1. Určete, zda je funkce \( f(x) = x^3 \) sudá, lichá nebo žádná z těchto možností.
Řešení příkladu:
Funkce je lichá, pokud platí \( f(-x) = -f(x) \), a sudá, pokud platí \( f(-x) = f(x) \).
Nyní dosadíme do předpisu funkce \( f(x) = x^3 \):
Nejprve spočteme hodnotu \( f(-x) \):
\( f(-x) = (-x)^3 = -x^3 \)
Poté spočteme hodnotu \( -f(x) \):
\( -f(x) = -(x^3) = -x^3 \)
Vidíme, že \( f(-x) = -f(x) \), což znamená, že funkce je lichá, protože splňuje podmínku pro lichou funkci. Funkce tedy není ani sudá, protože \( f(-x) \neq f(x) \).
2. Určete, zda je funkce \( f(x) = x^2 + 1 \) rostoucí, klesající nebo nerostoucí či neklesající.
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = x^2 + 1 \) je kvadratická parabola s minimem v bodě \( x = 0 \). To znamená, že hodnoty funkce jsou pro \( x < 0 \) klesající a pro \( x > 0 \) rostoucí.
Abychom zjistili, zda je funkce rostoucí nebo klesající, spočteme její první derivaci, která nám ukáže, jak se hodnota funkce mění v závislosti na hodnotě \( x \).
Derivace funkce \( f(x) \) je:
\( f'(x) = 2x \)
– Pro \( x < 0 \), když je \( x \) záporné, máme \( f'(x) = 2x < 0 \), což znamená, že funkce klesá.
– Pro \( x > 0 \), když je \( x \) kladné, máme \( f'(x) = 2x > 0 \), což znamená, že funkce roste.
Na základě derivace víme, že na celém definičním oboru není funkce pouze rostoucí nebo klesající, ale že je nerostoucí pro \( x \leq 0 \) a rostoucí pro \( x \geq 0 \).
Funkce tedy není na celém oboru ani rostoucí, ani klesající, ale je neklesající, protože nikdy neklesá.
3. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{1}{x} \) sudá nebo lichá.
Řešení příkladu:
Funkce je lichá, pokud platí \( f(-x) = -f(x) \).
Nyní dosadíme do předpisu funkce \( f(x) = \frac{1}{x} \). Nejprve spočteme hodnotu \( f(-x) \):
\( f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} \)
Poté spočteme hodnotu \( -f(x) \):
\( -f(x) = -\frac{1}{x} \)
Vidíme, že \( f(-x) = -f(x) \), což znamená, že funkce splňuje podmínku pro lichou funkci. Tedy funkce je lichá.
4. Určete, zda je funkce \( f(x) = |x| \) sudá, lichá nebo žádná z těchto možností.
Řešení příkladu:
Funkce je sudá, pokud platí \( f(-x) = f(x) \).
Nyní spočteme hodnotu \( f(-x) \):
\( f(-x) = |-x| = |x| \)
Protože \( f(-x) = f(x) \), platí, že funkce je sudá.
5. Zjistěte, zda je funkce \( f(x) = \sqrt{x} \) rostoucí nebo klesající.
Řešení příkladu:
Definiční obor funkce je \( x \geq 0 \), protože druhá odmocnina je definována pouze pro nezáporná čísla.
Nyní se podívejme na derivaci funkce \( f(x) = \sqrt{x} \). Pro tento účel použijeme pravidlo pro derivaci funkce \( \sqrt{x} \), což nám dává:
\[
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad \text{pro} \quad x > 0.
\]
Derivace \( f'(x) \) je kladná pro všechna \( x > 0 \), protože \( \sqrt{x} \) je vždy kladné a dělení kladného čísla (v čitateli 1) kladným číslem v jmenovateli (dvěma krát odmocnina z \( x \)) je stále kladné.
To znamená, že funkce \( f(x) = \sqrt{x} \) je rostoucí na intervalu \( (0, \infty) \).
V bodě \( x = 0 \) má funkce derivaci nevlastní, protože \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) při \( x = 0 \) není definováno. Nicméně, to neznamená, že by funkce byla klesající – naopak, její hodnoty rostou s rostoucí hodnotou \( x \).
Závěr: Funkce je rostoucí na svém definičním oboru \( [0, \infty) \).
6. Je funkce \( f(x) = \cos(x) \) periodická? Jaká je její perioda?
Řešení příkladu:
Funkce \( \cos(x) \) je základní goniometrická funkce, která je známá svou periodičností. To znamená, že hodnoty této funkce se opakují po určitém intervalu.
