1. Vypočítejte Spearmanův korelační koeficient pro následující dvojici dat:
X: \(12\), \(18\), \(25\), \(30\), \(22\)
Y: \(20\), \(24\), \(28\), \(35\), \(26\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 1:
Nejprve je třeba seřadit hodnoty \(X\) a \(Y\) podle velikosti a přiřadit jim pořadová čísla (ranky).
Pro \(X\) hodnoty: \(12\) (rank \(1\)), \(18\) (rank \(2\)), \(22\) (rank \(3\)), \(25\) (rank \(4\)), \(30\) (rank \(5\)).
Pro \(Y\) hodnoty: \(20\) (rank \(1\)), \(24\) (rank \(2\)), \(26\) (rank \(3\)), \(28\) (rank \(4\)), \(35\) (rank \(5\)).
Nyní sestavíme tabulku s rozdíly ranků:
\( d_i = \text{rank}(X_i) – \text{rank}(Y_i) \)
Pro jednotlivé body:
\( d_1 = 1 – 1 = 0 \)
\( d_2 = 2 – 2 = 0 \)
\( d_3 = 4 – 4 = 0 \)
\( d_4 = 5 – 5 = 0 \)
\( d_5 = 3 – 3 = 0 \)
Součet čtverců rozdílů:
\( \sum d_i^2 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)
Spearmanův korelační koeficient se počítá podle vzorce:
\( r_s = 1 – \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 – 1)} \)
Dosadíme:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 0}{5 \times (25 – 1)} = 1 – 0 = 1 \)
Výsledkem je \( r_s = 1 \), což znamená perfektní monotonní rostoucí vztah mezi proměnnými \(X\) a \(Y\).
2. Máme data o výšce studentů (v cm) a jejich skóre v testu (body):
Výška (\(X\)): \(160\), \(170\), \(165\), \(180\), \(175\)
Skóre (\(Y\)): \(70\), \(85\), \(75\), \(90\), \(80\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 2:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme jejich pořadí (ranky):
\(X\): \(160\) (rank \(1\)), \(165\) (rank \(2\)), \(170\) (rank \(3\)), \(175\) (rank \(4\)), \(180\) (rank \(5\))
\(Y\): \(70\) (rank \(1\)), \(75\) (rank \(2\)), \(80\) (rank \(3\)), \(85\) (rank \(4\)), \(90\) (rank \(5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \( d_i \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 1 – 1 = 0 \)
\( d_2 = 3 – 4 = -1 \)
\( d_3 = 2 – 2 = 0 \)
\( d_4 = 5 – 5 = 0 \)
\( d_5 = 4 – 3 = 1 \)
\( \sum d_i^2 = 0^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 = 2 \)
Počet párů \( n = 5 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 2}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{12}{120} = 1 – 0.1 = 0.9 \)
Koeficient \(0,9\) znamená velmi silnou kladnou monotonní závislost mezi výškou a skóre.
3. Uvažujte data o počtu hodin studia a známkách studentů:
Hodiny studia (\(X\)): \(5\), \(8\), \(12\), \(15\), \(10\)
Známky (\(Y\)): \(2\), \(3\), \(1\), \(1\), \(2\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 3:
Seřadíme hodnoty \(X\):
\(X\): \(5\) (rank \(1\)), \(8\) (rank \(2\)), \(10\) (rank \(3\)), \(12\) (rank \(4\)), \(15\) (rank \(5\))
Známky \(Y\) (čím nižší známka, tím lepší, proto pořadí obrátíme):
Známky: \(1\) (rank \(1.5\)), \(1\) (rank \(1.5\)), \(2\) (rank \(3.5\)), \(2\) (rank \(3.5\)), \(3\) (rank \(5\))
Přiřazujeme hodnoty ke správným \(X\):
Pro \(X=5\), \(Y=2\) (rank \(3.5\))
\(X=8\), \(Y=3\) (rank \(5\))
\(X=10\), \(Y=2\) (rank \(3.5\))
\(X=12\), \(Y=1\) (rank \(1.5\))
\(X=15\), \(Y=1\) (rank \(1.5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \( d_i \):
\( d_1 = 1 – 3.5 = -2.5 \)
\( d_2 = 2 – 5 = -3 \)
\( d_3 = 3 – 3.5 = -0.5 \)
\( d_4 = 4 – 1.5 = 2.5 \)
\( d_5 = 5 – 1.5 = 3.5 \)
\( \sum d_i^2 = 6.25 + 9 + 0.25 + 6.25 + 12.25 = 34 \)
Počet párů \( n = 5 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 34}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{204}{120} = 1 – 1.7 = -0.7 \)
Koeficient \(-0,7\) značí středně silnou negativní monotonní závislost mezi počtem hodin studia a známkami (lepší známky znamenají nižší čísla).
4. Zjistěte Spearmanův korelační koeficient pro následující data o věku a počtu přečtených knih za rok:
Věk (\(22\), \(25\), \(30\), \(28\), \(35\))
Knihy (\(3\), \(5\), \(2\), \(4\), \(1\))
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 4:
Seřadíme hodnoty \(X\):
\(22\) (rank \(1\)), \(25\) (rank \(2\)), \(28\) (rank \(3\)), \(30\) (rank \(4\)), \(35\) (rank \(5\))
Seřadíme hodnoty \(Y\):
\(1\) (rank \(1\)), \(2\) (rank \(2\)), \(3\) (rank \(3\)), \(4\) (rank \(4\)), \(5\) (rank \(5\))
Pořadí \(Y\) podle původního pořadí \(X\):
Pro \(X = 22\), \(Y = 3\) (rank \(3\))
\(X = 25\), \(Y = 5\) (rank \(5\))
\(X = 30\), \(Y = 2\) (rank \(2\))
\(X = 28\), \(Y = 4\) (rank \(4\))
\(X = 35\), \(Y = 1\) (rank \(1\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\):
\(d_1 = 1 – 3 = -2\)
\(d_2 = 2 – 5 = -3\)
\(d_3 = 4 – 2 = 2\)
\(d_4 = 3 – 4 = -1\)
\(d_5 = 5 – 1 = 4\)
\(\sum d_i^2 = 4 + 9 + 4 + 1 + 16 = 34\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 34}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{204}{120} = 1 – 1.7 = -0.7\)
Výsledný koeficient \(r_s = -0.7\) indikuje střední až silnou negativní korelaci, tedy s věkem klesá počet přečtených knih.
5. Určete Spearmanův korelační koeficient pro data o počtu cvičení týdně a počtu hodin spánku:
Cvičení (\(1\), \(3\), \(2\), \(5\), \(4\))
Spánek (\(8\), \(6\), \(7\), \(5\), \(6\))
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 5:
Seřadíme \(X\):
\(1\) (rank \(1\)), \(2\) (rank \(2\)), \(3\) (rank \(3\)), \(4\) (rank \(4\)), \(5\) (rank \(5\))
Seřadíme \(Y\):
\(5\) (rank \(1\)), \(6\) (rank \(2.5\)), \(6\) (rank \(2.5\)), \(7\) (rank \(4\)), \(8\) (rank \(5\))
Přiřadíme pořadí \(Y\) podle původního pořadí \(X\):
\(X=1\), \(Y=8\) (rank \(5\))
\(X=3\), \(Y=6\) (rank \(2.5\))
\(X=2\), \(Y=7\) (rank \(4\))
\(X=5\), \(Y=5\) (rank \(1\))
\(X=4\), \(Y=6\) (rank \(2.5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\):
\(d_1 = 1 – 5 = -4\)
\(d_2 = 3 – 2.5 = 0.5\)
\(d_3 = 2 – 4 = -2\)
\(d_4 = 5 – 1 = 4\)
\(d_5 = 4 – 2.5 = 1.5\)
\(\sum d_i^2 = 16 + 0.25 + 4 + 16 + 2.25 = 38.5\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 38.5}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{231}{120} = 1 – 1.925 = -0.925\)
Koeficient blízký \(-1\) indikuje velmi silnou negativní korelaci mezi počtem cvičení a hodinami spánku.
6. Data o počtu hodin práce na projektu a hodnocení projektu:
Hodiny (\(10\), \(20\), \(15\), \(30\), \(25\))
Hodnocení (\(3\), \(5\), \(4\), \(5\), \(4\))
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 6:
Seřadíme \(X\):
\(10\) (rank \(1\)), \(15\) (rank \(2\)), \(20\) (rank \(3\)), \(25\) (rank \(4\)), \(30\) (rank \(5\))
Seřadíme \(Y\) (v případě shody průměr ranků):
Hodnocení \(3\) (rank \(1\)), \(4\) (rank \(2.5\)), \(4\) (rank \(2.5\)), \(5\) (rank \(4.5\)), \(5\) (rank \(4.5\))
Pořadí \(Y\) dle původních dat:
\(X=10\), \(Y=3\) (rank \(1\))
\(X=20\), \(Y=5\) (rank \(4.5\))
\(X=15\), \(Y=4\) (rank \(2.5\))
\(X=30\), \(Y=5\) (rank \(4.5\))
\(X=25\), \(Y=4\) (rank \(2.5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\):
\(d_1 = 1 – 1 = 0\)
\(d_2 = 3 – 4.5 = -1.5\)
\(d_3 = 2 – 2.5 = -0.5\)
\(d_4 = 5 – 4.5 = 0.5\)
\(d_5 = 4 – 2.5 = 1.5\)
\(\sum d_i^2 = 0 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 = 5\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 5}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{30}{120} = 1 – 0.25 = 0.75\)
Koeficient \(0.75\) značí poměrně silnou kladnou korelaci mezi hodinami a hodnocením projektu.
