Základní tělesa

Řešení příkladu:

Povrch krychle spočítáme podle vzorce:

\[ S = 6a^2 = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150\,\text{cm}^2 \]

Objem krychle je:

\[ V = a^3 = 5^3 = 125\,\text{cm}^3 \]

Řešení příkladu:

Objem kvádru:

\[ V = abc = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60\,\text{cm}^3 \]

Povrch kvádru:

\[ S = 2(ab + bc + ac) = 2(12 + 20 + 15) = 2 \cdot 47 = 94\,\text{cm}^2 \]

Řešení příkladu:

Povrch koule:

\[ S = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \approx 452,39\,\text{cm}^2 \]

Objem koule:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288\pi \approx 904,78\,\text{cm}^3 \]

Řešení příkladu:

Objem válce:

\[ V = \pi r^2 v = \pi \cdot 16 \cdot 10 = 160\pi \approx 502,65\,\text{cm}^3 \]

Povrch válce:

\[ S = 2\pi r (r + v) = 2\pi \cdot 4 \cdot (4 + 10) = 2\pi \cdot 4 \cdot 14 = 112\pi \approx 351,86\,\text{cm}^2 \]

Řešení příkladu:

Objem kužele:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx 37,70\,\text{cm}^3 \]

Vypočítáme stranu kužele pomocí Pythagorovy věty:

\[ s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Povrch kužele:

\[ S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 24\pi \approx 75,40\,\text{cm}^2 \]

Řešení příkladu:

Obsah podstavy (čtverec):

\[ S_p = a^2 = 36 \]

Objem:

\[ V = \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = 120\,\text{cm}^3 \]

Výška boční stěny:

\[ s = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + v^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} \approx 10,44 \]

Obsah jedné boční stěny: \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot s = 0.5 \cdot 6 \cdot 10.44 \approx 31.32\)

4 stěny: \(4 \cdot 31.32 \approx 125.28\)

Povrch:

\[ S = S_p + S_{boční} = 36 + 125.28 = 161.28\,\text{cm}^2 \]

Řešení příkladu:

Poloměr: \(r = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm}\)

\[ V = \pi r^2 v = \pi \cdot 25 \cdot 12 = 300\pi \approx 942,48\,\text{cm}^3 \]

Řešení příkladu:

Poloměr: \(r = 4\,\text{cm}\)

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 15 = 80\pi \approx 251.33\,\text{cm}^3 \]

Strana kužele:

\[ s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{16 + 225} = \sqrt{241} \approx 15.52 \]

Povrch:

\[ S = \pi r(r + s) = \pi \cdot 4 \cdot (4 + 15.52) = \pi \cdot 78.08 \approx 245.18\,\text{cm}^2 \]

Řešení příkladu:

Poloměr: \(r = 9\,\text{cm}\)

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 729 = 972\pi \approx 3053.63\,\text{cm}^3 \]

\[ S = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 81 = 324\pi \approx 1017.88\,\text{cm}^2 \]

Řešení příkladu:

\[ u = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{49 + 4 + 9} = \sqrt{62} \approx 7.87\,\text{cm} \]

Objem jehlanu spočítáme podle vzorce:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v \]

Kde \( S_p \) je obsah podstavy. Podstava je čtverec o straně 6 cm, tedy:

\[ S_p = 6 \cdot 6 = 36\,\text{cm}^2 \Rightarrow V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = 120\,\text{cm}^3 \]

Pro výpočet povrchu musíme znát výšku boční stěny. Nejprve polovina podstavné hrany:

\[ a = 6\,\text{cm} \Rightarrow \frac{a}{2} = 3\,\text{cm} \]

Použijeme Pythagorovu větu pro výšku stěny (s):

\[ s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 + 3^2} = \sqrt{100 + 9} = \sqrt{109} \approx 10{,}44\,\text{cm} \]

Boční plocha je tvořena čtyřmi stejnými trojúhelníky. Obsah jednoho:

\[ S_{troj} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot s = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10{,}44 \approx 31{,}32\,\text{cm}^2 \]

Celkový povrch:

\[ S = S_p + 4 \cdot S_{troj} = 36 + 4 \cdot 31{,}32 \approx 36 + 125{,}28 = 161{,}28\,\text{cm}^2 \]

