1. Vytvoř trojúhelník, jehož strany mají délky 5 cm, 7 cm a 9 cm. Jaký je jeho obvod?
Řešení příkladu: Obvod trojúhelníku je součet délek všech stran, tedy \( 5 + 7 + 9 = 21 \, \text{cm} \).
2. Vytvoř trojúhelník s výškou 6 cm a základnou 8 cm. Jaký je jeho obsah?
Řešení příkladu: Obsah trojúhelníku je dán vzorcem \( \frac{1}{2} \times \text{základna} \times \text{výška} \), tedy \( \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, \text{cm}^2 \).
3. Jaký je obvod trojúhelníku, jehož strany mají délky 4 cm, 10 cm a 12 cm?
Řešení příkladu: Obvod trojúhelníku je součet délek stran \( 4 + 10 + 12 = 26 \, \text{cm} \).
4. Vytvoř trojúhelník s úhlem \( 90^\circ \), základnou 5 cm a výškou 12 cm. Jaký je jeho obvod?
Řešení příkladu: Pro obvod musíme znát délky všech tří stran. Použijeme Pythagorovu větu pro výpočet přepony: \( c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{cm} \). Obvod je tedy \( 5 + 12 + 13 = 30 \, \text{cm} \).
5. Jaký je obvod rovnostranného trojúhelníku, jehož strany mají délku 6 cm?
Řešení příkladu: Obvod rovnostranného trojúhelníku je součet délek všech tří stran, tedy \( 6 + 6 + 6 = 18 \, \text{cm} \).
6. Vytvoř trojúhelník, jehož základna měří 8 cm a výška 6 cm. Jaký je obsah tohoto trojúhelníku?
Řešení příkladu: Obsah trojúhelníku je \( \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, \text{cm}^2 \).
7. Jaký je obvod trojúhelníku, jehož strany měří 3 cm, 4 cm a 5 cm?
Řešení příkladu: Obvod trojúhelníku je součet délek stran \( 3 + 4 + 5 = 12 \, \text{cm} \).
8. Vytvoř trojúhelník s úhlem \( 60^\circ \) mezi stranami 5 cm a 7 cm. Jaký je obsah trojúhelníku?
Řešení příkladu: Obsah trojúhelníku je dán vzorcem \( \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \), kde \( a = 5 \, \text{cm}, b = 7 \, \text{cm} \) a \( C = 60^\circ \). Takže obsah je \( \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15.2 \, \text{cm}^2 \).
9. Jaký je obvod trojúhelníku, jehož strany mají délky 8 cm, 12 cm a 15 cm?
Řešení příkladu: Obvod trojúhelníku je součet délek stran \( 8 + 12 + 15 = 35 \, \text{cm} \).
10. Vytvoř trojúhelník s úhlem \( 90^\circ \) mezi stranami 7 cm a 24 cm. Jaký je obvod trojúhelníku?
Řešení příkladu: Použijeme Pythagorovu větu pro výpočet přepony: \( c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \, \text{cm} \). Obvod je tedy \( 7 + 24 + 25 = 56 \, \text{cm} \).
11. Vytvoř trojúhelník s úhlem \( 45^\circ \) mezi stranami 10 cm a 12 cm. Jaký je obsah trojúhelníku?
Řešení příkladu: Obsah trojúhelníku je dán vzorcem \( \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \), kde \( a = 10 \, \text{cm}, b = 12 \, \text{cm} \) a \( C = 45^\circ \). Takže obsah je \( \frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 42.43 \, \text{cm}^2 \).
12. Jaký je obvod pravoúhlého trojúhelníku, jehož nohy měří 9 cm a 12 cm?
Řešení příkladu: Použijeme Pythagorovu větu pro výpočet přepony: \( c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm} \). Obvod je tedy \( 9 + 12 + 15 = 36 \, \text{cm} \).
13. Vytvoř trojúhelník, jehož strany mají délky 7 cm, 10 cm a 15 cm. Jaký je jeho obvod?
Řešení příkladu: Obvod trojúhelníku je součet délek všech stran \( 7 + 10 + 15 = 32 \, \text{cm} \).
