Vzájemná poloha dvou přímek

Vektory směru jsou \( \vec{u} = (2, -1, 1) \) pro přímku \( p \) a \( \vec{v} = (4, -2, 2) \) pro přímku \( q \).

Vektor \( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), tedy přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Pro ověření, zda jsou totožné, dosadíme bod z \( p \) do rovnice \( q \):
Pro \( t=0 \): bod \( P=(1,3,4) \).

Hledáme \( s \) tak, aby platilo: \[ 3 + 4s = 1, \quad 1 – 2s = 3, \quad 5 + 2s = 4. \]

Z první rovnice \( 4s = -2 \Rightarrow s = -\frac{1}{2} \), z druhé \( 1 – 2s = 3 \Rightarrow -2s=2 \Rightarrow s = -1 \). Nesouhlasí, tedy body neleží na přímce \( q \).

Přímky jsou rovnoběžné a různé.

Vektory směru jsou \( \vec{u} = (1, -2, 3) \) a \( \vec{v} = (1, -2, 3) \).

Jsou shodné (stejný směr).

Zkontrolujeme, zda mají společný bod:
Pro \( p \) je bod \( P=(2, -1, 0) \).

Zkusíme najít \( t \) tak, aby \( q(t) = P \): \[ 3 + t = 2 \Rightarrow t = -1, \] \[ -3 – 2t = -1 \Rightarrow -3 + 2 = -1, \] \[ 1 + 3t = 0 \Rightarrow 1 – 3 = -2 \neq 0, \] nesouhlasí, takže přímky nejsou totožné.

Přímky jsou rovnoběžné, ale různé.

Směrové vektory jsou \( \vec{u} = (3, -1, 2) \) a \( \vec{v} = (1, 2, 4) \).

Vektory nejsou násobky, přímky nejsou rovnoběžné.

Zkusíme najít průsečík řešením soustavy rovnic: \[ 1 + 3t = 4 + s, \] \[ 2 – t = 1 + 2s, \] \[ 4 + 2t = 7 + 4s. \]

Z první rovnice: \[ s = 1 + 3t – 4 = 3t – 3. \]

Dosadíme do druhé: \[ 2 – t = 1 + 2(3t – 3) \Rightarrow 2 – t = 1 + 6t – 6 \Rightarrow 2 – t = 6t – 5, \] \[ 2 + 5 = 6t + t \Rightarrow 7 = 7t \Rightarrow t = 1. \]

Spočítáme \( s \): \[ s = 3 \cdot 1 – 3 = 0. \]

Ověříme třetí rovnici: \[ 4 + 2 \cdot 1 = 6, \quad 7 + 4 \cdot 0 = 7, \] neplatí, přímky se neprotínají.

Přímky jsou různoběžné a mimoběžné (nesekající se).

Směrové vektory jsou \( \vec{u} = (2, -1, 3) \) a \( \vec{v} = (4, -1, 6) \).

Zkontrolujeme, zda je \( \vec{v} \) násobkem \( \vec{u} \): \[ (4, -1, 6) \neq \lambda (2, -1, 3) \text{ protože } \frac{4}{2} = 2, \quad \frac{-1}{-1} = 1, \quad \frac{6}{3} = 2, \] hodnoty nesouhlasí, tedy ne.

Přímky nejsou rovnoběžné.

Zkusíme najít průsečík řešením soustavy: \[ \frac{x}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{3} = t, \] tj. \[ x=2t, \quad y=1 – t, \quad z = -1 + 3t. \]

Porovnáme s přímkou \( q \): \[ x = 4 + 4s, \quad y = 1 – s, \quad z = 5 + 6s. \]

Z první rovnice: \[ 2t = 4 + 4s \Rightarrow 2t – 4s = 4. \]

Ze druhé: \[ 1 – t = 1 – s \Rightarrow s = t. \]

Dosadíme do první: \[ 2t – 4t = 4 \Rightarrow -2t = 4 \Rightarrow t = -2. \]

Pak \( s = -2 \).

Zkontrolujeme třetí rovnost: \[ -1 + 3t = 5 + 6s, \] \[ -1 + 3(-2) = 5 + 6(-2), \] \[ -1 – 6 = 5 – 12, \] \[ -7 = -7, \] platí.

Přímky se protínají v bodě \((x,y,z) = (2 \cdot -2, 1 – (-2), -1 + 3 \cdot -2) = (-4, 3, -7)\).

Směrové vektory jsou \( \vec{u} = (1, 2, -1) \) a \( \vec{v} = (2, 4, -2) \).

Vektor \( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (3, 2, 1) \) v \( q \): \[ x: 1 + 2s = 3 \Rightarrow s = 1, \] \[ y: 1 + 4s = 2 + 2 = 3 \neq 2, \] nesouhlasí.

Přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (1, -2, 1) \), \( \vec{v} = (2, -4, 1) \).

Zkusíme zjistit, zda jsou násobky: \[ \frac{2}{1} = 2, \quad \frac{-4}{-2} = 2, \quad \frac{1}{1} = 1, \] nesouhlasí, takže nejsou rovnoběžné.

Hledáme průsečík: \[ x = 1 + t, \quad y = -2t, \quad z = -3 + t, \] \[ x = 2 + 2s, \quad y = -1 – 4s, \quad z = -2 + s. \]

Rovnice: \[ 1 + t = 2 + 2s \Rightarrow t – 2s = 1, \] \[ -2t = -1 – 4s \Rightarrow -2t + 4s = -1, \] \[ -3 + t = -2 + s \Rightarrow t – s = 1. \]

Z první a třetí rovnice: \[ t – 2s = 1, \quad t – s = 1, \] odečteme: \[ (t – 2s) – (t – s) = 1 – 1 \Rightarrow -s = 0 \Rightarrow s = 0. \]

Dosadíme zpět: \[ t – 0 = 1 \Rightarrow t = 1. \]

Z druhé rovnice: \[ -2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = -2 \neq -1, \] nesouhlasí, přímky se neprotínají.

