Vzdálenost rovin

Řešení:

Roviny jsou rovnoběžné, mají stejný normálový vektor \( \vec{n} = (2, -1, 1) \).

Vybereme bod z jedné roviny, např. z \( \rho_2 \): zvolme \( x = 0, y = 0 \Rightarrow z = -1 \Rightarrow A = (0, 0, -1) \).

Dosadíme do rovnice roviny \( \rho_1 \):

\( d = \frac{|2 \cdot 0 – 0 + (-1) – 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \)

Řešení:

Směr normály \( \vec{n} = (1, 2, -2) \), roviny jsou rovnoběžné.

Zvolíme bod \( A = (0, 0, \frac{5}{2}) \in \rho_2 \) a dosadíme do \( \rho_1 \):

\( d = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 – 2 \cdot \frac{5}{2} – 3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-5 – 3|}{\sqrt{9}} = \frac{8}{3} \)

Řešení:

Normálové vektory jsou \( \vec{n}_1 = (1, 1, 1)\), \(\vec{n}_2 = (2, 2, 2) = 2 \cdot \vec{n}_1 \Rightarrow \text{roviny jsou rovnoběžné}\).

Navíc pravé strany rovnic jsou \(0\) a \(0\), takže rovnice jsou násobky: \( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \Rightarrow \text{roviny jsou totožné} \Rightarrow d = 0 \).

Řešení:

Normála \( \vec{n} = (3, -4, 12) \Rightarrow d = \frac{|10 – (-2)|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{12}{\sqrt{169}} = \frac{12}{13} \)

Řešení:

Normála \( \vec{n} = (1, -1, 1) \Rightarrow d = \frac{|1 – 6|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \)

Řešení:

\( \rho_2 = -2 \cdot \rho_1 \Rightarrow \text{roviny jsou totožné} \Rightarrow d = 0 \)

Řešení:

\( \vec{n}_1 = (2, 3, 6), \vec{n}_2 = 2 \cdot \vec{n}_1 \Rightarrow \text{roviny rovnoběžné} \)

Zvolíme bod z \( \rho_1 \), např. \( x = 0, y = 0 \Rightarrow z = 0 \Rightarrow A = (0, 0, 0) \)

Dosadíme do \( \rho_2 \Rightarrow d = \frac{|0 – 1|}{\sqrt{16 + 36 + 144}} = \frac{1}{\sqrt{196}} = \frac{1}{14} \)

Řešení:

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \Rightarrow \text{roviny rovnoběžné} \)

Vybereme bod \( A = (0, 0, 8) \in \rho_1 \Rightarrow \vec{n} = (5, 1, 1) \)

\( d = \frac{|10 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 8 + 4|}{\sqrt{100 + 4 + 4}} = \frac{20}{\sqrt{108}} = \frac{10}{\sqrt{27}} = \frac{10\sqrt{3}}{9} \)

Řešení:

Normála \( \vec{n} = (1, 1, 1) \Rightarrow d = \frac{|4 + 2|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \)

Řešení:

\( \rho_2 = -2 \cdot \rho_1 \Rightarrow \text{roviny totožné} \Rightarrow d = 0 \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (4, -1, 2) \)

\( d = \frac{|9 – (-3)|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{12}{\sqrt{21}} \)

Řešení:

\( \rho_2 = -2 \cdot \rho_1 \Rightarrow \text{roviny jsou totožné} \Rightarrow d = 0 \)

Řešení:

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) jen pokud by pravá strana byla \( 14 \), ale je \(10\). Roviny rovnoběžné, ale různé.

Normála: \( \vec{n} = (1, -1, 2) \)

Zvolíme bod \( A = (0, 0, \frac{7}{2}) \in \rho_1 \), dosadíme do \( \rho_2 \):

\( d = \frac{|2 \cdot 0 – 2 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{7}{2} – 10|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2}} = \frac{14 – 10}{\sqrt{21}} = \frac{4}{\sqrt{21}} \)

Řešení:

Normála \( \vec{n} = (1, 1, 1) \)

\( d = \frac{|0 – 6|}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \)

Řešení:

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) jen pokud pravá strana byla \(0\), ale je \(10\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Normála: \( \vec{n} = (3, 4, -1) \)

Zvolíme bod \( A = (0, 0, 0) \in \rho_1 \)

\( d = \frac{|6 \cdot 0 + 8 \cdot 0 – 2 \cdot 0 – 10|}{\sqrt{36 + 64 + 4}} = \frac{10}{\sqrt{104}} = \frac{5}{\sqrt{26}} \)

Řešení:

Obě roviny mají tvar bez proměnné \( z \), normála \( \vec{n} = (1, 1, 0) \)

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) jen pokud pravá strana je 6, ale je 10 ⇒ různé roviny, ale rovnoběžné

Zvolíme bod \( A = (0, 3, 0) \in \rho_1 \), dosadíme do \( \rho_2 \)

\( d = \frac{|2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 – 10|}{\sqrt{4 + 4}} = \frac{6 – 10}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)

Řešení:

Normála: \( \vec{n} = (1, 0, -1) \Rightarrow \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \)

\( d = \frac{7}{\sqrt{2}} \)

Řešení:

Normála \( \vec{n} = (2, -3, 6) \)

