1. Kolik různých číselných kódů lze vytvořit ze \( 4 \) číslic, pokud každá číslice může být \( 0 \)–\( 9 \) a číslice se mohou opakovat?
Řešení příkladu:
Počet číslic, které můžeme použít, je \( n = 10 \) (to znamená číslice od \( 0 \) do \( 9 \)). Délka kódu je \( r = 4 \), protože kód má \( 4 \) číslice.
Vzhledem k tomu, že číslice se mohou opakovat (například první číslice může být \( 3 \), druhá \( 3 \), třetí \( 3 \) atd.), jde o variace s opakováním.
Pro výpočet použijeme vzorec pro variace s opakováním: \( V_r^{(n)} = n^r \), kde \( n \) je počet možností pro každou číslici a \( r \) je počet pozic (v tomto případě \( 4 \)).
Výpočet: \( V_4^{(10)} = 10^4 = 10\,000 \).
Odpověď: Existuje \( 10\,000 \) různých číselných kódů.
2. Kolik různých slov lze vytvořit ze \( 7 \) písmen, pokud se vybírají z \( 26 \) písmen abecedy a písmena se mohou opakovat?
Řešení příkladu:
Počet písmen v abecedě je \( n = 26 \) (to znamená \( 26 \) písmen, jako je \( A \), \( B \), \( C \), …, \( Z \)). Délka slova je \( r = 7 \), protože máme vytvořit slovo o délce \( 7 \) písmen.
Protože písmena se mohou opakovat (například slovo může mít písmena \( A \), \( A \), \( A \), …), jde opět o variace s opakováním.
Výpočet je obdobný jako v předchozím příkladu, tedy použijeme vzorec pro variace s opakováním:
\( V_r^{(n)} = n^r \), kde \( n = 26 \) a \( r = 7 \).
Výpočet: \( 26^7 = 8\,031\,810\,176 \).
Odpověď: Lze vytvořit \( 8\,031\,810\,176 \) různých slov.
3. Kolik různých SPZ lze vytvořit, pokud každá SPZ má tvar \( 2 \) písmena a \( 3 \) čísla (písmena i čísla se mohou opakovat)?
Řešení příkladu:
SPZ se skládá z \( 2 \) písmen a \( 3 \) číslic. Počet možností pro písmena je \( 26 \) (protože máme \( 26 \) písmen v abecedě), a počet možností pro číslice je \( 10 \) (číslice od \( 0 \) do \( 9 \)).
Proto pro výběr písmen máme \( 26^2 \) možností a pro výběr číslic \( 10^3 \) možností.
Celkový počet různých SPZ získáme vynásobením možností pro písmena a číslice: \( 26^2 \cdot 10^3 = 676 \cdot 1\,000 = 676\,000 \).
Odpověď: \( 676\,000 \) různých SPZ.
4. Kolik čtyřmístných čísel lze vytvořit z číslic \( 1 \)–\( 5 \), pokud se číslice mohou opakovat?
Řešení příkladu:
Máme \( 5 \) číslic (\( 1, 2, 3, 4, 5 \)) a chceme vytvořit čtyřmístné číslo, tedy délka čísla je \( r = 4 \).
Každá číslice může být libovolná z těchto \( 5 \) číslic. Proto pro každou pozici máme \( 5 \) možností.
Jelikož číslice se mohou opakovat, jde opět o variace s opakováním. Pro výpočet použijeme vzorec pro variace s opakováním: \( V_r^{(n)} = n^r \), kde \( n = 5 \) a \( r = 4 \).
Výpočet: \( 5^4 = 625 \).
Odpověď: \( 625 \) čtyřmístných čísel.
5. Kolik různých trojmístných kódů lze vytvořit ze znaků A, B, C, D, E, F, pokud se znaky mohou opakovat?
Řešení příkladu:
Počet znaků, které máme k dispozici, je \( n = 6 \) (znaky \( A, B, C, D, E, F \)). Délka kódu je \( r = 3 \), protože kód má \( 3 \) pozice pro znaky.