Přímky jsou mimoběžné.

Směrové vektory jsou \( \vec{u} = (1, 3, -1) \) a \( \vec{v} = (2, 6, -2) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), tedy přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Ověříme průnik bodů: \[ p(0) = (1, 2, 3), \] \[ q(s): (2 + 2s, 5 + 6s, 4 – 2s). \]

Hledáme \( s \), aby: \[ 2 + 2s = 1 \Rightarrow 2s = -1 \Rightarrow s = -\frac{1}{2}, \] \[ 5 + 6s = 2 \Rightarrow 6s = -3 \Rightarrow s = -\frac{1}{2}, \] \[ 4 – 2s = 3 \Rightarrow -2s = -1 \Rightarrow s = \frac{1}{2}, \] neplatí, tedy přímky jsou rovnoběžné, ale různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (2, -1, 1) \), \( \vec{v} = (4, -2, 2) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Bod z \( p \) při \( t=0 \): \[ (1, -2, 0). \]

Zkusíme najít \( s \) tak, aby byl bod na \( q \): \[ 3 + 4s = 1 \Rightarrow s = -\frac{1}{2}, \] \[ -1 – 2s = -2 \Rightarrow -1 + 1 = 0 \neq -2, \] nesouhlasí.

Přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (1, -1, 2) \), \( \vec{v} = (2, -2, 4) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Zkusíme bod z \( p \): \[ (2,1,3). \]

Hledáme \( s \), aby \( q(s) = (2,1,3) \): \[ 5 + 2s = 2 \Rightarrow 2s = -3 \Rightarrow s = -\frac{3}{2}, \] \[ 3 – 2s = 1 \Rightarrow -2s = -2 \Rightarrow s = 1, \] nesouhlasí, tedy různé rovnoběžné.

Směrové vektory \( \vec{u} = (1, 2, 3) \), \( \vec{v} = (2, 4, 6) = 2 \cdot \vec{u} \).

Přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Bod \( p(0) = (0,0,0) \).

Zkusíme najít \( s \), aby \( q(s) = (0,0,0) \): \[ 1 + 2s = 0 \Rightarrow s = -\frac{1}{2}, \] \[ 2 + 4s = 0 \Rightarrow 4s = -2 \Rightarrow s = -\frac{1}{2}, \] \[ 3 + 6s = 0 \Rightarrow 6s = -3 \Rightarrow s = -\frac{1}{2}, \] všechny rovnice souhlasí.

Přímky jsou totožné.

Směrové vektory jsou \( \vec{u} = (3, -1, 2) \) a \( \vec{v} = (6, -2, 4) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), tedy přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (1, 2, 4) \) v přímce \( q \): \[ 4 + 6s = 1 \Rightarrow s = -\frac{1}{2}, \] \[ -1 – 2s = 2 \Rightarrow -2s = 3 \Rightarrow s = -\frac{3}{2}, \] nesouhlasí, přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (1, 4, -2) \), \( \vec{v} = (1, 4, -2) \).

Vektory jsou stejné, tedy přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (2, -3, 0) \) v \( q \): \[ x = 3 + t = 2 \Rightarrow t = -1, \] \[ y = 5 + 4(-1) = 1 \neq -3, \] nesouhlasí, přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (2, 1, 3) \), \( \vec{v} = (4, 2, 6) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Ověříme, zda bod \( p(0) = (0,1,2) \) leží na \( q \): \[ 1 + 4s = 0 \Rightarrow s = -\frac{1}{4}, \] \[ 3 + 2s = 1 \Rightarrow 2s = -2 \Rightarrow s = -1, \] nesouhlasí, přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (2, -3, 1) \), \( \vec{v} = (1, -3, 1) \).

Není násobkem, přímky nejsou rovnoběžné.

Najdeme průsečík: \[ x: 1 + 2t = 3 + s, \] \[ y: 2 – 3t = 8 – 3s, \] \[ z: 1 + t = 2 + s. \]

Rovnice: \[ 2t – s = 2, \] \[ -3t + 3s = 6, \] \[ t – s = 1. \]

Z první a třetí rovnice odečteme: \[ (2t – s) – (t – s) = 2 – 1 \Rightarrow t = 1. \]

Dosadíme \( t = 1 \) do třetí rovnice: \[ 1 – s = 1 \Rightarrow s = 0. \]

Z druhé rovnice: \[ -3 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = -3 \neq 6, \] nesouhlasí, přímky se neprotínají.

Přímky jsou mimoběžné.

Směrové vektory \( \vec{u} = (1, -1, 4) \), \( \vec{v} = (2, -2, 8) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), tedy přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (2, 3, 1) \) na \( q \): \[ 1 + 2s = 2 \Rightarrow s = \frac{1}{2}, \] \[ 2 – 2s = 3 \Rightarrow -2s = 1 \Rightarrow s = -\frac{1}{2}, \] nesouhlasí, přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (3, 2, -1) \), \( \vec{v} = (6, 4, -2) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (0, 1, -1) \) v \( q \): \[ x: 6 + 6s = 0 \Rightarrow s = -1, \] \[ y: 3 + 4(-1) = -1 \neq 1, \] nesouhlasí, přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (1, -2, 3) \), \( \vec{v} = (2, -4, 6) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), tedy přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (1, 4, 2) \) v \( q \): \[ 3 + 2s = 1 \Rightarrow s = -1, \] \[ 1 – 4s = 4 \Rightarrow -4s = 3 \Rightarrow s = -\frac{3}{4}, \] nesouhlasí, přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (1, 2, -1) \), \( \vec{v} = (1, 2, -1) \).

