1. Uvažujme funkci \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), která je rostoucí a má limita zleva i zprava v bodě \( a \in \mathbb{R} \). Prokažte, že \( f \) je spojitá v bodě \( a \).
Řešení příkladu:
Nechť \( f \) je rostoucí funkce a nechť existují limity zleva a zprava v bodě \( a \), tedy
Protože je \( f \) rostoucí, platí \( f(x) \leq f(y) \) pro všechna \( x < y \). Z toho plyne, že
\( L_- \leq f(a) \leq L_+ \).
Limity zleva i zprava existují a jsou konečné, tedy \( L_- \leq L_+ \). Z rostoucí vlastnosti funkce plyne, že hodnoty nemohou přeskočit mezi těmito limity, a tudíž musí být
\( L_- = L_+ = f(a) \).
Tedy \( f \) je spojitá v bodě \( a \), protože limita zleva i zprava se rovná hodnotě funkce v tomto bodě.
2. Nechť \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \) je klesající funkce. Prokažte, že funkce \( f \) může mít v každém bodě maximálně countably mnoho bodů nespojitosti a že všechny nespojitosti jsou typu skoku.
Řešení příkladu:
Nechť \( f \) je klesající na intervalu \([0,1]\). Známá věta z reálné analýzy říká, že monotónní funkce může mít pouze nespojitosti typu skoku, což znamená, že v každém bodě \( a \) existují limity zleva i zprava, přičemž tyto limity se liší:
Monotónní funkce může mít nespojitosti pouze v těchto bodech, a počet těchto bodů je spočetný (countable). Důvod spočívá v tom, že každá nespojitost představuje otevřený interval mezi hodnotami \( L_+ \) a \( L_- \), a tyto intervaly jsou disjunktní.
Protože jsou všechny nespojitosti skokové, funkce nemůže mít jiný typ nespojitosti, jako jsou například nespojitosti typu „vymetení“ nebo „neomezeného oscilování“.
Celkově platí, že počet nespojitostí monotónní funkce je spočetný (countable) a všechny jsou skokové.
3. Uvažujme funkci \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), která je neklesající a nechť \( f \) není spojitá v bodě \( c \). Prokažte, že existuje skoková nespojitost v bodě \( c \) a určete velikost skoku.
Řešení příkladu:
Protože \( f \) je neklesající, existují limity
\( L_- = \lim_{x \to c^-} f(x) \), \( L_+ = \lim_{x \to c^+} f(x) \), které jsou konečné.
Pokud \( f \) není spojitá v bodě \( c \), pak
\( f(c) \neq L_- \) nebo \( f(c) \neq L_+ \) nebo \( L_- \neq L_+ \).
Monotónní funkce má vždy limity zleva i zprava, proto nespojitost musí být skoková, což znamená, že
\( \delta = |L_+ – L_-| > 0 \).
Tato hodnota \( \delta \) se nazývá velikost skoku funkce \( f \) v bodě \( c \).
4. Nechť \( f: [a,b] \to \mathbb{R} \) je rostoucí funkce a \( c \in (a,b) \). Ukážte, že \( f \) je spojitá na množině všech bodů, kde je spojitá zprava.
Řešení příkladu:
Nechť \( c \in (a,b) \) a \( f \) je rostoucí na \([a,b]\). Funkce \( f \) je vždy spojitá zprava, protože limitní hodnoty zprava vždy existují.
Pokud je \( f \) spojitá zprava v bodě \( c \), pak
\( \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c) \).
Protože \( f \) je rostoucí, platí, že limita zleva \( L_- \leq f(c) \). Spojitost zprava tedy implikuje, že funkce nemá skokový pokles zleva, což znamená, že funkce je spojitá v tomto bodě (nemůže zde být žádná skoková nespojitost vzhledem k rostoucí povaze). Z toho plyne, že spojitost zprava implikuje spojitost.
5. Ukažte, že neklesající funkce \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) může mít nejvýše spočetný počet nespojitostí a všechny nespojitosti jsou typu skok.
Řešení příkladu:
Monotónní funkce má v každém bodě limitu zleva a zprava, tyto limity jsou konečné a existují, protože monotónnost omezuje chování funkce.
Každá nespojitost je tedy skoková, což znamená, že rozdíl mezi limitami zleva a zprava je nenulový.
Pokud by existovalo nekonečně mnoho nespojitostí, pak by součet velikostí skoků přesáhl konečnou hodnotu, což není možné, protože monotónní funkce má omezený počet hodnot na daném intervalu.
Proto může mít monotónní funkce nejvýše spočetný počet nespojitostí a všechny jsou skokové.
6. Nechť \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \) je rostoucí a \( g(x) = f(x) + x^2 \). Určete, zda \( g \) je spojitá a monotónní, a zdůvodněte odpověď.
Řešení příkladu:
Funkce \( f \) je rostoucí, tedy pro \( x < y \) platí \( f(x) \leq f(y) \). Funkce \( x^2 \) je spojitá a rostoucí na \([0,1]\).
Funkce \( g(x) = f(x) + x^2 \) je součtem dvou funkcí, z nichž první je monotónní rostoucí (s možnými skoky), druhá je spojitá a rostoucí.
Součet funkce monotónní a spojité rostoucí funkce nemusí být monotónní, pokud \( f \) má skoky, ale v tomto případě, protože \( x^2 \) je spojitá a hladká, \( g \) bude také rostoucí, protože
\( g(y) – g(x) = f(y) – f(x) + y^2 – x^2 \geq y^2 – x^2 > 0 \) pro \( y > x \).
Navíc přidáním spojité funkce \( x^2 \) získáme, že \( g \) bude spojitá, protože všechny skoky \( f \) jsou kompenzovány spojitou částí.
Tedy \( g \) je spojitá a rostoucí funkce na \([0,1]\).
7. Uvažujme klesající funkci \( f: (0,1) \to \mathbb{R} \), která má skokové nespojitosti právě v bodech \( \frac{1}{n} \) pro \( n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \). Určete, zda \( f \) může být spojitá v bodě 0 a proč.
Řešení příkladu:
Funkce \( f \) má skokové nespojitosti v bodech \( \frac{1}{n} \), které konvergují k nule.
Pro spojitost v bodě 0 je potřeba, aby limitní hodnota \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) existovala a rovnávala se hodnotě \( f(0) \) (pokud je definováno).
Protože \( f \) je klesající a skoky jsou klesající, hodnoty \( f(x) \) se budou stabilizovat a limita zprava v 0 existuje (může být konečná nebo nekonečná).
Pokud \( f \) není definována v 0, spojitost v tomto bodě nelze z hlediska funkce na intervalu definovat.
Pokud je definována, stačí nastavit \( f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \), čímž bude \( f \) spojitá v 0.
8. Dokažte, že každá rostoucí funkce \( f: [a,b] \to \mathbb{R} \) má v každém bodě levý a pravý limit.
Řešení příkladu:
Nechť \( f \) je rostoucí na \([a,b]\) a \( c \in (a,b) \). Definujeme limity
Tedy každá rostoucí funkce má v každém bodě intervalového definičního oboru limitu zleva i zprava.
9. Uvažujme funkci \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), která je monotónní a má pouze spočetný počet nespojitostí. Definujte, co znamená, že \( f \) je spojitá téměř všude (a.e.) a prokažte to.
Řešení příkladu:
Spojitost téměř všude (a.e.) znamená, že množina bodů, kde funkce není spojitá, má míru Lebesgue nula.
Monotónní funkce může mít pouze spočetný počet nespojitostí (bodů, kde je skoková nespojitost).
Spočetná množina má míru nula, takže množina nespojitostí má míru Lebesgue rovnu nule.
Tedy monotónní funkce je spojitá téměř všude.
10. Nechť \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \) je rostoucí funkce a \( f(0) = 0 \), \( f(1) = 1 \). Dokažte, že pro každé \( y \in (0,1) \) existuje \( x \in (0,1) \), pro které platí \( f(x) = y \).
Řešení příkladu:
Funkce \( f \) je rostoucí na intervalu \([0,1]\) s hodnotami \( f(0)=0 \) a \( f(1)=1 \).
Protože \( f \) je monotónní, obraz intervalu je interval \([0,1]\) nebo jeho podmnožina.
Pro každé \( y \in (0,1) \) definujeme množinu
\( A_y = \{ x \in [0,1] : f(x) \geq y \} \).
Tato množina není prázdná, protože \( f(1) = 1 \geq y \). Definujeme \( x_y = \inf A_y \).