Vzhledem k tomu, že se znaky mohou opakovat (například kód může být \( A, A, A \) nebo \( B, C, D \)), jde o variace s opakováním.
Pro výpočet počtu různých kódů použijeme vzorec pro variace s opakováním: \( V_r^{(n)} = n^r \), kde \( n \) je počet možností pro každý znak a \( r \) je počet pozic v kódu.
Výpočet: \( 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216 \).
Odpověď: Existuje \( 216 \) různých trojmístných kódů.
6. Kolik různých kombinací lze vytvořit z \( 5 \) barev, pokud tvoříme vlajku složenou ze \( 3 \) pruhů (barvy se mohou opakovat)?
Řešení příkladu:
Počet barev, které máme k dispozici, je \( n = 5 \) (například \( A, B, C, D, E \)). Délka vlajky je \( r = 3 \), protože vlajka má \( 3 \) pruhy, a každý pruh může být jednou z \( 5 \) barev.
Vzhledem k tomu, že se barvy mohou opakovat (například první pruh může být \( A \), druhý pruh \( B \) a třetí pruh \( A \)), jde o variace s opakováním.
Opět použijeme vzorec pro variace s opakováním: \( V_r^{(n)} = n^r \), kde \( n = 5 \) je počet možností pro každou barvu a \( r = 3 \) je počet pruhů.
Výpočet: \( 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \).
Odpověď: Existuje \( 125 \) různých kombinací barev pro vlajku.
7. Kolik různých čtyřciferných PIN kódů lze vytvořit, pokud se každá cifra vybírá z \( 0 \)–\( 9 \) a čísla se mohou opakovat?
Řešení příkladu:
Počet možností pro každou cifru je \( n = 10 \) (to znamená číslice od \( 0 \) do \( 9 \)). Délka PIN kódu je \( r = 4 \), protože PIN kód obsahuje \( 4 \) číslice.
Vzhledem k tomu, že se číslice mohou opakovat (například PIN kód může být \( 0000 \), \( 1111 \), \( 1234 \), atd.), jde o variace s opakováním.
Pro výpočet použijeme vzorec pro variace s opakováním: \( V_r^{(n)} = n^r \), kde \( n = 10 \) je počet možností pro každou číslici a \( r = 4 \) je počet pozic v PIN kódu.
Odpověď: Existuje \( 10\,000 \) různých čtyřciferných PIN kódů.
8. Kolik možností má digitální zámek, který se otevírá kombinací \( 6 \) čísel, kde každé může být od \( 0 \) do \( 9 \) a čísla se mohou opakovat?
Řešení příkladu:
Počet možností pro každé číslo je \( n = 10 \) (číslice od \( 0 \) do \( 9 \)). Délka kombinace je \( r = 6 \), protože zámek používá \( 6 \) číslic.
Vzhledem k tomu, že číslice se mohou opakovat (například kombinace může být \( 000000 \), \( 111111 \), \( 123456 \), atd.), jde o variace s opakováním.
Použijeme vzorec pro variace s opakováním: \( V_r^{(n)} = n^r \), kde \( n = 10 \) je počet možností pro každou číslici a \( r = 6 \) je počet pozic v kombinaci.
Odpověď: Existuje \( 1\,000\,000 \) možností pro tento digitální zámek.
9. Kolik různých registračních kódů lze vytvořit, pokud každý má \( 2 \) písmena (z \( A \)–\( Z \)) a \( 2 \) čísla (\( 0 \)–\( 9 \)), znaky se mohou opakovat?
Řešení příkladu:
Máme k dispozici \( 26 \) písmen (\( A \)–\( Z \)), tedy pro každé písmeno máme \( 26 \) možností. Počet písmen v kódu je \( 2 \), takže pro písmena máme \( 26^2 \) možností. Tento výpočet je založen na tom, že se písmena mohou opakovat, takže pro každou pozici můžeme vybrat libovolné písmeno z \( 26 \) možností.