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) jen pokud pravá strana byla \(8\) ⇒ nejsou úplně násobky ⇒ různé roviny

Zvolíme bod \( A = (0, 0, \frac{2}{3}) \in \rho_1 \), dosadíme do \( \rho_2 \):

\( d = \frac{|4 \cdot 0 – 6 \cdot 0 + 12 \cdot \frac{2}{3} – 6|}{\sqrt{4^2 + 36 + 144}} = \frac{8 – 6}{\sqrt{196}} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} \)

Řešení:

Normála: \( \vec{n} = (1, 2, 3) \Rightarrow d = \frac{12}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{12}{\sqrt{14}} \)

Řešení:

\( \rho_2 = 3 \cdot \rho_1 \Rightarrow \text{roviny jsou totožné} \Rightarrow d = 0 \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (5, -2, 1) \)

Zkontrolujeme, zda jsou roviny rovnoběžné:

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud by pravá strana byla \( 2 \cdot 4 = 8 \), ale je \(14\) ⇒ různé roviny, ale rovnoběžné.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \). Například \( x=0, y=0 \Rightarrow z=4 \), takže \( A = (0, 0, 4) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|10 \cdot 0 – 4 \cdot 0 + 2 \cdot 4 – 14|}{\sqrt{10^2 + (-4)^2 + 2^2}} = \frac{|8 – 14|}{\sqrt{100 + 16 + 4}} = \frac{6}{\sqrt{120}} = \frac{6}{2 \sqrt{30}} = \frac{3}{\sqrt{30}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (3, 1, -4) \)

Rovina \( \rho_2 \) je \( 2 \cdot \rho_1 \) pouze pokud by pravá strana byla \( 2 \cdot 7 = 14 \), ale je 15 ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -4z=7 \Rightarrow z=-\frac{7}{4} \), tedy \( A = (0,0,-\frac{7}{4}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 – 8 \cdot (-\frac{7}{4}) – 15|}{\sqrt{6^2 + 2^2 + (-8)^2}} = \frac{|14 – 15|}{\sqrt{36 + 4 + 64}} = \frac{1}{\sqrt{104}} = \frac{1}{2 \sqrt{26}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (1, -2, 3) \)

Rovina \( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud by pravá strana byla \( 2 \cdot 1 = 2 \), ale je \(5\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Vybereme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( y=0, z=0 \Rightarrow x=1 \), tedy \( A = (1,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \cdot 1 – 4 \cdot 0 + 6 \cdot 0 – 5|}{\sqrt{4 + 16 + 36}} = \frac{|2 – 5|}{\sqrt{56}} = \frac{3}{\sqrt{56}} = \frac{3}{2\sqrt{14}} \)

Řešení:

Rovina \( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) i pravá strana je \( 2 \cdot 3 = 6 \) ⇒ roviny totožné ⇒ \( d=0 \)

Řešení:

Normála \( \vec{n_1} = (3, -1, 2) \), \( \vec{n_2} = (-6, 2, -4) \)

Kontrola rovnoběžnosti: \( \vec{n_2} = -2 \cdot \vec{n_1} \Rightarrow \) roviny rovnoběžné.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), například \( x=0, y=0 \Rightarrow 2z=1 \Rightarrow z = \frac{1}{2} \), tedy \( A = (0,0,\frac{1}{2}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|-6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 – 4 \cdot \frac{1}{2} + 2|}{\sqrt{(-6)^2 + 2^2 + (-4)^2}} = \frac{|-2 + 2|}{\sqrt{36 + 4 + 16}} = \frac{0}{\sqrt{56}} = 0 \)

Roviny jsou tedy ve skutečnosti totožné (viz vzdálenost), i když se rovnice liší.

Řešení:

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \Rightarrow \) roviny totožné, vzdálenost \( d=0 \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (2, -1, 1) \)

Rovina \( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud pravá strana je \( 2 \cdot 3 = 6 \), ale je \(7\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A = (0,0,3) \in \rho_1 \) (tedy \( 2 \cdot 0 – 0 + 3 = 3 \)).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|4 \cdot 0 – 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 – 7|}{\sqrt{16 + 4 + 4}} = \frac{|6 – 7|}{\sqrt{24}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (1, -3, 1) \)

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud pravá strana je \( 2 \cdot 4 = 8 \), ale je \(9\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A = (0,0,4) \in \rho_1 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \cdot 0 – 6 \cdot 0 + 2 \cdot 4 – 9|}{\sqrt{4 + 36 + 4}} = \frac{|8 – 9|}{\sqrt{44}} = \frac{1}{2\sqrt{11}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (7, -2, 5) \)

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud pravá strana je \( 2 \cdot 1 = 2 \), ale je \(3\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A = (0,0,\frac{1}{5}) \in \rho_1 \) (protože \( 7\cdot0 – 2\cdot0 + 5z = 1 \Rightarrow z = \frac{1}{5} \)).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|14 \cdot 0 – 4 \cdot 0 + 10 \cdot \frac{1}{5} – 3|}{\sqrt{196 + 16 + 100}} = \frac{|2 – 3|}{\sqrt{312}} = \frac{1}{2\sqrt{78}} \)

Řešení:

