Statistický soubor a jeho charakteristika

Řešení příkladu:

Vážený aritmetický průměr se vypočítá podle vzorce:

\( \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \)

Kde \( x_i \) jsou známky a \( w_i \) jsou váhy (počet hodin):

\( \bar{x} = \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 1}{5 + 3 + 2 + 4 + 1} = \frac{10 + 3 + 6 + 8 + 1}{15} = \frac{28}{15} \approx 1{,}87 \)

Výsledek: Vážený aritmetický průměr je přibližně \(1{,}87\).

Řešení příkladu:

Počty kusů jsou váhy, ceny jsou hodnoty. Použijeme vzorec:

\( \bar{x} = \frac{20 \cdot 1000 + 18 \cdot 1500 + 22 \cdot 500}{1000 + 1500 + 500} = \frac{20000 + 27000 + 11000}{3000} = \frac{58000}{3000} \approx 19{,}33 \)

Výsledek: Průměrná cena výrobku je přibližně \(19{,}33\) Kč.

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 5}{2 + 3 + 5} = \frac{6 + 6 + 5}{10} = \frac{17}{10} = 1{,}7 \)

Výsledný vážený průměr známek je \(1{,}7\).

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{8 \cdot 12 + 4 \cdot 20 + 2 \cdot 30 + 6 \cdot 10}{8 + 4 + 2 + 6} = \frac{96 + 80 + 60 + 60}{20} = \frac{296}{20} = 14{,}8 \)

Výsledek: Vážený průměr je \(14{,}8\) kg.

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{5 \cdot 100000 + 3 \cdot 200000 + 6 \cdot 50000}{100000 + 200000 + 50000} = \frac{500000 + 600000 + 300000}{350000} = \frac{1400000}{350000} = 4 \)

Výnos byl v průměru \(4\) %.

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{4 \cdot 80 + 5 \cdot 30 + 3 \cdot 40}{80 + 30 + 40} = \frac{320 + 150 + 120}{150} = \frac{590}{150} \approx 3{,}93 \)

Vážený průměr hodnocení je přibližně \(3{,}93\).

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{10 \cdot 25000 + 5 \cdot 35000 + 2 \cdot 60000}{10 + 5 + 2} = \frac{250000 + 175000 + 120000}{17} = \frac{545000}{17} \approx 32058{,}82 \)

Průměrná mzda je přibližně \(32\,058{,}82\) Kč.

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{60 \cdot 5 + 80 \cdot 3 + 90 \cdot 2}{5 + 3 + 2} = \frac{300 + 240 + 180}{10} = \frac{720}{10} = 72 \)

Průměrná úspěšnost je \(72\) %.

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{18 \cdot 3 + 20 \cdot 5 + 17 \cdot 2}{3 + 5 + 2} = \frac{54 + 100 + 34}{10} = \frac{188}{10} = 18{,}8 \)

Vážený průměr teploty je \(18{,}8\) °C.

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{1\,000\,000 \cdot 4 + 2\,000\,000 \cdot 3 + 500\,000 \cdot 1}{4 + 3 + 1} = \frac{4\,000\,000 + 6\,000\,000 + 500\,000}{8} = \frac{10\,500\,000}{8} = 1\,312\,500 \)

Vážený průměr výdělku je \(1\,312\,500\) Kč.

Řešení příkladu:

Vážený aritmetický průměr:
\( \bar{x} = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1}{5 + 4 + 3 + 2 + 1} = \frac{5 + 8 + 3 + 6 + 2}{15} = \frac{24}{15} = 1{,}6 \)

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{10 \cdot 4 + 20 \cdot 2 + 15 \cdot 6}{4 + 2 + 6} = \frac{40 + 40 + 90}{12} = \frac{170}{12} \approx 14{,}17 \, \text{kg} \)

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{5 \cdot 200 + 4{,}5 \cdot 300 + 6 \cdot 500}{200 + 300 + 500} = \frac{1000 + 1350 + 3000}{1000} = \frac{5350}{1000} = 5{,}35 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5}{2 + 3 + 5} = \frac{2 + 6 + 15}{10} = \frac{23}{10} = 2{,}3 \)

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{4 \cdot 800 + 3 \cdot 900 + 5 \cdot 750}{4 + 3 + 5} = \frac{3200 + 2700 + 3750}{12} = \frac{9650}{12} \approx 804{,}17 \, \text{Kč} \)

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{2000 \cdot 1 + 3000 \cdot 2 + 2500 \cdot 1 + 4000 \cdot 3 + 3500 \cdot 2}{1 + 2 + 1 + 3 + 2} = \frac{2000 + 6000 + 2500 + 12000 + 7000}{9} = \frac{29500}{9} \approx 3277{,}78 \, \text{Kč} \)

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 4}{1 + 2 + 4} = \frac{3 + 4 + 4}{7} = \frac{11}{7} \approx 1{,}57 \)

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{10 \cdot 100 + 20 \cdot 250 + 5 \cdot 500}{10 + 20 + 5} = \frac{1000 + 5000 + 2500}{35} = \frac{8500}{35} \approx 242{,}86 \, \text{MB} \)

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{2 \cdot 40 + 1 \cdot 60}{100} = \frac{80 + 60}{100} = \frac{140}{100} = 1{,}4 \)

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{8 \cdot 30 + 7 \cdot 50 + 9 \cdot 20}{100} = \frac{240 + 350 + 180}{100} = \frac{770}{100} = 7{,}7 \)

Řešení příkladu:

Vážený aritmetický průměr výkonnosti je:

\( \bar{x} = \frac{5 \cdot 80 + 3 \cdot 120 + 2 \cdot 200}{5 + 3 + 2} = \frac{400 + 360 + 400}{10} = \frac{1160}{10} = 116 \)

Odpověď: Vážená průměrná výkonnost byla \(116\) jednotek za hodinu.

Řešení příkladu:

Vážený aritmetický průměr ceny:

\( \bar{x} = \frac{30 \cdot 25 + 50 \cdot 30 + 20 \cdot 40}{30 + 50 + 20} = \frac{750 + 1500 + 800}{100} = \frac{3050}{100} = 30{,}5 \)

Odpověď: Průměrná cena jednoho kilogramu jablek byla \(30{,}50\) Kč.

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{5 \cdot 70 + 10 \cdot 50 + 5 \cdot 30}{5 + 10 + 5} = \frac{350 + 500 + 150}{20} = \frac{1000}{20} = 50 \)

Odpověď: Průměrný počet bodů byl \(50\).

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{4 \cdot 10 + 6 \cdot 25}{4 + 6} = \frac{40 + 150}{10} = \frac{190}{10} = 19 \)

Odpověď: Výsledná koncentrace směsi je \(19\,\%\).

Řešení příkladu:

\( \bar{v} = \frac{2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 + 5 \cdot 8}{2 + 3 + 5} = \frac{20 + 36 + 40}{10} = \frac{96}{10} = 9{,}6 \)

Odpověď: Průměrná rychlost byla \(9{,}6\) km/h.

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{3 + 4 + 3 + 4}{10} = \frac{14}{10} = 1,4 \)

Odpověď: Vážený průměr známek je \(1,4\).