Poloměr podstavy: \( r = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm} \)

Objem válce:

\[ V = \pi r^2 v = \pi \cdot 5^2 \cdot 15 = \pi \cdot 25 \cdot 15 = 375\pi \approx 1178{,}1\,\text{cm}^3 \]

1 litr = 1000 cm³, tedy:

\[ \frac{1178{,}1}{1000} \approx 1{,}18\,\text{l} \]

\[ V = a^3 = 343 \Rightarrow a = \sqrt[3]{343} = 7\,\text{cm} \]

Povrch krychle:

\[ S = 6a^2 = 6 \cdot 7^2 = 6 \cdot 49 = 294\,\text{cm}^2 \]

Poloměr: \( r = \frac{12}{2} = 6\,\text{cm} \)

Objem:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 324 = 108\pi \approx 339{,}29\,\text{cm}^3 \]

Sestrojíme stranu kužele pomocí Pythagorovy věty:

\[ s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} \approx 10{,}82\,\text{cm} \]

Povrch:

\[ S = \pi r^2 + \pi r s = \pi \cdot 36 + \pi \cdot 6 \cdot 10{,}82 = 36\pi + 64{,}92\pi = 100{,}92\pi \approx 317{,}0\,\text{cm}^2 \]

\[ S = 4\pi r^2 = 452{,}16 \Rightarrow r^2 = \frac{452{,}16}{4\pi} \approx \frac{452{,}16}{12{,}566} \approx 36 \Rightarrow r = 6\,\text{cm} \]

Objem:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = \frac{864}{3} \pi = 288\pi \approx 904{,}78\,\text{cm}^3 \]

Objem kvádru je:

\[ V = a \cdot b \cdot c \Rightarrow 600 = 10 \cdot 5 \cdot c \Rightarrow 600 = 50c \Rightarrow c = \frac{600}{50} = 12\,\text{cm} \]

Objem kvádru:

\[ V_k = 12 \cdot 4 \cdot 6 = 288\,\text{cm}^3 \]

Objem jedné krychle:

\[ V_c = 2^3 = 8\,\text{cm}^3 \Rightarrow \frac{288}{8} = 36 \]

Lze tedy složit 36 krychlí.

Označíme: \(2x, 3x, 5x\)

\[ V = 2x \cdot 3x \cdot 5x = 30x^3 = 1500 \Rightarrow x^3 = 50 \Rightarrow x \approx 3{,}684 \]

Délky hran:

\[ 2x \approx 7{,}368\,\text{cm}, \quad 3x \approx 11{,}05\,\text{cm}, \quad 5x \approx 18{,}42\,\text{cm} \]

Povrch krychle: \( S_1 = 6 \cdot 6^2 = 216\,\text{cm}^2 \)

Kvádr: jeho podstava je totožná s horní stranou krychle, takže se nepočítá plocha dotyku.

Povrch kvádru: \( 2ab + 2ah + 2bh \), ale bez spodní plochy:

\[ S_2 = 2 \cdot 6 \cdot 10 + 2 \cdot 6 \cdot 10 + 6 \cdot 6 = 120 + 120 + 36 = 276\,\text{cm}^2 \]

Celkový povrch: \( S = S_1 + S_2 – \text{1 společná plocha} = 216 + 276 – 36 = 456\,\text{cm}^2 \)

Poloměr: \( r = 7\,\text{cm} \)

Objem polokoule:

\[ V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi \cdot 343 = \frac{686}{3} \pi \approx 719{,}95\,\text{cm}^3 \]

Povrch polokoule včetně kruhové podstavy:

\[ S = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2 = 3\pi \cdot 49 = 147\pi \approx 461{,}81\,\text{cm}^2 \]

Označíme délky hran jako \(2x\), \(3x\), \(4x\). Povrch kvádru je:

\[ S = 2(ab + bc + ac) = 2(2x \cdot 3x + 3x \cdot 4x + 2x \cdot 4x) = 2(6x^2 + 12x^2 + 8x^2) = 2 \cdot 26x^2 = 52x^2 \]

Rovnice: \(52x^2 = 676 \Rightarrow x^2 = \frac{676}{52} = 13 \Rightarrow x = \sqrt{13} \approx 3{,}606 \)