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud pravá strana je \( 2 \cdot 8 = 16 \), ale je \(15\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A = (0,0,-\frac{8}{3}) \in \rho_1 \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|10 \cdot 0 + 2 \cdot 0 – 6 \cdot (-\frac{8}{3}) – 15|}{\sqrt{100 + 4 + 36}} = \frac{|16 – 15|}{\sqrt{140}} = \frac{1}{2\sqrt{35}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (4, -3, 1) \)

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud pravá strana je \( 2 \cdot 7 = 14 \), ale je \(18\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow z=7 \), tedy \( A=(0,0,7) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|8 \cdot 0 – 6 \cdot 0 + 2 \cdot 7 – 18|}{\sqrt{64 + 36 + 4}} = \frac{|14 – 18|}{\sqrt{104}} = \frac{4}{2\sqrt{26}} = \frac{2}{\sqrt{26}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (1, 4, -2) \)

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud pravá strana je \( 2 \cdot 9 = 18 \), ale je \(15\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -2z=9 \Rightarrow z=-\frac{9}{2} \), tedy \( A=(0,0,-\frac{9}{2}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \cdot 0 + 8 \cdot 0 – 4 \cdot (-\frac{9}{2}) – 15|}{\sqrt{4 + 64 + 16}} = \frac{|18 – 15|}{\sqrt{84}} = \frac{3}{2\sqrt{21}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (5, -1, 3) \)

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud pravá strana je \( 2 \cdot 11 = 22 \), ale je \(23\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), například \( x=1, y=0 \Rightarrow 5 \cdot 1 + 3z = 11 \Rightarrow 3z = 6 \Rightarrow z=2 \), tedy \( A = (1,0,2) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|10 \cdot 1 – 2 \cdot 0 + 6 \cdot 2 – 23|}{\sqrt{100 + 4 + 36}} = \frac{|10 + 12 – 23|}{\sqrt{140}} = \frac{|22 – 23|}{\sqrt{140}} = \frac{1}{2\sqrt{35}} \)

Řešení:

Rovina \( \rho_1 \) je 3-násobkem roviny \( \rho_2 \): \( 3(x + 2y – 3z) = 3 \cdot 4 = 12 \) ⇒ roviny totožné.

Vzdálenost \( d=0 \).

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (2, -1, 4) \)

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud pravá strana je \( 2 \cdot 5 = 10 \), ale je \(9\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), například \( x=0, y=0 \Rightarrow 4z=5 \Rightarrow z=\frac{5}{4} \), tedy \( A = (0,0,\frac{5}{4}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|4 \cdot 0 – 2 \cdot 0 + 8 \cdot \frac{5}{4} – 9|}{\sqrt{16 + 4 + 64}} = \frac{|10 – 9|}{\sqrt{84}} = \frac{1}{2\sqrt{21}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (1, -1, 1) \)

\( \rho_2 = 3 \cdot \rho_1 \) pokud pravá strana je \( 3 \cdot 2 = 6 \), ale je \(5\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=2, y=0 \Rightarrow 2 – 0 + z = 2 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A = (2,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|3 \cdot 2 – 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 – 5|}{\sqrt{9 + 9 + 9}} = \frac{|6 – 5|}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (6, 1, -2) \)

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud pravá strana je \( 2 \cdot 8 = 16 \), ale je \(19\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=8, z=0 \Rightarrow 6 \cdot 0 + 8 – 0 = 8 \), tedy \( A=(0,8,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|12 \cdot 0 + 2 \cdot 8 – 4 \cdot 0 – 19|}{\sqrt{144 + 4 + 16}} = \frac{|16 – 19|}{\sqrt{164}} = \frac{3}{2\sqrt{41}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (-1, 2, 1) \)

Rovina \( \rho_2 = -3 \cdot \rho_1 \), pokud pravá strana je \( -3 \cdot 4 = -12 \), což je shodné.

Roviny jsou totožné, vzdálenost \( d=0 \).

Řešení:

Normálový vvector: \( \vec{n} = (2, 3, -1) \)

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud pravá strana je \( 2 \cdot 7 = 14 \), ale je \(13\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -z=7 \Rightarrow z=-7 \), tedy \( A=(0,0,-7) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|4 \cdot 0 + 6 \cdot 0 – 2 \cdot (-7) – 13|}{\sqrt{16 + 36 + 4}} = \frac{|14 – 13|}{\sqrt{56}} = \frac{1}{2\sqrt{14}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (7, -5, 2) \)

\( \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \) pokud pravá strana je \( 2 \cdot 10 = 20 \), ale je \(19\) ⇒ roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 2z=10 \Rightarrow z=5 \), tedy \( A=(0,0,5) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|14 \cdot 0 – 10 \cdot 0 + 4 \cdot 5 – 19|}{\sqrt{196 + 100 + 16}} = \frac{|20 – 19|}{\sqrt{312}} = \frac{1}{2\sqrt{78}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (3, -4, 5) \)

Rovina druhá je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \cdot 20 = 40 \), ale je \(38\), tedy roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 5z=20 \Rightarrow z=4 \), tedy \( A=(0,0,4) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|6 \cdot 0 – 8 \cdot 0 + 10 \cdot 4 – 38|}{\sqrt{36 + 64 + 100}} = \frac{|40 – 38|}{\sqrt{200}} = \frac{2}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (5, 2, -3) \)

