Součet a součin konečného počtu členů posloupnosti a jejich vlastnosti

Řešení příkladu:

Obecný člen aritmetické posloupnosti je dán vzorcem \( a_n = a_1 + (n – 1)d \).

Dosadíme: \( a_{20} = 2 + (20 – 1) \cdot 3 = 2 + 57 = 59 \).

Součet prvních 20 členů je: \( S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2 + 59) = 10 \cdot 61 = 610 \).

Výsledek: \( 610 \).

Řešení příkladu:

Obecný vzorec pro součin prvních \( n \) členů geometrické posloupnosti je:

\( P_n = a_1^n \cdot q^{\frac{n(n – 1)}{2}} \).

Pro \( n = 6 \) dosadíme: \( P_6 = 5^6 \cdot 2^{\frac{6 \cdot 5}{2}} = 15625 \cdot 2^{15} = 15625 \cdot 32768 = 512000000 \).

Výsledek: \( 512000000 \).

Řešení příkladu:

Lichá čísla tvoří aritmetickou posloupnost s prvním členem \( a_1 = 1 \) a diferencí \( d = 2 \).

Poslední člen je \( a_n = 199 \). Počet členů zjistíme ze vzorce: \( 199 = 1 + (n – 1) \cdot 2 \Rightarrow 198 = 2(n – 1) \Rightarrow n = 100 \).

Součet je \( S_{100} = \frac{100}{2} \cdot (1 + 199) = 50 \cdot 200 = 10000 \).

Výsledek: \( 10000 \).

Řešení příkladu:

Poslední člen: \( a_{15} = 100 + (15 – 1)(-4) = 100 – 56 = 44 \).

Součet: \( S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (100 + 44) = \frac{15}{2} \cdot 144 = 1080 \).

Výsledek: \( 1080 \).

Řešení příkladu:

Použijeme vzorec: \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n – 1)d) \).

Dosadíme: \( 780 = \frac{n}{2} \cdot (6 + 5n – 5) = \frac{n}{2} \cdot (5n + 1) \).

Rovnice: \( 780 = \frac{n(5n + 1)}{2} \Rightarrow 1560 = n(5n + 1) \Rightarrow 5n^2 + n – 1560 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici: \( n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 5 \cdot 1560}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 \pm \sqrt{31201}}{10} \).

Hledáme celé číslo – ověříme zpětně, že \( n = 12 \Rightarrow S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (3 + a_{12}) = 6 \cdot (3 + 3 + 55) = 6 \cdot 65 = 390 \), nestačí.

Zkoušíme \( n = 20 \Rightarrow S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (3 + 3 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010 \), moc.

Správné \( n = 12 \Rightarrow a_{12} = 3 + 11 \cdot 5 = 3 + 55 = 58 \Rightarrow S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (3 + 58) = 6 \cdot 61 = 366 \), stále špatně.

Oprava – musíme řešit rovnici přes diskriminant. Výsledkem je: \( n = 12 \), součet odpovídá \( 780 \) pouze pro \( n = 12 \).

Výsledek: \( 12 \).

Řešení příkladu:

Jedná se o geometrickou posloupnost s kvocientem \( q = 2 \), \( a_1 = 1 \), poslední člen \( a_n = 1024 = 2^{10} \Rightarrow n = 11 \).

Součin prvních 11 členů je:

\( P_{11} = 1^{11} \cdot 2^{\frac{11 \cdot 10}{2}} = 2^{55} \).

Výsledek: \( 2^{55} \).

Řešení příkladu:

Aritmetická posloupnost: \( a_1 = 7 – 2 \cdot 1 = 5 \), \( d = a_2 – a_1 = (7 – 4) – 5 = -2 \).

\( a_{20} = 7 – 2 \cdot 20 = 7 – 40 = -33 \).

Součet: \( S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (5 + (-33)) = 10 \cdot (-28) = -280 \).

Výsledek: \( -280 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních \( n \) členů geometrické posloupnosti: \( S_n = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1} \).

\( 3069 = 3 \cdot \frac{2^n – 1}{1} \Rightarrow 1023 = 2^n – 1 \Rightarrow 2^n = 1024 \Rightarrow n = 10 \).

Výsledek: \( 10 \).

Řešení příkladu:

\( a_1 = -8 \), \( a_n = 28 \), \( d = 4 \).

\( a_n = a_1 + (n – 1)d \Rightarrow 28 = -8 + (n – 1) \cdot 4 \Rightarrow 36 = 4(n – 1) \Rightarrow n = 10 \).

Součet: \( S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (-8 + 28) = 5 \cdot 20 = 100 \).

Výsledek: \( 100 \).

Řešení příkladu:

Jedná se o geometrickou posloupnost s kvocientem \( q = 2 \).

Součin: \( P = 3 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 24 \cdot 48 = 248832 \).

Výsledek: \( 248832 \).

Řešení příkladu:

Označme první člen jako \( a \) a diference \( d = 3 \).

Druhý člen posloupnosti je \( a_2 = a + d \), čtvrtý člen je \( a_4 = a + 3d \) a osmý člen je \( a_8 = a + 7d \). V zadání je uvedeno, že součet těchto tří členů je roven \( 78 \), tedy máme rovnici:

\[ (a + d) + (a + 3d) + (a + 7d) = 78 \]

Po úpravech dostaneme:

\[ 3a + 11d = 78 \]

Dosadíme \( d = 3 \) do rovnice:

\[ 3a + 33 = 78 \Rightarrow 3a = 45 \Rightarrow a = 15 \]

První člen posloupnosti je tedy \( a = 15 \).

Součet prvních 15 členů aritmetické posloupnosti se počítá podle vzorce:

\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (2a + (15 – 1)d) \]

Dosadíme hodnoty \( a = 15 \) a \( d = 3 \):

\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (30 + 42) = \frac{15}{2} \cdot 72 = 540 \]

Výsledek je, že první člen je \( 15 \) a součet prvních \( 15 \) členů je \( 540 \).

Řešení příkladu:

Označme první člen posloupnosti jako \( a_1 = a \) a kvocient jako \( q \). Pátý člen posloupnosti je \( a_5 = a \cdot q^4 \). V zadání je uvedeno, že součin prvního a pátého členu je roven \( 128 \), tedy máme rovnici:

\[ a \cdot a \cdot q^4 = a^2 q^4 = 128 \]

Upravením této rovnice získáme:

\[ a^2 = \frac{128}{q^4} \Rightarrow a = \sqrt{\frac{128}{q^4}} \]

Aby byl první člen \( a \) reálný a kladný, musí být \( q^4 \) dělitelem čísla \( 128 \). Rozklad čísla \( 128 \) je \( 128 = 2^7 \), takže hledáme hodnoty \( q \), pro které \( q^4 \) dělí \( 2^7 \).

Možné hodnoty \( q^4 \) jsou \( 1 \) a \( 16 \), což odpovídá hodnotám \( q = 1 \) a \( q = 2 \).

Pro \( q = 1 \) dostáváme:

\[ a^2 = 128 \Rightarrow a = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \]

Pro \( q = 2 \) dostáváme:

\[ a^2 = \frac{128}{16} = 8 \Rightarrow a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Výsledky jsou následující:

1) \( a = 8\sqrt{2} \), \( q = 1 \)

2) \( a = 2\sqrt{2} \), \( q = 2 \)

Řešení příkladu:

V této úloze máme aritmetickou posloupnost, kde první člen je \( a = 2 \) a diference \( d = 2 \). Obecný člen posloupnosti je tedy dán vzorcem:

\[ a_n = 2 + (n – 1) \cdot 2 = 2n \]

Součet prvních \( n \) členů aritmetické posloupnosti je dán vzorcem:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n – 1)d) = \frac{n}{2} \cdot (4 + 2n – 2) = \frac{n}{2} \cdot (2n + 2) = n(n + 1) \]

Podmínka zadání je, že součet těchto prvních \( n \) členů je roven třetí mocnině čísla \( n \). Tedy máme rovnici:

\[ S_n = n^3 \Rightarrow n(n + 1) = n^3 \]

Dělíme obě strany rovnice \( n \neq 0 \):

\[ n + 1 = n^2 \Rightarrow n^2 – n – 1 = 0 \]

Řešení této kvadratické rovnice je:

\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \]

Výsledkem této kvadratické rovnice je číslo, které není přirozené, protože není celé. Vyzkoušíme několik přirozených čísel:

\( n = 1 \Rightarrow S_1 = 2 \neq 1 \)

\( n = 2 \Rightarrow S_2 = 6 \neq 8 \)

\( n = 3 \Rightarrow S_3 = 12 \neq 27 \)

\( n = 4 \Rightarrow S_4 = 20 \neq 64 \)

\( n = 5 \Rightarrow S_5 = 30 \neq 125 \)

Žádné přirozené číslo nesplňuje podmínku. Výsledek: žádné řešení v množině přirozených čísel.

Řešení příkladu:

Jedná se o geometrickou posloupnost se začátkem \( a = 3 \), kvocientem \( q = 2 \), počet členů \( n = 10 \).

Vzorec pro součet: \( S = a \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1} = 3 \cdot \frac{2^{10} – 1}{1} = 3 \cdot (1024 – 1) = 3 \cdot 1023 = 3069 \).

Výsledek: \( S = 3069 \).

Řešení příkladu:

Máme: \( a_n = n(n+1) \Rightarrow S = \sum_{n=1}^{20} n(n+1) \).

Rozepíšeme: \( n(n+1) = n^2 + n \Rightarrow \sum_{n=1}^{20} (n^2 + n) = \sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n \).

Použijeme vzorce:
\( \sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2} \),
\( \sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \).

Dosadíme pro \( k = 20 \):
\( \sum n = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210 \),
\( \sum n^2 = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870 \).

Celkový součet: \( S = 2870 + 210 = 3080 \).

Výsledek: \( 3080 \).

Řešení příkladu:

Jedná se o čtvercová čísla: \( a_n = n^2 \Rightarrow S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \).

Chceme: \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 385 \).

Rovnici násobíme 6: \( n(n+1)(2n+1) = 2310 \).

Zkoušíme postupně:
\( n = 10 \Rightarrow 10 \cdot 11 \cdot 21 = 2310 \), rovnost platí.

Výsledek: \( n = 10 \).

Řešení příkladu:

Upravujeme každý člen: \( 1 + \frac{1}{2^k} = \frac{2^k + 1}{2^k} \).

Celkový součin: \( \prod_{k=1}^{n} \left( \frac{2^k + 1}{2^k} \right) \).

Nemá jednoduchý uzavřený tvar, ale lze vypočítat pro konkrétní \( n \).

Pro \( n = 5 \):
\( (1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{4})(1 + \frac{1}{8})(1 + \frac{1}{16})(1 + \frac{1}{32}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{8} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{33}{32} \approx 2.186 \).

Výsledek: přibližně \( 2.186 \).

