Úhly v kružnici

Průměr kruhu je \(10\) cm, takže poloměr je: \( r = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm} \).

Celý kruh má středový úhel \( 360^\circ \). Čtvrtina kruhu znamená, že daný oblouk má středový úhel:

\( \alpha = \frac{1}{4} \cdot 360^\circ = 90^\circ \).

Obvodový úhel nad tímto obloukem má vždy poloviční velikost oproti středovému úhlu, tedy:

\( \beta = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \).

Odpověď: Velikost obvodového úhlu je \( 45^\circ \).

Obvodový úhel vzniká tak, že se díváme z obvodu kružnice na určitý oblouk. Je známé, že velikost obvodového úhlu je rovna polovině velikosti odpovídajícího středového úhlu.

Známe \( \beta = 40^\circ \), takže středový úhel je:

\( \alpha = 2 \cdot \beta = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ \).

Odpověď: Příslušný středový úhel má velikost \( 80^\circ \).

Známe obvodový úhel \( \beta = 90^\circ \). Středový úhel je:

\( \alpha = 2 \cdot \beta = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ \).

Středový úhel \( 180^\circ \) odpovídá oblouku, který tvoří přesně polovinu kružnice, tedy půlkružnici.

Odpověď: Úhel svírá oblouk o velikosti poloviny kruhu.

Rovnoběžné tětivy \( AB \) a \( CD \) rozdělují kružnici na dva oblouky.

Každý obvodový úhel, který leží „na stejné straně“ těchto tětiv a svírá stejný oblouk, má podle vlastnosti obvodových úhlů stejnou velikost.

To je proto, že obvodové úhly, které svírají stejný oblouk, jsou vždy stejně velké.

Dále platí, že rovnoběžné tětivy vytvářejí s obvodem kružnice lichoběžník, ve kterém tyto úhly leží proti sobě, tedy jsou shodné.

Odpověď: Obvodové úhly nad rovnoběžnými tětivami mají stejnou velikost, protože svírají stejný oblouk.

V tomto případě je úhel \( \angle ABC \) obvodový úhel nad obloukem \( AC \).

Středový úhel \( \angle AOC \) svírá tentýž oblouk, ale vrchol má ve středu kružnice.

Podle vlastnosti úhlů v kružnici platí: středový úhel je dvakrát větší než obvodový úhel nad stejným obloukem.

\( \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \).

Odpověď: Středový úhel \( \angle AOC \) má velikost \( 60^\circ \).

Bod B je střed kružnice, takže trojúhelník \(ABC\) má stranu \(AB\) jako poloměr a stranu \(BC\) jako také poloměr.

Trojúhelník \(ABC\) je tedy rovnoramenný s rameny \(AB = BC\).

V rovnoramenném trojúhelníku platí, že úhly u základny jsou shodné. Známe úhel mezi jedním ramenem a základnou: \( \angle CAB = 35^\circ \).

Označíme \( \angle ACB = x \), pak platí:

\( \angle CAB + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ \).

Protože trojúhelník je rovnoramenný a úhly u základny jsou stejné, pak \( \angle CAB = \angle CBA = 35^\circ \).

\( 35^\circ + x + 35^\circ = 180^\circ \Rightarrow x = 180^\circ – 70^\circ = 110^\circ \).

Odpověď: Úhel \( \angle ACB \) má velikost \( 110^\circ \).

Obvodový úhel \( 90^\circ \) vzniká pouze tehdy, pokud jeho vrchol leží na obvodu kružnice a svírá průměr jako základnu.

Středový úhel je \( 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ \), což znamená, že tento úhel svírá půlkruh.

Trojúhelník, který vznikne mezi dvěma krajními body průměru a libovolným bodem na kružnici, je pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu na kružnici.

Odpověď: Úhel svírá půlkruh a vzniklý trojúhelník je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu na kružnici.

Jestliže \( AB \) je průměr kružnice a bod \( C \) leží na kružnici, pak podle věty o obvodovém úhlu nad průměrem platí:

Obvodový úhel, který svírá průměr kružnice, je vždy pravý (má \( 90^\circ \)).

To znamená, že úhel \( \angle ACB \) je pravý.

Trojúhelník \(ABC\) tedy má pravý úhel a je pravoúhlý.

Odpověď: Trojúhelník \(ABC\) je pravoúhlý, protože úhel nad průměrem kružnice je vždy \( 90^\circ \).

Úhel \( \angle ACD \) je obvodový úhel, který svírá oblouk \(AD\).

Obvodové úhly, které svírají stejný oblouk, jsou si rovny.

Úhel \( \angle ABD \) svírá také oblouk AD.