Protože \( f \) je rostoucí, platí, že \( f(x_y) = y \). Pokud by platilo \( f(x_y) > y \), tak by existoval menší bod, kde je \( f \geq y \), což je spor s definicí infima.
Tedy pro každé \( y \in (0,1) \) existuje \( x \in [0,1] \) s \( f(x) = y \). Jelikož \( f(0) = 0 \) a \( f \) je rostoucí, platí \( x_y \in (0,1) \).
11. Nechť \( f: [0,2] \to \mathbb{R} \) je monotónně rostoucí funkce, která má v bodě \( x=1 \) skokovou nespojitost. Dokažte, že \( f \) nemůže být spojitá na celém intervalu \( [0,2] \). Zároveň najděte, zda je funkce spojitá na množině \( [0,1) \cup (1,2] \).
Řešení:
Monotónní funkce \( f \) má v bodě \( x=1 \) skokovou nespojitost. To znamená, že existují jednostranné limity
Pro spojitost v bodě \( x=1 \) by bylo potřeba, aby platilo
\( f(1^-) = f(1) = f(1^+) \),
což zde není splněno, protože funkce má skokovou nespojitost. Proto \( f \) není spojitá v \( x=1 \) a nemůže být tedy spojitá na celém intervalu \( [0,2] \).
Na množině \( [0,1) \cup (1,2] \) je funkce monotónní a jelikož mimo bod \( x=1 \) nemá jiné nespojitosti, musí být spojitá. Monotónní funkce má totiž pouze spočetný počet nespojitostí a všechny jsou skokové. Na otevřených intervalech mimo nespojitosti je tedy spojitá.
Závěr: \( f \) není spojitá na \( [0,2] \), ale je spojitá na \( [0,1) \cup (1,2] \).
12. Nechť \( g: [a,b] \to \mathbb{R} \) je monotónně klesající a spojitá funkce. Dokažte, že \( g \) je na \( [a,b] \) omezena a že její image \( g([a,b]) \) je uzavřený interval.
Řešení:
Monotónně klesající funkce \( g \) splňuje pro \( x_1 < x_2 \) vztah
\( g(x_1) \geq g(x_2) \).
Proto existují limity na krajích intervalu
\( g(a) = \sup_{x \in [a,b]} g(x) \),
\( g(b) = \inf_{x \in [a,b]} g(x) \).
Funkce \( g \) je spojitá na uzavřeném intervalu, proto podle věty o spojitém obrazu uzavřeného intervalu platí, že
\( g([a,b]) \) je uzavřený interval, konkrétně interval
\( [g(b), g(a)] \).
Omezenost plyne z faktu, že \( g([a,b]) \subseteq [g(b), g(a)] \), což je omezený interval.
Závěr: \( g \) je omezená na \( [a,b] \) a \( g([a,b]) = [g(b), g(a)] \) je uzavřený interval.
13. Určete, zda může existovat monotónně rostoucí funkce \( h: (0,1) \to \mathbb{R} \), která je spojitá pouze na racionálních číslech v intervalu \( (0,1) \) a nespojitá na iracionálních číslech v tomto intervalu.
Řešení:
Nechť \( h \) je monotónně rostoucí na \( (0,1) \). Monotónní funkce může mít nespočetný počet nespojitostí, ale všechny tyto nespojitosti jsou typu skokového.
Pokud by \( h \) byla spojitá právě na racionálních číslech, které jsou husté v \( (0,1) \), a nespojitá na iracionálních, musela by tedy být zároveň spojitá na množině husté v intervalu, ale nespojitá na jiném hustém podmnožině.
Monotónní funkce má spočetný počet nespojitostí, což znamená, že množina bodů nespojitosti nemůže být hustá v intervalu \( (0,1) \).
Tedy nemůže existovat monotónní funkce, která by byla spojitá právě na racionálních číslech a nespojitá na iracionálních číslech, protože množina nespojitostí by musela být hustá, což odporuje vlastnostem monotónní funkce.
Závěr: Taková funkce neexistuje.
14. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je monotónně klesající funkce. Dokažte, že na každém bodě \( x_0 \in \mathbb{R} \) existují jednostranné limity \( f(x_0^-) \) a \( f(x_0^+) \). Dále ukažte, že funkce může být nespojitá pouze skokovou nespojitostí.
Řešení:
Pro monotónně klesající funkci \( f \) existují limity zleva a zprava v každém bodě, protože monotónnost zaručuje, že funkce má omezené limity jednostranné.
Konkrétně, pro každý \( x_0 \in \mathbb{R} \) definujeme
Protože limity zleva a zprava existují, ale nemusí být rovny hodnotě v bodě, funkce může mít jen skokovou nespojitost.
Závěr: Monotónní klesající funkce má v každém bodě jednostranné limity a může být nespojitá pouze skokovou nespojitostí.
15. Nechť \( f: [0,3] \to \mathbb{R} \) je monotónně rostoucí funkce, která má v každém bodě intervalu \( (0,3) \) spojitou hodnotu, ale na koncových bodech může mít nespojitost. Prozkoumejte spojitost funkce na intervalu a určete typ nespojitostí na krajích.
Řešení:
Monotónní rostoucí funkce má v každém bodě \( x \in (0,3) \) spojitou hodnotu, tedy pro všechny \( x \in (0,3) \) platí spojitost.
Na krajních bodech \( x=0 \) a \( x=3 \) může mít nespojitost, protože tam není definována jednostranná limita zvenčí intervalu.
Uvažujme krajní bod \( x=0 \):
Jednostranná limita zprava
\( f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \)
existuje díky monotónnosti.
Funkce může být buď spojitá v bodě \( 0 \), pokud \( f(0) = f(0^+) \), nebo nespojitá, pokud \( f(0) \neq f(0^+) \). V druhém případě jde o skokovou nespojitost.
Analogicky pro \( x=3 \) má existovat
\( f(3^-) = \lim_{x \to 3^-} f(x) \).
Pokud \( f(3) \neq f(3^-) \), pak je v \( x=3 \) skoková nespojitost.
Závěr: Funkce je spojitá na otevřeném intervalu \( (0,3) \) a může mít skokové nespojitosti na krajních bodech.
16. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je monotónně rostoucí funkce. Dokažte, že množina jejích nespojitostí je nejvýše spočetná.
Řešení:
Monotónní funkce může mít pouze nespojitosti typu skokového.
Každé nespojitosti odpovídá nenulový skok, tj. rozdíl jednostranných limit:
\( \delta_x = |f(x^+) – f(x^-)| > 0 \).
Protože \( f \) je monotónní na celém reálném oboru, hodnota funkce má omezený rozsah skoků, které jsou nezáporné a sčítají se do konečného součtu omezeného hodnotou rozdílu mezi dolní a horní mezí funkce.
To znamená, že nespočetný počet nespojitostí by vedl k nekonečnému součtu kladných skoků, což je nemožné.
Tedy množina nespojitostí je nejvýše spočetná.
17. Nechť \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \) je monotónně rostoucí funkce. Určete, zda \( f \) může mít nespojitosti v každém racionálním bodě intervalu \( [0,1] \).
Řešení:
Racionálních čísel je spočetně mnoho.
Monotónní funkce může mít nejvýše spočetný počet nespojitostí.
Proto je možné, aby \( f \) měla nespojitosti v každém racionálním bodě, protože množina racionálních je spočetná.
Příkladem je funkce definovaná jako součet skoků v každém racionálním bodě s vhodným vážením velikostí skoků tak, aby součet byl konvergentní a funkce byla monotónní.
Závěr: Ano, monotónní funkce může mít nespojitosti ve všech racionálních bodech intervalu.
18. Nechť \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \) je monotónní funkce a \( c \in (0,1) \). Dokažte, že spojitost funkce \( f \) v bodě \( c \) je ekvivalentní tomu, že limity jednostranné se shodují s hodnotou funkce, tedy
\( f(c^-) = f(c) = f(c^+) \).
Řešení:
Pro monotónní funkci \( f \) existují vždy jednostranné limity \( f(c^-) \) a \( f(c^+) \).
Funkce je spojitá v bodě \( c \), pokud a jen pokud
\( \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \).
Vzhledem k existenci jednostranných limit platí
\( \lim_{x \to c} f(x) \) existuje právě tehdy, když
\( f(c^-) = f(c^+) \).
Pokud tedy navíc platí \( f(c) = f(c^-) = f(c^+) \), pak je funkce spojitá v \( c \).