Z definice funkce \( \cos(x) \) víme, že pro všechna \( x \in \mathbb{R} \) platí:
\[
\cos(x + 2\pi) = \cos(x).
\]
To znamená, že funkce \( \cos(x) \) má periodu \( 2\pi \), protože po přičtení \( 2\pi \) se hodnota funkce nezmění. Funkce se tedy opakuje každých \( 2\pi \) jednotek.
Závěr: Funkce \( \cos(x) \) je periodická a její perioda je \( 2\pi \).
7. Je funkce \( f(x) = \ln(x) \) omezená shora nebo zdola?
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \ln(x) \) je logaritmická funkce, která je definována pouze pro \( x > 0 \), tedy na intervalu \( (0, \infty) \).
Nyní se podívejme na chování funkce v extrémních případech.
– Pro \( x \to 0^+ \), tedy když se \( x \) blíží k nule z kladné strany, hodnota \( \ln(x) \) klesá k \( -\infty \). Můžeme si to představit tak, že jak se číslo \( x \) blíží k nule, logaritmus tohoto čísla stále klesá a nakonec se dostává do záporné nekonečnosti.
\[
\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty.
\]
– Na druhé straně, pro \( x \to \infty \), tedy když \( x \) roste do nekonečna, hodnota \( \ln(x) \) roste rovněž do nekonečna:
\[
\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty.
\]
To znamená, že funkce nemá ani horní, ani dolní mez, protože její hodnoty se mohou libovolně zvyšovat nebo snižovat. Funkce tedy není omezená.
Závěr: Funkce \( \ln(x) \) není omezená shora ani zdola.
8. Je funkce \( f(x) = x^2 \) omezená?
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = x^2 \) je kvadratická funkce. Podívejme se na její chování.
– Pro všechna \( x \in \mathbb{R} \), tedy pro všechny reálné hodnoty \( x \), platí:
\[
x^2 \geq 0.
\]
To znamená, že hodnota funkce je vždy větší nebo rovna nule, takže funkce je omezená zdola nulou.
– Nicméně, pro \( x \to \infty \) nebo \( x \to -\infty \), tedy když \( x \) roste nebo klesá do nekonečna, hodnota \( x^2 \) roste do nekonečna. To znamená, že funkce není omezená shora:
\[
\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty.
\]
To znamená, že hodnota funkce může být libovolně velká, pokud \( x \) roste do nekonečna.
Závěr: Funkce \( f(x) = x^2 \) je omezená zdola, ale není omezená shora.
9. Je funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) omezená?
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) má v jmenovateli výraz \( x^2 + 1 \), který je vždy kladný pro všechna \( x \in \mathbb{R} \). Pro jakékoliv \( x \) totiž platí:
\[
x^2 \geq 0 \quad \text{a} \quad x^2 + 1 \geq 1.
\]
Tedy \( x^2 + 1 \) je vždy větší nebo rovno \( 1 \), což znamená, že jmenovatel je vždy kladný a nikdy se neblíží nule.
Jelikož jmenovatel \( x^2 + 1 \) je minimálně \( 1 \), můžeme určit, že funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) je vždy menší nebo rovna \( 1 \). Pro \( x = 0 \) máme:
\[
f(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = 1.
\]
Dále pro jakékoliv \( x \neq 0 \) je hodnota funkce menší než \( 1 \), protože \( x^2 + 1 > 1 \), což znamená, že \( \frac{1}{x^2 + 1} < 1 \).
Funkce je tedy vždy kladná, protože \( x^2 + 1 \) je vždy kladné a nikdy není rovno nule.
Závěr: Funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) je omezená shora i zdola. Platí:
\[
0 < f(x) \leq 1.
\]
10. Určete, zda je funkce \( f(x) = \sin(x) \) lichá nebo sudá.
Řešení příkladu:
Funkce \( \sin(x) \) je známá goniometrická funkce. Abychom určili, zda je lichá nebo sudá, musíme zkoumat její vlastnosti při změně znaménka argumentu \( x \).
Podle základního vlastnosti sinusové funkce platí:
\[
\sin(-x) = -\sin(x).
\]
Tato rovnost znamená, že pokud změníme znaménko argumentu \( x \), změní se i znaménko hodnoty funkce \( f(x) = \sin(x) \).
To je charakteristická vlastnost liché funkce, protože funkce je lichá, pokud platí \( f(-x) = -f(x) \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \).