Proto platí: \( \angle ABD = \angle ACD = 70^\circ \).

Odpověď: Úhel \( \angle ABD \) má velikost \( 70^\circ \).

Nejprve zjistíme velikost středového úhlu odpovídajícího danému obvodovému úhlu:

\( \alpha = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \).

Oblouk je část kružnice, jejíž délku spočítáme podle vzorce:

\( l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r \).

Dosadíme: \( r = 6 \, \text{cm}, \alpha = 120^\circ \):

\( l = \frac{120}{360} \cdot 2 \pi \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 12 \pi = 4 \pi \, \text{cm} \).

Odpověď: Délka oblouku je \( 4\pi \, \text{cm} \approx 12{,}57 \, \text{cm} \).

Úhly v kružnici mají známý vztah: středový úhel nad stejným obloukem je dvojnásobkem obvodového úhlu.

Zadaný obvodový úhel je \( \angle ABC = 40^\circ \). Oblouk, který tento úhel „vidí“, je \(AC\).

Středový úhel nad obloukem \(AC\) je tedy:

\[ \angle ASC = 2 \times \angle ABC = 2 \times 40^\circ = 80^\circ. \]

Odpověď: Velikost středového úhlu \( \angle ASC \) je \(80^\circ\).

Čtyřúhelník je cyklický, pokud součet jeho protilehlých úhlů je \(180^\circ\).

Máme protilehlé úhly \( \angle ABC = 70^\circ \) a \( \angle ADC = 110^\circ \).

Sečteme je:

\[ 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ \]

Proto je čtyřúhelník ABCD cyklický, protože splňuje podmínku součtu protilehlých úhlů.

Podle věty Thaletovy je úhel \( \angle ACB \) pravý, pokud \(C\) leží na kružnici nad průměrem \(AB\).

Průměr \( AB = 12 \, cm \) znamená, že trojúhelník \( \triangle ABC \) je pravoúhlý s přeponou \( AB \).

Délka přepony: \( c = AB = 12 \, cm \)

Délka jedné odvěsny: \( b = BC = 5 \, cm \)

Hledáme délku druhé odvěsny \( a = AC \).

Použijeme Pythagorovu větu:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

\[ a^2 + 5^2 = 12^2 \]

\[ a^2 + 25 = 144 \]

\[ a^2 = 144 – 25 = 119 \]

\[ a = \sqrt{119} \approx 10.91 \, cm \]

Odpověď: Délka úseku AC je přibližně \(10.91\, cm\).

Středový úhel \( \angle AOB = 100^\circ \) přísluší oblouku AB.

Obvodový úhel nad tímto obloukem je poloviční, tedy:

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB = \frac{1}{2} \times 100^\circ = 50^\circ \]

Úhel \( \angle COD = 60^\circ \) není přímo potřebný pro výpočet úhlu \( \angle ACB \), ale může popisovat jiný oblouk.

Odpověď: Velikost obvodového úhlu \( \angle ACB \) je \(50^\circ\).

Celý kruh má \(360^\circ\). Oblouk AC má \(80^\circ\), oblouk CB má \(100^\circ\).

Obvodový úhel \( \angle ACB \) „vidí“ oblouk AB, což je součet oblouků AC a CB:

\[ \text{oblouk } AB = 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ \]

Obvodový úhel je polovina velikosti oblouku, který „vidí“:

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ \]

Odpověď: Úhel \( \angle ACB \) je pravý, tedy \(90^\circ\).

Podle Thaletovy věty je úhel nad průměrem kružnice vždy pravý, tedy \( \angle ACB = 90^\circ \).

Jestliže bod C leží na kružnici s průměrem \(AB\), pak úhel \( \angle ACB \) nemůže být větší než \(90^\circ\).

Pokud by byl větší, pak by bod C neležel na kružnici s průměrem \(AB\).

Odpověď: Úhel \( \angle ACB \) nemůže být větší než \(90^\circ\).

Čtyřúhelník je cyklický, pokud součet protilehlých úhlů je \(180^\circ\).

Máme protilehlé úhly \( \angle ABC = 45^\circ \) a \( \angle ADC = 135^\circ \).

Sečteme je:

\[ 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ \]

Tedy body \(A, B, C, D\) leží na jedné kružnici, čtyřúhelník \(ABCD\) je cyklický.

Úhel středový je přímo úměrný velikosti oblouku, na kterém leží.

Úhel \( \angle AOD \) zahrnuje oblouk \(AB\) a oblouk \(CD\) i oblouk \(BD\), který není dán, ale víme, že \( \angle BOC = 60^\circ \).