7. Máme data o počtu hodin studia a pořadí studentů v testu:
Hodiny studia (\(2\), \(5\), \(3\), \(8\), \(6\), \(4\))
Pořadí v testu (\(5\), \(1\), \(4\), \(2\), \(3\), \(6\))
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 7:
Seřadíme hodnoty \(X\) a \(Y\) a určíme jejich pořadí (ranky):
\(X\): \(2\) (rank \(1\)), \(3\) (rank \(2\)), \(4\) (rank \(3\)), \(5\) (rank \(4\)), \(6\) (rank \(5\)), \(8\) (rank \(6\))
\(Y\): \(1\) (rank \(1\)), \(2\) (rank \(2\)), \(3\) (rank \(3\)), \(4\) (rank \(4\)), \(5\) (rank \(5\)), \(6\) (rank \(6\))
Přiřadíme pořadí podle původního pořadí dat:
\(X\) pořadí: \(1\), \(4\), \(2\), \(6\), \(5\), \(3\)
\(Y\) pořadí: \(5\), \(1\), \(4\), \(2\), \(3\), \(6\)
Vypočítáme rozdíly \( d_i = R(X_i) – R(Y_i) \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 1 – 5 = -4 \)
\( d_2 = 4 – 1 = 3 \)
\( d_3 = 2 – 4 = -2 \)
\( d_4 = 6 – 2 = 4 \)
\( d_5 = 5 – 3 = 2 \)
\( d_6 = 3 – 6 = -3 \)
\( \sum d_i^2 = (-4)^2 + 3^2 + (-2)^2 + 4^2 + 2^2 + (-3)^2 = 16 + 9 + 4 + 16 + 4 + 9 = 58 \)
Počet párů \( n = 6 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 58}{6 \times (36 – 1)} = 1 – \frac{348}{6 \times 35} = 1 – \frac{348}{210} = 1 – 1.6571 = -0.6571 \)
Koeficient přibližně \(-0.657\) znamená středně silnou zápornou monotónní závislost mezi počtem hodin studia a pořadím v testu.
8. Data o věku a spokojenosti zaměstnanců \((\)na škále \(1-10)\):
Věk (\(23\), \(45\), \(34\), \(29\), \(40\), \(50\), \(31\))
Spokojenost (\(7\), \(5\), \(6\), \(8\), \(5\), \(4\), \(7\))
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 8:
Seřadíme data \(X\) a přiřadíme pořadí:
\(X\): \(23\) (rank \(1\)), \(29\) (rank \(2\)), \(31\) (rank \(3\)), \(34\) (rank \(4\)), \(40\) (rank \(5\)), \(45\) (rank \(6\)), \(50\) (rank \(7\))
Seřadíme data \(Y\) a přiřadíme pořadí (u shodných hodnot se přiřadí průměr pořadí):
Hodnoty \(Y\) jsou: \(4\), \(5\), \(5\), \(6\), \(7\), \(7\), \(8\)
Pořadí \(Y\):
\(4 \rightarrow 1\)
\(5 \rightarrow (2 + 3) / 2 = 2.5\)
\(6 \rightarrow 4\)
\(7 \rightarrow (5 + 6) / 2 = 5.5\)
\(8 \rightarrow 7\)
Takže pořadí \(Y\) dle původních hodnot:
\(7\) (rank \(5.5\)), \(5\) (rank \(2.5\)), \(6\) (rank \(4\)), \(8\) (rank \(7\)), \(5\) (rank \(2.5\)), \(4\) (rank \(1\)), \(7\) (rank \(5.5\))
Vypočítáme rozdíly \( d_i = R(X_i) – R(Y_i) \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 1 – 5.5 = -4.5 \)
\( d_2 = 6 – 2.5 = 3.5 \)
\( d_3 = 4 – 4 = 0 \)
\( d_4 = 2 – 7 = -5 \)
\( d_5 = 5 – 2.5 = 2.5 \)
\( d_6 = 7 – 1 = 6 \)
\( d_7 = 3 – 5.5 = -2.5 \)
\( \sum d_i^2 = (-4.5)^2 + 3.5^2 + 0^2 + (-5)^2 + 2.5^2 + 6^2 + (-2.5)^2 = 20.25 + 12.25 + 0 + 25 + 6.25 + 36 + 6.25 = 106 \)
Počet párů \( n = 7 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 106}{7 \times (49 – 1)} = 1 – \frac{636}{7 \times 48} = 1 – \frac{636}{336} = 1 – 1.8929 = -0.8929 \)
Koeficient přibližně \(-0.893\) značí velmi silnou zápornou monotónní závislost mezi věkem a spokojeností.
9. Data o počtu cvičení týdně a váze u \(8\) lidí:
Cvičení (\(1\), \(4\), \(3\), \(5\), \(2\), \(6\), \(4\), \(3\))
Váha (\(85\), \(75\), \(78\), \(70\), \(80\), \(68\), \(74\), \(79\))
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 9:
Seřadíme \(X\) a přiřadíme pořadí (u shodných hodnot použijeme průměr pořadí):
Hodnoty \(X\): \(1\), \(2\), \(3\), \(3\), \(4\), \(4\), \(5\), \(6\)
Pořadí \(X\):
\(1 \rightarrow 1\)
\(2 \rightarrow 2\)
\(3 \rightarrow (3 + 4) / 2 = 3.5\)
\(4 \rightarrow (5 + 6) / 2 = 5.5\)
\(5 \rightarrow 7\)
\(6 \rightarrow 8\)
Pořadí \(X\) dle původních dat:
\(1\) (rank \(1\)), \(4\) (rank \(5.5\)), \(3\) (rank \(3.5\)), \(5\) (rank \(7\)), \(2\) (rank \(2\)), \(6\) (rank \(8\)), \(4\) (rank \(5.5\)), \(3\) (rank \(3.5\))
Seřadíme \(Y\) a přiřadíme pořadí:
Hodnoty \(Y\): \(68\), \(70\), \(74\), \(75\), \(78\), \(79\), \(80\), \(85\)
Pořadí \(Y\):
\(68 \rightarrow 1\)
\(70 \rightarrow 2\)
\(74 \rightarrow 3\)
\(75 \rightarrow 4\)
\(78 \rightarrow 5\)
\(79 \rightarrow 6\)
\(80 \rightarrow 7\)
\(85 \rightarrow 8\)
Pořadí \(Y\) dle původních dat:
\(85\) (rank \(8\)), \(75\) (rank \(4\)), \(78\) (rank \(5\)), \(70\) (rank \(2\)), \(80\) (rank \(7\)), \(68\) (rank \(1\)), \(74\) (rank \(3\)), \(79\) (rank \(6\))
Vypočítáme rozdíly \( d_i = R(X_i) – R(Y_i) \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 1 – 8 = -7 \)
\( d_2 = 5.5 – 4 = 1.5 \)
\( d_3 = 3.5 – 5 = -1.5 \)
\( d_4 = 7 – 2 = 5 \)
\( d_5 = 2 – 7 = -5 \)
\( d_6 = 8 – 1 = 7 \)
\( d_7 = 5.5 – 3 = 2.5 \)
\( d_8 = 3.5 – 6 = -2.5 \)
\( \sum d_i^2 = 49 + 2.25 + 2.25 + 25 + 25 + 49 + 6.25 + 6.25 = 165 \)
Počet párů \( n = 8 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 165}{8 \times (64 – 1)} = 1 – \frac{990}{8 \times 63} = 1 – \frac{990}{504} = 1 – 1.9643 = -0.9643 \)
Koeficient přibližně \(-0.964\) značí velmi silnou zápornou monotónní závislost mezi počtem cvičení a váhou.
10. Porovnání skóre ve dvou testech u \( 5 \) studentů:
Test 1 (X): \( 78 \), \( 85 \), \( 90 \), \( 70 \), \( 88 \)
Test 2 (Y): \( 80 \), \( 83 \), \( 92 \), \( 68 \), \( 89 \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 10:
Seřadíme hodnoty X a přiřadíme pořadí:
X: \( 70 \) (\( 1 \)), \( 78 \) (\( 2 \)), \( 85 \) (\( 3 \)), \( 88 \) (\( 4 \)), \( 90 \) (\( 5 \))
Seřadíme hodnoty Y a přiřadíme pořadí:
Y: \( 68 \) (\( 1 \)), \( 80 \) (\( 2 \)), \( 83 \) (\( 3 \)), \( 89 \) (\( 4 \)), \( 92 \) (\( 5 \))
Pořadí dle původních dat:
X pořadí: \( 2 \), \( 3 \), \( 5 \), \( 1 \), \( 4 \)
Y pořadí: \( 2 \), \( 3 \), \( 5 \), \( 1 \), \( 4 \)
Vypočítáme rozdíly \( d_i = R(X_i) – R(Y_i) \):
\( d_i = 0 \) pro všechny \( i \)
\( \sum d_i^2 = 0 \)
Počet párů \( n = 5 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 0}{5 \times (25 – 1)} = 1 – 0 = 1 \)
Koeficient \( 1 \) znamená perfektní monotónní pozitivní závislost mezi skóry testů.
11. Data o počtu hodin spánku a koncentraci u \( 7 \) respondentů:
Hodiny spánku (X): \( 6 \), \( 8 \), \( 5 \), \( 7 \), \( 9 \), \( 4 \), \( 6 \)
Koncentrace (Y): \( 70 \), \( 90 \), \( 60 \), \( 80 \), \( 95 \), \( 55 \), \( 72 \)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 11:
Seřadíme X a přiřadíme pořadí (u stejných hodnot použijeme průměr pořadí):
Hodiny spánku: \( 4 \) (\( 1 \)), \( 5 \) (\( 2 \)), \( 6 \) (\( 3.5 \)), \( 6 \) (\( 3.5 \)), \( 7 \) (\( 5 \)), \( 8 \) (\( 6 \)), \( 9 \) (\( 7 \))
Pořadí X dle původních hodnot:
6 (\( 3.5 \)), 8 (\( 6 \)), 5 (\( 2 \)), 7 (\( 5 \)), 9 (\( 7 \)), 4 (\( 1 \)), 6 (\( 3.5 \))
Seřadíme Y a přiřadíme pořadí:
Hodnoty Y: \( 55 \) (\( 1 \)), \( 60 \) (\( 2 \)), \( 70 \) (\( 3 \)), \( 72 \) (\( 4 \)), \( 80 \) (\( 5 \)), \( 90 \) (\( 6 \)), \( 95 \) (\( 7 \))
Pořadí Y dle původních hodnot:
70 (\( 3 \)), 90 (\( 6 \)), 60 (\( 2 \)), 80 (\( 5 \)), 95 (\( 7 \)), 55 (\( 1 \)), 72 (\( 4 \))
Vypočítáme rozdíly \( d_i = R(X_i) – R(Y_i) \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 3.5 – 3 = 0.5 \)
\( d_2 = 6 – 6 = 0 \)
\( d_3 = 2 – 2 = 0 \)
\( d_4 = 5 – 5 = 0 \)
\( d_5 = 7 – 7 = 0 \)
\( d_6 = 1 – 1 = 0 \)
\( d_7 = 3.5 – 4 = -0.5 \)
\( \sum d_i^2 = 0.25 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0.25 = 0.5 \)
Počet párů \( n = 7 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 0.5}{7 \times (49 – 1)} = 1 – \frac{3}{7 \times 48} = 1 – \frac{3}{336} = 1 – 0.00893 = 0.99107 \)
Koeficient přibližně \( 0.991 \) znamená velmi silnou pozitivní monotónní závislost mezi hodinami spánku a koncentrací.