Naopak, pokud je funkce spojitá v \( c \), pak tyto rovnosti platí.
Závěr: Spojitost v bodě \( c \) je ekvivalentní rovnosti \( f(c^-) = f(c) = f(c^+) \).
19. Nechť \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \) je monotónní funkce, která má nespočetný počet nespojitostí. Vyvracejte toto tvrzení, nebo dokažte jeho nepravdivost.
Řešení:
Monotónní funkce může mít pouze nespojitosti skokového typu, každá nespojitost odpovídá nenulovému skoku.
Součet velikostí všech těchto skoků je omezený hodnotou \( f(b) – f(a) \) na intervalu \( [a,b] \).
Pokud by jich bylo nespočetně mnoho, pak by součet jejich velikostí byl nekonečný, což je nemožné.
Tedy množina nespojitostí monotónní funkce je nejvýše spočetná.
Závěr: Tvrzení, že monotónní funkce má nespočetný počet nespojitostí, je nepravdivé.
20. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je funkce monotónní rostoucí a \( A \subseteq \mathbb{R} \) množina bodů, kde je \( f \) nespojitá. Dokažte, že \( A \) je maximálně spočetná množina.
Řešení:
Pro každý bod nespojitosti \( x \in A \) má funkce nenulový skok
\( \delta_x = f(x^+) – f(x^-) > 0 \).
Protože \( f \) je monotónně rostoucí, je součet všech těchto skoků omezený hodnotou
\( f(+\infty) – f(-\infty) \), která je konečná nebo nekonečná, ale i v případě nekonečna lze ukázat, že množina takových nespojitostí nemůže být nespočetná bez použití vlastností reálných čísel.
Protože každému nespojitostnímu bodu odpovídá nenulový kladný skok, není možné mít nespočetně mnoho takových bodů.
Tedy množina \( A \) je nejvýše spočetná.
21. Nechť \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \) je monotónně rostoucí funkce s hodnotami \( f(0)=0 \), \( f(1)=1 \). Dokažte, že množina bodů, kde je \( f \) nespojitá, má míru Lebesgue nula.
Řešení:
Monotónní funkce má pouze skokové nespojitosti, každému bodu nespojitosti \( x_i \) odpovídá kladný skok \( \delta_i > 0 \).
Spočetný součet všech skoků je omezen hodnotou \( f(1)-f(0)=1 \).
Množina bodů nespojitosti je tedy spočetná nebo její spočetné podmnožiny lze očíslovat, proto má míru Lebesgue rovnu nule.
22. Předpokládejme, že \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je neklesající a existuje bod \( a \), kde \( f \) není spojitá. Dokažte, že v bodě \( a \) má \( f \) vždy nenulový skok.
Řešení:
Pro neklesající funkci existují limity \( f(a^-) \) a \( f(a^+) \).
Pokud \( f \) není spojitá v \( a \), pak \( f(a^-) \neq f(a^+) \Rightarrow \delta = f(a^+) – f(a^-) > 0 \).
Tento rozdíl je definice nenulového skoku v bodě \( a \).
23. Uvažujme funkci \( f: [0,2\pi] \to \mathbb{R} \), \( f(x) = \sup_{0 \le t \le x} \cos t \). Určete všechny body, kde je \( f \) nespojitá, a charakterizujte typ nespojitosti.
Řešení:
Hodnoty \(\cos t\) dosahují maxima 1 v bodech \(2k\pi\). Pro \(x<2\pi\) je první maxima v \(x=0\), pak opět při \(x=2\pi\).
Funkce \(f\) roste do 1 a pak je konstantní. Skokové nespojitosti nastávají v bodech, kde supremum dosáhne nové hodnoty maxima, ale zde maxima jsou stejné, takže žádné skoky.
Funkce je tedy spojitá na celém intervalu.
24. Nechť \( g: (a,b) \to \mathbb{R} \) je monotónní funkce a \( c_n \) je posloupnost bodů nespojitosti. Prokažte, že \( c_n \) se nemůže hromadit v intervalu \((a,b)\).
Pokud by \( c_n \to c \in (a,b) \), suma skoků v okolí \( c \) by překročila omezení dané monotónní funkcí.
Tudíž nemůže existovat hromadící bod nespojitostí uvnitř intervalu.
25. Ukažte, že pokud \( f: [a,b] \to \mathbb{R} \) je monotónní a spojitá, pak je uniformně spojitá.
Řešení:
Spojitá funkce na kompaktním intervalu je uniformně spojitá (Heine–Cantorova věta).
Monotónnost zajišťuje pouze existenci jednostranných limit, ale uniformní spojitost plyne ze spojitosti na uzavřeném intervalu.
26. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je neklesající a má spojitou pravou limitu v každém bodě. Dokažte, že \( f \) je spojitá celé.
Řešení:
Pravá limita \( f(x^+) = f(x) \) a proto neexistují skoky vzhůru.
Neklesající funkce nemůže mít skoky dolů, protože pravá limita zachycuje chování zprava.
Proto jsou limity zleva i zprava rovny hodnotě funkce, tj. \( f \) je spojitá.
27. Definujte \( f: (0,1) \to \mathbb{R} \) jako \( f(x)=\lfloor x \cdot n \rfloor/n \) pro pevné \( n\in\mathbb{N} \). Pro každé \( n \) určete body nespojitosti a popište jejich typ.
Řešení:
Funkce má skoky v bodech \( x = k/n \), \( k=1,2,\dots,n-1 \). V každém takovém bodě je skoková nespojitost velikosti \(1/n\).
Mimo tyto body je \( f \) konstantní a tedy spojitá.
28. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je rostoucí a \( g(x)=f(x)+h(x) \), kde \( h \) je spojitá. Prokažte, že nespojitosti \( g \) jsou stejné jako nespojitosti \( f \).
Řešení:
Skoky \( f \) v bodech \( x_i \) odpovídají skokům \( g \), protože \( h \) je spojitá a přidává spojitou složku.
\( g(x^+) – g(x^-) = [f(x^+)-f(x^-)] + [h(x^+)-h(x^-)],\) ale \( h(x^+)-h(x^-)=0\), takže skoky zůstávají.
29. Uvažujte funkci \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \) definovanou jako \( f(x)=\begin{cases}x & x\in\mathbb{Q},\\2x & x\notin\mathbb{Q}.\end{cases} \) Určete, zda může být monotónní a zjistěte její body spojitosti.
Řešení:
Funkce není monotónní, protože v každém okolí racionálních a iracionálních bodů dochází k oscilacím.
Body spojitosti by musely splňovat \( x = 2x \Rightarrow x=0 \). Ověřením vidíme, že v \( x=0 \) je \( f(0)=0 \) a oba předpisy dávají 0, což je jediné spojité místo.
30. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je monotónně rostoucí a definiční obor rozdělte na podintervaly, kde je \( f \) spojitá a kde má skoky. Navrhněte postup, jak takové rozdělení najít.
Řešení:
1) Najděte všechny body, kde \( f(x^+) – f(x^-) > 0 \). To jsou skoky.
2) Mezi těmito body jsou otevřené intervaly, na kterých je \( f \) spojitá.
3) Takto vznikne spočetný rozklad reálné osy na směsnici spojitých úseků a izolovaných bodů skoků.
31. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je rostoucí funkce a \( D \subseteq \mathbb{R} \) je množina všech bodů, kde \( f \) není spojitá. Dokažte, že pro každé omezené intervalové podmnožiny \( I \subseteq \mathbb{R} \) je průnik \( D \cap I \) konečný nebo spočetný.
Řešení:
Rostoucí funkce může mít pouze skokové nespojitosti, kde \( f(x^+) – f(x^-) > 0 \).
Každému bodu \( x \in D \cap I \) přiřadíme skok \( \delta_x = f(x^+) – f(x^-) \), přičemž \( \delta_x > 0 \).
Protože funkce je omezená na intervalu \( I \), platí \( \sum_{x \in D \cap I} \delta_x \leq \sup f(I) – \inf f(I) < \infty \).
Součet kladných čísel může být konečný jen tehdy, když je počet sčítanců nejvýše spočetný.
Tedy množina \( D \cap I \) je konečná nebo spočetná.
32. Funkce \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je rostoucí a má konečně mnoho bodů nespojitosti. Dokažte, že \( f \) je spojitá téměř všude.
Řešení:
Pokud má funkce pouze konečně mnoho nespojitostí, potom jejich množina má míru nula.
Spojité body tvoří doplněk konečné množiny, což je množina míry plné.