Řešení příkladu:

\( \bar{v} = \frac{1 \cdot 60 + 2 \cdot 40 + 3 \cdot 30}{1 + 2 + 3} = \frac{60 + 80 + 90}{6} = \frac{230}{6} \approx 38,33 \)

Odpověď: Průměrná rychlost je přibližně \(38,33\) km/h.

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 15 + 5 \cdot 10}{2 + 3 + 5} = \frac{10 + 45 + 50}{10} = \frac{105}{10} = 10,5 \)

Odpověď: Výsledná koncentrace je \(10,5\,\%\).

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{20 \cdot 1{,}5 + 30 \cdot 2{,}5 + 50 \cdot 3}{20 + 30 + 50} = \frac{30 + 75 + 150}{100} = \frac{255}{100} = 2{,}55 \)

Odpověď: Průměrný zisk na zaměstnance je \(2{,}55\) mil. Kč.

Řešení příkladu:

\( \bar{x} = \frac{1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 3}{1 + 4 + 5} = \frac{2 + 4 + 15}{10} = \frac{21}{10} = 2{,}1 \)

Odpověď: Výsledná známka je \(2{,}1\).

Řešení příkladu:

Řadíme data: \( 3,\ 7,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15 \)

Počet hodnot: \( n = 7 \Rightarrow \) lichý počet.

Medián je prostřední hodnota: \( \frac{7+1}{2} = 4 \)-tá hodnota je \( 9 \).

Modus je nejčastěji se vyskytující hodnota: \( 7 \).

Řešení příkladu:

Řazeno: \( 8,\ 12,\ 14,\ 15,\ 15,\ 15,\ 18,\ 20 \)

Počet hodnot: \( n = 8 \Rightarrow \) sudý počet.

Medián je průměr 4. a 5. hodnoty: \( \frac{15 + 15}{2} = 15 \)

Modus je hodnota, která se vyskytuje nejčastěji: \( 15 \) (3×)

Řešení příkladu:

Seřazeno: \( 20,\ 25,\ 25,\ 30,\ 30,\ 35,\ 40 \)

Medián je 4. hodnota: \( 30 \)

Modus: hodnoty \( 25 \) a \( 30 \) se vyskytují stejně často (2×) ⇒ dva modusy: \( 25,\ 30 \)

Řešení příkladu:

Po seřazení: \( 100,\ 100,\ 101,\ 102,\ 102,\ 102,\ 103 \)

Medián je 4. hodnota: \( 102 \)

Modus je nejčastější hodnota: \( 102 \) (3×)

Řešení příkladu:

Počet hodnot je sudý: \( 6 \)

Medián: průměr 3. a 4. hodnoty: \( \frac{6 + 8}{2} = 7 \)

Modus: žádná hodnota se neopakuje ⇒ žádný modus

Řešení příkladu:

Seřazeno: \( 13,\ 15,\ 15,\ 16,\ 17,\ 20,\ 20,\ 20,\ 21 \)

Medián = 5. hodnota: \( 17 \)

Modus = hodnota s nejvyšší četností: \( 20 \) (3×)

Řešení příkladu:

Počet hodnot = 8, sudý počet.

Medián: \( \frac{60 + 70}{2} = 65 \)

Modus: \( 60 \) (3×)

Řešení příkladu:

Počet hodnot = 9 ⇒ lichý počet.

Medián = 5. hodnota = \( 9 \)

Modus: žádný (každá hodnota se vyskytuje 1×)

Řešení příkladu:

Počet hodnot = 10 ⇒ sudý počet.

Medián: \( \frac{30 + 32}{2} = 31 \)

Modus: \( 26 \) (2×), ostatní jen 1×

Řešení příkladu:

Řazení není třeba, již je seřazeno.

Počet hodnot = 9 ⇒ lichý počet.

Medián: 5. hodnota = \( 44 \)

Modus: \( 44 \) (3×)

Řešení příkladu:

Data seřazena: \( 5,\ 7,\ 7,\ 9,\ 12,\ 14,\ 14,\ 14,\ 18 \).

Počet hodnot je \( n=9 \) (lichý počet).

Medián je prostřední hodnota, tj. hodnota na pozici \( \frac{9+1}{2} = 5 \), tedy \( 12 \).

Modus je hodnota, která se vyskytuje nejčastěji, tj. \( 14 \), která se objevuje 3×.

Řešení příkladu:

Data již jsou seřazena.

Počet hodnot je \( n=10 \) (sudý počet).

Medián je průměr 5. a 6. hodnoty: \( \frac{8 + 10}{2} = 9 \).

Modus je hodnota s nejvyšší četností, tj. \( 10 \) (3×).

Řešení příkladu:

Data jsou již seřazena.

Počet hodnot je \( n=9 \) (lichý počet).

Medián je hodnota na pozici \( \frac{9+1}{2} = 5 \), tedy \( 30 \).

Modus je hodnota, která se objevuje nejčastěji, tj. \( 30 \) (3×).

Řešení příkladu:

Data již jsou seřazena.

Počet hodnot je \( n=10 \) (sudý počet).

Medián je průměr 5. a 6. hodnoty: \( \frac{3 + 3}{2} = 3 \).

Modus je hodnota, která se vyskytuje nejčastěji, tj. \( 3 \) (3×).

Řešení příkladu:

Data jsou již seřazena.

Počet hodnot je \( n=8 \) (sudý počet).

Medián je průměr 4. a 5. hodnoty: \( \frac{105 + 110}{2} = 107.5 \).

Modus je hodnota, která se vyskytuje nejčastěji, tj. \( 110 \) (3×).

Řešení příkladu:

Data jsou již seřazena.

Počet hodnot je \( n=9 \) (lichý počet).

Medián je hodnota na pozici \( \frac{9+1}{2} = 5 \), tedy \( 10 \).

Modus je hodnota, která se vyskytuje nejčastěji, tj. \( 12 \) (3×).

Řešení příkladu:

Data jsou již seřazena.

Počet hodnot je \( n=10 \) (sudý počet).

Medián je průměr 5. a 6. hodnoty: \( \frac{6 + 7}{2} = 6.5 \).

Modus je hodnoty \( 5 \) a \( 8 \), které se vyskytují 2×, tedy dvojitý modus: \( 5, 8 \).

Řešení příkladu:

Data jsou již seřazena.

Počet hodnot je \( n=9 \) (lichý počet).

Medián je hodnota na pozici \( 5 \), tedy \( 18 \).

Modus je hodnota \( 18 \), která se vyskytuje 3×.

Řešení příkladu:

Data již jsou seřazena.

Počet hodnot \( n=10 \) (sudý počet).

Medián je průměr 5. a 6. hodnoty: \( \frac{4 + 5}{2} = 4.5 \).

Modus je hodnota \( 5 \), která se vyskytuje 3×.

Řešení příkladu:

Data jsou již seřazena.

Počet hodnot \( n=11 \) (lichý počet).

Medián je hodnota na pozici \( \frac{11+1}{2} = 6 \), tedy \( 12 \).