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \cdot 7 = 14 \), ale je \(13\), takže roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -3z=7 \Rightarrow z=-\frac{7}{3} \), tedy \( A = (0,0,-\frac{7}{3}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|10 \cdot 0 + 4 \cdot 0 – 6 \cdot (-\frac{7}{3}) – 13|}{\sqrt{100 + 16 + 36}} = \frac{|14 – 13|}{\sqrt{152}} = \frac{1}{2\sqrt{38}} \)

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (1, -1, 2) \)

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \cdot 5 = 10 \), ale je \(11\), tedy roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=5, y=0 \Rightarrow 5 – 0 + 2z = 5 \Rightarrow 2z=0 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A=(5,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \cdot 5 – 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 – 11|}{\sqrt{4 + 4 + 16}} = \frac{|10 – 11|}{\sqrt{24}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, protože \( 2 \cdot 3 = 6 \), tedy roviny jsou totožné.

Vzdálenost \( d=0 \).

Řešení:

Normálový vektor: \( \vec{n} = (2, 1, 1) \)

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \cdot 4 = 8 \), ale je \(10\), tedy roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow z=4 \), tedy \( A=(0,0,4) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|4 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 4 – 10|}{\sqrt{16 + 4 + 4}} = \frac{|8 – 10|}{\sqrt{24}} = \frac{2}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \cdot 15 = 30 \), ale je \(31\), tedy roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=5 \Rightarrow 0 – 15 + z = 15 \Rightarrow z=30 \), tedy \( A = (0,5,30) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|14 \cdot 0 – 6 \cdot 5 + 2 \cdot 30 – 31|}{\sqrt{196 + 36 + 4}} = \frac{|-30 + 60 – 31|}{\sqrt{236}} = \frac{| -1|}{\sqrt{236}} = \frac{1}{2\sqrt{59}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \cdot 9 = 18 \), ale je \(20\), tedy roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=9, y=0 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A = (9,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \cdot 9 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 – 20|}{\sqrt{4 + 4 + 4}} = \frac{|18 – 20|}{\sqrt{12}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první a pravá strana je také \( 2 \cdot 5 = 10 \), tedy roviny jsou totožné.

Vzdálenost \( d = 0 \).

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \cdot 8 = 16 \), ale je 17, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 2z=8 \Rightarrow z=4 \), tedy \( A = (0,0,4) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|10 \cdot 0 – 2 \cdot 0 + 4 \cdot 4 – 17|}{\sqrt{100 + 4 + 16}} = \frac{|16 – 17|}{\sqrt{120}} = \frac{1}{2\sqrt{30}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \cdot 9 = 18 \), ale je 19, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=3 \Rightarrow -0 + 9 – 4z = 9 \Rightarrow -4z=0 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A = (0,3,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|-2 \cdot 0 + 6 \cdot 3 – 8 \cdot 0 – 19|}{\sqrt{4 + 36 + 64}} = \frac{|18 – 19|}{\sqrt{104}} = \frac{1}{2\sqrt{26}} \)

Řešení:

Normálový vektor první roviny: \( \vec{n_1} = (3,6,-9) \), druhé: \( \vec{n_2} = (1,2,-3) \).

Vidíme, že \( \vec{n_1} = 3 \cdot \vec{n_2} \), tedy roviny jsou rovnoběžné.

Pokud by pravá strana první roviny byla \( 3 \cdot 5 = 15 \), byly by totožné, ale je 12, takže jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_2 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -3z=5 \Rightarrow z=-\frac{5}{3} \), tedy \( A = (0,0,-\frac{5}{3}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|3 \cdot 0 + 6 \cdot 0 – 9 \cdot (-\frac{5}{3}) – 12|}{\sqrt{9 + 36 + 81}} = \frac{|15 – 12|}{\sqrt{126}} = \frac{3}{\sqrt{126}} = \frac{1}{\sqrt{14}} \)

Řešení:

Normálový vektor první roviny: \( \vec{n} = (2, -1, 4) \).

Druhá rovina by měla pravou stranu \( 2 \cdot 8 = 16 \), ale je 17, roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 4z=8 \Rightarrow z=2 \), tedy \( A = (0,0,2) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|4 \cdot 0 – 2 \cdot 0 + 8 \cdot 2 – 17|}{\sqrt{4 + 1 + 16}} = \frac{|16 – 17|}{\sqrt{21}} = \frac{1}{\sqrt{21}} \)

Řešení:

Normálový vektor první roviny: \( \vec{n} = (1,1,1) \).

Druhá rovina je 3-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 3 \cdot 3 = 9 \), ale je 11, tedy rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=3, y=0 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A=(3,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|3 \cdot 3 + 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 – 11|}{\sqrt{9}} = \frac{|9 – 11|}{3} = \frac{2}{3} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \cdot 9 = 18 \), ale je 20, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow z=9 \), tedy \( A = (0,0,9) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|8 \cdot 0 – 10 \cdot 0 + 2 \cdot 9 – 20|}{\sqrt{64 + 100 + 4}} = \frac{|18 – 20|}{\sqrt{168}} = \frac{2}{2\sqrt{42}} = \frac{1}{\sqrt{42}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \cdot 7 = 14 \), ale je 13, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=7, y=0 \Rightarrow 7 + 0 + 2z = 7 \Rightarrow 2z=0 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A = (7,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \cdot 7 – 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0 – 13|}{\sqrt{4 + 36 + 16}} = \frac{|14 – 13|}{\sqrt{56}} = \frac{1}{2\sqrt{14}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, a pravá strana je \( 2 \cdot 4 = 8 \), tedy roviny totožné.

