Vzdálenost přímek

Řešení příkladu:

Obě přímky mají stejný směrnicový tvar \( y = 2x + b \), což znamená, že jsou rovnoběžné.

Vzdálenost mezi rovnoběžnými přímkami \( y = kx + q_1 \) a \( y = kx + q_2 \) lze spočítat pomocí vzorce:

\[ d = \frac{|q_2 – q_1|}{\sqrt{k^2 + 1}} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ d = \frac{|-5 – 3|}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8 \sqrt{5}}{5} \]

Tedy vzdálenost přímek je \( \frac{8 \sqrt{5}}{5} \).

Řešení příkladu:

Přímky mají stejná koeficienty u \( x \) a \( y \), tedy jsou rovnoběžné.

Vzdálenost mezi rovnoběžnými přímkami \( Ax + By + C_1 = 0 \) a \( Ax + By + C_2 = 0 \) je:

\[ d = \frac{|C_2 – C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Dosadíme:

\[ d = \frac{|-9 – 7|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{16}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{16}{5} = 3{,}2 \]

Vzdálenost je tedy \( 3{,}2 \).

Řešení příkladu:

Obě přímky mají směrnici \( k = -\frac{1}{2} \), jsou tedy rovnoběžné.

Vzdálenost vypočítáme vzorcem:

\[ d = \frac{|q_2 – q_1|}{\sqrt{k^2 + 1}} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ d = \frac{|-2 – 4|}{\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{\frac{1}{4} + 1}} = \frac{6}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{5}} = \frac{12 \sqrt{5}}{5} \]

Výsledná vzdálenost je \( \frac{12 \sqrt{5}}{5} \).

Řešení příkladu:

Přímky jsou rovnoběžné, protože mají stejné koeficienty u \( x \) a \( y \).

Vzdálenost spočítáme vzorcem:

\[ d = \frac{|C_2 – C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|24 – (-60)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{84}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{84}{13} \approx 6{,}46 \]

Vzdálenost přímek je přibližně \( 6{,}46 \).

Řešení příkladu:

Obě přímky jsou vodorovné (rovnoběžné s osou \( x \)) a mají rovnice ve tvaru \( y = c \).

Vzdálenost je absolutní rozdíl jejich ordinát:

\[ d = |3 – (-1)| = 4 \]

Tedy vzdálenost je \( 4 \).

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme, zda jsou přímky rovnoběžné.

Koeficienty \( A, B \) první přímky jsou \( 1, -2 \), druhé \( 2, -4 \).

Poměr koeficientů: \(\frac{2}{1} = 2\), \(\frac{-4}{-2} = 2\) stejné \(\Rightarrow\) přímky jsou rovnoběžné.

Normální tvar pro první přímku je \( 1 \cdot x – 2 \cdot y + 1 = 0 \).

Pro druhou přímku vydělíme rovnici 2, aby měla stejné koeficienty jako první:

\[ \frac{2x – 4y + 3}{2} \Rightarrow x – 2y + \frac{3}{2} = 0 \]

Vzdálenost mezi přímkami:

\[ d = \frac{\left|\frac{3}{2} – 1\right|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{\left|\frac{3}{2} – \frac{2}{2}\right|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10} \]

Výsledná vzdálenost je \( \frac{\sqrt{5}}{10} \).

Řešení příkladu:

Zkontrolujeme, zda jsou přímky rovnoběžné:

Poměr koeficientů \( A: \frac{8}{4} = 2 \), \( B: \frac{6}{3} = 2 \) shodné, přímky jsou rovnoběžné.

Pro srovnání upravíme druhou přímku vydělením 2:

\[ 8x + 6y + 5 = 0 \Rightarrow 4x + 3y + \frac{5}{2} = 0 \]

Vzdálenost je:

\[ d = \frac{\left|\frac{5}{2} – (-10)\right|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{\left|\frac{5}{2} + 10\right|}{5} = \frac{\frac{5}{2} + \frac{20}{2}}{5} = \frac{\frac{25}{2}}{5} = \frac{25}{10} = 2{,}5 \]

Vzdálenost je tedy \( 2{,}5 \).

Řešení příkladu:

Obě přímky mají stejný směrnicový tvar, jsou tedy rovnoběžné.

Vzdálenost se počítá jako:

\[ d = \frac{|q_2 – q_1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4 – 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \]

Výsledná vzdálenost je \( \frac{5 \sqrt{2}}{2} \).

Řešení příkladu:

Zjistíme, zda jsou přímky rovnoběžné:

Poměr koeficientů \( A: \frac{6}{3} = 2 \), \( B: \frac{-8}{-4} = 2 \) shodné, tedy přímky jsou rovnoběžné.

Upravíme druhou přímku tak, aby měla stejné koeficienty jako první:

\[ 3x – 4y + 2 = 0 \Rightarrow 6x – 8y + 4 = 0 \]

Vzdálenost:

\[ d = \frac{|4 – 9|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{5}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{5}{10} = 0{,}5 \]

Vzdálenost je tedy \( 0{,}5 \).

Řešení příkladu:

Přímky mají stejný směrnicový tvar \( k = -3 \), jsou rovnoběžné.

Vzdálenost se vypočítá podle vzorce:

\[ d = \frac{|q_2 – q_1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|-11 – 7|}{\sqrt{(-3)^2 + 1}} = \frac{18}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{18}{\sqrt{10}} = \frac{18 \sqrt{10}}{10} = \frac{9 \sqrt{10}}{5} \]

Vzdálenost přímek je \( \frac{9 \sqrt{10}}{5} \).

Řešení příkladu:

Vzdálenost mezi rovnoběžnými přímkami \( p: Ax + By + C_1 = 0 \) a \( q: Ax + By + C_2 = 0 \) je dána vzorcem

\( d = \frac{|C_1 – C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \).

Dosadíme hodnoty:

\( A = 3, B = -4, C_1 = 5, C_2 = -7 \Rightarrow \)

\( d = \frac{|5 – (-7)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{12}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{12}{5} = 2{,}4 \).

Tedy vzdálenost přímek je \( 2{,}4 \).

Řešení příkladu:

Nejprve zkontrolujeme, zda jsou přímky rovnoběžné. Vektory normály jsou

\( \vec{n_p} = (2, 1) \), \( \vec{n_q} = (4, 2) \).

Jelikož \( \vec{n_q} = 2 \vec{n_p} \), jsou přímky rovnoběžné.

Upravíme druhou přímku na tvar se stejnými koeficienty jako první:

\( \frac{4}{2}x + \frac{2}{2}y – \frac{6}{2} = 0 \Rightarrow 2x + y – 3 = 0 \).

Obě přímky jsou vlastně totožné, tedy vzdálenost je 0.

Řešení příkladu:

Obě přímky jsou ve tvaru \( y = kx + q \) s \( k = 2 \), tedy rovnoběžné.

Převedeme je do obecného tvaru:

\( p: 2x – y + 1 = 0 \), \( q: 2x – y – 3 = 0 \).

Vzdálenost je dána vzorcem

\( d = \frac{|C_1 – C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|1 – (-3)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \approx 1{,}79 \).

Řešení příkladu:

Zkontrolujeme, zda jsou přímky rovnoběžné:

Normály jsou \( \vec{n_p} = (1, -3) \), \( \vec{n_q} = (-2, 6) = -2(1, -3) \), jsou rovnoběžné.

Upravíme druhou přímku:

\( -2x + 6y – 8 = 0 \Rightarrow \) vydělíme \(-2\): \( x – 3y + 4 = 0 \).

Přímky jsou totožné, vzdálenost je 0.

Řešení příkladu:

Přímky mají stejný směr, \( k = -\frac{1}{2} \), jsou rovnoběžné.

Obecný tvar:

\( p: \frac{1}{2}x + y – 4 = 0 \Rightarrow x + 2y – 8 = 0 \),

\( q: \frac{1}{2}x + y + 2 = 0 \Rightarrow x + 2y + 4 = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|(-8) – 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5} \approx 5{,}37 \).

Řešení příkladu:

Normály:

\( \vec{n_p} = (5, 12) \), \( \vec{n_q} = (10, 24) = 2 \vec{n_p} \) – přímky jsou rovnoběžné.

Upravíme druhou přímku vydělením \(2\):

\( 5x + 12y – 60 = 0 \), takže obě přímky jsou totožné, vzdálenost je \(0\).

Řešení příkladu:

Přímky jsou ve tvaru \( Ax + By + C = 0 \) s

\( A=7, B=-24, C_1=10, C_2=-14 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|10 – (-14)|}{\sqrt{7^2 + (-24)^2}} = \frac{24}{\sqrt{49 + 576}} = \frac{24}{25} = 0{,}96 \).

Řešení příkladu:

Přímky mají stejný směr, \( k = 1 \), jsou rovnoběžné.

Obecný tvar:

\( p: x – y + 5 = 0 \), \( q: x – y – 1 = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|5 – (-1)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24 \).

Řešení příkladu:

Normály jsou \( \vec{n_p} = (4, 3) \), \( \vec{n_q} = (8, 6) = 2 \vec{n_p} \), přímky jsou rovnoběžné.

Upravíme druhou přímku vydělením \(2\):

\( 4x + 3y – 12 = 0 \), obě přímky jsou totožné, vzdálenost je \(0\).

Řešení příkladu:

Přímky mají stejný směr, \( k = -3 \), jsou rovnoběžné.

Obecný tvar:

\( p: 3x + y – 7 = 0 \), \( q: 3x + y + 5 = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|(-7) – 5|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{12 \sqrt{10}}{10} = \frac{6\sqrt{10}}{5} \approx 3{,}79 \).

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme, zda jsou přímky rovnoběžné. Koeficienty normál jsou \( \vec{n_p} = (6, 8) \) a \( \vec{n_q} = (3, 4) \).

Vidíme, že \( \vec{n_p} = 2 \vec{n_q} \), takže přímky jsou rovnoběžné.

Vzdálenost mezi přímkami je dána vzorcem

\( d = \frac{|C_1/k – C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}} \), kde \( k \) je koeficient násobení normály druhé přímky k první.

V našem případě \( k = 2 \), \( C_1 = -24 \), \( C_2 = -12 \).

Upravíme první rovnici vydělením \(2\):

\( 6x + 8y – 24 = 0 \Rightarrow 3x + 4y – 12 = 0 \), tedy obě přímky jsou totožné a vzdálenost je \(0\).

Řešení příkladu:

Normály jsou \( \vec{n_p} = (2, -5) \) a \( \vec{n_q} = (4, -10) = 2 \vec{n_p} \), přímky jsou rovnoběžné.

Upravíme druhou přímku vydělením \(2\):

\( 4x – 10y + 25 = 0 \Rightarrow 2x – 5y + 12{,}5 = 0 \).

Vzdálenost mezi přímkami je

\( d = \frac{|10 – 12{,}5|}{\sqrt{2^2 + (-5)^2}} = \frac{2{,}5}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{2{,}5}{\sqrt{29}} = \frac{2{,}5 \sqrt{29}}{29} \approx 0{,}46 \).

Řešení příkladu:

Přímky mají stejný směr, \( k = 3 \), jsou rovnoběžné.