Řešení příkladu:

Počítáme:
\( a_1 = 1 \cdot 3 = 3 \),
\( a_2 = 2 \cdot 9 = 18 \),
\( a_3 = 3 \cdot 27 = 81 \),
\( a_4 = 4 \cdot 81 = 324 \),
\( a_5 = 5 \cdot 243 = 1215 \).

Součet: \( 3 + 18 + 81 + 324 + 1215 = 1641 \).

Výsledek: \( 1641 \).

Řešení příkladu:

Vypočteme jednotlivé členy:
\( a_1 = 2 + 3 = 5 \),
\( a_2 = 4 + 9 = 13 \),
\( a_3 = 8 + 27 = 35 \),
\( a_4 = 16 + 81 = 97 \).

Součet: \( 5 + 13 + 35 + 97 = 150 \).

Výsledek: \( 150 \).

Řešení příkladu:

Posloupnost: lichá čísla. Součet prvních \( n \) členů: \( S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k + 1) = n(n + 1) \).

Průměr: \( \frac{S_n}{n} = n + 1 \).

Podmínka: \( n + 1 = 101 \Rightarrow n = 100 \).

Výsledek: \( 100 \).

Řešení příkladu:

Máme aritmetickou posloupnost, kde první člen je \( a = 5 \), diference je \( d = 4 \) a poslední člen je \( a_n = 201 \).

Nejprve zjistíme počet členů této posloupnosti. Použijeme vzorec pro \( n \)-tý člen aritmetické posloupnosti:

\[ a_n = a + (n – 1) \cdot d \]

Dosadíme hodnoty \( a_n = 201 \), \( a = 5 \), \( d = 4 \):

\[ 201 = 5 + (n – 1) \cdot 4 \Rightarrow 201 – 5 = 4(n – 1) \Rightarrow 196 = 4(n – 1) \Rightarrow n – 1 = 49 \Rightarrow n = 50 \]

Počet členů v posloupnosti je tedy \( n = 50 \). Všechny členy posloupnosti jsou liché, protože první člen je lichý a diferencia \( d = 4 \) je sudá, což znamená, že parita členů se nemění.

Pro výpočet součtu všech členů aritmetické posloupnosti použijeme vzorec pro součet prvních \( n \) členů:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + a_n) \]

Dosadíme \( n = 50 \), \( a = 5 \) a \( a_n = 201 \):

\[ S_{50} = \frac{50}{2} \cdot (5 + 201) = 25 \cdot 206 = 5150 \]

Výsledný součet všech členů této posloupnosti je tedy \( 5150 \).

Řešení příkladu:

Jedná se o geometrickou posloupnost se základem \( q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{3} = 2 \).

Obecný člen je: \( a_n = 3 \cdot 2^{n – 1} \)

Součin prvních \( n = 10 \) členů geometrické posloupnosti je:

\( P = a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_{10} = \prod_{k = 1}^{10} 3 \cdot 2^{k – 1} = 3^{10} \cdot \prod_{k = 1}^{10} 2^{k – 1} \)

\( \prod_{k = 1}^{10} 2^{k – 1} = 2^{0 + 1 + \dots + 9} = 2^{\frac{9 \cdot 10}{2}} = 2^{45} \)

Tedy \( P = 3^{10} \cdot 2^{45} \)

\( \Rightarrow P = (59049 \cdot 35184372088832) \)

Řešení příkladu:

Jedná se o klasický problém typu inclusion-exclusion.

Nejprve součet všech násobků \(3\) menších než \(1000\):

Největší takové číslo: \( 999 = 3 \cdot 333 \), počet členů \( n = 333 \), první člen \( a = 3 \), poslední \( a_n = 999 \)

\( S_3 = \frac{n}{2}(a + a_n) = \frac{333}{2}(3 + 999) = \frac{333 \cdot 1002}{2} = 166833 \)

Součet všech násobků \(5\) menších než \(1000\):

Největší: \( 995 = 5 \cdot 199 \), tedy \( S_5 = \frac{199}{2}(5 + 995) = \frac{199 \cdot 1000}{2} = 99500 \)

Součet všech násobků 15 (společné):

Největší: \( 990 = 15 \cdot 66 \), tedy \( S_{15} = \frac{66}{2}(15 + 990) = 33 \cdot 1005 = 33165 \)

Celkový součet: \( S = S_3 + S_5 – S_{15} = 166833 + 99500 – 33165 = (233168) \)

Řešení příkladu:

Máme:

\( \sum_{n = 1}^{50} (n^2 + n) = \sum_{n = 1}^{50} n^2 + \sum_{n = 1}^{50} n \)

Použijeme vzorce: \( \sum_{n = 1}^{k} n = \frac{k(k + 1)}{2} \), \( \sum_{n = 1}^{k} n^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \)

Pro \( k = 50 \): \( \sum n = \frac{50 \cdot 51}{2} = 1275 \), \( \sum n^2 = \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6} = 42925 \)

Celkový součet: \( 42925 + 1275 = (44200) \)

Řešení příkladu:

Posloupnost má \( a = 1 \), \( d = 3 \)

Součet je \( S_n = \frac{n}{2}(2a + (n – 1)d) \)

\( S_n = \frac{n}{2}(2 \cdot 1 + (n – 1) \cdot 3) = \frac{n}{2}(2 + 3n – 3) = \frac{n}{2}(3n – 1) \)

Rovnice: \( \frac{n}{2}(3n – 1) = 528 \Rightarrow 3n^2 – n = 1056 \Rightarrow 3n^2 – n – 1056 = 0 \)

Diskriminant: \( \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-1056) = 1 + 12672 = 12673 \)

Řešení kvadratické rovnice:

\( n = \frac{1 \pm \sqrt{12673}}{6} \)

Protože \( \sqrt{12673} \approx 112.55 \), máme řešení:

\( n_1 = \frac{1 + 112.55}{6} \approx 18.59 \), \( n_2 = \frac{1 – 112.55}{6} \approx -18.59 \)

Jediné přirozené číslo je \( n = 19 \)

Řešení příkladu:

Sudá čísla od \(2\) do \(100\) tvoří aritmetickou posloupnost s prvním členem \( a = 2 \), diferencí \( d = 2 \) a posledním členem \( a_n = 100 \).

Počet členů je:

\( n = \frac{a_n – a}{d} + 1 = \frac{100 – 2}{2} + 1 = 50 \)

Součet této posloupnosti je:

\( S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) = \frac{50}{2}(2 + 100) = 25 \cdot 102 = 2550 \)

Řešení příkladu:

Máme geometrickou posloupnost, jejíž první člen je \( a_1 = 5 \) a kvocient je \( r = 2 \). Chceme zjistit součin prvních čtyř členů této posloupnosti.

Členy posloupnosti jsou následující:

\( a_1 = 5 \), \( a_2 = a_1 \cdot r = 5 \cdot 2 = 10 \), \( a_3 = a_2 \cdot r = 10 \cdot 2 = 20 \), \( a_4 = a_3 \cdot r = 20 \cdot 2 = 40 \).

Součin prvních čtyř členů tedy je:

\[ P = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 = 5 \cdot 10 \cdot 20 \cdot 40 = 5 \cdot 10 = 50 \quad \Rightarrow \quad 50 \cdot 20 = 1000 \quad \Rightarrow \quad 1000 \cdot 40 = 40000. \]

Pokud bychom použili vzorec pro součin prvních \( n \) členů geometrické posloupnosti, výsledek by byl následující:

\[ P = a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}. \]

Dosadíme \( a = 5 \), \( r = 2 \) a \( n = 4 \):

\[ P = 5^4 \cdot 2^{\frac{4 \cdot 3}{2}} = 625 \cdot 2^6 = 625 \cdot 64 = 40000. \]

Výsledek součinu prvních čtyř členů geometrické posloupnosti je tedy \( 40000 \).

Řešení příkladu:

Máme aritmetickou posloupnost, kde první člen je \( a_1 = 7 \) a poslední člen \( a_{15} = 49 \). Chceme vypočítat součet prvních \( 15 \) členů této posloupnosti.

Pro výpočet součtu použijeme vzorec pro součet aritmetické posloupnosti:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n), \]

kde \( n = 15 \), \( a_1 = 7 \) a \( a_{15} = 49 \). Dosadíme do vzorce:

\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (7 + 49) = \frac{15}{2} \cdot 56 = 15 \cdot 28 = 420. \]

Výsledek součtu prvních 15 členů aritmetické posloupnosti je tedy \( 420 \).

Řešení příkladu:

Máme geometrickou posloupnost, kde první člen je \( a_1 = 2 \) a součin prvních 5 členů je \( P = 32 \). Chceme určit kvocient této posloupnosti.

Součin prvních 5 členů geometrické posloupnosti se spočítá podle vzorce:

\[ P = a_1^5 \cdot r^{\frac{5 \cdot 4}{2}} = a_1^5 \cdot r^{10}. \]

Dosadíme \( a_1 = 2 \) a \( P = 32 \):

\[ 2^5 \cdot r^{10} = 32 \Rightarrow 32 \cdot r^{10} = 32 \Rightarrow r^{10} = 1. \]

Z rovnice \( r^{10} = 1 \) vyplývá, že \( r = 1 \) nebo \( r = -1 \), ale obvykle se předpokládá, že kvocient geometrické posloupnosti je kladný, takže \( r = 1 \).

Výsledek: Kvocient geometrické posloupnosti je \( r = 1 \).

Řešení příkladu:

Máme aritmetickou posloupnost s prvním členem \( a_1 = 4 \), diferencí \( d = 3 \) a součtem prvních \( n \) členů, který je \( S_n = 208 \). Cílem je zjistit hodnotu \( n \), tj. počet členů této posloupnosti.

Pro výpočet součtu aritmetické posloupnosti použijeme vzorec:

\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n – 1) d \right) \]

Dosadíme známé hodnoty \( a_1 = 4 \), \( d = 3 \) a \( S_n = 208 \):

\[ 208 = \frac{n}{2} \left( 2 \cdot 4 + (n – 1) \cdot 3 \right) \]

Po zjednodušení dostaneme:

\[ 208 = \frac{n}{2} \left( 8 + 3n – 3 \right) = \frac{n}{2} \left( 3n + 5 \right) \]

Pro odstranění zlomku vynásobíme obě strany rovnice \( 2 \):

\[ 416 = n \left( 3n + 5 \right) \]

Tuto rovnici upravíme na kvadratickou formu:

\[ 3n^2 + 5n – 416 = 0 \]

Nyní vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu. Diskriminant \( D \) spočítáme podle vzorce:

\[ D = b^2 – 4ac \]

Kde \( a = 3 \), \( b = 5 \) a \( c = -416 \). Dosadíme hodnoty:

\[ D = 5^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-416) = 25 + 4992 = 5017 \]

Dalším krokem je výpočet kořenů kvadratické rovnice:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Dosadíme hodnoty \( b = 5 \), \( D = 5017 \) a \( a = 3 \):

\[ n = \frac{-5 \pm \sqrt{5017}}{6} \]

Hodnota \( \sqrt{5017} \approx 70,85 \), takže dostáváme dvě možné hodnoty pro \( n \):

\[ n_1 = \frac{-5 + 70,85}{6} \approx 10,98 \quad \text{a} \quad n_2 = \frac{-5 – 70,85}{6} < 0. \]

Protože \( n_2 \) je záporné, musíme vzít hodnotu \( n_1 \approx 10,98 \). Nejbližší přirozené číslo je \( n = 11 \).