Dále máme \( 10 \) možností pro každou číslici (\( 0 \)–\( 9 \)), takže pro dvě číslice máme \( 10^2 \) možností. Opět platí, že číslice se mohou opakovat, což nám umožňuje vybírat libovolné číslo pro každou pozici.
Výpočet celkového počtu registračních kódů tedy vypadá takto: \( 26^2 \cdot 10^2 = 676 \cdot 100 = 67\,600 \).
Odpověď: Existuje \( 67\,600 \) různých registračních kódů.
10. Kolik možností má heslo tvořené \( 5 \) znaky, z nichž každý může být libovolné z \( 26 \) malých písmen (\( a \)–\( z \)) a mohou se opakovat?
Řešení příkladu:
Počet možností pro každý znak je \( 26 \), protože máme k dispozici \( 26 \) malých písmen (\( a \)–\( z \)). Délka hesla je \( 5 \), což znamená, že máme \( 5 \) pozic pro písmena. Proto máme pro každou pozici \( 26 \) možností.
Vzhledem k tomu, že písmena se mohou opakovat (například \( aaaaa \) nebo \( abcdz \)), jde o variace s opakováním.
Pro výpočet počtu možností použijeme vzorec pro variace s opakováním: \( V_r^{(n)} = n^r \), kde \( n = 26 \) je počet možností pro každý znak a \( r = 5 \) je počet pozic v hesle.
Odpověď: Existuje \( 11\,881\,376 \) různých hesel.
11. Kolik pěticiferných čísel lze vytvořit z číslic \( 1 \) až \( 9 \), pokud se číslice mohou opakovat?
Řešení příkladu:
Pro tento příklad máme \( 9 \) možností pro každou číslici (\( 1 \)–\( 9 \), protože číslice \( 0 \) nemůže být na první pozici). Délka čísla je \( 5 \), což znamená, že máme \( 5 \) pozic, na které musíme umístit číslice.
Vzhledem k tomu, že číslice se mohou opakovat, jde o variace s opakováním. Pro výpočet počtu možností použijeme vzorec pro variace s opakováním: \( V_r^{(n)} = n^r \), kde \( n = 9 \) je počet možností pro každou číslici a \( r = 5 \) je počet pozic v čísle.
Odpověď: Existuje \( 59\,049 \) pěticiferných čísel.
12. Kolik různých čísel lze vytvořit ze \( 6 \) číslic (\( 0 \)–\( 9 \)), jestliže se číslice mohou opakovat a číslo začíná číslicí \( 5 \)?
Řešení příkladu:
V tomto případě je první číslice již daná: musí to být \( 5 \), takže pro tuto pozici máme pouze \( 1 \) možnost (je to fixní hodnota). Pro zbylých \( 5 \) pozic můžeme použít jakékoli číslice mezi \( 0 \) a \( 9 \), tedy máme \( 10 \) možností pro každou pozici.
Pro výpočet počtu různých čísel použijeme vzorec pro variace s opakováním. Výpočet pro první pozici je \( 1 \) možnost (pouze číslice \( 5 \)) a pro každou z ostatních 5 pozic máme \( 10 \) možností.
Výpočet: \( 1 \cdot 10^5 = 100\,000 \).
Odpověď: Existuje \( 100\,000 \) různých čísel, která mohou začínat číslicí \( 5 \).
13. Kolik různých pořadí můžeme vytvořit z \( 8 \) kuliček, které mohou být v libovolné ze \( 3 \) barev, pokud se barvy mohou opakovat?
Řešení příkladu:
V tomto příkladu máme \( 8 \) kuliček, přičemž každá kulička může mít jednu ze \( 3 \) barev. Barvy se mohou opakovat, což znamená, že každá kulička může mít libovolnou barvu nezávisle na ostatních.