12. Data o délce praxe a hodnocení zaměstnavatele u \(6\) zaměstnanců:
Délka praxe (\(X\), v letech): \(1\), \(3\), \(2\), \(4\), \(5\), \(3\)
Hodnocení (\(Y\), na škále \(1\)-\(10\)): \(5\), \(8\), \(6\), \(7\), \(9\), \(8\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu \(12\):
Seřadíme \(X\) a přiřadíme pořadí (u shodných hodnot použijeme průměr pořadí):
\(X\): \(1\) (\(1\)), \(2\) (\(2\)), \(3\) (\(4\)), \(3\) (\(4\)), \(4\) (\(5\)), \(5\) (\(6\))
Pořadí \(X\) dle původních hodnot:
\(1\) (\(1\)), \(3\) (\(4\)), \(2\) (\(2\)), \(4\) (\(5\)), \(5\) (\(6\)), \(3\) (\(4\))
Seřadíme \(Y\) a přiřadíme pořadí (u shodných hodnot opět průměr):
Hodnoty \(Y\): \(5\) (\(1\)), \(6\) (\(2\)), \(7\) (\(3\)), \(8\) (\(4.5\)), \(8\) (\(4.5\)), \(9\) (\(6\))
Pořadí \(Y\) dle původních hodnot:
\(5\) (\(1\)), \(8\) (\(4.5\)), \(6\) (\(2\)), \(7\) (\(3\)), \(9\) (\(6\)), \(8\) (\(4.5\))
Vypočítáme rozdíly \(d_i = R(X_i) – R(Y_i)\) a jejich čtverce:
\(d_1 = 1 – 1 = 0\)
\(d_2 = 4 – 4.5 = -0.5\)
\(d_3 = 2 – 2 = 0\)
\(d_4 = 5 – 3 = 2\)
\(d_5 = 6 – 6 = 0\)
\(d_6 = 4 – 4.5 = -0.5\)
\(\sum d_i^2 = 0 + 0.25 + 0 + 4 + 0 + 0.25 = 4.5\)
Počet párů \(n = 6\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 4.5}{6 \times (36 – 1)} = 1 – \frac{27}{6 \times 35} = 1 – \frac{27}{210} = 1 – 0.12857 = 0.87143\)
Koeficient přibližně \(0.871\) znamená silnou pozitivní monotónní závislost mezi délkou praxe a hodnocením zaměstnavatele.
13. Hodnocení spokojenosti zákazníků a počet reklamací u \(7\) produktů:
Spokojenost (\(X\)): \(9\), \(7\), \(6\), \(8\), \(5\), \(7\), \(8\)
Reklamace (\(Y\)): \(1\), \(3\), \(5\), \(2\), \(7\), \(4\), \(2\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu \(13\):
Seřadíme \(X\) a přiřadíme pořadí:
\(X\): \(5\) (\(1\)), \(6\) (\(2\)), \(7\) (\(3.5\)), \(7\) (\(3.5\)), \(8\) (\(5.5\)), \(8\) (\(5.5\)), \(9\) (\(7\))
Pořadí \(X\) dle původních hodnot:
\(9\) (\(7\)), \(7\) (\(3.5\)), \(6\) (\(2\)), \(8\) (\(5.5\)), \(5\) (\(1\)), \(7\) (\(3.5\)), \(8\) (\(5.5\))
Seřadíme \(Y\) a přiřadíme pořadí:
\(Y\): \(1\) (\(1\)), \(2\) (\(2.5\)), \(2\) (\(2.5\)), \(3\) (\(4\)), \(4\) (\(5\)), \(5\) (\(6\)), \(7\) (\(7\))
Pořadí \(Y\) dle původních hodnot:
\(1\) (\(1\)), \(3\) (\(4\)), \(5\) (\(6\)), \(2\) (\(2.5\)), \(7\) (\(7\)), \(4\) (\(5\)), \(2\) (\(2.5\))
Vypočítáme rozdíly \(d_i = R(X_i) – R(Y_i)\) a jejich čtverce:
\(d_1 = 7 – 1 = 6\)
\(d_2 = 3.5 – 4 = -0.5\)
\(d_3 = 2 – 6 = -4\)
\(d_4 = 5.5 – 2.5 = 3\)
\(d_5 = 1 – 7 = -6\)
\(d_6 = 3.5 – 5 = -1.5\)
\(d_7 = 5.5 – 2.5 = 3\)
\(\sum d_i^2 = 36 + 0.25 + 16 + 9 + 36 + 2.25 + 9 = 108.5\)
Počet párů \(n = 7\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 108.5}{7 \times (49 – 1)} = 1 – \frac{651}{7 \times 48} = 1 – \frac{651}{336} = 1 – 1.9375 = -0.9375\)
Koeficient přibližně \(-0.938\) značí velmi silnou negativní monotónní závislost mezi spokojeností zákazníků a počtem reklamací.
14. Měření rychlosti reakce a přesnosti u \(9\) osob:
Rychlost reakce (\(X\), ms): \(250\), \(300\), \(275\), \(260\), \(290\), \(310\), \(280\), \(265\), \(295\)
Přesnost (\(Y\), \%): \(90\), \(85\), \(88\), \(89\), \(87\), \(83\), \(89\), \(91\), \(86\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu \(14\):
Seřadíme \(X\) a přiřadíme pořadí:
\(X\): \(250\) (\(1\)), \(260\) (\(2\)), \(265\) (\(3\)), \(275\) (\(4\)), \(280\) (\(5\)), \(290\) (\(6\)), \(295\) (\(7\)), \(300\) (\(8\)), \(310\) (\(9\))
Pořadí \(X\) dle původních hodnot:
\(1\), \(8\), \(4\), \(2\), \(6\), \(9\), \(5\), \(3\), \(7\)
Seřadíme \(Y\) a přiřadíme pořadí:
\(Y\): \(83\) (\(1\)), \(85\) (\(2\)), \(86\) (\(3\)), \(87\) (\(4\)), \(88\) (\(5\)), \(89\) (\(6.5\)), \(89\) (\(6.5\)), \(90\) (\(8\)), \(91\) (\(9\))
Pořadí \(Y\) dle původních hodnot:
\(8\), \(2\), \(5\), \(6.5\), \(4\), \(1\), \(6.5\), \(9\), \(3\)
Vypočítáme rozdíly \(d_i = R(X_i) – R(Y_i)\) a jejich čtverce:
\(d_1 = 1 – 8 = -7\)
\(d_2 = 8 – 2 = 6\)
\(d_3 = 4 – 5 = -1\)
\(d_4 = 2 – 6.5 = -4.5\)
\(d_5 = 6 – 4 = 2\)
\(d_6 = 9 – 1 = 8\)
\(d_7 = 5 – 6.5 = -1.5\)
\(d_8 = 3 – 9 = -6\)
\(d_9 = 7 – 3 = 4\)
\(\sum d_i^2 = 49 + 36 + 1 + 20.25 + 4 + 64 + 2.25 + 36 + 16 = 228.5\)
Počet párů \(n = 9\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 228.5}{9 \times (81 – 1)} = 1 – \frac{1371}{9 \times 80} = 1 – \frac{1371}{720} = 1 – 1.904 = -0.904\)
Koeficient přibližně \(-0.904\) značí velmi silnou zápornou monotónní závislost mezi rychlostí reakce a přesností.
15. Pořadí finalistů v závodě a hodnocení rozhodčích u \(7\) závodníků:
Pořadí závodníků (\(X\)): \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\)
Hodnocení rozhodčích (\(Y\)): \(2\), \(1\), \(4\), \(3\), \(6\), \(5\), \(7\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu \(15\):
Pořadí \(X\) a \(Y\) jsou již dána:
\(X\): \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\)
\(Y\): \(2\), \(1\), \(4\), \(3\), \(6\), \(5\), \(7\)
Vypočítáme rozdíly \(d_i = R(X_i) – R(Y_i)\):
\(d_1 = 1 – 2 = -1\)
\(d_2 = 2 – 1 = 1\)
\(d_3 = 3 – 4 = -1\)
\(d_4 = 4 – 3 = 1\)
\(d_5 = 5 – 6 = -1\)
\(d_6 = 6 – 5 = 1\)
\(d_7 = 7 – 7 = 0\)
\(\sum d_i^2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 6\)
Počet párů \(n = 7\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 6}{7 \times (49 – 1)} = 1 – \frac{36}{7 \times 48} = 1 – \frac{36}{336} = 1 – 0.1071 = 0.8929\)
Koeficient přibližně \(0.893\) značí silnou pozitivní monotónní závislost mezi pořadím finalistů a hodnocením rozhodčích.
