Složené úročení

Řešení příkladu:

Pro složené úročení platí vzorec: \( K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n \), kde \(K_0\) je počáteční kapitál, \(r\) je roční úroková míra v desítkovém tvaru a \(n\) počet let.

Dosadíme hodnoty: \( K_0 = 10000 \), \( r = 0{,}05 \), \( n = 3 \)

\( K_3 = 10000 \cdot (1 + 0{,}05)^3 = 10000 \cdot 1{,}157625 = 11576{,}25 \)

Hodnota vkladu za \(3\) roky bude \(11576{,}25\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba \(r = 0{,}04\) je připisována čtvrtletně, což znamená, že se úrok přičítá \(4×\) za rok.

Úroková sazba na jedno čtvrtletí je \( r_q = \frac{0{,}04}{4} = 0{,}01 \).

Počet čtvrtletí za \(2\) roky je \( n = 2 \times 4 = 8 \).

Vzorec pro složené úročení je: \( K_n = K_0 \cdot (1 + r_q)^n \).

Dosadíme: \( K_8 = 15000 \cdot (1 + 0{,}01)^8 = 15000 \cdot 1{,}082856 \approx 16242{,}84 \).

Hodnota účtu za \(2\) roky bude přibližně \(16242{,}84\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba \( r = 0{,}035 \) je připisována měsíčně, tj. 12× za rok.

Měsíční úroková sazba: \( r_m = \frac{0{,}035}{12} \approx 0{,}0029167 \).

Počet měsíců: \( n = 5 \times 12 = 60 \).

Vzorec: \( K_n = K_0 \cdot (1 + r_m)^n \).

Dosadíme: \( K_{60} = 20000 \cdot (1 + 0{,}0029167)^{60} \).

Vypočítáme: \( (1 + 0{,}0029167)^{60} = (1{,}0029167)^{60} \approx 1{,}197 \).

Takže \( K_{60} \approx 20000 \times 1{,}197 = 23940 \).

Na účtu bude po \(5\) letech přibližně \(23940\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}06 \), připisuje se pololetně, tedy 2× za rok.

Pololetní úroková sazba: \( r_p = \frac{0{,}06}{2} = 0{,}03 \).

Počet pololetí za 3 roky: \( n = 3 \times 2 = 6 \).

Vzorec: \( K_n = K_0 \cdot (1 + r_p)^n \).

Dosadíme: \( K_6 = 50000 \cdot (1 + 0{,}03)^6 = 50000 \cdot (1{,}03)^6 \).

Vypočítáme: \( (1{,}03)^6 = 1{,}194052 \).

Hodnota investice: \( 50000 \times 1{,}194052 = 59702{,}6 \).

Po \(3\) letech bude hodnota investice přibližně \(59702{,}60\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba \( r = 0{,}07 \), připisuje se ročně, takže vzorec: \( K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n \).

Počet let \( n = 10 \).

Dosadíme: \( K_{10} = 5000 \cdot (1 + 0{,}07)^{10} = 5000 \cdot (1{,}07)^{10} \).

Vypočítáme: \( (1{,}07)^{10} \approx 1{,}967151 \).

Hodnota účtu: \( 5000 \times 1{,}967151 = 9835{,}76 \).

Student bude mít po \(10\) letech na účtu přibližně \(9835{,}76\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba \( r = 0{,}045 \) s měsíčním připisováním znamená měsíční sazbu \( r_m = \frac{0{,}045}{12} = 0{,}00375 \).

Počet měsíců: \( n = 4 \times 12 = 48 \).

Vzorec: \( K_n = K_0 \cdot (1 + r_m)^n \).

Dosadíme: \( K_{48} = 25000 \cdot (1 + 0{,}00375)^{48} = 25000 \cdot (1{,}00375)^{48} \).

Vypočítáme mocninu: \( (1{,}00375)^{48} \approx 1{,}197 \).

Takže \( K_{48} \approx 25000 \times 1{,}197 = 29925 \).

Po \(4\) letech bude na účtu přibližně \(29925\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba \( r = 0{,}028 \) připisovaná čtvrtletně znamená čtvrtletní sazbu \( r_q = \frac{0{,}028}{4} = 0{,}007 \).

Počet čtvrtletí: \( n = 6 \times 4 = 24 \).

Vzorec: \( K_n = K_0 \cdot (1 + r_q)^n \).

Dosadíme: \( K_{24} = 30000 \cdot (1 + 0{,}007)^{24} = 30000 \cdot (1{,}007)^{24} \).

Vypočítáme mocninu: \( (1{,}007)^{24} \approx 1{,}1824 \).

Hodnota účtu: \( 30000 \times 1{,}1824 = 35472 \).

Po \(6\) letech bude na účtu přibližně \(35472\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba \( r = 0{,}08 \), připisuje se pololetně, takže pololetní sazba \( r_p = \frac{0{,}08}{2} = 0{,}04 \).

Počet pololetí za 1,5 roku: \( n = 1{,}5 \times 2 = 3 \).

Vzorec: \( K_n = K_0 \cdot (1 + r_p)^n \).

Dosadíme: \( K_3 = 100000 \cdot (1 + 0{,}04)^3 = 100000 \cdot (1{,}04)^3 \).

Vypočítáme: \( (1{,}04)^3 = 1{,}124864 \).

Hodnota investice: \( 100000 \times 1{,}124864 = 112486{,}4 \).

Po (1,5\) roce bude hodnota investice přibližně \(112486{,}40\) Kč.

Řešení příkladu:

Vzorec pro složené úročení je \( K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n \), kde \(K_0 = 8000\), \(r = 0{,}05\).

Potřebujeme najít \( n \), kdy \( K_n > 12000 \).

\( 8000 \cdot (1 + 0{,}05)^n > 12000 \Rightarrow (1{,}05)^n > \frac{12000}{8000} = 1{,}5 \).

Vezmeme logaritmus:

\( n \cdot \log(1{,}05) > \log(1{,}5) \Rightarrow n > \frac{\log(1{,}5)}{\log(1{,}05)} \).

Vypočítáme hodnoty:

\( \log(1{,}5) \approx 0{,}1761 \), \( \log(1{,}05) \approx 0{,}0212 \).

\( n > \frac{0{,}1761}{0{,}0212} \approx 8{,}3 \).

Proto paní Malá bude mít na účtu více než \(12 000\) Kč po \(9\) letech.

Řešení příkladu:

Měsíční úroková sazba je \( r_m = 0{,}003 \) (0,3 % v desítkovém tvaru).

Počet měsíců: \( n = 18 \).

Vzorec: \( K_n = K_0 \cdot (1 + r_m)^n \).

Dosadíme: \( K_{18} = 12000 \cdot (1 + 0{,}003)^{18} = 12000 \cdot (1{,}003)^{18} \).

Vypočítáme: \( (1{,}003)^{18} \approx 1{,}0547 \).

Hodnota účtu: \( 12000 \times 1{,}0547 = 12656{,}4 \).

Po \(18\) měsících bude na účtu přibližně \(12656{,}40\) Kč.

Řešení příkladu:

Úroková sazba je \( r = 0{,}035 \), počáteční kapitál je \( P = 12000 \) Kč, doba uložení je \( n = 5 \) let a úroky se připisují ročně, tedy \( m = 1 \).

Vzorec pro složené úročení je:

\[ K_n = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{nm} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ K_5 = 12000 \left(1 + \frac{0{,}035}{1}\right)^{5 \cdot 1} = 12000 \cdot (1{,}035)^5 \]

Vypočítáme \( (1{,}035)^5 \):

\[ (1{,}035)^5 = 1{,}035 \times 1{,}035 \times 1{,}035 \times 1{,}035 \times 1{,}035 \approx 1{,}1877 \]

Výsledná částka je tedy:

\[ K_5 = 12000 \times 1{,}1877 = 14252{,}4 \text{ Kč} \]

Po pěti letech bude hodnota vkladu přibližně \(14 252,40\) Kč.

Řešení příkladu:

Počáteční částka je \( P = 20000 \) Kč, roční úroková sazba \( r = 0{,}04 \), doba \( n = 3 \) roky, úroky se připisují dvakrát ročně, tedy \( m = 2 \).

Vzorec složeného úročení:

\[ K_n = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{nm} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ K_3 = 20000 \left(1 + \frac{0{,}04}{2}\right)^{3 \cdot 2} = 20000 \cdot (1{,}02)^6 \]

Vypočítáme \( (1{,}02)^6 \):

\[ (1{,}02)^6 \approx 1{,}12616 \]

Výsledná částka:

\[ K_3 = 20000 \times 1{,}12616 = 22523{,}2 \text{ Kč} \]

Po třech letech bude hodnota účtu přibližně \(22 523,20\) Kč.

Řešení příkladu:

Počáteční kapitál \( P = 15000 \), konečná hodnota \( K_n = 20000 \), roční úroková sazba \( r = 0{,}05 \), úroky se připisují jednou ročně, \( m = 1 \), hledáme dobu \( n \).

Vzorec složeného úročení:

\[ K_n = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{nm} \]

Dosadíme:

\[ 20000 = 15000 \cdot (1 + 0{,}05)^n = 15000 \cdot (1{,}05)^n \]

Vyjádříme \( (1{,}05)^n \):

\[ (1{,}05)^n = \frac{20000}{15000} = \frac{4}{3} \approx 1{,}3333 \]

Pro vyřešení rovnice použijeme logaritmus:

\[ n = \frac{\log(1{,}3333)}{\log(1{,}05)} \]

Vypočítáme hodnoty logaritmů:

\[ \log(1{,}3333) \approx 0{,}12494, \quad \log(1{,}05) \approx 0{,}02119 \]

Dosadíme:

\[ n = \frac{0{,}12494}{0{,}02119} \approx 5{,}89 \]

Výsledek říká, že doba uložení musí být přibližně \(5,89\) roku, tedy asi \(5\) let a \(10,5\) měsíce, aby částka dosáhla \(20 000\) Kč.

Řešení příkladu:

Počáteční částka \( P = 8000 \), roční úroková sazba \( r = 0{,}06 \), doba \( n = 2 \) roky, počet připisování úroků za rok \( m = 12 \).

Vzorec:

\[ K_n = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{nm} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ K_2 = 8000 \left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{2 \cdot 12} = 8000 \cdot (1{,}005)^{24} \]

Vypočítáme \( (1{,}005)^{24} \):

\[ (1{,}005)^{24} = e^{24 \ln(1{,}005)} \Rightarrow \ln(1{,}005) \approx 0{,}0049875 \]

\[ 24 \times 0{,}0049875 = 0{,}1197 \]

\[ e^{0{,}1197} \approx 1{,}1273 \]

Výsledná částka:

\[ K_2 = 8000 \times 1{,}1273 = 9018{,}4 \text{ Kč} \]

Po dvou letech bude hodnota vkladu přibližně \(9 018,40\) Kč.

Řešení příkladu:

Počáteční částka \( P = 50000 \), roční úroková sazba \( r = 0{,}048 \), doba \( n = 7 \), úroky se připisují čtvrtletně, tedy \( m = 4 \).

Vzorec:

\[ K_n = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{nm} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ K_7 = 50000 \left(1 + \frac{0{,}048}{4}\right)^{7 \cdot 4} = 50000 \cdot (1{,}012)^{28} \]

Vypočítáme \( (1{,}012)^{28} \) pomocí logaritmů:

\[ \ln(1{,}012) \approx 0{,}01191 \]

\[ 28 \times 0{,}01191 = 0{,}3335 \]

\[ e^{0{,}3335} \approx 1{,}395 \]

Výsledná částka:

\[ K_7 = 50000 \times 1{,}395 = 69750 \text{ Kč} \]

Po sedmi letech bude na účtu přibližně \(69 750\) Kč.

