Variace bez opakování

Řešení:

Počet variací bez opakování z \( 3 \) písmen vybíráme všechna \( 3 \), tedy \( V_3^3 = 3! = 6 \).

Vypočítáme faktoriál: \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \).

Výsledkem je \( 6 \) různých uspořádání.

Řešení:

Počet variací bez opakování je \( V_3^4 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{24}{1} = 24 \).

To znamená, že ze \( 4 \) číslic vybíráme \( 3 \) a záleží na pořadí.

Řešení:

Variace bez opakování: \( V_2^5 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{120}{6} = 20 \).

Vybrat \( 2 \) písmena a uspořádat je různými způsoby.

Řešení:

Variace bez opakování: \( V_4^6 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{720}{2} = 360 \).

Počet možných hesel je tedy \( 360 \).

Řešení:

Variace bez opakování: \( V_3^7 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{5040}{24} = 210 \).

Vybereme \( 3 \) knihy z \( 7 \) a uspořádáme je.

Řešení:

Počet variací: \( V_3^5 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60 \).

Řešení:

Variace: \( V_3^4 = \frac{4!}{(4-3)!} = 24 \).

Řešení:

Variace: \( V_5^8 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{40320}{6} = 6720 \).

Řešení:

První cifra má \( 4 \) možnosti (\( 1 \), \( 2 \), \( 3 \), \( 4 \)).

Druhá cifra má \( 4 \) možnosti (všechny kromě první vybrané a může být \( 0 \)).

Třetí cifra má \( 3 \) možnosti.

Celkem: \( 4 \times 4 \times 3 = 48 \) možností.

Řešení:

Variace: \( V_4^{10} = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{3628800}{5040} = 720 \).

Řešení:

Celkem máme \(5\) písmen: \(A, B, C, D, E\).

Podmínka: první písmeno nesmí být A, takže na první pozici máme \(4\) možnosti \((B, C, D, E)\).

Druhá pozice: zbývá \(4\) písmena (včetně \(A\), protože první už je obsazena jiným písmenem).

Třetí pozice: zbývá \(3\) písmena (z těch, co nezabraly první dvě pozice).

Celkový počet kódů: \(4 \times 4 \times 3 = 48\).

Řešení:

Variace bez opakování – vybíráme \(4\) studenty z \(6\) a uspořádáme je.

Počet variací: \(V_4^6 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{720}{2} = 360\).

Řešení:

Zadané číslice jsou \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) (žádná nula, takže podmínka platí automaticky).

Počet variací bez opakování délky \(3\) z \(5\) číslic je:

\(V_3^5 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60\).

Žádné další omezení není, tedy celkem \(60\) možností.

Řešení:

Z \(8\) znaků musíme vybrat heslo délky \(5\).

První znak: musí být samohláska, předpokládejme, že z těch \(8\) znaků jsou \(4\) samohlásky \((A, E, I, O)\).

První pozice: \(4\) možnosti.

Zbývá \(7\) znaků (\(8 – 1\)), z nich vybíráme \(4\) na zbývající pozice, bez opakování.

Počet možností pro zbylé \(4\) pozice je variace \(V_4^7 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{5040}{6} = 840\).

Celkový počet hesel je tedy \(4 \times 840 = 3360\).

Řešení:

Vybíráme a uspořádáme \(5\) knih z \(7\) – jde o variace bez opakování.

Počet možností: \(V_5^7 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{5040}{2} = 2520\).

Řešení:

Slovo obsahuje písmena \(M, A, T, E, I, K\), ale některá se opakují.

Jedinečná písmena jsou: \(M, A, T, E, I, K\) (\(6\) písmen).

Variace délky \(3\) z \(6\) různých písmen je:

\(V_3^6 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{720}{6} = 120\).

Řešení:

Všechny číslice jsou liché, tudíž první číslice nesmí být lichá znamená, že žádné takové číslo neexistuje.

Počet možných čísel je tedy \(0\).

Řešení:

Slovo \(LOGARITMUS\) má \(10\) různých písmen.

Variace délky \(4\) z \(10\) písmen:

\(V_4^{10} = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{3628800}{5040} = 720\).

Řešení:

První písmeno je pevně dané – B (\(1\) možnost).

Zbývá vybrat \(2\) písmena z \(6\) zbývajících \((C, D, E, F, G)\) bez opakování a uspořádat je.

Variace délky \(2\) z \(6\): \(V_2^6 = \frac{6!}{4!} = 30\).

Celkem kódů: \(1 \times 30 = 30\).