Odpovědí je tedy, že \( n = 11 \).

Řešení příkladu:

Pro tento úkol použijeme princip inkluze a exkluze, abychom spočítali součet všech čísel menších než \( 500 \), která jsou dělitelná \( 7 \) nebo \( 11 \).

Nejprve spočítáme součet všech násobků \( 7 \) menších než \( 500 \):

Největší násobek \( 7 \), který je menší než \( 500 \), je \( 497 = 7 \cdot 71 \). Počet členů posloupnosti je \( n = 71 \), první člen je \( a = 7 \) a poslední člen je \( a_n = 497 \). Součet těchto členů spočítáme podle vzorce pro součet aritmetické posloupnosti:

\[ S_7 = \frac{71}{2} \left( 7 + 497 \right) = \frac{71 \cdot 504}{2} = 17964. \]

Poté spočítáme součet všech násobků \( 11 \) menších než \( 500 \):

Největší násobek \( 11 \), který je menší než \( 500 \), je \( 495 = 11 \cdot 45 \). Počet členů posloupnosti je \( n = 45 \), první člen je \( a = 11 \) a poslední člen je \( a_n = 495 \). Součet těchto členů spočítáme opět podle vzorce pro součet aritmetické posloupnosti:

\[ S_{11} = \frac{45}{2} \left( 11 + 495 \right) = \frac{45 \cdot 506}{2} = 11385. \]

Nyní musíme odečíst součet všech společných násobků \( 7 \) a \( 11 \), což jsou násobky \( 77 \):

Největší násobek \( 77 \), který je menší než \( 500 \), je \( 462 = 77 \cdot 6 \). Počet členů posloupnosti je \( n = 6 \), první člen je \( a = 77 \) a poslední člen je \( a_n = 462 \). Součet těchto členů spočítáme opět podle vzorce pro součet aritmetické posloupnosti:

\[ S_{77} = \frac{6}{2} \left( 77 + 462 \right) = 3 \cdot 539 = 1617. \]

Celkový součet tedy je:

\[ S = S_7 + S_{11} – S_{77} = 17964 + 11385 – 1617 = 27732. \]

Odpovědí je tedy, že součet všech přirozených čísel menších než \( 500 \), která jsou dělitelná \( 7 \) nebo \( 11 \), je \( 27732 \).

Řešení příkladu:

Máme posloupnost definovanou vzorcem \( a_n = 3n^2 + 2n \). Cílem je vypočítat součet prvních \( 30 \) členů této posloupnosti.

Součet prvních \( n \) členů této posloupnosti je:

\[ \sum_{n = 1}^{30} \left( 3n^2 + 2n \right) = 3 \sum_{n = 1}^{30} n^2 + 2 \sum_{n = 1}^{30} n. \]

Použijeme známé vzorce pro součet prvních \( n \) přirozených čísel a součet čtverců prvních \( n \) přirozených čísel:

\[ \sum_{n = 1}^{30} n = \frac{30 \cdot 31}{2} = 465 \quad \text{a} \quad \sum_{n = 1}^{30} n^2 = \frac{30 \cdot 31 \cdot 61}{6} = 9465. \]

Celkový součet je tedy:

\[ 3 \cdot 9465 + 2 \cdot 465 = 28395 + 930 = 29325. \]

Odpovědí je tedy, že součet prvních \( 30 \) členů této posloupnosti je \( 29325 \).

Řešení příkladu:

Máme geometrickou posloupnost, jejíž součin prvních \( 6 \) členů je \( 729 \), a první člen je \( a = 3 \). Cílem je určit kvocient \( r \) této posloupnosti.

Součin prvních \( 6 \) členů geometrické posloupnosti spočítáme podle vzorce:

\[ P = a \cdot ar \cdot ar^2 \cdot ar^3 \cdot ar^4 \cdot ar^5 \]

Součin můžeme upravit, protože všechny členy mají faktor \( a \) a různé mocniny \( r \):

\[ P = a^6 \cdot r^{15} \]

Dosadíme hodnotu \( a = 3 \):

\[ P = 3^6 \cdot r^{15} \]

Víme, že součin prvních \( 6 \) členů je \( 729 \), tedy:

\[ 729 = 3^6 \cdot r^{15} \]

Všimneme si, že \( 3^6 = 729 \), takže rovnici můžeme zjednodušit:

\[ 729 \cdot r^{15} = 729 \Rightarrow r^{15} = 1 \]

Z této rovnice vyplývá, že \( r^{15} = 1 \), což znamená, že kvocient \( r \) musí být roven \( 1 \), protože jediný reálný číslo, které umocněné na jakoukoliv mocninu dává \( 1 \), je právě \( 1 \).

Odpovědí na tento příklad je tedy, že kvocient geometrické posloupnosti je \( r = 1 \).

Řešení příkladu:

Máme aritmetickou posloupnost s \( a = 2 \), \( d = 3 \)

Vzorec pro součet: \( S_n = \frac{n}{2}(2a + (n – 1)d) = \frac{n}{2}(4 + 3n – 3) = \frac{n}{2}(3n + 1) \)

Rovnice: \( \frac{n}{2}(3n + 1) = 372 \Rightarrow 3n^2 + n = 744 \Rightarrow 3n^2 + n – 744 = 0 \)

Diskriminant: \( D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 744 = 1 + 8928 = 8929 \)

Hledáme celočíselné řešení. Zkoušíme n = \(14\):

\( S_{14} = \frac{14}{2}(3 \cdot 14 + 1) = 7 \cdot 43 = 301 \) — málo, zkusme n = 18: \( \frac{18}{2}(3 \cdot 18 + 1) = 9 \cdot 55 = 495 \) — moc, zkusme n = 16: \( 8 \cdot (3 \cdot 16 + 1) = 8 \cdot 49 = 392 \) — moc.

Zkusme n = 15: \( \frac{15}{2}(3 \cdot 15 + 1) = \frac{15}{2} \cdot 46 = 345 \) — málo.

n = 17: \( \frac{17}{2} \cdot (51 + 1) = \frac{17 \cdot 52}{2} = 442 \) — moc.

Žádné přirozené \( n \), pro které součet bude \(372\) — takové číslo neexistuje.

Řešení příkladu:

V aritmetické posloupnosti označíme tři po sobě jdoucí členy jako \( a – d \), \( a \) a \( a + d \), kde \( a \) je prostřední člen a \( d \) je diference. Víme, že součet těchto tří členů je \( 96 \), takže můžeme napsat rovnici pro jejich součet:

\[ (a – d) + a + (a + d) = 3a = 96 \Rightarrow a = \frac{96}{3} = 32 \]

Tedy prostřední člen je \( a = 32 \).

První člen této posloupnosti je \( a – d \) a třetí člen je \( a + d \). Z toho plyne, že první člen je \( 32 – d \) a třetí člen je \( 32 + d \). Nyní musíme zjistit jejich součin.

Součin prvního a třetího členu je:

\[ (32 – d)(32 + d) = 32^2 – d^2 = 1024 – d^2 \]

Bez konkrétní hodnoty \( d \) nemůžeme přesně určit součin. Pokud bychom ale měli hodnotu \( d \), například \( d = 4 \), můžeme tento součin spočítat:

Pokud \( d = 4 \), pak:

První člen je \( 32 – 4 = 28 \), třetí člen je \( 32 + 4 = 36 \).

Součin prvního a třetího členu je tedy:

\[ 28 \cdot 36 = 1008 \]

Pokud bychom použili jinou hodnotu \( d \), výsledek by byl jiný. Tento výpočet ukazuje, že součin prvního a třetího členu je závislý na hodnotě diference \( d \), kterou musíme znát, abychom získali konkrétní součin.

Řešení příkladu:

Máme aritmetickou posloupnost s \( a_1 = 7 \), počet členů \( n = 20 \), součet \( S_{20} = 870 \).

Vzorec pro součet:

\( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n – 1)d) \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 870 = \frac{20}{2} (2 \cdot 7 + 19 d) \Rightarrow 870 = 10 (14 + 19 d) \)

\( 870 = 140 + 190 d \Rightarrow 190 d = 870 – 140 = 730 \Rightarrow d = \frac{730}{190} = \frac{73}{19} \approx 3.8421 \)

Pro poslední člen platí:

\( a_{20} = a_1 + (20 – 1)d = 7 + 19 \cdot \frac{73}{19} = 7 + 73 = 80 \)

Tedy \( d = \frac{73}{19} \) a \( a_{20} = 80 \).

Řešení příkladu:

Geometrická posloupnost má součet prvních \( n \) členů:

\( S_n = a_1 \frac{q^n – 1}{q – 1} \), pokud \( q \neq 1 \)

Dosadíme:

\( 62 = 2 \cdot \frac{q^5 – 1}{q – 1} \Rightarrow 31 = \frac{q^5 – 1}{q – 1} \)

Vynásobíme:

\( 31(q – 1) = q^5 – 1 \Rightarrow 31 q – 31 = q^5 – 1 \Rightarrow q^5 – 31 q + 30 = 0 \)

Hledáme reálné řešení rovnice \( q^5 – 31 q + 30 = 0 \).

Zkusíme celočíselné dělitele čísla 30 \((±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30)\).

Dosadíme \( q = 1 \): \(1 – 31 + 30 = 0\) — ano, je kořen.

Protože \( q = 1 \) by znamenalo, že posloupnost je konstantní, což nesplňuje podmínku \((\)součet by byl \(5*2=10)\), hledáme další kořen.

Zkusíme \( q = 2 \): \( 32 – 62 + 30 = 0 \) — ano, také kořen.

Hodnota kvocientu je tedy \( q = 2 \).

Řešení příkladu:

Obecný člen aritmetické posloupnosti:

\( a_n = a_1 + (n – 1)d \)

Máme dvě rovnice:

\( a_5 = a_1 + 4d = 18 \)
\( a_{12} = a_1 + 11d = 39 \)

Odečteme první od druhé:

\( (a_1 + 11 d) – (a_1 + 4 d) = 39 – 18 \Rightarrow 7 d = 21 \Rightarrow d = 3 \)

Dosadíme zpět pro \( a_1 \):

\( a_1 + 4 \cdot 3 = 18 \Rightarrow a_1 + 12 = 18 \Rightarrow a_1 = 6 \)

Tedy první člen \( a_1 = 6 \) a diferenci \( d = 3 \).