Pro každou kuličku máme tedy \( 3 \) možnosti výběru barvy. Jelikož máme \( 8 \) kuliček, celkový počet možností pro vytvoření různých pořadí je dán vzorcem pro variace s opakováním, tj. \( 3^8 \).
Odpověď: Existuje \( 6\,561 \) různých pořadí kuliček.
14. Kolik různých telefonních čísel o \( 9 \) číslicích lze vytvořit, pokud se číslice mohou opakovat a první číslice je různá od \( 0 \)?
Řešení příkladu:
V tomto případě máme telefonní číslo o délce \( 9 \) číslic, přičemž první číslice nesmí být \( 0 \). To znamená, že pro první číslici máme \( 9 \) možností, protože může být libovolné číslo od \( 1 \) do \( 9 \).
Pro každou z ostatních \( 8 \) číslic můžeme vybrat jakoukoli číslici od \( 0 \) do \( 9 \), tedy máme \( 10 \) možností pro každou z těchto pozic.
Celkový počet různých telefonních čísel se tedy spočítá jako součin počtu možností pro první číslici a počtu možností pro ostatní číslice:
Odpověď: Existuje \( 900\,000\,000 \) různých telefonních čísel.
15. Kolik různých výsledků lze získat, pokud hodíme \( 4 \)krát kostkou (čísel \( 1 \)–\( 6 \)), přičemž se výsledky mohou opakovat?
Řešení příkladu:
V tomto případě házíme kostkou \( 4 \)krát. Pro každý hod máme \( 6 \) možností, protože kostka má \( 6 \) čísel (\( 1 \)–\( 6 \)). Výsledek každého hodu je nezávislý na ostatních, protože výsledky mohou být opakované (například \( 1, 1, 2, 6 \) nebo \( 3, 3, 3, 4 \)).
Celkový počet různých výsledků je tedy dán počtem možností pro každý hod umocněným na počet hodů:
16. Kolik různých šifrovacích klíčů o délce \( 5 \) znaků lze vytvořit ze znaků \( A \)–\( Z \) a číslic \( 0 \)–\( 9 \) (tedy \( 36 \) znaků), pokud se znaky mohou opakovat?
Řešení příkladu:
V tomto případě máme \( 5 \)-znakový šifrovací klíč, přičemž každý znak může být buď písmeno z \( A \)–\( Z \), nebo číslice z \( 0 \)–\( 9 \). Celkový počet možných znaků je tedy \( 26 \) písmen \( + 10 \) číslic, což nám dává \( 36 \) možných znaků.
Pro každý ze \( 5 \) znaků máme \( 36 \) možností, a protože se znaky mohou opakovat, jde o variace s opakováním.
Celkový počet různých šifrovacích klíčů je tedy dán vzorcem pro variace s opakováním: \( 36^5 \).
Odpověď: Existuje \( 60\,466\,176 \) různých šifrovacích klíčů.
17. Kolik různých tříčlenných číselných kódů lze sestavit z číslic \( 2 \), \( 4 \), \( 6 \), \( 8 \), pokud se číslice mohou opakovat?
Řešení příkladu:
Máme \( 4 \) různé číslice (\( 2 \), \( 4 \), \( 6 \), \( 8 \)) a potřebujeme sestavit tříčlenný kód. U každé pozice v kódu máme \( 4 \) možnosti výběru číslice, protože číslice se mohou opakovat.
Pro první pozici máme \( 4 \) možnosti, pro druhou pozici také \( 4 \) možnosti a pro třetí pozici opět \( 4 \) možnosti. Celkový počet různých kódů se tedy spočítá jako \( 4 \times 4 \times 4 = 4^3 \).
Výpočet: \( 4^3 = 64 \).
Odpověď: Existuje \( 64 \) různých tříčlenných kódů.
