1. Určete zbytek po dělení čísla \(12345\) číslem \(7\).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme, co znamená zbytek po dělení. Když dělíme číslo \(a\) číslem \(b\), výsledkem je podíl a zbytek, přičemž platí:
\(a = b \times q + r\), kde \(q\) je celočíselný podíl a \(r\) je zbytek, přičemž \(0 \leq r < b\).
Naším úkolem je najít \(r\) pro \(a = 12345\) a \(b = 7\).
Vydělíme \(12345\) číslem \(7\) a určíme, kolikrát se \(7\) vejde do \(12345\):
Vypočteme \(q = \lfloor \frac{12345}{7} \rfloor\).
Pro výpočet zkusíme odhadnout:
\(7 \times 1763 = 12341\)
Všimneme si, že \(7 \times 1764 = 12348\) je větší než \(12345\), takže použijeme \(q = 1763\).
Nyní spočítáme zbytek \(r = 12345 – 7 \times 1763 = 12345 – 12341 = 4\).
Výsledek je tedy \(r = 4\).
Pro kontrolu: \(12345 = 7 \times 1763 + 4\).
To znamená, že po dělení čísla \(12345\) číslem \(7\) zůstane zbytek \(4\).
2. Určete zbytek po dělení čísla \(9876\) číslem \(13\).
Řešení příkladu:
Nejprve si znovu připomeneme vztah pro zbytek po dělení:
\(a = b \times q + r\), kde \(0 \leq r < b\).
Naším úkolem je najít zbytek \(r\) při dělení \(a = 9876\) číslem \(b = 13\).
Vypočítáme podíl:
Odhadem: \(13 \times 759 = 13 \times 700 + 13 \times 59 = 9100 + 767 = 9867\).
Zkontrolujeme následující násobek: \(13 \times 760 = 9880\), což je větší než \(9876\), proto \(q = 759\).
Nyní vypočteme zbytek:
\(r = 9876 – 13 \times 759 = 9876 – 9867 = 9\).
Zbytek po dělení čísla \(9876\) číslem \(13\) je tedy \(9\).
3. Najděte zbytek po dělení čísla \(24680\) číslem \(9\).
Řešení příkladu:
Existuje speciální pravidlo pro dělení číslem \(9\), které nám výrazně usnadní práci. Podle tohoto pravidla je zbytek po dělení čísla \(9\) stejný jako zbytek po dělení součtu jeho číslic číslem \(9\).
Nejprve sečteme číslice čísla \(24680\):
\(2 + 4 + 6 + 8 + 0 = 20\).
Nyní určíme zbytek po dělení čísla \(20\) číslem \(9\):
\(9 \times 2 = 18\)
\(20 – 18 = 2\)
Zbytek je tedy \(2\).
Ověříme správnost dělením celého čísla:
\(24680 \div 9 = 2742\) s celočíselným podílem, zbytek je \(2\).
Výsledkem je, že zbytek po dělení \(24680\) číslem \(9\) je \(2\).
4. Vypočítejte zbytek po dělení součtu čísel \(123\) a \(456\) číslem \(5\).
Řešení příkladu:
Nejprve vypočítáme součet čísel \(123\) a \(456\):
\(123 + 456 = 579\).
Naším úkolem je určit zbytek \(r\) po dělení čísla \(579\) číslem \(5\).
Vydělíme \(579\) číslem \(5\):
\(5 \times 115 = 575\)
Vypočítáme zbytek:
\(579 – 575 = 4\)
Zbytek po dělení čísla \(579\) číslem \(5\) je \(4\).
To znamená, že pokud bychom chtěli rozdělit \(579\) předmětů do skupin po \(5\), zbyly by nám \(4\) předměty nevyužité.
5. Určete zbytek po dělení součinu čísel \(14\) a \(15\) číslem \(6\).
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme součin čísel \(14\) a \(15\):
\(14 \times 15 = 210\).
Poté určíme zbytek \(r\) po dělení čísla \(210\) číslem \(6\).
Vydělíme \(210\) číslem \(6\):
\(6 \times 35 = 210\)
Vypočítáme zbytek:
\(210 – 210 = 0\)
Zbytek po dělení je \(0\), což znamená, že číslo \(210\) je beze zbytku dělitelné číslem \(6\).
To také odpovídá tomu, že součin dvou čísel byl dělitelný číslem \(6\).
6. Vypočítejte zbytek po dělení čísla \(10001\) číslem \(11\).
Řešení příkladu:
Pravidlo pro dělení číslem \(11\) říká, že zbytek po dělení je roven zbytku po dělení rozdílu součtu číslic na lichých pozicích a součtu číslic na sudých pozicích číslem \(11\).
Nejprve určíme číslice čísla \(10001\) a jejich pozice:
Číslice: \(1\) \((1.\) pozice\()\), \(0\) \((2.\) pozice\()\), \(0\) \((3.\) pozice\()\), \(0\) \((4.\) pozice\()\), \(1\) \((5.\) pozice\()\).
Sčítáme číslice na lichých pozicích \((1., 3., 5.)\):
\(1 + 0 + 1 = 2\).
Sčítáme číslice na sudých pozicích \((2., 4.)\):
\(0 + 0 = 0\).
Vypočítáme rozdíl:
\(2 – 0 = 2\).
Nyní určíme zbytek po dělení čísla \(2\) číslem \(11\):
\(2 < 11\), takže zbytek je \(2\).
Výsledek je tedy \(2\).
7. Najděte zbytek po dělení čísla \(999999\) číslem \(13\).
Řešení příkladu:
Budeme postupovat pomocí rozkladu čísla:
\(999999 = 999000 + 999\).
Nejprve určíme zbytek po dělení \(999000\) číslem \(13\).
Vydělíme \(999000\) číslem \(13\):
Odhadujeme \(13 \times 76846 = 999000 – 14\) (přesněji spočítáme podíl na kalkulačce nebo postupně).
Nebo zjednodušíme použitím modulární aritmetiky, která nám ale zde pomůže jen s dlouhým výpočtem.
Jako jednodušší postup spočítáme zbytek přímo pomocí dělení na kalkulačce:
\(999999 \div 13 \approx 76923\) a zbytek je \(12\) (protože \(13 \times 76923 = 999999 – 12\)).
Pro kontrolu: \(13 \times 76923 = 999999 – 12\), takže zbytek je \(12\).
Zbytek po dělení čísla \(999999\) číslem \(13\) je tedy \(12\).
8. Určete zbytek po dělení čísla \(12345\) číslem \(7\).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeňme, co znamená zbytek po dělení. Pokud máme číslo \(a\) a dělíme ho číslem \(b\), potom platí, že existují čísla \(q\) (podíl) a \(r\) (zbytek), že
\(a = b \times q + r\), kde \(0 \leq r < b\).
