Výseč kruhu

Řešení příkladu:

Obsah výseče kruhu lze vypočítat podle vzorce

\( S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \)

Dosadíme hodnoty:

\( S = \pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60}{360} = \pi \cdot 36 \cdot \frac{1}{6} = 6\pi \, \text{cm}^2 \)

Tedy obsah výseče je \( 6\pi \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Víme, že obsah výseče je dán vzorcem

\( S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 25\pi = \pi \cdot 10^2 \cdot \frac{\alpha}{360} \Rightarrow 25\pi = 100\pi \cdot \frac{\alpha}{360} \)

Obě strany vydělíme \( \pi \):

\( 25 = 100 \cdot \frac{\alpha}{360} \Rightarrow 25 = \frac{100\alpha}{360} \)

Vynásobíme rovnost \( 360 \):

\( 25 \cdot 360 = 100 \alpha \Rightarrow 9000 = 100 \alpha \)

Vyjádříme \( \alpha \):

\( \alpha = \frac{9000}{100} = 90^\circ \)

Středový úhel výseče je tedy \( 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Vzorec pro obsah výseče je

\( S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 18 = \pi r^2 \cdot \frac{45}{360} = \pi r^2 \cdot \frac{1}{8} \)

Vynásobíme obě strany 8:

\( 18 \cdot 8 = \pi r^2 \Rightarrow 144 = \pi r^2 \)

Vyjádříme \( r^2 \):

\( r^2 = \frac{144}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{144}{\pi}} = \frac{12}{\sqrt{\pi}} \approx 6,77 \, \text{cm} \)

Poloměr kruhu je tedy přibližně \( 6,77 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Délka oblouku \( l \) je dána vzorcem

\( l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \)

Dosadíme hodnoty:

\( l = 2\pi \cdot 8 \cdot \frac{120}{360} = 16\pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{16\pi}{3} \approx 16,76 \, \text{cm} \)

Délka oblouku výseče je přibližně \( 16,76 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Délka oblouku je

\( l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 5 = 2\pi r \cdot \frac{30}{360} = 2\pi r \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi r}{6} \)

Vynásobíme rovnost 6:

\( 5 \cdot 6 = \pi r \Rightarrow 30 = \pi r \)

Vyjádříme \( r \):

\( r = \frac{30}{\pi} \approx 9,55 \, \text{cm} \)

Poloměr kruhu je tedy přibližně \( 9,55 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Vzorec pro délku oblouku:

\( l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 7,85 = 2\pi \cdot 5 \cdot \frac{\alpha}{360} = 10\pi \cdot \frac{\alpha}{360} \)

Obě strany vydělíme \( 10\pi \):

\( \frac{7,85}{10\pi} = \frac{\alpha}{360} \Rightarrow \frac{7,85}{31,4159} \approx \frac{\alpha}{360} \)

\( 0,25 \approx \frac{\alpha}{360} \Rightarrow \alpha \approx 0,25 \cdot 360 = 90^\circ \)

Středový úhel výseče je tedy \( 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Obsah výseče:

\( S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = 12\pi \)

Délka oblouku:

\( l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360} = 8\pi \)

Vyjádříme \( \frac{\alpha}{360} \) z délky oblouku:

\( 8\pi = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360} \Rightarrow \frac{\alpha}{360} = \frac{8\pi}{2\pi r} = \frac{8}{2r} = \frac{4}{r} \)

Dosadíme do vzorce pro obsah:

\( 12\pi = \pi r^2 \cdot \frac{4}{r} = \pi r^2 \cdot \frac{4}{r} = 4\pi r \)

Vydělíme \( \pi \):

\( 12 = 4r \Rightarrow r = 3 \, \text{cm} \)

Poloměr kruhu je tedy \( 3 \, \text{cm} \).

Najdeme středový úhel:

\( \frac{\alpha}{360} = \frac{4}{r} = \frac{4}{3} \)

Toto není možné, protože úhel nemůže být větší než \( 360^\circ \). Znamená to, že je třeba upravit předpoklady, nebo že výseč je vlastně celý kruh s překrytím. Předpokládejme, že chyba není v zadání. Pro jiný přístup vyjádříme \(\alpha\) přes délku oblouku:

\( \alpha = \frac{l}{2\pi r} \cdot 360 = \frac{8\pi}{2\pi \cdot 3} \cdot 360 = \frac{8\pi}{6\pi} \cdot 360 = \frac{8}{6} \cdot 360 = \frac{4}{3} \cdot 360 = 480^\circ \)

Úhel překračuje \(360^\circ\), tedy výseč je větší než celý kruh, což není možné. Zadání je nekonzistentní.

Pokud přesto uvažujeme, že úhel by mohl být \(120^\circ\) (480° – 360° = 120°), pak by:

\( \alpha = 120^\circ \)

Řešení příkladu:

Délka oblouku je

\( l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360} = 2\pi \cdot 9 \cdot \frac{150}{360} = 18\pi \cdot \frac{5}{12} = \frac{90\pi}{12} = 7,5\pi \, \text{cm} \approx 23,56 \, \text{cm} \)

Obsah výseče je

\( S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = \pi \cdot 9^2 \cdot \frac{150}{360} = \pi \cdot 81 \cdot \frac{5}{12} = \frac{405\pi}{12} = 33,75\pi \, \text{cm}^2 \approx 106,03 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Vzorec pro obsah výseče:

\( S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 50 = \pi \cdot 10^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = 100\pi \cdot \frac{\alpha}{360} \)

Obě strany vydělíme \( 100\pi \):

\( \frac{50}{100\pi} = \frac{\alpha}{360} \Rightarrow \frac{1}{2\pi} = \frac{\alpha}{360} \)

Vynásobíme rovnost 360:

\( \alpha = \frac{360}{2\pi} = \frac{180}{\pi} \approx 57,3^\circ \)

Středový úhel výseče je tedy přibližně \( 57,3^\circ \).

Řešení příkladu:

Obsah výseče:

\( S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = \pi \cdot 15^2 \cdot \frac{72}{360} = \pi \cdot 225 \cdot \frac{1}{5} = 45\pi \, \text{cm}^2 \approx 141,37 \, \text{cm}^2 \)

Délka oblouku:

\( l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360} = 2\pi \cdot 15 \cdot \frac{72}{360} = 30\pi \cdot \frac{1}{5} = 6\pi \, \text{cm} \approx 18,85 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme základní vztahy pro výseč kruhu. Máme poloměr \( r = 12\, \text{cm} \) a úhel výseče \( \alpha = 75^\circ \).

1) Délka oblouku výseče se počítá jako část obvodu kruhu odpovídající úhlu \(\alpha\):

\[ o = 2 \pi r \]

Délka oblouku \( l \) je pak:

\[ l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r \]

Dosadíme hodnoty:

\[ l = \frac{75}{360} \cdot 2 \pi \cdot 12 = \frac{75}{360} \cdot 24 \pi = \frac{75}{360} \cdot 24 \pi \]

Zkrátíme zlomky:

\[ \frac{75}{360} = \frac{5}{24} \]

Tudíž:

\[ l = \frac{5}{24} \cdot 24 \pi = 5 \pi \approx 15{,}708\, \text{cm} \]

2) Obsah výseče \( S \) je část obsahu kruhu odpovídající úhlu \(\alpha\):

\[ S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \]

Dosadíme hodnoty:

\[ S = \frac{75}{360} \cdot \pi \cdot 12^2 = \frac{75}{360} \cdot \pi \cdot 144 = \frac{5}{24} \cdot 144 \pi = 30 \pi \approx 94{,}248\, \text{cm}^2 \]

3) Délka tětivy \( t \) se vypočítá pomocí vzorce:

\[ t = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} \]

Úhel \(\frac{\alpha}{2} = \frac{75^\circ}{2} = 37{,}5^\circ\).

Dosadíme:

\[ t = 2 \cdot 12 \cdot \sin 37{,}5^\circ = 24 \cdot \sin 37{,}5^\circ \]

Hodnota \(\sin 37{,}5^\circ \approx 0{,}6088\).

Tudíž:

\[ t \approx 24 \cdot 0{,}6088 = 14{,}611\, \text{cm} \]

Shrnutí:

Délka oblouku výseče je přibližně \(15{,}708\, \text{cm}\), obsah výseče \(94{,}248\, \text{cm}^2\) a délka tětivy \(14{,}611\, \text{cm}\).

Řešení příkladu:

Máme výseč s poloměrem \( r = 9\, \text{cm} \) a obsahem výseče \( S = 45 \pi\, \text{cm}^2 \). Cílem je najít úhel \(\alpha\) a délku oblouku výseče \( l \).

1) Vztah pro obsah výseče:

\[ S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \]

Dosadíme známé hodnoty a vyjádříme \(\alpha\):

\[ 45 \pi = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot 9^2 = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot 81 \]

Nejprve zkrátíme \(\pi\) na obou stranách:

\[ 45 = \frac{\alpha}{360} \cdot 81 \]

Vyjádříme \(\alpha\):

\[ \frac{\alpha}{360} = \frac{45}{81} \Rightarrow \alpha = 360 \cdot \frac{45}{81} \]

Krátíme zlomek:

\[ \frac{45}{81} = \frac{5}{9} \]

Tudíž:

\[ \alpha = 360 \cdot \frac{5}{9} = 40 \cdot 5 = 200^\circ \]

2) Vypočteme délku oblouku \( l \):

\[ l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r = \frac{200}{360} \cdot 2 \pi \cdot 9 \]

Zkrátíme zlomek:

\[ \frac{200}{360} = \frac{5}{9} \]

Dosadíme:

\[ l = \frac{5}{9} \cdot 18 \pi = 10 \pi \approx 31{,}416\, \text{cm} \]

Výsledky:

Středový úhel výseče je \(200^\circ\), délka oblouku je přibližně \(31{,}416\, \text{cm}\).

Řešení příkladu:

Máme kruh s poloměrem \( r = 15\, \text{cm} \) a výseč s délkou oblouku \( l = 10 \pi\, \text{cm} \). Cílem je najít obsah výseče \( S \) a délku tětivy \( t \).

1) Nejprve najdeme úhel výseče \(\alpha\), protože délka oblouku je dána vztahem:

\[ l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r \]

Dosadíme známé hodnoty:

\[ 10 \pi = \frac{\alpha}{360} \cdot 2 \pi \cdot 15 = \frac{\alpha}{360} \cdot 30 \pi \]

Zkrátíme \(\pi\) na obou stranách:

\[ 10 = \frac{\alpha}{360} \cdot 30 \]

Vyjádříme \(\alpha\):

\[ \frac{\alpha}{360} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \Rightarrow \alpha = 120^\circ \]

2) Obsah výseče spočteme jako:

\[ S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 = \frac{120}{360} \cdot \pi \cdot 15^2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 225 = 75 \pi \approx 235{,}62\, \text{cm}^2 \]

3) Délka tětivy je:

\[ t = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \cdot 15 \cdot \sin 60^\circ = 30 \cdot \sin 60^\circ \]

Protože \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660\),

\[ t = 30 \cdot 0{,}8660 = 25{,}98\, \text{cm} \]

Výsledky:

Obsah výseče je \(75 \pi \approx 235{,}62\, \text{cm}^2\), délka tětivy je přibližně \(25{,}98\, \text{cm}\).

Řešení příkladu:

Máme obsah výseče \( S = 36 \pi \) a délku oblouku \( l = 24 \pi \), chceme najít poloměr \( r \) a úhel \(\alpha\).

1) Zapisujeme vztahy:

\[ S = \frac{\alpha}{360} \pi r^2, \quad l = \frac{\alpha}{360} 2 \pi r \]

Vyjádříme \(\alpha\) z délky oblouku:

\[ l = \frac{\alpha}{360} 2 \pi r \Rightarrow \frac{\alpha}{360} = \frac{l}{2 \pi r} = \frac{24 \pi}{2 \pi r} = \frac{24}{2 r} = \frac{12}{r} \]

Dosadíme do vzorce pro obsah:

\[ S = \frac{\alpha}{360} \pi r^2 = \left(\frac{12}{r}\right) \pi r^2 = 12 \pi r \]

Máme \( S = 36 \pi \), tudíž:

\[ 36 \pi = 12 \pi r \Rightarrow 36 = 12 r \Rightarrow r = 3\, \text{cm} \]

2) Dosadíme poloměr zpět pro \(\alpha\):

\[ \frac{\alpha}{360} = \frac{12}{r} = \frac{12}{3} = 4 \]

Zde je jasné, že hodnota \(\frac{\alpha}{360} = 4\) není možná, protože úhel \(\alpha\) musí být maximálně 360°. Tedy něco nesedí, proto se zkontrolujeme a zjistíme, že chyba je v dosazení. Oprava:

Z rovnice pro \(\alpha\) platí:

\[ \frac{\alpha}{360} = \frac{l}{2 \pi r} = \frac{24 \pi}{2 \pi \cdot 3} = \frac{24 \pi}{6 \pi} = 4 \]

Tento výsledek je větší než 1, což není možné, protože úhel nemůže být větší než 360°. Znamená to, že zadané hodnoty nejsou reálné pro výseč kruhu. Možná je potřeba zkontrolovat zadání, nebo předpokládáme chybu v jednotkách.

