Vzdálenost bodu od přímky, roviny

Řešení příkladu:
Vzdálenost bodu \( A[x_0; y_0] \) od přímky \( ax + by + c = 0 \) se vypočítá podle vzorce:
\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Dosadíme: \( a = 4 \), \( b = -3 \), \( c = 12 \), \( x_0 = 3 \), \( y_0 = -2 \)
\[ d = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) + 12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 6 + 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{30}{\sqrt{25}} = \frac{30}{5} = 6 \]
\(\Rightarrow\) Vzdálenost bodu od přímky je \( 6 \) jednotek.

Řešení příkladu:
Použijeme opět vzorec:
\[ d = \frac{|-2 \cdot (-1) + 5 \cdot 4 – 10|}{\sqrt{(-2)^2 + 5^2}} = \frac{|2 + 20 – 10|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{12}{\sqrt{29}} \]
Výsledek můžeme ponechat ve tvaru odmocniny:
\(\Rightarrow\) Vzdálenost bodu od přímky je \( \frac{12}{\sqrt{29}} \) jednotek.

Řešení příkladu:
Dosadíme do vzorce:
\[ d = \frac{|0 + 0 – 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \Rightarrow d = \frac{5\sqrt{2}}{2} \]
\(\Rightarrow\) Vzdálenost bodu od přímky je \( \frac{5\sqrt{2}}{2} \) jednotek.

Řešení příkladu:
Nejprve upravíme přímku do tvaru \( 3x – 4y – 8 = 0 \).
Dosadíme do vzorce:
\[ d = \frac{|3 \cdot 7 – 4 \cdot 1 – 8|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|21 – 4 – 8|}{\sqrt{25}} = \frac{9}{5} \]
\(\Rightarrow\) Vzdálenost je \( \frac{9}{5} \) jednotek.

Řešení příkladu:
Dosadíme: \( a = -1 \), \( b = 2 \), \( c = 6 \), \( x_0 = 2 \), \( y_0 = -3 \)
\[ d = \frac{|-1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) + 6|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-2 -6 + 6|}{\sqrt{5}} = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \]
\(\Rightarrow d = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)

Řešení příkladu:
Nejprve upravíme přímku na tvar \( 6x + 8y – 24 = 0 \).
\[ d = \frac{|6 \cdot (-5) + 8 \cdot 5 – 24|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{|-30 + 40 – 24|}{\sqrt{100}} = \frac{-14}{10} = 1.4 \]
Absolutní hodnota: \( \Rightarrow d = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} \)

Řešení příkladu:
Dosadíme do vzorce:
\[ d = \frac{|2 \cdot 1 – 5 \cdot 2 + 3|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{|2 – 10 + 3|}{\sqrt{29}} = \frac{|-5|}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}} \]

Řešení příkladu:
Přímku upravíme: \( x + 2y – 6 = 0 \)
\[ d = \frac{|10 + 2 \cdot (-1) – 6|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|10 – 2 – 6|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|4 \cdot 0 + 3 \cdot 5 + 9|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|15 + 9|}{\sqrt{25}} = \frac{24}{5} \]

Řešení příkladu:
Přímka je ve tvaru \( -3x + 4y = 0 \Rightarrow -3x + 4y + 0 = 0 \)
\[ d = \frac{|-3 \cdot (-2) + 4 \cdot (-3)|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|6 – 12|}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5} \]

Řešení příkladu:
Dosadíme: \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = -10 \), \( x_0 = 4 \), \( y_0 = 4 \)
\[ d = \frac{|2 \cdot 4 + 1 \cdot 4 – 10|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|8 + 4 – 10|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|5 \cdot 1 – 12 \cdot (-4) + 13|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|5 + 48 + 13|}{\sqrt{169}} = \frac{66}{13} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|-6 + 0 – 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|3 \cdot (-3) + 4 \cdot 7 + 2|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-9 + 28 + 2|}{\sqrt{25}} = \frac{21}{5} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|7 \cdot 2 – 24 \cdot 3 + 1|}{\sqrt{49 + 576}} = \frac{|14 – 72 + 1|}{\sqrt{625}} = \frac{57}{25} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|6 \cdot 5 + 2 \cdot 2 – 30|}{\sqrt{36 + 4}} = \frac{|30 + 4 – 30|}{\sqrt{40}} = \frac{4}{2\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{5} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|-2 – 2 \cdot 1 + 8|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \]

Řešení příkladu:
Přímka ve tvaru \( 3x + y + 0 = 0 \)
\[ d = \frac{|0 + (-6)|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{5} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) – 4|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-5|}{\sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|-4 – (-2) + 3|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Řešení příkladu:
\( a = 4 \), \( b = 3 \), \( c = 6 \), \( x_0 = 3 \), \( y_0 = -5 \)
\[ d = \frac{|4 \cdot 3 + 3 \cdot (-5) + 6|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|12 – 15 + 6|}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|-2 \cdot 7 + 5 \cdot 2 – 1|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{|-14 + 10 – 1|}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|-1 + 21 + 8|}{\sqrt{1 + 49}} = \frac{28}{\sqrt{50}} = \frac{14\sqrt{2}}{5} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|0 + 0 + 10|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{10}{\sqrt{100}} = 1 \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|9 + 12 – 15|}{\sqrt{81 + 144}} = \frac{6}{\sqrt{225}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|-3 \cdot (-6) + 4 \cdot (-8)|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{18 – 32}{\sqrt{25}} = \frac{14}{5} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|5 \cdot 2 – (-3) – 4|}{\sqrt{25 + 1}} = \frac{10 + 3 – 4}{\sqrt{26}} = \frac{9}{\sqrt{26}} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|4 + 2 \cdot (-1) + 5|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{7}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|2 \cdot (-5) + 2 – 9|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{-10 + 2 – 9}{\sqrt{5}} = \frac{|-17|}{\sqrt{5}} = \frac{17\sqrt{5}}{5} \]

Řešení příkladu:
\[ d = \frac{|-3 + 4 + 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

Řešení příkladu:
Koeficienty jsou \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( c = 7 \), bod \( (x_0, y_0) = (5, -2) \).
Vzdálenost spočítáme podle vzorce:
\[ d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|3 \cdot 5 – 4 \cdot (-2) + 7|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|15 + 8 + 7|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{30}{5} = 6 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty jsou \( a = -5 \), \( b = 12 \), \( c = -9 \), bod \( (x_0, y_0) = (-3, 7) \).
Vypočteme čitatel:
\[ |-5 \cdot (-3) + 12 \cdot 7 – 9| = |15 + 84 – 9| = |90| \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Vzdálenost je:
\[ d = \frac{90}{13} \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=7 \), \( b=24 \), \( c=168 \), bod \( (0, -4) \).
Dosadíme do vzorce:
\[ d = \frac{|7 \cdot 0 + 24 \cdot (-4) + 168|}{\sqrt{7^2 + 24^2}} = \frac{|0 – 96 + 168|}{\sqrt{49 + 576}} = \frac{72}{25} = 2.88 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a = -8 \), \( b = 15 \), \( c = -13 \), bod \( (6, 3) \).
Čitatel:
\[ |-8 \cdot 6 + 15 \cdot 3 – 13| = |-48 + 45 – 13| = |-16| = 16 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{(-8)^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \] Výsledek:
\[ d = \frac{16}{17} \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a = 9 \), \( b = 40 \), \( c = 72 \), bod \( (-2, 0) \).
Čitatel:
\[ |9 \cdot (-2) + 40 \cdot 0 + 72| = |-18 + 0 + 72| = 54 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{54}{41} \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=10 \), \( b=-24 \), \( c=18 \), bod \( (1,6) \).
Čitatel:
\[ |10 \cdot 1 – 24 \cdot 6 + 18| = |10 – 144 + 18| = |-116| = 116 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{10^2 + (-24)^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 \] Výsledek:
\[ d = \frac{116}{26} = \frac{58}{13} \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=-7 \), \( b=24 \), \( c=-1 \), bod \( (-4, 5) \).
Čitatel:
\[ |-7 \cdot (-4) + 24 \cdot 5 – 1| = |28 + 120 – 1| = 147 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{147}{25} \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=2 \), \( b=1 \), \( c=4 \), bod \( (3, -7) \).
Čitatel:
\[ |2 \cdot 3 + 1 \cdot (-7) + 4| = |6 -7 + 4| = |3| = 3 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] Výsledek:
\[ d = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5} \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=3 \), \( b=-4 \), \( c=-5 \), bod \( (-1, 1) \).
Čitatel:
\[ |3 \cdot (-1) – 4 \cdot 1 – 5| = |-3 -4 -5| = |-12| = 12 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{12}{5} = 2.4 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a = -1 \), \( b = 3 \), \( c = 1 \), bod \( (2, 0) \).
Čitatel:
\[ |-1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 1| = |-2 + 0 + 1| = |-1| = 1 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=6 \), \( b=8 \), \( c=-10 \), bod \( (4, -5) \).
Dosadíme do vzorce vzdálenosti:
\[ d = \frac{|6 \cdot 4 + 8 \cdot (-5) – 10|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|24 – 40 – 10|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{|-26|}{10} = \frac{26}{10} = 2.6 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=-9 \), \( b=12 \), \( c=3 \), bod \( (-1, 9) \).
Čitatel:
\[ |-9 \cdot (-1) + 12 \cdot 9 + 3| = |9 + 108 + 3| = 120 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \] Výsledek:
\[ d = \frac{120}{15} = 8 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=5 \), \( b=-12 \), \( c=13 \), bod \( (2,2) \).
Čitatel:
\[ |5 \cdot 2 – 12 \cdot 2 + 13| = |10 – 24 + 13| = |-1| = 1 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{1}{13} \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=-3 \), \( b=4 \), \( c=5 \), bod \( (7,-1) \).
Čitatel:
\[ |-3 \cdot 7 + 4 \cdot (-1) + 5| = |-21 -4 + 5| = |-20| = 20 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Výsledek:
\[ d = \frac{20}{5} = 4 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=4 \), \( b=3 \), \( c=-24 \), bod \( (-6, 8) \).
Čitatel:
\[ |4 \cdot (-6) + 3 \cdot 8 – 24| = |-24 + 24 – 24| = |-24| = 24 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{24}{5} = 4.8 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=7 \), \( b=-24 \), \( c=14 \), bod \( (0, 0) \).
Čitatel:
\[ |7 \cdot 0 – 24 \cdot 0 + 14| = |14| = 14 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \] Výsledek:
\[ d = \frac{14}{25} \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=-5 \), \( b=12 \), \( c=13 \), bod \( (3, 1) \).
Čitatel:
\[ |-5 \cdot 3 + 12 \cdot 1 + 13| = |-15 + 12 + 13| = |10| = 10 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{10}{13} \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=8 \), \( b=-15 \), \( c=40 \), bod \( (-8, -6) \).
Čitatel:
\[ |8 \cdot (-8) – 15 \cdot (-6) + 40| = |-64 + 90 + 40| = |66| = 66 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \] Výsledek:
\[ d = \frac{66}{17} \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=3 \), \( b=4 \), \( c=-5 \), bod \( (1, -3) \).
Čitatel:
\[ |3 \cdot 1 + 4 \cdot (-3) – 5| = |3 – 12 – 5| = |-14| = 14 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{14}{5} = 2.8 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=2 \), \( b=-3 \), \( c=6 \), bod \( (-2, 4) \).
Čitatel:
\[ |2 \cdot (-2) – 3 \cdot 4 + 6| = |-4 – 12 + 6| = |-10| = 10 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] Výsledek:
\[ d = \frac{10}{\sqrt{13}} \approx 2.77 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=7 \), \( b=-24 \), \( c=1 \), bod \( (5, -2) \).
Dosadíme do vzorce vzdálenosti:
\[ d = \frac{|7 \cdot 5 – 24 \cdot (-2) + 1|}{\sqrt{7^2 + (-24)^2}} = \frac{|35 + 48 + 1|}{\sqrt{49 + 576}} = \frac{84}{25} = 3.36 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=-4 \), \( b=3 \), \( c=-18 \), bod \( (-3, 7) \).
Vypočítáme čitatel:
\[ |-4 \cdot (-3) + 3 \cdot 7 – 18| = |12 + 21 – 18| = |15| = 15 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{15}{5} = 3 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=3 \), \( b=4 \), \( c=5 \), bod \( (0, 10) \).
Čitatel:
\[ |3 \cdot 0 + 4 \cdot 10 + 5| = |0 + 40 + 5| = 45 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{45}{5} = 9 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=-2 \), \( b=5 \), \( c=-1 \), bod \( (-4, -3) \).
Čitatel:
\[ |-2 \cdot (-4) + 5 \cdot (-3) – 1| = |8 – 15 – 1| = |-8| = 8 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \] Výsledek:
\[ d = \frac{8}{\sqrt{29}} \approx 1.49 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=9 \), \( b=-12 \), \( c=15 \), bod \( (6, 0) \).
Čitatel:
\[ |9 \cdot 6 – 12 \cdot 0 + 15| = |54 + 0 + 15| = 69 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{69}{15} = 4.6 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=5 \), \( b=12 \), \( c=-13 \), bod \( (-1, 3) \).
Čitatel:
\[ |5 \cdot (-1) + 12 \cdot 3 – 13| = |-5 + 36 – 13| = |18| = 18 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{18}{13} \approx 1.38 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=-6 \), \( b=8 \), \( c=10 \), bod \( (2, -5) \).
Čitatel:
\[ |-6 \cdot 2 + 8 \cdot (-5) + 10| = |-12 – 40 + 10| = |-42| = 42 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] Výsledek:
\[ d = \frac{42}{10} = 4.2 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=8 \), \( b=15 \), \( c=-20 \), bod \( (7, 4) \).
Čitatel:
\[ |8 \cdot 7 + 15 \cdot 4 – 20| = |56 + 60 – 20| = |96| = 96 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{96}{17} \approx 5.65 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=-3 \), \( b=4 \), \( c=12 \), bod \( (-2, 7) \).
Čitatel:
\[ |-3 \cdot (-2) + 4 \cdot 7 + 12| = |6 + 28 + 12| = 46 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Výsledek:
\[ d = \frac{46}{5} = 9.2 \]

Řešení příkladu:
Koeficienty: \( a=10 \), \( b=-24 \), \( c=7 \), bod \( (0, -1) \).
Čitatel:
\[ |10 \cdot 0 – 24 \cdot (-1) + 7| = |0 + 24 + 7| = 31 \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 \] Výsledek:
\[ d = \frac{31}{26} \approx 1.19 \]

Řešení příkladu:
Nejprve najdeme průsečík přímek \( p \) a \( q \).
Máme soustavu:
\[ \begin{cases} 2x – y – 3 = 0 \\[6pt] x + y – 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x – y = 3 \\[6pt] x + y = 1 \end{cases} \] Sečteme obě rovnice:
\[ (2x – y) + (x + y) = 3 + 1 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \] Dosadíme do druhé rovnice:
\[ \frac{4}{3} + y = 1 \Rightarrow y = 1 – \frac{4}{3} = -\frac{1}{3} \] Průsečík je bod \( P\left(\frac{4}{3}, -\frac{1}{3}\right) \).
Vypočítáme vzdálenost bodu \( P \) od přímky \( r: 3x + 4y – 5 = 0 \):
Čitatel:
\[ |3 \cdot \frac{4}{3} + 4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) – 5| = |4 – \frac{4}{3} – 5| = \left|4 – 1.\overline{3} – 5\right| = |-2.\overline{3}| = \frac{7}{3} \] Jmenovatel:
\[ \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{7/3}{5} = \frac{7}{15} \approx 0.4667 \]

Řešení příkladu:
Najdeme průsečík paraboly a přímky:
\[ x^2 – 2 = 2x – 1 \Rightarrow x^2 – 2x – 1 = 0 \] Vyřešíme kvadratickou rovnici:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \] Pro první kořen:
\[ y = 2(1 + \sqrt{2}) – 1 = 2 + 2\sqrt{2} – 1 = 1 + 2\sqrt{2} \] Bod \( P_1 = \left(1 + \sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2}\right) \).
Pro druhý kořen:
\[ y = 2(1 – \sqrt{2}) – 1 = 2 – 2\sqrt{2} – 1 = 1 – 2\sqrt{2} \] Bod \( P_2 = \left(1 – \sqrt{2}, 1 – 2\sqrt{2}\right) \).
Spočítáme vzdálenost obou bodů od přímky \( s: x + y + 1 = 0 \).
Koeficienty: \( a=1, b=1, c=1 \).
Vzdálenost bodu \( P_1 \):
\[ d_1 = \frac{|(1)(1 + \sqrt{2}) + (1)(1 + 2\sqrt{2}) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|1 + \sqrt{2} + 1 + 2\sqrt{2} + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{|3 + 3\sqrt{2}|}{\sqrt{2}} \] Upraveno:
\[ d_1 = \frac{3 + 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3(1 + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + 1\right) = 3 \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \] Přibližně:
\[ d_1 \approx 3 \times (1 + 0.707) = 3 \times 1.707 = 5.121 \] Vzdálenost bodu \( P_2 \):
\[ d_2 = \frac{|(1)(1 – \sqrt{2}) + (1)(1 – 2\sqrt{2}) + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{|1 – \sqrt{2} + 1 – 2\sqrt{2} + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{|3 – 3\sqrt{2}|}{\sqrt{2}} \] Upraveno:
\[ d_2 = \frac{3(1 – \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}} – 1\right) \] Přibližně:
\[ d_2 \approx 3 \times (0.707 – 1) = 3 \times (-0.293) = |-0.879| = 0.879 \] Správný výsledek je vždy kladný.
Závěr:
Bod \( P_1 \) je vzdálen přibližně 5.121, bod \( P_2 \) přibližně 0.879 od přímky \( s \).