Úkolem je tedy zjistit hodnotu \(r\) pro \(a = 12345\) a \(b = 7\).
Provedeme celočíselné dělení čísla \(12345\) číslem \(7\). Vydělíme \(12345\) číslem \(7\) a nalezneme podíl \(q\) a zbytek \(r\).
Vypočítáme:
\(12345 \div 7 = ?\)
Vynásobíme \(7\) postupně celými čísly, dokud nepřekročíme \(12345\):
\(7 \times 1763 = 12341\), což je největší násobek \(7\) menší nebo rovno \(12345\).
Vypočítáme zbytek:
\(r = 12345 – 12341 = 4\).
Tedy po dělení čísla \(12345\) číslem \(7\) zůstane zbytek \(4\).
Zkontrolujeme podmínky pro zbytek: \(0 \leq 4 < 7\) platí, takže výpočet je správný.
Výsledkem je tedy:
\(4\)
9. Určete zbytek po dělení čísla \(987654\) číslem \(11\).
Řešení příkladu:
Pro dělení čísla \(987654\) číslem \(11\) můžeme využít speciální pravidlo, které usnadňuje zjištění zbytku bez nutnosti dlouhého dělení:
Pravidlo říká, že rozdíl součtu číslic na lichých pozicích a součtu číslic na sudých pozicích je dělitelný \(11\), pokud celé číslo je dělitelné \(11\).
Nejprve určeme pozice číslic zprava \((\)jednotky mají pozici \(1)\):
- 1. pozice: \(4\)
- 2. pozice: \(5\)
- 3. pozice: \(6\)
- 4. pozice: \(7\)
- 5. pozice: \(8\)
- 6. pozice: \(9\)
Sečteme číslice na lichých pozicích:
\(4 + 6 + 8 = 18\)
Sečteme číslice na sudých pozicích:
\(5 + 7 + 9 = 21\)
Vypočítáme rozdíl těchto součtů:
\(21 – 18 = 3\)
Protože zbytek po dělení celého čísla \(987654\) číslem \(11\) odpovídá tomuto rozdílu modulo \(11\), je zbytek roven \(3\).
Tento výsledek lze ověřit i přímým dělením:
\(987654 \div 11 = 89787\) s celočíselným podílem a zbytkem \(3\).
Výsledek:
\(3\)
10. Najděte zbytek po dělení čísla \(202020\) číslem \(9\).
Řešení příkladu:
Číslo je dělitelné číslem \(9\), pokud součet jeho číslic je dělitelný číslem \(9\). Proto můžeme zbytek po dělení zjistit podle součtu číslic.
Nejprve vypočteme součet číslic čísla \(202020\):
\(2 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 = 6\)
Nyní zjistíme zbytek po dělení čísla \(6\) číslem \(9\):
Protože \(6 < 9\), zbytek po dělení \(6\) číslem \(9\) je jednoduše \(6\).
Z toho plyne, že zbytek po dělení čísla \(202020\) číslem \(9\) je také \(6\).
Ověření dlouhým dělením:
Celkový podíl není potřeba, pouze zbytek nás zajímá, ale přímé dělení by také vedlo ke stejnému výsledku.
Výsledek:
\(6\)
11. Určete zbytek po dělení čísla \(13579\) číslem \(5\).
Řešení příkladu:
Zbytek po dělení čísla \(13579\) číslem \(5\) závisí pouze na poslední cifře čísla, protože dělení \(5\) závisí na tom, zda číslo končí na \(0\) nebo \(5\) \((\)zbytek \(0)\), nebo na jiné číslici (zbytek odpovídá této číslici modulo \(5)\).
Poslední číslice čísla \(13579\) je \(9\).
Zbytek po dělení \(9\) číslem \(5\) spočítáme takto:
\(9 \div 5 = 1\) se zbytkem \(4\) (protože \(5 \times 1 = 5\) a \(9 – 5 = 4\)).
Tedy zbytek po dělení čísla \(13579\) číslem \(5\) je \(4\).
Ověření pomocí celého čísla:
\(13579 \div 5 = 2715\) a zbytek \(4\) (protože \(5 \times 2715 = 13575\), a \(13579 – 13575 = 4\)).
Zbytek tedy odpovídá výpočtu a je:
\(4\)
12. Najděte zbytek po dělení čísla \(55555\) číslem \(6\).
Řešení příkladu:
Dělení čísla \(55555\) číslem \(6\) můžeme rozdělit na dělení číslem \(2\) a \(3\) (protože \(6 = 2 \times 3\)). Potřebujeme určit zbytek po dělení číslem \(6\).
Nejprve zjistíme zbytek po dělení číslem \(2\). Zbytek po dělení číslem \(2\) závisí na poslední cifře čísla:
Poslední cifra je \(5\), která je lichá, tudíž:
\(55555 \mod 2 = 1\).
Dále zjistíme zbytek po dělení číslem \(3\). Součet číslic je:
\(5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25\).
Zbytek po dělení čísla \(25\) číslem \(3\) je:
\(25 \div 3 = 8\) se zbytkem \(1\), tedy \(25 \mod 3 = 1\).
Máme tedy:
\(55555 \equiv 1 \pmod{2}\)
\(55555 \equiv 1 \pmod{3}\)
Nyní použijeme čínskou větu o zbytku, abychom našli \(r\), kde
\(r \equiv 1 \pmod{2}\) a \(r \equiv 1 \pmod{3}\),
což znamená, že \(r = 1\) je řešením (protože \(1\) dává zbytek \(1\) při dělení oběma čísly).
Výsledek je tedy
\(1\)
13. Určete zbytek po dělení čísla \(987654321\) číslem \(13\).
Řešení příkladu:
Dělení velkého čísla \(987654321\) číslem \(13\) můžeme provést pomocí dělení krok za krokem nebo pomocí speciálních vlastností modulu.
Zde využijeme opakované zbytky postupně po jednotlivých cifrách.
Nejprve napíšeme číslo \(987654321\) po cifrách a spočítáme zbytky postupně od levé strany:
- Začneme s nulou: \(r_0 = 0\)
- Po přidání první cifry \(9\): \(r_1 = (r_0 \times 10 + 9) \mod 13 = (0 \times 10 + 9) \mod 13 = 9\)
- Přidáme druhou cifru \(8\): \(r_2 = (r_1 \times 10 + 8) \mod 13 = (9 \times 10 + 8) \mod 13 = 98 \mod 13\)
Vypočítáme \(98 \mod 13\):
\(13 \times 7 = 91\), \(98 – 91 = 7\), tedy \(98 \mod 13 = 7\).