Vzdálenost \( d=0 \).

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \cdot 7 = 14 \), ale je 16, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 3z=7 \Rightarrow z=\frac{7}{3} \), tedy \( A = (0,0,\frac{7}{3}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|4 \cdot 0 – 2 \cdot 0 + 6 \cdot \frac{7}{3} – 16|}{\sqrt{16 + 4 + 36}} = \frac{|14 – 16|}{\sqrt{56}} = \frac{2}{2\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{14}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \cdot 3 = 6 \), ale je 7, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=3, y=0 \Rightarrow 3 + 0 – 2z = 3 \Rightarrow -2z=0 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A = (3,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \cdot 3 + 4 \cdot 0 – 4 \cdot 0 – 7|}{\sqrt{4 + 16 + 16}} = \frac{|6 – 7|}{\sqrt{36}} = \frac{1}{6} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \cdot 10 = 20 \), ale je 21, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 2z=10 \Rightarrow z=5 \), tedy \( A = (0,0,5) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|10 \cdot 0 – 2 \cdot 0 + 4 \cdot 5 – 21|}{\sqrt{100 + 4 + 16}} = \frac{|20 – 21|}{\sqrt{120}} = \frac{1}{2\sqrt{30}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \cdot 6 = 12 \), ale je 13, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -3z=6 \Rightarrow z=-2 \), tedy \( A = (0,0,-2) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|-2 \cdot 0 + 8 \cdot 0 – 6 \cdot (-2) – 13|}{\sqrt{4 + 64 + 36}} = \frac{|12 – 13|}{\sqrt{104}} = \frac{1}{2\sqrt{26}} \)

Řešení:

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 14 = 28 \), ale je 30, tedy roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 3z=14 \Rightarrow z = \frac{14}{3} \), tedy \( A = (0,0,\frac{14}{3}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|14 \times 0 – 8 \times 0 + 6 \times \frac{14}{3} – 30|}{\sqrt{14^2 + (-8)^2 + 6^2}} = \frac{|28 – 30|}{\sqrt{196 + 64 + 36}} = \frac{2}{\sqrt{296}} = \frac{1}{\sqrt{74}} \)

Řešení:

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 10 = 20 \), ale je 21, roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=10, y=0 \Rightarrow 10 + 0 – 4z = 10 \Rightarrow -4z=0 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A = (10,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \times 10 + 6 \times 0 – 8 \times 0 – 21|}{\sqrt{4 + 36 + 64}} = \frac{|20 – 21|}{\sqrt{104}} = \frac{1}{2\sqrt{26}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \times 11 = 22 \), ale je 23, tedy roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow z=11 \), tedy \( A = (0,0,11) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|10 \times 0 – 6 \times 0 + 2 \times 11 – 23|}{\sqrt{100 + 36 + 4}} = \frac{|22 – 23|}{\sqrt{140}} = \frac{1}{2\sqrt{35}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \times 5 = 10 \), ale je 9, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=5, y=0 \Rightarrow 15 + 0 – 2z = 5 \Rightarrow -2z = -10 \Rightarrow z=5 \), tedy \( A = (5,0,5) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|6 \times 5 + 2 \times 0 – 4 \times 5 – 9|}{\sqrt{36 + 4 + 16}} = \frac{|30 – 20 – 9|}{\sqrt{56}} = \frac{1}{2\sqrt{14}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \times 4 = 8 \), ale je 9, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=4, y=0 \Rightarrow 4 + 0 + 3z = 4 \Rightarrow 3z=0 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A = (4,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \times 4 – 4 \times 0 + 6 \times 0 – 9|}{\sqrt{4 + 16 + 36}} = \frac{|8 – 9|}{\sqrt{56}} = \frac{1}{2\sqrt{14}} \)

Řešení:

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 12 = 24 \), ale je 25, roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -z = 12 \Rightarrow z = -12 \), tedy \( A = (0,0,-12) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|8 \times 0 + 6 \times 0 – 2 \times (-12) – 25|}{\sqrt{64 + 36 + 4}} = \frac{|24 – 25|}{\sqrt{104}} = \frac{1}{2\sqrt{26}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \times 15 = 30 \), ale je 31, roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 5z=15 \Rightarrow z=3 \), tedy \( A = (0,0,3) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|4 \times 0 – 2 \times 0 + 10 \times 3 – 31|}{\sqrt{16 + 4 + 100}} = \frac{|30 – 31|}{\sqrt{120}} = \frac{1}{2\sqrt{30}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \times 7 = 14 \), ale je 15, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -4z = 7 \Rightarrow z = -\frac{7}{4} \), tedy \( A = (0,0,-\frac{7}{4}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|-6 \times 0 + 2 \times 0 – 8 \times (-\frac{7}{4}) – 15|}{\sqrt{36 + 4 + 64}} = \frac{|14 – 15|}{\sqrt{104}} = \frac{1}{2\sqrt{26}} \)