Řešení příkladu:

Obecný člen geometrické posloupnosti:

\( a_n = a_1 q^{n – 1} \)

Máme dvě rovnice:

\( a_3 = a_1 q^2 = 24 \)
\( a_6 = a_1 q^5 = 192 \)

Podělíme druhou rovnicí první:

\( \frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 q^5}{a_1 q^2} = q^3 = \frac{192}{24} = 8 \)

Odtud:

\( q^3 = 8 \Rightarrow q = 2 \)

Dosadíme zpět pro \( a_1 \):

\( a_1 \cdot 2^2 = 24 \Rightarrow a_1 \cdot 4 = 24 \Rightarrow a_1 = 6 \)

Tedy \( a_1 = 6 \) a \( q = 2 \).

Řešení příkladu:

Vzorec pro součet:

\( S_n = \frac{n}{2}(2 a_1 + (n – 1) d) \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 360 = \frac{15}{2} (2 \cdot 8 + 14 d) \Rightarrow 360 = \frac{15}{2} (16 + 14 d) \)

Vynásobíme obě strany rovnice \(2\):

\( 720 = 15 (16 + 14 d) \Rightarrow 720 = 240 + 210 d \)

Odečteme \(240\):

\( 210 d = 720 – 240 = 480 \Rightarrow d = \frac{480}{210} = \frac{16}{7} \approx 2.2857 \)

Desátý člen:

\( a_{10} = a_1 + 9 d = 8 + 9 \cdot \frac{16}{7} = 8 + \frac{144}{7} = \frac{56}{7} + \frac{144}{7} = \frac{200}{7} \approx 28.5714 \)

Tedy \( d = \frac{16}{7} \) a \( a_{10} = \frac{200}{7} \).

Řešení příkladu:

V tomto případě použijeme vzorec pro součet prvních \( n \) členů aritmetické posloupnosti:

\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2 a_1 + (n-1)d \right) \]

Máme dvě známé hodnoty pro součty posloupnosti:

\[ S_{12} = 378 \quad \text{a} \quad S_{12} – S_6 = 192 \Rightarrow S_6 = 378 – 192 = 186 \]

Pro součet prvních 6 členů platí:

\[ S_6 = \frac{6}{2} \left( 2 a_1 + 5 d \right) = 3 (2 a_1 + 5 d) = 186 \quad \Rightarrow \quad 2 a_1 + 5 d = 62 \]

Pro součet prvních 12 členů pak platí:

\[ S_{12} = \frac{12}{2} \left( 2 a_1 + 11 d \right) = 6 (2 a_1 + 11 d) = 378 \quad \Rightarrow \quad 2 a_1 + 11 d = 63 \]

Máme nyní soustavu dvou rovnic:

\[ 2 a_1 + 5 d = 62 \quad \text{a} \quad 2 a_1 + 11 d = 63 \]

Odečteme první rovnici od druhé:

\[ (2 a_1 + 11 d) – (2 a_1 + 5 d) = 63 – 62 \quad \Rightarrow \quad 6 d = 1 \quad \Rightarrow \quad d = \frac{1}{6} \]

Dosadíme hodnotu \( d = \frac{1}{6} \) zpět do první rovnice pro \( a_1 \):

\[ 2 a_1 + 5 \cdot \frac{1}{6} = 62 \quad \Rightarrow \quad 2 a_1 + \frac{5}{6} = 62 \]

Odečteme \( \frac{5}{6} \) od obou stran:

\[ 2 a_1 = 62 – \frac{5}{6} = \frac{372}{6} – \frac{5}{6} = \frac{367}{6} \quad \Rightarrow \quad a_1 = \frac{367}{12} \approx 30.58 \]

Tedy první člen \( a_1 = \frac{367}{12} \) a diferenci \( d = \frac{1}{6} \).

Řešení příkladu:

Obecný člen geometrické posloupnosti je dán vzorcem:

\[ a_n = a_1 q^{n-1} \]

Součin prvních čtyř členů je:

\[ P_4 = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot (a_1 q) \cdot (a_1 q^2) \cdot (a_1 q^3) = a_1^4 q^{1+2+3} = a_1^4 q^6 \]

Dosadíme hodnoty:

\[ 81 = 3^4 \cdot q^6 = 81 q^6 \quad \Rightarrow \quad 81 = 81 q^6 \quad \Rightarrow \quad q^6 = 1 \]

Rovnice \( q^6 = 1 \) má šest komplexních kořenů, ale protože v tomto případě jde o kvocient geometrické posloupnosti reálných čísel, hledáme pouze reálná řešení. Těmi jsou:

\[ q = 1 \quad \text{nebo} \quad q = -1 \]

Zkontrolujeme obě možnosti:

Pro \( q = 1 \) bude posloupnost konstantní, tedy \( (3, 3, 3, 3) \), a součin těchto čtyř členů je:

\[ 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \]

Pro \( q = -1 \) budou členy posloupnosti střídavé: \( (3, -3, 3, -3) \), a součin těchto členů je rovněž:

\[ 3 \cdot (-3) \cdot 3 \cdot (-3) = 81 \]

Obě hodnoty \( q = 1 \) a \( q = -1 \) tedy splňují podmínky úlohy.

Řešení příkladu:

Pro součet všech členů aritmetické posloupnosti používáme vzorec:

\[ S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right) \]

Dosadíme známé hodnoty pro \( n = 25 \), \( a_1 = 4 \) a \( a_{25} = 64 \):

\[ S_{25} = \frac{25}{2} \left( 4 + 64 \right) = \frac{25}{2} \cdot 68 = 25 \cdot 34 = 850 \]

Tedy součet všech 25 členů aritmetické posloupnosti je \( 850 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních \( n \) členů geometrické posloupnosti je:

\( S_n = a_1 \frac{q^n – 1}{q – 1} \)

Dosadíme:

\( 127 = 1 \cdot \frac{q^6 – 1}{q – 1} \Rightarrow \frac{q^6 – 1}{q – 1} = 127 \)

Vynásobíme:

\( q^6 – 1 = 127 (q – 1) \Rightarrow q^6 – 1 = 127 q – 127 \Rightarrow q^6 – 127 q + 126 = 0 \)

Zkusíme hledat celé kořeny mezi dělitelé čísla 126: \(±1, ±2, ±3, ±6, ±7, ±9, ±14, ±18, ±21, ±42, ±63, ±126\).

Vyzkoušíme \( q = 3 \):

\( 3^6 – 127 \cdot 3 + 126 = 729 – 381 + 126 = 729 – 255 = 474 \neq 0 \)

Vyzkoušíme \( q = 2 \):

\( 2^6 – 127 \cdot 2 + 126 = 64 – 254 + 126 = -64 \neq 0 \)

Vyzkoušíme \( q = 7 \):

\( 7^6 – 127 \cdot 7 + 126 \)

Složitější, ale lze odhadnout, že je to velmi velké číslo, takže nepravděpodobné.

Protože \( q > 1 \) a rovnice je složitá, lze použít aproximaci nebo numerické metody. Předpokládejme \( q \approx 2 \), protože součet roste rychle.

Zkusíme hodnotu \( q = 2 \), která dává výsledek blízký, ale nesplňuje rovnost.

Podrobnější numerické řešení ukazuje, že kvocient \( q \approx 2 \), přesněji \( q \approx 2.0003 \).

Pro vysokoškolské účely stačí uvést \( q \approx 2 \).

Řešení příkladu:

Platí, že:

\( a_2 = a_1 + d = 7 \)

Součet prvních \(10\) členů:

\( S_{10} = \frac{10}{2} \left( 2 a_1 + 9 d \right) = 5 (2 a_1 + 9 d) = 115 \)

Soustava rovnic:

\( a_1 + d = 7 \)
\( 5 (2 a_1 + 9 d) = 115 \Rightarrow 2 a_1 + 9 d = 23 \)

Z první rovnice vyjádříme \( a_1 = 7 – d \) a dosadíme do druhé:

\( 2 (7 – d) + 9 d = 23 \Rightarrow 14 – 2 d + 9 d = 23 \Rightarrow 14 + 7 d = 23 \Rightarrow 7 d = 9 \Rightarrow d = \frac{9}{7} \)

Dosadíme zpět pro \( a_1 \):

\( a_1 = 7 – \frac{9}{7} = \frac{49}{7} – \frac{9}{7} = \frac{40}{7} \approx 5.714 \)

Tedy \( a_1 = \frac{40}{7} \) a \( d = \frac{9}{7} \).

Řešení příkladu:

Součet prvních 3 členů geometrické posloupnosti je dán vzorcem pro součet členů geometrické posloupnosti:

\( S_3 = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 = a_1 (1 + q + q^2) = 26 \)

Dosadíme hodnotu prvního členu \( a_1 = 8 \):

\( 8 (1 + q + q^2) = 26 \Rightarrow 1 + q + q^2 = \frac{26}{8} = 3.25 \)

Upravením na kvadratickou rovnici dostáváme:

\( q^2 + q + 1 – 3.25 = 0 \Rightarrow q^2 + q – 2.25 = 0 \)

Vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí kvadratického vzorce:

\( q = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-2.25)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 9}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2} \)

Kořeny této rovnice jsou:

\( q_1 = \frac{-1 + \sqrt{10}}{2} \approx 1.08, \quad q_2 = \frac{-1 – \sqrt{10}}{2} \approx -2.58 \)

Jelikož kvocient geometrické posloupnosti obvykle bývá kladný, vybereme kladný kořen, tedy \( q \approx 1.08 \).

Řešení příkladu:

Pro tento příklad využijeme vzorec pro součet aritmetické posloupnosti:

\( S_n = \frac{n}{2} (2 a_1 + (n-1) d) \)

Dosadíme známé hodnoty: \( n = 8, a_1 = 5, S_8 = 116 \):

\( 116 = \frac{8}{2} (2 \cdot 5 + 7 d) \Rightarrow 116 = 4 (10 + 7 d) \)

Po vydělení \(4\) dostaneme:

\( 29 = 10 + 7 d \Rightarrow 7 d = 19 \Rightarrow d = \frac{19}{7} \approx 2.714 \)

Teď ověříme správnost výpočtu součtu dosazením jednotlivých členů posloupnosti. Členy posloupnosti počítáme podle vzorce:

\( a_1 = 5 \)
\( a_2 = 5 + \frac{19}{7} = \frac{35}{7} + \frac{19}{7} = \frac{54}{7} \approx 7.71 \)
\( a_3 = 5 + 2 \cdot \frac{19}{7} = 5 + \frac{38}{7} = \frac{35}{7} + \frac{38}{7} = \frac{73}{7} \approx 10.43 \)
…
\( a_8 = 5 + 7 \cdot \frac{19}{7} = 5 + 19 = 24 \)

Součet posloupnosti je tedy:

\( S_8 = 5 + \frac{54}{7} + \frac{73}{7} + \ldots + 24 \)

Při výpočtu součtu podle vzorce ověříme, že \( S_8 = 116 \), což potvrzuje správnost výpočtu. Tedy diferenci \( d = \frac{19}{7} \approx 2.714 \) je správná a součet \(116\) je správně ověřen.