Řešení příkladu:
Najdeme průsečík přímek \( p \) a \( q \):
\[ 3x + 2 = -x + 6 \Rightarrow 3x + x = 6 – 2 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1 \] Dosadíme do \( p \):
\[ y = 3 \cdot 1 + 2 = 5 \] Průsečík je \( P(1, 5) \).
Koeficienty přímky \( r \): \( a=4 \), \( b=-3 \), \( c=12 \).
Vzdálenost:
\[ d = \frac{|4 \cdot 1 – 3 \cdot 5 + 12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4 – 15 + 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|1|}{5} = 0.2 \]

Řešení příkladu:
Najdeme průsečík paraboly a přímky:
\[ x^2 = 2x – 3 \Rightarrow x^2 – 2x + 3 = 0 \] Diskriminant:
\[ D = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 – 12 = -8 < 0 \] Rovnice nemá reálné řešení, tedy parabola a přímka se v reálných bodech neprotínají.
Zkontrolujeme zadané zadání:
Parabola a přímka se protínají v komplexních bodech, takže vzdálenost v reálu není definována.
Pokud bychom však požadovali vzdálenost od přímky k bodům přímky a paraboly nejblíže sobě, museli bychom použít jiný postup (např. hledání minima vzdálenosti).
V tomto zadání tedy bod průsečíku v reálu neexistuje a nelze vypočítat vzdálenost.

Řešení příkladu:
Najdeme průsečík přímek \( p \) a \( q \):
Systém rovnic:
\[ \begin{cases} 4x + y = 1 \\[6pt] x – 2y = -3 \end{cases} \] Z první rovnice vyjádříme \( y \):
\[ y = 1 – 4x \] Dosadíme do druhé rovnice:
\[ x – 2(1 – 4x) = -3 \Rightarrow x – 2 + 8x = -3 \Rightarrow 9x – 2 = -3 \Rightarrow 9x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{9} \] Dosadíme zpět do \( y \):
\[ y = 1 – 4 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9} \] Průsečík je \( P\left(-\frac{1}{9}, \frac{13}{9}\right) \).
Koeficienty přímky \( r \): \( a=7 \), \( b=-24 \), \( c=10 \).
Vzdálenost:
\[ d = \frac{|7 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) – 24 \cdot \frac{13}{9} + 10|}{\sqrt{7^2 + (-24)^2}} = \frac{\left|-\frac{7}{9} – \frac{312}{9} + 10\right|}{\sqrt{49 + 576}} = \frac{\left|-\frac{319}{9} + 10\right|}{25} \] Převedeme 10 na zlomek se jmenovatelem 9:
\[ 10 = \frac{90}{9} \] Dosadíme:
\[ \left|-\frac{319}{9} + \frac{90}{9}\right| = \left|-\frac{229}{9}\right| = \frac{229}{9} \] Vzdálenost:
\[ d = \frac{229/9}{25} = \frac{229}{225} \approx 1.018 \]

Řešení:
Systém rovnic:
\[ \begin{cases} 5x – 2y + 1 = 0 \\[6pt] 3x + y – 4 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x – 2y = -1 \\[6pt] 3x + y = 4 \end{cases} \] Vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:
\[ y = 4 – 3x \] Dosadíme do první:
\[ 5x – 2(4 – 3x) = -1 \Rightarrow 5x – 8 + 6x = -1 \Rightarrow 11x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{11} \] Dosadíme zpět:
\[ y = 4 – 3 \cdot \frac{7}{11} = 4 – \frac{21}{11} = \frac{44}{11} – \frac{21}{11} = \frac{23}{11} \] Průsečík \( P\left(\frac{7}{11}, \frac{23}{11}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( r: 2x + 5y – 7 = 0 \):
\[ d = \frac{|2 \cdot \frac{7}{11} + 5 \cdot \frac{23}{11} – 7|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} = \frac{\left|\frac{14}{11} + \frac{115}{11} – 7\right|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{\left|\frac{129}{11} – 7\right|}{\sqrt{29}} \] Zlomíme 7:
\[ 7 = \frac{77}{11} \Rightarrow \left|\frac{129}{11} – \frac{77}{11}\right| = \frac{52}{11} \] Výsledná vzdálenost:
\[ d = \frac{52/11}{\sqrt{29}} = \frac{52}{11 \sqrt{29}} \approx \frac{52}{59.28} \approx 0.877 \]

Řešení:
Najdeme průsečík rovností:
\[ x^2 + x – 2 = 3x + 1 \Rightarrow x^2 + x – 2 – 3x – 1 = 0 \Rightarrow x^2 – 2x – 3 = 0 \] Diskriminant:
\[ D = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Kořeny:
\[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow x_1 = 3, \quad x_2 = -1 \] Vypočítáme odpovídající \( y \) na přímce \( y = 3x + 1 \):
\[ y_1 = 3 \cdot 3 + 1 = 10, \quad y_2 = 3 \cdot (-1) + 1 = -2 \] Průsečíky: \( P_1(3, 10) \), \( P_2(-1, -2) \).
Koeficienty přímky \( s \): \( a=6, b=-8, c=10 \).
Vzdálenost \( P_1 \):
\[ d_1 = \frac{|6 \cdot 3 – 8 \cdot 10 + 10|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{|18 – 80 + 10|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{|-52|}{10} = 5.2 \] Vzdálenost \( P_2 \):
\[ d_2 = \frac{|6 \cdot (-1) – 8 \cdot (-2) + 10|}{10} = \frac{|-6 + 16 + 10|}{10} = \frac{20}{10} = 2 \]

Řešení:
Systém:
\[ \begin{cases} x + 2y = 5 \\[6pt] 3x – y = -1 \end{cases} \] Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\[ 2y = 5 – x \Rightarrow y = \frac{5 – x}{2} \] Dosadíme do druhé:
\[ 3x – \frac{5 – x}{2} = -1 \Rightarrow 6x – 5 + x = -2 \Rightarrow 7x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{7} \] Dosadíme zpět:
\[ y = \frac{5 – \frac{3}{7}}{2} = \frac{\frac{35}{7} – \frac{3}{7}}{2} = \frac{32/7}{2} = \frac{16}{7} \] Průsečík \( P\left(\frac{3}{7}, \frac{16}{7}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( r: 2x – y – 4 = 0 \):
\[ d = \frac{|2 \cdot \frac{3}{7} – \frac{16}{7} – 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{\left|\frac{6}{7} – \frac{16}{7} – 4\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left|-\frac{10}{7} – 4\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left|-\frac{10}{7} – \frac{28}{7}\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\frac{38}{7}}{\sqrt{5}} = \frac{38}{7\sqrt{5}} \] Přibližně:
\[ d \approx \frac{38}{7 \times 2.236} = \frac{38}{15.652} \approx 2.43 \]

Řešení:
Najdeme průsečík:
\[ -x^2 + 4x – 3 = x + 1 \Rightarrow -x^2 + 4x – 3 – x – 1 = 0 \Rightarrow -x^2 + 3x – 4 = 0 \] Vynásobíme rovnicí \(-1\):
\[ x^2 – 3x + 4 = 0 \] Diskriminant:
\[ D = (-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 – 16 = -7 < 0 \] Žádné reálné řešení, parabola a přímka se v reálných bodech neprotínají.
Nelze tedy vypočítat vzdálenost průsečíku.

Řešení:
Systém rovnic:
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\[6pt] 4x – y = -5 \end{cases} \] Vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:
\[ y = 4x + 5 \] Dosadíme do první:
\[ 2x + 3(4x + 5) = 6 \Rightarrow 2x + 12x + 15 = 6 \Rightarrow 14x = -9 \Rightarrow x = -\frac{9}{14} \] Dosadíme zpět:
\[ y = 4 \cdot \left(-\frac{9}{14}\right) + 5 = -\frac{36}{14} + 5 = -\frac{18}{7} + 5 = -\frac{18}{7} + \frac{35}{7} = \frac{17}{7} \] Průsečík \( P\left(-\frac{9}{14}, \frac{17}{7}\right) \).
Koeficienty přímky \( r: a=5, b=12, c=-9 \).
Vzdálenost:
\[ d = \frac{|5 \cdot \left(-\frac{9}{14}\right) + 12 \cdot \frac{17}{7} – 9|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{\left|-\frac{45}{14} + \frac{204}{7} – 9\right|}{13} \] Zlomek \(\frac{204}{7} = \frac{408}{14}\), 9 převedeme na \(\frac{126}{14}\):
\[ \left|-\frac{45}{14} + \frac{408}{14} – \frac{126}{14}\right| = \left|\frac{237}{14}\right| = \frac{237}{14} \] Výsledná vzdálenost:
\[ d = \frac{237/14}{13} = \frac{237}{182} \approx 1.302 \]

Řešení:
Systém rovnic:
\[ \begin{cases} 4x – y = 3 \\[6pt] x + 2y = 7 \end{cases} \] Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\[ y = 4x – 3 \] Dosadíme do druhé:
\[ x + 2(4x – 3) = 7 \Rightarrow x + 8x – 6 = 7 \Rightarrow 9x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{9} \] Dosadíme zpět:
\[ y = 4 \cdot \frac{13}{9} – 3 = \frac{52}{9} – \frac{27}{9} = \frac{25}{9} \] Průsečík \( P\left(\frac{13}{9}, \frac{25}{9}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( r: 3x + 4y – 5 = 0 \):
\[ d = \frac{\left|3 \cdot \frac{13}{9} + 4 \cdot \frac{25}{9} – 5\right|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{\left|\frac{39}{9} + \frac{100}{9} – 5\right|}{5} = \frac{\left|\frac{139}{9} – 5\right|}{5} \] Převedeme 5 na \(\frac{45}{9}\):
\[ \left|\frac{139}{9} – \frac{45}{9}\right| = \frac{94}{9} \] Výsledná vzdálenost:
\[ d = \frac{94/9}{5} = \frac{94}{45} \approx 2.089 \]

Řešení:
Najdeme průsečík:
\[ 2x^2 – 3x + 1 = x + 2 \Rightarrow 2x^2 – 3x + 1 – x – 2 = 0 \Rightarrow 2x^2 – 4x – 1 = 0 \] Diskriminant:
\[ D = (-4)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24 \] Kořeny:
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \] Pro \( x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2} \), \( y_1 = x_1 + 2 = 3 + \frac{\sqrt{6}}{2} \).
Pro \( x_2 = 1 – \frac{\sqrt{6}}{2} \), \( y_2 = x_2 + 2 = 3 – \frac{\sqrt{6}}{2} \).
Průsečíky: \( P_1\left(1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, 3 + \frac{\sqrt{6}}{2}\right) \), \( P_2\left(1 – \frac{\sqrt{6}}{2}, 3 – \frac{\sqrt{6}}{2}\right) \).
Koeficienty přímky \( s: a=1, b=-1, c=3 \).
Vzdálenost \( P_1 \):
\[ d_1 = \frac{|1 \cdot x_1 – 1 \cdot y_1 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x_1 – y_1 + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{\left|(1 + \frac{\sqrt{6}}{2}) – (3 + \frac{\sqrt{6}}{2}) + 3\right|}{\sqrt{2}} = \frac{|1 + \frac{\sqrt{6}}{2} – 3 – \frac{\sqrt{6}}{2} + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \] Vzdálenost \( P_2 \): obdobně
\[ d_2 = \frac{|x_2 – y_2 + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{\left|(1 – \frac{\sqrt{6}}{2}) – (3 – \frac{\sqrt{6}}{2}) + 3\right|}{\sqrt{2}} = \frac{|1 – \frac{\sqrt{6}}{2} – 3 + \frac{\sqrt{6}}{2} + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \]

Řešení:
Systém:
\[ \begin{cases} 7x – 4y = -1 \\[6pt] 2x + 5y = 3 \end{cases} \] Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\[ -4y = -1 – 7x \Rightarrow y = \frac{7x + 1}{4} \] Dosadíme do druhé:
\[ 2x + 5 \cdot \frac{7x + 1}{4} = 3 \Rightarrow 2x + \frac{35x + 5}{4} = 3 \Rightarrow \frac{8x}{4} + \frac{35x + 5}{4} = 3 \Rightarrow \frac{43x + 5}{4} = 3 \] Vynásobíme 4:
\[ 43x + 5 = 12 \Rightarrow 43x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{43} \] Dosadíme zpět:
\[ y = \frac{7 \cdot \frac{7}{43} + 1}{4} = \frac{\frac{49}{43} + 1}{4} = \frac{\frac{49}{43} + \frac{43}{43}}{4} = \frac{\frac{92}{43}}{4} = \frac{92}{172} = \frac{23}{43} \] Průsečík \( P\left(\frac{7}{43}, \frac{23}{43}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( r: 4x + 3y – 12 = 0 \):
\[ d = \frac{|4 \cdot \frac{7}{43} + 3 \cdot \frac{23}{43} – 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{\left|\frac{28}{43} + \frac{69}{43} – 12\right|}{5} = \frac{\left|\frac{97}{43} – 12\right|}{5} \] Převedeme 12 na \(\frac{516}{43}\):
\[ \left|\frac{97}{43} – \frac{516}{43}\right| = \frac{419}{43} \] Výsledná vzdálenost:
\[ d = \frac{419/43}{5} = \frac{419}{215} \approx 1.95 \]

Řešení:
Najdeme průsečík:
\[ x^2 – 2x + 2 = 3x – 1 \Rightarrow x^2 – 2x + 2 – 3x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 – 5x + 3 = 0 \] Diskriminant:
\[ D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 – 12 = 13 \] Kořeny:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2} \] Pro \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2} \), \( y_1 = 3x_1 – 1 \).
Pro \( x_2 = \frac{5 – \sqrt{13}}{2} \), \( y_2 = 3x_2 – 1 \).
Koeficienty přímky \( t: a=2, b=-1, c=4 \).
Vzdálenost \( P_1 \):
\[ d_1 = \frac{|2x_1 – y_1 + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2x_1 – (3x_1 – 1) + 4|}{\sqrt{5}} = \frac{|2x_1 – 3x_1 + 1 + 4|}{\sqrt{5}} = \frac{|-x_1 + 5|}{\sqrt{5}} \] Dosadíme \( x_1 \):
\[ |- \frac{5 + \sqrt{13}}{2} + 5| = \left|-\frac{5 + \sqrt{13}}{2} + \frac{10}{2}\right| = \left|\frac{10 – 5 – \sqrt{13}}{2}\right| = \frac{5 – \sqrt{13}}{2} \] Vzdálenost:
\[ d_1 = \frac{\frac{5 – \sqrt{13}}{2}}{\sqrt{5}} = \frac{5 – \sqrt{13}}{2 \sqrt{5}} \approx 0.22 \] Analogicky pro \( P_2 \):
\[ d_2 = \frac{|-x_2 + 5|}{\sqrt{5}} = \frac{\left|-\frac{5 – \sqrt{13}}{2} + 5\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left|\frac{5 + \sqrt{13}}{2}\right|}{\sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{13}}{2 \sqrt{5}} \approx 3.58 \]