Řešení příkladu:

Počáteční částka \( P = 30000 \), roční úroková sazba \( r = 0{,}07 \), doba \( n = 4 \) roky, počet připisování úroků měsíčně \( m = 12 \).

Vzorec:

\[ K_n = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{nm} \]

Dosadíme:

\[ K_4 = 30000 \left(1 + \frac{0{,}07}{12}\right)^{4 \cdot 12} = 30000 \cdot (1{,}0058333)^{48} \]

Vypočítáme \( (1{,}0058333)^{48} \):

\[ \ln(1{,}0058333) \approx 0{,}005816 \]

\[ 48 \times 0{,}005816 = 0{,}27917 \]

\[ e^{0{,}27917} \approx 1{,}3217 \]

Výsledná částka:

\[ K_4 = 30000 \times 1{,}3217 = 39651 \text{ Kč} \]

Po \(4\) letech bude hodnota investice přibližně \(39 651\) Kč.

Řešení příkladu:

Počáteční částka \( P = 25000 \), cílová částka \( K_n = 30000 \), roční úroková sazba \( r = 0{,}032 \), úroky pololetně \( m = 2 \), hledáme dobu \( n \).

Vzorec složeného úročení:

\[ K_n = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{nm} \]

Dosadíme:

\[ 30000 = 25000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}032}{2}\right)^{2n} = 25000 \cdot (1{,}016)^ {2n} \]

Vyjádříme mocninu:

\[ (1{,}016)^{2n} = \frac{30000}{25000} = 1{,}2 \]

Pro vyřešení použijeme logaritmy:

\[ 2n \cdot \log(1{,}016) = \log(1{,}2) \]

Vypočítáme logaritmy:

\[ \log(1{,}016) \approx 0{,}0069, \quad \log(1{,}2) \approx 0{,}07918 \]

Dosadíme a vyřešíme pro \( n \):

\[ 2n = \frac{0{,}07918}{0{,}0069} \Rightarrow 2n \approx 11{,}47 \Rightarrow n \approx 5{,}735 \]

Peněženka musí zůstat na účtu přibližně \(5,74\) roku, tedy asi \(5\) let a \(9\) měsíců.

Řešení příkladu:

Úroková sazba za rok je \(4,5\) %, což v desetinném tvaru je \(0,045\). Protože se úroky připisují čtvrtletně, musíme rozdělit roční úrok na čtyři části:

Úrok za jedno čtvrtletí je \( i = \frac{0{,}045}{4} = 0{,}01125 \).

Počet úročení za 5 let při čtvrtletním úročení je \( n = 5 \times 4 = 20 \).

Vzorec pro složené úročení je:

\( K = K_0 (1 + i)^n \), kde \( K_0 = 15000 \).

Dosadíme hodnoty:

\( K = 15000 \times (1 + 0{,}01125)^{20} = 15000 \times (1{,}01125)^{20} \).

Pro výpočet mocniny použijeme kalkulačku:

\( (1{,}01125)^{20} \approx 1{,}2462 \).

Vypočteme konečnou hodnotu:

\( K \approx 15000 \times 1{,}2462 = 18693 \) Kč.

Po \(5\) letech bude hodnota vkladu přibližně \(18 693\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \(3,8\) %, což odpovídá desetinnému tvaru \(0,038\).

Měsíční úroková sazba je:

\( i = \frac{0{,}038}{12} = 0{,}0031667 \).

Počet období je:

\( n = 3 \times 12 = 36 \).

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 (1 + i)^n \), kde \( K_0 = 80000 \).

Dosadíme:

\( K = 80000 \times (1 + 0{,}0031667)^{36} = 80000 \times (1{,}0031667)^{36} \).

Vypočteme mocninu:

\( (1{,}0031667)^{36} \approx 1{,}1194 \).

Vypočteme konečnou částku:

\( K \approx 80000 \times 1{,}1194 = 89552 \) Kč.

Po \(3\) letech bude majitel mít na účtu přibližně \(89 552\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \(5\) %, což je v desetinném tvaru \(0,05\).

Pololetní úroková sazba:

\( i = \frac{0{,}05}{2} = 0{,}025 \).

Počet pololetí je:

\( n = 4 \times 2 = 8 \).

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 (1 + i)^n \), kde \( K_0 = 10000 \).

Dosadíme:

\( K = 10000 \times (1 + 0{,}025)^8 = 10000 \times (1{,}025)^8 \).

Vypočteme mocninu:

\( (1{,}025)^8 \approx 1{,}2184 \).

Vypočteme konečnou částku:

\( K \approx 10000 \times 1{,}2184 = 12184 \) Kč.

Po \(4\) letech bude na účtu přibližně \(12 184\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \(6\) %, tj. \(0,06\).

Měsíční úrok je:

\( i = \frac{0{,}06}{12} = 0{,}005 \).

Počet měsíců je:

\( n = 2 \times 12 = 24 \).

Vzorec pro složené úročení:

\( K = K_0 (1 + i)^n \), kde \( K_0 = 50000 \).

Dosadíme:

\( K = 50000 \times (1 + 0{,}005)^{24} = 50000 \times (1{,}005)^{24} \).

Vypočteme mocninu:

\( (1{,}005)^{24} \approx 1{,}1275 \).

Vypočítáme konečnou hodnotu:

\( K \approx 50000 \times 1{,}1275 = 56375 \) Kč.

Po \(2\) letech bude hodnota vkladu přibližně \(56 375\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \(3,5\) %, tedy \(0,035\).

Úrok za šest měsíců je:

\( i = \frac{0{,}035}{2} = 0{,}0175 \).

Počet půlročních období je:

\( n = 10 \times 2 = 20 \).

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 (1 + i)^n \), kde \( K_0 = 120000 \).

Dosadíme:

\( K = 120000 \times (1 + 0{,}0175)^{20} = 120000 \times (1{,}0175)^{20} \).

Vypočteme mocninu:

\( (1{,}0175)^{20} \approx 1{,}404 \).

Vypočteme konečnou částku:

\( K \approx 120000 \times 1{,}404 = 168480 \) Kč.

Po \(10\) letech bude hodnota účtu přibližně \(168 480\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \(7\) %, tj. \(0,07\).

Úroky se připisují ročně, takže úroková sazba za období je 0,07 a počet období je \(6\).

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 (1 + i)^n \), kde \( K_0 = 200000, i = 0{,}07, n = 6 \).

Dosadíme:

\( K = 200000 \times (1 + 0{,}07)^6 = 200000 \times (1{,}07)^6 \).

Vypočteme mocninu:

\( (1{,}07)^6 \approx 1{,}5007 \).

Vypočteme konečnou částku:

\( K \approx 200000 \times 1{,}5007 = 300140 \) Kč.

Po \(6\) letech bude hodnota vkladu přibližně \(300 140\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \(5\) %, což odpovídá \(0,05\).

Denní úroková sazba je:

\( i = \frac{0{,}05}{365} \approx 0{,}0001369863 \).

Počet dní je:

\( n = 3 \times 365 = 1095 \).

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 (1 + i)^n \), kde \( K_0 = 35000 \).

Dosadíme:

\( K = 35000 \times (1 + 0{,}0001369863)^{1095} = 35000 \times (1{,}0001369863)^{1095} \).

Pro výpočet mocniny můžeme použít aproximaci pomocí exponenciály:

\( (1 + \frac{r}{m})^{mt} \approx e^{rt} \), kde \( r = 0{,}05, t=3 \).

Vypočteme:

\( e^{0{,}05 \times 3} = e^{0{,}15} \approx 1{,}1618 \).

Takže:

\( K \approx 35000 \times 1{,}1618 = 40663 \) Kč.

Po \(3\) letech bude klient mít na účtu přibližně \(40 663\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 4{,}2 \% \), tedy \( 0{,}042 \).

Úrok za půl roku je:

\( i = \frac{0{,}042}{2} = 0{,}021 \)

Počet období je:

\( n = 7 \times 2 = 14 \)

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 (1 + i)^n \), kde \( K_0 = 25\,000 \)

Dosadíme:

\( K = 25\,000 \times (1 + 0{,}021)^{14} = 25\,000 \times (1{,}021)^{14} \)

Vypočteme mocninu:

\( (1{,}021)^{14} \approx 1{,}338 \)

Vypočteme konečnou částku:

\( K \approx 25\,000 \times 1{,}338 = 33\,450 \, \text{Kč} \)

Po \( 7 \) letech bude hodnota vkladu přibližně \( 33\,450 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Máme počáteční kapitál \( K_0 = 12\,000 \, \text{Kč} \), roční úrokovou míru \( p = 4\% = 0{,}04 \) a dobu spoření \( n = 9 \, \text{let} \). Použijeme vzorec pro složené úročení:

\( K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n \)

Dosadíme hodnoty:

\( K_9 = 12\,000 \cdot (1 + 0{,}04)^9 \Rightarrow K_9 = 12\,000 \cdot (1{,}04)^9 \)

Nejprve spočítáme mocninu:

\( (1{,}04)^9 \approx 1{,}432 \)

Nyní vynásobíme počáteční kapitál tímto číslem:

\( K_9 \approx 12\,000 \cdot 1{,}432 = 17\,188{,}38 \, \text{Kč} \)

Hodnota účtu po \( 9 \) letech bude přibližně \( 17\,188{,}38 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Známe budoucí hodnotu \( K_n = 25\,000 \, \text{Kč} \), úrokovou míru \( p = 6\% = 0{,}06 \), a dobu \( n = 5 \). Hledáme současnou hodnotu \( K_0 \), tedy kolik musí být dnes uloženo. Používáme obrácený vzorec pro složené úročení:

\( K_0 = \frac{K_n}{(1 + p)^n} \)

Dosadíme:

\( K_0 = \frac{25\,000}{(1 + 0{,}06)^5} = \frac{25\,000}{(1{,}06)^5} \)

Spočítáme mocninu:

\( (1{,}06)^5 \approx 1{,}338 \)

Nyní spočítáme podíl:

\( K_0 = \frac{25\,000}{1{,}338} \approx 18\,685{,}71 \, \text{Kč} \)

Tedy musí být uloženo přibližně \( 18\,685{,}71 \, \text{Kč} \), aby za \( 5 \) let bylo na účtu \( 25\,000 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Počáteční částka je \( K_0 = 8 000 \, \text{Kč} \), budoucí hodnota je \( K_n = 10 000 \, \text{Kč} \), úroková míra \( p = 0{,}035 \). Hledáme počet let \( n \), po kterých bude tato částka dosažena:

\( K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n \Rightarrow 10 000 = 8 000 \cdot (1{,}035)^n \)

Vydělíme obě strany rovnice číslem \( 8 000 \):

\( \frac{10 000}{8 000} = (1{,}035)^n \Rightarrow 1{,}25 = (1{,}035)^n \)

Použijeme logaritmus k výpočtu exponentu:

\( \log(1{,}25) = n \cdot \log(1{,}035) \Rightarrow n = \frac{\log(1{,}25)}{\log(1{,}035)} \)

\( \log(1{,}25) \approx 0{,}09691,\quad \log(1{,}035) \approx 0{,}01494 \Rightarrow n \approx \frac{0{,}09691}{0{,}01494} \approx 6{,}49 \)

Po zaokrouhlení zjistíme, že peníze musí být na účtu přibližně \( 6{,}5 \) roku. Pokud chceme, aby částka byla dosažena úplně, bude třeba \( 7 \) celých let.

