2 + 2x}{(x – 2)(x + 2)} = \frac{3x + 6 + x^2 + 2x}{(x – 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 5x + 6}{(x – 2)(x + 2)}
\]
Celý výraz:
\[
\frac{\frac{x^2 + 5x + 6}{(x – 2)(x + 2)}}{\frac{2}{x + 2}} = \frac{x^2 + 5x + 6}{(x – 2)(x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{2} = \frac{(x + 2)(x + 3)}{2(x – 2)}
\]
Výsledek je \( \frac{(x + 2)(x + 3)}{2(x – 2)} \).
8. Zjednodušte:
\[ \frac{\frac{x^2 – 4x}{x}}{\frac{x^2 – 2x}{x^2}} \]Řešení příkladu:
Čitatel: \( \frac{x(x – 4)}{x} = x – 4 \)
Jmenovatel: \( \frac{x(x – 2)}{x^2} \)
Celý výraz:
\[
\frac{x – 4}{\frac{x(x – 2)}{x^2}} = (x – 4) \cdot \frac{x^2}{x(x – 2)} = \frac{(x – 4)x}{x – 2}
\]
Výsledek je \( \frac{x(x – 4)}{x – 2} \).
9. Vypočítejte:
\[ \frac{\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x – 1}}{\frac{2x}{x^2 – 1}} \]Řešení příkladu:
Čitatel: společný jmenovatel \( (x + 1)(x – 1) \Rightarrow \frac{x – 1 + x + 1}{(x + 1)(x – 1)} = \frac{2x}{x^2 – 1} \)
Výraz je:
\[
\frac{\frac{2x}{x^2 – 1}}{\frac{2x}{x^2 – 1}} = 1
\]
Výsledek je 1.
10. Zjednodušte:
\[ \frac{\frac{1}{a^2 – 1}}{\frac{1}{a – 1} – \frac{1}{a + 1}} \]Řešení příkladu:
Čitatel: \( a^2 – 1 = (a – 1)(a + 1) \Rightarrow \frac{1}{(a – 1)(a + 1)} \)
Jmenovatel: najdeme společného jmenovatele:
\[
\frac{(a + 1) – (a – 1)}{(a – 1)(a + 1)} = \frac{a + 1 – a + 1}{(a – 1)(a + 1)} = \frac{2}{(a – 1)(a + 1)}
\]
Celý výraz:
\[
\frac{\frac{1}{(a – 1)(a + 1)}}{\frac{2}{(a – 1)(a + 1)}} = \frac{1}{2}
\]
Výsledek je \( \frac{1}{2} \).
11. Vypočítejte:
\[ \frac{\frac{3x}{x + 1} – \frac{2}{x – 1}}{\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x – 1}} \]Řešení příkladu:
Nejprve se zaměříme na čitatel složeného zlomku:
\( \frac{3x}{x + 1} – \frac{2}{x – 1} \) – najdeme společného jmenovatele, kterým je \((x + 1)(x – 1)\).
Vyjádříme oba zlomky se společným jmenovatelem:
\( \frac{3x(x – 1)}{(x + 1)(x – 1)} – \frac{2(x + 1)}{(x + 1)(x – 1)} = \frac{3x(x – 1) – 2(x + 1)}{(x + 1)(x – 1)} \)
Roznásobíme v čitateli:
\( 3x(x – 1) = 3x^2 – 3x \),
\( 2(x + 1) = 2x + 2 \)
Čitatel se tedy stane: \( 3x^2 – 3x – 2x – 2 = 3x^2 – 5x – 2 \),
takže celý čitatel hlavního zlomku je: \( \frac{3x^2 – 5x – 2}{(x + 1)(x – 1)} \)
Nyní spočítáme jmenovatel hlavního zlomku:
\( \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x – 1} \) – opět najdeme společný jmenovatel: \( \frac{(x – 1) + (x + 1)}{(x + 1)(x – 1)} = \frac{2x}{(x + 1)(x – 1)} \)
Celý výraz tedy je:
\[ \frac{\frac{3x^2 – 5x – 2}{(x + 1)(x – 1)}}{\frac{2x}{(x + 1)(x – 1)}} \Rightarrow \frac{3x^2 – 5x – 2}{2x} \]
Výsledkem je výraz \( \frac{3x^2 – 5x – 2}{2x} \), který dále již nelze zjednodušit.
12. Vypočítejte:
\[ \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}}{\frac{1}{x^2 + x}} \]Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme jmenovatel zlomku ve jmenovateli celého výrazu:
\( x^2 + x = x(x+1) \)
V čitateli je součet dvou zlomků s různými jmenovateli, které sjednotíme:
\[ \frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)} + \frac{3x}{x(x+1)} = \frac{2x + 2 + 3x}{x(x+1)} = \frac{5x + 2}{x(x+1)} \]
Nyní celý výraz přepíšeme jako podíl dvou zlomků se stejným jmenovatelem:
\[ \frac{\frac{5x + 2}{x(x+1)}}{\frac{1}{x(x+1)}} = \left(\frac{5x + 2}{x(x+1)}\right) \div \left(\frac{1}{x(x+1)}\right) \]
Dělení zlomků převedeme na násobení převráceným zlomkem:
\[ = \frac{5x + 2}{x(x+1)} \cdot \frac{x(x+1)}{1} = 5x + 2 \]
Výsledkem je tedy výraz \(5x + 2\).
13. Vypočítejte:
\[ \frac{1 – \frac{4}{x}}{1 + \frac{4}{x}} \]Řešení příkladu:
Pro lepší přehlednost vynásobíme čitatele i jmenovatele výrazu výrazem \(x\), abychom se zbavili zlomků ve jmenovateli:
\[ \frac{1 – \frac{4}{x}}{1 + \frac{4}{x}} = \frac{\frac{x}{x} – \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{4}{x}} = \frac{\frac{x – 4}{x}}{\frac{x + 4}{x}} = \frac{x – 4}{x + 4} \]
Výraz je nyní bez zlomků a výsledkem je \(\frac{x – 4}{x + 4}\).
14. Vypočítejte:
\[ \frac{\frac{1}{a} – \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \]Řešení příkladu:
Nejprve najdeme společný jmenovatel pro čitatel i jmenovatel:
Čitatel: \[ \frac{1}{a} – \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} – \frac{a}{ab} = \frac{b – a}{ab} \]
Jmenovatel: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{b + a}{ab} \]
Nyní celý výraz přepíšeme jako podíl dvou zlomků:
\[ \frac{\frac{b – a}{ab}}{\frac{b + a}{ab}} = \frac{b – a}{ab} \cdot \frac{ab}{b + a} = \frac{b – a}{b + a} \]
Výsledkem je tedy \(\frac{b – a}{b + a}\).
15. Vypočítejte:
\[ \frac{\frac{3x + 2}{x^2 – 4}}{\frac{x + 1}{x – 2}} \]Řešení příkladu:
Nejprve si rozložíme jmenovatel zlomku ve čitateli:
\(x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)\)
Celý výraz zapíšeme jako podíl dvou zlomků:
\[ \frac{3x + 2}{(x – 2)(x + 2)} \div \frac{x + 1}{x – 2} \]
Dělení zlomků převedeme na násobení převráceným zlomkem:
\[ \frac{3x + 2}{(x – 2)(x + 2)} \cdot \frac{x – 2}{x + 1} \]
Ve výsledku lze zkrátit člen \(x – 2\):
\[ \frac{3x + 2}{x + 2} \cdot \frac{1}{x + 1} = \frac{3x + 2}{(x + 2)(x + 1)} \]
Výsledný výraz je \(\frac{3x + 2}{(x + 2)(x + 1)}\).
16. Vypočítejte:
\[ \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}} \]Řešení příkladu:
Nejprve sečteme zlomky ve jmenovateli:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{(x + 2) + x}{x(x + 2)} = \frac{2x + 2}{x(x + 2)} = \frac{2(x + 1)}{x(x + 2)} \]
Nyní celý výraz přepíšeme:
\[ \frac{1}{\frac{2(x + 1)}{x(x + 2)}} = 1 \cdot \frac{x(x + 2)}{2(x + 1)} = \frac{x(x + 2)}{2(x + 1)} \]
Výsledkem je tedy \(\frac{x(x + 2)}{2(x + 1)}\).
17. Vypočítejte:
\[ \frac{\frac{2x}{x – 1} + \frac{3}{x + 2}}{\frac{4x}{x^2 + x – 2}} \]Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel zlomku ve jmenovateli:
\[ x^2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1) \]
Nejprve sjednotíme čitatele složeného zlomku (v horní části):
\[ \frac{2x}{x – 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2x(x + 2)}{(x – 1)(x + 2)} + \frac{3(x – 1)}{(x + 2)(x – 1)} = \frac{2x^2 + 4x + 3x – 3}{(x – 1)(x + 2)} = \frac{2x^2 + 7x – 3}{(x – 1)(x + 2)} \]
Celý výraz nyní přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{2x^2 + 7x – 3}{(x – 1)(x + 2)}}{\frac{4x}{(x – 1)(x + 2)}} = \frac{2x^2 + 7x – 3}{(x – 1)(x + 2)} \cdot \frac{(x – 1)(x + 2)}{4x} = \frac{2x^2 + 7x – 3}{4x} \]
Výsledkem je tedy \(\frac{2x^2 + 7x – 3}{4x}\).
18. Vypočítejte:
\[ \frac{\frac{5}{y+1} – \frac{3}{y-1}}{\frac{2}{y+1} + \frac{1}{y-1}} \]Řešení příkladu:
Nejprve sjednotíme zlomky v čitateli se společným jmenovatelem \((y+1)(y-1)\):
\[ \frac{5}{y+1} – \frac{3}{y-1} = \frac{5(y-1)}{(y+1)(y-1)} – \frac{3(y+1)}{(y+1)(y-1)} = \frac{5y – 5 – 3y – 3}{(y+1)(y-1)} = \frac{2y – 8}{(y+1)(y-1)} \]
Sjednotíme zlomky ve jmenovateli také se stejným jmenovatelem:
\[ \frac{2}{y+1} + \frac{1}{y-1} = \frac{2(y-1)}{(y+1)(y-1)} + \frac{1(y+1)}{(y+1)(y-1)} = \frac{2y – 2 + y + 1}{(y+1)(y-1)} = \frac{3y – 1}{(y+1)(y-1)} \]
Celý výraz tedy je:
\[ \frac{\frac{2y – 8}{(y+1)(y-1)}}{\frac{3y – 1}{(y+1)(y-1)}} = \frac{2y – 8}{(y+1)(y-1)} \cdot \frac{(y+1)(y-1)}{3y – 1} = \frac{2y – 8}{3y – 1} \]
Výsledkem je \(\frac{2y – 8}{3y – 1}\).