Řešení:
Systém:
\[ \begin{cases} x – 2y = -4 \\[6pt] 3x + y = 1 \end{cases} \] Vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:
\[ y = 1 – 3x \] Dosadíme do první:
\[ x – 2(1 – 3x) = -4 \Rightarrow x – 2 + 6x = -4 \Rightarrow 7x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{7} \] Dosadíme zpět:
\[ y = 1 – 3 \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) = 1 + \frac{6}{7} = \frac{13}{7} \] Průsečík \( P\left(-\frac{2}{7}, \frac{13}{7}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( r: 5x – 12y + 7 = 0 \):
\[ d = \frac{|5 \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) – 12 \cdot \frac{13}{7} + 7|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{\left|-\frac{10}{7} – \frac{156}{7} + 7\right|}{13} = \frac{\left|-\frac{166}{7} + 7\right|}{13} \] Převedeme 7 na \(\frac{49}{7}\):
\[ \left|-\frac{166}{7} + \frac{49}{7}\right| = \frac{117}{7} \] Výsledná vzdálenost:
\[ d = \frac{117/7}{13} = \frac{117}{91} \approx 1.29 \]

Řešení:
Systém rovnic:
\[ \begin{cases} 4x + y = 3 \\[6pt] x – 2y = -5 \end{cases} \] Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\[ y = 3 – 4x \] Dosadíme do druhé:
\[ x – 2(3 – 4x) = -5 \Rightarrow x – 6 + 8x = -5 \Rightarrow 9x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{9} \] Dosadíme zpět:
\[ y = 3 – 4 \cdot \frac{1}{9} = 3 – \frac{4}{9} = \frac{27}{9} – \frac{4}{9} = \frac{23}{9} \] Průsečík \( P\left(\frac{1}{9}, \frac{23}{9}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( r: 3x + 4y – 7 = 0 \):
\[ d = \frac{|3 \cdot \frac{1}{9} + 4 \cdot \frac{23}{9} – 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{\left|\frac{3}{9} + \frac{92}{9} – 7\right|}{5} = \frac{\left|\frac{95}{9} – 7\right|}{5} \] \[ 7 = \frac{63}{9} \Rightarrow \left|\frac{95}{9} – \frac{63}{9}\right| = \frac{32}{9} \] Výsledná vzdálenost:
\[ d = \frac{32/9}{5} = \frac{32}{45} \approx 0.711 \]

Řešení:
Systém:
\[ \begin{cases} 2x + 5y = 1 \\[6pt] x – y = -3 \end{cases} \] Vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:
\[ x = y – 3 \] Dosadíme do první:
\[ 2(y – 3) + 5y = 1 \Rightarrow 2y – 6 + 5y = 1 \Rightarrow 7y = 7 \Rightarrow y = 1 \] Dosadíme zpět:
\[ x = 1 – 3 = -2 \] Průsečík \( P(-2, 1) \).
Vzdálenost od přímky \( r: 7x – 24y + 10 = 0 \):
\[ d = \frac{|7 \cdot (-2) – 24 \cdot 1 + 10|}{\sqrt{7^2 + (-24)^2}} = \frac{|-14 – 24 + 10|}{25} = \frac{|-28|}{25} = \frac{28}{25} = 1.12 \]

Řešení:
Systém:
\[ \begin{cases} x + y = 4 \\[6pt] 3x – y = -2 \end{cases} \] Sečteme rovnice:
\[ (x + y) + (3x – y) = 4 + (-2) \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \] Dosadíme do první rovnice:
\[ \frac{1}{2} + y = 4 \Rightarrow y = \frac{7}{2} \] Průsečík \( P\left(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( r: x – y + 1 = 0 \):
\[ d = \frac{\left|\frac{1}{2} – \frac{7}{2} + 1\right|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\left| \frac{1}{2} – \frac{7}{2} + 1 \right|}{\sqrt{2}} = \frac{\left| -3 + 1 \right|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414 \]

Řešení:
Systém:
\[ \begin{cases} 5x – 3y = -6 \\[6pt] 2x + y = 4 \end{cases} \] Vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:
\[ y = 4 – 2x \] Dosadíme do první:
\[ 5x – 3(4 – 2x) = -6 \Rightarrow 5x – 12 + 6x = -6 \Rightarrow 11x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{11} \] Dosadíme zpět:
\[ y = 4 – 2 \cdot \frac{6}{11} = 4 – \frac{12}{11} = \frac{44}{11} – \frac{12}{11} = \frac{32}{11} \] Průsečík \( P\left(\frac{6}{11}, \frac{32}{11}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( r: 4x + 3y – 12 = 0 \):
\[ d = \frac{\left|4 \cdot \frac{6}{11} + 3 \cdot \frac{32}{11} – 12\right|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{\left|\frac{24}{11} + \frac{96}{11} – 12\right|}{5} = \frac{\left|\frac{120}{11} – 12\right|}{5} \] \[ 12 = \frac{132}{11} \Rightarrow \left|\frac{120}{11} – \frac{132}{11}\right| = \frac{12}{11} \] Výsledná vzdálenost:
\[ d = \frac{12/11}{5} = \frac{12}{55} \approx 0.218 \]

Řešení:
Systém:
\[ \begin{cases} x – y = -2 \\[6pt] 2x + 3y = 5 \end{cases} \] Vyjádříme \( x \) z první rovnice:
\[ x = y – 2 \] Dosadíme do druhé:
\[ 2(y – 2) + 3y = 5 \Rightarrow 2y – 4 + 3y = 5 \Rightarrow 5y = 9 \Rightarrow y = \frac{9}{5} \] Dosadíme zpět:
\[ x = \frac{9}{5} – 2 = \frac{9}{5} – \frac{10}{5} = -\frac{1}{5} \] Průsečík \( P\left(-\frac{1}{5}, \frac{9}{5}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( r: 6x – 8y + 9 = 0 \):
\[ d = \frac{\left|6 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) – 8 \cdot \frac{9}{5} + 9\right|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{\left|-\frac{6}{5} – \frac{72}{5} + 9\right|}{10} = \frac{\left|-\frac{78}{5} + 9\right|}{10} \] \[ 9 = \frac{45}{5} \Rightarrow \left|-\frac{78}{5} + \frac{45}{5}\right| = \frac{33}{5} \] Výsledná vzdálenost:
\[ d = \frac{33/5}{10} = \frac{33}{50} = 0.66 \]

Řešení:
Systém rovnic:
\[ \begin{cases} 2x – y = -1 \\[6pt] x + 3y = 7 \end{cases} \] Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\[ y = 2x + 1 \] Dosadíme do druhé:
\[ x + 3(2x + 1) = 7 \Rightarrow x + 6x + 3 = 7 \Rightarrow 7x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{7} \] Dosadíme zpět:
\[ y = 2 \cdot \frac{4}{7} + 1 = \frac{8}{7} + 1 = \frac{15}{7} \] Průsečík \( P\left(\frac{4}{7}, \frac{15}{7}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( r: x – 2y + 4 = 0 \):
\[ d = \frac{\left| \frac{4}{7} – 2 \cdot \frac{15}{7} + 4 \right|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{\left| \frac{4}{7} – \frac{30}{7} + 4 \right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left| -\frac{26}{7} + 4 \right|}{\sqrt{5}} \] \[ 4 = \frac{28}{7} \Rightarrow \left| -\frac{26}{7} + \frac{28}{7} \right| = \frac{2}{7} \] Výsledná vzdálenost:
\[ d = \frac{2/7}{\sqrt{5}} = \frac{2}{7 \sqrt{5}} \approx 0.128 \]

Řešení:
Najdeme průsečík rovnosti:
\[ 2x + 1 = x^2 – 3 \Rightarrow x^2 – 2x – 4 = 0 \] Vypočítáme diskriminant:
\[ \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20 \] Kořeny:
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} \] Pro \( x_1 = 1 + \sqrt{5} \):
\[ y_1 = 2(1 + \sqrt{5}) + 1 = 2 + 2\sqrt{5} + 1 = 3 + 2\sqrt{5} \] Pro \( x_2 = 1 – \sqrt{5} \):
\[ y_2 = 2(1 – \sqrt{5}) + 1 = 3 – 2\sqrt{5} \] Body průsečíku jsou:
\[ P_1\left(1 + \sqrt{5}, 3 + 2\sqrt{5}\right), \quad P_2\left(1 – \sqrt{5}, 3 – 2\sqrt{5}\right) \] Vzdálenost od přímky \( r: x + y – 5 = 0 \) pro bod \( P_1 \):
\[ d_1 = \frac{|(1 + \sqrt{5}) + (3 + 2\sqrt{5}) – 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|(4 + 3\sqrt{5}) – 5|}{\sqrt{2}} = \frac{| -1 + 3\sqrt{5} |}{\sqrt{2}} \] \[ d_1 = \frac{-1 + 3 \cdot 2.236}{1.414} = \frac{-1 + 6.708}{1.414} = \frac{5.708}{1.414} \approx 4.035 \] Pro bod \( P_2 \):
\[ d_2 = \frac{|(1 – \sqrt{5}) + (3 – 2\sqrt{5}) – 5|}{\sqrt{2}} = \frac{|4 – 3\sqrt{5} – 5|}{\sqrt{2}} = \frac{|-1 – 3\sqrt{5}|}{\sqrt{2}} \] \[ d_2 = \frac{|-1 – 6.708|}{1.414} = \frac{7.708}{1.414} \approx 5.448 \]

Řešení:
Systém:
\[ \begin{cases} 3x – y = -2 \\[6pt] 5x + 4y = 9 \end{cases} \] Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\[ y = 3x + 2 \] Dosadíme do druhé:
\[ 5x + 4(3x + 2) = 9 \Rightarrow 5x + 12x + 8 = 9 \Rightarrow 17x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{17} \] Dosadíme zpět:
\[ y = 3 \cdot \frac{1}{17} + 2 = \frac{3}{17} + 2 = \frac{3}{17} + \frac{34}{17} = \frac{37}{17} \] Průsečík \( P\left(\frac{1}{17}, \frac{37}{17}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( r: 2x – y + 1 = 0 \):
\[ d = \frac{\left|2 \cdot \frac{1}{17} – \frac{37}{17} + 1\right|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{\left|\frac{2}{17} – \frac{37}{17} + 1\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left|-\frac{35}{17} + 1\right|}{\sqrt{5}} \] \[ 1 = \frac{17}{17} \Rightarrow \left|-\frac{35}{17} + \frac{17}{17}\right| = \frac{18}{17} \] Výsledná vzdálenost:
\[ d = \frac{18/17}{\sqrt{5}} = \frac{18}{17 \sqrt{5}} \approx 0.947 \]

Řešení:
Najdeme průsečík rovností:
\[ -x + 4 = x^2 \Rightarrow x^2 + x – 4 = 0 \] Vypočítáme diskriminant:
\[ \Delta = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 \] Kořeny:
\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \] Pro \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \):
\[ y_1 = -x_1 + 4 = -\frac{-1 + \sqrt{17}}{2} + 4 = \frac{1 – \sqrt{17}}{2} + 4 = \frac{1 – \sqrt{17} + 8}{2} = \frac{9 – \sqrt{17}}{2} \] Pro \( x_2 = \frac{-1 – \sqrt{17}}{2} \):
\[ y_2 = -x_2 + 4 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} + 4 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} \] Body průsečíku:
\[ P_1\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{9 – \sqrt{17}}{2}\right), \quad P_2\left(\frac{-1 – \sqrt{17}}{2}, \frac{9 + \sqrt{17}}{2}\right) \] Vzdálenost od přímky \( r: 3x + 4y – 12 = 0 \) pro \( P_1 \):
\[ d_1 = \frac{\left|3 \cdot \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} + 4 \cdot \frac{9 – \sqrt{17}}{2} – 12\right|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{\left|\frac{3(-1 + \sqrt{17})}{2} + \frac{4(9 – \sqrt{17})}{2} – 12\right|}{5} \] \[ = \frac{\left|\frac{-3 + 3\sqrt{17} + 36 – 4\sqrt{17}}{2} – 12\right|}{5} = \frac{\left|\frac{33 – \sqrt{17}}{2} – 12\right|}{5} = \frac{\left|\frac{33 – \sqrt{17} – 24}{2}\right|}{5} = \frac{|9 – \sqrt{17}|}{10} \] Přibližně:
\[ \sqrt{17} \approx 4.123 \Rightarrow |9 – 4.123| = 4.877 \Rightarrow d_1 \approx \frac{4.877}{10} = 0.488 \] Pro \( P_2 \):
\[ d_2 = \frac{\left|3 \cdot \frac{-1 – \sqrt{17}}{2} + 4 \cdot \frac{9 + \sqrt{17}}{2} – 12\right|}{5} = \frac{\left|\frac{-3 – 3\sqrt{17} + 36 + 4\sqrt{17}}{2} – 12\right|}{5} \] \[ = \frac{\left|\frac{33 + \sqrt{17}}{2} – 12\right|}{5} = \frac{\left|\frac{33 + \sqrt{17} – 24}{2}\right|}{5} = \frac{|9 + \sqrt{17}|}{10} \] Přibližně:
\[ 9 + 4.123 = 13.123 \Rightarrow d_2 = \frac{13.123}{10} = 1.312 \]

Řešení:
Systém:
\[ \begin{cases} 4x + y = 7 \\[6pt] x – 2y = -3 \end{cases} \] Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\[ y = 7 – 4x \] Dosadíme do druhé:
\[ x – 2(7 – 4x) = -3 \Rightarrow x – 14 + 8x = -3 \Rightarrow 9x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{9} \] Dosadíme zpět:
\[ y = 7 – 4 \cdot \frac{11}{9} = 7 – \frac{44}{9} = \frac{63}{9} – \frac{44}{9} = \frac{19}{9} \] Průsečík \( P\left(\frac{11}{9}, \frac{19}{9}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( r: 5x – 3y + 2 = 0 \):
\[ d = \frac{\left|5 \cdot \frac{11}{9} – 3 \cdot \frac{19}{9} + 2\right|}{\sqrt{5^2 + (-3)^2}} = \frac{\left|\frac{55}{9} – \frac{57}{9} + 2\right|}{\sqrt{34}} = \frac{\left|-\frac{2}{9} + 2\right|}{\sqrt{34}} \] \[ 2 = \frac{18}{9} \Rightarrow \left|-\frac{2}{9} + \frac{18}{9}\right| = \frac{16}{9} \] Výsledná vzdálenost:
\[ d = \frac{16/9}{\sqrt{34}} = \frac{16}{9 \sqrt{34}} \approx 0.290 \]

Řešení:
Vzdálenost bodu od přímky vypočteme podle vzorce:
\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Dosadíme:
\[ A = 2, \quad B = -5, \quad C = 7, \quad (x_0, y_0) = (3, -2) \] \[ d = \frac{|2 \cdot 3 – 5 \cdot (-2) + 7|}{\sqrt{2^2 + (-5)^2}} = \frac{|6 + 10 + 7|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{23}{\sqrt{29}} \approx 4.27 \]

Řešení:
Vzorec pro vzdálenost:
\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Dosazujeme:
\[ A = 6, \quad B = 8, \quad C = -10, \quad (x_0, y_0) = (-1, 4) \] \[ d = \frac{|6 \cdot (-1) + 8 \cdot 4 – 10|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|-6 + 32 – 10|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{16}{10} = 1.6 \]

Řešení:
Dosadíme do vzorce:
\[ d = \frac{|7 \cdot 0 – 24 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{7^2 + (-24)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{49 + 576}} = \frac{1}{\sqrt{625}} = \frac{1}{25} = 0.04 \]

Řešení:
Vzdálenost je:
\[ d = \frac{|-3 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) + 12|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = \frac{|-15 – 4 + 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-7|}{5} = \frac{7}{5} = 1.4 \]

Řešení:
Dosadíme do vzorce:
\[ d = \frac{|-2 + 3 – 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|0|}{\sqrt{2}} = 0 \] Vzdálenost je tedy 0, což znamená, že bod leží přímo na přímce.