Pokud bychom ale brali zadání jako matematickou úlohu a povolili úhel větší než 360°, pak by \(\alpha = 4 \cdot 360 = 1440^\circ\), což nedává fyzikální smysl. Proto předpokládáme, že problém je v zadání nebo je třeba upravit hodnoty.

Pro správné zadání by platilo, že délka oblouku nesmí být větší než obvod kruhu \(2 \pi r\). U poloměru 3 cm je obvod \(2 \pi \cdot 3 = 6 \pi\), ale délka oblouku je 24 \(\pi\), což je 4x více než celý obvod, tedy neplatné.

Řešení příkladu:

Délka oblouku výseče se počítá podle vzorce

\[ L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r \]

kde \( \alpha \) je úhel výseče a \( r \) poloměr kruhu.

Dosadíme hodnoty \( r = 12\, \text{cm} \) a \( \alpha = 60^\circ \):

\[ L = \frac{60}{360} \cdot 2 \pi \cdot 12 = \frac{1}{6} \cdot 24 \pi = 4 \pi \approx 12{,}57\, \text{cm} \]

Tedy délka oblouku výseče je přibližně \( 12{,}57 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah výseče se vypočítá podle vzorce

\[ S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \]

Dosadíme známé hodnoty \( S = 50 \, \text{cm}^2 \), \( r = 8 \, \text{cm} \) a upravíme rovnici pro \( \alpha \):

\[ 50 = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot 8^2 = \frac{\alpha}{360} \cdot 64 \pi \]

Vynásobíme obě strany rovnice \( 360 \):

\[ 50 \cdot 360 = \alpha \cdot 64 \pi \Rightarrow 18000 = \alpha \cdot 64 \pi \]

Vyjádříme \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{18000}{64 \pi} \]

Vypočítáme hodnotu:

\[ \alpha \approx \frac{18000}{201{,}06} \approx 89{,}49^\circ \]

Úhel výseče je tedy přibližně \( 89{,}49^\circ \).

Řešení příkladu:

Délka oblouku \( L \) výseče se dá vyjádřit vzorcem

\[ L = r \alpha \]

kde \( \alpha \) je úhel v radiánech a \( r \) poloměr kruhu.

Máme \( L = 10 \pi \) a \( r = 15 \).

Vyjádříme \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{L}{r} = \frac{10 \pi}{15} = \frac{2 \pi}{3} \, \text{rad} \]

Pro převod na stupně použijeme vztah

\[ 1 \, \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \Rightarrow \alpha = \frac{2 \pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 120^\circ \]

Středový úhel výseče je tedy \( \frac{2 \pi}{3} \) radiánů nebo \( 120^\circ \).

Řešení příkladu:

Vzorec pro obsah výseče je

\[ S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \]

Dosadíme \( S = 54 \pi \), \( r = 9 \):

\[ 54 \pi = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot 9^2 = \frac{\alpha}{360} \cdot 81 \pi \]

Po vydělení obou stran rovnice \( \pi \):

\[ 54 = \frac{\alpha}{360} \cdot 81 \]

Vyjádříme \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{54 \cdot 360}{81} = \frac{19440}{81} = 240^\circ \]

Velikost úhlu výseče je tedy \( 240^\circ \).

Řešení příkladu:

Nejprve vyjádříme středový úhel \( \alpha \) v radiánech pomocí délky oblouku:

\[ L = r \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{L}{r} = \frac{15}{20} = 0{,}75 \, \text{rad} \]

Pro převod na stupně použijeme vztah

\[ \alpha^\circ = \alpha \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 0{,}75 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 42{,}97^\circ \]

Obsah výseče vypočítáme podle vzorce

\[ S = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{\alpha}{2} r^2 \]

Dosadíme \( \alpha = 0{,}75 \), \( r = 20 \):

\[ S = \frac{0{,}75}{2} \cdot 20^2 = 0{,}375 \cdot 400 = 150 \, \text{cm}^2 \]

Obsah výseče je tedy \( 150 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme délku oblouku podle vzorce

\[ L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r \]

Dosadíme \( \alpha = 210^\circ \), \( r = 7 \):

\[ L = \frac{210}{360} \cdot 2 \pi \cdot 7 = \frac{7}{12} \cdot 14 \pi = \frac{98}{12} \pi = \frac{49}{6} \pi \approx 25{,}67 \, \text{cm} \]

Pro obsah výseče použijeme vzorec

\[ S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \]

Dosadíme hodnoty:

\[ S = \frac{210}{360} \cdot \pi \cdot 7^2 = \frac{7}{12} \cdot 49 \pi = \frac{343}{12} \pi \approx 89{,}83 \, \text{cm}^2 \]

Délka oblouku výseče je přibližně \( 25{,}67 \, \text{cm} \) a obsah výseče přibližně \( 89{,}83 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeňme, že délka oblouku výseče se vypočítá jako

\[ L = r \alpha \]

kde \( L \) je délka oblouku, \( r \) poloměr kruhu a \( \alpha \) středový úhel v radiánech.

Máme zadané \( L = 22 \, \text{cm} \) a \( r = 14 \, \text{cm} \).

Pro výpočet \( \alpha \) vyjádříme:

\[ \alpha = \frac{L}{r} = \frac{22}{14} = \frac{11}{7} \approx 1{,}5714 \, \text{rad} \]

Protože je často vhodné znát úhel i ve stupních, převedeme pomocí vztahu

\[ 1 \, \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \Rightarrow \alpha^\circ = \alpha \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \]

Dosadíme:

\[ \alpha^\circ \approx 1{,}5714 \cdot \frac{180}{3{,}1416} \approx 90^\circ \]

Tedy úhel výseče je přibližně \( 90^\circ \).

Pro výpočet obsahu výseče použijeme vzorec:

\[ S = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{\alpha r^2}{2} \]

Dosadíme známé hodnoty:

\[ S = \frac{11}{7} \cdot \frac{14^2}{2} = \frac{11}{7} \cdot \frac{196}{2} = \frac{11}{7} \cdot 98 = 11 \cdot 14 = 154 \, \text{cm}^2 \]

Výseč má obsah \( 154 \, \text{cm}^2 \).

Celkově jsme zjistili, že výseč s délkou oblouku \( 22 \, \text{cm} \) v kruhu o poloměru \( 14 \, \text{cm} \) má úhel přibližně \( 1{,}5714 \, \text{rad} \) (\( 90^\circ \)) a obsah \( 154 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Pro délku oblouku platí vzorec

\[ L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r \]

Dosadíme \( \alpha = 240^\circ \), \( r = 5 \, \text{cm} \):

\[ L = \frac{240}{360} \cdot 2 \pi \cdot 5 = \frac{2}{3} \cdot 10 \pi = \frac{20}{3} \pi \approx 20{,}94 \, \text{cm} \]

Dále obsah výseče spočítáme podle vzorce

\[ S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \]

Dosadíme hodnoty:

\[ S = \frac{240}{360} \cdot \pi \cdot 5^2 = \frac{2}{3} \cdot 25 \pi = \frac{50}{3} \pi \approx 52{,}36 \, \text{cm}^2 \]

Obvodová délka oblouku a obsah výseče jsou úzce spjaty – délka oblouku určuje, jak velká část kružnice je ohraničená výsečí, zatímco obsah výseče nám říká, jak velká část plochy kruhu je tímto obloukem vymezena.

Vztah mezi délkou oblouku a obsahem výseče je dán právě úhlem výseče a poloměrem kruhu.

Řešení příkladu:

Středový úhel výseče je zadán v radiánech: \( \alpha = \frac{5\pi}{6} \).

Pro výpočet délky oblouku použijeme vzorec

\[ L = r \alpha \]

Dosadíme \( r = 18 \):

\[ L = 18 \cdot \frac{5\pi}{6} = 18 \cdot \frac{5}{6} \pi = 15 \pi \approx 47{,}12 \, \text{cm} \]

Pro obsah výseče platí vzorec

\[ S = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{\alpha r^2}{2} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ S = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{18^2}{2} = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{324}{2} = \frac{5\pi}{6} \cdot 162 = \frac{5 \cdot 162 \pi}{6} = 135 \pi \approx 424{,}12 \, \text{cm}^2 \]

Úhel v radiánech vyjadřuje, jak velká část kružnice odpovídá výseči – čím větší úhel, tím větší výseč.

Převod úhlu na stupně provedeme pomocí vztahu

\[ \alpha^\circ = \alpha \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ \]

Tedy úhel výseče je \( 150^\circ \).

Řešení příkladu:

Nejprve označíme poloměr kruhu jako \( r \) a středový úhel výseče jako \( \alpha \) (v radiánech).

Máme dva vzorce:

\[ L = r \alpha \quad \text{a} \quad S = \frac{\alpha r^2}{2} \]

Dosadíme známé hodnoty \( L = 24 \) a \( S = 120 \):

\[ 24 = r \alpha \quad (1) \] \[ 120 = \frac{\alpha r^2}{2} \quad (2) \]

Z rovnice (1) vyjádříme \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{24}{r} \]

Dosadíme do rovnice (2):

\[ 120 = \frac{r^2}{2} \cdot \frac{24}{r} = \frac{r \cdot 24}{2} = 12 r \]

Řešíme pro \( r \):

\[ 12 r = 120 \Rightarrow r = \frac{120}{12} = 10 \, \text{cm} \]

Nyní spočítáme \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{24}{10} = 2{,}4 \, \text{rad} \]

Poloměr kruhu je \( 10 \, \text{cm} \) a úhel výseče je \( 2{,}4 \, \text{rad} \).

Řešení příkladu:

Úhel výseče je \( \alpha = 150^\circ \), poloměr \( r = 12 \, \text{cm} \).

Nejdříve vypočteme délku oblouku \( L \):

\[ L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r = \frac{150}{360} \cdot 2 \pi \cdot 12 = \frac{5}{12} \cdot 24 \pi = 10 \pi \approx 31{,}42 \, \text{cm} \]

Dále obsah výseče \( S_v \):

\[ S_v = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 = \frac{150}{360} \cdot \pi \cdot 12^2 = \frac{5}{12} \cdot 144 \pi = 60 \pi \approx 188{,}5 \, \text{cm}^2 \]

Výseč zahrnuje také trojúhelník, který je ohraničen dvěma poloměry a obloukem.

Obsah tohoto trojúhelníku \( S_t \) lze spočítat pomocí vzorce pro obsah rovnostranného trojúhelníku nebo obecného trojúhelníku z úhlu a dvou stran:

\[ S_t = \frac{1}{2} r^2 \sin \alpha \]

Protože \( \alpha = 150^\circ \), spočítáme sinus:

\[ \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \]

Dosadíme:

\[ S_t = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{1}{2} = 36 \, \text{cm}^2 \]

Výseč kruhu má obsah \( 188{,}5 \, \text{cm}^2 \), z toho trojúhelník o obsahu \( 36 \, \text{cm}^2 \). Zbytek je tedy oblouková část.

Řešení příkladu:

Úhel výseče je \( \alpha = \frac{2\pi}{3} \), poloměr \( r = 9 \, \text{cm} \).

Pro délku oblouku platí:

\[ L = r \alpha = 9 \cdot \frac{2\pi}{3} = 6 \pi \approx 18{,}85 \, \text{cm} \]

Pro obsah výseče použijeme vzorec:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3} \cdot 9^2}{2} = \frac{2\pi \cdot 81}{3 \cdot 2} = \frac{2\pi \cdot 81}{6} = 27 \pi \approx 84{,}82 \, \text{cm}^2 \]

Výsledek zaokrouhlený na dvě desetinná místa je:

Délka oblouku: \( 18{,}85 \, \text{cm} \)

Obsah výseče: \( 84{,}82 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Nechť poloměr kruhu je \( r \), středový úhel výseče v radiánech \( \alpha \).

Platí vzorce:

\[ L = r \alpha = 20 \quad (1) \] \[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = 50 \quad (2) \]

Z rovnice (1) vyjádříme \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{20}{r} \]

Dosadíme do (2):

\[ 50 = \frac{20}{r} \cdot \frac{r^2}{2} = \frac{20 r}{2} = 10 r \]

Vyřešíme pro \( r \):

\[ 10 r = 50 \Rightarrow r = 5 \, \text{cm} \]

Dosadíme zpět pro \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{20}{5} = 4 \, \text{rad} \]

Středový úhel výseče je \( 4 \, \text{rad} \) a poloměr kruhu je \( 5 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Nechť poloměr kruhu je \( r \). Výseč má úhel \( \alpha = 120^\circ \).