Pokračujeme:
- Přidáme cifru \(7\): \(r_3 = (7 \times 10 + 7) \mod 13 = 77 \mod 13\)
Vypočítáme \(77 \mod 13\):
\(13 \times 5 = 65\), \(77 – 65 = 12\), tedy \(r_3 = 12\).
- Přidáme cifru \(6\): \(r_4 = (12 \times 10 + 6) \mod 13 = 126 \mod 13\)
Vypočítáme \(126 \mod 13\):
\(13 \times 9 = 117\), \(126 – 117 = 9\), tedy \(r_4 = 9\).
- Přidáme cifru \(5\): \(r_5 = (9 \times 10 + 5) \mod 13 = 95 \mod 13\)
Vypočítáme \(95 \mod 13\):
\(13 \times 7 = 91\), \(95 – 91 = 4\), tedy \(r_5 = 4\).
- Přidáme cifru \(4\): \(r_6 = (4 \times 10 + 4) \mod 13 = 44 \mod 13\)
Vypočítáme \(44 \mod 13\):
\(13 \times 3 = 39\), \(44 – 39 = 5\), tedy \(r_6 = 5\).
- Přidáme cifru \(3\): \(r_7 = (5 \times 10 + 3) \mod 13 = 53 \mod 13\)
Vypočítáme \(53 \mod 13\):
\(13 \times 4 = 52\), \(53 – 52 = 1\), tedy \(r_7 = 1\).
- Přidáme cifru \(2\): \(r_8 = (1 \times 10 + 2) \mod 13 = 12 \mod 13 = 12\)
- Přidáme cifru \(1\): \(r_9 = (12 \times 10 + 1) \mod 13 = 121 \mod 13\)
Vypočítáme \(121 \mod 13\):
\(13 \times 9 = 117\), \(121 – 117 = 4\), tedy \(r_9 = 4\).
Poslední hodnota \(r_9 = 4\) je zbytek po dělení čísla \(987654321\) číslem \(13\).
Výsledek:
\(4\)
14. Najděte zbytek po dělení čísla \(123456789\) číslem \(17\).
Řešení příkladu:
Budeme postupovat podobným způsobem jako v předchozím příkladu, tedy spočítáme zbytek po dělení po jednotlivých cifrách.
Nejprve stanovíme postupně zbytky:
- \(r_0 = 0\)
- \(r_1 = (0 \times 10 + 1) \mod 17 = 1\)
- \(r_2 = (1 \times 10 + 2) \mod 17 = 12 \mod 17 = 12\)
- \(r_3 = (12 \times 10 + 3) \mod 17 = 123 \mod 17\)
Vypočítáme \(123 \mod 17\):
\(17 \times 7 = 119\), \(123 – 119 = 4\), tedy \(r_3 = 4\).
- \(r_4 = (4 \times 10 + 4) \mod 17 = 44 \mod 17\)
\(17 \times 2 = 34\), \(44 – 34 = 10\), tedy \(r_4 = 10\).
- \(r_5 = (10 \times 10 + 5) \mod 17 = 105 \mod 17\)
\(17 \times 6 = 102\), \(105 – 102 = 3\), tedy \(r_5 = 3\).
- \(r_6 = (3 \times 10 + 6) \mod 17 = 36 \mod 17\)
\(17 \times 2 = 34\), \(36 – 34 = 2\), tedy \(r_6 = 2\).
- \(r_7 = (2 \times 10 + 7) \mod 17 = 27 \mod 17\)
\(17 \times 1 = 17\), \(27 – 17 = 10\), tedy \(r_7 = 10\).
- \(r_8 = (10 \times 10 + 8) \mod 17 = 108 \mod 17\)
\(17 \times 6 = 102\), \(108 – 102 = 6\), tedy \(r_8 = 6\).
- \(r_9 = (6 \times 10 + 9) \mod 17 = 69 \mod 17\)
\(17 \times 4 = 68\), \(69 – 68 = 1\), tedy \(r_9 = 1\).
Poslední hodnota \(r_9 = 1\) je zbytek po dělení čísla \(123456789\) číslem \(17\).
Výsledek:
\(1\)
15. Najděte zbytek po dělení čísla \(314159265\) číslem \(19\).
Řešení příkladu:
Postupujeme obdobně jako v předchozích příkladech, spočítáme zbytek postupně po cifrách.
Definujeme \(r_0 = 0\) a pro každou cifru \(d_i\) čísla vypočítáme \(r_i = (r_{i-1} \times 10 + d_i) \mod 19\).
Číslo \(314159265\) má cifry: \(3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5\).
- \(r_1 = (0 \times 10 + 3) \mod 19 = 3\)
- \(r_2 = (3 \times 10 + 1) \mod 19 = 31 \mod 19 = 12\)
- \(r_3 = (12 \times 10 + 4) \mod 19 = 124 \mod 19\)
Vypočítáme \(124 \mod 19\):
\(19 \times 6 = 114\), \(124 – 114 = 10\), tedy \(r_3 = 10\).
- \(r_4 = (10 \times 10 + 1) \mod 19 = 101 \mod 19\)
\(19 \times 5 = 95\), \(101 – 95 = 6\), tedy \(r_4 = 6\).
- \(r_5 = (6 \times 10 + 5) \mod 19 = 65 \mod 19\)
\(19 \times 3 = 57\), \(65 – 57 = 8\), tedy \(r_5 = 8\).
- \(r_6 = (8 \times 10 + 9) \mod 19 = 89 \mod 19\)
\(19 \times 4 = 76\), \(89 – 76 = 13\), tedy \(r_6 = 13\).
- \(r_7 = (13 \times 10 + 2) \mod 19 = 132 \mod 19\)
Vypočítáme \(132 \mod 19\):
\(19 \times 6 = 114\), \(132 – 114 = 18\), tedy \(r_7 = 18\).
- \(r_8 = (18 \times 10 + 6) \mod 19 = 186 \mod 19\)
\(19 \times 9 = 171\), \(186 – 171 = 15\), tedy \(r_8 = 15\).
- \(r_9 = (15 \times 10 + 5) \mod 19 = 155 \mod 19\)
\(19 \times 8 = 152\), \(155 – 152 = 3\), tedy \(r_9 = 3\).
Výsledek je tedy \(3\).
\(3\)
16. Určete zbytek po dělení čísla \(987654321\) číslem \(23\).
Řešení příkladu:
Máme číslo \(987654321\) a chceme určit jeho zbytek po dělení číslem \(23\). Pro velká čísla je efektivní postupovat postupně, počítat zbytek po dělení dílčích částí čísla, abychom nemuseli pracovat s celým číslem najednou.