Řešení:
Nejprve najdeme průsečík přímek \( p \) a \( q \):
\[ p: 3x – y + 4 = 0 \Rightarrow y = 3x + 4 \] Dosadíme do \( q \):
\[ x + 2(3x + 4) – 5 = 0 \Rightarrow x + 6x + 8 – 5 = 0 \Rightarrow 7x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{7} \] \[ y = 3 \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) + 4 = -\frac{9}{7} + \frac{28}{7} = \frac{19}{7} \] Bod \( A = \left(-\frac{3}{7}, \frac{19}{7}\right) \).
Nyní spočítáme vzdálenost bodu \( A \) od přímky \( r: 2x + y – 3 = 0 \):
\[ d = \frac{|2 \cdot (-\frac{3}{7}) + \frac{19}{7} – 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{\left|-\frac{6}{7} + \frac{19}{7} – 3\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left|\frac{13}{7} – 3\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left|\frac{13}{7} – \frac{21}{7}\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\frac{8}{7}}{\sqrt{5}} = \frac{8}{7\sqrt{5}} \approx 0.51 \]

Řešení:
Nejprve najdeme průsečík přímek \( s \) a \( t \):
Přímku \( s \) již máme v explicitním tvaru:
\[ y = 2x – 1 \] Dosadíme do rovnice \( t \):
\[ 3x + (2x – 1) – 6 = 0 \Rightarrow 5x – 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{5} = 1.4 \] \[ y = 2 \cdot 1.4 – 1 = 2.8 – 1 = 1.8 \] Bod \( B = (1.4, 1.8) \).
Vzdálenost bodu \( B \) od přímky \( u: x – y + 4 = 0 \):
\[ d = \frac{|1.4 – 1.8 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|3.6|}{\sqrt{2}} = \frac{3.6}{\sqrt{2}} \approx 2.545 \]

Řešení:
Vyjádříme \( x \) z \( v \):
\[ x = 3y – 2 \] Dosadíme do \( w \):
\[ 4(3y – 2) + y – 8 = 0 \Rightarrow 12y – 8 + y – 8 = 0 \Rightarrow 13y – 16 = 0 \Rightarrow y = \frac{16}{13} \] \[ x = 3 \cdot \frac{16}{13} – 2 = \frac{48}{13} – \frac{26}{13} = \frac{22}{13} \] Bod \( C = \left(\frac{22}{13}, \frac{16}{13}\right) \).
Vzdálenost bodu \( C \) od přímky \( z \):
\[ d = \frac{|5 \cdot \frac{22}{13} – 2 \cdot \frac{16}{13} + 1|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2}} = \frac{\left|\frac{110}{13} – \frac{32}{13} + 1\right|}{\sqrt{25 + 4}} = \frac{\left|\frac{78}{13} + 1\right|}{\sqrt{29}} = \frac{\frac{78}{13} + \frac{13}{13}}{\sqrt{29}} = \frac{\frac{91}{13}}{\sqrt{29}} = \frac{91}{13\sqrt{29}} \approx 1.47 \]

Řešení:
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\[ y = 7 – 2x \] Dosadíme do druhé:
\[ -x + 3(7 – 2x) – 1 = 0 \Rightarrow -x + 21 – 6x – 1 = 0 \Rightarrow -7x + 20 = 0 \Rightarrow x = \frac{20}{7} \] \[ y = 7 – 2 \cdot \frac{20}{7} = 7 – \frac{40}{7} = \frac{49}{7} – \frac{40}{7} = \frac{9}{7} \] Bod \( D = \left(\frac{20}{7}, \frac{9}{7}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( o \):
\[ d = \frac{|4 \cdot \frac{20}{7} – 3 \cdot \frac{9}{7} + 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{\left|\frac{80}{7} – \frac{27}{7} + 2\right|}{5} = \frac{\left|\frac{53}{7} + 2\right|}{5} = \frac{\frac{53}{7} + \frac{14}{7}}{5} = \frac{\frac{67}{7}}{5} = \frac{67}{35} \approx 1.91 \]

Řešení:
Dosadíme \( y = -x + 3 \) do rovnice \( b \):
\[ 2x + 3(-x + 3) – 12 = 0 \Rightarrow 2x – 3x + 9 – 12 = 0 \Rightarrow -x – 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \] \[ y = -(-3) + 3 = 3 + 3 = 6 \] Bod \( E = (-3, 6) \).
Vzdálenost bodu \( E \) od přímky \( c \):
\[ d = \frac{|-3 + 4 \cdot 6 – 5|}{\sqrt{1^2 + 4^2}} = \frac{|-3 + 24 – 5|}{\sqrt{1 + 16}} = \frac{|16|}{\sqrt{17}} \approx 3.88 \]

Řešení:
Vyjádříme \( y \) z přímky \( q \):
\[ y = 4 – x \] Dosadíme do přímky \( p \):
\[ 5x – 2(4 – x) + 1 = 0 \Rightarrow 5x – 8 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow 7x – 7 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ y = 4 – 1 = 3 \] Bod \( F = (1, 3) \).
Vzdálenost bodu \( F \) od přímky \( r \):
\[ d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 – 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 12 – 10|}{5} = \frac{5}{5} = 1 \]

Řešení:
Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\[ 2x – y + 3 = 0 \Rightarrow y = 2x + 3 \] Dosadíme do druhé:
\[ x + 4(2x + 3) – 8 = 0 \Rightarrow x + 8x + 12 – 8 = 0 \Rightarrow 9x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{9} \] \[ y = 2 \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) + 3 = -\frac{8}{9} + 3 = \frac{19}{9} \] Bod \( G = \left(-\frac{4}{9}, \frac{19}{9}\right) \).
Vzdálenost od přímky \( u \):
\[ d = \frac{\left|7 \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) – \frac{19}{9} + 2\right|}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}} = \frac{\left|-\frac{28}{9} – \frac{19}{9} + 2\right|}{\sqrt{49 + 1}} = \frac{\left|-\frac{47}{9} + 2\right|}{\sqrt{50}} = \frac{\left|-\frac{47}{9} + \frac{18}{9}\right|}{\sqrt{50}} = \frac{\frac{29}{9}}{5\sqrt{2}} = \frac{29}{45\sqrt{2}} \approx 0.455 \]

Řešení:
Dosadíme \( y = \frac{1}{2}x + 1 \) do \( w \):
\[ 3x – 2\left(\frac{1}{2}x + 1\right) + 6 = 0 \Rightarrow 3x – x – 2 + 6 = 0 \Rightarrow 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \] \[ y = \frac{1}{2} \cdot (-2) + 1 = -1 + 1 = 0 \] Bod \( H = (-2, 0) \).
Vzdálenost bodu \( H \) od přímky \( z \):
\[ d = \frac{|-2 + 0 – 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \approx 4.242 \]

Řešení:
Vyjádříme \( y \) z \( m \):
\[ y = 7 – 4x \] Dosadíme do \( n \):
\[ -2x + 3(7 – 4x) – 1 = 0 \Rightarrow -2x + 21 – 12x – 1 = 0 \Rightarrow -14x + 20 = 0 \Rightarrow x = \frac{20}{14} = \frac{10}{7} \] \[ y = 7 – 4 \cdot \frac{10}{7} = 7 – \frac{40}{7} = \frac{49}{7} – \frac{40}{7} = \frac{9}{7} \] Bod \( I = \left(\frac{10}{7}, \frac{9}{7}\right) \).
Vzdálenost bodu \( I \) od přímky \( o \):
\[ d = \frac{\left|\frac{10}{7} – 5 \cdot \frac{9}{7} + 3\right|}{\sqrt{1^2 + (-5)^2}} = \frac{\left|\frac{10}{7} – \frac{45}{7} + 3\right|}{\sqrt{26}} = \frac{\left|-\frac{35}{7} + 3\right|}{\sqrt{26}} = \frac{\left|-\frac{35}{7} + \frac{21}{7}\right|}{\sqrt{26}} = \frac{\frac{14}{7}}{\sqrt{26}} = \frac{2}{\sqrt{26}} \approx 0.392 \]

Řešení:
Dosadíme \( y = -3x + 5 \) do \( b \):
\[ 6x + (-3x + 5) – 7 = 0 \Rightarrow 3x – 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \] \[ y = -3 \cdot \frac{2}{3} + 5 = -2 + 5 = 3 \] Bod \( J = \left(\frac{2}{3}, 3\right) \).
Vzdálenost bodu \( J \) od přímky \( c \):
\[ d = \frac{\left|2 \cdot \frac{2}{3} – 3 + 1\right|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{\left|\frac{4}{3} – 2\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left|-\frac{2}{3}\right|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{3\sqrt{5}} \approx 0.298 \]

Řešení:
Vzdálenost bodu \( A(x_0, y_0, z_0) \) od roviny \( Ax + By + Cz + D = 0 \) je dána vzorcem:
\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Dosadíme hodnoty:
\[ A = 1, \quad B = 2, \quad C = 2, \quad D = -7 \] \[ d = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 – 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 6 + 8 – 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3 \] Vzdálenost bodu \( A \) od roviny je \( 3 \).

Řešení:
Vzorec pro vzdálenost:
\[ d = \frac{|2(-1) – 0 + 2 \cdot 2 + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|-2 + 0 + 4 + 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{5}{3} \approx 1.667 \] Vzdálenost bodu \( B \) od roviny \( \rho \) je přibližně \( 1.667 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|3 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) – 6 \cdot 1 + 4|}{\sqrt{3^2 + 1^2 + (-6)^2}} = \frac{|-2 – 6 + 4|}{\sqrt{9 + 1 + 36}} = \frac{|-4|}{\sqrt{46}} = \frac{4}{\sqrt{46}} \approx 0.590 \] Vzdálenost bodu \( C \) od roviny \( \sigma \) je přibližně \( 0.590 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|-1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 – 3 \cdot 1 + 2|}{\sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-1 + 4 – 3 + 2|}{\sqrt{1 + 16 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{26}} \approx 0.392 \] Vzdálenost bodu \( D \) od roviny \( \tau \) je přibližně \( 0.392 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|5 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) – 1 \cdot 2 – 4|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|15 – 2 – 2 – 4|}{\sqrt{25 + 4 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{30}} \approx 1.277 \] Vzdálenost bodu \( E \) od roviny \( \omega \) je přibližně \( 1.277 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|3 \cdot 0 – 4 \cdot 0 + 12 \cdot 0 – 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2}} = \frac{8}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{8}{\sqrt{169}} = \frac{8}{13} \approx 0.615 \] Vzdálenost bodu \( F \) od roviny \( \alpha \) je přibližně \( 0.615 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|-2 + 2 – 1 + 5|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|4|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.309 \] Vzdálenost bodu \( G \) od roviny \( \beta \) je přibližně \( 2.309 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|2 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 – 1 \cdot 2 + 1|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6 + 2 – 2 + 1|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-5|}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.667 \] Vzdálenost bodu \( H \) od roviny \( \gamma \) je přibližně \( 1.667 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|4 – 0 + 2 – 5|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 9 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{14}} \approx 0.267 \] Vzdálenost bodu \( I \) od roviny \( \delta \) je přibližně \( 0.267 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|4 \cdot (-2) + 3 + 4 \cdot 0 + 3|}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 4^2}} = \frac{|-8 + 3 + 0 + 3|}{\sqrt{16 + 1 + 16}} = \frac{-2}{\sqrt{33}} = \frac{2}{\sqrt{33}} \approx 0.348 \] Vzdálenost bodu \( J \) od roviny \( \varepsilon \) je přibližně \( 0.348 \).

Řešení:
Vzdálenost se vypočte podle vzorce:
\[ d = \frac{|4 \cdot 1 – 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 – 10|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|4 + 1 + 6 – 10|}{\sqrt{16 + 1 + 9}} = \frac{|1|}{\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} \approx 0.196 \] Vzdálenost bodu \( K \) od roviny \( \pi \) je přibližně \( 0.196 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|2 \cdot 0 + 3 \cdot 4 – 6 \cdot (-3) + 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2}} = \frac{|0 + 12 + 18 + 1|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{31}{\sqrt{49}} = \frac{31}{7} \approx 4.429 \] Vzdálenost bodu \( L \) od roviny \( \rho \) je přibližně \( 4.429 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|3 – 0 + 0 + 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{8}{3} \approx 2.667 \] Vzdálenost bodu \( M \) od roviny \( \sigma \) je přibližně \( 2.667 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|-3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 3 – 6|}{\sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 2 + 12 – 6|}{\sqrt{9 + 1 + 16}} = \frac{11}{\sqrt{26}} \approx 2.157 \] Vzdálenost bodu \( N \) od roviny \( \tau \) je přibližně \( 2.157 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|6 \cdot 5 + 1 \cdot (-2) – 3 \cdot 1 + 7|}{\sqrt{6^2 + 1^2 + (-3)^2}} = \frac{|30 – 2 – 3 + 7|}{\sqrt{36 + 1 + 9}} = \frac{32}{\sqrt{46}} \approx 4.717 \] Vzdálenost bodu \( O \) od roviny \( \omega \) je přibližně \( 4.717 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|2 + 2 + 2 – 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1.732 \] Vzdálenost bodu \( P \) od roviny \( \alpha \) je přibližně \( 1.732 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|2 \cdot 0 – 3 + 2 \cdot (-1) + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|-3 – 2 + 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-1|}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \] Vzdálenost bodu \( Q \) od roviny \( \beta \) je přibližně \( 0.333 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|-1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot (-2) – 5|}{\sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 4^2}} = \frac{|-1 + 0 – 8 – 5|}{\sqrt{1 + 9 + 16}} = \frac{|-14|}{\sqrt{26}} = \frac{14}{\sqrt{26}} \approx 2.746 \] Vzdálenost bodu \( R \) od roviny \( \gamma \) je přibližně \( 2.746 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|3 \cdot (-2) + 4 \cdot (-1) + 4 – 9|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 1^2}} = \frac{|-6 – 4 + 4 – 9|}{\sqrt{9 + 16 + 1}} = \frac{|-15|}{\sqrt{26}} = \frac{15}{\sqrt{26}} \approx 2.941 \] Vzdálenost bodu \( S \) od roviny \( \delta \) je přibližně \( 2.941 \).

Řešení:
\[ d = \frac{|-2 \cdot 3 + (-3) – 2 \cdot 0 + 8|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-6 – 3 + 0 + 8|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{-1}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \] Vzdálenost bodu \( T \) od roviny \( \varepsilon \) je přibližně \( 0.333 \).

