Vektory

Řešení:

Sčítáme odpovídající složky vektorů: \[ \vec{a} + \vec{b} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6) \]

Řešení:

Odčítáme odpovídající složky: \[ \vec{u} – \vec{v} = (5 – (-2), -1 – 3) = (7, -4) \]

Řešení:

Vynásobíme každou složku vektoru číslem \(-3\): \[ -3 \vec{p} = (-3 \cdot 7, -3 \cdot 2) = (-21, -6) \]

Řešení:

Délka vektoru se počítá podle vzorce: \[ |\vec{w}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

Řešení:

Sčítáme odpovídající složky vektorů: \[ \vec{m} + \vec{n} = (1 + 3, 0 + (-1), 2 + 4) = (4, -1, 6) \]

Řešení:

Vektory jsou kolineární, pokud existuje skalár \(k\), že \(\vec{a} = k \vec{b}\). Zkontrolujeme poměr složek: \[ \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad \frac{3}{8} \neq \frac{1}{3} \] Jelikož poměry nejsou stejné, vektory nejsou kolineární.

Řešení:

Skalární součin je součet součinů odpovídajících složek: \[ \vec{x} \cdot \vec{y} = 1 \cdot 3 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = 3 + 0 – 2 = 1 \]

Řešení:

Vektor kolmý na \(\vec{r}\) má tvar \(\vec{r}_\perp = (-y, x)\), kde \(\vec{r} = (x, y)\). Tedy: \[ \vec{r}_\perp = (-5, 2) \]

Řešení:

Délka vektoru: \[ |\vec{z}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7 \]

Řešení:

Nejprve vynásobíme jednotlivé vektory: \[ 2\vec{a} = (4, 6), \quad 3\vec{b} = (15, 21) \] Poté odečteme: \[ \vec{c} = (4 – 15, 6 – 21) = (-11, -15) \]

Řešení:

Vektorový součin vektorů \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) a \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) je \[ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 – a_3 b_2, a_3 b_1 – a_1 b_3, a_1 b_2 – a_2 b_1) \] Dosadíme hodnoty: \[ \vec{a} \times \vec{b} = (-1 \cdot 0 – 3 \cdot 4, 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 0, 2 \cdot 4 – (-1) \cdot (-1)) = (-12, -3, 8 – 1) = (-12, -3, 7) \] Výsledný vektor je tedy \[ (-12, -3, 7) \]

Řešení:

Úhel mezi vektory lze vypočítat podle vzorce skalárního součinu: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \] Nejprve spočítáme skalární součin: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 + 0 + 2 = 4 \] Délky vektorů: \[ |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \] Dosadíme do vzorce: \[ \cos \theta = \frac{4}{3 \sqrt{5}} \approx 0{,}596 \] Úhel \(\theta\) je pak: \[ \theta = \arccos(0{,}596) \approx 53{,}13^\circ \] Výsledkem je: \[ \theta \approx 53{,}13^\circ \]

Řešení:

Otočení vektoru o \(90^\circ\) proti směru hodinových ručiček v rovině změní souřadnice podle vzorce: \[ \vec{b} = (-y, x) \] Kde \(\vec{a} = (x, y) = (3, -2)\), tedy: \[ \vec{b} = (-(-2), 3) = (2, 3) \] Výsledný vektor je \[ (2, 3) \]

Řešení:

Vektory jsou lineárně nezávislé, pokud jediné řešení rovnice \[ \alpha \vec{p} + \beta \vec{q} + \gamma \vec{r} = \vec{0} \] je \(\alpha = \beta = \gamma = 0\).

Napišme soustavu rovnic: \[ \alpha \cdot 1 + \beta \cdot 0 + \gamma \cdot 3 = 0 \] \[ \alpha \cdot 2 + \beta \cdot (-1) + \gamma \cdot 0 = 0 \] \[ \alpha \cdot (-1) + \beta \cdot 4 + \gamma \cdot 2 = 0 \]

Z první rovnice: \[ \alpha + 3 \gamma = 0 \Rightarrow \alpha = -3 \gamma \]

Z druhé rovnice: \[ 2 \alpha – \beta = 0 \Rightarrow \beta = 2 \alpha = 2 (-3 \gamma) = -6 \gamma \]