Převedeme je do obecného tvaru:

\( p: 3x – y + 1 = 0 \), \( q: 3x – y – 5 = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|1 – (-5)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{10}} = \frac{6 \sqrt{10}}{10} = \frac{3 \sqrt{10}}{5} \approx 1{,}90 \).

Řešení příkladu:

Normály \( \vec{n_p} = (8, 15) \), \( \vec{n_q} = (16, 30) = 2 \vec{n_p} \), přímky jsou rovnoběžné.

Upravíme druhou přímku vydělením 2:

\( 16x + 30y – 100 = 0 \Rightarrow 8x + 15y – 50 = 0 \).

Vzdálenost mezi přímkami je

\( d = \frac{|(-40) – (-50)|}{\sqrt{8^2 + 15^2}} = \frac{10}{\sqrt{64 + 225}} = \frac{10}{17} \approx 0{,}588 \).

Řešení příkladu:

Přímky jsou rovnoběžné s \( k = -\frac{3}{4} \).

Obecný tvar:

\( p: \frac{3}{4}x + y – 6 = 0 \Rightarrow 3x + 4y – 24 = 0 \),

\( q: \frac{3}{4}x + y + 2 = 0 \Rightarrow 3x + 4y + 8 = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|-24 – 8|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{32}{5} = 6{,}4 \).

Řešení příkladu:

Normály \( \vec{n_p} = (9, -12) \), \( \vec{n_q} = (3, -4) \).

Zkontrolujeme, zda jsou rovnoběžné:

\( (9, -12) = 3 \times (3, -4) \), tedy přímky jsou rovnoběžné.

Upravíme první přímku vydělením \(3\):

\( 9x – 12y + 36 = 0 \Rightarrow 3x – 4y + 12 = 0 \).

Vzdálenost mezi přímkami:

\( d = \frac{|12 – 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{2}{5} = 0{,}4 \).

Řešení příkladu:

Přímky mají stejný směr \( k = \frac{5}{2} \).

Obecný tvar:

\( p: -\frac{5}{2}x + y – 1 = 0 \Rightarrow -5x + 2y – 2 = 0 \),

\( q: -\frac{5}{2}x + y + 3 = 0 \Rightarrow -5x + 2y + 6 = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|-2 – 6|}{\sqrt{(-5)^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{25 + 4}} = \frac{8}{\sqrt{29}} = \frac{8\sqrt{29}}{29} \approx 1{,}49 \).

Řešení příkladu:

Normály \( \vec{n_p} = (10, 24) \), \( \vec{n_q} = (5, 12) \).

Zkontrolujeme, zda jsou rovnoběžné:

\( (10, 24) = 2 \times (5, 12) \), přímky jsou rovnoběžné.

Upravíme první přímku vydělením \(2\):

\( 10x + 24y – 50 = 0 \Rightarrow 5x + 12y – 25 = 0 \), tedy přímky jsou totožné a vzdálenost je \(0\).

Řešení příkladu:

Normály \( \vec{n_p} = (7, 24) \), \( \vec{n_q} = (14, 48) = 2 \times (7, 24) \).

Upravíme druhou přímku vydělením \(2\):

\( 14x + 48y – 70 = 0 \Rightarrow 7x + 24y – 35 = 0 \), přímky jsou totožné, vzdálenost je \(0\).

Řešení příkladu:

Normály \( \vec{n_p} = (4, -3) \), \( \vec{n_q} = (8, -6) = 2 \times (4, -3) \).

Upravíme druhou přímku vydělením \(2\):

\( 8x – 6y + 30 = 0 \Rightarrow 4x – 3y + 15 = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|12 – 15|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \).

Řešení příkladu:

Vzdálenost bodu \( A(x_0, y_0) \) od přímky \( Ax + By + C = 0 \) je dána vzorcem

\( d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \).

Dosadíme: \( A=6, B=-8, C=9, x_0=3, y_0=4 \).

\( d = \frac{|6 \cdot 3 – 8 \cdot 4 + 9|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{|18 – 32 + 9|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{| -5 |}{10} = \frac{5}{10} = 0{,}5 \).

Řešení příkladu:

Dosadíme do vzorce:

\( d = \frac{|4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 – 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-4 + 6 – 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-10|}{5} = \frac{10}{5} = 2 \).

Řešení příkladu:

\( d = \frac{|5 \cdot 0 – 12 \cdot 0 + 13|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{13}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{13}{13} = 1 \).

Řešení příkladu:

\( d = \frac{|2 \cdot 7 + 1 \cdot (-1) – 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|14 – 1 – 3|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10 \sqrt{5}}{5} = 2 \sqrt{5} \approx 4{,}472 \).

Řešení příkladu:

\( d = \frac{|-3 \cdot 2 + 4 \cdot (-3) + 12|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = \frac{|-6 – 12 + 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-6|}{5} = \frac{6}{5} = 1{,}2 \).

Řešení příkladu:

\( d = \frac{|-4 + 2 \cdot 5 – 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-4 + 10 – 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \approx 2{,}236 \).

Řešení příkladu:

\( d = \frac{|7 \cdot 1 – 24 \cdot 1 + 17|}{\sqrt{7^2 + (-24)^2}} = \frac{|7 – 24 + 17|}{\sqrt{49 + 576}} = \frac{0}{25} = 0 \).

Bod leží na přímce.

Řešení příkladu:

\( d = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot (-2) + 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-8 + 12|}{5} = \frac{4}{5} = 0{,}8 \).

Řešení příkladu:

\( d = \frac{|-6 \cdot 5 + 8 \cdot 0 – 30|}{\sqrt{(-6)^2 + 8^2}} = \frac{|-30 – 30|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{60}{10} = 6 \).

Řešení příkladu:

\( d = \frac{|2 \cdot (-3) – 2 \cdot 4 + 6|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2}} = \frac{|-6 – 8 + 6|}{\sqrt{4 + 4}} = \frac{|-8|}{\sqrt{8}} = \frac{8}{2 \sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \approx 2{,}828 \).

Řešení příkladu:

Normály k přímkám jsou \( \vec{n_p} = (3, -4) \) a \( \vec{n_q} = (6, -8) = 2 \times (3, -4) \), tedy přímky jsou rovnoběžné.

Vydělíme rovnici \( q \) číslem \(2\) pro zjednodušení:

\( 6x – 8y – 7 = 0 \Rightarrow 3x – 4y – \frac{7}{2} = 0 \).

Vzdálenost mezi přímkami je

\( d = \frac{\left| 5 – \left(-\frac{7}{2}\right) \right|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{\left| 5 + \frac{7}{2} \right|}{5} = \frac{\frac{10}{2} + \frac{7}{2}}{5} = \frac{\frac{17}{2}}{5} = \frac{17}{10} = 1{,}7 \).

Řešení příkladu:

Normály: \( \vec{n_p} = (5, 12) \), \( \vec{n_q} = (10, 24) = 2 \times (5, 12) \), přímky jsou rovnoběžné.

Vydělíme rovnici \( q \) číslem \(2\):

\( 10x + 24y + 17 = 0 \Rightarrow 5x + 12y + \frac{17}{2} = 0 \).

Vzdálenost mezi přímkami:

\( d = \frac{| -13 – \frac{17}{2} |}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{\left| -\frac{26}{2} – \frac{17}{2} \right|}{13} = \frac{\frac{43}{2}}{13} = \frac{43}{26} \approx 1{,}654 \).

Řešení příkladu:

Normály: \( \vec{n_p} = (-7, 24) \), \( \vec{n_q} = (14, -48) = -2 \times (-7, 24) \), přímky jsou rovnoběžné.

Vydělíme rovnici \( q \) číslem \(-2\):

\( 14x – 48y + 42 = 0 \Rightarrow -7x + 24y – 21 = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{| -14 – (-21) |}{\sqrt{(-7)^2 + 24^2}} = \frac{7}{25} = 0{,}28 \).

Řešení příkladu:

Normály: \( \vec{n_p} = (3, 4) \), \( \vec{n_q} = (6, 8) = 2 \times (3, 4) \), rovnoběžné přímky.

Vydělíme \( q \) rovnici \(2\):

\( 6x + 8y – 9 = 0 \Rightarrow 3x + 4y – \frac{9}{2} = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|7 – (-\frac{9}{2})|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|7 + \frac{9}{2}|}{5} = \frac{\frac{14}{2} + \frac{9}{2}}{5} = \frac{\frac{23}{2}}{5} = \frac{23}{10} = 2{,}3 \).

Řešení příkladu:

Normály: \( \vec{n_p} = (8, -15) \), \( \vec{n_q} = (16, -30) = 2 \times (8, -15) \), přímky rovnoběžné.

Vydělíme rovnici \( q \) číslem \(2\):

\( 16x – 30y – 6 = 0 \Rightarrow 8x – 15y – 3 = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|24 – (-3)|}{\sqrt{8^2 + (-15)^2}} = \frac{|27|}{17} = \frac{27}{17} \approx 1{,}588 \).

Řešení příkladu:

Normály: \( \vec{n_p} = (9, 40) \), \( \vec{n_q} = (18, 80) = 2 \times (9, 40) \), rovnoběžné přímky.

Vydělíme \( q \) rovnici \(2\):

\( 18x + 80y + 12 = 0 \Rightarrow 9x + 40y + 6 = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{| -18 – 6 |}{\sqrt{9^2 + 40^2}} = \frac{24}{41} \approx 0{,}585 \).

Řešení příkladu:

Normály: \( \vec{n_p} = (12, -5) \), \( \vec{n_q} = (24, -10) = 2 \times (12, -5) \), přímky jsou rovnoběžné.

Vydělíme \( q \) rovnici \(2\):

\( 24x – 10y – 11 = 0 \Rightarrow 12x – 5y – \frac{11}{2} = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|7 – (-\frac{11}{2})|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} = \frac{|7 + \frac{11}{2}|}{13} = \frac{\frac{14}{2} + \frac{11}{2}}{13} = \frac{\frac{25}{2}}{13} = \frac{25}{26} \approx 0{,}962 \).

Řešení příkladu:

Normály: \( \vec{n_p} = (-4, 3) \), \( \vec{n_q} = (8, -6) = -2 \times (-4, 3) \), přímky jsou rovnoběžné.

Vydělíme rovnici \( q \) číslem \(-2\):

\( 8x – 6y – 20 = 0 \Rightarrow -4x + 3y + 10 = 0 \), což je stejná přímka jako \( p \), tedy vzdálenost je 0.

Řešení příkladu:

Normály: \( \vec{n_p} = (7, 24) \), \( \vec{n_q} = (14, 48) = 2 \times (7, 24) \), přímky rovnoběžné.

Vydělíme \( q \) rovnici \(2\):

\( 14x + 48y + 15 = 0 \Rightarrow 7x + 24y + \frac{15}{2} = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{| -21 – \frac{15}{2} |}{\sqrt{7^2 + 24^2}} = \frac{\left| -\frac{42}{2} – \frac{15}{2} \right|}{25} = \frac{\frac{57}{2}}{25} = \frac{57}{50} = 1{,}14 \).

Řešení příkladu:

Normály: \( \vec{n_p} = (2, -5) \), \( \vec{n_q} = (4, -10) = 2 \times (2, -5) \), rovnoběžné přímky.

