Výroky

Řešení příkladu:

Věta „Zítra bude pršet.“ je výrok. Výrok je takové tvrzení, u kterého můžeme rozhodnout, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Ačkoliv nyní nevíme, zda bude zítra pršet, po uplynutí času to bude jednoznačně ověřitelné – buď pršelo, nebo ne. Proto má věta pravdivostní hodnotu (pravda nebo nepravda) a jedná se tedy o výrok.

Řešení příkladu:

Věta „Buď ticho!“ není výrok. Výrokem je pouze taková věta, u které můžeme určit její pravdivostní hodnotu – tedy zda je pravdivá, nebo nepravdivá. V tomto případě se jedná o rozkaz, nikoliv tvrzení. Nelze říci, zda je věta pravdivá nebo nepravdivá, a tedy to není výrok.

Řešení příkladu:

Věta „7 je dělitelné číslem 3“ je výrok, protože má jasně danou pravdivostní hodnotu. Číslo 7 není dělitelné číslem 3 beze zbytku, protože \( 7 \div 3 = 2{,}33\ldots \), což není celé číslo. Výrok je tedy nepravdivý.

Řešení příkladu:

Například věta: „Ach jo!“ není výrokem. Jde o citoslovce vyjadřující emoci nebo náladu, neobsahuje žádné tvrzení, které by bylo možné ověřit jako pravdivé nebo nepravdivé. Proto to není výrok.

Řešení příkladu:

Ano, jedná se o hypotézu. Hypotéza je tvrzení, které předpokládá nějakou souvislost nebo příčinu a následek. V tomto případě jde o implikaci: „Jestliže budu každý den cvičit \( \Rightarrow \) zlepším se ve skákání přes švihadlo.“ Toto tvrzení je hypotézou, kterou lze následně ověřit nebo vyvrátit praxí.

Řešení příkladu:

Například: „Jestliže si večer připravím tašku, ráno se nebudu stresovat.“

Tato věta je výrokem ve formě hypotézy, protože vyjadřuje souvislost mezi dvěma událostmi. První část „jestliže si večer připravím tašku“ je podmínka a druhá část „ráno se nebudu stresovat“ je důsledek. Jedná se tedy o výrok typu implikace \( A \Rightarrow B \), což je přesná forma hypotézy.

Řešení příkladu:

Ano, věta „Nevím, co je výrok.“ je výrokem. Ačkoliv vyjadřuje nevědomost, stále je možné ji posoudit jako pravdivou nebo nepravdivou podle skutečného stavu věci – tedy jestli mluvčí opravdu neví, nebo ví. Proto je to výrok.

Řešení příkladu:

Například věta: „Běž tam!“ se může tvářit jako výrok, ale ve skutečnosti je to rozkaz. Nelze určit, zda je pravdivý nebo nepravdivý. Pravdivostní hodnotu totiž určujeme pouze u tvrzení, ne u rozkazů. Proto tato věta není výrokem.

Řešení příkladu:

Rozkaz „Umyj si ruce!“ můžeme přeformulovat například na: „Petr si umyl ruce.“

Takto přepsaná věta je výrokem, protože lze ověřit, zda Petr skutečně ruce umyl, nebo ne. Můžeme tedy přiřadit pravdivostní hodnotu – pravda nebo nepravda – a proto je to výrok.

Řešení příkladu:

Výrok „Každé sudé číslo je dělitelné číslem 2.“ je pravdivý. Sudé číslo je podle definice takové číslo, které lze zapsat jako \( 2n \), kde \( n \) je celé číslo. Tím pádem je každé sudé číslo dělitelné dvěma. Výrok je tedy pravdivý.

Řešení příkladu:

Věta je výrokem, protože jednoznačně vyjadřuje tvrzení, u kterého lze rozhodnout o jeho pravdivosti. V tomto případě je výrok nepravdivý, protože hlavním městem České republiky je Praha. Pravdivostní hodnota tohoto výroku je tedy „nepravda“.

Řešení příkladu:

Ne, věta „Kolik je hodin?“ není výrokem. Jedná se o otázku a nikoli o tvrzení. Nelze ji označit jako pravdivou nebo nepravdivou, protože jejím cílem není něco tvrdit, ale získat informaci. Výroky musí být tvrzení, nikoli otázky, přání nebo rozkazy.

Řešení příkladu:

Tato věta je výrokem. Obsahuje dvě části spojené spojkou „nebo“. Její pravdivost závisí na tom, zda alespoň jedna z částí je pravdivá. Pokud je dnes pondělí, výrok je pravdivý, i kdyby venku nebyl sníh. Pokud není pondělí, ale venku je sníh, výrok je stále pravdivý. Výrok je tedy pravdivý, pokud platí alespoň jedna z částí.

Řešení příkladu:

Příklad nepravdivého výroku: „Všichni ptáci umí plavat pod vodou.“ Tento výrok je nepravdivý, protože i když někteří ptáci (např. kachny nebo tučňáci) umí plavat pod vodou, rozhodně to neplatí pro všechny ptáky. Výrok tedy není pravdivý pro celý soubor – a tím je nepravdivý.