Z třetí rovnice: \[ -\alpha + 4 \beta + 2 \gamma = 0 \] Dosadíme \(\alpha\) a \(\beta\): \[ -(-3 \gamma) + 4 (-6 \gamma) + 2 \gamma = 3 \gamma – 24 \gamma + 2 \gamma = (3 – 24 + 2) \gamma = -19 \gamma = 0 \] Aby platila rovnice, musí být \[ \gamma = 0 \] \[ \Rightarrow \alpha = -3 \cdot 0 = 0, \quad \beta = -6 \cdot 0 = 0 \] Tudíž jediným řešením je \(\alpha = \beta = \gamma = 0\), což znamená, že vektory jsou lineárně nezávislé.

Odpověď: Vektory \(\vec{p}\), \(\vec{q}\), \(\vec{r}\) jsou lineárně nezávislé.

Řešení:

Projekce \(\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}\) je definována jako \[ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} \] Spočítáme skalární součin: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 4 = -6 + 4 = -2 \] Délka vektoru \(\vec{b}\): \[ |\vec{b}|^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] Dosadíme do vzorce: \[ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{-2}{25} \cdot (-3, 4) = \left(\frac{6}{25}, -\frac{8}{25}\right) \] Výsledná projekce je \[ \textbf{\left(\frac{6}{25}, -\frac{8}{25}\right)} \]

Řešení:

Nejprve najdeme dva vektory ležící v rovině: \[ \vec{AB} = B – A = (3-1, -1-0, 4-2) = (2, -1, 2) \] \[ \vec{AC} = C – A = (2-1, 2-0, 1-2) = (1, 2, -1) \] Normálový vektor roviny je kolmý na oba tyto vektory a získáme ho vektorovým součinem: \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 2 \cdot 2) – \mathbf{j}(2 \cdot (-1) – 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 – (-1) \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(1 – 4) – \mathbf{j}(-2 – 2) + \mathbf{k}(4 + 1) = \mathbf{i}(-3) – \mathbf{j}(-4) + \mathbf{k}(5) = (-3, 4, 5) \] Rovnice roviny je: \[ n_1 (x – x_0) + n_2 (y – y_0) + n_3 (z – z_0) = 0 \] kde \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 0, 2)\) a \(\vec{n} = (-3,4,5)\). Dosadíme: \[ -3 (x – 1) + 4 (y – 0) + 5 (z – 2) = 0 \] \[ -3x + 3 + 4y + 5z – 10 = 0 \] \[ -3x + 4y + 5z – 7 = 0 \] Výsledná rovnice roviny je \[ \textbf{-3x + 4y + 5z = 7} \]

Velikost vektoru se počítá podle vzorce:

\( |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} \)

\( = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \)

Velikost vektoru \( \vec{a} \) je tedy 13.

Součet vektorů:

\( \vec{u} + \vec{v} = (2 + (-3), 5 + 4) = (-1, 9) \)

Rozdíl vektorů:

\( \vec{u} – \vec{v} = (2 – (-3), 5 – 4) = (5, 1) \)

Výsledné vektory jsou tedy \( \vec{u} + \vec{v} = (-1, 9) \) a \( \vec{u} – \vec{v} = (5, 1) \).

Skalární součin se počítá podle vzorce:

\( \vec{p} \cdot \vec{q} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 – 10 + 18 = 12 \)

Velikosti vektorů:

\( |\vec{p}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \)

\( |\vec{q}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77} \)

Úhel mezi vektory je dán vztahem:

\( \cos \alpha = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|} = \frac{12}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} = \frac{12}{\sqrt{1078}} \)

Počítáme aproximaci:

\( \sqrt{1078} \approx 32.84 \Rightarrow \cos \alpha \approx \frac{12}{32.84} \approx 0.365 \)

Úhel \( \alpha \) pak je:

\( \alpha = \arccos 0.365 \approx 68.6^\circ \)

Vektorový součin je dán determinantem:

\( \vec{m} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot (3 \cdot 4 – 1 \cdot 0) – \mathbf{j} \cdot (2 \cdot 4 – 1 \cdot 1) + \mathbf{k} \cdot (2 \cdot 0 – 3 \cdot 1) \)

\( = \mathbf{i} \cdot 12 – \mathbf{j} \cdot (8 – 1) + \mathbf{k} \cdot (0 – 3) = 12 \mathbf{i} – 7 \mathbf{j} – 3 \mathbf{k} \)

Vektorový součin tedy je \( \vec{m} \times \vec{n} = (12, -7, -3) \).