Řešení:

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 3 = 6 \), ale je 7, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=3, y=0 \Rightarrow 3 + 0 + z = 3 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A = (3,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \times 3 + 2 \times 0 + 2 \times 0 – 7|}{\sqrt{4 + 4 + 4}} = \frac{|6 – 7|}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud pravá strana byla \( 2 \times 5 = 10 \), ale je 11, roviny rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 2z = 5 \Rightarrow z = \frac{5}{2} \), tedy \( A = (0,0,\frac{5}{2}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|12 \times 0 – 2 \times 0 + 4 \times \frac{5}{2} – 11|}{\sqrt{144 + 4 + 16}} = \frac{|10 – 11|}{\sqrt{164}} = \frac{1}{\sqrt{164}} \)

Řešení:

Roviny nejsou rovnoběžné, protože normálové vektory nejsou násobky: \( (9,-6,3) \neq k(3,-2,1) \) s jedním \( k \).

Tudíž vzdálenost mezi nimi nelze určit jako vzdálenost mezi rovnoběžnými rovinami, roviny se protínají.

Vzdálenost tedy neexistuje (je nula pouze v průsečíku, jinak mají průnik).

Řešení:

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 18 = 36 \), ale je 24, takže roviny nejsou shodné, ale rovnoběžné.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -6z = 18 \Rightarrow z = -3 \), tedy \( A = (0,0,-3) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|8 \times 0 + 10 \times 0 – 12 \times (-3) – 24|}{\sqrt{64 + 100 + 144}} = \frac{|36 – 24|}{\sqrt{308}} = \frac{12}{\sqrt{308}} = \frac{6}{\sqrt{77}} \)

Řešení:

Druhá rovina je přesně dvojnásobkem první, pravá strana \( 2 \times 7 = 14 \), roviny jsou totožné.

Vzdálenost mezi shodnými rovinami je \( d = 0 \).

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \times 10 = 20 \), ale je 21, roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 5z = 10 \Rightarrow z=2 \), tedy \( A = (0,0,2) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|6 \times 0 + 8 \times 0 + 10 \times 2 – 21|}{\sqrt{36 + 64 + 100}} = \frac{|20 – 21|}{\sqrt{200}} = \frac{1}{10\sqrt{2}} \)

Řešení:

Druhá rovina je dvojnásobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \times 5 = 10 \), ale je 11, roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=5, y=0 \Rightarrow 5 – 0 + z = 5 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A = (5,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \times 5 – 2 \times 0 + 2 \times 0 – 11|}{\sqrt{4 + 4 + 4}} = \frac{|10 – 11|}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \times 9 = 18 \), ale je 20, roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -3z=9 \Rightarrow z=-3 \), tedy \( A = (0,0,-3) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|10 \times 0 + 4 \times 0 – 6 \times (-3) – 20|}{\sqrt{100 + 16 + 36}} = \frac{|18 – 20|}{\sqrt{152}} = \frac{2}{2\sqrt{38}} = \frac{1}{\sqrt{38}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \times 8 = 16 \), ale je 18, roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=8, y=0 \Rightarrow 8 + 0 + 2z = 8 \Rightarrow 2z=0 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A = (8,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \times 8 + 4 \times 0 + 4 \times 0 – 18|}{\sqrt{4 + 16 + 16}} = \frac{|16 – 18|}{\sqrt{36}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \times 13 = 26 \), ale je 28, roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 4z=13 \Rightarrow z=\frac{13}{4} \), tedy \( A = (0,0,\frac{13}{4}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|14 \times 0 – 2 \times 0 + 8 \times \frac{13}{4} – 28|}{\sqrt{196 + 4 + 64}} = \frac{|26 – 28|}{\sqrt{264}} = \frac{2}{2\sqrt{66}} = \frac{1}{\sqrt{66}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \times 4 = 8 \), ale je 9, roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -z = 4 \Rightarrow z = -4 \), tedy \( A = (0,0,-4) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|6 \times 0 + 2 \times 0 – 2 \times (-4) – 9|}{\sqrt{36 + 4 + 4}} = \frac{|8 – 9|}{\sqrt{44}} = \frac{1}{2\sqrt{11}} \)

Řešení:

Druhá rovina je \(2\)-násobkem první, pokud by pravá strana byla \( 2 \times 5 = 10 \), ale je \(12\), roviny jsou rovnoběžné, ale různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow z=5 \), tedy \( A = (0,0,5) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|4 \times 0 + 6 \times 0 + 2 \times 5 – 12|}{\sqrt{16 + 36 + 4}} = \frac{|10 – 12|}{\sqrt{56}} = \frac{2}{2\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{14}} \)

Řešení:

Normálové vektory jsou \( \mathbf{n_1} = (6, -3, 9) \) a \( \mathbf{n_2} = (2, -1, 3) \). Vidíme, že \( \mathbf{n_1} = 3 \times \mathbf{n_2} \), takže roviny jsou rovnoběžné.

Vzdálenost vypočítáme pomocí vzorce:

\( d = \frac{|D_1/k – D_2|}{|\mathbf{n_2}|} \), kde \( k = 3 \).

První rovnice dělená 3: \( 2x – y + 3z = 6 \).