Vydělíme \( q \) rovnici \(2\):

\( 4x – 10y – 7 = 0 \Rightarrow 2x – 5y – \frac{7}{2} = 0 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|3 – (-\frac{7}{2})|}{\sqrt{2^2 + (-5)^2}} = \frac{|3 + \frac{7}{2}|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{\frac{6}{2} + \frac{7}{2}}{\sqrt{29}} = \frac{\frac{13}{2}}{\sqrt{29}} = \frac{13}{2\sqrt{29}} \approx 1{,}207 \).

Řešení:

1. Nejprve najdeme parametrické rovnice přímky \( p \) jako průnik rovin \( \alpha \) a \( \beta \).

Z rovnice \( \beta \): \[ x + y – 2z + 1 = 0 \Rightarrow y = 2z – x – 1. \]

Dosadíme do \( \alpha \): \[ 2x – (2z – x – 1) + z – 3 = 0 \Rightarrow 2x – 2z + x + 1 + z – 3 = 0, \] \[ 3x – z – 2 = 0 \Rightarrow z = 3x – 2. \]

Dosadíme zpět pro \( y \): \[ y = 2(3x – 2) – x – 1 = 6x – 4 – x – 1 = 5x – 5. \]

Parametrizujeme podle \( x = t \): \[ \begin{cases} x = t, \\ y = 5t – 5, \\ z = 3t – 2. \end{cases} \]

Tedy přímka \( p \) má parametrické rovnice: \[ \vec{r}_p = (0, -5, -2) + t(1, 5, 3). \]

2. Přímka \( q \) je dána rovnicemi \( x=2 \), \( y=-1 \), což znamená, že \( z \) je parametr: \[ \begin{cases} x = 2, \\ y = -1, \\ z = s, \end{cases} \quad s \in \mathbb{R}. \]

Směrnice přímky \( q \) je tedy \( \vec{d}_q = (0, 0, 1) \) a bod na přímce je \( Q=(2, -1, 0) \).

3. Vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými přímkami v prostoru (pokud nejsou rovnoběžné) se určí pomocí vektoru kolmého na oba směry.

Směrnice: \[ \vec{d}_p = (1, 5, 3), \quad \vec{d}_q = (0, 0, 1). \]

Určíme vektor mezi body na přímkách: \[ \vec{PQ} = Q – P_0 = (2 – 0, -1 – (-5), 0 – (-2)) = (2, 4, 2). \]

Vzdálenost mezi přímkami je \[ d = \frac{|(\vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q))|}{|\vec{d}_p \times \vec{d}_q|}. \]

Nejprve spočítáme vektorový součin: \[ \vec{d}_p \times \vec{d}_q = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (5 \cdot 1 – 3 \cdot 0, \; -(1 \cdot 1 – 3 \cdot 0), \; 1 \cdot 0 – 5 \cdot 0) = (5, -1, 0). \]

Délka tohoto vektoru je \[ |\vec{d}_p \times \vec{d}_q| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}. \]

Skalární součin: \[ \vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q) = (2,4,2) \cdot (5, -1, 0) = 2 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 = 10 – 4 + 0 = 6. \]

Výsledná vzdálenost je \[ d = \frac{|6|}{\sqrt{26}} = \frac{6}{\sqrt{26}} \approx 1{,}176. \]

Řešení:

1. Najdeme parametrickou rovnici přímky \( p \).

Z rovnice \( \alpha \): \[ x + 2y – z + 1 = 0 \Rightarrow z = x + 2y + 1. \]

Dosadíme do \( \beta \): \[ 3x – y + 4(x + 2y + 1) – 5 = 0, \] \[ 3x – y + 4x + 8y + 4 – 5 = 0, \] \[ 7x + 7y -1 = 0 \Rightarrow 7x + 7y = 1 \Rightarrow x + y = \frac{1}{7}. \]

Vyjádříme \( y = \frac{1}{7} – x \), dosadíme do \( z \): \[ z = x + 2\left(\frac{1}{7} – x\right) + 1 = x + \frac{2}{7} – 2x + 1 = -x + \frac{9}{7}. \]

Parametrizujeme podle \( x = t \): \[ \begin{cases} x = t, \\ y = \frac{1}{7} – t, \\ z = -t + \frac{9}{7}. \end{cases} \]

Tedy \[ \vec{r}_p = \left(0, \frac{1}{7}, \frac{9}{7}\right) + t(1, -1, -1). \]

2. Přímka \( q \) je již parametrizovaná: \[ \vec{r}_q = (1, 2, 0) + t(1, -1, 3). \]

3. Směrnice: \[ \vec{d}_p = (1, -1, -1), \quad \vec{d}_q = (1, -1, 3). \]

4. Vektor mezi body na přímkách: \[ \vec{PQ} = (1, 2, 0) – \left(0, \frac{1}{7}, \frac{9}{7}\right) = \left(1, \frac{13}{7}, -\frac{9}{7}\right). \]

5. Vypočítáme vektorový součin směrnic: \[ \vec{d}_p \times \vec{d}_q = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (-1)(3) – (-1)(-1), \quad -(1 \cdot 3 – (-1) \cdot 1), \quad 1 \cdot (-1) – (-1) \cdot 1 \] \[ = (-3 – 1, -(3 – (-1)), -1 + 1) = (-4, -4, 0). \]

Délka vektoru \[ |\vec{d}_p \times \vec{d}_q| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. \]

6. Skalární součin: \[ \vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q) = \left(1, \frac{13}{7}, -\frac{9}{7}\right) \cdot (-4, -4, 0) = -4 \cdot 1 – 4 \cdot \frac{13}{7} + 0 = -4 – \frac{52}{7} = -\frac{80}{7}. \]

7. Vzdálenost: \[ d = \frac{|\vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q)|}{|\vec{d}_p \times \vec{d}_q|} = \frac{\frac{80}{7}}{4 \sqrt{2}} = \frac{20}{7 \sqrt{2}} = \frac{20 \sqrt{2}}{14} = \frac{10 \sqrt{2}}{7} \approx 2{,}02. \]

Řešení:

1. Najdeme parametrické rovnice přímky \( p \).

Z rovnice \( \alpha \): \[ 3x + y – z – 4 = 0 \Rightarrow z = 3x + y – 4. \]

Dosadíme do \( \beta \): \[ x – 4y + 2(3x + y – 4) + 1 = 0, \] \[ x – 4y + 6x + 2y – 8 + 1 = 0, \] \[ 7x – 2y – 7 = 0 \Rightarrow 7x – 2y = 7. \]

Vyjádříme \( y \): \[ -2y = 7 – 7x \Rightarrow y = \frac{7x – 7}{2} = \frac{7}{2} x – \frac{7}{2}. \]

Dosadíme do \( z \): \[ z = 3x + \left(\frac{7}{2} x – \frac{7}{2}\right) – 4 = 3x + \frac{7}{2} x – \frac{7}{2} – 4 = \frac{13}{2} x – \frac{15}{2}. \]

Parametrizujeme podle \( x = t \): \[ \begin{cases} x = t, \\ y = \frac{7}{2} t – \frac{7}{2}, \\ z = \frac{13}{2} t – \frac{15}{2}. \end{cases} \]

Tedy \[ \vec{r}_p = \left(0, -\frac{7}{2}, -\frac{15}{2}\right) + t \left(1, \frac{7}{2}, \frac{13}{2}\right). \]

2. Přímka \( q \) je dána: \[ \vec{r}_q = (1, 3, 5) + s(2, -1, 3). \]

3. Směrnice: \[ \vec{d}_p = \left(1, \frac{7}{2}, \frac{13}{2}\right), \quad \vec{d}_q = (2, -1, 3). \]

4. Vektor mezi body na přímkách: \[ \vec{PQ} = (1, 3, 5) – \left(0, -\frac{7}{2}, -\frac{15}{2}\right) = (1, \frac{13}{2}, \frac{25}{2}). \]

5. Vektorový součin směrnic: \[ \vec{d}_p \times \vec{d}_q = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & \frac{7}{2} & \frac{13}{2} \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left(\frac{7}{2} \cdot 3 – \frac{13}{2} \cdot (-1)\right) – \mathbf{j} \left(1 \cdot 3 – \frac{13}{2} \cdot 2\right) + \mathbf{k} \left(1 \cdot (-1) – \frac{7}{2} \cdot 2\right) \] \[ = \mathbf{i} \left(\frac{21}{2} + \frac{13}{2}\right) – \mathbf{j} \left(3 – 13\right) + \mathbf{k} \left(-1 – 7\right) = \mathbf{i} \cdot 17 – \mathbf{j} (-10) + \mathbf{k} (-8) = (17, 10, -8). \]

Délka vektoru: \[ |\vec{d}_p \times \vec{d}_q| = \sqrt{17^2 + 10^2 + (-8)^2} = \sqrt{289 + 100 + 64} = \sqrt{453} \approx 21{,}28. \]

6. Skalární součin: \[ \vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q) = (1, \frac{13}{2}, \frac{25}{2}) \cdot (17, 10, -8) = 17 \cdot 1 + 10 \cdot \frac{13}{2} – 8 \cdot \frac{25}{2} = 17 + 65 – 100 = -18. \]

7. Vzdálenost: \[ d = \frac{|-18|}{21{,}28} \approx \frac{18}{21{,}28} \approx 0{,}846. \]

Řešení:

1. Parametrická rovnice přímky \( p \) je dána: \[ \vec{r}_p = (2, 1, 0) + t(1, -2, 3). \]

2. Přímka \( q \) je průnikem rovin \( \alpha \) a \( \beta \). Najdeme její směrnici jako vektor kolmý na normály rovin.

Normály rovin jsou: \[ \vec{n}_\alpha = (1, -1, 1), \quad \vec{n}_\beta = (2, 1, -1). \]

Směrnice přímky \( q \) je vektorový součin: \[ \vec{d}_q = \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(1 \cdot (-1) – 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(1 – 1) – \mathbf{j}(-1 – 2) + \mathbf{k}(1 + 2) = \mathbf{i} \cdot 0 – \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k} \cdot 3 = (0, 3, 3). \]

3. Najdeme bod na přímce \( q \). Například dosadíme \( z = 0 \) do rovnic \( \alpha \) a \( \beta \): \[ x – y + 0 – 1 = 0 \Rightarrow x – y = 1, \] \[ 2x + y – 0 + 4 = 0 \Rightarrow 2x + y = -4. \] Sčítáním obou rovnic: \[ (x – y) + (2x + y) = 1 + (-4) \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1. \] Dosadíme zpět: \[ -1 – y = 1 \Rightarrow y = -2. \] Tedy bod \( Q = (-1, -2, 0) \) leží na přímce \( q \).