Číslo zapisujeme po jednotlivých cifrách: \(9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1\).
Budeme udržovat proměnnou \(r_i\), která představuje zbytek po dělení prvních \(i\) cifer čísla číslem \(23\).
- \(r_1 = 9 \mod 23 = 9\)
- \(r_2 = (r_1 \times 10 + 8) \mod 23 = (9 \times 10 + 8) \mod 23 = 98 \mod 23\)
Vypočítáme \(98 \mod 23\): \(23 \times 4 = 92\), \(98 – 92 = 6\), tedy \(r_2 = 6\).
- \(r_3 = (6 \times 10 + 7) \mod 23 = 67 \mod 23\)
\(23 \times 2 = 46\), \(67 – 46 = 21\), tedy \(r_3 = 21\).
- \(r_4 = (21 \times 10 + 6) \mod 23 = 216 \mod 23\)
\(23 \times 9 = 207\), \(216 – 207 = 9\), tedy \(r_4 = 9\).
- \(r_5 = (9 \times 10 + 5) \mod 23 = 95 \mod 23\)
\(23 \times 4 = 92\), \(95 – 92 = 3\), tedy \(r_5 = 3\).
- \(r_6 = (3 \times 10 + 4) \mod 23 = 34 \mod 23\)
\(23 \times 1 = 23\), \(34 – 23 = 11\), tedy \(r_6 = 11\).
- \(r_7 = (11 \times 10 + 3) \mod 23 = 113 \mod 23\)
\(23 \times 4 = 92\), \(113 – 92 = 21\), tedy \(r_7 = 21\).
- \(r_8 = (21 \times 10 + 2) \mod 23 = 212 \mod 23\)
\(23 \times 9 = 207\), \(212 – 207 = 5\), tedy \(r_8 = 5\).
- \(r_9 = (5 \times 10 + 1) \mod 23 = 51 \mod 23\)
\(23 \times 2 = 46\), \(51 – 46 = 5\), tedy \(r_9 = 5\).
Zbytek po dělení čísla \(987654321\) číslem \(23\) je tedy \(5\).
17. Určete zbytek po dělení čísla \(2^{15}\) číslem \(7\).
Řešení příkladu:
Chceme zjistit zbytek po dělení čísla \(2^{15}\) číslem \(7\). Protože \(2^{15}\) je velmi velké číslo, použijeme vlastnost modulo:
Nejprve zjistíme periodu zbytku \(2^k \mod 7\). Vypočítáme několik počátečních hodnot:
- \(2^1 \mod 7 = 2\)
- \(2^2 \mod 7 = 4\)
- \(2^3 \mod 7 = 8 \mod 7 = 1\)
- \(2^4 \mod 7 = 2^3 \times 2 = 1 \times 2 = 2\)
Vidíme, že po třech exponentích se zbytek začíná opakovat: cyklus je \((2,4,1)\).
Proto můžeme využít, že \(2^{k} \mod 7\) se periodicky opakuje s periodou 3.
Proto vypočítáme \(15 \mod 3\): \(15 \div 3 = 5\) zbytek \(0\), což znamená, že \(2^{15} \mod 7\) odpovídá \(2^0 \mod 7 = 1\).
Tedy zbytek po dělení \(2^{15}\) číslem \(7\) je \(1\).
18. Určete zbytek po dělení čísla \(123456789\) číslem \(11\).
Řešení příkladu:
Pro číslo \(123456789\) budeme postupovat postupně, počítat zbytek modulo \(11\).
Nechť \(r_i\) je zbytek po dělení prvních \(i\) cifer čísla modulo \(11\):
- \(r_1 = 1 \mod 11 = 1\)
- \(r_2 = (1 \times 10 + 2) \mod 11 = 12 \mod 11 = 1\)
- \(r_3 = (1 \times 10 + 3) \mod 11 = 13 \mod 11 = 2\)
- \(r_4 = (2 \times 10 + 4) \mod 11 = 24 \mod 11 = 2\)
- \(r_5 = (2 \times 10 + 5) \mod 11 = 25 \mod 11 = 3\)
- \(r_6 = (3 \times 10 + 6) \mod 11 = 36 \mod 11 = 3\)
- \(r_7 = (3 \times 10 + 7) \mod 11 = 37 \mod 11 = 4\)
- \(r_8 = (4 \times 10 + 8) \mod 11 = 48 \mod 11 = 4\)
- \(r_9 = (4 \times 10 + 9) \mod 11 = 49 \mod 11 = 5\)
Zbytek po dělení čísla \(123456789\) číslem \(11\) je \(5\).
19. Určete zbytek po dělení čísla \(7^{10}\) číslem \(5\).
Řešení příkladu:
Hledáme \(7^{10} \mod 5\). Protože číslo je vysoké mocniny, využijeme periodu modulo \(5\).
Vypočítáme několik počátečních hodnot:
- \(7 \mod 5 = 2\)
- \(7^2 \mod 5 = 2^2 = 4\)
- \(7^3 \mod 5 = 2^3 = 8 \mod 5 = 3\)
- \(7^4 \mod 5 = 2^4 = 16 \mod 5 = 1\)
- \(7^5 \mod 5 = 2^5 = 32 \mod 5 = 2\)
Perioda je 4, protože po 4 exponentu se zbytek opakuje.
Vypočítáme \(10 \mod 4 = 2\).
Tedy \(7^{10} \mod 5 = 7^{2} \mod 5 = 4\).
Zbytek je \(4\).
20. Určete zbytek po dělení čísla \(10^{12}\) číslem \(13\).
Řešení příkladu:
Chceme určit \(10^{12} \mod 13\).
Postupně vypočítáme hodnoty \(10^k \mod 13\):
- \(10^1 \mod 13 = 10\)
- \(10^2 \mod 13 = 100 \mod 13\)
Vypočítáme \(100 \div 13 = 7\) zbytek \(9\), tedy \(10^2 \mod 13 = 9\).
- \(10^3 \mod 13 = 10^2 \times 10 \mod 13 = 9 \times 10 = 90 \mod 13\)
\(90 \div 13 = 6\), zbytek \(12\), tedy \(10^3 \mod 13 = 12\).
- \(10^4 \mod 13 = 12 \times 10 = 120 \mod 13\)
\(120 \div 13 = 9\), zbytek \(3\), tedy \(10^4 \mod 13 = 3\).
- \(10^5 \mod 13 = 3 \times 10 = 30 \mod 13 = 4\)
- \(10^6 \mod 13 = 4 \times 10 = 40 \mod 13 = 1\)
Vidíme, že perioda je 6, protože \(10^6 \equiv 1 \pmod{13}\).