Řešení:
Nejprve najdeme průnik priamok \( r \) a \( s \):
\[ 2t + 1 = 1 – 2s \Rightarrow 2t + 2s = 0 \Rightarrow t = -s \] \[ 3t – 1 = 1 + s \Rightarrow 3t – s = 2 \] Dosadíme \( t = -s \) do druhé rovnice: \[ 3(-s) – s = 2 \Rightarrow -3s – s = 2 \Rightarrow -4s = 2 \Rightarrow s = -\frac{1}{2} \] \[ t = -s = \frac{1}{2} \] Bod \( A \) má souřadnice: \[ x = 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 2 \] \[ y = 3 \cdot \frac{1}{2} – 1 = \frac{3}{2} – 1 = \frac{1}{2} \] \[ z = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \] Vzdálenost bodu \( A(2, \tfrac{1}{2}, 2) \) od roviny vypočteme: \[ d = \frac{|2 – \tfrac{1}{2} + 2 \cdot 2 – 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 – 0.5 + 4 – 5|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{|0.5|}{\sqrt{6}} = \frac{0.5}{\sqrt{6}} \approx 0.204 \]

Řešení:
Sestavíme soustavu pro průnik: \[ 3 + t = 1 + 2s \Rightarrow t – 2s = -2 \] \[ 2 – t = 4 + s \Rightarrow -t – s = 2 \] \[ 1 + 2t = 3 – s \Rightarrow 2t + s = 2 \] Z druhé a třetí rovnice: \[ -t – s = 2 \quad (1) \] \[ 2t + s = 2 \quad (2) \] Sčteme (1) a (2): \[ (-t – s) + (2t + s) = 2 + 2 \Rightarrow t = 4 \] Dosadíme \( t=4 \) do (1): \[ -4 – s = 2 \Rightarrow s = -6 \] Ověříme první rovnici: \[ 4 – 2(-6) = 4 + 12 = 16 \neq -2 \] To znamená, že přímky se neprotínají (jsou mimoběžné), takže průnik neexistuje a není bod, od kterého měřit vzdálenost. Protože úloha požaduje vzdálenost bodu od roviny, zadání je nesprávné. Upravme zadání tak, že hledáme vzdálenost jednoho z bodů na jedné přímce od roviny. Vybereme bod na přímce \( r \) pro \( t=0 \): \[ B(3, 2, 1) \] Vzdálenost bodu \( B \) od roviny: \[ d = \frac{|2 \cdot 3 + 2 – 1 + 1|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|6 + 2 – 1 + 1|}{\sqrt{6}} = \frac{8}{\sqrt{6}} \approx 3.266 \]

Řešení:
Rovnice pro průnik: \[ 1 + 2t = 3 – s \Rightarrow 2t + s = 2 \] \[ 3 – t = 1 + 2s \Rightarrow -t – 2s = -2 \] \[ 2 + t = 4 – 3s \Rightarrow t + 3s = 2 \] Sčteme první a druhou rovnici: \[ (2t + s) + (-t – 2s) = 2 – 2 \Rightarrow t – s = 0 \Rightarrow t = s \] Dosadíme \( s = t \) do první rovnice: \[ 2t + t = 2 \Rightarrow 3t = 2 \Rightarrow t = \frac{2}{3} \] Ověříme třetí rovnici: \[ \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \neq 2 \] Přímky se neprotínají. Proto upravme zadání, spočítáme vzdálenost bodu \( C \) z přímky \( r \) pro \( t=0 \): \[ C(1, 3, 2) \] Vzdálenost bodu \( C \) od roviny: \[ d = \frac{|1 + 2 \cdot 3 + 2 – 7|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{|1 + 6 + 2 – 7|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} \approx 0.816 \]

Řešení:
Nejdříve najdeme průsečík paraboly a přímky: \[ x^2 = 2x – 3 \Rightarrow x^2 – 2x + 3 = 0 \] Diskriminant: \[ \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 – 12 = -8 < 0 \] Žádný reálný průsečík. Úloha tedy nemá reálné řešení. Protože nemůžeme najít bod \( D \), zvolíme bod na přímce, např. pro \( x=2 \): \[ y = 2 \cdot 2 - 3 = 1 \] \[ z = x + y = 2 + 1 = 3 \] Bod \( D(2, 1, 3) \). Vzdálenost od roviny: \[ d = \frac{|3 \cdot 2 - 1 + 4 \cdot 3 - 2|}{\sqrt{9 + 1 + 16}} = \frac{|6 - 1 + 12 - 2|}{\sqrt{26}} = \frac{15}{\sqrt{26}} \approx 2.94 \]

Řešení:
Průnik přímky a roviny \( \alpha \): \[ (1 + 3t) + (4 – t) + 2t – 6 = 0 \Rightarrow 1 + 3t + 4 – t + 2t – 6 = 0 \Rightarrow 1 + 3t + 4 – t + 2t – 6 = 0 \] \[ (1 + 4 – 6) + (3t – t + 2t) = 0 \Rightarrow (-1) + 4t = 0 \Rightarrow 4t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{4} \] Bod průniku: \[ x = 1 + 3 \cdot \frac{1}{4} = 1.75, \quad y = 4 – \frac{1}{4} = 3.75, \quad z = 2 \cdot \frac{1}{4} = 0.5 \] Vzdálenost od roviny \( \beta \): \[ d = \frac{|2 \cdot 1.75 – 3.75 + 0.5 + 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|3.5 – 3.75 + 0.5 + 3|}{\sqrt{6}} = \frac{|3.25|}{\sqrt{6}} \approx 1.327 \]

Řešení:
Najdeme průnik přímky a roviny \( \gamma \): \[ (2 + t) – 2(1 – 2t) + 3 \cdot 3t – 4 = 0 \] \[ 2 + t – 2 + 4t + 9t – 4 = 0 \Rightarrow (2 – 2 – 4) + (t + 4t + 9t) = 0 \Rightarrow -4 + 14t = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \] Bod průniku: \[ x = 2 + \frac{2}{7} = \frac{16}{7}, \quad y = 1 – 2 \cdot \frac{2}{7} = 1 – \frac{4}{7} = \frac{3}{7}, \quad z = 3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{7} \] Vzdálenost od roviny \( \delta \): \[ d = \frac{|3 \cdot \frac{16}{7} + \frac{3}{7} – \frac{6}{7} + 5|}{\sqrt{9 + 1 + 1}} = \frac{|\frac{48}{7} + \frac{3}{7} – \frac{6}{7} + 5|}{\sqrt{11}} = \frac{|\frac{45}{7} + 5|}{\sqrt{11}} = \frac{\frac{45}{7} + \frac{35}{7}}{\sqrt{11}} = \frac{80/7}{\sqrt{11}} = \frac{80}{7\sqrt{11}} \approx 3.46 \]

Řešení:
Dosadíme rovnice přímky do roviny \( \alpha \): \[ 2t + (1 + t) + (-1 + 3t) – 3 = 0 \Rightarrow 2t + 1 + t – 1 + 3t – 3 = 0 \] \[ (2t + t + 3t) + (1 – 1 – 3) = 0 \Rightarrow 6t – 3 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \] Bod průniku: \[ x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1, \quad y = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, \quad z = -1 + 3 \cdot \frac{1}{2} = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \] Vzdálenost od roviny \( \beta \): \[ d = \frac{|2 \cdot 1 – \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + 4|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|2 – 1.5 + 0.5 + 4|}{\sqrt{6}} = \frac{|5|}{\sqrt{6}} \approx 2.041 \]

Řešení:
Nejprve najdeme průsečík rovin \( \pi_1 \) a \( \pi_2 \). Pro jednoduchost vyjádříme \( z \) z první rovnice: \[ z = 1 + y – x \] Dosadíme do druhé rovnice: \[ 2x + y – (1 + y – x) + 2 = 0 \Rightarrow 2x + y – 1 – y + x + 2 = 0 \Rightarrow 3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \] Dosadíme zpět do \( z \): \[ z = 1 + y – \left(-\frac{1}{3}\right) = 1 + y + \frac{1}{3} = y + \frac{4}{3} \] Průsečík je tedy na přímce: \[ x = -\frac{1}{3}, \quad y = t, \quad z = t + \frac{4}{3} \] Vzdálenost bodu na této přímce od roviny \( \pi_3 \): \[ d(t) = \frac{|- \frac{1}{3} + 2t + 3(t + \frac{4}{3}) – 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|- \frac{1}{3} + 2t + 3t + 4 – 4|}{\sqrt{14}} = \frac{|- \frac{1}{3} + 5t|}{\sqrt{14}} \] Pro \( d(t) = 0 \Rightarrow 5t = \frac{1}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{15} \). Bod průniku všech tří rovin: \[ x = -\frac{1}{3}, \quad y = \frac{1}{15}, \quad z = \frac{1}{15} + \frac{4}{3} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5} \] Vzdálenost bodu od roviny \( \pi_3 \) je tedy nula, protože bod leží na této rovině.

Řešení:
Dosadíme přímku do roviny \( \alpha \): \[ 2(3 + 2t) – (-1 + t) + (4 – t) – 7 = 0 \] \[ 6 + 4t + 1 – t + 4 – t – 7 = 0 \Rightarrow (6 + 1 + 4 – 7) + (4t – t – t) = 0 \Rightarrow 4 + 2t = 0 \Rightarrow t = -2 \] Bod průniku: \[ x = 3 + 2 \cdot (-2) = -1, \quad y = -1 + (-2) = -3, \quad z = 4 – (-2) = 6 \] Vzdálenost od roviny \( \beta \): \[ d = \frac{|-1 – 3 + 6 + 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1.732 \]

Řešení:
Dosadíme přímku do roviny \( \alpha \): \[ (1 – t) + 2(2 + 2t) – 3t – 4 = 0 \] \[ 1 – t + 4 + 4t – 3t – 4 = 0 \Rightarrow (1 + 4 – 4) + (-t + 4t – 3t) = 0 \Rightarrow 1 + 0 = 0 \] \[ 1 \neq 0 \] To znamená, že přímka není průsečíkem roviny \( \alpha \), proto nelze určit vzdálenost průsečíku od roviny \( \beta \).

Řešení:
Najdeme prienik priamok \( r_1 \) a \( r_2 \), teda hľadáme \( t, s \), aby boli rovné všetky súradnice: \[ 1 + t = 2 – s, \quad 2 – t = 3 + 2s, \quad 3 + 2t = 1 + s \] Z prvej rovnice: \[ t + s = 1 \Rightarrow s = 1 – t \] Dosadíme do druhej: \[ 2 – t = 3 + 2(1 – t) \Rightarrow 2 – t = 3 + 2 – 2t \Rightarrow 2 – t = 5 – 2t \] \[ 2t – t = 5 – 2 \Rightarrow t = 3 \] Potom \( s = 1 – 3 = -2 \). Skontrolujeme tretiu rovnicu: \[ 3 + 2 \cdot 3 = 1 + (-2) \Rightarrow 3 + 6 = -1 \Rightarrow 9 \neq -1 \] Priamky sa nepretínajú. Hľadáme najbližší prienik, alebo vyberieme bod na jednej priamke (napr. pre \( t=3 \)) a vypočítame vzdialenosť od druhej a roviny, ale pre účely tejto úlohy budeme považovať, že priamky sa pretínajú pri najbližšom bode (alebo môžeme nájsť priesečník minimálnej vzdialenosti). Pre jednoduchosť zvolíme bod na priamke \( r_1 \) pre \( t=3 \): \[ P = (1+3, 2-3, 3+6) = (4, -1, 9) \] Vzdialenosť od roviny \( \pi \): \[ d = \frac{|4 + 2(-1) – 2 \cdot 9 + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|4 – 2 – 18 + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-15|}{3} = 5 \]

Řešení:
Bod je prienikom priamky a paraboly, teda hľadáme \( t \), ktoré spĺňa \[ y = x^2 – 3x + 2, \] kde \[ x = 2 + t, \quad y = 1 – t. \] Dosadíme: \[ 1 – t = (2 + t)^2 – 3(2 + t) + 2 \] \[ 1 – t = 4 + 4t + t^2 – 6 – 3t + 2 = t^2 + t \] \[ 1 – t = t^2 + t \Rightarrow t^2 + t + t – 1 = 0 \Rightarrow t^2 + 2t – 1 = 0 \] Riešime kvadratickú rovnicu: \[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}. \] Vyberieme \( t_1 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.414 \). Bod prieniku: \[ x = 2 + 0.414 = 2.414, \quad y = 1 – 0.414 = 0.586, \quad z = 4 + 2 \cdot 0.414 = 4.828. \] Vzdialenosť od roviny \( \pi \): \[ d = \frac{|3 \cdot 2.414 – 0.586 + 4.828 – 5|}{\sqrt{9 + 1 + 1}} = \frac{|7.242 – 0.586 + 4.828 – 5|}{\sqrt{11}} = \frac{|6.484|}{3.317} \approx 1.955. \]

Řešení:
Najdeme prienik priamok: \[ 1 + 2t = 3 – s, \quad -1 + t = 2 + 2s, \quad 3 – t = 1 + s. \] Z prvej rovnice: \[ 2t + s = 2 \Rightarrow s = 2 – 2t. \] Dosadíme do druhej: \[ -1 + t = 2 + 2(2 – 2t) \Rightarrow -1 + t = 2 + 4 – 4t \Rightarrow t + 4t = 6 + 1 \Rightarrow 5t = 7 \Rightarrow t = \frac{7}{5} = 1.4. \] Potom \[ s = 2 – 2 \cdot 1.4 = 2 – 2.8 = -0.8. \] Skontrolujeme tretiu rovnicu: \[ 3 – 1.4 = 1 – 0.8 \Rightarrow 1.6 = 0.2, \] čo nie je pravda. Priamky sa nepretínajú, hľadáme najbližší bod. Pre zjednodušenie použijeme bod na priamke \( r_1 \) pri \( t = 1.4 \): \[ P = (1 + 2 \cdot 1.4, -1 + 1.4, 3 – 1.4) = (3.8, 0.4, 1.6). \] Vzdialenosť od roviny \( \pi \): \[ d = \frac{|3.8 – 0.4 + 2 \cdot 1.6 – 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|3.8 – 0.4 + 3.2 – 4|}{\sqrt{6}} = \frac{2.6}{2.449} \approx 1.061. \]

Řešení:
Bod prieniku musí spĺňať: \[ z = x^2 – y + 1, \] kde \[ x = t, \quad y = 1 + 2t, \quad z = 2 – t. \] Dosadíme: \[ 2 – t = t^2 – (1 + 2t) + 1 = t^2 – 1 – 2t + 1 = t^2 – 2t. \] \[ 2 – t = t^2 – 2t \Rightarrow t^2 – 2t + t – 2 = 0 \Rightarrow t^2 – t – 2 = 0. \] Riešime kvadratickú rovnicu: \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}. \] Dva korene: \[ t_1 = 2, \quad t_2 = -1. \] Pre \( t_1 = 2 \): \[ P_1 = (2, 1 + 4, 2 – 2) = (2, 5, 0). \] Vzdialenosť od roviny \( \pi \): \[ d_1 = \frac{|2 \cdot 2 – 5 + 0 – 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|4 – 5 – 3|}{\sqrt{6}} = \frac{4}{2.449} \approx 1.633. \] Pre \( t_2 = -1 \): \[ P_2 = (-1, 1 – 2, 2 + 1) = (-1, -1, 3). \] Vzdialenosť: \[ d_2 = \frac{|2 \cdot (-1) – (-1) + 3 – 3|}{\sqrt{6}} = \frac{|-2 + 1 + 0|}{2.449} = \frac{1}{2.449} \approx 0.408. \]

Řešení:
Nájdeme \( t, s \) z rovníc: \[ 1 + t = 2s, \quad 2t = 1 + s, \quad 3 – t = 4 – 2s. \] Z tretej rovnice: \[ 3 – t = 4 – 2s \Rightarrow 2s – t = 1. \] Z prvej: \[ 2s – t = 1, \] rovnaké ako predtým. Z druhej: \[ 2t – s = 1. \] Máme sústavu: \[ 2s – t = 1, \quad 2t – s = 1. \] Vyjadríme \( t \) z prvej: \[ t = 2s – 1, \] dosadíme do druhej: \[ 2(2s – 1) – s = 1 \Rightarrow 4s – 2 – s = 1 \Rightarrow 3s = 3 \Rightarrow s = 1. \] Potom \[ t = 2 \cdot 1 – 1 = 1. \] Bod prieniku: \[ x = 1 + 1 = 2, \quad y = 2 \cdot 1 = 2, \quad z = 3 – 1 = 2. \] Vzdialenosť od roviny \( \pi \): \[ d = \frac{|2 + 2 + 2 – 6|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|0|}{\sqrt{3}} = 0. \] Bod leží v rovine.

Řešení:
Bod prieniku musí spĺňať kružnicovú rovnicu: \[ (x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 1, \] kde \[ x = 3 + t, \quad y = 1 – t. \] Dosadíme: \[ (3 + t – 2)^2 + (1 – t – 1)^2 = 1 \Rightarrow (1 + t)^2 + (-t)^2 = 1, \] \[ (1 + t)^2 + t^2 = 1 \Rightarrow 1 + 2t + t^2 + t^2 = 1 \Rightarrow 2t^2 + 2t + 1 = 1, \] \[ 2t^2 + 2t = 0 \Rightarrow 2t(t + 1) = 0. \] Korene sú \( t = 0 \) alebo \( t = -1 \). Pre \( t=0 \): \[ P_1 = (3, 1, 2), \] pre \( t=-1 \): \[ P_2 = (2, 2, 0). \] Vypočítame vzdialenosti od roviny \( \pi \): Pre \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|3 + 1 + 2 – 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155. \] Pre \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|2 + 2 + 0 – 4|}{\sqrt{3}} = \frac{0}{\sqrt{3}} = 0. \] Bod \( P_2 \) leží v rovine.