Tedy \( f \) je spojitá téměř všude ve smyslu Lebesgueovy míry.
33. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je neklesající a omezená. Dokažte, že limity v nekonečnu existují.
Řešení:
Protože \( f \) je neklesající, platí pro všechna \( x < y \), že \( f(x) \leq f(y) \).
Nechť \( M = \sup_{x \in \mathbb{R}} f(x) \), \( m = \inf_{x \in \mathbb{R}} f(x) \), pak \( m \leq f(x) \leq M \).
Limitní hodnota pro \( x \to +\infty \) existuje jako supremum, tedy \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = \sup_{x \in \mathbb{R}} f(x) \).
34. Uvažujme funkci \( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \chi_{[n, \infty)}(x) \). Určete monotónnost a spojitost této funkce.
Řešení:
Funkce \( f \) je neklesající, protože pro každé \( x \), pokud přidáme další charakteristickou funkci, celková hodnota nemůže klesnout.
Každý člen \(\chi_{[n,\infty)}\) je nespojitý v \( x = n \), takže \( f \) má skokové nespojitosti v každém \( n \in \mathbb{N} \).
Mimo těchto bodů je funkce spojitá, protože součet spojitých funkcí je spojitý na otevřených intervalech.
35. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je rostoucí a má spojitý derivát \( f‘ \). Dokažte, že \( f \) je spojitá.
Řešení:
Pokud \( f \) má derivaci a \( f‘ \) je spojitá, pak podle vět o spojitosti derivací musí být \( f \) spojitá.
Navíc derivace existuje v každém bodě, což vylučuje skoky.
Tedy \( f \) je spojitá na celé \( \mathbb{R} \).
36. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je rostoucí funkce. Dokažte, že množina hodnot \( f(\mathbb{R}) \) je interval.
Řešení:
Rostoucí funkce je taková, že pokud \( x < y \Rightarrow f(x) \leq f(y) \).
Nechť \( a,b \in \mathbb{R} \), \( a < b \Rightarrow f(a) \leq f(b) \), a pro libovolné \( c \in [f(a),f(b)] \) lze nalézt \( x \in (a,b) \), kde \( f(x) = c \).
Proto je obraz spojitý, nebo tvoří uzavřený či polouzavřený interval v závislosti na diskontinuitách.
37. Je-li \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) neklesající a má limitu zprava i zleva v každém bodě, dokažte, že má nejvýše spočetně mnoho nespojitostí.
Řešení:
V každém bodě nespojitosti dochází ke skoku \( \delta > 0 \).
Sečtením všech skoků dostáváme řadu s kladnými členy, která musí konvergovat nebo divergovat.
Protože rozsah funkce je omezený nebo konečný, může být součet skoků maximálně konečný.
Taková řada může mít nejvýše spočetně mnoho členů.
38. Nechť \( f: (0,1) \to \mathbb{R} \) je rostoucí a pro každé racionální \( q \in (0,1) \) platí, že \( f \) má v \( q \) skok. Je to možné?
Řešení:
Racionálních čísel je spočetně mnoho, a tedy počet skoků by mohl být spočetný.
Celkový součet skoků musí být omezený, jinak by funkce divergovala.
Pokud například každému racionálnímu bodu přiřadíme skok \( \frac{1}{2^n} \), pak součet je konečný a funkce může existovat.
Taková funkce je monotónní a nespojitá právě v racionálních bodech.
39. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je neklesající a spojitá v každém bodě mimo množinu \( A \), která má míru nula. Dokažte, že \( f \) je Lebesgueovsky měřitelná.
Řešení:
Každá monotónní funkce je měřitelná.
Spojitost mimo množinu míry nula zajišťuje, že předobrazy otevřených množin jsou měřitelné.
Tedy \( f \) je Lebesgueovsky měřitelná.
40. Ukažte, že každá spojitá monotónní funkce \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) má jednostranné derivace v každém bodě a že tyto derivace jsou konečné.
Řešení:
Monotónnost zajišťuje existenci jednostranných limit podílů směrnicových sekant.
Spojitost zajišťuje, že tyto limity nejsou nekonečné.
Tedy funkce má jednostranné derivace, které jsou konečné, i když nemusí být rovny (tedy derivace v klasickém smyslu nemusí existovat).
41. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je neklesající a spojitá na každém intervalu tvaru \( (a, b) \), ale není spojitá na celé \( \mathbb{R} \). Určete množinu bodů nespojitosti.
Řešení:
Funkce je spojitá na každém otevřeném intervalu, ale nemusí být spojitá na jeho krajních bodech.
Nespojitost může nastat v izolovaných bodech, například na celých číslech, pokud funkce tam mění hodnotu skokem.
Tato množina bodů nespojitosti je podmnožinou hranic intervalů, tedy nejvýše spočetná.
Proto množina všech bodů nespojitosti je spočetná podmnožina \( \mathbb{R} \).
42. Nechť \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \) je monotónně klesající funkce, která je nespojitá právě v každém bodě množiny Cantorovy. Je taková funkce možná?
Řešení:
Cantorova množina je neprázdná, uzavřená, nemá vnitřní body a je nespočetná.
Protože každá nespojitost monotónní funkce je skok, a součet všech skoků musí být konečný (funkce je omezená na [0,1]), tak nemůže existovat tolik nespojitostí s nenulovým skokem.
Nespočetná množina skoků s nenulovou hodnotou by vedla k divergenci celkového rozdílu funkčních hodnot.
Tedy taková funkce neexistuje. Množina bodů nespojitosti monotónní funkce je nejvýše spočetná.
43. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je rostoucí a zleva spojitá. Dokažte, že \( f \) má jednostrannou limitu zprava v každém bodě.
Řešení:
Funkce rostoucí má v každém bodě jednostranné limity, které vždy existují (možná nekonečné).
Protože \( f \) je rostoucí, limita zprava v bodě \( x \) je \( f(x^+) = \inf_{y > x} f(y) \).
Infimum rostoucí posloupnosti je definováno a konečné, pokud je funkce omezená.
Takže \( f(x^+) \) existuje pro všechna \( x \in \mathbb{R} \).
44. Nechť \( f: (0,1) \to \mathbb{R} \) je monotónní a spojitá. Ukažte, že limita \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) existuje (možná nekonečná).
Řešení:
Funkce je monotónní na intervalu \( (0,1) \), takže má jednostranné limity na každé straně.
Specificky pro \( x \to 0^+ \) je limita \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \inf_{x \in (0,1)} f(x) \), pokud je \( f \) rostoucí.
Analogicky, pokud je \( f \) klesající, pak \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \sup_{x \in (0,1)} f(x) \).
V obou případech limita existuje (možná v rozšířené reálné množině).
45. Najděte příklad funkce \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), která je monotónní, nespojitá, a každá její nespojitost má nulový skok.
Řešení:
Každá monotónní nespojitost je skoková, a tedy má nenulový skok. Pokud by byl skok nulový, funkce by musela být spojitá.
Tedy neexistuje žádná monotónní funkce, která by měla nespojitosti se skokem nulovým.
Taková funkce nemůže existovat, protože \( f(x^+) = f(x^-) \Rightarrow f \) je spojitá v \( x \).
46. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je neklesající a má derivaci téměř všude. Dokažte, že \( f \) je spojitá téměř všude.
Řešení:
Derivace existuje téměř všude podle Lebesgueova smyslu.
Bod nespojitosti by znamenal, že derivace v okolí neexistuje nebo diverguje.
Protože množina bodů bez derivace má míru nula, množina bodů nespojitosti je podmnožinou této množiny.
Tedy \( f \) je spojitá téměř všude.
47. Dokažte, že každá monotónní funkce na intervalu \( [a, b] \) je Riemannovsky integrovatelná.
Řešení:
Monotónní funkce má nejvýše spočetně mnoho nespojitostí.
Množina nespojitostí monotónní funkce má tedy míru nula.
Podle věty o Riemannově integrovatelnosti: funkce na \( [a, b] \) je integrovatelná, pokud je omezená a má množinu bodů nespojitosti míry nula.
Tedy \( f \) je Riemannovsky integrovatelná.
48. Ukažte, že každá monotónní funkce na intervalu je limitou rostoucí posloupnosti spojitých funkcí.
Řešení:
Existuje aproximace pomocí spojitých funkcí zdola.
Pro každou monotónní \( f \) lze definovat funkci \( f_n(x) = \inf\{f(y) + \frac{1}{n} : y \in [a,b], |x – y| \leq \frac{1}{n} \} \).