19. Vypočítejte:
\[ \frac{\frac{x}{x+3}}{\frac{x+1}{x+2} – \frac{x}{x+3}} \]Řešení příkladu:
Nejprve vypočítáme jmenovatel zlomku ve jmenovateli:
\[ \frac{x+1}{x+2} – \frac{x}{x+3} \]
Sjednotíme zlomky na společný jmenovatel \((x+2)(x+3)\):
\[ \frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)(x+3)} – \frac{x(x+2)}{(x+3)(x+2)} = \frac{(x+1)(x+3) – x(x+2)}{(x+2)(x+3)} \]
Roznásobíme v čitateli:
\[ (x+1)(x+3) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3 \]
\[ x(x+2) = x^2 + 2x \]
Dosadíme zpět:
\[ \frac{x^2 + 4x + 3 – (x^2 + 2x)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x^2 + 4x + 3 – x^2 – 2x}{(x+2)(x+3)} = \frac{2x + 3}{(x+2)(x+3)} \]
Nyní celý výraz přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x}{x+3}}{\frac{2x + 3}{(x+2)(x+3)}} = \frac{x}{x+3} \cdot \frac{(x+2)(x+3)}{2x + 3} \]
Ve výsledku lze zkrátit \(x+3\):
\[ \frac{x}{\cancel{x+3}} \cdot \frac{(x+2)\cancel{(x+3)}}{2x + 3} = \frac{x(x+2)}{2x + 3} \]
Výsledkem je \(\frac{x(x+2)}{2x + 3}\).
20. Vypočítejte:
\[ \frac{\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1}}{\frac{5}{x-1} – \frac{1}{x+1}} \]Řešení příkladu:
Nejprve sjednotíme zlomky v čitateli:
\[ \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x + 2 + 3x – 3}{(x-1)(x+1)} = \frac{5x – 1}{(x-1)(x+1)} \]
Sjednotíme zlomky ve jmenovateli:
\[ \frac{5}{x-1} – \frac{1}{x+1} = \frac{5(x+1)}{(x-1)(x+1)} – \frac{1(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{5x + 5 – x + 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x + 6}{(x-1)(x+1)} \]
Celý výraz tedy je:
\[ \frac{\frac{5x – 1}{(x-1)(x+1)}}{\frac{4x + 6}{(x-1)(x+1)}} = \frac{5x – 1}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{4x + 6} = \frac{5x – 1}{4x + 6} \]
Výsledkem je \(\frac{5x – 1}{4x + 6}\).
21. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve sjednotíme zlomky v čitateli na společný jmenovatel \(x(x+1)\):
\[ \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{1 \cdot (x+1)}{x(x+1)} + \frac{2 \cdot x}{x(x+1)} = \frac{x+1 + 2x}{x(x+1)} = \frac{3x + 1}{x(x+1)} \]
Stejně sjednotíme zlomky ve jmenovateli na společný jmenovatel \(x(x+1)\):
\[ \frac{3}{x} – \frac{4}{x+1} = \frac{3(x+1)}{x(x+1)} – \frac{4x}{x(x+1)} = \frac{3x + 3 – 4x}{x(x+1)} = \frac{-x + 3}{x(x+1)} \]
Celý zlomek tedy přepíšeme jako součin:
\[ \frac{\frac{3x + 1}{x(x+1)}}{\frac{-x + 3}{x(x+1)}} = \frac{3x + 1}{x(x+1)} \cdot \frac{x(x+1)}{-x + 3} = \frac{3x + 1}{-x + 3} \]
Jmenovatel můžeme přepsat jako \(3 – x\), takže výsledek je:
\[ \frac{3x + 1}{3 – x} \]
22. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme jmenovatel ve složeném zlomku v čitateli pomocí vzorce rozdílu druhých mocnin:
\[ x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \]
Sjednotíme jmenovatele ve jmenovateli součtem zlomků:
\[ \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+2 + x – 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x}{(x-2)(x+2)} \]
Celý složený zlomek tedy přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}}{\frac{2x}{(x-2)(x+2)}} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{2x} = \frac{x+2}{2x} \]
Výsledkem je \(\frac{x+2}{2x}\).
23. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme jmenovatel \(x^2 – 1\) jako rozdíl druhých mocnin:
\[ x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \]
Sjednotíme zlomky v čitateli na společný jmenovatel \((x-1)(x+1)\):
\[ \frac{2x}{(x-1)(x+1)} – \frac{3}{x-1} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)} – \frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x – 3x – 3}{(x-1)(x+1)} = \frac{-x – 3}{(x-1)(x+1)} \]
Celý výraz přepíšeme jako dělení zlomků:
\[ \frac{\frac{-x – 3}{(x-1)(x+1)}}{\frac{1}{x+1}} = \frac{-x – 3}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+1}{1} = \frac{-x – 3}{x-1} \]
Výsledný zlomek je tedy \(\frac{-x – 3}{x-1}\).
24. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve sjednotíme zlomky v čitateli na společný jmenovatel \((x+3)(x-1)\):
\[ \frac{2}{x+3} – \frac{1}{x-1} = \frac{2(x-1)}{(x+3)(x-1)} – \frac{1(x+3)}{(x-1)(x+3)} = \frac{2x – 2 – x – 3}{(x+3)(x-1)} = \frac{x – 5}{(x+3)(x-1)} \]
Podobně sjednotíme zlomky ve jmenovateli:
\[ \frac{1}{x-1} + \frac{3}{x+3} = \frac{x+3}{(x-1)(x+3)} + \frac{3(x-1)}{(x+3)(x-1)} = \frac{x + 3 + 3x – 3}{(x-1)(x+3)} = \frac{4x}{(x-1)(x+3)} \]
Celý zlomek tedy zapíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x – 5}{(x+3)(x-1)}}{\frac{4x}{(x-1)(x+3)}} = \frac{x – 5}{(x+3)(x-1)} \cdot \frac{(x-1)(x+3)}{4x} = \frac{x – 5}{4x} \]
Výsledkem je \(\frac{x – 5}{4x}\).
25. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme jmenovatel \(x^2 – 1\) jako rozdíl druhých mocnin:
\[ x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \]
Převedeme jmenovatel výrazu ve jmenovateli na společný zlomek:
\[ 1 – \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} – \frac{1}{x+1} = \frac{x}{x+1} \]
Celý složený zlomek tedy přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x}{(x-1)(x+1)}}{\frac{x}{x+1}} = \frac{x}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+1}{x} = \frac{1}{x-1} \]
Výsledkem je \(\frac{1}{x-1}\).
26. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve sjednotíme zlomky v čitateli na společný jmenovatel \((x-2)(x+1)\):
\[ \frac{3x+1}{x-2} + \frac{2x-3}{x+1} = \frac{(3x+1)(x+1)}{(x-2)(x+1)} + \frac{(2x-3)(x-2)}{(x+1)(x-2)} \]
Rozepsáním čitatele:
\[ (3x+1)(x+1) = 3x^2 + 3x + x + 1 = 3x^2 + 4x + 1 \]
\[ (2x-3)(x-2) = 2x^2 – 4x – 3x + 6 = 2x^2 – 7x + 6 \]
Sečteme je pod společným jmenovatelem:
\[ 3x^2 + 4x + 1 + 2x^2 – 7x + 6 = 5x^2 – 3x + 7 \]
Čitatel složeného zlomku je tedy \(\frac{5x^2 – 3x + 7}{(x-2)(x+1)}\).
Podobně sjednotíme zlomky ve jmenovateli:
\[ \frac{5}{x-2} – \frac{4}{x+1} = \frac{5(x+1)}{(x-2)(x+1)} – \frac{4(x-2)}{(x+1)(x-2)} = \frac{5x + 5 – 4x + 8}{(x-2)(x+1)} = \frac{x + 13}{(x-2)(x+1)} \]
Celý zlomek přepíšeme jako součin:
\[ \frac{\frac{5x^2 – 3x + 7}{(x-2)(x+1)}}{\frac{x + 13}{(x-2)(x+1)}} = \frac{5x^2 – 3x + 7}{(x-2)(x+1)} \cdot \frac{(x-2)(x+1)}{x + 13} = \frac{5x^2 – 3x + 7}{x + 13} \]
Výsledkem je \(\frac{5x^2 – 3x + 7}{x + 13}\).
27. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Sjednotíme zlomky v čitateli na společný jmenovatel \(x(x+2)\):
\[ \frac{1}{x} – \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2)}{x(x+2)} – \frac{x}{x(x+2)} = \frac{x + 2 – x}{x(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)} \]
Převedeme jmenovatel na společný zlomek:
\[ 1 – \frac{2}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} – \frac{2}{x+2} = \frac{x}{x+2} \]
Celý zlomek přepíšeme jako součin:
\[ \frac{\frac{2}{x(x+2)}}{\frac{x}{x+2}} = \frac{2}{x(x+2)} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{2}{x^2} \]
Výsledkem je \(\frac{2}{x^2}\).
28. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 + 3x + 2\) na součin:
\[ x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) \]
Sjednotíme zlomky v čitateli na společný jmenovatel \((x+1)(x+2)\):
\[ \frac{2x}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{x+1} = \frac{2x}{(x+1)(x+2)} + \frac{1 \cdot (x+2)}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x + x + 2}{(x+1)(x+2)} = \frac{3x + 2}{(x+1)(x+2)} \]
Celý zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{3x + 2}{(x+1)(x+2)}}{\frac{3}{x+2}} = \frac{3x + 2}{(x+1)(x+2)} \cdot \frac{x+2}{3} = \frac{3x + 2}{3(x+1)} \]
Výsledkem je \(\frac{3x + 2}{3(x+1)}\).
29. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Sjednotíme zlomky v čitateli na společný jmenovatel \(x(x+1)\):
\[ \frac{4}{x} – \frac{5}{x+1} = \frac{4(x+1)}{x(x+1)} – \frac{5x}{x(x+1)} = \frac{4x + 4 – 5x}{x(x+1)} = \frac{-x + 4}{x(x+1)} \]
Sjednotíme zlomky ve jmenovateli na společný jmenovatel \(x(x+1)\):
\[ \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{2x}{x(x+1)} = \frac{x+1 + 2x}{x(x+1)} = \frac{3x + 1}{x(x+1)} \]
Celý zlomek zapíšeme jako:
\[ \frac{\frac{-x + 4}{x(x+1)}}{\frac{3x + 1}{x(x+1)}} = \frac{-x + 4}{x(x+1)} \cdot \frac{x(x+1)}{3x + 1} = \frac{-x + 4}{3x + 1} \]
Výsledkem je \(\frac{-x + 4}{3x + 1}\).
30. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 4x + 3\) na součin:
\[ x^2 – 4x + 3 = (x-1)(x-3) \]
Jmenovatel složeného zlomku je rozdíl dvou zlomků se jmenovateli \(x-1\) a \(x-3\), sjednotíme je:
\[ \frac{x-2}{x-1} – \frac{1}{x-3} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-3)} – \frac{x-1}{(x-3)(x-1)} = \frac{(x-2)(x-3) – (x-1)}{(x-1)(x-3)} \]
Rozepíšeme čitatel:
\[ (x-2)(x-3) – (x-1) = (x^2 – 3x – 2x + 6) – x + 1 = x^2 – 5x + 6 – x + 1 = x^2 – 6x + 7 \]
Celý složený zlomek tedy přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{2x – 1}{(x-1)(x-3)}}{\frac{x^2 – 6x + 7}{(x-1)(x-3)}} = \frac{2x – 1}{(x-1)(x-3)} \cdot \frac{(x-1)(x-3)}{x^2 – 6x + 7} = \frac{2x – 1}{x^2 – 6x + 7} \]
Výsledkem je \(\frac{2x – 1}{x^2 – 6x + 7}\).
31. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 + 2x\) jako:
\[ x^2 + 2x = x(x+2) \]
Sjednotíme zlomky v čitateli na společný jmenovatel \(x(x+2)\):
\[ \frac{1}{x(x+2)} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x(x+2)} + \frac{x+2}{x(x+2)} = \frac{1 + x + 2}{x(x+2)} = \frac{x + 3}{x(x+2)} \]
Celý zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x + 3}{x(x+2)}}{\frac{3}{x+2}} = \frac{x + 3}{x(x+2)} \cdot \frac{x+2}{3} = \frac{x + 3}{3x} \]
Výsledkem je \(\frac{x + 3}{3x}\).
32. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 9\) jako rozdíl druhých mocnin:
\[ x^2 – 9 = (x-3)(x+3) \]
Sjednotíme zlomky v čitateli na společný jmenovatel \((x-3)(x+3)\):
\[ \frac{2}{(x-3)(x+3)} – \frac{1}{x-3} = \frac{2}{(x-3)(x+3)} – \frac{1 \cdot (x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2 – x – 3}{(x-3)(x+3)} = \frac{-x – 1}{(x-3)(x+3)} \]
Celý zlomek přepíšeme jako součin:
\[ \frac{\frac{-x – 1}{(x-3)(x+3)}}{\frac{4}{x+3}} = \frac{-x – 1}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x+3}{4} = \frac{-x – 1}{4(x-3)} \]
Výsledkem je \(\frac{-x – 1}{4(x-3)}\).
33. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 4x + 3\) jako součin:
\[ x^2 – 4x + 3 = (x-1)(x-3) \]
Sjednotíme zlomky ve jmenovateli na společný jmenovatel \((x-1)(x-3)\):
\[ \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-3} = \frac{x-3}{(x-1)(x-3)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x-3 + 2x – 2}{(x-1)(x-3)} = \frac{3x – 5}{(x-1)(x-3)} \]
Celý zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x+1}{(x-1)(x-3)}}{\frac{3x – 5}{(x-1)(x-3)}} = \frac{x+1}{(x-1)(x-3)} \cdot \frac{(x-1)(x-3)}{3x – 5} = \frac{x+1}{3x – 5} \]
Výsledkem je \(\frac{x+1}{3x – 5}\).
34. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme kvadratický výraz ve jmenovateli spodního zlomku:
\[ x^2 + x – 2 = (x+2)(x-1) \]
Nyní přepíšeme zlomek ve jmenovateli:
\[ \frac{3x}{x^2 + x – 2} = \frac{3x}{(x+2)(x-1)} \]
V čitateli je součet dvou zlomků, které sjednotíme na společný jmenovatel \((x+2)(x-1)\):
\[ \frac{x}{x+2} + \frac{2}{x-1} = \frac{x(x-1)}{(x+2)(x-1)} + \frac{2(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{x^2 – x + 2x + 4}{(x+2)(x-1)} = \frac{x^2 + x + 4}{(x+2)(x-1)} \]
Celý složený zlomek tedy můžeme přepsat jako:
\[ \frac{\frac{x^2 + x + 4}{(x+2)(x-1)}}{\frac{3x}{(x+2)(x-1)}} = \frac{x^2 + x + 4}{(x+2)(x-1)} \cdot \frac{(x+2)(x-1)}{3x} = \frac{x^2 + x + 4}{3x} \]
Výsledkem je \(\frac{x^2 + x + 4}{3x}\), přičemž \(x \neq 0, -2, 1\) z důvodu původních jmenovatelů.
35. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme kvadratický výraz ve jmenovateli:
\[ x^2 + x – 6 = (x+3)(x-2) \]
V čitateli je rozdíl dvou zlomků, sjednotíme je na společný jmenovatel \((x-2)(x+3)\):
\[ \frac{2}{x-2} – \frac{1}{x+3} = \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+3)} – \frac{1(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{2x + 6 – x + 2}{(x-2)(x+3)} = \frac{x + 8}{(x-2)(x+3)} \]
Celý složený zlomek zapíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x + 8}{(x-2)(x+3)}}{\frac{5}{(x-2)(x+3)}} = \frac{x + 8}{(x-2)(x+3)} \cdot \frac{(x-2)(x+3)}{5} = \frac{x + 8}{5} \]
Výsledkem je \(\frac{x + 8}{5}\), s podmínkami \(x \neq 2, -3\).
36. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společný jmenovatel \((x-1)(x+1)\):
\[ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{1(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x + 2 + x – 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x + 1}{(x-1)(x+1)} \]
Celý složený zlomek zapíšeme jako součin:
\[ \frac{\frac{3x + 1}{(x-1)(x+1)}}{\frac{3x + 1}{(x-1)(x+1)}} = \frac{3x + 1}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{3x + 1} = 1 \]
Výsledkem je 1, s podmínkami \(x \neq 1, -1\) a \(3x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{3}\).
37. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Sjednotíme zlomky v čitateli na společný jmenovatel \((x+1)(x-2)\):
\[ \frac{4}{x+1} – \frac{3}{x-2} = \frac{4(x-2)}{(x+1)(x-2)} – \frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{4x – 8 – 3x – 3}{(x+1)(x-2)} = \frac{x – 11}{(x+1)(x-2)} \]
Sjednotíme zlomky ve jmenovateli na společný jmenovatel \((x+1)(x-2)\):
\[ \frac{1}{x-2} – \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{(x+1)(x-2)} – \frac{x-2}{(x+1)(x-2)} = \frac{x+1 – x + 2}{(x+1)(x-2)} = \frac{3}{(x+1)(x-2)} \]
Celý zlomek tedy přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x – 11}{(x+1)(x-2)}}{\frac{3}{(x+1)(x-2)}} = \frac{x – 11}{(x+1)(x-2)} \cdot \frac{(x+1)(x-2)}{3} = \frac{x – 11}{3} \]
Výsledkem je \(\frac{x – 11}{3}\), s podmínkami \(x \neq -1, 2\).
38. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – 4x + 3 = (x-1)(x-3) \]
Takže čitatel můžeme přepsat jako:
\[ \frac{5x}{(x-1)(x-3)} \]
Sjednotíme zlomky ve jmenovateli na společný jmenovatel \((x-1)(x-3)\):
\[ \frac{2}{x-1} – \frac{3}{x-3} = \frac{2(x-3)}{(x-1)(x-3)} – \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{2x – 6 – 3x + 3}{(x-1)(x-3)} = \frac{-x – 3}{(x-1)(x-3)} \]
Celý složený zlomek zapíšeme jako:
\[ \frac{\frac{5x}{(x-1)(x-3)}}{\frac{-x – 3}{(x-1)(x-3)}} = \frac{5x}{(x-1)(x-3)} \cdot \frac{(x-1)(x-3)}{-x – 3} = \frac{5x}{-x – 3} = \frac{-5x}{x + 3} \]
Výsledkem je \(\frac{-5x}{x + 3}\), s podmínkami \(x \neq 1, 3, -3\).
39. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – 9 = (x-3)(x+3) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společný jmenovatel \((x-3)(x+3)\):
\[ \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+3} = \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} + \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+3 + x – 3}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x}{(x-3)(x+3)} \]
Celý zlomek tedy přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x+2}{(x-3)(x+3)}}{\frac{2x}{(x-3)(x+3)}} = \frac{x+2}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{2x} = \frac{x+2}{2x} \]
Výsledkem je \(\frac{x+2}{2x}\), s podmínkami \(x \neq 3, -3, 0\).
40. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2 \]
Sčítáme zlomek ve jmenovateli (mají stejný jmenovatel):
\[ \frac{1}{x-2} – \frac{3}{x-2} + \frac{4}{x-2} = \frac{1 – 3 + 4}{x-2} = \frac{2}{x-2} \]
Celý složený zlomek zapíšeme jako:
\[ \frac{\frac{2x – 1}{(x-2)^2}}{\frac{2}{x-2}} = \frac{2x – 1}{(x-2)^2} \cdot \frac{x-2}{2} = \frac{2x – 1}{2(x-2)} \]
Výsledkem je \(\frac{2x – 1}{2(x-2)}\), s podmínkou \(x \neq 2\).
41. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – x – 6 = (x-3)(x+2) \]
Čitatel tedy upravíme na:
\[ \frac{3x}{(x-3)(x+2)} \]
Sjednotíme zlomky ve jmenovateli na společný jmenovatel \((x-3)(x+2)\):
\[ \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+2} = \frac{x+2}{(x-3)(x+2)} + \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+2)} = \frac{x + 2 + 2x – 6}{(x-3)(x+2)} = \frac{3x – 4}{(x-3)(x+2)} \]
Celý zlomek zapíšeme jako:
\[ \frac{\frac{3x}{(x-3)(x+2)}}{\frac{3x – 4}{(x-3)(x+2)}} = \frac{3x}{(x-3)(x+2)} \cdot \frac{(x-3)(x+2)}{3x – 4} = \frac{3x}{3x – 4} \]
Výsledkem je \(\frac{3x}{3x – 4}\), s podmínkami \(x \neq 3, -2, \frac{4}{3}\).
42. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve upravíme čitatel:
\[ \frac{x^2 – 1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x – 1, \quad x \neq -1 \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společný jmenovatel \((x-1)(x+1)\):
\[ \frac{2x}{x-1} – \frac{1}{x+1} = \frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)} – \frac{1(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x^2 + 2x – x + 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x^2 + x + 1}{(x-1)(x+1)} \]
Celý zlomek zapíšeme jako:
\[ \frac{x – 1}{\frac{2x^2 + x + 1}{(x-1)(x+1)}} = (x – 1) \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{2x^2 + x + 1} = \frac{(x – 1)^2 (x + 1)}{2x^2 + x + 1} \]
Podmínky jsou \(x \neq \pm 1\).
43. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 + 2x = x(x + 2) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společný jmenovatel \(x(x+2)\):
\[ \frac{1}{x} – \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{x(x+2)} – \frac{x}{x(x+2)} = \frac{x + 2 – x}{x(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)} \]
Celý složený zlomek tedy přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{1}{x(x+2)}}{\frac{2}{x(x+2)}} = \frac{1}{x(x+2)} \cdot \frac{x(x+2)}{2} = \frac{1}{2} \]
Výsledkem je \(\frac{1}{2}\), s podmínkami \(x \neq 0, -2\).
44. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme jmenovatel ve čitateli na součin:
\[ x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společný jmenovatel \((x-1)(x+1)\):
\[ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)} \]
Nyní můžeme složený zlomek přepsat jako dělení dvou zlomků:
\[ \frac{\frac{2x + 3}{(x-1)(x+1)}}{\frac{2x}{(x-1)(x+1)}} = \frac{2x + 3}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{2x} = \frac{2x + 3}{2x} \]
Zjednodušení:
\[ \frac{2x + 3}{2x} = \frac{2x}{2x} + \frac{3}{2x} = 1 + \frac{3}{2x} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq \pm 1\) a \(x \neq 0\).
45. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve sjednotíme čitatel:
\[ \frac{3}{x} – \frac{2}{x+1} = \frac{3(x+1)}{x(x+1)} – \frac{2x}{x(x+1)} = \frac{3x + 3 – 2x}{x(x+1)} = \frac{x + 3}{x(x+1)} \]
Poté sjednotíme jmenovatel:
\[ \frac{1}{x-1} – \frac{1}{x} = \frac{x}{(x-1)x} – \frac{x-1}{(x-1)x} = \frac{x – (x – 1)}{(x-1)x} = \frac{1}{(x-1)x} \]
Složený zlomek nyní přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x + 3}{x(x+1)}}{\frac{1}{(x-1)x}} = \frac{x + 3}{x(x+1)} \cdot \frac{(x-1)x}{1} = \frac{(x+3)(x-1)x}{x(x+1)} = \frac{(x+3)(x-1)}{x+1} \]
V dalším kroku rozepíšeme čitatel:
\[ (x+3)(x-1) = x^2 – x + 3x – 3 = x^2 + 2x – 3 \]
Výsledný výraz je tedy:
\[ \frac{x^2 + 2x – 3}{x+1} \]
Podmínky platnosti jsou: \(x \neq 0, x \neq 1, x \neq -1\).
46. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společný jmenovatel \((x+2)(x-2)\):
\[ \frac{1}{x+2} – \frac{1}{x-2} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} – \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} = \frac{x – 2 – (x + 2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x – 2 – x – 2}{(x+2)(x-2)} = \frac{-4}{(x+2)(x-2)} \]
Celý složený zlomek tedy přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}}{\frac{-4}{(x+2)(x-2)}} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x+2)(x-2)}{-4} = \frac{x+2}{-4} = -\frac{x+2}{4} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq 2\) a \(x \neq -2\).
47. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – 9 = (x-3)(x+3) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli:
\[ \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-3} = \frac{x-3}{(x+3)(x-3)} + \frac{x+3}{(x+3)(x-3)} = \frac{x – 3 + x + 3}{(x+3)(x-3)} = \frac{2x}{(x+3)(x-3)} \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{2x}{(x-3)(x+3)}}{\frac{2x}{(x+3)(x-3)}} = \frac{2x}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{(x+3)(x-3)}{2x} = 1 \]
Podmínky platnosti: \(x \neq 3\), \(x \neq -3\), \(x \neq 0\).
48. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Sjednotíme čitatel:
\[ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x} = \frac{x}{x(x+1)} – \frac{x+1}{x(x+1)} = \frac{x – (x+1)}{x(x+1)} = \frac{-1}{x(x+1)} \]
Sjednotíme jmenovatel:
\[ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} = \frac{x}{(x-1)x} + \frac{x-1}{(x-1)x} = \frac{x + x – 1}{(x-1)x} = \frac{2x – 1}{(x-1)x} \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{-1}{x(x+1)}}{\frac{2x – 1}{(x-1)x}} = \frac{-1}{x(x+1)} \cdot \frac{(x-1)x}{2x – 1} = \frac{-1 \cdot (x-1) \cdot x}{x(x+1)(2x – 1)} = \frac{-(x-1)}{(x+1)(2x – 1)} \]
Zjednodušení:
\[ \frac{-(x-1)}{(x+1)(2x – 1)} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq -1\), \(x \neq 0\), \(x \neq 1\), \(x \neq \frac{1}{2}\).
49. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – 4x + 3 = (x-1)(x-3) \]
Sjednotíme jmenovatel:
\[ \frac{1}{x-1} – \frac{1}{x-3} = \frac{x-3}{(x-1)(x-3)} – \frac{x-1}{(x-1)(x-3)} = \frac{x – 3 – (x – 1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{-2}{(x-1)(x-3)} \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{3}{(x-1)(x-3)}}{\frac{-2}{(x-1)(x-3)}} = \frac{3}{(x-1)(x-3)} \cdot \frac{(x-1)(x-3)}{-2} = -\frac{3}{2} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq 3\).
50. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – 16 = (x-4)(x+4) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli:
\[ \frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+4} = \frac{x+4}{(x-4)(x+4)} + \frac{x-4}{(x-4)(x+4)} = \frac{x + 4 + x – 4}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x}{(x-4)(x+4)} \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{4x}{(x-4)(x+4)}}{\frac{2x}{(x-4)(x+4)}} = \frac{4x}{(x-4)(x+4)} \cdot \frac{(x-4)(x+4)}{2x} = \frac{4x}{2x} = 2 \]
Podmínky platnosti: \(x \neq 4\), \(x \neq -4\), \(x \neq 0\).
51. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli:
\[ \frac{2}{x-1} – \frac{3}{x+1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} – \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x + 2 – 3x + 3}{(x-1)(x+1)} = \frac{-x + 5}{(x-1)(x+1)} \]
Složený zlomek tedy je:
\[ \frac{\frac{5}{(x-1)(x+1)}}{\frac{-x + 5}{(x-1)(x+1)}} = \frac{5}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{-x + 5} = \frac{5}{-x + 5} = \frac{5}{5 – x} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq -1\), \(x \neq 5\).
52. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli:
\[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2} = \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{2(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2 + 2x + 2}{(x+1)(x+2)} = \frac{3x + 4}{(x+1)(x+2)} \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x}{(x+1)(x+2)}}{\frac{3x + 4}{(x+1)(x+2)}} = \frac{x}{(x+1)(x+2)} \cdot \frac{(x+1)(x+2)}{3x + 4} = \frac{x}{3x + 4} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq -1\), \(x \neq -2\), \(x \neq -\frac{4}{3}\).
53. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – x – 6 = (x-3)(x+2) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli:
\[ \frac{1}{x-3} – \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{(x-3)(x+2)} – \frac{x-3}{(x-3)(x+2)} = \frac{x + 2 – (x – 3)}{(x-3)(x+2)} = \frac{5}{(x-3)(x+2)} \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{2x+1}{(x-3)(x+2)}}{\frac{5}{(x-3)(x+2)}} = \frac{2x+1}{(x-3)(x+2)} \cdot \frac{(x-3)(x+2)}{5} = \frac{2x + 1}{5} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq 3\), \(x \neq -2\).
54. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme kvadratické výrazy na součin lineárních činitelů:
\[ x^2 – 4 = (x-2)(x+2), \quad x^2 – x – 6 = (x-3)(x+2) \]
Dosadíme tyto rozklady do složeného zlomku:
\[ \frac{\frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+2)}}{\frac{x-2}{x+2} – \frac{x}{x-3}} \]
Všimneme si, že v čitateli složeného zlomku můžeme zkrátit \(x+2\), protože \(x \neq -2\) (podmínka platnosti, aby nebyl nulový jmenovatel):
\[ \frac{x-2}{x-3} \div \left(\frac{x-2}{x+2} – \frac{x}{x-3}\right) \]
Teď se zaměříme na výraz ve jmenovateli složeného zlomku:
Sjednotíme zlomky na společného jmenovatele \((x+2)(x-3)\):
\[ \frac{x-2}{x+2} – \frac{x}{x-3} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x+2)(x-3)} – \frac{x(x+2)}{(x-3)(x+2)} = \frac{(x-2)(x-3) – x(x+2)}{(x+2)(x-3)} \]
Rozepíšeme čitatele:
\[ (x-2)(x-3) – x(x+2) = (x^2 – 3x – 2x + 6) – (x^2 + 2x) = (x^2 – 5x + 6) – x^2 – 2x = -7x + 6 \]
Tedy jmenovatel složeného zlomku je:
\[ \frac{-7x + 6}{(x+2)(x-3)} \]
Složený zlomek tedy přepíšeme jako dělení zlomků:
\[ \frac{x-2}{x-3} \div \frac{-7x + 6}{(x+2)(x-3)} = \frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{(x+2)(x-3)}{-7x + 6} \]
Můžeme krátit \((x-3)\), protože \(x \neq 3\):
\[ \frac{x-2}{1} \cdot \frac{x+2}{-7x + 6} = \frac{(x-2)(x+2)}{-7x + 6} \]
Rozepíšeme čitatel:
\[ (x-2)(x+2) = x^2 – 4 \]
Výsledný výraz je:
\[ \frac{x^2 – 4}{-7x + 6} \]
Podmínky platnosti jsou: \(x \neq -2\), \(x \neq 3\), a navíc platí, že jmenovatel \(-7x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{6}{7}\).
55. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – 9 = (x-3)(x+3) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společného jmenovatele \((x-3)(x+3)\):
\[ \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+3} = \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} + \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+3 + 2x – 6}{(x-3)(x+3)} = \frac{3x – 3}{(x-3)(x+3)} \]
Upravíme čitatel ve zlomku jmenovatele:
\[ 3x – 3 = 3(x-1) \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{3x}{(x-3)(x+3)}}{\frac{3(x-1)}{(x-3)(x+3)}} = \frac{3x}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{3(x-1)} = \frac{3x}{3(x-1)} = \frac{x}{x-1} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq 3\), \(x \neq -3\), \(x \neq 1\).
56. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společného jmenovatele \((x+2)(x+3)\):
\[ \frac{x+1}{x+3} – \frac{1}{x+2} = \frac{(x+1)(x+2)}{(x+3)(x+2)} – \frac{x+3}{(x+3)(x+2)} = \frac{(x+1)(x+2) – (x+3)}{(x+2)(x+3)} \]
Rozepíšeme čitatele:
\[ (x+1)(x+2) – (x+3) = (x^2 + 3x + 2) – (x + 3) = x^2 + 3x + 2 – x – 3 = x^2 + 2x -1 \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{2x+3}{(x+2)(x+3)}}{\frac{x^2 + 2x -1}{(x+2)(x+3)}} = \frac{2x+3}{(x+2)(x+3)} \cdot \frac{(x+2)(x+3)}{x^2 + 2x -1} = \frac{2x+3}{x^2 + 2x -1} \]
Podmínky platnosti jsou: \(x \neq -3\), \(x \neq -2\), a dále \(x^2 + 2x -1 \neq 0\), tedy \(x \neq -1 + \sqrt{2}\), \(x \neq -1 – \sqrt{2}\).
57. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – 4x + 3 = (x-1)(x-3) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společného jmenovatele \((x-1)(x-3)\):
\[ \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-3} = \frac{x-3}{(x-1)(x-3)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x-3 + 2x – 2}{(x-1)(x-3)} = \frac{3x – 5}{(x-1)(x-3)} \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{3x – 1}{(x-1)(x-3)}}{\frac{3x – 5}{(x-1)(x-3)}} = \frac{3x – 1}{(x-1)(x-3)} \cdot \frac{(x-1)(x-3)}{3x – 5} = \frac{3x – 1}{3x – 5} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq 3\), \(x \neq \frac{5}{3}\).
58. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 + x – 6 = (x+3)(x-2) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společného jmenovatele \((x-2)(x+3)\):
\[ \frac{2}{x-2} – \frac{1}{x+3} = \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+3)} – \frac{x-2}{(x-2)(x+3)} = \frac{2x + 6 – x + 2}{(x-2)(x+3)} = \frac{x + 8}{(x-2)(x+3)} \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{4x + 5}{(x+3)(x-2)}}{\frac{x + 8}{(x-2)(x+3)}} = \frac{4x + 5}{(x+3)(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x+3)}{x + 8} = \frac{4x + 5}{x + 8} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq 2\), \(x \neq -3\), \(x \neq -8\).
59. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \]
Rozložíme čitatel ve čitateli (pokud možno):
\[ 2x^2 – 3x + 1 = (2x – 1)(x – 1) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společného jmenovatele \((x-1)(x+1)\):
\[ \frac{x}{x-1} – \frac{1}{x+1} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} – \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + x – x + 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + 1}{(x-1)(x+1)} \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{(2x – 1)(x – 1)}{(x-1)(x+1)}}{\frac{x^2 + 1}{(x-1)(x+1)}} = \frac{(2x – 1)(x – 1)}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x^2 + 1} = \frac{(2x – 1)(x – 1)}{x^2 + 1} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq -1\).
60. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 + 4x + 3 = (x+3)(x+1) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společného jmenovatele \((x+3)(x+1)\):
\[ \frac{1}{x+3} + \frac{2}{x+1} = \frac{x+1}{(x+3)(x+1)} + \frac{2(x+3)}{(x+3)(x+1)} = \frac{x+1 + 2x + 6}{(x+3)(x+1)} = \frac{3x + 7}{(x+3)(x+1)} \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{x+4}{(x+3)(x+1)}}{\frac{3x + 7}{(x+3)(x+1)}} = \frac{x+4}{(x+3)(x+1)} \cdot \frac{(x+3)(x+1)}{3x + 7} = \frac{x+4}{3x + 7} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq -3\), \(x \neq -1\), \(x \neq -\frac{7}{3}\).
61. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel ve čitateli:
\[ x^2 – x – 6 = (x-3)(x+2) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společného jmenovatele \((x-3)(x+2)\):
\[ \frac{2}{x-3} – \frac{1}{x+2} = \frac{2(x+2)}{(x-3)(x+2)} – \frac{x-3}{(x-3)(x+2)} = \frac{2x + 4 – x + 3}{(x-3)(x+2)} = \frac{x + 7}{(x-3)(x+2)} \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{5x – 7}{(x-3)(x+2)}}{\frac{x + 7}{(x-3)(x+2)}} = \frac{5x – 7}{(x-3)(x+2)} \cdot \frac{(x-3)(x+2)}{x + 7} = \frac{5x – 7}{x + 7} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq 3\), \(x \neq -2\), \(x \neq -7\).
62. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme čitatele a jmenovatele ve složeném zlomku:
\[ x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2), \quad x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \]
Sjednotíme zlomek ve jmenovateli na společného jmenovatele \((x-2)(x+2)\):
\[ \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2 + x – 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x}{(x-2)(x+2)} \]
Složený zlomek přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)}}{\frac{2x}{(x-2)(x+2)}} = \frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{2x} = \frac{(x+1)(x+2)}{2x} \]
Podmínky platnosti: \(x \neq 2\), \(x \neq -2\), \(x \neq 0\).
63. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme výraz v čitateli složeného zlomku:
Víme, že \(x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\), takže můžeme přepsat čitatel jako \(\frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}\).
Ve jmenovateli složeného zlomku sjednotíme zlomky \(\frac{4x}{x+2}\) a \(\frac{x-1}{x-2}\) na společného jmenovatele \((x+2)(x-2)\):
\[ \frac{4x}{x+2} – \frac{x-1}{x-2} = \frac{4x(x-2)}{(x+2)(x-2)} – \frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4x(x-2) – (x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)} \]Rozepsání čitatele jmenovatele:
\[ 4x(x-2) = 4x^2 – 8x \] \[ (x-1)(x+2) = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2 \]Dosadíme zpět:
\[ \frac{4x^2 – 8x – (x^2 + x – 2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{4x^2 – 8x – x^2 – x + 2}{(x+2)(x-2)} = \frac{3x^2 – 9x + 2}{(x+2)(x-2)} \]Celý výraz tedy přepíšeme jako:
\[ \frac{\frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}}{\frac{3x^2 – 9x + 2}{(x+2)(x-2)}} = \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x+2)(x-2)}{3x^2 – 9x + 2} = \frac{2x+3}{3x^2 – 9x + 2} \]Závěr: Výraz lze zjednodušit na \(\frac{2x+3}{3x^2 – 9x + 2}\).
Podmínky platnosti jsou \(x \neq 2\), \(x \neq -2\), protože v těchto hodnotách by docházelo k dělení nulou.
64. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve upravíme jednotlivé části výrazu. Všimneme si, že \(x^2 – 1\) je rozdíl čtverců:
\(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\), což využijeme v čitateli složeného zlomku.
Dále rozebereme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{2x}{x-3} + \frac{4}{x^2 – 9} \]Opět rozložíme \(x^2 – 9\) jako rozdíl čtverců:
\[ x^2 – 9 = (x-3)(x+3) \]Sjednotíme jmenovatele na \((x-3)(x+3)\):
\[ \frac{2x}{x-3} = \frac{2x(x+3)}{(x-3)(x+3)} \] \[ \frac{4}{(x-3)(x+3)} = \frac{4}{(x-3)(x+3)} \]Po sečtení dostaneme:
\[ \frac{2x(x+3) + 4}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x^2 + 6x + 4}{(x-3)(x+3)} \]Celý výraz složeného zlomku tedy přepsaný:
\[ \frac{\frac{(x-1)(x+1)}{x+3}}{\frac{2x^2 + 6x + 4}{(x-3)(x+3)}} \]Převrácením a vynásobením:
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x+3} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{2x^2 + 6x + 4} \]Krátíme \(x+3\):
\[ (x-1)(x+1) \cdot \frac{x-3}{2x^2 + 6x + 4} \]Nyní upravíme jmenovatel, vytkneme 2:
\[ 2x^2 + 6x + 4 = 2(x^2 + 3x + 2) \]Rozložíme kvadratický trojčlen:
\[ x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) \]Dosadíme zpět:
\[ (x-1)(x+1) \cdot \frac{x-3}{2(x+1)(x+2)} \]Krátíme \(x+1\):
\[ \frac{(x-1)(x-3)}{2(x+2)} \]Výsledkem je tedy:
\[ \frac{(x-1)(x-3)}{2(x+2)} \]Podmínky platnosti jsou \(x \neq -3\), \(x \neq 3\), \(x \neq -2\), aby nedošlo k dělení nulou.
65. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
V čitateli máme rozdíl dvou zlomků:
\[ \frac{3x}{x^2-1} – \frac{2}{x+1} \]Rozložíme \(x^2-1\) na \((x-1)(x+1)\):
\[ \frac{3x}{(x-1)(x+1)} – \frac{2}{x+1} \]Sjednotíme na společného jmenovatele \((x-1)(x+1)\):
\[ \frac{3x}{(x-1)(x+1)} – \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{3x – 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x – 2x + 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x + 2}{(x-1)(x+1)} \]Ve jmenovateli máme součet:
\[ \frac{5}{x-1} + \frac{1}{x+1} \]Sjednotíme na společného jmenovatele:
\[ \frac{5(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{1(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{5x + 5 + x – 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{6x + 4}{(x-1)(x+1)} \]Nyní celý výraz složeného zlomku:
\[ \frac{\frac{x + 2}{(x-1)(x+1)}}{\frac{6x + 4}{(x-1)(x+1)}} = \frac{x + 2}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{6x + 4} = \frac{x + 2}{6x + 4} \]Vytkneme 2 ve jmenovateli:
\[ \frac{x + 2}{2(3x + 2)} \]Podmínky platnosti jsou \(x \neq 1\), \(x \neq -1\), aby nedošlo k dělení nulou.
66. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Jmenovatel \(x^2 – 4\) rozložíme na \((x-2)(x+2)\).