16. Měření spokojenosti studentů s výukou a jejich průměrné známky u \(8\) studentů:
Spokojenost (\(X\)): \(7\), \(9\), \(8\), \(6\), \(10\), \(5\), \(7\), \(8\)
Průměrná známka (\(Y\)): \(2\), \(1\), \(2\), \(3\), \(1\), \(4\), \(3\), \(2\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu \(16\):
Seřadíme hodnoty spokojenosti \(X\) a přiřadíme jim pořadí:
\(X\): \(5\) (\(1\)), \(6\) (\(2\)), \(7\) (\(3.5\)), \(7\) (\(3.5\)), \(8\) (\(5.5\)), \(8\) (\(5.5\)), \(9\) (\(7\)), \(10\) (\(8\))
Pořadí \(X\) dle původního pořadí dat: \(3.5\), \(7\), \(5.5\), \(2\), \(8\), \(1\), \(3.5\), \(5.5\)
Seřadíme hodnoty průměrných známek \(Y\) a přiřadíme pořadí (nižší známka = lepší pořadí):
\(Y\): \(1\) (\(1.5\)), \(1\) (\(1.5\)), \(2\) (\(3.5\)), \(2\) (\(3.5\)), \(2\) (\(3.5\)), \(3\) (\(6.5\)), \(3\) (\(6.5\)), \(4\) (\(8\))
Pořadí \(Y\) dle původního pořadí dat: \(3.5\), \(1.5\), \(3.5\), \(6.5\), \(1.5\), \(8\), \(6.5\), \(3.5\)
Vypočítáme rozdíly \(d_i = R(X_i) – R(Y_i)\) a jejich čtverce \(d_i^2\):
\(d_1 = 3.5 – 3.5 = 0\)
\(d_2 = 7 – 1.5 = 5.5\)
\(d_3 = 5.5 – 3.5 = 2\)
\(d_4 = 2 – 6.5 = -4.5\)
\(d_5 = 8 – 1.5 = 6.5\)
\(d_6 = 1 – 8 = -7\)
\(d_7 = 3.5 – 6.5 = -3\)
\(d_8 = 5.5 – 3.5 = 2\)
\(\sum d_i^2 = 0 + 30.25 + 4 + 20.25 + 42.25 + 49 + 9 + 4 = 158.75\)
Počet párů \(n = 8\)
Spearmanův korelační koeficient spočítáme podle vzorce:
\(r_s = 1 – \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 – 1)} \Rightarrow 1 – \frac{6 \times 158.75}{8 \times (64 – 1)} = 1 – \frac{952.5}{8 \times 63} = 1 – \frac{952.5}{504} = 1 – 1.89 = -0.89\)
Koeficient přibližně \(-0.89\) indikuje silnou negativní monotónní závislost mezi spokojeností a průměrnou známkou studentů.
17. Výsledky testů rychlosti čtení a počtu chyb u \(10\) studentů:
Rychlost čtení (\(X\), slova/min): \(120\), \(130\), \(125\), \(135\), \(128\), \(140\), \(122\), \(133\), \(129\), \(138\)
Počet chyb (\(Y\)): \(5\), \(3\), \(4\), \(2\), \(4\), \(1\), \(5\), \(2\), \(3\), \(1\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu \(17\):
Seřadíme rychlosti čtení (\(X\)) a přiřadíme pořadí:
\(X\): \(120\) (\(1\)), \(122\) (\(2\)), \(125\) (\(3\)), \(128\) (\(4\)), \(129\) (\(5\)), \(130\) (\(6\)), \(133\) (\(7\)), \(135\) (\(8\)), \(138\) (\(9\)), \(140\) (\(10\))
Pořadí \(X\) dle původního pořadí dat: \(1\), \(6\), \(3\), \(8\), \(4\), \(10\), \(2\), \(7\), \(5\), \(9\)
Seřadíme počet chyb (\(Y\)) a přiřadíme pořadí (nižší počet chyb = lepší pořadí):
\(Y\): \(1\) (\(1.5\)), \(1\) (\(1.5\)), \(2\) (\(3.5\)), \(2\) (\(3.5\)), \(3\) (\(5\)), \(3\) (\(5\)), \(4\) (\(7\)), \(4\) (\(7\)), \(5\) (\(9\)), \(5\) (\(9\))
Pořadí \(Y\) dle původního pořadí dat: \(9\), \(5\), \(7\), \(3.5\), \(7\), \(1.5\), \(9\), \(3.5\), \(5\), \(1.5\)
Vypočítáme rozdíly \(d_i = R(X_i) – R(Y_i)\) a jejich čtverce \(d_i^2\):
\(d_1 = 1 – 9 = -8\)
\(d_2 = 6 – 5 = 1\)
\(d_3 = 3 – 7 = -4\)
\(d_4 = 8 – 3.5 = 4.5\)
\(d_5 = 4 – 7 = -3\)
\(d_6 = 10 – 1.5 = 8.5\)
\(d_7 = 2 – 9 = -7\)
\(d_8 = 7 – 3.5 = 3.5\)
\(d_9 = 5 – 5 = 0\)
\(d_{10} = 9 – 1.5 = 7.5\)
\(\sum d_i^2 = 64 + 1 + 16 + 20.25 + 9 + 72.25 + 49 + 12.25 + 0 + 56.25 = 300\)
Počet párů \(n = 10\)
Spearmanův korelační koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 300}{10 \times (100 – 1)} = 1 – \frac{1800}{10 \times 99} = 1 – \frac{1800}{990} = 1 – 1.818 = -0.818\)
Koeficient přibližně \(-0.818\) znamená silnou negativní monotónní závislost mezi rychlostí čtení a počtem chyb.
18. Hodnocení kvality služeb a počtu stížností u \(6\) firem:
Kvalita služeb \((X)\): \(8\), \(9\), \(7\), \(6\), \(9\), \(7\)
Počet stížností \((Y)\): \(2\), \(1\), \(3\), \(4\), \(1\), \(3\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 18:
Seřadíme hodnoty kvality služeb X a přiřadíme pořadí:
X: \(6\) (\(1\)), \(7\) (\(2.5\)), \(7\) (\(2.5\)), \(8\) (\(4\)), \(9\) (\(5.5\)), \(9\) (\(5.5\))
Pořadí \(X\) dle původního pořadí dat: \(4\), \(5.5\), \(2.5\), \(1\), \(5.5\), \(2.5\)
Seřadíme hodnoty počtu stížností Y a přiřadíme pořadí (nižší počet = lepší pořadí):
Y: \(1\) (\(1.5\)), \(1\) (\(1.5\)), \(2\) (\(3\)), \(3\) (\(4.5\)), \(3\) (\(4.5\)), \(4\) (\(6\))
Pořadí \(Y\) dle původního pořadí dat: \(3\), \(1.5\), \(4.5\), \(6\), \(1.5\), \(4.5\)
Vypočítáme rozdíly \( d_i = R(X_i) – R(Y_i) \) a jejich čtverce \( d_i^2 \):
\( d_1 = 4 – 3 = 1 \)
\( d_2 = 5.5 – 1.5 = 4 \)
\( d_3 = 2.5 – 4.5 = -2 \)
\( d_4 = 1 – 6 = -5 \)
\( d_5 = 5.5 – 1.5 = 4 \)
\( d_6 = 2.5 – 4.5 = -2 \)
\( \sum d_i^2 = 1 + 16 + 4 + 25 + 16 + 4 = 66 \)
Počet párů \( n = 6 \)
Spearmanův korelační koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 66}{6 \times (36 – 1)} = 1 – \frac{396}{6 \times 35} = 1 – \frac{396}{210} = 1 – 1.886 = -0.886 \)
Koeficient asi \(-0.886\) znamená silnou negativní monotónní závislost mezi kvalitou služeb a počtem stížností.
19. Hodnocení spokojenosti zákazníků a počtu opakovaných nákupů v \(7\) firmách:
Spokojenost \((X)\): \(4\), \(7\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(5\)
Počet opakovaných nákupů \((Y)\): \(1\), \(3\), \(2\), \(2\), \(3\), \(4\), \(2\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 19:
Seřadíme hodnoty spokojenosti \(X\) a přiřadíme pořadí:
X: \(4\) (\(1\)), \(5\) (\(2.5\)), \(5\) (\(2.5\)), \(6\) (\(4\)), \(7\) (\(5.5\)), \(7\) (\(5.5\)), \(8\) (\(7\))
Pořadí X dle původního pořadí dat: \(1\), \(5.5\), \(2.5\), \(4\), \(5.5\), \(7\), \(2.5\)
Seřadíme hodnoty počtu opakovaných nákupů Y a přiřadíme pořadí:
Y: \(1\) (\(1\)), \(2\) (\(3.5\)), \(2\) (\(3.5\)), \(2\) (\(3.5\)), \(3\) (\(5.5\)), \(3\) (\(5.5\)), \(4\) (\(7\))
Pořadí Y dle původního pořadí dat: \(1\), \(5.5\), \(3.5\), \(3.5\), \(5.5\), \(7\), \(3.5\)
Vypočítáme rozdíly \( d_i = R(X_i) – R(Y_i) \) a jejich čtverce \( d_i^2 \):
\( d_1 = 1 – 1 = 0 \)
\( d_2 = 5.5 – 5.5 = 0 \)
\( d_3 = 2.5 – 3.5 = -1 \)
\( d_4 = 4 – 3.5 = 0.5 \)
\( d_5 = 5.5 – 5.5 = 0 \)
\( d_6 = 7 – 7 = 0 \)
\( d_7 = 2.5 – 3.5 = -1 \)
\( \sum d_i^2 = 0 + 0 + 1 + 0.25 + 0 + 0 + 1 = 2.25 \)
Počet párů \( n = 7 \)
Spearmanův korelační koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 2.25}{7 \times (49 – 1)} = 1 – \frac{13.5}{7 \times 48} = 1 – \frac{13.5}{336} = 1 – 0.04018 = 0.96 \)
Koeficient přibližně \(0.96\) značí velmi silnou pozitivní monotónní závislost mezi spokojeností a počtem opakovaných nákupů.
20. Výsledky sportovců v běhu (čas v sekundách) a počtu tréninkových hodin týdně:
Čas \((X)\): \(12.5\), \(13.0\), \(11.8\), \(12.2\), \(12.7\), \(11.9\)
Tréninkové hodiny \((Y)\): \(8\), \(7\), \(9\), \(8\), \(6\), \(9\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 20:
Seřadíme hodnoty času X (nižší je lepší) a přiřadíme pořadí:
X: \(11.8\) (\(1\)), \(11.9\) (\(2\)), \(12.2\) (\(3\)), \(12.5\) (\(4\)), \(12.7\) (\(5\)), \(13.0\) (\(6\))
Pořadí X dle původního pořadí dat: \(4\), \(6\), \(1\), \(3\), \(5\), \(2\)
Seřadíme tréninkové hodiny Y a přiřadíme pořadí:
Y: \(6\) (\(1\)), \(7\) (\(2\)), \(8\) (\(3.5\)), \(8\) (\(3.5\)), \(9\) (\(5.5\)), \(9\) (\(5.5\))
Pořadí Y dle původního pořadí dat: \(3.5\), \(2\), \(5.5\), \(3.5\), \(1\), \(5.5\)
Vypočítáme rozdíly \( d_i = R(X_i) – R(Y_i) \) a jejich čtverce \( d_i^2 \):
\( d_1 = 4 – 3.5 = 0.5 \)
\( d_2 = 6 – 2 = 4 \)
\( d_3 = 1 – 5.5 = -4.5 \)
\( d_4 = 3 – 3.5 = -0.5 \)
\( d_5 = 5 – 1 = 4 \)
\( d_6 = 2 – 5.5 = -3.5 \)
\( \sum d_i^2 = 0.25 + 16 + 20.25 + 0.25 + 16 + 12.25 = 65 \)
Počet párů \( n = 6 \)
Spearmanův korelační koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 65}{6 \times (36 – 1)} = 1 – \frac{390}{210} = 1 – 1.857 = -0.857 \)
Koeficient přibližně \(-0.857\) značí silnou negativní monotónní závislost mezi časem běhu a tréninkovými hodinami.