Závěr: Funkce \( f(x) = \sin(x) \) je lichá.
12. Určete, zda je funkce \( f(x) = x^3 – 3x \) sudá, lichá nebo ani sudá, ani lichá.
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeňme definice: Funkce je sudá, pokud platí:
\[
f(-x) = f(x),
\]
a lichá, pokud platí:
\[
f(-x) = -f(x).
\]
Nyní zjistíme, zda je funkce \( f(x) = x^3 – 3x \) sudá nebo lichá.
Pro zjištění použijeme substituci \( -x \) do výrazu funkce:
\[
f(-x) = (-x)^3 – 3(-x) = -x^3 + 3x.
\]
Nyní porovnáme \( f(-x) \) s \( f(x) \):
\[
f(x) = x^3 – 3x \quad \text{a} \quad f(-x) = -x^3 + 3x.
\]
Vidíme, že:
\[
f(-x) = -f(x).
\]
To znamená, že funkce je lichá, protože pro každé \( x \) platí, že \( f(-x) = -f(x) \).
Závěr: Funkce \( f(x) = x^3 – 3x \) je lichá.
13. Určete, zda je funkce \( f(x) = 2x^2 – 4x \) rostoucí nebo klesající.
Řešení příkladu:
Funkce je rostoucí, pokud její derivace \( f'(x) \) je kladná pro všechna \( x \), a klesající, pokud \( f'(x) \) je záporná.
Derivace funkce \( f(x) = 2x^2 – 4x \) je:
\[
f'(x) = 4x – 4.
\]
K určení, zda je funkce rostoucí nebo klesající, zjistíme, kdy je \( f'(x) > 0 \) nebo \( f'(x) < 0 \).
Řešíme:
\[
4x – 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1.
\]
Funkce je rostoucí pro \( x > 1 \) a klesající pro \( x < 1 \).
Závěr: Funkce je rostoucí pro \( x > 1 \) a klesající pro \( x < 1 \).
14. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{4}{x+1} \) sudá nebo lichá.
Řešení příkladu:
Dosadíme \( -x \) do funkce:
\( f(-x) = \frac{4}{-x+1} \)
Vidíme, že neplatí ani \( f(-x) = f(x) \) ani \( f(-x) = -f(x) \), takže funkce není ani sudá, ani lichá.
15. Určete, zda je funkce \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) periodická. Jaká je její perioda?
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) je součet dvou periodických funkcí \( \sin(x) \) a \( \cos(x) \), které mají periodu \( 2\pi \).
Abychom zjistili periodu součtu těchto funkcí, zjistíme nejmenší společnou periodu.
Pro funkci \( \sin(x) + \cos(x) \) je perioda:
\[
\text{perioda} = 2\pi.
\]
Závěr: Funkce \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) je periodická s periodou \( 2\pi \).
16. Určte, zda je funkce \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x \) rostoucí nebo klesající v intervalu \( (0, 2) \).
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x \) je polynom, takže je spojitá a diferencovatelná pro všechna \( x \in \mathbb{R} \). Abychom určili, zda je funkce rostoucí nebo klesající, musíme zjistit, jak se mění její derivace.
1. **Derivace funkce \( f'(x) \):**
Derivace funkce \( f(x) \) je:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 – 5x^2 + 2x) = 9x^2 – 10x + 2
\]
Nyní musíme zjistit, jak se derivace chová v intervalu \( (0, 2) \).
2. **Zjištění, zda je derivace kladná nebo záporná:**
Chceme zjistit, zda je \( f'(x) \) kladné (funkce roste) nebo záporné (funkce klesá) v intervalu \( (0, 2) \). Pro tento účel spočítáme hodnotu derivace pro několik bodů v tomto intervalu.
Pokud \( x = 1 \), pak:
\[
f'(1) = 9(1)^2 – 10(1) + 2 = 9 – 10 + 2 = 1
\]
Hodnota derivace \( f'(1) = 1 \) je kladná, což znamená, že funkce je v bodě \( x = 1 \) rostoucí.
3. **Analýza chování derivace:**
Derivace \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \) je kvadratická funkce. Můžeme zjistit, jak se chová v intervalu \( (0, 2) \), pokud spočítáme hodnoty derivace na okrajích intervalu. Například:
– Pokud \( x = 0 \), pak:
\[
f'(0) = 9(0)^2 – 10(0) + 2 = 2
\]
Derivace je kladná pro \( x = 0 \), což znamená, že funkce roste na začátku intervalu.
