1. Určete, zda je funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^2, & x \neq 1 \\
3, & x = 1
\end{cases} \) spojitá v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 1:
Funkce je definovaná dvěma různými předpisy, jedna pro \( x \neq 1 \) a druhá právě v bodě \( x=1 \). Pro zjištění spojitosti v bodě \( x=1 \) je potřeba ověřit, zda platí:
\( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \)
Nejdříve spočítáme limitu:
\( \lim_{x \to 1} x^2 = 1^2 = 1 \)
Hodnota funkce v bodě \( x=1 \) je \( f(1) = 3 \).
Protože \( \lim_{x \to 1} f(x) = 1 \neq 3 = f(1) \), funkce není spojitá v bodě \( x=1 \).
Navíc jde o nespojitost typu skokové (diskontinuita 1. druhu).
2. Zjistěte spojitost funkce \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) v bodě \( x=0 \) pokud je definována jako \( f(0) = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 2:
Pro zjištění spojitosti v bodě \( x=0 \) musíme ověřit, zda platí:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = f(0) \)
Známe základní limitu:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)
Hodnota funkce v bodě \( 0 \) je definována jako \( f(0) = 1 \).
Protože limita i hodnota funkce v tomto bodě jsou stejné, funkce je spojitá v \( x=0 \).
3. Zkoumejte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 – 4}{x-2}, & x \neq 2 \\
k, & x=2
\end{cases} \) pro nějaké \( k \in \mathbb{R} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 3:
Nejprve upravíme výraz pro \( x \neq 2 \):
\( \frac{x^2 – 4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2, \quad x \neq 2 \)
Limita při \( x \to 2 \) tedy je:
\( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4 \)
Funkce bude spojitá v bodě \( 2 \), právě když \( f(2) = k = 4 \).
Pokud \( k = 4 \), pak \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \Rightarrow \) funkce je spojitá v \( x=2 \).
Pro jiné hodnoty \( k \neq 4 \) je funkce v bodě \( 2 \) nespojitá (skoková nespojitost).
4. Určete, zda je funkce \( f(x) = \sqrt{x} \) spojitá na intervalu \( [0, +\infty) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 4:
Funkce \( \sqrt{x} \) je definovaná na \( [0, +\infty) \) a jde o elementární funkci, která je spojitá na celé své definičním oboru.
Pro každý bod \( x_0 > 0 \) je spojitost zřejmá z definice funkcí elementárních a limit:
\( \lim_{x \to x_0} \sqrt{x} = \sqrt{x_0} = f(x_0) \)
V bodě \( x_0=0 \) ověříme pravou limitu:
\( \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 = f(0) \)
Funkce je tedy spojitá na celém intervalu \( [0, +\infty) \).
5. Zjistěte, zda je funkce \( f(x) = \begin{cases}
x+1, & x < 0 \\
x^2, & x \geq 0
\end{cases} \) spojitá v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 5:
Zjistíme levý a pravý limit a hodnotu funkce v bodě \( 0 \).
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1) = 0 + 1 = 1 \)
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0^2 = 0 \)
Hodnota funkce v bodě \( 0 \) je podle předpisu pro \( x \geq 0 \) rovna \( f(0) = 0 \).
Protože levý a pravý limit nejsou stejné, funkce není spojitá v bodě \( 0 \) (existuje nespojitost skoková).
6. Určete spojitost funkce \( f(x) = \frac{1}{x-1} \) na množině \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 6:
Funkce je definovaná na \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \), protože v bodě \( x=1 \) není definována (jmenovatel je nula).
Na každém bodě své definiční množiny je funkce spojitá, protože je složením spojitých funkcí (racionální funkce bez bodu singularity).
Bod \( x=1 \) je bodem nespojitosti typu nevlastní (bod přerušení, nespojitost 2. druhu).
7. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \sin \frac{1}{x} \) pro \( x \neq 0 \) a \( f(0)=0 \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 7:
Funkce není definována přímo v bodě \( 0 \) podle původního výrazu, proto je nastavena hodnota \( f(0) = 0 \).
Zjistíme limitu \( \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} \).
Protože funkce \( \sin \) osciluje mezi -1 a 1 a argument \( \frac{1}{x} \) při \( x \to 0 \) jde k \( \pm \infty \), limita neexistuje.
Tedy:
\( \lim_{x \to 0} f(x) \) neexistuje \Rightarrow funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
Jde o nespojitost typu nepodmíněné oscilace (nespojitost 2. druhu).
8. Zjistěte, zda je funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sin x, & x \neq \pi \\
0, & x = \pi
\end{cases} \) spojitá v bodě \( x = \pi \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 8:
Limita při \( x \to \pi \) je:
\( \lim_{x \to \pi} \sin x = \sin \pi = 0 \)
Hodnota funkce v bodě \( \pi \) je \( f(\pi) = 0 \).
Protože limita i hodnota funkce v tomto bodě jsou stejné, funkce je spojitá v \( x=\pi \).
9. Zkoumejte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{cases} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 9:
Funkce \( \frac{1}{x} \) není definovaná v \( x=0 \), proto je tam definována uměle hodnota \( 0 \).
Zjistíme limity zleva a zprava při \( x \to 0 \):
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \)
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \)
Limita neexistuje, tedy funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
Nespojitost je nevlastní (2. druhu).
10. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^3, & x \leq 1 \\
2x – 1, & x > 1
\end{cases} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 10:
Vyhodnotíme levý a pravý limit a hodnotu funkce v bodě \( x=1 \):
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^3 = 1^3 = 1 \)
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x – 1) = 2\cdot1 – 1 = 1 \)
Hodnota funkce v \( x=1 \) je podle prvního předpisu \( f(1) = 1^3 = 1 \).
Protože levý limit, pravý limit i hodnota funkce jsou stejné, funkce je spojitá v bodě \( 1 \).
11. Určete, zda je funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\
a, & x=0
\end{cases} \) spojitá v bodě \( x=0 \) a najděte hodnotu \( a \), pokud existuje.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 11:
Pro ověření spojitosti v bodě \( x=0 \) musíme zjistit, zda platí
\( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = a \).
Funkce pro \( x \neq 0 \) je \( \frac{\sin x}{x} \), což je známá limita
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
Aby byla funkce spojitá, musí tedy platit \( a = 1 \).
Pokud \( a = 1 \), pak
\( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \Rightarrow \) funkce je spojitá v bodě \( 0 \).
Pro jinou hodnotu \( a \neq 1 \) spojitost neplatí a v bodě \( 0 \) je nespojitost skoková.
12. Zjistěte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{e^x – 1}{x}, & x \neq 0 \\
1, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 12:
Pro spojitost v bodě \( x=0 \) ověříme, zda
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = f(0) = 1 \).
Limita je známá derivace funkce \( e^x \) v bodě 0:
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = (e^x)’_{x=0} = e^0 = 1 \).
Proto platí
\( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \Rightarrow \) funkce je spojitá v bodě \( 0 \).
13. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\ln(x), & x > 0 \\
0, & x \leq 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 13:
Funkce není definována vlevo od 0 (logaritmus není definován pro nezáporná čísla), ale pro \( x \leq 0 \) má hodnotu 0.
Posoudíme limitu zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \).
Levá limita neexistuje (definice pro \( x \leq 0 \) je konstanta, ale levý limit se posuzuje zprava z oboru funkce).
Protože limita zprava neexistuje konečně, funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
Jde o nespojitost typu nevlastní (2. druhu).
14. Zkoumejte spojitost funkce \( f(x) = \frac{|x|}{x} \) pro \( x \neq 0 \) a \( f(0) = 0 \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 14:
Pro \( x > 0 \) platí \( f(x) = \frac{x}{x} = 1 \), pro \( x < 0 \) platí \( f(x) = \frac{-x}{x} = -1 \).
Limity při \( x \to 0 \) jsou:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \), \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \).
Protože limita zleva a zprava se nerovnají, funkce není spojitá v \( 0 \).
Jedná se o skokovou nespojitost (1. druhu).
15. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 15:
Pro \( x \neq 0 \) funkce je \( x \sin \frac{1}{x} \). Pro spojitost v 0 ověříme limitu:
\( \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} \).
Funkce \( \sin \frac{1}{x} \) je omezená mezi -1 a 1, takže
\( |x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \).
Proto
\( \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 = f(0) \Rightarrow \) funkce je spojitá v \( 0 \).
16. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{x^2 – 9}{|x-3|} \) spojitá v bodě \( x=3 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 16:
Funkce pro \( x \neq 3 \) lze upravit:
\( f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{|x-3|} = (x+3) \frac{x-3}{|x-3|} \).
Značíme znaménko zlomku:
\( \frac{x-3}{|x-3|} = \begin{cases} 1, & x > 3 \\ -1, & x < 3 \end{cases} \).
Limity zleva a zprava v bodě \( 3 \) jsou tedy
\( \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x+3)(-1) = -6 \),
\( \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (x+3)(1) = 6 \).
Limity nejsou shodné, funkce není spojitá v bodě \( 3 \).
Navíc funkce není definována v \( x=3 \), takže tam nespojitost je.
17. Zjistěte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
5, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 17:
Pro \( x \neq 0 \) je funkce \( x^2 \sin \frac{1}{x} \), což je omezené výrazem \( |x^2 \sin \frac{1}{x}| \leq x^2 \).
Limita v \(0\) je tedy
\( \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0 \).
Hodnota funkce v 0 je \( 5 \).
Protože limita a hodnota nejsou shodné, funkce není spojitá v \(0\).
Typ nespojitosti: skoková.
18. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{x^3 – 8}{x-2} \) spojitá v bodě \( x=2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 18:
Funkce je pro \( x \neq 2 \)
\( f(x) = \frac{x^3 – 8}{x-2} = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2} = x^2 + 2x + 4 \).
Funkci rozšíříme spojitě v \( x=2 \) dosazením
\( f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \).
Limita je
\( \lim_{x \to 2} f(x) = 12 = f(2) \Rightarrow \) funkce je spojitá v \( 2 \).
19. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sqrt{1 – x}, & x \leq 1 \\
2 – x, & x > 1
\end{cases} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 19:
Vypočítáme limitu zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} \sqrt{1-x} = \sqrt{1-1} = 0 \).
Limit z prava:
\( \lim_{x \to 1^+} 2 – x = 2 – 1 = 1 \).
Hodnota funkce v \(1\) je
\( f(1) = \sqrt{1-1} = 0 \).
Protože limit zleva a zprava se nerovnají, funkce není spojitá v \( x=1 \).
Jedná se o skokovou nespojitost.
20. Zjistěte, zda je funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{cases} \) spojitá v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 20:
Známá limita je
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \), což se nerovná limitě.