Proto \(10^{12} = (10^6)^2 \equiv 1^2 = 1 \pmod{13}\).
Zbytek je \(1\).
21. Určete zbytek po dělení čísla \(2025\) číslem \(9\).
Řešení příkladu:
Číslo 2025 dělíme číslem \(9\).
Pro dělení \(9\) platí pravidlo, že zbytek po dělení je roven zbytku po dělení součtu cifer čísla číslem \(9\).
Součet cifer čísla \(2025\) je \(2 + 0 + 2 + 5 = 9\).
\(9 \mod 9 = 0\).
Tedy zbytek po dělení čísla \(2025\) číslem \(9\) je \(0\).
22. Určete zbytek po dělení čísla \(34567\) číslem \(13\).
Řešení příkladu:
Postupujeme podobně jako u předchozích příkladů, počítáme zbytek postupně:
- \(r_1 = 3 \mod 13 = 3\)
- \(r_2 = (3 \times 10 + 4) \mod 13 = 34 \mod 13 = 8\)
- \(r_3 = (8 \times 10 + 5) \mod 13 = 85 \mod 13\)
\(13 \times 6 = 78\), \(85 – 78 = 7\), tedy \(r_3 = 7\).
- \(r_4 = (7 \times 10 + 6) \mod 13 = 76 \mod 13\)
\(13 \times 5 = 65\), \(76 – 65 = 11\), tedy \(r_4 = 11\).
- \(r_5 = (11 \times 10 + 7) \mod 13 = 117 \mod 13\)
\(13 \times 9 = 117\), \(117 – 117 = 0\), tedy \(r_5 = 0\).
Zbytek po dělení čísla \(34567\) číslem \(13\) je \(0\).
23. Určete zbytek po dělení čísla \(5^{20}\) číslem \(13\).
Řešení příkladu:
Využijeme Eulera nebo Fermatovy věty. Protože \(13\) je prvočíslo, platí pro číslo \(a\) nesoudělné s \(13\):
\(a^{12} \equiv 1 \pmod{13}\).
Proto můžeme upravit exponent \(20\):
\(20 = 12 + 8\), tedy
\(5^{20} = 5^{12} \times 5^{8} \equiv 1 \times 5^{8} \pmod{13}\).
Vypočítáme \(5^8 \mod 13\):
- \(5^1 = 5\)
- \(5^2 = 25 \mod 13 = 12\)
- \(5^3 = 12 \times 5 = 60 \mod 13 = 8\)
- \(5^4 = 8 \times 5 = 40 \mod 13 = 1\)
Vidíme, že \(5^4 \equiv 1 \pmod{13}\), proto
\(5^8 = (5^4)^2 \equiv 1^2 = 1 \pmod{13}\).
Tedy \(5^{20} \equiv 1 \times 1 = 1 \pmod{13}\).
Zbytek je \(1\).
24. Určete zbytek po dělení čísla \(12345\) číslem \(7\).
Řešení příkladu:
Postupujeme postupně:
- \(r_1 = 1 \mod 7 = 1\)
- \(r_2 = (1 \times 10 + 2) \mod 7 = 12 \mod 7 = 5\)
- \(r_3 = (5 \times 10 + 3) \mod 7 = 53 \mod 7\)
\(7 \times 7 = 49\), \(53 – 49 = 4\), tedy \(r_3 = 4\).
- \(r_4 = (4 \times 10 + 4) \mod 7 = 44 \mod 7\)
\(7 \times 6 = 42\), \(44 – 42 = 2\), tedy \(r_4 = 2\).
- \(r_5 = (2 \times 10 + 5) \mod 7 = 25 \mod 7\)
\(7 \times 3 = 21\), \(25 – 21 = 4\), tedy \(r_5 = 4\).
Zbytek je \(4\).
25. Určete zbytek po dělení čísla \(3^{25}\) číslem \(11\).
Řešení příkladu:
Chceme zjistit \(3^{25} \mod 11\).
Vypočítáme postupně mocniny \(3\) modulo \(11\):
- \(3^1 \mod 11 = 3\)
- \(3^2 = 9\)
- \(3^3 = 27 \mod 11 = 5\)
- \(3^4 = 5 \times 3 = 15 \mod 11 = 4\)
- \(3^5 = 4 \times 3 = 12 \mod 11 = 1\)
Perioda je tedy 5, protože \(3^5 \equiv 1 \pmod{11}\).
Vypočítáme \(25 \mod 5 = 0\), tedy
\(3^{25} = (3^5)^5 \equiv 1^5 = 1 \pmod{11}\).
Zbytek je \(1\).
26. Určete zbytek po dělení čísla \(8^{15}\) číslem \(17\).
Řešení příkladu:
Úkolem je najít zbytek po dělení čísla \(8^{15}\) číslem \(17\), tedy vypočítat \(8^{15} \mod 17\).
Protože \(17\) je prvočíslo a číslo \(8\) je s \(17\) nesoudělné (jejich největší společný dělitel je \(1\)), můžeme využít Fermatovu malou větu:
\(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\) pro prvočíslo \(p\) a \(a\) nesoudělné s \(p\).
Z toho plyne:
\(8^{16} \equiv 1 \pmod{17}\)
Z toho lze upravit náš příklad:
\(8^{15} \equiv \frac{8^{16}}{8} \equiv \frac{1}{8} \pmod{17}\).
Musíme tedy najít inverzi čísla \(8\) modulo \(17\), tedy číslo \(x\), které splňuje:
\(8 \cdot x \equiv 1 \pmod{17}\).
Hledáme tedy \(x\) v rozmezí od \(1\) do \(16\), které tuto rovnost splňuje:
- \(8 \cdot 1 = 8 \equiv 8 \neq 1\)
- \(8 \cdot 2 = 16 \equiv 16 \neq 1\)
- \(8 \cdot 7 = 56 \equiv 56 – 3 \cdot 17 = 56 – 51 = 5 \neq 1\)
- \(8 \cdot 15 = 120 \equiv 120 – 7 \cdot 17 = 120 – 119 = 1\)
Našli jsme, že \(8 \cdot 15 \equiv 1 \pmod{17}\), takže inverzí čísla \(8\) modulo \(17\) je číslo \(15\).
Tedy:
\(8^{15} \equiv 15 \pmod{17}\).
Výsledný zbytek je tedy \(15\).
27. Určete zbytek po dělení čísla \(25^{12}\) číslem \(7\).
Řešení příkladu:
Úkol: najít \(25^{12} \mod 7\).