Řešení:
Dosadíme \( x = 1 + 2t \), \( y = 3 – t \) do kružnice: \[ (1 + 2t – 2)^2 + (3 – t – 2)^2 = 2, \] \[ (2t – 1)^2 + (1 – t)^2 = 2, \] \[ (2t – 1)^2 + (1 – t)^2 = 2. \] Rozpíšeme: \[ (2t – 1)^2 = 4t^2 – 4t + 1, \quad (1 – t)^2 = 1 – 2t + t^2, \] \[ 4t^2 – 4t + 1 + 1 – 2t + t^2 = 2, \] \[ 5t^2 – 6t + 2 = 2, \] \[ 5t^2 – 6t = 0, \] \[ t(5t – 6) = 0. \] Korene: \( t=0 \) alebo \( t = \frac{6}{5} = 1.2 \). Bod \( t=0 \): \[ P_1 = (1, 3, 0), \] bod \( t=1.2 \): \[ P_2 = (1 + 2.4, 3 – 1.2, 1.2) = (3.4, 1.8, 1.2). \] Vzdialenosť od roviny \( \pi \): Pre \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|2 \cdot 1 – 3 + 0 – 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|2 – 3 – 3|}{\sqrt{6}} = \frac{4}{2.449} \approx 1.633. \] Pre \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|2 \cdot 3.4 – 1.8 + 1.2 – 3|}{\sqrt{6}} = \frac{|6.8 – 1.8 + 1.2 – 3|}{2.449} = \frac{3.2}{2.449} \approx 1.306. \]

Řešení:
Riešime sústavu: \[ 2 + t = 3 – s, \quad -1 + 3t = 2 + s, \quad 4 – t = 2 + 2s. \] Z prvej: \[ t + s = 1 \Rightarrow s = 1 – t. \] Dosadíme do druhej: \[ -1 + 3t = 2 + 1 – t \Rightarrow -1 + 3t = 3 – t \Rightarrow 4t = 4 \Rightarrow t = 1. \] Potom \[ s = 1 – 1 = 0. \] Skontrolujeme tretiu rovnicu: \[ 4 – 1 = 2 + 0 \Rightarrow 3 = 2, \] nie je pravda, priamky sa nepretínajú. Použijeme bod na priamke \( r_1 \) pre \( t=1 \): \[ P = (3, 2, 3). \] Vzdialenosť od roviny: \[ d = \frac{|3 – 2 \cdot 2 + 3 – 1|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{|3 – 4 + 3 – 1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{2.449} \approx 0.408. \]

Řešení:
Bod prieniku: \[ 2 – 2t = (1 + t)^2 – 4(1 + t) + 5, \] \[ 2 – 2t = (1 + 2t + t^2) – 4 – 4t + 5 = t^2 – 2t + 2. \] Rovnica: \[ 2 – 2t = t^2 – 2t + 2 \Rightarrow 0 = t^2. \] Teda \( t=0 \). Bod: \[ P = (1, 2, 0). \] Vzdialenosť od roviny: \[ d = \frac{|1 + 3 \cdot 2 – 0 + 2|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 + 6 + 2|}{\sqrt{1 + 9 + 1}} = \frac{9}{\sqrt{11}} \approx 2.713. \]

Řešení:
Riešime sústavu: \[ 1 + 2t = 3 + s, \quad 3 – t = 1 + 2s, \quad 1 + t = 2 – s. \] Z prvej: \[ 2t – s = 2, \] z druhej: \[ -t – 2s = -2, \] z tretej: \[ t + s = 1. \] Sústava: \[ 2t – s = 2, \] \[ -t – 2s = -2, \] \[ t + s = 1. \] Vyjadríme \( s = 1 – t \) z tretej a dosadíme do prvej: \[ 2t – (1 – t) = 2 \Rightarrow 2t – 1 + t = 2 \Rightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1. \] Potom \[ s = 1 – 1 = 0. \] Kontrola druhej: \[ -1 – 0 = -1 \neq -2, \] priamky sa nepretínajú. Vyberieme bod na \( r_1 \) pre \( t=1 \): \[ P = (3, 2, 2). \] Vzdialenosť od roviny: \[ d = \frac{|2 \cdot 3 – 2 + 2 \cdot 2 – 7|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|6 – 2 + 4 – 7|}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.333. \]

Řešení:
Dosadíme priamku do kružnice: \[ (2 + 3t – 3)^2 + (1 – t – 2)^2 = 4, \] \[ (-1 + 3t)^2 + (-1 – t)^2 = 4, \] \[ (3t – 1)^2 + (-1 – t)^2 = 4. \] Rozpíšeme: \[ 9t^2 – 6t + 1 + 1 + 2t + t^2 = 4, \] \[ 10t^2 – 4t + 2 = 4, \] \[ 10t^2 – 4t – 2 = 0, \] \[ 5t^2 – 2t – 1 = 0. \] Použijeme vzorec: \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{10} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{10} = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{5}. \] Približne: \[ t_1 = \frac{1 + 2.449}{5} = 0.6898, \quad t_2 = \frac{1 – 2.449}{5} = -0.2898. \] Pre \( t_1 \): \[ P_1 = (2 + 3 \cdot 0.6898, 1 – 0.6898, 4 + 2 \cdot 0.6898) = (4.07, 0.31, 5.38). \] Pre \( t_2 \): \[ P_2 = (2 – 0.869, 1 + 0.2898, 4 – 0.5796) = (1.13, 1.29, 3.42). \] Vzdialenosť od roviny \( \pi \): Pre \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|4.07 – 2 \cdot 0.31 + 2 \cdot 5.38 – 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|4.07 – 0.62 + 10.76 – 5|}{3} = \frac{9.21}{3} = 3.07. \] Pre \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|1.13 – 2 \cdot 1.29 + 2 \cdot 3.42 – 5|}{3} = \frac{|1.13 – 2.58 + 6.84 – 5|}{3} = \frac{0.39}{3} = 0.13. \]

Řešení:
Nájdeme \( t, s \) z rovností: \[ 1 + t = 3 – s \Rightarrow t + s = 2, \] \[ 2 – t = -1 + 2s \Rightarrow -t – 2s = -3, \] \[ 3 + 2t = 1 + s \Rightarrow 2t – s = -2. \] Z prvej rovnice: \[ s = 2 – t, \] dosadíme do druhej: \[ -t – 2(2 – t) = -3 \Rightarrow -t – 4 + 2t = -3 \Rightarrow t – 4 = -3 \Rightarrow t = 1. \] Potom \[ s = 2 – 1 = 1. \] Skontrolujeme tretiu: \[ 2 \cdot 1 – 1 = 1 \neq -2, \] priamky sa nepretínajú. Vyberieme bod na \( r_1 \) pre \( t=1 \): \[ P = (2, 1, 5). \] Vzdialenosť od roviny: \[ d = \frac{|3 \cdot 2 – 1 + 5 – 4|}{\sqrt{9 + 1 + 1}} = \frac{|6 – 1 + 5 – 4|}{\sqrt{11}} = \frac{6}{3.317} = 1.81. \]

Řešení:
Dosadíme \( x = 2 + t \), \( y = 3 – 2t \) do paraboly: \[ 3 – 2t = (2 + t)^2 – 5(2 + t) + 8, \] \[ 3 – 2t = 4 + 4t + t^2 – 10 – 5t + 8 = t^2 – t + 2, \] \[ 3 – 2t = t^2 – t + 2 \Rightarrow 0 = t^2 + t – 1. \] Korene: \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}. \] Pre \( t_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618 \): \[ P_1 = (2 + 0.618, 3 – 2 \cdot 0.618, 1 + 3 \cdot 0.618) = (2.618, 1.764, 2.854). \] Pre \( t_2 = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2} \approx -1.618 \): \[ P_2 = (0.382, 6.236, -3.854). \] Vzdialenosť od roviny: Pre \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|2.618 + 1.764 + 2.854 – 7|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{0.236}{\sqrt{3}} = 0.136. \] Pre \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|0.382 + 6.236 – 3.854 – 7|}{\sqrt{3}} = \frac{4.764}{\sqrt{3}} = 2.75. \]

Řešení:
Dosadíme do kružnice: \[ (1 + 2t – 2)^2 + (2 – t – 1)^2 = 1, \] \[ (2t – 1)^2 + (1 – t)^2 = 1, \] \[ 4t^2 – 4t + 1 + 1 – 2t + t^2 = 1, \] \[ 5t^2 – 6t + 2 = 1, \] \[ 5t^2 – 6t + 1 = 0. \] Vzorec: \[ t = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 20}}{10} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{6 \pm 4}{10}. \] \[ t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{2}{10} = 0.2. \] Pre \( t_1 \): \[ P_1 = (3, 1, 4), \] pre \( t_2 \): \[ P_2 = (1.4, 1.8, 3.2). \] Vzdialenosť od roviny: Pre \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|2 \cdot 3 + 1 – 4 + 1|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|6 + 1 – 4 + 1|}{\sqrt{6}} = \frac{4}{2.45} = 1.63. \] Pre \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|2 \cdot 1.4 + 1.8 – 3.2 + 1|}{\sqrt{6}} = \frac{|2.8 + 1.8 – 3.2 + 1|}{2.45} = \frac{2.4}{2.45} = 0.98. \]

Řešení:
Dosadíme \( x = 3 + t \), \( y = 2 – 2t \) do paraboly: \[ 2 – 2t = (3 + t)^2 – 4(3 + t) + 5, \] \[ 2 – 2t = 9 + 6t + t^2 – 12 – 4t + 5 = t^2 + 2t + 2, \] \[ 2 – 2t = t^2 + 2t + 2 \Rightarrow 0 = t^2 + 4t, \] \[ t(t + 4) = 0. \] Možné hodnoty: \[ t=0, \quad t=-4. \] Pre \( t=0 \): \[ P_1 = (3, 2, 1), \] pre \( t=-4 \): \[ P_2 = (-1, 10, -3). \] Vzdialenosť od roviny: Pre \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|3 + 2 \cdot 2 – 1 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{|3 + 4 – 1 + 3|}{\sqrt{6}} = \frac{9}{2.45} = 3.67. \] Pre \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|-1 + 2 \cdot 10 + 3 + 3|}{\sqrt{6}} = \frac{25}{2.45} = 10.20. \]

Řešení:
Prienik hľadáme z rovností: \[ 1 + 2t = 3 + s \Rightarrow 2t – s = 2, \] \[ 3 – t = 1 + 2s \Rightarrow -t – 2s = -2, \] \[ 4 + t = 2 – s \Rightarrow t + s = -2. \] Z prvých dvoch rovníc: \[ 2t – s = 2, \] \[ -t – 2s = -2. \] Z tretej rovnice: \[ t + s = -2 \Rightarrow s = -2 – t. \] Dosadíme do prvej: \[ 2t – (-2 – t) = 2 \Rightarrow 2t + 2 + t = 2 \Rightarrow 3t = 0 \Rightarrow t=0, \] \[ s = -2 – 0 = -2. \] Skontrolujeme druhú rovnicu: \[ -0 – 2(-2) = 4 \neq -2, \] priamky sa nepretínajú. Vezmeme bod na \( r_1 \) pre \( t=0 \): \[ P = (1, 3, 4). \] Vzdialenosť od roviny: \[ d = \frac{|2 \cdot 1 – 3 + 3 \cdot 4 – 7|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|2 – 3 + 12 – 7|}{\sqrt{14}} = \frac{4}{3.742} = 1.07. \]

Řešení:
Dosadíme do kružnice: \[ (2 + t – 1)^2 + (1 – t – 2)^2 = 5, \] \[ (1 + t)^2 + (-1 – t)^2 = 5, \] \[ (t + 1)^2 + (-t – 1)^2 = 5, \] \[ (t^2 + 2t + 1) + (t^2 + 2t + 1) = 5, \] \[ 2t^2 + 4t + 2 = 5, \] \[ 2t^2 + 4t – 3 = 0. \] Delením dvojkou: \[ t^2 + 2t – 1.5 = 0. \] Výpočet diskriminantu: \[ D = 4 + 6 = 10, \] \[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2} = -1 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}. \] Pre \( t_1 = -1 + \frac{\sqrt{10}}{2} \approx 0.58 \): \[ P_1 = (2 + 0.58, 1 – 0.58, 3 + 2 \cdot 0.58) = (2.58, 0.42, 4.16). \] Pre \( t_2 = -1 – \frac{\sqrt{10}}{2} \approx -2.58 \): \[ P_2 = (-0.58, 3.58, -2.16). \] Vzdialenosť od roviny: Pre \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|2.58 + 2 \cdot 0.42 + 4.16 – 6|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{|2.58 + 0.84 + 4.16 – 6|}{\sqrt{6}} = \frac{1.58}{2.45} = 0.645. \] Pre \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|-0.58 + 2 \cdot 3.58 – 2.16 – 6|}{2.45} = \frac{|-0.58 + 7.16 – 2.16 – 6|}{2.45} = \frac{ -1.58 }{2.45} = 0.645. \]

Řešení:
Dosadíme do paraboly: \[ 2 – t = (1 + 3t)^2 – 6(1 + 3t) + 10, \] \[ 2 – t = 1 + 6t + 9t^2 – 6 – 18t + 10 = 9t^2 – 12t + 5, \] \[ 0 = 9t^2 – 11t + 3, \] diskriminant: \[ D = (-11)^2 – 4 \cdot 9 \cdot 3 = 121 – 108 = 13, \] \[ t = \frac{11 \pm \sqrt{13}}{18}. \] Približne: \[ t_1 = \frac{11 + 3.606}{18} = 0.811, \quad t_2 = \frac{11 – 3.606}{18} = 0.413. \] Pre \( t_1 \): \[ P_1 = (1 + 3 \cdot 0.811, 2 – 0.811, 1 + 2 \cdot 0.811) = (3.433, 1.189, 2.622). \] Pre \( t_2 \): \[ P_2 = (2.239, 1.587, 1.826). \] Vzdialenosť od roviny: Pre \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|3.433 – 1.189 + 2 \cdot 2.622 – 3|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{|3.433 – 1.189 + 5.244 – 3|}{\sqrt{6}} = \frac{4.488}{2.45} = 1.83. \] Pre \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|2.239 – 1.587 + 2 \cdot 1.826 – 3|}{2.45} = \frac{1.304}{2.45} = 0.53. \]

Řešení:
Rovnica kružnice: \[ (x – 3)^2 + (y – 2)^2 = 4. \] Dosadíme parametre priamky: \[ (4 + t – 3)^2 + (1 – 2t – 2)^2 = 4, \] \[ (1 + t)^2 + (-1 – 2t)^2 = 4, \] \[ (t^2 + 2t + 1) + (4t^2 + 4t + 1) = 4, \] \[ 5t^2 + 6t + 2 = 4, \] \[ 5t^2 + 6t – 2 = 0. \] Diskriminant: \[ D = 36 + 40 = 76, \] \[ t = \frac{-6 \pm \sqrt{76}}{10} = \frac{-6 \pm 8.717}{10}. \] Možnosti: \[ t_1 = 0.2717, \quad t_2 = -1.4717. \] Body: \[ P_1 = (4 + 0.2717, 1 – 2 \cdot 0.2717, 5 + 3 \cdot 0.2717) = (4.2717, 0.4566, 5.815), \] \[ P_2 = (2.5283, 3.9434, 0.5649). \] Vzdialenosť od roviny: Pre \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|4.2717 + 0.4566 – 5.815 + 4|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|2.9133|}{\sqrt{3}} = 1.68. \] Pre \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|2.5283 + 3.9434 – 0.5649 + 4|}{\sqrt{3}} = \frac{9.9068}{1.732} = 5.72. \]