Každá \( f_n \) je spojitá a \( f_n(x) \leq f_{n+1}(x) \leq f(x) \).
Pak \( \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \).
49. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je klesající a má limitu v každém bodě zleva i zprava. Ukažte, že množina bodů nespojitosti je spočetná.
Řešení:
Každý bod nespojitosti odpovídá skokové nespojitosti.
Funkce klesající má v každém bodě dobře definované jednostranné limity.
Počet bodů s nenulovým skokem musí být nejvýše spočetný, protože součet skoků je omezen hodnotou \( f(a) – f(b) \).
Tedy množina bodů nespojitosti je spočetná.
50. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je monotónní. Dokažte, že limita zleva v každém bodě existuje a je menší nebo rovna limitě zprava.
Řešení:
Pro každé \( x \in \mathbb{R} \) existuje limita \( f(x^-) = \sup_{y < x} f(y) \), a \( f(x^+) = \inf_{y > x} f(y) \).
Pro monotónní rostoucí funkci platí \( f(x^-) \leq f(x^+) \).
Pro klesající funkci analogicky \( f(x^-) \geq f(x^+) \).
Tedy jednostranné limity existují a mají uvedené uspořádání.
51. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je rostoucí funkce, která je spojitá právě na množině iracionálních čísel. Je taková funkce možná?
Řešení:
Monotónní funkce může být nespojitá pouze ve skokových bodech, kterých je nejvýše spočetně.
Racionální čísla jsou spočetná, ale iracionální čísla tvoří nespočetnou množinu.
Pokud by \( f \) byla spojitá pouze na iracionálních číslech, musela by být nespojitá v každém racionálním bodě, tedy v nespočetně mnoha bodech.
To je však v rozporu s tím, že monotónní funkce má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti.
Taková funkce tedy nemůže existovat.
52. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je monotónně klesající funkce, která má v každém bodě nespojitosti skok rovný \( \frac{1}{2^n} \), kde \( n \in \mathbb{N} \). Ukažte, že množina bodů nespojitosti je spočetná.
Řešení:
Celkový možný pokles funkce je omezen, protože součet všech skoků je roven \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = 1 \).
Každý bod nespojitosti odpovídá nějakému skoku velikosti \( \frac{1}{2^n} \), tedy existuje bijekce mezi množinou bodů nespojitosti a podmnožinou \( \mathbb{N} \).
To znamená, že množina bodů nespojitosti je spočetná.
53. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je monotónně rostoucí a \( f(x) = \lfloor x \rfloor \). Určete množinu bodů nespojitosti a ověřte, že jejich počet je spočetný.
Řešení:
Funkce \( f(x) = \lfloor x \rfloor \) je skoková funkce, která mění hodnotu v každém celém čísle.
V každém bodě \( n \in \mathbb{Z} \) platí \( f(n^-) = n – 1 \), \( f(n) = n \Rightarrow \) skok velikosti 1.
Množina bodů nespojitosti je tedy \( \mathbb{Z} \), což je spočetná množina.
54. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je monotónní funkce a \( x_0 \in \mathbb{R} \) je její bod nespojitosti. Ukažte, že \( f(x_0^+) – f(x_0^-) > 0 \).
Řešení:
Vzhledem k tomu, že monotónní funkce má pouze skokové nespojitosti, existují jednostranné limity.
V bodě nespojitosti platí \( f(x_0^-) \neq f(x_0^+) \), tedy mezi těmito hodnotami je rozdíl.
Jelikož \( f \) je rostoucí, pak \( f(x_0^-) < f(x_0^+) \Rightarrow \) skok kladný.
Rozdíl \( f(x_0^+) – f(x_0^-) > 0 \) vždy platí.
55. Nechť \( f: [a,b] \to \mathbb{R} \) je rostoucí a spojitá zleva v každém bodě. Ukažte, že \( f \) je zprava spojitá téměř všude.
Řešení:
Každá rostoucí funkce má jednostranné limity v každém bodě, včetně pravostranné limity.
Body nespojitosti jsou skokové, tedy v každém takovém bodě je nespojitost zprava.
Množina bodů nespojitosti monotónní funkce je spočetná.
Tedy množina bodů, kde \( f \) není zprava spojitá, je spočetná, a tedy má míru nula.
Z toho plyne, že \( f \) je zprava spojitá téměř všude.
56. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je klesající funkce, která má limitu v každém bodě. Ukažte, že \( f \) je spojitá mimo spočetnou množinu.
Řešení:
Pokud \( f \) je klesající, má v každém bodě dobře definované jednostranné limity.
Pokud existuje limita \( \lim_{x \to x_0} f(x) \), pak je rovna \( f(x_0^-) = f(x_0^+) \).
V takovém bodě je tedy \( f \) spojitá.
Nespojitosti mohou nastat jen tam, kde limity existují, ale nerovnají se funkční hodnotě \( f(x_0) \), což jsou skokové body.
Takových bodů může být nejvýše spočetně mnoho.
57. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je monotónní funkce a \( x \in \mathbb{R} \). Dokažte, že funkce je spojitá v \( x \) právě tehdy, když \( f(x^-) = f(x) = f(x^+) \).
Řešení:
Nechť \( f \) je spojitá v \( x \Rightarrow \lim_{y \to x} f(y) = f(x) \).
Proto musí být i \( \lim_{y \to x^-} f(y) = \lim_{y \to x^+} f(y) = f(x) \).
Naopak, pokud \( f(x^-) = f(x) = f(x^+) \), pak jednostranné limity existují a jsou rovny funkční hodnotě.
To znamená, že limita zleva i zprava existuje a rovná se \( f(x) \Rightarrow f \) je spojitá v \( x \).
58. Nechť \( f: (0,\infty) \to \mathbb{R} \) je monotónní a omezená. Ukažte, že limita \( \lim_{x \to \infty} f(x) \) existuje.
Řešení:
Funkce je monotónní, tedy má jednoznačné chování v nekonečnu (roste nebo klesá).
Protože je zároveň omezená, nemůže divergovat.
Rostoucí omezená funkce má limitu rovnou supremu.
Klesající omezená funkce má limitu rovnou infimu.
Tedy \( \lim_{x \to \infty} f(x) \) existuje jako reálné číslo.
59. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je rostoucí funkce, jejíž graf je spojitá křivka v eukleidovském prostoru. Dokažte, že \( f \) je spojitá.
Řešení:
Graf funkce \( f \) je množina \( \{ (x, f(x)) : x \in \mathbb{R} \} \).
Pokud tato množina tvoří spojitou křivku v eukleidovském prostoru, pak projekce na osu \( y \) je spojitá vzhledem k proměnné \( x \).
To znamená, že funkce \( f \) musí být spojitá jako zobrazení \( x \mapsto f(x) \).
Tedy rostoucí funkce s takto spojitým grafem je spojitá.
60. Nechť \( f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R} \) je monotónní a \( \mathbb{Q} \) je uspořádán jako podmnožina \( \mathbb{R} \). Lze tuto funkci rozšířit na spojitou monotónní funkci na \( \mathbb{R} \)?
Řešení:
Monotónní funkce definovaná na husté podmnožině \( \mathbb{Q} \) má v každém bodě \( x \in \mathbb{R} \) dobře definované jednostranné limity.
Takto definovaná funkce je rostoucí a spojitá na \( \mathbb{R} \).
Tedy existuje spojité monotónní rozšíření funkce \( f \) z \( \mathbb{Q} \) na \( \mathbb{R} \).
61. Mějme funkci \( f(x) = \lfloor x \rfloor \). Určete, zda je tato funkce monotónní a spojitá, a pokud není, určete body nespojitosti.
Řešení:
Funkce \( f(x) = \lfloor x \rfloor \) je funkcí, která každému reálnému číslu přiřadí největší celé číslo menší nebo rovné než \( x \).
Je zřejmé, že funkce je monotónně neklesající, protože pokud \( x_1 < x_2 \), pak \( \lfloor x_1 \rfloor \leq \lfloor x_2 \rfloor \).
Funkce však není spojitá ve všech celých bodech \( x \in \mathbb{Z} \), protože v každém takovém bodě má skok.
Například pro \( x = 2 \) platí:
\( \lim_{x \to 2^-} \lfloor x \rfloor = 1 \), zatímco \( \lfloor 2 \rfloor = 2 \).
Skok tedy činí \( 1 \), což znamená nespojitost.
Tedy: \( f \) je monotónní neklesající, ale není spojitá – má nespojitosti ve všech celých bodech \( \mathbb{Z} \).