Řešení příkladu:

Počáteční kapitál \( K_0 = 15 000 \, \text{Kč} \), roční úroková míra \( p = 0{,}05 \), úroky se připisují měsíčně, tedy \( 12 \)-krát za rok. Počet let \( n = 10 \). Použijeme vzorec pro složené úročení s měsíční kapitalizací:

\( K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{k} \right)^{k \cdot n} \)

Kde \( k = 12 \). Dosadíme:

\( K_{10} = 15 000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}05}{12} \right)^{12 \cdot 10} = 15 000 \cdot \left(1{,}0041667 \right)^{120} \)

\( (1{,}0041667)^{120} \approx 1{,}647009 \Rightarrow K_{10} \approx 15 000 \cdot 1{,}647009 = 24 705{,}14 \, \text{Kč} \)

Hodnota účtu po \( 10 \) letech bude přibližně \( 24 705{,}14 \) Kč.

Řešení příkladu:

Jedná se o pravidelné roční spoření s úročením, tedy každý vklad se úročí jiný počet let. Použijeme vzorec pro součet geometrické posloupnosti:

\( S_n = v \cdot \frac{(1 + p)^n – 1}{p} \)

Kde \( v = 3 000 \, \text{Kč} \), \( p = 0{,}04 \), \( n = 5 \). Dosadíme:

\( S_5 = 3 000 \cdot \frac{(1{,}04)^5 – 1}{0{,}04} \)

\( (1{,}04)^5 \approx 1{,}21665 \Rightarrow S_5 = 3 000 \cdot \frac{1{,}21665 – 1}{0{,}04} = 3 000 \cdot \frac{0{,}21665}{0{,}04} \approx 3 000 \cdot 5{,}41625 \Rightarrow S_5 \approx 16 248{,}75 \, \text{Kč} \)

Klient naspořil přibližně \( 16 248{,}75 \) Kč.

Řešení příkladu:

Známe tyto údaje:
Počáteční kapitál: \( K_0 = 85\,000 \)
Roční úroková sazba: \( i = 0{,}039 \)
Počet let: \( n = 12 \)
Použijeme vzorec pro složené úročení:
\[ K = K_0 \cdot (1 + i)^n \] Dosadíme hodnoty:
\[ K = 85\,000 \cdot (1 + 0{,}039)^{12} \Rightarrow K = 85\,000 \cdot (1{,}039)^{12} \] Nejprve spočteme mocninu: \[ (1{,}039)^{12} \approx 1{,}575191 \] Dále dopočítáme: \[ K \approx 85\,000 \cdot 1{,}575191 \Rightarrow K \approx 133\,891{,}235 \] Po zaokrouhlení: \[ K \approx 133\,891{,}24 \,\text{Kč} \] Výsledná částka na účtu po \( 12 \) letech bude přibližně \( 133\,891{,}24\,\text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Máme:
Počáteční kapitál: \( K_0 = 42\,000 \)
Roční úrok: \( i = 0{,}055 \)
Hledáme minimální celé \( n \), pro které platí:
\[ K_0 \cdot (1 + i)^n > 80\,000 \Rightarrow 42\,000 \cdot (1{,}055)^n > 80\,000 \] Obě strany vydělíme \( 42\,000 \): \[ (1{,}055)^n > \frac{80\,000}{42\,000} \Rightarrow (1{,}055)^n > 1{,}90476 \] Použijeme logaritmus: \[ \log((1{,}055)^n) > \log(1{,}90476) \Rightarrow n \cdot \log(1{,}055) > \log(1{,}90476) \] \[ n > \frac{\log(1{,}90476)}{\log(1{,}055)} \approx \frac{0{,}2803}{0{,}0232} \approx 12{,}08 \] Nejmenší celé číslo větší než \( 12{,}08 \) je \( 13 \). \[ \Rightarrow n = 13 \] Vklad překročí \( 80\,000\,\text{Kč} \) po \( 13 \) letech.

Řešení příkladu:

Použijeme vzorec pro pravidelnou roční platbu při složeném úročení:
\[ K = R \cdot \frac{(1 + i)^n – 1}{i} \] Kde:
\( R = 15\,000 \), \( i = 0{,}042 \), \( n = 6 \)
Dosadíme: \[ K = 15\,000 \cdot \frac{(1{,}042)^6 – 1}{0{,}042} \] Spočítáme: \[ (1{,}042)^6 \approx 1{,}276 \Rightarrow \frac{1{,}276 – 1}{0{,}042} = \frac{0{,}276}{0{,}042} \approx 6{,}571 \] \[ K \approx 15\,000 \cdot 6{,}571 \Rightarrow K \approx 98\,565 \] Eva našetřila přibližně \( 98\,565\,\text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Potřebujeme najít \( n \), pro které platí: \[ 10\,000 \cdot (1 + 0{,}0625)^n = 20\,000 \Rightarrow (1{,}0625)^n = 2 \] Použijeme logaritmus: \[ n \cdot \log(1{,}0625) = \log(2) \Rightarrow n = \frac{\log(2)}{\log(1{,}0625)} \approx \frac{0{,}3010}{0{,}0262} \approx 11{,}49 \] Zaokrouhleno na celé roky: \( n = 12 \)
Zdvojnásobení nastane přibližně po \( 12 \) letech.

Řešení příkladu:

Použijeme inverzní vzorec složeného úročení:
\[ K_0 = \frac{K}{(1 + i)^n} \] Dosadíme:
\( K = 300\,000 \), \( i = 0{,}045 \), \( n = 10 \)
\[ K_0 = \frac{300\,000}{(1{,}045)^{10}} \approx \frac{300\,000}{1{,}551328} \approx 193\,375{,}92 \] Potřebný vklad dnes je přibližně \( 193\,375{,}92 \) Kč.

Řešení příkladu:

Použijeme vzorec pro pravidelný měsíční vklad: \[ K = R \cdot \frac{(1 + i)^n – 1}{i} \] Měsíční úrok: \( i = \frac{0{,}036}{12} = 0{,}003 \), \( n = 8 \cdot 12 = 96 \), \( R = 2\,500 \)
\[ K = 2\,500 \cdot \frac{(1{,}003)^{96} – 1}{0{,}003} \Rightarrow (1{,}003)^{96} \approx 1{,}34985 \] \[ \frac{1{,}34985 – 1}{0{,}003} = \frac{0{,}34985}{0{,}003} \approx 116{,}616 \Rightarrow K \approx 2\,500 \cdot 116{,}616 = 291\,540 \] Výsledná částka bude přibližně \( 291\,540 \) Kč.

Řešení příkladu:

Potřebujeme najít \( n \) tak, aby: \[ 1\,000\,000 \cdot (1{,}07)^n = 2\,500\,000 \Rightarrow (1{,}07)^n = 2{,}5 \] \[ n = \frac{\log(2{,}5)}{\log(1{,}07)} \approx \frac{0{,}3979}{0{,}0294} \approx 13{,}54 \] \[ \Rightarrow n \approx 14 \] Zhodnocení nastane po přibližně \( 14 \) letech.

Řešení příkladu:

V tomto příkladu se jedná o klasické složené úročení, kdy se každý rok úroky přičítají ke kapitálu. Máme tyto údaje:

Počáteční kapitál: \( P = 60\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková míra: \( r = 4{,}2\,\% = 0{,}042 \)
Počet let: \( n = 6 \)

Použijeme vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot (1 + r)^n \)

Dosadíme hodnoty:

\( A = 60\,000 \cdot (1 + 0{,}042)^6 \Rightarrow A = 60\,000 \cdot (1{,}042)^6 \)

Nejprve spočítáme mocninu:

\( (1{,}042)^6 \approx 1{,}276781 \)

Následně vynásobíme počáteční kapitál tímto číslem:

\( A = 60\,000 \cdot 1{,}276781 \Rightarrow A \approx 76\,606{,}86 \, \text{Kč} \)

Po \( 6 \) letech bude mít klient na účtu přibližně \( 76\,606{,}86 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Tento příklad obsahuje čtvrtletní složené úročení. Úrok se připisuje každé \( 3 \) měsíce, tedy \( 4 \)krát ročně.

Počáteční vklad: \( P = 85\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba: \( r = 2{,}9\,\% = 0{,}029 \)
Frekvence úročení: \( m = 4 \)
Počet let: \( t = 5 \)

Použijeme upravený vzorec pro složené úročení s vícenásobným připisováním:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme hodnoty:

\( A = 85\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}029}{4} \right)^{4 \cdot 5} = 85\,000 \cdot \left(1 + 0{,}00725\right)^{20} \Rightarrow A = 85\,000 \cdot (1{,}00725)^{20} \)

Spočítáme mocninu:

\( (1{,}00725)^{20} \approx 1{,}154706 \)

Pak vynásobíme:

\( A = 85\,000 \cdot 1{,}154706 \Rightarrow A \approx 98\,149{,}01 \, \text{Kč} \)

Po \( 5 \) letech bude investor disponovat částkou přibližně \( 98\,149{,}01 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

V tomto případě máme měsíční složené úročení. To znamená, že úrok se připisuje \( 12 \)krát ročně.

Počáteční kapitál: \( P = 150\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková míra: \( r = 6\,\% = 0{,}06 \)
Frekvence úročení: \( m = 12 \)
Počet let: \( t = 4 \)

Použijeme vzorec pro složené úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m} \right)^{m \cdot t} \)

Dosazení:

\( A = 150\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}06}{12} \right)^{12 \cdot 4} = 150\,000 \cdot (1 + 0{,}005)^{{48}} = 150\,000 \cdot (1{,}005)^{48} \)

Spočítáme mocninu:

\( (1{,}005)^{48} \approx 1{,}270244 \)

Výpočet výsledné částky:

\( A = 150\,000 \cdot 1{,}270244 \Rightarrow A \approx 190\,536{,}60 \, \text{Kč} \)

Po \( 4 \) letech bude mít společnost na účtu přibližně \( 190\,536{,}60 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úročení probíhá pololetně, tedy dvakrát ročně. Parametry jsou:

Počáteční kapitál \( P = 120\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}05 \)
Počet let \( t = 7 \)
Počet období za rok \( m = 2 \)

Vzorec pro složené úročení s periodickým přičítáním úroků je:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme hodnoty:

\( A = 120\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}05}{2}\right)^{2 \cdot 7} = 120\,000 \cdot (1{,}025)^{14} \)

Vypočítáme mocninu:

\( (1{,}025)^{14} \approx 1{,}41158 \)

Vynásobíme počáteční kapitál:

\( A = 120\,000 \cdot 1{,}41158 = 169\,389{,}60 \, \text{Kč} \)

Po \( 7 \) letech bude na účtu přibližně \( 169\,389{,}60 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úročení je měsíční, tedy úroky se připisují \( 12 \)-krát ročně. Data:

Počáteční vklad \( P = 200\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}035 \)
Počet let \( t = 10 \)
Počet období ročně \( m = 12 \)

Využijeme vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme:

\( A = 200\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}035}{12}\right)^{12 \cdot 10} = 200\,000 \cdot (1{,}0029167)^{120} \)

Spočítáme mocninu:

\( (1{,}0029167)^{120} \approx 1{,}419006 \)

Vynásobíme:

\( A = 200\,000 \cdot 1{,}419006 = 283\,801{,}20 \, \text{Kč} \)

Po \( 10 \) letech bude na účtu přibližně \( 283\,801{,}20 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují \( 4 \)-krát ročně, parametry:

Počáteční kapitál \( P = 50\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}045 \)
Počet let \( t = 8 \)
Počet období ročně \( m = 4 \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme hodnoty:

\( A = 50\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}045}{4}\right)^{4 \cdot 8} = 50\,000 \cdot (1{,}01125)^{32} \)

Spočítáme mocninu:

\( (1{,}01125)^{32} \approx 1{,}419838 \)

Vynásobíme:

\( A = 50\,000 \cdot 1{,}419838 = 70\,991{,}90 \, \text{Kč} \)

Po \( 8 \) letech bude na účtu přibližně \( 70\,991{,}90 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují jednou ročně, tedy \( m = 1 \).