Řešení:

První číslice nemůže být \(0\), takže máme \(9\) možností (\(1-9\)).

Zbývá \(9\) číslic (\(0 + zbylých 8\)), ze kterých vybíráme \(4\) další číslice na zbylé pozice bez opakování.

Počet variací pro zbylé \(4\) pozice je \(V_4^9 = \frac{9!}{5!} = \frac{362880}{120} = 3024\).

Celkový počet kódů je tedy \(9 \times 3024 = 27216\).

Řešení:

Máme \( 8 \) tanečních párů a chceme vybrat \( 5 \) na pořadí, tedy variace bez opakování.

Počet variací je dán vzorcem: \(V_5^8 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{40320}{6} = 6720\).

Interpretace: Můžeme sestavit \( 6720 \) různých pořadí pěti párů vybraných z osmi bez opakování.

Řešení:

Nejprve určme jedinečná písmena ve slově \(ELEKTRONIKA\).

Písmena: \(E, L, K, T, R, O, N, I, A\) ( \( 9 \) různých písmen).

Samohlásky jsou \(E, O, I, A ( \( 4 \) písmena).

První pozice musí být samohláska: \( 4 \) možnosti.

Po vybrání první samohlásky zůstává \( 8 \) písmen (včetně těch, co nejsou samohlásky, a ty samohlásky, které nebyly použity).

Druhá pozice: \( 8 \) možností.

Třetí pozice: \( 7 \) možností (po obsazení druhé).

Celkem: \( 4 \times 8 \times 7 = 224 \) různých kódů.

Řešení:

Možnosti pro první číslici: \( 7 \) (číslice \( 1 \) až \( 6 \), protože \( 0 \) nemůže být na první pozici).

Pro zbylé \( 3 \) pozice vybíráme bez opakování z \( 7 \) zbývajících číslic (včetně nuly).

Počet variací pro zbylé \( 3 \) pozice je \( V_3^7 = \frac{7!}{4!} = \frac{5040}{24} = 210 \).

Celkový počet čísel je \( 7 \times 210 = 1470 \).

Řešení:

Nejprve spočítáme všechny variace \( 6 \) z \( 9 \) bez omezení:

\( V_6^9 = \frac{9!}{3!} = \frac{362880}{6} = 60480 \).

Odečteme variace, kde jsou vybrány oba nepřípustné úkoly.

Pokud jsou oba vybrány, zbývá vybrat \( 4 \) úkoly z \( 7 \) a uspořádat \( 6 \), kde \( 2 \) jsou pevné, tzn. uspořádáme \( 6 \) úkolů, z nichž \( 2 \) jsou fixní:

Vybereme \( 4 \) z \( 7 \): \( C_4^7 = 35 \).

Počet uspořádání \( 6 \) úkolů je \( 6! = 720 \).

Celkem těchto nevhodných variací je \( 35 \times 720 = 25200 \).

Počet vhodných variací je \( 60480 – 25200 = 35280 \).

Řešení:

Jedinečná písmena ve slově jsou: \(M, A, T, E, I, K\) ( \( 6 \) písmen).

Variace délky \( 5 \) z \( 6 \) písmen bez opakování:

\( V_5^6 = \frac{6!}{1!} = 720 \).

Řešení:

První číslice může být jedna z číslic \( 2 \), \( 3 \), \( 4 \), \( 5 \), \( 6 \), \( 7 \), \( 8 \) (\( 7 \) možností).

Zbývá \( 8 \) číslic pro zbylých \( 5 \) pozic, vybíráme bez opakování:

\( V_5^8 = \frac{8!}{3!} = \frac{40320}{6} = 6720 \).

Celkový počet kódů je \( 7 \times 6720 = 47040 \).

Řešení:

Nejprve spočítáme všechny variace \( 4 \) z \( 10 \) bez omezení:

\( V_4^{10} = \frac{10!}{6!} = 5040 \).

Předpokládáme, že „čokoládový“ a „ovocný“ zákusek jsou \( 2 \) speciální položky.

Počet variací, kde jsou oba vybrány:

Vybereme \( 2 \) další zákusky z \( 8 \) zbývajících: \( C_2^8 = 28 \).

Počet uspořádání těchto \( 4 \) zákusků: \( 4! = 24 \).

Celkem nevhodných variací je \( 28 \times 24 = 672 \).

Počet vhodných variací je \( 5040 – 672 = 4368 \).

Řešení:

3 konkrétní knihy považujeme za jeden celek.

Celkem tedy máme \( 5 \) „objektů“ (\( 1 \) celek + \( 4 \) ostatní knihy).