14. Jaký je obvod rovnostranného trojúhelníku, jehož výška měří 6 cm?
Řešení příkladu: Pro výpočet strany rovnostranného trojúhelníku použijeme vzorec pro výšku \( h = \frac{s \sqrt{3}}{2} \), kde \( h = 6 \). Řešením pro stranu \( s = \frac{2 \times h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 6}{\sqrt{3}} \approx 6.93 \, \text{cm} \). Obvod je tedy \( 6.93 \times 3 \approx 20.79 \, \text{cm} \).
15. Vytvoř trojúhelník s úhlem \( 120^\circ \) mezi stranami 8 cm a 10 cm. Jaký je obsah trojúhelníku?
Řešení příkladu: Obsah trojúhelníku je dán vzorcem \( \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \), kde \( a = 8 \, \text{cm}, b = 10 \, \text{cm} \) a \( C = 120^\circ \). Takže obsah je \( \frac{1}{2} \times 8 \times 10 \times \sin(120^\circ) = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 34.64 \, \text{cm}^2 \).
16. Jaký je obvod trojúhelníku, jehož strany mají délky 11 cm, 13 cm a 14 cm?
Řešení příkladu: Obvod trojúhelníku je součet délek všech stran \( 11 + 13 + 14 = 38 \, \text{cm} \).
17. Vytvoř trojúhelník s úhlem \( 30^\circ \) mezi stranami 12 cm a 14 cm. Jaký je obsah trojúhelníku?
Řešení příkladu: Obsah trojúhelníku je dán vzorcem \( \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \), kde \( a = 12 \, \text{cm}, b = 14 \, \text{cm} \) a \( C = 30^\circ \). Takže obsah je \( \frac{1}{2} \times 12 \times 14 \times \frac{1}{2} = 42 \, \text{cm}^2 \).
18. Jaký je obvod trojúhelníku, jehož strany mají délky 6 cm, 8 cm a 10 cm?
Řešení příkladu: Obvod trojúhelníku je součet délek všech stran \( 6 + 8 + 10 = 24 \, \text{cm} \).
19. Vytvoř trojúhelník s úhlem \( 90^\circ \) a stranami 6 cm a 8 cm. Jaký je jeho obvod?
Řešení příkladu: Použijeme Pythagorovu větu pro výpočet přepony: \( c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm} \). Obvod je tedy \( 6 + 8 + 10 = 24 \, \text{cm} \).
20. Jaký je obvod trojúhelníku, jehož strany měří 9 cm, 15 cm a 18 cm?
Řešení příkladu: Obvod trojúhelníku je součet délek všech stran \( 9 + 15 + 18 = 42 \, \text{cm} \).
21. Vytvoř trojúhelník, jehož strany mají délky 13 cm, 14 cm a 15 cm. Určete obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce.
Řešení příkladu: Nejprve spočítáme poloviční obvod: \( s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \). Poté použijeme Heronův vzorec pro obsah: \( A = \sqrt{s(s – 13)(s – 14)(s – 15)} = \sqrt{21(21 – 13)(21 – 14)(21 – 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} \approx 84 \, \text{cm}^2 \).
22. Vytvoř trojúhelník, jehož strany měří 10 cm, 24 cm a 26 cm. Určete obvod a obsah trojúhelníku.
Řešení příkladu: Obvod trojúhelníku je \( 10 + 24 + 26 = 60 \, \text{cm} \). Obsah spočítáme pomocí Heronova vzorce: Poloviční obvod je \( s = \frac{10 + 24 + 26}{2} = 30 \). Obsah je \( A = \sqrt{s(s – 10)(s – 24)(s – 26)} = \sqrt{30(30 – 10)(30 – 24)(30 – 26)} = \sqrt{30 \times 20 \times 6 \times 4} \approx 120 \, \text{cm}^2 \).
23. Vytvoř trojúhelník s úhly \( 60^\circ \), \( 70^\circ \) a \( 50^\circ \), a s délkami stran 12 cm, 15 cm a 18 cm. Určete obsah trojúhelníku pomocí vzorce pro obsah.