Počáteční kapitál \( P = 75\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}058 \)
Počet let \( t = 9 \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot (1 + r)^t \)

Dosadíme hodnoty:

\( A = 75\,000 \cdot (1 + 0{,}058)^9 = 75\,000 \cdot (1{,}058)^9 \)

Spočítáme mocninu:

\( (1{,}058)^9 \approx 1{,}6206 \)

Výpočet výsledné částky:

\( A = 75\,000 \cdot 1{,}6206 = 121\,545 \, \text{Kč} \)

Po \(9\) letech bude investor mít na účtu přibližně \( 121\,545 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují měsíčně, tedy \( m = 12 \).

Počáteční kapitál \( P = 95\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}07 \)
Počet let \( t = 5 \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme hodnoty:

\( A = 95\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}07}{12}\right)^{12 \cdot 5} = 95\,000 \cdot (1{,}0058333)^{60} \)

Spočítáme mocninu:

\( (1{,}0058333)^{60} \approx 1{,}41852 \)

Vynásobíme počáteční kapitál:

\( A = 95\,000 \cdot 1{,}41852 = 134\,759 \, \text{Kč} \)

Po \(5\) letech bude na účtu přibližně \( 134\,759 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují pololetně, tedy \( m = 2 \).

Počáteční kapitál \( P = 150\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}062 \)
Počet let \( t = 6 \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme:

\( A = 150\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}062}{2}\right)^{2 \cdot 6} = 150\,000 \cdot (1{,}031)^{12} \)

Spočítáme mocninu:

\( (1{,}031)^{12} \approx 1{,}4387 \)

Vynásobíme počáteční částku:

\( A = 150\,000 \cdot 1{,}4387 = 215\,805 \, \text{Kč} \)

Po \(6\) letech bude na účtu přibližně \( 215\,805 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují \( 4 \)× ročně, tedy \( m = 4 \).

Počáteční částka \( P = 80{,}000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}08 \)
Počet let \( t = 3 \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme:

\( A = 80{,}000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}08}{4}\right)^{4 \cdot 3} = 80{,}000 \cdot (1{,}02)^{12} \)

Spočítáme mocninu:

\( (1{,}02)^{12} \approx 1{,}26824 \)

Výpočet výsledku:

\( A = 80{,}000 \cdot 1{,}26824 = 101{,}459 \, \text{Kč} \)

Po \( 3 \) letech bude na účtu přibližně \( 101{,}459 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úročení probíhá pololetně, tedy \( m = 2 \).

Počáteční kapitál \( P = 300{,}000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}04 \)
Počet let \( t = 12 \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme:

\( A = 300{,}000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}04}{2}\right)^{2 \cdot 12} = 300{,}000 \cdot (1{,}02)^{24} \)

Spočítáme mocninu:

\( (1{,}02)^{24} \approx 1{,}60844 \)

Výpočet výsledku:

\( A = 300{,}000 \cdot 1{,}60844 = 482{,}532 \, \text{Kč} \)

Po \( 12 \) letech bude na účtu přibližně \( 482{,}532 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úročení měsíční, tedy \( m = 12 \).

Počáteční kapitál \( P = 40{,}000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}09 \)
Počet let \( t = 4 \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme:

\( A = 40{,}000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}09}{12}\right)^{12 \cdot 4} = 40{,}000 \cdot (1{,}0075)^{48} \)

Spočítáme mocninu:

\( (1{,}0075)^{48} \approx 1{,}4324 \)

Výpočet výsledku:

\( A = 40{,}000 \cdot 1{,}4324 = 57{,}296 \, \text{Kč} \)

Po \( 4 \) letech bude na účtu přibližně \( 57{,}296 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují denně, \( m = 365 \).

Počáteční kapitál \( P = 100{,}000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}06 \)
Počet let \( t = 2 \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme:

\( A = 100{,}000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}06}{365}\right)^{365 \cdot 2} = 100{,}000 \cdot (1{,}00016438)^{730} \)

Spočítáme mocninu:

\( (1{,}00016438)^{730} \approx 1{,}12749 \)

Výpočet výsledku:

\( A = 100{,}000 \cdot 1{,}12749 = 112{,}749 \, \text{Kč} \)

Po \( 2 \) letech bude na účtu přibližně \( 112{,}749 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují čtyřikrát do roka, tedy \( m = 4 \).

Počáteční kapitál \( P = 200{,}000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}055 \)
Počet let \( t = 7 \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme hodnoty:

\( A = 200{,}000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}055}{4}\right)^{4 \cdot 7} = 200{,}000 \cdot (1{,}01375)^{28} \)

Nejprve vypočítáme základ mocniny:

\( 1{,}01375^{28} = e^{28 \cdot \ln(1{,}01375)} \)

Spočítáme přibližně \( \ln(1{,}01375) \approx 0{,}01366 \), tedy

\( e^{28 \cdot 0{,}01366} = e^{0{,}38248} \approx 1{,}465 \)

Vynásobíme počáteční kapitál:

\( A = 200{,}000 \cdot 1{,}465 = 293{,}000 \, \text{Kč} \)

Po \( 7 \) letech bude na účtu přibližně \( 293{,}000 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují měsíčně, tedy \( m = 12 \).

Počáteční kapitál \( P = 120{,}000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}06 \)
Konečná částka \( A = 200{,}000 \, \text{Kč} \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme a upravíme pro \( t \):

\( 200{,}000 = 120{,}000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12t} \Rightarrow \left(1{,}005\right)^{12t} = \frac{200{,}000}{120{,}000} = \frac{5}{3} \)

Vezmeme logaritmus obou stran:

\( 12t \cdot \ln(1{,}005) = \ln\left(\frac{5}{3}\right) \)

\( t = \frac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{12 \cdot \ln(1{,}005)} \)

Spočítáme hodnoty:

\( \ln\left(\frac{5}{3}\right) \approx \ln(1{,}6667) = 0{,}5108 \)
\( \ln(1{,}005) \approx 0{,}0049875 \)

\( t = \frac{0{,}5108}{12 \cdot 0{,}0049875} = \frac{0{,}5108}{0{,}05985} \approx 8{,}53 \)

Částka dosáhne \( 200{,}000 \, \text{Kč} \) za přibližně \( 8{,}53 \) let.

Řešení příkladu:

Úroky se připisují dvakrát ročně, tedy \( m = 2 \).

Počáteční kapitál \( P = 50{,}000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}07 \)
Konečná částka \( A = 2 \cdot P = 100{,}000 \, \text{Kč} \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme a vyjádříme \( t \):

\( 100{,}000 = 50{,}000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}07}{2}\right)^{2t} \Rightarrow \left(1{,}035\right)^{2t} = 2 \)

Vezmeme logaritmus obou stran:

\( 2t \cdot \ln(1{,}035) = \ln(2) \)

\( t = \frac{\ln(2)}{2 \cdot \ln(1{,}035)} \)

Spočítáme hodnoty:

\( \ln(2) \approx 0{,}6931 \)
\( \ln(1{,}035) \approx 0{,}03439 \)

\( t = \frac{0{,}6931}{2 \cdot 0{,}03439} = \frac{0{,}6931}{0{,}06878} \approx 10{,}08 \)

Kapitál se zdvojnásobí přibližně za \( 10{,}08 \) let.

Řešení příkladu:

Úroky se připisují denně, tedy \( m = 365 \).

Počáteční kapitál \( P = 250{,}000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}048 \)
Počet let \( t = 10 \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \)

Dosadíme hodnoty:

\( A = 250{,}000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}048}{365}\right)^{365 \cdot 10} = 250{,}000 \cdot (1{,}0001315)^{3650} \)

Výpočet mocniny využitím exponenciály:

\( (1{,}0001315)^{3650} = e^{3650 \cdot \ln(1{,}0001315)} \)

Přibližně \( \ln(1{,}0001315) \approx 0{,}0001315 \), tedy

\( e^{3650 \cdot 0{,}0001315} = e^{0{,}4798} \approx 1{,}615 \)

Vynásobíme počáteční částku:

\( A = 250{,}000 \cdot 1{,}615 = 403{,}750 \, \text{Kč} \)

Na účtu bude po \( 10 \) letech přibližně \( 403{,}750 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují čtvrtletně, tedy \( m = 4 \).

Počáteční kapitál \( P = 300{,}000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}03 \)
Konečná částka \( A = 450{,}000 \, \text{Kč} \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \Rightarrow \left(1 + \frac{0{,}03}{4}\right)^{4t} = \frac{450{,}000}{300{,}000} = 1{,}5 \)

\( (1{,}0075)^{4t} = 1{,}5 \)

Vezmeme logaritmus:

\( 4t \cdot \ln(1{,}0075) = \ln(1{,}5) \Rightarrow t = \frac{\ln(1{,}5)}{4 \cdot \ln(1{,}0075)} \)

Spočítáme hodnoty:
\( \ln(1{,}5) \approx 0{,}4055 \)
\( \ln(1{,}0075) \approx 0{,}00747 \)

\( t = \frac{0{,}4055}{4 \cdot 0{,}00747} = \frac{0{,}4055}{0{,}0299} \approx 13{,}56 \)

Účet dosáhne \( 450{,}000 \, \text{Kč} \) za přibližně \( 13{,}56 \) let.

Řešení příkladu:

Úroky se připisují jednou ročně, tedy \( m = 1 \).

Počáteční kapitál \( P = 15\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}08 \)
Konečná částka \( A = 2 \cdot P = 30\,000 \, \text{Kč} \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot (1 + r)^{t} \Rightarrow (1{,}08)^t = 2 \)

Vezmeme logaritmus:

\( t \cdot \ln(1{,}08) = \ln(2) \Rightarrow t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}08)} \)

Spočítáme hodnoty:
\( \ln(2) \approx 0{,}6931 \)
\( \ln(1{,}08) \approx 0{,}07696 \)

\( t = \frac{0{,}6931}{0{,}07696} \approx 9{,}01 \)

Vklad se zdvojnásobí přibližně za \(9,01\) let.

Řešení příkladu:

Úroky se připisují dvakrát ročně, tedy \( m = 2 \).

Počáteční kapitál \( P = 80\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}09 \)
Počet let \( t = 5 \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} = 80\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}09}{2}\right)^{2 \cdot 5} = 80\,000 \cdot (1{,}045)^{10} \)

Vypočítáme mocninu:

\( 1{,}045^{10} = e^{10 \cdot \ln(1{,}045)} \)

Spočítáme \( \ln(1{,}045) \approx 0{,}044 \), tedy

\( e^{10 \cdot 0{,}044} = e^{0{,}44} \approx 1{,}553 \)

Vynásobíme počáteční kapitál:

\( A = 80\,000 \cdot 1{,}553 = 124\,240 \, \text{Kč} \)

Po \( 5 \) letech bude na účtu přibližně \( 124\,240 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují měsíčně, tedy \( m = 12 \).