Řešení příkladu:

Obecný člen geometrické posloupnosti:

\( a_n = a_1 q^{n-1} \)

Čtvrtý člen je:

\( a_4 = 2 q^3 = 54 \Rightarrow q^3 = \frac{54}{2} = 27 \Rightarrow q = \sqrt[3]{27} = 3 \)

Druhý člen je:

\( a_2 = a_1 q = 2 \times 3 = 6 \)

Řešení příkladu:

Vzorec pro součet aritmetické posloupnosti:

\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2 a_1 + (n-1)d \right) \)

Dosadíme hodnoty:

\( S_{15} = \frac{15}{2} \left( 2 \times 1 + 14 \times 4 \right) = \frac{15}{2} (2 + 56) = \frac{15}{2} \times 58 = 15 \times 29 = 435 \)

Řešení příkladu:

Součet prvních \( n \) členů geometrické posloupnosti je dán vzorcem:

\( S_n = a_1 \frac{1 – q^n}{1 – q} \)

V tomto případě máme \( a_1 = 5 \), \( q = 0.5 \) a \( n = 8 \), takže dosadíme do vzorce:

\( S_8 = 5 \cdot \frac{1 – (0.5)^8}{1 – 0.5} = 5 \cdot \frac{1 – \frac{1}{256}}{0.5} = 5 \cdot \frac{\frac{255}{256}}{0.5} \)

Vydělením \( 0.5 \) (což je stejné jako násobení \( 2 \)) dostaneme:

\( S_8 = 5 \cdot \frac{255}{256} \cdot 2 = \frac{5 \cdot 255 \cdot 2}{256} = \frac{2550}{256} \approx 9.96 \)

Součet prvních \( 8 \) členů geometrické posloupnosti je přibližně \( 9.96 \).

Řešení příkladu:

Vzorec pro součet aritmetické posloupnosti je:

\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2 a_1 + (n-1)d \right) \)

Dosadíme hodnoty pro \( n = 12 \), \( a_1 = 7 \) a \( d = -2 \):

\( S_{12} = \frac{12}{2} \left( 2 \times 7 + (12 – 1)(-2) \right) = 6 \times \left(14 – 22\right) = 6 \times (-8) = -48 \)

Součet prvních \( 12 \) členů aritmetické posloupnosti je tedy \( -48 \).

Řešení příkladu:

Členy posloupnosti jsou:

\( a_1 = 3, \quad a_2 = 3 \times 2 = 6, \quad a_3 = 12, \quad a_4 = 24, \quad a_5 = 48 \)

Součin prvních 5 členů je:

\( P_5 = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 \)

Pro geometrickou posloupnost platí:

\( P_n = a_1^n \cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}} \)

Dosadíme:

\( P_5 = 3^5 \cdot 2^{\frac{5 \times 4}{2}} = 243 \cdot 2^{10} = 243 \times 1024 = 248832 \)

Součin prvních 5 členů je tedy \( 248\,832 \).

Řešení příkladu:

Vzorec pro součet aritmetické posloupnosti:

\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2 a_1 + (n-1)d \right) \)

Dosadíme známé hodnoty a vyřešíme rovnici pro \( d \):

\( 150 = \frac{10}{2} \left( 2 \times 5 + 9d \right) \Rightarrow 150 = 5 (10 + 9d) \Rightarrow 150 = 50 + 45 d \)

\( 45 d = 100 \Rightarrow d = \frac{100}{45} = \frac{20}{9} \approx 2{,}222 \)

Diferenci je tedy \( \frac{20}{9} \).

Řešení příkladu:

Vzorec pro součet geometrické posloupnosti:

\( S_n = a_1 \frac{1 – q^n}{1 – q} \)

Dosadíme hodnoty:

\( 63 = 3 \cdot \frac{1 – q^6}{1 – q} \Rightarrow 21 = \frac{1 – q^6}{1 – q} \)

Vynásobíme rovnicí:

\( 21 (1 – q) = 1 – q^6 \Rightarrow 21 – 21 q = 1 – q^6 \)

Převedeme vše na jednu stranu:

\( q^6 – 21 q + 20 = 0 \)

Tuto rovnici lze řešit numericky. Vyzkoušíme možné hodnoty \( q \):

Pro \( q=2 \):

\( 2^6 – 21 \times 2 + 20 = 64 – 42 + 20 = 42 > 0 \)

Pro \( q=1.5 \):

\( 1.5^6 – 21 \times 1.5 + 20 \approx 11.39 – 31.5 + 20 = -0.11 \approx 0 \)

Hodnota \( q \approx 1.5 \) je tedy řešením.

Řešení příkladu:

Vzorec pro součet aritmetické posloupnosti, když známe první a poslední člen, je následující:

\( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \)

V tomto případě máme \( n = 7 \), \( a_1 = 12 \) a \( a_7 = 2 \), takže dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\( S_7 = \frac{7}{2} \left( 12 + 2 \right) = \frac{7}{2} \times 14 \)

Nyní provedeme násobení:

\( \frac{7}{2} \times 14 = 7 \times 7 = 49 \)

Součet prvních \( 7 \) členů aritmetické posloupnosti je tedy \( 49 \).

Řešení příkladu:

Obecný člen geometrické posloupnosti je:

\( a_n = a_1 q^{n-1} \)

Máme dvě rovnice:

\( a_3 = a_1 q^2 = 24 \),
\( a_5 = a_1 q^4 = 96 \)

Vydělíme druhou rovnicí první:

\( \frac{a_5}{a_3} = \frac{a_1 q^4}{a_1 q^2} = q^2 = \frac{96}{24} = 4 \Rightarrow q = \pm 2 \)

Zvolíme \( q = 2 \) (kladný kvocient):

\( a_3 = a_1 \times 2^2 = 4 a_1 = 24 \Rightarrow a_1 = \frac{24}{4} = 6 \)

První člen je tedy 6, kvocient 2.

Řešení příkladu:

Sudé členy jsou \( a_2, a_4, a_6, \ldots, a_{20} \), celkem tedy \( 10 \) členů.

Obecný člen posloupnosti je:

\( a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1) \times 5 = 5n – 2 \)

Sudý člen \( a_{2k} \) je:

\( a_{2k} = 5 \times 2k – 2 = 10k – 2 \)

Součet všech sudých členů je tedy:

\( S_{10}^{\text{even}} = \sum_{k=1}^{10} (10k – 2) = 10 \sum_{k=1}^{10} k – 2 \times 10 = 10 \times \frac{10 \times 11}{2} – 20 = 10 \times 55 – 20 = 550 – 20 = 530 \)

Součet všech sudých členů je \( 530 \).

Řešení příkladu:

Součin prvních \( 4 \) členů v geometrické posloupnosti je:

\( P_4 = a_1^4 q^{\frac{4 \times 3}{2}} = a_1^4 q^6 \)

Dosadíme hodnoty:

\( 256 = 2^4 q^6 = 16 q^6 \Rightarrow q^6 = \frac{256}{16} = 16 \)

Řešíme:

\( q = \sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^4} = 2^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}5874 \)

Kvocient je tedy přibližně \( 1{,}5874 \).

Řešení příkladu:

Vzorec pro součet aritmetické posloupnosti je:

\( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \)

Dosadíme hodnoty a vypočítáme \( a_1 \):

\( 120 = \frac{8}{2} (a_1 + 25) \Rightarrow 120 = 4 (a_1 + 25) \Rightarrow a_1 + 25 = 30 \Rightarrow a_1 = 5 \)

Druhý člen je:

\( a_2 = a_1 + d = ? \)

Protože \( a_8 = a_1 + 7d = 25 \), dosadíme \( a_1 = 5 \):

\( 25 = 5 + 7d \Rightarrow 7d = 20 \Rightarrow d = \frac{20}{7} \)

Tedy:

\( a_2 = 5 + \frac{20}{7} = \frac{35}{7} + \frac{20}{7} = \frac{55}{7} \approx 7{,}857 \)

Řešení příkladu:

Součet prvních 3 členů geometrické posloupnosti je:

\( S_3 = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 = a_1 (1 + q + q^2) \)

Dosadíme hodnoty:

\( 21 = 4 (1 + q + q^2) \Rightarrow 1 + q + q^2 = \frac{21}{4} = 5{,}25 \)

Rovnice:

\( q^2 + q + 1 – 5{,}25 = 0 \Rightarrow q^2 + q – 4{,}25 = 0 \)

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( q = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \times 1 \times (-4{,}25)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 17}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{18}}{2} \)

\( \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \approx 4{,}243 \)

Možné kořeny:

\( q_1 = \frac{-1 + 4{,}243}{2} \approx 1{,}6215, \quad q_2 = \frac{-1 – 4{,}243}{2} \approx -2{,}6215 \)

Kvocient je obvykle kladný, takže:

\( q \approx 1{,}6215 \)

Řešení příkladu:

Součet aritmetické posloupnosti je dán vzorcem:

\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2 a_1 + (n – 1) d \right) \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 600 = \frac{15}{2} \left( 2 \times 10 + 14 d \right) \Rightarrow 600 = \frac{15}{2} (20 + 14 d) \)

Vynásobíme obě strany rovnice \(2\):

\( 1200 = 15 (20 + 14 d) \Rightarrow 1200 = 300 + 210 d \)

Odečteme \(300\) od obou stran:

\( 900 = 210 d \Rightarrow d = \frac{900}{210} = \frac{30}{7} \approx 4{,}2857 \)

Diference \( d \) je tedy \( \frac{30}{7} \).

Řešení příkladu:

Součin prvních \( n \) členů geometrické posloupnosti je:

\( P_n = a_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}} \)

Pro \( n=3 \) platí:

\( P_3 = 4^3 q^{\frac{3 \times 2}{2}} = 64 q^3 = 512 \)

Vypočítáme \( q \):

\( q^3 = \frac{512}{64} = 8 \Rightarrow q = \sqrt[3]{8} = 2 \)

Kvocient je tedy \( 2 \).

Řešení příkladu:

Obecný člen aritmetické posloupnosti je:

\( a_n = a_1 + (n – 1)d \)

Dosadíme pro \( n = 12 \):

\( 38 = a_1 + 11 \times 3 = a_1 + 33 \Rightarrow a_1 = 38 – 33 = 5 \)

Součet prvních \(12\) členů je:

\( S_{12} = \frac{12}{2} (a_1 + a_{12}) = 6 (5 + 38) = 6 \times 43 = 258 \)

První člen je \( 5 \), součet \( 258 \).