Funkce není spojitá v bodě \( 0 \), jde o skokovou nespojitost.
21. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sqrt{x+4} – 2}{x}, & x \neq 0 \\
a, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \) a najděte hodnotu \( a \), pokud existuje.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 21:
Funkce je definována pro \( x \neq 0 \) jako
\( f(x) = \frac{\sqrt{x+4} – 2}{x} \).
Pro zjištění spojitosti v bodě \( 0 \) musíme spočítat limitu \( \lim_{x \to 0} f(x) \) a porovnat ji s hodnotou \( f(0) = a \).
Protože v limitě dostaneme tvar \(\frac{0}{0}\), použijeme úpravu pomocí násobení sdruženým výrazem:
\( \frac{\sqrt{x+4} – 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4} + 2}{\sqrt{x+4} + 2} = \frac{(x+4) – 4}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2} \).
Tedy
\( \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \).
Pro spojitost tedy musí platit \( a = \frac{1}{4} \).
Pokud \( a = \frac{1}{4} \), pak
\( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \Rightarrow \) funkce je spojitá v \( 0 \).
Pro jinou hodnotu \( a \) je funkce v \( 0 \) nespojitá.
22. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{cases} \) a určete typ případné nespojitosti.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 22:
Pro \( x \neq 0 \) je funkce \( f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x} \). Chceme zjistit spojitost v bodě \( 0 \).
Nejdříve spočítáme limitu
\( \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} \).
Protože \(\sin \frac{1}{x}\) je omezená mezi \(-1\) a \(1\), platí
\( |x^2 \sin \frac{1}{x}| \leq |x^2| \).
Limita \( \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \), proto podle věty o třech funkcích
\( \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je také \( 0 \).
Proto
\( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \Rightarrow \) funkce je spojitá v \( 0 \).
V ostatních bodech je funkce součinem spojitých funkcí (pro \( x \neq 0 \)) a tedy spojitá.
23. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\tan x}{x}, & x \neq 0 \\
1, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 23:
Limita funkce při \( x \to 0 \) je
\( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \).
Protože \(\tan x \sim x\) při malých \( x \), platí
\( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je také \(1\).
Tedy
\( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \Rightarrow \) funkce je spojitá v \( 0 \).
24. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 – 4}{x – 2}, & x \neq 2 \\
3, & x=2
\end{cases} \) v bodě \( x=2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 24:
Pro \( x \neq 2 \) upravíme funkci:
\( f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \).
Limita v \( 2 \) je tedy
\( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \).
Hodnota funkce v \( 2 \) je \( 3 \).
Protože limita a hodnota nejsou stejné, funkce není spojitá v \( 2 \).
Jedná se o nespojitost skokovou.
25. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 25:
Limita \( \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} \) neexistuje, protože argument \(\frac{1}{x}\) diverguje a funkce osciluje mezi \(-1\) a \(1\).
Hodnota funkce v \(0\) je \(0\).
Protože limita neexistuje, funkce není spojitá v \(0\).
Jedná se o nespojitost typu nevlastní.
26. Určete, zda je funkce \( f(x) = \sqrt{|x|} \) spojitá v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 26:
Funkce je definována všude a pro \( x \to 0 \) je
\( \lim_{x \to 0} \sqrt{|x|} = \sqrt{0} = 0 \).
Hodnota funkce v \(0\) je také \(0\).
Tedy funkce je spojitá v \( 0 \).
27. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\ln(x), & x > 0 \\
0, & x \leq 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 27:
Funkce není definována pro \( x \leq 0 \) logaritmicky, ale předpis udává hodnotu \(0\).
Limita z pravé strany je
\( \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \).
Limita z levé strany \( x \to 0^- \) není možná, protože funkce je konstanta \(0\).
Proto funkce není spojitá v \( 0 \).
28. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 28:
Limita zleva a zprava v \(0\) neexistují, protože
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \), \( \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \).
Hodnota funkce v \(0\) je \(0\).
Funkce není spojitá v \( 0 \), jde o nespojitost nevlastní.
29. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 29:
Pro \( x \neq 0 \) platí \( |x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \).
Limita \( \lim_{x \to 0} |x| = 0 \), proto
\( \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \(0\).
Funkce je tedy spojitá v \( 0 \).
30. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x + 1, & x < 1 \\
2x - 1, & x \geq 1
\end{cases} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 30:
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} (2x – 1) = 2 \cdot 1 – 1 = 1 \).
Hodnota funkce v \(1\) je podle pravé větve
\( f(1) = 2 \cdot 1 – 1 = 1 \).
Protože limit zleva a zprava se nerovnají, funkce není spojitá v \(1\).
Jedná se o skokovou nespojitost.
31. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 – 9}{x – 3}, & x \neq 3 \\
b, & x=3
\end{cases} \) v bodě \( x=3 \) a určete hodnotu \( b \), pokud existuje spojitost.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 31:
Funkce je definována pro \( x \neq 3 \) jako
\( f(x) = \frac{x^2 – 9}{x – 3} \).
Čitatel můžeme rozložit jako rozdíl druhých mocnin:
\( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \).
Proto
\( f(x) = \frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = x + 3 \) pro \( x \neq 3 \).
Limita v bodě \( 3 \) je
\( \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6 \).
Pro spojitost musí platit \( f(3) = b = 6 \).
Pokud \( b = 6 \), funkce je spojitá v bodě \( 3 \).