18. Kolik možností máme pro vytvoření kódu složeného z \( 2 \) písmen a \( 1 \) čísla (\( 0 \)–\( 9 \)), pokud se znaky mohou opakovat?
Řešení příkladu:
V tomto příkladu máme kód, který se skládá ze \( 2 \) písmen a \( 1 \) číslice. Písmena mohou být libovolná z \( 26 \) písmen anglické abecedy a číslice mohou být libovolná z \( 10 \) číslic (\( 0 \) až \( 9 \)).
Pro písmena máme \( 26^2 \) možností, protože na každé pozici písmena máme \( 26 \) možností. Pro číslici máme \( 10 \) možností, protože číslice mohou být od \( 0 \) do \( 9 \).
Celkový počet možností pro vytvoření tohoto kódu je součin počtu možností pro písmena a číslici: \( 26^2 \times 10 \).
19. Kolik různých vlajek lze vytvořit ze \( 4 \) pruhů, každý má jednu z \( 5 \) barev, barvy se mohou opakovat?
Řešení příkladu:
V tomto příkladu máme vlajku se \( 4 \) pruhy, přičemž každý pruh může mít jednu z \( 5 \) různých barev. Barvy se mohou opakovat, což znamená, že pro každý pruh máme \( 5 \) možností výběru barvy.
Pro první pruh máme \( 5 \) možností, pro druhý pruh také \( 5 \) možností a tak dále až pro čtvrtý pruh. Celkový počet různých vlajek se tedy spočítá jako \( 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 \).
Výpočet: \( 5^4 = 625 \).
Odpověď: Existuje \( 625 \) různých vlajek.
20. Kolik různých uživatelských jmen lze vytvořit, pokud mají \( 6 \) znaků a každý znak je malé písmeno anglické abecedy (\( a \)–\( z \))?
Řešení příkladu:
Uživatelské jméno se skládá z \( 6 \) znaků, přičemž každý znak může být libovolné malé písmeno anglické abecedy. To znamená, že pro každý znak máme \( 26 \) možností (protože existuje \( 26 \) písmen od \( a \) do \( z \)).
Pro první znak máme \( 26 \) možností, pro druhý znak opět \( 26 \) možností a tak dále až pro šestý znak. Celkový počet různých uživatelských jmen se tedy spočítá jako \( 26^6 \).
Výpočet: \( 26^6 = 308\,915\,776 \).
Odpověď: Existuje \( 308\,915\,776 \) různých uživatelských jmen.
21. Kolik různých registračních značek lze vytvořit, pokud mají formát: dvě písmena, tři číslice a jedno písmeno (např. AB123C)?
Řešení příkladu:
Registrační značka se skládá z \( 2 \) písmen, \( 3 \) číslic a \( 1 \) písmena. Každé písmeno může být libovolné z \( 26 \) písmen anglické abecedy a každá číslice může být libovolná z \( 10 \) číslic (\( 0 \) až \( 9 \)).
Pro první dvě písmena máme \( 26 \) možností pro každé písmeno, pro tři číslice máme \( 10 \) možností pro každou číslici, a pro poslední písmeno opět \( 26 \) možností.
Celkový počet různých registračních značek se tedy spočítá jako součin počtu možností pro písmena a číslice:
Pro písmena: \( 26 \times 26 = 26^2 \)
Pro číslice: \( 10 \times 10 \times 10 = 10^3 \)
Celkový počet registračních značek: \( 26^2 \times 10^3 = 17\,576 \times 1\,000 = 17\,576\,000 \)
Odpověď: Existuje \( 17\,576\,000 \) různých registračních značek.
22. Kolik různých kombinací 4barevných pruhů lze vytvořit, pokud máme 7 barev a barvy se mohou opakovat, ale alespoň dvě barvy musí být různé?