21. Máme data o počtu hodin tréninku týdně a počtu dosažených bodů v zápasech u \(6\) hráčů:
Hodiny tréninku \((X)\): \(4\), \(7\), \(3\), \(6\), \(5\), \(8\)
Body v zápasech \((Y)\): \(12\), \(20\), \(10\), \(18\), \(15\), \(22\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 21:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme jejich pořadí (ranky):
X: \(3\) (\(1\)), \(4\) (\(2\)), \(5\) (\(3\)), \(6\) (\(4\)), \(7\) (\(5\)), \(8\) (\(6\))
Y: \(10\) (\(1\)), \(12\) (\(2\)), \(15\) (\(3\)), \(18\) (\(4\)), \(20\) (\(5\)), \(22\) (\(6\))
Podle původních dat tedy pořadí:
X: \(4\) (\(2\)), \(7\) (\(5\)), \(3\) (\(1\)), \(6\) (\(4\)), \(5\) (\(3\)), \(8\) (\(6\))
Y: \(12\) (\(2\)), \(20\) (\(5\)), \(10\) (\(1\)), \(18\) (\(4\)), \(15\) (\(3\)), \(22\) (\(6\))
Vypočítáme rozdíly ranků \( d_i \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 2 – 2 = 0 \)
\( d_2 = 5 – 5 = 0 \)
\( d_3 = 1 – 1 = 0 \)
\( d_4 = 4 – 4 = 0 \)
\( d_5 = 3 – 3 = 0 \)
\( d_6 = 6 – 6 = 0 \)
\( \sum d_i^2 = 0 \)
Počet párů \( n = 6 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 0}{6 \times (36 – 1)} = 1 – 0 = 1 \)
Koeficient \( 1 \) znamená perfektní kladnou monotónní závislost mezi počtem hodin tréninku a dosaženými body.
22. Máme data o počtu přečtených knih za měsíc a průměrném počtu hodin spánku u \(5\) studentů:
Knihy za měsíc \((X)\): \(3\), \(5\), \(2\), \(4\), \(6\)
Hodiny spánku \((Y)\): \(7\), \(6\), \(8\), \(7\), \(5\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 22:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme jejich pořadí (ranky):
X: \(2\) (\(1\)), \(3\) (\(2\)), \(4\) (\(3\)), \(5\) (\(4\)), \(6\) (\(5\))
Y: \(5\) (\(1\)), \(6\) (\(2\)), \(7\) (\(3.5\)), \(7\) (\(3.5\)), \(8\) (\(5\))
Pořadí podle původních dat:
X: \(3\) (\(2\)), \(5\) (\(4\)), \(2\) (\(1\)), \(4\) (\(3\)), \(6\) (\(5\))
Y: \(7\) (\(3.5\)), \(6\) (\(2\)), \(8\) (\(5\)), \(7\) (\(3.5\)), \(5\) (\(1\))
Rozdíly ranků \( d_i \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 2 – 3.5 = -1.5 \), \( d_1^2 = 2.25 \)
\( d_2 = 4 – 2 = 2 \), \( d_2^2 = 4 \)
\( d_3 = 1 – 5 = -4 \), \( d_3^2 = 16 \)
\( d_4 = 3 – 3.5 = -0.5 \), \( d_4^2 = 0.25 \)
\( d_5 = 5 – 1 = 4 \), \( d_5^2 = 16 \)
\( \sum d_i^2 = 2.25 + 4 + 16 + 0.25 + 16 = 38.5 \)
Počet párů \( n = 5 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 38.5}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{231}{120} = 1 – 1.925 = -0.925 \)
Koeficient přibližně \(-0.925\) znamená velmi silnou negativní monotónní závislost mezi počtem přečtených knih a průměrným spánkem.
23. Máme data o věku zaměstnanců a jejich počtu odpracovaných hodin týdně u \(7\) lidí:
Věk \((X)\): \(25\), \(40\), \(30\), \(35\), \(28\), \(50\), \(45\)
Odpracované hodiny \((Y)\): \(40\), \(35\), \(38\), \(37\), \(39\), \(30\), \(33\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 23:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme pořadí (ranky):
X: \(25\) (\(1\)), \(28\) (\(2\)), \(30\) (\(3\)), \(35\) (\(4\)), \(40\) (\(5\)), \(45\) (\(6\)), \(50\) (\(7\))
Y: \(30\) (\(1\)), \(33\) (\(2\)), \(35\) (\(3\)), \(37\) (\(4\)), \(38\) (\(5\)), \(39\) (\(6\)), \(40\) (\(7\))
Pořadí podle původních dat:
X: \(25\) (\(1\)), \(40\) (\(5\)), \(30\) (\(3\)), \(35\) (\(4\)), \(28\) (\(2\)), \(50\) (\(7\)), \(45\) (\(6\))
Y: \(40\) (\(7\)), \(35\) (\(3\)), \(38\) (\(5\)), \(37\) (\(4\)), \(39\) (\(6\)), \(30\) (\(1\)), \(33\) (\(2\))
Rozdíly ranků \( d_i \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 1 – 7 = -6 \), \( d_1^2 = 36 \)
\( d_2 = 5 – 3 = 2 \), \( d_2^2 = 4 \)
\( d_3 = 3 – 5 = -2 \), \( d_3^2 = 4 \)
\( d_4 = 4 – 4 = 0 \), \( d_4^2 = 0 \)
\( d_5 = 2 – 6 = -4 \), \( d_5^2 = 16 \)
\( d_6 = 7 – 1 = 6 \), \( d_6^2 = 36 \)
\( d_7 = 6 – 2 = 4 \), \( d_7^2 = 16 \)
Součet \( \sum d_i^2 = 36 + 4 + 4 + 0 + 16 + 36 + 16 = 112 \)
Počet párů \( n = 7 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 112}{7 \times (49 – 1)} = 1 – \frac{672}{336} = 1 – 2 = -1 \)
Koeficient \(-1\) znamená perfektní negativní monotónní závislost mezi věkem a odpracovanými hodinami.
24. Máme data o počtu vyrobených výrobků za den a počtu reklamací za týden u \(6\) továren:
Vyrobené výrobky \((X)\): \(100\), \(150\), \(120\), \(180\), \(140\), \(160\)
Reklamace \((Y)\): \(5\), \(3\), \(4\), \(2\), \(3\), \(1\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 24:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme pořadí (ranky):
X: \(100\) (\(1\)), \(120\) (\(2\)), \(140\) (\(3\)), \(150\) (\(4\)), \(160\) (\(5\)), \(180\) (\(6\))
\(Y\): \(1\) (\(1\)), \(2\) (\(2\)), \(3\) (\(3.5\)), \(3\) (\(3.5\)), \(4\) (\(5\)), \(5\) (\(6\))
Pořadí podle původních dat:
\(X\): \(100\) (\(1\)), \(150\) (\(4\)), \(120\) (\(2\)), \(180\) (\(6\)), \(140\) (\(3\)), \(160\) (\(5\))
Y: \(5\) (\(6\)), \(3\) (\(3.5\)), \(4\) (\(5\)), \(2\) (\(2\)), \(3\) (\(3.5\)), \(1\) (\(1\))
Rozdíly ranků \( d_i \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 1 – 6 = -5 \), \( d_1^2 = 25 \)
\( d_2 = 4 – 3.5 = 0.5 \), \( d_2^2 = 0.25 \)
\( d_3 = 2 – 5 = -3 \), \( d_3^2 = 9 \)
\( d_4 = 6 – 2 = 4 \), \( d_4^2 = 16 \)
\( d_5 = 3 – 3.5 = -0.5 \), \( d_5^2 = 0.25 \)
\( d_6 = 5 – 1 = 4 \), \( d_6^2 = 16 \)
Součet \( \sum d_i^2 = 25 + 0.25 + 9 + 16 + 0.25 + 16 = 66.5 \)
Počet párů \( n = 6 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 66.5}{6 \times (36 – 1)} = 1 – \frac{399}{210} = 1 – 1.9 = -0.9 \)
Koeficient přibližně \(-0.9\) znamená velmi silnou negativní monotónní závislost mezi počtem výrobků a počtem reklamací.