Počet uspořádání těchto \( 5 \) objektů: \( 5! = 120 \).

Uvnitř celku lze \( 3 \) knihy uspořádat \( 3! = 6 \) způsoby.

Celkový počet uspořádání je \( 120 \times 6 = 720 \).

Řešení:

Samohlásky: \( A \), \( E \), \( I \), \( O \), \( U \) (\( 5 \) písmen).

Souhlásky: \( 21 \) písmen.

1. pozice: \( 5 \) možností (samohláska).

2. pozice: \( 21 \) možností (nesamohláska).

Zbývá \( 24 \) písmen (\( 26 – 2 \) použité) pro \( 3. \) a \( 4. \) pozici.

3. pozice: \( 24 \) možností.

4. pozice: \( 23 \) možností.

Celkem: \( 5 \times 21 \times 24 \times 23 = 57960 \) variací.

Řešení:

Celkový počet variací délky \( 5 \) z \( 15 \) je \( V_5^{15} = \frac{15!}{10!} = 360360 \).

Počet variací zahrnujících oba speciální prvky bez omezení:

Vybereme zbývající \( 3 \) prvky z \( 13 \): \( C_3^{13} = 286 \).

Počet uspořádání \( 5 \) prvků: \( 5! = 120 \).

Celkem variací s oběma speciálními prvky: \( 286 \times 120 = 34320 \).

Počet variací, kde jsou tyto \( 2 \) prvky vedle sebe:

Považujeme je za celek, takže máme \( 4 \) objekty k uspořádání.

Počet výběrů zbývajících \( 3 \) prvků z \( 13 \): \( 286 \).

Počet uspořádání \( 4 \) objektů: \( 4! = 24 \).

Uvnitř celku lze \( 2 \) prvky uspořádat \( 2 \) způsoby.

Celkem: \( 286 \times 24 \times 2 = 13728 \).

Variace splňující podmínku (\( 2 \) prvky vždy zahrnuty a nejsou vedle sebe) je \( 34320 – 13728 = 20592 \).

Řešení:

Celkový počet pětičlenných skupin z \( 12 \) studentů je:

\( C_5^{12} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = 792 \).

Skupiny bez žádného z těchto dvou nejlepších jsou vybírány z \( 10 \) studentů (\( 12 – 2 \)):

\( C_5^{10} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252 \).

Počet skupin obsahujících alespoň jednoho z těchto dvou je tedy:

\( 792 – 252 = 540 \).

Tedy existuje \( 540 \) takových skupin.

Řešení:

Dělení \( 5 \): poslední číslice musí být \( 0 \) nebo \( 5 \).

Podmínky: první číslice je lichá (\( 1 \), \( 3 \), \( 5 \), \( 7 \), \( 9 \)), číslice se neopakují, délka čísla \( 6 \).

Rozbor podle poslední číslice:

• Poslední číslice \( 0 \):

První číslice může být \( 1 \), \( 3 \), \( 5 \), \( 7 \), \( 9 \) (\( 5 \) možností).

Počet zbývajících číslic: \( 8 \) (\( 10 – 2 \) použité: první a poslední).

Pro zbývajících \( 4 \) pozice vybíráme variace z \( 8 \): \( V_4^8 = \frac{8!}{4!} = 1680 \).

Celkem v tomto případě: \( 5 \times 1680 = 8400 \).

• Poslední číslice \( 5 \):

První číslice může být \( 1 \), \( 3 \), \( 7 \), \( 9 \) (lichá kromě \( 5 \), protože \( 5 \) je poslední, nelze použít dvakrát) – \( 4 \) možnosti.

Zbývajících číslic je \( 8 \) (vyřadíme \( 5 \) a první číslici).

Variace pro \( 4 \) pozice: \( V_4^8 = 1680 \).

Celkem: \( 4 \times 1680 = 6720 \).

Celkový počet takových čísel je \( 8400 + 6720 = 15120 \).

Řešení:

Celkový počet funkcí: \( 3 \) (předseda, místopředseda, tajemník).

Anička musí být buď předsedou nebo místopředsedou, tedy \( 2 \) možnosti.

Vybereme tedy:

Případ 1: Anička je předsedou.

Pro místopředsedu vybíráme z \( 9 \) zbývajících žáků: \( 9 \) možností.

Pro tajemníka vybíráme z \( 8 \) zbývajících: \( 8 \) možností.

Počet možností v tomto případě: \( 1 \times 9 \times 8 = 72 \).

Případ 2: Anička je místopředsedou.