Vektory stejné, tedy přímky rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (3, -1, 0) \) v \( q \): \[ 5 + s = 3 \Rightarrow s = -2, \] \[ 1 + 2s = -1 \Rightarrow 2s = -2 \Rightarrow s = -1, \] nesouhlasí, přímky rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (3, 1, -2) \), \( \vec{v} = (6, 2, -4) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), tedy rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (2, -1, 1) \) v \( q \): \[ 5 + 6s = 2 \Rightarrow s = -\frac{1}{2}, \] \[ 3 + 2s = -1 \Rightarrow 2s = -4 \Rightarrow s = -2, \] nesouhlasí, rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (2, -1, 4) \), \( \vec{v} = (4, -2, 8) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (0, 2, -3) \) v \( q \): \[ 4 + 4s = 0 \Rightarrow s = -1, \] \[ 0 – 2s = 2 \Rightarrow -2s = 2 \Rightarrow s = -1, \] \[ 5 + 8(-1) = -3, \] souhlasí, bod leží na obou přímkách, tedy přímky jsou totožné.

Směrové vektory jsou \( \vec{u} = (3, -2, 1) \) a \( \vec{v} = (6, -4, 2) \).

Vektor \( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), tedy přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Ověříme, zda bod \( p(0) = (2,1,4) \) leží na \( q \):
\[ 5 + 6s = 2 \Rightarrow s = -\frac{1}{2}, \] \[ -1 – 4s = 1 \Rightarrow -1 + 2 = 1, \] \[ 7 + 2s = 4 \Rightarrow 7 – 1 = 6 \neq 4, \] nesouhlasí, přímky jsou rovnoběžné, ale různé.

Směrové vektory jsou \( \vec{u} = (2, -1, 3) \) a \( \vec{v} = (1, -0.5, 1.5) \).

Vektor \( \vec{v} = \frac{1}{2} \cdot \vec{u} \), přímky jsou rovnoběžné nebo totožné.

Ověříme bod \( p(0) = (1, -2, 0) \) v \( q \): \[ 3 + t = 1 \Rightarrow t = -2, \] \[ -3 – 0.5t = -3 + 1 = -2, \] \[ 4 + 1.5t = 4 – 3 = 1 \neq 0, \] nesouhlasí, tedy přímky jsou rovnoběžné, různé.

Směrové vektory jsou \( \vec{u} = (1, 2, -1) \) a \( \vec{v} = (2, 4, -2) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), přímky rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (0,2,1) \) v \( q \): \[ 3 + 2s = 0 \Rightarrow s = -\frac{3}{2}, \] \[ 1 + 4s = 1 – 6 = -5 \neq 2, \] nesouhlasí, přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (1, -2, 2) \) a \( \vec{v} = (3, -6, 4) \).

Zjistíme, zda jsou násobky: \[ \frac{3}{1} = 3, \quad \frac{-6}{-2} = 3, \quad \frac{4}{2} = 2, \] nesouhlasí, nejsou rovnoběžné.

Zkusíme najít průsečík: \[ x = t, \quad y = 3 – 2t, \quad z = -1 + 2t, \] \[ x = 2 + 3s, \quad y = -6s, \quad z = 1 + 4s. \]

Rovnice: \[ t = 2 + 3s, \] \[ 3 – 2t = -6s, \] \[ -1 + 2t = 1 + 4s. \]

Z první rovnice \( t = 2 + 3s \), dosadíme do druhé: \[ 3 – 2(2 + 3s) = -6s \Rightarrow 3 – 4 – 6s = -6s \Rightarrow -1 = 0, \] což je nepravda, přímky se neprotínají.

Přímky jsou mimoběžné.

Směrové vektory jsou \( \vec{u} = (2, 1, -1) \) a \( \vec{v} = (1, 0.5, -0.5) \).

Vektor \( \vec{v} = \frac{1}{2} \cdot \vec{u} \), přímky rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme, jestli bod \( p(0) = (4,1,3) \) leží na \( q \): \[ 1 + s = 4 \Rightarrow s=3, \] \[ -2 + 0.5 \cdot 3 = -2 + 1.5 = -0.5 \neq 1, \] nesouhlasí, přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory jsou \( \vec{u} = (4, 2, 3) \) a \( \vec{v} = (8, 4, 6) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), tedy přímky rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (0, 1, 2) \) v \( q \): \[ 1 + 8s = 0 \Rightarrow s = -\frac{1}{8}, \] \[ 3 + 4s = 3 – 0.5 = 2.5 \neq 1, \] přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory jsou \( \vec{u} = (3, -6, 9) \) a \( \vec{v} = (1, -2, 3) \).

Vektor \( \vec{u} = 3 \cdot \vec{v} \), tedy rovnoběžné nebo totožné.

Kontrola bodu \( p(0) = (-1, 2, -4) \) v \( q \): \[ 2 + t = -1 \Rightarrow t = -3, \] \[ -1 – 2t = -1 + 6 = 5 \neq 2, \] přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (1, 2, -1) \), \( \vec{v} = (2, 4, -2) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), tedy rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (1,0,3) \) v \( q \): \[ 2 + 2s = 1 \Rightarrow s = -\frac{1}{2}, \] \[ 3 + 4s = 3 – 2 = 1 \neq 0, \] přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (1, 3, -2) \), \( \vec{v} = (3, 9, -6) \).

\( \vec{v} = 3 \cdot \vec{u} \), přímky rovnoběžné nebo totožné.

Kontrola bodu \( p(0) = (2, -1, 0) \) v \( q \): \[ 1 + 3t = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{3}, \] \[ 4 + 9t = 4 + 3 = 7 \neq -1, \] přímky jsou rovnoběžné a různé.

Směrové vektory \( \vec{u} = (1, -2, 4) \), \( \vec{v} = (2, -4, 8) \).

\( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \), tedy přímky rovnoběžné nebo totožné.

Zkontrolujeme bod \( p(0) = (3, 2, 1) \) v \( q \): \[ 4 + 2s = 3 \Rightarrow s = -\frac{1}{2}, \] \[ 0 – 4s = 0 + 2 = 2 \neq 2, \] v pořádku, \[ 5 + 8s = 5 – 4 = 1, \] souhlasí, takže bod leží na \( q \).