25. Data o hodnocení spokojenosti zákazníků \((1\) až \(7)\) a počtu reklamací za měsíc u \(7\) obchodů:
Spokojenost \((X)\): \(6\), \(5\), \(7\), \(4\), \(3\), \(5\), \(6\)
Reklamace \((Y)\): \(1\), \(2\), \(0\), \(3\), \(4\), \(2\), \(1\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 25:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme pořadí (ranky):
X: \(3\) (\(1\)), \(4\) (\(2\)), \(5\) (\(3.5\)), \(5\) (\(3.5\)), \(6\) (\(5.5\)), \(6\) (\(5.5\)), \(7\) (\(7\))
Y: \(0\) (\(1\)), \(1\) (\(2.5\)), \(1\) (\(2.5\)), \(2\) (\(4.5\)), \(2\) (\(4.5\)), \(3\) (\(6\)), \(4\) (\(7\))
Pořadí podle původních dat:
X: \(6\) (\(5.5\)), \(5\) (\(3.5\)), \(7\) (\(7\)), \(4\) (\(2\)), \(3\) (\(1\)), \(5\) (\(3.5\)), \(6\) (\(5.5\))
Y: \(1\) (\(2.5\)), \(2\) (\(4.5\)), \(0\) (\(1\)), \(3\) (\(6\)), \(4\) (\(7\)), \(2\) (\(4.5\)), \(1\) (\(2.5\))
Rozdíly ranků \( d_i \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 5.5 – 2.5 = 3 \), \( d_1^2 = 9 \)
\( d_2 = 3.5 – 4.5 = -1 \), \( d_2^2 = 1 \)
\( d_3 = 7 – 1 = 6 \), \( d_3^2 = 36 \)
\( d_4 = 2 – 6 = -4 \), \( d_4^2 = 16 \)
\( d_5 = 1 – 7 = -6 \), \( d_5^2 = 36 \)
\( d_6 = 3.5 – 4.5 = -1 \), \( d_6^2 = 1 \)
\( d_7 = 5.5 – 2.5 = 3 \), \( d_7^2 = 9 \)
Součet \( \sum d_i^2 = 9 + 1 + 36 + 16 + 36 + 1 + 9 = 108 \)
Počet párů \( n = 7 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 108}{7 \times (49 – 1)} = 1 – \frac{648}{336} = 1 – 1.9286 = -0.9286 \)
Koeficient přibližně \(-0.93\) ukazuje silnou negativní monotónní závislost mezi spokojeností zákazníků a počtem reklamací.
26. Máme data o počtu hodin strávených učením \((X)\) a počtu správných odpovědí v testu \((Y)\):
Učení \((X)\): \(2\), \(4\), \(3\), \(5\), \(1\)
Správné odpovědi \((Y)\): \(50\), \(80\), \(70\), \(90\), \(40\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 26:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme jejich pořadí (ranky):
X: \(1\) (\(1\)), \(2\) (\(2\)), \(3\) (\(3\)), \(4\) (\(4\)), \(5\) (\(5\))
Y: \(40\) (\(1\)), \(50\) (\(2\)), \(70\) (\(3\)), \(80\) (\(4\)), \(90\) (\(5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \( d_i \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 2 – 2 = 0 \)
\( d_2 = 4 – 4 = 0 \)
\( d_3 = 3 – 3 = 0 \)
\( d_4 = 5 – 5 = 0 \)
\( d_5 = 1 – 1 = 0 \)
\( \sum d_i^2 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)
Počet párů \( n = 5 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 0}{5 \times (25 – 1)} = 1 – 0 = 1 \)
Koeficient \(1\) znamená dokonalou kladnou monotonní závislost mezi počtem hodin učením a počtem správných odpovědí.
27. Data o počtu prodaných knih (\(X\)) a výši tržeb v tisících (\(Y\)):
Knihy (\(X\)): \(10\), \(15\), \(12\), \(20\), \(18\)
Tržby (\(Y\)): \(100\), \(150\), \(130\), \(200\), \(180\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 27:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme pořadí (ranky):
\(X\): \(10\) (\(1\)), \(12\) (\(2\)), \(15\) (\(3\)), \(18\) (\(4\)), \(20\) (\(5\))
\(Y\): \(100\) (\(1\)), \(130\) (\(2\)), \(150\) (\(3\)), \(180\) (\(4\)), \(200\) (\(5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\) a jejich čtverce:
\(d_1 = 1 – 1 = 0\)
\(d_2 = 3 – 3 = 0\)
\(d_3 = 2 – 2 = 0\)
\(d_4 = 5 – 5 = 0\)
\(d_5 = 4 – 4 = 0\)
\(\sum d_i^2 = 0\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 0}{5 \times (25 – 1)} = 1\)
Koeficient \(1\) znamená perfektní pozitivní monotónní závislost mezi počtem prodaných knih a tržbami.
28. Data o věku zaměstnanců (\(X\)) a jejich počtu odpracovaných let ve firmě (\(Y\)):
Věk (\(X\)): \(25\), \(30\), \(35\), \(40\), \(45\)
Odpracované roky (\(Y\)): \(2\), \(5\), \(7\), \(10\), \(12\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 28:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určujeme pořadí (ranky):
\(X\): \(25\) (\(1\)), \(30\) (\(2\)), \(35\) (\(3\)), \(40\) (\(4\)), \(45\) (\(5\))
\(Y\): \(2\) (\(1\)), \(5\) (\(2\)), \(7\) (\(3\)), \(10\) (\(4\)), \(12\) (\(5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\) a jejich čtverce:
\(d_i = 0\) pro všechna \(i\), protože pořadí jsou stejná
\(\sum d_i^2 = 0\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 0}{5 \times (25 – 1)} = 1\)
Koeficient \(1\) znamená dokonalou pozitivní monotónní závislost mezi věkem zaměstnanců a odpracovanými lety.
29. Data o denním počtu prodaných lístků na koncert (\(X\)) a počtu návštěvníků (\(Y\)):
Lístky (\(X\)): \(100\), \(120\), \(110\), \(130\), \(125\)
Návštěvníci (\(Y\)): \(90\), \(110\), \(105\), \(115\), \(120\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 29:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme pořadí (ranky):
\(X\): \(100\) (\(1\)), \(110\) (\(2\)), \(120\) (\(3\)), \(125\) (\(4\)), \(130\) (\(5\))
\(Y\): \(90\) (\(1\)), \(105\) (\(2\)), \(110\) (\(3\)), \(115\) (\(4\)), \(120\) (\(5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\) a jejich čtverce:
\(d_i = 0\) pro všechna \(i\)
\(\sum d_i^2 = 0\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 0}{5 \times (25 – 1)} = 1\)
Koeficient \(1\) ukazuje perfektní pozitivní monotónní závislost mezi počtem prodaných lístků a návštěvností.
30. Data o počtu hodin sportování týdně (\(X\)) a indexu tělesné kondice (\(Y\)):
Hodiny sportu (\(X\)): \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\)
Kondice (\(Y\)): \(60\), \(65\), \(70\), \(75\), \(80\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 30:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme pořadí (ranky):
\(X\): \(1\) (\(1\)), \(2\) (\(2\)), \(3\) (\(3\)), \(4\) (\(4\)), \(5\) (\(5\))
\(Y\): \(60\) (\(1\)), \(65\) (\(2\)), \(70\) (\(3\)), \(75\) (\(4\)), \(80\) (\(5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\) a jejich čtverce:
\(d_i = 0\) pro všechna \(i\)
\(\sum d_i^2 = 0\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 0}{5 \times (25 – 1)} = 1\)
Koeficient \(1\) znamená dokonalou kladnou monotónní závislost mezi počtem hodin sportování a tělesnou kondicí.
31. Máme data o počtu hodin studia (\(X\)) a dosaženém počtu bodů v testu (\(Y\)):
Hodiny studia (\(X\)): \(2\), \(4\), \(3\), \(5\), \(6\)
Body v testu (\(Y\)): \(50\), \(70\), \(65\), \(80\), \(85\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 31:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme jejich pořadí (ranky):
\(X\): \(2\) (\(1\)), \(3\) (\(2\)), \(4\) (\(3\)), \(5\) (\(4\)), \(6\) (\(5\))
\(Y\): \(50\) (\(1\)), \(65\) (\(2\)), \(70\) (\(3\)), \(80\) (\(4\)), \(85\) (\(5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\) a jejich čtverce:
\(d_1 = 1 – 1 = 0\)
\(d_2 = 3 – 2 = 1\)
\(d_3 = 2 – 3 = -1\)
\(d_4 = 4 – 4 = 0\)
\(d_5 = 5 – 5 = 0\)
\(\sum d_i^2 = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 = 2\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 2}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{12}{120} = 0.9\)
Koeficient \(0,9\) značí velmi silnou kladnou monotónní závislost mezi počtem hodin studia a dosaženými body.
32. Data o věku (\(X\)) a počtu přečtených knih za rok (\(Y\)):
Věk (\(X\)): \(12\), \(15\), \(14\), \(16\), \(13\)
Knihy (\(Y\)): \(4\), \(6\), \(5\), \(8\), \(5\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 32:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme jejich pořadí (ranky):
\(X\): \(12\) (\(1\)), \(13\) (\(2\)), \(14\) (\(3\)), \(15\) (\(4\)), \(16\) (\(5\))
\(Y\): \(4\) (\(1\)), \(5\) (\(2.5\)), \(5\) (\(2.5\)), \(6\) (\(4\)), \(8\) (\(5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\) a jejich čtverce:
\(d_1 = 1 – 1 = 0\)
\(d_2 = 4 – 4 = 0\)
\(d_3 = 3 – 2.5 = 0.5\)
\(d_4 = 5 – 5 = 0\)
\(d_5 = 2 – 2.5 = -0.5\)
\(\sum d_i^2 = 0 + 0 + 0.25 + 0 + 0.25 = 0.5\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 0.5}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{3}{120} = 0.975\)
Koeficient \(0,975\) znamená velmi silnou pozitivní monotónní závislost mezi věkem a počtem přečtených knih.
33. Data o teplotě (\(X\)) a prodejích zmrzliny (\(Y\)) v několika dnech:
Teplota (\(X\)) (°C): \(20\), \(22\), \(21\), \(25\), \(23\)
Prodej zmrzliny (\(Y\)): \(100\), \(120\), \(110\), \(150\), \(130\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 33:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme jejich pořadí (ranky):
\(X\): \(20\) (\(1\)), \(21\) (\(2\)), \(22\) (\(3\)), \(23\) (\(4\)), \(25\) (\(5\))
\(Y\): \(100\) (\(1\)), \(110\) (\(2\)), \(120\) (\(3\)), \(130\) (\(4\)), \(150\) (\(5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\) a jejich čtverce:
\(d_1 = 1 – 1 = 0\)
\(d_2 = 3 – 4 = -1\)
\(d_3 = 2 – 2 = 0\)
\(d_4 = 5 – 5 = 0\)
\(d_5 = 4 – 3 = 1\)
\(\sum d_i^2 = 0^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 = 2\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 2}{5 \times (25 – 1)} = 0.9\)
Koeficient \(0,9\) znamená velmi silnou kladnou monotónní závislost mezi teplotou a prodejem zmrzliny.