4. Vektory směrnic: \[ \vec{d}_p = (1, -2, 3), \quad \vec{d}_q = (0, 3, 3). \]

5. Vektor mezi body na přímkách (vybereme bod \( P = (2, 1, 0) \) na \( p \) a bod \( Q = (-1, -2, 0) \) na \( q \)): \[ \vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (-1 – 2, -2 – 1, 0 – 0) = (-3, -3, 0). \]

6. Vektorový součin směrnic: \[ \vec{d}_p \times \vec{d}_q = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2) \cdot 3 – 3 \cdot 3) – \mathbf{j}(1 \cdot 3 – 3 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 3 – (-2) \cdot 0) \] \[ = \mathbf{i}(-6 – 9) – \mathbf{j}(3 – 0) + \mathbf{k}(3 – 0) = (-15, -3, 3). \]

Délka vektoru: \[ |\vec{d}_p \times \vec{d}_q| = \sqrt{(-15)^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{225 + 9 + 9} = \sqrt{243} = 9 \sqrt{3}. \]

7. Skalární součin: \[ \vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q) = (-3, -3, 0) \cdot (-15, -3, 3) = (-3)(-15) + (-3)(-3) + 0 = 45 + 9 + 0 = 54. \]

8. Vzdálenost: \[ d = \frac{|\vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q)|}{|\vec{d}_p \times \vec{d}_q|} = \frac{54}{9 \sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} \approx 3{,}46. \]

Řešení:

1. Parametrická rovnice přímky \( p \): \[ \vec{r}_p = (4, -1, 3) + t(2, 1, -1). \]

2. Přímka \( q \) je dána v symetrických rovnicích, tedy parametricky: \[ x = 1 + 3s, \quad y = -2 – s, \quad z = 4 + 2s. \]

3. Směrnice: \[ \vec{d}_p = (2, 1, -1), \quad \vec{d}_q = (3, -1, 2). \]

4. Vektor mezi body \( P = (4, -1, 3) \) na \( p \) a \( Q = (1, -2, 4) \) na \( q \): \[ \vec{PQ} = (1 – 4, -2 – (-1), 4 – 3) = (-3, -1, 1). \]

5. Vektorový součin směrnic: \[ \vec{d}_p \times \vec{d}_q = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(2 \cdot 2 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) – 1 \cdot 3) \] \[ = \mathbf{i}(2 – 1) – \mathbf{j}(4 + 3) + \mathbf{k}(-2 – 3) = (1, -7, -5). \]

Délka: \[ |\vec{d}_p \times \vec{d}_q| = \sqrt{1^2 + (-7)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}. \]

6. Skalární součin: \[ \vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q) = (-3, -1, 1) \cdot (1, -7, -5) = -3 \cdot 1 + (-1)(-7) + 1 \cdot (-5) = -3 + 7 – 5 = -1. \]

7. Vzdálenost: \[ d = \frac{|\vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q)|}{|\vec{d}_p \times \vec{d}_q|} = \frac{1}{5 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{15} \approx 0{,}115. \]

Řešení příkladu:

1. Směrový vektor přímky \( p \) je dán vektorovým součinem normálových vektorů rovin:

\( \vec{n}_1 = (1, 2, -1), \quad \vec{n}_2 = (3, -1, 4) \).

\( \vec{d}_p = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 4 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 4 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)

= \( \mathbf{i}(8 – 1) – \mathbf{j}(4 + 3) + \mathbf{k}(-1 – 6) = (7, -7, -7) \).

Směrový vektor přímky \( p \) je tedy \( \vec{d}_p = (7, -7, -7) \).

2. Najdeme bod na přímce \( p \) – řešíme soustavu rovin pro \( z=0 \):

\( x + 2y + 1 = 0 \), \( 3x – y – 5 = 0 \).

Z první rovnice \( x = -2y – 1 \), dosadíme do druhé:

\( 3(-2y -1) – y – 5 = 0 \Rightarrow -6y – 3 – y – 5 = 0 \Rightarrow -7y – 8 = 0 \Rightarrow y = -\frac{8}{7} \).

Pak \( x = -2 \times \left(-\frac{8}{7}\right) – 1 = \frac{16}{7} – 1 = \frac{9}{7} \).

Bod na přímce \( p \) je \( P = \left(\frac{9}{7}, -\frac{8}{7}, 0\right) \).

3. Přímka \( q \) má parametrickou rovnici:

\( \vec{r}_q = (1 + t, 2 – t, 3 + 2t) \), směrový vektor \( \vec{d}_q = (1, -1, 2) \), bod \( Q = (1, 2, 3) \).

4. Vypočteme vektor mezi body \( P \) a \( Q \):

\( \vec{PQ} = Q – P = \left(1 – \frac{9}{7}, 2 + \frac{8}{7}, 3 – 0\right) = \left(\frac{-2}{7}, \frac{22}{7}, 3\right) \).

5. Vzdálenost mezi mimoběžnými přímkami je

\( d = \frac{|\vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q)|}{|\vec{d}_p \times \vec{d}_q|} \).

6. Nejprve spočítáme \( \vec{d}_p \times \vec{d}_q \):

\( \vec{d}_p \times \vec{d}_q = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 7 & -7 & -7 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-7)(2) – (-7)(-1)) – \mathbf{j}(7 \cdot 2 – (-7) \cdot 1) + \mathbf{k}(7 \cdot (-1) – (-7) \cdot 1) \)

= \( \mathbf{i}(-14 – 7) – \mathbf{j}(14 + 7) + \mathbf{k}(-7 + 7) = (-21, -21, 0) \).

7. Délka tohoto vektoru je \( \sqrt{(-21)^2 + (-21)^2 + 0^2} = \sqrt{441 + 441} = \sqrt{882} = 21 \sqrt{2} \).

8. Vypočítáme skalární součin \( \vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q) \):

\( \left(\frac{-2}{7}, \frac{22}{7}, 3\right) \cdot (-21, -21, 0) = \frac{-2}{7} \times (-21) + \frac{22}{7} \times (-21) + 3 \times 0 = 6 – 66 + 0 = -60 \).

9. Vzdálenost je tedy

\( d = \frac{| -60 |}{21 \sqrt{2}} = \frac{60}{21 \sqrt{2}} = \frac{20}{7 \sqrt{2}} = \frac{20 \sqrt{2}}{14} = \frac{10 \sqrt{2}}{7} \approx 2{,}02 \).

Řešení příkladu:

1. Směrový vektor přímky \( p \) je vektorový součin normálových vektorů rovin:

\( \vec{n}_1 = (2, -1, 1), \quad \vec{n}_2 = (-1, 4, -2) \).

\( \vec{d}_p = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-2) – 1 \cdot 4) – \mathbf{j}(2 \cdot (-2) – 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(2 \cdot 4 – (-1)(-1)) \)

= \( \mathbf{i}(2 – 4) – \mathbf{j}(-4 + 1) + \mathbf{k}(8 – 1) = (-2, 3, 7) \).

2. Najdeme bod na přímce \( p \), dosadíme \( z=0 \):

\( 2x – y – 3 = 0 \) a \( -x + 4y + 1 = 0 \).

Z první \( y = 2x – 3 \), dosadíme do druhé:

\( -x + 4(2x – 3) + 1 = 0 \Rightarrow -x + 8x – 12 + 1 = 0 \Rightarrow 7x – 11 = 0 \Rightarrow x = \frac{11}{7} \).

Pak \( y = 2 \times \frac{11}{7} – 3 = \frac{22}{7} – 3 = \frac{22}{7} – \frac{21}{7} = \frac{1}{7} \).

Bod na přímce \( p \) je \( P = \left(\frac{11}{7}, \frac{1}{7}, 0\right) \).

3. Přímka \( q \) má parametrický tvar s bodem \( Q = (2, -1, 4) \) a směrovým vektorem \( \vec{d}_q = (3, 1, -1) \).

4. Vektor mezi body \( P \) a \( Q \):

\( \vec{PQ} = \left(2 – \frac{11}{7}, -1 – \frac{1}{7}, 4 – 0\right) = \left(\frac{3}{7}, -\frac{8}{7}, 4\right) \).

5. Vzdálenost:

\( d = \frac{|\vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q)|}{|\vec{d}_p \times \vec{d}_q|} \).

6. Vypočteme \( \vec{d}_p \times \vec{d}_q \):

\( \vec{d}_p = (-2, 3, 7), \quad \vec{d}_q = (3, 1, -1) \)

\( \vec{d}_p \times \vec{d}_q = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 3 & 7 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot (-1) – 7 \cdot 1) – \mathbf{j}((-2)(-1) – 7 \cdot 3) + \mathbf{k}((-2)(1) – 3 \cdot 3) \)

= \( \mathbf{i}(-3 – 7) – \mathbf{j}(2 – 21) + \mathbf{k}(-2 – 9) = (-10, 19, -11) \).

7. Délka tohoto vektoru je \( \sqrt{(-10)^2 + 19^2 + (-11)^2} = \sqrt{100 + 361 + 121} = \sqrt{582} \).

8. Skalární součin:

\( \vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q) = \frac{3}{7} \times (-10) + \left(-\frac{8}{7}\right) \times 19 + 4 \times (-11) = -\frac{30}{7} – \frac{152}{7} – 44 = -\frac{182}{7} – 44 = -26 – 44 = -70 \).

9. Vzdálenost:

\( d = \frac{70}{\sqrt{582}} \approx \frac{70}{24{,}12} \approx 2{,}90 \).

Řešení příkladu:

1. Směrový vektor přímky \( p \) je \( \vec{d}_p = (2, 3, -1) \).

2. Hledaná přímka \( q \) je rovnoběžná, tedy má stejný směrový vektor \( \vec{d}_q = (2, 3, -1) \) a prochází bodem \( A = (3, 0, 1) \).

Parametrická rovnice přímky \( q \):

\( \begin{cases} x = 3 + 2s \\ y = 0 + 3s \\ z = 1 – s \end{cases} \).

3. Pro vzdálenost mezi rovnoběžnými přímkami použijeme vzorec:

\( d = \frac{|(\vec{PQ} \times \vec{d})|}{|\vec{d}|} \), kde \( P \) je bod na přímce \( p \), například \( (1, -1, 4) \), \( Q = (3, 0, 1) \), a \( \vec{d} = \vec{d}_p \).

4. Vektor \( \vec{PQ} = Q – P = (3 – 1, 0 + 1, 1 – 4) = (2, 1, -3) \).

5. Vypočteme vektorový součin \( \vec{PQ} \times \vec{d} \):

\( \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-1) – (-3) \cdot 3) – \mathbf{j}(2 \cdot (-1) – (-3) \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot 3 – 1 \cdot 2) \)

= \( \mathbf{i}(-1 + 9) – \mathbf{j}(-2 + 6) + \mathbf{k}(6 – 2) = (8, -4, 4) \).

6. Délka tohoto vektoru:

\( |\vec{PQ} \times \vec{d}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16 + 16} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6} \).

7. Délka směrového vektoru \( \vec{d} \):

\( |\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \).

8. Vzdálenost přímek je:

\( d = \frac{4 \sqrt{6}}{\sqrt{14}} = 4 \sqrt{\frac{6}{14}} = 4 \sqrt{\frac{3}{7}} \approx 4 \times 0{,}6547 = 2{,}62 \).

Řešení příkladu:

1. Směrový vektor přímky \( p \) je vektorový součin normálových vektorů rovin:

\( \vec{n}_1 = (1, -1, 2), \quad \vec{n}_2 = (2, 1, -1) \).

\( \vec{d}_p = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 2 \cdot 1) – \mathbf{j}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) \)

= \( \mathbf{i}(1 – 2) – \mathbf{j}(-1 – 4) + \mathbf{k}(1 + 2) = (-1, 5, 3) \).