Pro předsedu vybíráme z \( 9 \) žáků: \( 9 \) možností.

Pro tajemníka z \( 8 \) zbývajících: \( 8 \) možností.

Počet možností v tomto případě: \( 1 \times 9 \times 8 = 72 \).

Celkem: \( 72 + 72 = 144 \) způsobů.

Řešení:

Slovo \(ANALÝZA\) má písmena: A(\( 3 \)x), N(\( 1 \)x), L(\( 1 \)x), Ý(\( 1 \)x), Z(\( 1 \)x).

Musíme sestavit \( 5 \)-písmenná slova, kde písmeno A může být maximálně dvakrát.

Rozbor podle počtu výskytů A ve slově:

• 0 x A: Vybereme \( 5 \) písmen z {N, L, Ý, Z} – ale je jich jen \( 4 \), nelze sestavit \( 5 \)-písmenné slovo bez A.
• 1 x A: \( 1 \) pozice pro A, \( 4 \) pozice z ostatních \( 4 \) písmen (N, L, Ý, Z).

Počet způsobů, jak vybrat \( 4 \) písmena z těchto \( 4 \) je \( 1 \) (všechny).

Uspořádání \( 5 \) písmen, kde jedno je A (jednoznačné) a čtyři ostatní písmena bez opakování (vše různé).

Počet permutací \( 5 \) písmen s \( 1 \) A a \( 4 \) různými písmeny je \( 5! = 120 \).

• 2 x A: \( 2 \) pozice pro A, \( 3 \) pozice z ostatních \( 4 \) písmen.

Vybereme \( 3 \) z \( 4 \) ostatních písmen: \( C_3^4 = 4 \).

Permutace písmen: \( 5 \) míst, \( 2 \) jsou A (identická), \( 3 \) ostatní různé.

Počet permutací je \( \frac{5!}{2!} = 60 \) pro každou volbu \( 3 \) písmen.

Celkem: \( 4 \times 60 = 240 \).

Celkový počet slov: \( 120 + 240 = 360 \).

Řešení:

Celkový počet variací délky \( 4 \) z \( 26 \) písmen:

\( V_4^{26} = \frac{26!}{22!} = 358800 \).

Musíme zahrnout dvě konkrétní písmena (nazvěme je \(A\) a \(B\)).

Nejdříve spočítáme počet variací obsahujících \(A\) i \(B\) bez omezení.

Vybereme zbývající \( 2 \) písmena z \( 24 \) zbývajících (\( 26 – 2 \)): \( C_2^{24} = 276 \).

Počet uspořádání \( 4 \) písmen: \( 4! = 24 \).

Celkem: \( 276 \times 24 = 6624 \).

Teď spočítáme variace, kde jsou \(A\) a \(B\) vedle sebe.

Považujeme \(A\) a \(B\) za jeden celek, takže máme \( 3 \) objekty k uspořádání (AB, + \( 2 \) další písmena).

Počet výběrů \( 2 \) písmen z \( 24 \): \( 276 \).

Počet uspořádání \( 3 \) objektů: \( 3! = 6 \).

Uvnitř celku lze A a B uspořádat \( 2 \) způsoby \((AB\) nebo \(BA)\).

Celkem: \( 276 \times 6 \times 2 = 3312 \).

Variace, kde A a B nejsou vedle sebe: \( 6624 – 3312 = 3312 \).

Řešení:

Každý trojúhelník je určen \( 3 \) různými body.

Počet trojúhelníků je počet kombinací \( 3 \) bodů z \( 7 \):

\( C_3^7 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = 35 \).

Protože žádné \( 3 \) body neleží na jedné přímce, všechny trojúhelníky jsou platné.

Výsledek: \( 35 \) trojúhelníků.

Řešení:

Dvouciferné číslo má dvě číslice: desítky \( a \) a jednotky \( b \).

Podmínka: \( a > b \), kde \( a, b \in \{1, \ldots, 9\} \), protože první číslice nesmí být \( 0 \).

Vyjmenujme všechny dvojice \( (a,b) \) s \( a > b \):

Pro \( a=9 \): \( b = 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \) (\( 9 \) možností)

Pro \( a=8 \): \( b = 0,1,2,3,4,5,6,7 \) (\( 8 \) možností)

Pro \( a=7 \): \( b = 0,1,2,3,4,5,6 \) (\( 7 \) možností)

Pro \( a=6 \): \( b = 0,1,2,3,4,5 \) (\( 6 \) možností)

Pro \( a=5 \): \( b = 0,1,2,3,4 \) (\( 5 \) možností)

Pro \( a=4 \): \( b = 0,1,2,3 \) (\( 4 \) možnosti)

Pro \( a=3 \): \( b = 0,1,2 \) (\( 3 \) možnosti)

Pro \( a=2 \): \( b = 0,1 \) (\( 2 \) možnosti)

Pro \( a=1 \): \( b = 0 \) (\( 1 \) možnost)

Celkem: \( 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 \) čísel.