34. Data o počtu cvičení (\(X\)) a spalování kalorií (\(Y\)) u sportovců:
Cvičení (\(X\)): \(1\), \(3\), \(2\), \(4\), \(5\)
Spálené kalorie (\(Y\)): \(200\), \(600\), \(400\), \(800\), \(1000\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 34:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme jejich pořadí (ranky):
\(X\): \(1\) (\(1\)), \(2\) (\(2\)), \(3\) (\(3\)), \(4\) (\(4\)), \(5\) (\(5\))
\(Y\): \(200\) (\(1\)), \(400\) (\(2\)), \(600\) (\(3\)), \(800\) (\(4\)), \(1000\) (\(5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\) a jejich čtverce:
\(d_1 = 1 – 1 = 0\)
\(d_2 = 3 – 2 = 1\)
\(d_3 = 2 – 3 = -1\)
\(d_4 = 4 – 4 = 0\)
\(d_5 = 5 – 5 = 0\)
\(\sum d_i^2 = 0 + 1 + 1 + 0 + 0 = 2\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 2}{5 \times 24} = 0.9\)
Koeficient \(0,9\) značí velmi silnou kladnou monotónní závislost mezi počtem cvičení a spálenými kaloriemi.
35. Data o počtu hodin spánku (\(X\)) a soustředění během dne (\(Y\)) u studentů:
Hodiny spánku (\(X\)): \(6\), \(8\), \(7\), \(5\), \(9\)
Soustředění (\(Y\)): \(60\), \(80\), \(70\), \(50\), \(90\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 35:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme jejich pořadí (ranky):
\(X\): \(5\) (\(1\)), \(6\) (\(2\)), \(7\) (\(3\)), \(8\) (\(4\)), \(9\) (\(5\))
\(Y\): \(50\) (\(1\)), \(60\) (\(2\)), \(70\) (\(3\)), \(80\) (\(4\)), \(90\) (\(5\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\) a jejich čtverce:
\(d_1 = 2 – 2 = 0\)
\(d_2 = 4 – 4 = 0\)
\(d_3 = 3 – 3 = 0\)
\(d_4 = 1 – 1 = 0\)
\(d_5 = 5 – 5 = 0\)
\(\sum d_i^2 = 0\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 0}{5 \times 24} = 1\)
Koeficient \(1\) znamená dokonalou kladnou monotónní závislost mezi počtem hodin spánku a soustředěním během dne.
36. Máme data o počtu hodin studia a známkách z testu:
Hodiny studia \((X)\): \(2\), \(4\), \(6\), \(8\), \(10\)
Známky \((Y)\): \(50\), \(55\), \(45\), \(60\), \(50\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 36:
Seřadíme data podle X a Y a určíme pořadí (ranky):
X: \(2\) (1), \(4\) (2), \(6\) (3), \(8\) (4), \(10\) (5)
Y: \(45\) (1), \(50\) (2.5), \(50\) (2.5), \(55\) (4), \(60\) (5)
Pro Y mají hodnoty \(50\) stejný rank (dva prvky na \(2.\) a \(3.\) místě => průměr ranků \(2.5\))
Rozdíly ranků \(d_i\) a jejich čtverce:
\(d_1 = 1 – 2.5 = -1.5\)
\(d_2 = 2 – 4 = -2\)
\(d_3 = 3 – 2.5 = 0.5\)
\(d_4 = 4 – 5 = -1\)
\(d_5 = 5 – 1 = 4\)
\(\sum d_i^2 = (-1.5)^2 + (-2)^2 + 0.5^2 + (-1)^2 + 4^2 = 2.25 + 4 + 0.25 + 1 + 16 = 23.5\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 23.5}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{141}{120} = 1 – 1.175 = -0.175\)
Koeficient \(-0.175\) znamená velmi slabou zápornou monotonní závislost mezi hodinami studia a známkami.
37. Máme data o počtu návštěv posilovny týdně a váze (kg):
Návštěvy \((X)\): \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\)
Váha \((Y)\): \(80\), \(78\), \(82\), \(77\), \(79\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 37:
Pořadí podle X a Y:
\(X\): \(1\) (1), \(2\) (2), \(3\) (3), \(4\) (4), \(5\) (5)
\(Y\): \(77\) (1), \(78\) (2), \(79\) (3), \(80\) (4), \(82\) (5)
Ranky pro Y jsou podle váhy seřazeny vzestupně.
Rozdíly ranků \(d_i\):
\(d_1 = 1 – 4 = -3\)
\(d_2 = 2 – 2 = 0\)
\(d_3 = 3 – 5 = -2\)
\(d_4 = 4 – 1 = 3\)
\(d_5 = 5 – 3 = 2\)
\(\sum d_i^2 = 9 + 0 + 4 + 9 + 4 = 26\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 26}{5 \times 24} = 1 – \frac{156}{120} = 1 – 1.3 = -0.3\)
Koeficient \(-0.3\) značí slabou zápornou monotonní závislost mezi návštěvami posilovny a váhou.
38. Data o počtu hodin sledování televize a počtu přečtených knih za měsíc:
Hodiny sledování \(X\): \(10\), \(5\), \(15\), \(7\), \(3\)
Knihy přečtené \(Y\): \(2\), \(4\), \(1\), \(3\), \(5\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 38:
Pořadí dat podle X a Y:
\(X\): \(3\) (1), \(5\) (2), \(7\) (3), \(10\) (4), \(15\) (5)
\(Y\): \(1\) (1), \(2\) (2), \(3\) (3), \(4\) (4), \(5\) (5)
Porovnáme ranky v původním pořadí:
Pro jednotlivé \(d_i\):
\(d_1 = 4 – 2 = 2\)
\(d_2 = 2 – 4 = -2\)
\(d_3 = 5 – 1 = 4\)
\(d_4 = 3 – 3 = 0\)
\(d_5 = 1 – 5 = -4\)
\(\sum d_i^2 = 4 + 4 + 16 + 0 + 16 = 40\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 40}{5 \times 24} = 1 – \frac{240}{120} = 1 – 2 = -1\)
Výsledek je \(-1\), což značí dokonalou zápornou monotonní závislost (extrémní případ).
39. Data o věku a počtu hodin strávených na internetu týdně:
Věk (\(X\)): \(15\), \(18\), \(20\), \(22\), \(25\)
Hodiny na internetu (\(Y\)): \(10\), \(9\), \(15\), \(7\), \(8\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 39:
Pořadí dat podle \(X\) a \(Y\):
\(X\): \(15\) (\(1\)), \(18\) (\(2\)), \(20\) (\(3\)), \(22\) (\(4\)), \(25\) (\(5\))
\(Y\): \(7\) (\(1\)), \(8\) (\(2\)), \(9\) (\(3\)), \(10\) (\(4\)), \(15\) (\(5\))
Ranky ve skutečnosti:
Pro \(d_i\):
\(d_1 = 1 – 4 = -3\)
\(d_2 = 2 – 3 = -1\)
\(d_3 = 3 – 5 = -2\)
\(d_4 = 4 – 1 = 3\)
\(d_5 = 5 – 2 = 3\)
\(\sum d_i^2 = 9 + 1 + 4 + 9 + 9 = 32\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 32}{5 \times 24} = 1 – \frac{192}{120} = 1 – 1.6 = -0.6\)
Koeficient \(-0.6\) znamená střední zápornou monotonní závislost mezi věkem a hodinami na internetu.
40. Data o počtu konzumovaných knih za rok a počtu hodin čtení týdně:
Knihy (\(X\)): \(4\), \(3\), \(5\), \(2\), \(1\)
Hodiny čtení (\(Y\)): \(3\), \(4\), \(2\), \(5\), \(1\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 40:
Pořadí podle \(X\) a \(Y\):
\(X\): \(1\) (\(5\)), \(2\) (\(4\)), \(3\) (\(2\)), \(4\) (\(1\)), \(5\) (\(3\))
\(Y\): \(1\) (\(5\)), \(2\) (\(3\)), \(3\) (\(1\)), \(4\) (\(2\)), \(5\) (\(4\))
Ranky jsou tedy:
\(d_1 = 5 – 5 = 0\)
\(d_2 = 4 – 2 = 2\)
\(d_3 = 2 – 3 = -1\)
\(d_4 = 1 – 1 = 0\)
\(d_5 = 3 – 4 = -1\)
\(\sum d_i^2 = 0 + 4 + 1 + 0 + 1 = 6\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 6}{5 \times 24} = 1 – \frac{36}{120} = 1 – 0.3 = 0.7\)
Koeficient \(0.7\) znamená střední kladnou monotonní závislost mezi počtem konzumovaných knih a hodinami čtení.
41. Máme data o počtu hodin strávených učením (\(X\)) a počtu chyb v testu (\(Y\)):
Hodiny (\(X\)): \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\)
Chyby (\(Y\)): \(9\), \(7\), \(6\), \(5\), \(3\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 41:
Seřadíme data podle hodnot \(X\) a \(Y\) a určíme jejich pořadí (ranky):
\(X\): \(1\) (\(1\)), \(2\) (\(2\)), \(3\) (\(3\)), \(4\) (\(4\)), \(5\) (\(5\))
\(Y\): \(9\) (\(5\)), \(7\) (\(4\)), \(6\) (\(3\)), \(5\) (\(2\)), \(3\) (\(1\))
Vypočítáme rozdíly ranků \(d_i\) a jejich čtverce:
\(d_1 = 1 – 5 = -4\)
\(d_2 = 2 – 4 = -2\)
\(d_3 = 3 – 3 = 0\)
\(d_4 = 4 – 2 = 2\)
\(d_5 = 5 – 1 = 4\)
\(\sum d_i^2 = (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40\)
Počet párů \(n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\(r_s = 1 – \frac{6 \times 40}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{240}{120} = 1 – 2 = -1\)
Tady nám koeficient vyšel \(-1\), což značí silnou opačnou (negativní) monotonní závislost — více hodin znamená méně chyb.