Délky hran: \(2x \approx 7{,}21\,\text{cm},\ 3x \approx 10{,}82\,\text{cm},\ 4x \approx 14{,}43\,\text{cm}\)

Objem: \(V = 2x \cdot 3x \cdot 4x = 24x^3 = 24 \cdot \sqrt{13}^3 \approx 24 \cdot 46{,}87 \approx 1124{,}88\,\text{cm}^3\)

Do krychle je vepsán válec, jehož výška = 12 cm a průměr podstavy = 12 cm \Rightarrow r = 6 cm

\[ V_v = \pi r^2 v = \pi \cdot 6^2 \cdot 12 = \pi \cdot 432 \approx 1357{,}17\,\text{cm}^3 \]

\[ V_k = 12^3 = 1728\,\text{cm}^3 \]

\[ \text{Podíl} = \frac{1357{,}17}{1728} \cdot 100\% \approx 78{,}53\% \]

Nejprve spočítáme délku strany kužele (tzv. stranu pláště):

\[ s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{9^2 + 15^2} = \sqrt{81 + 225} = \sqrt{306} \approx 17{,}49\,\text{cm} \]

Povrch: \( S = \pi r^2 + \pi r s = \pi \cdot 81 + \pi \cdot 9 \cdot 17{,}49 \approx 254{,}47 + 494{,}51 \approx 748{,}98\,\text{cm}^2 \)

Objem: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 81 \cdot 15 = \pi \cdot 405 \approx 1272{,}35\,\text{cm}^3 \)

1 litr = 1000 cm³. Polokoule má poloměr \( r = 10\,\text{cm} \).

Objem kulového vrchlíku výšky \(h\):

\[ V = \pi h^2 \left( r – \frac{h}{3} \right) = 1000 \]

Numericky řešíme rovnici: \(\pi h^2(10 – \frac{h}{3}) = 1000\)

Použijeme přibližné řešení – např. zkusmo:

Pro \(h = 6.6\): \( \pi \cdot 43{,}56 \cdot (10 – 2{,}2) = \pi \cdot 43{,}56 \cdot 7{,}8 \approx 1066 \)

Pro \(h \approx 6{,}3\) dostáváme objem přibližně 1000 cm³, tedy:

\[ \Rightarrow h \approx 6{,}3\,\text{cm} \]

Výška vrchlíku: \( h = 7 – 4 = 3\,\text{cm} \), \( r = 7\,\text{cm} \)

\[ V = \pi h^2 (r – \frac{h}{3}) = \pi \cdot 9 \cdot (7 – 1) = \pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi \approx 169{,}65\,\text{cm}^3 \]

Výška rovnostranného trojúhelníku: \( v = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3} \approx 5{,}196\,\text{cm} \)

Rotační těleso je kužel o výšce \(v\) a poloměru podstavy \(r = 3\,\text{cm}\)

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 5{,}196 \approx \pi \cdot 15{,}588 \approx 48{,}95\,\text{cm}^3 \]

Úhlopříčka krychle je rovna průměru koule: \(d = 2r = 10\,\text{cm}\)

\[ d = a\sqrt{3} \Rightarrow a = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5{,}774 \]

\[ V = a^3 \approx 5{,}774^3 \approx 192{,}53\,\text{cm}^3 \]

Vnější objem: \( V_1 = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = \pi \cdot 160 \)

Vnitřní objem: \( V_2 = \pi \cdot 2^2 \cdot 10 = \pi \cdot 40 \)

Rozdíl: \( V = \pi(160 – 40) = \pi \cdot 120 \approx 376{,}99\,\text{cm}^3 \)

Hmotnost: \( m = \rho \cdot V = 3 \cdot 376{,}99 \approx 1130{,}97\,\text{g} \)

Výška válce: \( v = 2r_v \)

\[ V_v = \pi r_v^2 \cdot 2r_v = 2\pi r_v^3 \]

Koule: \( V_k = \frac{4}{3}\pi r_k^3 \)

\[ 2\pi r_v^3 = \frac{4}{3}\pi r_k^3 \Rightarrow r_k^3 = \frac{3}{2} r_v^3 \Rightarrow \frac{r_k}{r_v} = \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \approx 1{,}145 \]