Poměr obsahu výseče \( S_v \) k celému kruhu \( S_c \):

\[ \frac{S_v}{S_c} = \frac{\frac{\alpha}{360^\circ} \pi r^2}{\pi r^2} = \frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \]

Poměr délky oblouku výseče \( L_v \) k obvodu kruhu \( O \):

\[ \frac{L_v}{O} = \frac{\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r}{2 \pi r} = \frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{1}{3} \]

Oba poměry jsou stejné a rovnají se jedné třetině, což odpovídá tomu, že výseč o úhlu \( 120^\circ \) tvoří právě jednu třetinu kruhu z hlediska délky i obsahu.

Řešení příkladu:

Poloměr \( r = 20 \, \text{cm} \), úhel \( \alpha = 0{,}75 \, \text{rad} \).

Délka oblouku je

\[ L = r \alpha = 20 \cdot 0{,}75 = 15 \, \text{cm} \]

Obsah výseče:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{0{,}75 \cdot 20^2}{2} = \frac{0{,}75 \cdot 400}{2} = \frac{300}{2} = 150 \, \text{cm}^2 \]

Celkový obsah kruhu je:

\[ S_c = \pi r^2 = \pi \cdot 400 = 400 \pi \approx 1256{,}64 \, \text{cm}^2 \]

Podíl obsahu výseče k celému kruhu je:

\[ \frac{S}{S_c} = \frac{150}{400 \pi} = \frac{150}{1256{,}64} \approx 0{,}1193 \]

Výseč tedy zabírá přibližně \( 11{,}93 \% \) plochy celého kruhu.

Řešení příkladu:

Máme poloměr \( r = 16 \, \text{cm} \) a délku oblouku \( L = 20 \, \text{cm} \).

Ze vzorce pro délku oblouku vyjádříme středový úhel \( \alpha \):

\[ L = r \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{L}{r} = \frac{20}{16} = 1{,}25 \, \text{rad} \]

Pro výpočet obsahu výseče platí:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{1{,}25 \cdot 16^2}{2} = \frac{1{,}25 \cdot 256}{2} = \frac{320}{2} = 160 \, \text{cm}^2 \]

Výseč s délkou oblouku \( 20 \, \text{cm} \) v kruhu o poloměru \( 16 \, \text{cm} \) má středový úhel \( 1{,}25 \, \text{rad} \) a obsah \( 160 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nejprve si ujasníme, co máme k dispozici a co hledáme. Poloměr kruhu je \( r = 14 \, \text{cm} \) a délka oblouku výseče je \( L = 22 \, \text{cm} \). Naším cílem je najít středový úhel výseče \( \alpha \) v radiánech a stupních a také obsah výseče \( S \).

Délka oblouku je dána vzorcem

\[ L = r \alpha \]

Odtud vyjádříme úhel \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{L}{r} = \frac{22}{14} = \frac{11}{7} \approx 1{,}5714 \, \text{rad} \]

Tento úhel nyní převedeme na stupně. Víme, že

\[ 1 \, \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \]

Proto platí

\[ \alpha = 1{,}5714 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 1{,}5714 \times 57{,}2958^\circ \approx 90^\circ \]

Středový úhel výseče je tedy přibližně \( 1{,}57 \, \text{rad} \), což odpovídá \( 90^\circ \).

Pro výpočet obsahu výseče použijeme vzorec:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ S = \frac{1{,}5714 \times 14^2}{2} = \frac{1{,}5714 \times 196}{2} = \frac{308{,}057}{2} = 154{,}03 \, \text{cm}^2 \]

Obsah výseče je přibližně \( 154{,}03 \, \text{cm}^2 \).

Shrnutí: Výseč má středový úhel přibližně \( 1{,}57 \, \text{rad} \) (\( 90^\circ \)) a obsah \( 154{,}03 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Úhel výseče je dán v stupních \( \alpha = 135^\circ \), obsah výseče je \( S = 90 \, \text{cm}^2 \). Máme najít poloměr \( r \) a délku oblouku \( L \).

Nejprve převedeme úhel na radiány, protože vzorce pro délku oblouku a obsah výseče pracují s radiány:

\[ \alpha = 135^\circ = 135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \, \text{rad} \approx 2{,}3562 \, \text{rad} \]

Vzorec pro obsah výseče je

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} \Rightarrow 90 = \frac{2{,}3562 \times r^2}{2} = 1{,}1781 \times r^2 \]

Vyjádříme poloměr \( r \):

\[ r^2 = \frac{90}{1{,}1781} \approx 76{,}41 \Rightarrow r = \sqrt{76{,}41} \approx 8{,}74 \, \text{cm} \]

Délka oblouku je dána vzorcem

\[ L = r \alpha = 8{,}74 \times 2{,}3562 \approx 20{,}59 \, \text{cm} \]

Poloměr kruhu je tedy přibližně \( 8{,}74 \, \text{cm} \) a délka oblouku výseče je přibližně \( 20{,}59 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Máme délku oblouku \( L = 18 \, \text{cm} \) a obsah výseče \( S = 60 \, \text{cm}^2 \). Neznámé jsou poloměr \( r \) a středový úhel \( \alpha \) (v radiánech).

Ze vzorce pro délku oblouku:

\[ L = r \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{L}{r} = \frac{18}{r} \]

Ze vzorce pro obsah výseče:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} \Rightarrow 60 = \frac{\alpha r^2}{2} \]

Dosadíme \( \alpha = \frac{18}{r} \):

\[ 60 = \frac{\frac{18}{r} \times r^2}{2} = \frac{18 r}{2} = 9 r \]

Vyřešíme pro \( r \):

\[ 9 r = 60 \Rightarrow r = \frac{60}{9} = \frac{20}{3} \approx 6{,}6667 \, \text{cm} \]

Dosadíme zpět pro \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{18}{6{,}6667} = 2{,}7 \, \text{rad} \]

Nyní spočítáme obsah celého kruhu:

\[ S_c = \pi r^2 = \pi \times (6{,}6667)^2 \approx \pi \times 44{,}4444 \approx 139{,}63 \, \text{cm}^2 \]

Podíl obsahu výseče k celému kruhu je:

\[ \frac{S}{S_c} = \frac{60}{139{,}63} \approx 0{,}43 \]

Výseč zabírá tedy přibližně \( 43 \, \% \) obsahu kruhu.

Řešení příkladu:

Poměr délky oblouku výseče k obvodu kruhu je \( \frac{L}{O} = 0{,}4 \). Poloměr kruhu je \( r = 10 \, \text{cm} \).

Obvod kruhu je

\[ O = 2 \pi r = 2 \pi \times 10 = 20 \pi \approx 62{,}832 \, \text{cm} \]

Délka oblouku výseče je pak

\[ L = 0{,}4 \times O = 0{,}4 \times 20 \pi = 8 \pi \approx 25{,}133 \, \text{cm} \]

Vzorec pro délku oblouku je

\[ L = r \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{L}{r} = \frac{8 \pi}{10} = \frac{8 \pi}{10} \approx 2{,}5133 \, \text{rad} \]

Obsah výseče je

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{2{,}5133 \times 10^2}{2} = \frac{2{,}5133 \times 100}{2} = 125{,}665 \, \text{cm}^2 \]

Výseč má středový úhel přibližně \( 2{,}51 \, \text{rad} \) a obsah přibližně \( 125{,}67 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nejprve si spočítáme obsah rovnostranného trojúhelníku s délkou strany \( a = 12 \, \text{cm} \). Obsah rovnostranného trojúhelníku je

\[ S_t = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35 \, \text{cm}^2 \]

Obsah výseče je tedy \( S = 62{,}35 \, \text{cm}^2 \). Poloměr kruhu je \( r = 8 \, \text{cm} \), hledáme úhel \( \alpha \) a délku oblouku \( L \).

Vzorec pro obsah výseče:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} \Rightarrow 62{,}35 = \frac{\alpha \times 64}{2} = 32 \alpha \]

Vyjádříme \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{62{,}35}{32} \approx 1{,}948 \, \text{rad} \]

Délka oblouku:

\[ L = r \alpha = 8 \times 1{,}948 = 15{,}58 \, \text{cm} \]

Středový úhel výseče je přibližně \( 1{,}95 \, \text{rad} \) a délka oblouku je přibližně \( 15{,}58 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Středový úhel \( \alpha = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}0472 \, \text{rad} \), délka oblouku \( L = 10 \, \text{cm} \). Hledáme poloměr \( r \) a obsah výseče \( S \).

Vzorec pro délku oblouku:

\[ L = r \alpha \Rightarrow r = \frac{L}{\alpha} = \frac{10}{1{,}0472} \approx 9{,}55 \, \text{cm} \]

Obsah výseče je:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{1{,}0472 \times (9{,}55)^2}{2} = \frac{1{,}0472 \times 91{,}20}{2} = \frac{95{,}48}{2} = 47{,}74 \, \text{cm}^2 \]

Poloměr kruhu je přibližně \( 9{,}55 \, \text{cm} \) a obsah výseče přibližně \( 47{,}74 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Poloměr kruhu je \( r = 15 \, \text{cm} \). Středový úhel je polovina pravého úhlu, tedy

\[ \alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ = 45 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854 \, \text{rad} \]

Délka oblouku je:

\[ L = r \alpha = 15 \times 0{,}7854 = 11{,}78 \, \text{cm} \]

Obsah výseče:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{0{,}7854 \times 15^2}{2} = \frac{0{,}7854 \times 225}{2} = \frac{176{,}715}{2} = 88{,}36 \, \text{cm}^2 \]

Délka oblouku je přibližně \( 11{,}78 \, \text{cm} \) a obsah výseče je přibližně \( 88{,}36 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Poloměr je \( r = 12 \, \text{cm} \), obsah výseče \( S = 144 \, \text{cm}^2 \). Hledáme středový úhel \( \alpha \) a délku oblouku \( L \).

Vzorec pro obsah výseče:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} \Rightarrow 144 = \frac{\alpha \times 144}{2} = 72 \alpha \]

Vyjádříme \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{144}{72} = 2 \, \text{rad} \]

Délka oblouku je:

\[ L = r \alpha = 12 \times 2 = 24 \, \text{cm} \]

Středový úhel výseče je \( 2 \, \text{rad} \) a délka oblouku je \( 24 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Poloměr kruhu je \( r = 20 \, \text{cm} \), středový úhel výseče je

\[ \alpha = \frac{2\pi}{5} = 1{,}2566 \, \text{rad} \]

Obsah výseče:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{1{,}2566 \times 20^2}{2} = \frac{1{,}2566 \times 400}{2} = \frac{502{,}65}{2} = 251{,}33 \, \text{cm}^2 \]

Délka oblouku:

\[ L = r \alpha = 20 \times 1{,}2566 = 25{,}13 \, \text{cm} \]

Obsah celého kruhu je

\[ S_c = \pi r^2 = \pi \times 400 = 1256{,}64 \, \text{cm}^2 \]

Podíl výseče k celému kruhu je

\[ \frac{S}{S_c} = \frac{251{,}33}{1256{,}64} \approx 0{,}2 = 20\% \]

Výseč tvoří tedy 20 % obsahu kruhu, její obsah je \( 251{,}33 \, \text{cm}^2 \) a délka oblouku \( 25{,}13 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Středový úhel výseče je \( \alpha = 120^\circ = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}0944 \, \text{rad} \). Délka oblouku je \( L = 15 \, \text{cm} \).

Vzorec pro délku oblouku:

\[ L = r \alpha \Rightarrow r = \frac{L}{\alpha} = \frac{15}{2{,}0944} \approx 7{,}163 \, \text{cm} \]

Obsah výseče:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{2{,}0944 \times (7{,}163)^2}{2} = \frac{2{,}0944 \times 51{,}31}{2} = \frac{107{,}44}{2} = 53{,}72 \, \text{cm}^2 \]

Obsah celého kruhu:

\[ S_c = \pi r^2 = \pi \times 51{,}31 \approx 161{,}17 \, \text{cm}^2 \]

Podíl výseče k celému kruhu:

\[ \frac{S}{S_c} = \frac{53{,}72}{161{,}17} \approx 0{,}333 = 33{,}3\% \]

Poloměr kruhu je přibližně \( 7{,}16 \, \text{cm} \), obsah výseče je \( 53{,}72 \, \text{cm}^2 \) a výseč tvoří asi \( 33{,}3 \% \) obsahu kruhu.