Závěr: Přímky jsou totožné.

Přímka \(p\) je určena soustavou rovnic \[ \begin{cases} 2x – y + 3z – 4 = 0 \\ x + y – z – 1 = 0 \end{cases} \] Tato soustava definuje přímku jako průsečík dvou rovin.

Nejdříve najdeme směrový vektor přímky \(p\). Pro směrový vektor přímky \(p\) platí, že je kolmé na normálové vektory rovin: \[ \vec{n}_1 = (2, -1, 3), \quad \vec{n}_2 = (1, 1, -1). \]

Směrový vektor přímky \(p\) je jejich vektorový součin: \[ \vec{u} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-2, 7, 3). \]

Přímka \(q\) má směrový vektor \[ \vec{v} = (2, 1, -1). \]

Zkontrolujeme, zda jsou vektory kolmé, rovnoběžné nebo obecné: \[ \vec{u} = (-2, 7, 3), \quad \vec{v} = (2, 1, -1). \] Nejsou rovnoběžné, protože \[ \frac{-2}{2} = -1 \neq \frac{7}{1} = 7, \] ani kolmé, protože \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = (-2)\cdot 2 + 7 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) = -4 + 7 – 3 = 0, \] takže jsou kolmé.

Protože jsou směrové vektory přímek kolmé, přímky nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme, zda se přímky protínají – najdeme souřadnice bodu na \(q\), který leží i na přímce \(p\).

Dosadíme \(x, y, z\) z \(q\) do rovnic \(p\): \[ 2(1 + 2t) – (-1 + t) + 3(3 – t) – 4 = 0, \] \[ (1 + 2t) + (-1 + t) – (3 – t) – 1 = 0. \]

Po úpravě: První rovnice: \[ 2 + 4t + 1 – t + 9 – 3t – 4 = 0 \Rightarrow (4t – t – 3t) + (2 + 1 + 9 – 4) = 0 \Rightarrow 0 + 8 = 0, \] což je nepravda.

Proto přímky se neprotínají.

Protože jsou vektory kolmé a přímky se neprotínají, jsou to přímky mimobežné (skew lines).

Přímka \(q\) je průsečík rovin \[ \begin{cases} 3x – y + z – 7 = 0 \\ x + 2y – z + 1 = 0 \end{cases} \]

Normálové vektory rovin jsou \[ \vec{n}_1 = (3, -1, 1), \quad \vec{n}_2 = (1, 2, -1). \]

Směrový vektor přímky \(q\) je jejich vektorový součin: \[ \vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (1, 4, 7). \]

Přímka \(p\) má směrový vektor \[ \vec{u} = (1, -1, 2). \]

Ověříme, zda jsou rovnoběžné: \[ \frac{1}{1} = 1, \quad \frac{-1}{4} = -0.25, \quad \frac{2}{7} \neq 1, \] nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme, zda se protínají: dosadíme \(x, y, z\) z \(p\) do rovnic \(q\): \[ 3(2 + s) – (1 – s) + (3 + 2s) – 7 = 0, \] \[ (2 + s) + 2(1 – s) – (3 + 2s) + 1 = 0. \]

Po úpravě: \[ 6 + 3s – 1 + s + 3 + 2s – 7 = 0 \Rightarrow 6s + 1 = 0 \Rightarrow s = -\frac{1}{6}, \] \[ 2 + s + 2 – 2s – 3 – 2s + 1 = 0 \Rightarrow -3s + 2 = 0 \Rightarrow s = \frac{2}{3}. \]

Různé hodnoty \(s\) v rovnicích – přímky se neprotínají.

Závěr: přímky jsou mimobežné.

Směrový vektor přímky \(p\) je \[ \vec{u} = (3, 4, -1), \] a přímky \(q\) \[ \vec{v} = (6, -8, 2). \]

Ověříme, zda jsou rovnoběžné: \[ \frac{6}{3} = 2, \quad \frac{-8}{4} = -2, \quad \frac{2}{-1} = -2, \] nejsou rovnoběžné, protože první poměr není stejný jako ostatní.

Zkontrolujeme, zda se protínají – najdeme, zda existuje \(t, s\), že \[ 1 + 3t = 4 + 6s, \] \[ -2 + 4t = -10 – 8s, \] \[ 5 – t = 2 + 2s. \]

Z první rovnice: \[ 3t – 6s = 3, \] z druhé: \[ 4t + 8s = -8, \] z třetí: \[ -t – 2s = -3. \]

Soustava: \[ 3t – 6s = 3, \] \[ 4t + 8s = -8, \] \[ -t – 2s = -3. \]

Řešíme poslední rovnici na \(t\): \[ t = -2s + 3. \]

Dosadíme do první: \[ 3(-2s + 3) – 6s = 3 \Rightarrow -6s + 9 – 6s = 3 \Rightarrow -12s = -6 \Rightarrow s = \frac{1}{2}. \]

Dosadíme \(s = \frac{1}{2}\) do poslední rovnice: \[ t = -2 \cdot \frac{1}{2} + 3 = -1 + 3 = 2. \]

Zkontrolujeme druhou rovnici: \[ 4 \cdot 2 + 8 \cdot \frac{1}{2} = 8 + 4 = 12 \neq -8, \] nesouhlasí.

Přímky se neprotínají, nejsou rovnoběžné, jsou tedy mimobežné.