Poloměr podstavy: \( r = 3\,\text{cm} \)

\[ V = \frac{1}{3}\pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 12 = \pi \cdot 36 \approx 113{,}10\,\text{cm}^3 \]

\[ \Rightarrow \text{Počet krychliček} = \lfloor 113{,}10 \rfloor = 113 \]

Poloměr podstavy: \( r = \frac{10}{2} = 5 \,\text{cm} \)

Výška: \( v = 12 \,\text{cm} \)

Vypočítáme stranu kužele (tvořící):

\( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \,\text{cm} \)

Povrch kužele:

\( S = \pi r^2 + \pi r s = \pi \cdot 5^2 + \pi \cdot 5 \cdot 13 = 25\pi + 65\pi = 90\pi \)

\( \Rightarrow S \approx 282{,}74 \,\text{cm}^2 \)

Poloměr: \( r = 5 \,\text{cm} \), výška válce: \( v = 8 \,\text{cm} \)

Postup:

Povrch válce (bez jedné podstavy):

\( S_1 = 2\pi r v + \pi r^2 = 2\pi \cdot 5 \cdot 8 + \pi \cdot 25 = 80\pi + 25\pi = 105\pi \)

Povrch polokoule:

\( S_2 = 2\pi r^2 = 2\pi \cdot 25 = 50\pi \)

Celkový povrch:

\( S = S_1 + S_2 = 105\pi + 50\pi = 155\pi \Rightarrow S \approx 486{,}95 \,\text{cm}^2 \)

Obsah podstavy: \( S_p = a^2 = 10^2 = 100 \,\text{cm}^2 \)

Výška: \( v = 12 \,\text{cm} \)

Objem jehlanu:

\( V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = \frac{1200}{3} = 400 \,\text{cm}^3 \)

Obsah podstavy: \( S_p = 6^2 = 36 \,\text{cm}^2 \)

Výška hranolu: \( v = 15 \,\text{cm} \)

Objem hranolu:

\( V = S_p \cdot v = 36 \cdot 15 = 540 \,\text{cm}^3 \)

Poloměr: \( r = \frac{14}{2} = 7 \,\text{cm} \)

Povrch koule:

\( S = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 49 = 196\pi \Rightarrow S \approx 615{,}75 \,\text{cm}^2 \)

Výška vrchlíku: \( h = 4 \,\text{cm} \), poloměr koule: \( r = 6 \,\text{cm} \)

Objem kulového vrchlíku:

\( V = \frac{\pi h^2}{3}(3r – h) = \frac{\pi \cdot 16}{3}(18 – 4) = \frac{16\pi}{3} \cdot 14 = \frac{224\pi}{3} \Rightarrow V \approx 234{,}57 \,\text{cm}^3 \)

Objem kvádru: \( V_1 = 6 \cdot 4 \cdot 10 = 240 \,\text{cm}^3 \)

Obsah podstavy jehlanu: \( S_p = 6 \cdot 4 = 24 \,\text{cm}^2 \), výška: \( v = 5 \,\text{cm} \)

Objem jehlanu: \( V_2 = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 5 = \frac{120}{3} = 40 \,\text{cm}^3 \)

Celkový objem: \( V = V_1 + V_2 = 240 + 40 = 280 \,\text{cm}^3 \)

Povrch osmistěnu tvoří 8 rovnostranných trojúhelníků: \( S = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)

\( 96\sqrt{3} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \Rightarrow 96\sqrt{3} = 2\sqrt{3} a^2 \Rightarrow 48 = a^2 \Rightarrow a = \sqrt{48} \approx 6{,}93 \,\text{cm} \)

Tělesová úhlopříčka kvádru:

\( u = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} \approx 7{,}07 \,\text{cm} \)

Strana podstavy: \( a = 6 \,\text{cm} \Rightarrow \text{polovina strany} = 3 \,\text{cm} \)

Výška: \( v = 10 \,\text{cm} \)

Boční hrana tvoří pravoúhlý trojúhelník:

\( s = \sqrt{3^2 + 10^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} \approx 10{,}44 \,\text{cm} \)

Poloměr podstavy: \( r = 5 \,\text{cm} \)

Výška kuželu: \( v = 12 \,\text{cm} \)

Nejprve vypočítáme délku s = \sqrt{r^2 + v^2}:

\( s = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \,\text{cm} \)

Objem kuželu:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \approx 314{,}16 \,\text{cm}^3 \)

Povrch kuželu:

\( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 5 (5 + 13) = 5\pi \cdot 18 = 90\pi \approx 282{,}74 \,\text{cm}^2 \)

Strana podstavy: \( a = 4 \,\text{cm} \)

Výška hranolu: \( v = 10 \,\text{cm} \)

Obsah pravidelného šestiúhelníku (podstavy):

\( S_p = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24\sqrt{3} \approx 41{,}57 \,\text{cm}^2 \)

Objem hranolu:

\( V = S_p \cdot v = 41{,}57 \cdot 10 = 415{,}7 \,\text{cm}^3 \)

Povrch hranolu je součet dvou podstav a boční plochy:

Obvod podstavy: \( o = 6 \cdot 4 = 24 \,\text{cm} \)

Boční plocha: \( P_b = o \cdot v = 24 \cdot 10 = 240 \,\text{cm}^2 \)

Celkový povrch:

\( S = 2 \cdot S_p + P_b = 2 \cdot 41{,}57 + 240 = 83{,}14 + 240 = 323{,}14 \,\text{cm}^2 \)

Objem krychle je \( V = a^3 = 512 \)

Najdeme délku hrany:

\( a = \sqrt[3]{512} = 8 \,\text{cm} \)

Povrch krychle je:

\( S = 6a^2 = 6 \cdot 8^2 = 6 \cdot 64 = 384 \,\text{cm}^2 \)

Obsah podstavy:

\( S_p = 8 \cdot 6 = 48 \,\text{cm}^2 \)

Objem jehlanu:

\( V = \frac{1}{3} S_p v = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 15 = 240 \,\text{cm}^3 \)

Pro výpočet délky boční hrany spočítáme vzdálenosti mezi vrcholem a středy hran podstavy.

Polovina stran podstavy jsou 4 cm a 3 cm.

Délka boční hrany je délka úhlopříčky podstavy a výšky kuželu:

\( s = \sqrt{v^2 + d^2} \), kde \( d = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \,\text{cm} \)

\( s = \sqrt{15^2 + 5^2} = \sqrt{225 + 25} = \sqrt{250} \approx 15{,}81 \,\text{cm} \)

Poloměr: \( r = 7 \,\text{cm} \)

Objem koule:

\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372\pi}{3} \approx 1436{,}76 \,\text{cm}^3 \)

Povrch koule:

\( S = 4\pi r^2 = 4 \pi \cdot 49 = 196\pi \approx 615{,}75 \,\text{cm}^2 \)

Nejprve vypočítáme povrch koule o poloměru 6 cm:

\( S_{\text{koule}} = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 36 = 144 \pi \)

Povrch kuželu je dán vztahem:

\( S_{\text{kužel}} = \pi r (r + s) \), kde \( r = 5 \) a \( s \) je výška boční stěny

Protože povrchy jsou stejné, platí:

\( 144 \pi = \pi \cdot 5 (5 + s) \Rightarrow 144 = 5 (5 + s) \Rightarrow 144 = 25 + 5s \Rightarrow 5s = 119 \Rightarrow s = 23{,}8 \,\text{cm} \)

Výška kuželu \( v \) je:

\( v = \sqrt{s^2 – r^2} = \sqrt{23{,}8^2 – 5^2} = \sqrt{566{,}44 – 25} = \sqrt{541{,}44} \approx 23{,}27 \,\text{cm} \)

Objem kuželu:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 23{,}27 = \frac{25 \pi \cdot 23{,}27}{3} \approx 608{,}25 \,\text{cm}^3 \)

Objem pravidelného osmistěnu se spočítá podle vzorce:

\( V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 6^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 216 = 72 \sqrt{2} \approx 101{,}82 \,\text{cm}^3 \)

Povrch osmistěnu:

\( S = 2 \sqrt{3} a^2 = 2 \sqrt{3} \cdot 36 = 72 \sqrt{3} \approx 124{,}71 \,\text{cm}^2 \)

Objem koule:

\( V_{\text{koule}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268{,}08 \,\text{cm}^3 \)

Objem válce je dán vztahem:

\( V_{\text{válec}} = \pi r^2 v \)