– Pokud \( x = 2 \), pak:
\[
f'(2) = 9(2)^2 – 10(2) + 2 = 36 – 20 + 2 = 18
\]
Derivace je opět kladná pro \( x = 2 \), což znamená, že funkce roste také na konci intervalu.
4. **Závěr:**
Funkce \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x \) je rostoucí v celém intervalu \( (0, 2) \), protože její derivace je v tomto intervalu vždy kladná. Funkce tedy není klesající v tomto intervalu, ale je rostoucí.
17. Určete, zda je funkce \( f(x) = x^3 – 3x \) rostoucí, klesající a zda je funkce sudá nebo lichá.
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = x^3 – 3x \) je polynom, takže je definována pro všechna reálná čísla \( x \in \mathbb{R} \). Podíváme se na její vlastnosti, konkrétně na monotónnost (jestli je funkce rostoucí nebo klesající) a na to, zda je sudá nebo lichá.
1. **Monotónnost:**
Nejprve zjistíme první derivaci funkce \( f'(x) \), abychom určili, zda je funkce rostoucí nebo klesající. Derivujeme funkci:
\[
f'(x) = 3x^2 – 3.
\]
K tomu, abychom zjistili, kdy je funkce rostoucí nebo klesající, zjistíme, kdy je derivace kladná nebo záporná:
\[
f'(x) = 3(x^2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1).
\]
Derivace \( f'(x) \) změní znaménko na \( x = 1 \) a \( x = -1 \). Tedy:
– Pro \( x < -1 \), \( f'(x) > 0 \), funkce je rostoucí.
– Pro \( -1 < x < 1 \), \( f'(x) < 0 \), funkce je klesající.
- Pro \( x > 1 \), \( f'(x) > 0 \), funkce je opět rostoucí.
Funkce tedy není ani globálně rostoucí, ani globálně klesající, ale má intervaly, kde je rostoucí a intervaly, kde je klesající.
2. **Parnost funkce:**
Funkce je sudá, pokud platí \( f(-x) = f(x) \), a lichá, pokud platí \( f(-x) = -f(x) \). Dosadíme \( -x \) do výrazu funkce:
\[
f(-x) = (-x)^3 – 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 – 3x) = -f(x).
\]
Tedy \( f(-x) = -f(x) \), což znamená, že funkce je lichá.
Závěr: Funkce \( f(x) = x^3 – 3x \) je lichá a má intervaly rostoucí a klesající, takže není monotónní.
18. Určete, zda je funkce \( f(x) = x^2 – 9 \) omezená.
Řešení příkladu:
Funkce \( x^2 – 9 \) je kvadratická parabola, která roste do nekonečna.
Má dolní mez \( -9 \), ale horní mez nemá.
Funkce je tedy omezená zdola, ale ne shora.
19. Jaké je nejmenší číslo, kterého dosáhne funkce \( f(x) = (x-1)^2 \)?
Řešení příkladu:
Parabola má minimum tam, kde \( x = 1 \):
\( f(1) = (1-1)^2 = 0 \)
Nejmenší hodnota funkce je \( 0 \).
20. Určete, zda je funkce \( f(x) = x^3 – 2x \) rostoucí nebo klesající.
Řešení příkladu:
Funkce je rostoucí, pokud její derivace \( f'(x) \) je kladná, a klesající, pokud je záporná.
Nejprve určíme první derivaci:
\( f'(x) = 3x^2 – 2 \)
Najdeme body, kde \( f'(x) = 0 \):
\( 3x^2 – 2 = 0 \)
\( x^2 = \frac{2}{3} \)
\( x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \)
Tyto body jsou potenciální extrémy funkce.
Nyní určíme, zda funkce roste nebo klesá v různých intervalech:
– Pro \( x < -\sqrt{\frac{2}{3}} \) je \( 3x^2 - 2 > 0 \), tedy funkce je rostoucí.
– Pro \( -\sqrt{\frac{2}{3}} < x < \sqrt{\frac{2}{3}} \) je \( 3x^2 - 2 < 0 \), tedy funkce je klesající.
– Pro \( x > \sqrt{\frac{2}{3}} \) je \( 3x^2 – 2 > 0 \), tedy funkce je rostoucí.
Shrnutí: Funkce je rostoucí pro \( x \in (-\infty, -\sqrt{\frac{2}{3}}) \cup (\sqrt{\frac{2}{3}}, \infty) \), a klesající pro \( x \in (-\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}) \).