51. Náhodná veličina \(Z\) má střední hodnotu \(\mathbb{E}[Z] = 8\) a rozptyl \(\mathrm{Var}(Z) = 25\). Odhadněte pomocí Čebyševovy nerovnosti pravděpodobnost, že hodnota \(Z\) bude mimo interval \((3, 13)\). Zobrazit řešení Řešení příkladu: Interval \((3, 13)\)…
1. Náhodná veličina \(X\) má střední hodnotu \(\mathbb{E}[X] = 10\) a rozptyl \(\mathrm{Var}(X) = 4\). Použijte Čebyševovu nerovnost k odhadu pravděpodobnosti, že hodnota \(X\) se odchýlí od střední hodnoty o více než \(3\) jednotky. Zobrazit…
51. Student odpovídá na \(12\) testových otázek, každá má jednu správnou odpověď ze čtyř možností. Jaká je pravděpodobnost, že odpoví správně právě na \(5\) otázek, pokud hádá náhodně? Zobrazit řešení Řešení příkladu: Jedná se o…
1. V náhodném pokusu házíme mincí \( 6 \)krát. Jaká je pravděpodobnost, že padne právě \( 4 \)krát líc? Zobrazit řešení Řešení příkladu: Jedná se o Bernoulliho schéma s počtem pokusů \( n = 6…
151. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} \) konverguje. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Nejprve rozepíšeme členy řady na dvě posloupnosti: \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} \). Cílem je…
101. Určete, zda řada \(∑_{n=1}^∞ (-1)^n sin(n/2) / n\) konverguje. Zobrazit řešení Řešení příkladu 101: Zadaná řada má členy ve tvaru \((-1)^n sin(n/2) / n\). Pro použití Dirichletova kritéria rozdělíme členy na dvě posloupnosti: \(a_n…
51. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(21n)}{n^{0.4}} \). Zobrazit řešení Řešení příkladu 51: Řada je \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(21n)}{n^{0.4}}. \) 1. Identifikace posloupností: \( a_n = (-1)^n \sin(21n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.4}}. \) 2….
151. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n^2}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria. Zobrazit řešení Řešení: Členy jsou \( a_n = \frac{3^n n^2}{(2n)!} \). Spočítáme limitu podílu: \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|…
101. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 2^n}{(n!)^2} \) pomocí D’Alembertova kritéria. Zobrazit řešení Řešení: Členy jsou \( a_n = \frac{n^3 2^n}{(n!)^2} \). Podíl je \( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3 2^{n+1}}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{n^3 2^n} = 2…
51. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n n^3}{(n!)^2} \) pomocí D’Alembertova kritéria. Zobrazit řešení Řešení: Máme \( a_n = \frac{5^n n^3}{(n!)^2} \). Určíme limitu podílu: \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{5^{n+1}(n+1)^3}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{5^n…