Roční úroková sazba \( r = 0{,}045 \)
Počet let \( t = 6 \)
Konečná částka \( A = 500\,000 \, \text{Kč} \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \Rightarrow P = \frac{A}{\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t}} \)

Dosadíme hodnoty:

\( P = \frac{500\,000}{\left(1 + \frac{0{,}045}{12}\right)^{12 \cdot 6}} = \frac{500\,000}{(1{,}00375)^{72}} \)

Vypočítáme mocninu:

\( (1{,}00375)^{72} = e^{72 \cdot \ln(1{,}00375)} \)

\( \ln(1{,}00375) \approx 0{,}003742 \Rightarrow e^{72 \cdot 0{,}003742} = e^{0{,}2694} \approx 1{,}309 \)

Vypočítáme počáteční vklad:

\( P = \frac{500\,000}{1{,}309} \approx 382\,100 \, \text{Kč} \)

Počáteční vklad musí být přibližně \( 382\,100 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují měsíčně, tedy \( m = 12 \).

Počáteční kapitál \( P = 100\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}058 \)
Počet let \( t = 15 \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} = 100\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}058}{12}\right)^{12 \cdot 15} = 100\,000 \cdot (1{,}00483)^{180} \)

Vypočítáme mocninu pomocí exponenciály:

\( (1{,}00483)^{180} = e^{180 \cdot \ln(1{,}00483)} \)

\( \ln(1{,}00483) \approx 0{,}00482 \Rightarrow e^{180 \cdot 0{,}00482} = e^{0{,}8676} \approx 2{,}381 \)

Vynásobíme počáteční částku:

\( A = 100\,000 \cdot 2{,}381 = 238\,100 \, \text{Kč} \)

Na účtu bude po \( 15 \) letech přibližně \( 238\,100 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují měsíčně, tedy \( m = 12 \).

Počáteční kapitál \( P = 60\,000 \, \text{Kč} \)
Roční úroková sazba \( r = 0{,}07 \)
Konečná částka \( A = 2 \cdot P = 120\,000 \, \text{Kč} \)

Vzorec složeného úročení:

\( A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot t} \Rightarrow \left(1 + \frac{0{,}07}{12}\right)^{12 t} = 2 \)

Vezmeme logaritmus:

\( 12 t \cdot \ln\left(1 + \frac{0{,}07}{12}\right) = \ln(2) \Rightarrow t = \frac{\ln(2)}{12 \cdot \ln\left(1 + \frac{0{,}07}{12}\right)} \)

Spočítáme hodnoty:

\( \ln(2) \approx 0{,}6931 \)
\( \ln\left(1 + \frac{0{,}07}{12}\right) = \ln(1{,}00583) \approx 0{,}00581 \)

\( t = \frac{0{,}6931}{12 \cdot 0{,}00581} = \frac{0{,}6931}{0{,}06972} \approx 9{,}94 \)

Vklad se zdvojnásobí přibližně za \( 9{,}94 \) let.

Řešení příkladu:

Úroky se připisují čtvrtletně, tedy \( 4 \)x ročně, proto je počet období \( m = 4 \).

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}06 \) (6 % jako desetinné číslo).

Počet let je \( t = 8 \).

Celkový počet úrokových období je \( n = m \times t = 4 \times 8 = 32 \).

Úroková sazba za jedno období je \( \frac{r}{m} = \frac{0{,}06}{4} = 0{,}015 \).

Vzorec pro složené úročení je \[ A = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^n, \] kde \( P = 20000 \) Kč je počáteční vklad.

Dosadíme hodnoty: \[ A = 20000 \left(1 + 0{,}015\right)^{32} = 20000 \times 1{,}015^{32}. \]

Pro výpočet \( 1{,}015^{32} \) použijeme vzorec nebo kalkulačku. Nejprve si můžeme uvědomit, že \[ 1{,}015^{32} = e^{32 \ln(1{,}015)}. \]

Vypočítáme přibližnou hodnotu \( \ln(1{,}015) \): \[ \ln(1{,}015) \approx 0{,}014889. \] Poté \[ 32 \times 0{,}014889 = 0{,}476448. \]

Exponentová hodnota: \[ e^{0{,}476448} \approx 1{,}6105. \]

Tedy \[ A \approx 20000 \times 1{,}6105 = 32210 \, \text{Kč (přibližně)}. \]

Po \( 8 \) letech bude tedy hodnota vkladu přibližně \( 32\,210 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují pololetně, tedy \( m = 2 \).

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}05 \).

Počáteční vklad je \( P = 15{,}000 \).

Hledáme čas \( t \), kdy bude hodnota vkladu \( A = 2P = 30{,}000 \).

Vzorec pro složené úročení je \[ A = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt}. \]

Dosadíme: \[ 30{,}000 = 15{,}000 \left(1 + \frac{0{,}05}{2}\right)^{2t} \Rightarrow 2 = \left(1{,}025\right)^{2t}. \]

Pro vyjádření \( t \) použijeme logaritmus: \[ \ln(2) = \ln\left((1{,}025)^{2t}\right) = 2t \ln(1{,}025). \]

Tedy \[ t = \frac{\ln(2)}{2 \ln(1{,}025)}. \]

Vypočítáme jednotlivé hodnoty: \[ \ln(2) \approx 0{,}6931, \quad \ln(1{,}025) \approx 0{,}0247. \]

Dosadíme: \[ t = \frac{0{,}6931}{2 \times 0{,}0247} = \frac{0{,}6931}{0{,}0494} \approx 14{,}03 \text{ let}. \]

Vklad se tedy zdvojnásobí přibližně po \( 14 \) letech a \( 1 \) měsíci.

Řešení příkladu:

Úroky se připisují měsíčně, takže \( m = 12 \).

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}045 \).

Počáteční vklad je \( P = 50{,}000 \).

Počet let \( t = 5 \).

Celkový počet úrokových období je \[ n = m \times t = 12 \times 5 = 60. \]

Úroková sazba za jedno období je \[ \frac{r}{m} = \frac{0{,}045}{12} = 0{,}00375. \]

Vzorec pro složené úročení je \[ A = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^n = 50{,}000 \times (1{,}00375)^{60}. \]

Vypočteme hodnotu \( (1{,}00375)^{60} \) pomocí logaritmu: \[ \ln(1{,}00375) \approx 0{,}003743, \] \[ 60 \times 0{,}003743 = 0{,}22458, \] \[ e^{0{,}22458} \approx 1{,}2518. \]

Proto \[ A \approx 50{,}000 \times 1{,}2518 = 62{,}590 \, \text{Kč (přibližně)}. \]

Po \(5\) letech tedy bude na účtu přibližně \( 62{,}590 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky jsou připisovány pololetně, \( m = 2 \).

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}07 \).

Počáteční vklad je \( P = 100{,}000 \), čas \( t = 10 \) let.

Celkový počet období: \[ n = m \times t = 2 \times 10 = 20. \]

Úroková sazba za období: \[ \frac{r}{m} = \frac{0{,}07}{2} = 0{,}035. \]

Vzorec pro složené úročení: \[ A = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^n = 100{,}000 \times (1{,}035)^{20}. \]

Vypočítáme \( (1{,}035)^{20} \): \[ \ln(1{,}035) \approx 0{,}034395, \] \[ 20 \times 0{,}034395 = 0{,}6879, \] \[ e^{0{,}6879} \approx 1{,}9896. \]

Proto \[ A \approx 100{,}000 \times 1{,}9896 = 198{,}960 \, \text{Kč}. \]

Hodnota vkladu po \(10\) letech bude přibližně \( 198{,}960 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroky se připisují čtvrtletně, tedy \( m = 4 \).

Roční úroková sazba \( r = 0{,}035 \).

Počáteční vklad \( P = 30\,000 \), hledaná hodnota \( A = 40\,000 \).

Vzorec pro složené úročení: \[ A = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt}. \]

Dosadíme: \[ 40\,000 = 30\,000 \left(1 + \frac{0{,}035}{4}\right)^{4t} \Rightarrow \frac{40\,000}{30\,000} = \left(1{,}00875\right)^{4t} \Rightarrow \frac{4}{3} = (1{,}00875)^{4t}. \]

Logaritmováním získáme: \[ \ln\left(\frac{4}{3}\right) = 4t \ln(1{,}00875). \]

Vypočítáme hodnoty: \[ \ln\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}287682, \quad \ln(1{,}00875) \approx 0{,}008712. \]

Vyjádříme \( t \): \[ t = \frac{0{,}287682}{4 \times 0{,}008712} = \frac{0{,}287682}{0{,}034848} \approx 8{,}25 \text{ let}. \]

Vklad vzroste na \( 40\,000 \) Kč za přibližně \(8\) let a \(3\) měsíce.

Řešení příkladu:

Úroky se připisují měsíčně, \( m = 12 \).

Roční sazba \( r = 0{,}08 \), počáteční vklad \( P = 10\,000 \), čas \( t = 3 \).

Celkový počet období: \[ n = m \times t = 12 \times 3 = 36. \]

Úrok za období: \[ \frac{r}{m} = \frac{0{,}08}{12} = 0{,}0066667. \]

Vzorec složeného úročení: \[ A = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^n = 10\,000 \times (1{,}0066667)^{36}. \]

Vypočítáme \( (1{,}0066667)^{36} \): \[ \ln(1{,}0066667) \approx 0{,}006645, \] \[ 36 \times 0{,}006645 = 0{,}23922, \] \[ e^{0{,}23922} \approx 1{,}2703. \]

Hodnota vkladu bude \[ A \approx 10\,000 \times 1{,}2703 = 12\,703 \text{ Kč}. \]

Po \( 3 \) letech bude tedy na účtu přibližně \( 12\,703 \) Kč.

Řešení příkladu:

Úroky se připisují čtvrtletně, tedy \( m = 4 \).

Roční sazba \( r = 0{,}09 \), počáteční vklad \( P = 75\,000 \), konečná hodnota \( A = 120\,000 \).

Vzorec složeného úročení: \[ A = P \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt}. \]

Dosadíme: \[ 120\,000 = 75\,000 \left(1 + \frac{0{,}09}{4}\right)^{4t} \Rightarrow \frac{120\,000}{75\,000} = (1{,}0225)^{4t} \Rightarrow 1{,}6 = (1{,}0225)^{4t}. \]

Logaritmováním: \[ \ln(1{,}6) = 4t \ln(1{,}0225). \]

Vypočítáme: \[ \ln(1{,}6) \approx 0{,}4700, \quad \ln(1{,}0225) \approx 0{,}02228. \]

Vyjádříme \( t \): \[ t = \frac{0{,}4700}{4 \times 0{,}02228} = \frac{0{,}4700}{0{,}0891} \approx 5{,}27 \text{ let}. \]

Vklad dosáhne hodnoty \( 120\,000 \) Kč přibližně za \(5\) let a \(3\) měsíce.

Řešení příkladu:

Úroky se připisují měsíčně, tedy \( m = 12 \), roční sazba \( r = 0{,}04 \), počáteční vklad \( P = 25000 \), konečná hodnota \( A = 2P = 50000 \).

Vzorec složeného úročení: \[ 50000 = 25000 \left(1 + \frac{0{,}04}{12}\right)^{12 t} \Rightarrow 2 = (1{,}0033333)^{12 t}. \]

Logaritmováním: \[ \ln(2) = 12 t \ln(1{,}0033333). \]

Vypočítáme hodnoty: \[ \ln(2) \approx 0{,}6931, \quad \ln(1{,}0033333) \approx 0{,}003327. \]

Vyjádříme \( t \): \[ t = \frac{0{,}6931}{12 \times 0{,}003327} = \frac{0{,}6931}{0{,}039924} \approx 17{,}36 \text{ let}. \]

Vklad se při této sazbě zdvojnásobí přibližně za \(17\) let a \(4\) měsíce.