Směrový vektor \(p\) je \[ \vec{u} = (1, 3, -2). \]

Přímka \(q\) je průsečík rovin: \[ \begin{cases} 2x – y + z – 5 = 0, \\ x + y – 2z + 1 = 0. \end{cases} \]

Normálové vektory rovin: \[ \vec{n}_1 = (2, -1, 1), \quad \vec{n}_2 = (1, 1, -2). \]

Směrový vektor \(q\) je jejich vektorový součin: \[ \vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (1, 5, 3). \]

Ověříme, zda jsou vektory rovnoběžné: \[ \frac{1}{1} = 1, \quad \frac{3}{-2} = -1.5, \quad \frac{5}{3} \neq 1, \] nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme, zda se protínají – dosadíme \(x, y, z\) z \(p\) do rovnic \(q\): \[ 2(2 + t) – (1 + 3t) + (4 – 2t) – 5 = 0, \] \[ (2 + t) + (1 + 3t) – 2(4 – 2t) + 1 = 0. \]

Po úprave první rovnice: \[ 4 + 2t – 1 – 3t + 4 – 2t – 5 = 0 \Rightarrow -3t = -2 \Rightarrow t = \frac{2}{3}. \]

Po úprave druhé: \[ 2 + t + 1 + 3t – 8 + 4t + 1 = 0 \Rightarrow 8t – 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}. \]

Různé hodnoty \(t\), takže se přímky neprotínají.

Závěr: přímky jsou mimobežné.

Přímka \(p\) je průsečík rovin \[ \begin{cases} 3x – 4y + z – 7 = 0 \\ 2x + y – 5z + 4 = 0 \end{cases} \]

Normálové vektory rovin: \[ \vec{n}_1 = (3, -4, 1), \quad \vec{n}_2 = (2, 1, -5). \]

Směrový vektor \(p\) je vektorový součin: \[ \vec{u} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 2 & 1 & -5 \end{vmatrix} = (19, 17, 11). \]

Směrový vektor přímky \(q\) je \[ \vec{v} = (2, 3, 1). \]

Ověříme rovnoběžnost: \[ \frac{19}{2} \neq \frac{17}{3} \neq \frac{11}{1}, \] takže nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme průsečík přímek – dosadíme \(x, y, z\) z \(q\) do rovnic \(p\): \[ 3(1 + 2t) – 4(-2 + 3t) + t – 7 = 0, \] \[ 2(1 + 2t) + (-2 + 3t) – 5t + 4 = 0. \]

První rovnice: \[ 3 + 6t + 8 – 12t + t – 7 = 0 \Rightarrow -5t + 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{5}. \]

Druhá rovnice: \[ 2 + 4t – 2 + 3t – 5t + 4 = 0 \Rightarrow 2 + 2t = 0 \Rightarrow t = -1, \] což nesouhlasí.

Proto se přímky neprotínají a nejsou rovnoběžné, tedy jsou mimoběžné.

Směrové koeficienty přímek vypočítáme jako \(k = -\frac{A}{B}\):

\(k_p = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}\), \(k_q = -\frac{6}{-8} = \frac{3}{4}\).

Jelikož \(k_p = k_q\), přímky jsou rovnoběžné.

Teď zkontrolujeme, zda jsou shodné: Porovnáme poměry koeficientů: \[ \frac{3}{6} = \frac{-4}{-8} = \frac{7}{-5} \Rightarrow \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{7}{-5} = -\frac{7}{5} \] Neodpovídají, tedy přímky jsou rovnoběžné, ale různé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{5}{2} = -2{,}5, \quad k_q = -\frac{-4}{-\frac{8}{5}} = -\frac{-4}{-\frac{8}{5}} = -\frac{-4 \cdot 5}{-8} = -\frac{-20}{-8} = -\frac{20}{8} = -2{,}5. \]

Přímky jsou rovnoběžné, protože \(k_p = k_q\).

Zkontrolujeme shodnost: \[ \frac{5}{-4} = -\frac{5}{4} \neq \frac{2}{-\frac{8}{5}} = -\frac{5}{2}, \] tedy nejsou shodné.

Výsledek: přímky jsou rovnoběžné, ale různé.

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{1} = -1, \quad k_q = -\frac{2}{-1} = 2. \]

Přímky mají různé směrové koeficienty, nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme, zda jsou kolmé: Součet součinu směrových koeficientů musí být \(-1\): \[ k_p \cdot k_q = (-1) \cdot 2 = -2 \neq -1, \] takže nejsou kolmé.

Výsledek: přímky jsou různoběžné a nejsou kolmé.

Pro \(q\) přepíšeme do obecného tvaru: \[ y = 4x + 3 \Rightarrow 4x – y + 3 = 0. \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{4}{-1} = 4, \quad k_q = -\frac{4}{-1} = 4. \]

Přímky jsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme shodnost: \[ \frac{4}{4} = 1, \quad \frac{-1}{-1} = 1, \quad \frac{2}{3} \neq 1, \] takže přímky jsou rovnoběžné, ale různé.

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{7}{3} = -\frac{7}{3}, \quad k_q = -\frac{-3}{7} = \frac{3}{7}. \]

Zkontrolujeme, zda jsou kolmé: \[ k_p \cdot k_q = -\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7} = -1, \] takže přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{2}{3}, \quad k_q = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}. \]

Protože \(k_p = k_q\), přímky jsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme shodnost podle poměrů koeficientů: \[ \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-6}{1} = -6, \] poslední poměr se neshoduje, takže přímky jsou rovnoběžné, ale různé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{-5} = \frac{1}{5}, \quad k_q = -\frac{5}{1} = -5. \]

Přímky nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme, zda jsou kolmé: \[ k_p \cdot k_q = \frac{1}{5} \cdot (-5) = -1, \] takže přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{3}{2} = -1{,}5, \quad k_q = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667. \]

Přímky nejsou rovnoběžné ani kolmé, protože \[ k_p \cdot k_q = -1{,}5 \cdot 0{,}6667 = -1 \neq -1, \] ale vypočítáme přesně: \[ – \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = -1, \] tedy jsou kolmé.

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{7}{-1} = 7, \quad k_q = -\frac{14}{-2} = 7. \]

Přímky mají stejný směrový koeficient, jsou tedy rovnoběžné.

Zkontrolujeme shodnost podle poměrů koeficientů: \[ \frac{7}{14} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{9}{-4} = -\frac{9}{4}, \] tudíž nejsou shodné, pouze rovnoběžné.