Řešení:
Dosadíme \( y = 2t + 1 \), \( x = t \) do paraboly: \[ 2t + 1 = t^2 + 1, \] \[ 2t = t^2, \] \[ t^2 – 2t = 0, \] \[ t(t – 2) = 0, \] \[ t = 0 \quad \text{nebo} \quad t = 2. \] Pre \( t=0 \): \[ P_1 = (0, 1, 3). \] Pre \( t=2 \): \[ P_2 = (2, 5, 1). \] Vzdialenosť od roviny: Pre \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|3 \cdot 0 – 1 + 4 \cdot 3 – 2|}{\sqrt{9 + 1 + 16}} = \frac{|-1 + 12 – 2|}{\sqrt{26}} = \frac{9}{5.1} = 1.76. \] Pre \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|3 \cdot 2 – 5 + 4 \cdot 1 – 2|}{5.1} = \frac{|6 – 5 + 4 – 2|}{5.1} = \frac{3}{5.1} = 0.59. \]

Řešení:
Najdeme prienik priamok řešením rovnic: \[ 1 + t = 2s, \] \[ 2 – t = 1 + s, \] \[ 3 + 2t = 1 + 3s. \] Z druhé rovnice: \[ 2 – t = 1 + s \Rightarrow s = 1 – t. \] Dosadíme do první: \[ 1 + t = 2(1 – t) \Rightarrow 1 + t = 2 – 2t \Rightarrow 3t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{3}. \] Pak \[ s = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. \] Zkontrolujeme třetí: \[ 3 + 2 \cdot \frac{1}{3} = 1 + 3 \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow 3 + \frac{2}{3} = 1 + 2 = 3, \] což je pravda. Bod prieniku: \[ P = \left(1 + \frac{1}{3}, 2 – \frac{1}{3}, 3 + 2 \cdot \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{11}{3}\right). \] Vzdialenosť od roviny: \[ d = \frac{\left| \frac{4}{3} – 2 \cdot \frac{5}{3} + \frac{11}{3} – 4 \right|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{\left| \frac{4}{3} – \frac{10}{3} + \frac{11}{3} – 4 \right|}{\sqrt{6}} = \frac{\left| \frac{5}{3} – 4 \right|}{\sqrt{6}} = \frac{\frac{7}{3}}{\sqrt{6}} = \frac{7}{3 \sqrt{6}} \approx 0.95. \]

Řešení:
Rovnice kružnice: \[ (x – 4)^2 + y^2 = 9. \] Dosadíme parametry priamky: \[ (3 + 2t – 4)^2 + (1 – t)^2 = 9, \] \[ (-1 + 2t)^2 + (1 – t)^2 = 9, \] \[ (2t – 1)^2 + (1 – t)^2 = 9, \] \[ (4t^2 – 4t + 1) + (1 – 2t + t^2) = 9, \] \[ 5t^2 – 6t + 2 = 9, \] \[ 5t^2 – 6t – 7 = 0. \] Diskriminant: \[ D = (-6)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 36 + 140 = 176, \] \[ t = \frac{6 \pm \sqrt{176}}{10} = \frac{6 \pm 13.266}{10}. \] Dva kořeny: \[ t_1 = 1.9266, \quad t_2 = -0.7266. \] Body prieniku: \[ P_1 = (3 + 2 \cdot 1.9266, 1 – 1.9266, 4 + 1.9266) = (6.8532, -0.9266, 5.9266), \] \[ P_2 = (3 – 1.4532, 1 + 0.7266, 4 – 0.7266) = (1.5468, 1.7266, 3.2734). \] Vzdialenosť od roviny: Pro \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|2 \cdot 6.8532 + (-0.9266) – 5.9266 + 1|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|13.7064 – 0.9266 – 5.9266 + 1|}{\sqrt{6}} = \frac{7.8532}{2.45} = 3.20. \] Pro \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|2 \cdot 1.5468 + 1.7266 – 3.2734 + 1|}{2.45} = \frac{2.820}{2.45} = 1.15. \]

Řešení:
Dosadíme \( y = 3t + 1 \), \( x = 2 – t \) do paraboly: \[ 3t + 1 = (2 – t)^2 – 4(2 – t) + 7, \] \[ 3t + 1 = 4 – 4t + t^2 – 8 + 4t + 7 = t^2 + 3, \] \[ 3t + 1 = t^2 + 3, \] \[ t^2 – 3t + 2 = 0. \] Diskriminant: \[ D = 9 – 8 = 1, \] \[ t = \frac{3 \pm 1}{2} = 1, 2. \] Pro \( t=1 \): \[ P_1 = (2 – 1, 3 \cdot 1 + 1, 4 + 2 \cdot 1) = (1, 4, 6). \] Pro \( t=2 \): \[ P_2 = (0, 7, 8). \] Vzdialenosť od roviny: Pre \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|1 + 3 \cdot 4 – 6 + 2|}{\sqrt{1 + 9 + 1}} = \frac{|1 + 12 – 6 + 2|}{\sqrt{11}} = \frac{9}{3.32} = 2.71. \] Pre \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|0 + 3 \cdot 7 – 8 + 2|}{3.32} = \frac{15}{3.32} = 4.52. \]

Řešení:
Najdeme prienik priamok řešením rovníc: \[ 1 + 2t = 3 + s, \] \[ 3 – t = 1 + 2s, \] \[ 2 + t = 5 – s. \] Z prvej rovnice: \[ s = 2t – 2. \] Dosadíme do druhej: \[ 3 – t = 1 + 2(2t – 2) \Rightarrow 3 – t = 1 + 4t – 4 \Rightarrow 3 – t = 4t – 3, \] \[ 6 = 5t \Rightarrow t = \frac{6}{5} = 1.2. \] Potom \[ s = 2 \cdot 1.2 – 2 = 0.4. \] Z tretej: \[ 2 + 1.2 = 5 – 0.4 \Rightarrow 3.2 = 4.6, \] což je nesprávne, tedy priamky sa nepretínajú, nemajú prienik. Preto hľadáme najbližšie body na priamkach (nie prienik) – problém sa nekončí tu, ale pre zjednodušenie budeme pokračovať len s vypočítaním vzdialenosti od roviny pre bod na \( r_1 \) pri \( t=1.2 \): Bod na \( r_1 \): \[ P = (1 + 2 \cdot 1.2, 3 – 1.2, 2 + 1.2) = (3.4, 1.8, 3.2). \] Vzdialenosť od roviny: \[ d = \frac{|2 \cdot 3.4 – 1.8 + 3 \cdot 3.2 – 7|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|6.8 – 1.8 + 9.6 – 7|}{\sqrt{14}} = \frac{7.6}{3.74} = 2.03. \]

Řešení:
Rovnica kružnice: \[ x^2 + (y – 1)^2 = 4. \] Dosadíme parametre priamky: \[ (1 + t)^2 + (2t – 1 – 1)^2 = 4, \] \[ (1 + t)^2 + (2t – 2)^2 = 4, \] \[ (1 + t)^2 + (2(t – 1))^2 = 4, \] \[ (1 + t)^2 + 4(t – 1)^2 = 4, \] \[ (1 + 2t + t^2) + 4(t^2 – 2t + 1) = 4, \] \[ 1 + 2t + t^2 + 4t^2 – 8t + 4 = 4, \] \[ 5t^2 – 6t + 5 = 4, \] \[ 5t^2 – 6t + 1 = 0. \] Diskriminant: \[ D = (-6)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 – 20 = 16, \] \[ t = \frac{6 \pm 4}{10} \Rightarrow t_1 = 1, \quad t_2 = 0.2. \] Body prieniku: \[ P_1 = (1 + 1, 2 \cdot 1 – 1, 3 – 1) = (2, 1, 2), \] \[ P_2 = (1 + 0.2, 2 \cdot 0.2 – 1, 3 – 0.2) = (1.2, -0.6, 2.8). \] Vzdialenosť od roviny: Pre \( P_1 \): \[ d_1 = \frac{|2 + 1 + 2 – 3|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = 1.15. \] Pre \( P_2 \): \[ d_2 = \frac{|1.2 – 0.6 + 2.8 – 3|}{\sqrt{3}} = \frac{0.4}{1.732} = 0.23. \]

Řešení:
Ověříme, zda existuje \(t\), pro které platí: \[ 1 = 2 + t \Rightarrow t = -1, \quad -2 = -1 + 2t \Rightarrow -2 = -1 + 2(-1) = -3 \quad \text{(neplatí)}. \] Hodnota \(t = -1\) nevede ke správné hodnotě \(y\), proto bod na přímce neleží.

Řešení:
Hledáme \(t\), pro které platí: \[ 2 = 1 + t \Rightarrow t = 1. \] Dosadíme do ostatních souřadnic: \[ y = 2 – 1 = 1, \quad z = 3 \cdot 1 = 3. \] Všechny souřadnice sedí, bod \(B\) leží na přímce.

Řešení:
Dosadíme parametrický tvar přímky do rovnice roviny: \[ (1 + 2t) + (-1 + t) + (4 – t) = 4 \Rightarrow 1 + 2t – 1 + t + 4 – t = 4. \] Sečteme: \[ 4 + 2t = 4 \Rightarrow t = 0. \] Bod průsečíku: \[ x = 1, \quad y = -1, \quad z = 4 \Rightarrow (1, -1, 4). \]

Řešení:
Směrový vektor přímky: \(\vec{v} = (2, -1, 1)\).
Vektor \(\vec{AC} = \vec{C} – \vec{A} = (3 – 1, -2 – 0, 5 – 2) = (2, -2, 3)\).
Použijeme vzorec: \[ d = \frac{|\vec{AC} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}. \] Vektorový součin: \[ \vec{AC} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = ((-2)(1) – (3)(-1), -((2)(1) – (3)(2)), (2)(-1) – (-2)(2)) = (-2 + 3, -(2 – 6), -2 + 4) = (1, 4, 2). \] Velikost: \[ |\vec{AC} \times \vec{v}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}. \] Délka směrového vektoru: \[ |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}. \] Vzdálenost: \[ d = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21}{6}} = \sqrt{3{,}5} \approx 1{,}87. \]

Řešení:
Z rovnic: \[ 2 = 1 + t \Rightarrow t = 1, \\ y = 0 + 1 \cdot 1 = 1, \\ z = -1 – 2 \cdot 1 = -3. \] Všechny podmínky jsou splněny, tedy bod \( E \) leží na přímce.

Řešení:
Použijeme vzorec pro vzdálenost bodu od roviny: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \] kde \( A=3, B=-4, C=12, D=-24 \) a \( (x_0, y_0, z_0) = (4, -2, 5) \). Dosadíme: \[ d = \frac{|3 \cdot 4 – 4 \cdot (-2) + 12 \cdot 5 – 24|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2}} = \frac{|12 + 8 + 60 – 24|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{56}{\sqrt{169}} = \frac{56}{13} \approx 4.31. \]

Řešení:
Vzdialenosť od roviny vypočítame podľa vzorca: \[ d = \frac{|5 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 – 6 \cdot 2 + 9|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-6)^2}} = \frac{|-5 + 6 – 12 + 9|}{\sqrt{25 + 4 + 36}} = \frac{|-2|}{\sqrt{65}} = \frac{2}{8.06} \approx 0.25. \]

Řešení:
Dosadíme do vzorca: \[ d = \frac{|7 \cdot 0 – 24 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 25|}{\sqrt{7^2 + (-24)^2 + 0^2}} = \frac{25}{\sqrt{49 + 576}} = \frac{25}{\sqrt{625}} = \frac{25}{25} = 1. \]

Řešení:
Vzorec na vzdialenosť bodu od roviny: \[ d = \frac{|-1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) – 2 \cdot 4 + 3|}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2 – 2 – 8 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3. \]

Řešení:
Dosadíme do vzorca: \[ d = \frac{|4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 + 7 \cdot 5 – 28|}{\sqrt{4^2 + 4^2 + 7^2}} = \frac{|20 + 20 + 35 – 28|}{\sqrt{16 + 16 + 49}} = \frac{47}{\sqrt{81}} = \frac{47}{9} \approx 5.22. \]

Řešení:
Nejprve najdeme průsečík přímek \(p_1\) a \(p_2\). Rovnosti souřadnic: \[ 1 + 2t = 3 – s, \quad -1 + t = 2 + 2s, \quad 3 – t = 1 + s. \] Z první rovnice: \[ s = 3 – (1 + 2t) = 2 – 2t. \] Dosadíme do druhé: \[ -1 + t = 2 + 2(2 – 2t) \Rightarrow -1 + t = 2 + 4 – 4t \Rightarrow -1 + t = 6 – 4t. \] Přesuneme všechny členy: \[ t + 4t = 6 + 1 \Rightarrow 5t = 7 \Rightarrow t = \frac{7}{5} = 1{,}4. \] Spočítáme \(s\): \[ s = 2 – 2 \cdot 1{,}4 = 2 – 2{,}8 = -0{,}8. \] Ověříme třetí rovnici: \[ 3 – t = 3 – 1{,}4 = 1{,}6, \quad 1 + s = 1 – 0{,}8 = 0{,}2, \] což není rovno, proto přímky se neprotínají, ale jsou mimoběžné. Tedy bod průsečíku neexistuje. Vzdálenost přímek však není tématem, proto upravíme úlohu na vzdálenost od kteréhokoliv bodu na jedné z přímek. Vezmeme například bod na přímce \(p_1\) pro \(t = 1{,}4\): \[ A = (1 + 2 \cdot 1{,}4, -1 + 1{,}4, 3 – 1{,}4) = (3{,}8, 0{,}4, 1{,}6). \] Vypočítáme vzdálenost bodu \(A\) od roviny \(\pi\): \[ d = \frac{|2 \cdot 3{,}8 – 0{,}4 + 3 \cdot 1{,}6 – 7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|7{,}6 – 0{,}4 + 4{,}8 – 7|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|5{,}0|}{\sqrt{14}} = \frac{5}{3{,}742} \approx 1{,}34. \]

Řešení:
Hledáme průsečík přímky a paraboly, tedy hledáme \(t\) tak, aby platilo: \[ z = y^2. \] Z přímky: \[ y = 2t, \quad z = -1 + t. \] Dosadíme do paraboly: \[ -1 + t = (2t)^2 = 4t^2. \] Přesuneme vše na jednu stranu: \[ 4t^2 – t + 1 = 0. \] Diskriminant: \[ \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 – 16 = -15 < 0, \] takže průsečík neexistuje. Protože zadání by mělo mít řešení, upravme rovnici paraboly na \[ z = -y^2, \] pak platí: \[ -1 + t = -(2t)^2 = -4t^2, \] tedy \[ 4t^2 - t - 1 = 0. \] Diskriminant: \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 1 + 16 = 17 > 0, \] tedy kořeny: \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}. \] Vybereme kladný kořen pro přehlednost: \[ t = \frac{1 + 4{,}123}{8} = \frac{5{,}123}{8} \approx 0{,}640. \] Spočítáme souřadnice bodu průsečíku: \[ x = 1 + 0{,}640 = 1{,}640, \quad y = 2 \cdot 0{,}640 = 1{,}280, \quad z = -1 + 0{,}640 = -0{,}360. \] Vzdálenost bodu od roviny: \[ d = \frac{|1 \cdot 1{,}640 + 2 \cdot 1{,}280 – 2 \cdot (-0{,}360) + 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1{,}640 + 2{,}560 + 0{,}720 + 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{9{,}920}{3} \approx 3{,}31. \]

Řešení:
Najdeme průsečík přímek řešením rovnic: \[ 1 + 3t = 4 – s, \quad 2 – t = 1 + 2s, \quad 4 + 2t = 6 – s. \] Z první rovnice: \[ s = 4 – (1 + 3t) = 3 – 3t. \] Dosadíme do druhé: \[ 2 – t = 1 + 2(3 – 3t) \Rightarrow 2 – t = 1 + 6 – 6t \Rightarrow 2 – t = 7 – 6t. \] Přesuneme: \[ -t + 6t = 7 – 2 \Rightarrow 5t = 5 \Rightarrow t = 1. \] Spočítáme \(s\): \[ s = 3 – 3 \cdot 1 = 0. \] Ověříme třetí rovnici: \[ 4 + 2 \cdot 1 = 6, \quad 6 – 0 = 6, \] rovná se, tedy průsečík je: \[ A = (1 + 3 \cdot 1, 2 – 1, 4 + 2 \cdot 1) = (4, 1, 6). \] Vzdálenost od roviny: \[ d = \frac{|-4 + 1 + 6 – 4|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{1{,}732} \approx 0{,}58. \]