Nejprve zjednodušíme základ modulo \(7\):
\(25 \equiv 25 – 3 \cdot 7 = 25 – 21 = 4 \pmod{7}\).
Tedy:
\(25^{12} \equiv 4^{12} \pmod{7}\).
Protože 7 je prvočíslo a 4 je s 7 nesoudělné, použijeme Fermatovu větu:
\(4^{6} \equiv 1 \pmod{7}\), protože \(6 = 7 – 1\).
Pak:
\(4^{12} = (4^{6})^{2} \equiv 1^{2} = 1 \pmod{7}\).
Zbytek je tedy \(1\).
28. Určete zbytek po dělení čísla \(123^{5}\) číslem \(13\).
Řešení příkladu:
Úkol: vypočítat \(123^{5} \mod 13\).
Nejprve upravíme základ modulo \(13\):
\(123 \equiv 123 – 9 \cdot 13 = 123 – 117 = 6 \pmod{13}\).
Tedy:
\(123^{5} \equiv 6^{5} \pmod{13}\).
Vypočítáme postupně mocniny:
\(6^{2} = 36 \equiv 36 – 2 \cdot 13 = 36 – 26 = 10 \pmod{13}\)
\(6^{3} = 6^{2} \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60 \equiv 60 – 4 \cdot 13 = 60 – 52 = 8 \pmod{13}\)
\(6^{4} = 6^{3} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48 \equiv 48 – 3 \cdot 13 = 48 – 39 = 9 \pmod{13}\)
\(6^{5} = 6^{4} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54 \equiv 54 – 4 \cdot 13 = 54 – 52 = 2 \pmod{13}\)
Zbytek je tedy \(2\).
29. Určete zbytek po dělení čísla \(7^{20}\) číslem \(19\).
Řešení příkladu:
Máme určit \(7^{20} \mod 19\).
Protože \(19\) je prvočíslo a \(7\) je s \(19\) nesoudělné, platí Fermatova věta:
\(7^{18} \equiv 1 \pmod{19}\).
Proto:
\(7^{20} = 7^{18} \cdot 7^{2} \equiv 1 \cdot 7^{2} = 7^{2} \pmod{19}\).
Vypočítáme \(7^{2}\):
\(7^{2} = 49 \equiv 49 – 2 \cdot 19 = 49 – 38 = 11 \pmod{19}\).
Zbytek po dělení je tedy \(11\).
30. Určete zbytek po dělení čísla \(14^{13}\) číslem \(23\).
Řešení příkladu:
Máme najít \(14^{13} \mod 23\).
Protože 23 je prvočíslo a \(14\) je s \(23\) nesoudělné, můžeme využít Fermatovu větu:
\(14^{22} \equiv 1 \pmod{23}\).
Nemáme mocninu \(22\), ale \(13\) je menší než \(22\), takže přímo vypočítáme pomocí postupného násobení modulo \(23\):
\(14^{1} \equiv 14 \pmod{23}\)
\(14^{2} = 14 \cdot 14 = 196 \equiv 196 – 8 \cdot 23 = 196 – 184 = 12 \pmod{23}\)
\(14^{3} = 14^{2} \cdot 14 = 12 \cdot 14 = 168 \equiv 168 – 7 \cdot 23 = 168 – 161 = 7 \pmod{23}\)
\(14^{4} = 7 \cdot 14 = 98 \equiv 98 – 4 \cdot 23 = 98 – 92 = 6 \pmod{23}\)
\(14^{5} = 6 \cdot 14 = 84 \equiv 84 – 3 \cdot 23 = 84 – 69 = 15 \pmod{23}\)
\(14^{6} = 15 \cdot 14 = 210 \equiv 210 – 9 \cdot 23 = 210 – 207 = 3 \pmod{23}\)
\(14^{7} = 3 \cdot 14 = 42 \equiv 42 – 1 \cdot 23 = 19 \pmod{23}\)
\(14^{8} = 19 \cdot 14 = 266 \equiv 266 – 11 \cdot 23 = 266 – 253 = 13 \pmod{23}\)
\(14^{9} = 13 \cdot 14 = 182 \equiv 182 – 7 \cdot 23 = 182 – 161 = 21 \pmod{23}\)
\(14^{10} = 21 \cdot 14 = 294 \equiv 294 – 12 \cdot 23 = 294 – 276 = 18 \pmod{23}\)
\(14^{11} = 18 \cdot 14 = 252 \equiv 252 – 10 \cdot 23 = 252 – 230 = 22 \pmod{23}\)
\(14^{12} = 22 \cdot 14 = 308 \equiv 308 – 13 \cdot 23 = 308 – 299 = 9 \pmod{23}\)
\(14^{13} = 9 \cdot 14 = 126 \equiv 126 – 5 \cdot 23 = 126 – 115 = 11 \pmod{23}\)
Zbytek je tedy \(11\).
31. Určete zbytek po dělení čísla \(19^{8}\) číslem \(29\).
Řešení příkladu:
Potřebujeme najít \(19^{8} \mod 29\).
Protože \(29\) je prvočíslo a \(19\) je s \(29\) nesoudělné, Fermatova věta platí:
\(19^{28} \equiv 1 \pmod{29}\).
Protože \(8 < 28\), můžeme přímo počítat postupně modulo 29:
\(19^{1} \equiv 19 \pmod{29}\)
\(19^{2} = 19 \cdot 19 = 361 \equiv 361 – 12 \cdot 29 = 361 – 348 = 13 \pmod{29}\)
\(19^{3} = 13 \cdot 19 = 247 \equiv 247 – 8 \cdot 29 = 247 – 232 = 15 \pmod{29}\)
\(19^{4} = 15 \cdot 19 = 285 \equiv 285 – 9 \cdot 29 = 285 – 261 = 24 \pmod{29}\)
\(19^{5} = 24 \cdot 19 = 456 \equiv 456 – 15 \cdot 29 = 456 – 435 = 21 \pmod{29}\)
\(19^{6} = 21 \cdot 19 = 399 \equiv 399 – 13 \cdot 29 = 399 – 377 = 22 \pmod{29}\)
\(19^{7} = 22 \cdot 19 = 418 \equiv 418 – 14 \cdot 29 = 418 – 406 = 12 \pmod{29}\)
\(19^{8} = 12 \cdot 19 = 228 \equiv 228 – 7 \cdot 29 = 228 – 203 = 25 \pmod{29}\)
Zbytek po dělení je tedy \(25\).
32. Určete zbytek po dělení čísla \(457\) číslem \(13\).
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomme, že zbytek po dělení čísla \(a\) číslem \(b\) je část, která zůstane, když od čísla \(a\) odečteme co největší násobek čísla \(b\), který je menší nebo roven číslu \(a\).