Předpokládáme, že oblouk AD je součet oblouků \(AB\) a \(BD\), kde \(BD\) odpovídá úhlu \( \angle BOC = 60^\circ \), a \(CD\) je samostatný oblouk s úhlem 50°.

Velikost úhlu \( \angle AOD \) je tedy součet úhlů nad oblouky \(AB, BD, CD\), tedy:

\[ \angle AOD = \text{oblouk } AB + \text{oblouk } BD + \text{oblouk } CD = 70^\circ + 60^\circ + 50^\circ = 180^\circ \]

Odpověď: Velikost úhlu \( \angle AOD \) je \(180^\circ\).

Obvodový úhel \( \angle ACB \) vidí oblouk \(AB\) a oblouk \(BC\), tedy oblouk \(AC\).

Celý kruh má \(360^\circ\), takže oblouk AC je doplněk k oblouku BC.

Oblouk AC = \( 360^\circ – \) oblouk BC = \( 360^\circ – 100^\circ = 260^\circ \).

Obvodový úhel je polovina velikosti oblouku, který „vidí“. Zde „vidí“ oblouk AB:

Protože úhel \( \angle ACB \) leží u bodu C, který vidí oblouk AB.

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times \text{oblouk } AB = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ \]

Odpověď: Velikost úhlu \( \angle ACB \) je \(60^\circ\).

Podle Thaletovy věty je úhel \( \angle ACB \), který je obvodovým úhlem nad průměrem \(AB\), pravý (90°).

Zadaný úhel je \(30^\circ\), což znamená, že bod C neleží přímo nad průměrem, ale nad jiným obloukem.

Středový úhel \( \angle AOB \) je dvojnásobkem obvodového úhlu, který „vidí“ stejný oblouk.

Proto:

\[ \angle AOB = 2 \times \angle ACB = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \]

Odpověď: Velikost úhlu \( \angle AOB \) je \(60^\circ\).

Řešení:

Úhel \(\angle ACB\) je opsaný úhel nad obloukem \(\overset{\frown}{AB}\), proto platí:

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times |\overset{\frown}{AB}| \]

Zadané je \(\angle ACB = 50^\circ\) a oblouk \(\overset{\frown}{AB} = 100^\circ\), což souhlasí s větnou definicí.

Úhel \(\angle CAB\) je opsaný nad obloukem \(\overset{\frown}{CB}\). Nejprve zjistíme velikost tohoto oblouku:

Kruh má celkem \(360^\circ\), takže:

\[ |\overset{\frown}{CB}| = 360^\circ – |\overset{\frown}{AB}| = 360^\circ – 100^\circ = 260^\circ \]

Úhel \(\angle CAB\) tedy je:

\[ \angle CAB = \frac{1}{2} \times |\overset{\frown}{CB}| = \frac{1}{2} \times 260^\circ = 130^\circ \]

Ověříme si, zda součet úhlů v trojúhelníku \(ABC\) dává 180°:

\[ \angle ACB + \angle CAB + \angle CBA = 180^\circ \]

Úhel \(\angle CBA\) je opsaný nad obloukem \(\overset{\frown}{CA}\), ale jelikož neznáme délky oblouků, lze vypočítat \(\angle CBA\) jako:

\[ \angle CBA = 180^\circ – \angle ACB – \angle CAB = 180^\circ – 50^\circ – 130^\circ = 0^\circ \]

Toto je nemožné pro úhel v trojúhelníku, což znamená, že bod \(C\) leží na průměru a trojúhelník není skutečný, nebo že zadaná data nejsou konzistentní.

V takovém případě by \(\angle CAB\) musel být menší než 90°, proto přehodnoťte zadání. Pokud by oblouk \(AB\) byl jiný, postup by zůstal stejný.

Řešení:

Úhel \(\angle AOB\) je středový úhel, který odpovídá oblouku \(\overset{\frown}{AB}\) přímo velikostí \(120^\circ\).

Úhel \(\angle ACB\) je opsaný úhel nad stejným obloukem \(\overset{\frown}{AB}\), ale leží na obvodu kružnice.

Podle věty platí, že opsaný úhel je polovinou středového úhlu:

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ \]

Ověření:

Úhel opsaný \(\angle ACB\) skutečně je polovinou středového úhlu nad stejným obloukem, proto velikost úhlu \(\angle ACB\) je \( 60^\circ \).

Řešení:

Protože \(AB\) je průměr kružnice, podle Pythagorovy věty platí, že úhel \(\angle ACB\) je pravý, tedy \(90^\circ\).

Trojuhelník \(ABC\) je pravoúhlý s přeponou \(AB = 10\) cm a jednou odvěsnou \(BC = 6\) cm.

