Soustava rovníc

Řešení příkladu:

Začneme soustavou:

\( x + y = 7 \) … (1)

\( 2x – y = 3 \) … (2)

Sečteme obě rovnice, abychom eliminovali \( y \):

\( (x + y) + (2x – y) = 7 + 3 \)

\( 3x = 10 \)

\( x = \frac{10}{3} \)

Nyní dosadíme hodnotu \( x \) do první rovnice (1):

\( \frac{10}{3} + y = 7 \)

\( y = 7 – \frac{10}{3} \)

\( y = \frac{21}{3} – \frac{10}{3} = \frac{11}{3} \)

Řešení: \( x = \frac{10}{3} \), \( y = \frac{11}{3} \)

Řešení příkladu:

Začneme soustavou:

\( 3x – 2y = 4 \) … (1)

\( x + y = 6 \) … (2)

Vyjádříme \( y \) z rovnice (2):

\( y = 6 – x \)

Dosaďme do rovnice (1):

\( 3x – 2(6 – x) = 4 \)

\( 3x – 12 + 2x = 4 \)

\( 5x = 16 \)

\( x = \frac{16}{5} \)

Dosaďme hodnotu \( x \) do rovnice (2):

\( \frac{16}{5} + y = 6 \)

\( y = 6 – \frac{16}{5} = \frac{30}{5} – \frac{16}{5} = \frac{14}{5} \)

Řešení: \( x = \frac{16}{5} \), \( y = \frac{14}{5} \)

Řešení příkladu:

Začneme soustavou:

\( 2x + 3y = 13 \) … (1)

\( 4x – y = 5 \) … (2)

Vyjádříme \( y \) z rovnice (2):

\( y = 4x – 5 \)

Dosaďme do rovnice (1):

\( 2x + 3(4x – 5) = 13 \)

\( 2x + 12x – 15 = 13 \)

\( 14x = 28 \)

\( x = 2 \)

Dosaďme hodnotu \( x \) do rovnice (2):

\( 4(2) – y = 5 \)

\( 8 – y = 5 \)

\( y = 3 \)

Řešení: \( x = 2 \), \( y = 3 \)

Řešení příkladu:

Začneme soustavou:

\( 5x + 2y = 18 \) … (1)

\( 3x – y = 7 \) … (2)

Vyjádříme \( y \) z rovnice (2):

\( y = 3x – 7 \)

Dosaďme do rovnice (1):

\( 5x + 2(3x – 7) = 18 \)

\( 5x + 6x – 14 = 18 \)

\( 11x = 32 \)

\( x = \frac{32}{11} \)

Dosaďme hodnotu \( x \) do rovnice (2):

\( 3\left(\frac{32}{11}\right) – y = 7 \)

\( \frac{96}{11} – y = 7 \)

\( y = \frac{96}{11} – 7 = \frac{96}{11} – \frac{77}{11} = \frac{19}{11} \)

Řešení: \( x = \frac{32}{11} \), \( y = \frac{19}{11} \)

Řešení příkladu:

Začneme soustavou:

\( x – y = 2 \) … (1)

\( 2x + 3y = 12 \) … (2)

Vyjádříme \( x \) z rovnice (1):

\( x = y + 2 \)

Dosaďme do rovnice (2):

\( 2(y + 2) + 3y = 12 \)

\( 2y + 4 + 3y = 12 \)

\( 5y = 8 \)

\( y = \frac{8}{5} \)

Dosaďme hodnotu \( y \) do rovnice (1):

\( x – \frac{8}{5} = 2 \)

\( x = 2 + \frac{8}{5} = \frac{10}{5} + \frac{8}{5} = \frac{18}{5} \)

Řešení: \( x = \frac{18}{5} \), \( y = \frac{8}{5} \)

Řešení příkladu:

Začneme soustavou:

\( 4x – 5y = 9 \) … (1)

\( 2x + 3y = 7 \) … (2)

Vyjádříme \( x \) z rovnice (2):

\( x = \frac{7 – 3y}{2} \)

Dosaďme do rovnice (1):

\( 4\left(\frac{7 – 3y}{2}\right) – 5y = 9 \)

\( 2(7 – 3y) – 5y = 9 \)

\( 14 – 6y – 5y = 9 \)

\( 14 – 11y = 9 \)

\( -11y = -5 \)

\( y = \frac{5}{11} \)

Dosaďme hodnotu \( y \) do rovnice (2):