Modus je hodnota \( 14 \), která se vyskytuje 3×.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 20 \).

Index \( 25. \) percentilu vypočítáme podle vzorce: \( i = \frac{25}{100} \times (n + 1) = \frac{25}{100} \times 21 = 5{,}25 \).

Hodnota percentilu leží mezi \( 5. \) a \( 6. \) hodnotou v datové sadě, konkrétně \( 0{,}25 \) násobek vzdálenosti mezi nimi.

Například pokud je \( 5. \) hodnota \( 10 \) a \( 6. \) hodnota \( 12 \), pak \( 25. \) percentil je \( 10 + 0{,}25 \times (12 – 10) = 10{,}5 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 15 \).

Index \( 80. \) percentilu: \( i = \frac{80}{100} \times (n + 1) = 0{,}8 \times 16 = 12{,}8 \).

\( 80. \) percentil je tedy mezi \( 12. \) a \( 13. \) hodnotou v datové sadě, \( 0{,}8 \) násobek vzdálenosti mezi nimi.

Pokud je \( 12. \) hodnota \( 50 \) a \( 13. \) hodnota \( 55 \), pak \( 80. \) percentil je \( 50 + 0{,}8 \times (55 – 50) = 54 \).

Význam: \( 80 \, \% \) hodnot je menších nebo rovných této hodnotě.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 25 \) (lichý počet).

Index \( 50. \) percentilu: \( i = \frac{50}{100} \times (n + 1) = 0{,}5 \times 26 = 13 \).

\( 50. \) percentil je hodnota na \( 13. \) pozici, tedy medián.

Medián je hodnota, která rozděluje data na dvě stejně početné části.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 30 \).

Index \( 10. \) percentilu: \( i = \frac{10}{100} \times (n + 1) = 0{,}1 \times 31 = 3{,}1 \).

Percentil leží mezi \( 3. \) a \( 4. \) hodnotou, konkrétně \( 0{,}1 \) násobek vzdálenosti mezi nimi.

Praktický význam: \( 10 \, \% \) hodnot je menších nebo rovných této hodnotě – např. při hodnocení výsledků testů ukazuje slabší výkony.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 18 \).

Index \(95.\) percentilu: \( i = \frac{95}{100} \times (18 + 1) = 0{,}95 \times 19 = 18{,}05 \).

\(95.\) percentil je téměř na poslední pozici, mezi \(18.\) a \(19.\) hodnotou (pokud by \(19.\) byla, interpolujeme).

Význam: \(95 \%\) hodnot je menších nebo rovných této hodnotě; často se používá ke stanovení horní hranice normálního rozdělení.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 12 \).

Index \(60.\) percentilu: \( i = \frac{60}{100} \times (12 + 1) = 0{,}6 \times 13 = 7{,}8 \).

\(60.\) percentil leží mezi \(7.\) a \(8.\) hodnotou, konkrétně \(0{,}8\) násobek vzdálenosti mezi nimi.

Pokud je \(7.\) hodnota \(20\) a \(8.\) hodnota \(25\), pak percentil je \( 20 + 0{,}8 \times (25 – 20) = 24 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 22 \).

Index \(5.\) percentilu: \( i = \frac{5}{100} \times (22 + 1) = 0{,}05 \times 23 = 1{,}15 \).

\(5.\) percentil leží mezi \(1.\) a \(2.\) hodnotou, \(0{,}15\) násobek vzdálenosti mezi nimi.

Význam: ukazuje na velmi nízké hodnoty v datové sadě, užitečné pro odhalení extrémů či odlehlých hodnot.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 16 \).

Index \(70.\) percentilu: \( i = \frac{70}{100} \times (16 + 1) = 0{,}7 \times 17 = 11{,}9 \).

Percentil je mezi \(11.\) a \(12.\) hodnotou, \(0{,}9\) násobek vzdálenosti mezi nimi.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 14 \).

Index \(30.\) percentilu: \( i = \frac{30}{100} \times (14 + 1) = 0{,}3 \times 15 = 4{,}5 \).

\(30.\) percentil je průměr \(4.\) a \(5.\) hodnoty.

Význam: \(30 \%\) hodnot je menších nebo rovných této hodnotě.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 10 \).

Index \(90.\) percentilu: \( i = \frac{90}{100} \times (10 + 1) = 0{,}9 \times 11 = 9{,}9 \).

Percentil je mezi \(9.\) a \(10.\) hodnotou, \(0{,}9\) násobek vzdálenosti mezi nimi.

Význam: \(90 \%\) hodnot je menších nebo rovných této hodnotě.

Řešení příkladu:

Celkem lidí: \(1000\)

Počet majitelů domácích mazlíčků: \(1000 \times \frac{75}{100} = 750\)

Počet majitelů psa: \(750 \times \frac{30}{100} = 225\)

Odpověď: \(225\) lidí má psa.

Řešení příkladu:

Počet účastníků soutěže: \(120 \times \frac{40}{100} = 48\)

Počet úspěšných studentů: \(48 \times \frac{70}{100} = 33{,}6 \approx 34\)

Odpověď: Přibližně \(34\) studentů uspělo.

Řešení příkladu:

Označíme původní cenu jako \(C\).

Po zvýšení o \(15\) %: \(C \times 1{,}15\).

Poté sleva \(10\) % z nové ceny: \(C \times 1{,}15 \times 0{,}9 = C \times 1{,}035\).

Konečná cena je \(103{,}5\) % původní ceny, což znamená zvýšení o \(3{,}5\) %.

Řešení příkladu:

Původní plat: \(P\).

Po zvýšení: \(P \times 1{,}12\).

Po snížení: \(P \times 1{,}12 \times 0{,}92 = P \times 1{,}0304\).

Plat je nyní \(103{,}04\) % původního, tedy zvýšen o \(3{,}04\) %.

Řešení příkladu:

Původní počet obyvatel: \(N\).

Po prvním roce: \(N \times 1{,}05\).

Po druhém roce: \(N \times 1{,}05 \times 0{,}93 = N \times 0{,}9765\).

Celková změna: \(0{,}9765 – 1 = -0{,}0235\) neboli pokles o \(2{,}35\) %.

Řešení příkladu:

První odchod: zůstane \( 100\% – 30\% = 70\% \).

Druhý odchod: zůstane \( 70\% \times (100\% – 20\%) = 70\% \times 80\% = 56\% \).

Celkem tedy zůstane \( 56\% \) studentů.

Řešení příkladu:

Původní cena: \( C \).

Po zlevnění o \( 25\% \): \( C \times 0.75 \).

Po zvýšení o \( 20\% \): \( C \times 0.75 \times 1.20 = C \times 0.9 \).

Konečná cena je \( 90\% \) původní ceny, tedy sleva \( 10\% \) oproti původní ceně.

Řešení příkladu:

Označíme původní obrat jako \( O \).

Po zvýšení: \( O \times 1.18 \).

Po snížení: \( O \times 1.18 \times 0.90 = O \times 1.062 \).

Obrat vzrostl o \( 6.2\% \) oproti původní hodnotě.

Řešení příkladu:

Původní populace: \( P \).

Po prvním roce: \( P \times 1.08 \).