Pro \(q\) přepíšeme do obecného tvaru: \[ y = -2x + 3 \Rightarrow 2x + y – 3 = 0. \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{2}{1} = -2, \quad k_q = -\frac{2}{1} = -2. \]

Přímky jsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme shodnost: \[ \frac{2}{2} = 1, \quad \frac{1}{1} = 1, \quad \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \neq 1, \] tudíž přímky jsou rovnoběžné, ale různé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{5}{-2} = \frac{5}{2} = 2{,}5, \quad k_q = -\frac{10}{-4} = \frac{10}{4} = 2{,}5. \]

Přímky mají stejný směrový koeficient, jsou tedy rovnoběžné.

Zkontrolujeme shodnost podle poměrů koeficientů: \[ \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{7}{-3} = -\frac{7}{3} \neq \frac{1}{2}, \] tudíž přímky jsou rovnoběžné, ale různé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{4} = -0{,}25, \quad k_q = -\frac{8}{-2} = 4. \]

Přímky nemají stejný směrový koeficient, nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme, zda jsou kolmé: \[ k_p \cdot k_q = -0{,}25 \times 4 = -1, \] tudíž přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{6}{3} = -2, \quad k_q = -\frac{2}{1} = -2. \]

Přímky jsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme shodnost: \[ \frac{6}{2} = 3, \quad \frac{3}{1} = 3, \quad \frac{-9}{4} = -\frac{9}{4} \neq 3, \] tudíž přímky jsou rovnoběžné, ale nejsou shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{4}{-1} = 4, \quad k_q = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} = -0{,}25. \]

Přímky nemají stejný směrový koeficient, nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ k_p \cdot k_q = 4 \times (-0{,}25) = -1, \] tudíž přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{3}{5} = -0{,}6, \quad k_q = -\frac{6}{10} = -0{,}6. \]

Přímky mají stejný směrový koeficient, jsou tedy rovnoběžné.

Zkontrolujeme shodnost: \[ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-15}{4} = -\frac{15}{4} \neq \frac{1}{2}, \] tudíž přímky jsou rovnoběžné, ale nejsou shodné.

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{7}{-3} = \frac{7}{3}, \quad k_q = -\frac{14}{-6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}. \]

Přímky mají stejný směr, jsou rovnoběžné.

Poměry koeficientů: \[ \frac{7}{14} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5} \neq \frac{1}{2}, \] tudíž přímky jsou rovnoběžné, ale nejsou shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{2}{5} = -0{,}4, \quad k_q = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5. \]

Přímky nemají stejný směrový koeficient, nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ k_p \cdot k_q = -0{,}4 \times 2{,}5 = -1, \] tudíž přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{3}{4} = -0{,}75, \quad k_q = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0{,}75. \]

Přímky mají stejný směrový koeficient, jsou rovnoběžné.

Poměry koeficientů: \[ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad \frac{5}{-7} \neq \frac{1}{2}, \] tudíž přímky jsou rovnoběžné, ale nejsou shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2} = 0{,}5, \quad k_q = -\frac{4}{2} = -2. \]

Přímky nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ k_p \cdot k_q = 0{,}5 \times (-2) = -1, \] tudíž přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{5}{1} = -5, \quad k_q = -\frac{10}{2} = -5. \]

Přímky jsou rovnoběžné.

Poměry koeficientů: \[ \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-9}{7} \neq \frac{1}{2}, \] tudíž přímky nejsou shodné, ale rovnoběžné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{4}{-1} = 4, \quad k_q = -\frac{8}{-2} = 4. \]

Přímky mají stejný směr, tedy mohou být rovnoběžné nebo shodné.

Poměry koeficientů: \[ \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{2}{-5} \neq \frac{1}{2}, \] tudíž přímky jsou rovnoběžné, ale nejsou shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}, \quad k_q = -\frac{6}{18} = -\frac{1}{3}. \]

Přímky mají stejný směr, tedy mohou být rovnoběžné nebo shodné.

Poměry koeficientů: \[ \frac{1}{6} \neq \frac{3}{18}, \quad \frac{-4}{5} \neq \frac{1}{6}, \] tudíž přímky jsou rovnoběžné, ale nejsou shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{5}{-2} = \frac{5}{2} = 2{,}5, \quad k_q = -\frac{2}{5} = -0{,}4. \]

Přímky nemají stejný směr, tedy nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ k_p \cdot k_q = 2{,}5 \times (-0{,}4) = -1, \] tudíž přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{3}{1} = -3, \quad k_q = -\frac{9}{3} = -3. \]

Přímky mají stejný směr, tedy mohou být rovnoběžné nebo shodné.

Poměry koeficientů: \[ \frac{3}{9} = \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{3} = \frac{1}{3}, \quad \frac{-6}{4} \neq \frac{1}{3}, \] tudíž přímky jsou rovnoběžné, ale nejsou shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{7}{-4} = \frac{7}{4} = 1{,}75, \quad k_q = -\frac{4}{7} \approx -0{,}5714. \]

Přímky nemají stejný směr, tedy nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ k_p \cdot k_q = 1{,}75 \times (-0{,}5714) \approx -1, \] tudíž přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{2}{5} = -0{,}4, \quad k_q = -\frac{4}{10} = -0{,}4. \]

Přímky mají stejný směr, tedy mohou být rovnoběžné nebo shodné.

Poměry koeficientů: \[ \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-7}{3} \neq \frac{1}{2}, \] tudíž přímky jsou rovnoběžné, ale nejsou shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4} = 0{,}75, \quad k_q = -\frac{6}{8} = -0{,}75. \]

Přímky nemají stejný směr, tedy nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ k_p \cdot k_q = 0{,}75 \times (-0{,}75) = -0{,}5625 \neq -1, \] tudíž přímky nejsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2} = 0{,}5, \quad k_q = -\frac{2}{1} = -2. \]

Přímky nemají stejný směr, tedy nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ k_p \cdot k_q = 0{,}5 \times (-2) = -1, \] tudíž přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{7}{3} \approx -2{,}333, \quad k_q = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3} \approx -2{,}333. \]

Přímky mají stejný směr, tedy mohou být rovnoběžné nebo shodné.