Pokud \( b \neq 6 \), funkce je v tomto bodě nespojitá.
32. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sin x, & x < 0 \\
x^2 + 1, & x \geq 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 32:
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} \sin x = \sin 0 = 0 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( f(0) = 0^2 + 1 = 1 \).
Protože limita zleva a zprava nejsou stejné, funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
Jedná se o skokovou nespojitost.
33. Určete spojitost funkce \( f(x) = \frac{|x|}{x} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 33:
Funkce není definována v bodě \( 0 \) \((\)jmenovatel je \(0)\).
Podíváme se na limity zleva a zprava:
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1 \).
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 \).
Protože limita zleva a zprava nejsou stejné a funkce není v \( 0 \) definovaná, není spojitá v \( 0 \).
34. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 – 1}{x – 1}, & x \neq 1 \\
2, & x = 1
\end{cases} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 34:
Upravíme funkci pro \( x \neq 1 \):
\( \frac{x^2 – 1}{x – 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \).
Limita v \( 1 \) je
\( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \).
Hodnota funkce v \( 1 \) je také \(2\).
Proto je funkce spojitá v bodě \( 1 \).
35. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\
1, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 35:
Limita \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) je známá.
Hodnota funkce v \( 0 \) je také \(1\).
Proto je funkce spojitá v \( 0 \).
36. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^3, & x \leq 2 \\
4x – 5, & x > 2
\end{cases} \) v bodě \( x=2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 36:
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 2^-} x^3 = 2^3 = 8 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 2^+} (4x – 5) = 4 \cdot 2 – 5 = 3 \).
Hodnota funkce v \( 2 \) je \( 2^3 = 8 \).
Protože limit zleva a zprava nejsou stejné, funkce není spojitá v bodě \( 2 \).
37. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 – 4}{x – 2}, & x \neq 2 \\
a, & x = 2
\end{cases} \) v bodě \( x=2 \) a určete hodnotu \( a \), pokud existuje spojitost.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 37:
Funkci pro \( x \neq 2 \) upravíme:
\( \frac{x^2 – 4}{x – 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \).
Limita v bodě \( 2 \) je tedy
\( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \).
Pro spojitost musí platit \( f(2) = a = 4 \).
Pokud \( a = 4 \), funkce je spojitá v \( 2 \), jinak nespojitá.
38. Určete, zda je funkce \( f(x) = \begin{cases}
\ln(x), & x > 0 \\
0, & x \leq 0
\end{cases} \) spojitá v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 38:
Funkce není definována pro \( x \leq 0 \) jako logaritmus, ale definujeme \( f(x) = 0 \) tam.
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \).
Protože limita zprava neexistuje (jde do \(-\infty\)), funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
39. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
e^{x}, & x \neq 1 \\
b, & x=1
\end{cases} \) v bodě \( x=1 \) a určete \( b \) pro spojitost.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 39:
Funkce je \( e^x \) pro \( x \neq 1 \).
Limita v bodě \( 1 \) je
\( \lim_{x \to 1} e^x = e^1 = e \).
Pro spojitost musí platit \( f(1) = b = e \).
Pokud \( b = e \), funkce je spojitá v \( 1 \).
40. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} \) v bodě \( x = -1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 40:
Upravíme funkci pro \( x \neq -1 \):
\( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \), tedy
\( f(x) = \frac{(x + 1)^2}{x + 1} = x + 1 \) pro \( x \neq -1 \).
Funkce není definována v \( x = -1 \), protože jmenovatel je \(0\).
Limita v \( -1 \) je
\( \lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} (x + 1) = 0 \).
Pokud bychom definovali \( f(-1) = 0 \), funkce by byla spojitá v tomto bodě.
Bez této definice je funkce nespojitá (odstranitelná nespojitost).
41. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 41:
Limita \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) je známá.
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \).
Protože limita a hodnota funkce nejsou stejné, funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
42. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\cos x, & x \neq \pi \\
1, & x = \pi
\end{cases} \) v bodě \( x=\pi \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 42:
Limita v \( \pi \):
\( \lim_{x \to \pi} \cos x = \cos \pi = -1 \).
Hodnota funkce v \( \pi \) je 1.
Protože limita a hodnota funkce se liší, funkce není spojitá v bodě \( \pi \).
43. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \sqrt{x – 1} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 43:
Funkce je definována pro \( x \geq 1 \).
Limita zprava v \( 1 \) je
\( \lim_{x \to 1^+} \sqrt{x – 1} = 0 \).
Limita zleva není definována, protože pod odmocninou by byl záporný výraz.
Hodnota funkce v \( 1 \) je \( 0 \).
Funkce je spojitá v \( 1 \) na své definičním oboru.
44. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 44:
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \).
Protože limita neexistuje a funkce je definována v \( 0 \), není spojitá v bodě \( 0 \).
45. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 45:
Funkce je definována na celém reálném oboru.
Limita v \( 0 \):
\( |x^2 \sin \frac{1}{x}| \leq |x^2| \),
protože \( |\sin \frac{1}{x}| \leq 1 \).
Limita podle věty o limitě podle tří poloh je
\( \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \(0\).
Protože limita a hodnota jsou stejné, funkce je spojitá v bodě \( 0 \).
46. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x, & x < 0 \\
x^2, & x \geq 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 46:
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je podle druhého předpisu \( f(0) = 0^2 = 0 \).