Po druhém roce: \( P \times 1.08 \times 1.06 = P \times 1.1448 \).

Celkové zvýšení je \( 14.48\% \) oproti původní populaci.

Řešení příkladu:

Původní cena: \( C \).

Po poklesu o \( 12\% \): \( C \times 0.88 \).

Po zvýšení o \( 15\% \): \( C \times 0.88 \times 1.15 = C \times 1.012 \).

Konečná cena je \( 101.2\% \) původní ceny, což znamená zvýšení o \( 1.2\% \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 20 \).

Poloha Q1: \( \frac{n+1}{4} = \frac{21}{4} = 5{,}25 \).

Q1 je hodnota mezi \(5.\) a \(6.\) prvkem.

\(5.\) hodnota: \(53\), \(6.\) hodnota: \(55\).

Interpolace: \( 53 + 0{,}25 \times (55 – 53) = 53 + 0{,}5 = 53{,}5 \).

Q1 = \(53{,}5\).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 15 \).

Medián je prvek na pozici \( \frac{n+1}{2} = 8 \) – \(8.\) hodnota je \(28\).

Poloha Q3: \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 3 \times \frac{16}{4} = 12 \).

Q3 je \(12.\) hodnota, což je \(37\).

Medián = \(28\), Q3 = \(37\).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 10 \).

Poloha Q1: \( \frac{n+1}{4} = \frac{11}{4} = 2{,}75 \), zaokrouhleno dolů na \(2\).

Q1 je \(2.\) hodnota: \(7\).

Poloha Q3: \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 3 \times 2{,}75 = 8{,}25 \), zaokrouhleno dolů na \(8\).

Q3 je \(8.\) hodnota: \(20\).

Q1 = \(7\), Q3 = \(20\).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 25 \).

Medián je prvek na pozici \( \frac{n+1}{2} = \frac{26}{2} = 13 \).

První kvartil Q1 na pozici \( \frac{n+1}{4} = \frac{26}{4} = 6{,}5 \) – mezi \(6.\) a \(7.\) prvkem.

Třetí kvartil Q3 na pozici \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 3 \times 6{,}5 = 19{,}5 \) – mezi \(19.\) a \(20.\) prvkem.

Pro Q1 a Q3 se používá interpolace mezi sousedními hodnotami.

Řešení příkladu:

Počet hodnot \( n = 8 \).

Poloha Q1: \( \frac{n+1}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25 \), mezi \(2.\) (\(5\)) a \(3.\) (\(7\)) hodnotou.

Q1 = \( 5 + 0{,}25 \times (7 – 5) = 5 + 0{,}5 = 5{,}5 \).

Medián Q2 je průměr \(4.\) a \(5.\) hodnoty: \( \frac{9 + 11}{2} = 10 \).

Poloha Q3: \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 3 \times 2{,}25 = 6{,}75 \), mezi \(6.\) (\(13\)) a \(7.\) (\(15\)) hodnotou.

Q3 = \( 13 + 0{,}75 \times (15 – 13) = 13 + 1{,}5 = 14{,}5 \).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \(n = 13\).

Medián je hodnota na pozici \(\frac{n+1}{2} = 7\), což je \(14\).

\(Q_1\) na pozici \(\frac{n+1}{4} = 3{,}5\), zaokrouhleno dolů na \(3\)., tedy \(6\).

\(Q_3\) na pozici \(3 \times \frac{n+1}{4} = 10{,}5\), zaokrouhleno dolů na \(10\)., tedy \(20\).

Medián = \(14\), \(Q_1 = 6\), \(Q_3 = 20\).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \(n = 16\).

Poloha \(Q_1\): \(\frac{n+1}{4} = \frac{17}{4} = 4{,}25\).

\(Q_1\) je mezi \(4\). (\(17\)) a \(5\). (\(19\)) hodnotou.

\(Q_1 = 17 + 0{,}25 \times (19 – 17) = 17 + 0{,}5 = 17{,}5\).

Poloha \(Q_3\): \(3 \times \frac{n+1}{4} = 3 \times 4{,}25 = 12{,}75\).

\(Q_3\) je mezi \(12\). (\(33\)) a \(13\). (\(35\)) hodnotou.

\(Q_3 = 33 + 0{,}75 \times (35 – 33) = 33 + 1{,}5 = 34{,}5\).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \(n = 10\).

Poloha \(Q_1\): \(\frac{n+1}{4} = 2{,}75\), zaokrouhleno dolů na \(2\)., hodnota \(9\).

Poloha \(Q_3\): \(3 \times \frac{n+1}{4} = 8{,}25\), zaokrouhleno dolů na \(8\)., hodnota \(22\).

\(Q_1 = 9\), \(Q_3 = 22\).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \(n = 12\).

Poloha \(Q_1\): \(\frac{n+1}{4} = \frac{13}{4} = 3{,}25\).

\(Q_1\) je mezi \(3\). (\(6\)) a \(4\). (\(8\)) hodnotou.

\(Q_1 = 6 + 0{,}25 \times (8 – 6) = 6 + 0{,}5 = 6{,}5\).

Poloha \(Q_3\): \(3 \times \frac{n+1}{4} = 3 \times 3{,}25 = 9{,}75\).

\(Q_3\) je mezi \(9\). (\(15\)) a \(10\). (\(17\)) hodnotou.

\(Q_3 = 15 + 0{,}75 \times (17 – 15) = 15 + 1{,}5 = 16{,}5\).

Řešení příkladu:

Počet hodnot \(n = 21\).

Medián \(Q_2\) na pozici \(\frac{n+1}{2} = 11\).

\(Q_1\) na pozici \(\frac{n+1}{4} = 5{,}5\) – mezi \(5\). a \(6\). prvkem.

\(Q_3\) na pozici \(3 \times \frac{n+1}{4} = 16{,}5\) – mezi \(16\). a \(17\). prvkem.

Pro \(Q_1\) a \(Q_3\) je třeba interpolovat mezi sousedními hodnotami.

Řešení:

Počet hodnot \( n = 25 \).

Poloha \( Q_1 \): \( \frac{n+1}{4} = \frac{26}{4} = 6{,}5 \) – mezi 6. (\(9\)) a 7. (\(11\)) hodnotou.

\( Q_1 = 9 + 0{,}5 \times (11 – 9) = 10 \).

Poloha \( Q_3 \): \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 3 \times 6{,}5 = 19{,}5 \) – mezi 19. (\(29\)) a 20. (\(31\)) hodnotou.

\( Q_3 = 29 + 0{,}5 \times (31 – 29) = 30 \).

Řešení:

Počet hodnot \( n = 30 \).

Medián \( Q_2 \) na pozici \( \frac{n+1}{2} = 15{,}5 \) mezi 15. (\(19\)) a 16. (\(21\)) hodnotou: \( Q_2 = 19 + 0{,}5 \times (21 – 19) = 20 \).

\( Q_1 \) na pozici \( \frac{n+1}{4} = 7{,}75 \) mezi 7. (\(8\)) a 8. (\(9\)): \( Q_1 = 8 + 0{,}75 \times (9 – 8) = 8{,}75 \).