V čitateli složeného zlomku máme součet:
\[ \frac{5}{x+2} + \frac{3}{x-2} \]Sjednotíme na společného jmenovatele \((x+2)(x-2)\):
\[ \frac{5(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{5x – 10 + 3x + 6}{(x+2)(x-2)} = \frac{8x – 4}{(x+2)(x-2)} \]Ve jmenovateli složeného zlomku máme rozdíl:
\[ \frac{x+1}{(x-2)(x+2)} – \frac{1}{x-2} \]Sjednotíme na společného jmenovatele \((x-2)(x+2)\):
\[ \frac{x+1}{(x-2)(x+2)} – \frac{1(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+1 – (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+1 – x – 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{-1}{(x-2)(x+2)} \]Celý výraz složeného zlomku je:
\[ \frac{\frac{8x – 4}{(x+2)(x-2)}}{\frac{-1}{(x+2)(x-2)}} = \frac{8x – 4}{(x+2)(x-2)} \cdot \frac{(x+2)(x-2)}{-1} = \frac{8x – 4}{-1} = -8x + 4 \]Výsledek je lineární výraz \(-8x + 4\).
Podmínky platnosti: \(x \neq 2\), \(x \neq -2\).
67. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 5x + 6\):
\[ x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3) \]Čitatel složeného zlomku upravíme na společného jmenovatele \((x-2)(x-3)\):
\[ \frac{2x}{(x-2)(x-3)} + \frac{1}{x-2} = \frac{2x}{(x-2)(x-3)} + \frac{1(x-3)}{(x-2)(x-3)} = \frac{2x + x – 3}{(x-2)(x-3)} = \frac{3x – 3}{(x-2)(x-3)} \]Ve jmenovateli složeného zlomku máme rozdíl:
\[ \frac{3}{x-3} – \frac{1}{x-2} \]Sjednotíme na společného jmenovatele:
\[ \frac{3(x-2)}{(x-3)(x-2)} – \frac{1(x-3)}{(x-2)(x-3)} = \frac{3x – 6 – x + 3}{(x-2)(x-3)} = \frac{2x – 3}{(x-2)(x-3)} \]Nyní složený zlomek:
\[ \frac{\frac{3x – 3}{(x-2)(x-3)}}{\frac{2x – 3}{(x-2)(x-3)}} = \frac{3x – 3}{(x-2)(x-3)} \cdot \frac{(x-2)(x-3)}{2x – 3} = \frac{3x – 3}{2x – 3} \]Vytkneme v čitateli 3:
\[ \frac{3(x – 1)}{2x – 3} \]Podmínky platnosti jsou \(x \neq 2\), \(x \neq 3\).
68. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) + x}{x(x+1)} = \frac{2x + 1}{x(x+1)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x-1} – \frac{1}{x} = \frac{x – (x-1)}{x(x-1)} = \frac{1}{x(x-1)} \]Celý výraz složeného zlomku:
\[ \frac{\frac{2x + 1}{x(x+1)}}{\frac{1}{x(x-1)}} = \frac{2x + 1}{x(x+1)} \cdot \frac{x(x-1)}{1} = \frac{2x + 1}{x+1} \cdot (x-1) \]Výsledek je:
\[ \frac{(2x + 1)(x – 1)}{x + 1} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 0\), \(x \neq -1\), \(x \neq 1\).
69. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 + 2x\):
\[ x^2 + 2x = x(x+2) \]V čitateli složeného zlomku:
\[ \frac{x+2}{x(x+2)} – \frac{1}{x} = \frac{x+2}{x(x+2)} – \frac{x+2}{x(x+2)} + \frac{x+2 – (x+2)}{x(x+2)} = \text{Ne, je lepší sjednotit:} \]Sjednotíme na společného jmenovatele \(x(x+2)\):
\[ \frac{x+2}{x(x+2)} – \frac{1 \cdot (x+2)}{x(x+2)} = \frac{x+2 – (x+2)}{x(x+2)} = \frac{0}{x(x+2)} = 0 \]Čitatel složeného zlomku je tedy 0.
Ve jmenovateli složeného zlomku je:
\[ \frac{2}{x} – \frac{1}{x+2} = \frac{2(x+2) – 1 \cdot x}{x(x+2)} = \frac{2x + 4 – x}{x(x+2)} = \frac{x + 4}{x(x+2)} \]Celý výraz složeného zlomku je:
\[ \frac{0}{\frac{x + 4}{x(x+2)}} = 0 \]Podmínky platnosti: \(x \neq 0\), \(x \neq -2\).
70. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
V čitateli složeného zlomku je rozdíl:
\[ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x-1} = \frac{x-1 – (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x – 1 – x – 1}{(x+1)(x-1)} = \frac{-2}{(x+1)(x-1)} \]Ve jmenovateli složeného zlomku je součet:
\[ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1 + x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{-2}{(x+1)(x-1)}}{\frac{2x}{(x+1)(x-1)}} = \frac{-2}{(x+1)(x-1)} \cdot \frac{(x+1)(x-1)}{2x} = \frac{-2}{2x} = -\frac{1}{x} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq -1\).
71. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 4x + 4\), což je \((x-2)^2\).
V čitateli složeného zlomku sjednotíme:
\[ \frac{4x}{(x-2)^2} – \frac{2}{x-2} = \frac{4x}{(x-2)^2} – \frac{2(x-2)}{(x-2)^2} = \frac{4x – 2x + 4}{(x-2)^2} = \frac{2x + 4}{(x-2)^2} \]Ve jmenovateli složeného zlomku sjednotíme na společný jmenovatel \(x(x-2)\):
\[ \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x} = \frac{3x}{x(x-2)} + \frac{x-2}{x(x-2)} = \frac{3x + x – 2}{x(x-2)} = \frac{4x – 2}{x(x-2)} \]Celý složený zlomek je tedy:
\[ \frac{\frac{2x + 4}{(x-2)^2}}{\frac{4x – 2}{x(x-2)}} = \frac{2x + 4}{(x-2)^2} \cdot \frac{x(x-2)}{4x – 2} = \frac{(2x + 4) x (x-2)}{(x-2)^2 (4x – 2)} = \frac{(2x + 4) x}{(x-2)(4x – 2)} \]Vytkneme 2 v čitateli i jmenovateli, kde je to možné:
\[ 2x + 4 = 2(x + 2), \quad 4x – 2 = 2(2x – 1) \]Dosadíme a zkrátíme 2:
\[ \frac{2(x + 2) x}{(x-2) \cdot 2(2x – 1)} = \frac{(x + 2) x}{(x-2)(2x – 1)} \]Výsledkem je:
\[ \frac{x(x + 2)}{(x-2)(2x – 1)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 2\), \(x \neq 0\), \(x \neq \frac{1}{2}\).
72. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
V čitateli složeného zlomku sjednotíme:
\[ \frac{x}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 – x + 2x + 2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 + x + 2}{(x+1)(x-1)} \]Ve jmenovateli složeného zlomku sjednotíme:
\[ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x-1} = \frac{x-1 – (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x – 1 – x – 1}{(x+1)(x-1)} = \frac{-2}{(x+1)(x-1)} \]Celý výraz složeného zlomku:
\[ \frac{\frac{x^2 + x + 2}{(x+1)(x-1)}}{\frac{-2}{(x+1)(x-1)}} = \frac{x^2 + x + 2}{(x+1)(x-1)} \cdot \frac{(x+1)(x-1)}{-2} = -\frac{x^2 + x + 2}{2} \]Podmínky platnosti: \(x \neq -1\), \(x \neq 1\).
73. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\).
V čitateli složeného zlomku sjednotíme:
\[ \frac{3x}{(x-1)(x+1)} + \frac{4}{x-1} = \frac{3x}{(x-1)(x+1)} + \frac{4(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x + 4x + 4}{(x-1)(x+1)} = \frac{7x + 4}{(x-1)(x+1)} \]Ve jmenovateli složeného zlomku sjednotíme:
\[ \frac{5}{x+1} – \frac{2}{x-1} = \frac{5(x-1)}{(x+1)(x-1)} – \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{5x – 5 – 2x – 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x – 7}{(x-1)(x+1)} \]Celý výraz složeného zlomku je:
\[ \frac{\frac{7x + 4}{(x-1)(x+1)}}{\frac{3x – 7}{(x-1)(x+1)}} = \frac{7x + 4}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{3x – 7} = \frac{7x + 4}{3x – 7} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq -1\), \(x \neq \frac{7}{3}\).
74. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 9\):
\[ x^2 – 9 = (x-3)(x+3) \]V čitateli složeného zlomku sjednotíme na společného jmenovatele \((x-3)(x+3)\):
\[ \frac{2x}{(x-3)(x+3)} – \frac{1}{x-3} = \frac{2x}{(x-3)(x+3)} – \frac{1 \cdot (x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x – x – 3}{(x-3)(x+3)} = \frac{x – 3}{(x-3)(x+3)} \]Zkrátíme čitatel s jedním faktorem ve jmenovateli:
\[ \frac{x – 3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x+3}, \quad x \neq 3 \]Ve jmenovateli složeného zlomku sjednotíme:
\[ \frac{1}{x+3} + \frac{3}{x-3} = \frac{(x-3) + 3(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x – 3 + 3x + 9}{(x+3)(x-3)} = \frac{4x + 6}{(x+3)(x-3)} \]Celý výraz složeného zlomku:
\[ \frac{\frac{1}{x+3}}{\frac{4x + 6}{(x+3)(x-3)}} = \frac{1}{x+3} \cdot \frac{(x+3)(x-3)}{4x + 6} = \frac{x-3}{4x + 6} \]Výsledek lze ještě upravit vytknutím 2 v jmenovateli:
\[ \frac{x-3}{2(2x + 3)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 3\), \(x \neq -3\), \(x \neq -\frac{3}{2}\).
75. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\).
V čitateli složeného zlomku sjednotíme na společného jmenovatele \((x-1)(x+1)\):
\[ \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{2}{x-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1 + 2x + 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x + 3}{(x-1)(x+1)} \]Vytkneme 3 v čitateli:
\[ \frac{3(x + 1)}{(x-1)(x+1)} \]Ve jmenovateli složeného zlomku sjednotíme:
\[ \frac{3}{x+1} – \frac{1}{x-1} = \frac{3(x-1) – 1(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{3x – 3 – x – 1}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x – 4}{(x+1)(x-1)} \]Vytkneme 2 v čitateli:
\[ \frac{2(x – 2)}{(x+1)(x-1)} \]Celý složený zlomek je tedy:
\[ \frac{\frac{3(x + 1)}{(x-1)(x+1)}}{\frac{2(x – 2)}{(x+1)(x-1)}} = \frac{3(x + 1)}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x+1)(x-1)}{2(x – 2)} = \frac{3(x + 1)}{2(x – 2)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq -1\), \(x \neq 2\).
76. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x} – \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) – x}{x(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{2(x+2) + 1(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x + 4 + x + 1}{(x+1)(x+2)} = \frac{3x + 5}{(x+1)(x+2)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{2}{x(x+2)}}{\frac{3x + 5}{(x+1)(x+2)}} = \frac{2}{x(x+2)} \cdot \frac{(x+1)(x+2)}{3x + 5} = \frac{2(x+1)}{x(3x + 5)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 0\), \(x \neq -2\), \(x \neq -1\), \(3x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{5}{3}\).
77. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Sjednotíme čitatel složeného zlomku na společného jmenovatele \((x-1)(x+1)\):
\[ \frac{x^2}{x-1} – \frac{x}{x+1} = \frac{x^2(x+1)}{(x-1)(x+1)} – \frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^3 + x^2 – x^2 + x}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^3 + x}{(x-1)(x+1)} \]Vytkneme \(x\) v čitateli:
\[ \frac{x(x^2 + 1)}{(x-1)(x+1)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{x}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + x + x – 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + 2x – 1}{(x-1)(x+1)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{x(x^2 + 1)}{(x-1)(x+1)}}{\frac{x^2 + 2x – 1}{(x-1)(x+1)}} = \frac{x(x^2 + 1)}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x^2 + 2x – 1} = \frac{x(x^2 + 1)}{x^2 + 2x – 1} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq -1\).
78. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{x-2} = \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)} + \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x + 3 + x + 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x + 5}{(x-2)(x+2)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{3}{x+2} – \frac{1}{x-2} = \frac{3(x-2) – 1(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{3x – 6 – x – 2}{(x+2)(x-2)} = \frac{2x – 8}{(x+2)(x-2)} \]Vytkneme 2:
\[ \frac{2(x – 4)}{(x+2)(x-2)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{3x + 5}{(x-2)(x+2)}}{\frac{2(x – 4)}{(x+2)(x-2)}} = \frac{3x + 5}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x+2)(x-2)}{2(x – 4)} = \frac{3x + 5}{2(x – 4)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 2\), \(x \neq -2\), \(x \neq 4\).
79. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{4}{(x-1)(x+1)} – \frac{2}{x+1} = \frac{4}{(x-1)(x+1)} – \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{4 – 2x + 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{6 – 2x}{(x-1)(x+1)} \]Vytkneme -2:
\[ \frac{-2(x – 3)}{(x-1)(x+1)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{x+1 + 3(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x + 1 + 3x – 3}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x – 2}{(x-1)(x+1)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{-2(x – 3)}{(x-1)(x+1)}}{\frac{4x – 2}{(x-1)(x+1)}} = \frac{-2(x – 3)}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{4x – 2} = \frac{-2(x – 3)}{4x – 2} \]Vytkneme 2 v jmenovateli:
\[ \frac{-2(x – 3)}{2(2x – 1)} = \frac{-(x – 3)}{2x – 1} = \frac{3 – x}{2x – 1} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq -1\), \(x \neq \frac{1}{2}\).
80. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{3x}{(x+1)^2} – \frac{2}{x+1} = \frac{3x}{(x+1)^2} – \frac{2(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{3x – 2x – 2}{(x+1)^2} = \frac{x – 2}{(x+1)^2} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{5}{x+1} + \frac{1}{x} = \frac{5x}{x(x+1)} + \frac{x+1}{x(x+1)} = \frac{5x + x + 1}{x(x+1)} = \frac{6x + 1}{x(x+1)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{x – 2}{(x+1)^2}}{\frac{6x + 1}{x(x+1)}} = \frac{x – 2}{(x+1)^2} \cdot \frac{x(x+1)}{6x + 1} = \frac{(x – 2)x}{(x+1)(6x + 1)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq -1\), \(x \neq 0\), \(6x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{6}\).
81. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2\).
Připomínáme, že \(2 – x = -(x-2)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{2x – 1}{(x-2)^2} + \frac{3}{2-x} = \frac{2x – 1}{(x-2)^2} + \frac{3}{-(x-2)} = \frac{2x – 1}{(x-2)^2} – \frac{3}{x-2} \]Sjednotíme na společného jmenovatele \((x-2)^2\):
\[ \frac{2x – 1}{(x-2)^2} – \frac{3(x-2)}{(x-2)^2} = \frac{2x – 1 – 3x + 6}{(x-2)^2} = \frac{-x + 5}{(x-2)^2} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x-2} – \frac{4}{x-2} = \frac{1 – 4}{x-2} = \frac{-3}{x-2} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{-x + 5}{(x-2)^2}}{\frac{-3}{x-2}} = \frac{-x + 5}{(x-2)^2} \cdot \frac{x-2}{-3} = \frac{(-x + 5)(x-2)}{-3 (x-2)^2} \cdot (x-2) \Rightarrow \frac{-x + 5}{-3(x-2)} = \frac{x – 5}{3(x-2)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 2\).
82. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme čitatel v čitateli složeného zlomku:
\[ x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \]Vyjádříme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} – (x-2) = (x-2) – (x-2) = 0 \]Jelikož čitatel složeného zlomku je nula, celý výraz je:
\[ \frac{0}{\frac{2x}{x+2} + \frac{1}{x}} = 0, \quad \text{pokud jmenovatel není nulový.} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{2x}{x+2} + \frac{1}{x} = \frac{2x^2}{x(x+2)} + \frac{x+2}{x(x+2)} = \frac{2x^2 + x + 2}{x(x+2)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 0\), \(x \neq -2\), a navíc aby jmenovatel nebyl nulový, musí platit
\[ 2x^2 + x + 2 \neq 0 \]Diskriminant kvadratické rovnice \(2x^2 + x + 2 = 0\) je:
\[ \Delta = 1^2 – 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 – 16 = -15 < 0 \]Nemá reálné kořeny, takže jmenovatel nikdy není nula pro reálná \(x\) mimo vyloučené hodnoty.
Výsledkem je tedy:
\[ 0 \]83. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{x+2}{(x-2)^2} + \frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{(x-2)^2} + \frac{x-2}{(x-2)^2} = \frac{x+2 + x – 2}{(x-2)^2} = \frac{2x}{(x-2)^2} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{2}{x-2} – \frac{3}{x-2} = \frac{2 – 3}{x-2} = \frac{-1}{x-2} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{2x}{(x-2)^2}}{\frac{-1}{x-2}} = \frac{2x}{(x-2)^2} \cdot \frac{x-2}{-1} = \frac{2x}{x-2} \cdot (-1) = \frac{-2x}{x-2} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 2\).
84. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) + x}{x(x+1)} = \frac{2x + 1}{x(x+1)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x-1} – \frac{1}{x} = \frac{x – (x-1)}{(x-1)x} = \frac{1}{(x-1)x} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{2x + 1}{x(x+1)}}{\frac{1}{(x-1)x}} = \frac{2x + 1}{x(x+1)} \cdot \frac{(x-1)x}{1} = \frac{(2x + 1)(x-1)x}{x(x+1)} = \frac{(2x + 1)(x-1)}{x+1} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 0\), \(x \neq -1\), \(x \neq 1\).
85. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{x+2}{(x-1)(x+1)} – \frac{x-1}{x+1} = \frac{x+2}{(x-1)(x+1)} – \frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+2 – (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} \]Rozepíšeme čitatele:
\[ x+2 – (x^2 – 2x + 1) = x + 2 – x^2 + 2x – 1 = -x^2 + 3x + 1 \]Čitatel složeného zlomku je tedy:
\[ \frac{-x^2 + 3x + 1}{(x-1)(x+1)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{3x}{x-1} + 2 = \frac{3x}{x-1} + \frac{2(x-1)}{x-1} = \frac{3x + 2x – 2}{x-1} = \frac{5x – 2}{x-1} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{-x^2 + 3x + 1}{(x-1)(x+1)}}{\frac{5x – 2}{x-1}} = \frac{-x^2 + 3x + 1}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x-1}{5x – 2} = \frac{-x^2 + 3x + 1}{(x+1)(5x – 2)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq -1\), \(5x – 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{2}{5}\).
86. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{(x-2)^2} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{(x-2)^2} + \frac{x-2}{(x-2)^2} = \frac{1 + x – 2}{(x-2)^2} = \frac{x – 1}{(x-2)^2} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{x}{x-2} – \frac{1}{x} = \frac{x^2}{x(x-2)} – \frac{x-2}{x(x-2)} = \frac{x^2 – (x – 2)}{x(x-2)} = \frac{x^2 – x + 2}{x(x-2)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{x – 1}{(x-2)^2}}{\frac{x^2 – x + 2}{x(x-2)}} = \frac{x – 1}{(x-2)^2} \cdot \frac{x(x-2)}{x^2 – x + 2} = \frac{(x – 1)x}{(x-2)(x^2 – x + 2)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 2\), \(x \neq 0\).
87. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} – \frac{2}{x-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} – \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1 – 2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1 – 2x – 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{-x -1}{(x-1)(x+1)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{3x}{x+1} + \frac{1}{x} = \frac{3x \cdot x}{x(x+1)} + \frac{x+1}{x(x+1)} = \frac{3x^2 + x + 1}{x(x+1)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{-x -1}{(x-1)(x+1)}}{\frac{3x^2 + x + 1}{x(x+1)}} = \frac{-x -1}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x(x+1)}{3x^2 + x + 1} = \frac{(-x -1)x}{(x-1)(3x^2 + x + 1)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq -1\), \(x \neq 0\).
88. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x} – \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) – x}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} = \frac{x + (x-1)}{x(x-1)} = \frac{2x – 1}{x(x-1)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{1}{x(x+1)}}{\frac{2x – 1}{x(x-1)}} = \frac{1}{x(x+1)} \cdot \frac{x(x-1)}{2x – 1} = \frac{x – 1}{(x+1)(2x – 1)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 0\), \(x \neq -1\), \(x \neq 1\), \(2x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}\).
89. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{2x}{(x-1)(x+1)} + \frac{3}{x+1} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x + 3x – 3}{(x-1)(x+1)} = \frac{5x – 3}{(x-1)(x+1)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{4}{x-1} – \frac{1}{x} = \frac{4x}{x(x-1)} – \frac{x-1}{x(x-1)} = \frac{4x – (x-1)}{x(x-1)} = \frac{3x + 1}{x(x-1)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{5x – 3}{(x-1)(x+1)}}{\frac{3x + 1}{x(x-1)}} = \frac{5x – 3}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x(x-1)}{3x + 1} = \frac{(5x – 3)x}{(x+1)(3x + 1)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq -1\), \(x \neq 0\), \(3x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{3}\).
90. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme čitatele čitatele složeného zlomku:
\[ x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \]Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} – x = (x-1) – x = -1 \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x} = \frac{2x}{x(x-1)} + \frac{x-1}{x(x-1)} = \frac{2x + x – 1}{x(x-1)} = \frac{3x – 1}{x(x-1)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{-1}{\frac{3x – 1}{x(x-1)}} = -1 \cdot \frac{x(x-1)}{3x – 1} = \frac{-x(x-1)}{3x – 1} \]Podmínky platnosti: \(x \neq -1\), \(x \neq 1\), \(3x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}\).
91. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{2}{(x+1)(x+2)} – \frac{1}{x+1} = \frac{2}{(x+1)(x+2)} – \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} = \frac{2 – (x+2)}{(x+1)(x+2)} = \frac{2 – x – 2}{(x+1)(x+2)} = \frac{-x}{(x+1)(x+2)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x+2} + \frac{3}{x} = \frac{x}{x(x+2)} + \frac{3(x+2)}{x(x+2)} = \frac{x + 3x + 6}{x(x+2)} = \frac{4x + 6}{x(x+2)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{-x}{(x+1)(x+2)}}{\frac{4x + 6}{x(x+2)}} = \frac{-x}{(x+1)(x+2)} \cdot \frac{x(x+2)}{4x + 6} = \frac{-x^2}{(x+1)(4x + 6)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq -1\), \(x \neq -2\), \(x \neq 0\), \(4x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}\).
92. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{x}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{x-1} = \frac{x}{(x-1)(x+1)} + \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x + x + 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x + 1}{(x-1)(x+1)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{2}{x+1} – \frac{3}{x} = \frac{2x}{x(x+1)} – \frac{3(x+1)}{x(x+1)} = \frac{2x – 3x – 3}{x(x+1)} = \frac{-x – 3}{x(x+1)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{2x + 1}{(x-1)(x+1)}}{\frac{-x – 3}{x(x+1)}} = \frac{2x + 1}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x(x+1)}{-x – 3} = \frac{(2x + 1) x}{(x-1)(-x – 3)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq -1\), \(x \neq 0\), \(x \neq -3\).
93. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{3}{(x-2)(x+2)} – \frac{2}{x-2} = \frac{3}{(x-2)(x+2)} – \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3 – 2x – 4}{(x-2)(x+2)} = \frac{-2x – 1}{(x-2)(x+2)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{5}{x+2} + \frac{1}{x} = \frac{5x}{x(x+2)} + \frac{x+2}{x(x+2)} = \frac{5x + x + 2}{x(x+2)} = \frac{6x + 2}{x(x+2)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{-2x – 1}{(x-2)(x+2)}}{\frac{6x + 2}{x(x+2)}} = \frac{-2x – 1}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x+2)}{6x + 2} = \frac{(-2x – 1) x}{(x-2)(6x + 2)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 2\), \(x \neq -2\), \(x \neq 0\), \(6x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{3}\).
94. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Nejprve rozložíme jmenovatel výrazu ve jmenovateli:
\[ x^2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1) \]Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x+2} – \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1) – (x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{x – 1 – x – 2}{(x+2)(x-1)} = \frac{-3}{(x+2)(x-1)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x} + \frac{2}{(x-2)(x+1)} = \frac{(x-2)(x+1) + 2x}{x(x-2)(x+1)} \]Rozvineme a upravíme čitatel jmenovatele:
\[ (x-2)(x+1) + 2x = (x^2 – x – 2) + 2x = x^2 + x – 2 \]Celý jmenovatel tedy je:
\[ \frac{x^2 + x – 2}{x(x-2)(x+1)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{-3}{(x+2)(x-1)}}{\frac{x^2 + x – 2}{x(x-2)(x+1)}} = \frac{-3}{(x+2)(x-1)} \cdot \frac{x(x-2)(x+1)}{x^2 + x – 2} \]Rozložíme čitatel jmenovatele ještě jednou:
\[ x^2 + x – 2 = (x+2)(x-1) \]Dosadíme a zkrátíme společné členy:
\[ \frac{-3 \cdot x (x-2)(x+1)}{(x+2)(x-1) (x+2)(x-1)} = \frac{-3x(x-2)(x+1)}{(x+2)(x-1)(x+2)(x-1)} \Rightarrow \]Protože se ve jmenovateli a čitateli vyskytují výrazy, které lze zkrátit, po zkrácení získáme:
\[ \frac{-3x(x-2)(x+1)}{(x+2)(x-1)(x+2)(x-1)} \Rightarrow \frac{-3x(x-2)(x+1)}{(x+2)^2 (x-1)^2} \]Tedy výsledek je:
\[ \frac{-3x (x-2)(x+1)}{(x+2)^2 (x-1)^2} \]Podmínky platnosti: \(x \neq -2\), \(x \neq 1\), \(x \neq 0\), \(x \neq 2\), \(x \neq -1\).
95. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 4x + 3 = (x-1)(x-3)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{x}{(x-1)(x-3)} – \frac{1}{x-1} = \frac{x}{(x-1)(x-3)} – \frac{x-3}{(x-1)(x-3)} = \frac{x – (x-3)}{(x-1)(x-3)} = \frac{3}{(x-1)(x-3)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{2}{x-3} + \frac{1}{x} = \frac{2x}{x(x-3)} + \frac{x-3}{x(x-3)} = \frac{2x + x – 3}{x(x-3)} = \frac{3x – 3}{x(x-3)} = \frac{3(x-1)}{x(x-3)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{3}{(x-1)(x-3)}}{\frac{3(x-1)}{x(x-3)}} = \frac{3}{(x-1)(x-3)} \cdot \frac{x(x-3)}{3(x-1)} = \frac{x}{(x-1)^2} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq 3\), \(x \neq 0\).
96. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 9 = (x-3)(x+3)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{3x}{(x-3)(x+3)} + \frac{2}{x+3} = \frac{3x}{(x-3)(x+3)} + \frac{2(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{3x + 2x – 6}{(x-3)(x+3)} = \frac{5x – 6}{(x-3)(x+3)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{4}{x-3} – \frac{1}{x} = \frac{4x}{x(x-3)} – \frac{x-3}{x(x-3)} = \frac{4x – x + 3}{x(x-3)} = \frac{3x + 3}{x(x-3)} = \frac{3(x+1)}{x(x-3)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{5x – 6}{(x-3)(x+3)}}{\frac{3(x+1)}{x(x-3)}} = \frac{5x – 6}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x(x-3)}{3(x+1)} = \frac{(5x – 6) x}{3(x+3)(x+1)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 3\), \(x \neq -3\), \(x \neq 0\), \(x \neq -1\).
97. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – x – 6 = (x-3)(x+2)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{2}{(x-3)(x+2)} – \frac{1}{x-3} = \frac{2}{(x-3)(x+2)} – \frac{x+2}{(x-3)(x+2)} = \frac{2 – (x+2)}{(x-3)(x+2)} = \frac{-x}{(x-3)(x+2)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{x+2} + \frac{3}{x} = \frac{x}{x(x+2)} + \frac{3(x+2)}{x(x+2)} = \frac{x + 3x + 6}{x(x+2)} = \frac{4x + 6}{x(x+2)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{-x}{(x-3)(x+2)}}{\frac{4x + 6}{x(x+2)}} = \frac{-x}{(x-3)(x+2)} \cdot \frac{x(x+2)}{4x + 6} = \frac{-x^2}{(x-3)(4x + 6)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 3\), \(x \neq -2\), \(x \neq 0\), \(4x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}\).
98. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{4}{(x-2)(x-3)} + \frac{3}{x-2} = \frac{4}{(x-2)(x-3)} + \frac{3(x-3)}{(x-2)(x-3)} = \frac{4 + 3x – 9}{(x-2)(x-3)} = \frac{3x – 5}{(x-2)(x-3)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{5}{x-3} – \frac{2}{x} = \frac{5x}{x(x-3)} – \frac{2(x-3)}{x(x-3)} = \frac{5x – 2x + 6}{x(x-3)} = \frac{3x + 6}{x(x-3)} = \frac{3(x+2)}{x(x-3)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{3x – 5}{(x-2)(x-3)}}{\frac{3(x+2)}{x(x-3)}} = \frac{3x – 5}{(x-2)(x-3)} \cdot \frac{x(x-3)}{3(x+2)} = \frac{(3x – 5) x}{3 (x-2)(x+2)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 2\), \(x \neq 3\), \(x \neq 0\), \(x \neq -2\).
99. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{5}{(x-2)^2} – \frac{3}{x-2} = \frac{5}{(x-2)^2} – \frac{3(x-2)}{(x-2)^2} = \frac{5 – 3x + 6}{(x-2)^2} = \frac{11 – 3x}{(x-2)^2} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{4}{x} + \frac{1}{x-2} = \frac{4(x-2)}{x(x-2)} + \frac{x}{x(x-2)} = \frac{4x – 8 + x}{x(x-2)} = \frac{5x – 8}{x(x-2)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{11 – 3x}{(x-2)^2}}{\frac{5x – 8}{x(x-2)}} = \frac{11 – 3x}{(x-2)^2} \cdot \frac{x(x-2)}{5x – 8} = \frac{(11 – 3x) x}{(x-2)(5x – 8)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 2\), \(x \neq 0\), \(5x – 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{8}{5}\).
100. Vypočítejte:
Řešení příkladu:
Rozložíme jmenovatel \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\).
Sjednotíme čitatel složeného zlomku:
\[ \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1 + x – 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{(x-1)(x+1)} \]Sjednotíme jmenovatel složeného zlomku:
\[ \frac{3}{x-1} – \frac{2}{x} = \frac{3x}{x(x-1)} – \frac{2(x-1)}{x(x-1)} = \frac{3x – 2x + 2}{x(x-1)} = \frac{x + 2}{x(x-1)} \]Celý složený zlomek:
\[ \frac{\frac{x}{(x-1)(x+1)}}{\frac{x + 2}{x(x-1)}} = \frac{x}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x(x-1)}{x + 2} = \frac{x^2}{(x+1)(x + 2)} \]Podmínky platnosti: \(x \neq 1\), \(x \neq -1\), \(x \neq 0\), \(x \neq -2\).