Zkontrolujeme poměry koeficientů: \[ \frac{7}{14} = \frac{1}{2}, \quad \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-1}{4} \neq \frac{1}{2}, \] tedy přímky jsou rovnoběžné, ale ne shodné.

Pro \( q \) upravíme na tvar \[ 5x – y – 3 = 0. \]

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{5}{1} = -5, \quad k_q = -\frac{5}{-1} = 5. \]

Přímky nemají stejný směr, tedy nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ k_p \cdot k_q = -5 \times 5 = -25 \neq -1, \] tedy přímky nejsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{3}{4} = -0{,}75, \quad k_q = -\frac{6}{8} = -0{,}75. \]

Přímky mají stejný směr, tedy mohou být rovnoběžné nebo shodné.

Zkontrolujeme poměry koeficientů: \[ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-12}{5} \neq \frac{1}{2}, \] tedy přímky jsou rovnoběžné, ale ne shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{5}{-2} = \frac{5}{2} = 2{,}5, \quad k_q = -\frac{2}{5} = -0{,}4. \]

Přímky nemají stejný směr, tedy nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ k_p \cdot k_q = 2{,}5 \times (-0{,}4) = -1, \] tedy přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{1} = -1, \quad k_q = -\frac{2}{2} = -1. \]

Přímky mají stejný směr, tedy mohou být rovnoběžné nebo shodné.

Zkontrolujeme poměry koeficientů: \[ \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-4}{1} \neq \frac{1}{2}, \] tedy přímky jsou rovnoběžné, ale ne shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{4}{-1} = 4, \quad k_q = -\frac{8}{-2} = 4. \]

Přímky mají stejný směr, tedy mohou být rovnoběžné nebo shodné.

Zkontrolujeme poměry koeficientů: \[ \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{6}{-3} \neq \frac{1}{2}, \] tedy přímky jsou rovnoběžné, ale ne shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{6}{1} = -6, \quad k_q = -\frac{-\frac{1}{6}}{1} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667. \]

Přímky nemají stejný směr, nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ k_p \cdot k_q = -6 \times 0{,}1667 = -1, \] tedy přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{7}{-3} = \frac{7}{3} \approx 2{,}333, \quad k_q = -\frac{14}{-6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \approx 2{,}333. \]

Přímky mají stejný směr, tedy mohou být rovnoběžné nebo shodné.

Zkontrolujeme poměry koeficientů: \[ \frac{7}{14} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{4}{-1} \neq \frac{1}{2}, \] tedy přímky jsou rovnoběžné, ale ne shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{2}{5} = -0{,}4, \quad k_q = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5. \]

Přímky nemají stejný směr, nejsou rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ k_p \cdot k_q = -0{,}4 \times 2{,}5 = -1, \] tedy přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{4}{1} = -4, \quad k_q = -\frac{-2}{-\frac{1}{2}} = -\frac{-2}{-0{,}5} = -4. \]

Přímky mají stejný směr, tedy mohou být rovnoběžné nebo shodné.

Zkontrolujeme poměry koeficientů: \[ \frac{4}{-2} = -2, \quad \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2, \quad \frac{-10}{5} = -2, \] všechny tři poměry jsou stejné, přímky jsou shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2} = 0{,}5, \quad k_q = -\frac{2}{1} = -2. \]

Přímky nejsou rovnoběžné, nemají stejný směr.

Zkontrolujeme kolmost: \[ k_p \cdot k_q = 0{,}5 \times (-2) = -1, \] tedy přímky jsou kolmé.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{3}{2} = -1{,}5, \quad k_q = -\frac{6}{4} = -1{,}5. \]

Přímky mají stejný směr, tedy mohou být rovnoběžné nebo shodné.

Zkontrolujeme poměry koeficientů: \[ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-5}{7} \neq \frac{1}{2}, \] tedy přímky jsou rovnoběžné, ne shodné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}, \quad k_q = -\frac{6}{-4} = \frac{3}{2}. \]

Stejný směr \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Zkontrolujeme poměry koeficientů: \[ \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}, \quad \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}, \quad \frac{6}{1} = 6, \] tedy ne všechny poměry jsou stejné \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné.

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{5}{-1} = 5, \quad k_q = -\frac{1}{5} = -0{,}2. \]

Přímky mají různé směrové koeficienty \(\Rightarrow\) jsou různé a rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ 5 \cdot (-0{,}2) = -1 \Rightarrow \text{přímky jsou kolmé.} \]

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}, \quad k_q = -\frac{2}{3}. \]

Mají stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) mohou být rovnoběžné nebo shodné.

Zkontrolujeme poměry koeficientů: \[ \frac{4}{2} = 2, \quad \frac{6}{3} = 2, \quad \frac{-2}{7} \neq 2 \Rightarrow \text{rozdílný poslední poměr, tedy přímky jsou rovnoběžné.}

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{-1}{1} = 1, \quad k_q = -\frac{1}{1} = -1. \]

Různé směrové koeficienty \(\Rightarrow\) jsou různé a rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ 1 \cdot (-1) = -1 \Rightarrow \text{přímky jsou kolmé.}

Vypočítáme směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{6}{-2} = 3, \quad k_q = -\frac{3}{-1} = 3. \]

Mají stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) mohou být shodné nebo rovnoběžné.