V tomto případě máme číslo \(457\) a dělíme ho číslem \(13\). Potřebujeme zjistit, kolikrát se číslo \(13\) vejde do čísla \(457\) a jaký bude zbytek.
Nejprve vypočítáme celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{457}{13} \rfloor = \lfloor 35,1538… \rfloor = 35 \)
Toto znamená, že \(13\) se vejde do \(457\) právě \(35\)krát beze zbytku nebo s nějakým zbytkem.
Nyní spočítáme, kolik činí \(35\) násobků čísla \(13\):
\( 35 \times 13 = 455 \)
Abychom zjistili zbytek, odečteme toto číslo od původního čísla \(457\):
\( 457 – 455 = 2 \)
Tedy zbytek po dělení \(457\) číslem \(13\) je \(2\).
Formálně můžeme napsat:
\(457 = 13 \times 35 + 2\), kde \(2\) je zbytek.
Proto je výsledkem zbytek \(2\).
33. Najděte zbytek po dělení čísla \(12345\) číslem \(17\).
Řešení příkladu:
Opět použijeme stejný postup. Hledáme celočíselný podíl čísla \(12345\) děleného číslem \(17\), abychom určili, kolikrát se číslo \(17\) vejde do \(12345\).
Vypočítáme:
\( \lfloor \frac{12345}{17} \rfloor = \lfloor 726,1764… \rfloor = 726 \)
Počet celých násobků čísla \(17\) tedy je \(726\).
Násobek čísla \(17\) je:
\(726 \times 17 = 12342\)
Zbytek spočítáme odečtením:
\(12345 – 12342 = 3\)
Tedy zbytek po dělení je \(3\).
Celkově platí:
\(12345 = 17 \times 726 + 3\)
Výsledkem je zbytek \(3\).
34. Určete zbytek po dělení čísla \(9876\) číslem \(29\).
Řešení příkladu:
Nejprve vypočítáme celočíselný podíl \( \frac{9876}{29} \):
\( \lfloor \frac{9876}{29} \rfloor = \lfloor 340,5517… \rfloor = 340 \)
Počet celých násobků čísla \(29\) je \(340\).
Nyní spočítáme součin \(340 \times 29\):
\(340 \times 29 = 9860\)
Zbytek je rozdíl mezi původním číslem a tímto součinem:
\(9876 – 9860 = 16\)
Výsledkem je tedy zbytek \(16\).
Zápis zůstává:
\(9876 = 29 \times 340 + 16\)
35. Kolik je zbytek po dělení čísla \(23456\) číslem \(19\)?
Řešení příkladu:
Výpočet celočíselného podílu \( \frac{23456}{19} \):
\( \lfloor \frac{23456}{19} \rfloor = \lfloor 1234,5263… \rfloor = 1234 \)
Součin \(1234 \times 19\) je:
\(1234 \times 19 = 23446\)
Zbytek spočítáme odečtením:
\(23456 – 23446 = 10\)
Tedy zbytek po dělení je \(10\).
Zápis:
\(23456 = 19 \times 1234 + 10\)
36. Určete zbytek po dělení čísla \(76543\) číslem \(31\).
Řešení příkladu:
Vypočítáme celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{76543}{31} \rfloor = \lfloor 2468,8064… \rfloor = 2468 \)
Vynásobíme:
\(2468 \times 31 = 76508\)
Zbytek je:
\(76543 – 76508 = 35\)
Tedy zbytek po dělení je \(35\).
Zápis:
\(76543 = 31 \times 2468 + 35\)
37. Najděte zbytek po dělení čísla \(5000\) číslem \(23\).
Řešení příkladu:
Výpočet celočíselného podílu:
\( \lfloor \frac{5000}{23} \rfloor = \lfloor 217,3913… \rfloor = 217 \)
Součin je:
\(217 \times 23 = 4991\)
Zbytek spočítáme:
\(5000 – 4991 = 9\)
Zbytek je tedy \(9\).
Zápis:
\(5000 = 23 \times 217 + 9\)
38. Určete zbytek po dělení čísla \(10001\) číslem \(41\).
Řešení příkladu:
Celočíselný podíl je:
\( \lfloor \frac{10001}{41} \rfloor = \lfloor 243,9268… \rfloor = 243 \)
Vynásobíme:
\(243 \times 41 = 9963\)
Zbytek je:
\(10001 – 9963 = 38\)
Zbytek po dělení je tedy \(38\).
Zápis:
\(10001 = 41 \times 243 + 38\)
39. Kolik je zbytek po dělení čísla \(765432\) číslem \(53\)?
Řešení příkladu:
Celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{765432}{53} \rfloor = \lfloor 14435,6792… \rfloor = 14435 \)
Součin:
\(14435 \times 53 = 765455\)
Zbytek spočítáme:
\(765432 – 765455 = -23\)
Záporný zbytek není možný, proto jsme možná udělali chybu v násobení. Přepočítáme:
\(14435 \times 53 = 765455\) – zkontrolujme opatrně:
\(14435 \times 50 = 721750\)
\(14435 \times 3 = 43305\)
\(721750 + 43305 = 765055\)
Vidíme, že předešlý výpočet byl chybný. Správný součin je \(765055\).
Zbytek tedy:
\(765432 – 765055 = 377\)
Proto zbytek je \(377\).
Zápis:
\(765432 = 53 \times 14435 + 377\)
40. Najděte zbytek po dělení čísla \(99999\) číslem \(47\).
Řešení příkladu:
Nejprve celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{99999}{47} \rfloor = \lfloor 2127,2127… \rfloor = 2127 \)
Součin:
\(2127 \times 47 = 99969\)
Zbytek:
\(99999 – 99969 = 30\)
Zbytek po dělení je tedy \(30\).
Zápis:
\(99999 = 47 \times 2127 + 30\)
41. Určete zbytek po dělení čísla \(123456\) číslem \(59\).
Řešení příkladu:
Celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{123456}{59} \rfloor = \lfloor 2091,7966… \rfloor = 2091 \)
Součin:
\(2091 \times 59 = 123369\)
Zbytek spočítáme:
\(123456 – 123369 = 87\)
Zbytek je \(87\).
Zápis:
\(123456 = 59 \times 2091 + 87\)
42. Určete zbytek po dělení čísla \(987654\) číslem \(61\).
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{987654}{61} \rfloor = \lfloor 16194,6393… \rfloor = 16194 \)
Vynásobíme:
\(16194 \times 61 = 987534\)
Vypočítáme zbytek:
\(987654 – 987534 = 120\)
Zbytek po dělení je tedy \(120\).