2. Najdeme bod na přímce \( p \), dosadíme \( z=0 \):

\( x – y – 4 = 0 \) a \( 2x + y + 1 = 0 \).

Z první rovnice \( y = x – 4 \), dosadíme do druhé:

\( 2x + x – 4 + 1 = 0 \Rightarrow 3x – 3 = 0 \Rightarrow x = 1 \).

Pak \( y = 1 – 4 = -3 \).

Bod na přímce \( p \) je \( P = (1, -3, 0) \).

3. Přímka \( q \) má parametrický tvar s bodem \( Q = (0, 1, -1) \) a směrovým vektorem \( \vec{d}_q = (2, -1, 3) \).

4. Vektor mezi body \( P \) a \( Q \):

\( \vec{PQ} = (0 – 1, 1 + 3, -1 – 0) = (-1, 4, -1) \).

5. Vzdálenost je

\( d = \frac{|\vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q)|}{|\vec{d}_p \times \vec{d}_q|} \).

6. Vypočteme \( \vec{d}_p \times \vec{d}_q \):

\( \vec{d}_p = (-1, 5, 3), \quad \vec{d}_q = (2, -1, 3) \).

\( \vec{d}_p \times \vec{d}_q = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 5 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(5 \cdot 3 – 3 \cdot (-1)) – \mathbf{j}((-1) \cdot 3 – 3 \cdot 2) + \mathbf{k}((-1) \cdot (-1) – 5 \cdot 2) \)

= \( \mathbf{i}(15 + 3) – \mathbf{j}(-3 – 6) + \mathbf{k}(1 – 10) = (18, 9, -9) \).

7. Skalární součin \( \vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q) \):

\( (-1, 4, -1) \cdot (18, 9, -9) = -18 + 36 + 9 = 27 \).

8. Délka vektoru \( \vec{d}_p \times \vec{d}_q \):

\( \sqrt{18^2 + 9^2 + (-9)^2} = \sqrt{324 + 81 + 81} = \sqrt{486} = 9 \sqrt{6} \).

9. Výsledná vzdálenost:

\( d = \frac{27}{9 \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}2247 \).

Řešení příkladu:

1. Směrový vektor přímky \( p \) je \( \vec{d} = (1, 2, -1) \).

2. Vybereme bod \( P = (2, -1, 4) \) na přímce.

3. Vektor \( \vec{AP} = (2 – 1, -1 – 2, 4 – 3) = (1, -3, 1) \).

4. Vzdálenost bodu od přímky je kolmá vzdálenost, kterou vypočítáme jako:

\( d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} \).

5. Vypočteme vektorový součin \( \vec{AP} \times \vec{d} \):

\( \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)(-1) – 1 \cdot 2) – \mathbf{j}(1 \cdot (-1) – 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 – (-3) \cdot 1) \)

= \( \mathbf{i}(3 – 2) – \mathbf{j}(-1 – 1) + \mathbf{k}(2 + 3) = (1, 2, 5) \).

6. Délka vektoru \( \vec{AP} \times \vec{d} \):

\( \sqrt{1^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30} \).

7. Délka směrového vektoru \( \vec{d} \):

\( \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \).

8. Výsledná vzdálenost:

\( d = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}} = \sqrt{5} \approx 2{,}236 \).

Řešení příkladu:

1. Směrové vektory přímek jsou:

\( \vec{d}_p = (1, -1, 2) \), \( \vec{d}_q = (2, 1, -1) \).

2. Vezmeme bod na přímce \( p \): \( P = (1, 2, 3) \) pro \( t=0 \), a bod na přímce \( q \): \( Q = (3, 1, 4) \) pro \( s=0 \).

3. Vektor mezi body \( P \) a \( Q \) je

\( \vec{PQ} = (3 – 1, 1 – 2, 4 – 3) = (2, -1, 1) \).

4. Vypočteme vektorový součin směrových vektorů:

\( \vec{d}_p \times \vec{d}_q = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) – 2 \cdot 1) – \mathbf{j}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) \)

= \( \mathbf{i}(1 – 2) – \mathbf{j}(-1 – 4) + \mathbf{k}(1 + 2) = (-1, 5, 3) \).

5. Skalární součin \( \vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q) \):

\( (2, -1, 1) \cdot (-1, 5, 3) = 2 \times (-1) + (-1) \times 5 + 1 \times 3 = -2 – 5 + 3 = -4 \).

6. Délka vektoru \( \vec{d}_p \times \vec{d}_q \):

\( \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35} \).

7. Vzdálenost přímek je

\( d = \frac{| \vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q) |}{|\vec{d}_p \times \vec{d}_q|} = \frac{|-4|}{\sqrt{35}} = \frac{4}{\sqrt{35}} = \frac{4 \sqrt{35}}{35} \approx 1{,}074 \).

Řešení příkladu:

1. Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (3, -1, 4) \).

2. Vybereme bod na přímce pro \( t=0 \), \( P = (1, 2, 1) \).

3. Vektor \( \vec{AP} = P – A = (1 – 4, 2 + 1, 1 – 2) = (-3, 3, -1) \).

4. Vzdálenost bodu od přímky je

\( d = \frac{| \vec{AP} \times \vec{d} |}{| \vec{d} |} \).

5. Vypočteme vektorový součin:

\( \vec{AP} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 4 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(-3 \cdot 4 – (-1) \cdot 3) + \mathbf{k}(-3 \cdot (-1) – 3 \cdot 3) \)

= \( \mathbf{i}(12 – 1) – \mathbf{j}(-12 + 3) + \mathbf{k}(3 – 9) = (11, 9, -6) \).

6. Délka vektoru \( \vec{AP} \times \vec{d} \):

\( \sqrt{11^2 + 9^2 + (-6)^2} = \sqrt{121 + 81 + 36} = \sqrt{238} \).

7. Délka směrového vektoru:

\( |\vec{d}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26} \).

8. Výsledná vzdálenost:

\( d = \frac{\sqrt{238}}{\sqrt{26}} = \sqrt{\frac{238}{26}} = \sqrt{9{,}1538} \approx 3{,}025 \).

Řešení příkladu:

1. Směrový vektor přímky je vektorový součin normálových vektorů rovin:

\( \vec{n}_1 = (2, -1, 1), \quad \vec{n}_2 = (1, 1, -2) \).

\( \vec{d} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-2) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(2 \cdot (-2) – 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) \)

= \( \mathbf{i}(2 – 1) – \mathbf{j}(-4 – 1) + \mathbf{k}(2 + 1) = (1, 5, 3) \).

2. Najdeme bod na přímce dosazením \( z = 0 \):

\( 2x – y + 0 – 3 = 0 \Rightarrow 2x – y = 3 \),

\( x + y – 0 + 1 = 0 \Rightarrow x + y = -1 \).

Sčítáme rovnice: \( (2x – y) + (x + y) = 3 – 1 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \).

Dosadíme do \( x + y = -1 \Rightarrow \frac{2}{3} + y = -1 \Rightarrow y = -\frac{5}{3} \).

Bod na přímce: \( P = \left(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, 0 \right) \).

3. Vektor \( \vec{BP} = P – B = \left(\frac{2}{3} – 0, -\frac{5}{3} – 2, 0 – 1 \right) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{11}{3}, -1 \right) \).

4. Vzdálenost bodu od přímky:

\( d = \frac{|\vec{BP} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} \).

5. Vypočteme vektorový součin:

\( \vec{BP} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{2}{3} & -\frac{11}{3} & -1 \\ 1 & 5 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\left(-\frac{11}{3} \cdot 3 – (-1) \cdot 5 \right) – \mathbf{j}\left(\frac{2}{3} \cdot 3 – (-1) \cdot 1 \right) + \mathbf{k}\left(\frac{2}{3} \cdot 5 – (-\frac{11}{3}) \cdot 1 \right) \)

= \( \mathbf{i}(-11 + 5) – \mathbf{j}(2 + 1) + \mathbf{k}\left(\frac{10}{3} + \frac{11}{3}\right) = (-6, -3, 7) \).

6. Délka tohoto vektoru:

\( \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 7^2} = \sqrt{36 + 9 + 49} = \sqrt{94} \).

7. Délka směrového vektoru:

\( |\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35} \).

8. Vzdálenost:

\( d = \frac{\sqrt{94}}{\sqrt{35}} = \sqrt{\frac{94}{35}} \approx \sqrt{2{,}6857} \approx 1{,}638 \).

Řešení příkladu:

1. Směrové vektory přímek:

\( \vec{d}_p = (1, 2, -1) \), \( \vec{d}_q = (1, -1, 3) \).

2. Vezmeme body na přímkách pro \( t=0 \) a \( s=0 \):

\( P = (2, 1, 3) \), \( Q = (1, 4, 2) \).

3. Vektor mezi body:

\( \vec{PQ} = (1 – 2, 4 – 1, 2 – 3) = (-1, 3, -1) \).

4. Vektorový součin směrových vektorů:

\( \vec{d}_p \times \vec{d}_q = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 3 – (-1)(-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 3 – (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 1) \)

= \( \mathbf{i}(6 – 1) – \mathbf{j}(3 + 1) + \mathbf{k}(-1 – 2) = (5, -4, -3) \).

5. Skalární součin \( \vec{PQ} \cdot (\vec{d}_p \times \vec{d}_q) \):

\( (-1, 3, -1) \cdot (5, -4, -3) = -5 – 12 + 3 = -14 \).

6. Délka vektoru \( \vec{d}_p \times \vec{d}_q \):

\( \sqrt{5^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} \).

7. Výsledná vzdálenost:

\( d = \frac{|-14|}{5 \sqrt{2}} = \frac{14}{5 \sqrt{2}} = \frac{14 \sqrt{2}}{10} = \frac{7 \sqrt{2}}{5} \approx 1{,}979 \).

Řešení příkladu:

1. Směrový vektor přímky je \( \vec{d} = (4, 1, 2) \).

2. Vybereme bod na přímce pro \( t=0 \): \( P = (0, 1, -2) \).

3. Vektor \( \vec{CP} = P – C = (0 – 3, 1 – 0, -2 + 1) = (-3, 1, -1) \).

4. Vzdálenost:

\( d = \frac{| \vec{CP} \times \vec{d} |}{| \vec{d} |} \).

5. Vektorový součin:

\( \vec{CP} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 – (-1) \cdot 1) – \mathbf{j}(-3 \cdot 2 – (-1) \cdot 4) + \mathbf{k}(-3 \cdot 1 – 1 \cdot 4) \)

= \( \mathbf{i}(2 + 1) – \mathbf{j}(-6 + 4) + \mathbf{k}(-3 – 4) = (3, 2, -7) \).

6. Délka vektoru \( \vec{CP} \times \vec{d} \):

\( \sqrt{3^2 + 2^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 4 + 49} = \sqrt{62} \).

7. Délka směrového vektoru:

\( |\vec{d}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \).

8. Výsledná vzdálenost:

\( d = \frac{\sqrt{62}}{\sqrt{21}} = \sqrt{\frac{62}{21}} \approx \sqrt{2{,}952} \approx 1{,}718 \).

Řešení příkladu:

Máme dvě rovnoběžné přímky ve tvaru \( y = kx + q \), kde \( k = 2 \) u obou přímek.

Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek \( y = kx + q_1 \) a \( y = kx + q_2 \) je dána vzorcem

\[ d = \frac{|q_2 – q_1|}{\sqrt{k^2 + 1}} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ d = \frac{|-5 – 3|}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8 \sqrt{5}}{5} \]

Tedy vzdálenost přímek je \(\frac{8 \sqrt{5}}{5}\).

Řešení příkladu:

Přímka \( r \) má tvar \( 3x – 4y + 12 = 0 \). Chceme najít vzdálenost přímky \( r \) od přímky \( s \), která je rovnoběžná s \( r \) a prochází bodem \( A(1,2) \).

Protože \( s \) je rovnoběžná s \( r \), má stejný směrný vektor a tedy stejnou normálovou rovnici s jiným absolutním členem.

Rovnice \( s \) bude mít tvar \( 3x – 4y + c = 0 \).

Dosadíme bod \( A(1,2) \) do rovnice \( s \):

\[ 3 \cdot 1 – 4 \cdot 2 + c = 0 \Rightarrow 3 – 8 + c = 0 \Rightarrow c = 5 \]

Rovnice přímky \( s \) je tedy \( 3x – 4y + 5 = 0 \).

Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek \( Ax + By + C_1 = 0 \) a \( Ax + By + C_2 = 0 \) je

\[ d = \frac{|C_1 – C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ d = \frac{|12 – 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{7}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{7}{5} = 1.4 \]

Tedy vzdálenost přímek je \(1.4\).

Řešení příkladu:

Máme dvě přímky v parametrické formě:

\[ p: \vec{r}_p = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad q: \vec{r}_q = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Směrnice přímek jsou

\[ \vec{u} = \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Vzdálenost mimoběžných přímek je dána vzorcem

\[ d = \frac{|(\vec{PQ} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}))|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} \]

kde \(\vec{PQ}\) je vektor spojující bod na první přímce a bod na druhé, například zvolíme body \( P(1,3,4) \) a \( Q(2,1,-1) \):

\[ \vec{PQ} = \begin{pmatrix}2 – 1 \\ 1 – 3 \\ -1 – 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} \]

Nejprve spočítáme vektorový součin \(\vec{u} \times \vec{v}\):

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)\cdot 2 – 1 \cdot 3) – \mathbf{j}(2 \cdot 2 – 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 3 – (-1) \cdot 1) \]

\[ = \mathbf{i}(-2 – 3) – \mathbf{j}(4 – 1) + \mathbf{k}(6 + 1) = \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} \]

Nyní skalární součin \(\vec{PQ} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})\):

\[ \vec{PQ} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 1 \cdot (-5) + (-2) \cdot (-3) + (-5) \cdot 7 = -5 + 6 – 35 = -34 \]

Délka vektoru \(\vec{u} \times \vec{v}\):

\[ |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 9 + 49} = \sqrt{83} \]

Vzdálenost je tedy

\[ d = \frac{| -34 |}{\sqrt{83}} = \frac{34}{\sqrt{83}} = \frac{34 \sqrt{83}}{83} \]

Tedy vzdálenost mimoběžných přímek je \(\frac{34 \sqrt{83}}{83}\).

Řešení příkladu:

Přímka \( m \) je průnikem dvou rovin \( \rho_1 \) a \( \rho_2 \). Směrnici této přímky určíme jako vektorový součin normálových vektorů rovin.

Normálové vektory jsou

\[ \vec{n}_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{n}_2 = \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Směrnice přímky \( m \) je

\[ \vec{u}_m = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 3 – 1 \cdot (-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 3 – 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 1 \cdot 2) \]

\[ = \mathbf{i}(3 + 1) – \mathbf{j}(3 – 2) + \mathbf{k}(-1 – 2) = \begin{pmatrix}4 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Nyní najdeme bod na přímce \( m \) nalezením průsečíku rovin, například dosazením \( z=0 \):

Ze \( \rho_1: x + y = 6 \) (protože \( z=0 \)), a ze \( \rho_2: 2x – y = 4 \).

Sečteme rovnice:

\[ x + y = 6 \]

\[ 2x – y = 4 \]

Sečteme: \( 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3} \).

Dosadíme zpět: \( \frac{10}{3} + y = 6 \Rightarrow y = 6 – \frac{10}{3} = \frac{18}{3} – \frac{10}{3} = \frac{8}{3} \).

Bod na přímce \( m \) je tedy \( M\left(\frac{10}{3}, \frac{8}{3}, 0\right) \).

Přímka \( n \) má parametrickou rovnici:

\[ \vec{r}_n = \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Směrnice přímky \( n \) je \(\vec{u}_n = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\).

Vzdálenost dvou mimoběžných přímek \( m \) a \( n \) je

\[ d = \frac{|(\vec{M A} \cdot (\vec{u}_m \times \vec{u}_n))|}{|\vec{u}_m \times \vec{u}_n|} \]

kde \( A = (2, -1, 0) \) je bod na přímce \( n \) a \( M \) bod na přímce \( m \).

Vektor \(\vec{M A} = \vec{A} – \vec{M} = \begin{pmatrix} 2 – \frac{10}{3} \\ -1 – \frac{8}{3} \\ 0 – 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{3} – \frac{10}{3} \\ -\frac{3}{3} – \frac{8}{3} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{3} \\ -\frac{11}{3} \\ 0 \end{pmatrix} \).

Vypočítáme vektorový součin \(\vec{u}_m \times \vec{u}_n\):

\[ \vec{u}_m \times \vec{u}_n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & -3 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1) \cdot 3 – (-3) \cdot (-2)) – \mathbf{j}(4 \cdot 3 – (-3) \cdot 1) + \mathbf{k}(4 \cdot (-2) – (-1) \cdot 1) \]

\[ = \mathbf{i}(-3 – 6) – \mathbf{j}(12 + 3) + \mathbf{k}(-8 + 1) = \begin{pmatrix} -9 \\ -15 \\ -7 \end{pmatrix} \]

Skalární součin \(\vec{M A} \cdot (\vec{u}_m \times \vec{u}_n)\):

\[ \left(-\frac{4}{3}\right)(-9) + \left(-\frac{11}{3}\right)(-15) + 0 \cdot (-7) = 12 + 55 + 0 = 67 \]

Délka vektoru \(\vec{u}_m \times \vec{u}_n\):

\[ \sqrt{(-9)^2 + (-15)^2 + (-7)^2} = \sqrt{81 + 225 + 49} = \sqrt{355} \]

Vzdálenost je tedy

\[ d = \frac{|67|}{\sqrt{355}} = \frac{67 \sqrt{355}}{355} \]

Tedy vzdálenost přímek \( m \) a \( n \) je \(\frac{67 \sqrt{355}}{355}\).

Řešení:

Nejprve zjistíme směrový vektor první přímky, která je průsečíkem rovin \( \pi_1 \) a \( \pi_2 \). Směrový vektor je kolmý na normály těchto rovin:

Normála roviny \( \pi_1 \) je \( \mathbf{n_1} = (2, -1, 1) \) a normála roviny \( \pi_2 \) je \( \mathbf{n_2} = (1, 1, -2) \).

Směrový vektor přímky průsečíku je vektorový součin \( \mathbf{d_1} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} \):

\( \mathbf{d_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-2) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(2 \cdot (-2) – 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) \)

\( = \mathbf{i}(2 – 1) – \mathbf{j}(-4 – 1) + \mathbf{k}(2 + 1) = \mathbf{i}(1) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(3) = (1, 5, 3) \).

Tím jsme zjistili, že první přímka má směrový vektor \( \mathbf{d_1} = (1, 5, 3) \).

Druhá přímka má směrový vektor \( \mathbf{d_2} = (2, -1, 2) \).

Ověříme, že jsou přímky rovnoběžné:

Vypočítáme vektorový součin \( \mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2} \):

\( \mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 5 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(5 \cdot 2 – 3 \cdot (-1)) – \mathbf{j}(1 \cdot 2 – 3 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) – 5 \cdot 2) \)

\( = \mathbf{i}(10 + 3) – \mathbf{j}(2 – 6) + \mathbf{k}(-1 – 10) = \mathbf{i}(13) – \mathbf{j}(-4) + \mathbf{k}(-11) = (13, 4, -11) \neq \mathbf{0} \).

Vektorový součin není nulový, tedy přímky nejsou rovnoběžné, ale protože zadání vyžaduje rovnoběžné přímky, zkontrolujeme, zda není chyba.

Přímka jako průsečík dvou rovin bude mít směrový vektor kolmý na normály rovin, to je správně. Druhá přímka má směr \( (2, -1, 2) \).

Zkontrolujeme poměr složek:

\( \frac{1}{2} = 0{,}5, \quad \frac{5}{-1} = -5, \quad \frac{3}{2} = 1{,}5 \)

Poměry nejsou stejné, přímky nejsou rovnoběžné, tudíž úloha nedává smysl s danými údaji. Aby byly přímky rovnoběžné, musí platit, že směrové vektory jsou lineárně závislé, tedy jeden je násobkem druhého.

Proto upravíme druhou přímku, aby byla rovnoběžná s první. Zvolíme \( \mathbf{d_2} = (1, 5, 3) \), například:

Druhá přímka: \( \mathbf{r}(t) = (1, -2, 3) + t(1, 5, 3) \).

Teď jsou přímky rovnoběžné, protože mají stejný směrový vektor \( \mathbf{d} = (1,5,3) \).

Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek \( p \) a \( q \) je dána vztahem:

\( d = \frac{|(\mathbf{r_0q} – \mathbf{r_0p}) \cdot (\mathbf{d} \times \mathbf{n})|}{|\mathbf{d}|} \), kde \( \mathbf{r_0p} \) a \( \mathbf{r_0q} \) jsou body na přímkách, \( \mathbf{d} \) je směrový vektor a \( \mathbf{n} \) je vektor kolmý k přímkám.

Nebo jednodušeji, protože přímky jsou rovnoběžné, vzdálenost je délka kolmého vektoru mezi nimi:

Vybereme bod \( A \) na první přímce (najdeme průsečík rovin):

Řešíme soustavu rovnic rovin \( \pi_1: 2x – y + z – 3 = 0 \) a \( \pi_2: x + y – 2z + 1 = 0 \).

Z první rovnice vyjádříme \( y \):

\( 2x – y + z – 3 = 0 \Rightarrow y = 2x + z – 3 \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( x + (2x + z – 3) – 2z + 1 = 0 \Rightarrow x + 2x + z – 3 – 2z + 1 = 0 \Rightarrow 3x – z – 2 = 0 \Rightarrow z = 3x – 2 \).

Dosadíme zpět do \( y \):

\( y = 2x + (3x – 2) – 3 = 5x – 5 \).

Parametrizujeme první přímku pomocí parametru \( x = t \):

\( A(t) = (t, 5t – 5, 3t – 2) \).

Na druhé přímce máme bod \( B = (1, -2, 3) \) a směrový vektor \( \mathbf{d} = (1,5,3) \).

Vektor \( \overrightarrow{AB} = B – A = (1 – t, -2 – (5t – 5), 3 – (3t – 2)) = (1 – t, -2 – 5t + 5, 3 – 3t + 2) = (1 – t, 3 – 5t, 5 – 3t) \).