Řešení příkladu:

Nejprve je třeba rozdělit roční úrokovou sazbu na období, kdy se úroky připisují. Úroky se připisují pololetně, tedy dvakrát do roka. Roční úroková sazba je \( 0{,}06 \), což odpovídá \( 0{,}06 \) jako desetinné číslo. Pololetní úroková sazba je tedy

\( i = \frac{0{,}06}{2} = 0{,}03 \)

Dále zjistíme počet úrokových období, protože doba je \( 7 \) let a úroky se připisují dvakrát do roka:

\( n = 7 \times 2 = 14 \)

Hodnota vkladu po 7 letech se určí pomocí vzorce pro složené úročení:

\( K = K_0 \times (1 + i)^n \)

kde \( K_0 = 200000 \, \text{Kč} \) je počáteční vklad, \( i = 0{,}03 \) je pololetní úroková sazba a \( n = 14 \) je počet pololetních období.

Dosadíme hodnoty do vzorce:

\( K = 200000 \times (1 + 0{,}03)^{14} = 200000 \times (1{,}03)^{14} \)

Vypočítáme \( (1{,}03)^{14} \):

\( (1{,}03)^{14} \approx 1{,}51158 \)

Tedy

\( K \approx 200000 \times 1{,}51158 = 302316 \, \text{Kč} \)

Po \(7\) letech bude hodnota vkladu přibližně \( 302316 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroková sazba roční je \( 0{,}055 \), tedy \( 0{,}055 \) v desetinném tvaru. Úroky se připisují čtvrtletně, tedy \(4x\) ročně, takže úrok na jedno období je

\( i = \frac{0{,}055}{4} = 0{,}01375 \)

Neznámý je počet období \( n \), potřebujeme zjistit, za kolik období hodnota vkladu vzroste z \( 150{,}000 \, \text{Kč} \) na \( 200{,}000 \, \text{Kč} \).

Použijeme vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 \times (1 + i)^n \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 200{,}000 = 150{,}000 \times (1 + 0{,}01375)^n \)

Vyjádříme \( (1 + i)^n \):

\( (1{,}01375)^n = \frac{200{,}000}{150{,}000} = \frac{4}{3} \approx 1{,}3333 \)

Pro nalezení \( n \) použijeme logaritmus:

\( n = \frac{\log(1{,}3333)}{\log(1{,}01375)} \)

Vypočítáme logaritmy (používáme libovolný logaritmus, například dekadický):

\( \log(1{,}3333) \approx 0{,}12494 \), \( \log(1{,}01375) \approx 0{,}00592 \)

Tedy

\( n \approx \frac{0{,}12494}{0{,}00592} \approx 21{,}1 \)

Počet období je přibližně 21,1 čtvrtletí.

Protože 1 rok má 4 čtvrtletí, doba v letech je:

\( t = \frac{21{,}1}{4} \approx 5{,}28 \) let

Klient dosáhne hodnoty \( 200{,}000 \, \text{Kč} \) přibližně za \(5,28\) let.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 0{,}04 \), tedy v desetinném tvaru \( 0{,}04 \). Úroky se připisují měsíčně, což znamená \(12\) úrokových období za rok. Úroková sazba za jedno období je:

\( i = \frac{0{,}04}{12} = 0{,}0033333 \)

Celkový počet období je

\( n = 10 \times 12 = 120 \)

Hodnota vkladu po 10 letech bude

\( K = 300{,}000 \times (1 + 0{,}0033333)^{120} \)

Vypočítáme výraz \( (1{,}0033333)^{120} \). Použijeme aproximaci nebo kalkulačku:

\( (1{,}0033333)^{120} = e^{120 \times \ln(1{,}0033333)} \)

Nejprve vypočítáme \(\ln(1{,}0033333) \approx 0{,}003327\)

Pak:

\( 120 \times 0{,}003327 = 0{,}3992 \)

Proto:

\( e^{0{,}3992} \approx 1{,}4901 \)

Tedy

\( K \approx 300{,}000 \times 1{,}4901 = 447{,}030 \, \text{Kč} \)

Po \(10\) letech bude na účtu přibližně \( 447{,}030 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 0{,}038 \), tedy \( 0{,}038 \). Úroky se připisují čtvrtletně, tedy \(4x\) ročně, úroková sazba za jedno období je

\( i = \frac{0{,}038}{4} = 0{,}0095 \)

Celkový počet období je

\( n = 8 \times 4 = 32 \)

Hledáme počáteční vklad \( K_0 \), víme, že konečná částka \( K = 500{,}000 \, \text{Kč} \) a platí vzorec

\( K = K_0 \times (1 + i)^n \Rightarrow K_0 = \frac{K}{(1 + i)^n} \)

Vypočítáme \( (1{,}0095)^{32} \):

\( (1{,}0095)^{32} = e^{32 \times \ln(1{,}0095)} \)

\( \ln(1{,}0095) \approx 0{,}009455 \)

\( 32 \times 0{,}009455 = 0{,}30256 \)

\( e^{0{,}30256} \approx 1{,}3533 \)

Tedy

\( K_0 = \frac{500{,}000}{1{,}3533} \approx 369{,}510 \, \text{Kč} \)

Investor musí vložit přibližně \( 369{,}510 \, \text{Kč} \), aby po \(8\) letech měl \( 500{,}000 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Úroková sazba je \( 7 \% \), tedy \( i = 0{,}07 \). Úroky se připisují ročně, počet období je tedy roven počtu let \( n = t \).

Chceme, aby hodnota vkladu byla dvakrát větší než počáteční:

\( K = 2 \times K_0 \)

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 \times (1 + i)^t \Rightarrow 2 \times K_0 = K_0 \times (1 + 0{,}07)^t \)

Po vydělení \( K_0 \) platí:

\( 2 = (1{,}07)^t \)

Pro nalezení \( t \) použijeme logaritmus:

\( t = \frac{\log 2}{\log 1{,}07} \)

\( \log 2 \approx 0{,}30103 \), \( \log 1{,}07 \approx 0{,}029383 \)

\( t \approx \frac{0{,}30103}{0{,}029383} \approx 10{,}25 \)

Vklad se zdvojnásobí přibližně za \(10,25\) let.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 8 \% \), tedy \( 0{,}08 \). Úroky se připisují měsíčně, což znamená \(12\) období ročně. Úrok za jedno období je

\( i = \frac{0{,}08}{12} = 0{,}0066667 \)

Celkový počet období je

\( n = 5 \times 12 = 60 \)

Hodnota vkladu po 5 letech bude

\( K = 100{,}000 \times (1 + 0{,}0066667)^{60} \)

Vypočítáme \( (1{,}0066667)^{60} \) pomocí logaritmů:

\( \ln(1{,}0066667) \approx 0{,}006645 \)

\( 60 \times 0{,}006645 = 0{,}3987 \)

\( e^{0{,}3987} \approx 1{,}4895 \)

Tedy

\( K \approx 100{,}000 \times 1{,}4895 = 148{,}950 \, \text{Kč} \)

Po \(5\) letech bude na účtu přibližně \( 148{,}950 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 4{,}5 \% \), tedy \( 0{,}045 \). Úroky se připisují pololetně, tedy 2x ročně, úrok za období je

\( i = \frac{0{,}045}{2} = 0{,}0225 \)

Počet období pro 16 let je

\( n = 16 \times 2 = 32 \)

Hledáme, jestli

\( (1 + i)^n = (1{,}0225)^{32} \geq 2 \)

Vypočítáme \( (1{,}0225)^{32} \):

\( \ln(1{,}0225) \approx 0{,}02227 \)

\( 32 \times 0{,}02227 = 0{,}7127 \)

\( e^{0{,}7127} \approx 2{,}039 \)

Protože \( 2{,}039 > 2 \), je možné, aby se vklad zdvojnásobil za méně než \(16\) let.

Odpověď: Ano, je to možné.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 5{,}2 \, \% \), tedy \( 0{,}052 \). Úroky se připisují měsíčně, tj. \( 12 \) období ročně, úrok za jedno období je

\( i = \frac{0{,}052}{12} = 0{,}0043333 \)

Počet období je

\( n = 15 \times 12 = 180 \)

Hodnota vkladu po \( 15 \) letech bude

\( K = 50{,}000 \times (1 + 0{,}0043333)^{180} \)

Vypočítáme \( (1{,}0043333)^{180} \):

\( \ln(1{,}0043333) \approx 0{,}004325 \)

\( 180 \times 0{,}004325 = 0{,}7785 \)

\( e^{0{,}7785} \approx 2{,}178 \)

Tedy

\( K \approx 50{,}000 \times 2{,}178 = 108{,}900 \) Kč

Po \( 15 \) letech bude na účtu přibližně \( 108{,}900 \) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 6 \, \% \), \( i = 0{,}06 \). Počet let \( n = 12 \).

Po \( 12 \) letech má investor mít alespoň \( 800{,}000 \) Kč:

\( K \geq 800{,}000 \)

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 (1 + i)^n = 400{,}000 \times (1{,}06)^{12} \)

Vypočítáme \( (1{,}06)^{12} \):

\( \ln(1{,}06) \approx 0{,}05827 \)

\( 12 \times 0{,}05827 = 0{,}69924 \)

\( e^{0{,}69924} \approx 2{,}012 \)

Tedy

\( K \approx 400{,}000 \times 2{,}012 = 804{,}800 \) Kč

Investor bude mít po \( 12 \) letech přibližně \( 804{,}800 \) Kč, což je více než požadovaných \( 800{,}000 \) Kč.

Odpověď: Investor vloží peníze na \( 12 \) let.

Řešení příkladu:

Nejprve si musíme uvědomit, že úroková sazba je \( 5{,}5 \, \% \) ročně, ale úroky se připisují čtvrtletně, tedy \( 4x \) do roka. To znamená, že za každý kvartál je úroková sazba:

\( i = \frac{5{,}5\,\%}{4} = 1{,}375\,\% = 0{,}01375 \)

Počet úrokovacích období za \( 10 \) let je:

\( n = 10 \times 4 = 40 \)

Vzorec pro složené úročení je:

\( K = K_0 (1 + i)^n \)

Kde \( K_0 = 150{,}000 \) Kč je počáteční vklad, \( i = 0{,}01375 \) je úroková sazba za jedno období a \( n = 40 \) je počet období.

Dosadíme hodnoty:

\( K = 150{,}000 \times (1 + 0{,}01375)^{40} = 150{,}000 \times (1{,}01375)^{40} \)

Pro výpočet mocniny použijeme logaritmy nebo kalkulačku:

\( (1{,}01375)^{40} \approx e^{40 \times \ln(1{,}01375)} \)

Nejprve spočítáme \( \ln(1{,}01375) \):

\( \ln(1{,}01375) \approx 0{,}01366 \)

Potom:

\( 40 \times 0{,}01366 = 0{,}5464 \)

Takže:

\( (1{,}01375)^{40} \approx e^{0{,}5464} \approx 1{,}727 \)

Výsledná hodnota vkladu je:

\( K \approx 150{,}000 \times 1{,}727 = 259{,}050 \)

Po \( 10 \) letech bude tedy hodnota vkladu přibližně \( 259{,}050 \) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 6 \, \% \), připisuje se pololetně, což znamená \( 2 \) úrokovací období za rok.

Úroková sazba za jedno pololetí je:

\( i = \frac{6\,\%}{2} = 3\,\% = 0{,}03 \)

Počet období za \( 15 \) let je:

\( n = 15 \times 2 = 30 \)

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 (1 + i)^n \)

Kde \( K_0 = 80\,000 \) Kč.