Řešení příkladu:
V tomto příkladu máme \( 4 \) pruhy, kde každý pruh může mít jednu z \( 7 \) barev. Barvy se mohou opakovat, ale podmínkou je, že alespoň dvě barvy musí být různé. Nejprve spočítáme celkový počet kombinací bez jakéhokoliv omezení, tj. kdy se mohou všechny pruhy opakovat ve stejné barvě.
Pro každý pruh máme \( 7 \) možností, takže celkový počet kombinací je \( 7^4 \).
Výpočet: \( 7^4 = 2\,401 \).
Pak musíme odečíst případy, kdy jsou všechny pruhy stejné barvy. Pokud jsou všechny pruhy stejné, máme pouze \( 7 \) možností (jednu pro každou barvu).
Po odečtení těchto případů dostaneme počet kombinací, kde alespoň dvě barvy jsou různé: \( 2\,401 – 7 = 2\,394 \).
Odpověď: Existuje \( 2\,394 \) různých kombinací pruhů s alespoň dvěma různými barvami.
23. Kolik různých pětimístných hesel lze vytvořit pomocí číslic \( 0 \)–\( 9 \), pokud se mohou opakovat a heslo nesmí začínat nulou?
Řešení příkladu:
Heslo se skládá z \( 5 \) číslic, přičemž první číslice nesmí být nula. Takže pro první číslici máme \( 9 \) možností (číslice od \( 1 \) do \( 9 \)). Pro každou z dalších čtyř číslic máme \( 10 \) možností (od \( 0 \) do \( 9 \)).
Počet možností pro první číslici je \( 9 \), a pro zbývající čtyři číslice máme \( 10^4 \) možností.
Celkový počet pětimístných hesel je tedy součin počtu možností pro první číslici a pro ostatní čtyři číslice:
Odpověď: Existuje \( 90\,000 \) různých pětimístných hesel, která nebudou začínat nulou.
24. Kolik různých způsobů lze přiřadit \( 6 \) různých funkcí \( 4 \) zaměstnancům, pokud se funkce mohou opakovat?
Řešení příkladu:
V tomto příkladu máme \( 6 \) různých funkcí, které chceme přiřadit \( 4 \) zaměstnancům. Funkce se mohou opakovat, takže každý zaměstnanec může dostat jednu z \( 6 \) funkcí.
Pro každého zaměstnance máme \( 6 \) možností přiřazení funkce. Jelikož máme \( 4 \) zaměstnanců, celkový počet způsobů přiřazení funkcí se spočítá jako \( 6^4 \).
Výpočet: \( 6^4 = 1\,296 \).
Odpověď: Existuje \( 1\,296 \) různých způsobů, jak přiřadit \( 6 \) funkcí \( 4 \) zaměstnancům.
25. Kolik různých způsobů můžeme vytvořit pořadí \( 5 \) sportovců na trati, pokud každý může zvolit libovolný ze \( 3 \) různých běžeckých stylů?
Řešení příkladu:
V tomto případě máme \( 5 \) sportovců, přičemž každý sportovec si může zvolit jeden ze \( 3 \) různých běžeckých stylů. Počet možností pro každý sportovec je tedy \( 3 \).
Pro každého sportovce máme \( 3 \) možnosti, takže celkový počet způsobů, jak mohou být sportovci seřazeni s ohledem na běžecké styly, se spočítá jako součin možností pro jednotlivé sportovce.
Odpověď: Existuje \( 243 \) různých kombinací běžeckých stylů pro \( 5 \) sportovců.
26. Kolik čtyřmístných čísel lze vytvořit ze sudých číslic (\( 0 \), \( 2 \), \( 4 \), \( 6 \), \( 8 \)), pokud se mohou opakovat a číslo nesmí začínat nulou?
Řešení příkladu:
V tomto příkladu se máme vytvořit čtyřmístné číslo, které musí být tvořeno sudými číslicemi, přičemž se mohou opakovat. Sudé číslice, které máme k dispozici, jsou \( 0, 2, 4, 6, 8 \), takže celkem máme \( 5 \) možností pro každou číslici.