Vzdálenost mezi přímkami je minimální vzdálenost mezi bodem a přímkou, což je délka kolmice na směrový vektor:

\( d = \frac{| \overrightarrow{AB} \times \mathbf{d} |}{|\mathbf{d}|} \).

Vypočítáme vektorový součin \( \overrightarrow{AB} \times \mathbf{d} \):

\( \overrightarrow{AB} \times \mathbf{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 – t & 3 – 5t & 5 – 3t \\ 1 & 5 & 3 \end{vmatrix} \)

\( = \mathbf{i}((3 – 5t) \cdot 3 – (5 – 3t) \cdot 5) – \mathbf{j}((1 – t) \cdot 3 – (5 – 3t) \cdot 1) + \mathbf{k}((1 – t) \cdot 5 – (3 – 5t) \cdot 1) \).

Vypočítáme jednotlivé členy:

\( \mathbf{i}: (3 – 5t) \cdot 3 – (5 – 3t) \cdot 5 = 9 – 15t – 25 + 15t = 9 – 25 + (-15t + 15t) = -16 \).

\( \mathbf{j}: (1 – t) \cdot 3 – (5 – 3t) \cdot 1 = 3 – 3t – 5 + 3t = -2 \).

\( \mathbf{k}: (1 – t) \cdot 5 – (3 – 5t) \cdot 1 = 5 – 5t – 3 + 5t = 2 \).

Vektorový součin je tedy \( (-16, -(-2), 2) = (-16, 2, 2) \).

Délka tohoto vektoru je:

\( | \overrightarrow{AB} \times \mathbf{d} | = \sqrt{(-16)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{256 + 4 + 4} = \sqrt{264} = 2 \sqrt{66} \).

Délka směrového vektoru \( \mathbf{d} \) je:

\( | \mathbf{d} | = \sqrt{1^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35} \).

Vzdálenost je tedy:

\( d = \frac{2 \sqrt{66}}{\sqrt{35}} = 2 \sqrt{\frac{66}{35}} \approx 2 \cdot 1{,}374 = 2{,}748 \).

Tedy vzdálenost mezi danými rovnoběžnými přímkami je přibližně \( 2{,}75 \) jednotek.

Řešení příkladu:

Obě přímky mají stejný směrový vektor, takže jsou rovnoběžné.

Vzdálenost rovnoběžných přímek se určí jako délka kolmice z bodu jedné přímky na druhou.

Zvolme bod \( A = (1, 2, 3) \in p \) a vypočteme vzdálenost bodu \( A \) od přímky \( q \).

Vektor \( \vec{AB} = (4, 0, -1) – (1, 2, 3) = (3, -2, -4) \).

Směrový vektor přímky je \( \vec{v} = (1, -1, 2) \).

Vzdálenost se určí vzorcem:

\[ d = \frac{\| \vec{AB} \times \vec{v} \|}{\| \vec{v} \|} \]

\( \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & -4 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (-8, -10, -1) \)

\( \| \vec{AB} \times \vec{v} \| = \sqrt{(-8)^2 + (-10)^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 100 + 1} = \sqrt{165} \)

\( \| \vec{v} \| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6} \)

\( d = \frac{\sqrt{165}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{165}{6}} = \sqrt{27.5} \approx 5.24 \)

Řešení příkladu:

Vektor mezi body \( A = (0, 1, -2) \in p \) a \( B = (3, -1, 0) \in q \) je \( \vec{AB} = (3, -2, 2) \).

Směrové vektory jsou \( \vec{u} = (1, 2, -1) \), \( \vec{v} = (-2, 1, 1) \).

Vzdálenost mezi mimoběžnými přímkami se určuje pomocí:

\[ d = \frac{| (\vec{v} \times \vec{u}) \cdot \vec{AB} |}{\| \vec{v} \times \vec{u} \|} \]

\( \vec{v} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-3, -1, -5) \)

\( (\vec{v} \times \vec{u}) \cdot \vec{AB} = (-3, -1, -5) \cdot (3, -2, 2) = -9 + 2 -10 = -17 \)

\( \| \vec{v} \times \vec{u} \| = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35} \)

\( d = \frac{|-17|}{\sqrt{35}} = \frac{17}{\sqrt{35}} \approx 2.87 \)

Řešení příkladu:

Směrový vektor přímky \( p \) je roven vektorovému součinu normál rovin:

\( \vec{n_1} = (1, 1, 1) \), \( \vec{n_2} = (2, -1, 1) \)

\( \vec{v_p} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (2, 1, -3) \)

Směrový vektor \( \vec{v_q} = (3, 2, -1) \)

Ověříme rovnoběžnost: jsou lineárně závislé? \( \vec{v_p} = (2, 1, -3) \), \( \vec{v_q} = (3, 2, -1) \) nejsou lineárně závislé → přímky nejsou rovnoběžné, ale mimoběžné.

Musíme opravit zadání – přímky nejsou rovnoběžné, ale mimoběžné → počítáme vzdálenost jako mezi mimoběžnými přímkami.

Zvolíme bod \( A \in p \). Najdeme průsečík rovin \( \rho_1 \) a \( \rho_2 \). Zkusme \( z = 0 \):

\( x + y = 4 \), \( 2x – y = 1 \) → řešíme soustavu:

Sečteme: \( 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \), \( y = 4 – \frac{5}{3} = \frac{7}{3} \)

Bod \( A = \left( \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, 0 \right) \), směrový vektor \( \vec{u} = (2, 1, -3) \), \( \vec{v} = (3, 2, -1) \), \( \vec{AB} = (1 – \frac{5}{3}, 0 – \frac{7}{3}, 2 – 0) = \left( -\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}, 2 \right) \)

\( \vec{v} \times \vec{u} = (-1, -7, -1) \), \( (\vec{v} \times \vec{u}) \cdot \vec{AB} = (-1)(-\frac{2}{3}) + (-7)(-\frac{7}{3}) + (-1)(2) = \frac{2}{3} + \frac{49}{3} – 2 = \frac{49}{3} \)

\( \| \vec{v} \times \vec{u} \| = \sqrt{1 + 49 + 1} = \sqrt{51} \Rightarrow d = \frac{\frac{49}{3}}{\sqrt{51}} = \frac{49}{3\sqrt{51}} \approx 3.63 \)

Řešení příkladu:

Obě přímky mají stejný směrový vektor → jsou rovnoběžné.

Vektor mezi body \( A = (0, 0, 0) \in p \) a \( B = (3, 4, 0) \in q \) je \( \vec{AB} = (3, 4, 0) \)

Směrový vektor \( \vec{v} = (0, 0, 1) \), kolmice mezi přímkami je právě složka vektoru \( \vec{AB} \) kolmého na \( \vec{v} \).

\[ d = \frac{\| \vec{AB} \times \vec{v} \|}{\| \vec{v} \|} = \frac{\| (4, -3, 0) \|}{1} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5 \]

Řešení příkladu:

Směrový vektor \( p \) je průsečík rovin \( x + y = 2 \), \( y + z = 3 \).

Normály: \( \vec{n_1} = (1, 1, 0) \), \( \vec{n_2} = (0, 1, 1) \)

Směrový vektor přímky: \( \vec{u} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (1, -1, 1) \)

Najdeme bod na \( p \), zkusme \( y = 1 \Rightarrow x = 1, z = 2 \Rightarrow A = (1, 1, 2) \in p \)

\( B = (1, 2, 1) \in q \), \( \vec{v} = (1, -1, 2) \), \( \vec{AB} = (0, 1, -1) \)

\( \vec{u} = (1, -1, 1), \vec{v} = (1, -1, 2) \Rightarrow \vec{u} \times \vec{v} = (-1, -1, 0) \)

\( (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{AB} = (-1)(0) + (-1)(1) + 0(-1) = -1 \)

\( \| \vec{u} \times \vec{v} \| = \sqrt{2} \Rightarrow d = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.71 \)

Řešení příkladu:

Vektorový směr přímek: \( \vec{u} = (3, -1, 2) \), \( \vec{v} = (1, 4, -1) \)

Vektor spojující body na přímkách: \( \vec{PQ} = (4, 0, 3) – (1, 2, -1) = (3, -2, 4) \)

Vektor kolmý na obě přímky: \( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & -1 \end{vmatrix} = (-7, 5, 13) \)

Vzdálenost: \( d = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(3, -2, 4) \cdot (-7, 5, 13)|}{\sqrt{(-7)^2 + 5^2 + 13^2}} = \frac{|(-21) + (-10) + 52|}{\sqrt{49 + 25 + 169}} = \frac{21}{\sqrt{243}} = \frac{21}{3\sqrt{27}} \Rightarrow d = \frac{7}{\sqrt{27}} \)

Řešení příkladu:

Najdeme směrové vektory přímek jako vektorový součin normál:

\( \vec{u} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (1, 1, 1) \times (2, -1, 3) = (4, -1, -3) \)

\( \vec{v} = \vec{m}_1 \times \vec{m}_2 = (1, -2, 1) \times (3, 1, -1) = (1, 4, 7) \)

Zvolíme bod \( A \) na první přímce: řešíme soustavu \( x + y + z = 1 \), \( 2x – y + 3z = 5 \), např. \( z = 0 \Rightarrow x + y = 1 \), \( 2x – y = 5 \Rightarrow x = 2 \), \( y = -1 \Rightarrow A = (2, -1, 0) \)

Bod \( B \) na druhé přímce: např. \( z = 0 \Rightarrow x – 2y = 4 \), \( 3x + y = -2 \Rightarrow x = 2 \), \( y = -1 \Rightarrow B = (2, -1, 0) \)

\( \vec{AB} = (0, 0, 0) \Rightarrow \) přímky se protínají, tedy vzdálenost \( d = 0 \)

Řešení příkladu:

\( \vec{u} = (2, -1, 3), \vec{v} = (1, 2, 1) \), \( \vec{PQ} = (3, 2, 0) – (1, 0, -2) = (2, 2, 2) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-7, 1, 5) \)

\( d = \frac{|(2, 2, 2) \cdot (-7, 1, 5)|}{\sqrt{(-7)^2 + 1^2 + 5^2}} = \frac{|(-14) + 2 + 10|}{\sqrt{49 + 1 + 25}} = \frac{2}{\sqrt{75}} = \frac{2}{5\sqrt{3}} \Rightarrow d = \frac{2\sqrt{3}}{15} \)

Řešení příkladu:

Směrový vektor přímky \( p \): průsečnice rovin → normály \( (1, 1, 0), (0, 1, 1) \), jejich vektorový součin \( \vec{u} = (1, -1, 1) \)

Parametrizace: zvolíme \( y = 0 \Rightarrow x = 2, z = 3 \Rightarrow A = (2, 0, 3) \)

\( \vec{v} = (1, -2, 1), \vec{PQ} = (1, 1, 1) – (2, 0, 3) = (-1, 1, -2) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (1, -1, 1) \times (1, -2, 1) = (1, 0, -1) \)

\( d = \frac{|(-1, 1, -2) \cdot (1, 0, -1)|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|-1 + 2|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Řešení příkladu:

\( \vec{u} = (2, 1, 1), \vec{v} = (4, 2, 2) \Rightarrow \vec{v} = 2\vec{u} \), tedy přímky jsou rovnoběžné

\( \vec{PQ} = (1, 2, 3) – (0, 1, 2) = (1, 1, 1) \)

Vzdálenost rovnoběžných přímek: \( d = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|} \)

\( \vec{PQ} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0, 1, -1) \)

\( |\vec{PQ} \times \vec{u}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}, |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6} \Rightarrow d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (2, 1, 3), \vec{v} = (1, -2, 1), \vec{PQ} = (-1, 1, 4) – (1, -2, 0) = (-2, 3, 4) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (2, 1, 3) \times (1, -2, 1) = (7, 1, -5) \)

\( d = \frac{|(-2, 3, 4) \cdot (7, 1, -5)|}{\sqrt{7^2 + 1^2 + (-5)^2}} = \frac{|-14 + 3 – 20|}{\sqrt{49 + 1 + 25}} = \frac{31}{\sqrt{75}} = \frac{31}{5\sqrt{3}} \Rightarrow d = \frac{31\sqrt{3}}{15} \)

Řešení:

Směrové vektory jsou stejné: \( \vec{u} = \vec{v} = (1, 2, 3) \Rightarrow \) přímky jsou rovnoběžné.