Dosadíme:

\( K = 80\,000 \times (1 + 0{,}03)^{30} = 80\,000 \times (1{,}03)^{30} \)

Pro výpočet mocniny využijeme přirozený logaritmus:

\( \ln(1{,}03) \approx 0{,}02956 \)

Potom:

\( 30 \times 0{,}02956 = 0{,}8868 \)

Takže:

\( (1{,}03)^{30} = e^{0{,}8868} \approx 2{,}427 \)

Hodnota na účtu po \( 15 \) letech bude:

\( K \approx 80\,000 \times 2{,}427 = 194\,160 \)

Na účtu bude přibližně \( 194\,160 \) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 4{,}8 \, \% \), úroky se připisují měsíčně, tj. \( 12 \) období za rok.

Úroková sazba za jedno období (měsíc) je:

\( i = \frac{4{,}8\,\%}{12} = 0{,}4\,\% = 0{,}004 \)

Počet období za \( 5 \) let je:

\( n = 5 \times 12 = 60 \)

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 (1 + i)^n \)

Dosadíme hodnoty:

\( K = 200\,000 \times (1 + 0{,}004)^{60} = 200\,000 \times (1{,}004)^{60} \)

Pro výpočet použijeme logaritmus:

\( \ln(1{,}004) \approx 0{,}00399 \)

Potom:

\( 60 \times 0{,}00399 = 0{,}2394 \)

Takže:

\( (1{,}004)^{60} = e^{0{,}2394} \approx 1{,}270 \)

Hodnota vkladu po \( 5 \) letech bude:

\( K \approx 200\,000 \times 1{,}270 = 254\,000 \)

Výsledkem je přibližně \( 254\,000 \) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 7 \, \% \), připisuje se pololetně \((2\) období ročně\()\), úrok za období je tedy:

\( i = \frac{7\,\%}{2} = 3{,}5\,\% = 0{,}035 \)

Počáteční vklad \( K_0 = 100\,000 \) Kč, konečná hodnota \( K = 150\,000 \) Kč, počet období je \( n \).

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 (1 + i)^n \Rightarrow 150\,000 = 100\,000 (1 + 0{,}035)^n \)

Vyjádříme \( n \):

\( \frac{150\,000}{100\,000} = (1{,}035)^n \Rightarrow 1{,}5 = (1{,}035)^n \)

Vezmeme přirozený logaritmus:

\( \ln(1{,}5) = n \ln(1{,}035) \Rightarrow n = \frac{\ln(1{,}5)}{\ln(1{,}035)} \)

\( \ln(1{,}5) \approx 0{,}4055 \), \( \ln(1{,}035) \approx 0{,}0344 \)

\( n = \frac{0{,}4055}{0{,}0344} \approx 11{,}79 \)

To znamená, že je potřeba \( 11{,}79 \) pololetí.

Převedeme na roky:

\( t = \frac{11{,}79}{2} = 5{,}895 \)

Investor musí vložit peníze na přibližně \( 5{,}9 \) roku, aby dosáhl požadované částky.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 3{,}6 \, \% \), úroky se připisují měsíčně \((12\) období za rok\()\), úrok za období je:

\( i = \frac{3{,}6 \, \%}{12} = 0{,}3 \, \% = 0{,}003 \)

Počet období za \( 8 \) let je:

\( n = 8 \times 12 = 96 \)

Hledáme počáteční vklad \( K_0 \), který bude po \( 96 \) obdobích mít hodnotu \( 500{,}000 \) Kč:

\( K = K_0 (1 + i)^n \Rightarrow 500{,}000 = K_0 (1{,}003)^{96} \)

Nejprve spočítáme \( (1{,}003)^{96} \):

\( \ln(1{,}003) \approx 0{,}002998 \)

\( 96 \times 0{,}002998 = 0{,}2878 \)

\( (1{,}003)^{96} = e^{0{,}2878} \approx 1{,}333 \)

Dosadíme:

\( 500{,}000 = K_0 \times 1{,}333 \Rightarrow K_0 = \frac{500{,}000}{1{,}333} \approx 375{,}000 \)

Počáteční vklad musí být přibližně \( 375{,}000 \) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 8 \, \% \), úroky se připisují ročně, takže úrok za jedno období je \( i = 0{,}08 \), počet období je \( n = 12 \).

Vzorec složeného úročení:

\( K = K_0 (1 + i)^n = 250{,}000 \times (1{,}08)^{12} \)

Vypočítáme \( (1{,}08)^{12} \):

\( \ln(1{,}08) \approx 0{,}07696 \)

\( 12 \times 0{,}07696 = 0{,}9235 \)

\( (1{,}08)^{12} = e^{0{,}9235} \approx 2{,}518 \)

Hodnota na účtu bude:

\( K \approx 250{,}000 \times 2{,}518 = 629{,}500 \)

Po \( 12 \) letech bude na účtu přibližně \( 629{,}500 \) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 5 \, \% \), úroky se připisují měsíčně, tedy \( 12 \) období za rok.

Úrok za jedno období:

\( i = \frac{5 \, \%}{12} = 0{,}4167 \, \% = 0{,}004167 \)

Počet období za \( 3 \) roky:

\( n = 3 \times 12 = 36 \)

Vzorec složeného úročení:

\( K = 120{,}000 \times (1 + 0{,}004167)^{36} \)

Výpočet mocniny:

\( \ln(1{,}004167) \approx 0{,}004158 \)

\( 36 \times 0{,}004158 = 0{,}1497 \)

\( (1{,}004167)^{36} = e^{0{,}1497} \approx 1{,}161 \)

Hodnota vkladu bude:

\( K \approx 120{,}000 \times 1{,}161 = 139{,}320 \)

Po \( 3 \) letech bude na účtu přibližně \( 139{,}320 \) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( 6 \, \% \), úroky se připisují čtvrtletně \((4\) období za rok\()\), úrok za období je:

\( i = \frac{6 \, \%}{4} = 1{,}5 \, \% = 0{,}015 \)

Počáteční vklad \( K_0 = 50{,}000 \), cílová hodnota je trojnásobek:

\( K = 3 \times 50{,}000 = 150{,}000 \)

Vzorec:

\( K = K_0 (1 + i)^n \Rightarrow 150{,}000 = 50{,}000 (1 + 0{,}015)^n \)

\( 3 = (1{,}015)^n \)

Vezmeme přirozený logaritmus:

\( \ln(3) = n \ln(1{,}015) \Rightarrow n = \frac{\ln(3)}{\ln(1{,}015)} \)

\( \ln(3) \approx 1{,}0986 \), \( \ln(1{,}015) \approx 0{,}0149 \)

\( n = \frac{1{,}0986}{0{,}0149} \approx 73{,}72 \)

Počet období je přibližně \( 73{,}72 \) čtvrtletí.

Převedeme na roky:

\( t = \frac{73{,}72}{4} = 18{,}43 \)

Vklad se ztrojnásobí za přibližně \( 18{,}43 \) roku.

Řešení příkladu:

Úroková sazba \( 4{,}5 \, \% \) ročně znamená, že za jeden rok se vklad zvýší o \( 4{,}5 \, \% \) z počáteční částky, pokud by se úrok připisoval jednou ročně. V tomto případě je však úrok připisován pololetně, což znamená, že každý půlrok se úrok připíše polovina roční sazby.

Roční úroková sazba \( r = 0{,}045 \). Proto pololetní úroková sazba je

\( i = \frac{r}{2} = \frac{0{,}045}{2} = 0{,}0225 \).

Vklad se tedy úročí pololetně sazbou \( 2{,}25 \, \% \).

Po \( n \) pololetích bude částka \( K_n \) dána vztahem složeného úročení

\( K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n \), kde \( K_0 = 80{,}000 \) Kč.

Chceme zjistit dobu, za kterou se vklad zdvojnásobí, tedy najít \( n \) takové, že

\( K_n = 2 \cdot K_0 \)

Dosadíme do vzorce:

\( 2 \cdot K_0 = K_0 \cdot (1 + i)^n \Rightarrow 2 = (1 + i)^n \)

Logaritmováním obou stran získáme:

\( \ln 2 = n \cdot \ln(1 + i) \)

Odtud

\( n = \frac{\ln 2}{\ln(1 + i)} = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}0225)} \).

Vypočítáme hodnoty:

\( \ln 2 \approx 0{,}693147 \)

\( \ln(1{,}0225) \approx 0{,}022273 \)

Proto

\( n \approx \frac{0{,}693147}{0{,}022273} \approx 31{,}13 \)

Toto je počet pololetí potřebných k zdvojnásobení vkladu.

Protože každý pololetí trvá \( 0{,}5 \) roku, celková doba v letech je

\( t = \frac{n}{2} \approx \frac{31{,}13}{2} = 15{,}565 \) let.

Výsledkem je, že vklad se zdvojnásobí přibližně za \( 15{,}57 \) let při pololetním úročení \( 4{,}5 \, \% \) ročně.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}05 \). Úroky se připisují měsíčně, takže měsíční úroková sazba je

\( i = \frac{r}{12} = \frac{0{,}05}{12} \approx 0{,}0041667 \).

Počet měsíců za 10 let je

\( n = 10 \times 12 = 120 \).

Hodnota vkladu po 10 letech bude

\( K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n = 25\,000 \cdot (1 + 0{,}0041667)^{120} \).

Nejprve spočítáme \( (1 + 0{,}0041667)^{120} \):

Využijeme logaritmus a exponenciálu:

\( \ln (1 + 0{,}0041667) \approx 0{,}004158 \)

\( 120 \times 0{,}004158 = 0{,}49896 \)

Exponenciála:

\( e^{0{,}49896} \approx 1{,}6467 \)

Tedy

\( K_n \approx 25\,000 \times 1{,}6467 = 41\,167{,}50 \, \text{Kč} \).

Po \(10\) letech bude hodnota vkladu přibližně \( 41\,167{,}50 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Nominální roční úroková sazba je \( r = 0{,}06 \), úroky se připisují čtvrtletně, tedy čtyřikrát ročně.

Pololetní úroková sazba je

\( i = \frac{r}{4} = \frac{0{,}06}{4} = 0{,}015 \).

Efektivní roční úroková sazba (EAR) se vypočte podle vzorce složeného úročení

\( \text{EAR} = (1 + i)^m – 1 \), kde \( m \) je počet připisování úroků za rok, zde 4.

Dosadíme:

\( \text{EAR} = (1 + 0{,}015)^4 – 1 \)

Vypočteme:

\( (1 + 0{,}015)^4 = 1{,}015^4 \)

Využijeme rozklad:

\( 1{,}015^2 = 1{,}015 \times 1{,}015 = 1{,}030225 \)

\( 1{,}015^4 = (1{,}015^2)^2 = 1{,}030225^2 \approx 1{,}06136 \)

Tedy

\( \text{EAR} = 1{,}06136 – 1 = 0{,}06136 = 6{,}136 \% \).

Efektivní roční úroková sazba je přibližně \( 6{,}136 \% \).

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba \( r = 0{,}036 \), měsíční úroková sazba je

\( i = \frac{r}{12} = \frac{0{,}036}{12} = 0{,}003 \).

Počet měsíců za \( 7 \) let je

\( n = 7 \times 12 = 84 \).

Hodnota vkladu po \( 7 \) letech je

\( K_n = 150{,}000 \cdot (1 + 0{,}003)^{84} \).

Spočítáme \( (1 + 0{,}003)^{84} \):

\( \ln (1{,}003) \approx 0{,}002998 \)

\( 84 \times 0{,}002998 = 0{,}2518 \)

Exponenciála:

\( e^{0{,}2518} \approx 1{,}2868 \)

Tedy

\( K_n \approx 150{,}000 \times 1{,}2868 = 193{,}020 \) Kč.