Protože všechny tři hodnoty jsou stejné, funkce je spojitá v bodě \( 0 \).
47. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sin x, & x \neq 0 \\
1, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 47:
Limita v \( 0 \) je
\( \lim_{x \to 0} \sin x = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 1 \).
Protože limita a hodnota funkce se liší, funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
48. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 48:
Funkce je definována na celém reálném oboru.
Limita v \( 0 \):
\( \lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x} = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \).
Protože limita a hodnota jsou stejné, funkce je spojitá v bodě \( 0 \).
49. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x^2}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 49:
Limita zleva i zprava je
\( \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty \).
Funkce je definována v \(0\) hodnotou \(0\).
Protože limita neexistuje (jde do nekonečna), funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
50. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^2 \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
1, & x=0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 50:
Limita v \( 0 \):
\( |x^2 \cos \frac{1}{x}| \leq |x^2| \),
proto \( \lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \(1\).
Protože limita a hodnota funkce se liší, funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
51. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 – 1}{x – 1}, & x \neq 1 \\
a, & x = 1
\end{cases} \) v bodě \( x=1 \) a najděte hodnotu \( a \), pokud má být funkce spojitá.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 51:
Pro \( x \neq 1 \) upravíme výraz:
\( \frac{x^2 – 1}{x – 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \).
Určíme limitu v bodě \( 1 \):
\( \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \).
Pro spojitost musí platit \( f(1) = a = 2 \).
Pokud tedy \( a = 2 \), funkce je spojitá v bodě \( 1 \).
52. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 52:
Limita \( \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} \) neexistuje, protože argument funkce osciluje mezi \(-\infty\) a \(+\infty\) a hodnota sinus se stále mění mezi \(-1\) a \(1\) bez ustálení.
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \).
Protože limita v bodě neexistuje, funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
53. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^2 \ln x, & x > 0 \\
0, & x \leq 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 53:
Nejprve určíme limitu zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x \).
Použijeme substituci \( t = x \), pak \( t \to 0^+ \).
Víme, že \( \lim_{t \to 0^+} t^2 \ln t = 0 \), protože \( \ln t \to -\infty \), ale \( t^2 \) jde k nule rychleji než \( \ln t \) k nekonečnu.
Limita zprava je tedy \(0\).
Limita zleva je \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 \) podle definice funkce.
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \).
Protože limity zprava, zleva i hodnota funkce v bodě jsou stejné, funkce je spojitá v bodě \( 0 \).
54. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \frac{|x|}{x} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 54:
Funkce není definována v bodě \( x=0 \), protože jmenovatel je nulový.
Určíme limity zleva a zprava:
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1 \).
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 \).
Protože limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě neexistuje a funkce není spojitá v \( x=0 \).
55. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\
1, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 55:
Víme, že \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je rovna \(1\).
Protože limita i hodnota funkce v bodě jsou stejné, funkce je spojitá v \( x=0 \).
56. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 56:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} \).
Protože \( |\sin \frac{1}{x}| \leq 1 \), platí:
\( |x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \Rightarrow \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \).
Protože limita a hodnota funkce v bodě jsou stejné, funkce je spojitá v \( 0 \).
57. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 – 4}{x – 2}, & x \neq 2 \\
b, & x = 2
\end{cases} \) v bodě \( x=2 \) a určete \( b \) pro spojitost.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 57:
Upravíme výraz pro \( x \neq 2 \):
\( \frac{x^2 – 4}{x – 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \).
Určíme limitu v \( 2 \):
\( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \).
Pro spojitost musí platit \( b = 4 \).
58. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sqrt{x+1}, & x \geq -1 \\
c, & x < -1
\end{cases} \) v bodě \( x = -1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 58:
Určíme limity zleva a zprava v bodě \( -1 \):
Limit zprava: \( \lim_{x \to -1^+} \sqrt{x+1} = \sqrt{0} = 0 \).
Limit zleva: \( \lim_{x \to -1^-} f(x) = c \) (funkce je konstantní na \( x < -1 \)).
Pro spojitost musí platit \( c = 0 \).
Funkce je tedy spojitá v bodě \( -1 \) právě tehdy, pokud \( c = 0 \).
59. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\ln x, & x > 0 \\
0, & x \leq 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 59:
Funkce \( \ln x \) není definována pro \( x \leq 0 \), proto limita zprava neexistuje jako reálné číslo.
Konkrétně platí \( \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \).
Funkce tedy není spojitá v bodě \( 0 \).
60. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 60:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x} \).
Protože \( |\cos \frac{1}{x}| \leq 1 \), platí:
\( |x \cos \frac{1}{x}| \leq |x| \Rightarrow \lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x} = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je rovna \( 0 \).
Protože limita i hodnota funkce v bodě jsou stejné, funkce je spojitá v \( 0 \).
61. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{e^x – 1}{x}, & x \neq 0 \\
a, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \) a najděte hodnotu \( a \), pokud má být funkce spojitá.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 61:
Nejprve určíme limitu \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} \).
Pomocí rozvoje do Taylorova řady víme, že \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots \), tedy
\( \frac{e^x – 1}{x} = \frac{1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots – 1}{x} = \frac{x + \frac{x^2}{2} + \cdots}{x} = 1 + \frac{x}{2} + \cdots \)
Limita tedy je
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1 \).
Pro spojitost funkce musí platit \( a = 1 \).
Funkce je tedy spojitá v bodě \( 0 \) právě pro \( a = 1 \).
62. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x^2}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 62:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2} \).
Víme, že \( \sin x \sim x \) pro malé \( x \), tedy \( \sin x \approx x \).
Proto
\( \frac{\sin x}{x^2} \approx \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \),
která diverguje k \(\pm \infty\) podle směru, odkud \( x \to 0 \).
Limita tedy neexistuje v reálném smyslu.
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \).
Funkce tedy není spojitá v bodě \( 0 \).
63. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 63:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} \).
Protože \( |\sin \frac{1}{x}| \leq 1 \), platí
\( |x^2 \sin \frac{1}{x}| \leq x^2 \Rightarrow \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \).
Protože limita a hodnota funkce jsou stejné, funkce je spojitá v bodě \( 0 \).
64. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{1 – \cos x}{x^2}, & x \neq 0 \\
\frac{1}{2}, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 64:
Pomocí Taylorova rozvoje kolem \( 0 \) platí
\( \cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} – \cdots \),
tedy
\( 1 – \cos x = \frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{24} + \cdots \).
Proto
\( \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{x^2}{2x^2} – \frac{x^4}{24 x^2} + \cdots = \frac{1}{2} – \frac{x^2}{24} + \cdots \).
Limita je tedy
\( \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \).
Funkce má hodnotu v \( 0 \) rovnu \( \frac{1}{2} \), takže je spojitá v bodě \( 0 \).
65. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sqrt{x^2 + 4} – 2, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 65:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 + 4} – 2 \).
Pro malá \( x \) použijeme rozvoj funkce:
\( \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{4 + x^2} = 2 \sqrt{1 + \frac{x^2}{4}} \).
Použijeme rozvoj \( \sqrt{1 + t} = 1 + \frac{t}{2} – \frac{t^2}{8} + \cdots \), kde \( t = \frac{x^2}{4} \), tedy
\( \sqrt{x^2 + 4} = 2 \left( 1 + \frac{x^2}{8} – \frac{x^4}{128} + \cdots \right) = 2 + \frac{x^2}{4} – \frac{x^4}{64} + \cdots \).
Odečteme 2:
\( \sqrt{x^2 + 4} – 2 = \frac{x^2}{4} – \frac{x^4}{64} + \cdots \).
Limita je tedy
\( \lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 + 4} – 2 = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \), tedy funkce je spojitá v \( 0 \).
66. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^3 – 8}{x – 2}, & x \neq 2 \\
k, & x = 2
\end{cases} \) v bodě \( x=2 \) a určete hodnotu \( k \) pro spojitost.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 66:
Vyjádříme výraz pro \( x \neq 2 \) pomocí vzorce na rozdíl třetích mocnin:
\( x^3 – 8 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4) \),
takže
\( \frac{x^3 – 8}{x – 2} = x^2 + 2x + 4 \).
Určíme limitu v \( 2 \):
\( \lim_{x \to 2} f(x) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \).
Pro spojitost musí platit \( k = 12 \).
67. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x \ln(1 + x), & x > -1 \\
0, & x \leq -1
\end{cases} \) v bodě \( x = -1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 67:
Určíme limitu zprava \( \lim_{x \to -1^+} x \ln(1 + x) \).
Nechť \( t = 1 + x \), pak \( x = t – 1 \) a \( t \to 0^+ \) při \( x \to -1^+ \).
Výraz se přepíše jako
\( (t – 1) \ln t = t \ln t – \ln t \).
Limita \( t \ln t \) při \( t \to 0^+ \) je 0, protože
\( \lim_{t \to 0^+} t \ln t = 0 \).
Limita \( \ln t \) jde k \(-\infty\), tedy celý výraz diverguje k \(-\infty\).
Protože hodnota funkce vlevo je 0, není funkce spojitá v bodě \( -1 \).
68. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 68:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} \).
Funkce \( \sin \frac{1}{x} \) osciluje mezi \(-1\) a \(1\) a limita neexistuje.
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \).
Funkce tedy není spojitá v bodě \( 0 \).
69. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\tan x}{x}, & x \neq 0 \\
1, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 69:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \).
Více známý je rozvoj \( \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \cdots \),
tedy
\( \frac{\tan x}{x} = \frac{x + \frac{x^3}{3} + \cdots}{x} = 1 + \frac{x^2}{3} + \cdots \).
Limita je tedy \( 1 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 1 \), funkce je spojitá v bodě \( 0 \).
70. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^2 \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 70:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} \).
Protože \( |\cos \frac{1}{x}| \leq 1 \), platí
\( |x^2 \cos \frac{1}{x}| \leq x^2 \Rightarrow \lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( 0 \), funkce je spojitá v bodě \( 0 \).
71. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\
a, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \) a najděte hodnotu \( a \) pro spojitost.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 71:
Určíme limitu funkce \( f(x) \) v bodě \( 0 \):
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) (známý limitní výsledek).
Pro spojitost musí platit \( f(0) = a = 1 \).
Tedy funkce je spojitá v bodě \( 0 \) právě pokud \( a = 1 \).
72. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x \ln|x|, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 72:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} x \ln|x| \).
Nechť \( t = |x| \to 0^+ \), pak výraz je \( t \ln t \).
Limita \( \lim_{t \to 0^+} t \ln t = 0 \), protože \( t \to 0 \) rychleji než \( \ln t \to -\infty \).
Hodnota \( f(0) = 0 \) odpovídá limitě, proto je funkce spojitá v bodě \( 0 \).
73. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 73:
Určíme pravý a levý limitu:
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \),
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \).
Limity nejsou stejné ani konečné, proto funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
74. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sqrt{x+1} – 1, & x \geq 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 74:
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{x+1} – 1) = \sqrt{1} – 1 = 0 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} (-x) = -0 = 0 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \( f(0) = \sqrt{1} – 1 = 0 \).
Limity i hodnota funkce jsou stejné, funkce je spojitá v bodě \( 0 \).
75. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 – 4}{x-2}, & x \neq 2 \\
b, & x = 2
\end{cases} \) v bodě \( x=2 \) a najděte \( b \) pro spojitost.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 75:
Upravíme výraz pro \( x \neq 2 \):
\( \frac{x^2 – 4}{x – 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \) pro \( x \neq 2 \).
Limita \( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4 \).
Pro spojitost musí platit \( b = 4 \).
Funkce je tedy spojitá v bodě \( 2 \) právě pokud \( b = 4 \).
76. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 76:
Limita \( \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} \) neexistuje, protože \( \sin \frac{1}{x} \) osciluje mezi \(-1\) a \(1\) bez limitního chování.
Hodnota \( f(0) = 0 \).
Funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
77. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^3 – 8}{x – 2}, & x \neq 2 \\
c, & x = 2
\end{cases} \) v bodě \( x=2 \) a najděte \( c \) pro spojitost.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 77:
Vypočítáme limitu:
\( \lim_{x \to 2} \frac{x^3 – 8}{x – 2} \).
Rozložíme čitatel:
\( x^3 – 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) \).
Proto
\( \frac{x^3 – 8}{x – 2} = x^2 + 2x + 4 \) pro \( x \neq 2 \).
Limita je tedy
\( \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 4 + 4 + 4 = 12 \).
Pro spojitost musí platit \( c = 12 \).
78. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{e^x – 1}{x}, & x \neq 0 \\
1, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 78:
Určíme limitu:
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} \).
Využijeme definici derivace exponenciální funkce v \(0\):
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – e^0}{x – 0} = e^0 = 1 \).
Hodnota funkce v \(0\) je také \(1\), proto je funkce spojitá v bodě \(0\).
79. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 79:
Určíme limitu:
\( \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} \).
Protože \( |\sin \frac{1}{x}| \leq 1 \), platí
\( |x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \to 0 \).
Tedy limita je \(0\).
Hodnota funkce v \(0\) je \(0\), proto je funkce spojitá v bodě \(0\).
80. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{|x|}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 80:
Určíme limity zleva a zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 \),
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1 \).
Limity nejsou stejné, proto funkce není spojitá v bodě \(0\).
81. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 – 9}{x – 3}, & x \neq 3 \\
k, & x = 3
\end{cases} \) v bodě \( x=3 \) a najděte hodnotu \( k \) pro spojitost.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 81:
Funkci upravíme pro \( x \neq 3 \):
\( \frac{x^2 – 9}{x – 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3 \).
Limita v bodě \( 3 \) je tedy
\( \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6 \).
Pro spojitost platí \( k = 6 \).
Funkce je spojitá v bodě \( 3 \) právě pokud \( k = 6 \).
82. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin 2x}{x}, & x \neq 0 \\
2, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 82:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \).
Vyjádříme limitu jako
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 \), protože \( \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \(2\).
Protože limita a hodnota funkce se rovnají, funkce je spojitá v bodě \(0\).
83. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 83:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} \).
Protože \( |\sin \frac{1}{x}| \leq 1 \), platí
\( |x^2 \sin \frac{1}{x}| \leq x^2 \to 0 \).
Tedy limita je \(0\).
Hodnota funkce v \( 0 \) je \(0\), takže funkce je spojitá v bodě \(0\).
84. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{e^{x} – 1 – x}{x^2}, & x \neq 0 \\
\frac{1}{2}, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 84:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2} \).
Rozvineme \( e^x \) do Taylorova polynomu kolem \(0\):
\( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots \)
Dosadíme:
\( e^x – 1 – x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots \)
Proto
\( \frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \frac{x^2}{2x^2} + \frac{x^3}{6x^2} + \cdots = \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots \)
Tedy
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \frac{1}{2} \).
Hodnota funkce v \(0\) je \( \frac{1}{2} \), takže funkce je spojitá v bodě \(0\).
85. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\arctan \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 85:
Určíme limity zleva a zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} \arctan \frac{1}{x} = \arctan (+\infty) = \frac{\pi}{2} \).
\( \lim_{x \to 0^-} \arctan \frac{1}{x} = \arctan (-\infty) = -\frac{\pi}{2} \).
Limity nejsou stejné, proto limita v bodě \(0\) neexistuje a funkce není spojitá v \(0\).
86. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^2 \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 86:
Protože \( |\cos \frac{1}{x}| \leq 1 \), platí
\( |x^2 \cos \frac{1}{x}| \leq x^2 \to 0 \) při \( x \to 0 \).
Tedy limita je \(0\).
Hodnota funkce v \(0\) je \(0\), takže funkce je spojitá v bodě \(0\).
87. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sqrt{x+4} – 2}{x}, & x \neq 0 \\
\frac{1}{4}, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 87:
Určíme limitu:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} – 2}{x} \).
Racionalizujeme čitatel:
\( \frac{\sqrt{x+4} – 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4} + 2}{\sqrt{x+4} + 2} = \frac{x+4 – 4}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2} \).