První číslice však nesmí být \( 0 \), takže pro první číslici máme \( 4 \) možnosti (můžeme použít číslice \( 2, 4, 6, 8 \)). Pro každou z dalších tří číslic máme \( 5 \) možností (můžeme použít všechny sudé číslice, včetně \( 0 \)).
Celkový počet čtyřmístných čísel spočítáme jako součin počtu možností pro jednotlivé číslice:
Počet možností pro první číslici: \( 4 \)
Počet možností pro každou z dalších tří číslic: \( 5^3 = 125 \)
Celkový počet čtyřmístných čísel je tedy: \( 4 \times 125 = 500 \)
Odpověď: Existuje \( 500 \) čtyřmístných čísel, která lze vytvořit ze sudých číslic a nesmí začínat nulou.
27. Kolik různých \( 7 \)-znakových kombinací lze vytvořit z binárních číslic (\( 0 \) a \( 1 \)), pokud se mohou opakovat?
Řešení příkladu:
V tomto příkladu se máme vytvořit \( 7 \)-znakové binární číslo, přičemž každý znak může být buď \( 0 \), nebo \( 1 \).
Pro každý znak máme tedy \( 2 \) možnosti. Počet možností pro všechny \( 7 \) znaků je tedy součin počtu možností pro jednotlivé znaky:
Odpověď: Existuje \( 128 \) různých \( 7 \)-znakových binárních kombinací.
28. Kolik různých objednávek může zákazník provést, pokud si může vybrat \( 1 \) z \( 5 \) předkrmů, \( 1 \) z \( 8 \) hlavních jídel a \( 1 \) z \( 6 \) nápojů, přičemž se možnosti opakují pro různé zákazníky?
Řešení příkladu:
V tomto případě máme několik možností pro výběr jídel:
Pro předkrm si zákazník může vybrat \( 1 \) z \( 5 \) možností.
Pro hlavní jídlo si může vybrat \( 1 \) z \( 8 \) možností.
Pro nápoj si může vybrat \( 1 \) z \( 6 \) možností.
Celkový počet různých objednávek, které může zákazník provést, se spočítá jako součin počtu možností pro každý výběr:
Výpočet: \( 5 \times 8 \times 6 = 240 \)
Odpověď: Existuje \( 240 \) různých objednávek, které může zákazník provést.
29. Kolik různých hesel o délce \( 4 \) znaků lze vytvořit, pokud používáme pouze znaky \( @ \), \( \# \), \( \$ \), \( \% \), a \( ! \) a znaky se mohou opakovat?
Řešení příkladu:
V tomto případě máme \( 5 \) různých znaků: \( @ \), \( \# \), \( \$ \), \( \% \), a \( ! \). Heslo o délce \( 4 \) znaků je tvořeno těmito znaky, přičemž každý znak se může opakovat.
Počet možností pro každý znak je tedy \( 5 \). Jelikož délka hesla je \( 4 \) znaky, počet různých hesel se spočítá jako \( 5^4 \).
Odpověď: Existuje \( 625 \) různých hesel o délce \( 4 \) znaků.
30. Kolik různých způsobů můžeme obsadit \( 3 \) místa ve výboru z \( 10 \) studentů, pokud se mohou zvolit opakovaně (tedy i několikrát týž student)?
Řešení příkladu:
V tomto případě máme \( 10 \) studentů a potřebujeme obsadit \( 3 \) místa ve výboru. Zvolit můžeme opakovaně, což znamená, že jeden student může být vybrán vícekrát.
Počet možností pro každý z těchto \( 3 \) míst je \( 10 \), protože na každé místo můžeme zvolit jakéhokoliv ze \( 10 \) studentů.
Počet různých způsobů, jak obsadit \( 3 \) místa, se tedy spočítá jako \( 10^3 \).