Protože objemy jsou stejné, platí:

\( 268{,}08 = \pi \cdot 6^2 \cdot v = 36\pi v \Rightarrow v = \frac{268{,}08}{36 \pi} \approx \frac{268{,}08}{113{,}10} \approx 2{,}37 \,\text{cm} \)

Objem kuželu:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = 84{,}78 \)

Dosadíme výšku \( v = 9 \):

\( 84{,}78 = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 9 = 3 \pi r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{84{,}78}{3 \pi} = \frac{84{,}78}{9{,}42} \approx 9 \)

\( r = 3 \,\text{cm} \)

Vypočítáme délku strany s:

\( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} \approx 9{,}49 \,\text{cm} \)

Povrch kuželu:

\( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 3 (3 + 9{,}49) = 3\pi \cdot 12{,}49 \approx 117{,}56 \,\text{cm}^2 \)

Povrch krychle:

\( S = 6 a^2 = 150 \Rightarrow a^2 = \frac{150}{6} = 25 \Rightarrow a = 5 \,\text{cm} \)

Objem krychle:

\( V = a^3 = 5^3 = 125 \,\text{cm}^3 \)

Objem jehlanu se spočítá podle vzorce:

\( V = \frac{1}{3} S_{podstavy} \cdot v \)

Nejdříve vypočítáme obsah podstavy – rovnostranného trojúhelníku:

\( S_{podstavy} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25 \sqrt{3} \approx 43{,}30 \,\text{cm}^2 \)

Dosadíme do vzorce pro objem:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 25 \sqrt{3} \cdot 12 = 100 \sqrt{3} \approx 173{,}21 \,\text{cm}^3 \)

Pro výpočet povrchu musíme spočítat obsah všech bočních stěn. Nejprve zjistíme délku výšky podstavy kolmou na stranu:

\( v_{podstavy} = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 5 \sqrt{3} \approx 8{,}66 \,\text{cm} \)

Výška boční stěny (světlá výška stěny kolmice) se spočítá pomocí Pythagorovy věty:

\( v_{boční} = \sqrt{v^2 + \left(\frac{v_{podstavy}}{3}\right)^2} = \sqrt{12^2 + \left(\frac{8{,}66}{3}\right)^2} = \sqrt{144 + 8{,}33} = \sqrt{152{,}33} \approx 12{,}34 \,\text{cm} \)

Obsah jedné boční stěny (trojúhelník):

\( S_{boční} = \frac{1}{2} a v_{boční} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12{,}34 = 61{,}7 \,\text{cm}^2 \)

Povrch jehlanu:

\( S = S_{podstavy} + 3 \cdot S_{boční} = 43{,}30 + 3 \cdot 61{,}7 = 43{,}30 + 185{,}1 = 228{,}4 \,\text{cm}^2 \)

Výška stěny kolmou na jednu stranu podstavy je právě \( v_{boční} \approx 12{,}34 \,\text{cm} \).

Normálový vektor roviny je:

\( \vec{n} = (3, -2, 1) \)

Rovnice první roviny, která prochází bodem A:

\( 3(x – 2) – 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0 \Rightarrow 3x – 6 – 2y + 2 + z – 3 = 0 \Rightarrow 3x – 2y + z – 7 = 0 \)

Rovnice druhé roviny, která prochází bodem B:

\( 3(x – 5) – 2(y – 4) + 1(z – 7) = 0 \Rightarrow 3x – 15 – 2y + 8 + z – 7 = 0 \Rightarrow 3x – 2y + z – 14 = 0 \)

Vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými rovinami je dána vzorcem:

\( d = \frac{|D_1 – D_2|}{|\vec{n}|} \)

Norma vektoru \( \vec{n} \):

\( |\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \)

Koeficienty D v rovnici roviny \( Ax + By + Cz + D = 0 \) jsou \( D_1 = -7 \), \( D_2 = -14 \).

Dosadíme do vzorce:

\( d = \frac{|-7 + 14|}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7 \sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1{,}87 \)

Vzdálenost rovin je přibližně 1,87 jednotek.