Řešení příkladu: Obsah trojúhelníku můžeme spočítat pomocí vzorce \( A = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \), kde \( a = 12 \, \text{cm}, b = 15 \, \text{cm} \) a \( C = 60^\circ \). Obsah je \( A = \frac{1}{2} \times 12 \times 15 \times \sin(60^\circ) = 90 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 77.94 \, \text{cm}^2 \).
24. Určete obvod a obsah trojúhelníku, jehož strany měří 9 cm, 12 cm a 16 cm, a jeden úhel je \( 120^\circ \).
Řešení příkladu: Obvod je součet délek stran \( 9 + 12 + 16 = 37 \, \text{cm} \). Obsah spočítáme pomocí vzorce \( A = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \), kde \( a = 9 \, \text{cm}, b = 12 \, \text{cm} \) a \( C = 120^\circ \). Obsah je \( A = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 \times \sin(120^\circ) = 54 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 46.77 \, \text{cm}^2 \).
25. Vytvoř trojúhelník, jehož strany měří 8 cm, 15 cm a 17 cm. Určete obvod a obsah trojúhelníku.
Řešení příkladu: Obvod je \( 8 + 15 + 17 = 40 \, \text{cm} \). Pro obsah použijeme Heronův vzorec: Poloviční obvod je \( s = \frac{8 + 15 + 17}{2} = 20 \). Obsah je \( A = \sqrt{s(s – 8)(s – 15)(s – 17)} = \sqrt{20(20 – 8)(20 – 15)(20 – 17)} = \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3} \approx 48 \, \text{cm}^2 \).
26. Určete obsah a obvod trojúhelníku, jehož strany měří 7 cm, 24 cm a 25 cm.
Řešení příkladu: Obvod je součet délek stran \( 7 + 24 + 25 = 56 \, \text{cm} \). Obsah spočítáme pomocí Heronova vzorce: Poloviční obvod je \( s = \frac{7 + 24 + 25}{2} = 28 \). Obsah je \( A = \sqrt{s(s – 7)(s – 24)(s – 25)} = \sqrt{28(28 – 7)(28 – 24)(28 – 25)} = \sqrt{28 \times 21 \times 4 \times 3} \approx 84 \, \text{cm}^2 \).
27. Určete obsah trojúhelníku s úhly \( 45^\circ \), \( 60^\circ \), \( 75^\circ \) a stranami 8 cm, 12 cm, a 16 cm.
Řešení příkladu: Použijeme vzorec pro obsah \( A = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \). Zvolíme \( a = 8 \, \text{cm}, b = 12 \, \text{cm}, C = 45^\circ \). Obsah je \( A = \frac{1}{2} \times 8 \times 12 \times \sin(45^\circ) = 48 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 33.94 \, \text{cm}^2 \).
28. Určete obsah a obvod pravoúhlého trojúhelníku, jehož přepona měří 17 cm a odvěsny 8 cm a 15 cm.
Řešení příkladu: Obvod je součet délek stran \( 8 + 15 + 17 = 40 \, \text{cm} \). Obsah trojúhelníku je \( A = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60 \, \text{cm}^2 \).
29. Určete obsah trojúhelníku, jehož strany měří 20 cm, 30 cm a 40 cm.
Řešení příkladu: Obvod je součet délek stran \( 20 + 30 + 40 = 90 \, \text{cm} \). Pro obsah použijeme Heronův vzorec: Poloviční obvod je \( s = \frac{20 + 30 + 40}{2} = 45 \). Obsah je \( A = \sqrt{s(s – 20)(s – 30)(s – 40)} = \sqrt{45(45 – 20)(45 – 30)(45 – 40)} = \sqrt{45 \times 25 \times 15 \times 5} \approx 300 \, \text{cm}^2 \).
30. Určete obvod a obsah trojúhelníku, jehož strany měří 10 cm, 24 cm a 26 cm, a jeden úhel je \( 60^\circ \).
Řešení příkladu: Obvod trojúhelníku je \( 10 + 24 + 26 = 60 \, \text{cm} \). Obsah spočítáme pomocí vzorce \( A = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \), kde \( a = 10 \, \text{cm}, b = 24 \, \text{cm} \) a \( C = 60^\circ \). Obsah je \( A = \frac{1}{2} \times 10 \times 24 \times \sin(60^\circ) = 120 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 103.92 \, \text{cm}^2 \).