\( Q_3 \) na pozici \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 23{,}25 \) mezi 23. (\(30\)) a 24. (\(32\)): \( Q_3 = 30 + 0{,}25 \times (32 – 30) = 30{,}5 \).

Řešení:

Počet hodnot \( n = 20 \).

Poloha \( Q_1 \): \( \frac{n+1}{4} = 5{,}25 \), zaokrouhleno dolů na 5., hodnota \(22\).

Poloha \( Q_3 \): \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 15{,}75 \), zaokrouhleno dolů na 15., hodnota \(48\).

Mezikvartilové rozpětí: \( IQR = Q_3 – Q_1 = 48 – 22 = 26 \).

Řešení:

Počet hodnot \( n = 18 \).

Poloha \( Q_1 \): \( \frac{n+1}{4} = 4{,}75 \) mezi 4. (\(8\)) a 5. (\(10\)): \( Q_1 = 8 + 0{,}75 \times (10 – 8) = 9{,}5 \).

Poloha \( Q_3 \): \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 14{,}25 \) mezi 14. (\(26\)) a 15. (\(28\)): \( Q_3 = 26 + 0{,}25 \times (28 – 26) = 26{,}5 \).

Řešení:

Počet hodnot \( n = 22 \).

Medián na pozici \( \frac{n+1}{2} = 11{,}5 \), mezi 11. (\(24\)) a 12. (\(25\)): \( Q_2 = 24 + 0{,}5 \times (25 – 24) = 24{,}5 \).

\( Q_1 \) na pozici \( \frac{n+1}{4} = 5{,}75 \), mezi 5. (\(13\)) a 6. (\(15\)): \( Q_1 = 13 + 0{,}75 \times (15 – 13) = 14{,}5 \).

\( Q_3 \) na pozici \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 17{,}25 \), mezi 17. (\(35\)) a 18. (\(37\)): \( Q_3 = 35 + 0{,}25 \times (37 – 35) = 35{,}5 \).

Řešení:

Počet hodnot \( n = 21 \).

Medián na pozici \( 11 \), hodnota \( 20 \).

Q1 na pozici \( \frac{n+1}{4} = 5{,}5 \), zaokrouhleno dolů na \( 5 \)., hodnota \( 11 \).

Q3 na pozici \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 16{,}5 \), zaokrouhleno dolů na \( 16 \)., hodnota \( 29 \).

Řešení:

Počet hodnot \( n = 23 \).

Poloha Q1: \( \frac{n+1}{4} = 6 \), hodnota \( 20 \).

Poloha Q3: \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 18 \), hodnota \( 43 \).

Medián na pozici \( \frac{n+1}{2} = 12 \), hodnota \( 31 \).

Řešení:

Počet hodnot \( n = 20 \).

Poloha Q1: \( \frac{n+1}{4} = 5{,}25 \), mezi \( 5 \). (\( 11 \)) a \( 6 \). (\( 13 \)): \( Q1 = 11 + 0{,}25 \times (13-11) = 11{,}5 \).

Poloha Q3: \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 15{,}75 \), mezi \( 15 \). (\( 47 \)) a \( 16 \). (\( 53 \)): \( Q3 = 47 + 0{,}75 \times (53-47) = 51{,}5 \).

Medián na pozici \( \frac{n+1}{2} = 10{,}5 \), mezi \( 10 \). (\( 29 \)) a \( 11 \). (\( 31 \)): \( Q2 = 29 + 0{,}5 \times (31-29) = 30 \).

Řešení:

Počet hodnot \( n = 25 \).

Poloha Q1: \( \frac{n+1}{4} = 6{,}5 \), zaokrouhleno dolů na \( 6 \)., hodnota \( 18 \).

Poloha Q3: \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 19{,}5 \), zaokrouhleno dolů na \( 19 \)., hodnota \( 57 \).

Medián na pozici \( \frac{n+1}{2} = 13 \), hodnota \( 39 \).

Řešení:

Počet hodnot \( n = 22 \).

Poloha Q1: \( \frac{n+1}{4} = 5{,}75 \), mezi \( 5 \). (\( 9 \)) a \( 6 \). (\( 12 \)): \( Q1 = 9 + 0{,}75 \times (12-9) = 11{,}25 \).

Poloha Q3: \( 3 \times \frac{n+1}{4} = 17{,}25 \), mezi \( 17 \). (\( 38 \)) a \( 18 \). (\( 40 \)): \( Q3 = 38 + 0{,}25 \times (40-38) = 38{,}5 \).

Medián na pozici \( \frac{n+1}{2} = 11{,}5 \), mezi \( 11 \). (\( 22 \)) a \( 12 \). (\( 24 \)): \( Q2 = 22 + 0{,}5 \times (24-22) = 23 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme aritmetický průměr (průměr) dat:

\[ \bar{x} = \frac{5 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12 + 15}{7} = \frac{66}{7} \approx 9{,}43 \]

Nyní vypočítáme rozptyl \(s^2\):

\[ s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2 \]

Po dosazení:

\[ s^2 = \frac{(5 – 9{,}43)^2 + (7 – 9{,}43)^2 + (8 – 9{,}43)^2 + (9 – 9{,}43)^2 + (10 – 9{,}43)^2 + (12 – 9{,}43)^2 + (15 – 9{,}43)^2}{7} \]

Výpočty jednotlivých čtverců:

\[ (5 – 9{,}43)^2 = 19{,}62, \quad (7 – 9{,}43)^2 = 5{,}90, \quad (8 – 9{,}43)^2 = 2{,}05, \] \[ (9 – 9{,}43)^2 = 0{,}18, \quad (10 – 9{,}43)^2 = 0{,}32, \quad (12 – 9{,}43)^2 = 6{,}62, \quad (15 – 9{,}43)^2 = 31{,}01 \]

Součet těchto hodnot:

\[ 19{,}62 + 5{,}90 + 2{,}05 + 0{,}18 + 0{,}32 + 6{,}62 + 31{,}01 = 65{,}70 \]

Rozptyl je tedy:

\[ s^2 = \frac{65{,}70}{7} \approx 9{,}39 \]

Směrodatná odchylka je druhá odmocnina z rozptylu:

\[ s = \sqrt{9{,}39} \approx 3{,}06 \]

Tedy směrodatná odchylka dat je přibližně \(3{,}06\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme průměr:

\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{(2-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{8} \] \[ = \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{8} = \frac{32}{8} = 4 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{4} = 2 \]

Řešení příkladu:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{12 + 15 + 17 + 19 + 22 + 24 + 24 + 28}{8} = \frac{161}{8} = 20{,}125 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{8} \]

Vypočítáme jednotlivé členy:

\[ (12 – 20{,}125)^2 = 66{,}02, \quad (15 – 20{,}125)^2 = 26{,}26, \quad (17 – 20{,}125)^2 = 9{,}76, \] \[ (19 – 20{,}125)^2 = 1{,}27, \quad (22 – 20{,}125)^2 = 3{,}51, \quad (24 – 20{,}125)^2 = 15{,}02, \] \[ (24 – 20{,}125)^2 = 15{,}02, \quad (28 – 20{,}125)^2 = 61{,}97 \]