Součet všech těchto čísel je:

\( \sum_{a=1}^9 \sum_{b=0}^{a-1} (10a + b) \).

Rozepíšeme:

\( \sum_{a=1}^9 \left( \sum_{b=0}^{a-1} 10a + \sum_{b=0}^{a-1} b \right) = \sum_{a=1}^9 \left( 10a \cdot a + \frac{(a-1)a}{2} \right) \).

Vypočítáme sumy:

\( \sum_{a=1}^9 10a^2 = 10 \sum_{a=1}^9 a^2 = 10 \times 285 = 2850 \).

\( \sum_{a=1}^9 \frac{(a-1)a}{2} = \frac{1}{2} \sum_{a=1}^9 (a^2 – a) = \frac{1}{2} \left( 285 – 45 \right) = \frac{240}{2} = 120 \).

Celkem: \( 2850 + 120 = 2970 \).

Řešení:

Celkový počet trojciferných čísel: číslice od \(100\) do \(999\).

První číslice \(a \in \{1,\ldots,9\}\), druhá \(b \in \{0,\ldots,9\}\), třetí \(c \in \{0,\ldots,9\}\).

Celkem: \(9 \times 10 \times 10 = 900\) čísel.

Počet čísel bez dvojic stejných sousedních číslic:

– \(a\) má \(9\) možností.

– \(b \neq a\), takže \(9\) možností.

– \(c \neq b\), \(9\) možností.

Celkem bez sousedních shod: \(9 \times 9 \times 9 = 729\).

Počet s alespoň jednou dvojicí stejných sousedních číslic:

\(900 – 729 = 171\).

Řešení:

Rovnice: \(x^2 – y^2 = 35\).

Rozepíšeme jako součin rozdílu a součtu:

\((x – y)(x + y) = 35\).

Hledáme celé dvojice \((a,b) = (x-y, x+y)\), kde \(a \cdot b = 35\) a zároveň \(a\) a \(b\) jsou celá čísla.

Rozkládáme \(35\) na součiny celých čísel:

\(\pm 1 \times \pm 35\), \(\pm 5 \times \pm 7\).

Pro každou dvojici spočítáme \(x = \frac{a+b}{2}\), \(y = \frac{b-a}{2}\), které musí být celá čísla.

Kontrola všech kombinací:

• \(a=1, b=35 \Rightarrow x=18, y=17\)
• \(a=35, b=1 \Rightarrow x=18, y=-17\)
• \(a=5, b=7 \Rightarrow x=6, y=1\)
• \(a=7, b=5 \Rightarrow x=6, y=-1\)
• \(a=-1, b=-35 \Rightarrow x=-18, y=-17\)
• \(a=-35, b=-1 \Rightarrow x=-18, y=17\)
• \(a=-5, b=-7 \Rightarrow x=-6, y=-1\)
• \(a=-7, b=-5 \Rightarrow x=-6, y=1\)

Výsledné dvojice:

\((18,17), (18,-17), (6,1), (6,-1), (-18,-17), (-18,17), (-6,-1), (-6,1)\).

Řešení:

Hledáme prvočísla \(p\), že \(p+2\) je také prvočíslo. Taková dvojice se nazývá „přátelská prvočísla“ nebo „twin primes“.

Mezi prvními několika prvočísly je několik takových dvojic:

\(3\) a \(5\), \(5\) a \(7\), \(11\) a \(13\), \(17\) a \(19\), \(29\) a \(31\), atd.

Nejmenší prvočíslo je \(2\), ale \(2+2=4\) není prvočíslo.

Takže všechna prvočísla \(p\), kde \(p+2\) je také prvočíslo, jsou ta, která začínají od \(3\) a tvoří „twin primes“.

Výčet pro malá prvočísla:

\(3, 5, 11, 17, 29, 41, 59, 71, 101, 107, 137, 149, 179, 191, 197, 227, 239, 269, 281, 311, 347, 359,\)

\(389, 419, 431, 461, 467, 479, 509, 521, 557, 569, 599, 617, 641, 659, 677, 809, 821, 827, 839, 881, 1019, …\)

Pro konkrétní úlohu stačí znát první několik takových prvočísel.