\( 2x + 3\left(\frac{5}{11}\right) = 7 \)

\( 2x + \frac{15}{11} = 7 \)

\( 2x = 7 – \frac{15}{11} = \frac{77}{11} – \frac{15}{11} = \frac{62}{11} \)

\( x = \frac{31}{11} \)

Řešení: \( x = \frac{31}{11} \), \( y = \frac{5}{11} \)

Řešení příkladu:

Začneme soustavou:

\( 5x + 4y = 20 \) … (1)

\( x – 2y = 3 \) … (2)

Vyjádříme \( x \) z rovnice (2):

\( x = 2y + 3 \)

Dosaďme do rovnice (1):

\( 5(2y + 3) + 4y = 20 \)

\( 10y + 15 + 4y = 20 \)

\( 14y = 5 \)

\( y = \frac{5}{14} \)

Dosaďme hodnotu \( y \) do rovnice (2):

\( x – 2\left(\frac{5}{14}\right) = 3 \)

\( x = 3 + \frac{10}{14} = 3 + \frac{5}{7} = \frac{21}{7} + \frac{5}{7} = \frac{26}{7} \)

Řešení: \( x = \frac{26}{7} \), \( y = \frac{5}{14} \)

Řešení příkladu:

Začneme soustavou:

\( 3x – 2y = 1 \) … (1)

\( 4x + y = 9 \) … (2)

Vyjádříme \( y \) z rovnice (2):

\( y = 9 – 4x \)

Dosaďme do rovnice (1):

\( 3x – 2(9 – 4x) = 1 \)

\( 3x – 18 + 8x = 1 \)

\( 11x = 19 \)

\( x = \frac{19}{11} \)

Dosaďme hodnotu \( x \) do rovnice (2):

\( 4\left(\frac{19}{11}\right) + y = 9 \)

\( \frac{76}{11} + y = 9 \)

\( y = 9 – \frac{76}{11} = \frac{99}{11} – \frac{76}{11} = \frac{23}{11} \)

Řešení: \( x = \frac{19}{11} \), \( y = \frac{23}{11} \)

Řešení příkladu:

Začneme soustavou:

\( x + 3y = 7 \) … (1)

\( 2x – y = 5 \) … (2)

Vyjádříme \( x \) z rovnice (1):

\( x = 7 – 3y \)

Dosaďme do rovnice (2):

\( 2(7 – 3y) – y = 5 \)

\( 14 – 6y – y = 5 \)

\( 14 – 7y = 5 \)

\( -7y = -9 \)

\( y = \frac{9}{7} \)

Dosaďme hodnotu \( y \) do rovnice (1):

\( x + 3\left(\frac{9}{7}\right) = 7 \)

\( x = 7 – \frac{27}{7} = \frac{49}{7} – \frac{27}{7} = \frac{22}{7} \)

Řešení: \( x = \frac{22}{7} \), \( y = \frac{9}{7} \)

Řešení příkladu:

Začneme soustavou:

\( 6x – 3y = 12 \) … (1)

\( 4x + y = 10 \) … (2)

Vyjádříme \( y \) z rovnice (2):

\( y = 10 – 4x \)

Dosaďme do rovnice (1):

\( 6x – 3(10 – 4x) = 12 \)

\( 6x – 30 + 12x = 12 \)

\( 18x = 42 \)

\( x = \frac{42}{18} = \frac{7}{3} \)

Dosaďme hodnotu \( x \) do rovnice (2):

\( 4\left(\frac{7}{3}\right) + y = 10 \)

\( \frac{28}{3} + y = 10 \)

\( y = 10 – \frac{28}{3} = \frac{30}{3} – \frac{28}{3} = \frac{2}{3} \)

Řešení: \( x = \frac{7}{3} \), \( y = \frac{2}{3} \)

Řešení příkladu:

Začneme soustavou:

\( 2x + y = 5 \) … (1)

\( 3x – 2y = 4 \) … (2)

Vyjádříme \( y \) z rovnice (1):

\( y = 5 – 2x \)

Dosaďme do rovnice (2):

\( 3x – 2(5 – 2x) = 4 \)

\( 3x – 10 + 4x = 4 \)

\( 7x = 14 \)

\( x = 2 \)

Dosaďme do rovnice (1):

\( 2 \cdot 2 + y = 5 \Rightarrow 4 + y = 5 \Rightarrow y = 1 \)

Řešení: \( x = 2 \), \( y = 1 \)

Řešení příkladu:

\( x + 2y = 8 \) … (1)

\( 5x – y = 9 \) … (2)

Z rovnice (1) vyjádříme \( x \):

\( x = 8 – 2y \)

Dosaďme do rovnice (2):

\( 5(8 – 2y) – y = 9 \Rightarrow 40 – 10y – y = 9 \Rightarrow 40 – 11y = 9 \)

\( -11y = -31 \Rightarrow y = \frac{31}{11} \)

Dosaďme zpět:

\( x = 8 – 2 \cdot \frac{31}{11} = 8 – \frac{62}{11} = \frac{88}{11} – \frac{62}{11} = \frac{26}{11} \)

Řešení: \( x = \frac{26}{11} \), \( y = \frac{31}{11} \)

Řešení příkladu:

\( x – y = 2 \Rightarrow x = y + 2 \)

Dosaďme do první rovnice:

\( 7(y + 2) + 3y = 17 \Rightarrow 7y + 14 + 3y = 17 \Rightarrow 10y = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{10} \)

\( x = \frac{3}{10} + 2 = \frac{3}{10} + \frac{20}{10} = \frac{23}{10} \)

Řešení: \( x = \frac{23}{10} \), \( y = \frac{3}{10} \)

Řešení příkladu:

Z první rovnice: \( y = 4x – 6 \)

Dosaďme do druhé:

\( 2x + 3(4x – 6) = 12 \Rightarrow 2x + 12x – 18 = 12 \Rightarrow 14x = 30 \Rightarrow x = \frac{15}{7} \)

\( y = 4 \cdot \frac{15}{7} – 6 = \frac{60}{7} – \frac{42}{7} = \frac{18}{7} \)

Řešení: \( x = \frac{15}{7} \), \( y = \frac{18}{7} \)

Řešení příkladu:

Z rovnice (1): \( x = 3 – y \)

Dosaďme do druhé:

\( 2(3 – y) – 3y = -4 \Rightarrow 6 – 2y – 3y = -4 \Rightarrow -5y = -10 \Rightarrow y = 2 \)

\( x = 3 – 2 = 1 \)

Řešení: \( x = 1 \), \( y = 2 \)

Řešení příkladu:

Označíme: Petr = \(x\), Pavel = \(y\)
Rovnice: \(x + y = 124\), \(x = y + 28\)
Dosadíme: \(y + 28 + y = 124 \to 2y = 96 \to y = 48\)
\(x = 48 + 28 = 76\)
Odpověď:Petr má \(76\) Kč, Pavel \(48\) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme: autobus = \(x\), tramvaj = \(y\)
Rovnice: \(3x + 2y = 98\), \(2x + 4y = 104\)
Vynásobíme první rovnici dvěma: \(6x + 4y = 196\)
Odečteme: \((6x + 4y) – (2x + 4y) = 196 – 104 \to 4x = 92 \to x = 23\)
Dosadíme: \(3 \times 23 + 2y = 98 \to 69 + 2y = 98 \to 2y = 29 \to y = 14.5\)
Odpověď: Jízdenka na autobus stojí \(23\) Kč, na tramvaj \(14,50\) Kč.

Řešení příkladu:

Označíme: první třída = \(x\), druhá třída = \(y\)
Rovnice: \(x = y + 6\), \(x + y = 54\)
Dosadíme: \(y + 6 + y = 54 \to 2y = 48 \to y = 24\)
\(x = 24 + 6 = 30\)
Odpověď: Z první třídy šlo \(30\)žáků, z druhé \(24\) žáků.

Řešení příkladu:

Označíme: jablka = \(x\), hrušky = \(y\)
Rovnice: \(4x + 2y = 148\), \(2x + 3y = 126\)
První rovnici zkrátíme: \(2x + y = 74\)
Odečteme od druhé: \((2x + 3y) – (2x + y) = 126 – 74 \to 2y = 52 \to y = 26\)
Dosadíme: \(2x + 26 = 74 \to 2x = 48 \to x = 24\)
Odpověď: Jablka stojí \(24\) Kč/kg, hrušky \(26\) Kč/kg.

Řešení příkladu:

Označíme: tvarohové = \(x\), makové = \(y\)
Rovnice: \(x = y + 10\), \(x + y = 64\)
Dosadíme: \(y + 10 + y = 64 \to 2y = 54 \to y = 27\)
\(x = 27 + 10 = 37\)
Odpověď: Tvarohových bylo \(37\), makových \(27\).