Směrnicový vektor přímky AB:

\( \vec{u} = \overrightarrow{AB} = (4 – 1, 6 – 2, 5 – 3) = (3, 4, 2) \)

Vektor AC:

\( \vec{v} = \overrightarrow{AC} = (3 – 1, 1 – 2, 2 – 3) = (2, -1, -1) \)

Vzdálenost bodu od přímky se vypočte jako:

\( d = \frac{|\vec{u} \times \vec{v}|}{|\vec{u}|} \)

Křížový součin:

\( \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot (-1) – 2 \cdot (-1)) – \mathbf{j}(3 \cdot (-1) – 2 \cdot 2) + \mathbf{k}(3 \cdot (-1) – 4 \cdot 2) \)

\( = \mathbf{i}(-4 + 2) – \mathbf{j}(-3 – 4) + \mathbf{k}(-3 – 8) = \mathbf{i}(-2) – \mathbf{j}(-7) + \mathbf{k}(-11) = (-2, 7, -11) \)

Velikost vektoru křížového součinu:

\( |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 7^2 + (-11)^2} = \sqrt{4 + 49 + 121} = \sqrt{174} \)

Velikost vektoru \( \vec{u} \):

\( |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29} \)

Vzdálenost bodu od přímky:

\( d = \frac{\sqrt{174}}{\sqrt{29}} = \sqrt{\frac{174}{29}} = \sqrt{6} \approx 2{,}45 \)

Poloměr podstavy kužele:

\( r = \frac{10}{2} = 5 \,\text{cm} \)

Objem kužele:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 15 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 15 = 125 \pi \approx 392{,}7 \,\text{cm}^3 \)

Délka strany kužele (s):

\( s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} = 5 \sqrt{10} \approx 15{,}81 \,\text{cm} \)

Povrch kužele:

\( S = \pi r (r + s) = \pi \cdot 5 (5 + 15{,}81) = 5\pi \cdot 20{,}81 \approx 326{,}9 \,\text{cm}^2 \)

Povrch krychle:

\( S = 6 a^2 = 216 \Rightarrow a^2 = \frac{216}{6} = 36 \Rightarrow a = 6 \,\text{cm} \)

Délka úhlopříčky krychle (d):

\( d = a \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} \approx 10{,}39 \,\text{cm} \)

Objem krychle:

\( V = a^3 = 6^3 = 216 \,\text{cm}^3 \)

Řešení příkladu:

\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 v = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = 100 \pi \approx 314{,}16 \text{ cm}^3\)
\(s = \sqrt{r^2 + v^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 \text{ cm}\)
\(S = \pi r^2 + \pi r s = 25 \pi + 65 \pi = 90 \pi \approx 282{,}74 \text{ cm}^2\)

Řešení příkladu:

\(V = a^2 \cdot v = 8^2 \cdot 15 = 64 \cdot 15 = 960 \text{ cm}^3\)
\(S = 2a^2 + 4a v = 2 \cdot 64 + 4 \cdot 8 \cdot 15 = 128 + 480 = 608 \text{ cm}^2\)

Řešení příkladu:

\(s = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12 \text{ cm}\)
\(P = \sqrt{s(s-6)(s-8)(s-10)} = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt{576} = 24 \text{ cm}^2\)
\(V = \frac{1}{3} P v = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = 72 \text{ cm}^3\)
Pro povrch je třeba spočítat obsah všech stěn (výpočty nejsou uvedeny z důvodu délky, ale zahrnují obsah podstavy a obsah trojúhelníkových bočních stěn).

Řešení příkladu:

\(V = \pi r^2 v = \pi \cdot 7^2 \cdot 20 = 980 \pi \approx 3078{,}76 \text{ cm}^3\)
\(S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r v = 2 \pi \cdot 49 + 2 \pi \cdot 7 \cdot 20 = 98 \pi + 280 \pi = 378 \pi \approx 1187{,}04 \text{ cm}^2\)

Řešení příkladu:

\(V = \frac{1}{3} a^2 v = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 10 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = 120 \text{ cm}^3\)
Nejprve spočítáme délku strany boční stěny (výšku stěny):
\(s = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 + 3^2} = \sqrt{100 + 9} = \sqrt{109} \approx 10{,}44 \text{ cm}\)
Povrch:
\(S = a^2 + 2 a s = 36 + 2 \cdot 6 \cdot 10{,}44 = 36 + 125{,}28 = 161{,}28 \text{ cm}^2\)