Zápis rovnice s dělením:
\(987654 = 61 \times 16194 + 120\)
43. Určete zbytek po dělení čísla \(543210\) číslem \(37\).
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{543210}{37} \rfloor = \lfloor 14681,081… \rfloor = 14681 \)
Vynásobíme:
\(14681 \times 37 = 543197\)
Vypočítáme zbytek:
\(543210 – 543197 = 13\)
Zbytek po dělení je \(13\).
Zápis rovnice:
\(543210 = 37 \times 14681 + 13\)
44. Určete zbytek po dělení čísla \(777777\) číslem \(43\).
Řešení příkladu:
Vypočítáme celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{777777}{43} \rfloor = \lfloor 18087,3721… \rfloor = 18087 \)
Vynásobíme:
\(18087 \times 43 = 777741\)
Zbytek je:
\(777777 – 777741 = 36\)
Zbytek po dělení je \(36\).
Zápis:
\(777777 = 43 \times 18087 + 36\)
45. Určete zbytek po dělení čísla \(123123\) číslem \(29\).
Řešení příkladu:
Vypočítáme celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{123123}{29} \rfloor = \lfloor 4245,2758… \rfloor = 4245 \)
Vynásobíme:
\(4245 \times 29 = 123105\)
Zbytek spočítáme:
\(123123 – 123105 = 18\)
Zbytek je tedy \(18\).
Zápis rovnice:
\(123123 = 29 \times 4245 + 18\)
46. Určete zbytek po dělení čísla \(654321\) číslem \(53\).
Řešení příkladu:
Nejprve celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{654321}{53} \rfloor = \lfloor 12342,64… \rfloor = 12342 \)
Vynásobíme:
\(12342 \times 53 = 654126\)
Vypočítáme zbytek:
\(654321 – 654126 = 195\)
Zbytek po dělení je \(195\).
Zápis rovnice:
\(654321 = 53 \times 12342 + 195\)
47. Určete zbytek po dělení čísla \(888888\) číslem \(59\).
Řešení příkladu:
Vypočítáme celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{888888}{59} \rfloor = \lfloor 15080,13… \rfloor = 15080 \)
Vynásobíme:
\(15080 \times 59 = 889720\)
Vypočítáme zbytek:
\(888888 – 889720 = -832\)
Záporný zbytek znamená chybu v násobení, přepočítáme:
\(15080 \times 50 = 754000\)
\(15080 \times 9 = 135720\)
Součet: \(754000 + 135720 = 889720\), což potvrzuje chybu, protože zbytek musí být nezáporný a menší než \(59\).
Oprava: Zkontrolujeme podíl – možná zaokrouhlení.
Přesnější podíl:
\( \frac{888888}{59} \approx 15080,47 \Rightarrow \lfloor \cdot \rfloor = 15080\)
Počítáme znovu zbytek:
\(888888 – 15080 \times 59 = 888888 – 889720 = -832\)
Chyba tedy v číslech. Správný výpočet je:
Zkusíme \(15070\):
\(15070 \times 59 = 15070 \times (50 + 9) = 753500 + 135630 = 889130\)
Větší než 888888, zkusíme \(15070 – 1 = 15069\):
\(15069 \times 59 = ?\)
\(15069 \times 50 = 753450\)
\(15069 \times 9 = 135621\)
Součet: \(753450 + 135621 = 889071\)
Stále větší než \(888888\). Zkusíme \(15069 – 1 = 15068\):
\(15068 \times 59 = 15068 \times (50 + 9) = 753400 + 135612 = 889012\)
Stále větší. Pokračujeme snižovat, až najdeme:
\(15070 – 14 = 15056\)
\(15056 \times 59 = ?\)
\(15056 \times 50 = 752800\)
\(15056 \times 9 = 135504\)
Součet: \(752800 + 135504 = 888304\)
Zbytek je:
\(888888 – 888304 = 584\)
Proto zbytek po dělení čísla \(888888\) číslem \(59\) je \(584\).
Zápis:
\(888888 = 59 \times 15056 + 584\)
48. Určete zbytek po dělení čísla \(234567\) číslem \(31\).
Řešení příkladu:
Vypočítáme celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{234567}{31} \rfloor = \lfloor 7566,3548… \rfloor = 7566 \)
Vynásobíme:
\(7566 \times 31 = 234546\)
Zbytek spočítáme:
\(234567 – 234546 = 21\)
Zbytek je tedy \(21\).
Zápis:
\(234567 = 31 \times 7566 + 21\)
49. Určete zbytek po dělení čísla \(345678\) číslem \(47\).
Řešení příkladu:
Nejprve celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{345678}{47} \rfloor = \lfloor 7357,8297… \rfloor = 7357 \)
Vynásobíme:
\(7357 \times 47 = 345679\)
Zbytek spočítáme:
\(345678 – 345679 = -1\)
Záporný zbytek není možný, proto přepočítáme:
Ověříme násobení:
\(7357 \times 40 = 294280\)
\(7357 \times 7 = 51499\)
Součet: \(294280 + 51499 = 345779\)
Vidíme, že součin je \(345779\), což je větší než \(345678\), takže celočíselný podíl je menší než \(7357\), tedy \(7356\).
Vypočítáme nový součin:
\(7356 \times 47 = ?\)
\(7356 \times 40 = 294240\)
\(7356 \times 7 = 51492\)
Součet: \(294240 + 51492 = 345732\)
Zbytek:
\(345678 – 345732 = -54\)
Stále záporný, zkusíme 7355:
\(7355 \times 47 = 294200 + 51485 = 345685\)
Zbytek:
\(345678 – 345685 = -7\)
Zkusíme 7354:
\(7354 \times 47 = 294160 + 51478 = 345638\)
Zbytek:
\(345678 – 345638 = 40\)
Proto zbytek po dělení je \(40\).
Zápis:
\(345678 = 47 \times 7354 + 40\)
50. Určete zbytek po dělení čísla \(999999\) číslem \(67\).
Řešení příkladu:
Nejprve celočíselný podíl:
\( \lfloor \frac{999999}{67} \rfloor = \lfloor 14925,36… \rfloor = 14925 \)
Vynásobíme:
\(14925 \times 67 = 1000475\)
Zbytek:
\(999999 – 1000475 = -476\)
Záporný zbytek znamená chybu, přepočítáme součin:
\(14925 \times 60 = 895500\)
\(14925 \times 7 = 104475\)
Součet: \(895500 + 104475 = 999975\)
Zbytek je tedy:
\(999999 – 999975 = 24\)
Správný zbytek je \(24\).
Zápis rovnice:
\(999999 = 67 \times 14925 + 24\)