Řešení příkladu:

Máme poloměr kruhu \( r = 10 \, \text{cm} \) a délku oblouku \( L = 15 \, \text{cm} \). Nejdříve určíme středový úhel výseče \( \alpha \) v radiánech pomocí vztahu mezi délkou oblouku a poloměrem:

\[ L = r \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{L}{r} = \frac{15}{10} = 1{,}5 \, \text{rad} \]

Středový úhel v radiánech je tedy \( 1{,}5 \, \text{rad} \). Převod na stupně provádíme podle vzorce

\[ \alpha^\circ = \alpha \times \frac{180}{\pi} = 1{,}5 \times \frac{180}{3{,}1416} \approx 85{,}94^\circ \]

Středový úhel výseče je přibližně \( 85{,}94^\circ \).

Dále spočítáme obsah výseče \( S \). Využijeme vzorec:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{1{,}5 \times 10^2}{2} = \frac{1{,}5 \times 100}{2} = \frac{150}{2} = 75 \, \text{cm}^2 \]

Obsah výseče je tedy \( 75 \, \text{cm}^2 \).

Posledním úkolem je zjistit délku tětivy \( c \) výseče. Tětiva spojuje koncové body oblouku a její délku lze vyjádřit vzorcem:

\[ c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ c = 2 \times 10 \times \sin \frac{1{,}5}{2} = 20 \times \sin 0{,}75 \]

Hodnota \( \sin 0{,}75 \) radián je přibližně \( 0{,}681998 \):

\[ c \approx 20 \times 0{,}682 = 13{,}64 \, \text{cm} \]

Délka tětivy je tedy přibližně \( 13{,}64 \, \text{cm} \).

Shrnutí výsledků:

• Středový úhel: \( 1{,}5 \, \text{rad} \) (\( 85{,}94^\circ \))
• Obsah výseče: \( 75 \, \text{cm}^2 \)
• Délka tětivy: \( 13{,}64 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Máme obsah výseče \( S = 50 \, \text{cm}^2 \) a poloměr \( r = 8 \, \text{cm} \). Nejprve určíme středový úhel \( \alpha \) v radiánech pomocí vzorce pro obsah výseče:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{2S}{r^2} = \frac{2 \times 50}{8^2} = \frac{100}{64} = 1{,}5625 \, \text{rad} \]

Středový úhel v radiánech je tedy \( 1{,}5625 \, \text{rad} \).

Převod do stupňů:

\[ \alpha^\circ = 1{,}5625 \times \frac{180}{\pi} \approx 1{,}5625 \times 57{,}2958 = 89{,}56^\circ \]

Středový úhel je přibližně \( 89{,}56^\circ \), což je téměř pravý úhel.

Délka oblouku \( L \) se spočítá jako:

\[ L = r \alpha = 8 \times 1{,}5625 = 12{,}5 \, \text{cm} \]

Délka oblouku je \( 12{,}5 \, \text{cm} \).

Pro délku tětivy \( c \) platí vzorec:

\[ c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 8 \times \sin \frac{1{,}5625}{2} = 16 \times \sin 0{,}78125 \]

Hodnota \( \sin 0{,}78125 \) je přibližně \( 0{,}7034 \), takže

\[ c \approx 16 \times 0{,}7034 = 11{,}26 \, \text{cm} \]

Délka tětivy je tedy přibližně \( 11{,}26 \, \text{cm} \).

Souhrn výsledků:

• Středový úhel: \( 1{,}5625 \, \text{rad} \) (\( 89{,}56^\circ \))
• Délka oblouku: \( 12{,}5 \, \text{cm} \)
• Délka tětivy: \( 11{,}26 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Dané jsou středový úhel \( \alpha = 2 \, \text{rad} \) a obsah výseče \( S = 100 \, \text{cm}^2 \). Známe vzorec pro obsah výseče:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} \Rightarrow 100 = \frac{2 \times r^2}{2} = r^2 \Rightarrow r^2 = 100 \]

Odtud získáme poloměr:

\[ r = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm} \]

Poloměr kruhu je tedy \( 10 \, \text{cm} \).

Délka oblouku se vypočítá podle vzorce:

\[ L = r \alpha = 10 \times 2 = 20 \, \text{cm} \]

Délka oblouku je \( 20 \, \text{cm} \).

Pro délku tětivy platí vzorec:

\[ c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 10 \times \sin 1 = 20 \times \sin 1 \]

Hodnota \( \sin 1 \, \text{rad} \) je přibližně \( 0{,}84147 \), tedy

\[ c \approx 20 \times 0{,}84147 = 16{,}83 \, \text{cm} \]

Délka tětivy je přibližně \( 16{,}83 \, \text{cm} \).

Výsledky jsou tedy:

• Poloměr: \( 10 \, \text{cm} \)
• Délka oblouku: \( 20 \, \text{cm} \)
• Délka tětivy: \( 16{,}83 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Máme délku oblouku \( L = 18 \, \text{cm} \) a obsah výseče \( S = 80 \, \text{cm}^2 \). Označíme si poloměr jako \( r \) a středový úhel jako \( \alpha \).

Podle vzorce pro délku oblouku platí:

\[ L = r \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{L}{r} = \frac{18}{r} \]

Podle vzorce pro obsah výseče platí:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} \Rightarrow 80 = \frac{\alpha r^2}{2} \Rightarrow 160 = \alpha r^2 \]

Dosadíme za \( \alpha \) výraz z první rovnice:

\[ 160 = \frac{18}{r} \times r^2 = 18 r \Rightarrow r = \frac{160}{18} \approx 8{,}89 \, \text{cm} \]

Poloměr kruhu je tedy přibližně \( 8{,}89 \, \text{cm} \).

Nyní spočítáme středový úhel \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{18}{8{,}89} \approx 2{,}025 \, \text{rad} \]

Převod úhlu na stupně:

\[ \alpha^\circ = 2{,}025 \times \frac{180}{\pi} \approx 2{,}025 \times 57{,}2958 = 116{,}03^\circ \]

Výsledky shrnujeme:

• Poloměr: \( \approx 8{,}89 \, \text{cm} \)
• Středový úhel: \( \approx 2{,}025 \, \text{rad} \) (\( 116{,}03^\circ \))

Řešení příkladu:

Poloměr \( r = 6 \, \text{cm} \), středový úhel \( \alpha = 150^\circ \). Nejprve převedeme úhel do radiánů:

\[ \alpha = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}618 \, \text{rad} \]

Délka oblouku je dána vzorcem:

\[ L = r \alpha = 6 \times 2{,}618 = 15{,}71 \, \text{cm} \]

Obsah výseče spočítáme podle vzorce:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{2{,}618 \times 6^2}{2} = \frac{2{,}618 \times 36}{2} = \frac{94{,}25}{2} = 47{,}13 \, \text{cm}^2 \]

Délka tětivy se určí podle vzorce:

\[ c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 6 \times \sin \frac{2{,}618}{2} = 12 \times \sin 1{,}309 \]

Hodnota \( \sin 1{,}309 \) je přibližně \( 0{,}966 \):

\[ c \approx 12 \times 0{,}966 = 11{,}59 \, \text{cm} \]

Výsledky:

• Délka oblouku: \( 15{,}71 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče: \( 47{,}13 \, \text{cm}^2 \)
• Délka tětivy: \( 11{,}59 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Poloměr \( r = 7 \, \text{cm} \), délka tětivy \( c = 10 \, \text{cm} \). Vzorec pro délku tětivy je:

\[ c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{c}{2 r} = \frac{10}{2 \times 7} = \frac{10}{14} = 0{,}7143 \]

Nyní určíme úhel \( \frac{\alpha}{2} \) jako arkussinus:

\[ \frac{\alpha}{2} = \arcsin 0{,}7143 \approx 0{,}805 \, \text{rad} \]

Středový úhel je tedy:

\[ \alpha = 2 \times 0{,}805 = 1{,}61 \, \text{rad} \]

Délku oblouku spočítáme jako:

\[ L = r \alpha = 7 \times 1{,}61 = 11{,}27 \, \text{cm} \]

Obsah výseče spočítáme podle vzorce:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{1{,}61 \times 7^2}{2} = \frac{1{,}61 \times 49}{2} = \frac{78{,}89}{2} = 39{,}44 \, \text{cm}^2 \]

Výsledky shrnujeme:

• Středový úhel: \( 1{,}61 \, \text{rad} \)
• Délka oblouku: \( 11{,}27 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče: \( 39{,}44 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Středový úhel \( \alpha = 120^\circ \), obsah výseče \( S = 60 \, \text{cm}^2 \). Nejprve převedeme úhel na radiány:

\[ \alpha = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}094 \, \text{rad} \]

Podle vzorce pro obsah výseče:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} \Rightarrow 60 = \frac{2{,}094 \times r^2}{2} = 1{,}047 r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{60}{1{,}047} \approx 57{,}3 \]

Poloměr je:

\[ r = \sqrt{57{,}3} \approx 7{,}57 \, \text{cm} \]

Délku oblouku spočítáme:

\[ L = r \alpha = 7{,}57 \times 2{,}094 = 15{,}86 \, \text{cm} \]

Délka tětivy je:

\[ c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 7{,}57 \times \sin 1{,}047 = 15{,}14 \times \sin 1{,}047 \]

Hodnota \( \sin 1{,}047 \) je přibližně \( 0{,}866 \):

\[ c \approx 15{,}14 \times 0{,}866 = 13{,}11 \, \text{cm} \]

Souhrn výsledků:

• Poloměr: \( 7{,}57 \, \text{cm} \)
• Délka oblouku: \( 15{,}86 \, \text{cm} \)
• Délka tětivy: \( 13{,}11 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Poloměr \( r = 5 \, \text{cm} \), délka oblouku \( L = 7 \, \text{cm} \). Nejprve spočítáme středový úhel \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{L}{r} = \frac{7}{5} = 1{,}4 \, \text{rad} \]

Převod úhlu na stupně:

\[ \alpha^\circ = 1{,}4 \times \frac{180}{\pi} \approx 1{,}4 \times 57{,}2958 = 80{,}21^\circ \]

Obsah výseče spočítáme:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{1{,}4 \times 25}{2} = \frac{35}{2} = 17{,}5 \, \text{cm}^2 \]

Délka tětivy:

\[ c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 5 \times \sin 0{,}7 = 10 \times \sin 0{,}7 \]

Hodnota \( \sin 0{,}7 \) je přibližně \( 0{,}6442 \), tedy

\[ c \approx 10 \times 0{,}6442 = 6{,}44 \, \text{cm} \]

Výsledky:

• Středový úhel: \( 1{,}4 \, \text{rad} \) (\( 80{,}21^\circ \))
• Obsah výseče: \( 17{,}5 \, \text{cm}^2 \)
• Délka tětivy: \( 6{,}44 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Středový úhel \( \alpha = 60^\circ \), délka tětivy \( c = 5 \, \text{cm} \). Nejprve převedeme úhel do radiánů:

\[ \alpha = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}047 \, \text{rad} \]

Podle vzorce pro tětivu:

\[ c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} \Rightarrow r = \frac{c}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{5}{2 \sin 0{,}5235} \]

Hodnota \( \sin 0{,}5235 \) je přibližně \( 0{,}5 \), takže

\[ r = \frac{5}{2 \times 0{,}5} = \frac{5}{1} = 5 \, \text{cm} \]

Délka oblouku spočítáme:

\[ L = r \alpha = 5 \times 1{,}047 = 5{,}235 \, \text{cm} \]

Obsah výseče:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{1{,}047 \times 25}{2} = \frac{26{,}175}{2} = 13{,}09 \, \text{cm}^2 \]

Výsledky:

• Poloměr: \( 5 \, \text{cm} \)
• Délka oblouku: \( 5{,}235 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče: \( 13{,}09 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Obsah výseče \( S = 120 \, \text{cm}^2 \), délka tětivy \( c = 18 \, \text{cm} \). Nejprve označíme poloměr jako \( r \) a středový úhel jako \( \alpha \) (v radiánech).

Máme dva základní vzorce:

\[ S = \frac{\alpha r^2}{2} \quad \text{a} \quad c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} \]

Z prvního vyjádříme \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{2 S}{r^2} = \frac{2 \times 120}{r^2} = \frac{240}{r^2} \]

Dosadíme do druhého vzorce:

\[ 18 = 2 r \sin \frac{1}{2} \times \frac{240}{r^2} = 2 r \sin \frac{120}{r^2} \]

Protože je zde složený výraz, použijeme numerické metody nebo odhad. Nejprve zkusíme odhadnout poloměr.

Zkusme poloměr \( r = 12 \, \text{cm} \):

\[ \alpha = \frac{240}{12^2} = \frac{240}{144} = 1{,}67 \, \text{rad} \]

Polovina úhlu je \( \frac{\alpha}{2} = 0{,}835 \, \text{rad} \). Hodnota \( \sin 0{,}835 \approx 0{,}741 \).