Řešení příkladu:

Výrok „Když je číslo dělitelné 4, pak je také sudé“ je pravdivý. Každé číslo, které je dělitelné 4, je automaticky dělitelné i 2, protože \( 4 = 2 \times 2 \). Takže například 8, 12, 16 jsou dělitelná 4 a současně i 2. Výrok má formu implikace: \( A \Rightarrow B \), kde \( A \) je „číslo je dělitelné 4“ a \( B \) je „číslo je sudé“. Vždy, když platí \( A \), platí i \( B \), a tedy výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Například: „Jestliže budu každý den krmit svého psa ve stejnou dobu, bude méně štěkat.“

Tento výrok je hypotézou, protože předpokládá nějaký vztah mezi dvěma jevy. Podmínka \( A \): „krmení ve stejnou dobu“ a důsledek \( B \): „menší štěkání“. Hypotéza má tvar \( A \Rightarrow B \) a lze ji ověřit praxí.

Řešení příkladu:

Například: „Jestliže budu každý den nosit červené tričko, vyhraji každou fotbalovou hru.“

Tato hypotéza je nepravdivá, protože neexistuje žádná příčinná souvislost mezi barvou trička a vítězstvím v zápase. Výrok má formu \( A \Rightarrow B \), ale příčina nevede k důsledku. Hypotézu lze snadno vyvrátit.

Řešení příkladu:

Výrok „Každý člověk má přesně tři oči.“ je nepravdivý. Většina lidí má dvě oči. Existují sice výjimečné případy s jiným počtem očí (např. z důvodu zranění nebo vrozené vady), ale výrok tvrdí, že „každý“ má tři oči, což není pravda. Výrok tedy není pravdivý.

Řešení příkladu:

Věta: „Doufám, že prší.“ má sice nějaký vztah k realitě, ale není výrokem, protože vyjadřuje přání a nikoli ověřitelné tvrzení. Přepsaná jako výrok může znít: „Venku prší.“

Tato nová formulace je výrok, protože lze určit jeho pravdivostní hodnotu – buď prší, nebo neprší.

Řešení příkladu:

Výrok „Číslo 0 je kladné číslo.“ je nepravdivý. Podle matematické definice je číslo 0 neutrální – není ani kladné, ani záporné. Kladná čísla jsou všechna čísla větší než 0. Proto výrok není pravdivý.

Řešení příkladu:

Výrok „Každé prvočíslo je liché.“ není pravdivý. Existuje výjimka – číslo 2 je prvočíslo a zároveň sudé. Proto není pravda, že všechna prvočísla jsou lichá.

Řešení příkladu:

Věta „Zítra přijdu do školy.“ je výrok, protože je to tvrzení, které lze po uplynutí zítřka hodnotit jako pravdivé nebo nepravdivé. I když teď nevíme, zda skutečně přijde, výrok má pravdivostní hodnotu.

Řešení příkladu:

Ne, věta „Nezapomeň zavřít dveře!“ není výrok. Jedná se o rozkaz nebo žádost, kterou nelze hodnotit jako pravdivou nebo nepravdivou.

Řešení příkladu:

Přeformulovaná věta může znít: „Přijdu zítra do školy.“ Taková věta je výrokem, protože lze ověřit, zda osoba skutečně přijde nebo ne.

Řešení příkladu:

Příklad výroku s negací: „Není pravda, že dnes prší.“ Tento výrok je pravdivý, pokud skutečně dnes neprší, a nepravdivý, pokud prší. Negace mění pravdivostní hodnotu původního výroku.

Řešení příkladu:

Věta „Všichni studenti jsou doma.“ je výrok a v dané situaci je nepravdivý, protože víme, že někteří studenti jsou ve škole.

Řešení příkladu:

Příklad: „Dnes je pondělí a venku svítí slunce.“ Výrok je pravdivý pouze tehdy, pokud jsou obě části pravdivé – tedy je pondělí a zároveň svítí slunce.

Řešení příkladu:

Příklad: „Jestliže sním zeleninu, pak budu zdravější.“ Jedná se o hypotézu vyjadřující podmínkový vztah mezi dvěma tvrzeními.

Řešení příkladu:

Věta „Opravdu je to tak.“ není výrok, protože neobsahuje jasné tvrzení, které by bylo možné hodnotit jako pravdivé nebo nepravdivé. Jde spíše o subjektivní prohlášení bez konkrétního obsahu.

Řešení příkladu:

Výrok je pravdivý. Například čísla 4, 8, 12 jsou sudá a zároveň dělitelná 4. Tedy existují sudá čísla dělitelná číslem 4, což potvrzuje pravdivost výroku.

Řešení příkladu:

Věta je výrok, protože jde o tvrzení, které lze ověřit jako pravdivé nebo nepravdivé. Pravdivost závisí na skutečných pravidlech školy. Pokud škola skutečně vyžaduje uniformy, je výrok pravdivý, jinak nepravdivý.

Řešení příkladu:

Věta je výrok, protože se jedná o tvrzení, které lze ověřit po uplynutí dne. Po dni můžeme jednoznačně říci, zda je pravdivé (teplota přesahovala 25 stupňů) nebo nepravdivé.

Řešení příkladu:

Ne, věta není výrokem. Jedná se o žádost (otázku zdvořilosti), nikoli o tvrzení, které by bylo pravdivé nebo nepravdivé. Výroky musí být tvrzení s jasnou pravdivostní hodnotou.