Vzdálenost je tedy

\( d = \frac{|6 – 7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{14}} \).

Řešení:

Normálové vektory jsou \( \mathbf{n_1} = (1,4,-2) \) a \( \mathbf{n_2} = (3,12,-6) = 3 \times \mathbf{n_1} \), roviny jsou rovnoběžné.

Dělením druhé rovnice třemi dostaneme \( x + 4y – 2z = \frac{16}{3} \).

Vzdálenost mezi rovinami je

\( d = \frac{|5 – \frac{16}{3}|}{\sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2}} = \frac{|\frac{15}{3} – \frac{16}{3}|}{\sqrt{1 + 16 + 4}} = \frac{1/3}{\sqrt{21}} = \frac{1}{3\sqrt{21}} \).

Řešení:

Normálové vektory: \( \mathbf{n_1} = (5,-1,2) \), \( \mathbf{n_2} = (10,-2,4) = 2 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 11 = 22 \), ale má 23, jsou různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 2z=11 \Rightarrow z=\frac{11}{2} \), tedy \( A = (0,0,\frac{11}{2}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|10 \times 0 – 2 \times 0 + 4 \times \frac{11}{2} – 23|}{\sqrt{100 + 4 + 16}} = \frac{|22 – 23|}{\sqrt{120}} = \frac{1}{2\sqrt{30}} \).

Řešení:

Normálové vektory \( \mathbf{n_1} = (3,1,4) \), \( \mathbf{n_2} = (6,2,8) = 2 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 9 = 18 \), ale má 20, jsou různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 4z=9 \Rightarrow z = \frac{9}{4} \), tedy \( A = (0,0,\frac{9}{4}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|6 \times 0 + 2 \times 0 + 8 \times \frac{9}{4} – 20|}{\sqrt{36 + 4 + 64}} = \frac{|18 – 20|}{\sqrt{104}} = \frac{2}{2\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} \).

Řešení:

Normálové vektory: \( \mathbf{n_1} = (1, -2, 1) \), \( \mathbf{n_2} = (2, -4, 2) = 2 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 3 = 6 \), ale má 7, jsou různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=3, y=0 \Rightarrow 3 – 0 + z = 3 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A = (3,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \times 3 – 4 \times 0 + 2 \times 0 – 7|}{\sqrt{4 + 16 + 4}} = \frac{|6 – 7|}{\sqrt{24}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} \).

Řešení:

Normálové vektory: \( \mathbf{n_1} = (4,3,-1) \), \( \mathbf{n_2} = (8,6,-2) = 2 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 5 = 10 \), ale má 11, jsou různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -z=5 \Rightarrow z=-5 \), tedy \( A = (0,0,-5) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|8 \times 0 + 6 \times 0 – 2 \times (-5) – 11|}{\sqrt{64 + 36 + 4}} = \frac{|10 – 11|}{\sqrt{104}} = \frac{1}{2\sqrt{26}} \).

Řešení:

Normálové vektory: \( \mathbf{n_1} = (2, -1, 5) \), \( \mathbf{n_2} = (4, -2, 10) = 2 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 8 = 16 \), ale má 17, jsou různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 5z=8 \Rightarrow z = \frac{8}{5} \), tedy \( A = (0,0,\frac{8}{5}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|4 \times 0 – 2 \times 0 + 10 \times \frac{8}{5} – 17|}{\sqrt{16 + 4 + 100}} = \frac{|16 – 17|}{\sqrt{120}} = \frac{1}{2\sqrt{30}} \).

Řešení:

Normálové vektory \( \mathbf{n_1} = (1,2,-1) \), \( \mathbf{n_2} = (2,4,-2) = 2 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 1 = 2 \), ale má 3, jsou různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=1, y=0 \Rightarrow 1 + 0 – z = 1 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A = (1,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \times 1 + 4 \times 0 – 2 \times 0 – 3|}{\sqrt{4 + 16 + 4}} = \frac{|2 – 3|}{\sqrt{24}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} \).

Řešení:

Normálové vektory \( \mathbf{n_1} = (3,5,-2) \), \( \mathbf{n_2} = (6,10,-4) = 2 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 7 = 14 \), ale má 15, jsou různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -2z=7 \Rightarrow z = -\frac{7}{2} \), tedy \( A = (0,0,-\frac{7}{2}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|6 \times 0 + 10 \times 0 – 4 \times (-\frac{7}{2}) – 15|}{\sqrt{36 + 100 + 16}} = \frac{|14 – 15|}{\sqrt{152}} = \frac{1}{2\sqrt{38}} \).

Řešení:

Normálové vektory \( \mathbf{n_1} = (4, -1, 7) \), \( \mathbf{n_2} = (8, -2, 14) = 2 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 10 = 20 \), ale má 21, jsou různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 7z=10 \Rightarrow z=\frac{10}{7} \), tedy \( A = (0,0,\frac{10}{7}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|8 \times 0 – 2 \times 0 + 14 \times \frac{10}{7} – 21|}{\sqrt{64 + 4 + 196}} = \frac{|20 – 21|}{\sqrt{264}} = \frac{1}{2\sqrt{66}} \).

Řešení:

Vzdálenost bodu od roviny je dána vzorcem:

\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \), kde rovina je \( Ax + By + Cz + D = 0 \).