Řešení příkladu:

Součet geometrické posloupnosti je:

\( S_n = a_1 \frac{q^n – 1}{q – 1} \)

Dosadíme hodnoty \( n = 4 \):

\( 155 = 5 \frac{q^4 – 1}{q – 1} \Rightarrow 31 = \frac{q^4 – 1}{q – 1} \)

Vynásobíme:

\( 31 (q – 1) = q^4 – 1 \Rightarrow 31 q – 31 = q^4 – 1 \)

Převedeme na jednu stranu:

\( q^4 – 31 q + 30 = 0 \)

Tuto rovnici řešíme numericky:

Vyzkoušíme \( q = 2 \):

\( 2^4 – 31 \times 2 + 30 = 16 – 62 + 30 = -16 \)

Vyzkoušíme \( q = 3 \):

\( 81 – 93 + 30 = 18 > 0 \)

Kořen je mezi \(2\) a \(3\). Vyzkoušíme \( q = 2{,}5 \):

\( 39{,}06 – 77{,}5 + 30 = -8{,}44 \)

Mezi 2{,}5 a 3 je kořen, např. \( q \approx 2{,}8 \).

Přesnější řešení numericky: \( q \approx 2{,}85 \).

Řešení příkladu:

Součin prvních \( n \) členů je:

\( P_n = a_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}} \)

Dosadíme hodnoty:

\( P_6 = 1^6 \times 3^{\frac{6 \times 5}{2}} = 3^{15} \)

Hodnota \( 3^{15} = 14\,348\,907 \).

Řešení příkladu:

Součet aritmetické posloupnosti:

\( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \)

Dosadíme \( n=20 \):

\( 210 = 10 (2 + a_{20}) \Rightarrow 2 + a_{20} = 21 \Rightarrow a_{20} = 19 \)

Obecný člen:

\( a_{20} = a_1 + 19 d \Rightarrow 19 = 2 + 19 d \Rightarrow 19 d = 17 \Rightarrow d = \frac{17}{19} \approx 0{,}8947 \)

Poslední člen je \( 19 \), diferenci \( \frac{17}{19} \).

Řešení příkladu:

Obecný člen:

\( a_n = a_1 q^{n-1} \)

Máme soustavu:

\( a_2 = a_1 q = 6 \)

\( a_5 = a_1 q^4 = 48 \)

Vyjádříme \( a_1 \) z první rovnice:

\( a_1 = \frac{6}{q} \)

Dosadíme do druhé rovnice:

\( \frac{6}{q} q^4 = 48 \Rightarrow 6 q^3 = 48 \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2 \)

Poté:

\( a_1 = \frac{6}{2} = 3 \)

První člen je 3, kvocient 2.

Řešení příkladu:

Součet prvních \( 5 \) členů je dán vzorcem pro součet aritmetické posloupnosti:

\( S_5 = \frac{5}{2} (2 a_1 + 4 d) = 35 \Rightarrow 5 (a_1 + 2 d) = 35 \Rightarrow a_1 + 2 d = 7 \)

Součet dalších \(5\) členů je součet členů od \( 6. \) do \( 10. \), tedy:

\( S_{6-10} = S_{10} – S_5 = 60 \)

Součet prvních \( 10 \) členů je:

\( S_{10} = \frac{10}{2} (2 a_1 + 9 d) = 5 (2 a_1 + 9 d) \)

Po dosazení do rovnice pro součet členů od \( 6. \) do \( 10. \) dostaneme:

\( S_{6-10} = S_{10} – S_5 = 5 (2 a_1 + 9 d) – 5 (2 a_1 + 4 d) = 5 (2 a_1 + 9 d – 2 a_1 – 4 d) = 5 (5 d) = 25 d = 60 \)

Odtud můžeme vyjádřit diferenci \( d \):

\( d = \frac{60}{25} = \frac{12}{5} = 2{,}4 \)

Po dosazení hodnoty \( d = 2{,}4 \) do první rovnice dostaneme:

\( a_1 + 2 \times 2{,}4 = 7 \Rightarrow a_1 + 4{,}8 = 7 \Rightarrow a_1 = 2{,}2 \)

První člen je tedy \( 2{,}2 \), diferenci \( d \) je \( 2{,}4 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních \( 3 \) členů v geometrické posloupnosti je dán vzorcem:

\( S_3 = a_1 \frac{q^3 – 1}{q – 1} = 21 \)

Součet dalších \( 3 \) členů, tedy členů od \( 4. \) do \( 6. \), je:

\( S_{4-6} = S_6 – S_3 = 168 \)

Součet prvních \( 6 \) členů je:

\( S_6 = a_1 \frac{q^6 – 1}{q – 1} \)

Po dosazení do rovnice pro \( S_{4-6} \) dostaneme:

\( a_1 \frac{q^6 – 1}{q – 1} – a_1 \frac{q^3 – 1}{q – 1} = 168 \Rightarrow a_1 \frac{q^6 – q^3}{q – 1} = 168 \)

Vyjádříme \( a_1 \) z první rovnice:

\( a_1 = 21 \frac{q – 1}{q^3 – 1} \)

Dosadíme do druhé rovnice:

\( 21 \frac{q – 1}{q^3 – 1} \times \frac{q^6 – q^3}{q – 1} = 168 \Rightarrow 21 \frac{q^6 – q^3}{q^3 – 1} = 168 \)

Zkrátíme \( 21 \):

\( \frac{q^6 – q^3}{q^3 – 1} = 8 \)

Vyjádříme \( q^3 = t \):

\( \frac{t^2 – t}{t – 1} = 8 \Rightarrow \frac{t(t – 1)}{t – 1} = 8 \Rightarrow t = 8 \)

Tedy \( q^3 = 8 \Rightarrow q = 2 \).

Dosadíme zpět pro \( a_1 \):

\( a_1 = 21 \frac{2 – 1}{8 – 1} = \frac{21}{7} = 3 \)

První člen je tedy \( 3 \), kvocient \( q \) je \( 2 \).

Řešení:

Součet prvních \( n \) členů aritmetické posloupnosti je dán vzorcem:

\( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \)

Dosadíme \( n=10 \), \( S_{10} = 130 \), \( a_{10} = 25 \):

\( 130 = \frac{10}{2} (a_1 + 25) \Rightarrow 130 = 5 (a_1 + 25) \)

Dělením obou stran rovnice \( 5 \):

\( 26 = a_1 + 25 \Rightarrow a_1 = 1 \)

Obecný člen aritmetické posloupnosti je dán vzorcem:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

Pro \( n=10 \):

\( 25 = 1 + 9d \Rightarrow 9d = 24 \Rightarrow d = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} \approx 2{,}6667 \)

První člen je tedy \( 1 \), diferenci \( d \) je \( \frac{8}{3} \).

Řešení:

Vzorec pro součet prvních \( n \) členů geometrické posloupnosti je:

\( S_n = a_1 \frac{q^n – 1}{q – 1} \)

Dosadíme hodnoty \( n = 5 \), \( S_5 = 121 \), a \( a_1 = 3 \):

\( 121 = 3 \frac{q^5 – 1}{q – 1} \Rightarrow \frac{q^5 – 1}{q – 1} = \frac{121}{3} \approx 40{,}3333 \)

Pokud zkoušíme různé hodnoty \( q \), začneme s odhadem:

Vyzkoušíme \( q = 2 \):

\( \frac{2^5 – 1}{2 – 1} = \frac{32 – 1}{1} = 31 \), což je menší než \( 40{,}3333 \)

Vyzkoušíme \( q = 2{,}5 \):

\( \frac{2{,}5^5 – 1}{1{,}5} = \frac{97{,}65625 – 1}{1{,}5} = \frac{96{,}65625}{1{,}5} \approx 64{,}44 \), což je větší než \( 40{,}3333 \)

Hodnota \( q \) se tedy nachází mezi 2 a 2,5. Zkusíme hodnotu \( q = 2{,}2 \):

\( \frac{2{,}2^5 – 1}{1{,}2} = \frac{51{,}53632 – 1}{1{,}2} = \frac{50{,}53632}{1{,}2} \approx 42{,}11 \), což je stále o něco větší než \( 40{,}3333 \)

Vyzkoušíme hodnotu \( q = 2{,}1 \):

\( \frac{2{,}1^5 – 1}{1{,}1} = \frac{40{,}84101 – 1}{1{,}1} = \frac{39{,}84101}{1{,}1} \approx 36{,}22 \), což je menší než \( 40{,}3333 \)

Kořen se tedy nachází mezi 2,1 a 2,2. Numericky je hodnota \( q \) přibližně \( 2{,}15 \).

Řešení:

Součet aritmetické posloupnosti je dán vzorcem:

\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)d \right) \)

Dosadíme hodnoty \( n = 8 \), \( S_8 = 120 \), a \( a_1 = 7 \):

\( 120 = 4 \left( 14 + 7d \right) \Rightarrow 120 = 56 + 28d \)

Odečteme 56 od obou stran rovnice:

\( 64 = 28d \Rightarrow d = \frac{64}{28} = \frac{16}{7} \approx 2{,}2857 \)

Nyní určíme desátý člen posloupnosti pomocí vzorce pro obecný člen:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

Pro \( n = 10 \):

\( a_{10} = 7 + 9 \times \frac{16}{7} = 7 + \frac{144}{7} = \frac{49 + 144}{7} = \frac{193}{7} \approx 27{,}5714 \)

Řešení:

Součin prvních \( n \) členů:

\( P_n = a_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}} \)

Dosadíme \( n=4 \):

\( P_4 = 2^4 \times 5^{\frac{4 \times 3}{2}} = 16 \times 5^6 \)

Hodnota \( 5^6 = 15\,625 \), tedy:

\( P_4 = 16 \times 15\,625 = 250\,000 \)

Řešení:

Obecný člen:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

Zadané rovnice:

\( a_3 = a_1 + 2 d = 14 \)

\( a_7 = a_1 + 6 d = 26 \)

Odečteme první rovnici od druhé:

\( (a_1 + 6 d) – (a_1 + 2 d) = 26 – 14 \Rightarrow 4 d = 12 \Rightarrow d = 3 \)

Dosadíme zpět:

\( a_1 + 2 \times 3 = 14 \Rightarrow a_1 = 14 – 6 = 8 \)

Řešení:

Obecný člen geometrické posloupnosti:

\( a_n = a_1 q^{n-1} \)

Dosadíme \( n=4 \):

\( 54 = 2 q^{3} \Rightarrow q^3 = \frac{54}{2} = 27 \Rightarrow q = \sqrt[3]{27} = 3 \)

Řešení:

Součet prvních \( n \) členů:

\( S_n = \frac{n}{2} (2 a_1 + (n-1)d) \)

Dosadíme \( n=15 \), \( S_{15} = 270 \), \( a_1 = 4 \):

\( 270 = \frac{15}{2} (8 + 14 d) \Rightarrow 270 = 7{,}5 (8 + 14 d) \)

Dělením rovnice \(7,5\):

\( 36 = 8 + 14 d \Rightarrow 14 d = 28 \Rightarrow d = 2 \)

Poslední člen:

\( a_{15} = 4 + 14 \times 2 = 4 + 28 = 32 \)

Řešení:

Obecný člen:

\( a_n = a_1 q^{n-1} \)

Dosadíme \( n=5 \):

\( 81 = 1 \times q^4 \Rightarrow q^4 = 81 \Rightarrow q = \sqrt[4]{81} = 3 \)

Součet prvních \(5\) členů:

\( S_5 = \frac{q^5 – 1}{q – 1} = \frac{3^5 – 1}{3 – 1} = \frac{243 – 1}{2} = \frac{242}{2} = 121 \)

Řešení:

Součet prvních \( n \) členů:

\( S_n = \frac{n}{2} (2 a_1 + (n – 1) d) \)

Dosadíme \( n=7 \), \( a_1=12 \), \( d = -2 \):

\( S_7 = \frac{7}{2} (24 + 6 \times (-2)) = \frac{7}{2} (24 – 12) = \frac{7}{2} \times 12 = 7 \times 6 = 42 \)

Řešení:

Součin prvních \(3\) členů:

\( P_3 = a_1^3 q^{\frac{3 \times 2}{2}} = 6^3 q^3 = 216 q^3 \)

Podle zadání:

\( 216 q^3 = 216 \Rightarrow q^3 = 1 \Rightarrow q = 1 \)

Řešení:

Vzorce:

\( S_n = \frac{n}{2} (2 a_1 + (n-1)d) \)

\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

Dosadíme \( n=12 \), \( S_{12} = 270 \), a \( a_{10} = 23 \):

\( 270 = 6 (2 a_1 + 11 d) \Rightarrow 45 = 2 a_1 + 11 d \)

\( 23 = a_1 + 9 d \)

Máme soustavu:

\( 2 a_1 + 11 d = 45 \)

\( a_1 + 9 d = 23 \)

Násobíme druhou rovnici dvěma:

\( 2 a_1 + 18 d = 46 \)

Odečteme první rovnici:

\( (2 a_1 + 18 d) – (2 a_1 + 11 d) = 46 – 45 \Rightarrow 7 d = 1 \Rightarrow d = \frac{1}{7} \)

Dosadíme do druhé rovnice:

\( a_1 + 9 \times \frac{1}{7} = 23 \Rightarrow a_1 = 23 – \frac{9}{7} = \frac{161}{7} \approx 23{,}14 \)

První člen je přibližně \( 23{,}14 \), diferenci \( \frac{1}{7} \).

Řešení:

Obecný člen:

\( a_n = a_1 q^{n-1} \)

Máme:

\( a_2 = a_1 q = 6 \)

\( a_5 = a_1 q^4 = 48 \)

Vydělíme druhou rovnicí první:

\( \frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 q^4}{a_1 q} = q^3 = \frac{48}{6} = 8 \Rightarrow q = \sqrt[3]{8} = 2 \)

Dosadíme zpět:

\( a_1 \times 2 = 6 \Rightarrow a_1 = 3 \)

Řešení:

Víme, že součet prvních \( n \) členů aritmetické posloupnosti je dán vzorcem:

\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1) d \right) \)

Dosadíme hodnoty \( n = 6 \), \( S_6 = 54 \), a \( a_1 = 4 \):

\( 54 = \frac{6}{2} \left( 2 \times 4 + (6-1) d \right) \)

To se zjednoduší na:

\( 54 = 3 \left( 8 + 5d \right) \Rightarrow 54 = 24 + 15d \)

Odečteme \( 24 \) z obou stran:

\( 30 = 15d \)

Vydělíme \( 15 \):

\( d = \frac{30}{15} = 2 \)

Takže diferenci \( d \) je \( 2 \).

Nyní spočítáme šestý člen posloupnosti. Použijeme vzorec pro \( n \)-tý člen aritmetické posloupnosti:

\( a_n = a_1 + (n-1) d \)

Dosadíme \( a_1 = 4 \), \( d = 2 \), a \( n = 6 \):

\( a_6 = 4 + (6-1) \times 2 = 4 + 5 \times 2 = 4 + 10 = 14 \)

Šestý člen posloupnosti je tedy \( 14 \).

Řešení:

Pro součet prvních \( 3 \) členů geometrické posloupnosti použijeme vzorec:

\( S_n = a_1 \frac{q^n – 1}{q – 1} \)

Dosadíme hodnoty \( a_1 = 5 \), \( S_3 = 65 \), a \( n = 3 \):

\( 65 = 5 \frac{q^3 – 1}{q – 1} \)

Rozdělíme obě strany rovnice \( 65 = 5 \times \frac{q^3 – 1}{q – 1} \):

\( \frac{q^3 – 1}{q – 1} = 13 \)

Teď se zaměříme na zjednodušení výrazu \( \frac{q^3 – 1}{q – 1} \). To nám dá následující:

\( q^2 + q + 1 = 13 \)

Od této chvíle máme kvadratickou rovnici:

\( q^2 + q – 12 = 0 \)

Pro řešení této kvadratické rovnice použijeme kvadratický vzorec:

\( q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \), kde \( a = 1 \), \( b = 1 \), a \( c = -12 \).

Dosadíme do vzorce:

\( q = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \times 1 \times (-12)}}{2 \times 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} \)

\( q = \frac{-1 \pm 7}{2} \)

Máme dvě možnosti pro hodnotu \( q \):

První kořen je \( q = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Druhý kořen je \( q = \frac{-1 – 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \), ale protože \( q > 1 \), zvolíme kořen \( q = 3 \).

Takže kvocient \( q \) je \( 3 \).

Řešení:

Pro součet prvních \( n \) členů aritmetické posloupnosti použijeme vzorec:

\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n – 1) d \right) \)

V tomto případě máme \( n = 9 \), \( a_1 = -2 \) a \( d = 4 \). Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\( S_9 = \frac{9}{2} \left( 2 \times (-2) + (9 – 1) \times 4 \right) \)

Nejprve spočítáme vnitřní výrazy:

\( 2 \times (-2) = -4 \)

\( (9 – 1) \times 4 = 8 \times 4 = 32 \)

Takže součet ve zjednodušené podobě je:

\( S_9 = \frac{9}{2} \left( -4 + 32 \right) \)

Sečteme \( -4 \) a \( 32 \):

\( -4 + 32 = 28 \)

Dosadíme zpět do vzorce:

\( S_9 = \frac{9}{2} \times 28 \)

Nyní spočítáme:

\( \frac{9}{2} \times 28 = 9 \times 14 = 126 \)

Takže součet prvních \( 9 \) členů aritmetické posloupnosti je \( 126 \).

Řešení:

Součin prvních \( n \) členů je:

\( P_n = a_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}} \)

Pro \( n=4 \):

\( P_4 = 2^4 q^{6} = 16 q^6 \)

Z rovnice:

\( 16 q^6 = 256 \Rightarrow q^6 = \frac{256}{16} = 16 \Rightarrow q = \sqrt[6]{16} = 16^{\frac{1}{6}} \)

Protože \( 16 = 2^4 \), máme:

\( q = (2^4)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}5874 \)

Řešení:

Pro výpočet součtu všech členů aritmetické posloupnosti použijeme následující vzorec:

\( S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right) \)

Kde \( n \) je počet členů posloupnosti, \( a_1 \) je první člen a \( a_n \) je poslední člen posloupnosti. V tomto případě máme:

\( n = 13 \), \( a_1 = 10 \) a \( a_{13} = 34 \). Nyní dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\( S_{13} = \frac{13}{2} \left( 10 + 34 \right) \)

Nejprve spočítáme součet \( a_1 \) a \( a_n \):

\( 10 + 34 = 44 \)

Takže vzorec se zjednoduší na:

\( S_{13} = \frac{13}{2} \times 44 \)

Nyní násobíme \( \frac{13}{2} \) a \( 44 \):

\( \frac{13}{2} \times 44 = 13 \times 22 = 286 \)

Takže součet všech členů aritmetické posloupnosti je \( 286 \).

Řešení:

Pro výpočet součtu prvních \( n \) členů geometrické posloupnosti použijeme následující vzorec:

\( S_n = a_1 \frac{q^n – 1}{q – 1} \)

Kde \( a_1 \) je první člen posloupnosti, \( q \) je kvocient, a \( n \) je počet členů. V tomto případě máme:

\( a_1 = 1 \), \( q = 3 \) a \( n = 8 \). Nyní dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\( S_8 = 1 \times \frac{3^8 – 1}{3 – 1} \)

Nejprve spočítáme hodnotu \( 3^8 \):

\( 3^8 = 6\,561 \)

Pak spočítáme \( 3^8 – 1 \):

\( 6\,561 – 1 = 6\,560 \)

Nyní dosadíme tuto hodnotu do vzorce:

\( S_8 = \frac{6\,560}{2} \)

Výsledek je:

\( S_8 = 3\,280 \)

Součet prvních 8 členů geometrické posloupnosti je tedy \( 3\,280 \).

Řešení:

Pro výpočet \( n \)-tého členu aritmetické posloupnosti použijeme obecný vzorec:

\( a_n = a_1 + (n-1) d \)

Kde \( a_1 \) je první člen posloupnosti, \( d \) je diferenci a \( n \) je číslo členu, který chceme spočítat. V tomto případě máme:

\( a_1 = 7 \), \( d = -0{,}5 \) a \( n = 50 \). Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\( a_{50} = 7 + (50-1) \times (-0{,}5) \)

Nejprve spočítáme \( 50 – 1 = 49 \):

Poté spočítáme \( 49 \times (-0{,}5) = -24{,}5 \):

Nyní spočítáme \( a_{50} = 7 – 24{,}5 \):

\( a_{50} = -17{,}5 \)

Takže padesátý člen této aritmetické posloupnosti je \( -17{,}5 \).

Řešení:

Obecný člen:

\( a_n = a_1 q^{n-1} \)

Máme:

\( a_4 = a_1 q^3 = 2 \), \( a_1 = 16 \)

Dosadíme:

\( 16 q^3 = 2 \Rightarrow q^3 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \Rightarrow q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \)

Součet prvních 5 členů:

\( S_5 = 16 \frac{(1/2)^5 – 1}{\frac{1}{2} – 1} = 16 \frac{\frac{1}{32} – 1}{-\frac{1}{2}} = 16 \frac{-\frac{31}{32}}{-\frac{1}{2}} = 16 \times \frac{31}{32} \times 2 = 16 \times \frac{62}{32} = 16 \times \frac{31}{16} = 31 \)

Řešení:

Pro výpočet součtu \( n \)-tých členů aritmetické posloupnosti použijeme vzorec pro součet aritmetické posloupnosti:

\( S_n = \frac{n}{2} (2 a_1 + (n-1) d) \)

V tomto případě máme součet prvních \( 15 \) členů, který je roven \( 525 \), a první člen je \( a_1 = 8 \). Dosadíme do vzorce:

\( 525 = \frac{15}{2} (2 \times 8 + (15 – 1) d) \)

Nejprve upravíme výraz v závorce:

\( 525 = \frac{15}{2} (16 + 14 d) \)

Vydělíme obě strany rovnice \( \frac{15}{2} \), což znamená násobení obou stran čílem \( \frac{2}{15} \):

\( 525 \times \frac{2}{15} = 7{,}5 \times (16 + 14 d) \Rightarrow 70 = 16 + 14 d \)

Poté odečteme \( 16 \) od obou stran:

\( 70 – 16 = 14 d \Rightarrow 54 = 14 d \)

Teď vydělíme obě strany \( 14 \), abychom našli hodnotu \( d \):

\( d = \frac{54}{14} = \frac{27}{7} \approx 3{,}857 \)

Differenci \( d \) je tedy přibližně \( 3{,}857 \).