Řešení příkladu:

Větu lze napsat jako implikaci: \( A \Rightarrow B \), kde \( A \) je „prší“ a \( B \) je „je venku mokro“. Tato implikace je pravdivá, protože pokud skutečně prší, venku bývá mokro. Výrok je tedy pravdivý.

Řešení příkladu:

Například věta: „Běž domů!“ není výrokem, protože je to rozkaz. Nelze určit, zda je pravdivý nebo nepravdivý, protože to není tvrzení, ale příkaz.

Řešení příkladu:

Výrok není pravdivý, protože existují lichá čísla menší než nula (například \(-1, -3, -5\)). Výrok tedy neplatí pro všechna lichá čísla, je nepravdivý.

Řešení příkladu:

Věta je výrok, protože lze ověřit, zda je dnes svátek nebo ne podle kalendáře. Pravdivost určíme podle aktuálního data.

Řešení příkladu:

Příklad věty s negací: „Není pravda, že prší.“ Negace výroku znamená, že původní tvrzení „prší“ je nepravdivé. Pokud bylo původní tvrzení pravdivé, negace je nepravdivá a naopak.

Řešení příkladu:

Věta je pravdivý výrok, protože psi patří mezi savce. Výrok tedy můžeme označit jako pravdivý.

Řešení příkladu:

Věta je rozkaz, nikoli tvrzení. Nemá pravdivostní hodnotu, protože nevyjadřuje informaci, kterou lze označit jako pravdivou nebo nepravdivou. Proto to není výrok.

Řešení příkladu:

Tento výrok není pravdivý, protože číslo 2 je prvočíslo, ale je sudé. Výrok tedy není pravdivý.

Řešení příkladu:

Součet dvou sudých čísel je vždy sudý, protože sudé číslo má tvar \(2k\), takže \(2k + 2m = 2(k+m)\), což je znovu sudé číslo. Výrok je tedy pravdivý.

Řešení příkladu:

Výrok je nepravdivý, protože množina přirozených čísel je nekonečná a neexistuje největší prvek.

Řešení příkladu:

Věta je implikace \(A \Rightarrow B\), kde \(A\): „prší“ a \(B\): „je venku mokro“. Implikace je pravdivá, protože když prší, venku skutečně bývá mokro.

Řešení příkladu:

První část výroku \(5 > 3\) je pravdivá, druhá část \(2 < 1\) je nepravdivá. Jelikož jde o spojení „a zároveň“ (logický AND), celý výrok je nepravdivý.

Řešení příkladu:

Věta: „Je sobota nebo je neděle.“ Disjunkce je pravdivá, pokud je alespoň jedna část pravdivá. Pokud je tedy den sobota nebo neděle, výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Výrok je nepravdivý, protože existuje mnoho kytk různých barev, ne všechny jsou modré.

Řešení příkladu:

Věta říká, že pro všechna reálná čísla \(x\) platí \(x^2 \geq 0\), což je pravda, protože druhá mocnina jakéhokoliv reálného čísla je vždy nezáporná.

Řešení příkladu:

Výrok je pravdivý, protože sudé číslo je definováno jako číslo dělitelné dvěma.

Řešení příkladu:

Výrok je pravdivý, protože přirozená čísla obsahují i lichá čísla, například 1, 3, 5 atd.

Řešení příkladu:

Každé číslo dělitelné 4 je zároveň dělitelné 2, což znamená, že je sudé. Výrok je tedy pravdivý.

Řešení příkladu:

Neplatí pro všechna sudá čísla, například 2 je sudé, ale není dělitelné 4. Výrok je nepravdivý.

Řešení příkladu:

Neexistuje přirozené číslo menší než 0, protože množina přirozených čísel je definována jako \(\{0,1,2,3,…\}\) nebo \(\{1,2,3,…\}\), tedy bez záporných čísel. Výrok je nepravdivý.

Řešení příkladu:

První část je pravdivá, druhá je nepravdivá. Jelikož jde o disjunkci „nebo“, stačí, aby byla pravdivá alespoň jedna část, tedy celý výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Neplatí, protože přirozená čísla obsahují i sudá čísla (např. 2, 4, 6). Výrok je nepravdivý.

Řešení příkladu:

Číslo dělitelné 6 je vždy dělitelné 2 i 3, protože 6 = 2 × 3. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Výrok je pravdivý, protože například číslo 2 je sudé, ale není dělitelné 4.

Řešení příkladu:

Záleží na definici množiny přirozených čísel. V některých definicích ano (když \(\mathbb{N} = \{0,1,2,…\}\)), v jiných ne (když \(\mathbb{N} = \{1,2,3,…\}\)). Výrok je tedy pravdivý nebo nepravdivý podle kontextu.

Řešení příkladu:

Výrok je nepravdivý, protože pro \(x=0\) platí \(x^2 = 0\), což není větší než 0.

Řešení příkladu:

Existují celá čísla \(x = 2\) a \(x = -2\), pro která platí \(x^2 = 4\). Výrok je tedy pravdivý.

Řešení příkladu:

Definice sudého čísla je, že je dělitelné 2 beze zbytku. Výrok je tedy pravdivý.

Řešení příkladu:

Výrok není pravdivý, protože 2 je prvočíslo a zároveň sudé číslo.

Řešení příkladu:

Prvočísla větší než 10 jsou například 11, 13, 17, … Nejmenší z nich je 11, výrok je tedy pravdivý.