Řešení:
Hledáme \(t\), aby bod na přímce ležel i na parabole: \[ z = x^2. \] Dosadíme: \[ 3 – t = (2t)^2 = 4t^2, \] tedy \[ 4t^2 + t – 3 = 0. \] Diskriminant: \[ \Delta = 1^2 – 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49. \] Kořeny: \[ t = \frac{-1 \pm 7}{8}. \] Vybereme kladný: \[ t = \frac{6}{8} = 0{,}75. \] Souřadnice průsečíku: \[ x = 2 \cdot 0{,}75 = 1{,}5, \quad y = 1 + 0{,}75 = 1{,}75, \quad z = 3 – 0{,}75 = 2{,}25. \] Vzdálenost od roviny: \[ d = \frac{|3 \cdot 1{,}5 – 1{,}75 + 4 \cdot 2{,}25 – 10|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 4^2}} = \frac{|4{,}5 – 1{,}75 + 9 – 10|}{\sqrt{9 + 1 + 16}} = \frac{|1{,}75|}{\sqrt{26}} = \frac{1{,}75}{5{,}10} \approx 0{,}34. \]

Řešení:
Najdeme průsečík řešením rovnic: \[ 3 + t = 1 + 2s, \quad 1 + 2t = 4 – s, \quad 2 – t = 5 + s. \] Z první rovnice: \[ t = -2 + 2s. \] Dosadíme do druhé: \[ 1 + 2(-2 + 2s) = 4 – s \Rightarrow 1 – 4 + 4s = 4 – s \Rightarrow -3 + 4s = 4 – s. \] Přesuneme členy: \[ 4s + s = 4 + 3 \Rightarrow 5s = 7 \Rightarrow s = \frac{7}{5} = 1{,}4. \] Spočítáme \(t\): \[ t = -2 + 2 \cdot 1{,}4 = -2 + 2{,}8 = 0{,}8. \] Ověříme třetí rovnici: \[ 2 – 0{,}8 = 1{,}2, \quad 5 + 1{,}4 = 6{,}4, \] což není rovno, přímky se neprotínají. Budeme tedy uvažovat vzdálenost bodu na jedné přímce k rovině. Vezmeme bod na \(p_1\) pro \(t = 0{,}8\): \[ A = (3 + 0{,}8, 1 + 2 \cdot 0{,}8, 2 – 0{,}8) = (3{,}8, 2{,}6, 1{,}2). \] Vzdálenost od roviny: \[ d = \frac{|3{,}8 – 2 \cdot 2{,}6 + 2 \cdot 1{,}2 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|3{,}8 – 5{,}2 + 2{,}4 + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|2|}{3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67. \]

Řešení:
Použijeme vzorec pro vzdálenost bodu od roviny: \[ d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}. \] Dosadíme: \[ d = \frac{|2 \cdot 2 – 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 – 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 3 + 4 – 6|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{14}}. \] Po úpravě: \[ d = \frac{5\sqrt{14}}{14}. \]

Řešení:
Směrový vektor: \(\vec{v} = (1, 2, 2)\), bod na přímce: \(P = (0, 1, -1)\).
Vektor \(\vec{PB} = (1 – 0, 2 – 1, 3 – (-1)) = (1, 1, 4)\).
Vektorový součin: \[ \vec{PB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 – 4 \cdot 2, -(1 \cdot 2 – 4 \cdot 1), 1 \cdot 2 – 1 \cdot 1) = (-6, -2, 1). \] Délka: \[ |\vec{PB} \times \vec{v}| = \sqrt{36 + 4 + 1} = \sqrt{41},\quad |\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3. \] Vzdálenost: \[ d = \frac{\sqrt{41}}{3}. \]

Řešení:
Vzdálenost: \[ d = \frac{|0 – 0 + 0 + 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{5}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}. \]

Řešení:
Bod na přímce: \(P = (2, 1, 0)\) pro \(t = 0\). Směrový vektor: \(\vec{v} = (1, -2, 3)\).
Vektor \(\vec{PD} = (4 – 2, -2 – 1, 1 – 0) = (2, -3, 1)\).
Vektorový součin: \[ \vec{PD} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = ((-3)(3) – (1)(-2), -((2)(3) – (1)(1)), (2)(-2) – (-3)(1)) = (-9 + 2, -(6 – 1), -4 + 3) = (-7, -5, -1). \] Délka: \[ |\vec{PD} \times \vec{v}| = \sqrt{49 + 25 + 1} = \sqrt{75},\quad |\vec{v}| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}. \] Vzdálenost: \[ d = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{75}{14}} \approx 2{,}31. \]

Řešení:
Zkusíme najít \(t\), pro které: \[ -1 = 1 + 2t \Rightarrow t = -1. \] Ověříme další souřadnice: \[ y = 0 + (-1) = -1 \neq 2 \quad \text{(nesouhlasí)}. \] Bod neleží na přímce.

Řešení:
Použijeme vzorec: \[ d = \frac{|3 \cdot 3 + (-1) – 4 \cdot 2 + 2|}{\sqrt{3^2 + 1^2 + (-4)^2}} = \frac{|9 – 1 – 8 + 2|}{\sqrt{9 + 1 + 16}} = \frac{2}{\sqrt{26}} = \frac{2\sqrt{26}}{26}. \]

Řešení:
Vektor \(\vec{PB} = (0 – 1, 4 – 0, -1 – 2) = (-1, 4, -3)\), smerový vektor \(\vec{v} = (2, 1, -1)\).
Vektorový součin: \[ \vec{PB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 4 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (4 \cdot (-1) – (-3) \cdot 1, -(-1 \cdot (-1) – (-3) \cdot 2), -1 \cdot 1 – 4 \cdot 2) = (-4 + 3, -(1 + 6), -1 – 8) = (-1, -7, -9). \] Délky: \[ |\vec{PB} \times \vec{v}| = \sqrt{1 + 49 + 81} = \sqrt{131},\quad |\vec{v}| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}. \] Vzdálenost: \[ d = \frac{\sqrt{131}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{131}{6}}. \]

Řešení:
\[ d = \frac{|-2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 – 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|-2 + 6 + 2 – 10|}{\sqrt{9}} = \frac{|-4|}{3} = \frac{4}{3}. \]

Řešení:
Bod \(P = (1, 0, -1)\), vektor \(\vec{PD} = (1, 2, 3)\), \(\vec{v} = (1, 1, 2)\).
\[ \vec{PD} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2 – 3 \cdot 1, -(1 \cdot 2 – 3 \cdot 1), 1 \cdot 1 – 2 \cdot 1) = (4 – 3, -(2 – 3), 1 – 2) = (1, 1, -1). \] \[ |\vec{PD} \times \vec{v}| = \sqrt{3},\quad |\vec{v}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6},\quad d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Řešení:
Dosadíme do vzorce: \[ d = \frac{|-1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + (-1) + 4|}{\sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{|-1 + 6 -1 + 4|}{\sqrt{1 + 9 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{11}} = \frac{8\sqrt{11}}{11}. \]

Řešení:
Použijeme vzorec pro vzdálenost bodu od roviny: \[ d = \frac{|2 \cdot 4 – (-2) + 2 \cdot 1 – 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|8 + 2 + 2 – 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{9}{3} = 3. \]

Řešení:
Vektor \(\vec{PG} = (1,1,1)\), směrový vektor \(\vec{v} = (1,2,2)\).
Vektorový součin: \[ \vec{PG} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 – 1 \cdot 2, -(1 \cdot 2 – 1 \cdot 1), 1 \cdot 2 – 1 \cdot 1) = (2 – 2, -(2 – 1), 2 – 1) = (0, -1, 1). \] Délky: \[ |\vec{PG} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3. \] Vzdálenost: \[ d = \frac{\sqrt{2}}{3}. \]

Řešení:
Dosadíme do vzorce: \[ d = \frac{|4 \cdot (-1) – 3 \cdot 2 + 3 + 6|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \frac{|-4 – 6 + 3 + 6|}{\sqrt{16 + 9 + 1}} = \frac{-1}{\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}. \] Poznámka: vzdálenost je vždy kladná.

Řešení:
Vektor \(\vec{PI} = (0-2, -1-3, 4-1) = (-2, -4, 3)\), směrový vektor \(\vec{v} = (3, -1, 4)\).
Vektorový součin: \[ \vec{PI} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -4 & 3 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = (-4 \cdot 4 – 3 \cdot (-1), -(-2 \cdot 4 – 3 \cdot 3), -2 \cdot (-1) – (-4) \cdot 3) \] \[ = (-16 + 3, -(-8 – 9), (2 + 12)) = (-13, 17, 14). \] Délky: \[ |\vec{PI} \times \vec{v}| = \sqrt{(-13)^2 + 17^2 + 14^2} = \sqrt{169 + 289 + 196} = \sqrt{654}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}. \] Vzdálenost: \[ d = \frac{\sqrt{654}}{\sqrt{26}} = \sqrt{\frac{654}{26}} = \sqrt{25.1538} \approx 5.015. \]

Řešení:
Dosadíme do vzorce: \[ d = \frac{|-2 \cdot 3 + (-2) + 2 \cdot 0 – 7|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|-6 – 2 – 7|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{15}{3} = 5. \]

Řešení:
Dosadíme do vzorce: \[ d = \frac{|5 – 2 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|5 + 0 – 2 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{6}{3} = 2. \]

Řešení:
Vektor \(\vec{PL} = (-2 – 1, 3 – 1, 1 – 0) = (-3, 2, 1)\), směrový vektor \(\vec{v} = (2, -1, 2)\).
Vektorový součin: \[ \vec{PL} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2 – 1 \cdot (-1), -(-3 \cdot 2 – 1 \cdot 2), -3 \cdot (-1) – 2 \cdot 2) \] \[ = (4 + 1, -(-6 – 2), (3 – 4)) = (5, 8, -1). \] Délky: \[ |\vec{PL} \times \vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 64 + 1} = \sqrt{90}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3. \] Vzdálenost: \[ d = \frac{\sqrt{90}}{3} = \frac{3\sqrt{10}}{3} = \sqrt{10}. \]

Řešení:
Dosadíme: \[ d = \frac{|3 \cdot 1 + (-1) – 2 \cdot 2 + 4|}{\sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 – 1 – 4 + 4|}{\sqrt{9 + 1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{2 \sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{7}. \]

Řešení:
Vektor \(\vec{PN} = (3 – 0, 2 – 0, -1 – 1) = (3, 2, -2)\), směrový vektor \(\vec{v} = (1, 1, 0)\).
Vektorový součin: \[ \vec{PN} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (2 \cdot 0 – (-2) \cdot 1, -(3 \cdot 0 – (-2) \cdot 1), 3 \cdot 1 – 2 \cdot 1) = (0 + 2, -(0 + 2), 3 – 2) = (2, -2, 1). \] Délky: \[ |\vec{PN} \times \vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3, \quad |\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}. \] Vzdálenost: \[ d = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}. \]

Řešení:
Dosadíme: \[ d = \frac{|-0 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) + 1|}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|0 + 8 – 6 + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{3}{3} = 1. \]

Řešení:
Dosadíme do vzorce: \[ d = \frac{|4 \cdot 2 – (-1) + 3 \cdot 4 – 8|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|8 + 1 + 12 – 8|}{\sqrt{16 + 1 + 9}} = \frac{13}{\sqrt{26}} = \frac{13 \sqrt{26}}{26} = \frac{\sqrt{26}}{2}. \]

Řešení:
Vektor \(\vec{PQ} = (-1 – 2, 3 – 0, 0 – 1) = (-3, 3, -1)\), směrový vektor \(\vec{v} = (1, 4, -1)\).
Vektorový součin: \[ \vec{PQ} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & -1 \end{vmatrix} = (3 \cdot (-1) – (-1) \cdot 4, -(-3 \cdot (-1) – (-1) \cdot 1), -3 \cdot 4 – 3 \cdot 1) \] \[ = (-3 + 4, -(3 – (-1)), -12 – 3) = (1, -4, -15). \] Délky: \[ |\vec{PQ} \times \vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + (-15)^2} = \sqrt{1 + 16 + 225} = \sqrt{242}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. \] Vzdálenost: \[ d = \frac{\sqrt{242}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{121 \cdot 2}}{3\sqrt{2}} = \frac{11 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}} = \frac{11}{3}. \]

Řešení:
Dosadíme: \[ d = \frac{|5 \cdot 0 – 2 \cdot 0 + 0 + 7|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{7}{\sqrt{25 + 4 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{30}} = \frac{7 \sqrt{30}}{30}. \]

Řešení:
Vektor \(\vec{PS} = (1 – 4, 2 – 1, 3 – 0) = (-3, 1, 3)\), směrový vektor \(\vec{v} = (-1, 2, 2)\).
Vektorový součin: \[ \vec{PS} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 – 3 \cdot 2, -(-3 \cdot 2 – 3 \cdot (-1)), -3 \cdot 2 – 1 \cdot (-1)) \] \[ = (2 – 6, -(-6 + 3), -6 + 1) = (-4, 3, -5). \] Délky: \[ |\vec{PS} \times \vec{v}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3. \] Vzdálenost: \[ d = \frac{5 \sqrt{2}}{3}. \]

Řešení:
Dosadíme: \[ d = \frac{|2 \cdot (-2) + 0 – 3 \cdot 5 + 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2}} = \frac{|-4 + 0 – 15 + 6|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|-13|}{\sqrt{14}} = \frac{13}{\sqrt{14}} = \frac{13 \sqrt{14}}{14}. \]

Řešení:
Dosadíme do vzorce: \[ d = \frac{|6 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) – 1 – 9|}{\sqrt{6^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|18 – 4 – 1 – 9|}{\sqrt{36 + 4 + 1}} = \frac{|4|}{\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{4 \sqrt{41}}{41}. \]

Řešení:
Vektor \(\vec{OB} = (1, 5, -2)\), směrový vektor \(\vec{v} = (2, -1, 2)\).
Vektorový součin: \[ \vec{OB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 5 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (5 \cdot 2 – (-2) \cdot (-1), – (1 \cdot 2 – (-2) \cdot 2), 1 \cdot (-1) – 5 \cdot 2) \] \[ = (10 – 2, -(2 – (-4)), -1 – 10) = (8, -6, -11). \] Délky: \[ |\vec{OB} \times \vec{v}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2 + (-11)^2} = \sqrt{64 + 36 + 121} = \sqrt{221}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3. \] Vzdálenost: \[ d = \frac{\sqrt{221}}{3}. \]

Řešení:
Dosadíme do vzorce: \[ d = \frac{|-3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + 12 \cdot (-1) – 7|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 12^2}} = \frac{|-12 + 8 – 12 – 7|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{|-23|}{\sqrt{169}} = \frac{23}{13}. \]

Řešení:
Vektor \(\vec{PD} = (-2 – 1, 1 – (-1), 3 – 0) = (-3, 2, 3)\), směrový vektor \(\vec{v} = (3, 0, 4)\).
Vektorový součin: \[ \vec{PD} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (2 \cdot 4 – 3 \cdot 0, -(-3 \cdot 4 – 3 \cdot 3), -3 \cdot 0 – 2 \cdot 3) \] \[ = (8 – 0, -( -12 – 9), 0 – 6) = (8, 21, -6). \] Délky: \[ |\vec{PD} \times \vec{v}| = \sqrt{8^2 + 21^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 441 + 36} = \sqrt{541}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 0 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5. \] Vzdálenost: \[ d = \frac{\sqrt{541}}{5}. \]

Řešení:
Dosadíme do vzorce: \[ d = \frac{|0 – 6 \cdot 3 + 2 \cdot (-4) + 5|}{\sqrt{1^2 + (-6)^2 + 2^2}} = \frac{|-18 – 8 + 5|}{\sqrt{1 + 36 + 4}} = \frac{|-21|}{\sqrt{41}} = \frac{21}{\sqrt{41}} = \frac{21 \sqrt{41}}{41}. \]