62. Nechť \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je funkce definovaná vzorcem \( f(x) = x + \frac{1}{x} \). Určete monotónnost a spojitost funkce na intervalech \( (-\infty, 0) \) a \( (0, \infty) \).
Řešení:
Nejprve zjistíme definiční obor funkce \( f(x) = x + \frac{1}{x} \). Funkce není definována v bodě \( x = 0 \), tedy \( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
Určíme první derivaci:
\( f'(x) = 1 – \frac{1}{x^2} \).
Na intervalu \( (0, \infty) \) platí \( x > 0 \), tedy:
Podobně na intervalu \( (-\infty, 0) \), tedy \( x < 0 \):
\( f'(x) > 0 \Leftrightarrow x < -1 \),
\( f'(x) < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 0 \).
Funkce tedy není monotónní na žádném z uvedených intervalů – má lokální extrémy.
Co se týče spojitosti: funkce je spojitá na každém intervalu \( (-\infty, 0) \) a \( (0, \infty) \), protože je zde složením spojitých funkcí a žádná z nich nezpůsobuje nespojitost.
V bodě \( x = 0 \) funkce není definována, tedy není ani spojitá.
63. Je dána funkce \( f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \). Ověřte, zda je monotónní a zda je spojitá na \( \mathbb{R} \).
Řešení:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \) je tzv. logistická funkce.
Její derivace je:
\( f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2} \), což je kladné číslo pro každé \( x \in \mathbb{R} \), protože jmenovatel i čitatel jsou kladné.
Tedy funkce je monotónně rostoucí na celém \( \mathbb{R} \).
Protože funkce vzniká jako složení elementárních spojitých funkcí (exponenciální, lineární, převrácená), je spojitá na celé \( \mathbb{R} \).
Tedy \( f \) je monotónní a spojitá na \( \mathbb{R} \).
64. Uvažujme funkci \( f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ 2x – 1, & x > 1 \end{cases} \). Zjistěte, zda je funkce monotónní a spojitá na \( \mathbb{R} \).
Řešení:
Nejprve prověříme spojitost v bodě \( x = 1 \), kde se mění předpis:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 = 1 \),
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 \cdot 1 – 1 = 1 \),
A také \( f(1) = 1^2 = 1 \).
Všechny tři hodnoty jsou stejné \( \Rightarrow \) funkce je spojitá v bodě 1.
Na intervalu \( (-\infty, 1] \) je \( f(x) = x^2 \), což je neklesající pouze na \( [0,1] \), ale na celém intervalu klesá do nuly a poté roste.
Na \( (1, \infty) \) je funkce lineární rostoucí \( f(x) = 2x – 1 \).
Celkově tedy funkce není monotónní na \( \mathbb{R} \), ale je naopak spojitá.
65. Ukažte, že každá monotónní klesající funkce \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), která je shora omezená, nemusí být spojitá.
Řešení:
Uvažujme funkci \( f(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x \geq 0 \end{cases} \).
Tato funkce je zjevně klesající, neboť pro \( x < y \) platí \( f(x) \geq f(y) \).
Navíc je shora omezená hodnotou \( 0 \).
V bodě \( x = 0 \) má funkce skok: \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \), zatímco \( f(0) = 0 \).
Tedy funkce není spojitá v bodě 0.
Tím jsme ukázali, že ani klesající a omezená funkce nemusí být spojitá.
66. Funkce \( f(x) = \arctan(x) \) je definována na celé \( \mathbb{R} \). Určete, zda je monotónní a spojitá.
Řešení:
Funkce \( \arctan(x) \) je derivovatelná na \( \mathbb{R} \) s derivací:
\( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} > 0 \) pro každé \( x \in \mathbb{R} \).
Tedy funkce je monotónně rostoucí na \( \mathbb{R} \).
Protože je derivovatelná na \( \mathbb{R} \), je také spojitá na \( \mathbb{R} \).
Výsledek: funkce \( f(x) = \arctan(x) \) je monotónní i spojitá na \( \mathbb{R} \).
67. Funkce \( f(x) = \ln(x) \) je definována na \( (0, \infty) \). Ověřte její monotónnost a spojitost.
Řešení:
Funkce \( \ln(x) \) má derivaci \( f'(x) = \frac{1}{x} > 0 \) pro každé \( x > 0 \).
Tedy funkce je na \( (0, \infty) \) monotónně rostoucí.
Funkce je spojitá na svém definičním oboru \( (0, \infty) \), protože logaritmus je spojitá funkce.
Závěr: funkce \( f(x) = \ln(x) \) je spojitá a monotónní rostoucí na \( (0, \infty) \).
68. Nechť \( f(x) = \tan(x) \) na intervalu \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \). Ověřte, zda je funkce monotónní a spojitá.
Řešení:
Funkce \( \tan(x) \) má derivaci \( f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} > 0 \) pro \( x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \), protože \( \cos(x) \ne 0 \) na tomto intervalu.
Tedy funkce je zde přísně rostoucí.
Funkce \( \tan(x) \) je spojitá na tomto intervalu, protože se vyhýbá bodům nespojitosti (asymptoty v \( \pm\frac{\pi}{2} \)).
Závěr: funkce \( \tan(x) \) je spojitá a monotónně rostoucí na \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \).
69. Je dána funkce \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \). Určete, zda je funkce monotónní a spojitá na \( \mathbb{R} \).
Funkce tedy není monotónní na \( \mathbb{R} \), má lokální extrémy v \( x = \pm1 \).
Funkce je spojitá na celé \( \mathbb{R} \), neboť jmenovatel \( x^2 + 1 \ne 0 \).
70. Je funkce \( f(x) = e^x \) monotónní a spojitá na \( \mathbb{R} \)?
Řešení:
Derivace funkce je \( f'(x) = e^x > 0 \) pro každé \( x \in \mathbb{R} \).
Tedy \( f(x) = e^x \) je přísně rostoucí funkce.
Exponenciální funkce je spojitá na celém \( \mathbb{R} \).
Závěr: funkce \( f(x) = e^x \) je monotónně rostoucí a spojitá na \( \mathbb{R} \).
71. Uvažuj funkci \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) definovanou na intervalu \( (0, \infty) \). Urči intervaly monotónnosti a rozhodni, zda je funkce spojitá na tomto intervalu.
Funkce \( f'(x) > 0 \Rightarrow 1 – \ln(x) > 0 \Rightarrow \ln(x) < 1 \Rightarrow x < e \).
Analogicky \( f'(x) < 0 \Rightarrow x > e \).
Tedy funkce je rostoucí na \( (0, e) \), klesající na \( (e, \infty) \), takže není monotónní na celém oboru.
Funkce \( \ln(x) \) i \( x \) jsou spojité na \( (0, \infty) \), a jejich podíl také, pokud jmenovatel není nulový, což zde nehrozí.
Závěr: Funkce je spojitá na \( (0, \infty) \), ale není monotónní na celém definičním oboru.
72. Zkoumej spojitost a monotónnost funkce \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 5} \) na intervalu \( (-\infty, \infty) \).
Řešení:
Výraz pod odmocninou je \( x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 > 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \), tedy funkce je definována a spojitá na celé \( \mathbb{R} \).
Funkce je rostoucí, pokud \( x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 \), klesající pokud \( x < -2 \).
V bodě \( x = -2 \) má derivace nulovou hodnotu, což je lokální minimum.
Závěr: Funkce je spojitá na \( \mathbb{R} \), není monotónní na celém oboru, ale má intervaly monotónnosti: klesá na \( (-\infty, -2) \), roste na \( (-2, \infty) \).
73. Nechť \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1} \). Ověř spojitost a zjisti intervaly, kde je funkce monotónní.
Řešení:
Funkce je spojitá na celé \( \mathbb{R} \), protože jmenovatel \( x^2 + 1 > 0 \) vždy platí.
Čitatel je součtem kladných členů (protože \( x^2 \ge 0 \), \( x^4 \ge 0 \)), takže \( f'(x) > 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \).
Závěr: Funkce \( f \) je spojitá na \(\mathbb{R}\) a přísně monotónně rostoucí na celém oboru.
82. Zkoumej funkci \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) pro \( x \in (0, \pi] \) a rozhodni o spojitosti a monotónnosti.
Řešení:
Funkce není definována v \( x=0 \), ale lze ji spojitě prodloužit definicí limity:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \), tedy spojitá funkce na \( [0, \pi] \) s definicí \( f(0) = 1 \).