Délku druhé odvěsny \(AC\) spočítáme podle Pythagora:

\[ AC = \sqrt{AB^2 – BC^2} = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm} \]

Úhel \(\angle ACB\) je již známý, je pravý.

Souhrn: \(AC = 8 \, \text{cm}\), \(\angle ACB = 90^\circ\).

Řešení:

Úhel mezi poloměry \( OA \) a \( OB \) je \( 60^\circ \). Dotyková přímka je kolmá k poloměru v bodě dotyku \( T \).

Protože \( \angle OTP \) je úhel mezi přímkou dotyku a úsekem \( TP \), kde \( P \) leží mimo kružnici, platí:

\( \angle OTP = 90^\circ \), protože dotyková přímka je kolmá k poloměru \( OT \).

Tedy \( \angle OTP = 90^\circ \).

Řešení:

V trojúhelníku \( ABC \) je \( AB \) průměr kružnice, tedy úhel \( \angle ACB = 90^\circ \) podle věty o úhlu opsaném nad průměrem.

Součet úhlů v trojúhelníku je \( 180^\circ \):

\( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \)

Dosadíme \( \angle BAC = 30^\circ \) a \( \angle ACB = 90^\circ \), spočítáme \( \angle ABC \):

\( 30^\circ + \angle ABC + 90^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle ABC = 60^\circ \)

Odpověď: \( \angle ABC = 60^\circ \).

Řešení:

Podle věty platí, že středový úhel je dvojnásobkem opsaného úhlu nad stejným obloukem:

\[ \angle AOB = 2 \times \angle ACB = 2 \times 40^\circ = 80^\circ \]

Odpověď: Středový úhel \( \angle AOB \) má velikost \( 80^\circ \).

Řešení:

Průměr \( AB = 2r = 12\,\mathrm{cm} \). V trojúhelníku \( ABC \) je pravý úhel u bodu \( C \) (věta o úhlu opsaném nad průměrem).

Použijeme Pythagorovu větu pro výpočet \( AC \):

\[ AC = \sqrt{AB^2 – BC^2} = \sqrt{12^2 – 8^2} = \sqrt{144 – 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8.94\,\mathrm{cm} \]

Pro výpočet úhlu \( \angle BAC \) použijeme goniometrii v pravoúhlém trojúhelníku \( ABC \):

\[ \sin \angle BAC = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]

\[ \angle BAC = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \approx 41.81^\circ \]

Odpovědi:

Délka úseku \( AC \) je přibližně \( 8.94\,\mathrm{cm} \), a úhel \( \angle BAC \) je přibližně \( 41.81^\circ \).

Řešení:

Úhel \( \angle ACB \) je opsaný nad obloukem \( \overset{\frown}{AB} \), tedy:

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times |\overset{\frown}{AB}| = \frac{1}{2} \times 140^\circ = 70^\circ \]

Odpověď: Velikost úhlu \( \angle ACB \) je \( 70^\circ \).

Řešení:

Oblouk \( \overset{\frown}{AB} = 100^\circ \) odpovídá úhlu opsanému \( \angle ACB \), který by měl být polovinou oblouku. Zadaný úhel \( \angle ACB = 40^\circ \) je menší, což znamená, že bod \( C \) leží na druhé části kružnice.

Velikost druhého oblouku \( \overset{\frown}{AB}‘ \) je:

\[ 360^\circ – 100^\circ = 260^\circ \]

Úhel \( \angle CAB \) je opsaný nad tímto druhým obloukem, takže:

\[ \angle CAB = \frac{1}{2} \times 260^\circ = 130^\circ \]

Odpověď: Velikost druhého oblouku je \( 260^\circ \) a úhel \( \angle CAB \) je \( 130^\circ \).

Řešení:

Středový úhel \( \angle AOB = 90^\circ \) odpovídá oblouku \( \overset{\frown}{AB} = 90^\circ \).

Úhel \( \angle ACB \) je opsaný nad obloukem \( \overset{\frown}{AB} \), proto:

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ \]

Pokud však bod \( C \) leží na druhé části kružnice mimo oblouk \( AB \), nad druhým obloukem o velikosti:

\[ 360^\circ – 90^\circ = 270^\circ \]

pak úhel \( \angle ACB \) může být:

\[ \frac{1}{2} \times 270^\circ = 135^\circ \]

Vzájemný vztah:

Úhel opsaný \( \angle ACB \) může nabývat právě dvou hodnot v závislosti na umístění bodu \( C \) na kružnici, buď \( 45^\circ \) nebo \( 135^\circ \).

Odpověď: Úhel \( \angle ACB \) může být buď \( 45^\circ \), nebo \( 135^\circ \).