Součet:

\[ 66{,}02 + 26{,}26 + 9{,}76 + 1{,}27 + 3{,}51 + 15{,}02 + 15{,}02 + 61{,}97 = 198{,}83 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{198{,}83}{8} = 24{,}85 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{24{,}85} \approx 4{,}99 \]

Řešení příkladu:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{1 + 3 + 3 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10}{8} = \frac{47}{8} = 5{,}875 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{8} \]

Jednotlivé hodnoty:

\[ (1-5{,}875)^2=23{,}77, \quad (3-5{,}875)^2=8{,}27, \quad (3-5{,}875)^2=8{,}27, \] \[ (6-5{,}875)^2=0{,}02, \quad (7-5{,}875)^2=1{,}27, \quad (8-5{,}875)^2=4{,}52, \] \[ (9-5{,}875)^2=9{,}77, \quad (10-5{,}875)^2=17{,}02 \]

Součet:

\[ 23{,}77 + 8{,}27 + 8{,}27 + 0{,}02 + 1{,}27 + 4{,}52 + 9{,}77 + 17{,}02 = 72{,}89 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{72{,}89}{8} = 9{,}11 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{9{,}11} \approx 3{,}02 \]

Řešení příkladu:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{10 + 15 + 10 + 15 + 20 + 25 + 20 + 25}{8} = \frac{140}{8} = 17{,}5 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{8} \]

Jednotlivé čtverce:

\[ (10-17{,}5)^2=56{,}25, \quad (15-17{,}5)^2=6{,}25, \quad (10-17{,}5)^2=56{,}25, \] \[ (15-17{,}5)^2=6{,}25, \quad (20-17{,}5)^2=6{,}25, \quad (25-17{,}5)^2=56{,}25, \] \[ (20-17{,}5)^2=6{,}25, \quad (25-17{,}5)^2=56{,}25 \]

Součet:

\[ 56{,}25 + 6{,}25 + 56{,}25 + 6{,}25 + 6{,}25 + 56{,}25 + 6{,}25 + 56{,}25 = 250 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{250}{8} = 31{,}25 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{31{,}25} \approx 5{,}59 \]

Tato hodnota říká, že data jsou rozprostřena kolem průměru s průměrnou odchylkou asi 5,59.

Řešení příkladu:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{14 + 18 + 22 + 24 + 28 + 30}{6} = \frac{136}{6} \approx 22{,}67 \]

Pro výpočet směrodatné odchylky vzorku použijeme vzorec s dělením \(n-1\):

\[ s^2 = \frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{n-1} \]

Čtverce rozdílů:

\[ (14-22{,}67)^2 = 75{,}11, \quad (18-22{,}67)^2 = 21{,}78, \quad (22-22{,}67)^2 = 0{,}44, \] \[ (24-22{,}67)^2 = 1{,}78, \quad (28-22{,}67)^2 = 28{,}44, \quad (30-22{,}67)^2 = 53{,}78 \]

Součet:

\[ 75{,}11 + 21{,}78 + 0{,}44 + 1{,}78 + 28{,}44 + 53{,}78 = 181{,}33 \]

Rozptyl vzorku:

\[ s^2 = \frac{181{,}33}{6-1} = \frac{181{,}33}{5} = 36{,}27 \]

Směrodatná odchylka vzorku:

\[ s = \sqrt{36{,}27} \approx 6{,}02 \]

Řešení příkladu:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{3 + 7 + 7 + 7 + 8 + 10 + 13}{7} = \frac{55}{7} \approx 7{,}86 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{7} \]

Čtverce:

\[ (3-7{,}86)^2 = 23{,}62, \quad (7-7{,}86)^2 = 0{,}74, \quad (7-7{,}86)^2 = 0{,}74, \] \[ (7-7{,}86)^2 = 0{,}74, \quad (8-7{,}86)^2 = 0{,}02, \quad (10-7{,}86)^2 = 4{,}57, \] \[ (13-7{,}86)^2 = 26{,}44 \]

Součet:

\[ 23{,}62 + 0{,}74 + 0{,}74 + 0{,}74 + 0{,}02 + 4{,}57 + 26{,}44 = 56{,}87 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{56{,}87}{7} = 8{,}12 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{8{,}12} \approx 2{,}85 \]

Řešení příkladu:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{4 + 6 + 6 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15}{8} = \frac{71}{8} = 8{,}875 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{8} \]

Čtverce rozdílů:

\[ (4 – 8{,}875)^2 = 23{,}77, \quad (6 – 8{,}875)^2 = 8{,}27, \quad (6 – 8{,}875)^2 = 8{,}27, \] \[ (7 – 8{,}875)^2 = 3{,}52, \quad (9 – 8{,}875)^2 = 0{,}02, \quad (11 – 8{,}875)^2 = 4{,}52, \] \[ (13 – 8{,}875)^2 = 17{,}02, \quad (15 – 8{,}875)^2 = 37{,}52 \]

Součet:

\[ 23{,}77 + 8{,}27 + 8{,}27 + 3{,}52 + 0{,}02 + 4{,}52 + 17{,}02 + 37{,}52 = 102{,}89 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{102{,}89}{8} = 12{,}86 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{12{,}86} \approx 3{,}59 \]

Řešení příkladu:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32}{7} = \frac{182}{7} = 26 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{(20-26)^2 + (22-26)^2 + (24-26)^2 + (26-26)^2 + (28-26)^2 + (30-26)^2 + (32-26)^2}{7} \] \[ = \frac{36 + 16 + 4 + 0 + 4 + 16 + 36}{7} = \frac{112}{7} = 16 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{16} = 4 \]

Řešení příkladu:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{8 + 9 + 10 + 10 + 10 + 11 + 12}{7} = \frac{70}{7} = 10 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{(8-10)^2 + (9-10)^2 + (10-10)^2 + (10-10)^2 + (10-10)^2 + (11-10)^2 + (12-10)^2}{7} \] \[ = \frac{4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4}{7} = \frac{10}{7} \approx 1{,}43 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{1{,}43} \approx 1{,}20 \]

Řešení:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]

Čtverce rozdílů:

\[ (2-6)^2 = 16, \quad (4-6)^2 = 4, \quad (6-6)^2 = 0, \quad (8-6)^2 = 4, \quad (10-6)^2 = 16 \]

Součet:

\[ 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{40}{5} = 8 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{8} \approx 2{,}83 \]

Řešení:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{3 + 7 + 7 + 7 + 10 + 15}{6} = \frac{49}{6} \approx 8{,}17 \]

Čtverce rozdílů:

\[ (3 – 8{,}17)^2 = 26{,}73, \quad (7 – 8{,}17)^2 = 1{,}37, \quad (7 – 8{,}17)^2 = 1{,}37, \] \[ (7 – 8{,}17)^2 = 1{,}37, \quad (10 – 8{,}17)^2 = 3{,}34, \quad (15 – 8{,}17)^2 = 46{,}68 \]