Řešení příkladu:

Pro všechna přirozená čísla platí, že \(x+1 > x\). Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Sudé číslo \(x = 2k\), pak \(x^2 = (2k)^2 = 4k^2\), což je sudé. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Ve \(\mathbb{R}\) neexistuje číslo \(x\), které by splňovalo \(x^2 = -1\). Výrok je nepravdivý.

Řešení příkladu:

Liché číslo plus 1 vždy dává sudé číslo. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Čtverec libovolného celého čísla je vždy nezáporný, tedy \(x^2 \geq 0\). Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Součet dvou sudých čísel je sudé číslo. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Prvočísla větší než 2 nemohou být sudá, protože pak by byla dělitelná 2. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Číslo dělitelné 6 musí být zároveň dělitelné 2 i 3, protože \(6 = 2 \times 3\). Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Každé přirozené číslo je buď sudé, nebo liché, výrok je tedy nepravdivý.

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^2 = 4\) má řešení \(x = 2\) i \(x = -2\), tedy výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Liché číslo lze zapsat jako \(x = 2k+1\). Pak \(x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\), což je liché. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Pro všechna celá čísla platí \(x + 0 = x\). Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Nejmenší sudé číslo větší než 0 je 2, výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Číslo dělitelné 4 je vždy dělitelné 2. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

V závislosti na definici přirozených čísel může být tato definice pravdivá (pokud \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, …\}\)) nebo nepravdivá (pokud \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, …\}\)). Obvykle v ČR je \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, …\}\), takže výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Sudé číslo plus 1 vždy dává liché číslo. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Rovnice \(x^2 = 1\) má řešení \(x = 1\) i \(x = -1\), tedy výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Pokud \(n\) je sudé číslo, tedy \(n = 2k\), pak \(n^3 = (2k)^3 = 8k^3\), což je opět sudé číslo. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

V množině reálných čísel neexistuje číslo, jehož druhá mocnina je záporná. Výrok je nepravdivý.

Řešení příkladu:

Druhá mocnina libovolného reálného čísla je vždy nezáporná. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Součet dvou sudých čísel je sudé číslo. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Pro každé přirozené číslo platí, že \(n + 1\) je větší než \(n\). Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Liché číslo \(x = 2k + 1\), pak \(x + 2 = 2k + 3 = 2(k + 1) + 1\), což je opět liché číslo. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Existuje \(n = 5\), které splňuje \(5^2 = 25\). Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Pro každé celé číslo \(x\) platí \(x + (-x) = 0\). Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Liché číslo má lichou druhou mocninu, tudíž výrok je nepravdivý.

Řešení příkladu:

Sudé číslo má sudou druhou mocninu, výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Druhá mocnina je vždy nezáporná, a přičtením jedničky dostáváme vždy číslo větší než nula. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

V množině přirozených čísel nejsou záporná čísla, výrok je nepravdivý.

Řešení příkladu:

Nechť \(a > b\) a \(b > c\). Pak podle tranzitivity relace \(>\) platí \(a > c\). Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Sudé číslo \(x = 2k\), pak \(x+1 = 2k + 1\), což je liché číslo. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Pro \(n = 1\) platí \(1^2 = 1 \geq 1\). Pro \(n \geq 2\) platí \(n^2 \geq n\). Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Liché číslo \(x = 2k + 1\), pak \(x^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\), což je liché číslo. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Číslo \(x = 0\) splňuje \(0^2 = 0\). Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Neplatí pro všechna \(x\), například pro \(x = 0.5\) platí \(0.5^2 = 0.25 < 0.5\). Výrok je nepravdivý.

Řešení příkladu:

Sudé číslo \(n = 2k\), pak \(n^3 = (2k)^3 = 8k^3\) je sudé číslo. Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu:

Pro \(x > 0\) je \(\frac{1}{x} > 0\). Výrok je pravdivý.

Řešení příkladu č. 101:

Negace výroku „Všichni studenti složili zkoušku“ zní: „Existuje alespoň jeden student, který zkoušku nesložil.“

Řešení příkladu č. 102:

Negace výroku „Některé knihy jsou zajímavé“ zní: „Žádná kniha není zajímavá.“

Řešení příkladu č. 103:

Negace implikace „Pokud prší, silnice je mokrá“ zní: „Prší, ale silnice není mokrá.“

Řešení příkladu č. 104:

Negace výroku „Dnes není sobota nebo je škola zavřená“ zní: „Dnes je sobota a škola není zavřená.“

Řešení příkladu č. 105:

Negace výroku „Každý učitel připravil domácí úkol“ zní: „Existuje alespoň jeden učitel, který nepřipravil domácí úkol.“

Řešení příkladu č. 106:

Negace výroku „Někteří lidé rádi běhají ráno“ zní: „Žádný člověk nerad běhá ráno.“

Řešení příkladu č. 107:

Negace výroku „Každý programátor umí pracovat s databázemi“ zní: „Existuje alespoň jeden programátor, který neumí pracovat s databázemi.“

Řešení příkladu č. 108:

Negace implikace „Pokud se učíš, zkoušku složíš“ zní: „Učíš se, ale zkoušku nesložíš.“

Řešení příkladu č. 109:

Negace výroku „Buď je sobota, nebo mám volno“ zní: „Není sobota a nemám volno.“

Řešení příkladu č. 110:

Negace výroku „Není pravda, že každý pes umí plavat“ zní: „Každý pes umí plavat.“

Řešení příkladu č. 111:

Negace výroku „Všichni studenti složili zkoušku“ zní: „Existuje alespoň jeden student, který zkoušku nesložil.“

Řešení příkladu č. 112:

Negace výroku „Existuje město, kde nikdy neprší“ zní: „V každém městě někdy prší.“

Řešení příkladu č. 113:

Negace implikace „Pokud budeš jíst zeleninu, budeš zdravý“ zní: „Budeš jíst zeleninu a nebudeš zdravý.“

Řešení příkladu č. 114:

Negace výroku „Ani Petr, ani Jana nejsou doma“ zní: „Petr je doma nebo Jana je doma.“

Řešení příkladu č. 115:

Negace výroku „Každý člověk má právo na vzdělání“ zní: „Existuje alespoň jeden člověk, který nemá právo na vzdělání.“

Řešení příkladu č. 116:

Negace výroku „Buď prší, nebo sněží“ zní: „Neprší a nesněží.“

Řešení příkladu č. 117:

Negace výroku „Jestliže dnes nepřijdu, zavolej mi“ zní: „Dnes nepřijdu a nezavolej mi.“

Řešení příkladu č. 118:

Negace výroku „Každý stroj může selhat“ zní: „Existuje alespoň jeden stroj, který selhat nemůže.“

Řešení příkladu č. 119:

Negace výroku „Neexistuje řešení této rovnice“ zní: „Existuje alespoň jedno řešení této rovnice.“

Řešení příkladu č. 120:

Negace výroku „Není pravda, že každý den prší“ zní: „Každý den prší.“

Řešení příkladu č. 121:

Negace výroku „Každý učitel je spravedlivý“ zní: „Existuje alespoň jeden učitel, který není spravedlivý.“

Řešení příkladu č. 122:

Negace výroku „Některé knihy jsou zajímavé“ zní: „Žádná kniha není zajímavá.“

Řešení příkladu č. 123:

Negace výroku „Jestliže dnes neprší, půjdeme na výlet“ zní: „Dnes neprší a nepůjdeme na výlet.“

Řešení příkladu č. 124:

Negace výroku „Nikdo z přítomných neodešel před koncem“ zní: „Někdo z přítomných odešel před koncem.“

Řešení příkladu č. 125:

Negace výroku „Každý student má přístup k internetu“ zní: „Existuje alespoň jeden student, který nemá přístup k internetu.“

Řešení příkladu č. 126:

Negace výroku „Všechna zvířata mají čtyři nohy“ zní: „Existuje alespoň jedno zvíře, které nemá čtyři nohy.“

Řešení příkladu č. 127:

Negace výroku „Žádný strom neroste na poušti“ zní: „Existuje alespoň jeden strom, který roste na poušti.“

Řešení příkladu č. 128:

Negace výroku „Buď máme matematiku, nebo fyziku“ zní: „Nemáme matematiku a nemáme fyziku.“

Řešení příkladu č. 129:

Negace výroku „Existuje řešení této úlohy“ zní: „Neexistuje žádné řešení této úlohy.“

Řešení příkladu č. 130:

Negace výroku „Všichni zaměstnanci přišli včas“ zní: „Existuje alespoň jeden zaměstnanec, který nepřišel včas.“

Řešení příkladu č. 131:

Negace výroku „Každý den se učím matematiku“ zní: „Existuje alespoň jeden den, kdy se neučím matematiku.“

Řešení příkladu č. 132:

Negace výroku „Někteří studenti neumí programovat“ zní: „Všichni studenti umí programovat.“

Řešení příkladu č. 133:

Negace výroku „Pokud budeš trénovat, vyhraješ“ zní: „Budeš trénovat a nevyhraješ.“

Řešení příkladu č. 134:

Negace výroku „Nikdo nemá rád domácí úkoly“ zní: „Někdo má rád domácí úkoly.“

Řešení příkladu č. 135:

Negace výroku „Všichni lidé jsou omylní“ zní: „Existuje alespoň jeden člověk, který není omylný.“

Řešení příkladu č. 136:

Negace výroku „Žádný z úkolů není lehký“ zní: „Existuje alespoň jeden úkol, který je lehký.“

Řešení příkladu č. 137:

Negace výroku „Petr i Jana jsou přítomni“ zní: „Petr není přítomen nebo Jana není přítomna.“

Řešení příkladu č. 138:

Negace výroku „Každý den jsem šťastný“ zní: „Existuje alespoň jeden den, kdy nejsem šťastný.“

Řešení příkladu č. 139:

Negace výroku „Buď jsem doma, nebo ve škole“ zní: „Nejsem doma a nejsem ve škole.“

Řešení příkladu č. 140:

Negace výroku „Neexistuje nikdo, kdo by byl nepoctivý“ zní: „Existuje alespoň jeden člověk, který je nepoctivý.“

Řešení příkladu č. 141:

Negace výroku „Všichni studenti prošli zkouškou“ zní: „Existuje alespoň jeden student, který zkouškou neprošel.“

Řešení příkladu č. 142:

Negace výroku „Některé knihy jsou nudné“ zní: „Žádná kniha není nudná.“

Řešení příkladu č. 143:

Negace výroku „Jestliže prší, je mokro“ zní: „Prší a není mokro.“

Řešení příkladu č. 144:

Negace výroku „Nikdy nezapomenu na tuto chvíli“ zní: „Někdy zapomenu na tuto chvíli.“

Řešení příkladu č. 145:

Negace výroku „Každý pes je přítel člověka“ zní: „Existuje alespoň jeden pes, který není přítel člověka.“

Řešení příkladu č. 146:

Negace výroku „Buď je Jan doma, nebo pracuje“ zní: „Jan není doma a nepracuje.“

Řešení příkladu č. 147:

Negace výroku „Každý, kdo má rád čokoládu, má rád i zmrzlinu“ zní: „Existuje někdo, kdo má rád čokoládu a nemá rád zmrzlinu.“

Řešení příkladu č. 148:

Negace výroku „Některé otázky jsou těžké“ zní: „Žádná otázka není těžká.“

Řešení příkladu č. 149:

Negace výroku „Nikdo neudělal chybu“ zní: „Někdo udělal chybu.“

Řešení příkladu č. 150:

Negace výroku „Jestliže se učím, dostanu dobrou známku“ zní: „Učím se a nedostanu dobrou známku.“

Řešení příkladu č. 151:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden sportovec, který netrénuje každý den.“

Řešení příkladu č. 152:

Negace zní: „Žádné dítě se nebojí tmy.“

Řešení příkladu č. 153:

Negace zní: „Existuje někdo, kdo běhá, ale není zdravý.“

Řešení příkladu č. 154:

Negace zní: „Petr je unavený a nejde spát brzy.“

Řešení příkladu č. 155:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden student, který nemá učebnici.“

Řešení příkladu č. 156:

Negace zní: „Někdo čte noviny.“

Řešení příkladu č. 157:

Negace zní: „Nedám si ani kávu, ani čaj.“

Řešení příkladu č. 158:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden zaměstnanec, který nepřišel včas.“

Řešení příkladu č. 159:

Negace zní: „Existuje někdo, kdo nemá rád hudbu.“

Řešení příkladu č. 160:

Negace zní: „Žádný student se nepřipravil na test.“

Řešení příkladu č. 161:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden pes, který neštěká.“

Řešení příkladu č. 162:

Negace zní: „Žádná kniha není nudná.“

Řešení příkladu č. 163:

Negace zní: „Prší a nezůstanu doma.“

Řešení příkladu č. 164:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden lékař, který nemá diplom.“

Řešení příkladu č. 165:

Negace zní: „Někdo z hostů přišel pozdě.“

Řešení příkladu č. 166:

Negace zní: „Všichni studenti rozumí matematice.“

Řešení příkladu č. 167:

Negace zní: „Neučím se ani nespím.“

Řešení příkladu č. 168:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden pes, který není věrný.“

Řešení příkladu č. 169:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden programátor, který nezná Python.“

Řešení příkladu č. 170:

Negace zní: „Všechny kočky mají rády vodu.“

Řešení příkladu č. 171:

Negace zní: „Sněží a není zima.“

Řešení příkladu č. 172:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden strom, který nemá listy.“

Řešení příkladu č. 173:

Negace zní: „Žádný den není deštivý.“

Řešení příkladu č. 174:

Negace zní: „Někdo z nich mluví francouzsky.“

Řešení příkladu č. 175:

Negace zní: „Nejdu ani do kina, ani do parku.“

Řešení příkladu č. 176:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden žák, který neudělal zkoušku.“

Řešení příkladu č. 177:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden herec, který nehrál ve filmu.“

Řešení příkladu č. 178:

Negace zní: „Všechny děti si hrají venku.“

Řešení příkladu č. 179:

Negace zní: „Je víkend a neodpočívám.“

Řešení příkladu č. 180:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden člověk, který nemá právo na svobodu.“

Řešení příkladu č. 181:

Negace zní: „Žádný student se nezúčastnil soutěže.“

Řešení příkladu č. 182:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden pes, který neštěká.“

Řešení příkladu č. 183:

Negace zní: „Prší a nemáme deštníky.“

Řešení příkladu č. 184:

Negace zní: „Někdo z nich zmeškal autobus.“

Řešení příkladu č. 185:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden den, kdy necvičím.“

Řešení příkladu č. 186:

Negace zní: „Žádná květina nekvete na jaře.“

Řešení příkladu č. 187:

Negace zní: „Nemáš rád ani čokoládu, ani zmrzlinu.“

Řešení příkladu č. 188:

Negace zní: „Učím se a neudělám zkoušku.“

Řešení příkladu č. 189:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden člověk, který nikdy nelže.“

Řešení příkladu č. 190:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden hráč, který se nedostavil na trénink.“

Řešení příkladu č. 191:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden učitel, který není spravedlivý.“

Řešení příkladu č. 192:

Negace zní: „Všichni studenti umějí plavat.“

Řešení příkladu č. 193:

Negace zní: „Je venku tma a nesvítí lampa.“

Řešení příkladu č. 194:

Negace zní: „Někdo z přítomných měl otázky.“

Řešení příkladu č. 195:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden den, kdy se nenaučím nic nového.“

Řešení příkladu č. 196:

Negace zní: „Všechny knihy jsou zajímavé.“

Řešení příkladu č. 197:

Negace zní: „Nepřijdu včas a neomluvím se.“

Řešení příkladu č. 198:

Negace zní: „Je hlad a nejím.“

Řešení příkladu č. 199:

Negace zní: „Existuje alespoň jeden účastník, který nedorazil včas.“

Řešení příkladu č. 200:

Negace zní: „Všichni lidé znají pravdu.“

Řešení příkladu č. 201:

∀x ∈ S: z(x)

Kde S je množina studentů a z(x) znamená „x složil zkoušku“.