Tedy limita je
\( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \).
Hodnota funkce v \(0\) je \( \frac{1}{4} \), tedy funkce je spojitá v \(0\).
88. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\ln(1+x), & x > -1 \\
-1, & x = -1
\end{cases} \) v bodě \( x = -1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 88:
Funkce je definována na \( (-1, \infty) \), hodnota v bodě \( -1 \) je \( -1 \).
Limita z pravé strany je
\( \lim_{x \to (-1)^+} \ln(1+x) = \ln(1-1) = \ln 0 = -\infty \).
Protože limita není konečná a neodpovídá hodnotě \( f(-1) = -1 \), funkce není spojitá v bodě \( -1 \).
89. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\
1, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 89:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \).
Platí \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
Hodnota funkce v \(0\) je také \(1\).
Funkce je spojitá v bodě \(0\).
90. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{1 – \cos x}{x^2}, & x \neq 0 \\
\frac{1}{2}, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 90:
Vyjádříme limitu:
\( \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} \).
Použijeme Taylorův rozvoj:
\( \cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} – \cdots \)
Proto
\( 1 – \cos x = \frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{24} + \cdots \)
Tedy
\( \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{x^2}{2x^2} – \frac{x^4}{24 x^2} + \cdots = \frac{1}{2} – \frac{x^2}{24} + \cdots \)
Limita je \( \frac{1}{2} \).
Hodnota funkce v 0 je \( \frac{1}{2} \), tedy funkce je spojitá v bodě \(0\).
91. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^3 – 8}{x – 2}, & x \neq 2 \\
12, & x = 2
\end{cases} \) v bodě \( x=2 \) a najděte hodnotu \( k \), pokud je spojitost závislá na této hodnotě.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 91:
Funkci upravíme pro \( x \neq 2 \):
\( \frac{x^3 – 8}{x – 2} = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2} = x^2 + 2x + 4 \).
Limita v bodě \( 2 \) je
\( \lim_{x \to 2} f(x) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \).
Pro spojitost musí být hodnota funkce v bodě \( 2 \) rovna \(12\).
Funkce je tedy spojitá v bodě \( 2 \) právě když \( k = 12 \).
92. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\tan x}{x}, & x \neq 0 \\
1, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 92:
Určíme limitu \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \).
Víme, že \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) a \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \), takže
\( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1 \).
Hodnota funkce v \(0\) je \(1\).
Funkce je spojitá v bodě \(0\).
93. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sqrt{x+1} – 1}{x}, & x \neq 0 \\
\frac{1}{2}, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 93:
Racionalizujeme čitatel:
\( \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{x+1 – 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \).
Limita je
\( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \).
Hodnota funkce v \(0\) je \( \frac{1}{2} \), tedy funkce je spojitá v bodě \(0\).
94. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 94:
Limita \( \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} \) neexistuje, protože argument \( \frac{1}{x} \) osciluje mezi kladnými a zápornými hodnotami velmi rychle.
Hodnota funkce v \(0\) je \(0\).
Protože limita neexistuje, funkce není spojitá v bodě \(0\).
95. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 95:
Protože \( |\sin \frac{1}{x}| \leq 1 \), platí
\( |x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \to 0 \) při \( x \to 0 \).
Tedy limita je \(0\).
Hodnota funkce v \(0\) je \(0\), funkce je spojitá v bodě \(0\).
96. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 – 4x + 4}{x-2}, & x \neq 2 \\
2, & x = 2
\end{cases} \) v bodě \( x=2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 96:
Upravíme zlomek:
\( \frac{x^2 – 4x + 4}{x-2} = \frac{(x-2)^2}{x-2} = x – 2 \), pro \( x \neq 2 \).
Limita v bodě \(2\) je
\( \lim_{x \to 2} (x – 2) = 0 \).
Hodnota funkce v \(2\) je \(2\).
Protože limita a hodnota funkce se nerovnají, funkce není spojitá v bodě \(2\).
97. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{|x|}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 97:
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, proto limita neexistuje.
Hodnota funkce v \(0\) je \(0\).
Funkce není spojitá v bodě \(0\).
98. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 98:
Protože \( |\sin \frac{1}{x}| \leq 1 \), platí
\( |x^2 \sin \frac{1}{x}| \leq x^2 \to 0 \) při \( x \to 0 \).
Limita je tedy \(0\).
Hodnota funkce v \(0\) je \(0\), funkce je spojitá v bodě \(0\).
99. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
x \ln x, & x > 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 99:
Vyhodnotíme limitu z pravé strany:
\( \lim_{x \to 0^+} x \ln x \).
Použijeme substituci \( x = e^{-t} \), tedy \( t \to \infty \) když \( x \to 0^+ \):
\( x \ln x = e^{-t} \cdot (-t) = -t e^{-t} \to 0 \), protože exponenciála klesá rychleji než lineární funkce roste.
Hodnota funkce v \(0\) je \(0\).
Funkce je spojitá v bodě \(0\).
100. Posuďte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{e^x – 1}{x}, & x \neq 0 \\
1, & x = 0
\end{cases} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 100:
Vyhodnotíme limitu \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} \).
Použijeme známý limitní vzorec pro derivaci exponenciály v \(0\):
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = e^0 = 1 \).
Hodnota funkce v \(0\) je \(1\), takže funkce je spojitá v bodě \(0\).