Součet:

\[ 26{,}73 + 1{,}37 + 1{,}37 + 1{,}37 + 3{,}34 + 46{,}68 = 80{,}86 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{80{,}86}{6} \approx 13{,}48 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{13{,}48} \approx 3{,}67 \]

Řešení:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{12 + 15 + 14 + 10 + 13 + 14 + 16}{7} = \frac{94}{7} \approx 13{,}43 \]

Čtverce rozdílů:

\[ (12 – 13{,}43)^2 = 2{,}04, \quad (15 – 13{,}43)^2 = 2{,}46, \quad (14 – 13{,}43)^2 = 0{,}33, \] \[ (10 – 13{,}43)^2 = 11{,}76, \quad (13 – 13{,}43)^2 = 0{,}18, \quad (14 – 13{,}43)^2 = 0{,}33, \] \[ (16 – 13{,}43)^2 = 6{,}61 \]

Součet:

\[ 2{,}04 + 2{,}46 + 0{,}33 + 11{,}76 + 0{,}18 + 0{,}33 + 6{,}61 = 23{,}71 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{23{,}71}{7} \approx 3{,}39 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{3{,}39} \approx 1{,}84 \]

Řešení:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{25 + 30 + 35 + 40 + 45}{5} = \frac{175}{5} = 35 \]

Čtverce rozdílů:

\[ (25 – 35)^2 = 100, \quad (30 – 35)^2 = 25, \quad (35 – 35)^2 = 0, \quad (40 – 35)^2 = 25, \quad (45 – 35)^2 = 100 \]

Součet:

\[ 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{250}{5} = 50 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{50} \approx 7{,}07 \]

Řešení:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{1 + 3 + 3 + 6 + 7 + 8 + 9}{7} = \frac{37}{7} \approx 5{,}29 \]

Čtverce rozdílů:

\[ (1 – 5{,}29)^2 = 18{,}43, \quad (3 – 5{,}29)^2 = 5{,}22, \quad (3 – 5{,}29)^2 = 5{,}22, \] \[ (6 – 5{,}29)^2 = 0{,}51, \quad (7 – 5{,}29)^2 = 2{,}93, \quad (8 – 5{,}29)^2 = 7{,}37, \] \[ (9 – 5{,}29)^2 = 13{,}79 \]

Součet:

\[ 18{,}43 + 5{,}22 + 5{,}22 + 0{,}51 + 2{,}93 + 7{,}37 + 13{,}79 = 53{,}47 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{53{,}47}{7} \approx 7{,}64 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{7{,}64} \approx 2{,}76 \]

Řešení:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{100 + 102 + 105 + 107 + 110}{5} = \frac{524}{5} = 104{,}8 \]

Čtverce rozdílů:

\[ (100 – 104{,}8)^2 = 23{,}04, \quad (102 – 104{,}8)^2 = 7{,}84, \quad (105 – 104{,}8)^2 = 0{,}04, \] \[ (107 – 104{,}8)^2 = 4{,}84, \quad (110 – 104{,}8)^2 = 27{,}04 \]

Součet:

\[ 23{,}04 + 7{,}84 + 0{,}04 + 4{,}84 + 27{,}04 = 62{,}8 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{62{,}8}{5} = 12{,}56 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{12{,}56} \approx 3{,}54 \]

Řešení:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{5 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12}{6} = \frac{51}{6} = 8{,}5 \]

Čtverce rozdílů:

\[ (5 – 8{,}5)^2 = 12{,}25, \quad (7 – 8{,}5)^2 = 2{,}25, \quad (8 – 8{,}5)^2 = 0{,}25, \] \[ (9 – 8{,}5)^2 = 0{,}25, \quad (10 – 8{,}5)^2 = 2{,}25, \quad (12 – 8{,}5)^2 = 12{,}25 \]

Součet:

\[ 12{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 + 0{,}25 + 2{,}25 + 12{,}25 = 29{,}5 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{29{,}5}{6} \approx 4{,}92 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{4{,}92} \approx 2{,}22 \]

Řešení:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{20 + 21 + 19 + 22 + 20 + 18 + 23}{7} = \frac{143}{7} = 20{,}43 \]

Čtverce rozdílů:

\[ (20 – 20{,}43)^2 = 0{,}18, \quad (21 – 20{,}43)^2 = 0{,}33, \quad (19 – 20{,}43)^2 = 2{,}04, \] \[ (22 – 20{,}43)^2 = 2{,}46, \quad (20 – 20{,}43)^2 = 0{,}18, \quad (18 – 20{,}43)^2 = 5{,}90, \] \[ (23 – 20{,}43)^2 = 6{,}61 \]

Součet:

\[ 0{,}18 + 0{,}33 + 2{,}04 + 2{,}46 + 0{,}18 + 5{,}90 + 6{,}61 = 17{,}7 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{17{,}7}{7} \approx 2{,}53 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{2{,}53} \approx 1{,}59 \]

Řešení:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{50 + 52 + 48 + 53 + 49 + 51}{6} = \frac{303}{6} = 50{,}5 \]

Čtverce rozdílů:

\[ (50 – 50{,}5)^2 = 0{,}25, \quad (52 – 50{,}5)^2 = 2{,}25, \quad (48 – 50{,}5)^2 = 6{,}25, \] \[ (53 – 50{,}5)^2 = 6{,}25, \quad (49 – 50{,}5)^2 = 2{,}25, \quad (51 – 50{,}5)^2 = 0{,}25 \]

Součet:

\[ 0{,}25 + 2{,}25 + 6{,}25 + 6{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 = 17{,}5 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{17{,}5}{6} \approx 2{,}92 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{2{,}92} \approx 1{,}71 \]

Řešení:

Průměr:

\[ \bar{x} = \frac{8 + 10 + 9 + 11 + 10 + 12 + 9}{7} = \frac{69}{7} \approx 9{,}86 \]

Čtverce rozdílů:

\[ (8 – 9{,}86)^2 = 3{,}45, \quad (10 – 9{,}86)^2 = 0{,}02, \quad (9 – 9{,}86)^2 = 0{,}74, \] \[ (11 – 9{,}86)^2 = 1{,}30, \quad (10 – 9{,}86)^2 = 0{,}02, \quad (12 – 9{,}86)^2 = 4{,}57, \] \[ (9 – 9{,}86)^2 = 0{,}74 \]

Součet:

\[ 3{,}45 + 0{,}02 + 0{,}74 + 1{,}30 + 0{,}02 + 4{,}57 + 0{,}74 = 10{,}84 \]

Rozptyl:

\[ s^2 = \frac{10{,}84}{7} \approx 1{,}55 \]

Směrodatná odchylka:

\[ s = \sqrt{1{,}55} \approx 1{,}24 \]

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(9\) (lichý), medián je \(5\). hodnota:

\( \text{Medián} = 11 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(4\) hodnot): \(4, 6, 8, 9\)

\(Q_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7\)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(4\) hodnot): \(13, 14, 16, 18\)

\(Q_3 = \frac{14 + 16}{2} = 15\)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 15 – 7 = 8\)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(10\) (sudý), medián je průměr \(5\). a \(6\). hodnoty:

\( \text{Medián} = \frac{8 + 10}{2} = 9 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(5\) hodnot): \(2, 3, 5, 7, 8\)