Upravíme rovinu na tvar: \( 3x – 4y + z – 12 = 0 \), tedy \( A=3, B=-4, C=1, D=-12 \).

Dosadíme bod \( P(2,-1,3) \):

\( d = \frac{|3 \times 2 – 4 \times (-1) + 1 \times 3 – 12|}{\sqrt{9 + 16 + 1}} = \frac{|6 + 4 + 3 – 12|}{\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} \).

Řešení:

Rovinu napíšeme jako \( 2x + 2y + z – 5 = 0 \), tedy \( A=2, B=2, C=1, D=-5 \).

Dosadíme bod \( Q(-1,4,0) \):

\( d = \frac{|2 \times (-1) + 2 \times 4 + 1 \times 0 – 5|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-2 + 8 – 5|}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} \).

Řešení:

Normálové vektory: \( \mathbf{n_1} = (1,1,1) \), \( \mathbf{n_2} = (2,2,2) = 2 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 6 = 12 \), ale má 15, tedy různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=6, y=0 \Rightarrow 6 + 0 + z = 6 \Rightarrow z=0 \), tedy \( A=(6,0,0) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|2 \times 6 + 2 \times 0 + 2 \times 0 – 15|}{\sqrt{4 + 4 + 4}} = \frac{|12 – 15|}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Řešení:

Normálové vektory: \( \mathbf{n_1} = (5, -1, 3) \), \( \mathbf{n_2} = (10, -2, 6) = 2 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 9 = 18 \), ale má 20, jsou různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 3z=9 \Rightarrow z=3 \), tedy \( A = (0,0,3) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|10 \times 0 – 2 \times 0 + 6 \times 3 – 20|}{\sqrt{100 + 4 + 36}} = \frac{|18 – 20|}{\sqrt{140}} = \frac{2}{2\sqrt{35}} = \frac{1}{\sqrt{35}} \).

Řešení:

Rovinu napíšeme jako \( -x + 4y – 2z – 7 = 0 \), tedy \( A=-1, B=4, C=-2, D=-7 \).

Dosadíme bod \( R(1,2,-1) \):

\( d = \frac{|-1 \times 1 + 4 \times 2 – 2 \times (-1) – 7|}{\sqrt{1 + 16 + 4}} = \frac{|-1 + 8 + 2 – 7|}{\sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}} \).

Řešení:

Normálové vektory: \( \mathbf{n_1} = (1, -1, 2) \), \( \mathbf{n_2} = (3, -3, 6) = 3 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 3 \times 4 = 12 \), ale má 10, jsou různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow 2z=4 \Rightarrow z=2 \), tedy \( A = (0,0,2) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|3 \times 0 – 3 \times 0 + 6 \times 2 – 10|}{\sqrt{9 + 9 + 36}} = \frac{|12 – 10|}{\sqrt{54}} = \frac{2}{3\sqrt{6}} \).

Řešení:

Rovinu upravíme: \( 4x + 3y – z – 7 = 0 \), tedy \( A=4, B=3, C=-1, D=-7 \).

Dosadíme bod \( S(-2,0,5) \):

\( d = \frac{|4 \times (-2) + 3 \times 0 – 1 \times 5 – 7|}{\sqrt{16 + 9 + 1}} = \frac{|-8 – 5 – 7|}{\sqrt{26}} = \frac{20}{\sqrt{26}} \).

Řešení:

Normálové vektory: \( \mathbf{n_1} = (7, 2, -3) \), \( \mathbf{n_2} = (14, 4, -6) = 2 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 11 = 22 \), ale má 25, jsou různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow -3z=11 \Rightarrow z = -\frac{11}{3} \), tedy \( A = (0,0,-\frac{11}{3}) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|14 \times 0 + 4 \times 0 – 6 \times (-\frac{11}{3}) – 25|}{\sqrt{49 + 4 + 36}} = \frac{|22 – 25|}{\sqrt{89}} = \frac{3}{\sqrt{89}} \).

Řešení:

Rovinu upravíme: \( x – 5y + 2z – 4 = 0 \), tedy \( A=1, B=-5, C=2, D=-4 \).

Dosadíme bod \( T(3,-1,1) \):

\( d = \frac{|1 \times 3 – 5 \times (-1) + 2 \times 1 – 4|}{\sqrt{1 + 25 + 4}} = \frac{|3 + 5 + 2 – 4|}{\sqrt{30}} = \frac{6}{\sqrt{30}} \).

Řešení:

Normálové vektory: \( \mathbf{n_1} = (6, -1, 1) \), \( \mathbf{n_2} = (12, -2, 2) = 2 \times \mathbf{n_1} \), roviny rovnoběžné.

Druhá rovina by měla mít pravou stranu \( 2 \times 8 = 16 \), ale má 17, jsou různé.

Zvolíme bod \( A \in \rho_1 \), např. \( x=0, y=0 \Rightarrow z=8 \), tedy \( A=(0,0,8) \).

Vzdálenost:

\( d = \frac{|12 \times 0 – 2 \times 0 + 2 \times 8 – 17|}{\sqrt{144 + 4 + 4}} = \frac{|16 – 17|}{\sqrt{152}} = \frac{1}{2\sqrt{38}} \).