Derivace pro \( x > 0 \):
\( f'(x) = \frac{x \cos x – \sin x}{x^2} \).
Určíme znaménko čitatele \( g(x) = x \cos x – \sin x \).
Pro \( x \in (0, \pi] \) je \( \cos x \le 1 \), ale musíme zkoumat funkci detailně.
Funkce \( g(x) \) má v nule limitu \( \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \) a dále je záporná pro většinu intervalu, protože \( \sin x > x \cos x \) v okolí \( \pi \).
Z toho plyne, že \( f'(x) < 0 \) na většině intervalu, tedy funkce je klesající na \( (0, \pi] \).
Závěr: Funkce \( f \) je spojitá na \( [0, \pi] \), spojitě prodloužená v nule, a monotónně klesající na intervalu \( (0, \pi] \).
83. Nechť \( f(x) = e^{-x} + \frac{1}{1+x^2} \) na \(\mathbb{R}\). Rozhodni o spojitosti a monotónnosti funkce.
Řešení:
Funkce je složena ze spojitých funkcí na \(\mathbb{R}\), tedy spojitá.
Derivace:
\( f'(x) = -e^{-x} + \frac{-2x}{(1+x^2)^2} \).
Zkoumáme znaménko:
– první člen \( -e^{-x} < 0 \) pro všechna \( x \).
– druhý člen je záporný, pokud \( x > 0 \), kladný pokud \( x < 0 \), protože čitatel je \( -2x \).
Pro \( x > 0 \): \( f'(x) = \text{negativní} + \text{negativní} < 0 \) funkce klesá.
Pro \( x < 0 \): \( f'(x) = \text{negativní} + \text{kladný} \), je třeba porovnat hodnoty.
V okolí nuly je \( -e^{-x} \approx -1 \) a \( \frac{-2x}{(1+x^2)^2} \approx 0 \), takže derivace záporná.
Pro velmi záporná \( x \) druhý člen roste k nule a derivace směřuje k nule zespodu.
Závěr: Funkce je spojitá, a monotónní klesající na \(\mathbb{R}\).
84. Zkoumej monotónnost a spojitost funkce \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) na \(\mathbb{R}\).
Řešení:
Funkce je definována na \(\mathbb{R}\) díky podmínce pod odmocninou.
Funkce je známá jako inverzní hyperbolický sinus, je spojitá na \(\mathbb{R}\).
Závěr: Funkce je rostoucí na intervalu \( \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \), klesající na intervalech \( (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}) \) a \( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty \right) \).
Funkce je spojitá a má přesně dva body lokálního extrému v \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \).
92. Určete spojitost a monotónnost funkce \( f(x) = \ln(1 + e^x) \) na \(\mathbb{R}\).
Řešení:
Funkce \( f(x) = \ln(1 + e^x) \) je složena z funkcí logaritmu a exponenciály, které jsou spojité na svých definičních oborech. Proto je \( f \) spojitá na celé \(\mathbb{R}\), protože \( 1 + e^x > 0 \) pro všechna \( x \).
Čitatel \( x – \sqrt{x^2 + 1} < 0 \) vždy, protože \( \sqrt{x^2 + 1} > |x| \ge x \).
Tedy \( g'(x) < 0 \) pro všechna \( x \).
Derivace funkce \( f \) podle řetězového pravidla:
\( f'(x) = \frac{1}{1 + g(x)^2} \cdot g'(x) \).
Protože \( g(x) > 0 \), je \( 1 + g(x)^2 > 1 > 0 \), a protože \( g'(x) < 0 \), platí
\( f'(x) < 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \).
Závěr: Funkce \( f \) je spojitá a přísně klesající na celé reálné ose.
95. Určete spojitost a monotónnost funkce \( f(x) = \sin(\ln(x^2 + 1)) \) na \(\mathbb{R}\).
Řešení:
Funkce \( h(x) = \ln(x^2 + 1) \) je spojitá na \(\mathbb{R}\), protože \( x^2 + 1 > 0 \).
Funkce \( f(x) = \sin(h(x)) \) je spojitá jako složení spojitých funkcí.
Derivace \( f \) podle řetězového pravidla:
\( f'(x) = \cos(h(x)) \cdot h'(x) \).
Derivace \( h \):
\( h'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \).
Znaménko \( f'(x) \) závisí na součinu \( \cos(h(x)) \) a \( \frac{2x}{x^2 + 1} \).
Protože \( x^2 + 1 > 0 \), znaménko závisí na \( x \) a na hodnotě \( \cos(\ln(x^2 + 1)) \), která osciluje mezi -1 a 1.
Funkce proto není monotónní na žádném intervalu větším než bod.
Závěr: Funkce je spojitá, ale není monotónní na žádném nevytrženém intervalu.
96. Analyzujte spojitost a monotónnost funkce \( f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \) na \(\mathbb{R}\).
Řešení:
Funkce \( f \) je logistická funkce, složená z exponenciální a racionálních funkcí, které jsou spojité na \(\mathbb{R}\). Proto je \( f \) spojitá na \(\mathbb{R}\).
Protože \( e^{-x} > 0 \) a \( (1 + e^{-x})^2 > 0 \), platí \( f'(x) > 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \).
Závěr: Funkce je spojitá a přísně rostoucí na celé reálné ose.
97. Pro funkci \( f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \) určete spojitost a monotónnost na \(\mathbb{R}\).
Řešení:
Polynom je spojitý na \(\mathbb{R}\), tedy \( f \) je spojitá na celé reálné ose.
Derivace:
\( f'(x) = 4x^3 – 12x^2 + 12x – 4 \).
Faktorizujeme derivaci:
\( f'(x) = 4(x^3 – 3x^2 + 3x – 1) \).
Pozorujeme, že výraz v závorce je \((x – 1)^3\) podle vzorce rozvoje:
\( (x – 1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1 \).
Tedy
\( f'(x) = 4 (x – 1)^3 \).
Znaménko derivace závisí na \( (x – 1)^3 \).
Protože funkce \( t \mapsto t^3 \) zachovává znaménko \( t \), máme:
\( f'(x) > 0 \) pro \( x > 1 \),
\( f'(x) = 0 \) pro \( x = 1 \),
\( f'(x) < 0 \) pro \( x < 1 \).
Závěr: Funkce je klesající na intervalu \( (-\infty, 1) \), roste na \( (1, \infty) \), v bodě \( x = 1 \) má inflexní bod (derivace 0 a mění znaménko).
98. Zkoumejte spojitost a monotónnost funkce \( f(x) = \cosh(x) – x \) na \(\mathbb{R}\).
Řešení:
Funkce hyperbolický kosinus \( \cosh(x) \) je spojitá a diferencovatelná na \(\mathbb{R}\), stejně tak \( x \). Tedy \( f \) je spojitá na \(\mathbb{R}\).
Derivace:
\( f'(x) = \sinh(x) – 1 \).
Studujeme znaménko \( f'(x) \):
Rovnice \( f'(x) = 0 \Rightarrow \sinh(x) = 1 \Rightarrow x = \arsinh(1) \approx 0{,}8814 \).
Známe chování \( \sinh(x) \): je rostoucí, takže
\( f'(x) < 0 \) pro \( x < \arsinh(1) \),
\( f'(x) = 0 \) v \( x = \arsinh(1) \),
\( f'(x) > 0 \) pro \( x > \arsinh(1) \).
Závěr: Funkce \( f \) je klesající na \( (-\infty, \arsinh(1)) \), roste na \( (\arsinh(1), +\infty) \) a má lokální minimum v \( x = \arsinh(1) \).
99. Určete spojitost a monotónnost funkce \( f(x) = x e^{-|x|} \) na \(\mathbb{R}\).
Řešení:
Funkce \( f(x) = x e^{-|x|} \) je složena ze spojitých funkcí (exponenciála, absolutní hodnota, násobení), proto je spojitá na \(\mathbb{R}\).
Rozdělíme na dvě části podle znaménka \( x \):
Pro \( x \geq 0 \): \( f(x) = x e^{-x} \).
Pro \( x < 0 \): \( f(x) = x e^{x} \).
Derivujeme zvlášť:
Pro \( x > 0 \):
\( f'(x) = e^{-x} – x e^{-x} = e^{-x}(1 – x) \).
Pro \( x < 0 \):
\( f'(x) = e^{x} + x e^{x} = e^{x}(1 + x) \).