Zkontrolujeme poměry koeficientů: \[ \frac{6}{3} = 2, \quad \frac{-2}{-1} = 2, \quad \frac{4}{-5} \neq 2 \Rightarrow \text{rozdílný poslední poměr, přímky jsou rovnoběžné.}

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{4}{-5} = \frac{4}{5}, \quad k_q = -\frac{-8}{10} = \frac{4}{5}. \]

Mají stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Poměry koeficientů: \[ \frac{4}{-8} = -0.5, \quad \frac{-5}{10} = -0.5, \quad \frac{2}{-7} \neq -0.5 \Rightarrow \text{přímky jsou rovnoběžné.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{2}{1} = -2, \quad k_q = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}. \]

Různé směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou různé a rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ -2 \cdot \frac{3}{2} = -3 \neq -1 \Rightarrow \text{přímky nejsou kolmé.}

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{-1}{4} = \frac{1}{4}, \quad k_q = -\frac{2}{-8} = \frac{1}{4}. \]

Mají stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Poměry koeficientů: \[ \frac{-1}{2} = -0.5, \quad \frac{4}{-8} = -0.5, \quad \frac{-8}{3} \neq -0.5 \Rightarrow \text{přímky jsou rovnoběžné.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{1} = -1, \quad k_q = -\frac{1}{-1} = 1. \]

Různé směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou různé a rovnoběžné.

Zkontrolujeme kolmost: \[ -1 \cdot 1 = -1 \Rightarrow \text{přímky jsou kolmé.}

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{7}{3}, \quad k_q = -\frac{-14}{-6} = -\frac{7}{3}. \]

Mají stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Poměry: \[ \frac{7}{-14} = -0.5, \quad \frac{3}{-6} = -0.5, \quad \frac{-2}{4} = -0.5 \Rightarrow \text{všechny poměry jsou stejné, přímky jsou shodné.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}, \quad k_q = -\frac{6}{-4} = \frac{3}{2}. \]

Mají stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Poměry: \[ \frac{3}{6} = 0.5, \quad \frac{-2}{-4} = 0.5, \quad \frac{7}{-5} \neq 0.5 \Rightarrow \text{přímky jsou rovnoběžné.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{2}, \quad k_q = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}. \]

Mají stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Poměry: \[ \frac{1}{2} = 0.5, \quad \frac{2}{4} = 0.5, \quad \frac{1}{2} = 0.5 \Rightarrow \text{všechny poměry jsou stejné, přímky jsou shodné.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{5}{-1} = 5, \quad k_q = -\frac{2}{1} = -2. \]

Různé směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou různoběžné.

Kolmost: \[ 5 \cdot (-2) = -10 \neq -1 \Rightarrow \text{přímky nejsou kolmé.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}, \quad k_q = -\frac{3}{1} = -3. \]

Různé směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou různoběžné.

Kolmost: \[ \frac{1}{3} \cdot (-3) = -1 \Rightarrow \text{přímky jsou kolmé.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{2}{5}, \quad k_q = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}. \]

Stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Poměry: \[ \frac{2}{4} = 0.5, \quad \frac{5}{10} = 0.5, \quad \frac{-3}{7} \neq 0.5 \Rightarrow \text{přímky jsou rovnoběžné.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{2}{-1} = 2, \quad k_q = -\frac{4}{-2} = 2. \]

Stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Poměry: \[ \frac{2}{4} = 0.5, \quad \frac{-1}{-2} = 0.5, \quad \frac{1}{-3} \neq 0.5 \Rightarrow \text{přímky jsou rovnoběžné.} \]

Druhou rovnici upravíme do obecného tvaru: \[ 3x + y + 4 = 0. \]

Porovnáme s první: \[ k_p = -\frac{3}{1} = -3, \quad k_q = -\frac{3}{1} = -3. \]

Stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Poměry: \[ \frac{3}{3} = 1, \quad \frac{1}{1} = 1, \quad \frac{-2}{4} = -0.5 \Rightarrow \text{přímky jsou rovnoběžné.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{1} = -1, \quad k_q = -\frac{-1}{1} = 1. \]

Různé směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou různoběžné.

Kolmost: \[ -1 \cdot 1 = -1 \Rightarrow \text{přímky jsou kolmé.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{4}{1} = -4, \quad k_q = -\frac{-8}{-2} = -4. \]

Stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Poměry: \[ \frac{4}{-8} = -0.5, \quad \frac{1}{-2} = -0.5, \quad \frac{-3}{6} = -0.5 \Rightarrow \text{všechny poměry stejné, přímky jsou shodné.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}, \quad k_q = -\frac{2}{-4} = \frac{1}{2}. \]

Stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Poměry: \[ \frac{1}{2} = 0.5, \quad \frac{-2}{-4} = 0.5, \quad \frac{4}{1} = 4 \Rightarrow \text{přímky jsou rovnoběžné.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{2}, \quad k_q = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}. \]

Stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Poměry: \[ \frac{1}{3} = \frac{1}{3}, \quad \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad \frac{-5}{4} \neq \frac{1}{3} \Rightarrow \text{přímky jsou rovnoběžné.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -5, \quad k_q = -\frac{-10}{2} = 5. \]

Různé směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou různoběžné.

Kolmost: \[ -5 \cdot 5 = -25 \neq -1 \Rightarrow \text{přímky nejsou kolmé.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{-3}{1} = 3, \quad k_q = -\frac{6}{-2} = 3. \]

Stejné směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné nebo shodné.

Poměry: \[ \frac{-3}{6} = -0.5, \quad \frac{1}{-2} = -0.5, \quad \frac{-4}{1} = -4 \Rightarrow \text{přímky jsou rovnoběžné.} \]

Druhou rovnici upravíme: \[ 4x + y – 10 = 0. \]

Porovnáme s první: \[ k_p = -4, \quad k_q = -4. \]

Poměry: \[ \frac{4}{4} = 1, \quad \frac{1}{1} = 1, \quad \frac{-8}{-10} = 0.8 \Rightarrow \text{přímky jsou rovnoběžné.} \]

Směrové koeficienty: \[ k_p = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}, \quad k_q = -\frac{3}{1} = -3. \]

Různé směrové koeficienty \(\Rightarrow\) přímky jsou různoběžné.

Kolmost: \[ \frac{1}{3} \cdot (-3) = -1 \Rightarrow \text{přímky jsou kolmé.} \]