\(Q_1 = 5\)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(5\) hodnot): \(10, 12, 15, 18, 20\)

\(Q_3 = 15\)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 15 – 5 = 10\)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(9\) (lichý), medián je \(5\). hodnota:

\( \text{Medián} = 9 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(4\) hodnot): \(1, 4, 6, 7\)

\(Q_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5\)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(4\) hodnot): \(10, 12, 13, 15\)

\(Q_3 = \frac{12 + 13}{2} = 12{,}5\)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 12{,}5 – 5 = 7{,}5\)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(11\) (lichý), medián je \(6\). hodnota:

\( \text{Medián} = 12 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(5\) hodnot): \(5, 7, 8, 9, 11\)

\(Q_1 = 8\)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(5\) hodnot): \(13, 14, 16, 18, 20\)

\(Q_3 = 16\)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 16 – 8 = 8\)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(10\) (sudý), medián je průměr \(5\). a \(6\). hodnoty:

\( \text{Medián} = \frac{10 + 12}{2} = 11 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(5\) hodnot): \(3, 6, 7, 8, 10\)

\(Q_1 = 7\)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(5\) hodnot): \(12, 15, 17, 19, 21\)

\(Q_3 = 17\)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 17 – 7 = 10\)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(9\) (lichý), medián je \(5\). hodnota:

\( \text{Medián} = 9 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(4\) hodnot): \(2, 4, 6, 8\)

\(Q_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5\)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(4\) hodnot): \(10, 12, 14, 16\)

\(Q_3 = \frac{12 + 14}{2} = 13\)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 13 – 5 = 8\)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(11\) (lichý), medián je \(6\). hodnota:

\( \text{Medián} = 11 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(5\) hodnot): \(1, 3, 5, 7, 9\)

\(Q_1 = 5\)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(5\) hodnot): \(13, 15, 17, 19, 21\)

\(Q_3 = 17\)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 17 – 5 = 12\)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(10\) (sudý), medián je průměr \(5\). a \(6\). hodnoty:

\( \text{Medián} = \frac{18 + 20}{2} = 19 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(5\) hodnot): \(10, 12, 14, 16, 18\)

\(Q_1 = 14\)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(5\) hodnot): \(20, 22, 24, 26, 28\)

\(Q_3 = 24\)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 24 – 14 = 10\)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(9\) (lichý), medián je \(5\). hodnota:

\( \text{Medián} = 15 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(4\) hodnot): \(7, 9, 11, 13\)

\(Q_1 = \frac{9 + 11}{2} = 10\)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(4\) hodnot): \(17, 19, 21, 23\)

\(Q_3 = \frac{19 + 21}{2} = 20\)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 20 – 10 = 10\)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(10\) (sudý), medián je průměr \(5\). a \(6\). hodnoty:

\( \text{Medián} = \frac{5 + 6}{2} = 5{,}5 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(5\) hodnot): \(1, 2, 3, 4, 5\)

\(Q_1 = 3\)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(5\) hodnot): \(6, 7, 8, 9, 10\)

\(Q_3 = 8\)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 8 – 3 = 5\)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(12\) (sudý), medián je průměr \(6\). a \(7\). hodnoty:

\( \text{Medián} = \frac{13 + 15}{2} = 14 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(6\) hodnot): \(3, 5, 7, 9, 11, 13\)

\(Q_1 = \frac{7 + 9}{2} = 8 \)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(6\) hodnot): \(15, 17, 19, 21, 23, 25\)

\(Q_3 = \frac{19 + 21}{2} = 20 \)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 20 – 8 = 12 \)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(13\) (lichý), medián je \(7\). hodnota:

\( \text{Medián} = 14 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(6\) hodnot): \(2, 4, 6, 8, 10, 12\)

\(Q_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7 \)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(6\) hodnot): \(16, 18, 20, 22, 24, 26\)

\(Q_3 = \frac{20 + 22}{2} = 21 \)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 21 – 7 = 14 \)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(14\) (sudý), medián je průměr \(7\). a \(8\). hodnoty:

\( \text{Medián} = \frac{13 + 15}{2} = 14 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(7\) hodnot): \(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\)

\(Q_1 = 7 \)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(7\) hodnot): \(15, 17, 19, 21, 23, 25, 27\)

\(Q_3 = 21 \)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 21 – 7 = 14 \)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(15\) (lichý), medián je \(8\). hodnota:

\( \text{Medián} = 18 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(7\) hodnot): \(4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\)

\(Q_1 = 10 \)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(7\) hodnot): \(20, 22, 24, 26, 28, 30, 32\)

\(Q_3 = 26 \)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 26 – 10 = 16 \)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(16\) (sudý), medián je průměr \(8\). a \(9\). hodnoty:

\( \text{Medián} = \frac{19 + 21}{2} = 20 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(8\) hodnot): \(5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\)

\(Q_1 = \frac{11 + 13}{2} = 12 \)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(8\) hodnot): \(21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35\)

\(Q_3 = \frac{27 + 29}{2} = 28 \)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 28 – 12 = 16 \)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(17\) (lichý), medián je \(9\). hodnota:

\( \text{Medián} = 22 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(8\) hodnot): \(6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\)

\(Q_1 = \frac{12 + 14}{2} = 13 \)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(8\) hodnot): \(24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38\)

\(Q_3 = \frac{30 + 32}{2} = 31 \)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 31 – 13 = 18 \)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(18\) (sudý), medián je průměr \(9\). a \(10\). hodnoty:

\( \text{Medián} = \frac{23 + 25}{2} = 24 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(9\) hodnot): \(7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23\)

\(Q_1 = 15 \)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(9\) hodnot): \(25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41\)

\(Q_3 = 33 \)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 33 – 15 = 18 \)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(19\) (lichý), medián je \(10\). hodnota:

\( \text{Medián} = 26 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(9\) hodnot): \(8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24\)

\(Q_1 = 16 \)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(9\) hodnot): \(28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44\)

\(Q_3 = 36 \)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 36 – 16 = 20 \)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(20\) (sudý), medián je průměr \(10\). a \(11\). hodnoty:

\( \text{Medián} = \frac{27 + 29}{2} = 28 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(10\) hodnot): \(9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27\)

\(Q_1 = \frac{17 + 19}{2} = 18 \)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(10\) hodnot): \(29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47\)

\(Q_3 = \frac{37 + 39}{2} = 38 \)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 38 – 18 = 20 \)

Řešení:

1. Data jsou seřazena.

2. Počet hodnot je \(21\) (lichý), medián je \(11\). hodnota:

\( \text{Medián} = 30 \)

3. Dolní kvartil \(Q_1\) je medián první poloviny (prvních \(10\) hodnot): \(10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28\)

\(Q_1 = \frac{18 + 20}{2} = 19 \)

4. Horní kvartil \(Q_3\) je medián druhé poloviny (posledních \(10\) hodnot): \(32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50\)

\(Q_3 = \frac{40 + 42}{2} = 41 \)

5. Mezikvartilová odchylka je:

\(Q_3 – Q_1 = 41 – 19 = 22 \)