Řešení příkladu č. 202:

∃x ∈ L: s(x)

Kde L je množina lidí a s(x) znamená „x rád sportuje“.

Řešení příkladu č. 203:

Výrok je pravdivý – pro každé přirozené číslo x platí, že x + 1 > x.

Řešení příkladu č. 204:

Negace je: ∃x ∈ A: ¬p(x)

Řešení příkladu č. 205:

Výrok je nepravdivý – žádné celé číslo x nesplňuje x² = -1.

Řešení příkladu č. 206:

∀x ∈ ℤ: sudé(x) → děl(x, 2)

Řešení příkladu č. 207:

Kvantifikátor: ∃ (existuje)

Řešení příkladu č. 208:

∃x ∈ L: ¬a(x)

Kde L je množina lidí a a(x) znamená „x mluví anglicky“.

Řešení příkladu č. 209:

Výrok je pravdivý – existují dvě reálná čísla: 2 a -2, která splňují x² = 4.

Řešení příkladu č. 210:

Negace je: ∀x ∈ S: z(x)

Řešení příkladu č. 211:

∀x ∈ ℕ: x ≥ 0

Řešení příkladu č. 212:

∃x ∈ ℤ: sudé(x) ∧ x < 10

Řešení příkladu č. 213:

Negace: ∃x ∈ ℤ: x = 0

Řešení příkladu č. 214:

∀x ∈ L: má_jméno(x)

Řešení příkladu č. 215:

Výrok je nepravdivý – žádné přirozené číslo není menší než 0.

Řešení příkladu č. 216:

∃x ∈ K: červená(x)

Řešení příkladu č. 217:

Negace: ∀x ∈ Z: x ≤ 100

Řešení příkladu č. 218:

∀x ∈ U: ∃y ∈ P: učí(x, y)

Řešení příkladu č. 219:

Výrok je pravdivý – pro všechna reálná čísla x platí, že x² ≥ 0.

Řešení příkladu č. 220:

Negace: ∃x ∈ D: ¬hraje_fotbal(x)

Řešení příkladu č. 221:

∀x ∈ S: má_přístup_k_internetu(x)

Řešení příkladu č. 222:

Negace: ∀x ∈ ℕ: ¬(prvočíslo(x) ∧ sudé(x))

Řešení příkladu č. 223:

Výrok je pravdivý – například x = 5 splňuje podmínku.

Řešení příkladu č. 224:

∃x ∈ M: ¬prší(x)

Řešení příkladu č. 225:

∀x ∈ T: má_tři_strany(x)

Řešení příkladu č. 226:

Negace: ∃x ∈ ℝ: x + 1 ≤ x

Řešení příkladu č. 227:

∃x ∈ K: má_pruhy(x)

Řešení příkladu č. 228:

Negace: ∀x ∈ ℝ: x ≥ x²

Řešení příkladu č. 229:

∀x ∈ Z: dochvilný(x)

Řešení příkladu č. 230:

∃x ∈ D: prší(x) ∧ svítí_slunce(x)

Řešení příkladu č. 231:

∀x ∈ ℤ: sudé(x) ⇒ dělitelné_dvěma(x)

Řešení příkladu č. 232:

∃x ∈ ℝ: ∀y ∈ ℝ: x > y

Řešení příkladu č. 233:

Negace: ∃x ∈ ℕ: x + 1 ≤ x

Řešení příkladu č. 234:

∀x ∈ Z: potřebuje_vodu(x)

Řešení příkladu č. 235:

Výrok je nepravdivý – žádné celé číslo nemá druhou mocninu rovnou -1.

Řešení příkladu č. 236:

∃x ∈ L: ¬umí_číst(x)

Řešení příkladu č. 237:

∀x ∈ S: má_kořeny(x)

Řešení příkladu č. 238:

Negace: ∀x ∈ ℝ: x² ≥ 0

Řešení příkladu č. 239:

∃d ∈ D: ∀x ∈ L: ¬pracuje(x, d)

Řešení příkladu č. 240:

∀x ∈ P: potřebuje_elektřinu(x)

Řešení příkladu č. 241:

∀x ∈ S: ∃y ∈ P: napsal(x, y)

Řešení příkladu č. 242:

Negace: ∃x ∈ Z: x² < 0

Řešení příkladu č. 243:

∃x ∈ L: mluví_vice_nez_3_jazyky(x)

Řešení příkladu č. 244:

∀x ∈ A: má_kola(x)

Řešení příkladu č. 245:

Negace: ∀x ∈ ℝ: x³ ≠ 1

Řešení příkladu č. 246:

∃x ∈ L: rád_čte_knihy(x)

Řešení příkladu č. 247:

∀x ∈ S: má_listy(x) ∨ má_jehličí(x)