Zkoumáme znaménko derivace:
Pro \( x > 0 \):
\( f'(x) > 0 \Leftrightarrow 1 – x > 0 \Rightarrow x < 1 \),
tedy \( f‘ > 0 \) na \( (0,1) \), \( f‘ = 0 \) v \( x=1 \), \( f‘ < 0 \) na \( (1, \infty) \).
Pro \( x < 0 \):
\( f'(x) > 0 \Leftrightarrow 1 + x > 0 \Rightarrow x > -1 \),
tedy \( f‘ > 0 \) na \( (-1, 0) \), \( f‘ = 0 \) v \( x = -1 \), \( f‘ < 0 \) na \( (-\infty, -1) \).
V bodech \( x = 0 \) a \( x = -1,1 \) je třeba zkontrolovat spojitost funkce i derivace:
Funkce je spojitá na \(\mathbb{R}\).
Závěr:
– Funkce klesá na \( (-\infty, -1) \),
– roste na \( (-1, 0) \),
– roste na \( (0, 1) \),
– klesá na \( (1, \infty) \).
100. Analyzujte spojitost a monotónnost funkce \( f(x) = x \arctan(x) \) na \(\mathbb{R}\).
Řešení:
Funkce \( f(x) = x \arctan(x) \) je složená z elementárních funkcí spojitých na \(\mathbb{R}\), proto je \( f \) spojitá na celé reálné ose.
Funkce \( \arctan(x) \) je lichá, monotónně rostoucí, pro \( x > 0 \) je kladná, pro \( x < 0 \) záporná, a \( \frac{x}{1 + x^2} \) je také lichá, kladná pro \( x > 0 \), záporná pro \( x < 0 \).
Pro \( x = 0 \) je
\( f'(0) = \arctan(0) + \frac{0}{1+0} = 0 \).
Pro \( x > 0 \) je součet dvou kladných členů kladný, tedy \( f'(x) > 0 \).
Pro \( x < 0 \) je \( \arctan(x) < 0 \) a \( \frac{x}{1+x^2} < 0 \), takže jejich součet je záporný, tedy \( f'(x) < 0 \).
Závěr: Funkce \( f \) je klesající na \( (-\infty, 0) \), roste na \( (0, \infty) \) a má lokální minimum v bodě \( x=0 \).
101. Určete, zda je funkce \( f(x) = \begin{cases}
2x + 1, & x < 1 \\
3, & x = 1 \\
x^2, & x > 1
\end{cases} \) spojitá v bodě \( x_0 = 1 \). Zkoumejte spojitost zprava, zleva a celkovou spojitost v tomto bodě.
Řešení:
Nejprve zjistíme limita zprava i zleva v bodě \( x_0 = 1 \):
Limita zprava je 1, což se nerovná hodnotě funkce (3), proto spojitost zprava neplatí.
Celková spojitost v bodě \( x = 1 \) neplatí, protože limita zprava a zleva nejsou stejné.
Závěr: Funkce není spojitá v bodě \( x=1 \), je spojitá pouze zleva.
102. Určete okolí bodu \( x_0 = 0 \), ve kterém je funkce \( f(x) = \ln(x+1) \) spojitá, a zdůvodněte spojitost funkce v tomto bodě.
Řešení:
Funkce \( f(x) = \ln(x+1) \) je definována pro \( x > -1 \), tedy definiční obor je \( (-1, +\infty) \).
Okolí bodu \( x_0 = 0 \) může být libovolné malé interval \( ( -\delta, \delta) \), kde \( \delta > 0 \) a zároveň \( -\delta > -1 \) (což platí pro všechna \( \delta < 1 \)).
Funkce \( \ln(x+1) \) je známá jako spojitá na svém definičním oboru, protože logaritmus je spojitý na \( (0, +\infty) \) a zde je argument \( x+1 > 0 \) pro \( x > -1 \).
Tedy funkce je spojitá v bodě \( 0 \) a existuje okolí tohoto bodu, například \( (-0.5, 0.5) \), ve kterém je funkce spojitá.
103. Zkoumejte spojitost zprava a zleva v bodě \( x_0 = 2 \) funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sqrt{x}, & x \leq 2 \\
4 – x, & x > 2
\end{cases} \) a určete, zda je funkce spojitá v tomto bodě.
Protože limita zprava a hodnota funkce jsou stejné (1), ale liší se od limit zleva (4), funkce není spojitá v bodě \( 1 \).
109. Funkce \( f(x) = \begin{cases}
x^3, & x \neq 0 \\
1, & x = 0
\end{cases} \). Zkoumejte spojitost v bodě \( x_0 = 0 \).
Řešení:
Limita v bodě 0:
\( \lim_{x \to 0} x^3 = 0 \).
Hodnota funkce v bodě:
\( f(0) = 1 \).
Protože limita a hodnota funkce nejsou stejné, funkce není spojitá v bodě \( 0 \).
110. Určete spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\sin x, & x \neq \pi \\
0, & x = \pi
\end{cases} \) v bodě \( x_0 = \pi \).
Řešení:
Limita v bodě \( \pi \):
\( \lim_{x \to \pi} \sin x = \sin \pi = 0 \).
Hodnota funkce v bodě \( \pi \):
\( f(\pi) = 0 \).
Limita i hodnota funkce jsou stejné, proto je funkce spojitá v bodě \( \pi \).
111. Zkoumejte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x}, & x < 1 \\
2, & x = 1 \\
3 - x, & x > 1
\end{cases} \) v bodě \( x_0 = 1 \). Určete, zda je spojitá zprava, zleva a celkově v tomto bodě.
Limita zleva (1) se nerovná hodnotě funkce (2) ani limitě zprava (2),
limita zprava a hodnota funkce jsou shodné, tedy spojitost zprava platí.
Funkce není spojitá zleva ani celkově v bodě \( 1 \), protože limity nejsou shodné.
112. Pro funkci \( f(x) = \begin{cases}
\ln(x), & x > 0 \\
0, & x = 0 \\
-1, & x < 0
\end{cases} \) určete okolí bodu \( x_0 = 0 \), ve kterém je funkce spojitá zprava, zleva a zda je spojitá v tomto bodě.
Řešení:
Okolí bodu \( 0 \) musí být vybráno tak, aby leželo v definičním oboru funkce:
Pro \( x > 0 \) je funkce \( \ln(x) \) spojitá, tedy spojitost zprava v bodě 0 lze zkoumat.
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \), což znamená, že funkce není spojitá zprava v 0, protože limita neexistuje v reálných číslech.
Limita zleva:
Funkce je konstantní \( -1 \) pro \( x < 0 \), tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \).
Hodnota funkce v bodě:
\( f(0) = 0 \).
Protože limita zleva je \(-1\) a hodnota funkce je \(0\), funkce není spojitá zleva ani celkově v bodě \( 0 \).
Celkově funkce není spojitá v bodě \( 0 \) a okolí, kde je spojitá, je pro \( x > 0 \) mimo bezprostřední blízkost nuly.
113. Funkce \( f(x) = \arctan \frac{1}{x} \) je definovaná na \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \). Určete spojitost zleva, zprava a celkovou spojitost v bodě \( x_0 = 0 \).
Hodnota funkce v bodě není definována (protože \( x = 0 \) není v definičním oboru).
Protože limity zleva a zprava nejsou shodné,
funkce není spojitá v bodě \( 0 \), ani zleva, ani zprava.
114. Pro funkci \( f(x) = \begin{cases}
x^2, & x \leq 2 \\
4x – 4, & x > 2
\end{cases} \) určete, zda je spojitá zleva, zprava a celkově v bodě \( x_0 = 2 \).
131. Zkoumejte spojitost funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x-2}{|x-2|}, & x \neq 2 \\
0, & x = 2
\end{cases} \) v bodě \( x_0 = 2 \).
Řešení:
Funkce pro \( x \neq 2 \) je definována jako podíl \( \frac{x-2}{|x-2|} \). Tento zlomek nabývá hodnoty \( 1 \), pokud je \( x > 2 \), a hodnoty \( -1 \), pokud je \( x < 2 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 2^-} \frac{x-2}{|x-2|} = -1 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 2^+} \frac{x-2}{|x-2|} = 1 \).
Hodnota funkce v bodě je \( f(2) = 0 \).
Protože limity zleva a zprava jsou různé a ani jedna se nerovná hodnotě funkce, funkce není spojitá v bodě \( 2 \).
132. Funkce \( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 – 4}{x – 2}, & x \neq 2 \\
4, & x = 2
\end{cases} \). Určete spojitost v bodě \( 2 \).