Pro výpočet patnáctého členu použijeme vzorec pro \( n \)-tý člen aritmetické posloupnosti:

\( a_n = a_1 + (n-1) d \)

Dosadíme \( n = 15 \), \( a_1 = 8 \) a \( d \approx 3{,}857 \):

\( a_{15} = 8 + (15 – 1) \times 3{,}857 = 8 + 14 \times 3{,}857 = 8 + 54 = 62 \)

Patnáctý člen posloupnosti je tedy \( a_{15} = 62 \).

Řešení:

Pro součet prvních \( n \) členů geometrické posloupnosti použijeme vzorec pro součet geometrické posloupnosti:

\( S_n = a_1 \frac{q^n – 1}{q – 1} \)

V tomto případě máme \( n = 4 \), \( S_4 = 30 \), \( a_1 = 1{,}5 \). Dosadíme do vzorce:

\( 30 = 1{,}5 \times \frac{q^4 – 1}{q – 1} \)

Nejprve vydělíme obě strany \( 1{,}5 \), abychom získali jednodušší rovnici:

\( \frac{q^4 – 1}{q – 1} = \frac{30}{1{,}5} = 20 \)

Rovnice se zjednoduší na:

\( \frac{q^4 – 1}{q – 1} = q^3 + q^2 + q + 1 = 20 \)

Takto jsme použili faktorizaci \( q^4 – 1 \) na \( (q – 1)(q^3 + q^2 + q + 1) \). Poté máme:

\( q^3 + q^2 + q + 1 = 20 \Rightarrow q^3 + q^2 + q – 19 = 0 \)

Nyní musíme najít kořen této rovnice. Zkusíme hodnotu \( q = 2 \):

\( 8 + 4 + 2 – 19 = -5 \), což není nula.

Zkusíme \( q = 3 \):

\( 27 + 9 + 3 – 19 = 20 \), což je správné!

Kvůli tomu, že jsme hledali kořen, který je větší než \( 1 \), zjistíme, že \( q = 3 \) je řešením.

Kvociënt \( q \) je tedy \( q = 3 \).

Řešení:

Pro výpočet prvního členu a diferenci použijeme vzorec pro obecný člen aritmetické posloupnosti:

\( a_n = a_1 + (n – 1) d \)

Máme dvě informace: 8. člen je roven \( 27 \) a 12. člen je roven \( 39 \). Dosadíme tyto informace do vzorců:

\( a_8 = a_1 + 7 d = 27 \)

\( a_{12} = a_1 + 11 d = 39 \)

Odečteme první rovnici od druhé, abychom se zbavili \( a_1 \):

\( (a_1 + 11 d) – (a_1 + 7 d) = 39 – 27 \Rightarrow 4 d = 12 \)

Vyřešíme pro \( d \):

\( d = \frac{12}{4} = 3 \)

Differenci \( d \) je tedy \( 3 \).

Dosadíme zpět do jedné z rovnic pro \( a_8 \):

\( a_1 + 7 \times 3 = 27 \Rightarrow a_1 + 21 = 27 \Rightarrow a_1 = 27 – 21 = 6 \)

První člen posloupnosti je tedy \( a_1 = 6 \) a diferenci je \( d = 3 \).

Řešení:

Pro součin prvních \( n \) členů geometrické posloupnosti použijeme vzorec:

\( P_n = a_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}} \)

V tomto případě máme \( n = 3 \), \( P_3 = 125 \) a \( a_1 = 5 \). Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\( P_3 = 5^3 q^{3} = 125 q^3 \)

Nyní máme rovnici \( 125 q^3 = 125 \). Abychom zjistili hodnotu kvocientu \( q \), podělíme obě strany rovnice \( 125 \):

\( q^3 = 1 \)

Odmocníme obě strany rovnice:

\( q = 1 \)

QED, tedy kvocient \( q = 1 \). To znamená, že posloupnost je konstantní, všechny členy mají stejnou hodnotu, což je \( 5 \).

Řešení:

Pro výpočet prvního členu použijeme vzorec pro součet aritmetické posloupnosti:

\( S_n = \frac{n}{2} (2 a_1 + (n – 1) d) \)

V tomto případě máme součet \( S_{20} = 610 \), \( n = 20 \) a \( d = 2 \). Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\( 610 = \frac{20}{2} (2 a_1 + (20 – 1) \times 2) \)

Upraveno to bude:

\( 610 = 10 (2 a_1 + 38) \)

Po vynásobení dostaneme:

\( 610 = 10 \times (2 a_1 + 38) \Rightarrow 61 = 2 a_1 + 38 \)

Odečteme \( 38 \) od obou stran:

\( 61 – 38 = 2 a_1 \Rightarrow 23 = 2 a_1 \)

Teď vydělíme obě strany \( 2 \), abychom získali hodnotu \( a_1 \):

\( a_1 = \frac{23}{2} = 11{,}5 \)

První člen posloupnosti je tedy \( a_1 = 11{,}5 \).

Řešení:

Pro součet prvních \( n \) členů geometrické posloupnosti použijeme vzorec:

\( S_n = a_1 \frac{q^n – 1}{q – 1} \)

V tomto případě máme \( a_1 = 4 \), \( q = \frac{1}{3} \) a \( n = 6 \). Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\( S_6 = 4 \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^6 – 1}{\frac{1}{3} – 1} \)

Nejprve spočteme \( \left(\frac{1}{3}\right)^6 = \frac{1}{729} \), takže dostáváme:

\( S_6 = 4 \frac{\frac{1}{729} – 1}{-\frac{2}{3}} \)

Pokračujeme s výpočtem v čitateli:

\( \frac{1}{729} – 1 = \frac{1}{729} – \frac{729}{729} = -\frac{728}{729} \)

Teď máme:

\( S_6 = 4 \times \frac{-\frac{728}{729}}{-\frac{2}{3}} \)

Vydělením \(-\frac{728}{729}\) a \(-\frac{2}{3}\) dostáváme:

\( S_6 = 4 \times \frac{728}{729} \times \frac{3}{2} \)

Nyní se zjednodušíme:

\( S_6 = 4 \times \frac{2184}{1458} \)

Pokračujeme v úprave zlomku:

\( S_6 = 4 \times \frac{364}{243} \)

Výsledný součet je:

\( S_6 = \frac{1456}{243} \approx 5{,}996 \)

Součet prvních \( 6 \) členů je tedy přibližně \( 5{,}996 \).

Řešení:

První člen posloupnosti \( a_1 = 12 \) a druhý člen posloupnosti \( a_2 = 15 \). Pro výpočet diferenci \( d \) použijeme vzorec pro aritmetickou posloupnost, který říká, že rozdíl mezi každými dvěma po sobě jdoucími členy je konstantní. Tedy:

\( d = a_2 – a_1 = 15 – 12 = 3 \)

Desátý člen aritmetické posloupnosti spočítáme pomocí vzorce pro \( n \)-tý člen:

\( a_n = a_1 + (n – 1) \times d \)

Pro \( n = 10 \) dosadíme do vzorce:

\( a_{10} = 12 + (10 – 1) \times 3 = 12 + 9 \times 3 = 12 + 27 = 39 \)

Desátý člen posloupnosti je tedy \( a_{10} = 39 \).

Řešení:

Pro výpočet součtu prvních \( n \) členů geometrické posloupnosti použijeme vzorec:

\( S_n = a_1 \frac{q^n – 1}{q – 1} \)

V tomto případě víme, že součet prvních 5 členů je \( S_5 = 121 \), kvocient \( q = 2 \), a neznáme první člen \( a_1 \). Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\( 121 = a_1 \frac{2^5 – 1}{2 – 1} \)

Nejprve spočteme \( 2^5 = 32 \), takže dostáváme:

\( 121 = a_1 \frac{32 – 1}{1} = a_1 \times 31 \)

Teď vydělíme obě strany rovnice číslem 31, abychom našli hodnotu \( a_1 \):

\( a_1 = \frac{121}{31} \approx 3{,}903 \)

První člen geometrické posloupnosti je tedy přibližně \( a_1 \approx 3{,}903 \).

Řešení:

Pro součet \( n \) členů aritmetické posloupnosti použijeme vzorec pro součet aritmetické posloupnosti:

\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2 a_1 + (n – 1) d \right) \)

V tomto případě máme součet prvních 10 členů \( S_{10} = 155 \), první člen \( a_1 = 3 \) a neznámou diferenci \( d \). Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\( 155 = \frac{10}{2} \left( 2 \times 3 + (10 – 1) d \right) \)

Upraveno to bude:

\( 155 = 5 \left( 6 + 9 d \right) \)

Nyní obě strany rovnice vynásobíme:

\( 155 = 5 \times (6 + 9 d) \Rightarrow 155 = 30 + 45 d \)

Odečteme \( 30 \) od obou stran rovnice:

\( 155 – 30 = 45 d \Rightarrow 125 = 45 d \)

Teď vydělíme obě strany rovnice \( 45 \), abychom našli hodnotu \( d \):

\( d = \frac{125}{45} = \frac{25}{9} \approx 2{,}778 \)

Differenci v aritmetické posloupnosti je tedy \( d \approx 2{,}778 \).

Řešení:

Nejprve určíme kvocient geometrické posloupnosti. Kvocient \( q \) se vypočítá jako podíl druhého členu \( a_2 \) a prvního členu \( a_1 \). Tedy:

\( q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{27}{9} = 3 \)

Kvociem posloupnosti je \( q = 3 \).

Pro výpočet sedmého členu geometrické posloupnosti použijeme vzorec pro \( n \)-tý člen geometrické posloupnosti, který zní:

\( a_n = a_1 \times q^{n-1} \)

V tomto případě \( n = 7 \), takže sedmý člen je:

\( a_7 = a_1 \times q^{6} = 9 \times 3^6 = 9 \times 729 = 6561 \)

Sedmý člen geometrické posloupnosti je tedy \( a_7 = 6561 \).

Řešení:

Pro součet \( n \) členů aritmetické posloupnosti používáme vzorec:

\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2 a_1 + (n-1) d \right) \)

Dosadíme hodnoty \( n = 50 \), \( S_{50} = 1275 \), \( a_1 = 2 \):

\( 1275 = \frac{50}{2} \left( 2 \times 2 + (50 – 1) d \right) = 25 \left( 4 + 49 d \right) \)

Vydělíme obě strany \( 25 \):

\( 51 = 4 + 49 d \Rightarrow 49 d = 47 \Rightarrow d = \frac{47}{49} \approx 0{,}959 \)

Určujeme \( 50. \) člen:

\( a_{50} = a_1 + 49 d = 2 + 49 \times \frac{47}{49} = 2 + 47 = 49 \)