Tento vektor je kolmý na oba vektory \( \vec{m} \) a \( \vec{n} \), a tedy slouží jako normálový vektor roviny, ve které oba vektory leží.

Objem hranolu určeného vektory \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) a \( \vec{c} \) je roven absolutní hodnotě skalárního trojného součinu:

\( V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \)

Nejprve vypočítáme vektorový součin \( \vec{b} \times \vec{c} \):

\( \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 0 & 4 \\ -2 & 5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} (0 \cdot 1 – 4 \cdot 5) – \mathbf{j} (3 \cdot 1 – 4 \cdot (-2)) + \mathbf{k} (3 \cdot 5 – 0 \cdot (-2)) \)

\( = \mathbf{i} (0 – 20) – \mathbf{j} (3 + 8) + \mathbf{k} (15 – 0) = -20 \mathbf{i} – 11 \mathbf{j} + 15 \mathbf{k} \)

Tedy \( \vec{b} \times \vec{c} = (-20, -11, 15) \).

Skalární součin \( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \) je:

\( (1, 2, -1) \cdot (-20, -11, 15) = 1 \cdot (-20) + 2 \cdot (-11) + (-1) \cdot 15 = -20 – 22 – 15 = -57 \)

Objem hranolu je tedy \( V = |-57| = 57 \).

Protože objem je různý od nuly, vektory jsou lineárně nezávislé.

Podmínka kolmosti je, že skalární součin vektorů je nulový:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow x \cdot 3 + 2 \cdot (-6) + (-1) \cdot 2 = 0 \)

\( 3x – 12 – 2 = 0 \Rightarrow 3x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{3} \)

Velikost vektoru \( \vec{u} \) je \( 7 \), tedy platí:

\( |\vec{u}| = \sqrt{x^2 + 2^2 + (-1)^2} = 7 \Rightarrow \sqrt{x^2 + 4 + 1} = 7 \)

\( \sqrt{x^2 + 5} = 7 \Rightarrow x^2 + 5 = 49 \Rightarrow x^2 = 44 \Rightarrow x = \pm \sqrt{44} = \pm 2\sqrt{11} \)

Dosazením za \( x \) z podmínky kolmosti máme \( x = \frac{14}{3} \), což není \( \pm 2\sqrt{11} \), tedy musí platit obě podmínky současně.

Proto hledáme \( x \), který splňuje obě podmínky najednou, ale \( \frac{14}{3} \neq \pm 2\sqrt{11} \).

To znamená, že vektor nemůže být současně kolmý na \( \vec{v} \) a mít velikost 7, pokud \( x \) je reálné číslo.

Proto kontrolujeme velikost pro \( x = \frac{14}{3} \):

\( |\vec{u}| = \sqrt{\left(\frac{14}{3}\right)^2 + 4 + 1} = \sqrt{\frac{196}{9} + 5} = \sqrt{\frac{196}{9} + \frac{45}{9}} = \sqrt{\frac{241}{9}} = \frac{\sqrt{241}}{3} \approx 5.17 \neq 7 \)

Velikost není 7, proto neexistuje vektor \( \vec{u} \), který by splňoval obě podmínky současně.

Jediné možné \( x \) pro kolmý vektor je tedy \( x = \frac{14}{3} \), ale velikost není 7.

Plocha základny je velikost vektorového součinu \( \vec{a} \times \vec{b} \):

\( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1) \cdot (-1) – 2 \cdot 3) – \mathbf{j}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 3 – (-1) \cdot 0) \)

\( = \mathbf{i}(1 – 6) – \mathbf{j}(-1 – 0) + \mathbf{k}(3 – 0) = -5 \mathbf{i} + 1 \mathbf{j} + 3 \mathbf{k} \)

Velikost vektorového součinu je:

\( |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35} \)

Objem rovnoběžnostěnu je \( V = 30 \) a je dán vztahem:

\( V = \text{plocha základny} \times \text{výška} = |\vec{a} \times \vec{b}| \cdot h \Rightarrow h = \frac{V}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{30}{\sqrt{35}} \)

Výška je tedy:

\( h = \frac{30}{\sqrt{35}} = \frac{30 \sqrt{35}}{35} = \frac{6 \sqrt{35}}{7} \)

Dva vektory jsou rovnoběžné, pokud existuje skalár \( t \), takový, že \( \vec{v} = t \vec{w} \).