Po \( 7 \) letech bude hodnota vkladu přibližně \( 193{,}020 \) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}07 \), úročení pololetní znamená

\( i = \frac{r}{2} = \frac{0{,}07}{2} = 0{,}035 \).

Počet pololetí za \( 5 \) let je

\( n = 5 \times 2 = 10 \).

Hodnota vkladu po \( 5 \) letech je

\( K_n = 10{,}000 \cdot (1 + 0{,}035)^{10} \).

Spočítáme \( (1 + 0{,}035)^{10} \):

\( \ln(1{,}035) \approx 0{,}03439 \)

\( 10 \times 0{,}03439 = 0{,}3439 \)

Exponenciála:

\( e^{0{,}3439} \approx 1{,}4106 \)

Tedy

\( K_n \approx 10{,}000 \times 1{,}4106 = 14{,}106 \) Kč.

Po \( 5 \) letech bude na účtu přibližně \( 14{,}106 \) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba \( r = 0{,}05 \), měsíční úroková sazba je

\( i = \frac{r}{12} = \frac{0{,}05}{12} = 0{,}0041667 \).

Hledáme počet měsíců \( n \), kdy

\( K_n = 100{,}000 \), \( K_0 = 60{,}000 \).

Vzorec složeného úročení:

\( K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n \)

Dosadíme a upravíme:

\( 100{,}000 = 60{,}000 \cdot (1 + 0{,}0041667)^n \Rightarrow \frac{100{,}000}{60{,}000} = (1{,}0041667)^n \)

\( \frac{100{,}000}{60{,}000} = \frac{5}{3} \approx 1{,}6667 \)

Logaritmováním

\( \ln 1{,}6667 = n \cdot \ln (1{,}0041667) \)

\( n = \frac{\ln 1{,}6667}{\ln 1{,}0041667} \)

Spočítáme hodnoty

\( \ln 1{,}6667 \approx 0{,}5108 \)

\( \ln 1{,}0041667 \approx 0{,}004158 \)

Tedy

\( n \approx \frac{0{,}5108}{0{,}004158} \approx 122{,}9 \) měsíců.

Počet let je

\( t = \frac{n}{12} \approx \frac{122{,}9}{12} = 10{,}24 \) let.

Investice se zhodnotí na \( 100{,}000 \) Kč přibližně za \( 10{,}24 \) let.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}048 \), kvartální úroková sazba je

\( i = \frac{r}{4} = \frac{0{,}048}{4} = 0{,}012 \).

Počet kvartálů za 12 let je

\( n = 12 \times 4 = 48 \).

Hodnota vkladu po 12 letech je

\( K_n = 200{,}000 \cdot (1 + 0{,}012)^{48} \).

Spočítáme \( (1 + 0{,}012)^{48} \):

\( \ln (1{,}012) \approx 0{,}011928 \)

\( 48 \times 0{,}011928 = 0{,}57254 \)

Exponenciála:

\( e^{0{,}57254} \approx 1{,}7727 \)

Tedy

\( K_n \approx 200{,}000 \times 1{,}7727 = 354{,}540 \) Kč.

Po 12 letech bude hodnota vkladu přibližně \( 354{,}540 \) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba \( r = 0{,}038 \), pololetní úroková sazba je

\( i = \frac{r}{2} = \frac{0{,}038}{2} = 0{,}019 \).

Hledáme počet pololetí \( n \), kdy

\( K_n = 150{,}000 \), \( K_0 = 90{,}000 \).

Vzorec složeného úročení:

\( 150{,}000 = 90{,}000 \cdot (1 + 0{,}019)^n \Rightarrow \frac{150{,}000}{90{,}000} = (1{,}019)^n \)

\( \frac{150{,}000}{90{,}000} = \frac{5}{3} \approx 1{,}6667 \)

Logaritmováním:

\( \ln 1{,}6667 = n \cdot \ln 1{,}019 \)

\( n = \frac{\ln 1{,}6667}{\ln 1{,}019} \)

Spočítáme hodnoty:

\( \ln 1{,}6667 \approx 0{,}5108 \)

\( \ln 1{,}019 \approx 0{,}01882 \)

Tedy

\( n \approx \frac{0{,}5108}{0{,}01882} \approx 27{,}13 \) pololetí.

Počet let je

\( t = \frac{27{,}13}{2} \approx 13{,}57 \) let.

Vklad naroste na \( 150{,}000 \) Kč přibližně za \( 13{,}57 \) let.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}065 \). Při kvartálním úročení je úroková sazba na jedno období

\( i = \frac{r}{4} = \frac{0{,}065}{4} = 0{,}01625 \).

Počet úrokových období za \( 15 \) let je

\( n = 15 \times 4 = 60 \).

Hodnota investice po \( 15 \) letech bude podle vzorce složeného úročení

\( K_n = K_0 (1 + i)^n = 250000 \times (1 + 0{,}01625)^{60} \).

Nejprve spočítáme základ v závorce:

\( 1 + 0{,}01625 = 1{,}01625 \).

Nyní mocninu:

\( 1{,}01625^{60} = e^{60 \ln(1{,}01625)} \).

Spočítáme logaritmus:

\( \ln(1{,}01625) \approx 0{,}01612 \).

Tedy:

\( 1{,}01625^{60} = e^{60 \times 0{,}01612} = e^{0{,}9672} \approx 2{,}631 \).

Výsledná hodnota investice je

\( K_n = 250000 \times 2{,}631 = 657750 \, \text{Kč} \).

To znamená, že po \( 15 \) letech se investice díky složenému úročení více než zdvojnásobí na přibližně \( 657750 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}07 \). Při měsíčním úročení je úroková sazba na jedno období

\( i = \frac{r}{12} = \frac{0{,}07}{12} \approx 0{,}0058333 \).

Počet měsíců, které uplynou, označíme jako \( n \). Počet let pak bude \( t = \frac{n}{12} \).

Podmínka pro zdvojnásobení investice je

\( K_n = K_0 (1 + i)^n = 200000 \).

Dosadíme:

\( 100000 (1 + 0{,}0058333)^n = 200000 \Rightarrow (1{,}0058333)^n = 2 \).

Pro nalezení \( n \) použijeme logaritmus:

\( n \ln(1{,}0058333) = \ln 2 \Rightarrow n = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}0058333)} \).

Spočítáme hodnoty:

\( \ln 2 \approx 0{,}693147 \), \( \ln(1{,}0058333) \approx 0{,}005816 \).

Tedy

\( n = \frac{0{,}693147}{0{,}005816} \approx 119{,}18 \, \text{měsíců} \).

Převedeme na roky:

\( t = \frac{119{,}18}{12} \approx 9{,}93 \, \text{roku} \).

Odpověď: Investice dosáhne dvojnásobku hodnoty přibližně za \( 9,93 \) roku, tedy téměř za \( 10 \) let.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}04 \). Při pololetním úročení je úroková sazba na jedno období

\( i = \frac{r}{2} = 0{,}02 \).

Počet úrokových období je

\( n = 8 \times 2 = 16 \).

Hodnota investice po \( 8 \) letech bude

\( K_n = 500000 \times (1 + 0{,}02)^{16} = 500000 \times 1{,}02^{16} \).

Spočítáme mocninu:

\( 1{,}02^{16} = e^{16 \ln(1{,}02)} \).

\( \ln(1{,}02) \approx 0{,}01980 \Rightarrow 16 \times 0{,}01980 = 0{,}3168 \).

Tedy

\( 1{,}02^{16} = e^{0{,}3168} \approx 1{,}3728 \).

Výsledná hodnota vkladu je

\( K_n = 500000 \times 1{,}3728 = 686400 \, \text{Kč} \).

Investice tedy po \( 8 \) letech vzroste na přibližně \( 686400 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}08 \), pololetní úroková sazba je

\( i = \frac{0{,}08}{2} = 0{,}04 \).

Počet úrokových období je

\( n = 5 \times 2 = 10 \).

Konečná částka úvěru bude

\( K_n = 150{,}000 \times (1 + 0{,}04)^{10} = 150{,}000 \times 1{,}04^{10} \).

Spočítáme mocninu:

\( 1{,}04^{10} = e^{10 \ln(1{,}04)} \), kde \( \ln(1{,}04) \approx 0{,}03922 \Rightarrow 10 \times 0{,}03922 = 0{,}3922 \).

Tedy

\( 1{,}04^{10} = e^{0{,}3922} \approx 1{,}4802 \).

Výsledná částka je

\( K_n = 150{,}000 \times 1{,}4802 = 222{,}030 \, \text{Kč} \).

Klient tedy za \( 5 \) let zaplatí celkem přibližně \(222,030\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}05 \). Při měsíčním úročení je úroková sazba na jedno období

\( i = \frac{0{,}05}{12} \approx 0{,}0041667 \).

Počet úrokových období je

\( n = 3 \times 12 = 36 \).

Hodnota investice bude

\( K_n = 350{,}000 \times (1 + 0{,}0041667)^{36} \).

Spočítáme základ v závorce:

\( 1 + 0{,}0041667 = 1{,}0041667 \).

Nyní mocninu:

\( 1{,}0041667^{36} = e^{36 \ln(1{,}0041667)} \).

\( \ln(1{,}0041667) \approx 0{,}004158 \Rightarrow 36 \times 0{,}004158 = 0{,}1497 \).

Tedy

\( 1{,}0041667^{36} = e^{0{,}1497} \approx 1{,}1615 \).

Výsledná hodnota účtu je

\( K_n = 350{,}000 \times 1{,}1615 = 406{,}525 \, \text{Kč} \).

Za \(3\) roky vzroste hodnota účtu na přibližně \(406,525\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}09 \) a připisování je roční, tedy \( i = r = 0{,}09 \).

Počet období je \( n = 10 \).

Hodnota investice po \( 10 \) letech bude

\( K_n = 80{,}000 \times (1 + 0{,}09)^{10} = 80{,}000 \times 1{,}09^{10} \).

Spočítáme mocninu:

\( 1{,}09^{10} = e^{10 \ln(1{,}09)} \).

\( \ln(1{,}09) \approx 0{,}08618 \Rightarrow 10 \times 0{,}08618 = 0{,}8618 \).

Tedy

\( 1{,}09^{10} = e^{0{,}8618} \approx 2{,}3674 \).

Výsledná hodnota je

\( K_n = 80{,}000 \times 2{,}3674 = 189{,}392 \, \text{Kč} \).

Po \( 10 \) letech tedy investice naroste téměř na \(189,392\) Kč.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \( r = 0{,}035 \), čtvrtletní úroková sazba je

\( i = \frac{r}{4} = \frac{0{,}035}{4} = 0{,}00875 \).

Hodnota investice se zdvojnásobí, když platí

\( K_n = K_0 (1 + i)^n = 2 K_0 \Rightarrow (1 + i)^n = 2 \).

Dosadíme hodnoty:

\( (1{,}00875)^n = 2 \).

Pro nalezení \( n \) použijeme logaritmus:

\( n \ln(1{,}00875) = \ln 2 \Rightarrow n = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}00875)} \).

Spočítáme hodnoty:

\( \ln 2 \approx 0{,}693147 \), \( \ln(1{,}00875) \approx 0{,}008711 \).

Tedy

\( n = \frac{0{,}693147}{0{,}008711} \approx 79{,}58 \, \text{období} \).

Počet let vypočítáme jako

\( t = \frac{n}{4} = \frac{79{,}58}{4} \approx 19{,}90 \, \text{let} \).

Investice se tedy zdvojnásobí přibližně za \(19,9\) let.