Dosadíme do vzorce pro tětivu:

\[ c = 2 \times 12 \times 0{,}741 = 24 \times 0{,}741 = 17{,}78 \, \text{cm} \]

Tento výsledek je blízko \( 18 \, \text{cm} \), takže poloměr je přibližně \( 12 \, \text{cm} \).

Pro přesnější výpočet můžeme použít interpolaci nebo numerické řešení, ale pro potřeby příkladu postačí tento odhad.

Délku oblouku spočítáme:

\[ L = r \alpha = 12 \times 1{,}67 = 20{,}04 \, \text{cm} \]

Převod úhlu na stupně:

\[ \alpha^\circ = 1{,}67 \times \frac{180}{\pi} \approx 95{,}7^\circ \]

Souhrn výsledků:

• Poloměr: přibližně \( 12 \, \text{cm} \)
• Středový úhel: přibližně \( 1{,}67 \, \text{rad} \) (95,7°)
• Délka oblouku: přibližně \( 20{,}04 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme základní vzorec pro obsah výseče kruhu, kde \( r \) je poloměr a \( \alpha \) je středový úhel v radiánech:

\( S = \frac{\alpha r^2}{2} \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 78{,}5 = \frac{\alpha \times 10^2}{2} = \frac{100 \alpha}{2} = 50 \alpha \)

Odtud vyjádříme \( \alpha \):

\( \alpha = \frac{78{,}5}{50} = 1{,}57 \, \text{rad} \)

Pro přehlednost převedeme úhel do stupňů pomocí vztahu \( 1 \, \text{rad} = \frac{180}{\pi} \, \text{stupňů} \):

\( \alpha^\circ = 1{,}57 \times \frac{180}{\pi} \approx 90^\circ \)

Takže středový úhel výseče je přibližně \( 1{,}57 \, \text{rad} \) neboli \( 90^\circ \).

Dále vypočteme délku oblouku \( L \), která se spočítá podle vzorce:

\( L = r \alpha = 10 \times 1{,}57 = 15{,}7 \, \text{cm} \)

Toto je délka oblouku výseče.

Posledním požadavkem je délka tětivy \( c \). Tětiva odpovídající úhlu \( \alpha \) je dána vzorcem:

\( c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} \)

Dosadíme hodnoty:

\( c = 2 \times 10 \times \sin \frac{1{,}57}{2} = 20 \times \sin 0{,}785 \)

Hodnota \( \sin 0{,}785 \) je přibližně \( 0{,}707 \), takže:

\( c = 20 \times 0{,}707 = 14{,}14 \, \text{cm} \)

Souhrn výsledků:

• Středový úhel \( \alpha \approx 1{,}57 \, \text{rad} \) (\( 90^\circ \))
• Délka oblouku \( L \approx 15{,}7 \, \text{cm} \)
• Délka tětivy \( c \approx 14{,}14 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Nejprve si převedeme úhel ze stupňů na radiány:

\( \alpha = 120^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}094 \, \text{rad} \)

Víme, že délka oblouku je dána vzorcem:

\( L = r \alpha \)

Odtud vyjádříme poloměr \( r \):

\( r = \frac{L}{\alpha} = \frac{10}{2{,}094} \approx 4{,}774 \, \text{cm} \)

Nyní spočítáme obsah výseče:

\( S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{2{,}094 \times (4{,}774)^2}{2} \)

Nejprve spočítáme \( r^2 \):

\( r^2 = 4{,}774^2 = 22{,}79 \)

Dosadíme zpět:

\( S = \frac{2{,}094 \times 22{,}79}{2} = 1{,}047 \times 22{,}79 = 23{,}87 \, \text{cm}^2 \)

Dále spočítáme délku tětivy \( c \), která je dána vzorcem:

\( c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} \)

Polovina úhlu je:

\( \frac{\alpha}{2} = 1{,}047 \, \text{rad} \)

Hodnota \( \sin 1{,}047 \) je přibližně \( 0{,}866 \):

\( c = 2 \times 4{,}774 \times 0{,}866 = 9{,}548 \times 0{,}866 = 8{,}27 \, \text{cm} \)

Souhrn výsledků:

• Poloměr \( r \approx 4{,}774 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče \( S \approx 23{,}87 \, \text{cm}^2 \)
• Délka tětivy \( c \approx 8{,}27 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Máme dva vzorce:

\( S = \frac{\alpha r^2}{2} \quad \text{a} \quad L = r \alpha \)

Z druhého vzorce vyjádříme \( \alpha \):

\( \alpha = \frac{L}{r} = \frac{20}{r} \)

Dosadíme do prvního vzorce:

\( 50 = \frac{\frac{20}{r} \times r^2}{2} = \frac{20 r}{2} = 10 r \)

Odtud:

\( r = \frac{50}{10} = 5 \, \text{cm} \)

Nyní spočítáme úhel \( \alpha \):

\( \alpha = \frac{20}{5} = 4 \, \text{rad} \)

Pro převod do stupňů:

\( \alpha^\circ = 4 \times \frac{180}{\pi} \approx 229{,}18^\circ \)

Souhrn výsledků:

• Poloměr \( r = 5 \, \text{cm} \)
• Středový úhel \( \alpha = 4 \, \text{rad} \) (přibližně \( 229{,}18^\circ \))

Řešení příkladu:

Máme vzorec pro tětivu:

\( c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} \)

Dosadíme hodnoty \( c = 10 \) a \( r = 7 \):

\( 10 = 2 \times 7 \times \sin \frac{\alpha}{2} = 14 \sin \frac{\alpha}{2} \)

Odtud:

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \approx 0{,}7143 \)

Najdeme \( \frac{\alpha}{2} \) pomocí inverzní funkce sinu:

\( \frac{\alpha}{2} = \arcsin 0{,}7143 \approx 0{,}805 \, \text{rad} \)

Úhel \( \alpha \) je tedy:

\( \alpha = 2 \times 0{,}805 = 1{,}61 \, \text{rad} \)

Převedeme na stupně:

\( \alpha^\circ = 1{,}61 \times \frac{180}{\pi} \approx 92{,}3^\circ \)

Délka oblouku \( L = r \alpha \):

\( L = 7 \times 1{,}61 = 11{,}27 \, \text{cm} \)

Obsah výseče spočítáme podle vzorce:

\( S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{1{,}61 \times 7^2}{2} = \frac{1{,}61 \times 49}{2} = \frac{78{,}89}{2} = 39{,}44 \, \text{cm}^2 \)

Souhrn výsledků:

• Středový úhel \( \alpha \approx 1{,}61 \, \text{rad} \) (\( 92{,}3^\circ \))
• Délka oblouku \( L \approx 11{,}27 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče \( S \approx 39{,}44 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Nejprve zapíšeme vzorce:

\( L = r \alpha \quad \text{a} \quad S = \frac{\alpha r^2}{2} \)

Z prvního vzorce vyjádříme \( \alpha = \frac{L}{r} \) a dosadíme do druhého:

\( 100 = \frac{\frac{L}{r} r^2}{2} = \frac{L r}{2} \Rightarrow 100 = \frac{25 \times r}{2} \)

Vyřešíme pro \( r \):

\( 100 = 12{,}5 r \Rightarrow r = \frac{100}{12{,}5} = 8 \, \text{cm} \)

Dosadíme \( r \) zpět pro výpočet úhlu \( \alpha \):

\( \alpha = \frac{L}{r} = \frac{25}{8} = 3{,}125 \, \text{rad} \)

Převedeme na stupně:

\( \alpha^\circ = 3{,}125 \times \frac{180}{\pi} \approx 179^\circ \)

Souhrn výsledků:

• Poloměr \( r = 8 \, \text{cm} \)
• Středový úhel \( \alpha = 3{,}125 \, \text{rad} \) (\( 179^\circ \))

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme úhel na radiány:

\( \alpha = 150^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}618 \, \text{rad} \)

Délka oblouku:

\( L = r \alpha = 15 \times 2{,}618 = 39{,}27 \, \text{cm} \)

Obsah výseče:

\( S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{2{,}618 \times 225}{2} = 1{,}309 \times 225 = 294{,}53 \, \text{cm}^2 \)

Délka tětivy:

\( c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 15 \times \sin 75^\circ = 30 \times 0{,}966 = 28{,}98 \, \text{cm} \)

Souhrn výsledků:

• Délka oblouku \( L \approx 39{,}27 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče \( S \approx 294{,}53 \, \text{cm}^2 \)
• Délka tětivy \( c \approx 28{,}98 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme úhel na radiány:

\( \alpha = 45^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785 \, \text{rad} \)

Vzorec pro obsah výseče:

\( S = \frac{\alpha r^2}{2} \)

Dosadíme hodnoty:

\( 60 = \frac{0{,}785 \times r^2}{2} \Rightarrow 60 = 0{,}3925 \times r^2 \)

Vyjádříme \( r^2 \):

\( r^2 = \frac{60}{0{,}3925} \approx 152{,}83 \)

Poloměr \( r \):

\( r = \sqrt{152{,}83} \approx 12{,}36 \, \text{cm} \)

Délka oblouku:

\( L = r \alpha = 12{,}36 \times 0{,}785 = 9{,}71 \, \text{cm} \)

Souhrn výsledků:

• Poloměr \( r \approx 12{,}36 \, \text{cm} \)
• Délka oblouku \( L \approx 9{,}71 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Vzorec pro obsah výseče:

\( S = \frac{\alpha r^2}{2} \)

Dosadíme hodnoty a vyjádříme \( \alpha \):

\( 144 = \frac{\alpha \times 12^2}{2} = \frac{144 \alpha}{2} = 72 \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{144}{72} = 2 \, \text{rad} \)

Převedeme na stupně:

\( \alpha^\circ = 2 \times \frac{180}{\pi} \approx 114{,}59^\circ \)

Délka oblouku:

\( L = r \alpha = 12 \times 2 = 24 \, \text{cm} \)

Délka tětivy:

\( c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 12 \times \sin 1 = 24 \times 0{,}8415 = 20{,}2 \, \text{cm} \)

Souhrn výsledků:

• Středový úhel \( \alpha = 2 \, \text{rad} \) (\( 114{,}59^\circ \))
• Délka oblouku \( L = 24 \, \text{cm} \)
• Délka tětivy \( c \approx 20{,}2 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Středový úhel vypočteme z délky oblouku:

\( \alpha = \frac{L}{r} = \frac{18}{9} = 2 \, \text{rad} \)

Obsah výseče:

\( S = \frac{\alpha r^2}{2} = \frac{2 \times 9^2}{2} = 81 \, \text{cm}^2 \)

Délka tětivy:

\( c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 9 \times \sin 1 = 18 \times 0{,}8415 = 15{,}15 \, \text{cm} \)

Převod úhlu do stupňů:

\( \alpha^\circ = 2 \times \frac{180}{\pi} \approx 114{,}59^\circ \)

Souhrn výsledků:

• Středový úhel \( \alpha = 2 \, \text{rad} \) (\( 114{,}59^\circ \))
• Obsah výseče \( S = 81 \, \text{cm}^2 \)
• Délka tětivy \( c \approx 15{,}15 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Máme dvě rovnice se dvěma neznámými \( r \) a \( \alpha \):

\( S = \frac{\alpha r^2}{2} = 200 \quad \text{a} \quad L = r \alpha = 40 \)

Vyjádříme \( \alpha \) z rovnice délky oblouku:

\( \alpha = \frac{L}{r} = \frac{40}{r} \)

Dosadíme do vzorce pro obsah:

\( 200 = \frac{\frac{40}{r} \times r^2}{2} = \frac{40 r}{2} = 20 r \Rightarrow r = \frac{200}{20} = 10 \, \text{cm} \)

Dosadíme zpět pro \( \alpha \):

\( \alpha = \frac{40}{10} = 4 \, \text{rad} \)

Souhrn výsledků:

• Poloměr \( r = 10 \, \text{cm} \)
• Středový úhel \( \alpha = 4 \, \text{rad} \approx 229{,}18^\circ \)

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme základní vztahy týkající se výseče kruhu. Délka tětivy výseče je dána vztahem

\( c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} \)

kde \( r \) je poloměr kruhu a \( \alpha \) středový úhel v radiánech. Víme, že \( c = 12 \, \text{cm} \) a \( r = 10 \, \text{cm} \). Dosadíme a získáme rovnici

\( 12 = 2 \times 10 \times \sin \frac{\alpha}{2} \Rightarrow 12 = 20 \sin \frac{\alpha}{2} \)

Vyjádříme sinus polovičního úhlu:

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{12}{20} = 0{,}6 \)

Pro určení hodnoty úhlu \( \frac{\alpha}{2} \) použijeme inverzní funkci sinu:

\( \frac{\alpha}{2} = \arcsin 0{,}6 \)

Hodnota \( \arcsin 0{,}6 \) je přibližně

\( \frac{\alpha}{2} \approx 0{,}6435 \, \text{rad} \)

Odtud je středový úhel

\( \alpha = 2 \times 0{,}6435 = 1{,}287 \, \text{rad} \)

Převod radiánů na stupně provedeme pomocí vztahu

\( \alpha_\text{°} = \alpha \times \frac{180}{\pi} \)

Dosadíme:

\( \alpha_\text{°} = 1{,}287 \times \frac{180}{3{,}14159} \approx 73{,}76^\circ \)

Nyní určíme délku oblouku \( L \) výseče podle vzorce

\( L = r \alpha \)

Dosadíme hodnoty:

\( L = 10 \times 1{,}287 = 12{,}87 \, \text{cm} \)

Konečně vypočítáme obsah výseče \( S \), který je dán vzorcem

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} \)

Dosadíme:

\( S = \frac{10^2 \times 1{,}287}{2} = \frac{100 \times 1{,}287}{2} = 64{,}35 \, \text{cm}^2 \)

Souhrn výsledků:

• Středový úhel \( \alpha \approx 1{,}287 \, \text{rad} \approx 73{,}76^\circ \)
• Délka oblouku \( L \approx 12{,}87 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče \( S \approx 64{,}35 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme středový úhel na radiány, protože vzorce pro délku oblouku a obsah výseče využívají radiány:

\( \alpha = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \, \text{rad} \)

Obsah výseče je dán vztahem:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} \)

Dosadíme známé hodnoty a vyjádříme poloměr \( r \):

\( 50 = \frac{r^2 \times \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{r^2 \pi}{4} \Rightarrow r^2 = \frac{50 \times 4}{\pi} = \frac{200}{\pi} \)

Po dosazení hodnoty \( \pi \approx 3{,}14159 \) získáme:

\( r^2 \approx \frac{200}{3{,}14159} \approx 63{,}66 \Rightarrow r \approx \sqrt{63{,}66} \approx 7{,}98 \, \text{cm} \)

Délka oblouku výseče je:

\( L = r \alpha = 7{,}98 \times \frac{\pi}{2} \approx 7{,}98 \times 1{,}5708 \approx 12{,}53 \, \text{cm} \)

Délka tětivy výseče se vypočítá podle vzorce:

\( c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} \)

Polovina úhlu je

\( \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{4} = 45^\circ \)

Sinus tohoto úhlu je \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}7071 \), tedy

\( c = 2 \times 7{,}98 \times 0{,}7071 \approx 11{,}29 \, \text{cm} \)

Souhrn výsledků:

• Poloměr \( r \approx 7{,}98 \, \text{cm} \)
• Délka oblouku \( L \approx 12{,}53 \, \text{cm} \)
• Délka tětivy \( c \approx 11{,}29 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme úhel z stupňů na radiány:

\( \alpha = 120^\circ = \frac{120 \pi}{180} = \frac{2 \pi}{3} \approx 2{,}094 \, \text{rad} \)

Délka oblouku je

\( L = r \alpha = 8 \times 2{,}094 = 16{,}75 \, \text{cm} \)

Obsah výseče je dán vzorcem

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{8^2 \times 2{,}094}{2} = \frac{64 \times 2{,}094}{2} = 64 \times 1{,}047 = 67{,}01 \, \text{cm}^2 \)

Délka tětivy je

\( c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 8 \times \sin 60^\circ \)

Protože \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660 \), máme

\( c = 16 \times 0{,}8660 = 13{,}86 \, \text{cm} \)

Souhrn výsledků:

• Délka oblouku \( L = 16{,}75 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče \( S = 67{,}01 \, \text{cm}^2 \)
• Délka tětivy \( c = 13{,}86 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Vzorec pro obsah výseče je

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} \)

Dosadíme známé hodnoty \( S = 100 \, \text{cm}^2 \) a \( r = 7 \, \text{cm} \) a vyjádříme středový úhel \( \alpha \):

\( 100 = \frac{7^2 \alpha}{2} = \frac{49 \alpha}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{200}{49} \approx 4{,}08 \, \text{rad} \)

Úhel v stupních je

\( \alpha_\text{°} = 4{,}08 \times \frac{180}{\pi} \approx 4{,}08 \times 57{,}296 = 233{,}9^\circ \)

Délka oblouku je

\( L = r \alpha = 7 \times 4{,}08 = 28{,}56 \, \text{cm} \)

Souhrn výsledků:

• Středový úhel \( \alpha \approx 4{,}08 \, \text{rad} \approx 233{,}9^\circ \)
• Délka oblouku \( L \approx 28{,}56 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Délka oblouku výseče je dána vzorcem

\( L = r \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{L}{r} \)

Dosadíme:

\( \alpha = \frac{15}{12} = 1{,}25 \, \text{rad} \)

Úhel v stupních je

\( \alpha_\text{°} = 1{,}25 \times \frac{180}{\pi} \approx 71{,}6^\circ \)

Obsah výseče spočítáme ze vzorce

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{12^2 \times 1{,}25}{2} = \frac{144 \times 1{,}25}{2} = 90 \, \text{cm}^2 \)

Souhrn výsledků:

• Středový úhel \( \alpha \approx 1{,}25 \, \text{rad} \approx 71{,}6^\circ \)
• Obsah výseče \( S = 90 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Středový úhel spočítáme ze vztahu

\( L = r \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{L}{r} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333 \, \text{rad} \)

Úhel v stupních:

\( \alpha_\text{°} = 1{,}333 \times \frac{180}{\pi} \approx 76{,}4^\circ \)

Obsah výseče je

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{15^2 \times 1{,}333}{2} = \frac{225 \times 1{,}333}{2} = 149{,}99 \, \text{cm}^2 \)

Délka tětivy spočítáme podle vzorce

\( c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 15 \times \sin \frac{1{,}333}{2} = 30 \times \sin 0{,}6665 \)

Hodnotu \( \sin 0{,}6665 \) spočítáme (přibližně \( 38{,}2^\circ \)):

\( \sin 0{,}6665 \approx 0{,}618 \)

Takže

\( c = 30 \times 0{,}618 = 18{,}54 \, \text{cm} \)

Souhrn výsledků:

• Středový úhel \( \alpha \approx 1{,}333 \, \text{rad} \approx 76{,}4^\circ \)
• Obsah výseče \( S \approx 149{,}99 \, \text{cm}^2 \)
• Délka tětivy \( c \approx 18{,}54 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Obsah výseče je

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{2 S}{r^2} = \frac{2 \times 30}{5^2} = \frac{60}{25} = 2{,}4 \, \text{rad} \)

Úhel v stupních:

\( \alpha_\text{°} = 2{,}4 \times \frac{180}{\pi} \approx 137{,}5^\circ \)

Délka oblouku:

\( L = r \alpha = 5 \times 2{,}4 = 12 \, \text{cm} \)

Délka tětivy je

\( c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = 10 \times \sin 1{,}2 \)

Hodnotu \( \sin 1{,}2 \, \text{rad} \) spočítáme (přibližně \( 68{,}75^\circ \)):

\( \sin 1{,}2 \approx 0{,}932 \)

Takže

\( c = 10 \times 0{,}932 = 9{,}32 \, \text{cm} \)

Souhrn výsledků:

• Středový úhel \( \alpha \approx 2{,}4 \, \text{rad} \approx 137{,}5^\circ \)
• Délka oblouku \( L = 12 \, \text{cm} \)
• Délka tětivy \( c = 9{,}32 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme úhel na radiány:

\( \alpha = 150^\circ = \frac{5 \pi}{6} \approx 2{,}618 \, \text{rad} \)

Délka tětivy je

\( c = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} \Rightarrow r = \frac{c}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \)

Polovina úhlu je

\( \frac{\alpha}{2} = 75^\circ = \frac{5 \pi}{12} \approx 1{,}309 \, \text{rad} \)

Sinus tohoto úhlu je

\( \sin 75^\circ \approx 0{,}9659 \)

Dosadíme do vzorce pro poloměr:

\( r = \frac{13}{2 \times 0{,}9659} = \frac{13}{1{,}9318} \approx 6{,}73 \, \text{cm} \)

Délka oblouku je

\( L = r \alpha = 6{,}73 \times 2{,}618 = 17{,}62 \, \text{cm} \)

Obsah výseče je

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{6{,}73^2 \times 2{,}618}{2} = \frac{45{,}29 \times 2{,}618}{2} = 59{,}25 \, \text{cm}^2 \)

Souhrn výsledků:

• Poloměr \( r \approx 6{,}73 \, \text{cm} \)
• Délka oblouku \( L \approx 17{,}62 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče \( S \approx 59{,}25 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme úhel na radiány, protože vzorce pro délku oblouku i obsah výseče používají radiány:

\( \alpha = 135^\circ = 135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \)

Délka oblouku \( l \) se vypočítá podle vzorce:

\( l = r \alpha \Rightarrow l = 10 \times \frac{3\pi}{4} = \frac{30\pi}{4} = 7{,}5 \pi \approx 23{,}56 \, \text{cm} \)

Obsah výseče \( S \) se určí podle vzorce:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} \Rightarrow S = \frac{10^2 \times \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{100 \times 3\pi}{8} = \frac{300\pi}{8} = 37{,}5 \pi \approx 117{,}81 \, \text{cm}^2 \)

Délku tětivy \( t \) vypočítáme pomocí vztahu:

\( t = 2r \sin\frac{\alpha}{2} = 2 \times 10 \times \sin\frac{3\pi}{8} \)

Protože \( \frac{3\pi}{8} \approx 67{,}5^\circ \), spočítáme hodnotu sinu:

\( \sin 67{,}5^\circ \approx 0{,}9239 \)

Dosadíme:

\( t = 20 \times 0{,}9239 = 18{,}478 \, \text{cm} \)

Závěr:

• Délka oblouku je přibližně \( 23{,}56 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče je přibližně \( 117{,}81 \, \text{cm}^2 \)
• Délka tětivy je přibližně \( 18{,}48 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Obsah výseče je dán vzorcem:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} \)

Máme \( S = 50 \, \text{cm}^2 \) a \( r = 8 \, \text{cm} \). Dosadíme do vzorce:

\( 50 = \frac{8^2 \alpha}{2} \Rightarrow 50 = \frac{64 \alpha}{2} = 32 \alpha \)

Vyjádříme úhel \( \alpha \):

\( \alpha = \frac{50}{32} = 1{,}5625 \, \text{rad} \)

Převod radiánů na stupně:

\( \alpha^\circ = \alpha \times \frac{180}{\pi} = 1{,}5625 \times \frac{180}{3{,}1416} \approx 89{,}55^\circ \)

Závěr:

• Středový úhel výseče je přibližně \( 1{,}5625 \, \text{rad} \)
• Což odpovídá přibližně \( 89{,}55^\circ \)

Řešení příkladu:

Máme vzorec pro obsah výseče:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} \Rightarrow 20 = \frac{5^2 \alpha}{2} = \frac{25 \alpha}{2} \)

Vyjádříme úhel \( \alpha \):

\( \alpha = \frac{40}{25} = 1{,}6 \, \text{rad} \)

Délka oblouku je podle vzorce:

\( l = r \alpha = 5 \times 1{,}6 = 8 \, \text{cm} \)

Převod radiánů na stupně:

\( \alpha^\circ = 1{,}6 \times \frac{180}{\pi} \approx 91{,}66^\circ \)

Výsledky:

• Délka oblouku: \( 8 \, \text{cm} \)
• Středový úhel: přibližně \( 91{,}66^\circ \)

Řešení příkladu:

Nejprve určíme středový úhel \( \alpha \) z délky oblouku:

\( l = r \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{l}{r} = \frac{15}{7} \approx 2{,}1429 \, \text{rad} \)

Obsah výseče vypočteme podle vzorce:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{7^2 \times 2{,}1429}{2} = \frac{49 \times 2{,}1429}{2} = 24{,}857 \, \text{cm}^2 \)

Délku tětivy spočítáme podle vztahu:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 7 \times \sin 1{,}07145 \)

Protože \( \sin 1{,}07145 \approx 0{,}8786 \), máme:

\( t = 14 \times 0{,}8786 = 12{,}3 \, \text{cm} \)

Závěr:

• Obsah výseče: přibližně \( 24{,}86 \, \text{cm}^2 \)
• Délka tětivy: přibližně \( 12{,}3 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Převod úhlu na radiány:

\( \alpha = 150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}618 \, \text{rad} \)

Délka oblouku:

\( l = r \alpha = 12 \times 2{,}618 = 31{,}42 \, \text{cm} \)

Obsah výseče:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{12^2 \times 2{,}618}{2} = \frac{144 \times 2{,}618}{2} = 72 \times 2{,}618 = 188{,}5 \, \text{cm}^2 \)

Délka tětivy:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} = 24 \times \sin 75^\circ \)

Protože \( \sin 75^\circ \approx 0{,}9659 \),

\( t = 24 \times 0{,}9659 = 23{,}18 \, \text{cm} \)

Závěr:

• Délka oblouku: přibližně \( 31{,}42 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče: přibližně \( 188{,}5 \, \text{cm}^2 \)
• Délka tětivy: přibližně \( 23{,}18 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Označíme si poloměr jako \( r \) a středový úhel jako \( \alpha \) (v radiánech). Víme, že:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = 100 \)

Dále známe délku tětivy:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} = 14 \)

Vyjádříme \( \alpha \) z prvního vzorce:

\( \alpha = \frac{200}{r^2} \)

Dosadíme do druhého vzorce:

\( 14 = 2r \sin \frac{1}{2} \cdot \frac{200}{r^2} = 2r \sin \frac{100}{r^2} \)

Vyjádříme sinus:

\( \sin \frac{100}{r^2} = \frac{14}{2r} = \frac{7}{r} \)

Protože \( \sin x \leq 1 \), musí platit \( \frac{7}{r} \leq 1 \Rightarrow r \geq 7 \).