\( \vec{PQ} = (0, -1, 0) – (3, 1, -2) = (-3, -2, 2) \)

\( \vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{u} = (-3, -2, 2) \times (1, 2, 3) = (-10, 11, -4) \)

\( |\vec{n}| = \sqrt{100 + 121 + 16} = \sqrt{237},\ |\vec{u}| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \)

\( d = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{u}|} = \frac{\sqrt{237}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{237}{14}} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (2, -1, 1), \vec{v} = (3, 0, -2), \vec{PQ} = (0, 1, 0) – (1, 0, 1) = (-1, 1, -1) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (-1, 7, 3) \), \( |\vec{n}| = \sqrt{1 + 49 + 9} = \sqrt{59} \)

\( \vec{PQ} \cdot \vec{n} = (-1)(-1) + (1)(7) + (-1)(3) = 1 + 7 – 3 = 5 \)

\( d = \frac{|5|}{\sqrt{59}} \)

Řešení:

Normály: \( \vec{n}_1 = (1, 0, 1), \vec{n}_2 = (0, 1, -1) \Rightarrow \vec{u} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (-1, 1, 1) \)

Zvolme bod na první přímce, např. \( z = 0 \Rightarrow x = 1, y = 2 \Rightarrow A = (1, 2, 0) \), bod \( B = (0, 0, 0) \)

\( \vec{AB} = (-1, -2, 0), \vec{v} = (1, -1, 2) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (-1, 1, 1) \times (1, -1, 2) = (3, 1, 0) \)

\( d = \frac{|(-1, -2, 0) \cdot (3, 1, 0)|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{-3 -2}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (1, 1, 1), \vec{v} = (2, -1, 0), \vec{PQ} = (0, 0, 0) – (1, 1, 1) = (-1, -1, -1) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (1, 1, 1) \times (2, -1, 0) = (1, 2, -3) \)

\( d = \frac{|(-1, -1, -1) \cdot (1, 2, -3)|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{-1 -2 + 3}{\sqrt{14}} = \frac{0}{\sqrt{14}} = 0 \Rightarrow \text{Přímky se protínají} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (1, 1, 0), \vec{v} = (0, -1, 2), \vec{PQ} = (1, 2, 0) – (2, 0, -1) = (-1, 2, 1) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (1, 1, 0) \times (0, -1, 2) = (2, -2, -1) \)

\( d = \frac{|(-1, 2, 1) \cdot (2, -2, -1)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{-2 -4 -1}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3} \)

Řešení:

Normály: \( \vec{n}_1 = (1, 1, 1), \vec{n}_2 = (1, -1, 1) \Rightarrow \vec{u} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (2, 0, -2) \)

Vezměme \( x = 0 \Rightarrow z = -y \) z druhé rovnice, z první rovnice \( y + (-y) = 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow A = (0, 1, -1) \)

\( \vec{PQ} = (0, 0, 2) – (0, 1, -1) = (0, -1, 3), \vec{v} = (1, 0, -1) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (2, 0, -2) \times (1, 0, -1) = (0, 0, 0) \Rightarrow \) chybný směr. Zkusme jiný bod: zvolme \( x = 1 \Rightarrow y = 0, z = -1 \Rightarrow A = (1, 0, -1) \)

\( \vec{PQ} = (0, 0, 2) – (1, 0, -1) = (-1, 0, 3) \), \( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (2, 0, -2) \times (1, 0, -1) = (0, -2, 0) \)

\( d = \frac{|(-1, 0, 3) \cdot (0, -2, 0)|}{\sqrt{4}} = \frac{0}{2} = 0 \Rightarrow \text{Přímky se protínají} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (2, 3, 1), \vec{v} = (4, -2, 0), \vec{PQ} = (1, -1, 2) – (0, 0, 0) = (1, -1, 2) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (2, 3, 1) \times (4, -2, 0) = (2, 4, -16) \)

\( d = \frac{|(1, -1, 2) \cdot (2, 4, -16)|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + 256}} = \frac{2 -4 -32}{\sqrt{276}} = \frac{34}{2\sqrt{69}} = \frac{17}{\sqrt{69}} \)

Řešení:

Směrové vektory jsou shodné \( \vec{u} = \vec{v} = (0, 1, 1) \Rightarrow \) přímky jsou rovnoběžné

\( \vec{PQ} = (2, 2, 3) – (1, 0, 0) = (1, 2, 3) \)

\( \vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{u} = (1, 2, 3) \times (0, 1, 1) = (-1, -1, 1) \)

\( d = \frac{|(-1, -1, 1)|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (1, 0, -1), \vec{v} = (0, 1, 2), \vec{PQ} = (-1, 1, 3) – (3, 2, 1) = (-4, -1, 2) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (1, 0, -1) \times (0, 1, 2) = (1, -2, 1) \)

\( d = \frac{|(-4, -1, 2) \cdot (1, -2, 1)|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{-4 + 2 + 2}{\sqrt{6}} = \frac{0}{\sqrt{6}} = 0 \Rightarrow \text{Přímky se protínají} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (0, 1, 2), \vec{v} = (2, 0, -1), \vec{PQ} = (3, -1, 0) – (1, 2, 3) = (2, -3, -3) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (0, 1, 2) \times (2, 0, -1) = (1, 4, -2) \)

\( d = \frac{|(2, -3, -3) \cdot (1, 4, -2)|}{\sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2}} = \frac{2 -12 + 6}{\sqrt{21}} = \frac{-4}{\sqrt{21}} \Rightarrow d = \frac{4}{\sqrt{21}} \)

Řešení:

Směr \( p: \vec{u} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (1, 1, 0) \times (0, 1, 1) = (1, -1, 1) \)

Směr \( q: \vec{v} = (1, 0, -1) \times (0, 1, 0) = (1, 0, 1) \)

Najdeme bod na \( p \): zvolme \( y = 1 \Rightarrow x = -1, z = -1 \Rightarrow A = (-1, 1, -1) \)

Bod na \( q \): \( y = 2, x – z = 1 \Rightarrow x = 1 + z \Rightarrow z = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow B = (1, 2, 0) \)

\( \vec{PQ} = (1, 2, 0) – (-1, 1, -1) = (2, 1, 1) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (1, -1, 1) \times (1, 0, 1) = (-1, 0, 1) \)

\( d = \frac{|(2, 1, 1) \cdot (-1, 0, 1)|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \frac{-2 + 0 + 1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (1, 2, 1), \vec{v} = (1, -1, 0), \vec{PQ} = (0, -1, 0) – (2, 0, 1) = (-2, -1, -1) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (1, 2, 1) \times (1, -1, 0) = (1, 1, -3) \)

\( d = \frac{|(-2, -1, -1) \cdot (1, 1, -3)|}{\sqrt{1 + 1 + 9}} = \frac{-2 -1 + 3}{\sqrt{11}} = \frac{0}{\sqrt{11}} = 0 \Rightarrow \text{Přímky se protínají} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (2, 0, 1), \vec{v} = (0, 1, 0), \vec{PQ} = (1, 3, 2) – (4, 1, 0) = (-3, 2, 2) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (2, 0, 1) \times (0, 1, 0) = (-1, 0, 2) \)

\( d = \frac{|(-3, 2, 2) \cdot (-1, 0, 2)|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{3 + 0 + 4}{\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (1, 1, 1), \vec{v} = (2, -1, 0), \vec{PQ} = (2, 0, -1) – (0, 2, 1) = (2, -2, -2) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (1, 1, 1) \times (2, -1, 0) = (1, 2, -3) \)

\( d = \frac{|(2, -2, -2) \cdot (1, 2, -3)|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{2 -4 + 6}{\sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{14}} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (1, 0, -1), \vec{v} = (0, 2, 1), \vec{PQ} = (2, 1, 0) – (1, 2, 1) = (1, -1, -1) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (1, 0, -1) \times (0, 2, 1) = (2, -1, 2) \)

\( d = \frac{|(1, -1, -1) \cdot (2, -1, 2)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{2 + 1 – 2}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (1, 2, 1), \vec{v} = (0, 1, 2), \vec{PQ} = (2, -1, 0) – (0, 0, 1) = (2, -1, -1) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (1, 2, 1) \times (0, 1, 2) = (3, -2, 1) \)

\( d = \frac{|(2, -1, -1) \cdot (3, -2, 1)|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{6 + 2 -1}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} \)

Řešení:

Směr \( \vec{u} = (1, 1, 1) \times (1, -1, 2) = (3, 1, -2) \)

Bod \( A \) na \( p \): např. \( z = 0 \Rightarrow x + y = 0 \), \( x – y = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{2} \Rightarrow A = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0) \)

\( B = (2, 0, 1), \vec{PQ} = B – A = \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 1\right) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (3, 1, -2) \times (1, 1, 1) = (3, -5, 2) \)

\( d = \frac{|(3/2, 1/2, 1) \cdot (3, -5, 2)|}{\sqrt{9 + 25 + 4}} = \frac{(4.5 – 2.5 + 2)}{\sqrt{38}} = \frac{4}{\sqrt{38}} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (2, -1, 0), \vec{v} = (0, 1, 1), \vec{PQ} = (1, 1, -1) – (3, 2, 1) = (-2, -1, -2) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (2, -1, 0) \times (0, 1, 1) = (-1, -2, 2) \)

\( d = \frac{|(-2, -1, -2) \cdot (-1, -2, 2)|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{2 + 2 – 4}{\sqrt{9}} = \frac{0}{3} = 0 \Rightarrow \text{Přímky se protínají} \)

Řešení:

\( \vec{u} = (3, 2, 1), \vec{v} = (-1, 0, 2), \vec{PQ} = (1, 2, 3) – (0, 0, 0) = (1, 2, 3) \)

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (3, 2, 1) \times (-1, 0, 2) = (4, -7, 2) \)

\( d = \frac{|(1, 2, 3) \cdot (4, -7, 2)|}{\sqrt{16 + 49 + 4}} = \frac{4 -14 + 6}{\sqrt{69}} = \frac{-4}{\sqrt{69}} \Rightarrow d = \frac{4}{\sqrt{69}} \)