42. Data o teplotě (°C) během dne (\(X\)) a prodeji zmrzliny (\(Y\)):
Teplota (\(X\)): \(10\), \(15\), \(20\), \(25\), \(30\)
Prodej (\(Y\)): \(20\), \(21\), \(19\), \(22\), \(25\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 42:
Určíme pořadí (ranky) pro \(X\) a \(Y\):
\(X\): \(10\) (1), \(15\) (2), \(20\) (3), \(25\) (4), \(30\) (5)
\(Y\): \(19\) (1), \(20\) (2), \(21\) (3), \(22\) (4), \(25\) (5)
Rozdíly ranků \( d_i \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 1 – 2 = -1 \)
\( d_2 = 2 – 3 = -1 \)
\( d_3 = 3 – 1 = 2 \)
\( d_4 = 4 – 4 = 0 \)
\( d_5 = 5 – 5 = 0 \)
\( \sum d_i^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2 + 0^2 = 1 + 1 + 4 + 0 + 0 = 6 \)
Počet párů \( n = 5 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 6}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{36}{120} = 1 – 0.3 = 0.7 \)
Koeficient \(0.7\) značí středně silnou kladnou monotonní závislost.
43. Data o počtu hodin cvičení týdně (\(X\)) a měsíční váze (kg) (\(Y\)):
Hodiny (\(X\)): \(0\), \(1\), \(3\), \(2\), \(4\)
Váha (\(Y\)): \(80\), \(79\), \(75\), \(77\), \(74\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 43:
Určíme pořadí hodnot \(X\) a \(Y\):
\(X\): \(0\) (1), \(1\) (2), \(2\) (3), \(3\) (4), \(4\) (5)
\(Y\): \(80\) (5), \(79\) (4), \(77\) (3), \(75\) (2), \(74\) (1)
Rozdíly ranků \( d_i \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 1 – 5 = -4 \)
\( d_2 = 2 – 4 = -2 \)
\( d_3 = 4 – 2 = 2 \)
\( d_4 = 3 – 3 = 0 \)
\( d_5 = 5 – 1 = 4 \)
\( \sum d_i^2 = 16 + 4 + 4 + 0 + 16 = 40 \)
Počet párů \( n = 5 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 40}{5 \times 24} = 1 – \frac{240}{120} = 1 – 2 = -1 \)
Negativní koeficient \(-1\) znamená silnou negativní monotónní závislost – více cvičení znamená nižší váhu.
44. Data o počtu přečtených knih za rok (\(X\)) a počtu chyb v testu (\(Y\)):
Knihy (\(X\)): \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\)
Chyby (\(Y\)): \(8\), \(7\), \(6\), \(5\), \(5\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 44:
Pořadí \(X\):
\(1\) (1), \(2\) (2), \(3\) (3), \(4\) (4), \(5\) (5)
Pořadí \(Y\) (pro hodnotu \(5\) máme dvě hodnoty, takže průměr ranků):
\(8\) (5), \(7\) (4), \(6\) (3), \(5\) (1.5), \(5\) (1.5)
Rozdíly ranků \( d_i \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 1 – 5 = -4 \)
\( d_2 = 2 – 4 = -2 \)
\( d_3 = 3 – 3 = 0 \)
\( d_4 = 4 – 1.5 = 2.5 \)
\( d_5 = 5 – 1.5 = 3.5 \)
\( \sum d_i^2 = 16 + 4 + 0 + 6.25 + 12.25 = 38.5 \)
Počet párů \( n = 5 \)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 38.5}{5 \times 24} = 1 – \frac{231}{120} = 1 – 1.925 = -0.925 \)
Koeficient blízko \(-1\) znamená silnou negativní závislost mezi počtem přečtených knih a chybami.
45. Data o čase stráveném hraním na počítači (X) a známce z matematiky (Y):
Hraní (X): \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\)
Známky (Y): \(3\), \(3\), \(2\), \(1\), \(1\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 45:
Pořadí X:
\(1\) (1), \(2\) (2), \(3\) (3), \(4\) (4), \(5\) (5)
Pořadí Y (známky 1 a 3 se opakují):
\(3\) (4.5), \(3\) (4.5), \(2\) (3), \(1\) (1.5), \(1\) (1.5)
Rozdíly ranků \( d_i \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 1 – 4.5 = -3.5\)
\( d_2 = 2 – 4.5 = -2.5\)
\( d_3 = 3 – 3 = 0\)
\( d_4 = 4 – 1.5 = 2.5\)
\( d_5 = 5 – 1.5 = 3.5\)
\(\sum d_i^2 = 12.25 + 6.25 + 0 + 6.25 + 12.25 = 37\)
Počet párů \( n = 5\)
Spearmanův koeficient:
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 37}{5 \times 24} = 1 – \frac{222}{120} = 1 – 1.85 = -0.85 \)
Koeficient přibližně \(-0.85\) ukazuje výraznou negativní závislost mezi hraním na počítači a známkami.
46. Máme data o počtu hodin sledování televize za týden (X) a počtu přečtených knih za měsíc \((Y)\):
TV (X): \(5\), \(10\), \(15\), \(20\), \(25\)
Knihy (Y): \(4\), \(3\), \(3\), \(2\), \(1\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 46:
Seřadíme hodnoty a určíme jejich pořadí:
X: \(5\) (1), \(10\) (2), \(15\) (3), \(20\) (4), \(25\) (5)
Y: \(1\) (5), \(2\) (4), \(3\) (2.5), \(3\) (2.5), \(4\) (1)
Pořadí Y bylo upraveno pro shodu dvou stejných hodnot (3) → průměrné pořadí \(2.5\)
Vypočítáme rozdíly \( d_i \) a jejich čtverce:
\( d_1 = 1 – 1 = 0\), \( d_2 = 2 – 2.5 = -0.5\), \( d_3 = 3 – 2.5 = 0.5\), \( d_4 = 4 – 4 = 0\), \( d_5 = 5 – 5 = 0\)
\(\sum d_i^2 = 0^2 + (-0.5)^2 + 0.5^2 + 0^2 + 0^2 = 0.5\)
\( n = 5\)
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 0.5}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{3}{120} = 1 – 0.025 = 0.975 \)
Přestože vztah je negativní, shoda v pořadí částečně zachována → vysoká negativní závislost, ale protože pořadí nejsou zcela obrácená, výsledek je mírně pod \(1\).
47. Máme data o počtu reklamních emailů obdržených týdně \((X)\) a náladě respondenta \((Y)\), hodnocené od \(1\) do \(10\):
Emailů (X): \(2\), \(5\), \(8\), \(12\), \(20\)
Nálada (Y): \(8\), \(7\), \(5\), \(4\), \(2\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 47:
Pořadí:
X: \(2\) (1), \(5\) (2), \(8\) (3), \(12\) (4), \(20\) (5)
Y: \(2\) (5), \(4\) (4), \(5\) (3), \(7\) (2), \(8\) (1)
\( d_1 = 1 – 5 = -4\), \( d_2 = 2 – 4 = -2\), \( d_3 = 3 – 3 = 0\), \( d_4 = 4 – 2 = 2\), \( d_5 = 5 – 1 = 4\)
\(\sum d_i^2 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40\)
\( r_s = 1 – \frac{6 \times 40}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{240}{120} = 1 – 2 = -1 \)
Výsledek je přesně \(-1\), tedy dokonalá negativní závislost.
48. Máme data o počtu vypitých šálků kávy za den (\(X\)) a počtu hodin soustředění při práci (\(Y\)):
Káva (\(X\)): \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\)
Soustředění (\(Y\)): \(2\), \(3\), \(2.5\), \(2.8\), \(2.4\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 48:
Pořadí:
\(X\): \(1\) (\(1\)), \(2\) (\(2\)), \(3\) (\(3\)), \(4\) (\(4\)), \(5\) (\(5\))
\(Y\): \(2\) (\(1\)), \(2.4\) (\(2\)), \(2.5\) (\(3\)), \(2.8\) (\(4\)), \(3\) (\(5\))
\(d_i = X_i – Y_i\) podle pořadí: \(d_1 = 1 – 1 = 0\), \(d_2 = 2 – 2 = 0\), \(d_3 = 3 – 3 = 0\), \(d_4 = 4 – 4 = 0\), \(d_5 = 5 – 5 = 0\)
\(\sum d_i^2 = 0\)
\(r_s = 1 – \frac{6 \cdot 0}{5(25 – 1)} = 1\)
Vztah je dokonale pozitivně monotonní. Výsledek je \(1\).
49. Máme data o počtu nachozených kroků za den (\(X\)) a počtu hodin spánku následující noc (\(Y\)):
Kroky (\(X\)): \(3000\), \(5000\), \(7000\), \(10000\), \(15000\)
Spánek (\(Y\)): \(6.5\), \(6.8\), \(6.6\), \(6.9\), \(6.7\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 49:
Pořadí \(X\): \(3000\) (\(1\)), \(5000\) (\(2\)), \(7000\) (\(3\)), \(10000\) (\(4\)), \(15000\) (\(5\))
Pořadí \(Y\): \(6.5\) (\(1\)), \(6.6\) (\(2\)), \(6.7\) (\(3\)), \(6.8\) (\(4\)), \(6.9\) (\(5\))
\(d_i = 0\) pro všechna pozorování → perfektní monotonní vztah
\(r_s = 1\)
Výsledek \(1\) značí, že více kroků odpovídá více hodinám spánku.
50. Máme data o denním počtu otevření aplikace (\(X\)) a množství dat (v MB) spotřebovaných během dne (\(Y\)):
Otevření (\(X\)): \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\)
Data (\(Y\)): \(10\), \(8\), \(12\), \(9\), \(11\)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 50:
Pořadí \(X\): \(1\) (\(1\)), \(2\) (\(2\)), \(3\) (\(3\)), \(4\) (\(4\)), \(5\) (\(5\))
\(Y\): \(8\) (\(1\)), \(9\) (\(2\)), \(10\) (\(3\)), \(11\) (\(4\)), \(12\) (\(5\))
Opačné pořadí → vypočteme rozdíly \(d_i\): \(d_i = X_i – Y_i\) → \(d = [1-3, 2-1, 3-5, 4-2, 5-4] = [-2, 1, -2, 2, 1]\)
\(\sum d_i^2 = 4 + 1 + 4 + 4 + 1 = 14\)
\(r_s = 1 – \frac{6 \cdot 14}{5(25 – 1)} = 1 – \frac{84}{120} = 1 – 0.7 = 0.3\)
Koeficient \(0.3\) značí velmi slabou kladnou závislost, což může znamenat nepravidelný nebo nepřímý vztah mezi počtem otevření a objemem přenesených dat.