Řešíme numericky rovnici \( \sin \frac{100}{r^2} = \frac{7}{r} \).

Pro \( r = 8 \) máme:

\( \sin \frac{100}{64} = \sin 1{,}5625 \approx 0{,}9999 \), \quad \( \frac{7}{8} = 0{,}875 \)

Pro \( r = 9 \) máme:

\( \sin \frac{100}{81} = \sin 1{,}2346 \approx 0{,}9436 \), \quad \( \frac{7}{9} = 0{,}7778 \)

Pro \( r \approx 7{,}3 \) sinus bude přibližně rovný zlomku \( \frac{7}{r} \). Podle numerických metod (např. Newtonova metoda) získáme přibližné řešení:

\( r \approx 7{,}3 \, \text{cm} \)

Úhel \( \alpha \):

\( \alpha = \frac{200}{r^2} \approx \frac{200}{7{,}3^2} = \frac{200}{53{,}29} \approx 3{,}75 \, \text{rad} \)

Výsledky:

• Poloměr kruhu přibližně \( 7{,}3 \, \text{cm} \)
• Středový úhel přibližně \( 3{,}75 \, \text{rad} \) (tedy asi \( 215^\circ \))

Řešení příkladu:

Nejprve určíme obsah rovnostranného trojúhelníku vepsaného do kruhu o poloměru \( r = 9 \, \text{cm} \).

Strana rovnostranného trojúhelníku \( a \) je dána vztahem:

\( a = \sqrt{3} r \)

Dosadíme:

\( a = \sqrt{3} \times 9 = 9\sqrt{3} \, \text{cm} \)

Obsah rovnostranného trojúhelníku je:

\( S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (9\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 81 \times 3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 243 \)

Protože \( \sqrt{3} \approx 1{,}732 \),

\( S_{\triangle} \approx \frac{1{,}732 \times 243}{4} = \frac{420{,}876}{4} = 105{,}22 \, \text{cm}^2 \)

Obsah výseče je:

\( S_{\text{výseče}} = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{81 \alpha}{2} = 40{,}5 \alpha \)

Rovnost obsahů znamená:

\( 40{,}5 \alpha = 105{,}22 \Rightarrow \alpha = \frac{105{,}22}{40{,}5} \approx 2{,}6 \, \text{rad} \)

Převod na stupně:

\( \alpha^\circ = 2{,}6 \times \frac{180}{\pi} \approx 149^\circ \)

Závěr:

• Středový úhel výseče musí být přibližně \( 2{,}6 \, \text{rad} \) neboli \( 149^\circ \)

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme úhel na radiány:

\( \alpha = 74^\circ = \frac{74 \pi}{180} \approx 1{,}287 \, \text{rad} \)

Délka oblouku:

\( l = r \alpha = 10 \times 1{,}287 = 12{,}87 \, \text{cm} \)

Obsah výseče:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{100 \times 1{,}287}{2} = 64{,}35 \, \text{cm}^2 \)

Závěr:

• Délka oblouku: \( 12{,}87 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče: \( 64{,}35 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Máme \( r = 15 \, \text{cm} \), délku oblouku \( l = 40 \, \text{cm} \).

Středový úhel je:

\( \alpha = \frac{l}{r} = \frac{40}{15} = 2{,}6667 \, \text{rad} \)

Délka tětivy:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 15 \times \sin \frac{2{,}6667}{2} = 2 \times 15 \times \sin 1{,}3333 \)

Vypočítáme \( \sin 1{,}3333 \):

\(\sin 1{,}3333 \approx 0{,}9719\)

Proto:

\( t = 30 \times 0{,}9719 = 29{,}16 \, \text{cm} \)

Obsah výseče:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{225 \times 2{,}6667}{2} = 225 \times 1{,}3333 = 300 \, \text{cm}^2 \)

Závěr:

• Středový úhel: \( 2{,}6667 \, \text{rad} \) (přibližně \( 153^\circ \))
• Délka tětivy: \( 29{,}16 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče: \( 300 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme úhel na radiány:

\( \alpha = 120^\circ = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}0944 \, \text{rad} \)

Obsah výseče je dán vztahem:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = 75 \)

Vyjádříme poloměr:

\( r^2 = \frac{2S}{\alpha} = \frac{150}{2{,}0944} \approx 71{,}63 \Rightarrow r \approx \sqrt{71{,}63} = 8{,}46 \, \text{cm} \)

Délka oblouku:

\( l = r \alpha = 8{,}46 \times 2{,}0944 = 17{,}72 \, \text{cm} \)

Délka tětivy:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 8{,}46 \times \sin 60^\circ = 16{,}92 \times 0{,}866 = 14{,}65 \, \text{cm} \)

Závěr:

• Poloměr kruhu: přibližně \( 8{,}46 \, \text{cm} \)
• Délka oblouku: přibližně \( 17{,}72 \, \text{cm} \)
• Délka tětivy: přibližně \( 14{,}65 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Označíme poloměr \( r \) a středový úhel \( \alpha \).

Ze vztahu pro délku oblouku platí:

\( l = r \alpha = 25 \Rightarrow \alpha = \frac{25}{r} \)

Ze vztahu pro délku tětivy platí:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} = 20 \Rightarrow \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{10}{r} \)

Dosadíme \( \alpha \):

\( \sin \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{r} = \frac{10}{r} \Rightarrow \sin \frac{25}{2r} = \frac{10}{r} \)

Tato rovnice není analyticky řešitelná, proto použijeme numerické metody.

Podmínka na existenci řešení je \( \frac{10}{r} \leq 1 \Rightarrow r \geq 10 \).

Zkusíme hodnoty:

Pro \( r=12 \):

\( \sin \frac{25}{24} = \sin 1{,}0417 \approx 0{,}8637 \), \quad \( \frac{10}{12} = 0{,}8333 \)

Pro \( r=11 \):

\( \sin \frac{25}{22} = \sin 1{,}1364 \approx 0{,}9063 \), \quad \( \frac{10}{11} = 0{,}9091 \)

Podle zkoušek vychází \( r \approx 11 \, \text{cm} \).

Úhel \( \alpha \):

\( \alpha = \frac{25}{11} \approx 2{,}273 \, \text{rad} \)

Obsah výseče:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{121 \times 2{,}273}{2} = 121 \times 1{,}1365 = 137{,}47 \, \text{cm}^2 \)

Závěr:

• Poloměr kruhu přibližně \( 11 \, \text{cm} \)
• Středový úhel přibližně \( 2{,}273 \, \text{rad} \) (tedy asi \( 130^\circ \))
• Obsah výseče přibližně \( 137{,}5 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Převod úhlu na radiány:

\( \alpha = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708 \, \text{rad} \)

Vztah pro délku tětivy:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} = 2r \sin 45^\circ = 2r \times \frac{\sqrt{2}}{2} = r \sqrt{2} \)

Zadaná délka tětivy je \( 10 \, \text{cm} \), tedy:

\( 10 = r \sqrt{2} \Rightarrow r = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2} \approx 7{,}07 \, \text{cm} \)

Délka oblouku:

\( l = r \alpha = 7{,}07 \times 1{,}5708 = 11{,}1 \, \text{cm} \)

Obsah výseče:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{(7{,}07)^2 \times 1{,}5708}{2} = \frac{50 \times 1{,}5708}{2} = 39{,}27 \, \text{cm}^2 \)

Závěr:

• Poloměr kruhu: přibližně \( 7{,}07 \, \text{cm} \)
• Délka oblouku: přibližně \( 11{,}1 \, \text{cm} \)
• Obsah výseče: přibližně \( 39{,}27 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme úhel na radiány:

\( \alpha = 150^\circ = \frac{150 \pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}618 \, \text{rad} \)

Délka oblouku je dána vzorcem:

\( l = r \alpha = 8 \times 2{,}618 = 20{,}944 \, \text{cm} \)

Obsah výseče vypočteme podle vzorce:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{8^2 \times 2{,}618}{2} = \frac{64 \times 2{,}618}{2} = 64 \times 1{,}309 = 83{,}776 \, \text{cm}^2 \)

Závěrem:

• Délka oblouku je přibližně \( 20{,}94 \, \text{cm} \).
• Obsah výseče je přibližně \( 83{,}78 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Středový úhel vypočteme z délky oblouku podle vzorce:

\( \alpha = \frac{l}{r} = \frac{18}{6} = 3 \, \text{rad} \)

Převod na stupně:

\( \alpha^\circ = 3 \times \frac{180}{\pi} \approx 3 \times 57{,}296 = 171{,}89^\circ \)

Obsah výseče je:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{36 \times 3}{2} = 54 \, \text{cm}^2 \)

Závěr:

• Středový úhel je \( 3 \, \text{rad} \), což je přibližně \( 171{,}89^\circ \).
• Obsah výseče je \( 54 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme úhel na radiány:

\( \alpha = 72^\circ = \frac{72 \pi}{180} = \frac{2\pi}{5} \approx 1{,}257 \, \text{rad} \)

Podle vzorce pro obsah výseče:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = 100 \)

Vyjádříme \( r^2 \):

\( r^2 = \frac{2S}{\alpha} = \frac{200}{1{,}257} \approx 159{,}07 \)

Poloměr je tedy:

\( r = \sqrt{159{,}07} \approx 12{,}61 \, \text{cm} \)

Délka oblouku je:

\( l = r \alpha = 12{,}61 \times 1{,}257 = 15{,}85 \, \text{cm} \)

Délka tětivy je dána vzorcem:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \times 12{,}61 \times \sin 36^\circ \)

Vypočítáme sinus:

\( \sin 36^\circ \approx 0{,}588 \)

Proto:

\( t = 25{,}22 \times 0{,}588 = 14{,}83 \, \text{cm} \)

Závěrem:

• Poloměr je přibližně \( 12{,}61 \, \text{cm} \).
• Délka oblouku je přibližně \( 15{,}85 \, \text{cm} \).
• Délka tětivy je přibližně \( 14{,}83 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podle vzorce pro obsah výseče:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{2S}{r^2} \)

Dosadíme hodnoty:

\( \alpha = \frac{2 \times 150}{20^2} = \frac{300}{400} = 0{,}75 \, \text{rad} \)

Úhel v radiánech je \( 0{,}75 \), což převedeme na stupně:

\( \alpha^\circ = 0{,}75 \times \frac{180}{\pi} \approx 0{,}75 \times 57{,}296 = 42{,}97^\circ \)

Délka oblouku je:

\( l = r \alpha = 20 \times 0{,}75 = 15 \, \text{cm} \)

Závěr:

• Středový úhel je přibližně \( 0{,}75 \, \text{rad} \), tedy asi \( 42{,}97^\circ \).
• Délka oblouku je \( 15 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Převedeme úhel na radiány:

\( \alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}047 \, \text{rad} \)

Vzorec pro délku tětivy je:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} \Rightarrow r = \frac{t}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \)

Polovina úhlu je:

\( \frac{\alpha}{2} = 30^\circ \)

Sinus \( 30^\circ \) je:

\( \sin 30^\circ = 0{,}5 \)

Poloměr je tedy:

\( r = \frac{16}{2 \times 0{,}5} = \frac{16}{1} = 16 \, \text{cm} \)

Délka oblouku je:

\( l = r \alpha = 16 \times 1{,}047 = 16{,}75 \, \text{cm} \)

Obsah výseče je:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{16^2 \times 1{,}047}{2} = \frac{256 \times 1{,}047}{2} = 134{,}02 \, \text{cm}^2 \)