Z první složky: \( 1 = 3t \Rightarrow t = \frac{1}{3} \).

Z druhé složky: \( 4 = 12t \Rightarrow t = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).

Obě první dvě složky dávají stejný \( t \), tedy zkontrolujeme třetí složku:

\( k = 9t = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3 \).

Hodnota \( k = 3 \) zajistí, že vektory jsou rovnoběžné.

Projekce vektoru \( \vec{a} \) na \( \vec{b} \) je dána vzorcem:

\( \mathrm{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} \)

Nejprve vypočítáme skalární součin:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-3) \cdot 0 + 1 \cdot 4 = 2 + 0 + 4 = 6 \)

Velikost vektoru \( \vec{b} \):

\( |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 0 + 16} = \sqrt{17} \)

\( |\vec{b}|^2 = 17 \)

Projekce je tedy:

\( \mathrm{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{6}{17} (1, 0, 4) = \left(\frac{6}{17}, 0, \frac{24}{17}\right) \)

Velikost projekce je:

\( \left| \mathrm{proj}_{\vec{b}} \vec{a} \right| = \left| \frac{6}{17} \right| \cdot |\vec{b}| = \frac{6}{17} \cdot \sqrt{17} = \frac{6 \sqrt{17}}{17} \)

Vektorový součin je definován jako determinant matice:

\( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} \)

Vyjádříme podle rozvoje determinantů:

\( \vec{a} \times \vec{b} = \mathbf{i}((-1) \cdot (-2) – 2 \cdot 4) – \mathbf{j}(3 \cdot (-2) – 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 4 – (-1) \cdot 1) \)

\( = \mathbf{i}(2 – 8) – \mathbf{j}(-6 – 2) + \mathbf{k}(12 + 1) = \mathbf{i}(-6) – \mathbf{j}(-8) + \mathbf{k}(13) \)

Tedy:

\( \vec{a} \times \vec{b} = (-6, 8, 13) \)

Úhel \( \theta \) mezi vektory lze určit pomocí vzorce:

\( \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \)

Nejprve spočítáme skalární součin:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 4 + 1 \cdot 2 = -2 – 12 + 2 = -12 \)

Velikost vektorů:

\( |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \)

\( |\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \)

Dosadíme do vzorce:

\( \cos \theta = \frac{-12}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{-12}{\sqrt{294}} \)

Vypočítáme úhel:

\( \theta = \arccos \left(\frac{-12}{\sqrt{294}}\right) \)

Numericky:

\( \theta \approx \arccos(-0{,}7001) \approx 134{,}43^\circ \)

Velikost vektoru je dána vzorcem:

\( |\vec{w}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)

Normalizovaný vektor \( \hat{w} \) získáme vydělením každé složky velikostí:

\( \hat{w} = \frac{1}{|\vec{w}|} \vec{w} = \frac{1}{5\sqrt{2}} (5, -3, 4) = \left(\frac{5}{5\sqrt{2}}, \frac{-3}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}\right) \)

Zjednodušeno:

\( \hat{w} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}\right) \)

Obsah rovnoběžníku určuje velikost vektorového součinu:

\( S = |\vec{p} \times \vec{q}| \)

Vypočítáme vektorový součin:

\( \vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1) \cdot 4 – 0 \cdot 3) – \mathbf{j}(2 \cdot 4 – 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot 3 – (-1) \cdot 0) \)

\( = \mathbf{i}(-4) – \mathbf{j}(8) + \mathbf{k}(6) = (-4, -8, 6) \)

Velikost:

\( S = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 64 + 36} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} \)

Parametrická rovnice přímky je dána vztahem:

\( \vec{r}(t) = \vec{A} + t \vec{d} \)

Kde \( \vec{A} = (1, 2, 3) \) je bod na přímce a \( \vec{d} = (4, -1, 2) \) je směrový vektor, \( t \in \mathbb{R} \).

Proto:

\( x = 1 + 4t \)

\( y = 2 – t \)

\( z = 3 + 2t \)

Toto je parametrická rovnice přímky v prostoru.