Řešení příkladu č. 248:

Negace: ∃x ∈ ℝ: x ≠ 0 ∧ 1/x = 0

Řešení příkladu č. 249:

∃x ∈ M: ¬prší(x)

Řešení příkladu č. 250:

∀x ∈ P: ∃y ∈ J: zná(x, y)

Řešení příkladu č. 251:

∀x ∈ U: ∃y ∈ S: učí(x, y)

Řešení příkladu č. 252:

Negace: ∀x ∈ N: x není prvočíslo

Řešení příkladu č. 253:

∃x ∈ Z: ¬umí_plavat(x)

Řešení příkladu č. 254:

∀x ∈ S: x mod 2 = 0

Řešení příkladu č. 255:

Negace: ∃x ∈ R: x > 1 ∧ x² ≤ 1

Řešení příkladu č. 256:

∃x ∈ M: ¬sněží(x)

Řešení příkladu č. 257:

∀x ∈ L: x > 0

Řešení příkladu č. 258:

Negace: ∀x ∈ Z: x² ≠ -1

Řešení příkladu č. 259:

∃x ∈ K: ¬beletrie(x)

Řešení příkladu č. 260:

∀x ∈ N: ∃y ∈ N: y = x + 1

Řešení příkladu č. 261:

∀x ∈ S: ∃y ∈ Z: složil(x, y)

Řešení příkladu č. 262:

Negace: ∃x ∈ N: x² < 0

Řešení příkladu č. 263:

∃x ∈ Ž: ∀t ∈ T: ¬přišel_pozdě(x, t)

Řešení příkladu č. 264:

∀x ∈ S: 2 | x

Řešení příkladu č. 265:

Negace: ∀x ∈ M: x není hlavní město

Řešení příkladu č. 266:

∃x ∈ T: listnatý(x)

Řešení příkladu č. 267:

∀x ∈ Z: ∃y ∈ Z: y = -x

Řešení příkladu č. 268:

Negace: ∃x ∈ R: x ≠ 0 ∧ 1/x ∉ R

Řešení příkladu č. 269:

∃d ∈ D: ∀x ∈ L: ¬pracuje(x, d)

Řešení příkladu č. 270:

∀x ∈ E: ∃y ∈ O: odeslal(y, x)

Řešení příkladu č. 271:

∀x ∈ Ž: ∃y ∈ U: má(x, y)

Řešení příkladu č. 272:

Negace: ∃x ∈ Z: x + 1 ≤ x

Řešení příkladu č. 273:

∃x ∈ O: ∀y ∈ O: x ≠ y ⇒ zná(x, y)

Řešení příkladu č. 274:

∀x ∈ A: ∃z ∈ Z: má_značku(x, z)

Řešení příkladu č. 275:

Negace: ∀x ∈ P: ∃y ∈ D: ¬vlastní(x, y)

Řešení příkladu č. 276:

∃x ∈ M: ∀t ∈ T: prší(x, t)

Řešení příkladu č. 277:

∀x ∈ D: ∃y ∈ OP: vlastní(x, y)

Řešení příkladu č. 278:

Negace: ∀x ∈ R: ∃y ∈ R: x + y ≠ 0

Řešení příkladu č. 279:

∃x ∈ D: deštivý(x)

Řešení příkladu č. 280:

∀x ∈ N: ∃y ∈ N: y = x + 1

Řešení příkladu č. 281:

∀x ∈ Č: ∃y ∈ Č: matka(y, x)

Řešení příkladu č. 282:

∃x ∈ K: ∀y ∈ S: četl(y, x)

Řešení příkladu č. 283:

Negace: ∃x ∈ A: ∀y ∈ B: ¬má(x, y)

Řešení příkladu č. 284:

∃x ∈ R: potřebuje_málo_vody(x)

Řešení příkladu č. 285:

∀x ∈ N: x < 2x

Řešení příkladu č. 286:

Negace: ∀x ∈ S: ∃y ∈ P: ¬vlastní(x, y)

Řešení příkladu č. 287:

∀x ∈ D: začíná_ránem(x)

Řešení příkladu č. 288:

∃x ∈ Č: ∀y ∈ Č: x ≥ y

Řešení příkladu č. 289:

∃x ∈ L: má_rád(x, M)

Řešení příkladu č. 290:

Negace: ∃x ∈ T: ∀y ∈ U: ¬učí(x, y)

Řešení příkladu č. 291:

∀x ∈ Ž: odevzdal_domácí_úkol(x)

Řešení příkladu č. 292:

∃x ∈ M: ¬prší(x)

Řešení příkladu č. 293:

Negace: ∃x ∈ Z: ¬umí_plavat(x)

Řešení příkladu č. 294:

∀x ∈ S: má_listy(x)

Řešení příkladu č. 295:

∃x ∈ P: ¬umí_štěkat(x)

Řešení příkladu č. 296:

Negace: ∀x ∈ A: ¬je_učitel(x)

Řešení příkladu č. 297:

∀x ∈ M: počet_dní(x) ≥ 28

Řešení příkladu č. 298:

∃x ∈ Pl: ¬existuje_život(x)

Řešení příkladu č. 299:

∀x ∈ U: ∃y ∈ S: učí(x, y)

Řešení příkladu č. 300:

Negace: ∀x ∈ R: x ≤ 100