Závěrem:

• Poloměr je \( 16 \, \text{cm} \).
• Délka oblouku je přibližně \( 16{,}75 \, \text{cm} \).
• Obsah výseče je přibližně \( 134{,}02 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Středový úhel spočítáme z délky oblouku:

\( \alpha = \frac{l}{r} = \frac{8}{10} = 0{,}8 \, \text{rad} \)

Úhel v stupních je:

\( \alpha^\circ = 0{,}8 \times \frac{180}{\pi} \approx 0{,}8 \times 57{,}296 = 45{,}84^\circ \)

Obsah výseče vypočítáme podle vzorce:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{10^2 \times 0{,}8}{2} = \frac{100 \times 0{,}8}{2} = 40 \, \text{cm}^2 \)

Závěr:

• Středový úhel je \( 0{,}8 \, \text{rad} \), což je přibližně \( 45{,}84^\circ \).
• Obsah výseče je \( 40 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Podle vzorce pro obsah výseče:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{2S}{r^2} \)

Dosadíme hodnoty:

\( \alpha = \frac{2 \times 200}{25^2} = \frac{400}{625} = 0{,}64 \, \text{rad} \)

Úhel převedeme na stupně:

\( \alpha^\circ = 0{,}64 \times \frac{180}{\pi} \approx 36{,}7^\circ \)

Délka oblouku je:

\( l = r \alpha = 25 \times 0{,}64 = 16 \, \text{cm} \)

Závěrem:

• Středový úhel je přibližně \( 0{,}64 \, \text{rad} \) (\( 36{,}7^\circ \)).
• Délka oblouku je \( 16 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Převedeme úhel na radiány:

\( \alpha = 120^\circ = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}094 \, \text{rad} \)

Podle vzorce pro obsah výseče:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} \Rightarrow r^2 = \frac{2S}{\alpha} = \frac{2 \times 60}{2{,}094} = \frac{120}{2{,}094} \approx 57{,}3 \)

Poloměr je:

\( r = \sqrt{57{,}3} \approx 7{,}57 \, \text{cm} \)

Délka oblouku je:

\( l = r \alpha = 7{,}57 \times 2{,}094 = 15{,}86 \, \text{cm} \)

Závěrem:

• Poloměr je přibližně \( 7{,}57 \, \text{cm} \).
• Délka oblouku je přibližně \( 15{,}86 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Středový úhel spočítáme z délky oblouku:

\( \alpha = \frac{l}{r} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667 \, \text{rad} \)

Úhel převedeme na stupně:

\( \alpha^\circ = 0{,}667 \times \frac{180}{\pi} \approx 38{,}2^\circ \)

Obsah výseče je:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{15^2 \times 0{,}667}{2} = \frac{225 \times 0{,}667}{2} = 75 \, \text{cm}^2 \)

Závěr:

• Středový úhel je přibližně \( 0{,}667 \, \text{rad} \), tedy asi \( 38{,}2^\circ \).
• Obsah výseče je \( 75 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Označíme si poloměr jako \( r \) a středový úhel jako \( \alpha \).

Délka tětivy je:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} = 10 \)

Obsah výseče je:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = 40 \)

Vyjádříme \( r \) z první rovnice:

\( r = \frac{10}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{5}{\sin \frac{\alpha}{2}} \)

Dosadíme do vzorce pro obsah:

\( 40 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{\sin \frac{\alpha}{2}}\right)^2 \times \alpha = \frac{25 \alpha}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} \)

Upravíme:

\( 80 = \frac{25 \alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}} \Rightarrow \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\alpha} = \frac{25}{80} = \frac{5}{16} = 0{,}3125 \)

Tuto rovnici řešíme numericky (přibližně).

Zkusme například \( \alpha \approx 1 \, \text{rad} \):

\( \sin^2 \frac{1}{2} = \sin^2 0{,}5 \approx (0{,}479)^2 = 0{,}23 \),

takže \( \frac{0{,}23}{1} = 0{,}23 < 0{,}3125 \), je třeba větší \( \alpha \).

Zkusme \( \alpha = 1{,}2 \, \text{rad} \):

\( \sin^2 0{,}6 \approx (0{,}565)^2 = 0{,}319 \),

tedy \( \frac{0{,}319}{1{,}2} = 0{,}265 < 0{,}3125 \) stále menší, ale blížíme se.

Zkusme \( \alpha = 0{,}9 \):

\( \sin^2 0{,}45 \approx (0{,}435)^2 = 0{,}19 \),

tedy \( \frac{0{,}19}{0{,}9} = 0{,}211 < 0{,}3125 \).

Zkusme \( \alpha = 1{,}5 \):

\( \sin^2 0{,}75 \approx (0{,}681)^2 = 0{,}464 \),

tedy \( \frac{0{,}464}{1{,}5} = 0{,}309 \approx 0{,}3125 \), velmi blízko.

Vybereme tedy \( \alpha \approx 1{,}5 \, \text{rad} \).

Poloměr je:

\( r = \frac{5}{\sin 0{,}75} = \frac{5}{0{,}681} = 7{,}34 \, \text{cm} \)

Závěrem:

• Středový úhel je přibližně \( 1{,}5 \, \text{rad} \) (asi \( 86^\circ \)).
• Poloměr kruhu je přibližně \( 7{,}34 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme úhel ze stupňů na radiány, protože vzorce pro délku oblouku a obsah výseče používají úhel v radiánech.

\( \alpha = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571 \, \text{rad} \)

Délka oblouku výseče se počítá podle vzorce \( l = r \alpha \). Dosadíme hodnoty:

\( l = 12 \times 1{,}571 = 18{,}85 \, \text{cm} \)

Obsah výseče spočítáme ze vzorce \( S = \frac{r^2 \alpha}{2} \). Dosadíme:

\( S = \frac{12^2 \times 1{,}571}{2} = \frac{144 \times 1{,}571}{2} = 113{,}11 \, \text{cm}^2 \)

Výsledkem je délka oblouku \( 18{,}85 \, \text{cm} \) a obsah výseče \( 113{,}11 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme úhel na radiány:

\( \alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}047 \, \text{rad} \)

Podle vzorce pro obsah výseče platí:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} \Rightarrow r^2 = \frac{2S}{\alpha} \)

Dosadíme hodnoty:

\( r^2 = \frac{2 \times 150}{1{,}047} \approx \frac{300}{1{,}047} = 286{,}54 \)

Poloměr kruhu tedy je:

\( r = \sqrt{286{,}54} \approx 16{,}93 \, \text{cm} \)

Délku oblouku vypočítáme ze vzorce \( l = r \alpha \):

\( l = 16{,}93 \times 1{,}047 = 17{,}73 \, \text{cm} \)

Výsledkem je poloměr cca \( 16{,}93 \, \text{cm} \) a délka oblouku \( 17{,}73 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Označíme středový úhel jako \( \alpha \).

Délka tětivy je dána vzorcem:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 10 = 2 \times 8 \times \sin \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{10}{16} = 0{,}625 \)

Úhel \( \frac{\alpha}{2} \) spočítáme inverzní funkcí sinus:

\( \frac{\alpha}{2} = \arcsin 0{,}625 \approx 38{,}68^\circ = 0{,}675 \, \text{rad} \)

Středový úhel je tedy:

\( \alpha = 2 \times 0{,}675 = 1{,}35 \, \text{rad} \)

Obsah výseče vypočteme podle vzorce:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{8^2 \times 1{,}35}{2} = \frac{64 \times 1{,}35}{2} = 43{,}2 \, \text{cm}^2 \)

Výsledkem je středový úhel cca \( 1{,}35 \, \text{rad} \) a obsah výseče \( 43{,}2 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nechť \( r \) je poloměr a \( \alpha \) středový úhel v radiánech.

Délka oblouku je dána vzorcem:

\( l = r \alpha = 16 \Rightarrow \alpha = \frac{16}{r} \)

Obsah výseče je podle vzorce:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = 80 \)

Dosadíme \( \alpha \) z předchozí rovnice:

\( \frac{r^2}{2} \times \frac{16}{r} = 80 \Rightarrow 8 r = 80 \Rightarrow r = 10 \, \text{cm} \)

Středový úhel vypočteme:

\( \alpha = \frac{16}{10} = 1{,}6 \, \text{rad} \approx 91{,}6^\circ \)

Výsledkem je poloměr \( 10 \, \text{cm} \) a středový úhel přibližně \( 1{,}6 \, \text{rad} \).

Řešení příkladu:

Označíme středový úhel jako \( \alpha \).

Délka tětivy je:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} = 6 \Rightarrow \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{6}{2 \times 5} = 0{,}6 \)

Úhel \( \frac{\alpha}{2} \) spočítáme jako:

\( \frac{\alpha}{2} = \arcsin 0{,}6 \approx 36{,}87^\circ = 0{,}644 \, \text{rad} \)

Středový úhel je:

\( \alpha = 2 \times 0{,}644 = 1{,}287 \, \text{rad} \approx 73{,}74^\circ \)

Obsah výseče spočítáme podle vzorce:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{25 \times 1{,}287}{2} = 16{,}09 \, \text{cm}^2 \)

Výsledkem je středový úhel cca \( 1{,}287 \, \text{rad} \), \( 73{,}74^\circ \) a obsah výseče \( 16{,}09 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nechť \( \alpha \) je středový úhel v radiánech.

Podle vzorce pro obsah výseče platí:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = 50 \Rightarrow \alpha = \frac{2S}{r^2} = \frac{2 \times 50}{49} \approx 2{,}041 \, \text{rad} \)

Délka oblouku spočítáme jako:

\( l = r \alpha = 7 \times 2{,}041 = 14{,}29 \, \text{cm} \)

Výsledkem je středový úhel přibližně \( 2{,}041 \, \text{rad} \) a délka oblouku \( 14{,}29 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme úhel na radiány:

\( \alpha = 120^\circ = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}094 \, \text{rad} \)

Délka oblouku je podle vzorce:

\( l = r \alpha = 12 \Rightarrow r = \frac{12}{2{,}094} \approx 5{,}73 \, \text{cm} \)

Obsah výseče spočítáme podle vzorce:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{5{,}73^2 \times 2{,}094}{2} = \frac{32{,}83 \times 2{,}094}{2} = 34{,}38 \, \text{cm}^2 \)

Výsledkem je poloměr přibližně \( 5{,}73 \, \text{cm} \) a obsah výseče \( 34{,}38 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nechť \( \alpha \) je středový úhel v radiánech.

Délka tětivy je:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} = 18 \Rightarrow \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{18}{2 \times 15} = 0{,}6 \)

Spočítáme polovinu úhlu:

\( \frac{\alpha}{2} = \arcsin 0{,}6 \approx 36{,}87^\circ = 0{,}644 \, \text{rad} \)

Středový úhel je tedy:

\( \alpha = 2 \times 0{,}644 = 1{,}287 \, \text{rad} \)

Obsah výseče spočítáme podle vzorce:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{225 \times 1{,}287}{2} = 144{,}79 \, \text{cm}^2 \)

Výsledkem je středový úhel cca \( 1{,}287 \, \text{rad} \) a obsah výseče \( 144{,}79 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nechť \( \alpha \) je středový úhel v radiánech.

Podle vzorce pro obsah platí:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = 200 \Rightarrow \alpha = \frac{2 \times 200}{100} = 4 \, \text{rad} \)

Délka tětivy je:

\( t = 2r \sin \frac{\alpha}{2} = 14 \Rightarrow \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{14}{20} = 0{,}7 \)

Polovina úhlu je:

\( \frac{\alpha}{2} = \arcsin 0{,}7 \approx 44{,}43^\circ = 0{,}775 \, \text{rad} \)

Středový úhel by tedy měl být:

\( \alpha = 2 \times 0{,}775 = 1{,}55 \, \text{rad} \)

Vidíme, že výsledky ze vzorců jsou v rozporu, protože vypočtený úhel \( 4 \, \text{rad} \) neodpovídá délce tětivy. Tedy data jsou nekonzistentní nebo zadání je chybné.

Řešení příkladu:

Nechť \( r \) je poloměr a \( \alpha \) středový úhel v radiánech.

Délka oblouku je:

\( l = r \alpha = 50 \Rightarrow \alpha = \frac{50}{r} \)

Obsah výseče je:

\( S = \frac{r^2 \alpha}{2} = 300 \Rightarrow \frac{r^2}{2} \times \frac{50}{r} = 300 \Rightarrow 25r = 300 \Rightarrow r = 12 \, \text{cm} \)

Středový úhel je:

\( \alpha = \frac{50}{12} = 4{,}167 \, \text{rad} \approx 238{,}7^\circ \)

Výsledkem je poloměr \( 12 \, \text{cm} \) a středový úhel přibližně \( 4{,}167 \, \text{rad} \).